【最新】版高中全程复习方略配套课件：3.5同角三角函数的基本关系与两角与差的三角函数(北师大版·数学
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高中数学《同角三角函数的基本关系》课件
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答案
∴tanα＝－13或tanα＝1. ∵α∈2π，π，∴tanα<0，∴tanα＝－13， ∴s5icnoαs＋α－2csoinsαα＝t5a－nαt＋anα2＝156.
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答案
题型二 sinα±cosα与sinαcosα关系的应用 例2 已知在△ABC中，sinA＋cosA＝15. (1)求sinAcosA； (2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形．
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答案
＝sin1α－1c－osc2oαsα＝sinαs1in－2αcosα＝1－sincoαsα， ∴左边＝右边，原等式成立．
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答案
[条件探究] 将本例(1)改为化简：sin11＋302°－sin1310－°csoins1213300°°. 解 原式＝ sisnin113300°－ °＋|ccooss113300°°|2＝ssiinn113300°°＋ ＋ccooss113300°°＝1.
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[解]
(1)原式＝
sin2130°－2sin130°cos130°＋cos2130° sin130°＋ cos2130°
＝|ssiinn113300°°＋－|ccooss113300°°||＝ssiinn113300°°－ －ccooss113300°°＝1.
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2025年高考数学一轮复习-同角三角函数的基本关系与诱导公式【课件】
含有tan α的式子，代入tan α的值即可求解.
考向3 “ sin α±cos α， sin α cos α”之间关系的应用
【例3】 （多选）已知θ∈（0，π）， sin θ＋ cos
论正确的是（
A.
π
θ∈（ ，π）
2
C. tan
3
θ＝－
4
）
B. cos
3
θ＝－
5
D. sin θ－ cos
7
θ＝－
＋2＝
＋2＝
＋2
1
2
2
2
2
+1
si ＋
（2） +1
si2
13
＝ .
5
2
诱导公式的应用
【例4】 （1）已知α为锐角，且 cos
3π
）＝（
4
A.
1
－
2
C. －
3
2
）
1
B.
2
D.
3
2
π
1
（α＋ ）＝－ ，则
4
2
cos （α＋
π
π
3π
解析：由α为锐角得 ＜α＋ ＜ ，所以
2. 应用公式时注意方程思想的应用：对于 sin α＋ cos α， sin α cos α，
sin α－ cos α这三个式子，利用（ sin α±cos α）2＝1±2 sin α cos α，
可以知一求二.
1. 若 sin θ＋ cos
2 3
θ＝
，则
3
5
A.
6
17
B.
18
8
C.
9
2
D.
3
同角三角函数的基本关系ppt课件
5.2.2同角三角函数 的基本关系
温故知新
公式一： 文字语言： 终边相同的角的同一三角函数的值相等
符号语言： sin(α＋k·2π)＝
cos(α＋k·2π)＝
tan(α＋k·2π)＝ 其中k∈Z
探索新知
问题1 公式一表明,终边相同的角的同一三角函数值相等,那么, 终边相同的角的不同三角函数值之间是否也有某种关系呢?
探索新知
(1)首先我们知道三个三角函数的值都是由角的终 边与单位圆的交点坐标所唯一确定的,这说明它们 定义的背景统一,所以它们之间一定有内在联系。
探索新知
(2)可以利用公式一,把这些终边相同角的三角函数值转化 为同一个角的三角函数值,这时就可以将这个问题进一步 转化为“研究同一个角的三个三角函数值之间的关系”.
1.两个公式的结构特点:
(1)
是
的简写,
不能将
写成
,
(2)
同角三角函数基本关系的理解与认识
2.同角的理解: (1) 关系式中的角要相同，与角的形式无关。
同角三角函数基本关系的理解与认识
3.公式等价变形 (1)
(2)
学以致用
例1 解：
∵ 为第三象限角 ∴
学以致用
变式 思考2： 若把题目中的条件“角 该解如：何解答？
探究:同一个角的不同三角函数值之间的关系
问题3:同一个角的三角函数值还有什么关系？
由定义可知：
探究:同一个角的不同三角函数值之间的关系
追问1:函数的基本关系
1、平方关系： 2、商数关系：
注意：只要能使得函数有意义，对任意一个角关系式恒成立。
同角三角函数基本关系的理解与认识
探究:同一个角的不同三角函数值之间的关系
问题2:给一个角 ,在单位圆中你能找到与点 P 坐标 对应的线段吗?从而建立 与 关系吗?
温故知新
公式一： 文字语言： 终边相同的角的同一三角函数的值相等
符号语言： sin(α＋k·2π)＝
cos(α＋k·2π)＝
tan(α＋k·2π)＝ 其中k∈Z
探索新知
问题1 公式一表明,终边相同的角的同一三角函数值相等,那么, 终边相同的角的不同三角函数值之间是否也有某种关系呢?
探索新知
(1)首先我们知道三个三角函数的值都是由角的终 边与单位圆的交点坐标所唯一确定的,这说明它们 定义的背景统一,所以它们之间一定有内在联系。
探索新知
(2)可以利用公式一,把这些终边相同角的三角函数值转化 为同一个角的三角函数值,这时就可以将这个问题进一步 转化为“研究同一个角的三个三角函数值之间的关系”.
1.两个公式的结构特点:
(1)
是
的简写,
不能将
写成
,
(2)
同角三角函数基本关系的理解与认识
2.同角的理解: (1) 关系式中的角要相同，与角的形式无关。
同角三角函数基本关系的理解与认识
3.公式等价变形 (1)
(2)
学以致用
例1 解：
∵ 为第三象限角 ∴
学以致用
变式 思考2： 若把题目中的条件“角 该解如：何解答？
探究:同一个角的不同三角函数值之间的关系
问题3:同一个角的三角函数值还有什么关系？
由定义可知：
探究:同一个角的不同三角函数值之间的关系
追问1:函数的基本关系
1、平方关系： 2、商数关系：
注意：只要能使得函数有意义，对任意一个角关系式恒成立。
同角三角函数基本关系的理解与认识
探究:同一个角的不同三角函数值之间的关系
问题2:给一个角 ,在单位圆中你能找到与点 P 坐标 对应的线段吗?从而建立 与 关系吗?
【全程复习方略】(文理通用)高三数学一轮复习 3.2同角三角函数的基本关系及诱导公式课件
角α的
弧度数 sinα
π
2 2 2 2
3 ___ 2
1 ___ 2
1
0
3 ____ 2
1 2 ____
0 -1
0
cosα
tanα
3 ___ 2 3 ___ 3
3 ____ 2 3 ____ 3
1
3 ___
3 ____
【考点自测】
1.(思考)给出下列命题:
①sin2θ+cos2φ=1;
答案：-1
(2)因为( -α)+(α- 2 )= ， 6 3
2 2 所以sin(α- )=sin[- -( -α)] 3 2 6 =-sin[ +( -α)]=-cos( -α)= 2 . 2 6 6 3 2 答案： 3
【互动探究】在本例(2)的条件下，求 cos( 5 )sin( ). 【解析】cos( 5 )sin( ).
cosα ______ -sinα _______
函数名不变 符号看象限
函数名改变 符号看象限
3.特殊角的三角函数值 角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 150° 180° 0 0 __ 1 __ 0 __
6 1 ___ 2 4 3 2 2 3 5 6 1 ____ 2
第 二 节
同角三角函数的基本关系及诱导公式
【知识梳理】
1.同角三角函数的基本关系
sin2α+cos2α=1 (1)平方关系:________________.
sin tan= (2)商数关系:___________. cos
2.三角函数的诱导公式
组数 角 正弦 一 2kπ+α (k∈Z) sinα 二 π+α 三 -α 四 π- α 五
人教版高考总复习一轮数学精品课件 第五章 三角函数、解三角形-第二节 同角三角函数基本关系及诱导公式
故选C.
≠ .
（2）已知方程sin2 + 2sin cos − 2sin − 4cos = 0,则cos 2 − sin cos =
() B
4 3
3 4
A.− B. C.− D.
5 5
5 5
[解析]因为方程 + − − = ,
角
2π + ∈
π+
−
关于原点对称
______________
π
−
2
关于轴对称
_____________
π
+
2
图示
与角终边的关系
相同
______
角
π −
续表
角
2π + ∈
π+
图示
与角终边的关系
关于轴对称
关于直线 = 对称
−
三、诱导公式
组数
一
二
三
= ,即 = ,即 = .
因为 ∈ , ,所以 = , =
.故 − = −
C
=−
.故选C.
1
5
2或
（2）已知sin − cos = ,则tan =_____.
sin2 +cos2
=
2tan2 + 3tan − 1
=
2
tan + 1
=
sin +cos
［对点训练2］（1）已知
sin −cos
第五章第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式课件共51张PPT
(3)∵sin α＝45 且 α 为锐角∴cos α＝ 1－sin2α ＝
4
∴tanα＝csoins
α α
＝52
＝43
，故 AB 正确．
5
∴sin α＋cos α＝45
＋35
＝75
8 ≠5
，
sin α－cos α＝45 －35 ＝15 ≠－15 ，故 CD 错误．]
1－452 ＝35 ，
同角三角函数关系式的应用方法 (1)利用 sin2α＋cos2α＝1 可实现 α 的正弦、余弦的互化，利用csoinsαα ＝tan α 可以实现角 α 的弦切互化． (2)由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数 值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在 的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．
所以 f－253π
＝cos
－253π
＝cos
π 3
＝12
.
答案：
1 2
同角三角函数基本关系式
角度一 公式的直接应用
(1)已知角
α
是第二象限角，且满足
sin
5π (2
＋α)＋3cos (α－π)＝1，
则 tan (π＋α)等于( )
A． 3
B．－ 3
C．－
3 3
D．－1
(2)(2020·北京市适应性测试)已知 α 是第四象限角，且 tan α＝－34 ，则 sin
解析： (1)因为 f(2 020)＝sin π2 ×2 020＋α ＋1＝sin (1 010π＋α)＋1
＝sin α＋1＝2，
所以 sin α＝1，cos α＝0.
所以 f(2 021)＝sin
同角三角函数的基本关系式与诱导公式-高考数学复习课件
4
2
sin2
1
cos2
α＝ · 2
＋ · 2
2
3 sin ＋cos
4 sin ＋cos2
2 tan2
1
1
2
22
1
1
7
＝ · 2
＋ · 2
＝ × 2 ＋ × 2 ＝ .
3 tan +1
4 tan +1
3
2 +1
4
2 +1
12
考点三
例3
(
sin α± cos α， sin α cos α之间的关系问题
[知识梳理]
知识点一 同角三角函数的基本关系式
1. 平方关系： sin 2α＋ cos 2α＝ 1 .
sin
π
(α≠ ＋ k π， k ∈Z)
2
2. 商数关系：tan α＝ cos
.
知识点二 诱导公式
公式
一
余弦
正切
三
四
π＋α
－α
π－α
－ sin α
－ sin α
sin α
2 k π＋α
角
1
θ＝ ，
25
∴ sin θ－ cos θ＝ 1 − 2sincos ＝ 1 −
∴ sin
4
θ＝ ，
5
∴tan
4
θ＝－ ，∴A，B，D正确.
3
cos
3
θ＝－ ，
5
24
−
25
＝
49
7
＝ ，
25
5
方法总结
对于 sin α＋ cos α， sin α－ cos α， sin α cos α这三个式子，知一可
2
sin2
1
cos2
α＝ · 2
＋ · 2
2
3 sin ＋cos
4 sin ＋cos2
2 tan2
1
1
2
22
1
1
7
＝ · 2
＋ · 2
＝ × 2 ＋ × 2 ＝ .
3 tan +1
4 tan +1
3
2 +1
4
2 +1
12
考点三
例3
(
sin α± cos α， sin α cos α之间的关系问题
[知识梳理]
知识点一 同角三角函数的基本关系式
1. 平方关系： sin 2α＋ cos 2α＝ 1 .
sin
π
(α≠ ＋ k π， k ∈Z)
2
2. 商数关系：tan α＝ cos
.
知识点二 诱导公式
公式
一
余弦
正切
三
四
π＋α
－α
π－α
－ sin α
－ sin α
sin α
2 k π＋α
角
1
θ＝ ，
25
∴ sin θ－ cos θ＝ 1 − 2sincos ＝ 1 −
∴ sin
4
θ＝ ，
5
∴tan
4
θ＝－ ，∴A，B，D正确.
3
cos
3
θ＝－ ，
5
24
−
25
＝
49
7
＝ ，
25
5
方法总结
对于 sin α＋ cos α， sin α－ cos α， sin α cos α这三个式子，知一可
新教材高中数学第五章三角函数的概念：同角三角函数的基本关系pptx课件新人教A版必修第一册
[典例 1] (1)若 sin α＝－45，且 α 是第三象限角，求 cos α，tan α 的值； (2)若 tan α＝－185，求 sin α 的值． [解] (1)∵sin α＝－45，α 是第三象限角， ∴cos α＝－ 1－sin2α＝－35， ∴tan α＝csions αα＝－45×－53＝43.
2．已知 α∈0，π2，sin α＝35，则 cos α＝
A．45
B．－45
C．－17
D．35
解析：因为 α∈0，π2，所以 cos α>0，所以 cos α＝ 1－sin2α＝
答案：A
() 1－352＝45.
3．化简 1－sin235π的结果是
A．cos35π
B．sin35π
C．－cos35π
＝ cos
cos 2x－sin 2x－sin 2xcos
2x2 2x＋sin
2x
＝cos cos
2x－sin 2x＋sin
22xx＝11－ ＋ttaann
2x＝右边， 2x
∴原等式成立．
[方法技巧] 1．三角函数式的化简技巧 (1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到 化繁为简的目的． (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到 化简的目的． (3) 对 于 化 简 含 高 次 的 三 角 函 数 式 ， 往 往 借 助 于 因 式 分 解 ， 或 构 造 sin2α ＋ cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． 2．证明三角恒等式常用的技巧及遵循的原则 (1)常用技巧：弦切互化、整体代换、1的代换等． (2)原则：由繁到简、变异为同．
()
α
(2)对任意角 α，csions2α2＝tan α2都成立．
2023届高中数学一轮复习+同角三角函数的基本关系及诱导公式+课件
可以实现角 α 的弦切互化.
(2)形如acssiinn
x＋bcos x＋dcos
xx，asin2x＋bsin
xcos
x＋ccos2x
等类型可进行弦化切.
2.注意公式的逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－
sin2α.
3.应用公式时注意方程思想的应用：对于 sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α
A.15
B.25
C.35
D.
5 5
解析 由已知 sinπ2＋θ＋3cos(π－θ)＝sin(－θ)
⇒cos θ－3cos θ＝－sin θ⇒tan θ＝2，
则 sin θcos θ＋cos2θ＝sinsiθnc2oθs＋θc＋osc2oθs2θ＝ttaann2θθ＋＋11＝35.
角度2 “和”“积”转换
又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，
∴cos
α－sin
α＝
3 2.
考点 同角三角函数基本关系式的应用
角度1 切弦互化
例 1 (1)已知 α 是三角形的内角，且 tan α＝－13，则 sin α＋cos α 的值为_－___51_0___. 解析 由 tan α＝－31，得 sin α＝－31cos α，
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)若 α，β 为锐角，则 sin2α＋cos2β＝1.( × ) (2)sin(π＋α)＝－sin α 成立的条件是 α 为锐角.( × ) (3)若 α∈R，则 tan α＝csoins αα恒成立.( × ) (4)若 sin(kπ－α)＝13(k∈Z)，则 sin α＝13.( × )
2025高考数学一轮复习-4.2-同角三角函数的基本关系式与诱导公式【课件】
(3)常见的互余和互补的角
互余 的角
π3－α 与π6＋α；π3＋α 与π6－α；π4＋α 与π4－ α等
互补 的角
π3＋θ 与23π－θ；4π＋θ 与34π－θ 等
考点二 同角三角函数基本关系式的应用
角度 1：“知一求二”问题 【例 1】 (1)已知 sinα＝13，且 α 为第二象限角，求 tanα. (2)已知 sinα＝13，求 tanα. (3)已知 sinα＝m(m≠0，m≠±1)，求 tanα.
易错易混 5．已知 θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝ 32－1，则 tanθ 的值为__－___3___．
【解析】 解法一：将 sinθ＋cosθ＝ 32－1两边平方，得 1＋2sinθcosθ＝1－ 23，即
sinθcosθ＝－ 43，易知 θ≠π2.
故 sinθcosθ＝sins2inθθ＋cocsoθs2θ＝1＋tatnaθn2θ＝－ 43，解得 tanθ＝－
cosα
－cosα □10 sinα □11 －sinα
□14 －tanα □15 －tanα
提醒：(1)诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指 函数名称的变化． (2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
『基础过关』 思考辨析 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若 α，β 为锐角，则 sin2α＋cos2β＝1.( × ) (2)若 α∈R，则 tanα＝csoinsαα恒成立．( × ) (3)sin(π＋α)＝－sinα 成立的条件是 α 为锐角．( × ) (4)若 sin(kπ－α)＝13(k∈Z)，则 sinα＝13.( × )
高考一轮复习 3.5同角三角函数的基本关系式与两角和与差的三角函数(精品公开课课件)
5
5
即1+2sinαcosα= 1 ,∴2sinαcosα= - 24 ,
25
25
∴(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα= 1+ 24 = 49 .
25 25
∵sinαcosα= - 12 <0且0<α<π,
25
∴sinα>0,cosα<0,∴sinα-cosα>0,
∴sinα-cosα= 7 ,
cosa
(2)应用sin2α +cos2α =1求sinα 或cosα 时，特别注意角α 的 三角函数值的符号.符号规律：“一全正，二正弦，三正切， 四余弦.”
【例1】已知α 是三角形的内角,且
sina +cosa = 1 . 5
(1)求tanα 的值;
(2)把
1
用tanα 表示出来,并求其值.
cos2a - sin2a
4
13
4
13
∴sin(α+β)=-sin［π+(α+β)］
= - sin［(p +a ) +(3p +b )］
三角函数的求值 【方法点睛】三角函数的求值的两种主要类型 (1)给角求值的解题思路是正确地选用公式，把非特殊角的三 角函数相消，从而化为特殊角的三角函数. (2)给值求值的解题思路是找出已知式与待求式之间的联系及 函数的差异.一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值， 以备应用，同时也要注意变换待求式，便于将已知式求得函数 值代入，从而达到解题的目的.
高考一轮复习
第五节 同角三角函数的基本关系式与两 角和与差的三角函数
（精品公开课课件）
三年6考 高考指数:★★ 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x+cos2x=1,
高中数学高一必修《同角三角函数的基本关系》教育教学课件
2 4
又 sin α＝－13，所以 cos α＝－
则
tan
α＝csoins
αα＝
2 4.
1－－132＝－2 3 2，
3.若 α 是第三象限角，化简
1＋cos α ＋
1－cos α
解 ∵α是第三象限角，∴sin α<0， 由三角函数线可知－1<cos α<0.
1＋cos α
1－cos α
∴
1－cos
y
sin cos
αα＝xr＝yx＝tan
α.
r
即
sin2α＋cos2α＝1，tan
α＝csoins
α α.
探究点二 三角函数式的求值
摸索 已知某角的一个三角函数值，再利用sin2α＋cos2α＝1求它的 其余三角函数值时，要注意角所在的象限，恰当选取开方后根号 前面的正负号，一样有以下三种情形： 类型1：如果已知三角函数值，且角的象限已知，那么只有一组解. 例如：已知 sin α＝35，且 α 是第二象限角，则
3 2
1
3
－
3 3
1
1
1
3
1
－
3 3
1
tan 30°
tan 150°
1 1
tan 45°
1
1 tan 60°
正切
摸索2 如何利用任意角的三角函数的定义推导同角三角函数的 基本关系式？同角三角函数的基本关系式对任意角α都成立吗？
答 设点P(x，y)为α终边上任意一点，P与O不重合.P到原点的 距离为r＝ x2＋y2>0， 则 sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx. 于是 sin2α＋cos2α＝(yr)2＋(xr)2＝y2＋r2 x2＝1，
【最新】版高中全程复习方略配套课件：3.5同角三角函数的基本关系与两角与差的三角函数(北师大版·数学
∵α是三角形的内角，∴sinα＞0,
sin cos
4 5
3 5
,
tan
4 3
.
方法二:∵sinα+cosα= 1,∴(sinα+cosα)2=( )21，
5
5
即1+2sinαcosα= 1 ,∴2sinαcosα= 24 ,
25
25
∴(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα= ∵sinαcosα= 12< 0且0<α<π,
【即时应用】
(1)判断下列式子的正误.(请在括号内打“√”或“×”)
①cos15°=cos(45°-30°)=cos45°-cos30°
()
②sin15°=sin(45°-30°)
=cos45°sin30°-sin45°cos30°
()
③cos15°=cos(60°-45°)
=cos60°cos45°+sin60°sin45°
)
tan tan 1 tan tan
11 23 1 1 1
1. 7
32
. 4
【反思·感悟】此类题是给值求角题,步骤如下:①求所求角的 某一个三角函数值,②确定所求角的范围,此类题常犯的错误是 对角的范围把握不准,使角的范围过大或过小,会使求出的角不 合题意或者漏解,同时要根据角的范围确定取该角的哪一种三角 函数值.
=cos45°cos30°+sin45°·sin30°,故①错误；
sin15°=sin(45°-30°)
=sin45°·cos30°-cos45°sin30°，故②错误;③正确，
cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°+sin60°sin45°,故④
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=cos45°cos30°+sin45°·sin30°,故①错误；
sin15°=sin(45°-30°)
=sin45°·cos30°-cos45°sin30°，故②错误;③正确，
cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°+sin60°sin45°,故④
错误.
(2)原式=sin(72°+18°)=sin90°=1.
sin2 cos2
cos2 cos2 sin2
tan2 1 1 tan2
,
cos2
tan 4 , 3
1 cos2
sin 2
tan2 1 1 tan2
( 4)2 1 3
1 ( 4)2
25 . 7
3
【反思·感悟】1.应用同角公式时注意方程思想的应用：对于 sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα这三个式子，利用 (sinα±cosα)2=1±2sinαcosα,可以知一求二. 2.注意公式逆用及变形应用：1=sin2α+cos2α，sin2α= 1-cos2α,cos2α=1-sin2α.
【解析】(1)∵sin(π-α)=sinα= 且α2∈(
3
cos 1 sin2 1 ( 2)2 5 ， 33
tan sin 2 5 . cos 5
(2)∵sin2x+cos2x=1，sin2x (1 sinx)2 1，
2
sin2x 4 ,sin2x 1 9 .
5
5
答案：(1) 2 5
第五节 同角三角函数的基本关系式 与两角和与差的三角函数
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三年6考 高考指数:★★ 1.理解同角三角函数的基本关系式. 2.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 3.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.
1.同角三角函数间的关系式可能在与解析几何、数列、解三角 形等知识的交汇处命题. 2.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角函数式的 化简求值是高考常考的内容.尤其是对asinx+bcosx的化简是每 年高考必考内容. 3.在选择题、填空题、解答题中都可以考查,题目属中低档题.
三角函数的求值 【方法点睛】三角函数的求值的两种主要类型 (1)给角求值的解题思路是正确地选用公式，把非特殊角的三 角函数相消，从而化为特殊角的三角函数. (2)给值求值的解题思路是找出已知式与待求式之间的联系及 函数的差异.一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值， 以备应用，同时也要注意变换待求式，便于将已知式求得函数 值代入，从而达到解题的目的.
25
1 24 49 . 25 25
∴sinα>0,cosα<0,∴sinα-cosα>0,
∴sinα-cosα= 7 ,
5
由sin sin
cos cos
1 5 7 5
,
得
sin cos
4 5
3 5
,
tan
4 3
.
(2)
1 cos2 sin2
sin2 cos2 cos2 sin2
∵α是三角形的内角，∴sinα＞0,
sin cos
4 5
3 5
,
tan
4 3
.
方法二:∵sinα+cosα= 1,∴(sinα+cosα)2=( )21，
5
5
即1+2sinαcosα= 1 ,∴2sinαcosα= 24 ,
25
25
∴(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα= ∵sinαcosα= 12< 0且0<α<π,
()
④cos15°=cos(60°-45°)
=cos60°cos45°-sin60°sin45°
()
(2)计算sin72°cos18°+cos72°sin18°=______. (3)计算cos72°cos12°+sin72°sin12°=______.
【解析】(1)cos15°=cos(45°-30°)
组求出sinα，cosα的值,然后求出tanα即可.
(2)利用“1”的逆用，把原式化为关于sinα，cosα的齐次式，
转化为关于tanα的代数式，代入求值.
【规范解答】(1)方法一：联立方程
sin
cos
1 5
①
sin2 cos2 1 ②
由①得cosα= 1 -sinα，将其代入②，整理得
5
25sin2α-5sinα-12=0.
(2) 9
5
5
)， ,0
2
2.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
公式名
两角和与 差的正弦 两角和与 差的余弦
两角和与 差的正切
公式
sin( ) _s_i_n__c_o_s____c_o_s__si_n___
cos( ) _c_o_s__c_o_s____si_n__s_i_n___
tan tan tan( ) ____1___ta_n__t_a_n_______
【即时应用】
(1)判断下列式子的正误.(请在括号内打“√”或“×”)
①cos15°=cos(45°-30°)=cos45°-cos30°
()
②sin15°=sin(45°-30°)
=cos45°sin30°-sin45°cos30°
()
③cos15°=cos(60°-45°)
=cos60°cos45°+sin60°sin45°
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:__s_i_n_2α__+_c_o_s_2_α__=_1_；
(2)商数关系:
_cs_oin_s___t_a_n__(α≠kπ+
,k∈Z).
2
【即时应用】
(1)设sin(π-α)= 2 且α∈ ( ,0)，则tanα=______.
3
பைடு நூலகம்
2
(2)已知sinx=2cosx,则sin2x+1=______.
(3)原式=cos(72°-12°)=cos60°= 1.
2
答案：(1)①× ②× ③√ ④×
(2)1
(3) 1
2
同角三角函数关系式的应用 【方法点睛】同角三角函数关系式的应用及注意问题 (1)利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化， 利用 sin tan 可以实现角α的弦切互化.
cos
(2)应用sin2α+cos2α=1求sinα或cosα时，特别注意角α的 三角函数值的符号.符号规律：“一全正，二正弦，三正切， 四余弦.”
【例1】已知α是三角形的内角,且 sin cos 1 .
5
(1)求tanα的值;
(2)把
1
用tanα表示出来,并求其值.
cos2 sin2
【解题指南】(1)由同角三角函数平方关系公式及已知，列方程