高中数学2.4.2《二次函数的性质》课件北师大版必修

1.抛物线y＝－2x2不具有的性质是 A.开口向下 C.与y轴不相交 【答案】 C
(
)
B.对称轴是y轴 D.最高点是原点
2.已知函数f(x)＝x2＋mx＋n满足f(1)＝f(－1)＝0，则f(0)＝
(
)
A.1
C.－1 【答案】 C
B.0
D.－2
3.抛物线y＝x2＋(a＋点在 y 轴上， a＋2 ∴－ ＝0，即 a＝－2. 2
.
【答案】 －2
4.求函数的最大值和最小值： 5 3 y＝3－2x－x2，x∈［－ ， ］ ； 2 2
【解析】 二次函数 y＝3－2x－x2 的对称轴为 x ＝－ b ，即 x＝－1.画出函数的图象， 2a 3 由图可知，当 x＝－1 时，ymax＝4；当 x＝ 时， 2 9 ymin＝－ . 4 5 3 所以函数 y＝3－2x－x2，x∈[－ ， ]的最大值为 2 2 9 4，最小值为－ . 4
延伸 b
2a
, 4a )
2 (2)对称轴是 b 4ac b，
顶点坐标是
顶点坐标是 b b , , 2 a 2 a (3)在区间 上是减 (3)在区间 上是增函
b , a 2 函数， b , 2a 数，
4.2 二次函数的性质
1.y＝ax2(a≠0)的图象 二次函数y＝ax2(a≠0)的图象可由y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的 a 倍 得到，其中a决定了图象的 开口方向 和在同一直角坐标系中的 开口大小 .
2.y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图象
一般地，二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，a决定了二次函数图象的开口大小及 方向；h决定了二次函数图象的 左右 平移，而且“h正 左 移，h负 右 移”；k 决定了二次函数图象的 上下 平移，而且“k正上 移，k负 下 移”.
的关键在于借助于函数的对称轴，通过集合间的关系来建立变量间的关系， 得出参数的取值范围.
3.若f(x)＝－x2＋2ax，在区间［0,1］上是增函数，在区 间［2,3］上是减函数，求实数a的取值范围. 【解析】 ∵f(x)＝－x2＋2ax＝－(x－a)2＋a2， ∴f(x)的单调增区间为(－∞，a］， 单调减区间为［a，＋∞).
(1)求函数在某区间上的最值，一般应先判定函数在该区 间的单调性. (2)求二次函数的最值时，应判断它的开口方向、对称轴与区间的关系， 若含有字母，要根据对称轴和区间的关系对字母进行讨论，解题时要注意数 形结合.
2.已知二次函数f(x)＝x2－2x＋3，
(1)当x∈［－2,0］时，求f(x)的最值；
【解析】
(1)将函数配方化为顶点式 3 1 2 2 y＝ 2x － 3x＋1＝2x－ － . 4 8 1 3 3 则顶点坐标为 ，－ ，对称轴为 x ＝ ； 8 4 4 3 1 (2)当 x＝ 时， ymin＝－ ； 4 8 3 (3)∵ 函数 y＝ 2x2－3x＋ 1 的对称轴为 x＝ ， 4 3 3 ∴ f － x ＝ f ＋ x . 4 4 7 7 3 3 5 ∴ f(－1)＝ f ＋－ ＝ f ＋ ＝ f . 4 4 4 2 4 5 3 而函数在 ，＋ ∞ 上是增函数， ＞ 1， 2 4 5 ∴ f ＞ f(1)． 2 ∴ f(－1)＞ f(1)．
讨论二次函数的性质一定要结合二次函数的图象，为了 方便，通常画草图，有时可以省去y轴，利用单调性比较两个数值的大小， 关键是利用对称性将它们转化到同一单调区间上，这里体现了数形结合及 化归等重要思想方法.
1 5 1.已知函数 y＝f (x)＝－ x2－3x－ . 2 2 (1)求这个函数的顶点坐标和对称轴； (2)已知
(2)当x∈［－2,3)时，求f(x)的最值； (3)当x∈［t，t＋1］时，求f(x)的最小值g(t). 【解析】 ∵f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，其对称轴为x＝1，开口向上. (1)当x∈［－2,0］时，f(x)在［－2,0］上是单调递减的，故当x＝－2时， f(x)有最大值f(－2)＝11； 当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝3. (2)当x∈［－2,3)时，f(x)在［－2,3)上是先减后增的，故当x＝1时，f(x)有 最小值f(1)＝2， 又|－2－1|＞|3－1|，
a a 【错因】 本题的对称轴为 x＝ ， 并不能说明 是 2 2 否属于［0,1］.
a 【正解】 对称轴 x＝ . 2 a (1)当 ＜0， 即 a＜0 时， ［0,1］ 是 f(x)的递减区间， 2 则 f(x) max ＝f(0)＝－4a－a2＝－5，得 a＝1 或 a ＝－5，而 a＜0，即 a＝－5； a (2)当 ＞1， 即 a＞2 时， ［0,1］ 是 f(x)的递增区间， 2 则 f(x) max ＝f(1)＝－4－a2＝－5， 得 a＝1 或 a＝－1，而 a＞2，即 a 不存在； a (3)当 0≤ ≤1，即 0≤a≤2 时， 2 a 5 5 则 f(x) max ＝f( )＝－4a＝－5 ， a ＝ ，即 a ＝ ； 2 4 4 5 ∴a＝－5 或 . 4
二次函数图象的对称性 已知函数f(x)＝2x2－3x＋1， (1)求这个函数图象的顶点坐标和对称轴； (2)求这个函数的最小值； (3)不直接计算函数值，试比较f(－1)和f(1)的大小.
【思路点拨】 首先把f(x)配方得顶点式，从而得出(1)(2)的结果.要
比较f(－1)和f(1)的大小，只比较－1和1与对称轴哪一个最近.
(2)中(－∞，2)中的“2”是增减的分界点，即x＝2是对称轴.
【解析】 ∵f(x)＝－(x－a)2＋a2，其函数图象开口向下，对称轴为x＝a.
(1)∵f(x)的增区间为(－∞，a］，
由题意(－∞，a］(－∞，2)，∴a≥2. (2)由题意，f(x)的对称轴为x＝a＝2，即a＝2.

二次函数的对称轴是其单调区间的分界线，解答此类问题
7 15 f 求 － ＝ ， 不直接计算函数值， 8 2 5 f － . 2
【解析】 将函数解析式配方，找出对称轴，根据对称性求值，将
1 f－ 转化到与 4 15 f－ 在对称轴的同侧，利用二次函数的单调性比较两 4
又∵f(x)在［0,1］上是增函数，在［2,3］上是减函数.
∴［0,1］(－∞，a］且［2,3］［a，＋∞)，∴1≤a≤2.
a、b、c 的代数式
作用 1.决定抛物线的开 口方向与开口大小 2．决定单调性
说明 a>0 a＜0 b＝0 b≠0 c＞ 0 c＝ 0 c＜ 0 开口向上，a越小，开口越大 在上递减，在上递增 开口向下，|a|越小，开口越大 在上递增，在上递减 偶函数 既不是奇函数也不是偶函数 交点在x轴上方 抛物线过原点 交点在x轴下方
二次函数的单调性及应用
(1)若f(x)＝－x2＋2ax在(－∞，2)上是增函数，求实数a的取值 范围. (2)已知函数f(x)＝－x2＋2ax的增区间为(－∞，2)，求实数a的值. 【思路点拨】 解答本题应对(1)(2)两问中的题设条件进行分析，
(1)中区间(－∞，2)应为f(x)增区间的子区间；
二次函数的值域（最值） 求f(x)＝x2－2ax－1在区间［0,2］上的最大值和最小值. 【思路点拨】 二次函数的对称轴x＝a变化，导致函数最值变化.
【解析】 f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a. ①当a＜0时，由图①可知，
f(x)min＝f(0)＝－1，
f(x)max＝f(2)＝3－4a. ②当0≤a＜1时，由图②可知， f(x)min＝f(a)＝－1－a2， f(x)max＝f(2)＝3－4a. ③当1≤a≤2时，由图③可知， f(x)min＝f(a)＝－1－a2， f(x)max＝f(0)＝－1. ④当a＞2时，由图④可知， f(x)min＝f(2)＝3－4a， f(x)max＝f(0)＝－1.
个数的大小． 1 5 1 y＝f (x)＝－ x2－3x－ ＝－ (x＋3)2＋2. 2 2 2 (1)顶点坐标为(－3,2)，对称轴为 x＝－3； (2)已知
7 5 15 f－ ＝f (－3.5)＝f (－3－0.5)＝f (－3＋0.5)＝f－ . ＝ 2 2 8
性 质 在区间
x b 2a
上是增函数 在区间
x
上是减函数
(4)抛物线有最低点， 当 ymin＝ 时，y有最小值，
4ac b 2 4a
b (4)抛物线有最高点， 2a
4ac b 2 当 时，y有最大值， 4a
ymax＝
二次函数在其对称轴的两侧单调性一定相反吗？ 【提示】 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，在其对称轴两侧的单调性一定相反，可 以借助于二次函数的图象进行说明.
a
b
决定函数的奇偶性 决定抛物线与y轴 交点的位置，交点 坐标为(0，c)
c
已知 f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2 在区间［0,1］内有 一最大值－5，求 a 的值. a 因 f(x)＝－4(x－ )2－4a 2 a 5 ∴f(x) max ＝f( )＝－4a＝－5，∴a＝ . 2 4 【错解】
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质
函数
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常
数，a≠0) a＞ 0 a＜ 0
图 象
(1)抛物线开口向上，并向上无限 (1)抛物线开口向下，并向下无限
2a (2)对称轴是 ， b 4ac b2 ( , ) 2a 4a x
延伸 b
x
( 2a
∴f(x)的最大值为f(－2)＝11.
(3)①当 t＞1 时， f(x)在［t，t＋1］上单调递增，所以当 x＝t 时， f(x)取得最小值， 此时 g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3. ②当 t≤1≤t＋1， 即 0≤t≤1 时， f(x)在区间［t，t＋1］上先减再增， 故当 x＝1 时，f(x)取得最小值， 此时 g(t)＝f(1)＝2. ③当 t＋1＜1，即 t＜0 时，f(t)在［t，t＋1］上单调递减，所以当 x ＝t＋1 时，f(x)取得最小值， 此时 g(t)＝f(t＋1)＝t2＋2， t2－2t＋3 综上得 g(t)＝ 2 t2＋2 (t＞1) (0≤t≤1) . (t＜0)