2015 海淀高三一模 数学 文 答案
2015海淀区高三二模数学(文)试题及答案(word版)
海淀区高三年级第二学期期末练习数 学（文） 2015.5本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）在复平面内，复数2i (1i)-对应的点位于（ ） （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（2）已知命题1:0,2p x x x∀>+≥，则p ⌝为（ ） （A ）10,2x x x ∀>+< （B ）10,2x x x ∀≤+< （C ）10,2x x x∃≤+< （D ）10,2x x x∃>+< （3）圆22:4230C x y x y ++-+=的圆心坐标及半径分别是（ ）（A ）(-（B ）（C ）(2,1),2-（D ）(2,1),2-（4）右图表示的是求首项为41-，公差为2的等差数列{}n a 前n 项和的最小值的程序框图.则①处可填写（ ）（A ）0S > （B ）0S < （C ）0a >（D ）0a =（5）已知点(,)(0)A a a a ≠，(1,0)B ，O 为坐标原点.若点C 在直线OA 上，且BC 与OA 垂直，则点C 的坐标是（ ）（A ）11(,)22-（B ）(,)22a a -（C ）(,)22a a（D ）11(,)22（6）在ABC ∆中，若3,3a c A π==∠=，则b =（ ） （A ）4（B ）6（C）（D（7）设320.30.2,log 0.3,log 2a b c ===，则（ ） （A ）b a c <<（B ）b c a <<（C ）c b a <<（D ）a b c <<（8）已知不等式组4,2,2x y x y x +≥⎧⎪-≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域为D ，点(0,0),(1,0)O A .若点M 是D 上的动点，则OA OMOM⋅uu r uuu r uuu r 的最小值是（ ）（A（B（C（D二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2015-2016年北京市海淀区高三(上)期末数学试卷和参考答案(文科)
2015-2016学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）复数（1+i）（1﹣i）=（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣22．（5分）已知数列{a n}是公比为2的等比数列，且满足，则a4的值为（）A．2 B．4 C．8 D．163．（5分）如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若=λ+μ，则λ+μ的值为（）A．B．C．1 D．﹣14．（5分）如图，在边长为3的正方形内有区域A（阴影部分所示），张明同学用随机模拟的方法求区域A的面积．若每次在正方形内每次随机产生10000个点，并记录落在区域A内的点的个数．经过多次试验，计算出落在区域A内点的个数平均值为6600个，则区域A的面积约为（）A．5 B．6 C．7 D．85．（5分）某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的a值为1，则输出的a 值为（）A．1 B．2 C．3 D．56．（5分）若点（2，﹣3）不在不等式组表示的平面区域内，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣1，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，﹣1）7．（5分）已知函数则下列结论正确的是（）A．∃x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0）B．∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）C．函数f（x）在上单调递增D．函数f（x）的值域是[﹣1，1] 8．（5分）已知点A（5，0），抛物线C：y2=4x的焦点为F，点P在抛物线C上，若点F恰好在PA的垂直平分线上，则PA的长度为（）A．2 B．C．3 D．4二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）lga+lgb=1，则ab=．10．（5分）已知双曲线的一条渐近线过点（1，2），则b=，其离心率为．11．（5分）某三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的体积为．12．（5分）直线l经过点A（t，0），且与曲线y=x2相切，若直线l的倾斜角为45°，则t=．13．（5分）已知圆（x﹣a）2+y2=4截直线y=x﹣4所得的弦的长度为，则a=．14．（5分）已知△ABC，存在△A1B1C1，满足==，则称△A1B1C1是△ABC的一个“友好”三角形．（1）在满足下列条件的三角形中，存在“友好：三角形的是；（请写出符合要求的条件的序号）①A=90°，B=60°，C=30°；②A=75°，B=60°，C=45°；③A=75°，B=75°，C=30°（2）若△ABC存在”友好“三角形，且A=70°，则另外两个角的度数分别为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）等差数列{a n}的首项a1=1，其前n项和为S n，且a3+a5=a4+7．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求满足不等式S n＜3a n﹣2的n的值．16．（13分）已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值与最小值的和．17．（13分）为了研究某种农作物在特定温度下（要求最高温度t满足：27℃≤t≤30℃）的生长状况，某农学家需要在十月份去某地进行为期十天的连续观察试验．现有关于该地区10月份历年10月份日平均最高温度和日平均最低温度（单位：℃）的记录如下：（Ⅰ）根据本次试验目的和试验周期，写出农学家观察试验的起始日期．（Ⅱ）设该地区今年10月上旬（10月1日至10月10日）的最高温度的方差和最低温度的方差分别为D1，D2，估计D1，D2的大小？（直接写出结论即可）．（Ⅲ）从10月份31天中随机选择连续三天，求所选3天每天日平均最高温度值都在[27，30]之间的概率．18．（14分）如图，四边形ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，PD∥BE，AD=PD=2BE=2，∠DAB=60°，点F为PA的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ABCD；（Ⅱ）求证：平面PAE⊥平面PAD；（Ⅲ）求三棱锥P﹣ADE的体积．19．（13分）已知函数．（Ⅰ）当k=1时，求函数f（x）单调区间和极值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=k有解，求实数k的取值范围．20．（14分）如图，椭圆的离心率为，其左顶点A在圆O：x2+y2=16上．（Ⅰ）求椭圆W的方程；（Ⅱ）直线AP与椭圆W的另一个交点为P，与圆O的另一个交点为Q．（i）当时，求直线AP的斜率；（ii）是否存在直线AP，使得？若存在，求出直线AP的斜率；若不存在，说明理由．2015-2016学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）复数（1+i）（1﹣i）=（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2【解答】解：（1+i）（1﹣i）=1﹣i2=1+1=2，故选：A．2．（5分）已知数列{a n}是公比为2的等比数列，且满足，则a4的值为（）A．2 B．4 C．8 D．16【解答】解：∵数列{a n}是公比为2的等比数列，且满足，∴=0，解得a1=1，∴a4=1×23=8．故选：C．3．（5分）如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若=λ+μ，则λ+μ的值为（）A．B．C．1 D．﹣1【解答】解：由题意正方形ABCD中，E为DC的中点，可知：=．则λ+μ的值为：．故选：A．4．（5分）如图，在边长为3的正方形内有区域A（阴影部分所示），张明同学用随机模拟的方法求区域A的面积．若每次在正方形内每次随机产生10000个点，并记录落在区域A内的点的个数．经过多次试验，计算出落在区域A内点的个数平均值为6600个，则区域A的面积约为（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：由题意，∵在正方形中随机产生了10000个点，落在区域A内点的个数平均值为6600个，∴概率P==，∵边长为3的正方形的面积为9，∴区域A的面积的估计值为≈6．故选：B．5．（5分）某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的a值为1，则输出的a 值为（）A．1 B．2 C．3 D．5【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=1i=1a=2×1﹣1=1，i=2，不满足条件i＞3，a=2×2﹣1=3，i=3不满足条件i＞3，a=2×3﹣3=3，i=4满足条件i＞3，退出循环，输出a的值为3．故选：C．6．（5分）若点（2，﹣3）不在不等式组表示的平面区域内，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣1，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，﹣1）【解答】解：点（2，﹣3）不在不等式组表示的平面区域内，可知（2，﹣3）满足x﹣y≥0，满足x+y﹣2≤0，所以不满足ax﹣y﹣1≤0，即2a+3﹣1＞0，解得a＞﹣1．故选：B．7．（5分）已知函数则下列结论正确的是（）A．∃x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0）B．∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）C．函数f（x）在上单调递增D．函数f（x）的值域是[﹣1，1]【解答】解：分段函数的图象如图：可知：A不正确；∀x∈R，f（﹣x）≠f（x），B不正确；函数f（x）在上单调递增，所以C不正确；函数f（x）的值域是[﹣1，1]，所以D正确．不正确的选项为D．故选：D．8．（5分）已知点A（5，0），抛物线C：y2=4x的焦点为F，点P在抛物线C上，若点F恰好在PA的垂直平分线上，则PA的长度为（）A．2 B．C．3 D．4【解答】解：点A（5，0）在x轴上，抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），点P在抛物线C上，若点F恰好在PA的垂直平分线上，可知三角形PFA是等腰三角形，即：|PF|=|AF|，可得|PF|=4，由抛物线的定义可知，P的横坐标为：3，纵坐标为：2．则PA的长度为：=4．故选：D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）lga+lgb=1，则ab=10．【解答】解：由lga+lgb=1，得：lg（ab）=1，所以，ab=10．故答案为10．10．（5分）已知双曲线的一条渐近线过点（1，2），则b=2，其离心率为．【解答】解：双曲线的一条渐近线y=bx，过点（1，2），可得b=2，a=1，c=，可得双曲线的离心率为：e=．故答案为：2；．11．（5分）某三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的体积为4．【解答】解：由三视图可知三棱柱的底面为直角边为2等腰直角三角形，棱柱的高为2，这是一个歪放的三棱柱∴V==4．故答案为4．12．（5分）直线l经过点A（t，0），且与曲线y=x2相切，若直线l的倾斜角为45°，则t=．【解答】解：设切点为（m，m2），y=x2的导数为y′=2x，即有切线l的斜率为k=2m=tan45°=1，解得m=，可得切点为（，），由1=，解得t=．故答案为：．13．（5分）已知圆（x﹣a）2+y2=4截直线y=x﹣4所得的弦的长度为，则a= 2或6．【解答】解：∵圆（x﹣a）2+y2=4截直线y=x﹣4所得的弦的长度为，圆心（a，0）到直线y=x﹣4的距离d=，∴=，解得a=2或a=6．故答案为：2或6．14．（5分）已知△ABC，存在△A1B1C1，满足==，则称△A1B1C1是△ABC的一个“友好”三角形．（1）在满足下列条件的三角形中，存在“友好：三角形的是②；（请写出符合要求的条件的序号）①A=90°，B=60°，C=30°；②A=75°，B=60°，C=45°；③A=75°，B=75°，C=30°（2）若△ABC存在”友好“三角形，且A=70°，则另外两个角的度数分别为65°，45°．【解答】解：（1）①若存在友好三角形，则，显然不成立，故①不存在友好三角形．②若存在友好三角形，则，∴a1：b1：c1=sinA1：sinA2：sinA3=：2：2．∴a1+b1=＞2，③若存在友好三角形，则，∴a1：b1：c1=sinA1：sinA2：sinA3=：：2．∴a1+b1=2（﹣）＜2．与三角形两根之和大于第三边矛盾．故③不存在友好三角形．综上，存在友好三角形的是②．（2）C=180°﹣70°﹣B=110°﹣B．∴，即，∴，∵，∴sinA1=sin20°，sinB1=sin（90°﹣B），sinC1=sin（B﹣20°），∴A1=20°或160°，B1=90°﹣B，或B1=90°+B，C1=B﹣20°或200°﹣B．∵A1+B1+C1=180°，∴20°+90°﹣B+200°﹣B=180°，或20°+90°+B+B﹣20°=180°，解得B=65°，或者B=45°．∴C=45°，或C=65°．故答案为65°，45°．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）等差数列{a n}的首项a1=1，其前n项和为S n，且a3+a5=a4+7．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求满足不等式S n＜3a n﹣2的n的值．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d．…．（1分）因为a3+a5=a4+7，所以2a1+6d=a1+3d+7．…．（3分）因为a1=1，所以3d=6，即d=2，…．（5分）所以a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1．…．（7分）（Ⅱ）因为a1=1，a n=2n﹣1，所以，…．（9分）所以n2＜3（2n﹣1）﹣2，所以n2﹣6n+5＜0，…．（11分）解得1＜n＜5，所以n的值为2，3，4．…．（13分）16．（13分）已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值与最小值的和．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=2cosx（sinx+cosx）﹣1=sin2x+cos2x…．（4分）=…．（6分）所以函数f（x）的最小正周期．…．（8分）（Ⅱ）因为，所以，所以，…．（9分）根据函数f（x）=sinx的性质，当时，函数f（x）取得最小值，…．（10分）当时，函数f（x）取得最大值．…．（11分）因为，所以函数f（x）在区间上的最大值与最小值的和为0．…．（13分）17．（13分）为了研究某种农作物在特定温度下（要求最高温度t满足：27℃≤t ≤30℃）的生长状况，某农学家需要在十月份去某地进行为期十天的连续观察试验．现有关于该地区10月份历年10月份日平均最高温度和日平均最低温度（单位：℃）的记录如下：（Ⅰ）根据本次试验目的和试验周期，写出农学家观察试验的起始日期．（Ⅱ）设该地区今年10月上旬（10月1日至10月10日）的最高温度的方差和最低温度的方差分别为D1，D2，估计D1，D2的大小？（直接写出结论即可）．（Ⅲ）从10月份31天中随机选择连续三天，求所选3天每天日平均最高温度值都在[27，30]之间的概率．【解答】解：（Ⅰ）研究某种农作物在特定温度下（要求最高温度t满足：27℃≤t≤30℃）的生长状况，由关于该地区10月份历年10月份日平均最高温度和日平均最低温度（单位：℃）的记录，得到农学家观察试验的起始日期为7日或8日．…．（3分）（少写一个扣1分）（Ⅱ）最高温度的方差大，即D1＞D2．…．（6分）（Ⅲ）设“连续三天平均最高温度值都在[27，30]之间”为事件A，…．（7分）则基本事件空间可以设为Ω={（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），…，（29，20，31）}，共计29个基本事件…．（9分）由图表可以看出，事件A中包含10个基本事件，…．（11分）所以，…．（13分）所选3天每天日平均最高温度值都在[27，30]之间的概率为．18．（14分）如图，四边形ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，PD∥BE，AD=PD=2BE=2，∠DAB=60°，点F为PA的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ABCD；（Ⅱ）求证：平面PAE⊥平面PAD；（Ⅲ）求三棱锥P﹣ADE的体积．【解答】解：（Ⅰ）取AD中点G，连接FG，BG，∵点F为PA的中点，∴FG∥PD且．∵BE∥PD，且，∴BE∥FG，BE=FG，∴四边形BGFE为平行四边形．∴EF∥BG，又∵EF⊄平面ABCD，BG⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．（Ⅱ）连接BD．∵四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，∴△ABD为等边三角形．∵G为AD中点，∴BG⊥AD，∵PD⊥平面ABCD，BG⊂平面ABCD，∴PD⊥BG，又∵PD∩AD=D，AD⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴BG⊥平面PAD．∵四边形BGFE为平行四边形，∴EF∥BG，∴EF⊥平面PAD，又∵EF⊂平面PAE，∴平面PAE⊥平面PAD．（Ⅲ）∵△ABD为等边三角形，AD=2，∴BG=．∵．，∴V=V棱锥E﹣ADP=S△PAD•EF=．棱锥P﹣ADE19．（13分）已知函数．（Ⅰ）当k=1时，求函数f（x）单调区间和极值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=k有解，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）．…．（1分）．…．（3分）当k=1时，，令f'（x）=0，得x=1，…．（4分）所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：…．（6分）所以f（x）在x=1处取得极小值f（1）=1，无极大值．…．（7分）f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）．…．（8分）（Ⅱ）因为关于x的方程f（x）=k有解，令g（x）=f（x）﹣k，则问题等价于函数g（x）存在零点，…．（9分）所以．…．（10分）令g'（x）=0，得．当k＜0时，g'（x）＜0对（0，+∞）成立，函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，而g（1）=1﹣k＞0，，所以函数g（x）存在零点．…．（11分）当k＞0时，g'（x），g（x）随x的变化情况如下表：所以为函数g（x）的最小值，当时，即0＜k＜1时，函数g（x）没有零点，当时，即k≥1时，注意到，所以函数g（x）存在零点．综上，当k＜0或k≥1时，关于x的方程f（x）=k有解．…．（13分）法二：因为关于x的方程f（x）=k有解，所以问题等价于方程1+kx（lnx﹣1）=0有解，…．（9分）令g（x）=kx（lnx﹣1）+1，所以g'（x）=klnx，…．（10分）令g'（x）=0，得x=1当k＜0时，g'（x），g（x）随x的变化情况如下表：所以函数g（x）在x=1处取得最大值，而g（1）=k（﹣1）+1＞0.，所以函数g（x）存在零点．…．（11分）当k＞0时，g'（x），g（x）随x的变化情况如下表：所以函数g（x）在x=1处取得最小值，而g（1）=k（﹣1）+1=1﹣k．当g（1）=k（﹣1）+1=1﹣k＞0时，即0＜k＜1时，函数g（x）不存在零点．当g（1）=k（﹣1）+1=1﹣k≤0，即k≥1时，g（e）=ke（lne﹣1）+1=1＞0所以函数g（x）存在零点．…．（13分）综上，当k＜0或k≥1时，关于x的方程f（x）=k有解．法三：因为关于x的方程f（x）=k有解，所以问题等价于方程有解，…．（9分）设函数g（x）=x（1﹣lnx），所以g'（x）=﹣lnx．…．（10分）令g'（x）=0，得x=1，g'（x），g（x）随x的变化情况如下表：所以函数g（x）在x=1处取得最大值，而g（1）=1，…．（11分）又当x＞1时，1﹣lnx＜0，所以x（1﹣lnx）＜1﹣lnx，所以函数g（x）的值域为（﹣∞，1]，…．（12分）所以当时，关于x的方程f（x）=k有解，所以k∈（﹣∞，0）∪[1，+∞）．…．（13分）20．（14分）如图，椭圆的离心率为，其左顶点A在圆O：x2+y2=16上．（Ⅰ）求椭圆W的方程；（Ⅱ）直线AP与椭圆W的另一个交点为P，与圆O的另一个交点为Q．（i）当时，求直线AP的斜率；（ii）是否存在直线AP，使得？若存在，求出直线AP的斜率；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆W的左顶点A在圆O：x2+y2=16上，∴a=4．又离心率为，∴，则，∴b2=a2﹣c2=4，∴W的方程为；（Ⅱ）法一：（i）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），显然直线AP存在斜率，设直线AP的方程为y=k（x+4），与椭圆方程联立得，化简得到（1+4k2）x2+32k2x+64k2﹣16=0，∵﹣4为上面方程的一个根，∴，则．由，代入得到，解得k=±1，∴直线AP的斜率为1，﹣1；（ii）∵圆心到直线AP的距离为，∴．∵，代入得到．显然，∴不存在直线AP，使得．法二：（i）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），显然直线AP存在斜率且不为0，设直线AP的方程为x=my﹣4，与椭圆方程联立得，化简得到（m2+4）y2﹣8my=0，显然﹣4上面方程的一个根，∴另一个根，即，由，代入得到，解得m=±1．∴直线AP的斜率为1，﹣1；（ii）∵圆心到直线AP的距离为，∴．∵，代入得到．若，则m=0，与直线AP存在斜率矛盾，∴不存在直线AP，使得．。
基础大题题目及答案 2015北京高考数学 各区一模试题汇编
2015北京高考数学各区一模试题汇编--解析几何--目录Always a new start 项目及名称页码42长度与韦达定理的弦长与面积问题45多出一两条直线的中点与垂直问题50考察图像与方程的单动点消元问题53利用斜率与向量的定点与定值问题58以上四类常规问题的答案弦长与面积问题19.（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为(2,0)F ，离心率为3．过焦点F的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 中点为D ，O 为坐标原点，过O ，D 的直线 交椭圆于,M N 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求四边形AMBN 面积的最大值．19．（本小题满分14分）设1F ，2F 分别为椭圆)0(1:2222>>=+b a b ya x E 的左、右焦点，点)23,1(P 在椭圆E 上，且点P 和1F 关于点)43,0(C 对称.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过右焦点2F 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，过点P 且平行于AB 的直线与椭圆交于另一点Q ，问是否存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由.19.（本小题满分14分）已知椭圆223412.C x y +=：（I ）求椭圆C 的离心率；（II ）设椭圆C 上在第二象限的点P 的横坐标为1-，过点P 的直线12,l l 与椭圆C 的另一交点分别为,A B .且12,l l 的斜率互为相反数，,A B 两点关于坐标原点O 的对称点分别为,M N ,求四边形ABMN 的面积的最大值.中点与垂直问题（19）（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的两个焦点分别为12(2,0),(2,0)F F-，离心率为3．过焦点2F的直线l（斜率不为0）与椭圆C交于,A B两点，线段AB的中点为D，O为坐标原点，直线OD交椭圆于,M N两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当四边形12MF NF为矩形时，求直线l的方程．19.（本小题共14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为，右顶点A 是抛物线28y x =的焦点．直线l ：(1)y k x =-与椭圆C 相交于P ，Q 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如果AM AP AQ =+u u u u r u u u r u u u r，点M 关于直线l 的对称点N 在y 轴上，求k 的值．（19）（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>过点(0,1)-，且离心率e =.（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）是否存在菱形ABCD ，同时满足下列三个条件：①点A 在直线2y =上；②点B ，C ，D 在椭圆M 上； ③直线BD 的斜率等于1.如果存在，求出A 点坐标；如果不存在，说明理由.19．（本小题满分14分）设1F ，2F 分别为椭圆)0(1:2222>>=+b a b ya x E 的左、右焦点，点)23,1(P 在椭圆E 上，且点P 和1F 关于点)43,0(C 对称.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过右焦点2F 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，过点P 且平行于AB 的直线与椭圆交于另一点Q ，问是否存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由.19.(本小题满分14分) 已知椭圆22:416C x y +=. (I)求椭圆C 的离心率;(II)设椭圆C 与y 轴下半轴的交点为B ,如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点,E F ,且,,B E F 构成以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形,判断直线EF 与圆2212x y +=的位置关系.单动点消元问题已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，M为椭圆上任意一点且△12MF F 的周长等于6． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）以M 为圆心，1MF 为半径作圆M ，当圆M 与直线 l 4x =：有公共点时，求△12MF F 面积的最大值．19．（本小题满分14分）已知椭圆C:22221(0)x ya ba b+=>>离心率2e=，短轴长为．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ) 如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线P A，QA分别与y轴交于M，N两点．试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．在平面直角坐标系中xOy 中，动点E 到定点(1,0)的距离与它到直线1x =-的距离相等．（Ⅰ）求动点E 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设动直线:l y kx b =+与曲线C 相切于点P ，与直线1x =-相交于点Q ．证明：以PQ 为直径的圆恒过x 轴上某定点．定点与定值问题已知椭圆W ：12222=+by a x )0(>>b a 的离心率为21，Q 是椭圆上的任意一点，且点Q 到椭圆左右焦点1F ，2F 的距离和为4． （Ⅰ）求椭圆W 的标准方程；（Ⅱ）经过点()1,0且互相垂直的直线1l 、2l 分别与椭圆交于A 、B 和C 、D 两点（A 、B 、C 、D 都不与椭圆的顶点重合），E 、F 分别是线段AB 、CD 的中点，O 为坐标原点，若OE k 、OF k 分别是直线OE 、OF 的斜率，求证：OE OF k k ⋅为定值．动点),(y x P 到定点)0,1(F 的距离与它到定直线4:=x l 的距离之比为21. (Ⅰ) 求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ） 已知定点(2,0)A -，(2,0)B ，动点(4,)Q t 在直线l 上，作直线AQ 与轨迹C 的另一个交点为M ,作直线BQ 与轨迹C 的另一个交点为N ，证明：,,M N F 三点共线.（19）（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>过点(0,1)A -，且离心率2e =.（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）若椭圆M 上存在点,B C 关于直线1y kx =-对称,求k 的所有取值构成的集合S ，并证明对于k S ∀∈，BC 的中点恒在一条定直线上.19．（本小题满分14分）如图，已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a ay b x 的离心率2e =，短轴的右端点为B ， M（1，0）为线段OB 的中点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点M 任意作一条直线与椭圆C 相交于两点P ，Q 试问在x 轴上是否存在定点N ，使得∠PNM =∠QNM ？ 若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由．19．（本小题满分14分）设点F为椭圆22221(0)x yE a ba b+=>>：的右焦点，点3(1,)2P在椭圆E上，已知椭圆E的离心率为1 2 .（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设过右焦点F的直线l与椭圆相交于A，B两点，记ABP∆三条边所在直线的斜率的乘积为t，求t的最大值.2015北京高考数学 各区一模试题汇编--解析几何 答案--弦长与面积问题19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意可得2222,,c c a a bc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得a =b ， 故椭圆的方程为22162x y +=． …….4分（Ⅱ）当直线l 斜率不存在时,A B的坐标分别为，(2,，||MN =， 四边形AMBN 面积为1||||42AMBN S MN AB =⋅=． 当直线l 斜率存在时，设其方程为(2)y k x =-，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，33(,)N x y --，点,M N 到直线l 的距离分别为12,d d ，则四边形AMBN 面积为121||()2AMBN S AB d d =+． 由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=， 则21221213k x x k +=+，212212613k x x k -=+， 所以||AB==．因为121224(4)13ky y k x x k-+=+-=+， 所以AB 中点22262(,)1313k kD k k -++． 当0k ¹时，直线OD 方程为30x ky +=， 由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得333,x ky =-232213y k =+． 所以121||()2AMBN S AB d d =+12=====当0k =时，四边形AMBN面积的最大值AMBN S =综上四边形AMBN面积的最大值为． …………………………14分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由点)23,1(P 和1F 关于点)43,0(C 对称，得1(1,0)F -， ………… 1分所以椭圆E 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ， ……………… 2分 由椭圆定义，得 122||||4a PF PF=+=.所以 2a =，b == ……………… 4分故椭圆E 的方程为13422=+y x . ……………… 5分 （II ）解：结论：存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分. ……… 6分 理由如下：由题可知直线l ，直线PQ 的斜率存在，设直线l 的方程为)1(-=x k y ，直线PQ 的方程为3(1)2y k x -=-. ……… 7分 由 221,43(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y ， 得2222(34)84120k x k x k +-+-=， ……………… 8分 由题意，可知0∆> ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2221438kk x x +=+，212241234k x x k -=+， ……………… 9分 由221,433(1),2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩消去y ,得2222(34)(812)41230k x k k x k k +--+--=， 由0∆>，可知12k ≠-，设),(33y x Q ，又)23,1(P ，则223431281k k k x +-=+，2234331241kk k x +--=⋅. ……………… 10分 若四边形PABQ 的对角线互相平分，则PB 与AQ 的中点重合， 所以212231+=+x x x ，即3211x x x -=-， ……………… 11分 故2212123()4(1)x x x x x +-=-. ……………… 12分所以 2222222284124123()4(1)343434k k k k k k k ----⋅=-+++. 解得 34k =. 所以直线l 为3430x y --=时， 四边形PABQ 的对角线互相平分. …… 14分 （注：利用四边形PABQ 为平行四边形，则有||||PQ AB =，也可解决问题）19.解：（I ）由题意，椭圆C 的标准方程为221.43x y += 所以224,3,a b ==从而222 1.c a b =-= 因此，2, 1.a c ==故椭圆C 的离心率1.2c e a ==..... ...........................................4分 （II ）由题意可知，点P 的坐标为3(1,).2-设1l 的方程为3(1).2y k x =++则2l 的方程为3(1).2y k x =-++........................................5分由223(1)23412y k x x y ⎧=++⎪⎨⎪+=⎩得2222(43)(812)41230.k x k k x k k +++++-= 由于1x =-是此方程的一个解.所以此方程的另一解22412343A k k x k +-=-+ 同理22412343B k k x k --=-+............... ...........................................7分故直线AB 的斜率为33(1)(1)22B A B A ABB A B Ak x k x y y k x x x x -++-+--==-- 22286(2)143.24243k k k k k -+-++==-+ ........... ...........................................9分设直线AB 的方程为1.2y x m =-+由22123412y x m x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩得2230x mxm -+-=所以||AB ==又原点O 到直线AB 的距离为d =所以OAB ∆的面积12OAB S ∆==22(4)22m m +-≤⋅= 当且仅当224m m =-，即22,2m m ==±时.OAB ∆的面积达到最大. ............... ...........................................13分由题意可知，四边形ABMN 为平行四边形,所以，四边形ABMN 的面积4OAB S S ∆=≤故四边形ABMN 面积的最大值为 ............... ...........................................14分中点与垂直问题（19）（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意可得2222,,c c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得a =b = 故椭圆的方程为22162x y +=． ……… 5分 （Ⅱ）由题意可知直线l 斜率存在，设其方程为(2)y k x =-，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，33(,)N x y --，由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=， 所以21221213k x x k +=+．因为121224(4)13ky y k x x k -+=+-=+，所以AB 中点22262(,)1313k kD k k -++． 因此直线OD 方程为30x ky +=()0k ¹．由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得232213y k =+，333x ky =-． 因为四边形12MF NF 为矩形，所以220F M F N ⋅=u u u u r u u u u r，即3333(2,)(2,)0x y x y -⋅---=．所以223340x y --=．所以222(91)4013k k +-=+．解得3k =±．故直线l的方程为(2)3y x =±-． ……… 14分19.（本小题共14分）解：（Ⅰ）抛物线28y x =，所以焦点坐标为(2,0)，即(2,0)A ， 所以2a =．又因为2c e a ==，所以c = 所以2221b a c =-=，所以椭圆C 的方程为2214x y +=． ……………………4分 （Ⅱ）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，因为AM AP AQ =+u u u u r u u u r u u u r，(2,0)A ，所以11(2,)AP x y =-u u u r，22(2,)AQ x y =-u u u r ，所以1212(4,+)AM AP AQ x x y y =+=+-u u u u r u u u r u u u r，所以()12122,M x x y y +-+．由2214(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(41)8440k x k x k +-+-=（判别式0∆>）， 得2122282224141k x x k k -+-=-=++，121222(2)4+1ky y k x x k -+=+-=， 即2222(,)4141k M k k --++． 设3(0,)N y ， 则MN 中点坐标为3221(,)41412y kk k --+++， 因为M ，N 关于直线l 对称，所以MN 的中点在直线l 上，所以3221(1)41241k y k k k --+=-++，解得32y k =-，即(0,2)N k -． 由于M ，N 关于直线l 对称，所以M ，N 所在直线与直线l 垂直，所以 222(2)4112041kk k k k ---+⋅=---+，解得k = ……………………14分（19）（共13分）解：（Ⅰ）由题意得：2221,.b caa b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎩………………3分解得：223,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以 椭圆M 的方程为2213x y +=. ………………4分 （Ⅱ）不存在满足题意的菱形ABCD ，理由如下： ………………5分 假设存在满足题意的菱形ABCD .设直线BD 的方程为y x m =+，11(,)B x y ，22(,)D x y ，线段BD 的中点00(,)Q x y ，点(,2)A t . ………………6分由2233,x y y x m⎧+=⎨=+⎩得224230y my m -+-=. ………………8分 由()()2221630m m ∆=--> ，解得22m -<<. ………………9分因为 122my y +=， 所以 12024y y my +==. ………………11分因为 四边形ABCD 为菱形， 所以 Q 是AC 的中点.所以 C 点的纵坐标022212C my y =-=-<-. ………………12分 因为 点C 在椭圆M 上，所以 1C y ≥-.这与1C y <-矛盾. ………………13分所以 不存在满足题意的菱形ABCD .19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由点)23,1(P 和1F 关于点)43,0(C 对称，得1(1,0)F -， ………… 1分所以椭圆E 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ， ……………… 2分 由椭圆定义，得 122||||4a PFPF =+=.所以 2a =，b == ……………… 4分故椭圆E 的方程为13422=+y x . ……………… 5分 （II ）解：结论：存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分. ……… 6分 理由如下：由题可知直线l ，直线PQ 的斜率存在，设直线l 的方程为)1(-=x k y ，直线PQ 的方程为3(1)2y k x -=-. ……… 7分 由 221,43(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y ， 得2222(34)84120k x k x k +-+-=， ……………… 8分 由题意，可知0∆> ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2221438kk x x +=+，212241234k x x k -=+， ……………… 9分 由221,433(1),2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩消去y ,得2222(34)(812)41230k x k k x k k +--+--=，由0∆>，可知12k ≠-，设),(33y x Q ，又)23,1(P ，则223431281k k k x +-=+，2234331241k k k x +--=⋅. ……………… 10分 若四边形PABQ 的对角线互相平分，则PB 与AQ 的中点重合， 所以212231+=+x x x ，即3211x x x -=-， ……………… 11分 故2212123()4(1)x x x x x +-=-. ……………… 12分所以 2222222284124123()4(1)343434k k k k k k k----⋅=-+++. 解得 34k =. 所以直线l 为3430x y --=时， 四边形PABQ 的对角线互相平分. …… 14分 （注：利用四边形PABQ 为平行四边形，则有||||PQ AB =，也可解决问题）19.解:(I)由题意,椭圆C 的标准方程为221164x y +=, 所以2222216,4,12从而a b c a b ===-=,因此4,a c ==故椭圆C 的离心率c e a == ............... ...........................................4分 (II)由221,416y kx x y =+⎧⎨+=⎩得()22148120k x kx ++-=, 由题意可知0∆>. ............... ...........................................5分 设点,E F 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ,EF 的中点M 的坐标为(),M M x y , 则1224214M x x k x k +==-+,1221214M y y y k+==+................ .....................................7分因为BEF ∆是以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形, 所以BM EF ⊥,因此BM 的斜率1BM k k=-. ............... ...........................................8分 又点B 的坐标为()0,2-,所以222122381440414M BM M y k k k k x k k++++===---+,............... ....................................10分 即()238104k k k k+-=-≠, 亦即218k =,所以4k =±, ............... ...........................................12分故EF的方程为440y -+=. ............... ...........................................13分又圆2212x y +=的圆心()0,0O 到直线EF的距离为32d ==>, 所以直线EF 与圆相离................ ...........................................14分单动点消元问题解：（Ⅰ）由已知离心率12c e a ==， 又△12MF F 的周长等于226a c +=， 解得2a =，1c =．所以23b =．所以椭圆C 的方程为22143x y +=． ………………………..5分（Ⅱ）设点M 的坐标为00(,)x y ，则2200143x y +=．由于圆M 与l 有公共点，所以M 到l 的距离04x -小于或等于圆的半径r ． 因为2222100(+1)r MF x y ==+，所以222000(4)(1)x x y -≤++，即20010150y x +-≥．又因为22003(1)4x y =-，所以20033101504x x -+-≥． 整理得200340+480x x -≤，解得04123x ≤≤．又022x -<< ，所以0423x ≤<．所以00y <≤． 因为△12MF F 面积01201=2y F F y =，当0y =12MF F ………………..13分（Ⅰ）由短轴长为，得b = ………………1分由2c e a ===，得224,2a b ==．∴椭圆C 的标准方程为22142x y +=． ………………4分 （Ⅱ）以MN为直径的圆过定点(F ． ………………5分证明如下：设00(,)P x y ，则00(,)Q x y --，且2200142x y +=，即220024x y +=， ∵(2,0)A -，∴直线PA 方程为：00(2)2y y x x =++，∴002(0,)2y M x +……………6分 直线QA 方程为：00(2)2y y x x =+-，∴002(0,)2y N x -， ………………7分 以MN 为直径的圆为000022(0)(0)()()022y y x x y y x x --+--=+-………………10分 【或通过求得圆心00202(0,)4x y O x '-，0204||4y r x =-得到圆的方程】 即222000220044044x y y x y y x x +-+=--， ∵220042x y -=-，∴22220x x y y y ++-=， ………………12分 令0y =，则220x -=，解得x =∴以MN为直径的圆过定点(F ． …………14分解：（Ⅰ）设动点E 的坐标为(,)x y ．由抛物线定义知，动点E 的轨迹为以(1,0)为焦点，1x =-为准线抛物线．所以动点E 的轨迹C 的方程为：24y x =． ……………4分（Ⅱ）设直线l 的方程为：y kx b =+．（显然0k ≠）由 24,,y x y kx b ⎧=⎨=+⎩得2440ky y b -+=．因为直线l 与抛物线相切， 所以16160kb ∆=-=，1b k=．所以直线l 的方程为1y kx k=+． 令1x =-，得1y k k=-+， 所以1(1,)Q k k--+．设切点坐标00(,)P x y ，则200440ky y k -+=，解得212(,)P k k． 设(,0)M m ，则2121()(1)()MQ MP m m k k k k⋅=---+-+u u u u r u u u r2222122m m m k k k=-+-++-． 21(1)(2)m m k=---． 当1m =时，0MQ MP ⋅=u u u u r u u u r．所以以PQ 为直径的圆恒过x 轴上定点(1,0)M ． ……………13分定点与定值问题解：（Ⅰ）∵点Q 到椭圆左右焦点的距离和为4. ∴24a =，2a =.又12c e a ==，∴1c =，2223b a c =-=. ∴椭圆W 的标准方程为：22143x y +=…………………5分 （Ⅱ）∵直线1l 、2l 经过点(0,1)且互相垂直，又A 、B 、C 、D 都不与椭圆的顶点重合 ∴设1l ：1y kx =+，2l ：11y x k=-+；点11(,)A x y 、22(,)B x y 、(,)E E E x y 、(,)F F F x y 由221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)880k x kx ++-= ∵点(0,1)在椭圆内，∴△0>∴122834kx x k +=-+，∴1224234Ex x kx k +==-+，23134E E y kx k =+=+ ∴34E OE E y k x k==- 同理33144()F OF Fy kk x K ==-=-∴916OE OFk k ⋅=-…………………14分19．（本小题共14分）解： (Ⅰ)由题意得21|4|)1(22=-+-x y x ， ………………2分化简并整理，得 13422=+y x . 所以动点),(y x P 的轨迹C 的方程为椭圆13422=+y x . ………………5分 （Ⅱ）当0=t 时，点B M 与重合，点A N 与重合，,,M N F 三点共线. ………7分当0≠t 时根据题意：:(2),:(2)62tt QA y x QB y x =+=-由()2214326x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消元得：2223(2)1209t x x ++-=整理得：2222(27)441080t x t x t +++-=该方程有一根为2,x =-另一根为M x ,根据韦达定理，222241085422,2727M M t t x x t t ---==++由()2214322x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 消元得：2223(2)120x t x +--= 整理得：2222(3)44120t x t x t +-+-=该方程有一根为2,x =另一根为N x ,根据韦达定理，2222412262,33N N t t x x t t --==++当M N x x =时，由222254226273t t t t --=++得：29,t =1M N x x ==，,,M N F 三点共线； 当M N x x ¹时，218(2)627M M t ty x t =+=+，26(2)23N N t t y x t -=-=+22221862754219127M MFM t y t t k t x t t +===----+；2222663261913N NFN t y t t k t x t t -+===----+ NF MF K k =，,,M N F 三点共线.综上，命题恒成立. ………………14分19.（本小题共14分）解: （Ⅰ）因为椭圆C ：22162x y +=所以焦点(2,0)F ，离心率3e =……………………4分 （Ⅱ）直线l ：y kx m =+(0)k ≠过点F ，所以2m k =-，所以l ：(2)y k x =-．由2236(2)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，得2222(31)121260.k x k x k +-+-=（依题意 0∆>）． 设 11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则21221231k x x k +=+，2122126.31k x x k -=+ ．因为点P 关于x 轴的对称点为P '，则11(,)P x y '-． 所以，直线P Q '的方程可以设为211121()y y y y x x x x ++=--，令0y =，2111211211212x y x y x y x y x x y y y y -+=+=++211212(2)(2)(4)kx x kx x k x x -+-=+-12121222()(4)x x x x x x -+=+-2222221261222313112(4)31k k k k k k --++=-+ 3=． 所以直线P Q '过x 轴上定点(3,0)． ……………………14分19.（本小题共14分）解: （Ⅰ）因为椭圆C ：22162x y +=所以焦点(2,0)F ，离心率e =……………………4分 （Ⅱ）直线l ：y kx m =+(0)k ≠过点F ，所以2m k =-，所以l ：(2)y k x =-．由2236(2)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，得2222(31)121260.k x k x k +-+-=（依题意 0∆>）．设 11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则21221231k x x k +=+，2122126.31k x x k -=+ ． 因为点P 关于x 轴的对称点为P '，则11(,)P x y '-． 所以，直线P Q '的方程可以设为211121()y y y y x x x x ++=--，令0y =，2111211211212x y x y x y x y x x y y y y -+=+=++211212(2)(2)(4)kx x kx x k x x -+-=+-12121222()(4)x x x x x x -+=+-2222221261222313112(4)31k k k k k k --++=-+ 3=． 所以直线P Q '过x 轴上定点(3,0)． ……………………14分（19）（共13分）解：（Ⅰ）因为 椭圆M 过点(0,1)A -，所以 1b =.………………1分 因为 222 c e a b c a ===+， 所以 2a =.所以 椭圆M 的方程为22 1.4x y += ………………3分（Ⅱ）方法一： 依题意得0k ≠.因为 椭圆M 上存在点,B C 关于直线1y kx =-对称，所以 直线BC 与直线1y kx =-垂直，且线段BC 的中点在直线1y kx =-上. 设直线BC 的方程为11221,(,),(,)y x t B x y C x y k=-+. 由221,44y x t k x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩得 22222(4)8440k x ktx k t k +-+-=. ………………5分由2222222222644(4)(44)16(4)0k t k k t k k k t k ∆=-+-=-+>，得22240k t k --<.（*） 因为 12284ktx x k +=+， ………………7分 所以 BC 的中点坐标为2224(,)44kt k tk k ++.又线段BC 的中点在直线1y kx =-上，所以 2224144k t ktk k k =-++.所以 22314k t k =+. ………………9分代入（*），得2k <-或2k >. 所以{|S k k k =<>或. ………………11分 因为 22143k t k =+，所以 对于k S ∀∈，线段BC 中点的纵坐标恒为13，即线段BC 的中点总在直线13y =上. ………………13分方法二：因为 点(0,1)A -在直线1y kx =-上，且,B C 关于直线1y kx =-对称， 所以 AB AC =，且0k ≠.设1122(,),(,)B x y C x y （12y y ≠），BC 的中点为000(,)(0)x y x ≠.则22221122(1)(1)x y x y ++=++. ………………6分又,B C 在椭圆M 上，所以 2222112244,44x y x y =-=-.所以 2222112244(1)44(1)y y y y -++=-++. 化简，得 2212123()2()y y y y -=-.所以 120123y y y +==. ………………9分 又因为 BC 的中点在直线1y kx =-上， 所以 001y kx =-. 所以 043x k=. 由221,413x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可得3x =±所以403k <<，或403k <<，即k <，或k >. 所以{|}22S k k k =<->,或. ………………12分 所以 对于k S ∀∈，线段BC 中点的纵坐标恒为13，即线段BC 的中点总在直线13y =上. ………………13分19．（本小题共14分）（Ⅰ）由题意知, 2b =…………………1分由2e =a = …………………3分 椭圆方程为22148x y +=． …………………4分 （Ⅱ）若存在满足条件的点N ，坐标为（t ，0），其中t 为常数. 由题意直线PQ 的斜率不为0，直线PQ 的方程可设为：1x my =+,()m R ∈ …………………5分 设1122(,),(,)P x y Q x y ,联立221,148x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得：22(12)460m y my ++-=, …………………7分221624(12)0m m ∆=++>恒成立，所以12122246,1212m y +y =y y =m m --++ ……8分 由PNM QNM ∠=∠知：+0PN QN k k = …………………9分1212,PN QN y yk k x t x t==--， 即12120y y x t x t +=--，即121211y y my t my t=-+-+-， …………………10分 展开整理得12122(1)()0my y t y y +-+=， 即222(6)4(1)0,1212m m t m m ---+=++ …………………12分即(4)0m t -=，又m 不恒为0，=4t ∴.故满足条件的点N 存在，坐标为(40),……14分（Ⅰ）解：设22b a c -=，由题意，得21=a c ， 所以 2a c =，b =. …………………2分则椭圆方程为 2222143x y c c+=， 又点)23,1(P 在椭圆上， 所以2213144c c+=，解得21c =， 故椭圆方程为 22143x y +=. ………………… 5分 （Ⅱ）解：由题意，直线l 的斜率存在，右焦点(1,0)F ， ………………… 6分 设直线l 的方程为(1)y k x =-，与椭圆的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， …… 7分由 22(1),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得 2222(34)84120k x k x k +-+-=. ………………… 8分由题意，可知0>∆，则有 2221438kk x x +=+，212241234k x x k -=+， …… 9分 所以直线PA 的斜率11321PAy k x -=-，直线PB 的斜率22321PB y k x -=-， …… 10分 所以PA PB t k k k =⨯⨯1212332211y y k x x --=⨯⨯-- 12121233[(1)][(1)]22()1k x k x k x x x x --⨯--=⨯-++2121212121239[()1](2)24()1k x x x x k x x k x x x x -++-+-+=⨯-++122121239(2)24[]()1k x x k k x x x x -+-+=+⨯-++ 233()44k k k k =--⨯=--. ………………… 12分 即 22339()4864t k k k =--=-++， 所以当38k =-时，ABP ∆三条边所在直线的斜率的乘积t 有最大值964. …14分。
2015海淀一模数学文(带答案)
海淀区高三年级第二学期期中练习数学（文）答案及评分参考 2015.4一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A （2）C （3）D （4）B（5）C （6）B （7）D （8）D二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。
有两空的小题，第一空2分，第二空3分）（9）1 （10）0 （11）12；-54（12）y x = （13）[0,1] （14）100110；4三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）因为 12(*)n n a a n +=∈N ,所以 21211123S a a a a a =+=+=. ………………1分 因为 2a 是2S 与1的等差中项,所以 2221a S =+, 即112231a a ⨯=+.所以 11a =. ………………3分所以 {}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列.所以 11122n n n a --=⨯=. ………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得：111()2n n a -=. 所以 111a =, 1111(*)2n nn a a +=⋅∈N . 所以 1{}na 是以1为首项, 12为公比的等比数列. ………………9分 所以 数列1{}n a 的前n 项和11122(1)1212n n n T -==--. ………………11分 因为 102n >， 所以 12(1)22n n T =-<. 若2b <，当22log ()2n b >-时，n T b >. 所以 若对*n ∀∈N ,n T λ<恒成立，则2λ≥.所以 实数λ的最小值为2. ………………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）0.015a =； ………………2分………………6分（Ⅱ）2212s s <. ………………9分（Ⅲ）乙种酸奶平均日销售量为：50.20150.10250.30350.15450.2526.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（箱）. ………………11分乙种酸奶未来一个月的销售总量为：26.530795⨯=（箱）. ………………13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）方法一：因为 2sin sin sin ,A B C =且C c B b A a sin sin sin ==， 所以 2a bc =. ………………2分又因为 ,cos 2222A bc c b a -+= π3A ∠=， ………………4分 所以 22222122a b c bc b c bc =+-⨯=+-. 所以 2()0b c -=. 所以 b c =. ………………6分因为 π3A ∠=， 所以 ABC ∆为等边三角形.所以 π3B ∠=. ………………7分 方法二： 因为 πA B C ++=， 所以 sin sin()C A B =+. ………………1分因为 2sin sin sin B C A =，π3A ∠=， 所以 2ππsin sin()sin 33B B +=.所以 13sin sin )24B B B +=. ………………3分所以 11cos 2324224B B -+⨯=.所以 12cos 212B B -=. 所以 πsin(2)16B -=. ………………5分 因为 (0,π)B ∈， 所以 ππ112(,π)666B -∈-. 所以 ππ262B -=，即π3B ∠=. ………………7分 （Ⅱ）因为 2sin sin sin ,A BC =1bc =，且C c B b A a sin sin sin ==， 所以 21a bc ==. 所以 222221cos 22b c a b c A bc +-+-== ………………9分 21122bc -≥=（当且仅当1==c b 时，等号成立）. ………………11分 因为 (0,π)A ∈，所以 π(0,]3A ∈.所以 sin (0,2A ∈.所以 11sin sin 22ABC S bc A A ∆==≤. 所以 当ABC ∆是边长为1的等边三角形时，其面积取得最大值43. ………………13分（18）（共14分）证明：（Ⅰ）因为 四边形11ABE F 为矩形，所以1BE AB ⊥.因为 平面ABCD ⊥平面11ABE F ，且平面ABCD 平面11ABE F AB =，1BE ⊂平面11ABE F ，所以 1BE ⊥平面ABCD . ………………3分 因为 DC ⊂平面ABCD ，所以 1BE DC ⊥. ………………5分 （Ⅱ）证明：因为 四边形11ABE F 为矩形，所以 1//AM BE .因为 //AD BC ，AD AM A =，1BC BE B =，所以 平面//ADM 平面1BCE . ………………7分 因为 DM ⊂平面ADM ，所以 //DM 平面1BCE . ………………9分 （Ⅲ）直线CD 与1ME 相交，理由如下： ………………10分 取BC 的中点P ，1CE 的中点Q ，连接AP ，PQ ，QM .所以 1//PQ BE ，且112PQ BE =. 在矩形11ABE F 中，M 为1AF 的中点，所以 1//AM BE ，且112AM BE =.所以 //PQ AM ，且PQ AM =.所以 四边形APQM 为平行四边形.所以 //MQ AP ，MQ AP =. ………………12分 因为 四边形ABCD 为梯形， P 为BC 的中点，2BC AD =，所以 //AD PC ，AD PC =.所以 四边形ADCP 为平行四边形.所以 //CD AP ，且CD AP =.所以//CD MQ 且CD MQ =.所以 CDMQ 是平行四边形.所以 //DM CQ ，即//DM 1CE .因为 DM ≠1CE ，所以 四边形1DME C 是以DM ，1CE 为底边的梯形.所以 直线CD 与1ME 相交. ………………14分（19）（共13分）解：（Ⅰ）因为 椭圆M 过点(0,1)A -，所以 1b =. ………………1分 因为222 c e a b c a ===+， 所以 2a =.所以 椭圆M 的方程为22 1.4x y += ………………3分 （Ⅱ）方法一：依题意得0k ≠.因为 椭圆M 上存在点,B C 关于直线1y kx =-对称，所以 直线BC 与直线1y kx =-垂直，且线段BC 的中点在直线1y kx =-上.设直线BC 的方程为11221,(,),(,)y x t B x y C x y k=-+. 由221,44y x t k x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩得 22222(4)8440k x ktx k t k +-+-=. ………………5分 由2222222222644(4)(44)16(4)0k t k k t k k k t k ∆=-+-=-+>，得22240k t k --<.（*）因为 12284kt x x k +=+， ………………7分 所以 BC 的中点坐标为2224(,)44kt k t k k ++. 又线段BC 的中点在直线1y kx =-上，所以 2224144k t kt k k k =-++. 所以 22314k t k =+. ………………9分代入（*），得2k <-或2k >.所以 {|}22S k k k =<->或. ………………11分 因为 22143k t k =+， 所以 对于k S ∀∈，线段BC 中点的纵坐标恒为13，即线段BC 的中点总在直线13y =上. ………………13分 方法二：因为 点(0,1)A -在直线1y kx =-上，且,B C 关于直线1y kx =-对称，所以 AB AC =，且0k ≠.设1122(,),(,)B x y C x y （12y y ≠），BC 的中点为000(,)(0)x y x ≠.则22221122(1)(1)x y x y ++=++. ………………6分 又,B C 在椭圆M 上，所以 2222112244,44x y x y =-=-.所以 2222112244(1)44(1)y y y y -++=-++.化简，得 2212123()2()y y y y -=-.所以 120123y y y +==. ………………9分 又因为 BC 的中点在直线1y kx =-上，所以 001y kx =-.所以 043x k=.由221,413x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可得3x =±所以4033k <<，或4033k -<<，即2k <-，或2k >. 所以{|S k k k =<>或. ………………12分 所以 对于k S ∀∈，线段BC 中点的纵坐标恒为13，即线段BC 的中点总在直线13y =上. ………………13分（20）（共14分）解：（Ⅰ）2211'()(0)a ax f x x x x x-=-=>. ………………1分 当0a <时，'()0f x <，则函数()f x 的单调递减区间是(0,)+∞. ………………2分当0a >时，令'()0f x =，得1x a =. 当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下：所以 ()f x 的单调递减区间是1(0,)a ，单调递增区间是(,)a+∞. ………………4分 （Ⅱ）因为 存在两条直线1y ax b =+，212()y ax b b b =+≠都是曲线()y f x =的切线，所以 '()f x a =至少有两个不等的正实根. ………………5分 令21ax a x-=得210ax ax -+=，记其两个实根分别为12,x x . 则 21240,10.a a x x a ⎧∆=->⎪⎨=>⎪⎩解得4a >. ………………7分 当4a >时，曲线()y f x =在点1122(,()),(,())x f x x f x 处的切线分别为11()y ax f x ax =+-，22()y ax f x ax =+-. 令()()(0)F x f x ax x =->.由'()'()0F x f x a =-=得12,x x x x ==（不妨设12x x <），且当12x x x <<时，'()0F x >，即()F x 在12[,]x x 上是单调函数. 所以 12()()F x F x ≠.所以 11()y ax f x ax =+-，22()y ax f x ax =+-是曲线()y f x =的两条不同的切线.所以 实数a 的取值范围为(4,)+∞. ………………9分 （Ⅲ）当0a <时，函数()f x 是(0,)+∞内的减函数.因为 1111111(e)ln(e )1e 10e e a a a a a f a ----=+=-+=-<， 而1e (0,1)a -∉，不符合题意. ………………11分当0a >时，由（Ⅰ）知：()f x 的最小值是()1()ln 1ln f a a a a a a =-+=⋅-. （ⅰ）若1()0f a >，即0e a <<时，{|()0}(0,1)x f x ≤=∅⊆，所以，0e a <<符合题意. （ⅱ）若1()0f a =，即e a =时，1{|()0}{}(0,1)e x f x ≤=⊆.所以，e a =符合题意. （ⅲ）若1()0f a <，即e a >时，有101a<<. 因为 (1)10f =>，函数()f x 在1(,)a+∞内是增函数，所以 当1x ≥时，()0f x >.又因为 函数()f x 的定义域为(0,)+∞，所以 {}()0(0,1)x f x ≤⊆.所以 e a >符合题意.综上所述，实数a 的取值范围为{|0}a a >. ……………… 14分。
北京市海淀区2015届高三下学期期末练习(文)数学试题及答案
海淀区高三年级第二学期期末练习数学（文）答案及评分参考一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）B （2）D （3）A （4）C （5）D （6）C （7）B （8）C 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。
有两空的小题，第一空2分，第二空3分） （9）24y x =- （10）1 （11）12π- （12）,2.4αβπ⎧=⎪⎪⎨π⎪=-⎪⎩ （13）3-，327e y -=-（14）假，由①②③可知只使用一种网络浏览器的人数是212+374=586，这与④矛盾三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：（Ⅰ）πππ113()4sincos 4663222f =-=⨯-=. ………………4分 （Ⅱ）因为 ()4sin cos 2f x x x =-24sin (12sin )x x =-- ………………6分22sin 4sin 1x x =+-22(sin 1)3x =+-. ………………8分因为 1sin 1x -≤≤，所以 当sin 1x =-，即2,2x k k π=π-∈Z 时，()f x 取得最小值3-. ………………13分（16）（共13分）解.(Ⅰ) 20名女生掷实心球得分如下：5，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10．所以中位数为8，众数为9． …………4分 (Ⅱ) 由题意可知，掷距离低于7.0米的男生的得分如下：4，4，4，6，6，6.这6名男生分别记为123123,,,,,A A A B B B .从这6名男生中随机抽取2名男生，所有可能的结果有15种，它们是：121311121323212223(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A A A A A B A B A B A A A B A B A B ，313233121323(,),(,),(,),(,),(,),(,)A B A B A B B B B B B B . ……………6分用C 表示“抽取的2名男生得分均为4分”这一事件，则C 中的结果有3个，它们是：121323(,),(,),(,)A A A A A A . ………………8分所以，所求得概率31()155P C ==. ………………9分 (Ⅲ)略. ……………13分 评分建议：从平均数、方差、极差、中位数、众数等角度对整个年级学生掷实心球项目的情况进行合理的说明即可；也可以对整个年级男、女生该项目情况进行对比；或根据目前情况对学生今后在该项目的训练提出合理建议. （17）（共14分）（Ⅰ）解：四棱准P ABCD -的正视图如图所示.………………3分（Ⅱ）证明：因为 PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以 PD AD ⊥. ………………5分 因为 AD DC ⊥，PDCD D =，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AD ⊥平面PCD . ………………7分 因为 AD ⊂平面PAD ，所以 平面PAD ⊥平面PCD . ………………8分（Ⅲ）分别延长,CD BA 交于点O ，连接PO ，在棱PB 上取一点E ，使得12PE EB =.下证//AE 平面PCD . ……………10分因为 //AD BC ，3BC AD =， 所以13OA AD OB BC ==，即12OA AB =. 所以OA PEAB EB=. 所以 //AE OP . ………………12分 因为OP ⊂平面PCD ，AE ⊄平面PCD ， 所以 //AE 平面PCD . ………………14分（18）（共13分）解：（Ⅰ）因为数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，所以 1222n n n a -=⨯=. ……………2分所以 222log 2log 22nn n b a n ===. ……………3分 所以 2(22)24+22n n n S n n n +=++==+. ………………6分 （Ⅱ）令2(1)22n n n nn S n n n n c a ++===.则11111(1)(2)(1)(1)(2)222n n n n n n n n n S S n n n n n n c c a a +++++++++--=-=-=. …………9分 所以 当1n =时，12c c <； 当2n =时，32c c =；当3n ≥时，10n n c c +-<，即345c c c >>>.所以 数列{}n c 中最大项为2c 和3c .所以 存在2k =或3，使得对任意的正整数n ，都有k nk nS S a a ≥. ………………13分 （19）（共13分） 解：（Ⅰ）'()1,0.a a x f x x x x-=-=> ………………2分 当0a <时，对(0,)x ∀∈+∞，'()0f x <，所以 ()f x 的单调递减区间为(0,)+∞；………………4分当0a >时，令'()0f x =，得x a =.因为 (0,)x a ∈时，'()0f x >；(,)x a ∈+∞时，'()0f x <.所以 ()f x 的单调递增区间为(0,)a ，单调递减区间为(,)a +∞. ………………6分 （Ⅱ）用max min (),()f x f x 分别表示函数()f x 在[1,e]上的最大值，最小值. 当1a ≤，且0a ≠时，由（Ⅰ）知：在[1,e]上，()f x 是减函数. 所以 max ()(1)1f x f ==.因为 对任意的1[1,e]x ∈，2[1,e]x ∈， 12()()2(1)24f x f x f +≤=<，所以对任意的1[1,e]x ∈，不存在2[1,e]x ∈，使得12()()4f x f x +=. ………………8分 当1e a <<时，由（Ⅰ）知：在[1,]a 上，()f x 是增函数，在[,e]a 上，()f x 是减函数. 所以 max ()()ln 2f x f a a a a ==-+. 因为 对11x =，2[1,e]x ∀∈，2(1)()(1)()1ln 2(ln 1)33f f x f f a a a a a a +≤+=+-+=-+<，所以 对11[1,e]x =∈，不存在2[1,e]x ∈，使得12()()4f x f x +=. ……………10分 当e a ≥时，令()4()([1,e])g x f x x =-∈.由（Ⅰ）知：在[1,e]上，()f x 是增函数，进而知()g x 是减函数. 所以 min ()(1)1f x f ==,max ()(e)e 2f x f a ==-+，max ()(1)4(1)g x g f ==-，min ()(e)4(e)g x g f ==-.因为 对任意的1[1,e]x ∈，总存在2[1,e]x ∈，使得12()()4f x f x +=，即12()()f x g x =， 所以 (1)(e),(e)(1),f g f g ≥⎧⎨≤⎩即(1)(e)4,(e)(1) 4.f f f f +≥⎧⎨+≤⎩所以 (1)(e)e 34f f a +=-+=，解得e 1a =+. ……………13分 综上所述，实数a 的值为e 1+.（20）（共14分）（Ⅰ）解：点10M （,）是椭圆C 的“1分点”，理由如下： ……………1分当直线l 的方程为1x =时，由2114y +=可得(1,),(1,22A B .（不妨假设点A 在x 轴的上方） 所以1=12AOB S ∆⨯，1=22AOD S ∆⨯所以AOB AOD S S ∆∆=，即点10M （,）是椭圆C 的“1分点”. ……………4分（Ⅱ）证明：假设点M 为椭圆C 的“2分点”，则存在过点M 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，使得2AOB AOD S S ∆∆=.显然直线l 不与y 轴垂直，设:1l x my =+，1122(,),(,)A x y B x y .由221,41x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得 22(4)230m y my ++-=.所以 12224m y y m -+=+， ① 12234y y m -=+. ② ……………6分 因为 2AOB AOD S S ∆∆=， 所以12111(||||)22||22y y y +=⋅⋅，即21||3||y y =. ……………8分 由②可知120y y <，所以213y y =-. ③ 将③代入①中得 124my m =+, ④ 将③代入②中得21214y m =+, ⑤将④代入⑤中得 2214m m =+，无解. 所以 点10M （,）不是椭圆C 的“2分点”. ………………10分（Ⅲ）0x 的取值范围为(2,1)(1,2)--. ……………14分。
北京市高三一模考试数学文试题真题(word版含答案)
北京市海淀区高三一模数学（文科）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|13A x x =<<，集合{}2|4B x x =>，则集合A B 等于（ ） A ．{}|23x x << B ．{}|1x x > C ．{}|12x x << D ．{}|2x x >2.圆心为(0,1)且与直线2y =相切的圆的方程为（ ）A ．22(1)1x y -+=B ．22(1)1x y ++=C ．22(1)1x y +-=D ．22(1)1x y ++= 3.执行如图所示的程序框图，输出的x 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14.若实数a ，b 满足0a >，0b >，则“a b >”是“ln ln a a b b +>+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长棱的长度为（ ）ABC． D ．36.在ABC ∆上，点D 满足2AD AB AC =-，则（ ）A ．点D 不在直线BC 上B ．点D 在BC 的延长线上 C ．点D 在线段BC 上 D ．点D 在CB 的延长线上7.若函数cos ,,()1,x x a f x x a x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩的值域为[]1,1-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,)+∞ B ．(,1]-∞- C ．(0,1] D ．(1,0)-8.如图，在公路MN 两侧分别有1A ，2A ，…，7A 七个工厂，各工厂与公路MN （图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路MN 上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”．则下面结论中正确的是（ ）①车站的位置设在C 点好于B 点；②车站的位置设在B 点与C 点之间公路上任何一点效果一样；③车站位置的设置与各段小公路的长度无关．A ．①B ．②C ．①③D ．②③第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.已知复数(1)2z a i =+-为纯虚数，则实数a = ．10.已知等比数列{}n a 中，245a a a =，48a =，则公比q = ，其前4项和4S = ．11.若抛物线22y px =的准线经过双曲线2213y x -=的左焦点，则实数p = ． 12.若x ，y 满足240,20,1,x y x y x +-=⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则y x 的最大值是 ． 13.已知函数()sin f x x ω=（0ω>），若函数()y f x a =+（0a >）的部分图象如图所示，则ω= ，a 的最小值是 ．14.阅读下列材料，回答后面问题：在2014年12月30日13CCTV 播出的“新闻直播间”节目中，主持人说：“……加入此次亚航失联航班8501QZ 被证实失事的话，2014年航空事故死亡人数将达到1320人．尽管如此，航空安全专家还是提醒：飞机仍是相对安全的交通工具．①世界卫生组织去年公布的数据显示，每年大约有124万人死于车祸，而即使在航空事故死亡人数最多的一年，也就是1972年，其死亡数字也仅为3346人；②截至2014年9月，每百万架次中有2.1次（指飞机失事），乘坐汽车的百万人中其死亡人数在100人左右．”对上述航空专家给出的①、②两段表述（划线部分），你认为不能够支持“飞机仍是相对安全的交通工具”的所有表述序号为 ，你的理由是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知等差数列{}n a 满足126a a +=，2310a a +=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}1n n a a ++的前n 项和.16.某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地有a ，b 两种“共享单车”（以下简称a 型车，b 型车）.某学习小组7名同学调查了该地区共享单车的使用情况．（Ⅰ）某日该学习小组进行一次市场体验，其中4人租到a 型车，3人租到b 型车．如果从组内随机抽取2人，求抽取的2人中至少有一人在市场体验过程中租到a 型车的概率；（Ⅱ）根据已公布的2016年该地区全年市场调查报告，小组同学发现3月，4月的用户租车情况城现如表使用规律．例如，第3个月租a 型车的用户中，在第4个月有60%的用户仍租a 型车．若认为2017年该地区租用单车情况与2016年大致相同．已知2017年3月该地区租用a ，b 两种车型的用户比例为1:1，根据表格提供的信息，估计2017年4月该地区租用两种车型的用户比例．17.在ABC ∆中，2A B =.（Ⅰ）求证：2cos a b B =；（Ⅱ）若2b =，4c =，求B 的值.18.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，E ，F 分别是PB ，PD 的中点.（Ⅰ）求证：//PB 平面FAC ；（Ⅱ）求三棱锥P EAD -的体积；（Ⅲ）求证：平面EAD ⊥平面FAC ．19.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为A ，B ，且||4AB =，离心率为12. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点(4,0)Q ，若点P 在直线4x =上，直线BP 与椭圆交于另一点M .判断是否存在点P ，使得四边形APQM 为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.20.已知函数2()x f x e x ax =-+，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与x 轴平行.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若()21x g x e x =--，求函数()g x 的最小值；（Ⅲ）求证：存在0c <，当x c >时，()0f x > ．高三年级第二学期期中练习数学（文科）答案一、选择题1-5:ACCCB 6-8:DAC二、填空题9.2 10.2,15 11.4 12.32 13.2，12π 14.选①，数据①虽是同类数据，但反映不出乘车出行和乘飞机出行的总人数的关系；选②，数据②两个数据不是同一类数据，这与每架次飞机的乘机人数有关；不选②，数据②两个数据虽表面不是同一类数据，但是可以做如下大致估算，考虑平均每架次飞机的乘机人数为x ，这样每百万人乘机死亡人数2.1人，要远远少于乘车每百万人中死亡人数．三、解答题15.解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，因为126a a +=，2310a a +=，所以314a a -=，所以24d =，2d =．又116a a d ++=，所以12a =，所以1(1)2n a a n d n =+-=．（Ⅱ）记1n n n b a a +=+，所以22(1)42n b n n n =++=+，又14(1)2424n n b b n n +-=++--=，所以{}n b 是首项为6，公差为4的等差数列，其前n 项和21()(642)2422n n n b b n n S n n +++===+． 16.解：（Ⅰ）依题意租到a 型车的4人为1A ，2A ，3A ，4A ；租到b 型车的3人为1B ，2B ，3B ； 设事件A 为“7人中抽到2人，至少有一人租到a 型车”， 则事件A 为“7人中抽到2人都租到b 型车”．如表格所示：从7人中抽出2人共有21种情况，事件A 发生共有3种情况，所以事件A 概率36()1()1217P A P A =-=-=．（Ⅱ）依题意，市场4月份租用a 型车的比例为50%60%50%50%55%+=，租用b 型车的比例为50%40%50%50%45%+=，所以市场4月租用a ，b 型车的用户比例为55%1145%9=． 17.解：（Ⅰ）因为2A B =， 所以由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin 2a a A B=， 得2sin cos sin a b B B B =，所以2cos a b B =． （Ⅱ）由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-，因为2b =，4c =，2A B =，所以216cos 41616cos 2B B =+-， 所以23cos 4B =， 因为2A B B B π+=+<，所以3B π<，所以cos B =，所以6B π=． 18.（Ⅰ）证明：连接BD ，与AC 交于点O ，连接OF ，在PBD ∆中，O ，F 分别是BD ，PD 的中点，所以//OF PB ，又因为OF ⊂平面FAC ，PB ⊄平面FAC ，所以//PB 平面FAC ．（Ⅱ）解：因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA 为棱锥P ABD -的高． 因为2PA AB ==，底面ABCD 是正方形， 所以13P ABD ABD V S PA -∆=⨯⨯114222323=⨯⨯⨯⨯=， 因为E 为PB 中点，所以PAE ABE S S ∆∆=， 所以1223P EAD P ABD V V --=⨯=． （Ⅲ）证明：因为AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以AD PB ⊥，在等腰直角PAB ∆中，AE PB ⊥，又AE AD A =，AE ⊂平面EAD ，AD ⊂平面EAD ，所以PB ⊥平面EAD ，又//OF PB ，所以OF ⊥平面EAD ，又OF ⊂平面FAC ，所以平面EAD ⊥平面FAC ．19.解：（Ⅰ）由||4AB =，得2a =. 又因为12c e a ==，所以1c =，所以2223b a c =-=， 所以椭圆C 的方程为22143x y +=． （Ⅱ）假设存在点P ，使得四边形APQM 为梯形.由题意知，显然AM ，PQ 不平行，所以//AP MQ ， 所以||||||||BQ BM AB BP =，所以||1||2BM BP =． 设点11(,)M x y ，(4,)P t ，过点M 作MH AB ⊥于H ，则有||||1||||2BH BM BQ BP ==， 所以||1BH =，所以(1,0)H ，所以11x =， 代入椭圆方程，求得132y =±， 所以(4,3)P ±．20.解：（Ⅰ）'()2x f x e x a =-+，由已知可得'(0)0f =，所以10a +=，得1a =-．（Ⅱ）'()2x g x e =-，令'()0g x =，得ln 2x =，所以x ，'()g x ，()g x 的变化情况如表所示：所以()g x 的最小值为ln 2(ln 2)2ln 2112ln 2g e =--=-．（Ⅲ）证明：显然()'()g x f x =，且(0)0g =，由（Ⅱ）知，()g x 在(,ln 2)-∞上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增． 又(ln 2)0g <，2(2)50g e =->，由零点存在性定理，存在唯一实数0(ln 2,)x ∈+∞，满足0()0g x =， 即00210x e x --=，0021x e x =+，综上，()'()g x f x =存在两个零点，分别为0，0x ．所以0x <时，()0g x >，即'()0f x >，()f x 在(,0)-∞上单调递增； 00x x <<时，()0g x <，即'()0f x <，()f x 在0(0,)x 上单调递减； 0x x >时，()0g x >，即'()0f x >，()f x 在0(,)x +∞上单调递增， 所以(0)f 是极大值，0()f x 是极小值，0222200000000015()211()24x f x e x x x x x x x x =--=+--=-++=--+， 因为(1)30g e =-<，323()402g e =->， 所以03(1,)2x ∈，所以0()0f x >，因此0x ≥时，()0f x >．因为(0)1f =且()f x 在(,0)-∞上单调递增，所以一定存在0c <满足()0f c >，所以存在0c <，当x c >时，()0f x >.。
2015海淀一模数学文(带答案)
海淀区高三年级第二学期期中练习数学（文）答案及评分参考 2015.4一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A （2）C （3）D （4）B（5）C （6）B （7）D （8）D二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。
有两空的小题，第一空2分，第二空3分）（9）1 （10）0 （11）12；-54（12）y x = （13）[0,1] （14）100110；4三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）因为 12(*)n n a a n +=∈N ,所以 21211123S a a a a a =+=+=. ………………1分 因为 2a 是2S 与1的等差中项,所以 2221a S =+, 即112231a a ⨯=+.所以 11a =. ………………3分所以 {}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列.所以 11122n n n a --=⨯=. ………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得：111()2n n a -=.所以 111a =, 1111(*)2n nn a a +=⋅∈N .所以 1{}na 是以1为首项, 12为公比的等比数列.………………9分 所以 数列1{}n a 的前n 项和11122(1)1212n n n T -==--.………………11分 因为 102n >，所以 12(1)22n n T =-<.若2b <，当22log ()2n b >-时，n T b >.所以 若对*n ∀∈N ,n T λ<恒成立，则2λ≥.所以 实数λ的最小值为2.………………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）0.015a =； ………………2分………………6分（Ⅱ）2212s s <. ………………9分（Ⅲ）乙种酸奶平均日销售量为：50.20150.10250.30350.15450.2526.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（箱）. ………………11分乙种酸奶未来一个月的销售总量为：26.530795⨯=（箱）. ………………13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）方法一：因为 2sin sin sin ,A B C =且Cc B b A a sin sin sin ==， 所以 2a bc =. ………………2分 又因为 ,cos 2222A bc cb a -+= π3A ∠=，………………4分 所以 22222122a b c bc b c bc =+-⨯=+-.所以 2()0b c -=.所以 b c =.………………6分 因为 π3A ∠=，所以 ABC ∆为等边三角形.所以 π3B ∠=.………………7分 方法二： 因为 πA B C ++=，所以 sin sin()C A B =+.………………1分因为 2sin sin sin B C A =，π3A ∠=，所以 2ππsin sin()sin 33B B +=.所以 13sin (sin )224B B B +=.………………3分所以 11cos 2324224BB -+⨯=.所以 12cos 212B B -=.所以 πsin(2)16B -=.………………5分 因为 (0,π)B ∈，所以 ππ112(,π)666B -∈-.所以 ππ262B -=，即π3B ∠=.………………7分（Ⅱ）因为 2sin sin sin ,A B C =1bc =，且C cB b A asin sin sin ==，所以 21a bc ==. 所以 222221cos 22b c a b c A bc +-+-== ………………9分 21122bc -≥=（当且仅当1==c b 时，等号成立）. ………………11分 因为 (0,π)A ∈，所以 π(0,]3A ∈.所以 sin (0,2A ∈.所以 11sin sin 22ABC S bc A A ∆==≤. 所以 当ABC ∆是边长为1的等边三角形时，其面积取得最大值43. ………………13分（18）（共14分）证明：（Ⅰ）因为 四边形11ABE F 为矩形，所以1BE AB ⊥.因为 平面ABCD ⊥平面11ABE F ，且平面ABCD 平面11ABE F AB =，1BE ⊂平面11ABE F ，所以 1BE ⊥平面ABCD . ………………3分 因为 DC ⊂平面ABCD ，所以 1BE DC ⊥. ………………5分 （Ⅱ）证明：因为 四边形11ABE F 为矩形，所以 1//AM BE .因为 //AD BC ，AD AM A =，1BC BE B =，所以 平面//ADM 平面1BCE . ………………7分 因为 DM ⊂平面ADM ，所以 //DM 平面1BCE . ………………9分 （Ⅲ）直线CD 与1ME 相交，理由如下： ………………10分取BC 的中点P ，1CE 的中点Q ，连接AP ，PQ ，QM . 所以 1//PQ BE ，且112PQ BE =.在矩形11ABE F 中，M 为1AF 的中点，所以 1//AM BE ，且112AM BE =.所以 //PQ AM ，且PQ AM =.所以 四边形APQM 为平行四边形. 所以 //MQ AP ，MQ AP =. ………………12分因为 四边形ABCD 为梯形， P 为BC 的中点，2BC AD =， 所以 //AD PC ，AD PC =.所以 四边形ADCP 为平行四边形.所以 //CD AP ，且CD AP =.所以//CD MQ 且CD MQ =.所以 CDMQ 是平行四边形.所以 //DM CQ ，即//DM 1CE .因为 DM ≠1CE ，所以 四边形1DME C 是以DM ，1CE 为底边的梯形.所以 直线CD 与1ME 相交.………………14分（19）（共13分）解：（Ⅰ）因为 椭圆M 过点(0,1)A -，所以 1b =.………………1分因为 222 2ce a b c a ===+，所以 2a =.所以 椭圆M 的方程为22 1.4x y +=………………3分（Ⅱ）方法一：依题意得0k ≠.因为 椭圆M 上存在点,B C 关于直线1y kx =-对称，所以 直线BC 与直线1y kx =-垂直，且线段BC 的中点在直线1y kx =-上.设直线BC 的方程为11221,(,),(,)y x t B x y C x y k =-+. 由221,44y x t k x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩得 22222(4)8440k x ktx k t k +-+-=.………………5分 由2222222222644(4)(44)16(4)0k t k k t k k k t k ∆=-+-=-+>，得22240k t k --<.（*）因为 12284ktx x k +=+，………………7分 所以 BC 的中点坐标为2224(,)44kt k tk k ++.又线段BC 的中点在直线1y kx =-上，所以 2224144k t ktk k k =-++.所以 22314k tk =+.………………9分代入（*），得2k <-或2k >.所以 {|S k k k =<>或. ………………11分 因为 22143k t k =+， 所以 对于k S ∀∈，线段BC 中点的纵坐标恒为13，即线段BC 的中点总在直线13y =上. ………………13分 方法二：因为 点(0,1)A -在直线1y kx =-上，且,B C 关于直线1y kx =-对称，所以 AB AC =，且0k ≠.设1122(,),(,)B x y C x y （12y y ≠），BC 的中点为000(,)(0)x y x ≠.则22221122(1)(1)x y x y ++=++. ………………6分 又,B C 在椭圆M 上，所以 2222112244,44x y x y =-=-.所以 2222112244(1)44(1)y y y y -++=-++.化简，得 2212123()2()y y y y -=-.所以 120123y y y +==. ………………9分 又因为 BC 的中点在直线1y kx =-上，所以 001y kx =-.所以 043x k=. 由221,413x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可得x =所以4033k <<，或4033k -<<，即2k <-，或2k >. 所以{|}22S k k k =<->或. ………………12分 所以 对于k S ∀∈，线段BC 中点的纵坐标恒为13，即线段BC 的中点总在直线13y =上. ………………13分（20）（共14分）解：（Ⅰ）2211'()(0)a ax f x x x x x-=-=>. ………………1分 当0a <时，'()0f x <，则函数()f x 的单调递减区间是(0,)+∞. ………………2分当0a >时，令'()0f x =，得1x a =. 当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下：所以 ()f x 的单调递减区间是1(0,)a ，单调递增区间是(,)a+∞. ………………4分 （Ⅱ）因为 存在两条直线1y ax b =+，212()y ax b b b =+≠都是曲线()y f x =的切线，所以 '()f x a =至少有两个不等的正实根. ………………5分 令21ax a x-=得210ax ax -+=，记其两个实根分别为12,x x . 则 21240,10.a a x x a ⎧∆=->⎪⎨=>⎪⎩解得4a >. ………………7分当4a >时，曲线()y f x =在点1122(,()),(,())x f x x f x 处的切线分别为11()y ax f x ax =+-，22()y ax f x ax =+-. 令()()(0)F x f x ax x =->.由'()'()0F x f x a =-=得12,x x x x ==（不妨设12x x <），且当12x x x <<时，'()0F x >，即()F x 在12[,]x x 上是单调函数. 所以 12()()F x F x ≠.所以 11()y ax f x ax =+-，22()y ax f x ax =+-是曲线()y f x =的两条不同的切线. 所以 实数a 的取值范围为(4,)+∞. ………………9分 （Ⅲ）当0a <时，函数()f x 是(0,)+∞内的减函数.因为 1111111(e)ln(e )1e 10e e a a a a a f a ----=+=-+=-<， 而1e (0,1)a -∉，不符合题意. ………………11分 当0a >时，由（Ⅰ）知：()f x 的最小值是()1()ln 1ln f a a a a a a =-+=⋅-. （ⅰ）若1()0f a >，即0e a <<时，{|()0}(0,1)x f x ≤=∅⊆，所以，0e a <<符合题意. （ⅱ）若1()0f a =，即e a =时，1{|()0}{}(0,1)ex f x ≤=⊆.所以，e a =符合题意. （ⅲ）若1()0f a <，即e a >时，有101a <<.因为 (1)10f =>，函数()f x 在1(,)a +∞内是增函数，所以 当1x ≥时，()0f x >.又因为 函数()f x 的定义域为(0,)+∞，所以 {}()0(0,1)x f x ≤⊆.所以 e a >符合题意.综上所述，实数a 的取值范围为{|0}a a >. ……………… 14分。
2015海淀区高三一模考试
2015海淀区高三一模考试第二部分：知识运用（共两节，45分）第一节单项填空（共15小题; 每小题1分，共15分）21. Mary has her weakness, ___________ that doesn’t mean she is not qualified for her job.A. andB. yetC. soD. or22. ________ Chai Jing said in her video about the smog has caused public concern.A. ThatB. WhichC. HowD. What23. When I was pushed onto the stage, I felt all the eyes in the hall _________ me.A. throughB. acrossC. intoD. on24. You ________ reach him on his mobile now --- his mobile is still under repair.A. shouldn’tB. wouldn’tC. can’tD. mustn’t25. The paper ox my grandmother _________ for me is my most valued birthday gift.A. cutB. will cutC. had cutD. cuts26. —It is said that John’s paper got an A.—He deserves it. He _________ a lot before he handed it in.A. preparedB. preparesC. had preparedD. has prepared27. ______ opinions on the schedule, we finally reached on agreement.A. Having exchangedB. ExchangingC. ExchangedD. To exchange28. The long lasting cold current has brought ________ winter in my memory to the east coast of the United States.A. the longerB. the longestC. a longerD. a long29. Mike will become the first person in his family ______ college education.A. finishedB. having finishedC. finishingD. to finish30. Prince William took a visit to the Forbidden City on Feb. 28, ______ emperors once lived.A. whichB. whoseC. whereD. when31. ______ she has earned her PhD, she wants to find a job with higher pay.A. As ifB. Now thatC. Even thoughD. In case32. —Has James arrived at the hotel?—No, he ______ by fans for photographs at the airport.A. has surroundedB. would surroundC. was surroundedD. is being surrounded33. ______ worries me that my daughter plays with her cellphone for a long time every day.A. ItB. WhatC. ThisD. That34. —What do you think of the Huawei P7?—Terrific, I would buy one if I ______ an iPhone 6 Plus last year.A. didn’t buyB. don’t buyC. hadn’t boughtD. haven’t bought35. Premier Li Keqiang delivered a speech at the conference, _________ university graduates to start their own business.A. encouragingB. to encourageC. having encouragedD. encouraged第二节完形填空（共20小题；每小题1.5分，共30分）阅读下面短文，掌握其大意，从每题所给的A、B、C、D四个选项中，选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。
2015年高三期末海淀文试卷
（Ｒ）求证： B1 C ⊥ AC1 ； （Ｓ）设点 E ， F ， H ， G 分别是 B1 C ， AA1 ， A1 B1 ， B1 C1 的中点，试判断 E ， F ， H ， G 四点是否共面，并说明理由． ＱＸＮ 已知椭圆 M Ｚ x2 Ｋ Ｒy 2 ］ Ｒ ． （Ｑ）求 M 的离心率及长轴长； （Ｒ）设过椭圆 M 的上顶点 A 的直线 l 与椭圆 M 的另一个交点为 B ，线段 AB 的垂直平分线交 椭圆 M 于 C ， D 两点． 问：是否存在直线 l 使得 C ， O ， D 三点共线（ O 为坐标原点） ？若 存在，求出所有满足条件的直线 l 的方程；若不存在，说明理由． ＱＹＮ 已知函数 f ＨxＩ ］ ･x ． x （Ｑ）若曲线 y ］ f ＨxＩ 在点 Ｈx0 , f Ｈx0 ＩＩ 处的切线方程为 ax − y ］ Ｐ ，求 x0 的值；
三、 解答题
ＱＵＮ 函数 f ＨxＩ ］ ｣ｯ示．
（Ｑ）写出 ϕ 及图中 x0 的值；
Ｔ Ｑ Ｑ （Ｒ）求 f ＨxＩ 在区间 − , Ｒ Ｓ
ï ò
上的最大值和最小值．
ＱＶＮ 某中学在高二年级开设大学选修课程《线性代数》 ，共有 ＵＰ 名同学选修，其中男同学 ＳＰ 名，女同 学 ＲＰ 名． 为了对这门课程的教学效果进行评估，学校按性别采用分层抽样的方法抽取 Ｕ 人进行考 核． （Ｑ）求抽取的 Ｕ 人中男、 女同学的人数； （Ｒ）考核前，评估小组打算从选出的 Ｕ 人中随机选出 Ｒ 名同学进行访谈，求选出的两名同学中恰 有一名女同学的概率； （Ｓ）考核分答辩和笔试两项． Ｕ 位同学的笔试成绩分别为 ＱＱＵ ， ＱＲＲ ， ＱＰＵ ， ＱＱＱ ， ＱＰＹ ；结 合答辩情况，他们的考核成绩分别为 ＱＲＵ ， ＱＳＲ ， ＱＱＵ ， ＱＲＱ ， ＱＱＹ ． 这 Ｕ 位同学笔试成绩与考
导数题目及答案 2015北京高考数学 各区一模试题汇编
1
基本的单调性与极最 值的讨论与研究问题
2015 朝阳一模文科 20 题 20．（本小题满分 13 分）
已知函数 f (x) (x a )ex ， a R ． x
（Ⅰ）当 a 0 时，求曲线 y f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程； （Ⅱ）当 a 1 时，求证： f (x) 在 (0, ) 上为增函数； （Ⅲ）若 f (x) 在区间 (0,1) 上有且只有一个极值点，求 a 的取值范围．
值.
4
2015 西城一模文科 20 题
20．（本小题满分 13 分）
设
n N* ，函数
f
(x)
ln x xn
，函数
g(x)
ex xn
，
x (0, ) .
（Ⅰ）判断函数 f (x) 在区间 (0, ) 上是否为单调函数，并说明理由；
（Ⅱ）若当 n 1时，对任意的 x1, x2 (0, ) ， 都有 f (x1)≤t≤g(x2 ) 成立，求实数 t 的
2015 北京高考数学 各区一模试题汇编 --导数--
目录
Always a new start
项目 及 名称 单调性与极最值的 函数讨论与研究问题 以单调性为依托的 零点存在与个数问题 以函数零点为依托的 量词不等式问题 根据函数形式及性质而构造新函数的 不等式证明问题 以上四类常规问题的
答案
页码 2 7 13 16 19
11
2015 海淀一模理科 18 题 18．（本小题满分 13 分）
已知函数 f (x) a ln x 1 (a 0) . x
（Ⅰ）求函数 f ( x) 的单调区间； （Ⅱ）若{x f (x) 0} [b, c] （其中 b c ），求 a 的取值范围，并说明[b, c] (0,1) .
2015北京市海淀区高三(一模)数 学(文)
2015北京市海淀区高三（一模）数学（文）一、选择题共8小题，毎小题5分，共40分．在毎小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x|x2=2}，B={1，，2}，则A∩B=（）A．{} B．{2} C．{﹣，1，，2} D．{﹣2，1，，2}2．（5分）抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为（）A．B．1 C．2 D．43．（5分）已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=e x，则f（﹣1）=（）A．B．﹣ C．e D．﹣e4．（5分）某单位计划在下月1日至7日举办人才交流会，某人随机选择其中的连续两天参加交流会，取么他在1日至3日期间连续两天参加交流会的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的i值为（）A．2 B．3 C．4 D．56．（5分）“sinα＞0”是“角α是第一象限的角”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．（5分）若x，y满足则下列不等式恒成立的是（）A．y≥1 B．x≥2 C．x+2y+2≥0 D．2x﹣y+1≥08．（5分）某三棱锥的正视图如图所示，则下列图①②③④，所有可能成为这个三棱锥的俯视图的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④二、填空题共6小题，毎小题5分，共30分．9．（5分）已知单位向量与向量=（1，﹣1）的夹角为，则|﹣|= ．10．（5分）若复数z=，且z∈R，则实数a= ．11．（5分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a3=﹣6，S1=S3，则公差d= ； S n的最大值为．12．（5分）对于⊙A：x2+y2﹣2x=0，以点（，）为中点的弦所在的直线方程是．13．（5分）设f（x）=对任意实数b，关于x的方程f（x）﹣b=0总有实数根，则a的取值范围是．14．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，用U的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如{2，4}；表示的是笫2个字符为1，第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000．①若M={2，3.6}，则∁U M表示的6位字符串为；②若A={1，3}，集合A∪B表示的字符串为101001，则满足条件的集合B的个数是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a n+1=2a n（n∈N*）且a2是S2与1的等差中项．（Ⅰ）求{a n}的通项公式：（Ⅱ）若数列{}的前n项和为T n，且对∀n∈N*，T n＜λ恒成立．求实数λ的最小值．16．（13分）某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分別随机抽取100个．整理得到数据分组及频率分布表和频率分布直方图：分组（日销售量）频率（甲种酸奶）[0，10] 0.10（10，20] 0.20（20，30] 0.30（30，40] 0.25（40，50] 0.15（Ⅰ）写出频率分布直方图1中的a的值；并作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图；（Ⅱ）记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为s，s，试比较s与s的大小；（只需写出结论）（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该该组区间的中点值代替，试估计乙种酸奶在未来一个月（按30天计箅）的销售量总量．17．（13分）已知在△ABC中，sin2A=sinBsinC．（1）若∠A=，求∠B的大小；（2）若bc=1，求△ABC的面积的最大值．18．（14分）如图1，在梯形狀ABCD中AD∥BC．AD⊥DC．BC=2AD，四边形ABEF是矩形，将矩形从ABEF沿AB折起到四边形ABE1F1的位置，使平面ABE1F1丄平面ABCD，M为AF1的中点，如图2．（Ⅰ）求证：BE1⊥DC；（Ⅱ）求证：DM∥平面BCE1；（Ⅲ）判断直线CD与ME1的位置关系，并说明理由．19．（13分）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）过点 A（0，﹣l），且离心率e=．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）若椭圆M上存在点B，C关于直线y=kx﹣1对称，求k的所有取值构成的集合S，并证明对于∀k∈S，BC的中点恒定在一条定直线上．20．（14分）已知函数f（x）=alnx+（a≠0）（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若存在两条直线y=ax+b1，y=ax+b2（b1≠b2）都是曲线y=f（x）的切线．求实数a的取值范围；（Ⅲ）若|x|f（x）≤0}⊆（0，1），求实数a的取值范围．数学试题答案一、选择题共8小题，毎小题5分，共40分．在毎小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】A={x|x2=2}={﹣，}，B={1，，2}，则A∩B={}，故选：A．2．【解答】抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为：P=2．故选：C．3．【解答】函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=e x，则f（﹣1）=﹣f（1）=﹣e．故选：D．4．【解答】某单位计划在下月1日至7日举办人才交流会，某人随机选择其中的连续两天参加交流会，所有的种数为（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），（5，6），（6，7），其中他在1日至3日期间连续两天参加交流会的种数有（1，2），（2，3），故他在1日至3日期间连续两天参加交流会的概率为=，故选：B．5．【解答】模拟执行程序框图，可得i=1，S=0不满足条件S＞1，i=2，S=lg2不满足条件S＞1，i=3，S=lg2+lg3=lg6不满足条件S＞1，i=4，S=lg6+lg4=lg24＞lg10=1满足条件S＞1，退出循环，输出i的值为4，故选：C6．【解答】若sinα＞0，则角α是第一象限的角或角α是第二象限的角，或α在y轴正半轴上，则“sinα＞0”是“角α是第一象限的角”的必要不充分条件，故选：B7．【解答】由约束条件作出可行域如图，由图可知，平面区域内的点不满足不等式y≥1，x≥2，x+2y+2≥0成立，只有选项D中的不等式2x﹣y+1≥0对平面区域内的点都成立．故选：D．8．【解答】第一个图是选项①的模型；第二个图是选项③的模型；第三个图是选项②④的模型，故选：D二、填空题共6小题，毎小题5分，共30分．9．【解答】由=（1，﹣1），得，又，，∴|﹣|===1．故答案为：1．10．【解答】∵复数z===1﹣ai，且z∈R，∴﹣a=0，解得a=0．故答案为：0．11．【解答】由a3=﹣6，S1=S3，得，解得：．∴=﹣6（n﹣2）2+24．∴当n=2时，S n有最大值为24．故答案为：﹣12，24．12．【解答】⊙A：x2+y2﹣2x=0的圆心为A（1，0），P（，），则k AP=﹣1，∴以点P（，）为中点的弦所在直线方程为y﹣=x﹣，即x﹣y=0．故答案为：x﹣y=0．13．【解答】若对任意实数b，关于x的方程f（x）﹣b=0总有实数根，即对任意实数b，函数f（x）的图象与直线y=b总有交点，即函数f（x）的值域为R，∵f（x）=，在同一坐标系中画出y=x与y=x2的图象，由图可得：当a∈[0，1]时，函数f（x）的值域为R，故a的取值范围是[0，1]，故答案为：[0，1]．14．【解答】①M表示的6位字符串是：011001，则∁U M表示的6位字符串为：100110；②若A={1，3}，集合A∪B表示的字符串为101001，∴集合B可能是{6}，{1，6}，{3，6}，{1，3，6}，故答案为：100110，4．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．【解答】（Ⅰ）∵a n+1=2a n（n∈N*），∴S2=a1+a2=a1+2a1=3a1，则4a1=3a1+1，a1=1．∴{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列．∴；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：，∴，，∴数列{}是以1为首项，以为公比的等比数列．∴数列{}的前n项和为T n=．∵，∴．∴对任意n∈N*，T n＜λ恒成立，则λ≥2．∴实数λ的最小值为2．16．【解答】（I）a=0.015（Ⅱ）S，（Ⅲ）乙种酸奶平均日销售量为：=5×0.20+15×0.10+25×0.35+35×0.15+45×0.25=26.5（箱）乙种酸奶未来一个月的销售量为：26.5×30=795（箱）17．【解答】（1）∵sin2A=sinBsinC．由正弦定理可得a2=bc，由余弦定理可得：cosA=，∴，化为（b﹣c）2=0，∴b=c．∴△ABC是等边三角形，∴．（2）∵bc=1，a2=bc，由余弦定理可得：cosA===，A∈（0，π）．∴，∴S△ABC==sinA=．∴△ABC的面积的最大值为．18．【解答】（Ⅰ）∵四边形ABE1F1为矩形，∴BE1⊥AB，∵平面ABCD⊥平面ABE1F1，且平面ABCD∩平面ABE1F1=AB，BE1⊂平面ABE1F1，∴BE1⊥平面ABCD．∵DC⊂平面ABCD，∴BE1⊥DC．（Ⅱ）∵四边形ABE1F1为矩形，∴AM∥BE1，∵AD∥BC，AD∩AM=A，BC∩BE1=B，∴平面ADM∥平面BCE1．（Ⅲ）直线CD与ME1相交，理由如下：取BC的中点P，CE1的中点Q，连结AP，PQ，QM，∴PQ∥BE1，且PQ=BE1，在矩形ABE1F1中，M为AF1的中点，∴AM∥BE1，且AM=BE1，∴PQ∥AM，且PQ=AM．∴四边形APQM为平行四边形．∴MQ∥AP，MQ=AP．∵四边形ABCD为梯形，P为BC的中点，BC=2AD，∴AD∥PC，AD=PC．∴四边形ADCP为平行四边形，∴CD∥AP，且CD=AP．∴CD∥MQ，且CD=MQ．∴CDMQ为平行四边形．∴DM∥CQ，即DM∥CE1．∵DM≠CE1，∴四边形DME1C是以DM，CE1为底边的梯形．∴直线CD与ME1相交．19．【解答】（Ⅰ）由已知e=，即c2=a2，b2=a2﹣c2=a2，+=1（a＞b＞0）过点 A（0，﹣l），∴a=2，b=1，∴a2=4，∴b2=1，∴椭圆C的方程为：．（Ⅱ）椭圆M上存在点B，C关于直线y=kx﹣1对称，设B（x1，y1），C（x2，y2），y1≠y2BC的中点（x0，y0），直线y=kx﹣1且k≠0，恒过（0，﹣1），|AB|=|AC|，则x12+（y1+1）2=x22+（y2+1）2，点B，C在椭圆上，∴x12=4﹣4y12，x22=4﹣4y22，∴4﹣4y12+（y1+1）2=4﹣4y22+（y2+1）2，化简可得：3y12﹣3y22=2（y1﹣y2）．∴y0=．又因为BC的中点在y=kx﹣1上，所以y0=kx0﹣1，x0=由，可得x=，∴，或，即k或，∴k的所有取值构成的集合S={k|k或}．所以对于∀k∈S，BC的中点恒定在一条定直线y=上．20．【解答】（Ⅰ）f′（x）=﹣=（x＞0），当a＜0时，f′（x）＜0，则函数f（x）的单调递减区间是（0，+∞），当a＞0时，令f′（x）=0，得x=，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下：x （0，）（，+∞）f′（x）﹣0 +f（x）↓极小值↑∴f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增；（Ⅱ）若存在两条直线y=ax+b1，y=ax+b2（b1≠b2）都是曲线y=f（x）的切线，∴f′（x）=a至少有两个不等的正实根，令=a得ax2﹣ax+1=0，记其两个实根分别为x1，x2，则，解得：a＞4，当a＞4时，曲线y=f（x）在点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））处的切线分别为：y=ax+f（x1）﹣ax1，y=ax+f（x2）﹣ax2，令F（x）=f（x）﹣ax（x＞0），由F′（x）=f′（x）﹣a=0得x=x1，x=x2（不防设x1＜x2），且当x1＜x＜x2时，F′（x）＞0，即F（x）在[x1，x2]上是单调函数，∴F（x1）≠F（x2）；∴y=ax+f（x1）﹣ax1，y=ax+f（x2）﹣ax2是曲线y=f（x）的两条不同的切线，∴实数a的范围是（4，+∞）；（Ⅲ）当a＜0时，函数f（x）是（0，+∞）内的减函数，∵f（）=aln（）+=﹣1+=﹣1＜0，而∉（0，1），不符合题意，当a＞0时，由（Ⅰ）知：f（x）的最小值是f（）=﹣alna+a=a（1﹣lna），①若f（）＞0，即0＜a＜e时，{x|f（x）≤0}=∅⊆（0，1），∴0＜a＜e符合题意，②若f（）=0，即a=e时，{x|f（x）≤0}={}⊆（0，1），∴a=e符合题意，③若f（）＜0，即a＞e时，有0＜＜1，∵f（1）=1＞0，函数f（x）在（，+∞）内是增函数，∴当x≥1时，f（x）＞0，又∵函数f（x）的定义域是（0，+∞），∴{x|f（x）≤0}⊆（0，1），∴a＞e符合题意，综上，实数a的范围是{a|a＞0}．。
数学_2015年北京市海淀区高考数学一模试卷(文科)(含答案)
2015年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科）一、选择题共8小题，毎小题5分，共40分．在毎小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合A ={x|x 2=2}，B ={1, √2, 2}，则A ∩B =( ) A {√2} B {2} C {−√2, 1, √2, 2} D {−2, 1, √2, 2}2. 抛物线x 2=4y 的焦点到准线的距离为（ ） A 12 B 1 C 2 D 43. 已知函数f(x)是奇函数，且当x >0时，f(x)=e x ，则f(−1)=( ) A 1e B −1e C e D −e4. 某单位计划在3月1日至7日举办经验交流会，某人随机选择其中的连续两天参加交流会，那么他在1日至3日期间连续两天参加交流会的概率为（ ） A 12B 13C 14D 165. 执行如图所示的程序框图，输出的i 值为（ ）A 2B 3C 4D 56. “sinα>0”是“角α是第一象限的角”的（ ）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件7. 若x ，y 满足{x +y ≥0x ≥1x −y ≥0则下列不等式恒成立的是（ ）A y ≥1B x ≥2C x +2y +2≥0D 2x −y +1≥08. 某三棱锥的正视图如图所示，则下列图①②③④，所有可能成为这个三棱锥的俯视图的是（ ）A ①②③B ①②④C ②③④D ①②③④二、填空题共6小题，毎小题5分，共30分．9. 已知单位向量a →与向量b →=(1, −1)的夹角为π4，则|a →−b →|=________．10. 若复数z =a+i i，且z ∈R ，则实数a =________．11. 已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 3=−6，S 1=S 3，则公差d =________； S n 的最大值为________．12. 对于⊙A:x 2+y 2−2x =0，以点(12, 12)为中点的弦所在的直线方程是________． 13. 设f(x)={x,x <ax 2,x ≥a 对任意实数b ，关于x 的方程f(x)−b ＝0总有实数根，则a 的取值范围是________．14. 设全集U ={1, 2, 3, 4, 5, 6}，用U 的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如{2, 4}； 表示的是笫2个字符为1，第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000．①若M ={2, 3.6}，则∁U M 表示的6位字符串为________；②若A ={1, 3}，集合A ∪B 表示的字符串为101001，则满足条件的集合B 的个数是________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n+1=2a n (n ∈N ∗)且a 2是S 2与1的等差中项． （1）求{a n }的通项公式：（2）若数列{1a n }的前n 项和为T n ，且对∀n ∈N ∗，T n <λ恒成立．求实数λ的最小值．16. 某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分別随机抽取100个．整理得到数据分组及频率分布表和频率分布直方图： (40, 50] 0.15(Ⅰ)写出频率分布直方图1中的a 的值；并作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图；(Ⅱ)记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为s 12，s 22，试比较s 12与s 22的大小；（只需写出结论）(Ⅲ)假设同一组中的每个数据可用该该组区间的中点值代替，试估计乙种酸奶在未来一个月（按30天计算）的销售量总量．17. 已知在△ABC中，sin2A=sinBsinC．(1)若∠A=π3，求∠B的大小；(2)若bc=1，求△ABC的面积的最大值．18. 如图1，在梯形狀ABCD中AD // BC．AD⊥DC．BC=2AD，四边形ABEF是矩形，将矩形从ABEF沿AB折起到四边形ABE1F1的位置，使平面ABE1F1丄平面ABCD，M为AF1的中点，如图2．（1）求证：BE1⊥DC；（2）求证：DM // 平面BCE1；（3）判断直线CD与ME1的位置关系，并说明理由．19. 已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(0, −l)，且离心率e=√32．（1）求椭圆M的方程；（2）若椭圆M上存在点B，C关于直线y=kx−1对称，求k的所有取值构成的集合S，并证明对于∀k∈S，BC的中点恒定在一条定直线上．20. 已知函数f(x)=alnx+1x(a≠0)（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若存在两条直线y=ax+b1，y=ax+b2(b1≠b2)都是曲线y=f(x)的切线．求实数a的取值范围；（3）若|x|f(x)≤0}⊆(0, 1)，求实数a的取值范围．2015年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科）答案1. A2. C3. D4. B5. C6. B7. D8. D9. √510. 011. −12,2412. x−y=013. [0, 1]14. 100110,415. 解：（1）∵ a n+1=2a n(n∈N∗)，∴ S2=a1+a2=a1+2a1=3a1，则4a1=3a1+1，a1=1．∴ {a n}是以1为首项，2为公比的等比数列．∴ a n=1×2n−1=2n−1；（2）由（1）可得：1a n =(12)n−1，∴ 1a1=1，1a n+1=12⋅1a n，∴ 数列{1a n }是以1为首项，以12为公比的等比数列．∴ 数列{1a n }的前n项和为T n=1−12n1−12=2(1−12n)．∵ 12n >0，∴ T n=2(1−12n)<2．∴ 对任意n∈N∗，T n<λ恒成立，则λ≥2．∴ 实数λ的最小值为2．16. (I)a＝0.015（2）S12<S22，(Ⅲ)乙种酸奶平均日销售量为：x¯=5×0.20+15×0.10+25×0.35+35×0.15+45×0.25＝26.5（箱）乙种酸奶未来一个月的销售量为：26.5×30＝795（箱）17. 解：(1)∵ sin2A=sinBsinC，由正弦定理可得a2=bc，由余弦定理可得：cosA=b 2+c2−a22bc，∴ 12=b2+c2−bc2bc，整理为(b−c)2=0，∴ b=c，∴ △ABC是等边三角形，∴ ∠B=π3．(2)∵ bc =1，a 2=bc ， 由余弦定理可得： cosA =b 2+c 2−a 22bc=b 2+c 2−12≥2bc−12=12，当且仅当b =c 时，等号成立， ∵ 0<A < π， ∴ 0<A ≤π3，∴ S △ABC =12bcsinA =12sinA ≤12sin π3=√34． ∴ △ABC 的面积的最大值为√34．18. 证明：（1）∵ 四边形ABE 1F 1为矩形，∴ BE 1⊥AB ，∵ 平面ABCD ⊥平面ABE 1F 1，且平面ABCD ∩平面ABE 1F 1=AB ，BE 1⊂平面ABE 1F 1， ∴ BE 1⊥平面ABCD ． ∵ DC ⊂平面ABCD ， ∴ BE 1⊥DC ．（2）∵ 四边形ABE 1F 1为矩形， ∴ AM // BE 1，∵ AD // BC ，AD ∩AM =A ，BC ∩BE 1=B ， ∴ 平面ADM // 平面BCE 1．（3）直线CD 与ME 1相交，理由如下：取BC 的中点P ，CE 1的中点Q ，连结AP ，PQ ，QM ， ∴ PQ // BE 1，且PQ =12BE 1，在矩形ABE 1F 1中，M 为AF 1的中点， ∴ AM // BE 1，且AM =12BE 1，∴ PQ // AM ，且PQ =AM ． ∴ 四边形APQM 为平行四边形． ∴ MQ // AP ，MQ =AP ．∵ 四边形ABCD 为梯形，P 为BC 的中点，BC =2AD ， ∴ AD // PC ，AD =PC ．∴ 四边形ADCP 为平行四边形， ∴ CD // AP ，且CD =AP ． ∴ CD // MQ ，且CD =MQ ． ∴ CDMQ 为平行四边形． ∴ DM // CQ ，即DM // CE 1．∵ DM ≠CE 1，∴ 四边形DME 1C 是以DM ，CE 1为底边的梯形． ∴ 直线CD 与ME 1相交． 19. 解：（1）由已知e =√32，即c 2=34a 2，b 2=a 2−c 2=14a 2，x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点 A(0, −l)，∴ a =2，b =1，∴ a 2=4，∴ b 2=1，∴ 椭圆C 的方程为：x 24+y 2=1．（2）椭圆M 上存在点B ，C 关于直线y =kx −1对称，设B(x 1, y 1)，C(x 2, y 2)，y 1≠y 2 BC 的中点(x 0, y 0)，直线y =kx −1且k ≠0，恒过(0, −1)，|AB|=|AC|，则x 12+(y 1+1)2=x 22+(y 2+1)2， 点B ，C 在椭圆上，∴ x 12=4−4y 12，x 22=4−4y 22，∴ 4−4y 12+(y 1+1)2=4−4y 22+(y 2+1)2，化简可得：3y 12−3y 22=2(y 1−y 2)．∴ y 0=y 1+y 22=13．又因为BC 的中点在y =kx −1上，所以y 0=kx 0−1，x 0=43k 由{x 24+y 2=1y =13，可得x =±4√23， ∴ 0<43k<4√23，或−4√23<43k<0，即k <−√22或k >√22， ∴ k 的所有取值构成的集合S ={k|k <−√22或k >√22}． 所以对于∀k ∈S ，BC 的中点恒定在一条定直线y =13上． 20. 解：（1）f′(x)=ax −1x 2=ax−1x 2(x >0)，当a <0时，f′(x)<0，则函数f(x)的单调递减区间是(0, +∞)， 当a >0时，令f′(x)=0，得x =1a ，当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：∴ f(x)在(0, 1a )单调递减，在(1a , +∞)单调递增；（2）若存在两条直线y =ax +b 1，y =ax +b 2(b 1≠b 2)都是曲线y =f(x)的切线， ∴ f′(x)=a 至少有两个不等的正实根， 令ax−1x 2=a 得ax 2−ax +1=0，记其两个实根分别为x 1，x 2，则{△=a 2−4a >0x 1⋅x 2=1a >0，解得：a >4，当a >4时，曲线y =f(x)在点（x 1, f(x 1)），（x 2, f(x 2)）处的切线分别为： y =ax +f(x 1)−ax 1，y =ax +f(x 2)−ax 2， 令F(x)=f(x)−ax(x >0)，由F′(x)=f′(x)−a =0得x =x 1，x =x 2（不防设x 1<x 2）， 且当x 1<x <x 2时，F′(x)>0，即F(x)在[x 1, x 2]上是单调函数， ∴ F(x 1)≠F(x 2)；∴ y=ax+f(x1)−ax1，y=ax+f(x2)−ax2是曲线y=f(x)的两条不同的切线，∴ 实数a的范围是(4, +∞)；（3）当a<0时，函数f(x)是(0, +∞)内的减函数，∵ f(e−1a)=aln(e−1a)+1e−1a=−1+1e−1a=e1a−1<0，而e−1a∉(0, 1)，不符合题意，当a>0时，由（1）知：f(x)的最小值是f(1a)=−alna+a=a(1−lna)，①若f(1a)>0，即0<a<e时，{x|f(x)≤0}=⌀⊆(0, 1)，∴ 0<a<e符合题意，②若f(1a )=0，即a=e时，{x|f(x)≤0}={1e}⊆(0, 1)，∴ a=e符合题意，③若f(1a )<0，即a>e时，有0<1a<1，∵ f(1)=1>0，函数f(x)在(1a, +∞)内是增函数，∴ 当x≥1时，f(x)>0，又∵ 函数f(x)的定义域是(0, +∞)，∴ {x|f(x)≤0}⊆(0, 1)，∴ a>e符合题意，综上，实数a的范围是{a|a>0}．。
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海淀区高三年级第二学期期中练习数学（文）答案及评分参考2015.4一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A （2）C （3）D （4）B （5）C （6）B （7）D （8）D 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。
有两空的小题，第一空2分，第二空3分） （9）1 （10）0 （11）12；-54 （12）y x = （13）[0,1] （14）100110；4 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）因为 12(*)n n a a n +=∈N ,所以 21211123S a a a a a =+=+=. ………………1分因为 2a 是2S 与1的等差中项, 所以 2221a S =+, 即112231a a ⨯=+.所以 11a =. ………………3分所以 {}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列.所以 11122n n n a --=⨯=. ………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：111()2n n a -=. 所以111a =, 1111(*)2n nn a a +=⋅∈N . 所以 1{}na 是以1为首项, 12为公比的等比数列. (9)分所以 数列1{}na 的前n 项和11122(1)1212n n n T -==--. ………………11分因为102n>， 所以 12(1)22n n T =-<. 若2b <，当22log ()2n b>-时，n T b >. 所以 若对*n ∀∈N ,n T λ<恒成立，则2λ≥.所以 实数λ的最小值为 2. ………………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）0.015a =； ………………2分 (6)分（Ⅱ）2212s s <. ………………9分（Ⅲ）乙种酸奶平均日销售量为：50.20150.10250.30350.15450.2526.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（箱）. (11)乙种酸奶未来一个月的销售总量为：26.530795⨯=（箱）. ………………13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）方法一：因为 2sin sin sin ,A B C =且CcB b A a sin sin sin ==， 所以 2a bc =. (2)分又因为 ,cos 2222A bc c b a -+= π3A ∠=， ………………4分所以 22222122a b c bc b c bc =+-⨯=+-. 所以 2()0b c -=.所以 b c =. (6)分因为 π3A ∠=， 所以 ABC ∆为等边三角形. 所以 π3B ∠=. ………………7分方法二： 因为 πA B C ++=，所以 sin sin()C A B =+. ………………1分因为 2sin sin sin B C A =，π3A ∠=， 所以 2ππsin sin()sin 33B B +=.所以 13sin sin )24B B B +=. (3)所以11cos 232224B B -+⨯=.所以12cos 212B B -=. 所以 πsin(2)16B -=. (5)分因为 (0,π)B ∈，所以 ππ112(,π)666B -∈-. 所以 ππ262B -=，即π3B ∠=. ………………7分（Ⅱ）因为 2sin sin sin ,A B C =1bc =，且CcB b A a sin sin sin ==， 所以 21a bc ==.所以 222221cos 22b c a b c A bc +-+-== (9)分21122bc -≥=（当且仅当1==c b 时，等号成立）. ………………11分因为 (0,π)A ∈，所以 π(0,]3A ∈.所以 sin A ∈.所以 11sin sin 224ABC S bc A A ∆==≤.所以 当ABC ∆是边长为1的等边三角形时，其面积取得最大值43. (13)分（18）（共14分）证明：（Ⅰ）因为 四边形11ABE F 为矩形， 所以1BE AB ⊥.因为 平面ABCD ⊥平面11ABE F ，且平面ABCD 平面11ABE FAB =， 1BE ⊂平面11ABE F ，所以 1BE ⊥平面ABCD . ………………3分因为 DC ⊂平面ABCD ，所以 1BE DC ⊥. ………………5分（Ⅱ）证明：因为 四边形11ABE F 为矩形， 所以 1//AM BE .因为 //AD BC ，AD AM A = ，1BC BE B = ，所以 平面//ADM 平面1BCE . ………………7分因为 DM ⊂平面ADM ，所以 //DM 平面1BCE . ………………9分（Ⅲ）直线CD 与1ME 相交，理由如下： ………………10分取BC 的中点P ，1CE 的中点Q ，连接AP ，PQ ，QM . 所以 1//PQ BE ，且112PQ BE =. 在矩形11ABE F 中，M 为1AF 的中点， 所以 1//AM BE ，且112AM BE =. 所以 //PQ AM ，且PQ AM =.所以 四边形APQM 为平行四边形. 所以 //MQ AP ，MQ AP =. ………………12分因为 四边形ABCD 为梯形， P 为BC 的中点，2BC AD =， 所以 //AD PC ，AD PC =. 所以 四边形ADCP 为平行四边形. 所以 //CD AP ，且CD AP =. 所以//CD MQ 且CD MQ =. 所以 CDMQ 是平行四边形. 所以 //DM CQ ，即//DM 1CE . 因为 DM ≠1CE ，所以 四边形1DME C 是以DM ，1CE 为底边的梯形.所以 直线CD 与1ME 相交. ………………14分（19）（共13分）解：（Ⅰ）因为 椭圆M 过点(0,1)A -，所以 1b =. (1)分 因为222 c e a b c a ===+， 所以 2a =.所以 椭圆M 的方程为22 1.4x y += (3)分（Ⅱ）方法一： 依题意得0k ≠.因为 椭圆M 上存在点,B C 关于直线1y kx =-对称，所以 直线BC 与直线1y kx =-垂直，且线段BC 的中点在直线1y kx =-上. 设直线BC 的方程为11221,(,),(,)y x t B x y C x y k=-+. 由221,44y x t k x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩得 22222(4)8440k x ktx k t k +-+-=. (5)分由2222222222644(4)(44)16(4)0k t k k t k k k t k ∆=-+-=-+>， 得22240k t k --<.（*） 因为 12284ktx x k +=+， ………………7分所以 BC 的中点坐标为2224(,)44kt k tk k ++.又线段BC 的中点在直线1y kx =-上，所以 2224144k t ktk k k =-++.所以 22314k t k =+. (9)分代入（*），得2k <-或2k >.所以{|}22S k k k =<->,或. ………………11分因为 22143k t k =+，所以 对于k S ∀∈，线段BC 中点的纵坐标恒为13，即线段BC 的中点总在直线13y =上. (13)分方法二：因为 点(0,1)A -在直线1y kx =-上，且,B C 关于直线1y kx =-对称， 所以 AB AC =，且0k ≠.设1122(,),(,)B x y C x y （12y y ≠），BC 的中点为000(,)(0)x y x ≠.则22221122(1)(1)x y x y ++=++. ………………6分又,B C 在椭圆M 上，所以 2222112244,44x y x y =-=-.所以 2222112244(1)44(1)y y y y -++=-++. 化简，得 2212123()2()y y y y -=-.所以 120123y y y +==. ………………9分又因为 BC 的中点在直线1y kx =-上， 所以 001y kx =-. 所以 043x k=. 由221,413x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可得3x =±所以 403k <<，或403k <<，即k <，或k >.所以 {|}22S k k k =<->或. ………………12分所以 对于k S ∀∈，线段BC 中点的纵坐标恒为13，即线段BC 的中点总在直线13y =上. ………………13分（20）（共14分） 解：（Ⅰ）2211'()(0)a ax f x x x x x-=-=>. ………………1分当0a <时，'()0f x <，则函数()f x 的单调递减区间是(0,)+∞. ………………2分当0a >时，令'()0f x =，得1x a=. 当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下：所以 ()f x 的单调递减区间是(0,)a ，单调递增区间是(,)a+∞. (4)分（Ⅱ）因为 存在两条直线1y ax b =+，212()y ax b b b =+≠都是曲线()y f x =的切线，所以 '()f x a =至少有两个不等的正实根. ………………5分 令21ax a x-=得210ax ax -+=，记其两个实根分别为12,x x . 则 21240,10.a a x x a ⎧∆=->⎪⎨=>⎪⎩解得4a >. ………………7分当4a >时，曲线()y f x =在点1122(,()),(,())x f x x f x处的切线分别为11()y ax f x ax =+-，22()y ax f x ax =+-.令()()(0)F x f x ax x =->.由'()'()0F x f x a =-=得12,x x x x ==（不妨设12x x <），且当12x x x <<时，'()0F x >，即()F x 在12[,]x x 上是单调函数.所以 12()()F x F x ≠.所以 11()y ax f x ax =+-，22()y ax f x ax =+-是曲线()y f x =的两条不同的切线. 所以 实数a 的取值范围为(4,)+∞. ………………9分（Ⅲ）当0a <时，函数()f x 是(0,)+∞内的减函数.因为 1111111(e)ln(e )1e 10eeaaaaaf a ----=+=-+=-<，而1e(0,1)a-∉，不符合题意. (11)分当0a >时，由（Ⅰ）知：()f x 的最小值是()1()ln 1ln f a a a a a a=-+=⋅-. （ⅰ）若1()0f a >，即0e a <<时，{|()0}(0,1)x f x ≤=∅⊆，所以，0e a <<符合题意.（ⅱ）若1()0f a=，即e a =时，1{|()0}{}(0,1)ex f x ≤=⊆.所以，e a =符合题意.（ⅲ）若1()0f a <，即e a >时，有101a<<. 因为 (1)10f =>，函数()f x 在1(,)a+∞内是增函数， 所以 当1x ≥时，()0f x >.又因为 函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 所以 {}()0(0,1)x f x ≤⊆.所以 e a >符合题意.综上所述，实数a 的取值范围为{|0}a a >. ……………… 14分。