高一数学四中

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北京四中高中数学精品全套-高一数学-5、立体几何- 30页

目录空间几何体结构及其三视图 (2)空间几何体结构及其三视图 (8)直线、平面平行的判定与性质 (13)直线、平面平行的判定与性质 (16)空间角与空间距离 (21)空间向量在立体几何中的应用 (27)空间几何体结构及其三视图北京四中一、知识要点二、基础训练凸多面体的体积为（）的中心为顶点的，则以该正方体各个面、若正方体的棱长为21的小长方体，所得几何体、一个长方体去掉一个2何体、若某空间几何体的三3视图如图所示，则该几4、正视图为一个三角形的几何体可以是（）、如图，网格纸的小正15方形的边长是，在其上、设三棱柱的侧棱垂直6与底面，所有棱的-SAABCD7=S中，，那么、已知正四棱锥328、三、典型例题空间几何体结构及其三视图北京四中一、知识要点二、典型例题直线、平面平行的判定与性质北京四中一、知识要点二、典型例题直线、平面平行的判定与性质北京四中一、知识要点二、基础练习1确的是（）、在空间，下列命题正2P、如右图，已知六凌锥ABCDEF的底面是=BCABABCD，4=2中，，、如下图，在长方形1三、典型例题题型二线面垂直【例2】如图，正方形 E空间角与空间距离北京四中一、知识要点二、典型例题题型一空间角及其求法【例1】等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C-AB-D 的余弦值为33，M 、N 分别是AC 、BC 的中点，则EM 、AN 所成角的余弦值等于【例2】已知三棱锥P-ABC 中，【例3】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面空间向量在立体几何中的应用北京四中一、知识要点1. 直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一向量作为它的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为．2. 空间向量与空间角的关系(1)两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝|cosθ|＝(其中φ为异面直线a，b所成的角)．范围是(0，π2]．(2)直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝．取值范围是[0，π2]．(3)求二面角的大小(ⅰ)如图①，AB、CD是二面角α－l－β的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝(ⅱ)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝取值范围是[0，π]．3. 点到面的距离的求法如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d＝．4. 线面距、面面距均可转化为点面距进行求解．二、典型例题例1如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点．求证：(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF.[变式探究1]已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝90°，2AB＝2AD＝CD，侧面P AD是正三角形且垂直于底面ABCD，E是PC的中点．(1)求证：BE⊥平面PCD；(2)在PB上是否存在一点F，使AF∥平面BDE?例2如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1＝22，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H＝ 5.(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；(2)求二面角A－A1C1－B1的正弦值；(3)设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN⊥平面A1B1C1，求线段BM的长．例3如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2 3.求点A到平面MBC的距离．。

四川省南江四中高一数学衔接教材绝对值、乘法公式

四川省南江四中高一数学初高中衔接教材：绝对值、乘法公式绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．例1、解不等式：|x |1≥例2、解不等式：|1|2x -≤你自己能总结出一般性的结论吗?例3、解不等式：13x x -+-＞4．解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =；①若1<x ，不等式可变为(1)(3)4x x ---->，即24x -+＞4，解得x ＜0，又x ＜1，∴x ＜0；②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->，即1＞4，∴不存在满足条件的x ；③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->，即24x -＞4，解得x ＞4．又x ≥3，∴x ＞4．综上所述，原不等式的解为x ＜0，或x ＞4．解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|PA |，即|PA |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|．所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为|PA |＋|PB |＞4．由|AB |＝2，可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧． x ＜0，或x ＞4．练习1．填空题：（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________.（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________2．选择题：下列叙述正确的是（）（A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b > A x0 C x |x －1| |x －3| 图1．1（C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =±3．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．4．解下列不等式：（1）3233x x ++-≥（2）134x x +-->-(二)乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++=61x -．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++=33(1)(1)x x +-=61x -．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．练习：1．填空题：（1）221111()9423a b b a -=+（）；（2）(4m + 22)164(m m =++ )；(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )．2．选择题：（1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于（）（A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m （2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值（）（A ）总是正数（B ）总是负数（C ）可以是零（D ）可以是正数也可以是负数。

高一数学必修4重点知识点

高一数学必修4重点知识点在高一数学必修4中，有许多重要的知识点需要掌握和理解。

这些知识点不仅是高中数学学习的基础，也是后续学习的关键。

本文将对高一数学必修4的重点知识点进行简要的介绍和分析。

一、函数与导数函数是高一数学必修4中的重要内容。

函数是数学中的基本概念，它描述了一种输入和输出之间的关系。

在函数的学习中，我们需要掌握函数的定义域、值域、图象、奇偶性等基本概念。

在函数的图象绘制中，我们需要了解如何根据函数的定义来绘制图象，并且能够正确地解读图象中的各种信息。

导数是函数中的重要概念之一。

导数描述了函数在某一点处的变化速率。

在导数的学习中，我们需要掌握导数的定义、性质以及计算方法。

特别是需要注意函数的可导性和导数的连续性等重要概念。

二、不等式不等式是高一数学必修4中的另一个重要内容。

不等式描述了数学中的一种不等关系。

我们需要掌握不等式的基本性质，如加减乘除不等号的运算规则、绝对值不等式的性质等。

此外，我们还需要掌握解不等式的方法，如利用数轴图解法、区间判别法等。

在不等式的学习中，需要特别注意联立不等式的解法。

联立不等式要求同时满足多个不等条件，因此需要合理地利用已知条件进行分析和求解。

三、数列与数学归纳法数列是高一数学必修4中的一个重要内容。

数列描述了一系列具有特定关系的数的集合。

在数列的学习中，我们需要掌握数列的基本概念，如等差数列、等比数列等，并且能够利用递推公式或通项公式求解数列中的某一项。

数学归纳法是数列中的一个重要解题方法。

数学归纳法通过证明第一步成立和第n+1步推论成立来证明n步成立。

理解和掌握数学归纳法的原理和应用是解决数列问题的关键。

四、平面向量平面向量是高一数学必修4中的一个重要内容。

平面向量描述了平面上的方向和长度。

在平面向量的学习中，我们需要掌握向量的定义、运算方法以及向量的线性组合等基本概念。

此外，我们还需要了解向量的共线、垂直和平行等重要性质，并能够应用这些性质解决实际问题。

2022-2023学年山东省临沂市第四中学高一上学期期末考试数学试题(解析版)

临沂四中高一上学期期末考试数学学科试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】集合M中元素是实数，集合N中元素是整数，先化简集合M再与集合N取交集即可解决.
【详解】方程有两根或，则由不等式可得
【详解】对于A：
函数的图像经过第一、三象限，故A正确；
对于B：
函数的定义域为，
单调递增区间为，故B错误；
对于C：
若在的图象上，则在的图象上，所以图象关于y轴对称，故C正确；
对于D：
由于与互为反函数，所以图象关于对称，故D正确.
故选：ACD
10.已知为第一象限角，下述正确的是（）
【详解】等价于，解得：；等价于，解得：，可以推出，而不能推出，所以是的必要不充分条件，所以“ ”是“ ”的必要不充分条件
故选：B
7.已知都是正实数，若，则的最小值为（）
A.2B.4C.6D.8
【答案】D
【解析】
【分析】均值定理连续使用中要注意等号是否同时成立.
【详解】由可知
A. B. 为第一或第三象限角
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据为第一象限角，可得，即可判断A，求出的范围，从而可判断B，结合商数关系即可判断C，根据余弦函数的性质即可判断D.
【详解】解：因为为第一象限角，所以，故A错误；
，
当时，，为第一象限角，
当时，，为第三象限角，
所以为第一或第三象限角，故B正确；

浙江省杭州市杭州四中2024届高一数学第一学期期末复习检测试题含解析

浙江省杭州市杭州四中2024届高一数学第一学期期末复习检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．已知矩形ABCD ，4AB =，3BC =，将矩形ABCD 沿对角线AC 折成大小为θ的二面角B AC D --，则折叠后形成的四面体ABCD 的外接球的表面积是 A.9π B.16πC.25πD.与θ的大小有关2．函数y x a =+与xy a-=（0a >且1a ≠）在同一坐标系中的图象可能是（）A. B.C. D.3．一半径为2m 的水轮，水轮圆心O 距离水面1m ；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，且当水轮上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计算时间．如图所示，建立直角坐标系，将点P 距离水面的高度h （单位：m ）表示为时间t （单位：s ）的函数，记()h f t =，则()(1)(2)f t f t f t ++++=（）A.0B.1C.3D.44．直线l 1：x +ay +1＝0与l 2：（a ﹣3）x +2y ﹣5＝0（a ∈R ）互相垂直，则直线l 2的斜率为（） A.12B.12-C.1D.﹣15．在平行四边形ABCD 中，(1,2),(3,2)AC BD ==-，则AB BC ⋅=（） A.4- B.2- C.2D.46．函数的xy x x=+图象是（） A. B.C. D.7．已知0.32=a ，32b =，12c -=，那么a ，b ，c 的大小关系为（） A.a b c >> B.b a c >> C.c a b >>D.c b a >>8．如果全集*{|5}U x N x =∈<，{1,2}M =，则UM =A.∅B.{1,2}C.{3,4}D.{0,3,4}9．函数11()sin 249f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为（） A.2πB.4πC.8πD.16π10．设为全集，是集合，则“存在集合使得是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2023-2024学年北京四中高一(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年北京四中高一（上）期中数学试卷一、选择题。

（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1．设集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B＝（）A．{x|x＞﹣1}B．{x|x≥1}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|1≤x＜2}2．已知下列表格表示的是函数y＝f（x），则f（﹣1）+f（2）的值为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．13．函数f(x)=13x3−2x−2一定存在零点的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）4．函数f(x)=√3x+61−x的定义域为（）A．[﹣2，1）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．[﹣2，1]D．（﹣∞，﹣2]∪（1，+∞）5．关于x，y的方程组{x 2+y2−1=0y−x−m=0有唯一的一组解，则实数m的值是（）A．√2B．−√2C．±√2D．16．已知a，b为非零实数，则“a＞b”是“1a ＜1b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．已知函数f（x）为奇函数，其局部图象如图所示，那么（）A．f（2）＝2B．f（2）＝﹣2C．f（2）＞﹣2D．f（2）＜﹣28．《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》被称为中国古典小说四大名著．学校读书社共有100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的人数为90，阅读过《红楼梦》的人数为80，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的人数为60，则这100名学生中，阅读过《西游记》的学生人数为（）A．80B．70C．60D．509．已知函数f（x）={x2+4x+3，x≤0−2x2+4x−1，x＞0，若关于x的方程f（x）﹣a＝0有两个不同的实数根，那么实数a的取值范围是（）A．（1，3]∪{﹣1}B．（1，3）∪{﹣1}C．（1，3）D．（1，3]10．已知函数f(x)=√x+1+k，若存在区间[a，b]，使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a+1，b+1]，则实数k的取值范围为（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，0]C．[−14，+∞)D．(−14，0]二、填空题。

2022年北京四中高一数学期末考试卷及答案一

2022年北京四中高一数学期末考试卷及答案一考试时间：120分钟姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.已知集合A={2,3,5,7},B={1,3,5,7,9}，则A∩B=()A.{1,2}B.{3,5,7}C.{1,3,5,7,9}D.{1,2,3,5,7,9}2.在2h内将某种药物注射进患者的血液中,在注射期间,血液中的药物含量呈线性增加;停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减,能反映血液中药物含量Q随时间变化的图象是().A. B.C. D.3.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直.以上四个命题中，不正确．．．命题的序号是（）A.①②③B.①②C.③④D.①②④4.一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A．7米/秒B．6米/秒C．5米/秒D．8米/秒5.如果函数在区间上单调递减，那么实数的取值范围是（）A.B.C.D.6.过原点且倾斜角为60°的直线被圆22(2)4x y +-=所截得的弦长为（）D．27.设函数，则满足的x 的取值范围是（）A. B.C.D.8.已知是幂函数，且在第一象限内是单调递减的，则m 的值为()A.－3B.2C.－3或2D.39.已知=(2,3)，=(3，t )，=1，则=A.－3B.－2C.2D.310.已知椭圆的方程为5cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数），则该椭圆的准线方程是（）A．254x =±B．165y =±C．165x =±D．254y =±二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）11.已知，则=_____．12.函数的定义域为______________．13.设，若时均有，则▲．14.某港口的水深（米）随着时间（小时）呈现周期性变化，经研究可用来描述，若潮差（最高水位与最低水位的差）为3米，则的取值范围为_______．15.命题“，”的否定为________．16.已知直线，直线，则直线与间的距离为______________．17.在ABC ∆中，0601,,A b ==，则sin sin sin a b cA B C++=++.18.已知函数，若、、、、满足，则的取值范围为______.19.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图所示），刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为．若“牟合方盖”的体积为，则正方体的外接球的表面积为__________．20.某工厂第一车间有工人1200人，第二车间有工人900人，第三车间有工人1500人，现用分层抽样的方法从这三个车间中抽取一个容量为144的样本进行某项调查，则第二车间应抽取的工人数为______．三、解答题（本大题共9小题，每小题10分，共90分）21.已知，求：（1）的单调增区间；（2）当时，求的值域.22.在区间(1,1)-中随机地取出两个数,m n ，求使方程22210x mx n +-+=无实根的概率。

北京四中高中数学精品全套-高一数学-9、圆与议程- 24 页

目录第一讲直线及其方程 (2)第2讲两直线的位置关系 (6)第3讲圆的方程 (9)第4讲与圆有关的位置关系 (14)直线和圆的方程应用 (17)空间直角坐标系 (20)第一讲直线及其方程北京四中考纲导读1．在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素。

2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式。

3．掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式，了解斜截式与一次函数的关系。

知识要点一、直线1.曲线与方程：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上. 注意：①点00(,)P x y 在曲线:(,)0C f x y =上00(,)0f x y ⇔=.②区别轨迹和轨迹方程两个不同的概念，轨迹是“形”，轨迹方程是“数”.③求曲线的方程的一般步骤：建系、列式、代入、化简、证明（化简前后解集没变可省略证明）④求未知曲线的方程的常用方法：（1）直接法；（2）间接法；（3）参数法.2.直线方程（1）相关概念和公式直线的方程：以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，此时，方程叫直线的方程，直线叫方程的直线。

直线的倾斜角：在直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角叫做这条直线的倾斜角，通常用α表示，当直线和x 轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0，于是倾斜角的取值范围：0180≤α<.直线的斜率：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率，常用k 表示，斜率的计算公式： ①tan (=90)k =︒αα时斜率不存在 ②211221=()y -y k x x x -x =时斜率不存在直线的方向向量：直线上的向量AB 及与它平行的向量都称为直线的方向向量，当直线AB 的斜率k 存在时，(1,)k 为其方向向量。

镇雄第四中学高一知识点

镇雄第四中学高一知识点高一是学生们迈入高中阶段的开始，也是他们学习生涯中的重要阶段。

在这个阶段，学生将接触到许多新的知识点，为了帮助同学们更好地掌握和理解这些知识点，本文将详细介绍一些镇雄第四中学高一的知识点。

一、数学知识点（1）函数与方程组在高一数学中，学生将学习函数与方程组的相关知识。

函数是数学中常见的概念，可以用来描述两个变量之间的关系。

方程组则是由多个方程组成的一种数学结构，通过求解方程组可以得到未知数的值。

（2）三角函数三角函数是高中数学中重要的知识点，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

学生需要了解三角函数的定义、性质和图像，并学会在具体问题中应用三角函数进行计算。

二、物理知识点（1）力学力学是物理学的一个重要分支，研究物体运动的原因和规律。

在高一物理中，学生将学习力学的基础知识，包括运动的描述、牛顿定律和力的合成等内容。

（2）电磁学电磁学是研究电荷和电场、磁荷和磁场之间相互作用的学科。

在高一物理中，学生将学习电磁学的基础知识，包括电场、电势差、电容和电流等内容。

三、化学知识点（1）元素周期表元素周期表是化学中常用的工具，用来对各种元素进行分类和整理。

在高一化学中，学生将学习元素周期表的结构和特点，以及元素的基本性质和周期变化规律。

（2）化学反应化学反应是物质转化的过程，在高一化学中，学生将学习化学反应的基本概念、化学方程式的书写和平衡化学方程式的方法。

四、生物知识点（1）细胞生物学细胞是生物的基本单位，细胞生物学是研究细胞结构和功能的学科。

在高一生物中，学生将学习细胞的组成、结构和功能，以及细胞分裂和细胞遗传等内容。

（2）生物多样性生物多样性是指地球上各种不同生物的数量和种类，学生需要了解生物多样性的重要性和保护生物多样性的方法。

五、英语知识点（1）语法和词汇英语语法和词汇是学习英语必不可少的基础知识。

学生需要掌握常见的语法规则和词汇，以便正确地表达自己的意思。

（2）阅读和写作阅读和写作是提高英语水平的重要方法，学生需要培养阅读和理解英文文本的能力，以及用英语进行书面表达的能力。

新疆乌鲁木齐市第四中学高一上学期期末数学试题解析版

2019-2020学年新疆乌鲁木齐市第四中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．设全集U =R ，集合[]1,2A =-，(]0,4B =，则()B A B ⋂ð（） A ．()2,4 B ．(]2,4C ．(]0,2D ．[]1,4-【答案】B【解析】根据集合,A B 求出A B I ,再求出()B A B ⋂ð即可. 【详解】因为集合[]1,2A =-，(]0,4B =，所以(]0,2A B =I ，(]()2,4B A B ⋂=ð. 故选：B. 【点睛】本题主要考查的是集合的交集和补集的计算，是基础题.2．函数()12f x x =-的定义域为（） A ．[)0,2B ．()2,+∞C ．()1,22,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭D ．()(),22,-∞+∞U【答案】C【解析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．【详解】由21020x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得x ≥12且x ≠2．∴函数()12f x x =-的定义域为()1,22,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭．故选：C ．【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题． 3．函数()23f x log x x=-的一个零点所在的区间是（） A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,5【答案】B【解析】首先判断函数()23f x log x x=-是定义域上的减函数，再利用函数的零点判断．【详解】解：易知函数()23f x log x x=-是定义域上的减函数， ()3121022f =-=>； ()231log 30f =-<；故函数()23f x log x x=-的零点所在区间为：()2,3；故选：B ．【点睛】本题考查了函数的零点的判断，是基本知识的考查，属于基础题． 4．()cos 2040-=o（）A ．12B C ． D ．12-【答案】D【解析】利用诱导公式即可求出．【详解】解：()()1cos 2040cos 2040+3606=cos(120)cos(180120)cos602-=-⨯=--=-=-o o o o o o o 故选：D ．【点睛】本题考查利用诱导公式求特殊角的三角函数值，是基础题． 5．化简AC BD CD AB -+-u u u r u u u r u u u r u u u r=（）A ．AB u u u rB ．BC uuu rC ．DA uuu rD ．0r【答案】D【解析】根据向量的加法与减法的运算法则，即可求解，得到答案．【详解】由题意，根据向量的运算法则，可得AC BD CD AB -+-u u u r u u u r u u u r u u u r =(AC u u u r +)CD -u u u r (AB u u u r +)BD u u u r =–AD AD u u u r u u u r =0r，故选D ．【点睛】本题主要考查了向量的加法与减法的运算法则，其中解答中熟记向量的加法与减法的运算法则，准确化简、运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．6．已知函数23x y a -=+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图像上，则31log 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】A【解析】令20x -=,可得定点(2,4)P ,代入()f x x α=,可得幂函数的解析式,进而可求得31log 3f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值. 【详解】令20x -=,得2,4x y ==,所以(2,4)P ，∴幂函数2()f x x = ，∴3311log ()log 239f ==-．故选A . 【点睛】本题考查了指数函数,幂函数,属基础题. 7．已知函数其中，的图象如图所示，则函数的解析式为A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由图象的最值点的纵坐标求出A ，由周期求出，通过图象经过点，求出，从而得到的解析式.【详解】由函数的图象可得A=1，，因为，解得，图象经过点，有，解得，故的解析式为，故选C. 【点睛】该题考查的是有关根据函数图象确定函数解析式的问题，在解题的过程中，需要注意从图中寻找关键点，函数的最值决定A 的值，周期决定的值，特殊点决定的值.8．在ABC V 中，13BD BC =u u u r u u u r ，若,AB a AC b ==u u u r u u u r r r ，则(AD u u u r = )A ．2133a b +r rB ．1233a b +r rC ．1233a b -r rD ．2133a b -r r【答案】A【解析】根据平面向量的线性运算法则，用AB u u u v 、AC u u u v 表示出AD u u u v即可. 【详解】()11123333AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+-=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u u u u v v u u u v即：2133AD a b =+r r u u u v本题正确选项：A 【点睛】本题考查平面向量的加法、减法和数乘运算，属于基础题. 9．函数()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，以下结论错误的是（） A ．图象C 关于直线56x π=对称 B ．图象C 关于点7,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．函数()f x 在区间,63ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内是增函数 D ．由2sin 2y x =图象向右平移6π个单位长度可以得到图象C 【答案】D【解析】由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，得到()g x 的解析式，再利用正弦函数的单调性以及它的图象的对称性，得出结论．【详解】解：对于函数()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，令56x π=，求得()2f x =-，为最小值，故图象C 关于直线56x π=对称，故A 正确；令712x π=，求得()0f x =，故图象C 关于点7,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故B 正确；在区间,63ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内，2,622x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，函数()f x 单调递增，故C 正确；由2sin 2y x =图象向右平移6π个单位长度可以得到函数2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故D 错误，故选：D. 【点睛】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．10．已知向量a r ，b r满足||||2a b a b ==+=r r r r ，则2a b +=r r （）．A ．B ．2C ．D ．【答案】C【解析】根据||||2a b a b ==+=r r r r ，平方得到2a b ⋅=-r r，再计算()2212a b+=r r ，得到答案. 【详解】()222||||228242a b a b a ba b a b a b a b ==+=∴+=++⋅=+⋅=∴⋅=-r r r r r r r r r r r r r r，()2222441648122a ba b a b a b +=++⋅=+-=∴+=r r r r r r r r故选C 【点睛】本题考查了向量模的计算，先计算出2a b ⋅=-r r是解题的关键.11．点C 在线段AB 上，且23AC CB =u u u r u u u r 若AB BC λ=u u u r u u u r，则λ=（）A ．23B ．23-C ．53D ．53-【答案】D【解析】根据点C 在线段AB 上,且23AC CB =u u u r u u u r,可得C 与AB 的位置关系,进而根据AB BC λ=u u u r u u u r即可得λ的值.【详解】因为点C 在线段AB 上,且23AC CB =u u u r u u u r所以A 、B 、C 的位置关系如下图所示：因为AB BC λ=u u u r u u u r则53AB BC =-u u u r u u u r所以53λ=-故选：D 【点睛】本题考查了向量的数乘运算及线段关系的判断,根据题意画出各个点的位置是关键,属于基础题。

四中中考数学试卷答案高一

一、选择题1. 下列各数中，无理数是（）A. √4B. πC. 2.5D. -3答案：B解析：√4 = 2，是有理数；π是无理数；2.5是有理数；-3是有理数。

因此，选项B正确。

2. 已知函数f(x) = 2x - 1，若f(x) > 3，则x的取值范围是（）A. x > 2B. x < 2C. x ≤ 2D. x ≥ 2答案：A解析：将f(x) > 3代入函数表达式，得到2x - 1 > 3，解得x > 2。

因此，选项A正确。

3. 在△ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数是（）A. 75°B. 105°C. 135°D. 165°答案：C解析：三角形内角和为180°，所以∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 60° - 45° = 75°。

因此，选项C正确。

4. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n - 2，则数列的前10项和S10是（）A. 145B. 150C. 155D. 160答案：A解析：根据通项公式，计算前10项和S10 = (31 - 2) + (32 - 2) + ... + (310 - 2) = 145。

因此，选项A正确。

二、填空题5. 若a、b是方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根，则a + b的值是______。

答案：5解析：根据韦达定理，a + b = -(-5) = 5。

6. 在直角坐标系中，点P(2, 3)关于y轴的对称点坐标是______。

答案：(-2, 3)解析：关于y轴对称，横坐标取相反数，纵坐标不变。

7. 若函数f(x) = x^2 + 2x + 1在x = -1时的函数值为f(-1) = ______。

答案：0解析：将x = -1代入函数表达式，得到f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 1 = 0。

上海市四中2023届数学高一上期末考试模拟试题含解析

故选：B
5、B
【解析】根据空间直线与直线，直线与平面的位置关系及几何特征，逐一分析四个命题的真假，可得
答案
【详解】①如果 α∥β，m⊂α，那么 m∥β，故正确；
②如果 m⊥α，β⊥α，那么 m∥β，或 m⊂β，故错误；
③如果 m⊥n，m⊥α，n∥β，那么 α，β 关系不能确定，故错误；
④如果 m∥β，m⊂α，α∩β＝n，那么 m∥n，故正确
奇非偶函数，故错误；
D，因为函数 y | x | 定义域为：R， f x | x || x | f x ，所以函数为偶函数，故正确；
故选：D.
4、B
【解析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；
【详解】解：因为 p : π π ， q : 0 π ，
3
3
3
所以由 p 不能推出 q ，由 q 能推出 p ，故 p 是 q 的必要不充分条件
x
所以，函数 f x 2x 5 在 ,0 和 0, 上均为增函数.
x
对于 A 选项，当 x 1,0时， 2x 0 ， 5 0 ，此时， f x 0 ，
x
所以，函数 f x 在 1,0 上无零点；对于 BCD 选项，当 x 0 时， f 1 3 0， f 2 4 5 3 0 ，
2022-2023 学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
【详解】∵ f x 2 f 1 x x2 1，

北京四中高中数学精品全套-高一数学-基本初等函数- 24页

目录数学的解题方法 (2)指数与指数运算 (6)指数函数 (9)对数与对数运算 (12)对数函数 (16)幂函数与函数图像变换 (19)幂指对函数综合 (22)数学的解题方法北京四中一、数学家的思维方法数学思想的核心是化归原则，用框图表示如下：二、数学的解题方法第一：弄清问题第二、制定计划第三、实行你的计划第四、检验所得到的解三、高中数学解决的通法（1）配方法（2）换元法（3）待定系数法（4）判别式法（5）反证法（6）割补法例题1、求函数x x y 21--=的值的范围 (换元法，配方法) 解析：例题2、求函数]1,1[),0(-∈>>-+=x b a bxa bxa y 的值的范围方法1：方法2：例题3、求函数1122+++-=x x x x y 的值的范围解析：例题4、2（反证法）证明：例题5、（割补法）三视图求体积解析：例题6、已知f(x)是二次函数且f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1，求f(x)；解析：例题7、设A＝3100＋4100，B＝5100，比较A与B的大小.解析：请大家特别注意，这种对“猜出”的结论进行严谨的数学证明是必需的，否则就有可能归纳失误，得到错误的结论.指数与指数运算北京四中考纲导读1．理解分数指数幂的概念，掌握分数指数幂的运算性质；2．能运用指数运算性质进行化简，求值，证明，并注意公式成立的前提条件。

基础知识一、（有理数）指数定义*0*(,)1(,0)1(,0,)nn n n a aa a a R n N a a R a a a R a n N a-=∈∈=∈≠=∈≠∈)1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m nm )1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm二、运算法则nn n mn n m n m n m b a ab a a a a a ===⋅+)()(例题1.把下列根式用指数形式表示出来，并化简52a a ⋅63xx x⋅ 解析：例题2.当108<<x 22(8)(10)x x --解析：例题3.计算：30312)26()03.1(2323)661()41(-⋅--+++--解析：例题4.已知32121=+-x x ，求23222323-+-+--x x x x 的值；解析：例题5.计算：232111333311111x x x xx x x x -+-+-+++-解析：例题6.已知3100,210==βα，求βα3121000-的值解析：指数函数北京四中考纲导读1.理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性；2.在解决实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型．一、指数函数注意：指数函数底数变化与图像分布规律。

2022北京四中高一10月月考数学(含答案)

2022北京四中高一10月月考数学一､单项选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1. 全集{}0,1,2,3U =，若{}2UA =，则集合A 是（）A. {}2B. {}0,1C. {}0,1,2D. {}0,1,32. 下列命题中的真命题是（） A. 23≤B. 集合N 中最小的数是1C. 212x x +=的解集可表示为{}1,1D. 20x y +=3. 已知集合{}1,0,1A =−，集合2{|20}B x Z x x =∈−≤，那么A B 等于（）A. {}1−B. {}01，C. {}0,1,2D.1,0,1,24. 命题“R x ∃∈，使得220x x +<”的否定是（） A. R x ∃∈，使得2+20x x ≥ B. R x ∃∈，使得220x x +> C. x ∀∈R ，使得2+20x x ≥D. x ∀∈R ，使得220x x +<5. 下列四个集合中，是空集的是（） A. {}|33x x += B. {}22(,)|,,x y y x x y R =−∈C. {}2|0x x ≤D. {}2|10,x xx x R −+=∈6. 设a ，b 是实数，则“0a b +>”是“0ab >”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件7. 已知集合(){}(){}22,0,,2,,M x y x y N x y x y x y =+==+=∈∈R R ∣∣，那么M N ⋂=（）A. ()(){}1,1,1,1−−B. ()(){}1,1,1,1−− C.()(){}2,2,2,2−−D.()(){}2,2,2,2−−8. 不等式12xx−≥的解集为（） A. 1,3∞⎛⎫− ⎪⎝⎭B. 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. ()1,0,3∞∞⎛⎫−⋃+ ⎪⎝⎭9. 对于实数,,a b c 有下列命题： ①若a b >，则ac bc <②若22ac bc >，则a b >；③若0a b <<，则2a b+< ④若0c a b >>>，则a bc a c b>−−. 则其中真命题的个数是（） A. 1B. 2C. 3D. 410. 已知集合{{},1A xy B x a x a ===∈≤≤+R ∣∣，若A B =∅，则实数a 的取值范围为（） A. []3,2− B. ()(),32,∞−−⋃+∞ C. []2,1−D. ][(),32,∞−−⋃+∞11. 已知,a Z ∈关于x 的一元二次不等式260x x a −+≤的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是（） A. 13B. 18C. 21D. 2612. 如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口,,A B C ,的机动车辆数如图所示，图中123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段,,AB BC CA 的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则（）A. 123x x x >>B. 132x x x >>C. 231x x x >>D. 321x x x >>二､填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13. 不等式2560x x −−<的解集为___________.14. 已知集合{}{}1,2,,3A B a a ==+，若{}1A B ⋂=，则满足条件的实数a 的集合为___________. 15. 若命题“x ∀∈R ，关于x 的不等式22+3>0ax ax −恒成立”是真命题，则实数a 的取值范围是___________.16. 设,a b ∈R ，写出一个使a b <和11a b<同时成立的充分条件，可以是___________.17. 当两个集合中一个集合为另一集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”.对于集合{}211,,1,2A B x x a ⎧⎫=−==⎨⎬⎩⎭∣，若集合A 与集合B 构成“全食”时，a 的取值集合为___________；若集合A 与集合B 构成“偏食”，则a 的取值集合为___________.18. 某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；（ⅱ）女学生人数多于教师人数；（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________． ②该小组人数的最小值为__________．三､解答题（本大题共3小题，共36分）19. 已知全集{}{}22,60,280U A xx x B x x x ==−−<=+−>R ∣∣. （1）求A B ⋂；（2）若集合{}22430C xx ax a =−+<∣且()A B C ⊆，求实数a 的取值范围.20. 关于x 的方程()222210x m x m −++−=，设12,x x 为方程的两根. （1）若=2m ，求1211x x +的值；（2）若12,x x 满足221218x x +=，试求m 的值；（3）若12,x x 均大于0，求m 的取值范围.21. 已知集合{}1234,,,A a a a a =中1234a a a a <<<，且*A A ⋂=N .（1）若集合{}2,B yy x x A ==∈∣，满足{}1414,,10A B a a a a ⋂=+=，试求1a ，4a 的值；（2）若集合{},,C z z uv u A v A ==∈∈∣，问是否存在一组1234,,,a a a a 值，使得{}3,4,9,12,36,51C =，若存在试找出，若不存在，试说明理由.参考答案一､单项选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1. 【答案】D 【解析】【分析】由补集定义可解. 【详解】因为{}0,1,2,3U =，{}2UA =，所以{0,1,3}A =.故选：D 2. 【答案】A 【解析】【分析】根据命题结论是否正确判断即可. 【详解】23≤显然成立，故A 正确；集合N 中最小的数是0，故B 错误；根据集合元素的互异性可知C 错误；当0x ≠或0y ≠时，20x y +=显然不成立，故D 错误. 故选：A 3. 【答案】D 【解析】【分析】先解不等式化简集合B .【详解】∵集合{}1,0,1A =−，集合{}{}{}220020,1,2B x Z x x x Z x =∈−≤=∈≤≤=，∴{}1,0,1,2A B ⋃=− 故选：D. 4. 【答案】C 【解析】【分析】根据特称量词命题否定的法则即可.【详解】对于R x ∃∈ 的否定为R x ∀∈ ，对于2+20x x ＜的否定为2+20x x ≥ ；故选：C. 5. 【答案】D 【解析】【分析】对每个集合进行逐一检验，研究集合内的元素是否存在即可选出. 【详解】选项A ，{}{}|330x x +==；选项B ，{}{}22(,)|,,(0,0)x y y x x y R =−∈=；选项C ，{}{}2|0=0x x ≤；选项D ，210,1430x x −+=∆=−=−<，方程无解，∴{}2|10,x x x x R −+=∈=∅.选:D. 6. 【答案】D 【解析】【详解】本题采用特殊值法：当3,1a b ==−时，0a b +>，但0ab <，故是不充分条件；当3,1a b =−=−时，0ab >，但0a b +<，故是不必要条件.所以“0a b +>”是“0ab >”的既不充分也不必要条件.故选D.考点：1.充分条件、必要条件；2.不等式的性质. 7. 【答案】A 【解析】【分析】直接联立方程组即可求出MN .【详解】由22+=0+=2x y x y ⎧⎨⎩解得：=1=1x y −⎧⎨⎩或=1=1x y −⎧⎨⎩. 所以M N ⋂=()(){}1,1,1,1−−.故选：A 8. 【答案】B 【解析】(31)0x x x −≤≠⎧⎩求解集即可.【详解】由题设11320x x x x −−−=≥，等价于(31)00x x x −≤≠⎧⎨⎩，解得103x <≤. 故选：B 9. 【答案】C 【解析】【分析】利用不等式性质、基本不等式、作差法判断各项的真假，即可得答案. 【详解】①若a b >，0c =时，=ac bc ，故为假命题； ②若22ac bc >，则20c >，有a b >，故为真命题；③若0a b <<，则()()22a b a b +−+−=−≤==a b 时等号成立，所以2a b+< ④若0c a b >>>，则()()()a b c a b c a c b c a c b −−=−−−−，且0,0,0a b c a c b −>−>−>，所以0a bc a c b−>−−，则a b c a c b >−−，为真命题. 故真命题有②③④，共3个. 故选：C 10. 【答案】B 【解析】【分析】先求集合A ，然后根据交集结果列不等式求解可得.【详解】={||22}A x y x x −≤≤=,A B ⋂∅+1>a a∴+1<2a −或>2a ，即<3a −或>2a .故选：B 11. 【答案】C 【解析】【分析】设2()6f x x x a =−+，根据二次函数的性质，结合题意可得，(2)0(1)0f f ≤⎧⎨>⎩，代入计算，即可得答案.【详解】设2()6f x x x a =−+，其图象为开口向上，对称轴为3x =的抛物线，根据题意可得，3640a ∆=−>，解得9a <，因为()0f x ≤解集中有且仅有3个整数，结合二次函数的对称性可得(2)0(1)0f f ≤⎧⎨>⎩，即4120160a a −+≤⎧⎨−+>⎩，解得58a <≤，又,a Z ∈所以a =6，7，8，所以符合题意的a 的值之和6+7+8=21. 故选：C12. 【答案】C 【解析】【分析】根据每个三岔路口驶入与驶出相应的环岛路段的车辆数列出等量关系，即可比较出大小．【详解】依题意，有13350555x x x =+−=−，所以13x x <，同理，211302010x x x =+−=+，所以12x x <，同理，32230355x x x =+−=−，所以32x x <，所以132x x x <<．故选：C ．【点睛】本题主要考查不等关系的判断，属于基础题．二､填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13. 【答案】{}|16x x −<< 【解析】【分析】因式分解后即可解得.【详解】不等式2560x x −−<可化为()()610x x −+<，解得：16x −<<，所以原不等式的解集为{}|16x x −<<. 故答案为：{}|16x x −<<. 14. 【答案】{1,2}− 【解析】【分析】依题意1B ∈，然后可得.【详解】因为{1}A B ⋂=，所以1B ∈，则有=1a 或31a +=，即=1a 或2a =−，当=1a 时，{1,4}B =，满足{}1A B ⋂=，当2a =−时，{2,1}B =−，满足{}1A B ⋂=. 综上，满足条件的实数a 的集合为{1,2}−. 故答案为：{1,2}− 15. 【答案】03a ≤< 【解析】【分析】依题意问题转化为含参数的一次或二次不等式的恒成立的问题进行求解.【详解】依题意得，22+3>0ax ax −对于x ∀∈R 成立，当=0a ，3>0显然恒成立，当0a ≠，记2()=2+3f x ax ax −，()>0f x 恒成立，此时二次函数开口向上，于是2>0Δ=(2)4?3?<0a a a −−⎧⎨⎩，解得0<<3a ，综上0<3a ≤.故答案为：0<3a ≤16. 【答案】0a b <<（答案不唯一）【解析】【分析】分析a b <和11a b<同时成立的条件即可. 【详解】因为当0ab >时，11ab ab b a a b⨯<⨯⇔<，所以要使a b <和11a b<同时成立，a ，b 一定异号，所以使a b <和11a b<同时成立的充分条件可以为0a b <<. 故答案为：0a b <<17. 【答案】 ①. {|0a a <或1}a = ②. 14⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】分情况解集合B ,再根据“全食”与“偏食”的概念分析集合中元素满足的关系列式求解即可. 【详解】{}2==B x x a ，0a ∴<时，B =∅，B A ⊆；=0a 时，{0}B =，A B =∅；0a >时，{B =，又11,,12A ⎧⎫=−⎨⎬⎩⎭，若A 与B 构成“全食”，则B A ⊆，当0a <时，满足题意；当=0a 时，不满足题意；当0a >时，要使B A ⊆，则{}1,1B =−1=，1a ，综上，A 与B 构成“全食”时，a 的取值集合为{|0a a <或1}a =；若A 与B 构成“偏食”，显然0a ≤时，不满足定义；当0a >时，因为A B ⋂≠∅，所以11,22B ⎧⎫=−⎨⎬⎩⎭12=，解得1=4a ，a ∴的取值集合为14⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 故答案为：{|0a a <或1}a =，14⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 18. 【答案】 ①. 6 ②. 12 【解析】【详解】试题分析：设男生人数、女生人数、教师人数分别为a b c 、、，则*2,,,c a b c a b c >>>∈N . ①max 846a b b >>>⇒=，②min 3,635,412.c a b a b a b c =>>>⇒==⇒++=【名师点睛】本题主要考查了命题的逻辑分析、简单的合情推理, 题目设计巧妙，解题时要抓住关键,逐步推断,本题主要考查考生分析问题、解决问题的能力，同时注意不等式关系以及正整数这个条件.三､解答题（本大题共3小题，共36分）19. 【答案】（1）{|23}A B x x =<<（2）[1,2] 【解析】【分析】先求出集合A 、B ，分类讨论求出集合C ，结合集合的基本运算，从而求得a 的取值范围．【小问1详解】解不等式可得{}=|2<<3A x x −，={|<4B x x −或2}x >，所以={|2<<3}A B x x ⋂【小问2详解】因为()(){}=|3<0C x x a x a −−，当0a >时，{}|3C x a x a =<<，因为()A B C ⋂⊆，所以233a a ≤⎧⎨≥⎩，解得12a ≤≤．当=0a 时，=C ∅，不成立．当a<0时，{}|3C x a x a =<<，显然不满足题意．综上知实数a 的取值范围是[1,2]． 20. 【答案】（1）83；（2）0；（3）()1,+∞. 【解析】【分析】（1）（2）直接利用根与系数的关系即可求解；（3）由根的分布列不等式组即可求解. 【小问1详解】当=2m 时，方程为2830x x −+=，其中2843520∆=−⨯=>. 由根与系数的关系可得：12128,3x x x x +==，所以1212121183x x x x x x ++==；【小问2详解】由()()2242410m m ∆=+−−≥解得：54m ≥−. 由根与系数的关系可得：()2121222,1x x m x x m +=+=−，所以221218x x +=即为()()()22212122422118x x x x m m +−=+−−=，解得：0m =或8m =−（舍）. 即0m =；【小问3详解】要使12,x x 均大于0，只需满足：()()()2212212Δ=4+2410+=2+2>0=1>0m m x x m x x m ⎧−−≥⎪⎪⎨⎪−⎪⎩，解得：1m >. 所以m 的取值范围为()1,+∞. 21. 【答案】（1）1=1a ，49a = （2）不存在，理由见详解【解析】【分析】（1）先求出集合B ，然后根据元素之间的大小关系，结合交集结果可求出1a ，然后可解；（2）根据元素间的大小关系可先求1a ，然后依次确定其他元素，最后验证可知. 【小问1详解】由题知，{}22221234,,,B a a a a =因为1234a a a a <<<，所以22221234a a a a <<<由*A A ⋂=N 可知，12341a a a a ≤<<<，若11a >，则222214123a a a a a <<<<，显然{}14,A B a a ⋂≠，所以1=1a ，又因为1410a a +=，所以49a = 因为9B ∈，所以229a =或239a =当229a =，即23a =时，3a 可以取4,5,6,7,8，所以22439a a >>，所以{}1,9A B ⋂=，满足题意；当239a =，即33a =时，此时{1,2,3,9},{1,4,9,81}A B ==，满足{}1,9A B ⋂=综上，1=1a ，49a =第11页/共11页【小问2详解】若存在1234,,,a a a a 值，使得{}3,4,9,12,36,51C =则由1234a a a a <<<可知123a a =，因为*12,a a ∈N ，所以121,3a a ==则134,a a =可得3=4a ，因为36C ∈，所以436a =或4336a =或4436a =或2436a =，即436a =或412a =或49a =或46a =，所以{1,3,4,6}A =或{1,3,4,9}A =或{1,3,4,12}A =或{1,3,4,36}A = 易知上述四种情况均不存在,u A v A ∈∈，使得51uv =. 故不存在1234,,,a a a a 值，使得{}3,4,9,12,36,51C =.。

2022-2023学年广东省广州四中高一(上)期末数学试卷,(含答案解析)

2022-2023学年广东省广州四中高一（上）期末数学试卷1. 已知全集U ={1,3,5}，且∁U A ={3}，则集合A 的真子集的个数为( ) A. 2B. 3C. 4D. 52. 已知命题p ：“∃x ∈R ，x 2−x +1<0”，则¬p 为( ) A. ∃x ∈R ，x 2−x +1≥0 B. ∃x ∉R ，x 2−x +1≥0 C. ∀x ∈R ，x 2−x +1≥0 D. ∀x ∈R ，x 2−x +1<03. 若cosα=√32，且角α的终边经过点P(x,−2)，则P 点的横坐标x 是( )A. 2√3B. ±2√3C. 2√2D. −2√34. 要得到函数y =3sin2x 的图象，只需将y =3sin(2x +π4)的图象( ) A. 向左平移π8个单位B. 向右平移π8个单位 C . 向左平移π4个单位D.向右平移π4个单位5. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是T 1(℃)，空气的温度是T 0(℃)以经过t分钟后物体的温度T 0(℃)可由公式T =T 0+(T 1−T 0)e −0.25t 求得．把温度是130℃的物体，放在10℃的空气中冷却t 分钟后，物体的温度是50℃，那么t 的值约等于(参考数据：ln3≈1.099，ln2≈0.693)( )A. 1.78B. 2.77C. 2.89D. 4.40 6. 若tanα，tanβ是方程x 2−6x +4=0的两个根，则tan(α+β)=( ) A. −1B. 1C. −2D. 27. 下列4个选项中，p 是q 的充分不必要条件的是( ) A. p ：x >y ，q ：x 2>y 2 B. p ：sinα=sinβ，q ：α=β C. p ：x >12,q:2x 2+x −1>0D. p ：a 2+b 2≠0，q ：a ，b 中至少有一个不为零8. 若定义在R 上的偶函数f(x)，对任意的x 1，x 2∈(−∞,0],且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0且f(2)=0，则满足xf(x)>0的x 的取值范围是( )A. (−2,2)B. (−2,0)∪(2,+∞)C. (−∞,−2)∪(2,+∞)D. (−∞,−2)∪(0,2)9. 已知a >b >c ，且ac <0，则下列不等式恒成立的有( )A. b−a c<0B. b a>c a C. 1a>1c D. b 2c>a 2c10. 若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( )A. cos(A+B)=cosCB. sin(A+B)=sinCC. cos A+C2=sinB D. sin B+C2=cos A211. 下列4个函数中，零点个数为2的有( )A. f(x)=2x|log0.5x|−1B. f(x)=2x−x2C. f(x)=log3|x|−sin|x|D. f(x)=lnx−x2+4x+512. 已知函数f(x)={sinx,(sinx≥cosx)cosx,(sinx<cosx)，则下列结论中正确的是( ) A. f(x)的值域为[−1,1] B. f(x)的最小正周期为2πC. f(x)在[−3π4,0]上单调递增 D. f(x)的对称轴为x=π2+kπ(k∈Z)13. 在扇形中，已知半径为4，弧长为12，则圆心角是______弧度，扇形面积是______.14. 1634−4log4π+√(3−π)2−log23⋅log32=______.15. 已知x>0，y>0，且2x +1y=1，若2x+y>m恒成立，则实数m的取值范围是______.16. 若函数f(x)=8x2+3asinx+8x2+1存在最大值和最小值，记M=f(x)max，N=f(x)min，侧M+ N=______.17. 已知集合A={x|x<2或x>6}，B={x|a≤x≤a+3}.(1)若a=3时，求A∪B；(2)A∩B=⌀时，求a的取值范围．18. 设f(x)=log a(3+x)−log a(3−x)(a>0且a≠1)，且f(1)=1.(1)求实数a的值及函数f(x)的定义域；(2)证明f(x)的奇偶性，并求函数f(x)在区间[−1,2]上的最值．19. 百年以来，从伟大斗争中提炼伟大精神并引领新的伟大斗争，是我们党的优良传统．这场史无前例、举世瞩目的脱贫攻坚伟大斗争，不仅取得了近1亿人脱贫的伟大物质成就，也铸就了激励14亿人继续乘风破浪前进的伟大精神成果．习近平总书记在全国脱贫攻坚总结表彰大会上总结了“上下同心、尽锐出战、精准务实、开拓创新、攻坚克难、不负人民”的脱贫攻坚精神．在脱贫攻坚过程中，某地县乡村三级干部在帮扶走访中得知某贫困户的实际情况后，为他家量身定制了脱贫计划，政府无息贷款10万元给该农户养羊，每万元可创造利润0.15万元若进行技术指导，养羊的投资减少了x(x>0)万元，且每万元创造的利润变为原来的(1+0.25x)倍．现将养羊少投资的x万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为0.15(a−0.875x)万元，其中a>0.(1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求x的取值范围；(2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求a的最大值．20. 已知函数f(x)=2sinxcosx+2√3sin2x−√3.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)求函数f(x)在区间[π12,7π12]上的最大值和最小值；(3)若θ为锐角，f(θ2+π24)=65，求cosθ的值．21. 一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．(1)以水轮所在平面与水面的交线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度ℎ(单位：米)表示为时间t(单位：秒)的函数；(2)在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距水面的高度超过2米？22. 已知函数g(x)=ax2−2ax+b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4，最小值1.函数f(x)= g(x)x.(1)求函数g(x)的解析式；(2)若存在x∈[e,e2]使得不等式f(lnx)−klnx≤0成立，求实数k的取值范围；(3)若函数F(x)=f(|3x−1|)+4k−1|3x−1|−2k有三个零点，求实数k的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为全集U ={1,3,5}，且∁U A ={3}，则集合A ={1,5}，共有2个元素，则集合A 的真子集有22−1=3个，故选：B.根据真子集的定义以及元素与集合的关系可解．本题考查真子集的定义以及元素与集合的关系，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：由特称命题的否定为全称命题，可得命题p ：∃x ∈R ，x 2−x +1<0，则¬p 是∀x ∈R ，x 2−x +1≥0. 故选：C.由特称命题的否定为全称命题，注意量词和不等号的变化．本题考查命题的否定，注意特称命题的否定为全称命题，考查转换能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：若cosα=√32，且角α的终边经过点P(x,−2)，则√x 2+4=√32>0，所以x =2√3. 故选：A.由已知结合三角函数的定义即可求解．本题主要考查了三角函数定义的应用，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：要得到函数y =3sin2x 的图象，只需将y =3sin(2x +π4)的图象向右平移π8个单位即可，故选：B.由题意，利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：由题意可得T1=130，T0=10，T=50，代入T=T0+(T1−T0)e−0.25t可得：50=10+(130−10)e−0.25t，即e−0.25t=13，所以−0.25t=ln13=−ln3≈−1.099，解得t≈4.40，故选：D.根据题意代入数据，利用指数和对数的互化求解即可．本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：若tanα，tanβ是方程x2−6x+4=0的两个根，则tanα+tanβ=6，tanαtanβ=4，所以tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=61−4=−2，故选：C.由二次方程的韦达定理和两角和的正切公式，计算可得所求值．本题考查二次方程的韦达定理和两角和的正切公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：对于A，当x>y时，取x=−1，y=−2，则x2<y2，则充分性不成立，故A不正确；对于B，当sinα=sinβ时，如sinπ3=sin2π3，则α≠β则充分性不成立，故B不正确；对于C，当2x2+x−1>0，则x<−1或x>12，则p是q的充分不必要条件，故C正确；对于D，若a2+b2≠0时，能推出a，b中至少有一个不为零，充分性成立，当a，b中至少有一个不为零也能推出a2+b2≠0，必要性也成立，则p是q的充要条件，故D错误，故选：C.根据充分条件、必要条件定义可解．本题考查充分条件、必要条件定义，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：由题意知，f(x)在(−∞,0]上单调递增，因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)在(0,+∞)上单调递减，且f(−2)=f(2)=0，当x>0时，xf(x)>0等价于f(x)>0，所以0<x<2；当x<0时，xf(x)>0等价于f(x)<0，所以x<−2，综上，满足xf(x)>0的x的取值范围是(−∞,−2)∪(0,2).故选：D.根据函数的单调性与奇偶性，可得函数f(x)的图象特征，再分x>0和x<0两种情况，讨论得解．本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．9.【答案】BC【解析】解：由已知可得a>0，c<0，而b的符号不确定，所以C正确，D错误，则b−a<0，所以b−ac>0，故A错误；因为b>c，a>0所以ba >ca，故B正确；故选：BC.由已知可得a>0，c<0，b的符号不确定，然后对应各个选项逐个判断即可．本题考查了不等式的性质，考查了学生对不等式的分析推理能力，属于基础题．10.【答案】BD【解析】解：对于A：因为A，B，C是△ABC的三个内角，所以A+B=π−C，所以cos(A+B)=cos(π−C)=−cosC，故A错误；对于B：又sin(A+B)=sin(π−C)=sinC，故B正确；对于C：cos A+C2=cosπ−B2=cos(π2−B2)=sin B2，故C错误；对于D：sin B+C2=sinπ−A2=cos A2，故D正确．故选：BD.利用三角形的内角和公式，诱导公式逐个判断各个选项中的式子是否成立，从而得出结论．本题考查三角函数的内角和公式，诱导公式的应用，属于基础题．11.【答案】ACD【解析】解：对于A，f(x)=2x|log0.5x|−1=0的零点，即为y=|log0.5x|与y=(12)x图象的交点的横坐标，作出图象(图1)：易知有两个交点，故A对；对于B，f(x)=2x−x2的零点，即为y=2x与y=x2的交点横坐标，作出图象(图2)y轴左侧显然有一个，且f(2)=f(4)=0，故共有3个零点，B错；对于C ，f(x)=log 3|x|−sin|x|是偶函数，只需作出x >0时，y =sinx 与y =log 3x 的图象，观察交点的个数即可，易知y =log 3x 在(0,+∞)上单调递增，作出图象(图3)，易知x >π时，log 3x >1，故在y 轴右侧只有一个交点，因为f(x)是偶函数，故f(x)有两个零点，故C 对；对于D ，f(x)=lnx −x 2+4x +5的零点，即为y =lnx 与y =x 2−4x −5的图象交点的横坐标，作出它们的图象(图4)，显然有两个交点，即f(x)有两个零点，故D对．故选：ACD.对于A ，可转化为y =|log 0.5x|与y =(12)x 图象的交点个数问题；对于B ，结合图象求解；对于C ，结合函数y =log 3|x|与y =sin|x|的偶函数性质以及图象判断；对于D ，可转化为y =lnx 与y =x 2−4x −5的图象交点的个数问题．本题考查函数的零点与函数图象之间的关系，属于中档题．12.【答案】BC【解析】解：函数f(x)={sinx,(sinx ≥cosx)cosx,(sinx <cosx)，即f(x)={sinx,x ∈(2kπ+π4,2kπ+5π4],k ∈Z cosx,x ∈[2kπ−3π4,2kπ+π4],k ∈Z, 其图象如图所示，所以f(x)的值域是[−√22,1]，故A 错误；由于它的最小正周期为2π，故B 正确；根据图像可得，f(x)在[−3π4,0]上单调递增，故C 正确；根据图像可得，f(x)的对称轴为x =π4+kπ(k ∈Z)，故D 错误，故选：BC.由题意可得：函数f(x)={sinx,x ∈(2kπ+π4,2kπ+5π4],k ∈Zcosx,x ∈[2kπ−3π4,2kπ+π4],k ∈Z ,再根据三角函数的图象与性质可得正确答案．本题主要考查三角函数的有关性质，如周期性，单调性，最值等性质，属于中档题．13.【答案】3 24【解析】解：设圆心角为αrad ，则由题意有α=124=3， S =12×12×4=24，故答案为：3，24.根据扇形的弧长公式l =|α|r ，面积公式S =12lr 进行求解即可．本题考查了扇形的弧长和面积公式，属于基础题．14.【答案】4【解析】解：原式=23−π+π−3−lg3lg2⋅lg2lg3=8−3−1=4，故答案为：4.利用指数幂，对数的性质和运算法则及换底公式求解．本题考查指数幂，对数的性质、运算法则及换底公式，属于基础题．15.【答案】(−∞,9)【解析】解：∵x >0，y >0，且2x +1y=1， ∴2x +y =(2x +y)(2x+1y)=5+2x y +2y x≥5+2√2x y ⋅2y x=9，当且仅当2xy=2y x，即x =y =3时，等号成立，∴2x +y 的最小值为9，又∵2x +y >m 恒成立，∴m <9，即m 的取值范围为(−∞,9). 故答案为：(−∞,9).利用“乘1法”求出2x +y 的最小值，进而求出m 的取值范围．本题主要考查了利用基本不等式求最值，考查了不等式恒成立问题，属于基础题．16.【答案】16【解析】解：因为f(x)=8x 2+3asinx+8x 2+1=8(x 2+1)+3asinxx 2+1=8+3asinxx 2+1，令ℎ(x)=3asinxx 2+1，易知ℎ(x)为奇函数，所以ℎ(x)max +ℎ(x)min =0，又因为M =f(x)max ，所以M =ℎ(x)max +8， N =f(x)min ，所以N =ℎ(x)min +8=−ℎ(x)max +8，所以M +N =ℎ(x)max +8−ℎ(x)max +8=16. 故答案为：16. 由题意可得f(x)=8+3asinxx 2+1，令ℎ(x)=3asinxx 2+1，则ℎ(x)为奇函数，所以ℎ(x)max +ℎ(x)min =0，进而可得M =ℎ(x)max +8，N =−ℎ(x)max +8，即可求得M +N 的值．本题考查了奇函数的性质，关键点是将f(x)的解析式变化为f(x)=8+3asinxx 2+1，属于中档题．17.【答案】解：(1)a =3时，B ={x|3≤x ≤6}，A ∪B ={x|x <2或x ≥3}(2)因为A ∩B =⌀，又a +3>a ，∴B ≠⌀∴{a ≥2a +3≤6，得2≤a ≤3，故a 的取值范围[2,3].【解析】(1)根据集合的运算可解， (2)根据集合间的关系可解．本题考查集合的运算，属于基础题．18.【答案】解：(1)由题意，函数f(x)=log a (3+x)−log a (3−x)(a >0,a ≠1)，因为f(1)=1，可得f(1)=log a 4−log a 2=log a 2=1，解得a =2，所以函数f(x)=log 2(3+x)−log 2(3−x)，则满足{3+x >03−x >0，解得−3<x <3，所以函数f(x)的定义域是(−3,3)； (2)f(x)为奇函数，证明：由题意，函数的定义域为(−3,3)关于原点对称， f(−x)=log a (3−x)−log a (3+x)=−f(x)，即f(−x)=−f(x)，所以f(x)为奇函数，因为f(x)=log 2(3+x)−log 2(3−x)=log 23+x3−x,x ∈(−3,3)，设任意的x 1，x 2∈(−3,3)，有−3<x 1<x 2<3，则f(x 1)−f(x 2)=log 23+x 13−x 1−log 23+x 23−x 2=log 2(3+x 1)(3−x 2)(3−x 1)(3+x 2)，因为(3+x 1)(3−x 2)−(3−x 1)(3+x 2)=6(x 1−x 2)<0，所以0<(3+x 1)(3−x 2)<(3−x 1)(3+x 2)，所以0<(3+x 1)(3−x 2)(3−x 1)(3+x 2)<1，所以log 2(3+x 1)(3−x 2)(3−x 1)(3+x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，所以函数f(x)在区间(−3,3)上单调递增，所以f(x)在区间[−1,2]上单调递增f(x)min =f(−1)=−1，f(x)max =f(2)=log 25. 【解析】(1)由f(1)=1，可得a =2，再根据对数函数的性质求函数的定义域即可； (2)判断出f(x)为奇函数，再根据函数的单调性定义证明函数为增函数，即可求得最值．本题考查了对数的运算、对数函数的性质、函数的奇偶性、单调性及利用单调性求函数的最值，属于中档题．19.【答案】解：(1)由题意，得{0.15(1+0.25x)(10−x)≥0.15×10x >0，解得0<x ≤6，故x ∈(0,6].(2)由题意知网店销售的利润为0.15(a −0.875x)x 万元，技术指导后，养羊的利润为0.15(1+0.25x)(10−x)万元，则0.15(a −0.875x)x ≤0.15(1+0.25x)(10−x)恒成立，又0<x <10，∴a ≤5x 8+10x +1.5恒成立，又5x 8+10x ≥2√5x 8⋅10x =5，当且仅当x =4时等号成立，(5x 8+10x +1.5)min =6.5，∴0<a ≤6.5，即a 的最大值为6.5.【解析】(1)由题意得{0.15(1+0.25x)(10−x)≥0.15×10x >0，解不等式组即可得解； (2)分别求出网店销售的利润和技术指导后养羊的利润，再分离参数结合基本不等式即可得出答案．本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．20.【答案】解：(1)∵函数f(x)=2sinxcosx +2√3sin 2x −√3=sin2x +2√3×1−cos2x 2−√3=sin2x −√3cos2x =2sin(2x −π3)，令2kπ−π2≤2x −π3≤2kπ+π2,k ∈Z ，可得kπ−π12≤x ≤kπ+5π12,k ∈Z ，故函数f(x)的单调递增区间为[kπ−π12,kπ+5π12],k ∈Z ， (2)∵x ∈[π12,7π12]，∴−π6≤2x −π3≤5π6，∴−12≤sin(2x −π3)≤1,−1≤f(x)≤2，故函数f(x)在区间[π12,7π12]上的最小值为−1，最大值为2；(3)∵f(θ2+π24)=2sin(θ−π4)=65，∴sin(θ−π4)=35，又0<θ<π2，可得−π4<θ−π4<π4，∴cos(θ−π4)=√1−sin 2(θ−π4)=45，故cosθ=cos[(θ−π4)+π4]=√22[cos(θ−π4)−sin(θ−π4)]=√22×(45−35)=√210. 【解析】(1)先根据二倍角公式以及辅助角公式求得函数f(x)的解析式，再结合正弦函数的性质求得结论，(2)利用x 的范围求得−π6≤2x −π3≤5π6的范围，进而求解结论，(3)根据已知条件求得sin(θ−π4)=35，再结合同角三角函数关系式以及两角和余弦公式即可求得结论．本题考查三角函数的性质，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)设水轮上圆心O 正右侧点为A ，y 轴与水面交点为O′，如图所示由OO′=1，OP 0=2，所以∠O′OP 0=π3，所以∠AOP 0=π6；设ℎ=2sin(ωt −π6)+1，则T =2πω=3，解得ω=2π3；所以点P 距离水面的高度h 关于时间t 的函数为ℎ=2sin(2π3t −π6)+1(t ≥0)；(2)由ℎ=2sin(2π3t −π6)+1≥2，得sin(2π3t −π6)≥12；令t ∈[0,3]，则2π3t −π6∈[−π6,11π6]；由π6≤2π3t −π6≤5π6，解得12≤t ≤32，又32−12=1，所以在水轮转动的任意一圈内，有1s 时间点P 距水面的高度超过2米．【解析】(1)设水轮上圆心O 正右侧点为A ，y 轴与水面交点为O′，建立三角函数关系式表示高度h 关于时间t 的函数；(2)由h 关于t 的函数，令ℎ≥2，求出t ∈[0,3]时的取值范围，再计算有多长时间即可．本题考查了三角函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．22.【答案】解：(1)由已知得：g(x)=ax 2−2ax +b(a >0)对称轴为x =1，故函数g(x)在[2,3]上单调递增，所以{g(3)=3a +b =4g(2)=b =1，解得a =b =1，所以g(x)=x 2−2x +1；(2)由题意知：f(x)=g(x)x =x +1x −2,x ∈[e,e 2]，lnx >0，则不等式f(lnx)−klnx ≤0在x ∈[e,e 2]时有解，即存在x ∈[e,e 2]使不等式k ≥f(lnx)lnx成立，令t =lnx ，t ∈[1,2]，则上式化为k ≥f(t)t ，整理得k ≥1t 2−2t +1⇒k ≥(1t−1)2≥0，当且仅当t =1时取等号，故k ≥0，即实数k 的取值范围[0,+∞)；(3)由题意得F(x)=f(|3x −1|)+4k−1|3x −1|−2k =g(3x −1|)|3x −1|+4k−1|3x −1|−2k 有三个零点，即方程(|3x −1|−1)2|3x −1|+4k−1|3x −1|−2k =0有三个实根，即方程(3x −1|−1)2−2k ⋅|3x −1|+4k −1=0有三个实根，令m =|3x −1|，该方程可化为m 2−(2k +2)m +4k =0，解得m 1=2，m 1=2k ，作出函数y =|3x −1|的图象如图所示：显然直线y =2与曲线y =|3x −1|有且仅有1个交点，所以要使F(x)有三个零点，则直线y =2k 与曲线y =|3x −1|有2个交点则0<2k <1，所以0<k <12，即实数k 的取值范围为(0,12).【解析】(1)先判断g(x)的单调性，再结合最值列出a ，b 的方程求解；(2)分离参数k ，然后研究函数的最值即可；(3)结合F(x)的图象，构造出k 的不等式求解．本题考查函数解析式的求法，以及利用函数的单调性、最值以及图象，解决不等式恒成立问题、函数零点的存在性问题，属于中档题．。

北京四中高中数学精品全套-高一数学-3、几何证明选讲、参数方程与极坐标系- 8页

几何证明选讲、参数方程与极坐标系——北京四中学习要求◆掌握与圆有关的切线、割线、面积、四点共圆及相似三角形的问题．◆能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.◆能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义.◆了解参数方程，了解参数的意义.◆分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程.真题体验1．如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF 与圆O交于另一点G.给出下列三个结论：①AD＋AE＝AB＋BC＋CA；②AF·AG＝AD·AE；③△AFB∽△ADG.其中正确结论的序号是( )A．①②B．②③C．①③D．①②③解析：①项，∵BD＝BF，CE＝CF，∴AD＋AE＝AC＋CE＋AB＋BD＝AC＋AB＋CF＋BF＝AC＋AB ＋BC，故①正确；②项，∵AD＝AE，AD2＝AF·AG，∴AF ·AG ＝AD ·AE ，故②正确；③项，延长AD 于M ，连结FD ，∵AD 与圆O 切于点D ，则∠GDM ＝∠GFD ，∴∠ADG ＝∠AFD ≠∠AFB ，则△AFB 与△ADG 不相似，故③错误，故选A.2．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎨⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋t(t 为参数) 所表示的图形分别是( )．A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线解析：由ρ＝cos θ得ρ2＝ρcos θ，∴x 2＋y 2＝x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14. 它表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，以12为半径的圆．由x ＝－1－t 得t ＝－1－x ，代入y ＝2＋t 中，得y ＝1－x 表示直线．答案：D3．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心极坐标是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2 C ．(1,0) D ．(1，π) 解析：把圆的极坐标方程化为直角坐标方程为x 2＋y 2＋2y ＝0，得圆心的直角坐标为(0，－1)，故选B.答案：B4．在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3到圆ρ＝2cos θ圆心的距离为( )． A ．2 B. 4＋π29 C. 1＋π29 D. 3解析点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3化为直角坐标为(1，3)，方程ρ＝2cos θ化为普通方程为x 2＋y 2－2x ＝0，故圆心为(1,0)，则点(1，3)到圆心(1,0)的距离为3，故选D.答案：D5．已知圆C 的圆心是直线⎩⎨⎧ x ＝t ，y ＝1＋t(t 为参数)与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为________．解析：直线⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝1＋t (t 为参数)与x 轴的交点为(－1,0)，故圆C 的圆心为(－1,0)．又圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，∴圆C 的半径为r ＝|－1＋0＋3|2＝2， ∴圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.答案：(x ＋1)2＋y 2＝26．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．解析：曲线ρ＝2sin θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由ρcos θ＝－1可化为x ＝－1.将x ＝－1代入x 2＋y 2－2y ＝0得x ＝－1，y ＝1，因此交点的直角坐标为(－1,1)，化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4相似三角形的判定及有关性质(1)平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．(2)相似三角形的判定判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似．判定定理2：两角对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似．判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似．(3)相似三角形的性质①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．②相似三角形周长的比等于相似比．③相似三角形面积的比等于相似比的平方．(4)直角三角形的射影定理：直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项．几何证明的难度应严格控制，在解决同一个问题的过程中，相似三角形(或全等三角形)的使用不超过两次，添置的辅助线一般不超过三条．直线与圆的位置关系(1)圆内接四边形的性质与判定定理性质：①圆的内接四边形对角互补．②圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．判定：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．(2)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．(3)相交弦定理：圆的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(4)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点的割线与圆交点的两条线段长的比例中项．(5)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．直角坐标与极坐标的互化如图，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎨⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x ≠0.在曲线方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．直线、圆的极坐标方程(1)直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置直线的极坐标方程①直线过极点：θ＝α；②直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；③直线过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b . (2)几个特殊位置圆的极坐标方程①圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；②圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ；③圆心位于M ⎝ ⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r ：ρ＝2r sin θ. 参数方程(1)直线的参数方程过定点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)． (2)圆、椭圆的参数方程①圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)． ②椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．高考对该部分内容的考查以极坐标参数方程化为普通方程为主，注重基本运算，题型为填空题，难度不大．【例题1】►在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．解：将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有|3×1＋4×0＋a |32＋42＝1，解得a ＝2或a ＝－8.故a 的值为－8或2.在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标不唯一．极坐标和直角坐标互化关系式⎩⎨⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x ≠0是解决该类问题的关键．高考对该部分内容的考查多以填空题、解答题为主，考查简单的极坐标系中直线和圆的方程，或者求解极坐标中曲线的某个特征值．【例题2】► 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，M 是C 1上的动点，点P 满足 OP →＝2OM →，点P 的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.解：(1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2cos α，y 2＝2＋2sin α，即⎩⎨⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α. 从而C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α(α为参数)． (2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3. 所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.解决这类问题一般有两种思路：一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．要注意题目所给的限制条件及隐含条件．参数方程的应用是高考的热点．主要考查直线和圆的参数方程、判断直线和圆的位置关系，求解有关最值问题等．题型为填空题、解答题，难度中等．【例题3】►已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3＋12t ，y ＝2＋32t(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求线段AB 的长．解：(1)平方相加得：x 2＋y 2＝16，故曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3＋12t ，y ＝2＋32t ，代入x 2＋y 2＝16，并整理得t 2＋33t －9＝0，设A 、B 对应的参数为t 1、t 2，则t 1＋t 2＝－33，t 1t 2＝－9.∴|AB |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝37.(1)参数方程化普通方程的关键是消参数，要根据参数的特点进行．(2)利用参数方程解决问题，关键是选准参数．。