03 第三节 全微分及其应用

第三节 全微分及其应用

分布图示

★ 偏增量与全增量 ★ 全微分的定义

★ 可微的必要条件 ★ 可微的充分条件

★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4

★ 多元函数连续、可导、可微的关系.

★ 全微分在近似计算中的应用

★ 例5 ★ 绝对误差与相对误差 ★ 例6

★ 例7 ★ 内容小结 ★ 课堂练习

★ 习题8—3

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例题选讲

例1(E01) 求函数62354y x xy z +=的全微分.

解 因为

,3012,1045

2263y x xy y z

xy y x z

+=∂∂+=∂∂

.)3012()104(52263dy y x xy dx xy y dz +++=

例2 (E02) 计算函数xy e z =在点(2, 1)处的全微分.

解 ,xy ye x z =∂∂,xy xe y z

=∂∂

,2)1,2(e x z =∂∂,2

2)

1,2(e y z =∂∂

所求全微分

.222dy e dx e dz +=

例3 求函数 yz e y

x u ++=2sin 的全微分.

解 由

,1=∂∂x u

,2cos 21

yz ze y

y u

+=∂∂

,yz ye z u

=∂∂

故所求全微分

.)2

cos 21(dz ye dy ze y dx du yz yz +++=

例4 (E03) 求函数z

y x u =的偏导数和全微分.

解 z z y z y z x x y x y x u ⋅=⋅=∂∂-1 z z y z z y x y

x y z x y z x y u ⋅⋅=⋅⋅⋅=∂∂-ln ln 1 y x y x y y x x z

u z y z y z z ln ln ln ln ⋅⋅⋅=⋅⋅=∂∂ dz z u dy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂=.ln ln ln ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⋅+⋅+=ydz x y dy y x y z dx x y x z z z y z

例5 (E04) 计算02.2)04.1(的近似值.

解 设函数.),(y x y x f =.02.0,04.0,2,1=∆=∆==y x y x

,),(,1)2,1(1-==y x yx y x f f ,ln ),(x x y x f y y =,0)2,1(,2)2,1(==y x f f

由二元函数全微分近似计算公式得

02.0004.021)04.1(02.2⨯+⨯+≈.08.1=

例6 测得矩形盒的边长为75cm 、60cm 以及40cm ，且可能的最大测量误差为0.2cm. 试用全微分估计利用这些测量值计算盒子体积时可能带来的最大误差.

解 以x 、y 、z 为边长的矩形盒的体积为,xyz V = 所以dz z

V dy y V dx x V dV ∂∂+∂∂+∂∂=.xydz xzdy yzdx ++= 由于已知 ,2.0||≤∆x ,2.0||≤∆y ,2.0||≤∆z 为了求体积的最大误差,取,2.0===dz dy dx 再结合,40,60,75===z y x 得

dV V ≈∆2.060752.040752.04060⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=,1980=

即每边仅0.2cm 的误差可以导致体积的计算误差过到.19803cm

例7 利用摆摆动测定重力加速度g 的公式是.42

2T l

g π= 现测得单摆摆长l 与振动周期T 分别为cm l 1.0100±=、s T 004.02±=. 问由于测定l 与T 的误差而引起g 的绝对误差和相对误差各为多少?

解 如果把测量l 与T 时所产生的误差当作||l ∆与|,|T ∆则题设公式计算所产生的误差就是二元函数224T

l g π=的全增的绝对值.||g ∆由于||||T l ∆∆、都很小，因此可用dg 近似的

代替.g ∆这样就得到g 的误差为

g ∆dg ≈T l T g l g ∆∂∂+∆∂∂=T T g l l g δδ⋅∂∂+⋅∂∂≤,214322⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=T l T l T δδπ 其中l δ与T δ为l 与T 的绝对误差.

把004.0,1.0,2,100====T l T l δδ代入上式，得g 的绝对误差约为

⎪⎭

⎫

⎝⎛⨯⨯+=004.02100221.04322g πδ25.0π=)./cm 93.42s （≈ 从而g 的相对误差为 %.5.02/)1004(5.02

22g

=⨯=ππδg

课堂练习

1. 讨论函数⎪⎩

⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2222242y x y x y x y x z 在点(0, 0)处函数的全微分是否存在? 2. 设,),,(1z

y x z y x f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=求).1,1,1(df