03 第三节 全微分及其应用
《高等数学B》第八章 多元函数微分学 第三节 全微分及其应用
∆ z = A∆ x + B∆ y + o( ρ ) 总成立 ,
上式仍成立， 当 ∆ y = 0 时，上式仍成立，此时 ρ = | ∆ x | ,
f ( x + ∆ x , y ) − f ( x , y ) = A ⋅ ∆ x + o(| ∆ x |) ,
所求全微分 dz = e 2dx + 2e 2dy .
y yz 例2 计算函数 u = x + sin + e 的全微分 . 2
y ∂u 1 ∂u ∂u yz yz 解 = ye , =1, = cos + ze , ∂y 2 2 ∂z ∂x
所求全微分
1 y yz yz du = dx + ( cos + ze )dy + ye dz . 2 2
例4 试证函数
1 , ( x , y ) ≠ ( 0 , 0) , xy sin 2 2 x +y f ( x , y) = 0, ( x , y ) = ( 0 , 0) .
在点 (0 , 0) 连续且偏导数存在，但偏导数在点 (0 , 0) , 0) 可微 . 不连续， (证明略) 证明略)
∂u ∂u ∂u du = dx + dy + dz . ∂x ∂y ∂z
例1 计算函数 z = e x y在点 ( 2 , 1) 处的全微分 . 解
∂z = ye xy , ∂x
∂z = e2 , ∂x ( 2 , 1 )
∂z = xe xy , ∂y
∂z = 2e 2 , ∂y ( 2 , 1 )
∆ z ≈ dz = f x ( x , y )∆ x + f y ( x , y )∆ y .
《全微分及其应用》课件
统计学中的应用
全微分在统计学中有重要的应用，如数据拟合、 回归分析等。
总结
全微分在实际中的重要性
全微分是解决实际问题的数学工具，对于 许多领域的研究与应用具有重要意义。
进一步探究的方向
全微分是一个广阔而深奥的领域，可以有 更多的研究和应用方向值得深入探索。
全微分的充要条件以及性质
全微分的存在与函数的偏导数连续性相关， 具有一些重要性质。
求解全微分
1
拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法是一种常用的求解约束最优化问题的方法，也可以用于求解全微 分的相关问题。
2
牛顿-莱布尼茨公式
牛顿-莱布尼茨公式是微积分中的基本公式，用于计算全微分。
应用
工程问题中的应用
全微分在工程领域中有广泛的应用，如优化设 计、控制系统等。
《全微分及其应用》PPT 课件
全微分及其应用是一门重要的数学课程，本PPT课件将介绍全微分的定义、性 质、求解方法以及实际应用，帮助您深入了解这一概念。
引言
全微分是微积分中的核心概念之一，在许多应用领域中起着重要作用。本节将介绍全微分的定义 以及相关概念，并为后续内容打下基础。
ห้องสมุดไป่ตู้质
几何意义
全微分对应着曲面的切平面，具有重要的 几何意义。
全微分及其应用
常见方法
求解无约束最优化问题的方法包括梯度下降法、 牛顿法、拟牛顿法等。
牛顿法
牛顿法是一种基于目标函数二阶导数的迭代算法 ，通过构造海森矩阵并求解线性方程组来逼近最 优解。
有约束最优化问题
01
有约束最优化问题
有约束最优化问题是在存在约束条件限制下，寻找满 足所有约束条件的参数的最优解。
02 分类 有约束最优化问题可以分为等式约束问题和不等式约 束问题。
极值点判断
全微分还可以用于判断函数的极值点。如果函数在某一点的导数等于0，则该点 可能是函数的极值点。
函数极值点的判断
极值点判断
全微分可以用于判断函数的极值点。如果函数在某一点的导数等于0，且该点的二阶导数大于0，则该点 是函数的极值点。
极值点类型判断
全微分还可以用于判断函数的极值点类型，如极大值点或极小值点。如果函数在某一点的二阶导数小于0， 则该点是极大值点；如果二阶导数大于0，则该点是极小值点。
全微分的几何意义
总结词
全微分在几何上表示函数图像在 某一点处的切线斜率。
详细描述
全微分可以理解为函数图像在某 一点处的切线的斜率，这个斜率 表示函数在该点处沿任一方向的 变化率。
全微分的性质
总结词
全微分具有线性性质、可加性、可乘性和链式法则等性质。
详细描述
全微分具有线性性质，即两个函数的和或差的微分等于它们各自微分的和或差；全微分具有可加性，即函数在两 点间的微分等于这两点间各自微分的和；全微分还具有可乘性和链式法则等性质，这些性质在求导和积分中有着 广泛的应用。
应用
全微分在几何上表示函数图像在某点处的切线斜率的变化 量。
全微分在优化、近似计算、泰勒级数展开等方面有广泛应 用。
第三节全微分及其应用
第三节 全微分及其应用教学目的：理解全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件。
教学重点：全微分的计算教学难点：全微分形式的不变性； 教学时数：2 教学内容： 一、全微分1．全微分的定义设(,)z f x y =在点(,)x y 的某邻域内有定义，如果(,)z f x y =在点(,)x y 的全增量(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-可以表示成z A x B y o ∆=∆+∆+，其中,A B 与,x y ∆∆都无关，则称(,)z f x y =在点(,)x y 处可微，而全增量的线性主部A x B y ∆+∆称为函数(,)z f x y =在(,)x y 处的全微分，记作dz ，即dz Adx Bdy =+．说明： 如果函数在区域D 内各点处都可微分, 那么称这函数在D 内可微分. 2．可微与连续关系命题：如果(,)z f x y =在点00(,)x y 可微，则(,)z f x y =在点00(,)x y 处连续．事实上这是因为, 如果(,)z f x y =在点00(,)x y 可微, 则 0000(,)(,)()z f x x y y f x y A x B y o ρ∆=+∆+∆-=∆+∆+, 于是 0lim 0=∆→z ρ,从而000000(,)(0,0)lim(,)lim[(,)](,)x y f x x y y f x y z f x y ρ∆∆→→+∆+∆=+∆=.因此函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处连续。
3．可微与偏导数的关系定理：如果(,)z f x y =在点00(,)x y 可微，则(,)z f x y =在点00(,)x y 处的两个偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y ''都存在，并且全微分表达式中的,A B 为0000(,),(,)x y A f x y B f x y ''==证： 设函数(,)z f x y =在点00(,)P x y 可微分. 于是,有()z A x B y o ρ∆=∆+∆+. 特别当0y ∆=时有0000 (,)(,)(||).f x x y f x y A x o x +∆-=∆+∆ 上式两边各除以x ∆, 再令0x ∆→而取极限, 就得 00000(,)(,)limx f x x y f x y A x∆→+∆-=∆,从而偏导数00(,)x f x y '存在, 且00(,)x A f x y '= 同理可证偏导数00(,)y f x y '存在, 且00(,)y B f x y '=. 所以000000(,)(,)(,)x y x y x y z z dzx y xy∂∂=∆+∆∂∂.说明： ⑴如果(,)z f x y =处处可微，则(,)(,)x y dz f x y dx f x y dy ''=+ ⑵ 偏导数x z ∂∂、yz ∂∂存在是可微分的必要条件, 但不是充分条件. 例如, 函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 00 ),(222222y x y x y x xy y x f 在点(0,0)处虽然有(0,0)0x f '=及(0,0)0y f '=, 但函数在(0,0)不可微分, 即[(0,0)(0,0)]x y z f x f y ''∆-∆+∆不是较ρ高阶的无穷小.这是因为当(,)x y ∆∆沿直线y x =趋于(0,0)时,ρ])0 ,0()0 ,0([y f x f z y x ∆⋅+∆⋅-∆021)()()()(2222≠=∆+∆∆⋅∆=∆+∆∆⋅∆=x x x x y x y x例1： 计算函数22z x y y =+的全微分. 解： 因为xy xz 2=∂∂, y x y z 22+=∂∂, 所以22(2)dz xydx x y dy =++.例2： 计算函数xyz e =在点(2, 1)处的全微分. 解： 因为xy ye xz =∂∂, xy xe y z =∂∂, 212e x z y x =∂∂==, 2122e y z y x =∂∂==, 所以 222dz e dx e dy =+. 例3： 计算函数yze y x u ++=2sin的全微分.解：因为1=∂∂xu , yz ze y y u +=∂∂2cos 21, yz ye z u =∂∂,所以 dz ye dy ze y dx du yz yz +++=)2cos 21(. 二、可微的充分条件定理 如果(,)z f x y =的两个偏导函数(,),(,)x y f x y f x y ''在点00(,)x y 连续，则必有(,)z f x y =在点00(,)x y 处可微．三、全微分在近似计算中的应用当二元函数(,)z f x y =在点(,)P x y 的两个偏导数(,),(,)x y f x y f x y ''连续, 并且||x ∆,||y ∆都较小时, 有近似等式(,)(,)x y z dz f x y x f x y y ''∆≈=∆+∆即 (,)(,)(,)(,)x y f x x y y f x y f x y x f x y y ''+∆+∆≈+∆+∆ 我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算.例4： 有一圆柱体, 受压后发生形变, 它的半径由20cm 增大到20. 05cm , 高度由100cu 减少到99cm . 求此圆柱体体积变化的近似值.解： 设圆柱体的半径、高和体积依次为r 、h 和V , 则有 2V r h π=.已知20,100r h ==,0.05,1r h ∆=∆=-. 根据近似公式, 有 22r h V dV V r V h rh r r h ππ''∆≈=∆+∆=∆+∆22201000.0520(1)200πππ=⨯⨯⊗+⨯⨯-=-(cm 3). 即此圆柱体在受压后体积约减少了200π cm 3. 例5： 计算 2.02(1.04)的近似值.解： 设函数(,)yf x y x =. 显然, 要计算的值就是函数在1.04, 2.02x y ==时的函数值(1.04,2.02)f .取1,2,0.04,0.02.x y x y ==∆=∆=由于(,)(,)(,)(,)x y f x x y y f x y f x y x f x y y ''+∆+∆≈+∆+∆1ln yy y x yxx x x y -=+∆+∆,所以2.022212(1.04)1210.041ln10.021.08-≈+⨯⨯+⨯⨯=。
全微分的应用及举例
全微分的应用及举例
全微分是微积分中的概念，它是指一个多元函数在某一点处的微小变化，可以用该点的偏导数以及自变量的微小变化来描述。
全微分可以应用于多个实际问题中，以下是一些常见的例子：
1.求出曲线的弧长
当我们想要求曲线的弧长时，可以使用全微分来计算。
我们可以将曲线表示为函数y=f(x)，并使用以下公式来计算弧长：
L = ∫sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx
其中dy/dx 是函数f(x) 的导数。
可以看出，这个公式就是对函数f(x) 的全微分进行积分得到的。
2.计算温度/压力的变化
当物体温度或压力发生微小变化时，可以使用全微分来计算其变化量。
例如，对于理想气体，温度和压力可以表示为函数T(V,P) 和P(V,T)，可以使用以下两个公式计算它们的微小变化量：
dT = (∂T/∂V) dV + (∂T/∂P) dP
dP = (∂P/∂V) dV + (∂P/∂T) dT
其中(∂T/∂V)、(∂T/∂P)、(∂P/∂V)、(∂P/∂T) 分别为函数T(V,P) 和P(V,T) 在某一点处的偏导数。
3.计算多元函数的极值
求多元函数的极值时，可以使用全微分的概念。
设多元函数为f(x,y)，则当(∂f/∂x)=0 和(∂f/∂y)=0 时，该函数在某一点处取得极值。
这个过程利用了全微分的定义和二元函数的最值定理。
03 第三节 全微分及其应用
第三节 全微分及其应用内容分布图示★ 偏增量与全增量 ★ 全微分的定义 ★ 可微的必要条件★ 可微的充分条件★ 例1 ★ 例2 ★ 例3★ 例4 ★ 多元函数连续、可导、可微的关系. ★ 全微分在近似计算中的应用★ 例5 ★ 绝对误差与相对误差 ★ 例6★ 例7★ 内容小结★ 课堂练习★ 习题8—3 ★ 返回内容要点：一、 全增量与偏增量二、 全微分的定义三、函数可微的必要条件与充分条件定理1 (必要条件) 如果函数),(y x f z =在点),(y x 处可微分, 则该函数在点),(y x 的偏导数yzx z ∂∂∂∂,必存在, 且),(y x f z =在点),(y x 处的全微分 y yz x xz dz ∆∂∂+∆∂∂=. (3.4)定理2 (充分条件) 如果函数),(y x f z =的偏导数yzx z ∂∂∂∂,在点),(y x 处连续, 则函数在该点处可微分.四、利用全微分进行近似计算dz z ≈∆y y x f x y x f y x f y y x x f y x ∆+∆+≈∆+∆+),(),(),(),( (3.7)例题选讲：例1（讲义例1）求函数62354y x xy z +=的全微分. 例2（讲义例2）计算函数xye z =在点(2, 1)处的全微分. 例3 求函数 yzey x u ++=2sin的全微分.例4（讲义例3）求函数zyxu =的偏导数和全微分.例5（讲义例4）计算02.2)04.1(的近似值.例6（讲义例5）测得矩形盒的边长为75cm 、60cm 以及40cm ，且可能的最大测量误差为0.2cm. 试用全微分估计利用这些测量值计算盒子体积时可能带来的最大误差.例7 利用摆摆动测定重力加速度g 的公式是.422Tl g π=现测得单摆摆长l 与振动周期T分别为cm l 1.0100±=、s T 004.02±=. 问由于测定l 与T 的误差而引起g 的绝对误差和相对误差各为多少?课堂练习1.讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2222242y x y x yx yx z 在点(0, 0)处函数的全微分是否存在?2.设,),,(1zy x z y x f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=求).1,1,1(df。
高等数学 第八章 第3节 全微分及其应用(中央财经大学)
第三节 全微分及其应用一、全微分二、全微分在近似计算中的应用d d tan xy=α沿此曲线计算的函数在点P 处的增量为偏增量z x∆多元函数的全增量运用多元函数的全增量概念,将一元函数的微分概念推广到多元函数中.应用的某一个线性函数表示二元函数的全增量y x ∆∆ ,:z ∆α+∆+∆=−∆+∆+=∆y b x a y x f y y x x f z ),() ,(, ,无关的常数和是与y x b a ∆∆.应该是一个无穷小量α二元函数全微分的定义全微分概念的极限形式函数在区域上的可微性如果函数)f在区域Ω中的(X每一点均可微, 则称函数在区域Ω上可微 .可微连续可导连续：0lim 00=∆→∆→∆z y x 可微：+∆=∆x a z +∆y b )o(22y x ∆+∆什么?可微连续可导可微连续可导可微连续可导逆命题?可 微连续可导连 续可 导连续可导Okf,0(),(≠y xf二、全微分在近似计算中的应用例5 计算的近似值. 解.),(y x y x f =设函数.02.0,04.0,2,1=∆=∆==y x y x 取,1)2,1(=f ∵,),(1−=y x yx y x f ,ln ),(x x y x f yy =,2)2,1(=x f ,0)2,1(=y f 由公式得02.0004.021)04.1(02.2×+×+≈.08.1=谢谢大家！。
全微分的定义与应用
全微分的定义与应用全微分是微积分中的一个重要概念，用于描述函数的微小变化与其自变量的微小变化之间的关系。
在本文中，我们将介绍全微分的定义以及一些常见的应用。
**一、全微分的定义**在微积分中，对于一个具有多个自变量的函数，其全微分可以被定义为函数在某一点处的线性逼近。
假设有一个函数f(x₁, x₂, ..., xn)，其中x₁, x₂, ..., xn为自变量。
在点(a₁, a₂, ..., an)处，函数f的全微分df可以表示为如下形式：df = ∂f/∂x₁ · dx₁ + ∂f/∂x₂ · dx₂ + ... + ∂f/∂xn · dxn其中∂f/∂x₁, ∂f/∂x₂, ..., ∂f/∂xn分别表示函数f对自变量x₁, x₂, ..., xn的偏导数，dx₁, dx₂, ..., dxn表示自变量的微小变化量。
**二、全微分的应用**全微分的应用非常广泛，下面将介绍其中的一些常见应用。
**1. 近似计算**全微分可以用于进行函数值的近似计算。
通过求解函数的全微分，可以将函数在某一点处的微小变化近似表示为自变量的微小变化量与偏导数的乘积之和。
这对于计算复杂函数在某一点处的近似值非常有用。
**2. 极值问题**全微分还可以用于求解函数的极值问题。
对于一个多元函数，函数的局部极值点处，其全微分等于0，即df=0。
通过求解这个方程组可以得到极值点的坐标。
**3. 函数的变化率**全微分还可以用于描述函数的变化率。
对于一个函数f(x₁, x₂, ..., xn)，其全微分可以看作一个量对另一个量的变化率。
这对于分析函数在不同自变量取值情况下的变化规律非常有帮助。
**4. 微分方程的求解**全微分在微分方程的求解中也起到重要作用。
通过对微分方程进行全微分，可以将微分方程转化为更容易求解的形式，从而得到方程的解析解。
**结语**全微分作为微积分中的一个重要概念，在数学和科学研究中有着广泛的应用。
全微分及其应用
当两边长分别取得增量 x 和 y 时的改变量
S (xx)( yy)x y yx x y x y
• 第一部分 y x x y 是 x , y 的线性函数 y
xy x y
• 第二部分 x y
lim
xy
y
S xy
'
x
x
(x)
'
y
y
x
dz dy
( y)
'
x
x
( y)
'
y
y
y
所以 d z f x ( x, y ) d x f y ( x, y )d y
叠加原理：二元函数的全微分等于它的两个偏 微分之和。
叠加原理：二元函数的全微分等于它的两个偏 微分之和。
叠加原理也适用于二元以上的多元函数的情形。
二元函数
对x 和对y 的偏增量
二元函数
对x 和对y 的偏微分
一元函数 y = f (x) 的微分概念： 若函数的增量： y f (x x) f (x) 能表示为： y A x o ( x)
则称函数 y = f (x) 在点 x 处是可微的，并称
d y A x 为函数的微分
一元函数在某点的导数存在
微分存在．
多元函数的各偏导数存在
全微分存在．
xy
例如，
f
(
x,
y
)
x2 y2
0
x2 y2 0 .
x2 y2 0
在点(0,0)处有 f x (0,0) f y (0,0) 0
xy
new 第三节 全微分及其应用
全微分的概念 函数可微的充分条件和必要条件 全微分在近似计算中的应用
一 、 全微分的概念
对一元函数y = f ( x ), 我们曾研究y关于x的微分, 若 y = Ax + o( x ) , 其中A与x无关, 则y = f ( x )关于x 可微 , dy = Ax称为f ( x )在x处的微分, 且有A = f ′( x ), 即 dy = f ′( x )dx .
(3.4)
同样可以证明
(3.5)
二、 函数可微的充分条件和 必要条件
由(3.1)看到，若f ( x，y )在( x，y )点可微，则 lim u = lim [ f ( x + x , y + y ) - f ( x , y )]
x →0 y→0 x → 0 y → 0
= lim [ Ax + By + o( ρ )] = 0
例11 计算(1.04)2.02的近似值。
解
设函数 f ( x , y ) = x y . 取 x = 1, y = 2, x = 0.04, y = 0.02.
∵ f (1, 2) = 1,
f x ( x , y ) = yx y 1 ,
f x (1, 2) = 2,
f y ( x , y ) = x y ln x ,
∴ du = e x + z [sin( x + y ) + cos( x + y )]dx + e x + z cos( x + y )dy + e x + z sin( x + y )dz
例10 设A = xz3 i 2x2 yz j + 2 yz4 k,求d A.
《高等数学》第三节 全微分
当 0 时,即 x 0 ,且
y 0
xy 是比 时，
高阶的无穷小. 则 z yx xy
z z z z ,y 其中 x ，从而有 z x y x y x y
第三节
全微分
一、全微分的定义 二、全微分在近似计算中的应用
一、全微分的定义
1、引例 一矩形金属片,长为 x ,宽为 y ,则面积 z xy 当边长 x, y 分别有增量 x, y 时,面积的增量为
z ( x x)( y y) xy yx xy xy
dz = 34dx + 12dy
极限, 连续, 偏导存在, 可微的关系:
极限
连续
+
偏导存在
连续
+
可微
二、全微分在近似计算中的应用 设函数
z f ( x, y) 在点 ( x, y )处可微，当 x, y
分别取得增量 x, y 时，
z f ( x x, y y) f ( x, y) dz f x( x, y)x f y ( x, y)y
yx y 1 d x x y ln x d y
注：关于二元函数全微分的定义及可微分的充 分条件可以完全类似地推广到三元和三元以上 的多元函数. y yz 例２：计算 u x sin 2 e 的全微分． 解
u 1, x u ye yz z
y u 1 yz cos ze y 2 2
15.47
y 1 dz dx ( cos ze yz ) dy ye yz dz 2 2
例３: 求 z = x4 y3 +2x 在点 (1, 2)的全微分.
广金微积分第3节全微分及其应用.概要
x 0 y 0
lim z lim ( Ax By ( )) 0.
x 0 y 0
所以 z = f (x, y) 在点(x0, y0) 处连续.
A.
dz AΔx BΔy,
且B f y ( x0 , y0 ). 同理可证f y ( x0 , y0 )存在，
且A f x ( x0 , y0 ) 这就证明了f x ( x0 , y0 )存在，
这样, 二元函数 z = f (x, y) 在点(x0, y0) 处的全微分 可以表达为 dz f x ( x0 , y0 )Δx f y ( x0 , y0 )Δy , 若规定 Δx
12:23:35 7
一、全微分的定义
dz AΔx BΔy, Δz AΔx BΔy o( ρ ),
问题 (1)函数在什么条件下可微？
(2)全微分表达式中 的A、B 如何取值？
12:23:35
8
二、函数可微的必要与充分条件
定理（可微的必要条件）若函数 z= f (x, y)在点(x0, y0) (x0, y0) 处可微, 则f (x, y)在 该点的两个偏导数存在, 且
12:23:35 2
8.3 全微分
一、全微分的定义 二、全微分在近似计算中的应用
返回
12:23:35
3
目的要求
1.理解多元函数全微分的概念 2.熟练掌握求全微分的方法 3.了解全微分在近似计算中的应用
重点:
1.全微分的计算 2.连续、可导与可微之间的关系
12:23:35 4
第三节 全微分及其应用
两边同除以 Δx , 再令 Δx 0 取极限，得 AΔx o(| Δx |) f ( x0 Δx, y0 ) f ( x0 , y0 ) lim lim f x ( x0 , y0 ) Δ Δx 0 Δx x 0 Δx
全微分的应用及举例
全微分的应用及举例全微分是微分学中的一个重要概念，它在多个领域中都有广泛的应用。
本文将从不同角度出发，列举全微分的应用及举例，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
1. 物理学中的应用在物理学中，全微分可以用来描述物体在空间中的运动。
例如，在描述一个质点在平面上的运动时，我们可以使用全微分来表示质点在每个时刻的位置和速度。
全微分可以帮助我们计算质点的位移、速度和加速度等物理量，从而更好地理解和预测质点的运动轨迹。
2. 经济学中的应用在经济学中，全微分可以用来描述经济变量之间的关系。
例如，在研究供求关系时，我们可以使用全微分来表示需求和供应的变化情况。
全微分可以帮助我们计算价格和数量的变动对需求和供应的影响程度，从而更好地理解和预测市场的运行情况。
3. 生物学中的应用在生物学中，全微分可以用来描述生物体内各种化学反应的变化过程。
例如，在研究酶催化反应时，我们可以使用全微分来表示底物浓度、酶浓度和反应速率之间的关系。
全微分可以帮助我们计算底物浓度和酶浓度对反应速率的影响程度，从而更好地理解和控制生物体内的化学反应。
4. 地理学中的应用在地理学中，全微分可以用来描述地球表面各个点的地形特征。
例如，在研究地形起伏时，我们可以使用全微分来表示地球表面高程和坡度之间的关系。
全微分可以帮助我们计算高程和坡度的变化对地形起伏的影响程度，从而更好地理解和分析地球表面的地貌特征。
5. 工程学中的应用在工程学中，全微分可以用来描述工程系统的性能和优化问题。
例如，在研究机械系统的运动学和动力学时，我们可以使用全微分来表示机械系统的位移、速度和加速度之间的关系。
全微分可以帮助我们计算位移、速度和加速度的变化对机械系统的性能和优化问题的影响程度，从而更好地设计和改进工程系统。
6. 计算机科学中的应用在计算机科学中，全微分可以用来描述算法和数据结构的复杂度。
例如，在研究算法的时间复杂度时，我们可以使用全微分来表示算法的执行时间和输入规模之间的关系。
9-3全微分及其应用 共11页
所 以 函 数 在 点 ( 0 ,0 ) 处 不 可 微 .
(2) 可微的充分条件
定理 若函 zf(x 数 ,y)在(x 点 ,y)处有连 偏导z数 ， z， 则 zf(x,y)在(x 点 ,y)处可 x y 且dzzxzy. x y 习惯上，记全微分为 dzzdxzdy. x y 以上有关二元函数全微分的讨论可推广到三元
（3）当 (x)2(y)2 0时，
zfx (x 0,y0) xfy (x 0,y0) y是无穷
（4）当 (x)2(y)2 0时，
z f x( x0 , y0 )x f y( x0 , y0 )y ÇÊ ÞÎ îÇ ¡Ð ¿Á . (x)2 (y)2
当 点 P ( x , y)沿 着 直 线 yx趋 近 于 (0 ,0 )时 ，
有 lxi m 0(x )2x ( yy)2 lx i0 m (x )2 x ( xx)2
1 ， z [ f x ( 0 , 0 ) x f y ( 0 , 0 ) y ] o () ，
如果 zf( 函 x ,y)在 数 (x ,点 y)处可微
即 z d 有 o ( z ) A x B y o () ，
那么limz li[m A xB y o () ]0，
x0
x 0
y0
y 0
从而 zf( 函 x ,y)在 数 (x ,点 y)处连续
第三节 全微分及其应用
一、全微分的概念
首先复习一元函数微分的有关内容： 若 y f ( 函 x ) 在 x 的 数 点 y f 增 ( x x ) f ( x 量 )
可以表示为 y A x o ( x ) ， 则称 y函 f(x)在 数 x点 处可微， 并A 称 x为函 yf(x 数 )在点x处的微, 记 分作 dy，
全微分及其运用范文
全微分及其运用范文全微分是微积分中一个重要的概念，它是描述多元函数在其中一点附近发生微小变化时的变化量的近似值。
全微分在物理学、经济学、工程学等领域具有重要的应用价值，能够帮助我们更好地理解和描述自然界的现象。
全微分的定义为：对于具有连续偏导数的函数f(x, y)，在点（x0, y0）处，可以将函数的增量df表示为f(x0+dx, y0+dy)与f(x0, y0)之间的线性近似，即：df = ∂f/∂x·dx + ∂f/∂y·dy其中，∂f/∂x表示函数f对变量x的偏导数，∂f/∂y表示函数f对变量y的偏导数。
dx和dy分别表示自变量x和y的微小变化量。
全微分的应用非常广泛，下面列举几个常见的应用示例。
1.边际效应在经济学中，边际效应是指其中一因素增加或减少一单位时所引起的变化。
全微分可以用来描述经济学中的边际效应。
对于一种商品的需求函数，可以通过计算其价格和需求量之间的关系来求得边际效应，即：边际效应=∂Q/∂P·dP其中，∂Q/∂P表示需求函数对价格的偏导数，dP表示价格的微小变化量。
2.物理学中的位移、速度和加速度在物理学中，我们可以用全微分来描述物体的位移、速度和加速度之间的关系。
考虑一个物体在直线上做匀速直线运动，它的速度恒定为v，物体在时间t1到t2之间的位移可以用全微分表示为：ds = v·dt其中，ds表示物体在t1到t2之间的位移，dt表示时间的微小变化量，v表示物体的速度。
3.工程学中的误差和灵敏度分析在工程学中，全微分可以用来分析系统中的误差和灵敏度。
考虑一个工程系统，它的输入变量为x1, x2, ..., xn，输出变量为y。
全微分可以用来计算输入变量的微小变化量对输出变量的影响，即：dy = ∂y/∂x1dx1 + ∂y/∂x2dx2 + ... + ∂y/∂xndx其中，∂y/∂xi表示输出变量y对输入变量xi的偏导数，dxi表示输入变量xi的微小变化量。
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第三节 全微分及其应用
分布图示
★ 偏增量与全增量 ★ 全微分的定义
★ 可微的必要条件 ★ 可微的充分条件
★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4
★ 多元函数连续、可导、可微的关系.
★ 全微分在近似计算中的应用
★ 例5 ★ 绝对误差与相对误差 ★ 例6
★ 例7 ★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题8—3
★ 返回
例题选讲
例1(E01) 求函数62354y x xy z +=的全微分.
解 因为
,3012,1045
2263y x xy y z
xy y x z
+=∂∂+=∂∂
.)3012()104(52263dy y x xy dx xy y dz +++=
例2 (E02) 计算函数xy e z =在点(2, 1)处的全微分.
解 ,xy ye x z =∂∂,xy xe y z
=∂∂
,2)1,2(e x z =∂∂,2
2)
1,2(e y z =∂∂
所求全微分
.222dy e dx e dz +=
例3 求函数 yz e y
x u ++=2sin 的全微分.
解 由
,1=∂∂x u
,2cos 21
yz ze y
y u
+=∂∂
,yz ye z u
=∂∂
故所求全微分
.)2
cos 21(dz ye dy ze y dx du yz yz +++=
例4 (E03) 求函数z
y x u =的偏导数和全微分.
解 z z y z y z x x y x y x u ⋅=⋅=∂∂-1 z z y z z y x y
x y z x y z x y u ⋅⋅=⋅⋅⋅=∂∂-ln ln 1 y x y x y y x x z
u z y z y z z ln ln ln ln ⋅⋅⋅=⋅⋅=∂∂ dz z u dy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂=.ln ln ln ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅+⋅+=ydz x y dy y x y z dx x y x z z z y z
例5 (E04) 计算02.2)04.1(的近似值.
解 设函数.),(y x y x f =.02.0,04.0,2,1=∆=∆==y x y x
,),(,1)2,1(1-==y x yx y x f f ,ln ),(x x y x f y y =,0)2,1(,2)2,1(==y x f f
由二元函数全微分近似计算公式得
02.0004.021)04.1(02.2⨯+⨯+≈.08.1=
例6 测得矩形盒的边长为75cm 、60cm 以及40cm ，且可能的最大测量误差为0.2cm. 试用全微分估计利用这些测量值计算盒子体积时可能带来的最大误差.
解 以x 、y 、z 为边长的矩形盒的体积为,xyz V = 所以dz z
V dy y V dx x V dV ∂∂+∂∂+∂∂=.xydz xzdy yzdx ++= 由于已知 ,2.0||≤∆x ,2.0||≤∆y ,2.0||≤∆z 为了求体积的最大误差,取,2.0===dz dy dx 再结合,40,60,75===z y x 得
dV V ≈∆2.060752.040752.04060⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=,1980=
即每边仅0.2cm 的误差可以导致体积的计算误差过到.19803cm
例7 利用摆摆动测定重力加速度g 的公式是.42
2T l
g π= 现测得单摆摆长l 与振动周期T 分别为cm l 1.0100±=、s T 004.02±=. 问由于测定l 与T 的误差而引起g 的绝对误差和相对误差各为多少?
解 如果把测量l 与T 时所产生的误差当作||l ∆与|,|T ∆则题设公式计算所产生的误差就是二元函数224T
l g π=的全增的绝对值.||g ∆由于||||T l ∆∆、都很小，因此可用dg 近似的
代替.g ∆这样就得到g 的误差为
g ∆dg ≈T l T g l g ∆∂∂+∆∂∂=T T g l l g δδ⋅∂∂+⋅∂∂≤,214322⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=T l T l T δδπ 其中l δ与T δ为l 与T 的绝对误差.
把004.0,1.0,2,100====T l T l δδ代入上式，得g 的绝对误差约为
⎪⎭
⎫
⎝⎛⨯⨯+=004.02100221.04322g πδ25.0π=)./cm 93.42s （≈ 从而g 的相对误差为 %.5.02/)1004(5.02
22g
=⨯=ππδg
课堂练习
1. 讨论函数⎪⎩
⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2222242y x y x y x y x z 在点(0, 0)处函数的全微分是否存在? 2. 设,),,(1z
y x z y x f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=求).1,1,1(df。