新版精编2020高考数学《立体几何初步》专题测试版题(含标准答案)

2019年高中数学单元测试卷
立体几何初步
学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________
一、选择题
1．给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行
②垂直于同一平面的两个平面互相平行
③若直线12l l ，与同一平面所成的角相等，则12l l ，互相平行
④若直线12l l ，是异面直线，则与12l l ，都相交的两条直线是异面直线
其中假命题的个数是（D ）
Ａ．1
Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4(2006辽宁文)
2．已知m ，n 为异面直线，m ∥平面α，n ∥平面β，α∩β=l ，则l （ ）
（A ）与m ，n 都相交 （B ）与m ，n 中至少一条相交 （C ）与m ，n 都不相交 （D ）与m ，n 中一条相交
3．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为２ｃｍ，则球的表面积是
A 28cm π
B 212cm π
C 216cm π
D 220cm π
4．如图，点,,E F G 分别是四面体ABCD 的棱,,BC CD DA 的中点，此四面体中与过,,E F G 的截面平行的棱的条数有（ ）
A ．0条
B ．1条
C ．2条
D ．3条
二、填空题
5．对于直线m ，n 和平面α，β，γ，有如下四个命题：
（1）若α//m ，n m ⊥，则α⊥n （2）若α⊥m ，n m ⊥，则α//n
（3）若βα⊥，βγ⊥，则γα//（4）若α⊥m ，n m //，β⊂n ，则βα⊥ 其中正确命题的序号是．
6．两两平行的四条直线共能确定_______个平面。

7．在空间，给出如下命题：①垂直于同一条直线的两条直线平行；②四边形的一边不可能既和它的邻边垂直，又和它的对边垂直；③两组对边相等的四边形是平行四边形。

其中正确的命题个数是_____个。

8．设E 、F 、G 、H 为空间四点，命题甲：点E 、F 、G 、H 不共面；命题乙：直线EF 和GH 不相交，那么甲是乙的_________________条件
9．关于直角AOB ∠在平面α内的射影有如下判断：①可能是0的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180的角。

其中正确判断的序号是__________
10．在120°的二面角内放置一个小球，它与二面角的两个面相切于A 、B 两点，这两个点的距离AB=5, 则小球的半径为_______▲________．
11．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________． 解析：设圆锥的底面半径为R ，母线长为l ，
则⎩⎪⎨⎪⎧
πRl ＋πR 2＝3π2πR ＝π·l ，解得：R ＝1，∴2R ＝2.
12．给出下列命题：①若平面α内的一条直线l 垂直于平面β内的任一直线，则αβ⊥；②若平面α内的任一直线平行于平面β，则//αβ；③若平面α⊥平面β，任取直线l α⊂，则必有l β⊥；④若平面//α平面β，任取直线l α⊂，则必有//l β．其中所有错误的命题的序号是 ．
F
B
D C
P M
13．不重合的三条直线，若相交于一点，最多能确定________个平面；若相交于两点，最多
能确定________个平面；若相交于三点，最多能确定________个平面．
解析：三条直线相交于一点，最多可确定3个平面，如图(1)；三条直线相交于两点，最 多可确定2个平面，如图(2)；三条直线相交于三点，最多可确定1个平面，如图(3)．
14．三棱锥O ABC -的侧棱,,OA OB OC 两两垂直且长度分别为2cm ，3cm ，1cm ，则该三棱锥的体积是 ▲ cm 3．
15．已知圆锥的母线长为5，侧面积为π15，则此圆锥的体积为___12π_______．
16．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱1AA 、11D C 上的动点，点
G 为正方形11B BCC 的中心. 则空间四边形AEFG 在该正方体各个面上的正投影构成的图
形中，面积的最大值为 ▲ .
关键字：投影；正方体；求最值
17．已知直线,l m ，平面,αβ，且l α⊥，m β⊂，给出下列四个命题：
①若α∥β，则l m ⊥； ②若l m ⊥，则α∥β；
③若αβ⊥，则l ∥m ； ④若l ∥m ，则αβ⊥；
其中正确命题的序号是 .
18．已知直线b a ,和平面α，若αα⊥⊥b a ,，则a 与b 的位置关系是 ．
19．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题： ① 若α∥β，m ⊂β，n ⊂α，则m ∥n ；② 若α∥β，m ⊥β，n ∥α，则m ⊥n ； ③ 若α⊥β，m ⊥ α，n ⊥β，则m ⊥ n ； ④ 若α⊥β，m ⊥α，n ∥β，则m ∥n ． 上面命题中，所有真命题．．．
的序号为 ▲ ． 20．如图，在四棱锥P-ABCD 中，CD //AB , A D ⊥AB , AD = DC = 12 AB , BC ⊥PC ．
（1）求证：PA ⊥BC ；（2）试在线段PB 上找一点M ，使CM // 平面PAD ，并说明理由．
21．设,αβ为两个不重合的平面，,m n 为两条不重合的直线，给出下列四个命题： ①若,,m n m n αα⊥⊥⊄则n ∥α；
②若,,,,m n n m αβαβα⊥⋂=⊂⊥则n β⊥；
③若,m n ⊥m ∥α，n ∥β，则αβ⊥；
④若,,n m αβα⊂⊂与β相交且不垂直，则n 与m 不垂直.
其中，所有真命题的序号是 .
22．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面 上，且该六棱柱的高为3，底面周长为3，那么这个球的体积为________．
解析：∵正六棱柱的底面周长为3，
∴正六棱柱的底面边长为12
. 又正六棱柱的高为3，∴正六棱柱的过中心的对角线长为(3)2＋1＝2.
∴正六棱柱的外接球半径为1.∴V 球＝43
π.
三、解答题
23．如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，2,,45AB AE FA FE AEF ︒
===∠=
（1）线段CD 的中点为P ，线段AE 的中点为M ，求证：//PM BCE 平面；
（2）求直线CF 与平面BCE 所成角的正切值.
24．（本小题满分16分）
如图，正方形A B C D 所在平面与圆O 所在平面相交于C D ,线段C D 为圆O 的弦，AE 垂直于圆O 所在平面，垂足E 是圆O 上异于C 、D 的点，A E =3，正方形A B C D 的边长为
（1）求证：平面A B C D 丄平面A D E ；
（2）求四面体B A D E 的体积；
（3）试判断直线O B 是否与平面CDE 垂直，并请说明理由．
25．如图所示，在斜三棱柱111ABC A B C -中，1A AC ∠=ACB ∠=
2π，1A AC ∠=6π，
侧棱1BB 与底面所成的角为3
π，1AA =4BC =.求斜三棱柱111ABC A B C -的体积V .
26．如图，P —ABCD 是正四棱锥，
1111ABCD A B C D -是正方体，其中（1）求证：11PA B D ⊥；
（2）求平面PAD 与平面11BDD B 所成的锐二面角θ的余弦值；（理）
27．如图，在三棱柱111C B A ABC -中，侧面11ABB A 和侧
面11ACC A 均为正方形， 90=∠BAC ，的中点为BC D .
(1)求证：11//ADC B A 平面;
(2)求证：C B A C 11⊥.
证明：(1)连接OD O AC C A ，连接于点交11,.
的中点
为为正方形，所以四边形C A O A ACC 111 ,
又D 为BC 的中点，
BC A OD 1∆∴为的中位线，
∴.OD //B A 1
1ADC OD 平面⊂ ,
11ADC B A 平面⊄,
∴11//ADC B A 平面.
(2)由(1)可知，11CA A C ⊥.
侧面11A ABB 为正方形，
111AA B A ⊥,
且 9011=∠=∠BAC C A B ，
1111A ACC B A 平面⊥∴.
又111A ACC A C 平面⊂ ,
A C
B A 111⊥∴.
C B A A C 111平面⊥∴.
C B A C B 111平面又⊂,
∴C B A C 1
1⊥.
28．如图，在矩形ABCD 中，AD=2，AB=4，E 、F 分别为边AB 、AD 的中点，现将△ADE 沿DE
折起，得四棱锥A —BCDE.
（1）求证：EF ∥平面ABC ；
（2）若平面ADE ⊥平面BCDE ，求四面体FDCE 的体积。

29．已知P 是异面直线a b 、外一点，且过点P 不可能作出与a b 、都相交的直线，试判断
点P 应在什么位置上？并说明理由。

30．如图，在正方体1111ABCD A B C D 中，点P 在棱1CC 上，画出直线1A P 与平面ABCD 的交点Q 。