新版精编2020高考数学《立体几何初步》专题考核题(含参考答案)

2019年高中数学单元测试卷
立体几何初步
学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________
一、选择题
1．平面α截球O 的球面所得圆的半径为1,球心O 到平面α的距离为2,则此球的体积为 （ ）
A ．6π
B ．43π
C ．46π
D ．63π（2012课标
文）
2．正四棱锥S ABCD -中，侧棱与底面所成的角为α，侧面与底面所成的角为β，侧面等腰三角形的底角为γ，相邻两侧面所成的二面角为θ，则αβγθ、、、的大小关系是（ ）
A ．αβγθ<<<
B ．αβθγ<<<
C ．θαγβ<<<
D ．αγβθ<<< 二、填空题
3．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β.给出下列命题： ①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ；③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β. 其中正确的命题是 ▲ . (填序号)
4． 已知正三棱锥P －ABC ，点P ，A ，B ，C PA ，PB ，PC 两两相互垂直，则三棱锥P －ABC 的体积为 ．
5．已知,,αβγ是三个互不重合的平面， l 是一条直线，给出下列四个命题： ①若,l αββ⊥⊥，则//l α ②若,//l l αβ⊥，则αβ⊥
③若l 上有两个点到α的距离相等，则//l α； ④若,//,αβαγ⊥则γβ⊥ 其中正确命题的序号是
6． a ，b ，c 是空间中互不重合的三条直线，下面给出五个命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ；
③若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交； ④若a ⊂平面α，b ⊂平面β，则a ，b 一定是异面直线； 上述命题中正确的是________(只填序号)．
7．在矩形ABCD 中，AB = 4，BC = 3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B - AC - D ，则
折后BD = ．
8．一块边长为10 cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P 为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器．当x ＝6 cm 时，该容器的容积为________cm 3．
9．以下四个命题是真命题的是 ．（填序号）
①若两条直线,a b 为相交直线，则经过直线,a b 外一点有且只有一个平面与直线,a b 平行； ②若两条直线,a b 为异面直线，则经过直线,a b 外一点有且只有一个平面与直线,a b 平行；
③若两个平面,αβ相交，则经过平面,αβ外一点有且只有一条直线与平面,αβ平行；
④若两个平面,αβ平行，则经过平面,αβ外一点有且只有一条直线与平面,αβ垂直．
10．从一个底面半径和高都是R 的圆柱中，挖去一个以圆柱的上底为底，下底面的中心为顶点的圆锥，得到一个如图（1）所示的几何体，那么这个几何体的体积是____3
3
2R π____.
11．已知,αβ是两个不同平面，,m n 是两条不同直线。

给出下列命题： ①若m ∥,,n m n αα⊥⊥则 ②若m ∥,,n m αα
β=则∥n
③若,,m m αβα⊥⊥则∥β ④若,,m n m n α⊥⊥则∥α 其中不正确的是 ．（填写你认为恰当的序号）
12．如图，已知球O 点面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA=AB=BC=3，则球O 的体积等于___________.
13．将圆锥的
侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是
图
A
B
C
D
14． 正方体的八个顶点中有四个恰好为正四面体的顶点，则正方体的全面积与正四面体的全面积之比为 。

15．已知n m ,是两条不同的直线，βα,为两个不同的平面，有下列四个命题： ①若βα⊥⊥n m ,，m ⊥n ，则βα⊥；②若n m n m ⊥,//,//βα，则βα//； ③若n m n m ⊥⊥,//,βα，则βα//；④若βαβα//,//,n m ⊥，则n m ⊥． 其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号）_______________
16．如图，空间四边形ABCD 中，6,8AC BD ==，点,E F 分别为,AB CD 的中点，且
5EF =，试求AC 与BD 所成的角。

三、解答题
17． （本小题16分）如图，四边形PDCE 为矩形，四边形ABCD 为梯形，平面
PDCE ⊥平面ABCD , 90=∠=∠ADC BAD ,1
2
AB AD CD a ==
=
，PD =.
(1)若M 为PA 中点，求证：//AC 平面MDE ； (2)求平面PAD 与PBC 所成锐二面角的大小.
A
B
C
E
P
D
M
18
．
如
图
,
四
棱
锥
P ABCD
-中,,AB AC AB PA ⊥⊥,,2AB CD AB CD =∥,,,,,E F G M N 分别为
,,,,PB AB BC PD PC 的中点
(Ⅰ)求证:CE PAD ∥平面;(Ⅱ)求证:EFG EMN ⊥平面平面 （2013年高考山东卷（文））
19．如图，三棱锥A BCD -，3,4,5,BC BD CD ===AD BC ⊥，,E F 分别是棱
,AB CD 的中点，连结CE ,
G 为CE 上一点。

（1）//GF 平面,ABD 求CG
GE
的值 （2）求证：DE BC ⊥
D
B
E
A
G
C
F
A
第19（B ）题图
B
C
D D 1
C 1 B 1
A 1
20． 如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，
11A B A D =，AB AD =.
求证：（1）1AA BD ⊥；（2）11//BB DD .
21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ， AC BD ⊥于
O 。

(Ⅰ)证明：平面PBD ⊥平面PAC ；
(Ⅱ)设E 为线段PC 上一点，若AC BE ⊥，求证：//PA 平面BED
22．如图，在三棱锥ABC S -中，平面EFGH 分别与BC ，CA ，AS ，SB 交于点E ，
F ，
G ，
H ，且⊥SA 平面EFGH ，AB SA ⊥，.FG EF ⊥
求证：（1）//AB 平面EFGH ； （2）EF GH //； （3）⊥GH 平面SAC .
23．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点， F 为A 1A 的中点，
求证：(1)E 、C 、D 1、F 四点共面； (2)
CE
、D 1F 、DA 三线共点．
证明：(1)如图所示，分别连结EF 、A 1B 、D 1C . ∵E 、F 分别是AB 和AA 1的中点，
∴EF 綊1
2
A 1
B .
又A 1D 1綊B 1C 1綊BC ，
∴四边形A 1D 1CB 为平行四边形． ∴A 1B ∥CD 1，从而EF ∥CD 1. ∴ EF 与CD 1确定一个平面． ∴E 、F 、D 1、C 四点共面．
(2)∵EF 綊1
2CD 1，∴直线D 1F 和CE 必相交，
设D 1F ∩CE ＝P .∵P ∈D 1F 且D 1F ⊂平面AA 1D 1D ， ∴P ∈平面AA 1D 1D .
又P ∈EC 且CE ⊂平面ABCD ， ∴P ∈平面ABCD ，
即P 是平面ABCD 与平面AA 1D 1D 的公共点， 而平面ABCD ∩平面AA 1D 1D ＝AD ， ∴P ∈AD .
∴CE 、D 1F 、DA 三线共点．
24． 如图，斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，A 1C 1⊥BC 1，AB ⊥AC ，AB=3，AC=2，侧棱与底面成60°角。

（1）求证：AC ⊥面ABC 1；
（2）求证：C 1点在平面ABC 上的射影H 在直线AB 上； （3）求此三棱柱体积的最小值。

25．已知：在棱长都相等的三棱柱111ABC A B C 中，顶点1A 在底面ABC 上的射影O 恰为ABC 的外心.求证：三棱柱中必有1个侧面为正方形.
C 1
C
B 1
A 1
B
A
C 1
B 1
A 1
O
C
B
A
26．已知：如图，平面α∥平面β，直线a b 、是异面直线，a 与αβ、分别交于A B 、两点，b 与
αβ、分别交于C D 、两点，E F 、分别为AB CD 、的中点，求证：EF ∥平面α。

27．求证：123
1112311r r n n n n r n r C C C C C --++++-++++
+=-
28．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，F 为1AA 的中点． 求证：（1）1
//AC FBD 平面；（2）1FBD DC B ⊥平面平面．
29．在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为CC 1的中点． 求证：（1）AC 1∥平面BDE ；（2）A 1E ⊥平面BDE ．
30．如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，2PA AD ==，点M N 、分别在棱PD PC 、上，且PC ⊥平面AMN 。

(1）求证：AM PD ⊥；（2）求二面角P AM N --的大小；（3）求直线CD 与平面AMN 所成角的大小。

D。