03 第三节 全微分及其应用
《全微分及其应用》课件
全微分的充要条件以及性质
全微分的存在与函数的偏导数连续性相关， 具有一些重要性质。
求解全微分
1
拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法是一种常用的求解约束最优化问题的方法，也可以用于求解全微 分的相关问题。
2
牛顿-莱布尼茨公式
牛顿-莱布尼茨公式是微积分中的基本公式，用于计算全微分。
应用
工程问题中的应用
全微分在工程领域中有广泛的应用，如优化设 计、控制系统等。
统计学中的应用
全微分在统计学中有重要的应用，如数据拟合、 回归分析等。
总结
全微分在实际中的重要性
全微分是解决实际问题的数学工具，对于 许多ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ域的研究与应用具有重要意义。
进一步探究的方向
全微分是一个广阔而深奥的领域，可以有 更多的研究和应用方向值得深入探索。
《全微分及其应用》PPT 课件
全微分及其应用是一门重要的数学课程，本PPT课件将介绍全微分的定义、性 质、求解方法以及实际应用，帮助您深入了解这一概念。
引言
全微分是微积分中的核心概念之一，在许多应用领域中起着重要作用。本节将介绍全微分的定义 以及相关概念，并为后续内容打下基础。
性质
几何意义
全微分对应着曲面的切平面，具有重要的 几何意义。
《高等数学》课件 3第三节 全微分 ppt
则 lim xysin 1
( x ,y )( 0 , 0 )
x2 y2
lim 2 sin cos sin 1 0 f (0,0),
0
故函数在点(0,0)连续,
f (0,0) lim f (x,0) f (0,0) lim 0 0 0,
x
x 0
x
x x0
同理 f (0,0) 0. y
.
y
d y = f ( x0 )x
=tan x
在图上是哪条线段？
y dy (x)
当x很小时
f (x0 )
y d y
o
用切线增量近似曲线增量
M x
x0
即： f ( x) f ( x x) f ( x ) f ( x ) x
f (x)
N
(x)
y
dy
. .
x0 x
x
返回
作业 P76: 1 (1) (2), 2.
令 x x0 x, y y0 y, 则
f ( x, y) f ( x0, y0 ) f x ( x0, y0 )( x x0 ) f y ( x0, y0 )( y y0 ),
f ( x, y) f ( x0, y0 ) f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ),
z dz fx (x, y)x fy (x, y)y ,
《高等数学B》第八章 多元函数微分学 第三节 全微分及其应用
解 设函数 f ( x , y ) = x y .
取 Q
x = 1 , y = 2 , ∆ x = 0.04 , ∆ y = 0.02 . f (1 , 2) = 1 ,
y −1
f x ( x , y ) = yx
, f y ( x , y ) = x ln x ,
y
f x (1 , 2) = 2 ,
ρ
1 ∆x ⋅ ∆x = , 2 2 ( ∆x ) + ( ∆x ) 2
而趋于0 说明它不能随着 ρ → 0 而趋于 , 当 ρ → 0 时，
∆ z − [ f x ( 0 , 0 ) ⋅ ∆ x + f y ( 0 , 0 ) ⋅ ∆ y ] ≠ o( ρ ) ,
函数在点 (0 , 0)处不可微 . 说明： 说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分 存在。 存在。
其中 A , B 不依赖于 ∆ x , ∆ y 而仅与 , y有关 且 而仅与x 有关 有关,
ρ = ( ∆x ) + ( ∆y ) .
2 2
可微分， ∆ 则称函数 z = f(x , y)在点 (x , y)可微分，A∆ x + B∆ y 称 在点 可微分 ∆ 为函数 z = f(x , y)在点 (x , y)的全微分，记为 ，即 在点 的全微分，记为dz，
全增量的概念 如果函数 z = f(x , y)在点 P(x , y)的某邻域内有定义 , 在点 的某邻域内有定义 并设 P ′( x + ∆ x , y + ∆ y ) 为这邻域内的一点 , 则称这两 点的函数值之差
高数7-3(全微分及其应用)
x x (x)2 (x)2
1, 2
说明它不能随着 0而趋于0, 当 0时,
z [ fx (0,0) x f y (0,0) y] o( ),
因此, 函数在点(0,0)处不可微.
9
全微分
说明 多元函数的各偏导数存在并不能保证 全微分存在.
各偏导数存在只是全微分存在 的必要条件而不是充分条件. 这也是一元函数推广到多元函数出现的又 一个原则区别. 现再假定函数的各个偏导数连续, 则可证明 函数是可微分的.
[ f ( x x, y y) f ( x, y y)]
用拉氏定理 [ f ( x, y y) f ( x, y)],
11
全微分
f ( x x, y y) f ( x, y y)
fx ( x 1x, y y)x
(0 1 1)
fx ( x, y)x 1x
由f x ( x, y)在点( x, y)连续.
4
全微分
dz Ax By z Ax By o( )
注 全微分有类似一元函数微分的 两个性质:
1. dz是x与y 的线性函数; 2.z与dz之差是比 高阶无穷小.
可微与偏导数存在，连续有何关系呢？ 微分系数 A=? B=?
全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.
5
全微分
由下面的定理来回答：
第三节 全 微 分
第三节全微分及其应用
第三节 全微分及其应用
教学目的：理解全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件。 教学重点：全微分的计算
教学难点：全微分形式的不变性； 教学时数：2 教学内容： 一、全微分
1．全微分的定义
设(,)z f x y =在点(,)x y 的某邻域内有定义，如果(,)z f x y =在点(,)x y 的全增量
(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-可以表示成
z A x B y o ∆=∆+∆+，其中,A B 与,x y ∆∆都无关，
则称(,)z f x y =在点(,)x y 处可微，而全增量的线性主部A x B y ∆+∆称为函数(,)z f x y =在(,)x y 处的全微分，记作dz ，即dz Adx Bdy =+．
说明： 如果函数在区域D 内各点处都可微分, 那么称这函数在D 内可微分. 2．可微与连续关系
命题：如果(,)z f x y =在点00(,)x y 可微，则(,)z f x y =在点00(,)x y 处连续．
事实上这是因为, 如果(,)z f x y =在点00(,)x y 可微, 则 0000(,)(,)()z f x x y y f x y A x B y o ρ∆=+∆+∆-=∆+∆+, 于是 0lim 0
=∆→z ρ,
从而
000000(,)(0,0)
lim
(,)lim[(,)](,)x y f x x y y f x y z f x y ρ∆∆→→+∆+∆=+∆=.
因此函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处连续。 3．可微与偏导数的关系
第三节全微分
则有
V r 2h
所以
dV V r V h 2rhr r 2h
r
h
其中r=20，h=40，Δr=0.1，Δh=-0.5
由公式（1）得
V dV 2 3.14 20 400.1 3.14 202 ( 0.5 )
125.6( cm3 ) 即金属体受压后体积减少了125.6cm3。
由公式（1）还可得
z 2 xy 2 sec 2 ( 2 x y ) x
所以
z x 2 sec 2 ( 2 x y ) y
dz [ 2xy 2 sec2( 2x y )]dx [ x2 sec2( 2x y )]dy
例2 求函数z xln( x y )在点（2，-1）的全微分。
解：
z
x
x
x2 y 1
上式两边同除以Δx，再令Δx→0， 则有
lim f ( x x, y ) f ( x, y ) A lim (| x |) A
x0
x
x0 x
即说明
xz存在，且
z x
A
同理可证 z 存在，且 z B
y
y
故有
dz z x z y
x
y
注意：此命题不可逆。即若两偏导数都存在，
也不能保证函数 z f ( x, y )在点（x，y）可微。
x x0
y 0
03 第三节 全微分及其应用
第三节 全微分及其应用
内容分布图示
★ 偏增量与全增量 ★ 全微分的定义 ★ 可微的必要条件
★ 可微的充分条件
★ 例1 ★ 例2 ★ 例3
★ 例4 ★ 多元函数连续、可导、可微的关系. ★ 全微分在近似计算中的应用
★ 例5 ★ 绝对误差与相对误差 ★ 例6
★ 例7
★ 内容小结
★ 课堂练习
★ 习题8—3 ★ 返回
内容要点：
一、 全增量与偏增量
二、 全微分的定义
三、函数可微的必要条件与充分条件
定理1 (必要条件) 如果函数),(y x f z =在点),(y x 处可微分, 则该函数在点),(y x 的偏导数
y
z
x z ∂∂∂∂,
必存在, 且),(y x f z =在点),(y x 处的全微分 y y
z x x
z dz ∆∂∂+∆∂∂=. (3.4)
定理2 (充分条件) 如果函数),(y x f z =的偏导数y
z
x z ∂∂∂∂,
在点),(y x 处连续, 则函数在该点处可微分.
四、利用全微分进行近似计算
dz z ≈∆
y y x f x y x f y x f y y x x f y x ∆+∆+≈∆+∆+),(),(),(),( (3.7)
例题选讲：
例1（讲义例1）求函数62354y x xy z +=的全微分. 例2（讲义例2）计算函数xy
e z =在点(2, 1)处的全微分. 例3 求函数 yz
e
y x u ++=2sin
的全微分.
例4（讲义例3）求函数z
y
x
u =的偏导数和全微分.
例5（讲义例4）计算02.2)04.1(的近似值.
例6（讲义例5）测得矩形盒的边长为75cm 、60cm 以及40cm ，且可能的最大测量误差为0.2cm. 试用全微分估计利用这些测量值计算盒子体积时可能带来的最大误差.
高等数学 第八章 第3节 全微分及其应用(中央财经大学)
第三节 全微分及其应用
一、全微分
二、全微分在近似计算
中的应用
d d tan x
y
=α
沿此曲线计算的函数在点P 处的增量为偏增量
z x∆
多元函数的全增量
运用多元函数的全增量概念,将一元函数的微分概念推广到多元函数中.
应用的某一个
线性函数表示二元函数的全增量y x ∆∆ ,:
z ∆α
+∆+∆=−∆+∆+=∆y b x a y x f y y x x f z ),() ,(, ,无关的常数和是与y x b a ∆∆.
应该是一个无穷小量α
二元函数全微分的定义
全微分概念的极限形式
函数在区域上的可微性
如果函数)
f在区域Ω中的
(X
每一点均可微, 则称函数在区域Ω
上可微 .
可微
连续可导
连续：0lim 0
0=∆→∆→∆z y x 可微：
+∆=∆x a z +∆y b )o(2
2y x ∆+∆什
么?
可微
连续可导
可微
连续可导
可微
连续可导
逆命题?
可 微
连续可导连 续可 导
连续可导Ok
f
,0(),(≠y x
f
二、全微分在近似计算中的应用
例5 计算
的近似值. 解.
),(y x y x f =设函数.02.0,04.0,2,1=∆=∆==y x y x 取,
1)2,1(=f ∵,),(1−=y x yx y x f ,ln ),(x x y x f y
y =,
2)2,1(=x f ,0)2,1(=y f 由公式得02.0004.021)04.1(02.2×+×+≈.
08.1=
谢谢大家！
高数讲义第三节全微分
考虑二元函数 z = f ( x , y ) 关于 x 的偏增量 关于 y 的偏增量 全增量
一元函数 y = f (x) 的微分概念： 若函数的增量：
能表示为：
则称函数 y = f (x) 在点 x 处是可微的，并称 为函数的微分
当
存在时，
问题1：函数 z = f ( x , y ) 在什么条件下可微？ 问题2：在可微的条件下，A = ？，B = ？
定理1（必要条件）如果 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y )可微， 则函数在该点 ( x , y ) 处的两个一阶偏导数 必存在，且 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 处的微分可表示为
多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续
偏导数存在
函数可微 偏导数连续
全微分的计算 当函数可微时，全微分可表示为
所以全微分的计算实际上就是偏导数的计算问题。
例2：计算
解：
在点 ( 2 , 1 ) 处的全微分。
例3：计算函数 解：
的全微分
解
思考题：若 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 的某邻域内有定义
解答 若 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处可微，则必有 若 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处不可微，则表达式 可以存在， 但它不代表函数在 ( 0, 0 ) 处的微分。
第三节 全微分
第三节 全微分
㈠ 本课的基本要求
掌握全微分的定义，可微有关判定定理及其全微分的求法
㈡ 本课的重点、难点
全微分的计算方法为重点，可微与可导、连续的关系为难点。
㈢ 教学内容
一．全微分的定义
1．引入
由前，二元函数对某个自为题的偏导数表示另一个自变量固定时，因变量相对于该自变量的变化率。根据一元函数微分学中增量与微分的关系，可得
x y x f y x f y x x f x ∆'≈-∆+),(),(),(
y y x f y x f y y x f y ∆'≈-∆+),(),(),(
上面两式的左端分别叫做二元函数对x 和对y 的偏增量，而右端分别叫做二元函数对x 和对y 的偏微分。
在实际问题中，有时需要研究多元函数中各个自变量都取得增量时因变量所获得的增量，即所谓全增量的问题。下面以二元函数为例进行讨论。
设函数),(y x f z =在点),(y x P 的某邻域内有定义，),(y y x x P ∆+∆+'为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差为函数在点P 对应于自变量增量的全增量，记作z ∆，即 ),(),(y x f y y x x f z -∆+∆+=∆ ⑴
一般说来，计算全增量z ∆比较复杂。与一元函数的情形一样，我们也可以用自变量的增量的线性函数来近似代替函数的全增量z ∆，从而引出全微分的概念。
2．全微分的定义
定义 设有),(y x f z =，如果在点),(y x 处全增量),(),(y x f y y x x f z -∆+∆+=∆可以表示为关于y x ∆∆,线性函数与一个比22y x ∆+∆=ρ高阶的无穷小之和，即
new 第三节 全微分及其应用
( x , y ) ≠ (0, 0) ( x , y ) = (0, 0)
试证明f ( x , y )在点(0, 0)处偏导存在, 但不可微. f ( x ,0) f (0,0) 00 [证 ] f x (0,0) = lim = lim =0 x→0 x →0 x x0 同理 f y (0,0) = 0. 故f ( x , y )在点( 0,0)处偏导存在 . 令( x , y )沿路径 y = kx趋近于(0,0), 则有
f y (1, 2) = 0,
由公式得 (1.04) 2.02 ≈ 1 + 2 × 0.04 + 0 × 0.02 = 1.08.
3 2 4
= ( z 3dx + 3 xz 2dz )i (4 xyzdx + 2 x 2 zdy + 2 x 2 ydz ) j + ( 2 z dy + 8 yz dz )k
4 3
三、微分在近似计算中的应用
如同一元函数y = f ( x )的微分可以作为函数增长的近似 值 : y ≈ dy ,当多元函数y = f ( x1 , x2 ,, xn )可微分时,因 u = du + o( ρ ), 故全微分du也可作为全增量u的近似值 u = f ( x1 + x1 , x2 + x2 ,, xn + xn ) f ( x1 , x2 ,, xn ) ≈ du
高等数学第六章多元函数微分法及应用第三节 全微分
2020/2/13
19
例 4 试证函数
f
(
x,
y)
xy
sin
0,
1 , ( x, y) (0,0)
x2 y2
在
( x, y) (0,0)
点(0,0)连续且偏导数存在，但偏导数在点(0,0)
不连续，而 f 在点(0,0) 可微.
思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分
( x, y) (0,0)，( x, y) (0,0)讨论.
f y ( x, y)y 2y, 当y 0时， 2 0, z fx ( x, y)x 1x f y ( x, y)y 2y
1x 2y
1
2
0 0,
故函数z f ( x, y)在点( x, y)处可微.
x0
f (x,0) x
f (0,0)
00 lim x0 x
0,
同理 f y (0,0) 0.
2020/2/13
21
当( x, y) (0,0)时，
fx ( x, y) y sin
1 x2 y2
x2 y cos ( x2 y2 )3
1, x2 y2
当点P( x, y)沿直线y x 趋于(0,0) 时,
称函数z f ( x, y)在点( x, y)可微分，Ax By 称为函数z f ( x , y ) 在点( x, y)的全微分，记为 dz ，即 dz = Ax By .
多元函数微积分及其应用3
不连续 ,而f (x, y)在368在点线(手0册,0祝)你可 好运(6微 6688.8)
证明 xysin 1 x2 y2
xy 0 (x 0 ,y 0 ),
lim xysin 1 0f(0,0),
x0 y0
x2 y2
故函数(在 0,0)点 连续，
fx(0,0) lx i0m f(x,0 )x f(0,0)lxim 0 0x00,
368在线手册祝你好运(666888)
定2理 (充分)条 如件 果函 zf数 (x,y)的偏导 z,z在点 (x,y)连续，则该 (x,函 y)可 数微 在 . 分 点 xy
证明 z f ( x x , y y ) f ( x , y )
[ f ( x x , y y ) f ( x , y y )] [ f ( x ,y y ) f ( x ,y )],
x y
则
(x )2 (y)2 xx 1 ,
(x)2 (x)2 2
说明它不能 0而 随趋 着0， 于 当0时，
z [ f x ( 0 , 0 ) x f y ( 0 , 0 ) y ] o (),
故f(x,y)在(点 0,0)不可 . 微
说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在，
0
x2 y2 0 .
x2 y2 0
在点 (0,0)处有f(0 ,0 )f(0 ,0 ) 0.
《高等数学》第三节 全微分
处连续．
(3)规定自变量的增量等于自变量的微分，即
x
d
x,
y
d
y
,则全微分又可记为
d
z
z x
d
x
z y
d
y
注:若z = f (x, y)在(x, y)处,
z 、z x y
都存在,不能保证
z = f (x, y)在(x, y)处可微分.
例如：f
(x,
y)
xy , x2 y2
解 z 4 x 3 y 3 2
x
z 34
x
x1 y2
z 3 x 4 y 2 y z 12 y x1
y2
dz = 34dx + 12dy
极限, 连续, 偏导存在, 可微的关系:
极限
连续
++
偏导存在
连续
可微
二、全微分在近似计算中的应用
设函数 z f (x, y) 在点 (x, y)处可微，当 x, y 分别取得增量 x,y 时，
z z
义,且x 、y 存在,如果z f (x, y) 在点 (x, y) 处的全增量 z 可表示为
z f (x x, y y) f (x, y) z x z y o()
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第三节 全微分及其应用
分布图示
★ 偏增量与全增量 ★ 全微分的定义
★ 可微的必要条件 ★ 可微的充分条件
★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4
★ 多元函数连续、可导、可微的关系.
★ 全微分在近似计算中的应用
★ 例5 ★ 绝对误差与相对误差 ★ 例6
★ 例7 ★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题8—3
★ 返回
例题选讲
例1(E01) 求函数62354y x xy z +=的全微分.
解 因为
,3012,1045
2263y x xy y z
xy y x z
+=∂∂+=∂∂
.)3012()104(52263dy y x xy dx xy y dz +++=
例2 (E02) 计算函数xy e z =在点(2, 1)处的全微分.
解 ,xy ye x z =∂∂,xy xe y z
=∂∂
,2)1,2(e x z =∂∂,2
2)
1,2(e y z =∂∂
所求全微分
.222dy e dx e dz +=
例3 求函数 yz e y
x u ++=2sin 的全微分.
解 由
,1=∂∂x u
,2cos 21
yz ze y
y u
+=∂∂
,yz ye z u
=∂∂
故所求全微分
.)2
cos 21(dz ye dy ze y dx du yz yz +++=
例4 (E03) 求函数z
y x u =的偏导数和全微分.
解 z z y z y z x x y x y x u ⋅=⋅=∂∂-1 z z y z z y x y
x y z x y z x y u ⋅⋅=⋅⋅⋅=∂∂-ln ln 1 y x y x y y x x z
u z y z y z z ln ln ln ln ⋅⋅⋅=⋅⋅=∂∂ dz z u dy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂=.ln ln ln ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅+⋅+=ydz x y dy y x y z dx x y x z z z y z
例5 (E04) 计算02.2)04.1(的近似值.
解 设函数.),(y x y x f =.02.0,04.0,2,1=∆=∆==y x y x
,),(,1)2,1(1-==y x yx y x f f ,ln ),(x x y x f y y =,0)2,1(,2)2,1(==y x f f
由二元函数全微分近似计算公式得
02.0004.021)04.1(02.2⨯+⨯+≈.08.1=
例6 测得矩形盒的边长为75cm 、60cm 以及40cm ，且可能的最大测量误差为0.2cm. 试用全微分估计利用这些测量值计算盒子体积时可能带来的最大误差.
解 以x 、y 、z 为边长的矩形盒的体积为,xyz V = 所以dz z
V dy y V dx x V dV ∂∂+∂∂+∂∂=.xydz xzdy yzdx ++= 由于已知 ,2.0||≤∆x ,2.0||≤∆y ,2.0||≤∆z 为了求体积的最大误差,取,2.0===dz dy dx 再结合,40,60,75===z y x 得
dV V ≈∆2.060752.040752.04060⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=,1980=
即每边仅0.2cm 的误差可以导致体积的计算误差过到.19803cm
例7 利用摆摆动测定重力加速度g 的公式是.42
2T l
g π= 现测得单摆摆长l 与振动周期T 分别为cm l 1.0100±=、s T 004.02±=. 问由于测定l 与T 的误差而引起g 的绝对误差和相对误差各为多少?
解 如果把测量l 与T 时所产生的误差当作||l ∆与|,|T ∆则题设公式计算所产生的误差就是二元函数224T
l g π=的全增的绝对值.||g ∆由于||||T l ∆∆、都很小，因此可用dg 近似的
代替.g ∆这样就得到g 的误差为
g ∆dg ≈T l T g l g ∆∂∂+∆∂∂=T T g l l g δδ⋅∂∂+⋅∂∂≤,214322⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=T l T l T δδπ 其中l δ与T δ为l 与T 的绝对误差.
把004.0,1.0,2,100====T l T l δδ代入上式，得g 的绝对误差约为
⎪⎭
⎫
⎝⎛⨯⨯+=004.02100221.04322g πδ25.0π=)./cm 93.42s （≈ 从而g 的相对误差为 %.5.02/)1004(5.02
22g
=⨯=ππδg
课堂练习
1. 讨论函数⎪⎩
⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2222242y x y x y x y x z 在点(0, 0)处函数的全微分是否存在? 2. 设,),,(1z
y x z y x f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=求).1,1,1(df