代数综合题习题含详细答案2010-5-14

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代数综合题2010年5月
1.已知关于x的方程22521204xkxkk①。
（1）求证：对于任意实数k，方程①总有两个不相等的实数根；

（2）如果a是关于y的方程211211024yxkyxkxk②的根，其中，1x、2x为方程

①的两个实数根，且12xx，求代数式2114(1)11aaaa的值。
答案：14－
2．已知关于x的一元二次方程022cbxax（0a）①.
（1）若方程①有一个正实根c，且02bac.求b的取值范围；
（2）当1a＝时，方程①与关于x的方程0442cbxx②有一个相同的非零实根，求 cbcb2288 的
值.
解：（1）∵ c为方程的一个正实根（0c），
∴ 022cbcac. ····················· 1分
∵0c,
∴ 012bac，即12bac. ··············· 2分
∵ 02bac，
∴ 0)12(2bb.

解得 32b． ······················· 3分
又0ac（由0a，0c）．
∴ 012b．

解得 21b．

∴ 2132b． ······················ 4分

（2）当1a时，此时方程①为 022cbxx.
设方程①与方程②的相同实根为m，
∴ 022cbmm③
∴ 0442cbmm④
④－③得 0232bmm.
整理，得 0)23(bmm.
∵m≠0，
∴023bm.

解得 32bm. ······················· 5分

把32bm代入方程③得 0)32(2)32(2cbbb.
2

∴0982cb，即cb982.
当cb982时，548822cbcb. ·················· 7分
解法二：
解关于b、c的方程组 022cbmm③
0442cbmm④

可以解得：2324mbcm，可以求出548822cbcb．
3．当k是什么整数时, 方程(k
2–1)x2
–6(3k–1)x+72=0有两个不相等的正整数根？

答案：12126,11xxkk k=2

4. 关于x的一元二次方程011222mxmx与0544422mmmxx的根都是整数，求m的整
数值, 并求出两方程的整数根.
答案： 1255540,4(54)0,44mmm，当m=1时，x=0, 1；–1,5; 当m=–1时，x=0,

–3；–1,–3
5.若关于x的一元二次方程m2x2-(2m-3)x＋1=0的两实数根为x1 、x2 ，且x1＋x2=223mm, x1·x2=21m,两实
数根的倒数和是S.求：（1）m的取值范围；（2）S的取值范围.
解：（1）b2－4ac=－12m＋9≥0

∴ m≤43 ………………………………1分
又 ∵ m2≠0
∴ m≤43且m≠0 …………………………2分

（2）S=11x＋21x=2121xxxx=2m－3
∴ m=23S 即 23S≤43
∴S≤－23 …………………………3分
又 ∵ m≠0 即 23S≠0
∴S≠－3
∴S≤－23且S≠－3 ……………………4分

6．已知关于x的方程 2220xaxab，其中a、b为实数.
3

（1）若此方程有一个根为2 a（a ＜0），判断a与b的大小关系并说明理由；
（2）若对于任何实数a ，此方程都有实数根，求b的取值范围.

答案：（1）∵ 方程 2220xaxab有一个根为2a ，
∴ 224420aaab.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1分
整理，得 2ab.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2分

∵ 0a， ∴ 2aa，即ab.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3分
（2） 2244(2)448aabaab.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4分
∵ 对于任何实数a，此方程都有实数根，
∴ 对于任何实数a，都有2448aab≥0 ，即22aab≥0. - - - - - 5分

∴ 对于任何实数a，都有b≤22aa.
∵ 22111()2228aaa ，
当 12a时，22aa有最小值18.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -6分
∴ b的取值范围是b≤18. - - - - - - - - - - -7分

7.关于x的方程210xmxm有两实根x1和x2，关于y的方程02)1(222nnyny有两实根y
1

和y2，且4221yy，当212122(2)140xxyy时，求m取值范围.

答案：122,ynyn ，2246(04)810mnnnm

8. 已知x1，x2 是关于x的方程（x–2）（x–m）=（p–2）（p–m）的两个实数根．
（1）求x1，x2 的值；
（2）若x1，x2 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积
最大？并求出其最大值．

答案：（1） 原方程变为：x2－（m + 2）x + 2m = p2－（m + 2）p + 2m，
∴ x2－p2－（m + 2）x +（m + 2）p = 0，
（x－p）（x + p）－（m + 2）（x－p）= 0，
即 （x－p）（x + p－m－2）= 0，
∴ x1 = p， x2 = m + 2－p．
（2）∵ 直角三角形的面积为)2(212121pmpxx=pmp)2(21212

=)]4)2(()22()2([21222mmpmp
4

=8)2()22(2122mmp，
∴ 当22mp且m＞－2时，以x1，x2为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为
8

)2(2m

或221p．
9.已知抛物线22yxmxm．
（1）求证抛物线与x轴有两个不同的交点；
（2）若m是整数，抛物线22yxmxm与x轴交于整数点，求m的值；

解：（1）证明：令0y，则022mmxx.
因为842mm
=04)2(2m，………………………………………………1分
所以此抛物线与x轴有两个不同的交点. ………………………………2分

（2）因为关于x的方程022mmxx的根为24)2(2mmx，
由m为整数，当4)2(2m为完全平方数时，此抛物线与x轴才有可能交于整数点.
设224)2(nm（其中n为整数），………………………………3分
则4)]2()][2([mnmn
因为)2(mn与)2(mn的奇偶性相同，

所以；，2222mnmn或；，2222mnmn
解得 2m.
经过检验，当2m时，方程022mmxx有整数根.
所以2m. ………………………………………………………………5分

10.已知点A（－1，－1）在抛物线22(1)2(2)1ykxkx上,点B与点A关于抛物线的对称轴对称,
（1）求k的值和点B的坐标；
（2）是否存在与此抛物线仅有一个公共点B的直线?如果存在,求出符合条件的直线的解析式;如果不存在,
简要说明理由.
解： (1)根据题意,将x＝－1, y＝－1, 代入抛物线的解析式, 得

22
(1)(1)2(2)(1)11kk
5

解得
12
1,3.kk

由于
2
10k
,

所以3k. … … … … … … … … … … … … 1分
.

抛物线的解析式是
2
8101yxx
,

对称轴为直线
5
8
x
.


点B和点A(－1,－1) 关于直线

58x对称, 1
(,1)4B
. … … … 2分.

(2)
存在. … … … … … … … … … … … …3分.
理由如下：
1）当过点B的直线与抛物线相切时
设经过点B的直线的解析式是ymxn,将B点坐标代入得44mn. ①
又要使直线与抛物线只有一个公共点
,

只要使方程 28101mxnxx有两个相等的实数根
,

方程28101mxnxx整理得
,28(10)10xmxn,

得=2(10)32(1)0.mn ②
将 ①代②，解出，16,2mn,它的解析式是162yx. … … … … 4分
.

2）当过点B的直线与抛物线相交时
又有过点B平行于y轴的直线与抛物线仅有一个公共点,即14x. … … 5分
.

答：直线的解析式是162yx或14x.
11、已知抛物线22yaxx.
（1）当a=-1时，求此抛物线的顶点坐标和对称轴；
（2）若代数式22xx的值为正整数，求x的值；

（3）当a=a1时，抛物线22yaxx与x轴的正半轴相交于点M（m，0）；当a=a2时，抛物线
2
2yaxx
与x轴的正半轴相交于点N（n，0）.若点M在点N的左边，试比较1a与2a的大小.

答案：（1）当a=-1时，22yxx＝2221119()2()2()4424xxxxx