NA-3-1线性方程组

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线性方程组的几种求解方法

甘肃政法学院本科学年论文（设计）题目浅议线性方程组的几种求解方法学号：姓名：指导教师：成绩：__________________完成时间： 2012 年 11 月目录第一章引言 (1)第二章线性方程组的几种解法 (1)2.1 斯消元法 (1)2.1.1 消元过程 (1)2.1.2 回代过程 (2)2.1.3 解的判断 (2)2.2 克莱姆法则 (3)2.3 LU分解法 (4)2.4 追赶法 (6)第三章结束语 (8)致谢 (8)参考文献 (9)摘要:线性方程组是线性代数的核心内容之一，其解法研究是代数学中经典且重要的研究课题.下面将综述几种不同类型的线性方程组的解法，如消元法、克莱姆法则、直接三角形法、、追赶法，并以具体例子介绍不同解法的应用技巧. 在这些解法中，高斯消元法方法，具有表达式清晰，使用范围广的特点.另外，这些方法有利于快速有效地解决线性方程组的求解问题，为解线性方程组提供一个简易平台，促进了理论与实际的结合。

关键词:线性方程组;解法;应用Several methods of solving linear equation groupAbstract: The system of linear equations is one of linear algebra core contents, its solution research is in the algebra the classics also the important research topic. This article summarized several kind of different type system of linear equations solution, like the elimination, the Cramer principle, the generalized inverse matrix law, the direct triangle law, the square root method, pursue the law, and by concrete example introduction different solution application skill. In these solutions, the generalized inverse matrix method, has the expression to be clear, use scope broad characteristic. Moreover, these methods favor effectively solve the system of linear equations solution problem fast, provides a simple platform for the solution system of linear equations, promoted the theory and the actual union.Key word: Linear equations; Solution ; Example第一章引言线性方程组理论是高等数学中十分重要的内容，而线性方程组的解法是利用线性方程组理论解决问题的关键.下面将介绍线性方程组的消元法、追赶法、直接三角形法等求解方法，为求解线性方程组提供一个平台。

解线性方程组的直接方法

解线性方程组的直接方法一、高斯消元法高斯消元法是解线性方程组最常用的方法之一、它通过一系列的消元操作，将线性方程组转化为阶梯型方程组，从而求解未知数的值。

1.确定线性方程组的阶数和未知数的个数。

设线性方程组中有n个未知数。

2.将线性方程组写成增广矩阵的形式。

增广矩阵是一个n行n+1列的矩阵，其中前n列是线性方程组的系数矩阵，第n+1列是等号右边的常数。

3.通过初等行变换（交换行、数乘行、行加行）将增广矩阵化为阶梯型矩阵。

具体步骤如下：a.首先，找到第一个非零元素所在的列，将它所在的行视为第一行。

b.将第一行的第一个非零元素（主元）变成1，称为主元素。

c.将主元所在列的其他元素（次元素）变为0，使得主元所在列的其他元素只有主元素是非零的。

d.再找到第一个非零元素所在的列，将它所在的行视为第二行，并重复上述步骤，直到将增广矩阵化为阶梯型矩阵。

4.根据阶梯型矩阵求解未知数的值。

具体步骤如下：a.从最后一行开始，依次求解每个未知数。

首先，将最后一行中非零元素所在的列作为含有该未知数的方程，将该未知数的系数设为1b.将含有该未知数的方程中其他未知数的系数设为0，并对其他方程进行相应的变换，使得该未知数所在列的其他元素都为0。

c.重复上述步骤，直到求解出所有未知数的值。

高斯消元法的优点是简单易懂、容易实现，但当线性方程组的系数矩阵接近奇异矩阵时，计算精度可能会降低。

二、矩阵求逆法矩阵求逆法是解线性方程组的另一种直接方法。

它通过对系数矩阵求逆，然后与常数矩阵相乘，得到未知数的值。

1.确定线性方程组的阶数和未知数的个数。

设线性方程组中有n个未知数。

2.将线性方程组写成矩阵方程的形式，即Ax=b，其中A是一个n阶方阵，x和b分别是n维列向量。

3.求系数矩阵A的逆矩阵A^-1a. 首先，计算系数矩阵A的行列式det(A)。

b. 判断det(A)是否为0，如果det(A)=0，则该线性方程组无解或有无穷多解；如果det(A)≠0，则系数矩阵A可逆。

高中数学中的线性方程组求解方法

高中数学中的线性方程组求解方法线性方程组是高中数学中的重要内容之一，它在数学和实际问题中都有广泛的应用。

本文将介绍一些常见的线性方程组求解方法，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

一、高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组最常用的方法之一。

它通过一系列的行变换将方程组化为简化的阶梯形矩阵，从而求得方程组的解。

首先，将线性方程组写成增广矩阵的形式，即将系数矩阵和常数项矩阵合并在一起。

然后，利用行变换的性质，逐步消去未知数的系数，使得增广矩阵的形式变为阶梯形。

最后，通过回代的方式求得方程组的解。

高斯消元法的优点是简单直观，适用于任意个数的未知数和方程。

但是，当方程组的系数矩阵存在零行或者行之间存在倍数关系时，高斯消元法可能会遇到困难。

二、克拉默法则克拉默法则是一种基于行列式的求解线性方程组的方法。

它通过计算系数矩阵的行列式和各个未知数对应的代数余子式来求得方程组的解。

具体而言，对于n个未知数的线性方程组，克拉默法则的步骤如下：1. 计算系数矩阵的行列式D；2. 分别将每个未知数的系数替换为常数项，得到n个新的方程组；3. 分别计算这n个新方程组的系数矩阵的行列式D1, D2, ..., Dn；4. 方程组的解为x1 = D1/D, x2 = D2/D, ..., xn = Dn/D。

克拉默法则的优点是求解过程简单明了，适用于未知数个数较少的方程组。

然而，它的计算量较大，当未知数个数较多时，计算行列式和代数余子式的复杂度会大大增加。

三、矩阵法矩阵法是一种基于矩阵运算的求解线性方程组的方法。

它将线性方程组表示为矩阵的形式，通过矩阵的逆、转置等运算求得方程组的解。

具体而言，对于n个未知数的线性方程组Ax = b，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b为常数项向量，矩阵法的求解步骤如下：1. 如果系数矩阵A可逆，那么方程组的解为x = A^(-1)b；2. 如果系数矩阵A不可逆，那么方程组可能无解或者有无穷多解。

高中一年级数学线性方程组的解法

高中一年级数学线性方程组的解法线性方程组是数学中的重要概念，在高中数学中也是一个基础的内容之一。

解决线性方程组不仅有助于培养学生的逻辑推理能力，还能帮助学生建立数学思维的基础。

今天，我们将介绍高中一年级数学线性方程组的解法。

一、高中一年级数学线性方程组的基本概念与解法1. 概念线性方程组是由一组线性方程组成的方程集合。

一般形式为：a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2其中，a1、a2、b1、b2、c1、c2为已知系数。

2. 解法高中一年级数学线性方程组可以通过代入法、消元法和矩阵法等解法来求解。

①代入法：将其中一个方程中的某个未知量用另一个方程中的未知量表示，再代入到另一个方程中，从而得到一个只含有一个未知量的方程。

通过解这个只含有一个未知量的方程，再依次进行回代，即可求得所有未知量的值。

②消元法：通过运用不同方程之间的加减法规则，将方程组中的一个未知量消去，从而得到一个只含有一个未知量的方程。

通过解这个只含有一个未知量的方程，再依次进行回代，即可求得所有未知量的值。

③矩阵法：将线性方程组转化成矩阵形式，通过高斯消元法来解决。

二、示例分析下面通过一个具体的例子，来详细说明高中一年级数学线性方程组的解法。

例题：解方程组：2x + 3y = 73x - 2y = 8解法：1. 代入法将第一个方程中的 x 用第二个方程中的 y 表示，得到 x = (8 + 2y)/3。

将其代入第一个方程，得到：2(8 + 2y)/3 + 3y = 7解得 y = 1，再将 y 的值代入 x = (8 + 2y)/3 中，解得 x = 2/3。

2. 消元法将第一个方程乘以 3，将第二个方程乘以 2，得到：6x + 9y= 216x - 4y = 16两个方程相减，消去 x，得到：13y = 5解得 y = 5/13，再将 y 的值代入任意一个方程中，解得 x = 14/13。

3. 矩阵法将线性方程组转化成矩阵形式：⎛ 2 3 ⎞⎛x⎞⎛ 7 ⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝ 3 -2 ⎠ x ⎝y⎠ = ⎝ 8 ⎠通过高斯消元法，将矩阵转化为阶梯形式：⎛ 2 3 ⎞⎛x⎞⎛ 7 ⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝ 0 -13 ⎠ x ⎝y⎠ = ⎝ -6 ⎠解得 y = 5/13，再回代入第一个方程，解得 x = 2/3。

线性方程组的解法

线性方程组的解法线性方程组是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。

解决线性方程组可以帮助我们求解未知数的值，解释不同变量之间的关系。

本文将介绍线性方程组的解法，包括高斯消元法和矩阵法。

一、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的一种常见方法。

它通过逐步操作将方程组转化为一种更容易求解的形式。

下面以一个三元一次方程组为例进行说明：方程组1：2x + 3y - z = 63x + 2y + 2z = 5x - 2y + z = 0首先，将方程组写成增广矩阵的形式：[2 3 -1 | 6][3 2 2 | 5][1 -2 1 | 0]然后，通过初等行变换，将增广矩阵化简成上三角矩阵的形式。

具体步骤如下：1. 将第一行乘以3，将第二行乘以2，分别得到新的第一行和第二行。

[6 9 -3 | 18][6 4 4 | 10][1 -2 1 | 0]2. 将第二行减去第一行，将第三行减去第一行，分别得到新的第二行和第三行。

[6 9 -3 | 18][0 -5 7 | -8][1 -2 1 | 0]3. 将第二行除以-5，得到新的第二行。

[6 9 -3 | 18][0 1 -7/5 | 8/5][1 -2 1 | 0]4. 将第一行减去9倍的第二行，得到新的第一行。

[6 0 48/5 | -72/5][0 1 -7/5 | 8/5][1 -2 1 | 0]5. 将第一行除以6，得到新的第一行。

[1 0 8/5 | -12/5][0 1 -7/5 | 8/5][1 -2 1 | 0]至此，我们得到了一个上三角矩阵。

接下来，通过回代来求解变量的值。

1. 由最后一行我们可以得到 z = 0。

2. 将 z = 0 代入到第一行和第二行，可以得到：x + 8/5 = -12/5，即 x = -4；y - 7/5 = 8/5，即 y = 3。

所以，原始方程组的解为 x = -4，y = 3，z = 0。

二、矩阵法除了高斯消元法，我们还可以使用矩阵法来解决线性方程组。

线性方程组解法归纳总结

线性方程组解法归纳总结在数学领域中，线性方程组是一类常见的方程组，它由一组线性方程组成。

解决线性方程组是代数学的基础知识之一，广泛应用于各个领域。

本文将对线性方程组的解法进行归纳总结。

一、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的基本方法之一。

其基本思想是通过逐步消元，将线性方程组转化为一个上三角形方程组，从而求得方程组的解。

具体步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式，即将系数矩阵和常数向量合并成一个矩阵。

2. 选取一个非零的主元（通常选取主对角线上的元素），通过初等行变换将其它行的对应位置元素消为零。

3. 重复上述步骤，逐步将系数矩阵转化为上三角形矩阵。

4. 通过回代法，从最后一行开始求解未知数，逐步得到线性方程组的解。

高斯消元法的优点是理论基础牢固，适用于各种规模的线性方程组。

然而，该方法有时会遇到主元为零或部分主元为零的情况，需要进行特殊处理。

二、克拉默法则克拉默法则是一种用行列式求解线性方程组的方法。

它利用方程组的系数矩阵和常数向量的行列式来求解未知数。

具体步骤如下：1. 求出系数矩阵的行列式，若行列式为零则方程组无解。

2. 对于每个未知数，将系数矩阵中对应的列替换为常数向量，再求出替换后矩阵的行列式。

3. 用未知数的行列式值除以系数矩阵的行列式值，即可得到该未知数的解。

克拉默法则的优点是计算简单，适用于求解小规模的线性方程组。

然而，由于需要计算多次行列式，对于大规模的线性方程组来说效率较低。

三、矩阵法矩阵法是一种将线性方程组转化为矩阵运算的方法。

通过矩阵的逆运算或者伴随矩阵求解线性方程组。

具体步骤如下：1. 将线性方程组写成矩阵的形式，其中系数矩阵为A，未知数矩阵为X，常数向量矩阵为B。

即AX=B。

2. 若系数矩阵A可逆，则使用逆矩阵求解，即X=A^(-1)B。

3. 若系数矩阵A不可逆，则使用伴随矩阵求解，即X=A^T(ATA)^(-1)B。

矩阵法的优点是适用于各种规模的线性方程组，且运算速度较快。

线性方程组的解法线性方程组

线性方程组的解法线性方程组线性方程组是数学中常见的一种方程形式，它由多个线性方程联立而成。

解线性方程组是在给定一组方程的条件下，求出符合这些方程的未知数的取值，从而满足方程组的所有方程。

本文将介绍线性方程组的解法和应用。

一、高斯消元法高斯消元法是解线性方程组的一种常用方法。

它通过一系列行变换将线性方程组转化为简化的行阶梯形矩阵，然后通过回代求解得到方程组的解。

具体步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式，其中未知数的系数和常数项构成矩阵的左右两部分。

2. 选取一个主元（即系数不为零的元素）作为基准行，并通过行变换使得该元素为1，同时消去其他行中该列的元素。

3. 重复上述步骤，将矩阵转化为行阶梯形式，即每一行的主元都在前一行主元的右下方。

4. 进行回代，从最后一行开始，逐步求解方程组的未知数。

高斯消元法能够解决大部分线性方程组，但对于某些特殊情况，例如存在无穷解或无解的方程组，需要进行额外的判断和处理。

二、矩阵求逆法矩阵求逆法是另一种解线性方程组的方法。

它通过求解方程组的系数矩阵的逆矩阵，再与常数项的矩阵相乘，得到未知数的解向量。

具体步骤如下：1. 如果线性方程组的系数矩阵存在逆矩阵，即矩阵可逆，那么方程组有唯一解。

2. 计算系数矩阵的逆矩阵。

3. 将逆矩阵与常数项的矩阵相乘，得到未知数的解向量。

需要注意的是，矩阵求逆法只适用于方程组的系数矩阵可逆的情况，对于不可逆的方程组，则无解或者存在无穷解。

三、克拉默法则克拉默法则适用于n个未知数、n个方程的线性方程组。

它利用行列式的性质来求解未知数。

具体步骤如下：1. 构建系数矩阵和常数项的矩阵。

2. 计算系数矩阵的行列式，即主对角线上各元素的乘积减去副对角线上各元素的乘积。

3. 分别用求解一个未知数时的系数矩阵替代系数矩阵中对应列的元素，再计算新矩阵的行列式。

4. 将每个未知数的解依次计算出来。

克拉默法则的优点是理论简单，易于理解，但随着未知数和方程数的增加，计算复杂度呈指数增长，计算效率较低。

线性方程组的解法

线性方程组的解法在数学中，线性方程组是由一系列线性方程组成的方程集合。

解决线性方程组是数学中的一个重要问题，在实际应用中也有广泛的应用。

本文将介绍几种常见的线性方程组的解法，以帮助读者更好地理解和应用这些方法。

一、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的一种常见且经典的方法。

它通过一系列的行变换，将线性方程组化简为一个上三角矩阵，从而求得方程组的解。

具体步骤如下：步骤1：将线性方程组写成增广矩阵的形式。

步骤2：选取一个非零的系数作为主元素，并将该系数所在行作为当前行。

步骤3：将主元素所在列的其他行元素都通过初等变换变为0。

步骤4：重复步骤2和步骤3，直到将矩阵化简为上三角形式。

步骤5：回代求解，得到线性方程组的解。

高斯消元法是一种直观且容易理解的解法，但对于某些特殊的线性方程组，可能会遇到无解或者无穷多解的情况。

二、矩阵的逆乘法矩阵的逆乘法是另一种解决线性方程组的方法，它通过矩阵的逆和向量的乘法，将线性方程组表示为一个矩阵方程，从而求得方程组的解。

具体步骤如下：步骤1：将线性方程组表示为增广矩阵的形式。

步骤2：判断增广矩阵的系数矩阵是否可逆，如果可逆，则存在矩阵的逆。

步骤3：计算增广矩阵的系数矩阵的逆。

步骤4：将原始线性方程组表示为矩阵方程形式，即AX = B。

步骤5：求解矩阵方程，即X = A^(-1)B。

矩阵的逆乘法是一种简便且高效的解法，但需要注意矩阵的可逆性，在某些情况下可能不存在逆矩阵或者矩阵的逆计算比较困难。

三、克拉默法则克拉默法则是一种基于行列式求解线性方程组的方法。

它通过计算方程组的系数行列式和各个未知数在方程组中的代数余子式，从而求得方程组的解。

具体步骤如下：步骤1：将线性方程组的系数和常数项构成一个矩阵。

步骤2：计算系数矩阵的行列式，即主行列式D。

步骤3：分别将主行列式D中的每一列替换为常数项列，计算得到各个未知数的代数余子式。

步骤4：根据克拉默法则的公式，未知数的值等于其对应的代数余子式除以主行列式D。

线性方程组与向量的线性相关性

11 1
(3)1 1 1
1 1 1
方法一：
因此
(1)当
即
且
组有唯一解.
(2) 当
时，
时，方程
18
可见
故方程组此时有无限多个解，且通解为
1 1 2 3 0 3 3 6 0 0 0 0
x x
1 2
1 2
c, c,
x 3 c ,
19
(3) 当
时，
可见故方程组此时无解.
其一是当A为方阵时, 先根据系数行列式 A 0, 求得使
方程组有唯一解的值，然后讨论；
其二是对矩阵(A,b)作初等行变换.
17
系数矩阵的行列式为
2 1 1 (A,b) 1 2 1
1 1 2 3
0 0 3 3 6 0 3 3 6
3 1 1 1
1
A 1 1 1 1 2 3 1 1 1
1 2
c, c,
0 0 0 0 x 3 c ,
22
1 1 1
r
(A,b)0 3
0 0 32 322
1 1 1 0 0 0 0 3 0 0 0 3
(3) 当
可见时无解.
时，
故方程组此
23
二、齐次线性方程组解的研究
T是h系m数3.矩2 阵nA的元秩齐X等次0于线未性知方量程的组个AX数=n0，只即有R零(A解)的=n充；要有条非件
2 1 0
1 1 1
rr12r2r3 rr21rr33
1 0
rr12 132r20
13 00 00
30 013 00
313 31133
200 1011
0 0
0 0
000 010 1 1

线性方程组的解法

线性方程组的解法1. 背景介绍线性方程组是数学中常见的一类方程组，由一系列线性方程组成。

求解线性方程组的目标是找到满足所有方程的解。

线性方程组的解法有多种，本文将介绍其中常用的几种方法。

2. 列主元消元法列主元消元法是解线性方程组的一种常用方法。

该方法基于矩阵的行变换和列变换，通过消元得到一种简化的矩阵形式，从而求解方程组的解。

使用列主元消元法解线性方程组的步骤如下：- 将系数矩阵按列进行排序，选择绝对值最大的列作为主元列；- 交换主元所在列和第一列，同时交换方程组中的等式；- 利用第一个方程进行消元，将主元所在列下方的元素都变为0；- 重复以上步骤，直到所有主元都变成1。

列主元消元法的优点是解法简单直观，但在实际应用中可能会遇到主元为0或接近0的情况，会导致计算结果不够精确。

3. 高斯-约旦消元法高斯-约旦消元法是另一种常见的解线性方程组的方法。

该方法通过矩阵的初等行变换，将方程组化为其简化形式，从而求解解的值。

使用高斯-约旦消元法解线性方程组的步骤如下：- 将系数矩阵与等式向量合并，形成增广矩阵；- 从第一行开始，找到第一个非零元素，将其变为1，同时该列的其他元素变为0；- 重复以上步骤，直到所有非零元素都变为1且其他元素都为0。

高斯-约旦消元法的优点是消元过程更为精确，计算结果更准确。

但该方法可能会遇到矩阵行或列的交换问题，需要额外的步骤进行处理。

4. 矩阵的逆和逆矩阵法对于特定类型的线性方程组，可以使用矩阵的逆和逆矩阵法来求解。

逆矩阵是方阵的一种特殊矩阵，具有一些特殊的性质，可以用于求解线性方程组。

利用矩阵的逆和逆矩阵法求解线性方程组的步骤如下：- 对系数矩阵进行求逆操作，得到逆矩阵；- 将逆矩阵与等式向量相乘，得到解向量。

矩阵的逆和逆矩阵法在理论上是一种高效且准确的解法，但实际应用中需要先判断矩阵是否可逆，且计算逆矩阵的过程可能较为复杂。

5. 小结本文介绍了线性方程组的三种常用解法：列主元消元法、高斯-约旦消元法和矩阵的逆和逆矩阵法。

第三章线性方程组

只要证明线性方程组（1）的增广矩阵A A b 经一系列
行初等变换及列初等变换（但最后常数列不能交换）可化
方为矩阵：
程
组
高等
1 0
0
1
代数
C
0 0
0 0
0 0
0 0
0 c1r 1 0 c2r1
1 crr1 00 00
00
c1n d1
c2n
d2
ctn d r
0
d
r
1
0 0
0 0
几何上的向量是n维向量的特殊情况，虽然n维向量当n>4
线时没有直观的几何意义，但仍然把它称为向量。一方面它包含
性通常的向量作为其特例，另一方面它与通常的向量有许多共同
方程
的性质。本课程常常用小写希腊字母α,β,γ,…表示向量。有了向量，一个方程 a i1 x 1 a i2 x 2 a in x n b i就可以用一个n+1
2 x1 x2 4 x1 2 x2
3 x3 5 x3
1 4
等 2 x1 x2 4 x3 1
代 2
数解：
A
4 2
1 2 1
3 5 4
1 41
2 0
0
1 0 0
3 1 1
1
2
2
0
2
0
1 0 0
0 1 0
7
2
0
原方程组与方程组
3
2
x1 x2 x3 2
7
组
高元向量来表示：ai1,ai2, ,ain,bi
等向量的相等：如果两个n维向量 a 1 ,a 2 , ,a n , b 1 ,b 2 , ,b n

线性方程组的求解问题1

目录1 引言 (2)1.1 概念 (3)1.2 解的情况及其通解 (4)2 线性方程组的常见解法 (4)2.1 高斯消元法 (4)2.2 矩阵初等变换法 (6)2.2.1 LU分解 (6)2.2.2 追赶法 (9)2.3平方根法 (10)3 线性方程组解法探讨 (12)3.1 线性方程组的直接方法 (12)3.2 线性方程组的多项式矩阵的初等变换法 (16)4结束语................................................................19参考文献 (20)线性方程组的解法摘要: 线性方程组是线性代数中一个最基础的内容，广泛应用于现代科学的许多分支。

其核心问题之一就是线性方程组的求解问题。

本文先简要介绍了线性方程组的概念，然后给出线性方程组解的结构，重点介绍了解线性方程组的几种方法:高斯消元法，追赶法，平方根法，直接法，初等变换法等求解线性方程组的方法。

说明研究线性方程组求解问题的探讨及本文的写作意义。

关键词: 线性方程组；高斯消元法；平方根法；追赶法；直接法；初等变换法1 引言线性方程组即各个方程关于未知量均为一次的方程组。

对线性方程组的研究，中国比欧洲至少早1500年，记载在公元初《九章算术》方程章中。

线性方程组是线性代数的主要内容，它主要包括线性方程组有解性的判定、线性方程组的求解和线性方程组解的结构等。

线性方程组的核心问题是研究它何时有解，以及解是什么。

本节主要对线性方程组解的情况进行讨论，给出当解不唯一时通解的表示形式。

另外还介绍了几种特殊的线性方程组的求解方法。

线性方程组可以分成两类，一类是未知量个数与方程的个数相等，另一类是未知量个数与方程的个数不等。

对于前一类特殊的线性方程组，我们可以采用克拉默法则，对于后一种线性方程组我们可以采用高斯消元法。

而且随着现代工业的发展，线性方程组的应用出现在各个领域，伴随着大量方程和多未知数的出现，而追赶法是数值计算中解线性方程组的一种直接法，它能在无舍入误差存在的情况下，经过有限步运算即可求得方程组的精确解的算法。

考研数学：线性代数分析之线性方程组-

考研数学：线性代数分析之线性方程组勤能补拙，滴水穿石，成功离我们并不会太遥远，只要用心我们就可以得到自己想要的。

接下来我们就线性方程组进行简单的分析。

线性代数的入门学习就是：线性方程组。

我们可以把线性方程组看作是线性代数的一个基石，我们是通过研究线性方程组来建立的线性代数这门学科。

线性方程组的求解可以分为齐次线性方程组与非齐次线性方程组，其中每类中都有具体线性方程组求解和抽象线性方程组求解之分。

方程组的数目s和未知数的个数n可以相同，也可以不同。

关于线性方程组的解，有三个问题值得讨论：(1)、方程组是否有解，即解的存在性问题;(2)、方程组如何求解，有多少个解;(3)、方程组有不止一个解时，这些不同的解之间有无内在联系，即解的结构问题。

高斯消元法是求解线性方程组的最基本也是最直接的方法，其中涉及到三种对方程的同解变换：(1)、把某个方程的k倍加到另外一个方程上去;(2)、交换某两个方程的位置;(3)、用某个常数k乘以某个方程。

我们把这三种变换统称为线性方程组的初等变换。

任意的线性方程组我们都可以通过高斯消元法来化解成为阶梯形方程组。

通过阶梯形方程组我们可以直观的判断线性方程组解的情况。

通过矩阵表示出线性方程组，对该矩阵(如果是非齐次线性方程组，则是对其的增广矩阵)做相应的初等变化，我们可以将其化解为阶梯形矩阵，同样我们可以直观的得到其解的情况。

在判断线性方程组解的情况时，齐次线性方程组，我们只关心解的唯一性，以及不唯一情况下如何表示出所有解;非齐次线性方程组，我们首先要进行判断解是否存在，之后是唯一性，以及通解的表示。

对于齐次而言，判断唯一性的根本是通过r(A)与n之间的关系，如果r(A)=n 则该线性方程组的解唯一;当r(A)对于非齐次线性方程组而言，当系数矩阵的秩与增广矩阵秩不相等时，无解;当两者相等且等于n时，有唯一解;当两者相等且小于n时，有无穷多的解。

再讨论过线性方程组解的情况后，我们接下来讨论，在线性方程组有无穷多解的情况下，如何表示这些解，也就是其通解的情况。

线性方程组的解的存在唯一性

线性方程组的解的存在唯一性线性方程组是数学中的重要概念，它与方程的解的存在唯一性密切相关。

在本文中，我们将讨论线性方程组解的存在唯一性，并介绍相应的定理和证明。

一、引言线性方程组是由一系列线性方程组成的方程组。

它的一般形式可以表示为：\[\begin{cases}a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1n}x_{n} = b_{1} \\a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} = b_{2} \\\cdots\cdots \\a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \cdots + a_{mn}x_{n} = b_{m} \\\end{cases}\]其中，\(a_{ij}\) 为系数矩阵中的元素，\(x_{i}\) 为未知数，\(b_{i}\) 为常数项。

二、解的存在性线性方程组的解存在的条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩。

具体来说，线性方程组存在解的条件可以通过行列式的性质来判断。

定理1：若线性方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，并且等于未知数的个数，则方程组存在解。

证明：根据线性方程组的性质，通过高斯消元法将系数矩阵化为行最简形式，设最简形式的系数矩阵为\(D\)，增广矩阵形式为\([D|C]\)。

由于\(D\) 是行最简形式，所以\(D\) 中的主变量对应的列是主列，而非主变量对应的列是自由列。

对于线性方程组存在解的条件，我们需要判断未知数的个数和主列的个数是否相等。

如果相等，即主变量的个数等于未知数的个数，则存在唯一解。

如果主变量的个数小于未知数的个数，则存在无穷多解。

如果主变量的个数大于未知数的个数，则无解。

因此，当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，并且等于未知数的个数时，线性方程组存在解。

三、解的唯一性线性方程组解的唯一性可以通过系数矩阵的行和行列式来判断。

定理2：若线性方程组的系数矩阵的行和行列式不为零，则方程组的解是唯一的。

利用行列式的性质求解线性方程组

利用行列式的性质求解线性方程组在线性代数中，线性方程组是一组关于未知数的线性方程的集合。

求解线性方程组的传统方法包括高斯消元法、克拉默法则等。

而利用行列式的性质求解线性方程组则是一种更为简便和高效的方法。

本文将介绍利用行列式的性质来求解线性方程组的方法及其应用。

1. 行列式的定义及性质行列式是一个矩阵所固有的一个数值，用于描述线性变换对于面积（或体积）的影响。

行列式的定义如下：设A为一个n阶矩阵，其行列式记为det(A)或|A|，定义为：det(A) = a11a22...ann - a12a21...an1 + a13a21...an2 - ... + (-1)^(n+1)a1na2n...an(n-1)行列式具有以下性质：（1）行列式与其转置矩阵的值相等：det(A) = det(A^T)（2）如果A的某两行（或两列）元素对应相等，则行列式的值为0。

（3）如果A的某行或某列的元素全为0，则行列式的值为0。

（4）若A的某行（或某列）的元素均乘以常数k，则行列式的值变为原来的k倍，即k * det(A)。

（5）若A的某行（或某列）的元素经过线性组合得到另一行（或另一列），则行列式的值不变。

2. 利用行列式求解线性方程组对于线性方程组Ax = b，其中A为系数矩阵，x为未知向量，b为常数向量，我们可以利用行列式的性质来求解。

设A为一个n阶方阵，b为n维向量。

当det(A)≠0时，方程组有唯一解，可以通过以下方法求解：x = A^(-1) * b其中A^(-1)为矩阵A的逆矩阵。

当det(A) = 0时，方程组可能有无穷多个解或无解。

我们可以进一步利用行列式的性质来判断具体的解的情况。

3. 判断线性方程组的解对于线性方程组Ax = b，当det(A) = 0时，可以通过计算方阵A的秩和增广矩阵[A|b]的秩来判断方程组的解的情况。

（1）当rank(A) = rank([A|b]) = n时，方程组无解。

数值分析第三章线性方程组解法

数值分析第三章线性方程组解法在数值分析中，线性方程组解法是一个重要的主题。

线性方程组是由一组线性方程组成的方程组，其中未知数的次数只为一次。

线性方程组的解法包括直接解法和迭代解法两种方法。

一、直接解法1.1矩阵消元法矩阵消元法是求解线性方程组的一种常用方法。

这种方法将方程组转化为上三角矩阵，然后通过回代求解得到方程组的解。

1.2LU分解法LU分解法是将系数矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，然后通过解两个三角方程组求解线性方程组。

这种方法可以减少计算量，提高计算效率。

1.3 Cholesky分解法Cholesky分解法是对称正定矩阵进行分解的一种方法。

它将系数矩阵A分解为一个下三角矩阵L和它的转置的乘积，然后通过解两个三角方程组求解线性方程组。

Cholesky分解法适用于对称正定矩阵的求解，具有较高的精度和稳定性。

二、迭代解法2.1 Jacobi迭代法Jacobi迭代法是一种迭代求解线性方程组的方法。

它通过分解系数矩阵A为一个对角矩阵D和一个余项矩阵R，然后通过迭代更新未知数的值，直至达到一定精度要求为止。

Jacobi迭代法简单易懂，容易实现，但收敛速度较慢。

2.2 Gauss-Seidel迭代法Gauss-Seidel迭代法是一种改进的Jacobi迭代法。

它通过使用新计算出的未知数值代替旧的未知数值，达到加快收敛速度的目的。

Gauss-Seidel迭代法是一种逐步逼近法，每次更新的未知数值都会被用于下一次的计算，因此收敛速度较快。

2.3SOR迭代法SOR迭代法是一种相对于Jacobi和Gauss-Seidel迭代法更加快速的方法。

它引入了一个松弛因子，可以根据迭代的结果动态地调整未知数的值。

SOR迭代法在理论上可以收敛到线性方程组的解，而且收敛速度相对较快。

三、总结线性方程组解法是数值分析中的一个重要内容。

直接解法包括矩阵消元法、LU分解法和Cholesky分解法，可以得到线性方程组的精确解。

NA-3-1线性方程组

13－
n
例 2、用回代法求解线性方程组 2 2x1 2 x1 x2 3x 2x 4x 9 2 3 1
解:
x1 2 / 2 1 x2 (2 1) / 1 1 x3 (9 3 1 2 1) / 4 1 所以，解为（x1 , x2 , x3 ) (1 ,1 , 1)
5
F 45
4
F14
H
1
F24

F 25
F35

2

F 23
3
1
V1
F12
2－
假设该结构的重量（100kg）集中于节点2（图形底部的中点），在各节点处的垂直和水平方向受力的平衡条件可依次表示为如下的方程
V 1 F14 s in 0 ,
H 1 F12 F14 c o s 0 , F 24 s in F 25 s in 1 0 0 , F12 F 23 F 24 c o s F 25 c o s 0 , V 3 F 35 s in 0 , F 23 F 35 c o s 0 , F14 s in F 24 s in 0 , F14 c o s F 24 c o s F 45 0 , F 25 s in F 35 s in 0 , F 25 c o s F 35 c o s F 45 0。
16－
例 3 用 Gauss消元法求解方程组 x1 2x2 3x3 6 2x1 3x2 4x3 9 x 3x 2x 6 2 3 1
1 2 3 6 ( 1 ) 解：增广矩A 阵： [A b ] 2 3 4 9 1 3 2 6 n 3 ,a 10 11 m a /a 2 /12 21 21 11 m a /a 1 /1 1 31 31 11 1 L = 2 1 , L A x L b 完成第一步消元 , 得 : 1 1 1 1 1

【文献综述】线性方程组解法的研究

【文献综述】线性方程组解法的研究文献综述信息与计算科学线性方程组解法的研究线性代数不仅是大学数学专业的一门重要的基础课程，也是本专科高校中各类专业的一门公共基础课，对后续知识的学习及学生的运算能力、逻辑推理能力、抽象概括能力的培养等都起着非常重要的作用。

线性代数理论有着悠久的历史和丰富的内容。

近年来随着科学技术的发展，特别是电子计算机使用的日益普遍，作为重要的数学工具之一。

线性代数的应用已经深入到自然科学、社会科学、工程技术、经济和管理等各个领域。

而求解线性方程组是线性代数的核心内容之一，也是它的最重要的应用领域之一。

线性方程组理论及其求解无论在工程计算和理论研究中都占有非常重要的地位，许多实际问题最终都可以化为一个线性方程组的求解问题。

线性方程组是指由一次方程所组成的方程组，对于它的研究主要是在解法问题上的探究，它有很多非常有效的解法，如高斯消元法、约当消元法、迭代法等，对一些特殊的线性方程组还有更有效的算法。

通常情况下，对于二元一次及三元一次方程组，采用的是加减消元法或带入消元法来求解。

至于多元线性方程组，大多采用的是高斯消元法、迭代法、主元素消去法等。

著名的克莱姆法则一般用在未知数个数和方程个数相等的情况下，用它求解方程组有个缺点，就是计算量比较大。

最初的线性方程组来源于生活，产生在实践中，正是一些实际问题刺激了这门学科的诞生和发展。

因此，线性方程组和我们的生活息息相关，人们对线性方程组的研究也在不断的深入，线性方程组理论及其解法更是不断的被应用在实际问题中。

对于线性方程组的解法，中国古代就有比较完整的论述。

在《九章算术方程》中，描述了相当于现在的高斯消元法，就是利用方程组的增广矩阵实行初等变换从而消去未知量的方法。

在印度，于梵藏的著作中最早出现一次方程组。

而西方，法国数学家彪特于1559年提出了三元一次方程组的解法，这也是欧洲最早出现的关于三元一次方程组的解法。

此后直到17世纪后期，由莱布尼茨开创了对线性方程组的研究，他当时研究的是含两个未知量的三个线性方程组组成的方程组，而且通过对线性方程组的研究还导致了他发明了行列式。