1.2.2分式的乘方及乘除混合运算

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(完整版)分式加减乘除运算

（三）分式的运算知识点一：分式的乘法 ---分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母23bc 2a b 4、；3a 16b4b 9a 24x y2b 2a 1、； 2、； 3、； 3y 2x 3 5a 2 2b5a 2 3c 22x 2 2x 2 4；x y x y ；x y x y3a 3b 25a b 396、； 7、5、a 2b 2x 2x x 3x210ab知识点二：分式的乘方 ---要把分式的分子、分母分别乘方 23222222 y 2x y 24a b a1 b 2a 2； 2、； 3、； 4、； 5、； 6、1、3y3x3zx y知识点四：分式的除法 --分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘2y 2 3x ab 22c 23a b 223x5y 220a y 4；3x512xy 5a28x y ；2、 3xy6xy16a y 321、；3、；4、；5、 4cd2x 2 y 2xyx 1 1 x x 2 4x 4 x 2；9、 x 4y 22x 2y2y x ；7、；8、6、x 2x xx 2xy y 2 2x 2xy2 2 x 1x 1知识点五：分式的乘除混合运算322x 222322x 2 x x 2x x 21aab 2x y y 1、； 4、； 5、；2 x2b b4x2axay23232ab 3 6a 4 b 33c a b aba a ab 2；7、6、2b 22c db a1．下列各式计算结果是分式的是( )． x 37x 2 n a m bn 3m m 2n(C) 3 5x x(A)(B)(D) 3y 24y32．下列计算中正确的是()．－ 1(A)(－1)＝－ 1 (B)(－ 1)＝11 1 (C) 2a 33(D) ( a) ( a)72a 3a 43．下列各式计算正确的是()．1 (A) m ÷n · m ＝m (B) m nmn(C) 1 m m 1m (D) n ÷m · m ＝n)．4．计算 ( a b )4 (a ) 5 的结果是 (ab a 1 a (A)－1(B)1(C) (D)aa b5．下列分式中，最简分式是( )．x 2xy y 2 2x y 2 2x 2y 221xy (A)(B)(C) (D) x yx y15 y 2x y2y 2 x x 9． ( ) ( )2 __________．3 10． [(x ) ]3 2__________．y 2 y知识点六：分式的加减运算法则：①同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减②异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减x 1 1； 2、a 2a 3c117102；1、； 3、； 4、22c d 3cd 222xxabc abc abcx yz x y xyza 2a 3a3 8 11 x y y2x y ；y x； 6、； 7、 y x x y 5、 x 1 x 1 x 2 2 21b 1 b 1 b 1 1 y 1 2xy 3 2m n 8、； 9、； 10、；2x y x 2 y 222x y2m ny 2x2m n4 x 2 y 2 x 2 y 211、 a 2；12、 xy2 axy知识点 7：分式的混合运算 2x y x 2y 2 x 11x a 1 2 a ；；2、x1 ；3、 1、2x y 2 x a 2a 3 a 9 a2 2y1 1x y 1 x 2 y 21 3 x 5 4、5、x 22x 4x 2知识点 8：化简求值 ---化简求值问题的解题步骤一般都是先对式子进行化简，再将已知值代入求值 2x 2 x 2 2x 11x 2x 2 2x 2 1、先化简，再求值： (2x 3xx 9，其中 x 2．2、先化简，再求值： 1)÷x ，其中 x=．x321 x 1 x 3 5 )，其中 x ＝－ 4x 2x 3．4、先化简，再求值：2、先化简，再求值： 1，其中(x 2x 22x 4x 2a 1a 1a 1，其中aa 1 25、先化简，再求值：a 2 2a 1分式阶段水平测评（二）1．下列分式中是最简分式的是（）.2x 4 x 1 1 x （D ）x 1（A ）（B ）（C ）22x 12xx 12．用科学记数法表示 0.000078，正确的是（）.（A ）7.8×10-5 （B ）7.8×10-4 （C ）0.78×10-3（D ）0.78×10-41 3．下列计算：① ( 1)01；② ( 1) 1 1；③ 3a 35( x) ( x) 3 x 2．其；④3a 3中正确的个数是（）．（A ）4 （B ）3（C ）1（ D ）0 1 1 1(R 1 R )，则表示 R 的公式是（ 4．已知公式1）．2R R 1 R 2R 2 RRR 2RR 2 R( R R )2（A ） R 1（C ） R 1） .（D ） R 1（） R 1B RR 2RR 2R 2RR 25．下列分式的运算中，其中结果正确的是（( a ) 231a 1 b2 a 3（A ）（ B ）abaa 2b 2a 3a 2 6a 91 （C ）a b（ D ）a b a 3a a ).a 24 a 2a6．化简 ( （A ）-4的结果是（）.a 2（B ） 4 （C ）2a(D)2a+4二、填空题（每小题 4分，计 16分）27．若 (a 1)0有意义，则 a ≠． 8．纳米是非常小的长度单位， 1纳米 =0.00000000１米，那么用科学记数法表示 1纳米 =米．x y y 1 2 x y9．如果= ．，则 a b 2m dc10．若 a 、b 互为相反数， c 、d 互为倒数， m 的绝对值为 2，则．a b c三、解答题11．计算化简（每小题 5分，计 20分）x 2 4x 2(x 9)；（ 1） 2 x x 2；（2）2x 3x2 3a 4 1 a 1；（ 4） a（3） a 2 a 1.2a 4a 4 a 1 a 2 a 112．请将下面的代数式尽可能化简，再选择一个你喜欢的数（要合适哦！）代入求值：a 2 a 1 1.2a (a 1)2x 111 213.（10分）先化简，再求值,其中 x. 2x 2x 1 2x 2a x2bx 3 3 aba14．（10分）若关于 x 的方程的解是 x=2，其中 a b ≠ 0，求的值． b快速练习21.①若 9x kxy 16y 2k =是一个完全平方式，则；2②若三项式 x 8xy m 是一个完全平方式，则 m = . 2.已知 a 2 ab 5,ab b 222,那么 a b 2．2x(x y 2 xy) y(x 2 x y) 2 34、 (3x 2y) (3x y)(3x y)5、211 2 23b c 27、 2m 26、 2a b 2ab c；2mnmn4 2228.已知 x y 3， xy 2，求 x 2 y ，x y的值。

《分式的乘除++第2课时》精品教学方案

第十五章分式15.2.1分式的乘除第2课时一、教学目标1.理解分式乘方的运算法则；2.能熟练地进行分式乘方及乘、除、乘方混合运算；3.经历乘方法则的探究过程，培养学生的观察、类比、归纳等数学能力；4.通过乘方以及分式乘、除、乘方混合的运算，使学生感受到数学的严谨，从而体会学习数学的价值.二、教学重难点重点：分式乘方运算法则的运用，分式乘除法以及与乘方的混合运算．难点：分式乘方法则及混合运算的准确使用.三、教学用具多媒体等.四、教学过程设计423⎛⎫= ⎪⎝⎭22223333⨯⨯⨯=22223333⨯⨯⨯=⨯⨯⨯1681.2222233333nn ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⎪⎝⎭个.教师活动：衔接分数乘方的回顾，引导学生根据分式的乘法运算写出运算过程，并设出疑问：多个相同分式的乘法，是否可以简写呢？回顾板书：3355x x y y ⋅=3355x xy y ⋅=⋅22925x y . 333555x x x y y y ⋅⋅=333555x x xy y y⋅⋅=⋅⋅3327125x y . 33335555x x x x y y y y ⋅⋅⋅=33335555x x x xy y y y ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅4481625x y . 35nx y ⎛⎫ ⎪⎝⎭33335555n x x xxy y y y⋅⋅⋅⋅个环节二探究新知【探究】教师活动：带领学生根据乘方的意义和分式的乘法法则进行运算.让学生了解字母可以表示数，最后类比数的乘方，得出分式乘方的运算法则.2()a =b a a b b⋅ a a=b b ⋅⋅ 22a =b . 3()a =b a a a b b b ⋅⋅ a a a=b b b⋅⋅⋅⋅ 33a =b . 10()a=b10a a a b b b ⋅⋅⋅个1010a a a=b b b⋅⋅⋅⋅⋅⋅个个 1010a =b . ()n a=bn a a a b b b ⋅⋅⋅个n n a a a=b b b⋅⋅⋅⋅⋅⋅个个n n a =b .集体回答通过类比分数的乘方，归纳总结分式的乘方，实现学生主动参与、探究新知的目的，培养学生类比的思想方法，提高分析问题，解决问题的能力.n ab b b ⋅⋅⋅个nna a a==b b b⋅⋅⋅⋅⋅⋅个个nnab=nnab.分式乘方要把分子、分母分别乘方.分别表示分子与分母，它们可以是单项式，也可以是多巩固例题练习。

分式的乘除乘方混合运算

t t
1 1
•
1 1
t t
,并取一个你喜欢的数代入
计算这个代数式的值.
1.老师布置了一道作业题，“计算
x2 x x2 2x
1
（xx11）3
1
1
x
x
其中 x =2013.”小明错把x=2013错抄成 x =2031，但他的计算结果也是正确的，请你分析一下原因。
2.已知 a²+3a+1=0，求：
16
a4 2a 8
a a
2 2
解：原式=
4
a 4 a 42
a
2
a 4
a4
a a
2 2
= 2a 4 a2
课堂练习
计算
(1)
2x2 y
2
2y2 3x
3
2y x
4
;
解：原式= 4x4 8y6 x4 y2 27x3 16y4
= 2x5 27
课堂
练习
.. 先化简再求值：
解:原式
4 m4m 2m 4 m2
4 m2
m4 m2
24 m2 4 mm 2 4 m2 m 4m 2
2m 2
m2
2m 4（或 2m 4）
m2
m2
当m
1时, 原式=
21 4 1 2
2 3
下面的计算是否正确，若不正确，请指出哪一步有错误并加以改正:
a
2
2
(a
2)
a2
(2)能约分的要约分；(3)有多项式的要因式分解；
(4)最后结果是分式的一定要是最简分式。
计算
5
2x x
3
3 25x2

分式的乘除法教案

分式的乘除法教案一、教学目标：1. 让学生理解分式的乘法和除法运算规则。

2. 培养学生运用分式的乘除法解决实际问题的能力。

3. 提高学生对分式运算的兴趣和自信心。

二、教学内容：1. 分式的乘法运算：分子乘分子，分母乘分母；2. 分式的除法运算：将除法转化为乘法，即乘以倒数；3. 特殊情况的处理：分式的值为0和不存在的情况。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：分式的乘法运算规则和除法运算规则；2. 教学难点：特殊情况下分式的处理和实际应用。

四、教学方法：1. 采用直观演示法，通过例题展示分式的乘除法运算过程；2. 采用归纳法，引导学生总结分式的乘除法运算规则；3. 采用小组讨论法，让学生合作解决实际问题。

五、教学准备：1. 教案、PPT、黑板；2. 练习题；3. 教学工具：多媒体设备。

【教学环节】1. 导入：通过生活实例引入分式的乘除法运算，激发学生兴趣。

2. 新课讲解：讲解分式的乘法运算规则，举例说明，让学生跟随老师一起动手操作。

3. 课堂练习：布置练习题，让学生独立完成，巩固新知识。

4. 讲解分式的除法运算：讲解除法转化为乘法的原理，举例说明。

5. 课堂练习：布置练习题，让学生独立完成，巩固新知识。

6. 特殊情况处理：讲解分式的值为0和不存在的情况，举例说明。

7. 课堂练习：布置练习题，让学生独立完成，巩固新知识。

8. 总结：让学生总结分式的乘除法运算规则，加深印象。

9. 课堂小测：进行课堂小测，了解学生掌握情况。

10. 课后作业：布置课后作业，让学生巩固所学知识。

六、教学评估：1. 通过课堂练习和小测，评估学生对分式乘除法的理解和应用能力。

2. 观察学生在小组讨论中的表现，了解他们的合作能力和解决问题的策略。

3. 收集学生的课后作业，分析他们的错误类型和解决问题的思路。

七、教学反思：1. 反思教学过程中的有效性和学生的参与度，考虑如何改进教学方法以提高学生的学习兴趣。

2. 分析学生的学习困难，针对性地调整教学内容和策略。

人教版八年级上册1.分式的乘方及乘方与乘除的混合运算

1第1．2分分课式式时的的分乘分乘除除式式((的法22课课乘法的时时方则))及．乘乘方方与乘运除的算混合这运算一课的教学先让学生回忆以前学过的分
2．运算中的注意事项．
数的乘方的运算方法，然后采用类比的方法让学生得出分 1第2分课式时的乘分除式(的2课乘时方)及乘方与乘除的混合运算
教2．材运第算14中6的页注习意题事15项. ．
本例题是本节课运算题目的拓展，对于(1)指数为字母，不过方法不变；(2)(3)是较复杂的乘除乘方混合运算，要进一步让学生熟悉运算顺序，注意做题步骤．
教学设计
四、巩固练习教材第139页练习第1，2题．五、课堂小结 1．分式的乘方法则． 2．运算中的注意事项．六、布置作业教材第146页习题15.2第3题．
分第式2课的时除法分法式则的：乘分方式及除乘以方分与式乘，除把的除混式合的运分算子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 1第．2课分式时的分乘式除的法乘法方则．及乘方与乘除的混合运算第2课时分式的乘方及乘方与乘除的混合运算教分材式第的1乘3法9页法练则习：第分1式，乘2题分．式，用分子的积作为积的分子，用分母的积作为积的分母．第2课时分式的乘方及乘方与乘除的混合运算
2x 3 x 教材第139页练习第1，2题．解： ÷ · 2．理解分式乘方的原理，掌握乘方的规律，并能运2用乘方规律进行分式的乘方运算． 5x－3 25x －9 5x＋3 1．分式的乘除法法则．
第1 2分课式时的分乘除式(的2课乘时方)及乘方与乘除的混合运算2
2x 25x －9 x 教材第139页练习第1，2题．＝ · · 第2课时分式的乘方及乘方与乘除的混合运算 5x－3 3 5x＋3 1．分式的乘除法法则．
(3)确定分式的符号，然后约分；

湘教版八年级上册分式的乘法与除法课件(2课时38张)

=

解：原式
3
3

= 2 ∙ 3

4
=

新知探究
2 2 3 4
(2)( ) ∙ ( ) ÷ ( )
−

2
解：原式 =
−
6 4
∙
∙
2 3 4
2 ∙ 6 ∙ 4
= 2 3 4
∙ ∙
= 3
新知探究
混合运算顺序：先算乘方,再算乘除.
新知探究
例3：计算
v m
•
ab n
分式乘法
v
ab
.
;
新课导入
[问题2]:大拖拉机m天耕地a公顷，小拖拉机n天耕地 b公顷，大拖拉机的工作
效率是小拖拉机的工作效率的多少倍?
大拖拉机的工作效率是
小拖拉机的工作效率是
a
m
公顷/天；
b
公顷/天；
n
大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作；
a b
效率的(
)倍.

m n
分式除法
新知探究
4ab
2a
1+ 1−
1
+2
=
∙
∙
2
+2
−1 −1
3 −
2
2
=
∙ 8 ∙
4
+ −
+1
=−
.
+2 −1
122
=
.
+
八年级数学湘教版·上册
第1章
分式
1.2.2分式的乘方
授课人：X
学习目标
1.分式乘方的法则和运算；(重点)
2.分式乘方法则的推导过程的理解及利用分式乘方法则进行运算．(难点)

15.2.1.2 分式的乘方及乘除混合运算(课件)人教版数学八年级上册

＝ 27z3 ＝－ 27z3 .
3
2)原式＝
2 2
2＝
（3np） 9n p
小组讨论
1. 请同学们根据刚才有关分式乘方的练习，总结一下进行分
式乘方时，有哪些需要注意的地方．
要先确定乘方结果的符号，负的分式的偶次方为正，奇次方为负
2．如果将分式的乘方和乘除运算混合在一起，运算顺序应该
例

1
a－b2 －a 3

÷2
5：计算：
2.
·
a －b
ab b－a
2
3
（a－b）2
a
＋ab
a
解：原式＝ a2b2 ·
(a＋b)(a－b)＝ b2 .
3·
（a－b）
例
ab2
6：已知(a－3)2＋|b－4|＝0，求a＋b2

1
ab3
的值．
÷2
2·
a －b 2（a－b）
3．通过经历转化过程，感受事物间辩证统一的相互关系，
让学生在探索讨论中养成与他人合作交流的习惯，并培
养克服困难的勇气和信心．
旧识回顾
2x
3
4b 25ac3
请同学们计算：(1)
÷
；(2)5a·6b2 .
5x－3 25x2－9
2x
3
(1) 原式＝
÷
＝
5x－3
（5x＋3）（5x－3）
2
2x （5x＋3）（5x－3） 10x ＋6x
15.2分式的运算
15.2.1分式的乘除
15.2.1.2
分式的乘方及乘除混合运算
学习目标
1. 通过转化思想将乘除混合运算统一为乘法运算，熟练地

分式的混合运算教学设计

15.2.2分式的加减法（第2课时）一、内容和内容解析 1.内容分式的混合运算. 2.内容解析本节课是在学生已经学习了分式的乘方、乘除法、加减法的基础上进行的混合运算.混合运算也是将整式的因式分解和分式的通分、约分进一步运用巩固的过程，是知识积累的一次升华.分式混合运算也是数的混合运算的推广，它们的本质相同，对于运算方法的归纳，体现了类比的思想方法.基于以上分析，可以确定本课的教学重点是：熟练进行分式的混合运算. 二、目标和目标解析 1.目标明确分式混合运算的顺序，熟练进行分式的混合运算. 2.目标解析学生已经有了多年数的运算经验，并且前几节课已经涉及了分式的多种相关运算，所以对于目标中的“运算顺序”还是易于把握的.对于达到“熟练运算”的目标，计算结果是否正确是重要衡量标准，但更应关注学生在运算过程中的基本方法（如通分、约分等）能否熟练准确进行，从中查出“病因”，从而改正和巩固.三、教学问题诊断分析运算能力是学生的一种基本功.虽然他们能够掌握分式的运算法则，但在独立进行实际计算时，还是分出现很多问题，如多项式不能正确因式分解，找不准最简公分母，变号细节的不注意，结果不化到最简等，这样都会倒致计算结果不正确，因此还需要一个长期强化和巩固的过程.基于以上分析，本节课的教学难点是：熟练进行分式的混合运算. 四、教学过程设计（一）温故知新1.回忆分式加减、乘除、乘方法则.2.应用法则，实际计算.（1）2232324ab a b c cd -÷ （2）2111x x x x x ++÷-- （3）222231036x y y y x x ⎛⎫-•÷ ⎪-⎝⎭ （4）ab bb a a －+- （5）112---x x x （6）221y x -+xy x +21 师生活动：教师展示相关法则，让学生有一个感性认识后，再去实战计算，由学生板书过程.关注运算过程中暴露的不足，可开展“师生互助”和“生生互助”.设计意图：让学生感受“理论与实践的结合”.强化了通分、约分等基本方法的训练，为熟练进行混合运算做好帮助工作.（二）混合运算，做好总结例1. 例2.x x x x x x x x -÷+----+4)44122(2222a 1a b b a b b 4-÷-（）·例3.师生活动：师生共同完成例1、例2的计算，感受混合运算顺序，学生独立完成例3.设计意图：通过例1、例2的计算和例3中两种不同计算规律的使用，再结合学生已有的类比经验，让学生体会分式的运算与数的运算的具有相同本质，掌握运算方法.（三）巩固练习1.2.师生活动：学生独立完成练习，小组成员相互评价，关注运算能力弱的学生，能否将“生生相助”活动的作用发挥出来.设计意图：在巩固训练的过程中，学生之间发现问题处理问题，既达到了“熟练运算”的目的，又提升了学生互助合作意识.（四）归纳小结通过本节课的运算练习，教师提出注意问题：1.一般按分式的运算顺序法则进行计算，但恰当地使用运算律会使运算简便。

湘教版八年级数学上册第一章《分式》教案

第1章分式1.1 分式第1课时分式的概念1.了解分式的概念，明确分式和整式的区别.2.使学生能够求出分式有意义的条件.3.让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程，体会分式是表示现实世界中的一类量的数学模型.4.培养学生观察、归纳、类比的思维，让学生学会自主探索，合作交流.【教学重点】理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件.【教学难点】能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.一、情景导入，初步认知下列式子中哪些是整式？【教学说明】因为分式概念的学习是学生通过观察，比较分式与整式的区别从而获得的，所以必须熟练掌握整式的概念．二、思考探究，获取新知1.思考：（1）某长方形画的面积为Sm2，长为8m，则它的宽为____m.（2）某长方形画的面积为Sm2，长为xm，则它的宽为____m.（3）如果两块面积为x公顷，y公顷的稻田，分别产稻谷akg,bkg,那么这两块稻田平均每公顷产稻谷_____kg.【教学说明】要给学生一定的思考时间，让学生积极投身于问题情景中，根据学生的情况，教师可以给予适当的提示和引导.2.讨论内容：前面出现的代数式如下，它们有什么共同特征？它们与整式有什么不同？【教学说明】让学生通过观察、归纳、总结出整式与分式的异同，从而得出分式的概念．【归纳结论】一般地，一个整式f除以一个非零整式g（g中含有字母）所得的商记作fg,那么代数式fg叫做分式．3.当x取什么值时，分式223xx--的值满足下列条件：（1）不存在;（2）等于0.解：（1）当分母2x-3=0时，即x=32时，分子的值为32－2≠0，因此x=32时，分式223xx--的值不存在.（2）当x -2=0，即x=2时，分式223xx--的值等于0.【教学说明】让学生通过观察，归纳、总结出整式与分式的异同，从而得到分式的概念.三、运用新知，深化理解1.下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？解：（2）、（4）是整式，（1）、（3）是分式．2.若分式13x-有意义，则x的取值范围是（）A.x≠3B.x≠-3C.x＞3D.x＞-3解：当分母x-3≠0，即x≠3时，分式有意义，故选A.3.x取什么值时，下列分式无意义？解：（1）因为当分母的值为零时，分式没有意义．由2x-3=0，得x =32, 所以当x=32时，分式无意义．（2）因为当分母的值为零时，分式没有意义．由5x+10=0，得x=-2,所以当x=-2 时，分式无意义．4.若分式||11xx-+的值为零，则x的值为 1 .【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子=0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题.解：要使||11xx-+的值为0，则|x|-1=0，即x=±1，且x+1≠0，即x≠-1．故x=1．四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结，教师作以补充.布置作业:教材“习题1.1”中第1、2题.在学习分式的概念时，借助整式的概念，用类比的思想进行教学，学生掌握的较好，能够紧抓概念，很容易的区分整式与分式.而在分式的值等于0的教学中，一部分学生都只考虑分式的分子等于0，而没有考虑分式的分母.因此，在后面的教学中对这方面的教学有待加强.第2课时分式的基本性质和约分1.使学生理解并掌握分式的基本性质，并能运用这些性质进行分式约分.2.通过对分式的基本性质的归纳，培养学生观察、类比、推理的能力.3.让学生在讨论活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力.【教学重点】掌握分式的基本性质.【教学难点】运用分式的基本性质来化简分式.一、情景导入，初步认知1.分数的基本性质是什么？2.31=62的依据是什么？【教学说明】通过分数的约分，复习分数的基本性质，通过类比来学习分式的基本性质．二、思考探究，获取新知1.填空，并说一说下列等式从左到右变形的依据是什么？2.思考：34与分式34aa相等吗？分式22a bab与分式ab相等吗？【归纳结论】分式的分子与分母同乘以或除以一个非零整式，所得分式与原分式相等.即：f f gg g h⋅=⋅（h≠0）．【教学说明】通过对分数的基本性质的理解，可类比得出分式的基本性质，但学生只想到分式的分子分母同时乘以或除以一个数，不容易想到整式，另外这个整式不能为零，老师要引导学生想到这一点．3.想一想：下列等式成立吗？为什么？;f f f fg g g g--==-- 【教学说明】先让学生讨论，待学生回答后，教师引导学生得出结论：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.4.根据分式的基本性质填空：【教学说明】有的学生在应用分式的基本性质时往往分式的分子与分母没有同时乘以或除以同一个公因式，有的学生不能正确找到分子、分母的公因式，导致约分的错误和不彻底，所以教师适当引导.【归纳结论】把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫作分式的约分. 分子和分母没有公因式的分式叫作最简分式．三、运用新知，深化理解【教学说明】在教学中让学生将约分的步骤分为这样几步，首先找出分子和分母公因式并提取，再将分式的分子和分母同时除以公因式，最后看看结果是否为最简分式或整式.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结，教师作以补充.布置作业:教材“习题1.1”中第5、6题.学生对分式的基本性质，能说能背.从表面上来看，掌握的比较好.但从练习中可以发现很多问题.如：不会找分式的分子、分母的公因式；分子、分母不同时乘或除；约分不彻底等.所以在这些方面要多练习.1.2分式的乘法和除法第1课时分式的乘除法1.理解分式的乘、除运算法则，会进行简单的分式的乘、除法运算.2.经历探索分式的乘、除法法则的过程，并结合具体情境说明其合理性.3.通过师生讨论、交流，培养学生合作探究的意识和能力.【教学重点】掌握分式的乘、除法运算法则.【教学难点】熟练地运用乘除法法则进行计算，提高运算能力.一、情景导入，初步认知计算，并说出分数的乘除法的运算法则：【教学说明】复习小学学过的分数的乘除法运算，为学习分式乘除法的法则做准备.二、思考探究，获取新知1.探究：分式的乘除法法则你能总结分式乘除法的运算法则吗？与同伴交流.【归纳结论】分式乘分式，把分子乘分子、分母乘分母分别作为积的分子、分母分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.即：【教学说明】让学生观察运算，通过小组讨论交流，并与分数的乘除法的法则类比，让学生自己总结出分式的乘除法的运算法则.【教学说明】学生独立完成，教师点评.3.计算：【教学说明】如果分子、分母含有多项式因式，应先分解因式，然后按法则计算.三、运用新知，深化理解3.先化简，再求值：222396a aba ab b--+,其中a=-8,b=12．解：当a=-8,b=12时，4.甲队在n天内挖水渠a米，乙队在m天内挖水渠b米，如果两队同时挖水渠，要挖x米，需要多少天才能完成？（用代数式表示）【教学说明】需要给学生强调的是分式运算的结果通常要化成最简分式或整式，对于这一点，很多学生在开始学习分式计算时往往没有注意到结果要化简.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:教材“习题1.2”中第1、4、5 题.在练习中暴露出一些问题，例如我在传授过程中急于求成，法则的引入没有给学生过多的时间，如果时间足够，学生自己得出法则并不是一件难事.在解决习题时，对学生容易出现的错误没有重点强调，所以学生在后面的练习中仍然出现这样那样的错误.学生答题的规范性还差了些，在黑板上的板书不到位，在以后的教学中应加强学生答题的规范性练习.第2课时分式的乘方1.使学生牢记分式乘方的运算法则，并能根据此法则进行熟练无误的运算.2.学生能够熟练进行简单的分式乘除与乘方的混合运算.3.经历分式乘方法则的探究过程，采用自主探索与合作交流的方式,亲历“做数学”的过程，培养探究数学问题的能力.4.体验数学充满着探索与创造，感受数学的严谨性，对数学产生强烈的好奇心和求知欲.【教学重点】准确熟练地进行分式的乘方运算.【教学难点】准确熟练地进行简单的分式乘除与乘方的混合运算.一、情景导入，初步认知1.分式乘除法则是什么？2.什么叫最简分式？3.分数的乘方法则是什么？让学生举例.【教学说明】复习旧知，为本节新知打基础.二、思考探究，获取新知1.计算：由乘方的意义和分数乘法的法则，可得根据上面的规律，请总结分式乘方的运算法则.【归纳结论】分式的乘方就是把分子、分母各自乘方.即：【教学说明】通过类比分数的乘方运算方法，总结出分式的乘方运算法则.2.做一做：取一条长度为1个单位的线段AB，如图:第一步：把线段AB三等分，以中间一段为边作等边三角形，然后去掉这一段，就得到了由___条长度相等的线段组成的折线，每一段等于_____,总长度等于_____.第二步：把上述折线中的每一条重复第一步的做法，得到______.继续下去.情况怎么样呢？（1）把结果填入下表：（2）进行到第n步时得到的线段总长度是多少呢？【教学说明】引导学生寻找并总结规律.三、运用新知，深化理解1.教材P10例3、例4.6.计算：【教学说明】培养运用新知识解决问题的能力.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:教材“习题1.2”中第2 题.在分式的乘方运算这一课的教学中，我采用了类比的方法，让学生回忆以前学过的分数的乘方的运算方法，提示学生分式的乘方法则与分数的乘方法法则类似，要求他们用语言描述分式的乘方法则．学生反应较好，能基本上完整地讲出分式的乘方法则．本节课存在的不足：学生主动性还不够强，教师对学生自学能力估计不足，舍不得放手，抑制部分学生的思维发展．1.3整数指数幂1.3.1同底数幂的除法1.了解同底数幂的除法的运算性质，并能解决一些实际问题.2.经历探索同底数幂的除法的运算性质的过程，进一步体会幂的意义.3.发展推理能力和有条理的表达能力.【教学重点】同底数幂的除法法则以及利用该法则进行计算.【教学难点】同底数幂的除法法则的应用.一、情景导入，初步认知【教学说明】复习分式的约分，为本节课的学习作铺垫.二、思考探究，获取新知1.计算机硬盘的容量最小单位为字节(B)，千字节记作（KB），兆字节（MB），吉字节（GB）它们的换算单位如下：1GB=210MB=1024MB;1MB=210KB;1KB=210B .一张普通的CD光盘的存储容量约为640MB，请问一个320GB的移动硬盘的存储容量相当于多少张光盘容量？因为320GB=320×210MB因此一个320GB的移动硬盘的存储容量相当于512张光盘容量.2、如果把数字改为字母:一般地，设a≠0,m,n是正整数，且m>n,则mnaa等于多少？这是什么运算呢？通过上面的计算，归纳同底数幂除法的法则.【归纳结论】同底数幂相除，底数不变，指数相减.即：·m n m nm n n na a aaa a--==【教学说明】让学生从有理数的运算出发，由特殊逐渐过渡到一般，得到同底数幂的运算法则，再运用幂的意义加以说明.在此过程中，发展学生类比、归纳、符号演算、推理能力和有条理的表达能力.三、运用新知，深化理解1.教材P15例1、例2.4.已知a x=2,a y=3,求a3x-2y的值.5.计算：6.计算机硬盘的容量单位KB，MB,GB的换算关系，近视地表示成：1KB≈1000B，1MB≈1000KB,1GB≈1000MB(1)硬盘总容量为40GB的计算机，大约能容纳多少字节？(2)1个汉字占2个字节，一本10万字的书占多少字节？(3)硬盘总容量为40GB的计算机，能容纳多少本10万字的书？一本10万字的书约高1cm,如果把（3）小题中的书一本一本往上放，能堆多高？解：略.【教学说明】让学生通过上述题的训练，以达到巩固提高的效果.五、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:教材“习题1.3”中第1 题.在同底数幂的除法这节教学活动中，通过让学生从特殊到一般，从生活到课堂，从未知到已知，一步步的探索，学生的化归、符号演算等代数推理能力和有条理的表达能力得到进一步的发展，同时，也加深了我对新教材的理解，从而更好地完善新的教学模式.1.3.2 零次幂和负整数指数幂1.通过探索掌握零次幂和负整数指数幂的意义.2.会熟练进行零次幂和负整数指数幂的运算.3.会用科学记数法表示绝对值较少的数.4.通过探索，让学生体会到从特殊到一般是研究数学的一个重要方法.5.通过探索，让学生体会到从特殊到一般是研究数学的一个重要方法.【教学重点】零次幂和负整数指数幂的公式推导和应用，科学记数法表示绝对值较小的数.【教学难点】零次幂和负整数指数幂的理解.一、情景导入，初步认知1.同底数的幂相除的法则是什么？用式子怎样表示？用语言怎样叙述？a m÷a n=m na (a≠0,m、n是正整数，且m>n)2.这个公式中，要求m>n,如果m=n,m<n,就会出现零次幂和负指数幂，如：有没有意义？这节课我们来学习这个问题.【教学说明】通过复习让学生更好的用旧知识迁移推导出新的知识：零指数幂、负整数指数幂的计算.二、思考探究，获取新知1.探究：mmaa等于多少？【分析】根据分式的基本性质.可以得到mmaa=11·mmaa=11=1.根据同底数幂的除法，可以得到a m÷a m=11·mm a a=0a (a ≠0)由此，你能得到什么结论？【归纳结论】任何不等于零的数的零次幂等于1.即：0a =1(a ≠0) 【教学说明】通过引导学生进行计算，合理推导出零指数幂等于1. 2.试试看：填空：3.探究：负整数指数幂的意义. （1）填空：（2）思考：2333与23÷33的意义相同吗？因此他们的结果应该有什么关系呢？【归纳结论】n a =1na (a ≠0) 【教学说明】通过计算让学生推导出负指数幂计算公式（法则）.3.做一做：（1）用小数表示下列各数：110-,210-,310-,410-.你发现了什么？（10n -= ）（2）用小数表示下列各数：1.08×210-,2.4×310-,3.6×410-思考：1.08×10-2,2.4×10-3,3.6×10-4这些数的表示形式有什么特点？(a ×10n (a 是只有一位整数，n 是整数))叫什么记数法？（科学记数法）当一个数的绝对值很小的时候，如：0.00036怎样用科学记数法表示呢？你能从上面问题中找到规律吗？【归纳结论】我们可以用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a ×10-n 的形式，其中n 是正整数，1≤|a|≤10，其公式为00.0001n ⋯个=10n -.三、运用新知，深化理解 1.教材P17例3 ，P18例4、例6. 2.－2.040×510表示的原数为（ A ） A ．－204000 B ．－0.000204 C ．－204.000 D ．－20400 3.用科学记数法表示下列各数. （1）30920000 （2）0.00003092 （3）－309200 （4）－0.000003092【分析】用科学记数法表示数时，关键是确定a 和n 的值. 解：（1）30920000=3.092×710 （2）0.00003092=3.092×510- （3）－309200=－3.092×510 （4）－0.000003092=－3.092×610-6.已知9m ÷223m +=13n（），求n 的值8.把下列各式写成分式形式：2x -,32xy - 解：2x -=21x；32xy -=32x y . 9.(1）原子弹的原料——铀，每克含有2.56×2110个原子核，一个原子核裂变时能放出3.2×1110-J 的热量，那么每克铀全部裂变时能放出多少热量？（2）1块900mm 2的芯片上能集成10亿个元件，每一个这样的元件约占多少mm 2？约多少m 2？（用科学计数法表示）【分析】第（1）题直接列式计算；第（2）题要弄清m 2和mm 2之间的换算关系，即1m=1000mm=103mm ，1m 2=106mm 2，再根据题意计算.解：（1）由题意得2.56×2110×3.2×1110-=8.192×1010(J)答：每克铀全部裂变时能放出的热量8.192×1010J.答：每一个这样的元件约占9×10-7平方毫米；约9×1310-平方米. 【教学说明】通过练习，牢固掌握本节课所学知识，并能运用知识计算. 四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:教材“习题1.3”中第2、3、4 题.1.进行有关0次幂和负整数幂的运算要注意底数一定不能为0，特别是当底数是代数式时，要使底数的整体不能为0；2.在正整数幂的基础上，我们又学习了零次幂和负整数幂的概念，使指数概念推广到整数的范围；3.对0指数幂、负整数指数幂的规定的合理性有充分理解，才能明了正整数指数幂的运算性质对整数指数幂都是适用的.1.3.3整数指数幂的运算法则1.会用整数指数幂的运算法则熟练进行计算．2.通过探索把正整数指数幂的运算法则推广到整数指数幂的运算法则．3.发展推理能力和计算能力．【教学重点】用整数指数幂的运算法则进行计算. 【教学难点】整数指数幂的运算法则的理解.一、情景导入，初步认知正整数指数幂有哪些运算法则？（1）a m ·a n =m n a +（m 、n 都是正整数）（2）()nm mn aa =（m 、n 都是正整数）（3）)··(n n n a b a b =（n 是正整数）（4）a m a n =m n a -（m 、n 都是正整数，a ≠0且m>n ）（5） (nn n a a b b=）（b ≠0，n 是正整数）这些公式中的m 、n 都要求是正整数，能否是所有的整数呢？这5个公式中有没有内在联系呢？这节课我们来探究这些问题.【教学说明】复习正整数指数幂的运算法则，为本节课的教学作准备. 二、思考探究，获取新知1.幂的指数从正整数推广到了整数.可以说明：当a ≠0、b ≠0时，正整数指数幂的上述运算法则对于整数指数幂也成立，即：（1）a m ·a n =m n a +（a ≠0，m 、n 都是正整数）（2）()nm mn aa =（a ≠0，m 、n 都是正整数）（3）)（a≠0，n是整数）a b a b(n n n··2.思考：（1）同底数幂的除法法则可以转换成什么运算法则？（2）分式的乘方法则可以转换成什么运算法则？【归纳结论】幂的除法运算可以利用幂的乘法进行计算，分式的乘方运算可以利用积的乘方进行运算.【教学说明】鼓励学生相互交流讨论.三、运用新知，深化理解1.教材P20例7、例8.3.计算：5.计算下列各式，并把结果化为只含有正整数指数幂的形式：6.当x=14,y=8时，求式子2522?x yx y----的值.解：2522?x yx y----=-2x33y当x=14,y=8时，上式=-16.7.计算下列各式，并把结果化为只含有正整数指数幂的形式.【分析】正整数指数幂的相关运算对负整数指数幂和零指数幂同样适用.对于第（2）题，在运算过程中要把(x+y)、(x-y)看成一个整体进行运算.【教学说明】通过练习，巩固本节课所学内容.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.作以补充.布置作业:教材“习题1.3”中第6、7 题.课堂的有效性是当下教学的瞩目点，一堂高效的课，不仅仅是要让学生获得知识与技能，更多的是学习动机被唤醒、学习习惯的养成和思维方式的提升.本节课不足之处是学生容易把原有的5条性质混淆，导致指数幂范围扩大，就更混了，单独做做还可以过关，一旦混合运算，就基本上搞不清楚是哪一条了.总之，课堂还是要放手让给学生.1.4分式的加法和减法第1课时同分母分式的加减1.理解同分母的分式加减法的运算法则，能进行同分母的分式加减及分母互为相反式的分式加减法运算.2.类比同分母分数加减法的法则归纳出同分母分式的加减法法则.3.通过学习认识到数与式的联系，理解事物拓延的内在本质，丰富数学情感与思想.【教学重点】同分母的分式加减法的运算.【教学难点】同分母的分式加减法的运算.一、情景导入，初步认知做一做：【教学说明】通过“做一做”的几道同分母分数加减的题，引导学生用类比的思想，猜一猜同分母分式的加减运算，并试图让学生认识其合理性.从而抛出同分母分式加减法的运算法则，点明本节课的主要内容.二、思考探究，获取新知1.你能根据分数的加减法运算法则，总结出当分母相同时，分式的加减法运算法则吗？【归纳结论】同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．【教学说明】类比时注意引导学生正确猜想，使法则的提出顺理成章，也为后面的学习做好铺垫.三、运用新知，深化理解1.教材P23例1、P24例2.计算：4.计算：【教学说明】通过演练巩固，让学生对同分母分式的加减法有更好的认识与掌握.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:教材“习题1.4”中第1题.本节课的关键是法则的探究，重点是法则的应用.易错点是分母互为相反数，要化为同分母.在这个过程中要注意变号，学生先独立自学，完成不了的再小组内讨论交流.充分发挥学生自主、合作的意识.第2课时通分、最简公分母的概念1.会找最简公分母，能进行分式的通分.2.认真阅读课本，比照分数通分的方法，类比归纳分式通分的方法.3.通过学习认识到数与式的联系，理解事物拓延的内在本质，丰富教学情感与思想.【教学重点】分式的通分. 【教学难点】找最简公分母.一、创设情境，导入新课分式2214a b 与36xab c的最简公分母是_________，通分后的结果分别是_________.二、思考探究，获取新知 1.什么是分式的通分呢？【归纳结论】根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式的过程，叫作分式的通分.2.如何把分式12x 、13y通分呢？【归纳结论】通分时，关键是确定公分母.一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母.上面的两个分式的分母中，有哪些因式呢？所有因式的最高次幂的积是多少？最简公分母是什么？三、示例讲解，掌握新知1.见教材P26例3、例4.2.把下列各式通分.3.不改变分式的值，把下列分式中分子、分母的各项系数化为整数.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结，教师作以补充.布置作业:教材“习题1.4”中第1 、2 题.教师应注重提高在验证、交流环节中学生的参与率，尤其是一些后进生可能普遍会感觉无从下手，在交流时不主动，从而停留在一知半解的状态.在巩固练习环节上，教师要注意学生的练习密度，确保能达到一定的练习量.第3课时异分母分式的加减1.理解并掌握异分母分式加减法的法则.2.经历异分母分式的加减运算的探讨过程，训练学生的分式运算能力.3.培养学生在学习中转化未知问题为已知问题的能力和意识；进一步通过实例发展学生的符号感和用数学的意识.【教学重点】异分母分式加减法的计算.【教学难点】异分母分式加减法的计算.一、创设情境，导入新课1.同分母分式是怎样进行加减运算的？2.异分母分数又是如何进行加减？3.那么314a a+=？你是怎么做的？【教学说明】通过回忆同分母分式的加减法法则、异分母分数的加减法运算，来引出本节课的内容，同时对问题3运用类比的思想方法，使进入新知识的学习顺理成章.二、思考探究，获取新知1.类比异分母的分数相加减的法则，异分母的分式如何进行加减呢？【归纳结论】异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算．2.思考：从甲地到乙地依次经过1千米的上坡路和2千米的下坡路.已知小明骑车在上坡路上的速度为vkm/h，在下坡路上的速度为3vkm/h，则他骑车从甲地到乙地需要多长时间？【分析】他骑车从甲地到乙地的时间分为2段，即，走上坡路所用时间、走下坡路所用时间.解：根据题意可得，。

湘教版八年级数学第1章《分式》知识清单

第1章分式1.1分式知识点1 分式的概念1.分式的定义:类似地，一个整式f 除以一个非零整式g（g 中含有字母），所得的商记作fg,把代数式f g叫作分式，其中f是分式的分子，g是分式的分母，g≠0. 分式的三要素：（1）形如fg的式子；（2）f为整式，g为非0整式；（3）分母g中含有字母2.分式与分数、整式的关系：（1）分式中分母含有字母，由于字母表示不同的数，因此分式比分数更具有一般性。

分数是分式中字母取特定值时的特殊情况. （2）分式与整式的根本区别是分式的分母中含有字母.知识点2 分式的值存在、不存在的条件1.分式的值存在（分式有意义）的条件：分式的分母表示除数，由于除数不能为0，因此分式的分母不能为即当g≠0时，分式fg才有意义.分式的分母不为0，并不是说分母中的字母不能为0，而是表示分母的整式的值不能为0.2.分式的值不存在（分式无意义）的条件：分式的分母为0，即g＝0时，分式fg无有意义.求法：当分式的值不存在时，根据分式中分母的值为0的条件转化为解方程问题.知识点3 分式的值为0的条件分式的值为0的条件：1.当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0.即对于分式fg，当f＝0且g≠0时，fg=0.2.对于分式fg，常见的特殊分式值的情况讨论：（1）若fg的值为1，则f=g,且g≠0；反过来若f=g,且g≠0，则fg的值为1.（2）若fg的值为-1，则f=-g,且g≠0；反过来若f=-g,且g≠0，则fg的值为-1.知识点4 分式的基本性质1.分式的基本性质：（1）分式的分子与分母都乘同一个非零整式，所得分式与原分式相等，即对于分式fg，有fg=f·ℎg·ℎ(h≠0).（2）分式得分子与分母都除以他们的一个公因数，所得分式与原分式相等.3.分式的符号法则:分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变.用字母表示如下：（1）fg = −f−g= −f−g=−−fg（2）−fg= −−f−g= −fg= f−g知识点5 分式的约分1.分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去（即分子与分母都除以他们的公因式），叫作分式的约分.2.找公因式的方法：（1）当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式.（2）当分子、分母都是多项式时，先把多项式分解因式，再按（1）中的方法找公因式.3.约分的方法（1）若分式的分子、分母都是单项式，就直接约去分子、分母的公因式；（2）若分子或分母含有多项式，应先分解因式，再确定公因式并约去.4.最简分式分子与分母没有公因式的分式叫作最简分式.注意事项：①约分式针对分式的分子和分母整体进行的，而不是针对其中的某些项，因此约分前一定要确认分子和分母都是乘积形式；②约分一定要彻底，其结果必须是最简分式或整式；③注意发现分式的分子与分母的一些隐藏的公因式（如互为相反数的式子）④当分式的分子或分母的系数是负数时，可利用分式的基本性质，把负号提到分式的前面.1.2分式的乘法和除法知识点1分式的乘法1.分式的乘法运算法则：分式乘分式，把分子乘分子、分母乘分母分别作为积的分子、分母.即fg·uv= fugv2.法则的运用方法：（1）若分子、分母都是单项式，可直接利用乘法运算法则运算后再约分；（2）若分子、分母有多项式，可先对分子、分母因式分解，约分后，再进行乘法运算；（3）若分式乘整式，可把整式看成分母为1的“分式”进行运算. （4）运算的结果应为最简分式或整式.3.分式乘法运算的基本步骤：第一步：确定积的符号，写在积中分式的前面.第二步：运用法则，将分子与分母分别相乘，多项式要带扩号；第三步：约分，将结果化成最简分式或正式.知识点2 分式的除法1.分式的除法运算法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即f g÷ u v= f g× v u=fv gu（u ≠0）.2. 法则的运用方法：（1）分式的除法需转化成乘法，再利用分式乘法运算法则计算；（2）当除式是整式时，可以将整式看成分母是1的“分式”进行运算.3.分式除法运算的基本步骤：第一步：将分子、分母是多项式的进行因式分解，并约分；第二步：将除法转化成乘法；第三步：利用分式的乘法运算法则计算。

分式的混合运算

分式的混合运算
对于分式混合运算,一般应按运算顺序,有括号先做括号内的运算,若利用乘法对加法的分配律,则可简化运算。

分式混合运算法则
分式四则运算，顺序乘除加减，乘除同级运算，除法符号须变(乘)；
乘法进行化简，因式分解在先，分子分母相约，然后再行运算；
加减分母需同，分母化积关键；找出最简公分母，通分不是很难；
变号必须两处，结果要求最简。

分式运算法则
1、约分
根据分式基本性质，可以把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。

约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。

2、公因式的提取方法
系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。

3、最简分式
一个分式不能约分时，这个分式称为最简分式。

约分时，一般将一个分式化为最简分式。

乘法同分母分式的加减法法则进行计算。

两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。

4、除法
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。

也可表述为：除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数。

5、乘方
分子乘方做分子，分母乘方做分母，可以约分的约分。

1.2 第2课时分式的乘方

知识管理
1．分式的乘方
fn
法
则：对于任意一个正整数n，有
f g
n＝
gn
，即分式的乘方是把分子、
分母各自乘方．
比较：与积的乘方法则类似，
f·gn＝ fn·gn 积的乘方，
即gf n＝
fn gn
分式的乘方.
2．分式的乘、除、乘方的混合运算一般步骤：分式的乘、除、乘方混合运算中，要注意运算顺序，应先算乘方，再把除法转化为乘法，然后约分再相乘．注意：当分子、分母为多项式时，要注意因式分解后再约分，防止发生符号错误．
【解析】按分式的乘方法则逐一运算．解：(1)错在字母系数没有乘方，改正：45xx232＝1265xx46； (2)错在认为(－2)3＝8，改正：a－＋2bx3＝－a＋ 8x3b3； (3)错在认为(a－b)2＝a2－b2，(a＋b)2＝a2＋b2，改正：aa－＋bb2＝aa－＋bb22； (4)错在对(3z2)4的计算，改正：－32za2 b4＝1861az4b8 4.
【解析】 A.a3cb22＝ac6b2 4，此选项错误； B.－23xz3y2 23＝－82x79zy66，此选项错误； C.－32xzy22＝94xz2y2 4，此选项错误； D．计算正确．故选D.
5．计算：
－5y22xz23＝
－1285xy66z3 16a2
【点悟】分式的乘方运算应将分子、分母同时乘方，然后按积的乘方法则和幂的乘方法则运算．特别要注意各种运算法则，防止混淆．
类型之二分式的乘、除、乘方的混合运算 [2018秋·鲤城区校级期末]计算：
(1)x2－ xyy22÷(x＋y)2·x－x y3； (2)－a23 b÷－ab23·b22.
当堂测评

人教版数学八年级上册第十五章1分式的乘方及乘方与乘除的混合运算

教材第139页练习第1，2题．
4
64
x y x 第2课时分式的乘方及乘方与乘除的混合运算 (3)原式＝ ·(－ )· ＝－x ；第2课时分式的乘方及乘方与乘除的混合2 运算
34
5
y x y 分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
教材第139页练习第1，2题．
(3)确定分式的符号，然后约分；
(4)结果应是最简分式．
1．由整式的乘方引出分式的乘方，并由特殊到一般地
引导学生进行归纳．
(1)(ba)2＝ba ·ba＝ba22；
↑
↑
由乘方的意义由分式的乘法法则
教学设计
(2)同理： (ba)3＝ba·ba·ba＝ba33； (ba)n＝ba·ba·…·ban 个＝ba··ba··……··bann个个＝bann. 2．分式乘方法则：分式：(ba)n＝bann.(n 为正整数) 文字叙述：分式乘方是把分子、分母分别乘方．
1．分式的乘除法法则．
2x 3 x 1．进一步熟练分式的乘除法法则，会进行分式的乘、除法的混合运算．
解：第2课时分式的乘方及乘方与乘除的混合运算 5x－3÷25x －9·5x＋3 1 分式的乘除(2课时)
2
分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
教材第139页练习第1，2题．
42 2
1 分式的乘除(2课时)
1．分式的乘除法法则．
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3
2
33Βιβλιοθήκη a b d c a b 分式的乘方运算，分式的乘除法、乘方混合运算．
(2)原式＝ · · ＝－；教材第139页练习第1，2题．
39

分式的运算

分式的运算概念总汇1、分式的乘法法则与分数的乘法法则类似，我们得到分式的乘法法则：两个分式相乘，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．符号表示：．说明：（1）分式与分式相乘时，若分子和分母都是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再相乘。

（2）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式的分母看作1）与分式的分子相乘作为积的分子，分母不变，当然能约分的要约分。

2、分式的除法法则与分数的除法法则类似，我们得到分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．符号表示：．说明：（1）当分式的分子与分母都是单项式时，运算步骤是：把除式中的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘，其它与乘法运算步骤相同。

（2）当分子与分母都是多项式时：运算步骤是：①把各个分式的分子与分母分解因式；②把除式的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘；③约分，得到计算结果.3、分式的乘方几个相同分式的积的运算叫做分式的乘方。

法则：分式的乘方，等于把分式的分子、分母分别乘方。

符号表示：（为正整数）。

说明：（1）分式的乘方，必须把分式加上括号。

（2）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘、除，有多项式时应先分解因式，再约分。

4、分式的加减法则同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．符号表示：，．说明：（1）同分母分式相加减时应注意：①当分式的分子是多项式时，应先添括号，再去括号合并同类项，从而避免符号错误。

②分式的分子相加减后，若结果为多项式，应先考虑因式分解后与分母约分，将结果化为最简分式或整式。

（2）异分母分式相加减时应注意：①把异分母的分式化成同分母的分式，在这个过程中必须保证化成的分式与其原来的分式相等；②通分的根据是分式的基本性质，分母需要乘“什么”，分子也必须随之乘“什么”；分式的分子、分母同时乘的整式是最简公分母除以分母所得的商。

七年级秋季班-第13讲：分式的运算

通过与分数乘除法类比的过程，总结概括出分式乘除的运算法则．通过具体的练习，掌握分式乘法、除法的运算法则，体会化归与转化的数学思想．重点是分式的四则运算，难点在于异分母分式的加减法．把分式的除法转化为乘法，能正确进行通分，把异分母分式的加减转化为同分母分式的加减，是本讲内容的关键．1、分式的乘法法则两个分式相乘，将分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，用式子表示A C ACB D BD⋅=．2、分式的除法法则分式除以分式，将除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘．用公式表示为A C A D ADB D BC BC÷=⋅=．3、分式的乘方法则分式乘方就是把分子、分母各自乘方．即n nnA AB B⎛⎫=⎪⎝⎭．分式的运算内容分析知识结构模块一：分式的乘除知识精讲2 / 254、分式的乘除混合运算分式的乘除混合运算，有括号先算括号里的，没有括号按从左到右的顺序计算．【注意】（1）在分式除法运算中，除式或（被除式）是整式时，可以看作分母是1的分式，然后按照分式的乘除法的法则计算；（2）要注意运算顺序，对于分式的乘除来讲，它只含同级乘除运算，而在同级运算中，如果没有附加条件（如括号等），那么就应该按照由左到右的顺序计算．例如：211a aa b b b b b ÷⋅=⋅=．【例1】下列式子中，化简正确的有（）．A ．a x a b x b +=+B ．0x y x y +=+C ．22a b a b a b +=++ D ．1x yx y-+-=- 【难度】★ 【答案】D【解析】A 错误，考察分式的基本性质，分子分母同时乘以或除以一个不为零的数，分式值不变；B 错误，正确答案应为1；C 错误，化简不了．【总结】主要考察运用分式的基本性质如何化简．【例2】下列计算正确的是（）． A ．233yxy x x÷= B ．2313y x x y x ÷= C ．1x y x y÷⋅=D ．21111a a a a a -⋅=-+ 【难度】★ 【答案】D【解析】A 错误，正确应为：2331133y y xy x x xy x÷=⋅=； B 错误，正确应为：222333393y x y y y x y x x x÷=⋅=；C 错误，正确应为：2111xx y x y y y y÷⋅=⋅⋅=．【总结】主要考察运用分式的基本性质如何化简．【例3】若a b s r 、、、都是正数，则式子a b br s-=可变形为（）． A ．rb sa s+= B ．asb r s=+ C ．r sa as+=D ．as rb r-=【难度】★例题解析【答案】B【解析】两边同时乘以rs ，可得：()br s b a =-，整理可得：()s r b as +=，则选B 【总结】考察分式的化简．【例4】计算()222x y x x y x x y++÷⋅+的结果是（）． A ．22x x y+B ．2x y +C ．1yD ．11y+ 【难度】★ 【答案】A【解析】()222x y x x y x x y ++÷⋅+()22222x x x x y x y x y x y =+⋅⋅=+++．【总结】本题主要考察分式的乘除法运算，注意先约分后乘除．【例5】化简224252ab bab a b÷⨯，结果是（）．A ．215a bB ．2245a bC ．25b aD ．45b【难度】★【答案】A【解析】224252ab b ab a b ÷⨯2224115225ab b ab a b a b =⋅⨯=．【总结】本题主要考察分式的乘除法运算，注意先约分后乘除．【例6】计算：（1）2238_______32x yz y z x⋅=；（2）2412_______9aab b -⋅=；（3）43_______3xyz z÷=；（4）233_______105y yx x-÷=-．【难度】★【答案】（1）243z x y ；（2）2163a b-；（3）249xy z ；（4）2x ．【解析】（1）223284323x yz zy z x x y⋅=；（2）224161293a a ab b b -⋅=-；（3）2441433339xy xy xyz z z z z ÷=⋅=；（4）2233351051032y y y x x x x x y --÷=-⋅=-．【总结】本题主要考察分式的乘除法运算，注意先约分后乘除．【例7】计算：（1）211_______x x x ÷=-；（2）()2242_______44a a a a--⋅=+-．【难度】★【答案】（1）x -1；（2）2--a ．【解析】（1）()()211111111x x x x x x x x x x÷=÷=⋅-=---；（2）()()()()()222224222442a a a a a a a a a +---⋅=-⋅=--+--．【总结】本题主要考察分式的乘除法运算，注意先约分后乘除．【例8】计算22222662x x x x x x x x --+-÷--+-的结果是___________．【难度】★★【答案】9122--x x ．【解析】22222662x x x x x x x x --+-÷--+-()()()()()()()()21323221x x x x x x x x -++-=÷-++-()()()()()()()()21213232x x x x x x x x -++-=⋅-++-()()()()1133x x x x +-=-+2219x x -=-．【总结】考察分式的乘除法，当分子分母为多项式时，要先因式分解，再约分．【例9】计算：（1）22_______11a aa a ⋅=-+；（2）223_______212x x x x x +÷=++--．【难度】★★【答案】（1）a a 1-；（2）2342-++x x x ．【解析】（1）()()222221111_______1111a a a a a a a a a a a a a a a+---=÷=⋅=⋅=+-++；（2）()()()()()()2222313343_______21121222x x x x x x x x x x x x x x x ++++++=++⋅=+⋅==--+---．【总结】考察分式的乘除法，当分子分母为多项式时，要先因式分解，再约分．【例10】先化简，再求值：（1）()232xy x x yx y y x y--÷-⋅+，其中 1.5x =-，2y =；（2）2232232(2)a ab b b a ab b b b ++-+--+，其中12a =，13b =．【难度】★★ 【答案】（1）43；（2）5．【解析】（1）()232xy x x yx y y x y --÷-⋅+()()()21x y x y x x y x y x y y x y +--=⋅⋅=-+-，当 1.5x =-，2y =时，原式=4325.1=--；（2）2232232(2)a ab b b a ab b b b ++-+--+()()222322322a b ab b a ab ab b b -++=+--+()()()()222322232a b ab b a ab b ab b-++=-++-()()()()()222a b a b b a b a b b a b +-++=-+-()()()()22a b a b b a b a b b +-+=--+a ba b+=-，当12a =，13b =，原式=5616531213121==-+．【总结】考察分式的乘除法，当分子分母为多项式时，要先因式分解，再约分．【例11】若1x x=，求234433x x x x x x x --+⎛⎫÷⋅- ⎪+⎝⎭的值．【难度】★★ 【答案】1±．【解析】234433x x x x x x x --+⎛⎫÷⋅- ⎪+⎝⎭()343134x x x x x x x x -+⎛⎫=⋅⋅-= ⎪+-⎝⎭，因为xx 1=，所以1±=x ，所以原式=1±．【总结】考察分式的乘除法，注意法则的准确运用．【例12】已知0132=+-a a ，则32232531a a a --++的值是________ 【难度】★★ 【答案】1-．【解析】已知0132=+-a a ，则132-=a a 或a a 312=+，31=+aa （方程两边同时除以a ）． 32232531a a a --++22232531a a a a =⋅--++()223312531a a a a =---++ 222362531a a a a =---++223231a a a =--++2331231a a a =---++2341a a =-++343a a =-+14a a=-+341=-=-．【总结】本题主要考查分式的变形以及整体代入思想和降次思想的运用．【例13】已知6a b +=，2ab =-，求代数式()()224466a b a b a b ab +-÷÷-的值．【难度】★★★ 【答案】-2．【解析】()()224466a b a b a b ab+-÷÷-()()()()222216ab a b a b a b a b a b =++-⋅⋅+-()6a b ab +=，已知6a b +=，2ab =-，所以原式=()2626-=-⨯．【总结】考察分式的乘除法，注意法则的准确运用．【例14】已知2244450x y x y +-++=，求2442222222x y x y x y x xy y xy y y ⎛⎫--+⋅÷ ⎪+--⎝⎭的值．【难度】★★★【答案】217-．【解析】已知2244450x y x y +-++=，则()()222210x y -++=，所以2=x ，12y =-．2442222222x y x y x y x xy y xy y y ⎛⎫--+⋅÷ ⎪+--⎝⎭()()()()()()()22222222x y x y x y x y y x y x y y x y x y ++--=⋅⋅-+-+22yx y =+，当2=x ，12y =-时，原式=221122217171242-=-=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭．【总结】本题一方面考查非负性的运用，另一方面考查分式的化简求值．【例15】已知2310x x --=，求：（1）221x x +；（2）2421x x x ++的值．【难度】★★★ 【答案】（1）11；（2）121．【解析】已知2310x x --=，则31=-xx （等式两边同时除以x ），（1）22221123211x x x x ⎛⎫+=-+=+= ⎪⎝⎭，（2）2422211111111121x x x x x ===+++++．【总结】考察分式的变形，这种变形经常用到，因此要彻底理解．1、同分母的分式加减法法则同分母分式相加减，分母不变，分子相加减． 2、异分母的分式加减法法则（1）通分：将几个异分母的分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程叫做通分，这几个相同的分母叫做公分母．（2）异分母分式加减法法则：分母不同的几个分式相加减，应先进行通分，化成同分母分式后再进行加减运算，运算结果能化简的必须化简．模块二：分式的加减知识精讲8 / 253、分式的综合运算与分数的混合运算类似，先算乘除，再算加减，如果有括号，要先算括号内的．【例16】计算：39_______33a b a bab ab++-=--．【难度】★【答案】a 2．【解析】3962333a b a b b ab ab ab a ++--==---．【总结】考察同分母分式的加减法．【例17】下列各式计算错误的是（）． A ．325x y x y ya b a b a b+--=+++ B ．322x y x y x ya b a b a b +-++=+++C ．32x y x y ya b a b a b+++=+++D ．32x y x y ya b a b a b ++-=+++【难度】★ 【答案】C【解析】C 错误，正确答案为3225x y x y x ya b a b a b ++++=+++．【总结】考察同分母分式的加减法．【例18】计算：（1）51________1212x x+=；（2）2_______22x x x -=--；（3）22______a b a b a b -=--；（4）33________a b a ba b a b++-=++．【难度】★ 【答案】（1）12x；（2）1；（3）b a +；（4）b a ba +-22．【解析】（1）51611212122x x x x+==；（2）221222x x x x x --==---；（3）()()2222a b a b a b a b a b a b a b a b a b +---===+----；（4）3322a b a b a ba b a b a b++--=+++．【总结】考察同分母分式的加减法，注意结果要最简．例题解析【例19】已知2x =，3y =，则22_______x y x y y x+=--．【难度】★ 【答案】5．【解析】()()2222235x y x y x y x y x y x y y x x y x y +--+===+=+=----．【总结】考察同分母分式的加减法，注意结果要最简．【例20】化简：222m m m ---的结果是_____________．【难度】★【答案】24-m ．【解析】()()222222442222222m m m m m m m m m m m m m -+---=-=-=------．【总结】考察同分母分式的加减法，注意结果要化成最简分式，另外注意符号的变化．【例21】求下列分式的最简公分母（1）22325a b ab abc -，，；（2）()223111x x x x +-，，；（3）2263562x x x x -+--，；（4）2211211a a a a a a a a-+-++-，，．【难度】★【答案】（1）c b a 22；（2）()()11-+x x x ；（3）()()()132+--x x x ；（4）()()211a a a +-．【解析】单项式取字母的最高次数，多项式先进行因式分解彻底，再取各因式的最高次数．【总结】本题主要考查最简公分母的概念．【例22】通分：（1）238x y -，3512x yz ，3320xy z-；（2）1(1)x x x +-，21x x -，2221x x -+；（3）2m n mn -，2n m mn -，221m n -；（4）()()1a b a c --，()()1b c b a --，()()1c a c b --．【难度】★ 【答案】见解析．【解析】（1）22333458120xy z x y x y z -=-，233355012120y x yz x y z =，233331820120x xy z x y z--=；（2）221(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x ++-=--+，()()()2221111x x x x x x x -=--+，2222(1)21(1)(1)x x x x x x x +=-+-+；（3）()()()22m m n m n mn mn m n m n -+=-+-，()()()22n m n nm mn mn m n m n +=-+-，()()221mnm n mn m n m n =-+-；（4）()()()()()1b c a b a c a b a c b c -=-----，()()()()()()1a cbc b a a b b c a c --=-----，()()()()()1a bc a c b a b a c b c -=-----．【总结】本题一方面考查最简公分母的概念，另一方面考查利用分式的基本性质进行通分．【例23】计算：（1）212293x x +--；（2）2431222x x x x ++----．【难度】★ 【答案】（1）32+-x ；（2）()()122+-+x x x ．【解析】（1）()()()()()()22232312212293933333x x x x x x x x x x +-+=-==----+-+-+；（2）2431222x x x x ++----()()4312221x x x x =-+---+ ()()()()()()112212121x x x x x x x x ++=+=-+-+-+．【总结】考察异分母分式的加减法，注意先通分再加减．【例24】小明上学时从家到学校要走一段上坡路，途中平均速度为m 千米/时，放学回家后，沿原路返回，平均速度为n 千米/时，则小明上学和放学来回一次路上的平均速度为（）千米/时． A ．2m n + B ．2mnm n +C ．mnm n+ D ．m n mn +【难度】★★ 【答案】B【解析】设路程为1，则上坡路的时间为m 1，下坡路的时间为n1，所以小明上学和放学来回一次路上的平均速度为nm mnnm +=+2112 【总结】本题主要考察分式运算在实际问题中的应用，本题注意对平均速度的理解．【例25】计算：（1）32231131x x x x x x x -+⋅----；（2）22424422x x x x x x x ⎛⎫-+-÷ ⎪-+--⎝⎭；（3）2331()y x y x y x x y x y ⎛⎫÷-÷ ⎪--⎝⎭；（4）()222211121a a a a a a +-÷+---+；（5）22321113x x x x x x x +++-⋅--+；（6）221369324a a a a a a a +--+-÷-+-．【难度】★★【答案】（1）x ；（2）()22x x+；（3）0；（4）1-；（5）11x --；（6）33a -．【解析】（1）32231131x x x xx x x -+⋅----()()()2231113111x x x x x x x x x x x x -+=⋅-=-+----- ()2111x x x x x x x --===--；（2）22424422x x x x x x x ⎛⎫-+-÷ ⎪-+--⎝⎭()()()2222222x x x xx x x ⎡⎤+-+=-÷⎢⎥---⎢⎥⎣⎦()()22222222222x x x x x x x x xx x x ++++--⎛⎫=+⋅=⋅= ⎪---⎝⎭；（3）2331()y x y x y x x y x y ⎛⎫÷-÷ ⎪--⎝⎭()233323330()y y y y y x y x x x x y x x =⋅-⋅-=-=-；（4）()222211121a a a a a a +-÷+---+()()()()2211112111111111a a a a a a a a a a a ++-+-=⋅-=-==--+----；（5）22321113x x x x x x x +++-⋅--+()()()213111113111x x x x x x x x x x x x +++=-⋅=-=---++---；（6）221369324a a a a a a a +--+-÷-+-()()()()()()2232213133222323a a a a a a a a a a a a a a -+-+-+-=-÷=-⋅-++--+- 123333a a a a a +-=-=---．【总结】考察分式的加减法运算，注意分子分母中含有多项式时，要先进行因式分解．【例26】若()()211212x A Bx x x x +=+++++恒成立，则_________A B +=．【难度】★★ 【答案】2．【解析】若()()211212x A Bx x x x +=+++++恒成立，则()()()()()()()()()()()2122112121212A x B x A B x A B x x x x x x x x x ++++++=+=++++++++恒成立，则⎩⎨⎧=+=+122B A B A ，所以2=+B A ．【总结】考察分式的加减法，注意先通分再加减．【例27】已知111a b a b +=+，则b aa b +的值是__________．【难度】★★ 【答案】-1．【解析】已知111a b a b +=+，则ba ab b a +=+1，可得()ab b a =+2，即ab b a -=+22，所以122-=+=+abb a b a a b ．【总结】考察异分母分式的加减法和分式的变形运用．【例28】已知1ab =，1111M a b =+++，11a b N a b=+++，则M 与N 的大小关系是（）．A ．M N =B ．M N >C ．M N <D ．不确定【难度】★★ 【答案】A 【解析】N M -111111a b a b a b ⎛⎫=+-+ ⎪++++⎝⎭1111a b a b --=+++()()()()()()111111a b b a a b -++-+=++ ()()1111b a ab a b aba b +--++--=++221ab ab a b -=+++0=，所以M N =．【总结】本题主要考察分式的比较大小．【例29】若分式M 满足()22224222y x yM x y x xy y x xy y +⋅++=----，求M 的值．【难度】★★【答案】()21y x +．【解析】∵()22224222y x yM x y x xy y x xy y +⋅++=----， ∴()22222422x y y M x y x xy y x xy y +⋅+=-----2222x y x xy y -=--()()22x yx y x y -=-+1x y=+， ∴()21M x y =+．【总结】本题主要考查分式的混合运算，注意法则的准确运用．【例30】先化简，后求值：22222222m mn m n mnm n m mn n m n n m -+-+-+++，其中1132m n =-=，．【难度】★★ 【答案】-2．【解析】22222222m mn m n mn m n m mn n m n n m -+-+-+++()()()()()2=m m n m n mn m n m n mn m n m n -+-+-+++ 11m mm n m n m n m n=-+=++++，当1132m n =-=，，原式26131213131-=-=+--=．【总结】本题主要考查分式的加减运算，注意法则的准确运用．【例31】计算：2411241111x x x x +++-+++．【难度】★★★【答案】818x -．【解析】2411241111x x x x +++-+++=224224111x x x =++-++448448111x x x =+=-+-．【总结】本题主要考查异分母分式的加法，注意先通分，通分时注意平方差公式的运用．【例32】计算：()()()()()()222x y z y z x z y xx y x z y x y z z y z x ------++------．【难度】★★★【答案】0．【解析】()()()()()()222x y z y z x z y xx y x z y x y z z y z x ------++------()()()()()()x y x z y z y x z y z xx y x z y x y z z y z x -+--+--+-=++------111111x z x y y x y z z y z x=+++++------0=．【总结】注意分式规律b a ab b a 11+=+的运用．【例33】已知a b c 、、三个数满足1abc =，求式子111111a ab b bc c ca ++++++++的值．【难度】★★★ 【答案】1．【解析】已知a b c 、、三个数满足1abc =，则bac 1=，111111a ab b bc c ca ++++++++11111abc a ab abc b bc c b=++++++++ 1111bc bb bc b bc b bc =++++++++11bc bb bc ++=++1=．【总结】本题综合性较强，主要考查整体代入思想的运用，以及通过恰当的变形，将异分母分式转化为同分母分式．【习题1】化简：（1）_____x yx y y x -=--；（2）2_____a a ba b b a++=--．【难度】★ 【答案】（1）yx yx -+；（2）1．【解析】x y x y x y y x x y+-=---；（2）21a a b a ba b b a a b+-+==---．【总结】考察同分母分式的加减法，注意相反数的变形．【习题2】计算：（1）3212_______11x x x x -+-=-+；（2）2222______42x x x x ⎛⎫+-= ⎪--⎝⎭；（3）()2222_________x y x y x y y x+⋅+=--．【难度】★【答案】（1）1-x ；（2）1；（3）y x +．【解析】（1）()()()()2322211122121111111111x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-+++++--=-=-==--+-+++++；（2）()()()22222222142222222x x x x x x x x x x x x x x +⎛⎫+--=-=-== ⎪--+-----⎝⎭；（3）()22222222x y x y x y x y x y x y y x x y y x x y-+⋅+=+==+-----．【总结】本题主要考查分式的加减乘除混合运算，注意法则的准确运用．【习题3】代数式211x xx x +÷--有意义，则x 的取值范围是（）． A ．1x ≠ B ．1x ≠且0x ≠ C ．2x ≠且1x ≠ D ．2x ≠-且0x ≠【难度】★ 【答案】B【解析】分式有意义的条件是分母不为零．【总结】考察分式有意义的条件．随堂检测【习题4】化简：2n n m m m⎛⎫-÷ ⎪-⎝⎭的结果是（）．A ．1m --B ．1m -+C ．mn m -+D ．mn n --【难度】★ 【答案】B【解析】()211m m n n n m m m m m n -⎛⎫⎛⎫-÷=-⋅=-+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．【总结】考察分式的乘除运算，注意先约分后乘除．【习题5】给定下面一列分式：3x y ，52x y -，73x y ，94x y-（其中0x ≠），根据你发现的规律，给定的此列分式中的第7个分式为____________．【难度】★ 【答案】715yx ．【解析】奇数项为正号，偶数项为负号．【总结】分本题主要考查找规律，次数与项数之间的关系．【习题6】已知2320x x --=，那么代数式()32111x x x --+-的值是_____________．【难度】★★ 【答案】2．【解析】()()()()()()()3322211111113211x x x x x x x x x x x -----+-===--+=-=--原式．【总结】本题主要考查分式的除法，注意整体因式的运用．【习题7】若22560a ab b -+=，则________a bb +=．【难度】★★ 【答案】3或4．【解析】若22560a ab b -+=，则()()032=--b a b a ，所以b a 2=或b a 3=，当b a 2=时，32=+=+b b b b b a ；当b a 3=时，43=+=+bbb b b a ．【总结】考察两个未知数的十字相乘法因式分解以及整体思想的运用．【习题8】当整数x 为何值时，分式22322212x x x x x -+⋅-+-的运算结果为整数？【难度】★★【答案】2031x x x x ====-或或或．【解析】()()()2221232222=212211x x x x x x x x x x ---+⋅⋅=-+----，要使最后的结果为整数，则112x -=±±或，所以2031x x x x ====-或或或．【总结】考察分式的乘法运算，注意先对多项式因式分解再约分．【习题9】计算：（1）23324b b b a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）22136932x x x x x x +-÷⋅-+-+；（3）22226235623x x x x x x x x +-+-÷-+--；（4）222212111a a a a a a a a --÷⋅++++；（5）()()()22218334423x xx x x x x ⎡⎤--÷+⋅⎢⎥-+-+⎢⎥⎣⎦．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）23232232364162442727b b b b a a a a a a a b b b --⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷÷-=⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）()()222132331693223x x x x x x x x x x x +-+-÷⋅=⋅-⋅=--+-++-；（3）()()()()()()()()222232316231562332311x x x x x x x x x x x x x x x x x x +--++-+-+÷=⋅=-+----+--；（4）()()()()222222111121111111a a a a a a a a aa a a a a a a a a +---+÷⋅=⋅⋅=++++-+++；（5）()()()()()()()22233233233223222x x x x x x x x x x x x +-+-+--=÷=⋅=------原式．【总结】考察分式加减乘除混合运算，注意法则的准确运用．【习题10】化简求值：223323212a a a a a a a ++÷-++++，其中 1.2a =．【难度】★★【答案】14-．【解析】()()()223332122=321212322a a a a a a a a a a a a a a a a ++++-÷-⋅-=+++++++++，当 1.2a =时，原式 1.2211.224-==-+．【总结】考察分式的混合运算，注意法则的准确运用．【习题11】已知1a =-，10b =-，8m =，9n =，求()111mm n m nn n n n n n ab a b a b a b a a b+++++⋅÷++的值．【难度】★★ 【答案】1．【解析】()111mm n m nn n n n n n ab a b a b a b a a b+++++⋅÷++ ()()m n m n m mn n n a a b b a b a b a b a a b ⋅⋅⋅=÷++()()m n m n n n n m ma ab b a a b a b a b a b ⋅⋅⋅+=⋅+1m a ==．【总结】本题主要考查分式的化简求值，注意观察公因式的提取．【习题12】甲、乙两人两次到某粮店去买大米，两次的大米价格分别为每斤a 元和b 元()a b ≠，甲每次买100斤大米，乙每次买100元的大米，问甲、乙两人买大米谁平均价格更低？【难度】★★ 【答案】乙．【解析】甲的平均价为2200100100b a b a +=+；乙的平均价为()b a ababb a b a +=+=+100200100100200，因为()()()02222222>++=+-+=+-+b a b a b a ab b a b a ab b a ，所以b a ab b a +>+2，所以乙买大米平均价更低．【总结】本题主要考查分式的运算在实际问题中的运用．【习题13】计算：23451234x x x x x x x x ++----+++--．【难度】★★★ 【答案】()()()()43211010--+++-x x x x x ．【解析】23451234x x x x x x x x ++----+++-- 112131411234x x x x x x x x ++++----=--+++-- 11111(1)(1)(1)1234x x x x =+-+--+-++-- 11111234x x x x =-+-++-- ()()()()111234x x x x =-++--()()()()10101234x x x x x -+=++--．【总结】分式计算时，先观察分式的规律，适当的时候作简便运算．【习题14】已知4360x y z --=，270x y z +-=，0xyz ≠，求2x y zx y z +--+的值．【难度】★★★【答案】34．【解析】已知4360x y z --=，270x y z +-=，则z y 2=，z x 3=，所以3244232233x y z z z z z x y z z z z z +-+-===-+-+．【总结】利用解方程组的思想消元，得出未知数之间的关系，然后通过约分求出分式值．【习题15】已知1ab =，试说明111a b a b +=++．【难度】★★★ 【答案】见解析【解析】已知1ab =，则b a 1=，所以111111111111a b b b bb a b b b b b b ++=+=+==+++++++．20 / 25【习题16】已知x a y z =+，y b x z =+，z c x y=+，求111a b c a b c +++++的值．【难度】★★★【答案】1．【解析】111a b c a b c +++++1111x z y y z y z x z x y z y z x z y z x z y y z x y x z x y z x y z x y z y z x z x y x y zx y z x y z x y z x y z x y z +++=+++++++++++=+++++++++++=++++++++++=++= 【总结】本题计算比较复杂，解题时注意观察规律，将难度降低．【作业1】计算：（1）22543125y x y xy x ⎛⎫⋅⋅- ⎪⎝⎭；（2）22226y xx y x x y⎛⎫÷-⋅÷ ⎪⎝⎭；（3）22362444x x x x x -+÷-++；（4）23232243323a b b b a a ⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（5）22422242x y y x x ax a ⎛⎫---⎛⎫⎛⎫÷⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【难度】★【答案】（1）-1；（2）y x 26-；（3）3；（4）232ab-；（5）2104a x ．【解析】（1）225431125y x y xy x ⎛⎫⋅⋅-=- ⎪⎝⎭；（2）2222222221666y x x x x x y x x y x y y y x y ⎛⎫⎛⎫÷-⋅÷=⋅-⋅⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；课后作业（3）()()()()2223223623444222x x x x x x x x x x -+-+÷=⋅=-++-++；（4）232363222462243162723239893a b b a b bb b a a b a a a ⎛⎫---⎛⎫⎛⎫⋅⋅=⋅⋅=-⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（5）224222244102242241644216x y y x x y a x x x x ax a y a a ⎛⎫---⎛⎫⎛⎫÷⋅=⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【总结】考察分式的乘除法，注意法则的准确运用．【作业2】计算：（1）222931x xx x x --÷-+；（2）2221111a a a a a a a -+⎛⎫÷⋅ ⎪---⎝⎭．【难度】★ 【答案】（1）()13-+-x x x ；（2）11-+-a a ．【解析】（1）()()()()()()22233139311131x x x x x x x x x x x x x x x +-++--÷=⋅=--++---；（2）()()()()()22222111111111111a a a a a a a a a a a a a a a a a -+-+-+⎛⎫÷⋅=⋅⋅=- ⎪---+--⎝⎭-．【总结】考察分式的乘除法，注意法则的准确运用．【作业3】计算：（1）22______a b b aa b b a a b++-=---；（2）231______222x x x x x x -++-=---；（3）2222222222________x y x y x y y x x y ++-=---；（4）222223121_________232323x x x x x x x x x -+--+=------；（5）2________b a c b ca b c b a c b a c +-+-=-+----．【难度】★【答案】（1）-1；（2）2x --；（3）2222yx y --；（4）222223x x x x ----；（5）-2．【解析】（1）22221a b b a a b b a a ba b b a a b a b a b++---++-===------；（2）()()22231314222222x x x x x x x x x x x x x---+-+-+-===-------；（3）()22222222222222222222x y x y x y x y y x y y x x y x y x y --+++-==------；（4）()222222222231213121222323232323x x x x x x x x x x x x x x x x x x --++--+----+==----------；（5）()()2222222b a c b c b a c b a c b ca b c a b c b a c b a c b a c b a c b a c-++-----+--++-====--+----------．【总结】考察分式的乘除法，注意法则的准确运用．【作业4】如果m 为整数，那么使分式31m m ++的值为整数的m 的值有（）个．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【难度】★★【答案】C【解析】31221111m m m m m +++==++++，要使分式值为整数，则112m +=±±或，所以整数m 的值有4个．【总结】题目中的分式可以进行分离常数，然后再讨论整数取值．【作业5】分式251126x x x -+-是由分式2A x +与23Bx -相加得到，则A 、B 应为（）A ．511A xB =⎧⎨=-⎩ B ．115A B x =-⎧⎨=⎩C ．13A B =-⎧⎨=⎩D ．31A B =⎧⎨=-⎩【难度】★★ 【答案】D 【解析】()()()()()()()623223222322323222-+-++=-+++-+-=-++x x A B x B A x x x B x x x A x B x A 所以252311A B B A ⎧+=⎨-=-⎩，解得：31A B =⎧⎨=-⎩．【总结】考察异分母分式的加减法通分的方法．【作业6】计算：（1）222555ab b a bab b a ab a b a b ⎛⎫+++⋅-⎪-+-⎝⎭；（2）()()22222222(22)2x y x y x y xy x xy y x y x y+⋅+--÷-+--；（3）22422442222a b a a b a b a b a b a b b a ⎛⎫⋅-÷-⎪-+-+-⎝⎭．【难度】★★【答案】（1）ab 5；（2）y x -；（3）2222ab a a b --．【解析】（1）222555ab b a b ab b a ab a b a b ⎛⎫+++⋅- ⎪-+-⎝⎭()()()55b a b a bb a b a a b a b a b ⎡⎤+=++⋅-⎢⎥-+-⎢⎥⎣⎦ ()()()555b a b a a bb a b a a b a b a b a b +=⋅++⋅--++-55b b ab ab a ba b =+-=--；（2）()()22222222(22)2x y x y x y xy x xy y x y x y+⋅+--÷-+-- ()()()()()2222xy x y x y x y x y x y x y x y -=+⋅+-+---()2222x y x y xy x y x y x y x y x y-=+-==-----；（3）22422442222a b a a b a b a b a b a b b a ⎛⎫⋅-÷- ⎪-+-+-⎝⎭()()()2442222222222a b a a b a b a b b a a b a b a b =⋅-÷--+--++ ()()()222242224222222ab ab ab a b a b a a b a b +=-⋅----+ 2222222222ab a b b a b a b a b+=-+--- 2222ab a a b -=-．【总结】考察分式的加减乘除运算，注意乘法分配律的应用．【作业7】已知210253a a b ++=--，求代数式()4322222322b a ab a b b a b ab b a b +--⋅÷+-的值．【难度】★★【答案】845-．【解析】已知210253a a b ++=--，所以()2530a b ++-=，则53a b =-=，．()4322222322b a ab a b b a b ab b a b +--⋅÷+-()()()()()24223a a b b a b b ab b b a b a b aa b -+=⋅⋅=+---，当53a b =-=，时，原式()()84553352-=--⨯-=．【总结】本题一方面考查非负性的运用，另一方面考查分式的化简求值．【作业8】甲、乙两种茶叶，以:x y （重量比）相混合制成一种混合茶．甲种茶叶的价格每500克50元，乙种茶叶的价格每500克40元，现在甲种茶叶的价格上调了10%，乙种茶叶的价格下调了10%，但混合茶的价格不变，求:x y ．【难度】★★ 【答案】4:5．【解析】有题意可得：()()y x y x ％％10140101504050-++=+，则解得：5:4:=y x ．【总结】考察分式的运算在实际问题中的应用．【作业9】计算：11111(1)(2)(2)(3)(99)(100)x x x x x x x ++++-------．【难度】★★★【答案】()()1991199---x x x ．【解析】11111(1)(2)(2)(3)(99)(100)x x x x x x x ++++-------11111111122399100x x x x x x x =+-+-++-------- 11111100x x x =+---- 211100x x =--- 2(100)(1)(1)(100)x x x x ---=--()()1991100x x x -=--．【总结】考察有规律的分数运算，总结出规律为()11111+-=+n n n n ，类似分数的裂项运算．【作业10】已知234a b c ==，求22a ab ac a b c a b c--⋅---+的值．【难度】★★★【答案】34．【解析】已知234a b c==，则可设234a k b k c k ===，，， ()22222242343a abc a ab ac a k a b c a b c a b c a b c a b c k k k ----⋅⋅=⋅===---+---+-+-+．【总结】考察分式的乘法运算，遇比设未知数进行约分求值是一种常用的方法．【作业11】求证：()()()()()()222b c c a a b a b a c b c b a c a c b a b b c c a ---++=++---------．【难度】★★★【答案】见解析．【解析】()()()()()()b c c a a ba b a c b c b a c a c b ---++------()()()()()()()()()()()()a c ab b a bc c b c a a b a c b c b a c a c b ---------=++------ 111111a b a c b c b a c a c b =-+-+------- 111111a b c a b c a b c a b c =+++++------ 222a b c a b c=++---．【总结】本题综合性较强，主要考查分式的变形化简，解题时注意观察分子分母间的关系．。