九年级数学上册第四章图形的相似1成比例线段应用地带活用线段比解决问题素材北师大版讲解
北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》知识点总结
北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》知识点总结
一．比例线段：
1两条线段的比是 的比。
将“形”的问题转化为“数”的问题。
2.成比例线段：四条线段a,b,c,d 中，如果 ，那么这四条线段a,b,c,d 叫做成比例线段。
比例线段是有顺序的，即a,b,c,d 是成比例线段，则是a:b=c:d
3.如果c
b b
a ，那么
b 叫做a 和
c 的比例中项； 4.比例的性质：
（1）基本性质：如果 ，那么 。
（）等比性质：如果 ，那么 5.平行线分线段成比例定理：
如图，321////l l l ，则可得比例式： DE//AB,则所得比例式：
6．黄金分割： 黄金比 二．相似三角形：
1.相似三角形的判定方法：
（1）两角对应 的两个三角形相似。
（2）两边对应 且 相等的两个三角形相似。
（3）三边 的两个三角形相似
2.相似三角形的性质：
3.位似图形：
4.位似图形有同向和 两种。
在坐标系中，图形上点的坐标都乘以k 时，得到的图形与原图形关于原点位似，且位似比是|k|.
5.判定两个三角形相似的常用步骤：
先通过已知，平行、对顶角、公共角等，看能否找到两对相等的角； 若只能找到一对相等的角，再分析夹这个角的两边是否成比例； 若找不到相等的角，就分析三边是否成比例。
5.常见的基本模型有 ：
D E F
1l 3
l 2
l m n
B A C。
北师版初三数学上册第四章相似图形知识点讲解
九年级（上）第四章图形的相像(1)形态一样的图形叫相像图形，在相像多边形中，最简洁的是相像三角形.(2) 相像多边形：假如两个边数一样的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相像多 边形．相像多边形对应边长度的比叫做相像比．一．成比例线段（1）线段的比假如选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nmb a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）成比例线段在四条线段d c b a ,,,中，假如b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有依次的，假如说a ,d c b ,,成比例，那么应得比例式为：b a =dc ． ②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项,假如b=c ，即 a b bd =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。
③推断给定的四条线段是否成比例的方法：第一排：现将四条线段的长度统一单位，再按大小依次排列好；第二算:分别算出前两条线的长度之比与后两条线段的长度之比；第三判：若两个比相等，则这四条线段是成比例线段，否则不是（3）比例的性质（留意性质立的条件：分母不能为0） 根本性质：① a:b=c:d 则有 ad=bc （两外项之积等于两内向之积）；② ②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项（3）合、分比性质：a c abcd b d b d ±±=⇔=． （4）等比性质：假如)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ，那么b an f d b m e c a =++++++++ ． 注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以削减未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③ 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ． （4）比例题常用的方法有：比例合分比法，比例等比法，设参法，连等设k 法，消元法二，平行线分线段成比例（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等. 留意：是所截的线段成比例，而跟平行线无关，所以比例线段中不行能 有AD,BE,CF 的比例关系（2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即12AC BC AB AC == 简记为：长短＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
九年级数学上册 第四章 图形的相似 1 成比例线段 方法茶座 教你如何求比值素材 (新版)北师大版
教你如何求比值相似图形是数学中的一个非常重要的内容，它揭示了图形之间的大小及位置关系，不仅在数学中占有重要的地位，而且在其他自然科学中也有着极其广泛的作用.在学习相似图形前，我们必须掌握线段的比，这是学习相似图形的入门功课，下面将总结出如何求比值的方法，我们一起来看看吧！一、运用比例的性质对已知的等式，利用比例的性质，如比例的基本性质、合比性质、等比性质进行变形，进而求出所求式子的值.例1 已知21=-y y x ，则yx =_______. 分析：本题可以由比例的等比性质解决.解：把原等式变形为21y y x =-. 根据等比性质，得，即23y x =.所以23=y x . 点评：本题是利用等比性质求解的，解题过程比较简捷.对于所求比中对应项字母系数相同时，易采用等比性质来求解.跟踪训练1 已知23=+x y x ，则y x =________. 二、等比设值法例2 若654z y x ==，求zy x z y x --++2332的值. 分析：我们可以利用题中给出的等量关系，通过设参数k 求解.解：设654z y x ===k ，则x=4k ，y=5k ，z=6k. 所以z y x z y x --++2332=431431*********-=-=--++kk k k k k k k . 点评：此种方法尽管增设了参数k ，但在变形过程中k 又会自行消失，参数起到了很好的桥梁作用.跟踪训练2 已知753z y x ==，求： （1）y z y x -+；（2）zy x z y x +-++35432. 三、代入消元法在求一个比的值时，可根据已知等式，用一个字母表示其他字母，并代入所求的比中，使比的前项、后项都用同一个字母表示，整理后约去这个字母，求出比的值.例3 已知x ∶y ∶z=1∶2∶3，求zy x z y x 4272++--的值. 分析：因已知比中有1，故可用x 表示其他字母，然后代入所求式即可求值.解：因为x ∶y=1∶2，所以y=2x.因为x ∶z=1∶3，所以z=3x.所以z y x z y x 4272++--=1724124214-=++--xx x x x x . 点评：若已知比式中有1，可用1所对应的字母表示其他字母，然后代入所求式求值比较简捷.若没有1，可增设字母k ，如本题可设x=k ，y=2k ，z=3k 然后仿照例2 求解. 跟踪训练3 已知x ∶y ∶z=4∶5∶7，求zy x z y x 2323-++-的值.四、特殊值法 例4 若c b a 432==，则cb ac b a 3232+-++=________.分析：本题是填空题，故可取特殊值代入所求式中，求出其值.解：取a=2，b=3，c=4满足已知条件. 所以c b a c b a 3232+-++=1320123-41262=+++. 点评：对于求比值的填空题、选择题，选取满足已知条件的值，代入所求式中求值，比较简单、快捷.跟踪训练4 若c b a 543==，则a b c c b a --++22=______.答案1.22．（1）51；（2）7 3．59 4．317。
北师大版九年级数学上册第四章图形的相似
课 时 学
练习
1.已知线段a=2cm,b=4.1cm,c=4cm,d=8.2cm,下面哪
个选项是正确的？( C )
第四章 图形的相似
1 成比例线段（1）
开启 智慧
这棵大树有多高？
• 小敏思考后,她只用
一根卷尺, 测出了大
树影子BC,自己的身高
A1 B1及影子B1 C1三个 数据,然后通过计算,
倍
立刻得出了树高AB.你
速
能行吗?这里需要什
课 时
么知识?
C
学
A
A1 B C1 B1
交流讨论
如何把学校的平面图在施工图 纸上反应出来？
A′B′
=
AC
A′C′
倍
C
速 课 时 学
一般地,如果四条线段a,b,c,d中，a与b的比等于c与d的
比,
即
ac bd
,那么这四条线段叫做成比例线段，
简称比例线段． 例如, AB, A'B' , AC, A'C ' 是比例线段.
例1 已知线段a=10mm , b=6cm, c=2cm , d=3cm .
倍 速 课 时 学
积累就是知识
是生活告诉小敏树高的
倍 速 课 时 学
积累就是知识
是生活告诉小敏树高的
倍 速 课 时 学
同一时刻物高
与影长成比例
小敏高=1.5米
影长=0.5米
倍
速 课
树高=9?米
时
学 树影长=3
随堂练习 主动学习
p92
才是快乐的
• 已知：C为线段AB上 一点，AC∶CB=5∶3 ．
九年级数学上册第四章图形的相似1成比例线段名师e线帮你把好知识关素材北师大版
帮你把好知识关为了帮助同学们更好地掌握本期的内容，下面就本期内容涉及的知识点进行详细讲解，供同学们学习时参考．知识点一:线段的比例1 线段a,b,c，d的长度如下，试判断它们能否组成比例线段。
(1)a=4 cm，b=3 cm，c=10。
5 cm,d=14 cm.（2）a=8 cm，b=0.05 m，c=0.6 dm,d=10 cm.分析：将四条线段的长度化为同一单位后，再按由小到大或由大到小的顺序排列起来,然后比较第一与第二，第三与第四两对线段长度的比是否相等或比较最大和最小的两条线段长度的乘积与另两条线段长度的乘积是否相等.解：（1）先把四条线段的长度按从小到大的顺序排列b=3 cm，a=4 cm,c=10.5 cm，d=14 cm，再求第一与第二，第三与第四两对线段长度的比.因为b∶a=3∶4，c∶d=10。
5∶14=3∶4，所以b∶a=c∶d.故这四条线段能组成比例线段.（2）把四条线段的长度化成同一单位，则a=8 cm，b=0。
05 m=5 cm,c=0。
6 dm=6 cm，d=10 cm.并按从小到大的顺序排列为b，c，a，d.因为bd=5×10=50，ac=6×8=48.所以bd≠ac。
故这四条线段不能组成比例线段。
跟踪训练 1 已知线段a=0.4 m，b=30 cm，c=20 cm,d=0。
6 m。
试判断这四条线段是否成比例线段.知识点二:比例的三条性质1．依据基本性质求值例2 已知（x+y）∶(x-y）=5∶2，则x∶y=_________.解析:根据比例的基本性质，得2（x+y）=5(x-y）.所以2x+2y=5x—5y。
即3x=7y。
故x∶y=7∶3.跟踪训练2 已知（x ＋2y ）∶（x －y ）＝5∶2，则x ∶y=___。
2.依据合比性质求值例3 已知45=y x ，则yy x +=______________。
解析：由比例的合比性质可得yy x +=445+=49. 跟踪训练3 已知43=y x ,求yy x -的值. 3。
新北师大版九年级数学上册第四章4.1成比例线段第1课时比例线段备课素材版
第四章图形的相似1 成比例线段第1课时线段的比素材一新课导入设计置疑导入归纳导入复习导入类比导入同学们，色彩斑斓的世界中有许多美丽的图形，它们有的形状、大小都相同，这就是我们前面学过的全等形(多媒体出示图4－1－1①)；有的只有形状相同，这就是相似图形(多媒体出示图②)．你知道如何刻画图形的相似吗？你知道如何判定两个三角形相似吗？你知道如何将一个图形放大或缩小吗？从今天开始，我们进入第四章的学习．图4－1－1本章将研究图形的相似，探索三角形相似的条件，了解相似三角形的性质，并利用图形的相似解决一些简单的实际问题．本节课就让我们一起从“成比例线段”开始学习本章．【板书课题：第1课时线段的比】[说明与建议] 说明：通过用幻灯片展示生活中的图片，引入本章的学习内容——图形的相似．初步感知相似图形，引发学生思考相似图形的特征，激发学生的求知欲及学习兴趣．为新课的学习做好情感铺垫．建议：学生观看生活中存在的全等形及相似图形，体会数学来源于生活，在全等形的基础上感知相似图形，也可以让学生寻找身边的形状相同的图形，以便理解相似图形的特点，为本节课的学习做好铺垫．请从下图中找出形状相同的图形．这些形状相同的图形有什么不同？怎样描述它们的不同呢？(多媒体展示图片)图4－1－2生活中存在大量形状相同，但大小不同的图形．这些形状相同的图形有什么不同？相似的两个图形有什么主要特征呢？为了探究相似图形的特征，今天这节课，我们先学习成比例线段．[说明与建议] 说明：以形状相同的图形为背景，从生活中的图片到几何图形，从识别相同到寻找不同，设计的问题逐步深入，再到用什么描述形状相同图形的不同点，引出学习线段的比的必要性．建议：学生先自主观察这些图形的特点，然后在小组内交流自己的看法，交流后借助多媒体展示自己的成果．教师在学生交流展示时可作以下引导：(1)图中形状相同的图形，大小有什么不同？(2)形状相同的图形，其中的一个如何由另一个得到？(多媒体动画演示图形的放大与缩小)(3)形状相同的图形对应的线段是如何变化的？(4)形状相同而大小不同的两个图形，你认为应该如何来描述它们的大小关系？素材二 教材母题挖掘78页例1如图4－1－3所示，一块矩形绸布的长AB ＝a m ，宽AD ＝1 m ，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即AE AD ＝ADAB ，那么a 的值应当是多少？图4－1－3【模型建立】四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a b ＝cd ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．四条线段成比例有顺序性，如a ，c ，d ，b 是成比例线段，是指a c ＝db ，不能写成a b ＝cd.根据线段的比相等，由已知的三个量即可求出第四个量．【变式变形】1．线段a 的长度是线段b 的长度的5倍，则a∶b＝__5∶1__．2．一条线段的长度是另一条线段长度的35，则这两条线段之比是__3∶5__．3．已知a ，b ，c ，d 是成比例线段，a ＝4 cm ，b ＝6 cm ，d ＝9 cm ，则c ＝__6_cm __. 4．如果2x ＝5y ，那么x y ＝__52__．5．已知a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中a ＝3 cm ，b ＝2 cm ，c ＝6 cm ，求线段d 的长．[答案：4 cm ]素材三 考情考向分析[命题角度1] 利用成比例线段的概念判断成比例线段是指在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a b ＝cd ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段．在利用它来处理问题时，一定要注意这四条线段是有顺序性的．例 下列各组线段(单位：cm )中，成比例线段的是(B )A ．1，2，3，4B ．1，2，2，4C ．3，5，9，13D ．1，2，2，3 [命题角度2] 利用比例尺计算实际距离在地图或工程图纸上，图上长度与实际长度的比通常称为比例尺，因此，已知比例尺与图上长度(或实际长度)就能求出实际长度(或图上长度)．例 在比例尺为1∶200的地图上，测得A ，B 两地间的图上距离为4.5 cm ，则A ，B 两地间的实际距离为__9__m .[命题角度3] 利用矩形折叠求线段的比矩形的折叠，主要是通过折叠图形构造轴对称图形来解决问题．由于折叠前后折叠部分图形的形状、大小不变，因此利用轴对称性，可以转化相等的线段，相等的角等，从而可以求出线段的比．例 [枣庄中考] 如图4－1－4，将矩形ABCD 沿CE 向上折叠，使点B 落在AD 边上的点F 处，若AE ＝23BE ，则长AD 与宽AB 的比值是5．图4－1－4素材四 教材习题答案 P79随堂练习1．你知道地图比例尺的含义吗？生活中还有哪些利用线段比的事例？ 解：略．2．一条线段的长度是另一条线段的5倍，求这两条线段的比． 解：5∶1.3．a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中a ＝3 cm ，b ＝2 cm ，c ＝6 cm ，求段线d 的长． 解：4 cm. P79习题4.11．在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝BC ＝10 cm ；在△DEF 中，ED ＝EF ＝12 cm ，DF ＝8 cm ，求AB 与EF 之比、AC 与DF 之比．解：根据勾股定理求出AC ＝10 2 cm. AB ∶EF ＝5∶6; AC ∶DF ＝52∶4.2．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB 和AC 上的点，AB ＝12 cm ，AE ＝6 cm ，EC ＝5 cm ，且AD DB ＝AE EC，求AD 的长．解：设AD ＝x cm ，则BD ＝AB －AD ＝(12－x )(cm)． ∵AD DB ＝AE EC ，∴x 12－x ＝65， 解得x ＝7211，即AD ＝7211cm.3．如图，将一张矩形纸片沿它的长边对折(EF 为折痕)，得到两个全等的小矩形．如果小矩形长边与短边的比等于原来矩形长边与短边的比，那么原来矩形的长边与短边的比是多少？解：设原来矩形的长为x ，宽为y ， 则对折后的矩形的长为y ，宽为x2，∵小矩形长边与短边的比等于原来矩形长边与短边的比． ∴x ∶y ＝y ∶x2，解得x ：y ＝ 2∶1.素材五 图书增值练习素材六 数学素养提升生活中的比例尺听说正在建造中的香格大厦已经结顶，我和表弟都感到心喜欲狂。
2024年北师大版九年级上册教学第四章 图形的相似成比例线段
第1课时成比例线段课时目标1.了解相似图形、线段的比的概念;会求两条线段的比,运用线段的比解决实际问题.2.掌握比例的基本性质,提高解决问题的能力,培养学生的数学应用意识,体会数学与自然、社会的密切联系.学习重点理解成比例线段的概念并会求解.学习难点了解比例的基本性质及其简单应用.课时活动设计情境引入通过用幻灯片展示生活中的图片,突出每组图片形状相同的特点.设计意图:引发学生思考每组图片的特征,激发学生的学习兴趣.探究新知1.你能在下面这些图形中找出形状相同的图形吗?这些形状相同的图形有什么不同?教师提出问题,学生以小组的形式进行讨论交流,教师随机选取学生回答问题,引出学生线段的比的必要性.形状相同而大小不同的两个平面图形,较大的图形可以看作是由较小的图形“放大”得到的,较小的图形可以看成是由较大的图形“缩小”得到的.在这个过程中,两个图形上的相应线段也被“放大”或“缩小”.因此,对于形状相同而大小不同的两个图形,我们可以用相应线段长度的比来描述它们的大小关系.2.归纳小结.如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m,n,那么就说这两条线段的比就是它们长度的比,即AB∶CD=m∶n,或写成ABCD =mn.其中,AB,CD分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把mn 表示成比值k,那么ABCD=k,或AB=k·CD.两条线段的比实际上就是两个数的比.如图,五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'形状相同,AB=5 cm,A'B'=3 cm.AB∶A'B'=5∶3,53就是线段AB与线段A'B'的比,这个比值刻画了这两个五边形的大小关系.3.想一想.两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系?通过上面的活动学生应该对这个问题有了一定的认识:两条线段长度的比与所采用的长度单位无关.4.做一做.如图,设小方格的边长为1,四边形ABCD与四边形EFGH的顶点都在格点上,那么AB,AD,EF,EH的长度分别是多少?分别计算ABEF ,ADEH,ABAD,EFEH的值.你发现了什么?学生独立解答,师生共同订正答案,然后教师引导学生发现这四组对应线段的比相等,进而引出比例线段的概念.四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即ab =cd,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,简称比例线段.在图中AB,EF,AD,EH是成比例线段,AB,AD,EF,EH也是成比例线段.5.议一议.如果a,b,c,d四个数成比例,即ab =cd,那么ad=bc吗?反过来,如果ad=bc,那么a,b,c,d四个数成比例吗?学生在小组内交流,教师及时给予提示,最后进行总结归纳.小结:比例的基本性质:如果ab =cd,那么ad=bc.如果ad=bc(a,b,c,d都不等于0),那么ab =cd .设计意图:通过发现这些形状相同的图形的不同点,引出线段的比的概念.学生实际操作并进行讨论后得出:两条线段长度的比与所采用的长度单位没有关系.引入成比例线段的概念,进而研究比例的基本性质.典例精讲如图,一块矩形绸布的长AB=a m,宽AD=1 m,按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗,且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同,即AEAD =ADAB,那么a的值应当是多少?解:根据题意可知,AB=a m,AE=13a m,AD=1 m.由AEAD =ADAB,得13 a 1=1a ,即13a2=1.∴a2=3.开平方,得a=√3(a=-√3舍去).设计意图:通过教材上的例题,让学生利用所学的知识来解决实际生活中的问题.巩固训练1.一条线段的长度是另一条线段长度的5倍,则这两条线段之比是5∶1.2.一条线段的长度是另一条线段长度的35,则这两条线段之比是3∶5.3.已知a,b,c,d是成比例线段,a=4 cm,b=6 cm,d=9 cm,则c= 6 cm.4.如果2x=5y,那么xy =52.5.把mn=pq写成比例式,错误的是(D)A.mq =pnB.pm=nqC.qm=npD.mn=pq6.已知a∶b∶c=2∶3∶4,且a+b+c=15,则a=103,b=5,c=203.7.判断下列四条线段是否成比例.(1)a=2,b=√5,c=√15,d=2√3;(2)a=√2,b=3,c=2,d=√3;(3)a=4,b=6,c=5,d=10;(4)a=12,b=8,c=15,d=10.解:(1)否;(2)否;(3)否;(4)是.设计意图:通过有梯度的练习,巩固课堂上所学的知识,加深学生对线段的比和成比例线段的认识.课堂小结这节课我们学习了哪些知识?你有什么收获?你有什么发现、探索?设计意图:让学生回顾本节课的学习内容,提高学生归纳总结的能力.课堂8分钟.1.教材第79页习题4.1第1,2题.2.七彩作业.第1课时成比例线段1.两条线段的比.如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m,n,那么就说这两条线段的比就是它们长度的比,即AB∶CD=m∶n,或写成ABCD =mn.其中,AB,CD分别叫做这个线段比的前项和后项.2.成比例线段.四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即ab =cd,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,简称比例线段.3.比例的基本性质.如果ab =cd,那么ad=bc.如果ad=bc(a,b,c,d都不等于0),那么ab =cd .教学反思第2课时等比性质课时目标1.理解比例的等比性质;理解并掌握比例的基本性质及其简单应用;发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力.2.经历运用线段的比解决问题的过程,在观察、计算、讨论、想象等活动中获取知识.3.通过本节课的教学,培养学生的数学应用意识,体会数学与现实生活的密切联系.学习重点让学生理解并掌握比例的性质及其简单应用.学习难点运用比例的性质解决有关问题.课时活动设计复习回顾复习:1.成比例线段的定义;2.比例的基本性质;3.若3m=2n,你可以得到mn 的值吗?nm呢?设计意图:学生思考回顾上节课的内容,更好地进入本节课的学习.探究新知1.如图,已知BDAD =CEAE=12,你能求出BD+ADAD与CE+AEAE的值吗?它们有怎样的关系?如果ABBD =ACCE,那么AB-BDBD与AC-CECE有怎么样的关系?在求解过程中,你有什么发现?教师提出问题,学生先独立完成计算,再在小组内交流自己的计算结果及发现,组内达成共识后在班内展示,教师给予正确引导.议一议:已知a,b,c,d,e,f六个数.如果ab =cd,那么a+bb=c+dd和a-bb=c-dd成立吗?为什么?学生独立完成,教师随机选择学生进行回答.2.如图,ABHE ,BCEF,CDFG,ADHG的值相等吗?AB+BC+CD+ADHE+EF+FG+HG的值又是多少?在求解过程中,你有什么发现?议一议:已知a,b,c,d,e,f六个数.如果ab =cd=ef(b+d+f≠0),那么a+c+eb+d+f=ab成立吗?为什么?学生独立完成,教师随机选择学生进行回答.如果ab =cd=…=mn(b+d+…+n≠0),那么a+c+…+mb+d+…+n=ab吗?学生尝试总结a,b,…,n之间的关系,教师多媒体展示.注意事项:要强调等比性质中,分母b+d+…+n≠0.设计意图:通过由特殊到一般的方法归纳出合比性质与等比性质,加深对成比例线段的理解.典例精讲 1.已知a b =23,求a+b b与a -b b的值.解:∵a b =23,∴a+b b=a b +1=23+1=53.∵a b =23,∴a -b b =ab -1=23-1=-13.2.在△ABC 与△DEF 中,若AB DE =BC EF =CA FD =34,且△ABC 的周长为18 cm,求△DEF 的周长.解:∵AB DE =BC EF =CA FD =34, ∴AB+BC+CA DE+EF+FD =AB DE =34.∴4(AB +BC +CA )=3(DE +EF +FD ),即DE +EF +FD =43(AB +BC +CA ). 又∵△ABC 的周长为18 cm,即AB +BC +CA =18 cm,∴DE +EF +FD =43(AB +BC +CA )=43×18=24(cm),即△DEF 的周长为24 cm . 设计意图:学到的知识要会应用升华,在这个环节中,让学生灵活运用比例的合比性质及等比性质.解决实际问题.师生互动,主要还是学生的动,要体现教师的主导作用,学生的主体作用.让学生会主动学习,遇到问题,要善于分析思考.巩固训练1.已知a b =c d =23(b +d ≠0),求a+cb+d 的值. 解:a+c b+d =23. 2.若x+y y =179,则x y = 89 .3.若a b =14,则3a+b 2b的值为 78 .4.已知a 3=b 5=c7. (1)求a+b+c b的值; (2)求a+2b -3c a+c的值.解:(1)∵a 3=b 5=c7, ∴a b =35,c b =75. ∴a+b+c b =a b +1+cb =3.(2)设a3=b5=c7=k,∴a=3k,b=5k,c=7k.∴a+2b-3ca+b =3k+2×5k-3×7k3k+5k=-8k8k=-1.5.如图,已知每个小方格的边长均为1,求AB,DE,BC,DC,AC,EC的长,并计算△ABC与△EDC的周长比.解:由勾股定理,得AB=2√5,DE=√5,BC=2√10,DC=√10,AC=2√13,EC=√13,△ABC的周长=AB+BC+AC=2(√5+√10+√13),△EDC的周长=DE+DC+EC=√5+√10+√13,所以△ABC与△EDC的周长比等于2∶1.设计意图:通过有针对性的练习,加深学生对合比性质与等比性质的理解,进一步巩固本堂课所学知识,提高应用能力.课堂小结谈谈本节课的收获,与同伴进行交流.设计意图:复习比例的基本性质,合比性质,等比性质,巩固本节课所学的内容.课堂8分钟.1.课本第81页习题4.2第3题.2.七彩作业.第2课时等比性质合比性质如果ab =cd,那么a±bb=c±dd等比性质如果ab=cd=…=mn(b+d+…+n≠0),那么a+c+…+mb+d+…+n=ab教学反思。
北师大版数学九年级上册第四章图形的相似知识点归纳及例题
北师大版九年级上册第四章图形的相似知识点归纳及例题【学习目标】1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方；3、探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；4、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标变化；5、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识点网络】【知识点梳理】要点一、相似图形及比例线段1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 知识点诠释：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等； 2.相似多边形如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多形． 知识点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比.3. 比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a :b =c :d ，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 知识点诠释：（1）若a :b =c :d ，则ad=bc ；（d 也叫第四比例项） （2）若a :b=b :c ，则 =ac （b 称为a 、c 的比例中项）． 4.平行线分线段成比例：基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 知识点二、相似三角形 1. 相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似. 知识点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 判定方法（三）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.2b知识点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（四）：三边成比例的两个三角形相似.2.相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.知识点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.(3) 相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
九年级数学上册 第四章 图形的相似 1 成比例线段纠错必备素材 (新版)北师大版
线段的比一、求比时单位不统一致错例1 甲、乙两地的距离是300 km ，而地图中两地的距离是2 cm ，试问地图的比例尺是多少？错解：地图的比例尺为2∶300=1∶150.剖析：比例尺是图上距离与实际距离的比，在计算比时，应注意单位要统一.如果所给的单位不一致，应先统一单位，然后再求比.造成错解的原因是没有把单位统一.正解：因为300 km=30000000 cm ，所以此地图的比例尺为2∶30000000=1∶15000000. 跟踪训练1 在比例尺为1∶12000000的中华人民共和国地图上，量得济南至北京的直线距离是6.1 cm ，则济南到北京的实际直线距离为____km.二、判断线段是否成比例时不分大小致错例2 已知四条线段a=3.5 cm ，b=3.6 cm ，c=4.2 cm ，d=3 cm ，试判断它们是否成比例线段.错解：因为36356.35.3==b a ，32.4=d c =1.4，dc b a ≠， 所以这四条线段不是成比例线段.剖析：本题并没有问线段a ，b ，c ，d 是否成比例线段，而是问这四条线段是否成比例线段.解决问题时，应把这四条线段按从小到大的顺序排列好，然后再计算前两条线段长度的比与后两条线段长度的比.若两个比值相等，则它们是成比例线段；若不相等，则它们不是成比例线段.正解：因为a d =765.33=，c b =762.46.3=，即a d =cb ，所以这四条线段是成比例线段.跟踪训练2 已知四条线段a=1.5 cm ，b=2.8 cm ，c=2 cm ，d=2.1 cm ，试判断它们是否成比例线段.三、对比例的性质理解不透彻致错例3 已知53==d c b a ，则bcad =__________. 错解：根据比例的性质，得bc ad =53. 剖析：要分清楚比例的基本性质、合比性质和等比性质的区别，错解就是把它们混为一谈了，此题应该利用比例的基本性质来解.正解：根据比例的基本性质，得ad=bc ，即bcad =1.跟踪训练3 已知53==d c b a （b+d ≠0），则db c a ++＝_______．答案1.7322.是成比例线段33．5。
九年级数学上册第四章图形的相似1成比例线段应用地带活用线段比解决问题素材北师大版
活用线段比解决问题在实际生活中有大量的比例线段，求解成比例线段，应根据题意列出比例式，然后通过列方程求解，下面举例说明.例1 在比例尺为1∶8000的某学校地图上，如果矩形运动场的图上尺寸是1 cm ×2 cm,那么矩形运动场的实际尺寸应为【 】A 。
80 m ×160 mB 。
8 m ×16 mC 。
800 m ×160 m D.80 m ×800 m分析:根据比例尺的定义即得.解：设矩形运动场的实际长为x cm ，宽为y cm ，则由图上尺寸与实际尺寸对应成比例，得x280001=， 所以x=16000(cm)=160（m ），y180001=，所以y=8000（cm ）=80（m)， 即y ·x=80 m ×160 m 。
故选A. 跟踪训练 1 小亮家有大小两台电视机，它们的显示屏对角线之比为18∶29，有一次电视屏幕出现了京九铁路的路线图，小亮在大电视机屏幕上量得京九铁路的路线图的长度为34。
8 cm,那么小电视机的屏幕上京九铁路的路线图的长度为多少？例2 王刚利用树影测量校园内的树高，他在某一时刻测得小树高为1。
5米，其影长为1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大树影长时,因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上，经测量，地面部分影长为6。
4米,墙上影长为1。
4米,那么这棵大树高是多少?分析：本题应根据同一时刻物高与影长成比例求解,分两步来进行.第一步，先求墙影是1。
4米的实际影长；第二步,求大树的高.解:设墙影是1.4米的实际影长为x 米，大树高为y 米,则x4.12.15.1=,解得x=1。
12.又12.14.62.15.1+=y ，解得y=9。
4. 所以这棵大树高是9。
4米。
说明：同一时刻物高与影长成比例是解这类题的关键.跟踪训练2 在相同时刻的物高与影长成比例。
小明的身高为1.5 m ，在地面上的影长为2 m,同时一古塔在地面上的影长为40 m ，则古塔高为【 】A 。
九年级数学上册 第四章 图形的相似 1 成比例线段 名师e线 帮你把好知识关素材 (新版)北师大版
帮你把好知识关为了帮助同学们更好地掌握本期的内容，下面就本期内容涉及的知识点进行详细讲解，供同学们学习时参考．知识点一：线段的比例1 线段a ，b ，c ，d 的长度如下，试判断它们能否组成比例线段.（1）a=4 cm ，b=3 cm ，c=10.5 cm ，d=14 cm.（2）a=8 cm ，b=0.05 m ，c=0.6 dm ，d=10 cm.分析：将四条线段的长度化为同一单位后，再按由小到大或由大到小的顺序排列起来，然后比较第一与第二，第三与第四两对线段长度的比是否相等或比较最大和最小的两条线段长度的乘积与另两条线段长度的乘积是否相等.解：（1）先把四条线段的长度按从小到大的顺序排列b=3 cm ，a=4 cm ，c=10.5 cm ，d=14 cm ，再求第一与第二，第三与第四两对线段长度的比.因为b ∶a=3∶4，c ∶d=10.5∶14=3∶4，所以b ∶a=c ∶d.故这四条线段能组成比例线段.（2）把四条线段的长度化成同一单位，则a=8 cm ，b=0.05 m=5 cm ，c=0.6 dm=6 cm ，d=10 cm.并按从小到大的顺序排列为b ，c ，a ，d.因为bd=5×10=50，ac=6×8=48.所以bd ≠ac.故这四条线段不能组成比例线段.跟踪训练1 已知线段a=0.4 m ，b=30 cm ，c=20 cm ，d=0.6 m.试判断这四条线段是否成比例线段.知识点二：比例的三条性质1．依据基本性质求值例2 已知（x+y ）∶（x-y ）=5∶2，则x ∶y=_________.解析：根据比例的基本性质，得2（x+y ）=5（x-y ）.所以2x+2y=5x-5y.即3x=7y.故x ∶y=7∶3.跟踪训练2 已知（x ＋2y ）∶（x －y ）＝5∶2，则x ∶y=___.2.依据合比性质求值例3 已知45=y x ，则yy x +=______________. 解析：由比例的合比性质可得y y x +=445+=49. 跟踪训练3 已知43=y x ，求yy x -的值.3.依据等比性质求值例4 若23==c d a b （a+c ≠0），则ca db ++=______. 解析：由比例的等比性质可知c ad b ++=23. 跟踪训练4 若43==x y m n （m+x ≠0），则x m y n ++=____. 答案1．四条线段成比例线段2．2．3∶113．－434．42。
九年级数学上册 第四章 图形的相似 1 成比例线段 方法茶座 教你如何求比值素材 (新版)北师大版
教你如何求比值相似图形是数学中的一个非常重要的内容，它揭示了图形之间的大小及位置关系，不仅在数学中占有重要的地位，而且在其他自然科学中也有着极其广泛的作用.在学习相似图形前，我们必须掌握线段的比，这是学习相似图形的入门功课，下面将总结出如何求比值的方法，我们一起来看看吧！一、运用比例的性质对已知的等式，利用比例的性质，如比例的基本性质、合比性质、等比性质进行变形，进而求出所求式子的值.例1 已知21=-y y x ，则yx =_______. 分析：本题可以由比例的等比性质解决.解：把原等式变形为21y y x =-. 根据等比性质，得，即23y x =.所以23=y x . 点评：本题是利用等比性质求解的，解题过程比较简捷.对于所求比中对应项字母系数相同时，易采用等比性质来求解.跟踪训练1 已知23=+x y x ，则y x =________. 二、等比设值法例2 若654z y x ==，求zy x z y x --++2332的值. 分析：我们可以利用题中给出的等量关系，通过设参数k 求解.解：设654z y x ===k ，则x=4k ，y=5k ，z=6k. 所以z y x z y x --++2332=431431*********-=-=--++kk k k k k k k . 点评：此种方法尽管增设了参数k ，但在变形过程中k 又会自行消失，参数起到了很好的桥梁作用.跟踪训练2 已知753z y x ==，求： （1）y z y x -+；（2）zy x z y x +-++35432. 三、代入消元法在求一个比的值时，可根据已知等式，用一个字母表示其他字母，并代入所求的比中，使比的前项、后项都用同一个字母表示，整理后约去这个字母，求出比的值.例3 已知x ∶y ∶z=1∶2∶3，求zy x z y x 4272++--的值. 分析：因已知比中有1，故可用x 表示其他字母，然后代入所求式即可求值.解：因为x ∶y=1∶2，所以y=2x.因为x ∶z=1∶3，所以z=3x.所以z y x z y x 4272++--=1724124214-=++--xx x x x x . 点评：若已知比式中有1，可用1所对应的字母表示其他字母，然后代入所求式求值比较简捷.若没有1，可增设字母k ，如本题可设x=k ，y=2k ，z=3k 然后仿照例2 求解. 跟踪训练3 已知x ∶y ∶z=4∶5∶7，求zy x z y x 2323-++-的值.四、特殊值法 例4 若c b a 432==，则cb ac b a 3232+-++=________.分析：本题是填空题，故可取特殊值代入所求式中，求出其值.解：取a=2，b=3，c=4满足已知条件. 所以c b a c b a 3232+-++=1320123-41262=+++. 点评：对于求比值的填空题、选择题，选取满足已知条件的值，代入所求式中求值，比较简单、快捷.跟踪训练4 若c b a 543==，则a b c c b a --++22=______.答案1.22．（1）51；（2）7 3．59 4．317。
九年级数学上册 第四章 图形的相似 1 成比例线段 比例求值的常用方法素材 (新版)北师大版
比例求值的常用方法一、运用比例的性质对已知的等式，利用比例的性质，如比例的基本性质、含比性质、等比性质进行变形，进而求出所求式子的值。
例1 已知：y y x -=21，则y x = 。
分析：本题可以由比例的基本性质、合比性质、等比性质解。
解法一：根据比例的基本性质，得2（x-y ）=y 所以2x=3y ，所以y x =23解法二：根据合比性质，得yy y x +-=221+，即y x =23解法三：把原等式变形为1y x -=2y根据等比性质，得21++-y y x =2y ，3x =2y ，所以y x =23点评：解法三是利用等比性质求解的，解题过程比较简捷，对于所求比中对应项字母系数相同时，易采用等比性质来求。
二、等比设值法对于有等比条件求比值的题目，可设等比为k ，把每个比的前项用k 与比的后项的积表示，将其代入所求式中，求出其值。
例2 已知2x =5y =7z ，求z y x z y x 5432+-+-的值。
分析：已知是个等比，设其为k ，用k 表示x 、y 、z,将x 、y 、z 代入所求式即可求值。
解：设2x =5y =7z =k ，则x=2k ，y=5k ，z=7k∴z y x z y x 5432+-+-=k k k k k k 3520221102+-+-=1713点评：本题也可利用等比性质来解，但比较烦琐，而用等比设值法来求，显得比较简捷，因此，求解等比条件求值问题，若用等比性质来解，需进行复杂的变形，这时选用等比设值法来解比较好。
另外，对等比条件的证明题，运用等比设值法往往可获得巧解。
三、代入消元法在求一个比的值时，可根据已知等式，用一个字母表示其他字母，并代入所求的比中，使比的前项、后项都用同一个字母表示，并整理，约去这个字母，求出其比的值。
例3 已知x ：y ：z=1：2：3，求z y x zy x 4272++--的值.分析：因已知比中有1，故可用x 表示其它字母,然后代入所求式即可求值。
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1 活用线段比解决问题
在实际生活中有大量的比例线段，求解成比例线段，应根据题意列出比例式，然后通过列方程求解，下面举例说明.
例1 在比例尺为1∶8000的某学校地图上，如果矩形运动场的图上尺寸是1 cm ×2 cm ，那么矩形运动场的实际尺寸应为【 】
A.80 m ×160 m
B.8 m ×16 m
C.800 m ×160 m
D.80 m ×800 m
分析：根据比例尺的定义即得.
解：设矩形运动场的实际长为x cm ，宽为y cm ，则由图上尺寸与实际尺寸对应成比例，得x
280001=， 所以x=16000（cm ）=160（m ），y
180001=，所以y=8000（cm ）=80（m ）， 即y ·x=80 m ×160 m.
故选A.
跟踪训练1 小亮家有大小两台电视机，它们的显示屏对角线之比为18∶29，有一次电视屏幕出现了京九铁路的路线图，小亮在大电视机屏幕上量得京九铁路的路线图的长度为34.8 cm ，那么小电视机的屏幕上京九铁路的路线图的长度为多少？
例2 王刚利用树影测量校园内的树高，他在某一时刻测得小树高为1.5米，其影长为1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上，经测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么这棵大树高是多少？
分析：本题应根据同一时刻物高与影长成比例求解，分两步来进行.第一步，先求墙影是1.4米的实际影长；第二步，求大树的高.
解：设墙影是1.4米的实际影长为x 米，大树高为y 米，则
x 4.12.15.1=，解得x=1.12.又12
.14.62.15.1+=y ，解得y=9.4. 所以这棵大树高是9.4米.
说明：同一时刻物高与影长成比例是解这类题的关键.
跟踪训练2 在相同时刻的物高与影长成比例.小明的身高为1.5 m ，在地面上的影长为2 m ，同时一古塔在地面上的影长为40 m ，则古塔高为【 】
A.60 m
B.40 m
C.30 m
D.25 m
答案
1.21.6 cm
2．C。