2019—2020学年度最新人教版八年级数学上册《三角形全等的判定》例题精讲及解析.doc

八年级数学（人教版上）同步练习第十一章

第二节三角形全等的判定

一. 教学内容：

三角形全等的判定

1. 三角形全等的判定；

2. 直角三角形全等的判定；

3. 学习掌握综合证明的格式、步骤。

二. 知识要点：

1. 三角形全等的判定

A

B C

D

E F

（1）三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。表示方法：如图所示，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）。

（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。表示方法：如图所示，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA）。

（3）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”。表示方法：如图所示，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）。

（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。表示方法：如图所示，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）。

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。表示方法：如图所示，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∵AB＝DE，BC＝EF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）。

A B C

D E F

注意：①三角形全等的判定方法中有一个必要条件是：有一组对应边相等。②两边及其中一边的对角对应相等的情况，可以画图实验，如下图，在△ABC和△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，显然它们不全等。③三个角对应相等的两个三角形不一定全等，如两个大小一样的等边三角形。

A

B

C

D

2. 全等三角形的基本图形

在平面几何中，有很多问题都可以借助于三角形全等来解决，比如线段的相等、角的相等、平行、垂直关系等。在运用三角形全等这一工具时，主要是找两个三角形，并找出它们满足全等的条件来；解题时经常需要通过观察图形的运动状况，把两个全等三角形中的一个看成是另一个的平行移动、翻折、旋转等方法得到的，这需要对常见的全等三角形做到心中有数，如下图列举了几个常见的基本图形。掌握这些全等形的对应边和对应角的位置关系，对我们在复杂的几何问题中迅速、准确地确定全等三角形是至关重要的。

三. 重点难点：

1. 重点：能够快速准确地找出适合题意的三角形全等的判定方法。理解证明的基本过程，掌握综合法证明的格式。

2. 难点：分析证明命题的途径，这一步学习起来比较困难，需要在学习中逐步培养学生的分析能力。

【考点分析】

三角形全等的判定是一个比较重要的知识点，在考题中一般是选择题和填空题，也有证明题和计算题，甚至是探究题。

【典型例题】

例1. 如图所示，AB ＝CD ，AC ＝DB 。求证：△ABC ≌△DCB 。

A

B C D

分析：由已知可得AB ＝CD ，AC ＝DB ，又因为BC 是两个三角形的公共边，所以根据SSS 可得出△ABC ≌△DCB 。

证明：在△ABC 和△DCB 中，

∵，

∴△ABC ≌△DCB （SSS ）

评析：证明格式：①点明要证明的两个三角形；②列举两个三角形全等的条件（注意写在前面的三角形，条件也放在前面），用大括号括起来；③条件按照“SSS ”顺序排序；④得出结论，并把判断的依据注在后面。

例2. 已知：如图所示，AB ＝DE ，∠B ＝∠DEF ，BE ＝CF 。求证：AC ∥DF 。

A B C D

E F

分析：欲证AC ∥DF ，可通过证明∠ACB ＝∠F ，由平行线的判定定理即可得证。而∠ACB 与∠F 分别是△ABC 和△DEF 的内角，所以应先证明△ABC ≌△DEF 。由BE ＝CF 易得BC ＝EF ，再结合已知条件AB ＝DE ，

∠B ＝∠DEF 即可达到目的。

证明：∵BE ＝CF ，

∴BE ＋EC ＝CF ＋EC ，即BC ＝EF 。

在△ABC 和△DEF 中，，

∴△ABC ≌△DEF （SAS ）。

∴∠ACB ＝∠F 。

∴AC ∥DF 。

评析：通过证明两个三角形全等可以提供角相等、线段相等，进而解决其它问题。这里大括号中的条件按照“SAS ”顺序排列。

例3. 如图所示，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ⊥CD 于D ，BF ⊥CD 于F ，AB 交CD 于E ，求证：AD ＝BF －DF 。

A

B C D E F

分析：要证AD ＝BF －DF ，观察图形可得CF ＝CD －DF ，只需证明CF ＝AD ，CD ＝BF 即可，也就是要证明△CFB ≌△ADC 。由已知BC ＝AC ，∠CFB ＝∠ADC ＝90°，只要再证明有一个锐角对应相等即可，由BF ⊥CD ，∠ACB ＝90°，易证得∠CBF ＝∠ACD ，问题便得到证明。

证明：∵∠ACB ＝90°，BF ⊥CD

∴∠ACD ＋∠BCD ＝90°，∠CBF ＋∠BCD ＝90°

∴∠CBF ＝∠ACD （同角的余角相等）

又∵AD ⊥CD ，∴∠CFB ＝∠ADC ＝90°

在△CFB 和△ADC 中，

∴△CFB≌△ADC（AAS）

∴CF＝AD，BF＝CD（全等三角形的对应边相等）

又∵CF＝CD－DF

∴AD＝BF－DF

评析：由条件AC＝BC和垂直关系可得，AC、BC为两个直角三角形的斜边，还需要一对角相等即可用AAS证三角形全等；由条件可用余角性质转换角度证明角相等。

例4. 如图所示，AB∥CD，AF∥DE，BE＝CF，求证：AB＝CD。

A B

E F

C D

分析：要证明AB＝CD，由于AB、CD分别是△ABF和△DCE的边，可尝试证明△ABF≌△DCE，由已知易证：∠B＝∠C，∠AFB＝∠DEC，下面只需证明有一边对应相等即可。事实上，由BE＝CF可证得BF ＝CE，由ASA即可证明两三角形全等。

证明：∵AB∥CD，

∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等）

又∵AF∥DE，∴∠AFC＝∠DEB（同上）

∴∠AFB＝∠CED（等角的补角相等）

又∵BE＝CF，∴BE－EF＝CF－EF，即BF＝CE

在△ABF和△DCE中，

∴△ABF≌△DCE（ASA）

∴AB＝CD（全等三角形对应边相等）

评析：由平行条件转化角，由线段和差关系转化线段，为证三角形全等做准备。解题思路：由已知条件，探寻三角形全等的条件，证得全等，再利用全等的性质解决相关问题。