6-3 不定积分的分部积分法09.12.8
不定积分的分部积分法
不定积分的分部积分法不定积分是高等数学中一个重要的概念，它可以用来求解各种形式的积分问题。
在求解不定积分的过程中，有一种常见的方法被称为“分部积分法”。
本文将从以下几个方面介绍不定积分的分部积分法：基本概念和原理、具体步骤、应用案例和进一步拓展。
一、基本概念和原理分部积分法的思想来源于乘法公式：$$(uv)'=u'v+uv'$$将乘法公式中的导数符号替换成积分符号，可得到分部积分公式：$$\int u \, dv=uv-\int v \, du$$其中，$u$和$v$都是函数，$du$和$dv$分别是$u$和$v$的导数。
二、具体步骤以下为分部积分法的具体求解步骤：1. 将被积函数拆分成两个函数的乘积形式：$f(x) = u(x)v(x)$。
2. 选择其中一个函数作为$u$，另一个函数的导数作为$dv$。
常见的选择方式有按照函数的复杂程度或者按照它们的导数是否容易求解。
3. 对$u$求导数，得到$du$。
4. 对$v$求导数，得到$dv$。
5. 将$u$和$v$的导数代入分部积分公式中，即得到：$$\int u \, dv=uv-\int v \, du$$6. 将上式中的各项代入，得到原式的新的积分式子，即：$$\int f(x)dx=u(x)v(x)-\int v(x)du(x)$$7. 对于分部积分法所得的新式子，如果它的形式更为简单，那么就可以再次运用分部积分法进行求解。
三、应用案例以下为使用分部积分法解决典型积分问题的案例：1. 求解$\int x\ln x dx$解法：设$u=\ln x,dv=xdx$，则$du=\frac{1}{x}dx,v=\frac{x^2}{2}$，代入分部积分公式可得：$$\int x\ln x \,dx=x\frac{x^2}{2}\,-\int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x} \,dx=\frac{x^3}{2}-\frac{x^2}{4}+C$$2. 求解$\int e^x\cos x dx$解法：设$u=e^x,dv=\cos xdx$，则$du=e^x,dv=\sin x$，代入分部积分公式可得：$$\int e^x\cos x \,dx=e^x\sin x-\int e^x\sin x \,dx$$再次应用分部积分法，可得：$$\int e^x\cos x \,dx=e^x\sin x-e^x\cos x-\int e^x\cos x \,dx$$两边移项，得到：$$\int e^x\cos x \,dx=\frac{e^x}{2}(\sin x-\cos x)+C$$四、进一步拓展分部积分法是求解不定积分的常见方法之一，在实践中可以根据具体问题灵活运用。
不定积分分部积分法
解： e x sin xdx sin xdex e x sin x e xd sin x
e x sin x e x cos xdx e x sin x cos xdex
e x sin x e x cos x e xd cos x
e x sin x e x cos x e x sin xdx
例4、求 arccos xdx
解：原式 x arccos x xd arccos x
x x
arccos arccos
x x
1 2
x dx
1 x2 (1 x2
)
1 2
d
(1
x2)
x arccos x 1 x2 C
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分部积分公式： udv uv vdu
例5、求 e x sin xdx
第四章 不定积分
分部积分法
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x (t )
1、第二换元公式： f ( x)dx f [ (t )](t )dt t1( x)
注：一般当被积函数含根号又不能用凑微分法求出其
积分时，考虑用第二换元公式去根号, 把无理化为有理. 2、去根号的方法： (1)被积函数含 a2 x2， 令x a sin t.
例1、求 x cos xdx
解：设令u x，v cos x. 则u 1, v sin x
故 x cos xdx x sin x sin xdx x sin x cos x C
若设u
故x
cos x，
cos xdx
v x.
x2 2
cos
则u sin x，v
x
x2 2
(
sin
x
)dx
x2 2
.
高等数学：第三讲 不定积分的分部积分法
出现循环, 怎么办?
移项 , 两边除以2 , 并加积分常数,得
ex sin xdx ex (sin x cos x) C积分时, 我们是用解
方程的方法求出积分结果的.
内容小结：
1.合理选择 u,dv ，正确使用分部积分公式
uvdx udv uv vdu
谢谢
解 (3) ex sin xdx sin xdex ex sin x exd sin x
ex sin x ex cos xdx ex sin x cos xdex
ex sin x (ex cos x exd cos x) ex (sin x cos x) ex sin xdx
分部积分公式
例 求下列不定积分
(1) x cos xdx; (2) x2exdx;
(3) ex sin xdx.
解 (1) x cos xdx xd sin x
u dv
uv
x sin x sin xdx
x sin x cos x C
例 求下列不定积分
解 (2) x2exdx x2dex
u dv
uv
再一次使用分 部积分法
x2ex exdx2 x2ex 2 xexdx
x2ex 2 xdex x2ex 2(xex exdx)
(x2 2x 2)ex C
当应用分部积分公式后，得到的积分还需用分部积分时, 可以继续使用，直到可以求出积分结果为止.
例 求下列不定积分
分部积分法
求解：两个不同类型函数之积的积分
vdxdv
udxdu
导数运算与积分运算为互逆运算，求积分能否考虑先求导数？
设函数u(x)和v(x)连续可导， (uv) uv uv
移项，得 uv (uv) uv
不定积分的分部积分法
复习引入
（A)一.求下列不定积分：
1.sin xdx 2.sin5x cosxdx 3. xexdx
1 2
x
2
arc
2 tanx
1 2
x
2d
arc
tan
x
1 x2 arctan x 1
2
2
x2 1 x2 dx
1 x2 arctan x 1
2
2
x2 11 1 x2 dx
1 x2 arctanx 1 x 1 arctanx C
2
22
(B)练习1.求下列不定积分
x
c os x）
C（C1
2C)
(C)练习3：求不定积分 ex cosxdx
常用解题技巧
Ⅲ 与换元法相结合
(C) 例4. e x dx
解： 令 x t, x t2 , dx 2tdt
原式 2 tetdt 2 tdet 2tet 2 etdt
2tet 2et C 2et (t 1) C
(1) xexdx (2) x2 ln xdx
常用解题技巧
(Ⅰ)多次使用分部积分法则
(B)例2.求 x2 sin xdx
解： x2 sin xdx x2d(cosx)
x2 cosx cosxdx2 x2 cosx 2 x cosxdx
x2 cosx 2 xd sin x x2 cosx 2x sin x 2 sin xdx
不定积分的分部积分法.
udv uv vdu
凑微口诀：指三幂对反
学法建议：
1、熟记常用的凑微分形式。
2、善于观察，选择适当的积分方法。 3、加强合作精神。 4、验算。
f xdx f x
作业：
课后练习3：（1）---（8）
x = t, 则 x = t 2 ,
d x 2t d t ,
x t t e d x 2 te d t 2 t d( e )
2(tet et d t )
2(tet et ) C
2e x ( x 1) C.
天然气的产量
海上石油钻井平台
• 工程师们发现，一个新开发的天然气井t月 的总产量P（单位： 106 m3）的变化率为
2
三、使用分部积分法应注意
（1）常用于被积函数为两个不同类型函数的 乘积形式，以及特 殊 的单个函数形式。
(如 x sin xdx , e arctan xdx , ln xdx 等)
x
0
x
ln xdx
(2)要正确地选择u与dv。 凑微口诀：指三幂对反
cos x d x. xd v
2 2 x ln xdx ln x x dx
dv
（3）分部积分法可以连续使用．连续使用分部 积分法时，每一次选u的函数一般说必须是同类函 数，否则作两次分部积分后会出现恒等式． （4）求一个不定积分，需要将换元积分法和分 部积分法结合起来使用。
x e 例3求积分 d x.
解： 设
依题意，当 t 0
P 0.
代入上式，得
C 212.25.
不定积分的分部积分法
x x e sin x d x sin x d e
e x sin x - e x d(sin x)
x x e sin x cos x d e e sin x - e cos xdx x x
e x sin x - (e x cos x - e x d cos x )
这两个公式称为分部积分公式.
•分部积分过程
,
uv vdx dx udv uv- vdu uv d uv uv u vdx vdx .. uv vu x udv u vdu u
分部积分过程： u vdx u dv uv - v du = uv - vu dx = 例1 求 x cos xdx. 解
例5 (3) 求 arccos xdx x arccos x - xd arccos x
分部积分过程： u vdx u dv uv - v du = uv - uv dx =
1 1 1 2 2 2 1 例3 求 x ln xdx ln xdx x ln x - x dx 例4 2 2 2 x 1 ln xdx 2 1 x 2 ln x - 1 x 2 1 dx x ln xdx 例 4 解：原式 = 2 2 2 x
内容小结
1、分部积分公式：
u v dx u dv u v - v du
2 、分部积分： uvdx uv - vudx中u, v的确定原则：
“反对幂指三” , 前 u 后
1 x 2 arctan x - 1 x 1 arctan x C . 2 2 2
分部积分过程： u vdx u dv uv - v du = uv - uv dx =
分部积分法顺序口诀
1.有关不定积分用分部积分法做不定积分,有个口诀叫反对幂指三,这个口诀是指的是遇到不定积分，用分部时，按照反对幂指三的顺序来处理，就是类似与加减乘除中，如果同时出现，就先乘除后加减，被积函数是幂函数或指数函数或对数函数或三角函数或反三角函数的乘积，优先考虑使用分部积分法。
2.所谓的“反对幂指三”：反三角函数,对数函数,幂函数,指数函数,三角函数.说明白点就是这五种函数都可以在分部积分法中当做是v`（x）dx中的v`(x).因为将它们五种函数放到d中很容易,一般ln, log, e, 和tan, sec, cos, sin，cot, cosec的单数幂的时候优先考虑分部
3.被积函数是幂函数或指数函数或对数函数或三角函数或反三角函数的乘积，优先考虑使用分部积分法。
不定积分-不定积分的分部积分法
推广 ∫ xn sin x d x, 令u = xn
例3 求下列不定积分：
∫ (1) I1 =
x
ln x dx u
=
∫
ln
xd
x2 2
dv
=
x2 2
ln
x−
∫
x2 2
d ln
x
vdu
= 1 x2 ln x 2
−
1 2
∫
x
dx
= 1 x2 ln x − 1 x2 + C
2
4
简化
（2）I 2
=
∫
x
arctan
=
−
x
cos uv
x+
∫
cos v
x dx du
=
−
x
cos
x
+
sin
x
+
C
(2) ∫ I2 = x2 sin x d x = −∫ x2 d cos x
dv
dv
= − x2 cos x + ∫ cosx dx2
vdu
简化
= − x2 cos x+ 2∫ x cosx dx
I1 = − x2 cos x + 2( x sin x + cos x) + C
=
x(
cos x
x
)′
−
cos x
x
+
C
=
− sin
x
−
2 cos x
x
+
C
注 若先求出 f ′( x)，再求积分会更复杂.
解2 由题设
f
(
x)
不定积分的分部积分法 ppt课件
而 I1xln x d xlnxd(x22)
x2
lnx 2
x 22d(lx n)x22lnx
xdx 2
x2lnxx2C
2
2
所以对任 n意 1,由 确 递 定 推 的 公I式 n. 都
例10 求不定积分 ex(1xlnx)dx.
解 ex(1 xlnx)dxexxdxexlnxdx
exxdxln xd(ex)
再次使用 分部积分法
(x 2 1 ) e x 2x x d x e
( x 2 1 ) e x 2 x d ( e x )
( x 2 1 ) e x 2 ( x x e e x ) C .
(x 2 2 x 3 )ex C .
例4 求不定积分 xarctxd ax.n 解 xarcxtdx anarcxtd(ax 22n )
x 2 2arx c tx 2 2 a 1 1 n x 2d x
x 2 2arx ct1 2 a (1 n 1 1 x 2)d x
x 2arx c 1 t(x a a nrx c ) t积分 arcsxdixn. 解 arcsxidn xxarx cs x id (narx)csin
第三节 不定积分的分部积分法
一、基本内容
问题 xexdx?
解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. 设函数 u=u(x) 和 v=v(x)具有连续导数, ( u ) v u v u v , u v ( u ) v u v ,
u v d x u v u v d x , 分部积分公式 u d vu v vd u .
x2 six n dx
2
2
显然 , u 和 dv 选择不当，积分更难进行.
解 xcoxd sxxd(sx i)n
不定积分的分部积分法课件
分部积分法
1
微分运算中有两个重要法则:
复合函数微分法和乘积的微分法. 在积分运算中, 与它们对应的是上节的
换元积分法和本节的分部积分法
基本积分法 (两种).
•分部积分公式
设函数uu(x)及vv(x)具有连续导数. 那么,
2
(uv)uvuv,
移项得
uv(uv)uv.
对这个等式两边求不定积分, 得
即即
(x2
dx a2)n1
(x2
x a2)n1
2(n
1)
(x2
x2 a2)n
dx
(x2
x a2)n1
2(n1)[
(x2
1 a2)n1
(x2
a2 a2)n
]dx
,
In1
(x2
x a2)n1
2(n
1)(In1
a2
In
)
,
回归
于是
In
1 2a2(n
1)
[(x2
x a2)n1
(2n 3)In1]
所以
sec3 xdx
1 (secxtan xln |secxtan x|)C 2
.
分部积分过程： uvdx udv uv v du uv vudx
14
例9 推导以下递推公式:
cosn x dx 1 sin x cosn1 x n 1 cosn2 x dx.
n
n
解 cosn x dx cosn1 x d sin x sin x cosn1 x sin x (n 1) cosn2 x ( sin x)dx
分部积分过程： uvdx udv uv v du uv vudx
12
3.3 不定积分的分部积分法
∫ u ( x )v ′( x ) dx =u ( x )v ( x ) − ∫ u ′( x )v ( x ) dx
如果右端的积分 求得所需积分。 求得所需积分。 下面来推导这个公式。 下面来推导这个公式。
x cos x = x(sin x)′ = ( x sin x)′ − sin x
故两端积分得： 故两端积分得： 难求
= − x n e − x + ∫ e − x dx n = − x n e − x + n ∫ x n −1e − x dx
∴ I n = − x n e − x + nI n −1.
由此求得地推公式： 由此求得地推公式：
课堂练习题
1 n −1 In = − cos x ⋅ sinn−1 x + In−2 . n n
=
1 2 x + C. ( x + 1) arctan x − 1 2 2
例7 求积分 I = e sin xdx.
x
∫
例8 求积分 解
x
I = ∫ sec3 xdx.
解
I = ∫ sin xdex = ex sin x − ∫ exdsinx
I = ∫ sec xdtan x = sec x tan x − ∫ tan xdsec x
∫ uv ′d x = ∫ ( uv )′d x − ∫ u ′v d x ,
∫ uv ′d x = uv − ∫ u ′v d x ,
∫ udv = uv − ∫ vdu .
注：当被积函数是两类不同的基本初等函数的乘积 时，常需利用分部积分公式进行积分。 常需利用分部积分公式进行积分。
即
此公式称为分部积分公式 此公式称为分部积分公式.
不定积分的分部积分法公式
不定积分的分部积分法公式“不定积分的分部积分法公式”是一个复杂的数学概念，它用于计算一类曲线函数的定积分的近似值。
不定积分的分部积分法公式也被称为埃尔米特积分公式，是一种广泛应用的积分技术，为计算复杂曲线函数提供了有效的数值计算方法。
首先，我们需要了解什么是不定积分。
不定积分是一类特殊的函数，它可以用来计算曲线的面积，可以表达为：∫ f (x) dx=F (b)-F (a)其中，F (x)表示与x有关的积分函数，a和b分别表示曲线的两个端点。
不定积分不能精确计算，但可以采用分部积分公式来估计积分值。
埃尔米特积分公式是常用的一种不定积分的分部积分法。
它是由数学家埃尔米特博克曼于1851年发明的，埃尔米特积分公式可以用来计算以下积分：∫a^b f(x)dx (f (x_i)Δx)其中，Δx表示曲线上每个分段的x方向距离，f (x_i)表示每个分段上x坐标位置处的函数值，Σ表示求和符号；a和b分别表示曲线的两个端点。
有了不定积分的分部积分公式，我们就可以简单地计算出复杂曲线的积分值了。
我们可以假设曲线在每一部分上都呈线性变化，也就是说，f (x)的图像可以被拆分成N个等距的直线段，称为分段线，然后再分别求每一段的积分，将它们相加就得到了曲线的积分值了。
也就是说，我们可以利用这样的公式来求解曲线函数：∫a^b f (x) dx (f (x_i)Δx)用上面的公式，我们可以对曲线函数进行拆分，将曲线分段，然后求出每个分段的积分值，最后将所有分段的积分值相加得到整个曲线的积分值，也就是不定积分的结果了。
埃尔米特积分公式是研究和应用积分技术最重要且最常用的方法之一，它可以用来计算复杂曲线函数的定积分。
埃尔米特积分公式是一种有效的、快速的计算手段，在一定程度上可以减少函数积分计算的误差，帮助我们准确地计算函数的积分值。
埃尔米特积分公式在工程计算中也有重要应用，它可以用来计算各种复杂函数的积分，例如建筑工程中混凝土结构的受力计算、软件设计中的面向对象编程等。
求不定积分的分部积分法
求不定积分的分部积分法作者：杨付贵来源：《科学与财富》2019年第01期摘要：分部积分法是不定积分的一种重要方法之一，它对某一类积分有特效，其他方法不行。
分部积分法也是不定积分中的一个难点。
在教学中，如何采用简单可行的方法，使学生们正确的理解"反·对·幂·三·指"的含义，准确的确定出哪个函数作为u和哪个函数和dx凑成dv 是重中之重。
然后，通过代公式，再微出来，最后积出来求出不定积分。
关键词：分部积分；不定积分；微积分分部积分法是不定积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。
也是不定积分中的一个难点。
学生们在学习（或复习）不定积分的分部积分法时，对其使用并不熟练，特别是对于文科的学生，不知什么时候用不定积分的直接方法，什么时候用不定积分的换元法，什么时候用分部积分法，用分部积分法解题的技巧表现得更生硬。
下面我结合自己三十多年讲授高等数学的体会，谈一下分部积分法的使用要点与技巧。
仅供大学生学习不定积分的分部积分法时参考。
一、分部积分法的方法与步骤由于积分与微分互为逆运算。
所以分部积分法是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。
它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。
即其中积分比易求。
由此不难得到分部积分的步骤：第一步：凑dv；第二步：代公式；第三步：微出来；第四步：积出来。
其中第一步凑dv是关键，如果凑的不合适，就有可能使得后面的积分比前面的积分更复杂，更难积分，那么究竟如何凑dv呢？对于这个问题，我们下面进行详细的讨论，而第三步也很重要，否则，作着作着又作回去了。
二、使用分部积分法的基本条件什么时候用分部积分法呢？一般地说，对于被积函数是幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数这几类初等函数中的某两类函数乘积形式时，应使用分部积分法，分部积分法对这一类积分有特效，其他方法不行。
当然，分部积分法对于其他的一些积分有时也会起到立竿见影的效果。
不定积分的分部积分法问题和哪一个计算简单解决思路利用两个共36页文档
56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄归 。道狭 草木长 ，夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ，但使 愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
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E 指数函数 x x 方法1) 解(方法 I = ∫ 方法 de x [ ]′ ( x + 1)2 ( x + 1) ( x + 1) 1 x x ]′ = [ x x ( x + 1) e ∫ e [ ]′ d x = 2 2 1 1 ( x + 1) ( x + 1) ]′ = [ x + 1 ( x + 1) x 1 2 x x e ∫ e [ ]d x = + 2 2 3 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) x 1 ex ex + ∫ dex 2∫ dx = 2 2 3 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1)
= ln(sec t + tant ) + C = ln( x + 1+ x2 ) + C
∴
∫
xarctan x 1 + x2
dx
= 1+ x2 arctan x ln( x + 1 + x2 ) + C.
例5
I = ∫ e x cos x dx= ∫ cos xde x dv = e x cos x ∫ e x dcos x vdu x + ∫ sin xe x dx = e cos x
例2
1 2 ? 分析 取 u== ? x, xd x = d x = dv = u cos 2 x2 x2 ∫ xcos xd x = 2 cos x + ∫ 2 sin xd x 更不易积分
显然,u 选择不当,积分更难进行 显然, 选择不当,积分更难进行. 解
u dv
= ∫ xdsin x dv
2
∫
解
( ) ( ) = (x2 + 6)sin x 2∫ xsin xd x = (x2 + 6)sin x + 2∫ xdcos x 2 = (x + 6)sin x + 2xcos x 2∫ cos xd x 2 = (x + 6)sin x + 2xcos x 2sin x + c
= x2 + 6 sin x ∫ sin xd x2 + 6
( x2 + 6)cos xd x = ∫ ( x2 + 6)dsin x ∫
例2-1 求 x e 解
∫
2 x
dx
x2 e x d x= ∫ x2 de x ∫
2 x
= x2 e x + ∫ e x d x2 = x e + 2∫ xe
x
dx
= x2 e x 2∫ xde x = x2 e x 2xe x + 2∫ e x d x
综合题 例8
令t = x 2 te t dt ∫
= 2(t e t e t ) + C = 2e
x
( x 1) + C
例9
= ∫ lncos xdtan x udv
= tan x lncos x + ∫ tan2 xdx = tan x lncos x+ ∫ (sec2 x 1) dx = tan x lncos x+ tan x x + C
= x e
2 x
2x e
x
2e
x
+C
例3-1
udv
= xarcsin x ∫
x 1 x2
简化
dx
1 1 2 = xarcsin x + ∫ (1 x ) 2d(1 x2 ) 2
= xarcsin x+ 1 x2 + C
xe E 例6-1 求 I = ∫ d x. 2 ( x + 1) A
∫ uv′ dx = uv ∫ u′v dx ∫ udv = uv ∫ v du
—— 分部积分公式
二,典型例题 例1 ( I = ∫ x e x dx 1 1 )
= ∫ x de u dv
x
x
= xe ∫ e x dx v du uv = xe x e x + C
问: 能否取 u = e x ? 不行. 不行.
(第二次分部积分 第二次分部积分) 第二次分部积分
两次所选u的 两次所选 的 函数类型不 变!
= e x sin x + ∫ e x dcos x
u
= e x sin x + e x cos x ∫ e x cos xd x
= e x sin x + e x cos x I
ex I = (sin x cos x) + C. 2
第6章 章
第三节 不定积分的分布积分法
一,分部积分公式 二,典型例题
引例
∫e
x
令 x=t dx 2∫ t et dt
(换元法无法解决) 换元法无法解决)
一,分部积分公式 由导数公式 (uv)′ = u′v + uv′ 积分得
uv = ∫ u′vdx + ∫ uv′ dx
公式的作用: 公式的作用: 改变被积函数
ex = + C. x +1
( x + 1) 1 x (方法 方法2) I = ∫ 方法 e dx 2 ( x + 1)
ex ex dx ∫ dx =∫ 2 x +1 ( x + 1)
ex 1 x dx + ∫e d =∫ x +1 ( x + 1)
x ex ex ex e dx + dx = =∫ ∫ + C. x +1 x +1 x +1 x +1
= 1 + x2 arctan x ∫ 1 + x2 d(arctan x)
= 1 + x arctan x ∫
2
1 1+ x dx 2 1+ x
2
= 1 + x arctan x ∫
2
1 1 + x2
d x 令 x = tant
∫
1 1 + x2
dxห้องสมุดไป่ตู้= ∫
1 1 + tan2 t
sec2 t dt = ∫ sect dt
例6-2
udv
= x x +a ∫
2 2
x2 x +a
2 2
dx
迎合分母
= x x +a ∫
2 2 2 2
( x2 +a2 )a2 x +a
2 2
dx
dx x2 +a2
+ a2 ∫ = x x + a ∫ x + a dx
2 2
= x x2 + a2 I+ a2 ln( x + x2 + a2 ) + C
2 2 2
选 u 的 优 先 顺 序
L 对数函数 I 反三角函数 A 代数函数 T 三角函数
x 1 ex I= ex + ∫ dex 2∫ dx 2 2 3 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1)
x ex (2) x ex ex + [ e dx] 2∫ dx = 2 2 ∫ 3 3 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1)
2
简化
1 2 1 = x arctan x ( x arctan x) + C 2 2
∫ arcsin xdx = ? ∫ arctan xdx = ?
注 2° 分部积分小结(1) ° 分部积分小结(1)
(1) ∫ xneαx d x xn sin xd x ∫
设u = xn (例1,例2) , )
I L 对数函数 选 xarctan x u I 反三角函数 d x. 例4 求积分 ∫ 的 1 + x2 A A 代数函数 优 T 三角函数 先 x 2 ′ 顺 解 ∵ ( 1+ x ) = , E 指数函数 2 序 1+ x xarctan x ∴ ∫ d x = ∫ arctan xd 1 + x2 u 1 + x2
例11 求 I = ∫
e
arctan x
3
(1 + x2 )
dx .
2
先换元, 解 先换元 后分部 令 x = tant , et I = ∫ 3 sec2 t d t = ∫ e t cos t d t sec t
= e t sin t ∫ e t sint d t
= e sin t + e cos t ∫ e t cos t d t
设 u = ln x
(例3(1)) )
(2)
xn ln xd x ∫
dv = xn d x
(3)
xn arcsin xd x 设 u = arcsin x ∫
(例3(2)) )
3° 选 u 的优先原则: ° 优先原则 原则: "对反代三指" 法 对反代三指" 对反代三指 ( 或称为" LIATE " 法). 或称为" 选 u 的 优 先 顺 序 L I A T E 对数函数 反三角函数 代数函数 三角函数 指数函数
简化
= xsin x ∫ sin xdx = x sin x + cos x + C uv v du
dv
= ∫ x dcos x dv
2
vdu
I1
简化
+ 2( x sin x + cos x) + C