对称艺术——浅谈数学中的对称美及其在艺术领域的应用

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探析传统建筑文化符号中的数学对称美

探析传统建筑文化符号中的数学对称美数学对称美在传统建筑文化符号中扮演着重要的角色，它不仅是传统建筑文化的重要组成部分，更是传承和发展中国传统建筑的核心。

本文将会探析传统建筑文化符号中的数学对称美，从数学对称美的概念，传统建筑中的具体体现，以及数学对称美在传统建筑文化中的意义等方面展开。

一、数学对称美的概念数学对称美是指利用数学知识和规律，在物体的形状、结构或者布局上达到一种对称的美感。

它是通过几何形状的对称、旋转、平移等数学运算来实现的。

在传统建筑中，数学对称美体现在建筑的平面布局、立面形式、结构构造、装饰图案等方方面面，通过数学对称美的应用，传统建筑展现出了极其独特和精致的美感。

二、传统建筑中的具体体现1. 平面布局传统建筑的平面布局通常采用对称的形式，呈现出一种整齐、统一而又和谐的美感。

比如在中国古代宫殿和庙宇的平面布局中，往往会采用“三间五间”、“九间九椽”等对称布局形式，整体形象宏伟、庄严而又和谐。

2. 立面形式传统建筑的立面形式也充分体现了数学对称美的原则。

比如传统的斗拱造型、横案式屋面、斗笠式歇山顶等，在形式上都是对称美的体现。

3. 结构构造传统建筑的结构构造中，同样运用了数学对称美的手法。

比如在榫卯结构中，榫头和卯眼的形状、尺寸和布局都是经过精确计算和对称设计的，从而使得整体结构更加牢固和稳定。

4. 装饰图案传统建筑的装饰图案中也充分体现了数学对称美的特点。

比如在雕刻、绘画、瓷砖拼花等装饰中，常常采用对称图案来营造美感，如莲花纹、蝙蝠纹、云纹等，都是数学对称美的具体表现。

三、数学对称美在传统建筑文化中的意义1. 体现了文化特征数学对称美在传统建筑文化中的应用，体现了中国传统文化中对整体和谐、稳重庄严的追求。

这种对称美的运用，不仅仅是在建筑形式上体现出来，更是对中国传统文化精神的一种具体表现。

2. 传承了建筑智慧数学对称美的应用，也体现了古代建筑大师们对建筑技艺的深刻理解和精湛技艺。

数学对称之美

数学中的对称之美无处不在，无论是几何图形还是代数形式，都展现出了对称的魅力。

在几何中，对称被赋予了直观的意义。

例如，一个圆是关于其中心对称的，一个正方形是关于其中心和两对边中点对称的，等等。

在更复杂的几何形态中，例如螺旋体和曲面，对称性也是普遍存在的。

而在代数中，对称的概念被推广到了更广泛的领域。

例如，对于一个函数f(x)，如果存在一个实数a，使得f(a+x)=f(a-x)，那么这个函数就被称为关于a对称。

这种对称性在解析几何中也有着广泛的应用，例如在研究函数图像的性质时。

毕达哥拉斯学派认为，美的线条和其他一切美的形体都必须有对称的形式。

这种观点被广泛接受，并在建筑、艺术和科学中都有所体现。

例如，中国的建筑，无论是宫殿、庙宇、亭台、楼阁还是园林，都注重对称之美。

这种对称美也被应用到了其他领域，如摄影、设计等。

除此之外，对称性在物理学中也有着重要的应用。

例如，在量子力学中，粒子的自旋是一种对称操作。

而在相对论中，洛伦兹变换也具有对称性。

总的来说，对称性在数学和物理学中扮演着重要的角色，它不仅具有美学价值，也是人类探索自然世界的重要工具。

浅谈数学中的对称美及其应用

专题研究ZHUANTI YANJIU员缘源数学学习与研究 2016.21◎董晓萌李珣 (渭南师范学院数理学院,陕西渭南 714099)【摘要】本文主要讨论在数学现象中的对称美,比如:数字,图形和公式的对称美等,及其在数学中的应用以及作用,对称也是连接代数与几何的关键,使代数与几何达到了完美的统一.通过学习数学中的对称美,可以增强发散性思维,并且开拓在解决数学问题中的基本思路与方法.【关键词】对称美;几何;代数;发散性思维对称,是指图形或物体对某个点、直线或平面而言,在大小、形状和排列上具有一一的对应关系,其最直观的表现就是图形的部分重叠或重合[1].对称性在数学中有非常普遍的应用,利用对称的思想来解决数学问题可以起到事半功倍的效果,对称美更是数学美中不可忽视的一部分.一、数学中对称美的基本内容及表现形式对称性在数学中也是普遍存在的,数学美是现实空间自然美的一种体现,是一种特殊的美,也具有其他科学不具有的抽象美,更是一种科学美[2].数学的美是一种天生的、协调的美,也是一种抽象的、严谨的美.这些数学美的特征:奇偶性、单调性、奇异性等等,体现在数学语言,数学理论知识,数学的定理公理公式,数学的方法技巧,以及数学在生活实际中的作用和应用.其中对称美,却是最简洁、最能给予人美感的一种体现形式,它展现了数学中的部分与部分、部分与整体之间的联系和统一,把各种数学概念和理论联系起来.对称性在数学中的具体表现为:数字的对称,图形的对称,形式或结构的对称等等.因而,对称美成为数学美中必不可少的一部分,对称性更是数学中的一种重要思想和方法,所以对称美普遍存在于数学科学中,甚至在其他自然科学及人文科学中也处处蕴含着对称的美及对称的重要作用.数学中的对称美的主要表现形式体现在图形的对称美,数字的对称美,公式的对称美,以及形式或结构的对称等方面.如果一个整数,它的每一位数字都是关于左右对称的,那么称这个数是对称数,也可以称这个数为回文数.比如121,12321,1234321等等;由于图形的对称美,代数学才得以发展和进步,更是成为一门学科.若一个图形的对称轴越多,那么这个图形就越完整,越完美;在一些数学公式中,对称美也是无处不在的.比如,加法和乘法的交换律、分配律,a +b =b +a ,ab =ba ,(a +b )c =a ×c +b ×c 等.代数中的平方差公式a 2-b 2=(a -b )(a +b ),完全平方和公式(a +b )2=a 2+2ab +b 2等;且有结构的对称美,如二项式定理(a +b )n =C 0n a n +C 1n a n -1b +…+C k n a n -k b k +…+C n n b n及杨辉三角形,是二次项系数在三角形中的一种几何排列.二、对称性在数学中的应用对称不仅给人以美感,且在数学各学科中有更广泛地应用,在代数学、方程、几何及微积分解题过程中运用对称的思想,可以使问题化繁为简[3].如解方程就是运用了对称的方法,即给等式的两边同时加上一个数或者式子,等式还是相等的,这就是对称的思想;对称性在数学几何中的体现最为直观,例如圆,球,抛物线,双曲线,都是有着很直观的对称性,运用对称的思想更是可以直观地得出结论或者结果;对称在微积分解题过程中的应用,通过具体的问题来说明.(一)对称性在微分学中的应用设函数解析式u =1x 2+y 2+z 2,证明∂2u ∂x 2+∂2u∂y 2+∂2u∂z 2=0. 分析:先是关于u 对于x 求导得出∂u∂x,然后再对于x 求导得出∂2u∂x 2,同理得出∂2u ∂y 2和∂2u ∂z 2,因为x ,y ,z 是关于自变量对称的,所以只需算出一个即可证明.(二)对称性在积分学中的应用对称性在积分学中有着重要的应用,且有如下结论:命题一:设f (x )在[-a ,a ]上连续,(1)若f (-x )=-f (x ),则有∫a-af (x )d x =0;(2)若f (-x )=f (x ),则有∫a-af (x )d x =2∫af (x )d x.命题二:如果有一个积分区域D ,并且这个区域D 是关于x 轴对称的,而且f (x ,y )在D 上也是连续的,则(1)若f (x ,-y )=-f (x ,y ),则有∬Df (x ,y )d σ=0;(2)若f (x ,-y )=f (x ,y ),则有∬Df (x ,y )d σ=2∬D 1f (x ,y )d σ,其中D 1是D 中对应于y ≥0的部分,即D 1={(x ,y )∈D |y ≥0}.三、结论对称不仅给人以直观美的享受,更是一种重要的数学思想,数学思维模式和方法[4].在数学解题过程中利用对称关系,也是常用的一种解题技巧.用对称的思想和思维解题,可以使问题简单、明了化,可以将抽象问题具体化,从而降低解题的难度,达到事半功倍的效果,更重要的是可以培养学生的发散性思维,展现数学中的自然美,加深学生对数学对称方法和应用技巧的理解,提高学生的数学思维和数学应用能力.【参考文献】[1]夏向阳.数学的对称观及其在教学中的应用[J ].数学学报,2010(8):75-77.[2]陈攀.浅论数学中的美[J ].数学理论与应用,2009(5):9-13.[3]吴振奎,刘舒强.数学中的美—数学美学初探[M ].天津:天津教育出版社,1997:35-48.[4]陈自高.数学中的对称美与应用[J ].科学教育论坛,2006(5):242-254.. All Rights Reserved.。

浅议数学中的对称美

河北省电大工商管理专业2011秋第四次作业浅议数学的对称美摘要：数学形式和结构的对称性,数学命题关系中的对偶性都是对称美的自然表现.在数学解题方面,对称方法往往使问题解决的过程简捷明快.因对称和谐,它唤起人们探索的兴趣,人们长去研究它,数学方法是一门科学又是一门艺术,因此研究数学中的对称美与对称性原理解题是有价值的课题.。

关键词：数学形式结构对称美研究价值正文：如我们所知，在自然界中，对称作为一种物态的表现形式，可以说无处不在。

蝴蝶美丽的双翼，各类兽、禽的五官肢体，甚至皮毛的纹理，都蕴含着对称的因素。

同样对称也亦然活跃地存在于数学中。

一. 什么是数学对称美在原始意义上，对称性是指组成一种事物或对象的两个部分的对等性。

从古希腊起，对称美就是数学美的一个基本形式。

对称美是数学美的一个特征。

除次外，还有统一美，简洁美等等。

毕达哥拉斯学派认为：一个图形的对称性越多，图形越完美。

他们指出：“一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形”因为这两个形体各个方面都是对称的。

随着数学的发展，对称的概念得到了不断的发展，即由一个含糊的概念发展成为精确的几何概念，包括双侧的，旋转的，平移的，对称的等等，至今更为一般的概念，指元素的构形在自相变换下的不变性，另外由数学历史可以看出，对于对称性的追求的确在具体的数学研究中发挥着极其重要的作用。

二、数学对称美的表现形式数学作为研究现实世界的空间形式与数量关系的科学，渗透着圆满和自然的美，在公式、图形、结构等方面表现出来的对称、均衡性质的数学结果，在数学的形式美中称之为对称美。

1.图形的对称美图形的对称具有直观性，能给人带来美的感受，中学数学几何图形中的对称图形是典型的视觉对称美。

平面或空间图形的中心对称、平面图形的轴对称、空间图形的平面对称都是很好的体现。

比如，圆既是中心对称而且所有过对称中心的直线都是对称轴:球一向被看作是简洁美丽的几何体，它是中心对称而且所有过对称中心的平面都是对称平面。

例谈数学中的对称美

例谈数学中的对称美数学是一门充满着美的学科，而对称美则是数学中一种非常重要的美感体现。

对称美在数学中无处不在，无论是几何图形、方程式还是数列等等，都存在着各种各样的对称性。

本文将以几个具体的例子来探讨数学中的对称美。

我们先来看看几何图形中的对称美。

大家都知道，正方形是一种具有对称性的几何图形。

它的四条边长度相等，四个角也都是直角。

这种对称性使得正方形非常美观，同时也具有一种稳定感。

除了正方形，圆也是具有对称美的几何图形。

无论从哪个角度来看，圆都是完全一样的，这种完美的对称性使得圆具有无穷无尽的美感。

除了几何图形，方程式也是数学中的另一个具有对称美的例子。

例如，关于x轴对称的函数可以写为f(x) = f(-x)，这种对称性使得函数在图像上具有一种左右对称的美感。

而关于y轴对称的函数可以写为f(x) = -f(-x)，这种对称性使得函数在图像上具有一种上下对称的美感。

另外，关于原点对称的函数可以写为f(x) = -f(-x)，这种对称性使得函数在图像上具有一种中心对称的美感。

方程式中的对称美不仅仅限于这些简单的情况，还存在着许多更为复杂的对称性。

数列中也存在着对称美的例子。

例如，斐波那契数列就是一种具有对称美的数列。

斐波那契数列的定义是：第一个和第二个数均为1，从第三个数开始，每个数都等于前两个数之和。

这种对称性使得斐波那契数列具有一种自相似的美感，每个数都是前两个数的和，形成了一个无限延伸的对称结构。

除了这些例子，数学中还存在着许多其他的对称美。

例如，对称矩阵在线性代数中是一种非常重要的概念。

对称矩阵的定义是：一个矩阵与其转置矩阵相等。

这种对称性使得对称矩阵具有许多重要的性质和应用。

总结起来，数学中的对称美无处不在，无论是在几何图形、方程式还是数列等等中，都存在着各种各样的对称性。

这种对称美使得数学不再是一门枯燥的学科，而是充满着艺术和美感的学科。

通过欣赏和研究数学中的对称美，我们可以更好地理解数学的本质，也能够更好地欣赏数学的美。

对称艺术——浅谈数学中的对称美及其在艺术领域的应用

对称艺术浅谈数学中的对称美及其在艺术领域的应用指导老师孙莹彭楚涵20144227【摘要】对称美是数学美的重要组成部分，它普遍存在于初等数学与高等数学的各个分支。

对称美在数学研究中有重要作用，它是数学创造与发现的美学方法之一。

对称在美学中用来表达比例、平衡、韵律等。

关键词：对称美数学对称艺术对称数理文化对称性是数学领域当中的一个重要属性，在数学研究和发展的过程中，这一特点也起到了至关重要的作用。

对称性不仅是数学研究中的一种特性，也是一种美学符号。

关于它的运用，不仅在数学领域，更在艺术领域有了广博的空间。

在文学、音乐、美术、建筑等领域，对称的艺术随处可见。

在科学中，对称性指的是研究对象在某种变换或操作下保持不变的性质，因而具有根本性的意义。

所谓对称变换是对称操作的结果。

在平面中，对称操作只影响对象的几何学性质的变换，即对称变换仅涉及到设计的结构。

同时，也允许反演对称操作并使对象重新回到原点。

在艺术中，对称性常与平衡、形状、形式、空间、秩序、和谐以及美感等相联系。

一、音乐中的对称美1.乐器中的对称音乐是对称的艺术。

对仗工整的旋律，让人感觉内心踏实。

以各种形式重复着的主旋律，就像数学公式，体现着数学美。

而弹奏这些美妙音乐的乐器更是惊人地表现出对称美。

2.交响乐交响乐是按一定曲体排列为多乐章有特点结构的交响性的音乐，是作曲家们写作技巧高度发展的艺术形式，有着深刻的哲学思想内容和严谨的结构形式。

大型器乐套曲，一般由四个乐章组成。

下面以第一乐章为例（快板，奏鸣曲式）：示部以主部与副部主题的对比为主要特点，成为音乐发展的基础。

两主题不在同一调性上，其间常以连接部过渡。

展开部通过多种手段，充分发挥呈示部各主题中具有特征的因素。

再现部基本是呈示部的复现，但副部主题仍回到主调，体现出交响乐在结构上的对称美。

二、文学中的对称美中国文学中最具代表性的对称性文学无疑是对联，对联讲究字数、平仄、韵律等方面的对称，是中国古典文学中一种非常独特的形式，也是中国传统文化中一种雅俗共赏的文化形式。

浅析初中数学中的对称美及其应用

浅析初中数学中的对称美及其应用摘要：对称美是世间万物美感的体现部分之一，给人以充分的视觉享受，也是数学内容必不可少的组成部分，在数学解题中有重要的应用。

在数学解题中若注意到对称性，则可以化难为易，提高解题效率，达到事半功倍的效果。

关键词：数学美对称美对称性解题思路理性的人常说，学习数学就是享受美感。

数学美有别于其它的美，它没有鲜艳的色彩，没有美妙的声音，没有动感的画面，却是一种独特的美，它包括简单美、统一美、对称美和奇异美。

著名德国数学家和物理学家魏尔说：“美和对称紧密相连。

”对称能给人们以美感，对称美是自然美在数学中的表现，对称性是数学美最重要的特征。

你看那养心的青山绿水、养眼的建筑园林，无一不体现出对称美就在我们身边。

一、对称的定义与分类词典上解释，对称指的是图形或物体相对的两边的各部分,在大小、形状和排列上具有一一对应的关系。

从数学角度看，对称分为轴对称与中心对称。

中外许多著名的建筑物，例如北京天坛祈年殿、法国的凡尔赛宫、希腊的宙斯神殿、雅典娜神庙、印度的泰姬陵、埃及的狮身人面像、澳大利亚悉尼歌剧院、日本蒲群市和平纪念塔，都体现了数学中的对称美，这些建筑都是结合数学轴对称图形与中心对称图形的特点所设计出来的。

二、运用对称美，寻求解题思路几何中的轴对称、中心对称，代数中的许多公式，都能给人对称美感。

现在我们来谈谈对称性在中学数学中的应用。

1.运用轴对称，寻求解题思路杨辉三角形，又称贾宪三角形、帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如右图。

它的性质是：每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，回到1；每个数字等于上一行的左右两个数字之和；第n行的数字个数为n个。

初中阶段我们常把该知识点用于阅读理解型题中。

例如根据上图，填一填：(a+b)1=a+b(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4=a4+4ab3+6a2b2+4ab3+b4则 (a+b)5=_________________________。

浅谈数学中的对称美与应用

１６—— 设计教育１
浅谈数学中的对称美与应用
文／袁卫红
对称美是数学美的重要组成部分，它普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支。对称美在数学解题中有重要的应用，发学生在解题过程中注意到对称性，启则可以以简驭繁，化难为易，提高解题效率，达到事半功倍的效果。
现了数学美对数学发现与发展的指导作用。数学美一般表现为与积分矩阵与逆矩阵等，这些互逆运算都可以看作一种对简单、对称、统一、奇异等重要特征。这些特征渗透在数学的理称关系。论、语言、定理、公式、方法技Ｉ及数学的实际应用之中。比如从函数角度看．函数与反函数也可视为一种对称 ”还有，
１在函数中的应用例４（０８国一９２０全）设奇函数ｆｘ在（，ｏ）为增函（）０＋ｏ上
数且ｆ１：．则不等式二— 且（）ｏＯ
Ｘ
＜０的解集为（）的解集为
代入 ②、③皆不成立，所以（错。Ａ）
若方程有两组解，与方程组关于ＸＹＺ有的对称性矛则．．具
在数学史上，学美是数学发展的伟大动力。数的引入，几何中得到体现，数学的知识体系中同样有着广泛的体现。数虚在从非欧几何的创立，射影几何的诞生．微积分的严格化，无不体运算角度看：加与减乘与除、幂与开方、数与对数微分乘指
中的有些问题，当我们用对称的眼光去观察时，不但能给我们应的有对偶原理。在射影几何中．点和直线之间建立了对偶关

浅谈数学中的对称美

05
对称美在科学和技术中的应用
对称美在物理学中的应用
晶体结构：晶体中的对称性决定了其物理性质，如热学、光学和电学性质。
电磁学：对称性在麦克斯韦方程组中扮演重要角色，决定了电磁波的传播方向和偏振状态。
量子力学：波函数具有对称性，决定了微观粒子状态的演化规律。
ห้องสมุดไป่ตู้
相对论：时空对称性是广义相对论的基础，决定了物体的运动轨迹和引力场的分布。
对称美在化学中的应用
分子结构中的对称性：化学键的对称分布和分子形状的对称性，使化学物质具有稳定性。
晶体结构中的对称性：晶体的对称性决定了其物理性质和化学性质，如硬度、导电性和光学性质等。
对称性破缺：在化学反应中，对称性破缺可以导致新的化学键的形成或断裂，从而产生新的物质。
对称性在化学计算中的应用：对称性可以简化计算过程，提高计算效率。
代数表达式的对称性是指数学式子在某些变换下保持不
变的性质。
对称性在代数表达式中表现为多种形式，如左右对称、中心对称、
旋转对称等。
对称性在代数表达式中的应用广泛，如代数方程、不等式、函数等
中均有应用。
对称性在代数表达式中可以简化计算，提高解题效率。
数学定理和公式的对称美
定理：对称性定理，描述了图形对称变换的性质和规律
对称美在艺术中的体现：对称作为一种重要的美学原则，在绘画、雕塑等艺术形式中也有广泛应用，丰富了艺术的表现力和感染力。
对称美在音乐和文学中的应用
音乐中的对称：旋律、和声与节奏的平衡文学中的对称：对仗、排比和反复的修辞手法对称美在音乐中的表现：音符的排列与组合对称美在文学中的体现：句式、篇章结构和叙事方式

数学中的对称美与应用

数学中的对称美与应用对称美是指几何学中的一种美学概念，它被广泛应用于物理、化学、生物学等领域的探索中。

数学中的对称美可以被描述为一种几何图形或物体内部存在的对称性，在相应的坐标系下这些图形或物体具有某种显然的、自相似的结构。

对称美通常具有对称轴、对称平面或中心对称等特点，这种特点使得对称的物体或图形看起来更加美丽、和谐。

以下是对称美在数学中以及应用中的一些例子。

对称美在数学中的应用非常广泛，涉及到各种数学领域，包括代数、几何学、拓扑学等。

例如：1、在代数学中，组合对称群是一类置换群，是一个很重要的研究对象。

它可以被用来表达许多数学符号的对称性，例如多项式、方程式、矩阵等。

2、在几何学中，对称美非常常见。

对称美被用来研究各种几何图形或物体，例如圆、球、多面体等。

同时，它也是研究对称性的基础，例如对称轴、对称平面、中心对称等。

3、在拓扑学中，拓扑对称群是一类保持拓扑不变的对称变换群。

它是一种非常有价值的工具，可以被用来描述各种物理现象，如宇宙学和材料科学中的晶体结构。

除了在数学中，对称美在物理、化学、生物学等领域中也得到了广泛的应用。

以下是一些具体的例子：1.在物理学中，对称性非常重要。

物理学家通过研究各种力的对称性来解释物理现象。

例如，电磁场的旋转对称性被用来解释电磁波、光谱和相对论中的许多现象。

2.在化学中，对称性是研究分子结构和反应过程的重要工具。

例如，化学中的对称元素周期表将化学元素根据它们的原子结构和性质排列了出来。

对称性还被用来研究分子的光谱和热力学性质等。

3.在生物学中，对称是形态学和基因组学等领域的重要工具。

例如，在进化中，对称性被用来研究物种的发展过程和生物形态的起源。

总之，对称美是一种非常重要的概念，它不仅在数学中具有重要意义，也被广泛应用于物理、化学、生物学等领域的研究中。

通过深入研究对称美这一概念，我们可以更好地理解这些领域中的现象，并为解决实际问题提供有用的工具和方法。

浅谈数学中对称美的应用

缩到微观分子，又可以说世界是对称的。德国著名数学家魏尔同的数量，３０天后，她只记得自己第一天织布六尺，最后一天织说过： “ 优美与对称性紧密相关的” 。数学中的对称为数学增添布一尺，她想算算自己３０天来一共织布多少尺。由于她算数了美感，对提高学生对数学的学习兴趣具有极大的帮助。
数学中的对称美
美亦是如此。
所以还会有ａ，ｂ，ｃ的二次对称式因子。假设ｇ（ａ，ｂ，ｃ）：（ａ＋ｂ＋ｃ）５一ａ一ｂ一ｃ＝（ａ＋ｂ）（ｂ
得方法，令ａ＝２，ｂ＝一１，ｃ＝０得到一个关于ｍ、ｎ的关系式ｌ５
一
当ａ＝ａ＝一ｂ时有ｇ（ａ，ｂ，ｃ）＝０，所以（ａ＋ｂ）是其中的
个因式，根据ａ，ｂ，ｃ的对称性，我们可以直接的出（ｂ＋ｃ），
在读者面前，其中，线段的平分、角的平分线、矩形、等腰三角（ｃ＋ａ）也是原方程式的一个因式；接下来，我们再分析，ｇ（ａ，形、圆、圆柱等都是对称的具体体现，轴对称、点对称、中心对称ｂ，ｃ）是五次对称式，而（ａ＋ｂ）（ｂ＋ｃ）（ｃ＋ａ）是三次对称式，等赋予了数学图形美观和绚丽多彩的形态，引人人胜。
一
例如，将对称多项式ｇ（ａ，ｂ，ｃ）＝（ａ＋ｂ＋ｃ）５一ａ一ｂ
ｃ分解因式。解析：该方程式为一个对称多项式，如果我们能找到对称

浅谈数学中的对称美及其应用

【摘要】本文主要讨论在数学现象中的对称美，比如：数字，图形和公式的对称美等，及其在数学中的应用以及作
用，对称也是连接代数与几何的关键，使代数与几何达到了完美的统一．通过学习数学中的对称美，可以增强发散性思
有ｆＩ厂（）ｄｘ＝０；
）ｄｘ＝
数学的方法技巧，以及数学在生活实际中的作用和应用．其中对称美，却是最简洁、最能给予人美感的一种体现形式，它展现了数学中的部分与部分、部分与整体之间的联系和
维，并且开拓在解决数学问题中的基本思路与方法．
（一）对称性在微分学中的应用
【关键词】对称美；几何；代数；发散性思维
对称，是指图形或物体对某个点、直线或平面而言，在大小、形状和排列上具有一一的对应关系，其最直观的表现就是图形的部分重叠或重合Ｊ．对称性在数学中有非常普
等方面．如果一个整数，它的每一位数字都是关于左右对称的，那么称这个数是对称数，也可以称这个数为回文数．比如１２１，１２３２１，１２３４３２１等等；由于图形的对称美，代数学才得以发展和进步，更是成为一门学科．若一个图形的对称轴越多，那么这个图形就越完整，越完美；在一些数学公式中，对称美也是无处不在的．比如，加法和乘法的交换律、分配律，ａ－Ｉ－ｂ＝ｂ＋ａ，ａｂ＝ｂａ．（ａ＋ｂ）ｃ＝ａｘｃ＋ｂ×Ｃ等．代数中的平方差公式ａ一６＝（ａ—ｂ）（ｎ＋ｂ），完全平方和公式（ａ＋ｂ）＝ａ＋２ａｂ＋ｂ等；且有结构的对称美，如二项式定

数学中的对称之美

数学中的对称之美对称是数学中的一种重要概念，它在几何、代数、组合等领域都有广泛的应用。

对称不仅令人赏心悦目，还具有深刻的数学原理和应用。

本文将介绍数学中的对称之美，从几何、代数和组合的角度探讨对称的定义、性质和应用。

一、几何中的对称几何中的对称指的是图形或物体的镜像对称性，即通过某个轴或点进行镜像变换后，图形或物体不变。

镜像对称性是几何中最基本的对称性，它可以在平面和空间中进行。

1. 平面镜像对称平面中的图形具有对称性，当图形沿着某个直线折叠时，两个部分能够完全重合，这个折叠轴就是图形的对称轴。

对称轴两侧的点、线段或面积完全相等，形成了镜像对称。

平面镜像对称广泛应用于建筑、艺术和设计中。

许多大型建筑物都具有对称的外观，如印度泰姬陵和法国巴黎圣母院。

这些对称性不仅令建筑物显得庄重与美观，还有助于加强建筑物的结构稳定性。

2. 空间镜像对称空间中的图形、物体以及立体体积都可以具有对称性。

空间镜像对称是指物体通过某个点进行旋转180度，或绕某个轴进行旋转，使得物体保持不变。

空间镜像对称在科学研究和日常生活中都有重要应用。

例如，在化学中，有机分子的手性对称性对其化学性质起着决定性作用。

生物学中的DNA分子结构也具有空间对称性，这种对称性对于遗传编码具有重要意义。

二、代数中的对称代数中的对称包括代数方程、函数和算式的对称性。

这种对称性涉及运算的交换性、反射性和任意替换性。

1. 运算的交换对称性在代数运算中，加法和乘法具有交换对称性。

即对于任意的数a和b，a+b=b+a，ab=ba。

这种对称性使得代数运算更加灵活、简洁。

交换对称性在抽象代数中有着重要的地位。

例如，群是一种具有封闭性、结合律、单位元和逆元的代数结构，满足群运算的交换对称性的群称为阿贝尔群。

2. 函数的对称性函数的对称性包括奇偶性和周期性。

奇函数满足f(-x)=-f(x)，即关于坐标原点对称；偶函数满足f(-x)=f(x)，即关于y轴对称。

周期函数在一定区间内具有重复性的对称性。

对称形的特点及其在艺术中的应用

对称形的特点及其在艺术中的应用对称形是指物体或图形的两侧具有相似的形状、大小、重量和位置关系。

对称形在艺术中具有重要的应用，既可以增加作品的美感和平衡感，也可以表达出特定的意境和主题内容。

本文将探讨对称形的特点以及它在艺术中的应用。

一、对称形的特点对称形作为一种常见的造型手法，具有以下几个主要特点。

1. 相等性：对称形的主要特征之一是物体或图形的两侧具有相同的形状、大小和比例。

这种相等性能够为作品带来稳定感和完整感，使观者更容易接受作品所传递的信息。

2. 平衡性：对称形的另一个显著特点是平衡性。

通过将物体或图形的元素沿某一轴线对称地安排，可以实现作品的平衡，消除作品的倾斜或失衡感，使得观者在视觉上感到舒适和稳定。

3. 反映性：对称形不仅仅是形状的简单对称，更多地涉及到作品所反映的内容。

对称形能够体现出事物的相互关联和对立性，表达出作品所要传达的思想、情感或主题。

二、对称形在艺术中的应用1. 建筑艺术中的对称形应用对称形在建筑艺术中得到广泛应用。

例如，许多古典建筑采用了对称的立面、柱廊及平面布局。

对称形的运用使建筑物更加庄重、稳重，给人一种和谐美感。

此外，在现代建筑中，对称形也可以用于创造独特的外观，成为建筑作品的标志性特征。

2. 绘画艺术中的对称形应用在绘画中，对称形常被用来表达平衡和美感。

著名画家达·芬奇的《蒙娜丽莎》就采用了对称形的构图方式。

蒙娜丽莎的脸部特征和背景元素都呈现出对称的形态，给人一种和谐、恰到好处的美感。

类似地，对称形也广泛应用于风景画和静物画中，使画面更加平衡和完整。

3. 雕塑艺术中的对称形应用在雕塑艺术中，对称形是一种非常常见的构图方式。

许多雕塑作品都采用了对称的布局和形态，使得作品在视觉上呈现出平衡和稳定。

著名雕塑家米开朗基罗的《大卫》便是一个典型的例子。

雕像以对称的姿势展示了大卫的力量和尊严，给人一种坚毅刚正的印象。

4. 设计艺术中的对称形应用对称形在设计艺术中有着广泛的应用。

数学是门艺术探索数学中的对称与美感

数学是门艺术探索数学中的对称与美感数学是一门艺术：探索数学中的对称与美感数学是一门普遍被认为冷酷和无趣的学科，但实际上，数学是一门充满了对称和美感的艺术。

在数学的世界中，我们可以找到许多令人惊叹的对称性和美丽的数学结构。

本文将探讨数学中的对称性以及与之相关的美感，并通过几个具体的例子展示数学这门艺术的魅力。

一、数学中的对称性对称是自然界中常见的现象，而数学正是从对称中汲取了灵感，构建了一套完整的理论体系。

数学中的对称性可分为几个方面：1. 空间对称性：在几何学中，我们熟悉的平面对称、轴对称和中心对称是最基本的对称性。

通过这些对称性，我们可以揭示出许多几何形状的性质。

例如，平行四边形的对角线互相平分、圆的任意直径都是其对称轴等。

2. 运算对称性：在数学运算中，我们也可以发现一些有趣的对称性质。

比如，加法中的交换律和乘法中的结合律，使得数学运算过程更加简洁和便捷。

这些对称性在解决数学问题时，起到了重要的作用。

3. 函数对称性：函数中的对称性是数学分析和微积分中常见的概念。

比如，奇函数和偶函数的对称性让我们能够推断出它们的性质，简化计算过程。

二、数学中的美感美感是人类丰富情感和艺术追求的一种表现形式，而数学中的对称性给人带来了强烈的美感。

以下是一些数学中的美感体现：1. 数学模式：数学中的一些形式化模式和结构具有独特的美感。

例如，费马小定理、黄金分割和斐波那契数列等，都展现出一种简洁而优雅的数学结构，给人一种美的享受。

2. 线条和图形：使用数学的方法，我们可以绘制出许多优美的线条和图形，如曲线、螺旋线和复杂的几何图形。

这些图形呈现出一种对称和谐的美感，让人忍不住沉浸其中。

3. 数学公式和方程：数学公式和方程是数学中最基本的表达方式，但其中蕴含着丰富的美感。

一些著名的公式，如勾股定理、欧拉公式和薛定谔方程等，都展现出了数学中的对称和美感。

三、数学艺术的应用数学艺术不仅仅是一种抽象的概念，它也有许多实际的应用。

数学与艺术对称与美学的数学探索

数学与艺术对称与美学的数学探索数学与艺术：对称与美学的数学探索数学和艺术虽然看似截然不同，但实际上有着密切的联系。

对称是数学与艺术之间的重要桥梁，是美学的基石。

本文将深入探讨数学与艺术中的对称现象，并探索其背后的美学原理。

一、对称的数学定义对称在数学中有着严格的定义。

简而言之，对称是指物体或形象在某个中心点、线或轴上，被平等地重复出现。

这种重复可以是镜像对称，也可以是旋转对称。

在几何中，我们常常遇到各种各样的对称形状。

正方形、圆形、六边形等都具有旋转对称性。

而心形、蝴蝶形等则具有镜像对称性。

对称形状给人以和谐、平衡的感觉，被广泛运用于建筑、绘画、雕塑等艺术领域。

二、对称与艺术1. 艺术中的对称应用对称在艺术中的应用可以追溯到古代。

古希腊建筑中使用了大量的对称结构，如帕特农神庙的六根柱子、雅典卫城的立面等。

这些建筑以其几何美和和谐感吸引了世人的目光。

在绘画领域，对称经常被用于构图。

画面中左右对称的元素可以增加画面的稳定感和平衡感，使观者产生美感。

例如，莫奈的《睡莲》系列作品中，对称的水面反射出婉约的花朵，增强了作品的美感。

2. 对称与艺术创作对称在艺术创作中起着重要的作用。

很多艺术家都运用了对称原理来创作作品。

例如，毕加索的《吉它手》和《凝望》等作品中，艺术家使用了旋转对称的形式，使画面更具平衡和协调之美。

而达利的《记忆的永恒》和《柔软的钟表》则通过镜像对称来展示超现实主义的独特美感。

三、美学的数学解释美学是对艺术美或审美对象美进行理论研究的学科，而数学为美学提供了一种解释。

对称是美学的数学解释之一。

数学家奥尔德斯·M·康特尔（Olafur Eliasson）认为，对称性在自然界和艺术中起着共通性的作用。

他将对称分为两类：基本对称和隐性对称。

基本对称是指形状相同的重复，而隐性对称则是指非常微小的对称性变化。

对称与美学之间存在着数学上的密切联系。

通过对称，我们可以感受到和谐、平衡、统一的美感。

数学的美丽之处探索数学的艺术之美

数学的美丽之处探索数学的艺术之美数学是一门广泛被人们应用于各个领域的学科。

然而，很少有人能够真正欣赏数学的美丽之处，将其视为一门艺术。

在本文中，我们将探索数学的艺术之美，并探讨数学的美丽之处。

一、数学的对称美在艺术中，对称经常被用作设计和创意的基础。

而在数学中，对称也是一种美丽的表达。

对称在几何学中有广泛的应用，从简单的点对称到复杂的轴对称和中心对称，都展现了数学的美感和和谐感。

通过学习对称性，我们能够更好地欣赏自然界和人类所创造的艺术品中的对称之美。

二、黄金分割与数学的比例美黄金分割是一种比例关系，常用于艺术和建筑领域。

它是指将一段线段分割成两部分，使整段线段与较长部分之比等于较长部分与较短部分之比。

这种比例在数学上被称为黄金比例，通常为1：1.618。

黄金分割在建筑中的应用，如大教堂的设计和音乐的旋律构成，都展现了数学的比例美。

三、数学的对数美对数是数学中的一个重要概念，而且也是我们在日常生活中经常遇到的。

对于一些增长迅速的现象，比如人口增长、财富增长等，我们常常使用对数来描述。

在数学中，对数函数以其特殊的性质而闻名，如对数的乘法法则和对数的幂法则等。

正是由于这些性质的存在，使得对数在数学中体现了一种美感和规律。

四、几何与变换的美几何和变换是数学中充满美感的一个分支。

几何中的点、线、面、体等几何元素以及它们之间的关系展现出了一种美妙的几何结构。

而变换则是通过对几何元素进行平移、旋转、缩放等操作来创造新的形状和结构。

这种变换的美感在艺术和设计中得到广泛的应用，如图形的变形艺术和建筑中的立体造型。

五、数学的无穷与极限美在数学中，无穷大和无穷小是一种特殊的概念。

无穷大代表着无限大，无穷小则代表着无限小。

这种概念在数学中的运用非常广泛，如微积分中的极限概念、级数求和等。

无穷与极限的美感来自于它们所承载的一种无尽和无限的可能性，是一种令人着迷和惊叹的数学表达。

综上所述，数学确实是一门美丽而艺术性的学科。

数学的对称美解析音乐中的对称结构与和声关系

数学的对称美解析音乐中的对称结构与和声关系数学与音乐之间一直存在着紧密的联系，在音乐中的对称结构与和声关系更是体现了数学的对称美。

本文将从数学的角度出发，解析音乐中的对称结构与和声关系，并探讨它们在音乐创作与演奏中的应用。

一、对称结构在音乐中的体现对称结构是数学中常见的一个概念，它可以在许多事物中找到，包括自然界和人工构造的艺术品。

而在音乐中，对称结构同样得到了广泛的应用。

在音乐创作中，对称结构可以表现为旋律或和声的镜像对称。

例如，一个乐曲中的第一部分和第二部分可以在旋律上相互呼应，互为镜像，形成对称结构。

这种对称结构的运用可以使音乐更加和谐、统一，给人以美的享受。

此外，对称结构在音乐中还可以表现为节奏、音域和音色的对称变化。

例如，乐曲中可能会出现一段重复的旋律，但节奏略有变化，产生变化的对称效果。

同时，音乐家还可以通过改变音域或音色，使整个乐曲呈现出对称的结构。

二、和声关系中的对称性和声关系是音乐中各音符之间的相互关系，它也体现了数学的对称美。

在和声关系中，对称性可以体现为音符之间的相对位置、音程的变化以及声部的对位。

首先，音符之间的相对位置可以体现对称性。

比如，如果两个音符之间的间隔为一个八度，则它们的相对位置呈现出对称的关系。

这种对称关系在音乐中经常出现，可以使音乐更加丰富多样。

其次，音程的变化也可以体现对称性。

在音乐创作中，音乐家常常利用音程的变化来表达不同的情感。

一个音符向上移动一个音程，然后再向下移动同样的音程，这种变化产生了音程的对称效果。

此外，声部的对位也是和声关系中常见的对称结构。

在多声部的作品中，不同的声部之间会呈现出相对的对位关系。

这种对位关系可以是音高上的对称，也可以是节奏上的对称，通过对位关系的运用，音乐家可以在多声部中产生对称的效果。

三、对称结构与和声关系的应用对称结构与和声关系在音乐创作与演奏中具有重要的应用价值。

首先，在音乐创作中，音乐家可以通过运用对称结构与和声关系来创作丰富多样的音乐作品。

数学论文数学中的对称美及应用

谈数学中的对称美与在解题中的应用吴恋，数学计算机科学学院摘要本文首先讨论了数和式中的对称美.其次运用对称思想来解决数学问题.在数学问题的解题过程中，巧妙地构造对称美，从整体上把握问题的实质，优化解题过程.先是就对称在微积分中的应用，列举了一些重要的结论及其在解题中的具体应用.再研究了几何图形中的对称美.然后讨论了数学中其它方面的对称美.特别是对称在记忆数学公式和数学方法中的应用.最后探讨了对称思想在数学教学中的应用，通过在数学教学中落实对称的数学美的思想方法，从而促进学生形成学习数学知识的良好的、积极的情感行为，更好地理解数学知识，提高学生解决数学问题的能力.关键词：对称；数学美；轮换对称性；积分区间；对称性原理；数学思想1引言1.1对称美对称性的感受逐惭成为一项美学准则，广泛应用于建筑、造型艺术、绘画以及工艺美术的装饰之中.你可以从许多中、外着名的建筑、艺术珍品中看到.天坛的建筑、天安门的建筑、颐和园长廊的建筑以及各种花瓶、古人饮酒的爵和各种花边等等是旋转对称、左右对称和平移对称的典型例子.这些对称美给人以匀称、均衡、连贯、流畅的感受，因而体现着一种娴静、稳重、庄严.在现实世界中,既有形态各异的自然对称,又有巧夺天工的人工对称,它们构成了一幅人与自然和谐的优美画卷.因此,对称是宇宙和自然界的基本属性,也是事物适应周围环境而生存发展和繁衍生息的自然规律,充分展现出事物协调环境、自我完善的、和谐的自然美.1.2数学中的对称美美，不仅存在于艺术、文学中，存在于大自然以及社会生活中，而且也存在于自然科学中，存在于数学之中.早在两千多年前，古代哲学家、数学家普洛克拉斯曾说过：“哪里有数，哪里就有美.”这就是说，数学中也充满了美的因素.作为一门科学，数学在其内容结构上和方法上都具有自身的某种美，即数学美.数学美的内容非常丰富，包括普适美、对称美、简洁美、比例美、和谐美、奇趣美等特性.其中对称性是数学美的重要特性之一，正如德国着名的数学家和物理学家魏尔所说的：“美和对称性紧密相连”.数学对称美是数学美的重要组成部分,它普遍存在于初等数学与高等数学的各个分支，在数学研究中有着重要的作用,一直是数学们长期追求的目标，有时甚至把它作为一种尺度，是数学创造与发现的美学方法之一.在数学中，不少的概念与运算，都是由人们对于“对称”问题的探讨派生出来的.数学中众多的轴对称，中心对称图形和等量关系都被赋予了平衡、协调的对称美.对于数学概念，也是一分为二地成对出现的：整－分，奇－偶，和－差，曲－直，方－圆，分解－组合，平行－交叉，正比例－反比例……，都显得那么的稳定、和谐、协调、平衡，如此地奇妙动人.2数和式的对称美2.1数的对称美在数学中，如果一个整数，它的各位数字是左右对称的，我们就称这个数是对称数.例如：1234321、123321等.对称数可以分为奇位对称数和偶位对称数.奇位对称数是指位数是奇数的对称数，奇位对称数位数最中间的那个数字称为对称轴数.偶位对称数是指位数是偶数的对称数，偶位对称数没有对称轴数.产生对称数的方法有很多种：(1)形如11、111、1111、……的数的平方数是对称数.如：1×9+2=1112×9+3=111...............×(2)某些自然数与它的逆序数相加，得出的和再与和的逆序数相加，连续进行下去，也可得到对称数.如：475475+574=10491049+9401=1045010450+05401=15851 15851也是对称数.美的主要形式就是秩序，匀称和确定性，上面的几个式子就巧妙的体现了数和式中的对称美.可以看出，数学与美学是紧密相连，相辅相成的. 2.2式的对称美如果在代数式中，把任意的两个字母对换，代数式仍然保持不变，像这样的代数式就称为是对称代数式或对称式.如：223223,2,33x y z x xy y x x y xy y +++++++,互换式子中的,x y ,得到的式子仍然成立.在对称式中，字母是对称的，地位是平等的. 在二项式定理：中，如果把当1,2,n n =的二项式展开式的系数列成如下：11 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1 15 10 10 5 1 16 15 20 15 6 1这就是着名的“杨辉三角”，它是宋朝数学家杨辉的杰作.杨辉三角是我国数学发展史上的一个成就，它反映的就是数学美的对称性.在代数学中，也存在着漂亮的对称式，如：初等对称多项式：112212131112n n n nn n x x x x x x x x x x x x x x σσσ-=+++⎧⎪=+++++⎪⎨⎪⎪=⎩，它在解题中也有广泛的应用.其中在运用初等对称多项式解题时联系最紧密的就是根与系数的关系定理：对于n 次多项式11110()n n n n f x a x a x a x a --=++++的n 个根12,,,nx x x有如下关系：由此定理可以非常简便的求出关于多项式根的对称多项式的值. 例1.设1a ，2a ，3a 是方程0876523=-+-x x x 的三个根，计算：))()((233121233222222121a a a a a a a a a a a a ++++++（*）的值.解：令3211a a a ++=σ. 3132212a a a a a a ++=σ， 3213a a a =σ，则 561=σ,572=σ,583=σ.再将（*）式化为初等对称多项式的多项式，得：=323312221σσσσσ--=-6251679. 由上面的例子可以看出，对称性在数学中是广泛存在的，数学与对称是紧密相连的.3对称美在数学中的应用3.1对称在数学解题中的应用解题是一门艺术，对称性是艺术的一个非常重要的要素，如果在解题的过程中注意到对称性，那么就可以减少一些繁琐的计算，化难为易，提高解题的效率，达到事半功倍的效果.微分与积分也是一对具有对称美的事物，而对称性的方法也是微积分计算中常用的方法.定理：（1）若(,)(,)u x y u y x =，则(,)(,)y x u x y u y x =；(2) 若(,)(,)u x y u y x =-，则(,)(,)y x u x y u y x =-.因此若求出x u ，则可直接写出y u ，xx u 与yy u 的关系，也是如此. 例2.设()xy u e x y =-，求出x u ，y u ，xx u ，yy u . 解：2()(1)xy xy xy x u e y x y e e xy y =-+=-+，223(1)(2)xy xy xy xx u e y xy y e y e xy y y =-++=-+.对称的有：2(1)xy y u e x xy =--，32(2)xy yy u e x x y x =--.轮换对称性的定义:若积分区域或被积函数的表达式中,将其变量x,y,z 按下列次序:x →y;y →z;z →x 后,其表达式均不变,则称积分区域或被积函数关于变量x,y,z 具有轮换对称性.定理1：(二重积分的坐标轮换对称性)如果区域D 的边界曲线方程是关于x,y 地位对称，(,)f x y 在D 上连续,则定理2：(三重积分的坐标轮换对称性)如果有界闭区域Ω的边界曲面的方程关于x,y,z 地位对称,()f u 在Ω上连续,则()()()f x dxdydz f y dxdydz f z dxdydz ΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.由此，可以推广到：定理3：(n 重积分的坐标轮换对称性)如果n 维有界闭区域V 的边界曲面的方程关于12,,,n x x x 地位对称，()f u 在V 上连续,则112()n f x dx dxdx ⎰⎰⎰⎰=212()n f x dx dxdx ⎰⎰⎰⎰=12()nn f x dx dxdx =⎰⎰⎰⎰例3.计算三重积分2()()f x dxdydz x y z dxdydz ΩΩ=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中Ω是0,0,0x a y a z a ≤≤≤≤≤≤所围成正方形(a 为一大于0的实数).解：2222()(222)I x y z dxdydz x y z xy xz yz dxdydzΩΩ=++=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰中被积函数及积分区域都有轮换对称性.所以 222x dxdydz y dxdydz z dxdydz ΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，xydxdydz xzdxdydz yzdxdydz ΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，故2(36)I x xy dxdydz Ω=+⎰⎰⎰260005(36)2a a adz dy x xy dx a =+=⎰⎰⎰.3.1.2.2 利用积分区间的对称性和被积函数的奇偶性，可简化定积分的计算. 定理：设()f x 是[]b a ,上的连续函数，则通过变换x a b t =+-，可得：()baf x dx ⎰=()baf a b x dx +-⎰[]22()()a baf x f a b x dx +=++-⎰这就是积分区间的对称原理.特别地，当()()f x f a b x =+-时，有()ba f x dx ⎰22()ab af x dx +=⎰.例4.求积分20π⎰解：由于()f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有界，且只有可去间断点2x π=,故定积分存在. 由积分区间对称原理可得：原积分201121()2dx x ππ⎡⎤⎢⎥=+⎥⎥+-⎣⎦⎰220011224dx dx πππ===⎰⎰.若被积函数是非奇非偶时，通过适当的换元或拆项等方法也可转化为对称区间的积分问题.把积分区间的对称性原理推广到二元函数积分中，可以得到结论：结论1：设D 关于y 轴对称,则(,)Df x y dxdy ⎰⎰12(,)(,)0(,)D f x y dxdy f x y x f x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰若关于变量为偶函数若关于变量为奇函数’ 其中1D 是D 的右半部分:1{(,)|(,),0}D x y x y D x =∈≥且. 结论2：设D 关于x 轴对称,则(,)Df x y dxdy ⎰⎰12(,)(,)0(,)D f x y dxdy f x y y f x y y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰若关于变量为偶函数若关于变量为奇函数’ 其中1D 是D 的上半部分:1{(,)|(,),0}D x y x y D y =∈≥且.结论3：设D 关于x 轴和y 轴均对称，且(,)f x y 关于变量x 和变量y 均为偶函数，则1(,)4(,)DD f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰其中1D 是D 在第一象限的部分：1{(,)|(,),0,0}D x y x y D x y =∈≥≥且. 结论4：设D 关于原点对称,则其中1{(,)|(,),0}D x y x y D x =∈≥且,2{(,)|(,),0}D x y x y D y =∈≥且. 结论5：设D 关于直线y=x 对称，则特别地，当12(,)()()f x y f x f y =时,1212()()()()DDf x f y dxdy f y f x dxdy =⎰⎰⎰⎰.例5.计算二重积分2(751)DI x x y d σ=+++⎰⎰,其中22:1D x y +≤.解：D 关于x 轴和y 轴均对称,而75x y 和分别关于变量x 和y 为奇函数,故(75)0Dx y d σ+=⎰⎰,所以：22(1)DDDI x d x d d σσσ=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰212005(cos )4d r rdr πθθππ=+=⎰⎰.同样地，将它应用到三重积分中.例6.计算三重积分()x z dxdydz Ω+⎰⎰⎰,其中Ω是由曲面z =z =所围成的区域.解:Ω关于坐标面x=0对称,且关于变量x 为奇函数,故0xdxdydz Ω=⎰⎰⎰.所以()x z dxdydz zdxdydz ΩΩ+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰2124000cos *sin 8d d r r dr πππθϕϕϕ==⎰⎰⎰.例10.计算三重积分222222ln(1)1Vz x y z dxdydz x y z ++++++⎰⎰⎰, 其中{}222(,,)|1V x y z x y z =++≤.解:积分区域V 是以原点O(0,0,0)为中心的单位球域,所以V 关于xoy 平面对称，被积函数222222ln(1)(,,)1z x y z f x y z x y z +++=+++是关于z 的奇函数,故由对称性知222222ln(1)0 1Vz x y zdxdydzx y z+++=+++⎰⎰⎰.由上可见，在解决微积分问题时，巧妙应用对称性的观点去解题，可以使运算过程更加的快捷、流畅，计算结果更加的精确.3.2 对称在数学中的其他应用对称是形式美的显着特征,就数学而言,不仅让枯燥抽象的数学公式变得容易记忆,而且也是数学命题证明必不可少的一种方法.3.2.1利用对称性记忆公式在数学分析中,斯托克斯公式有一种形式表示法:其中P,Q,和R为连续可微函数,S为逐片光滑的有界双侧曲面,C为包围S的逐段光滑的简单闭曲线,(sin,sin,sin)αβγ为曲面S在点(,,)x y z处的单位法向量,方向为逆时针,这个公式的右边是用第一型曲面积分表示的,被积函数是一个三阶行列式.若取xy平面上的平面区域D作曲面S,并取上侧,则斯托克斯公式右侧的三阶行列式为001x y x y zP Q P Q Rδδδδδδδδδδ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是斯式公式就变成了格林公式,由此可见,格林公式是斯式公式的特例.类似地,奥式公式可表示为其中S 是包围V 的逐片光滑曲面,P,Q,R 在S+V 上是连续可微的,(sin ,sin ,sin )αβγ为曲面S 上点(,,)x y z 处的单位法向量.不难看出,斯式公式和奥式公式都是由三个矢量(P,Q,R),(sin ,sin ,sin )αβγ,及(,,)x y zδδδδδδ所决定的. 上述一些形式上的对称性,是数学分析中追求对称形式美的有利证据.一些望而生怯的公式由于有了对称美,变得非常容易记忆了.3.2.2数列解题中的的对称思想在数列解题中,存在着大量的对称思想,无论是等差数列还是等比数列,都含有丰富的对称之美.我们知道：只要m n p q +=+，其中,,,m n p q N ∈，就有（ⅰ）m n p q a a a a +=+（等差数列）（ⅱ）m n p q a a a a =（等比数列）利用这个数量关系来处理有关数列问题，常常能化繁为简.例11.（１）已知{}n a 为等差数列，且23101148a a a a +++=，求67?a a += （２）已知{}n a 为等比数列，2435460,225n a a a a a a a >++=，求35?a a +=解：（１）∵21131067()()482()a a a a a a +++==+,∴6724a a +=（２）∵2224333465,a a a a a a a a ===,∴223355225a a a a ++= ∵20a >,∴355a a +=例12.在等差数列中，69121520a a a a +++=，求20S .解：∵691215651202()2()a a a a a a a a +++=+=+∴201202()20S a a =+=由此可以看出，如果在等差数列中，由条件不能具体的求出1a 和d ，但可以求出1a 和d 的组合式，而所求的量往往可以用这个组合式来表示，那么就用“整体代值”的方法将值求出，同样的方法也可以用在等比数列中.3.3 对称美与数学教学人们常说：“成功的教学给人以一种美的享受”.而长期以来，在数学教学中，人们总是重视基础知识和基本技能的传授与训练，而忽视了美育的渗透，不善于发现数学本身所特有的美，不注意用数学美来感染诱发学生的求知欲望，激发他们的学习兴趣，不重视引导学生发现数学美，鉴赏数学美，以致使一些学生感到数学抽象枯燥，失去学好的信心.心理学研究表明：没有丝毫兴趣的强制性学习，将会扼杀学生探求真理的欲望.因此，只有学生热爱数学，才能产生积极而又持久的求学劲头.我国数学家徐利治认为：“数学教学的目的之一是使学生获得对数学的审美能力，即能增进学生对数学美的主观感受能力.”数学的教学过程不仅仅是学生个体的认识过程和发展过程，而且也是在教师指导下的一种特殊审美过程.因此在教学过程中，应当把数学美的内容通过教学过程的设计向学生揭示出来，从而使学生认识到数学的内容是美的，并且充分运用数学美的诱发力引起学生浓厚的学习兴趣、强烈的求知欲望，使抽象、高深的数学知识得以形象化、趣味化，使学生从心理上愿意接近它、接受它，直到最终热爱它.对称美是数学中最普遍的一种美.图形的对称、式子的对称和解题方法的对称等，都能给人以匀称的美感，用对称的观点去处理数学问题，往往可以从问题的一部分联想起与此对称的另一部分，从而采取补全的方法，使之构成一种整体的对称美，使问题化繁为简，化难为易.在数学教学过程中，充分发掘教材中的对称式的美，运算中的对称美、函数中的对称美、几何图形中的对称美，激发学生对数学美的体验，使学生从数学的显性美提高到对数学隐性美的认识，从感性认识上升到理性认识，使学生对所学的知识更易于接受，便于理解，培养学生爱好数学、认识数学美的兴趣.在数学问题的求解过程中，充分运用对称的数学美的思想方法，可以使学生感受到对称美，增强求知欲，使数学问题的解决更加简捷明快，从而提高了学生的直觉思维能力和形象思维能力，开拓解题新思路，进而提高了学生解决问题的能力和对数学思想方法的领悟，使学生由此而产生学习数学的兴趣.在数学解题过程中,若能积极挖掘问题中隐含的对称性,巧妙地利用对称性,可使复杂的问题变得条理清楚,脉络分明,能化难为易、化繁为简.例如对于数列中的若干项的和或积的问题,如果能对其结构进行对称性的分析,将数学的对称美与题目的条件或结论相结合,就能构建一组互相关联的对偶式,从而确定解题的总体思路或入手方向.其实质是让美的启示、美的追求在解题过程中成为宏观指导力量,使问题的解决过程更加简洁明快.数学中蕴涵着丰富的美，除了对称美以外，还有很多.把数学美的和谐对称、简单统一等特征融贯在教学的整个过程中，可以发展学生思维的灵活性、发散性、深刻性、独创性等诸方面的能力就得到培养和提高.使学生在美的享受中，获得知识，理解知识，掌握知识.结术语数学并不等于美学，但是数学中却真实地蕴藏着丰富的美学内涵，而对数学内在美的追寻探索，又会使人们更迅速、更确切的洞悉数学的真谛.对称美是数学美的重要特征之一，对称美是一个广阔的主题，数学则是它根本.我们应该更深刻地掌握我们的所学专业知识，积极地去理解数学，学好数学，这样才能更好的走向工作岗位，取得成功.参考文献：[1]钱双平.对称性在高等数学解题中的应用---数学美学方法的应用，云南电大学报，2004,6(2):62-63.[2]马锐.数学中的对称美,昆明冶金高等专科学校学报,2004,20(2):35.[3]周齐明.在数学教学中应加强数学美的教育，六安师专学报，1999，15（4）.[4]杨琴，杨联华.探求高等数学中的对称美，景德镇高专学报，2005，20（4）.[5]陈自高.数学中的对称美与应用，中国科技信息，2006,(5).[6]胡本荣.从对称性看数学中的美学，达县师范高等专科学校学报，2004，14（2）.[7]钱双平.对称性在高等数学解题中的应用，2004，6（2）.[8]窦丹.“对称思想”对学生数学能力的培养和作用：[硕士学位论文],东北师范大学，2005.[9]赵博.数学美与中学数学教学：[硕士学位论文]，武汉：华中师范大学，2004.。