数学物理方程第四章二阶线性偏微分方程的分类与总结
二阶线性偏微分方程的分类与总结
物理学中的例子包括波动方程、热传导方程等。 力学中的例子包括弹性力学中的基本方程等。
按照应用分类
根据应用领域，可以 将二阶线性偏微分方 程分为工程、生物医 学、经济和环境科学 四类。
工程领域中的例子包 括电气工程中的传输 线方程、流体力学中 的Navier-Stokes方 程等。
生物医学领域中的例 子包括神经传导方程 、生物化学反应中的 质量传递方程等。
02
非奇异方程是指所有特征根均具有负实部的方程，而奇异方程至少存在一个具 有正实部的特征根。
03
在非奇异方程中，又可以根据波数和频率的关系分为稳定性、不稳定性、临界 稳定性和临界不稳定性的二阶线性偏微分分为物 理、几何和力学三类。
几何学中的例子包括拉普拉斯算子、热力学中的基本 方程等。
弹性力学
在弹性力学中，物体的位移和应力满足二阶线 性偏微分方程，该方程描述了物体的弹性变形 和应力分布及其随时间的变化。
在化学中的应用
化学反应速率
二阶线性偏微分方程可以描述化学反应的速率和反应过程的动态变化，以及反应条件对反 应速率的影响。
分子的振动
分子的振动运动满足一个二阶线性偏微分方程，该方程描述了分子振动频率和振幅随时间 的变化以及分子间的相互作用。
重点介绍了二阶线性偏微分方程在数学和物理学中的重要地 位和研究进展。
研究意义
研究二阶线性偏微分方程对于理解和研究自 然现象和实际问题具有重要意义。
对于数学和物理学的发展也具有重要价值， 同时对于解决实际问题提供理论支持和方法
指导。
研究目的
对二阶线性偏微分方程进行分类和总 结，梳理各种类型方程的特点和性质 。
要点三
结构力学
在结构力学中，物体的位移、应力和 变形满足二阶线性偏微分方程，该方 程描述了结构的力学行为随时间的变 化。
偏微分方程的分类
偏微分方程的分类偏微分方程是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理学、工程学、生物学等领域。
根据方程中未知函数的自变量的个数和方程中出现的最高阶导数的个数不同，可以将偏微分方程分为几类。
一、偏微分方程的分类1. 一阶偏微分方程：当方程中出现的最高阶导数为一阶导数时，我们称之为一阶偏微分方程。
一阶偏微分方程在物理学和工程学中有着广泛的应用，如热传导方程、波动方程等。
2. 二阶偏微分方程：当方程中出现的最高阶导数为二阶导数时，我们称之为二阶偏微分方程。
二阶偏微分方程是偏微分方程中最为常见的一种，例如泊松方程、亥姆霍兹方程等。
3. 高阶偏微分方程：除了一阶和二阶偏微分方程之外，还存在高阶偏微分方程，即方程中出现的最高阶导数大于二阶导数的情况。
高阶偏微分方程在某些特定的领域中有着重要的应用，如梁-爱因斯坦方程等。
4. 线性偏微分方程：线性偏微分方程是指方程中未知函数及其导数之间是线性关系的偏微分方程。
线性偏微分方程的性质相对容易研究，通常可以通过变量分离、特征线法等方法求解。
5. 非线性偏微分方程：非线性偏微分方程是指方程中未知函数及其导数之间是非线性关系的偏微分方程。
非线性偏微分方程的性质较为复杂，通常需要借助数值方法或者变换方法求解。
6. 椭圆型偏微分方程：椭圆型偏微分方程是指方程的二阶导数中的系数满足某些条件，使得方程在解析性质上类似于椭圆形的偏微分方程。
椭圆型偏微分方程在静电场、稳态热传导等问题中有着重要应用。
7. 抛物型偏微分方程：抛物型偏微分方程是指方程的二阶导数中的系数在某些条件下，使得方程在解析性质上类似于抛物线的偏微分方程。
抛物型偏微分方程在热传导、扩散等问题中有着广泛的应用。
8. 双曲型偏微分方程：双曲型偏微分方程是指方程的二阶导数中的系数在某些条件下，使得方程在解析性质上类似于双曲线的偏微分方程。
双曲型偏微分方程在波动传播、振动等问题中有着重要的应用。
二、结语偏微分方程的分类为我们理解和研究不同类型的偏微分方程提供了一定的指导。
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结§1 二阶方程的分类1． 证明两个自变量的二阶线性方程经过可逆变换后它的类型不会改变，也就是说，经可逆变换后2211212a a a -=∆的符号不变。
证：因两个自变量的二阶线性方程一般形式为fcu u b u b u a u a u a y x yy xy xx =+++++212212112经可逆变换 ⎩⎨⎧==),(),(y x y x ηηξξ0),(),(≠y x D D ηξ 化为 f u c u b u a u a u a =++++ηηηξηξξ22212112其中 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+++=++=22212211222212111222212211112)(2y y x x y y x y y x x x yy x x a a a a a a a a a a a a ηηηηηξηξηξηξξξξξ所以 y x y x y x y x x y y xa a a a a a a ηηξξηηξξηξηξ2211112222122221112222)(+-+=-=∆22221112222222211),(),())(()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆=--=+-y x D D a a a a a x y y x y x y x ηξηξηξηξξη因0),(),(2>⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x D D ηξ，故∆与∆同号，即类型不变。
2． 判定下述方程的类型（1）022=-yy xx u y u x （2）0)(2=++yy xx u y x u （3）0=+yy xx xyu u（4）)010001(sgn 0sgn 2sgn ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==++x x x x xu u yu yyxy xx(5) 0424=+++-zz yy xz xy xx u u u u u 解：(1)022=-yy xx u y u x因 022>=∆y x 当0,0≠≠y x 时0,0=>∆x 或0=y 时0=∆。
二阶线性偏微分方程的分类
1.双曲型
对于下列含常系数的第一种标准形式的双曲型标准方程还 可进一步化简
注：上式中用小写字母 大写字母代表某函数区别开来, 例如
代表常系数，以便与 ．为了化简，
我们不妨令
从而有
(10.4.2)
其中
由第二种标准形式的双曲型偏微分方程（含常系数）可以进 一步化简
注：上式中的“*”号不代表共轭，仅说明是另外的函数。如
与 是两个不同的函数。
2．抛物型偏微分方程
因为抛物型偏微分方程的判别式 线是一族实函数曲线． 其特征方程的解为
，所以特征曲
(10.3.5)
因此令 进行自变量变换，则原偏微分方程变为
(10.3.6)
上式称为抛物型偏微分方程的标准形式．
3.椭圆型偏微分方程
(10.4.3)
式中
均为常系数．若令
(10.4.4)
则有 (10.4.5)
其中
2.抛物型
对于含常系数的抛物型偏微分标准方程（含常系数）
（10.4.6）
还可以进一步化简．上式中小写字母
均为常系数．为了化简，不妨令源自从而有(10.4.7)
3.椭圆型
对于下列第一种标准形式的椭圆型标准方程(含常系数)
(10.4.8)
还可以进一步进行化简．上式中小写字母的 为常系数．
为了化简，不妨令
从而有
(10.4.9)
其中
10.5 线性偏微分方程解的特征
含有两个自变量的线性偏微分方程的一般形式也可以写成下 面的形式： 其中 L 是二阶线性偏微分算符，G是x,y的函数． 线性偏微分算符有以下两个基本特征：
其中
均为常数．进一步有如下结论：
最新二阶线性偏微分方程的分类与小结
二阶线性偏微分方程的分类与小结第六章二阶线性偏微分方程的分类与小结一两个自变量的二阶线性方程1 方程变换与特征方程两个自变量的二阶线性偏微分方程总表示成«Skip Record If...»①它关于未知函数«Skip Record If...»及其一、二阶偏导数都是线性的，其中«Skip Record If...»都是自变量«Skip Record If...»的已知函数，假设它们的一阶偏导数在某平面区域«Skip Record If...»内都连续，而且«Skip Record If...»不全为0 。
设«Skip Record If...»是«Skip Record If...»内给定的一点，考虑在«Skip Record If...»的领域内对方程进行简化。
取自变量变换«Skip Record If...»,«Skip Record If...»其中它们具有二连续偏导数，而且在«Skip Record If...»处的雅可比行列式。
«Skip Record If...»«Skip Record If...»=«SkipRecord If...»根据隐函数存在定理，在«Skip Record If...»领域内存在逆变换,«Skip Record If...»,«Skip Record If...»因为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»将代入①使其变为«Skip Record If...»经过变换后，方程的阶数不会升高，由变换的可逆性，方程的阶数也不会降低，所以«Skip Record If...»不全为0。
二阶线性偏微分方程的分类与总结
05
二阶线性偏微分方程的数值求解方法
思想
将微分方程转化为一组差分方程，通过求解差分方程得到原微分方程的数值解。
有限差分法
步骤
选择适当的差分格式，将微分方程中的微分项和代数项离散化，构建差分方程并求解。
特点
简单直观，易于编程实现，但精度较低，适用于简单问题和一维问题。
思想
将微分方程所描述的区域划分成一系列离散的小单元，通过对每个小单元进行数值求解，得到原微分方程的数值解。
在工程中的应用
04
二阶线性偏微分方程的求解方法
行波法
要点三
概述
行波法是一种通过假设解的形式为行波函数，将偏微分方程转化为常微分方程进行求解的方法。
要点一
要点二
适用范围
适用于具有波形的二阶线性偏微分方程，如波动方程、热传导方程等。
步骤
选择适当的行波函数，将其代入原方程，通过常微分方程求解，最后反推出原方程的解。
特征点不都位于任意位置，形式为$a(x)u''+b(x)u'+c(x)u=f(x)$；
非齐次二阶线性偏微分方程
特征点一部分位于任意位置，一部分不位于任意位置。
混合二阶线性偏微分方程
确定初始条件下的二阶线性偏微分方程
周期初始条件下的二阶线性偏微分方程
自然边界条件下的二阶线性偏微分方程
按照初始条件
在时间轴上，当$t<0$时，因果关系为$u(t)=0$；当$t>0$时，因果关系为$u(t)=F(t)$；
要点三
分离变量法
概述
分离变量法是一种通过假设解的形式为多个变量的乘积，将偏微分方程转化为多个常微分方程进行求解的方法。
适用范围
偏微分方程的分类与求解方法
偏微分方程的分类与求解方法引言：偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是数学中重要的研究对象之一，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
本文将探讨偏微分方程的分类与求解方法，以加深对这一领域的理解。
一、偏微分方程的分类偏微分方程可以根据方程中未知函数的个数、阶数以及系数的性质进行分类。
常见的分类包括：1. 偏微分方程的个数：- 单一偏微分方程：方程中只包含一个未知函数，如波动方程、热传导方程等；- 耦合偏微分方程：方程中包含多个未知函数，它们相互耦合，如Navier-Stokes方程、Maxwell方程等。
2. 偏微分方程的阶数：- 一阶偏微分方程：方程中包含一阶导数，如线性传热方程；- 二阶偏微分方程：方程中包含二阶导数，如波动方程、扩散方程等；- 更高阶的偏微分方程：方程中包含更高阶的导数，如椭圆型方程、双曲型方程等。
3. 偏微分方程的系数性质：- 线性偏微分方程：方程中的未知函数及其导数出现的系数是线性的，如线性传热方程；- 非线性偏微分方程：方程中的未知函数及其导数出现的系数是非线性的，如Burgers方程、Navier-Stokes方程等。
二、偏微分方程的求解方法解偏微分方程是数学中的重要课题，有许多不同的求解方法。
下面介绍几种常见的方法：1. 分离变量法：分离变量法是一种常用的求解偏微分方程的方法，适用于一些特殊的方程。
它的基本思想是将多元函数表示为各个变量的乘积，然后将方程分离为多个常微分方程，再通过求解常微分方程得到最终的解。
2. 特征线法：特征线法适用于一些特殊的偏微分方程，如一阶线性偏微分方程、双曲型方程等。
它的基本思想是通过引入新的变量，将偏微分方程转化为常微分方程，然后通过求解常微分方程得到原方程的解。
3. 变换法：变换法是一种通过变换将原方程转化为更简单的形式，从而求解的方法。
常见的变换包括拉普拉斯变换、傅里叶变换等。
这些变换可以将原方程转化为代数方程或常微分方程，进而求解得到解析解。
二阶线性偏微分方程的分类与小结
第六章 二阶线性偏微分方程的分类与小结一 两个自变量的二阶线性方程 1 方程变换与特征方程两个自变量的二阶线性偏微分方程总表示成f cu u b u b u a u a u a y x yy xy xx =+++++212212112 ①它关于未知函数u 及其一、二阶偏导数都是线性的，其中f u c b b a a a ，，，，，，，21221211都是自变量y x ,的已知函数，假设它们的一阶偏 导数在某平面区域D 内都连续，而且221211a a a ，，不全为0 。
设),(000y x M 是D 内给定的一点，考虑在0M 的领域内对方程进行简化。
取自变量变换),(y x ξξ=,),(y x ηη=其中它们具有二连续偏导数，而且在0M 处的雅可比行列式。
=∂∂),(),(y x ηξyx yx ηηξξ =x y y x ηξηξ- 根据隐函数存在定理，在0M 领域内存在逆变换,),(ηξx x =,),(ηξy y =因为x x x u u u ηξξξ+=，y y y u u u ηξξξ+=xx xx x x x x xx u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 yy yy y y y y yy u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 xy xy y x x y y x x x xy u u u u u u ηξηηηξηξξξηξηηξηξξ+++++=)(将代入①使其变为F Cu u B u B u A u A u A =+++++ηξηηξηξξ212212112经过变换后，方程的阶数不会升高，由变换的可逆性，方程的阶数也不会降低，所以221211,,A A A 不全为0。
并可验证222112122211212))((x y y x a a a A A A ηξηξ--=-这表明，在可逆变换下22211212A A A -与2211212a a a -保持相同的正负号。
第17讲第四章,二阶线性方程的特征理论
y0
i ydy dx 0
2 3 x i y2 c 3
故
有
x
2 3 和 y2 3
原方程化为
2u 2u 1 u 2 0 2 3
在椭圆区域 解得
y0
ydy dx 0
3 2 x ( y ) 2 c 3 3 2 x ( y ) 2 3 3 2 和 x ( y ) 2 3
n 2u aij biui cu f xi x j i 1 i , j 1 n
(2.1)
其中
aij ,bi (i, j 1,n),c 及 f 为已知函数。
问：在什么条件下一个超曲面
( x1 , x2 ,, xn ) 0
可以成为方程（2.1）的某个弱解u的弱间断面？
其特征为
x at c
作变换
和
x at c
x at
x at
有
和
2u 0
u F ( x at ) G( x at )
解得
例2 特里科米方程
2u 2u y 2 2 0 x y
其特征方程为
ydy 2 dx2 0
弱间断解 对于一个具有n个自变量的二阶方程来讲，若有一个函数u在某个n 维区间内有一阶连续偏导数，且在此区域内除一个（n-1）维光滑曲面 S外，有二阶连续偏导数，并处处满足方程，同时u的二阶偏导数在S上 的左右极限存在，那么称这个函数u为方程的弱间断解。
例如，对弦振动方程。其解为
f1 ( x at ) 和 f 2 ( x at )
(1.16)
其雅可比行列式为
x y a11a22 a12 2 2 2 ( y y ) 0 x y a11
二阶线性偏微分方程的分类与总结
特点
1
偏微分方程的意义
2
3
描述现实问题中多个变量之间的动态关系。
建立数学模型，为解决实际问题提供理论支持。
通过求解偏微分方程，可以预测未来的发展趋势，为决策提供依据。
二阶线性偏微分方程的分类
02
特征方程为多项式形式
特征方程为三角函数形式
分离变量法
适用范围：积分变换法适用于具有特定边界条件的二阶线性偏微分方程，如周期性边界、狄利克雷边界等。基本思想：利用傅里叶变换、拉普拉斯变换等积分变换方法，将偏微分方程转化为常微分方程，从而简化求解过程。步骤选择适当的积分变换函数，如傅里叶变换、拉普拉斯变换等。对原方程进行积分变换，得到变换后的常微分方程。求解常微分方程，得到原方程的解。通过反变换得到原方程的通解。
二阶线性偏微分方程的展望与发展
05
有限差分法
通过离散化偏微分方程，将连续的空间离散为多个离散点，并使用差分近似公式来计算每个离散点处的数值解。
有限元法
将连续的空间离散为多个小的单元，每个单元内使用线性函数来近似解，从而将偏微分方程转化为线性方程组进行求解。
谱方法
利用傅里叶变换等函数变换方法，将偏微分方程转化为常微分方程进行求解，具有高精度和高分辨率的优点。
《二阶线性偏微分方程的分类与总结》
xx年xx月xx日
CATALOGUE
目录
二阶线性偏微分方程概述二阶线性偏微分方程的分类二阶线性偏微分方程的求解方法二阶线性偏微分方程的应用领域二阶线性偏微分方程的展望与发展二阶线性偏微分方程的案例分析
二阶线性偏微分方程概述
01
VS
二阶线性偏微分方程是包含未知函数及其偏导数的方程，且方程中未知函数的最高阶偏导数不超过二阶。
数学物理方程 第四章练习题
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 10 / 39
二阶线性方程的分类
.E.xample 1.4
证明: 两个自变量的二阶常系数双曲型方程或椭圆型方程一定可以经过自变量 及未知函数的可逆变换
u = eλξ+µηv,
将它化成
vξξ ± vηη + cv = f
.的形式.
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
在椭圆型时, 取 λ = A1/2, µ = −B1/2 就可将方程化成 vξξ ± vηη + cv = f 的简 单形式.
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 12 / 39
1. 二阶线性方程的分类 2. 二阶线性方程的特征理论 3. 三类方程的比较 4. 先验估计
齐海涛 (SDU)
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 5 / 39
二阶线性方程的分类
.E.xample 1.2
判定下列方程的类型: 1. x2uxx − y2uyy = 0; 2. uxx + (x + y)2uyy = 0; 3. uxx + xyuyy = 0; 4. sgn yuxx + 2uxy + sgn xuyy = 0;
(1) ∂x21 + ∂x22 = ∂x23 + ∂x24
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 13 / 39
二阶线性方程的特征理论
.E.xample 2.1
.求下列方程的特征方程和特征方向:
∂2u ∂2u ∂2u ∂2u (1) ∂x21 + ∂x22 = ∂x23 + ∂x24
二阶偏微分方程分类
二阶偏微分方程分类二阶偏微分方程是指含有两个独立变量的二阶偏导数的方程。
在数学中，它是一个重要的研究对象，具有广泛的应用领域，如物理学、工程学、生物学等。
本文将对二阶偏微分方程进行分类和介绍。
一、常系数二阶线性偏微分方程常系数二阶线性偏微分方程是指系数不随自变量变化而保持不变的二阶线性偏微分方程。
它们可以写成以下形式：$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + a\frac{\partial u}{\partial x} + b\frac{\partial u}{\partial y} + cu = f(x,y)$$其中$a$、$b$、$c$为常数，$f(x,y)$为已知函数。
这类方程可以通过特征方程法求解。
二、非齐次线性偏微分方程非齐次线性偏微分方程是指右端项不为零的线性偏微分方程。
它们可以写成以下形式：$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = f(x,y)$$其中$f(x,y)$为已知函数。
这类方程可以通过格林函数法求解。
三、椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程是指二阶偏微分方程中的系数满足$b^2 - 4ac < 0$，即判别式小于零的方程。
它们可以写成以下形式：$$a\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2b\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + c\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = f(x,y)$$其中$a$、$b$、$c$为常数，$f(x,y)$为已知函数。
这类方程在物理学中有广泛的应用，如热传导方程和电场方程等。
四、双曲型偏微分方程双曲型偏微分方程是指二阶偏微分方程中的系数满足$b^2 - 4ac > 0$，即判别式大于零的方程。
数学物理方程第四章_二阶线性偏微分方程的分类与总结
Q(l , m) = a11l 2 + 2a12lm + a22 m 2 = 0
的性质而定。由于这个曲线可以是椭圆、双曲线或抛物线， 的性质而定。由于这个曲线可以是椭圆、双曲线或抛物线，因此我们相应 地定义方程在一点的类型如下： 地定义方程在一点的类型如下： 若方程(4.1)的主部系数 a11 , a12 , a22 在区域Ω中某一点 0，y0)满足 的主部系数 中某一点(x 若方程 满足
§1-3 方程的分类
中每一点上均为双曲型， 如果方程在区域Ω中每一点上均为双曲型，那么我们称方程在区域Ω中是 双曲型的。类似的，对椭圆型和抛物型也有同样的定义。 双曲型的。类似的，对椭圆型和抛物型也有同样的定义。如果一个方程在 中的一部分区域表现为双曲型，在另一部分表现为椭圆型， 区域Ω中的一部分区域表现为双曲型，在另一部分表现为椭圆型，而在分 界面上表现为抛物型，那么， 中称为混合型的。 界面上表现为抛物型，那么，这样的方程在在区域Ω中称为混合型的。 ∂ 2 u ∂ 2u 举例： 举例：y + 2 =0 2 ∂x ∂y 容易看出，如果点(x 上方程(4.1)表现为双曲型或椭圆型，那么一定存 表现为双曲型或椭圆型， 容易看出，如果点 0，y0)上方程 上方程 表现为双曲型或椭圆型 在该点的一个领域，使方程在这个领域内是双曲型或椭圆型的。 在该点的一个领域，使方程在这个领域内是双曲型或椭圆型的。但如果这 个点上方程 方程(4.1)表现为抛物型，则不一定存在一个领域，使方程在这个领 表现为抛物型， 个点上方程 表现为抛物型 则不一定存在一个领域， 域内表现为抛物型。 域内表现为抛物型。 按照刚才的分类方法，很容易看出一维弦振动方程是双曲型的， 按照刚才的分类方法，很容易看出一维弦振动方程是双曲型的，一维热传 导方程是抛物型的，二维拉普拉斯方程是椭圆型的。前面我们已经知道， 导方程是抛物型的，二维拉普拉斯方程是椭圆型的。前面我们已经知道 ， 以上三种方程描述的自然现象的本质不同，其解的性质也各异。 以上三种方程描述的自然现象的本质不同，其解的性质也各异。这也从侧 面说明了我们对二阶线性偏微分方程所进行的分类是有其深刻的原因的。 面说明了我们对二阶线性偏微分方程所进行的分类是有其深刻的原因的。 例如，空气动力学中，对于定常Euler方程而言，它在亚音速流动中表现为 方程而言， 亚音速流动中表现为 例如，空气动力学中，对于定常 方程而言 它在亚音速 椭圆型方程 方程， 超音速流动中表现为双曲型， 跨音速流动中表现为 流动中表现为双曲型 流动中表现为混合 椭圆型方程，在超音速流动中表现为双曲型，在跨音速流动中表现为混合 而对于非定常Euler方程而言，它始终表现为双曲型。 方程而言， 双曲型。 型。而对于非定常 方程而言 它始终表现为双曲型
二阶线性偏微分方程的分类与总结
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结§1 二阶方程的分类1． 证明两个自变量的二阶线性方程经过可逆变换后它的类型不会改变，也就是说，经可逆变换后2211212a a a -=∆的符号不变。
证：因两个自变量的二阶线性方程一般形式为fcu u b u b u a u a u a y x yy xy xx =+++++212212112经可逆变换 ⎩⎨⎧==),(),(y x y x ηηξξ 0),(),(≠y x D D ηξ化为 f u c u b u a u a u a =++++ηηηξηξξ22212112其中 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+++=++=22212211222212111222212211112)(2y y x x y y x y y x x x yy x x a a a a a a a a a a a a ηηηηηξηξηξηξξξξξ所以 y x y x y x y x x y y x a a a a a a a ηηξξηηξξηξηξ2211112222122221112222)(+-+=-=∆22221112222222211),(),())(()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆=--=+-y x D D a a a a a x y y x y x y x ηξηξηξηξξη因0),(),(2>⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x D D ηξ，故∆与∆同号，即类型不变。
2． 判定下述方程的类型（1）022=-yy xx u y u x （2）0)(2=++yy xx u y x u （3）0=+yy xx xyu u（4）)010001(sgn 0sgn 2sgn ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==++x x x x xu u yu yyxy xx(5) 0424=+++-zz yy xz xy xx u u u u u 解：(1)022=-yy xx u y u x因 022>=∆y x 当0,0≠≠y x 时0,0=>∆x 或0=y 时0=∆。
微分方程的分类
微分方程的分类微分方程是数学中非常重要的一部分，它是研究变化的数学工具。
微分方程可以分为很多种，下面将详细介绍几种常见的微分方程及其应用。
一、一阶微分方程一阶微分方程是指方程中只有一阶导数的微分方程，比较常见的形式是dy/dx=f(x)，其中f(x)是x的函数。
一阶微分方程的求解需要使用分离变量法、齐次方程法、一阶线性微分方程法等方法。
一阶微分方程的应用非常广泛，如物理学中的运动方程、化学反应动力学方程等。
二、二阶线性微分方程二阶线性微分方程是指方程中只有二阶导数的微分方程，常见的形式是y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)，其中p(x)、q(x)、f(x)都是x的函数。
二阶线性微分方程的求解需要使用常系数齐次线性微分方程法、常系数非齐次线性微分方程法等方法。
二阶线性微分方程的应用非常广泛，如物理学中的谐振子方程、电路中的振荡电路方程等。
三、偏微分方程偏微分方程是指方程中包含多个自变量的微分方程，常见的形式是u_t=k(u_xx+u_yy)，其中u是未知函数，t是时间，x、y是空间坐标，k是常数。
偏微分方程的求解需要使用分离变量法、变量代换法、特征线法等方法。
偏微分方程的应用广泛，如热传导方程、波动方程、扩散方程等。
四、常微分方程组常微分方程组是指包含多个未知函数的微分方程组，比较常见的形式是x' = f(x, y), y' = g(x, y)，其中x、y是未知函数，f(x,y)、g(x,y)是x、y的函数。
常微分方程组的求解需要使用线性代数、矩阵论等方法。
常微分方程组的应用非常广泛，如经济学中的IS-LM模型、生态学中的捕食-被捕食者模型等。
五、随机微分方程随机微分方程是指微分方程中包含随机项的微分方程，常见的形式是dx=f(x,t)dt+g(x,t)dw，其中dw是随机项，f(x,t)、g(x,t)是x、t 的函数。
随机微分方程的求解需要使用随机分析等方法。
偏微分方程基本分类
偏微分方程基本分类偏微分方程（Partial Differential Equation, PDE）是数学领域中的一个重要学科，广泛应用于物理学、工程学、经济学等众多领域。
对于一个偏微分方程的分类，可以从多个角度进行划分，本文将介绍几种基本的分类方法。
1. 按照方程的阶数进行分类偏微分方程根据方程中各导数的最高阶数进行分类，可以分为一阶、二阶、三阶等不同阶数的方程。
一阶偏微分方程的一般形式为：a(x, y)∂u/∂x + b(x, y)∂u/∂y = c(x, y)二阶偏微分方程的一般形式为：a(x, y)∂²u/∂x² + b(x, y)∂²u/∂x∂y + c(x, y)∂²u/∂y² = d(x, y)类似地，可以推广到更高阶的偏微分方程。
2. 按照方程的类型进行分类偏微分方程根据方程的类型进行分类，可以分为椭圆型、双曲型和抛物型方程。
椭圆型方程在物理学中描述了稳定状态，如静电场、热传导等问题；双曲型方程描述了波动传播问题，如声波、电磁波等；抛物型方程描述了扩散问题，如热传导方程、扩散方程等。
3. 按照边界条件进行分类偏微分方程根据边界条件进行分类，可以分为边值问题和初值问题。
边值问题是在给定区域上给出边界条件，需要求解在该区域上满足边界条件的解；初值问题是在给定初始条件下，需要求解在给定时间范围内的解。
4. 按照线性性质进行分类偏微分方程根据方程中的线性性质进行分类，可以分为线性方程和非线性方程。
线性方程满足叠加原理，如果 u1 和 u2 是其解，那么k1u1 + k2u2 也是其解；非线性方程则不满足叠加原理。
5. 按照解的形式进行分类偏微分方程根据其解的形式进行分类，可以分为解析解和数值解。
解析解是通过数学分析得到的解的表达式；数值解是通过数值计算方法得到的近似解。
6. 按照方程的系数性质进行分类偏微分方程根据方程中的系数性质进行分类，可以分为恒定系数方程和变系数方程。
二阶线性偏微分方程的分类
２ 应用举例
２ １ 双 曲型方 程 ．
求定解 问题 ：
ｆ ＋２ｏｘ‘ ｋ ｅｓ
一ｓ ‘ ｙ —ｓ ｘ’ ｙ：０ ｉ ｎ Ｕ ｙ ｉ ｎ Ｕ
（２ １）
１ （，ｎ） （）（ ｘｓｘ ＝ ， ｕ ｉ 一∞＜ ＜ ） ＋∞
Ｌ （ ｓ ｘ （ ， 一 ∞ ＜ ＜＋ ∞） ，ｉ ）＝ ） （ ｎ
，
ｃ ２
ｆ ３ １
（ ４ ）
代 的 可 行 式 ≠ ． 过 换（ ， ）成 和 的 数 这 还 把 程 １ 换 雅 比 列 ÷ ｄ ０ 代 ２ ｕ ，） 为 函 ． 里，应 方 （ 通 ）（ ， ）
’ ， 。 ’
改用新 的自变数 和 刀 出． 表 为此 ， 作如下计算 ：
１ 二 阶线性偏微分方程 的分类
设 一般 的二 阶线性偏 微分 方程 为 ａｌｘ ｌｕｘ＋２ 】 ＋ ａ２ｙ ｂＵ ｎ２ ２Ｕｙ＋ ｌｘ＋ｂｕ ２ｙ＋ｃ ｄ ＝０ ａ＋ （） １
其中 ａｌａ２ａ ｂ，２Ｃ ｄ ｌ ｌ ，ｌｂ， ， 都是 和Ｙ的函数． ， ，
试自 的 ｛ ； ：； 作变 代 量 换 Ｙ ： 即｛ ： ：
其中系数
Ｂｌ＝ ＧＩ Ｉ ＋ ２ａ１ ２ ＋ ａ２ ２ ＋ ６ ｌ ＋ ６ ２
（） ６
Ｂ２ ＝ ａ ｌ ｌ
Ｃ ＝ Ｃ Ｄ ： ｄ
＋２ １ ａ２
＋ ａ ２］ ＋ ６ ＋ ｂ ｒ ２￣ｙ ｒ ｌ ２ｂ
从 （）可 以看 出 ， ６ 如果 取一 阶偏 微分方 程
ａｌ２ ＋ ２ａｌ ｌ＇ ￣ ２ ＋ ａ ２２ ２
解作为新 自变数 ， Ａ２＝０这样 ， 则 ２ ． 方程（） ５ 就得以化简．
一
阶偏微分方程（） ７ 的求解可转化为常微分方程的求解 ． 事实上 ，７ 可写为 （）
二阶线性偏微分方程的分类与小结6页word文档
第六章 二阶线性偏微分方程的分类与小结一 两个自变量的二阶线性方程 1 方程变换与特征方程两个自变量的二阶线性偏微分方程总表示成fcu u b u b u a u a u a y x yy xy xx =+++++212212112 ①它关于未知函数u 及其一、二阶偏导数都是线性的，其中fu c b b a a a ，，，，，，，21221211都是自变量y x ,的已知函数，假设它们的一阶偏 导数在某平面区域D 内都连续，而且221211a a a ，，不全为0 。
设),(000y x M 是D 内给定的一点，考虑在0M 的领域内对方程进行简化。
取自变量变换),(y x ξξ=,),(y x ηη=其中它们具有二连续偏导数，而且在0M 处的雅可比行列式。
=∂∂),(),(y x ηξyx yx ηηξξ =x y y x ηξηξ- 根据隐函数存在定理，在0M 领域内存在逆变换,),(ηξx x =,),(ηξy y =因为x x x u u u ηξξξ+=，y y y u u u ηξξξ+= xx xx x x x x xx u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222yy yy y y y y yy u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 xy xy y x x y y x x x xy u u u u u u ηξηηηξηξξξηξηηξηξξ+++++=)(将代入①使其变为F Cu u B u B u A u A u A =+++++ηξηηξηξξ212212112经过变换后，方程的阶数不会升高，由变换的可逆性，方程的阶数也不会降低，所以221211,,A A A 不全为0。
并可验证222112122211212))((x y y x a a a A A A ηξηξ--=-这表明，在可逆变换下22211212A A A -与2211212a a a -保持相同的正负号。
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§1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
我们知道，方程(4.8)的求解可以转化为下述常微分方程在 (x,y)平面上的积分曲线问题：
a1(1d d)y x 22a12 d d y xa22 0 4.9
设φ1(x,y)=c 是方程(4.9)的一族积分曲线，则z=φ1(x,y)是方程(4.8) 的一个解。称方程(4.9)的积分曲线为方程(4.8)的特征线，方程 (4.9)有时也称为方程(4.8)的特征方程。
的性质而定。由于这个曲线可以是椭圆、双曲线或抛物线，因此我们相应 地定义方程在一点的类型如下：
若方程(4.1)的主部系数 a11,a12,a22在区域Ω中某一点(x0，y0)满足
a1 22 a1a 122 0,则称方程在点(x0，y0)是双曲型的； a1 22 a1a 122 0,则称方程在点(x0，y0)是抛物型的; a1 22 a1a 122 0, 则称方程在点(x0，y0)是椭圆型的。
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显然方程(4.9)可以分解为两个方程
ddyx(a12 a122a11a22)/a11 ddyx(a12 a122a11a22)/a11
4.10 4.11
§1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
这样根据 a122a11a2的2符号不同，我们可以选取相应的变
换代入方程(4.6) ，从而得到不同的化简形式
a 1 2 a 1x 1 x a 1 (2 xy yx ) a 2y 2 y 4 . 7
a 2 2a 1 1 2 x2 a 1 2x ya 2 2 2 y
§1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
注意到(4.7)的第一个和第三个等式形式完全相同，因此，如果
这三个方程分别称为二阶线性偏微分方程的标准形式。
§1-3 方程的分类
由前面的讨论可知，方程(4.1)通过自变量的可逆变换(4.3)化为那一种 标准形式，主要决定于它的主部系数。也就是说由l,m平面上的二次曲线
Q ( l,m ) a 1 l2 1 2 a 1 l2 m a 2 m 2 2 0
章二阶线性偏微分方程 的分类与总结
§1二阶线性偏微分方程的分类 §3三类方程的比较
在前面的章节中，我们分别讨论了弦振动方程、 热传导方程与拉普拉斯方程。这三类方程的形状很特 殊，它们是二阶线性偏微分方程的三个典型代表。一 般形式的二阶线性偏微分方程之间的共性和差异，往 往可以从对这三类方程的研究中得到。本章中，我们 将以这三类方程的知识为基础，研究一般形式的二阶 线性偏微分方程，并对这三类方程的性质进行比较深 入的分类和总结。
(x ,y ), (x ,y )4 .3
在高等数学中，我们已经知道：如果上述变换是二次连续可微 的，且雅可比行列式
JD D((x,,y))xx
y x
4.4
§1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
在(x0,y0)点不为零，那么在点(x0,y0)的邻域内，变换(4.3)是可逆 的，也就是存在逆变换
§1 二阶线性偏微分方程的分类
§1.1 两个自变量的方程 §1.2 两个自变量的二阶线性
偏微分方程的化简 §1.3 方程的分类
§1 二阶线性偏微分方程的分类
§1-1 两个自变量的方程
遵循由简单到复杂的认知规律，我们先研究两个自变量的二 阶线性偏微分方程的分类问题。
前面遇到的一维热传导方程、弦振动方程和二维拉普拉斯 方程都是两个自变量的二阶线性偏微分方程。不过它们的形式 特殊，若用(x,y)记自变量，一般的二阶线性方程总可以写成如 下的形状
a1 22 a1a 122 0,
u u A 1 u B 1 u C 1 u D 1 4 .12
a1 22 a1a 122 0,
u A 1 u B 1 u C 1 u D 1 4 .13
a1 22 a1a 122 0,
u u A u B u C D u4 .14
方程(4.1)的二阶导数项 a 1u 1 x x2 a 1u 2 x ya 2u 2 yy4 .2
称为它的主部。现在研究在什么样的自变量变换下，方程的主 部可以得到简化。
§1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
设(x0,y0)是区域Ω内一点，在该点的邻域内对方程(1)进行简化。 为此我们作下面的自变量变换
x x (,),y y (,)4 .5
也就是说，方程(4.1)可以采用新的自变量ξ,η表示为
a 1 u 1 2 a 1 u 2 a 2 u 2 b 1 u b 2 u c u f4 . 6
运用复合函数的求导法则
a 11 a 1 1 2 x2 a 1 2xya 2 2 2 y
a 1 u x 1 x 2 a 1 u x 2 y a 2 u y 2 y b 1 u x b 2 u y c f u 4 . 1
§1-1 两个自变量的方程
在前面弦振动方程的达朗贝尔解法(行波法)的学习中，我们 已看到变量变换的意义。变换是研究微分方程的一个有效手段， 通过适当的变换往往可以把复杂的方程转化为简单的，把不易 求解的方程转化为容易求解的。
我们能选择到方程
a 11 x 2 2 a 12 xy a 22 y 2 0 4 .8
的两个函数无关的解φ1(x,y)和φ2(x,y)，那么，将变换取为ξ=φ1
(x,y)和η=φ2 (x,y)，方程(4.6)的系数
a110； 。a220
这样就达到了简化方程(4.1)的主部的目的。下面考察这种 选取的可能性。
相应地， (4.12)、(4.13)和(4.14)这三个方程分别称为双曲型、 抛物型和椭圆型(二阶线性)偏微分方程的标准形式。
§1-3 方程的分类
如果方程在区域Ω中每一点上均为双曲型，那么我们称方程在区域Ω中是双 曲型的。类似的，对椭圆型和抛物型也有同样的定义。如果一个方程在区域 Ω中的一部分区域表现为双曲型，在另一部分表现为椭圆型，而在分界面上 表现为抛物型，那么，这样的方程在在区域Ω中称为混合型的。