辽宁省高中数学人教新课标A版必修2第三章直线与方程3.1.1倾斜角与斜率

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人教A版高中数学必修二3.1.1《直线的倾斜角与斜率》课件 (共30张PPT)

如图，当α为钝角是， 180 , 且x1 x2 , y1 y2 tan tan( 180 )

Q( x2 , y1 )
P 1 ( x1 , y1 )
o
x2
x1

x
y2 y1 y2 y1 k tan x1 x2 x2 x1
零度角
2、直线倾斜角的范围：
思考？直线的倾斜角范围是多少？
0o
答：直线的倾斜角的取值范围为： 0 a 180
规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它 o 0 的倾斜角为 .
3.确定直线的要素
如图，直线 l 与直线 l 有什么共同点？这两条直线是一样的吗？也就是说一点不能确定一条直线
3
3
1
点拨：已知直线过一点及斜率，可用斜率公式得出过该直线任一点横坐标与纵坐标的关系，找出满足条件的任意一点，画出直线。
A1
A2
x
l2
l4 A4
四、小结：
1、这节课你收获了什么内容？
2.你学到了什么数学思想？
巩固与测试
1.下列叙述中不正确的是（） A.若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应 B.每一条直线都唯一对应一个倾斜角 C.与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0度或90度 D.若直线的倾斜角为，则直线的斜率为tan 2.经过A(2，0),B(5，3)两点的直线的倾斜角是（） o A.45o B. 135 C. 90o D. 60o 3.过点P(-2，m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为（） A.1 B.4 C.1或3 D.1或4 4.直线经过二、三、四象限，l 的倾斜角为，斜率为k,则为 k的取值范围是_______ 角，

高一数学人教A版必修2 第三章 3.1.1、2直线的倾斜角与斜率、两条直线平行与垂直的判定课件

(2)由斜率的定义 k＝tan α，得 α＝60°时， k＝tan 60°＝ 3，当 α＝135°时，k＝tan 135°＝－1，当 k＞0 时， 0°＜α＜90°；当 k＜0 时，90°＜α＜180°. 答案： (1)D (2) 3 －1 0°＜α＜90° 90°＜α＜180°
[归纳升华] 1．根据定义求直线的倾斜角的关键是根据题意画出草图，则直线向上的方向与 x 轴的正方向所成的角，即为直线的倾斜角． 2．直线的斜率 k 随倾斜角 α 增大时的变化情况： ①当 0°≤α＜90°时，随 α 的增大，k 在[0，＋∞)范围内增大； ②当 90°＜α＜180°时，随 α 的增大，k 在(－∞，0)范围内增大.
[特别提醒] 在[0°，180°)范围内的一些特殊角的正切值要熟记．
倾斜角 α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150°
斜率 k
0
3 3
1
3
－ 3 －1
－
3 3
3．过点 P(0，－2)的直线 l 与以 A(1,1)、B(－2,3)为端点的线段有公共点，
则直线 l 的斜率 k 的取值范围是( )
D．60°或 120°
(2)直线 l 的倾斜角为 α，斜率为 k，则当 k＝________时，α＝60°；当 k＝
________时，α＝135°；当 k＞0 时，α 的范围是____________；当 k＜0 时，α
的范围是________．
解析： (1)如图，直线 l 有两种情况，故 l 的倾斜角为 60°或 120°，故选 D.
[归纳升华] 求过两点的直线的斜率及倾斜角的方法 (1)已知两点坐标求直线的斜率时，首先应检验其横坐标是否相等，若相等，其斜率不存在；若不相等，可用公式来求． (2)α＝0°⇔k＝0；0°<α<90°⇔k>0；90°<α<180°⇔k<0；α＝90°⇔斜率不存在；若求 α 的具体值，可用公式 k＝tan α 求解.

新人教A版必修2高中数学第三章直线与方程3.1.1倾斜角与斜率

3．斜率公式
直线经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率 k＝yx22－－yx11(其中 x1≠x2)．
1．判一判．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意一条直线都有倾斜角．( ) (2)任意一条直线都有斜率．( ) (3)经过两点的直线的斜率公式适用于任何直线．( ) 【答案】(1)√ (2)× (3)×
8
求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角． (2) 两点注意： ① 当直线与 x 轴平行或重合时，倾斜角为 0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°；②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.
1．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为( )
2．直线的斜率
定义
倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的_正__切__值___叫做这条直线的斜率，记为k，即k＝__t_a_n_α___.
取值范围
当α＝0°时，____k＝__0__；当0°<α<90°时，__k_<_0__ ；当90°<α<180°时，_不__存__在___；当α＝90°时，斜率____k_>_0__.
A．α B．180°－α C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α 【答案】D
【解析】如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α. 故选D.
直线的斜率公式
【例2】在△ABC中，已知A(1，－1)，B(1,1)，C(3，－ 1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角或直角.

人教版高中数学必修二第3章 3.1 3.1.1 倾斜角与斜率

3.1直线的倾斜角与斜率3.1.1倾斜角与斜率学习目标核心素养1.理解直线的斜率和倾斜角的概念．2．理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性．3．了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．1. 通过倾斜角概念的学习，提升直观想象的数学素养．2. 通过斜率的学习，培养逻辑推理和数学运算的数学素养.1．倾斜角的相关概念(1)两个前提：①直线l与x轴相交；②一个标准：取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角；③范围：0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.(2)作用：①表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度；②确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可．思考：下图中标的倾斜角α对不对？[提示]都不对．2．斜率的概念及斜率公式(1)定义：倾斜角α(α≠90°)的正切值．(2)记法：k＝tan α．(3)斜率与倾斜角的对应关系．图示倾斜角(范围) α＝0°0°＜α＜90°α＝90°90°＜α＜180°斜率(范围)0 (0，＋∞) 不存在(－∞，0)(4)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式：k＝y2－y1 x2－x1．思考：所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？[提示]不是．若直线没斜率，则其倾斜角为90°.1．如图所示，直线l与y轴的夹角为45°，则l的倾斜角为()A．45°B．135°C．0°D．无法计算B[根据倾斜角的定义知，l的倾斜角为135°.]2．已知一条直线过点(3，－2)与点(－1，－2)，则这条直线的倾斜角是() A．0°B．45°C．60°D．90°A[∵k＝04＝0，∴θ＝0°.]3．已知经过两点(5，m)和(m，8)的直线的斜率等于1，则m的值是()A．5 B．8C．132D．7C[由斜率公式可得8－mm－5＝1，解之得m＝132.]4．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为()A．33B． 3 C．1 D．22A[由题意可知，k＝tan 30°＝3 3.]直线的倾斜角时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾角为α－135°D[根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.]求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)两点注意：①当直线与x 轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x 轴垂直时，倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.1．一条直线l 与x 轴相交，其向上的方向与y 轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为( )A ．αB ．180°－αC ．180°－α或90°－αD ．90°＋α或90°－αD [如图，当l 向上方向的部分在y 轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l 向上方向的部分在y 轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.]直线的斜率AB 则点B 的坐标为( )A ．(2，0)或(0，－4)B ．(2，0)或(0，－8)C ．(2，0)D ．(0，－8)(2)已知直线l 经过点A (1，2)，且不经过第四象限，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．(－1，0]B ．[0，1]C ．[1，2]D ．[0，2](1)B (2)D [(1)设B (x ，0)或(0，y )，∵k AB ＝43－x 或k AB ＝4－y 3，∴43－x ＝4或4－y3＝4，∴x ＝2，y ＝－8，∴点B 的坐标为(2，0)或(0，－8)．(2)由图可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l 的斜率满足0≤k ≤2.故选D.]解决斜率问题的方法(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决．(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)求解．(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解．2．(1)已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y＝________．(2)过点P(－2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，则m的值为________．(1)－5(2)1[(1)直线AB的斜率k＝tan 135°＝－1，又k＝－3－y2－4，由－3－y2－4＝－1，得y＝－5.(2)由题意得4－mm＋2＝1，∴m＝1.]直线倾斜角与斜率的综合1．斜率公式k＝y2－y1x2－x1中，分子与分母的顺序是否可以互换？y1与y2，x1与x2的顺序呢？[提示]斜率公式中分子与分母的顺序不可以互换，但y1与y2和x1与x2可以同时互换顺序，即斜率公式也可写为k＝y1－y2x1－x2. 2．斜率的正负与倾斜角范围有什么联系？[提示]当k＝tan α＜0时，倾斜角α是钝角；当k＝tan α＞0时，倾斜角α是锐角；当k ＝tan α＝0时，倾斜角α是0°.【例3】已知两点A (－3，4)，B (3，2)，过点P (1，0)的直线l 与线段AB 有公共点．(1)求直线l 的斜率k 的取值范围； (2)求直线l 的倾斜角α的取值范围．思路探究：作图――――――――――→直线与线段有公共点倾斜角介于直线PB 与P A 的倾斜角之间―――→求斜率求斜率范围及倾斜角范围 [解] 如图所示，由题意可知k P A ＝4－0－3－1＝－1，k PB ＝2－03－1＝1.(1)要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1或k ≥1.(2)由题意可知，直线l 的倾斜角介于直线PB 与P A 的倾斜角之间，又PB 的倾斜角是45°，P A 的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.将本例变为：已知A (3，3)，B (－4，2)，C (0，－2)．若点D 在线段BC 上(包括端点)移动，求直线AD 的斜率的变化范围．[解] 如图所示．当点D 由B 运动到C 时，直线AD 的斜率由k AB 增大到k AC ，又k AB ＝3－23－（－4）＝17，k AC ＝3－（－2）3－0＝53，所以直线AD 的斜率的变化范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，53.1．求直线斜率的取值范围时，通常先结合图形找出倾斜角的范围，再得到斜率的范围．2．利用斜率可解决点共线问题，点A，B，C共线⇔k AB＝k AC或k AB与k AC 都不存在．3.y2－y1x2－x1的几何意义是直线的斜率，用之可通过几何方法解决函数的值域问题．直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：直线情况平行于x轴垂直于x轴α的大小0°0°＜α＜90°90°90°＜α＜180°k的范围0 k＞0 不存在k＜0k的增减情况k随α的增大而增大k随α的增大而增大1．对于下列命题：①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；②若k是直线的斜率，则k∈R；③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3D．4C[由倾斜角和斜率概念可知①②③正确．]2．已知直线AB与直线AC有相同的斜率，且A(1，0)，B(2，a)，C(a，1)，则实数a的值是________．1±52 [依题意：k AB ＝k AC ，即a －02－1＝1－0a －1，解得a ＝1±52.]3．经过A (m ，3)，B (1，2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________．(其中m ≥1)(0°，90°] [当m ＝1时，倾斜角α＝90°，当m >1时，tan α＝3－2m －1>0，∴0°<α<90°，故0°<α≤90°.]4．已知交于M (8，6)点的四条直线l 1，l 2，l 3，l 4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知l 2过点N (5，3)，求这四条直线的倾斜角．[解] l 2的斜率为6－38－5＝1，∴l 2的倾斜角为45°，由题意可得：l 1的倾斜角为22.5°，l 3的倾斜角为67.5°，l 4的倾斜角为90°.。

人教A版高中数学必修2《三章直线与方程 3.1直线的倾斜角与斜率 3.1直线的倾斜角与斜率》优质课教案_1

注重数形结合的思想：数形结合，使概念更直观、易懂，能够更好的理解直线的倾斜角的概念，从而引入描述直线倾斜程度的概念——直线的倾斜角；体会直观想象这一核心素养。
倾斜角是从“形”的角度刻画了直线的倾斜程度，但是如何具体刻画直线的倾斜程度呢？这就需要一个能够“量化”的量来刻画。思考2：在日常生活中，有没有其他表示倾斜程度的量？
例2在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2，-3的直线，，及。
例1的作用是已知给定直线上两点坐标求直线斜率，在练习过程中自主发现直线上两点的坐标与直线的斜率之间的关系，以及斜率和倾斜角的关系。体现数学运算和逻辑推理核心素养。
目的是加强数形结合。通过分析，得到为了方便的画出直线，还需要在确定一个点。从而说明用坐标法表示斜率公式的必要性。体会逻辑推理喝几何直观想象。
板书课题: 3.1.1倾斜角和斜率
通过一些列问题，自然生成寻找确定直线的几何要素的想法。由熟知的两点确定一条直线，去掉一个点后，提出问题：“过一点能确定一条直线吗?”通过与学生共同画图，借助于PPT的展示，直观的看出，过一点可以作出无数条直线，一点不能确定一条直线。那么，紧接引导学生思考“这些直线的区别在哪？什么地方不同？”，学生通过图片很自然地看出直线的倾斜程度不同，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的必要性和形成过程。逐步渗透数学抽象这一核心素养。在几何画板上的操作直观的感受到倾斜程度不同。
既然斜率是直线倾斜程度的一个很好的代数表示？为什么还要引入过两点直线的斜率的公式呢？这是因为倾斜角的正切值表示斜率有其局限性：对有非特殊倾斜角的直线，正切值很难算出，有必要用其他更好的方法来计算斜率，自然而然引入过两点的直线的斜率公式。
重难点分析
重点：探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过

高中数学人教A版必修2第三章3.1.1《直线的倾斜角和斜率》教案

课题 2.1.1倾斜角与斜率授课年级高二课型新授课授课时间主备人授课教师教学目标1.初步了解解析几何的产生及其意义，初步认识坐标法思想2.掌握直线的倾斜角与斜率的概念3.掌握过两点的直线的斜率公式教学重难点重点：直线的倾斜角与斜率的概念，过两点的直线斜率公式难点：用直线的倾斜角和斜率刻画直线的几何特征教学方法自主探究、合作交流教学过程环节设计学生活动引导语：十六、十七世纪，为了描述现实世界中的运动变化现象，如行星的运动、平面抛体的运动等，需要对它们的运动轨迹进行精确的代数刻画，运动变化进入了数学，变量观念成为数学中的重要理念。

在众多数学家工作的基础上，法国数学家笛卡尔、费马集其大成，创立了坐标系，用坐标刻画运动变化。

这是解析几何的创始。

新课导入：我们知道，点是构成直线的基本元素，在平面直角坐标系中，可以用坐标表示点，本节我们首先在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素。

引入课题学生阅读材料了解解析几何的创始问题1过一点能确定一条直线吗？这些直线有何不同？新课讲解：一、倾斜角1. 直线的倾斜角当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角练习：下列四图中，表示直线的倾斜角的是( )2. 直线倾斜角的范围当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度，因此，直线的倾斜角的取值范围为：学生动手画直线学生口答定义并找出其中的关键词学生口答巩固倾斜角的概念学生自助探究y x olαay xoAyxoaBayxoC yx aoD按倾斜角去分类，直线可分几类？问题2请在平面直角坐标系中，作出倾斜角为 45度的直线，并对比你与其他同学所作的图像，你发现了什么？若增加条件过点(0,0),你能作多少条直线？3.确定平面直角坐标系中一条直线的几何要素：直线上的一个定点直线的倾斜角问：日常生活中有没有表示倾斜程度的量？坡度（比）二、直线的斜率直线倾斜角的正切值，常用小写字母k 表示，即： αtan =k注意：倾斜角为90度的直线的斜率不存在．探究：借助几何画板，分析直线的倾斜角与斜率的关系。

高中数学第三章-直线与方程(31 第1课时)-直线的倾斜角与斜率教案新课标人教A版必修2 教案

课题： 3.1 直线的倾斜角与斜率教学内容： 3.1.1 直线倾斜角与斜率教学目的：理解和掌握直线的倾斜角和斜率的定义. 掌握经过两点P 1(x 1,y 1)和P 2(x 2,y 2)的直线斜率公式. 教学重点：直线的倾斜角和斜率概念以及过两点的直线的斜率公式. 教学难点：直线的倾斜角和斜率概念以及过两点的直线的斜率公式. 教学过程：一、课前复习本章首先在平面直角坐标系中,介绍直线的倾斜角、斜率等概念;然后建立直线的方程:点斜式、斜截式、两点式、截距式等;通过直线的方程,研究直线间的位置关系:平行和垂直,以及两条直线的交点坐标、点到直线的距离公式等.解析几何研究问题的主要方法是坐标法,它是解析几何中最基本的研究方法.坐标法的基本特点是,首先用代数语言(坐标及其方程)描述几何元素及其关系,将几何问题代数化;解决代数问题,得到结果;分析代数结果的几何含义,最终解决几何问题.本章自始至终贯穿数形结合的思想.在图形的研究过程中,注意代数方法的使用;在代数方法的使用过程中,加强与图形的联系.直线是最基本、最简单的几何图形，能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础. 教学中一定要注重由浅及深的学习规律，渗透常用的数学思想方法（数形结合、分类讨论、类比、推广、特殊化、化归等）,体现由特殊到一般的研究方法，化难为易、化抽象为具体.二、讲解新课（1）为什么学习解析几何？（2）解析几何的桥梁是坐标系，理论根据是曲线的方程与方程的曲线的概念。

在初中，我们已经学习过一次函数：一次函数b kx y +=，它的图象是一条直线.对于一给定函数b kx y +=，作出它的图象的方法：由于两点确定一条直线，所以在直线上任找两点即可.这两点就是满足函数式的两对y x ,值.因此，我们可以得到这样一个结论：一般地，一次函数b kx y +=的图象是一条直线：它是以满足b kx y +=的每一对y x ,的值为坐标的点构成的.由于函数式b kx y +=也可以看作二元一次方程.所以我们可以说，这个方程的解和直线上的点也存在这样的对应关系.直线的方程；方程的直线以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线王新敞指出：在平面直角坐标系中研究直线时，就是利用直线与方程的这种关系，建立直线的方程的概念，并通过方程来研究直线的有关问题.这就是解析几何的思想。

高中数学人教A版必修2数学必修二3.1.1《倾斜角与斜率》教案

优质资料---欢迎下载直线的倾斜角与斜率教案一、课题直线的倾斜角与斜率一、教学目标正确理解直线的倾斜角和斜率的概念，了解斜率公式的推导过程掌握过两点的直线的斜率公式；通过直线倾斜角的引入以及倾斜角和斜率关系的揭示，培养观察能力，数学语言的表达能力，数学交流能力和评价能力；通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，进一步理解数形结合的思想和辩证统一的观点。

二、重点难点本节重点是直线的倾斜角，斜率概念和计算公式；难点是直线倾斜角和斜率的关系。

三、教学方法讲授法四、教具三角板、幻灯片五、教学过程1.引入新课（出示幻灯片）我们小时候都一定玩过滑滑梯，会有这样的感受，当滑道和地面的夹角很大的时候，我们下滑得快一些，而当滑道和地面的夹角很小的时候滑得慢一些。

那时，我们说夹角大的更陡一些。

现在，我们已经学习过了直线，同时也学会了一种刻画平面上点的位置的工具——平面直角坐标系。

那么，如果我们把滑道所在的直线看做平面中的直线，把地平面所在直线看做x轴，则我们该如何用数学语言来刻画这个“陡”呢？2.探索新知问题1对于平面直角坐标系内的一条直线它的位置由哪些条件可以确定呢？一个点可以确定一条直线的位置吗?分析:对,两点可以确定一条直线,过一个点可以画出无数条直线,这些直线都与轴正向成一定的角度,我们把直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角,于是可以这样确定一条直线,过个定点,确定一个倾斜角便可以确定一条直线;这种方法与两点确定一条直线的方法是一致的.先固定个点,再确定另外一点相当于确定这条直线的方向,确定了方向也就等同于确定了该直线的倾斜角.注:平行于 x 轴或于x 轴重合的直线的倾斜角为0°问题2直线倾斜角的范围是多少?这样在平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角 ,倾斜角刻画了直线倾斜的程度,且倾斜程度相同的直线,其倾斜角相等, 倾斜程度不相同的直线,其倾斜角也不相等. 问题3(斜率的概念)日常生活中我们可以用一个比值表示倾斜程度的量:例如:坡度(比)= 升高量/前进量能否用一个比值刻画斜率呢？如果α 是一条直线的倾斜角,我们把倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率(slop)记作:tan k问题4(1)是不是所有的直线都有倾斜角?是（2）是不是直线都有斜率?倾斜角为90°时没有斜率, 因为90°的正切不存在.( 是锐角时为正,倾斜角是钝角时为负)反映了直线向右或向左倾斜的程度,特别是倾斜角是锐角时,斜率的值越大倾斜角也越大,倾斜角是钝角时也同样.探究：由两点确定的直线的斜率经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2（x 2，y 2）的直线的斜率公式：k ＝1212x x y y --（x 1≠x 2） (给出幻灯片）推导：设直线P 1P 2的倾斜角是α，斜率是k ，向量21P P 的方向是向上的(如上图所示).向量21P P 的坐标是(x 2－x 1，y 2－y 1).过原点作向量21P P OP =，则点P 的坐标是(x 2－x 1，y 2－y 1)，而且直线OP 的倾斜角也是α，根据正切函数的定义，tan α＝1212x x y y --（x 1≠x 2）即k ＝1212x x y y --（x 1≠x 2）同样，当向量12P P 的方向向上时也有同样的结论.3.例题和练习［例1］如图，直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1⊥l 2，求l 1、l 2的斜率.分析：对于直线l 1的斜率，可通过计算tan30°直接获得，而直线l 2的斜率则需要先求出倾斜角α2，而根据平面几何知识，α2＝α1＋90°，然后再求tan α2即可.解：l 1的斜率k 1＝tan α1＝tan30°＝33，∵l 2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，∴l 2的斜率k 2＝tan120°＝tan （1８0°－60°）＝－tan60°＝－3.评述：此题要求学生掌握已知直线的倾斜角求斜率，其中涉及到三角函数的诱导公式及特殊角正切值的确定.［例2］直线经过点A (sin70°，cos70°)，B （cos ４0°，sin ４0°），则直线l 的倾斜角为( )A.20°B.４0°C.50°或70°D.120° 参考公式：sin α－sin β＝2cos 2βα+sin 2βα-， cos α－cos β＝－2sin 2βα+ｓi ｎ2βα-. 分析：若想求出l 的倾斜角，则应先由斜率公式求出l 的斜率.思路较为明确，但关键在于运用斜率公式后三角函数的变形.考虑到这一点，题目给出两个参考公式，但仍对学生解题的灵活性有一定要求，其中，若想利用参考公式，需要对分子、分母进行函数名的统一、希望给予学生一定的启示.解：设l 的倾斜角为α，则tan α＝︒-︒︒-︒40cos 70sin 40sin 70cos 3)10sin(30sin 2)10sin(30cos 240cos 20cos 40sin 20sin -=︒-︒-︒-︒=︒-︒︒-︒=又 α∈［0，π］ ∴α＝120°故选D.接下来，我们通过练习来熟悉已知直线的倾斜角求斜率，并明确倾斜角变化时，斜率的变化情况.课堂练习1.已知直线的倾斜角，求直线的斜率：(1)α＝0°；（2）α＝60°(3)α＝90°；（４）α＝43π 分析：通过此题训练，意在使学生熟悉特殊角的斜率. 解：(1)∵tan0°＝0∴倾斜角为0°的直线斜率为0；(2)∵tan60°＝3∴倾斜角为60°的直线斜率为3；(3)∵tan90°不存在∴倾斜角为90°的直线斜率不存在；(4)∵tan 43π＝tan （π－4π）＝－tan 4π＝－1，∴倾斜角为43π的直线斜率为－1. 2.已知直线的倾斜角的取值范围，利用正切函数的性质，讨论直线斜率及其绝对值的变化情况：(1)0°＜α＜90°解：作出y ＝tan α在(0°，90°）区间内的函数图象；由图象观察可知：当α∈（0°，90°），y ＝tan α＞0，并且随着α的增大，y 不断增大，｜y ｜也不断增大.所以，当α∈（0°，90°）时，随着倾斜角α的不断增大，直线斜率不断增大，直线斜率的绝对值也不断增大.(2)90°＜α＜1８0°解：作出y ＝tan α在(90°，1８0°）区间内的函数图象，由图象观察可知：当α∈(90°，180°），y ＝tan α＜0，并且随着α的增大，y＝tan α不断增大，｜y ｜不断减小.所以当α∈（90°，1８0°)时，随着倾斜角α的不断增大，直线的斜率不断增大，但直线斜率的绝对值不断减小.［师］针对此题结论，虽然有当α∈（0°，90°），随着α增大直线斜率不断增大；当α∈（90°，1８0°），随着α增大直线斜率不断增大，但是当α∈（0°，90°）∪（90°，1８0°）时，随着α的增大直线斜率不断增大却是一错误结论.原因在于正切函数y ＝tan α在区间(0，90°）内为单调增函数，在区间(90°，1８0°）内也是单调增函数，但在(0°，90°）∪（90°，1８0°)区间内，却不具有单调性.六、课时小结通过本节学习，要求大家掌握已知直线的倾斜角求斜率，理解斜率公式的推导，为下一节斜率公式的应用打好基础.七、课后作业八、教学反思。

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《直线的倾斜角与斜率》教学设计一、内容及其解析《线的倾斜角与斜率》是人教版数学必修2第三章第一节的内容，是高中解析几何内容的开始。

本节内容是:直线在平面直角坐标系下的倾斜角和斜率。

其核心内容是:直线倾斜角的概念和斜率的求法。

理解它的关键是:在平面直角坐标系中,直线向上的方向与X轴正方向所成的角,和角的正切值。

之前学生已经学过一次函数的图像和平面中两点可以确定一条直线，这节内容就是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础。

通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。

直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用。

二、教学目标（一）知识与技能1、正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.2、斜率公式的推导过程，掌握过两点的斜率公式（二）过程与方法经历将直线的位置问题（几何问题）转化为倾斜角问题的过程，进而倾斜角的正切即斜率问题（代数问题）进行解决，不断体会“数形结合”思想。

（三）情感态度与价值观1、通过直线倾斜角概念的引入学习，直线的斜率的定义，以及直线的倾斜角与斜率关系，提高观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流和评价能力。

2、通过建立斜率概念和推导斜率公式，进一步理解数形结合思想，树立辩证统一观点，形成严谨的科学态度和求简的数学精神。

三、学情与重难点分析本次授课班级为重点班，相对来说，学生基础较好。

本节课中教师主要采用问答式与学生分组讨论的形式进行，再由教师协助学生归纳总结的授课方式。

教学重点：直线的倾斜角，斜率的概念与公式。

教学难点：斜率的计算方法教学关键：直线斜率的两种计算方法教学突破方法：结合图形，使学生理解直线倾斜角的概念，抓住直线的倾斜角与斜率的联系，引导学生掌握直线斜率的计算方法。

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《3.1.1直线的倾斜角和斜率》教学设计【教学目标】知识与技能：（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念；（2）会求过两点的直线的斜率；过程与方法：（1）经历倾斜角与斜率概念的形成过程,初步领悟数形结合的解析几何思想；（2）借助过两点的直线斜率公式的推导过程，进一步渗透分类讨论思想；情感态度价值观：通过情境贯串教学，让学生感知数学来源于生活，又应用于生活，从而激发学生的学习激情.通过数学概念的学习，体会到数学中的严谨治学的态度和数学结论中的美。

通过数学史的渗透，初步体会到数学文化的魅力【教学重点和难点】重点:直线的倾斜角和斜率的概念、过两点的直线斜率计算公式难点:（1）倾斜角和斜率之间的关系（2）过两点的直线斜率公式的推导过程关键点：借助问题情境的创设，设置学生活动；借助几何画板的演示，体验知识的形成过程.【教学方法】教法:情境教学法问题驱动法演示实验法学法: 观察讨论法自主探究法类比归纳法【教学用具】多媒体、几何画板【授课类型】新授【设计理念】本节课以一个情境贯串教学始终，层层深入，采用问题引领的探究式教学法，借助一个教学平台，贯串两条教学主线，再现三次教学情境，设置多次学生活动，根据“情境创设生活化，问题探究活动化，辨析质疑及时化，习题设置梯度化”的原则，让不同层次的学生都经历概念的形成、发展和应用过程，从而将本节课的教学步步推向高潮.【内容解析】本节课选自人教A版《数学》必修2第三章第一节《直线的倾斜角和斜率》.直线的倾斜角和斜率，分别从几何和代数的角度刻画了直线的倾斜程度，两者的联系桥梁是正切函数值，是解析几何的重要概念之一，也是研究直线方程及其位置关系等思维的起点.因此，本节起到“开启全章、承前启后”的作用.同时，本节课内容在平均变化率，导数的学习上起着至关重要的作用.【学情简析】本节课的授课对象是高一年级1720班.学生数学基础一般，已初步具备解析几何的基本思想.学生思维较活跃，善于交流，动手操作能力较强，但也有部分学困生，对高中数学的抽象性，符号化特点不太适应，对数学有畏难情绪。

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直线的倾斜角与斜率一、教学目标知识与技能：1、掌握确定一条直线的几何要素；2、理解直线的倾斜角和直线的斜率的概念；3、理解直线的倾斜角和直线的斜率的变化关系。

过程与方法：通过对直线的倾斜角和=斜率的学习，体验用代数方法刻画直线的斜率的过程。

情感、态度与价值观：培养学生对数学的理解能力和转化能力，使其进一步了解数形结合、分类讨论的数学思想。

二、教学重难点重点：理解直线的倾斜角和直线的斜率的概念；求直线的倾斜角与斜率；难点：直线的倾斜角和直线的斜率的变化关系及应用。

三、教具准备多媒体课件四、教学过程（一）情景引入：给定一次函数y=x+1,它的图像是什么？如何画出它的图像问题1：在平面直角坐标系中过一点P能确定几条直线？观察并思考这些直线有什么共同点和不同点呢？师生活动1：教师提问，学生动手画直角坐标系并过P作图观察并思考结论：如图，过点P在直角坐标系中可以作出无数条直线。

这些直线的主要的共同点是都过点P，不同点是这些直线与X轴的倾斜程度不同（二）探究新知1、直线的倾斜角定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.并且当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为00。

注：①x轴的正方向；②直线向上的方向。

思考：判断下列哪个是倾斜角？求直线的倾斜角：例1：知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为( ).变式训练：已知直线l1的倾斜角为15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°，则直线l2的倾斜角为( ).2.倾斜角的取值范围直线l的倾斜角分别为：锐角、直角、钝角、0角。

由直线倾斜角的定义可知：直线倾斜角的范围是0≤ ＜180。

思考：直线a∥b∥c，那么它们的倾斜角相等？相等若给定一个倾斜角，能确定一条直线的位置？并说明理由。

不能在平面直角坐标系中，一条直线对应唯一的一个倾斜角，倾斜程度相同的直线，倾斜角相等。

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课题：直线的倾斜角和斜率12课题：直线的倾斜角和斜率教学目标：1.理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率定义；2.理解直线的倾斜角的唯一性及直线的斜率的存在性.3、理解斜率公式的推导过程掌握过两点的直线斜率的计算公式；教学重点：理解直线的倾斜角斜率的概念，并能灵活应用；教学难点：直线的倾斜角和斜率关系图像的应用教学方法：启发引导、观察归纳法、数形结合，讲解法教学过程：将学生分成两组，以小组竞赛的方式进行一、复习引入：在同一直角坐标系中，画出下列直线设计意图：意在强调两点确定一条直线，过一点有无数条直线，这些直线倾斜程度不同引出直线倾斜角定义，直线找同学说，老师在黑板上画二、直线的倾斜角定义定义：（1）当直线与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线向上方向所成的角叫做直线的倾斜角定义直接给出，结合复习引入中的三条直线，总结倾斜角范围关键：①直线向上方向；②轴的正方向；③小于平角的正角．规定：当直线和x 轴平行或重合时,它的倾斜角为0°，倾斜角的取值范围是：然后采用层层深入设计问题，意在说明确定直线的要素，以抢答积分的形式l x x x l αl x 00180α≤<（1）y=x-1 (2) y=2x-2 (3) y=-x+13（1）已知直线上的一个点能确定一条直线的位置吗？（2）已知直线的倾斜角α能确定一条直线的位置吗？（3）直线上的一个点和这条直线的倾斜角可以确定一条直线吗？确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可三、斜率的定义：凭少时玩滑梯记忆，理解坡比意义，有图片加以说明引出斜率定义，即接近生活，又形象生动。

一条直线的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率，记为．例1、l 当直线的倾斜角为下列各角时，斜率分别为什么？(7)6π学生以强答形式，计分回答,教师板书.意在加强练习找学生回答，重在练习，若α=090时，斜率存在吗？完善定义，找出图像，用百岁山图片加强记忆一条直线的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率，记()．再由动图得出倾斜角和斜率的变化关系，强化记忆当α=00 时，k= 0; 当00＜α＜090时，k ＞0 ;αtan kα=α2π≠130（）245（）360（）4120（）5135（）6150（）(8)4π5(9)6π4当α=090 时，k 不存在当090＜α＜0180,k ＜0；例2、l 当直线的斜率分别下列各值，倾斜角会是什么？例3、若直线l 的斜率k满足：333≤≤-k 则 l 的倾斜角a 的范围是本题设计意图为已知斜率取值范围求倾斜角取值范围，充分利用函数图像，数形结合，观察出结果，从而解决问题，采用小组讨论比赛形式完成，讨论好板书结果，教师订正2、直线的斜率公式：我们知道两点确定一条直线，那么，对于给定两点P 1 （ x 1 ，y 1）， P 2 （ x 2 ，y 2），并且x 1 ≠x 2，如何计算直线P 1 P 2的斜率k ．分析证明过程要详细说明，按倾斜角是锐角，钝角，再按两点上下关系不同分别说明，证明过程教师引导，师生一起完成，增强合作意识1212xx yy k --=21k =（）3k =（）4k =（）51k =-（）63k =-（）13k =（）263[0,][,)πππ⋃π5思考：（1）已知直线上两点111(,)P x y 、),(222y x P ，运用上述公式计算直线的斜率时，与两点坐标的顺序有关吗？（2）当直线平行于轴时，或与轴重合时，上述公式还需要适用吗？为什么？（3）当直线与 x 轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？例4、如图，已知，求直线AB ，BC ，CA 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角？αy y ),2,3(A ),1,4(-B )1,0(-C6本题主要考察的是直线的倾斜角和斜率之间的关系，强化训练，学生回答教师板书，规范做题步骤四、课堂小结：1、直线的倾斜角定义及其范围：2、直线的斜率定义：K>0 时， α为锐角；K<0 时， α为钝角； K=0 时， α=0；K 不存在， α= 90° 3、斜率公式：课堂小结仍以学生抢答计分形式，让学生谈收获，体会，总结课堂内容，最后总结两组得分，并给与奖励，学生们记忆深刻，为学生学习数学的积极性的提高作出很大贡献。

人教A版高中数学必修2《三章直线与方程 3.1直线的倾斜角与斜率 3.1直线的倾斜角与斜率》优质课教案_3

直线的倾斜角与斜率的教学设计一、教学目标1.知识与技能：正确理解直线的倾斜角和斜率概念，并能应用过两点的直线的斜率公式解决简单问题。

2.过程与方法：通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角和斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学表达能力，数学交流与评价能力。

3.态度情感与价值观：通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度。

二、教学重点与难点重点：1、感悟并形成倾斜角与斜率两个概念；2、推导并初步掌握过两点的直线斜率公式；3、体会数形结合及分类讨论思想在概念形成及公式推导中的作用。

难点：用代数方法推导斜率的过程。

三、教学方法计算机辅助教学与发现法相结合。

即在多媒体课件支持下，让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验公式的推导过程，主动建构自己的认知结构。

四、教学过程（一）创设情境，揭示课题问题1（出示幻灯片）过一点能确定一条直线吗？引导学生发现：两点确定一条直线，过一点不能确定一条直线。

问题2 这些直线有怎样的区别？倾斜程度不一样.由此引导学生归纳，确定直线位置可有两种方式（1）已知直线上两点（2）已知直线上一点和直线的倾斜程度怎样准确的表示它们的区别呢？观察图形，相互讨论，但是在倾斜角定义得出时会有困难。

给学生鼓励、引导，师生共同得出倾斜角概念。

1.倾斜角的定义:直线与x 轴相交时，直线向上的方向与x 轴正方向所成的角叫做这条直线的倾斜角依倾斜角的定义，倾斜角的范围是什么？（二）巩固旧知，同化新知日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？（坡角与坡度）初中对坡度是如何定义的？当坡角α增大时，坡度如何变化？坡角、坡度都能反映倾斜程度，迁移到数学中，坡角相当于直线的倾斜角，而坡度则对应于直线的斜率。

2、斜率：倾斜角不是90 的直线，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。

即)90(tan k ≠αα=问题3 所有的直线都有倾斜角和斜率吗练习已知直线的倾斜角，求对应的斜率 k ：（1）α ＝30︒；（2）α ＝45︒；（3）α ＝120︒；（4）α ＝135︒．（三）尝试推导，深化认识两点确定一条直线，可见由两点也就确定了直线的倾斜程度，即倾斜角与斜率。

人教A版高中数学必修2《三章直线与方程 3.1直线的倾斜角与斜率 3.1直线的倾斜角与斜率》教案_15

高中数学教学设计编写人：编写时间：课题：3.1.1直线的倾斜角与斜率一．教学内容分析解析几何是借助直角坐标系，用代数方法研究几何对象之间的关系和性质的一门几何学分支，真正实现数形结合，是数学史上的重大突破，解析几何的建立对于微积分的诞生有着不可估量的作用。

本课题“直线的倾斜角与斜率”是人教版数学必修二第三章第一节的内容，是高中解析几何内容的开始。

本节课是在学生掌握了一次函数及三角函数的基础上进行的，为学习直线方程及直线的位置关系等提供知识基础，同时也初步向学生渗透解析几何数形结合的数学思想与方法。

直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础。

通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。

本节课有着开启全章，奠定基调，渗透方法的作用。

二．学生学习情况分析教学对象是广东仲元中学高一年级的学生。

他们思维活跃，勇于挑战，数学基础相对较好。

在教学中，充分利用几何画板等信息化手段去帮助学生理解、掌握本节课内容。

三．教学目标1. 知识技能：（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念；（2）掌握过两点的直线斜率的计算公式；（3）掌握和运用直线倾斜角和斜率的关系，并能完成二者间的互化；2. 过程与方法：（1）培养学生对数学知识的理解能力、应用能力及转化能力；（2）使学生初步了解数形结合、分类讨论的数学思想方法。

3. 情感、态度与价值观：（1）通过对直线倾斜角和斜率的学习，体验用代数方法刻画直线斜率的过程；（2）通过坐标法的引入，培养学生联系、对应、转化等辩证思维；（3）激发学生学习数学的热情。

四．教学重点与难点重点：理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；难点：掌握和运用直线倾斜角和斜率的关系，并能完成二者间的互化.五．教学过程设计【目标导引】展示学习目标【自主学习】知识梳理及课前训练[导语] 必修二前两章我们初步接触立体几何，接下来的后两章将会学习解析几何。

人教A版高中数学必修2《三章直线与方程 3.1直线的倾斜角与斜率 3.1直线的倾斜角与斜率》优质课课件_20

《几何学》
《圆锥曲线论》
牛顿（1642-1727）二次和三次曲线理论
欧拉（1707-1783）拉格朗日(1736-1813)
《分析引论》
《解析力学》
拉盖尔（1834-1886）把解析几何在空间展开
二、创设情景、引入新课
情境引入：观察图形中直线，你发现了什么吗？
．O
．
A 1.经过一点可以作无数条直线；
．． 2.经过两点可以确定一条直线；．
3 .一点+某个固定方向确定一条直线。
归纳：确定一条直线位置的要素：
1、经过两点； 2、一点+直线的方向,也就是直线的倾斜程度. 那么，直线的方向我们该如何来表示呢？
三、师生互动、概念生成
（一）直线的倾斜角
1.直线倾斜角的定义：
当直线 l与X轴相交时，我们取x轴作为基
y
当 =90o时，
k =?
o
x
思考：当直线与 x 轴垂直时，
直线的斜率为多少？
90o tan (不存在)，
即k不存在。
∴直线斜率 k tan (α 900 )
2.探究：直线的倾斜角与斜率的关系
直线的倾斜角与斜率的关系（探究1）.gsp 直线的倾斜角与斜率的关系（探究2）.gsp
高中数学人教A版必修2
3.1.1直线的倾斜角与斜率（一）
一、回顾历史、展望未来
解析几何学的创立者
——法国数学家笛卡儿、费马
形
几何
研究几何问题
桥梁
y
数
o
x 代数
坐标系
用代数的方法
解析几何学的发展历程是漫长的是先辈们的汗水和智慧的结晶迪卡儿→费马→… →今天的你 →…

人教A版高中数学必修2《三章直线与方程 3.1直线的倾斜角与斜率 3.1直线的倾斜角与斜率》优质课教案_2

3.1.1直线的倾斜角与斜率教学设计一、教学目标（1）知识与技能：正确理解直线倾斜角和斜率的概念。

理解直线倾斜角的唯一性。

理解直线斜率的存在性。

斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式。

（2）过程与方法：经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握过已知两点的直线的斜率计算公式，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想和数形结合思想。

（3）情感态度与价值观：通过教学，使学生从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，感受数学概念来源于实际生活，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想。

二、教学重点与难点重点：直线倾斜角和斜率的概念及斜率与倾斜角的关系。

难点：倾斜角与斜率的关系的探究。

三、教学方法计算机辅助教学与发现法相结合。

即在多媒体课件支持下，让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验公式的推导过程，主动建构自己的认知结构。

四、教学过程（一）创设情境，揭示课题北盘江大桥由云贵两省合作共建，全长1341.4米，桥面到谷底垂直高度565米，相当于200层楼高——这也是世界最高的桥梁：大桥主桥采用主跨720m 钢桁架梁斜拉桥方案，为目前世界最大跨径的钢桁架梁斜拉桥。

于2016年12月29日通车，云南宣威城区至贵州六盘水的车程将从此前的5个小时左右，缩短为1个多小时。

桥梁上斜拉钢丝与桥面形成了之间具有不同的倾斜程度，这就是我们这节课所要研究的内容。

（二）新课探究，形成新知（1）动动手，画出满足条件的直线 1）在平面直角坐标系中画一条直线 2）在平面直角坐标系中画一条过原点的直线3）在平面直角坐标系中画一条与x 轴正方向所成的角为30°的直线4）在平面直角坐标系中画一条过原点且与x 轴正方向所成的角为 30°的直线（2）动动脑，回答下列问题1）在平面直角坐标系中，怎样确定一条直线的位置呢？ 2）在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件： 1.两点可以确定一条直线2. 已知直线上一点和这条直线的方向（3）直线的方向——倾斜角的概念形成问题：在如图的平面直角坐标系中，以哪个角刻画倾斜程度？倾斜角的定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角。

2019-2020人教A版数学必修2第3章 3.1 3.1.1 倾斜角与斜率

3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1.1 倾斜角与斜率1．倾斜角的相关概念 (1)两个前提： ①直线l 与x 轴相交；②一个标准：取x 轴作为基准，x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角； ③范围：0°≤α＜180°，并规定与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0°. (2)作用：①表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度；②确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可．思考：下图中标的倾斜角α对不对？[提示] 都不对．2．斜率的概念及斜率公式(1)定义：倾斜角α(α≠90°)的正切值．(2)记法：k＝tan α．(3)斜率与倾斜角的对应关系．(4)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式：k＝y2－y1 x2－x1．思考：所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？[提示]不是．若直线没斜率，则其倾斜角为90°.1．如图所示，直线l与y轴的夹角为45°，则l的倾斜角为()A．45°B．135°C．0°D．无法计算B[根据倾斜角的定义知，l的倾斜角为135°.]2．已知一条直线过点(3，－2)与点(－1，－2)，则这条直线的倾斜角是() A．0°B．45°C．60°D．90°A[∵k＝04＝0，∴θ＝0°.]3．已知经过两点(5，m)和(m，8)的直线的斜率等于1，则m的值是()A．5 B．8C．132D．7C[由斜率公式可得8－mm－5＝1，解之得m＝132.]4．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为()A．33B． 3 C．1 D．22A[由题意可知，k＝tan 30°＝3 3.]时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾角为α－135°D[根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.]求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)两点注意：①当直线与x 轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x 轴垂直时，倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.1．一条直线l 与x 轴相交，其向上的方向与y 轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为( )A ．αB ．180°－αC ．180°－α或90°－αD ．90°＋α或90°－αD [如图，当l 向上方向的部分在y 轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l 向上方向的部分在y 轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.]AB 则点B 的坐标为( )A ．(2，0)或(0，－4)B ．(2，0)或(0，－8)C ．(2，0)D ．(0，－8)(2)已知直线l 经过点A (1，2)，且不经过第四象限，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．(－1，0]B ．[0，1]C ．[1，2]D ．[0，2](1)B (2)D [(1)设B (x ，0)或(0，y )，∵k AB ＝43－x 或k AB ＝4－y 3，∴43－x＝4或4－y3＝4，∴x ＝2，y ＝－8，∴点B 的坐标为(2，0)或(0，－8)．(2)由图可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l 的斜率满足0≤k ≤2.故选D.]解决斜率问题的方法(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决．(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)求解．(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解．2．(1)已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y＝________．(2)过点P(－2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，则m的值为________．(1)－5(2)1[(1)直线AB的斜率k＝tan 135°＝－1，又k＝－3－y2－4，由－3－y2－4＝－1，得y＝－5.(2)由题意得4－mm＋2＝1，∴m＝1.]1．斜率公式k＝y2－y1x2－x1中，分子与分母的顺序是否可以互换？y1与y2，x1与x2的顺序呢？[提示]斜率公式中分子与分母的顺序不可以互换，但y1与y2和x1与x2可以同时互换顺序，即斜率公式也可写为k＝y1－y2x1－x2. 2．斜率的正负与倾斜角范围有什么联系？[提示]当k＝tan α＜0时，倾斜角α是钝角；当k＝tan α＞0时，倾斜角α是锐角；当k ＝tan α＝0时，倾斜角α是0°.【例3】已知两点A (－3，4)，B (3，2)，过点P (1，0)的直线l 与线段AB 有公共点．(1)求直线l 的斜率k 的取值范围； (2)求直线l 的倾斜角α的取值范围．思路探究：作图――――――――――→直线与线段有公共点倾斜角介于直线PB 与P A 的倾斜角之间―――→求斜率求斜率范围及倾斜角范围 [解] 如图所示，由题意可知k P A ＝4－0－3－1＝－1，k PB ＝2－03－1＝1.(1)要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1或k ≥1.(2)由题意可知，直线l 的倾斜角介于直线PB 与P A 的倾斜角之间，又PB 的倾斜角是45°，P A 的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.将本例变为：已知A (3，3)，B (－4，2)，C (0，－2)．若点D 在线段BC 上(包括端点)移动，求直线AD 的斜率的变化范围．[解] 如图所示．当点D 由B 运动到C 时，直线AD 的斜率由k AB 增大到k AC ，又k AB ＝3－23－（－4）＝17，k AC ＝3－（－2）3－0＝53，所以直线AD 的斜率的变化范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，53.1．求直线斜率的取值范围时，通常先结合图形找出倾斜角的范围，再得到斜率的范围．2．利用斜率可解决点共线问题，点A，B，C共线⇔k AB＝k AC或k AB与k AC 都不存在．3.y2－y1x2－x1的几何意义是直线的斜率，用之可通过几何方法解决函数的值域问题．直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：1．对于下列命题：①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；②若k是直线的斜率，则k∈R；③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3D．4C[由倾斜角和斜率概念可知①②③正确．]2．已知直线AB与直线AC有相同的斜率，且A(1，0)，B(2，a)，C(a，1)，则实数a的值是________．1±52 [依题意：k AB ＝k AC ，即a －02－1＝1－0a －1，解得a ＝1±52.]3．经过A (m ，3)，B (1，2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________．(其中m ≥1)(0°，90°] [当m ＝1时，倾斜角α＝90°，当m >1时，tan α＝3－2m －1>0，∴0°<α<90°，故0°<α≤90°.]4．已知交于M (8，6)点的四条直线l 1，l 2，l 3，l 4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知l 2过点N (5，3)，求这四条直线的倾斜角．[解] l 2的斜率为6－38－5＝1，∴l 2的倾斜角为45°，由题意可得：l 1的倾斜角为22.5°，l 3的倾斜角为67.5°，l 4的倾斜角为90°.。

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