代数综合题习题含详细答案2010-5-14

代数综合题2010年5月

1.已知关于x 的方程()22521204

x k x k k -+++-

=①

。 （1）求证：对于任意实数k ，方程①总有两个不相等的实数根； （2）如果a 是关于y 的方程()()211211

024y x k y x k x k ⎛

⎫---

+--+= ⎪

⎝

⎭②的根，其中，1x 、2x 为方程①的两个实数根，且12x x <，求代数式2

11

4(1)11a a a a ⎛⎫-

÷⋅- ⎪

++⎝⎭的值。 答案：14

－

2．已知关于x 的一元二次方程022=++c bx ax （0>a ）①.

（1）若方程①有一个正实根c ，且02<+b ac .求b 的取值范围；

（2）当1a ＝时，方程①与关于x 的方程0442

=++c bx x ②有一个相同的非零实根，求

c

b

c b +-2

288 的

值. 解：（1）∵ c 为方程的一个正实根（0>c ），

∴ 022=++c bc ac . ····················· 1分

∵0>c ,

∴ 012=++b ac ，即12--=b ac . ··············· 2分 ∵ 02<+b ac ， ∴ 0)12(2<+--b b . 解得 3

2-

>b ． ······················· 3分

又0>ac （由0>a ，0>c ）．

∴ 012>--b ． 解得 2

1-

∴ 2

13

2-

<<-

b ． ······················ 4分

（2）当1=a 时，此时方程①为 022=++c bx x .

设方程①与方程②的相同实根为m ，

∴ 022

=++c bm m ③

∴ 0442

=++c bm m ④

④－③得 0232

=+bm m . 整理，得 0)23(=+b m m . ∵m ≠0，

∴023=+b m . 解得 3

2b m -=. ······················· 5分

把32b m -

=代入方程③得 0)3

2(2)

32(2

=+-

+-c b b b .

∴09

82

=+-

c b ，即c b 982=.

当c b 982

=时，

5

4882

2=

+-c

b

c b . ·················· 7分

解法二：

解关于b 、c 的方程组

022=++c bm m ③

0442=++c bm m ④ 可以解得：

2324m b c m ⎧=-

⎪⎨⎪=⎩

，可以求出54882

2

=+-c

b c b ． 3．当k , 方程(k 2–1)x 2–6(3k –1)x +72=0 答案：12126,1

1

x x k k =

=

+- k =2

4. 关于x 的一元二次方程()011222=-+--m x m x 与0544422=--+-m m mx x 的根都是整数，求m 的整数值, 并求出两方程的整数根.

答案： 1255540,4(54)0,4

4

m m m ∆=-≥∆=+≥-≤≤

，当m =1时，x =0, 1；–1,5; 当m =–1时，x =0,

–3；–1,–3

5.若关于x m 2x 2

-(2m -3)x ＋1=0的两实数根为x 1 、x 2 ，且x 1＋x 2=2

23m m

-, x 1·x 2=

2

1m

,两实

数根的倒数和是S .求：（1）m 的取值范围；（2）S 的取值范围. 解：（1）b 2－4a c =－12m ＋9≥0 ∴ m ≤

4

3 ………………………………1分

又 ∵ m 2

≠0 ∴ m ≤

4

3且m ≠0 …………………………2分

（2）S =1

1x ＋2

1x =

2

121x x x x +=2m －3

∴ m =

23+S 即 2

3+S ≤4

3

∴S ≤－2

3 …………………………3分

又 ∵ m ≠0 即

2

3+S ≠0

∴S ≠－3

∴S ≤－2

3且S ≠－3 ……………………4分

6．已知关于x 的方程 2220x ax a b --+=，其中a 、b 为实数.

（1）若此方程有一个根为2 a （a ＜0），判断a 与b 的大小关系并说明理由；

（2）若对于任何实数a ，此方程都有实数根，求b 的取值范围. 答案：（1）∵ 方程 2220x ax a b --+=有一个根为2a ，

∴ 224420a a a b --+=.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1分 整理，得 2

a b =

.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2分

∵ 0a <， ∴ 2

a a <

，即a b <.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3分

（2） 2244(2)448a a b a a b ∆=--+=+-.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4分

∵ 对于任何实数a ，此方程都有实数根，

∴ 对于任何实数a ，都有2448a a b +-≥0 ，即22a a b +-≥0. - - - - - 5分 ∴ 对于任何实数a ，都有b ≤2

2

a a +.

∵ 2

2

111()2

2

2

8

a a a +=

+

-

，

当

12

a =-

时，

2

2

a a +有最小值18

-

.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -6分

∴ b 的取值范围是b ≤18

-

. - - - - - - - - - - -7分

7.关于x 的方程2

10x mx m ---=有两实根x 1和x 2，关于y 的方程02)1(222=-+--n n y n y 有两实根y 1和y 2，且4221≤<≤-y y ，当2

12122(2)140x x y y ++-+=时，求m 取值范围. 答案：122,y n y n =-= ，2246(04)810m n n n m =--≤≤⇒-≤≤

8. 已知x 1，x 2 是关于x 的方程（x –2）（x –m ）=（p –2）（p –m ）的两个实数根．

（1）求x 1，x 2 的值；

（2）若x 1，x 2 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m ，p 满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值．

答案：（1） 原方程变为：x 2－（m + 2）x + 2m = p 2－（m + 2）p + 2m ，

∴ x 2－p 2－（m + 2）x +（m + 2）p = 0， （x －p ）（x + p ）－（m + 2）（x －p ）= 0， 即 （x －p ）（x + p －m －2）= 0， ∴ x 1 = p ， x 2 = m + 2－p ． （2）∵ 直角三角形的面积为

)2(2

12121p m p x x -+=

=p m p )2(2

1212

++

-

=)]4

)

2((

)2

2(

)2([2

12

2

2

+-+++--m m p m p