湖北省黄冈中学2014-2015学年高二下学期期末考试数学(理)试题
湖北省黄冈中学2014-2015学年高二下学期期末考试化学试题Word版含解析
北省黄冈中学2015年春季高二年级期末考试化学试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分100分，考试时间90分钟。
可能用到的相对原子质量： H：1 B：11 N：14 C：12 O：16 Cl：35.5 Cu：64第Ⅰ卷（选择题，共48分）本卷包括16小题，每小题3分。
1—8题为必考试题。
9—16为选考试题，共48分。
每小题均只有一个选项符合题意。
1、下列依据热化学方程式得出的结论正确的是（）A．由C（s，石墨）=C（s，金刚石）△H＞0可知，金刚石比石墨稳定B．CO（g）的燃烧热是283.0kJ·mol－1，则2CO2（g）=2CO（g）＋O2（g）反应的△H=＋283.0kJ·mol －1C．已知C（s）＋O2（g）=CO2（g）△H1；C（s）＋O2（g）=CO（g）△H2，则△H1＞△H2 D．CH4（g）＋2O2（g）=CO2（g）＋2H2O（l）△H＜0，该反应的化学能可以转化为电能2、某温度下，在体积固定不变的密闭容器中进行如下可逆反应：X（g）＋Y（g）Z（g）＋W（s）△H＞0，下列叙述不正确的是（）A．当容器中气体压强不变时，反应达到平衡B．升高温度，平衡正向移动C．加入少量W，逆反应速率增大D．当气体密度不变时，说明反应达到平衡3、下列关于电解质溶液中离子关系的说法或离子方程式书写正确的是（）A．用铜作电极电解NaCl溶液：2Cl－＋2H2O Cl2↑＋H2↑＋2OH－B．常温下，向醋酸钠溶液中滴加少量醋酸使溶液的pH=7，则混合溶液中：c（Na＋）=c（CH3COO －）C．磷酸一氢钠溶液水解：HPO42－＋H2O PO43－＋H3O＋D．常温下，由水电离产生的c（H＋）=10－12mol·L－1的溶液，NH4＋、SO42－、HCO3－、Cl－能大量共存4、下列实验操作与预期实验目的或所得实验结论一致的是（）－I5、为探究外界条件对反应：mA（g）＋nB（g）cZ（g）△H的影响，以A和B物质的量之比为m∶n开始反应，通过实验得到不同条件下达到平衡时Z的物质的量分数，实验结果如下图所示。
湖北省黄冈中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
湖北省黄冈中学2016届理科数学高二下期中考试题命题人：尚厚家 审题人：袁晓幼 校对人：谭志 夏泊凌一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 观察下列各式：2749=，37343=，472401=，则20157的末两位数字是 A. 01 B. 43 C. 07 D. 49 答案：B解析：末两位数字从1707=算起，07,49,43 01周期变化，周期为4.2. 用反证法证明命题“已知,,,a b c d R Î，若1,1a b c d +=+=，且1ac bd +>，则 ,,,a b c d 中至少有一个负数”时，应假设A . ,,,a b c d 中至少有一个正数B . ,,,a b c d 全为正数 C. ,,,a b c d 全部都大于等于0 D. ,,,a b c d 中至多有一个负数 答案：C解析：,,,a b c d 中至少有一个负数的否定为,,,a b c d 都不是负数，即都大于等于0.3. 满足(1)4z i +=-|=A. B. C. D.答案：D解析：由复数的除法，42131iz i i-==-+，z \=4. 已知0a b >>，下列不等式恒成立的是 A. 11a b b a +>+ B. 11a b a b +>+ C. 11b b a a +>+ D. 11b a b a ->-答案：A 解析：检验11()a b b a +-+Q a b a b ab -=-+=()(1)a b ab ab-+=，故A 成立 5．已知函数cos ()x xf x e=，则函数图象在(0,(0))f 处的切线方程为 A. 10x y -+= B. 10x y +-= C. 10x y ++= D. 10x y --= 答案：B解析：'2sin cos ()()x xx xe x e f x e -- ='(0)1k f \==-，又(0)1f =，故所求切线方程为 10x y +-=6. 若函数2()2ln f x x x =-在其定义域的一个子区间(1,1)k k -+上不是单调函数，则k 的取值范围是A. [)1,+B. 31,2轹÷ê÷÷êøë C. [)1,2 D. 3,22轹÷ê÷÷êøë 答案：B解析：'1()4f x x x =-(21)(21)x x x +-（0x >），易知12为其极值点，故需满足10112kk ?<<+，解得312k ? 7. 若0x >，则函数21161xy x x x =+++的最小值为A. 16 B 8 C. 10 D. 没有最小值答案：B解析：设12t x x =+ ，则16y t t=+8³，取最小值当且仅当4t = 8. 一台打桩机将一木桩打入地下，每次打击所做的功相等，土壤对木桩的阻力与木桩进入土壤的深度成正比。
湖北黄冈中学2014-2015学年高一下学期期中考试数学理试题 word版含答案
湖北省黄冈中学2015年春季高一年级期中考试数学试题（理）第Ⅰ卷选择题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知，α是第一象限角，则cos（π－α）的值为（）A．B．C．D．2．在等差数列{a n}中，已知a n＝11－2n，则使前n项和最大的n值为（）A．4 B．5C．6 D．73．在△ABC中，内角A、B、C所对的边为a、b、c，B＝60°，a＝4，其面积，则c＝（）A．15 B．16C．20 D．4．在△ABC中，内角A、B、C所对的边为a、b、c，，则B＝（）A．60°B．60°或120°C．30°D．30°或150°5．下列命题中，正确的是（）A．若a>b，c>d，则ac>bd B．若ac>bc，则a>bC．若，则a<b D．若a>b，c>d，则a－c>b－d6．等比数列{a n}的前m项和为4，前2m项和为12，则它的前3m项和是（）A．28 B．48C．36 D．527．已知等差数列{a n}的前15项之和为，则＝（）A． B．C．－1 D．18．在△ABC中，内角A、B、C所对的边为a、b、c，若，则C的取值范围为（）A． B．C．D．9．如图，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得望树尖的仰角为30°、45°，且A、B两点之间的距离为60 m，则树的高度为（）A．30＋30m B．30＋15mC．15＋30m D．15＋3m10．已知数列{a n}中，，，则数列{a n}的通项公式为（）A．B．C． D．11．已知a，b，c为互不相等的正数，且，则下列关系中可能成立的是（）A．a>b>c B．b>c>aC．b>a>c D．a>c>b12．已知等差数列{a n}满足，公差，当且仅当n＝9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，则该数列首项a1的取值范围是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷非选择题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知直线AB的方程为，则直线AB的倾斜角为________．14．若，则cos2x＝__________．15．已知不等式的解集是（1，2），则a＋b的值为___________．16．某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是由一级分形图的每一条线段末端出发再生成两条长度均为原来的线段，且这两条线段与原来线段两两夹角为120°；依此规律得到n级分形图．则（1）四级分形图中共有__________条线段．（2）n级分形图中所有线段长度之和为______________.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分10分）已知等差数列{a n}满足：．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）请问88是数列{a n}中的项吗？若是，请指出它是哪一项；若不是，请说明理由．18．（本小题满分12分）已知向量，，设函数．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的单调区间．19．（本小题满分12分）已知数列{a n}的前n项和为S n且；递增的等比数列{b n}满足：．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）若，求数列{c n}的前n项和．20．（本小题满分12分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边为a、b、c，且满足（2a－c）cosB＝bcosC．（1）求角B的值；（2）若，求的取值范围．21.（本小题满分12分）已知某中学食堂每天供应3000名学生用餐，为了改善学生伙食，学校每星期一有A、B两种菜可供大家免费选择（每人都会选而且只能选一种菜）.调查资料表明，凡是在这星期一选A种菜的，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的，下星期一会有40%改选A种菜．用a n，b n分别表示在第n个星期一选A的人数和选B的人数，如果a1＝2000．（1）请用a n、b n表示与；（2）证明：数列{a n－2000}是常数列．22．（本小题满分12分）设数列{a n}的前n项和为S n，对一切，点都在函数的图象上．（1）求,归纳数列{a n}的通项公式（不必证明）；（2）将数列{a n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为，……，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b n}，求的值；（3）设A n为数列的前n项积，若不等式对一切都成立，其中a>0，求a的取值范围．答案与解析：1． C解析：．2．B解析：则S5为S n的最大值．3．C解析：．4．B解析：由正弦定理可知，，∵0＜B＜180°，∴B＝60°或120°．5．C解析：由不等式性质易知只有C正确.6．A解析：∵{a n}为等比数列，∴成等比数列，∵等比数列{a n}的前m 项和为4，前2m项和为12，∴4，8，成等比数列，∴4（）＝82，解得．7．C解析：，所以.又因为，所以．8．A解析：，即，所以.9．A解析：在△ABP中，由正弦定理知，所以，所以树高为m．10．D解析：，所以，，11． C解析：2bc＝a2＋c2则，在B，C中选．再判断a，c的大小．，∴b>c且a>c，或b<c且a<c．12．A解析：由得：，∴，整理得：，∴sin（3d）＝－1．∵d（－1，0），∴3d（－3，0），则3d＝，d＝－．由题意当且仅当n＝9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，∴，解得：．∴首项a1的取值范围是．13．解析：．14．解析：．15．－2解析：∵不等式的解集是（1，2），．∴a＋b＝－2．16．（1）45；（2）解析：（1）记n级分形图中共有a n条线段，则有a1＝3，，由累加法得所以．（2）n级分形图中所有线段的长度和等于．17、解析：（1）依题意知－－－－－－－－－－3分－－－－－－－－－－－－－－－－－5分（2）令所以88不是数列{a n}中的项.－－－－－－－－－－－－－10分18、解析：（1）依题意得，－－－－－－－－－－－4分∴f(x)最小正周期为T＝2π－－－－－－－－－－－－6分（2）由解得，从而可得函数f（x）的单调递增区间是：－－－9分由解得，从而可得函数f（x）的单调递减区间是：－－ 12分19、解析：（1）当n≥2时，，，所以－－－－－－－－－－－ 3分是方程的两根，，所以解得．－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 6分（2），则，将两式相减得：－－－－－－－－－－－－－－－ 10分所以.－－－－－－－－－ 12分20、解析：（1）由已知，得－－－－－3分化简得－－－－－－－－－－5分故．－－－－－－－－－－－6分（2）由正弦定理，得，－－－－－－－－－ 9分因为，所以－－－－－－ 10分所以－－－－－－12分21、解析：（1）由题意知－－－－－－－－－－6分（2）证明：，，即－－－－－8分－－－－－－－－－10分又－－－－－－－12分22、解析：（1）因为点在函数的图象上，故，所以．令n＝1，得，所以a1＝2；－－－－－－－－－－－－ 1分令n＝2，得，所以a2＝4；－－－－－－－－ 2分令n＝3，得，所以a3＝6．－－－－－－ 3分由此猜想：a n＝2n－－－－－－－－－－－－ 4分（2）因为a n＝2n（n∈N*），所以数列{a n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…. 每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故 b100是第25组中第4个括号内各数之和．而第25组中第4个括号内各数分别是{a n}第247，248，249，250项，所以，又b5＝22，所以b5＋b100＝2010－－－－－－－－－－－－－－－ 8分所以．又故对一切都成立，就是对一切都成立．－－－ 9分设，则只需即可．由于所以g（n＋1）<g（n），故g（n）是单调递减，－－－－－－－ 10分于是．所以，即，又∵a>0，∴a>．综上所述，实数a的取值范围是．－－－－－－ 12分。
湖北省黄冈市高二下学期期末数学试卷(理科) Word版(含解析)
2015-2016学年湖北省黄冈市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．）1．已知A={y|y=log2x，x＞1}，B={y|y=（）x，x＞1}，则A∩B=（）A． B．（0，1）C． D．∅2．如表是某厂1﹣4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是=﹣0.7x+，则=（）3．若（3x2﹣）n的展开式中含有常数项，则正整数n 取得最小值时常数项为（）A．B．﹣135 C． D．1354．若f′（x0）=2，则等于（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．5．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），其正态分布密度曲线为函数f（x）的图象，且f（x）dx=，则P（x＞4）=（）A．B．C．D．6．设点P是曲线y=e x﹣x+上的任意一点，P点处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A．[） B．[0，）∪（） C．[0，）∪[，π）D．[，）7．已知f（n）=++…+，则f（k+1）﹣f（k）等于（）A．B．C． ++﹣D．﹣8．若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1，2，3，4，5，6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有（）A．120个B．80个C．40个D．20个9．下列判断错误的是（）A．若随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）=0.79，则P（ξ≤﹣2）=0.21B．若n组数据（x1，y1）…（x n，y n）的散点都在y=﹣2x+1上，则相关系数r=﹣1C．若随机变量ξ服从二项分布：ξ～B（5，），则Eξ=1D．“am2＜bm2”是“a＜b”的必要不充分条件10．春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的附：参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过l%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”B．在犯错误的概率不超过l%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”C．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”D．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”11．给出下列四个命题：①f（x）=x3﹣3x2是增函数，无极值．②f（x）=x3﹣3x2在（﹣∞，2）上没有最大值③由曲线y=x，y=x2所围成图形的面积是④函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（﹣∞，2）其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．412．定义在区间[0，a]上的函数f（x）的图象如图所示，记以A（0，f（0）），B（a，f（a）），C（x，f（x））为顶点的三角形的面积为S（x），则函数S（x）的导函数S′（x）的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．下面是关于复数z=的四个命题：p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．其中的真命题为．14．某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C3门课由于上课时间相同，至多选1门，若学校规定每位学生选修4门，则不同选修方案共有种．15．二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2；三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=πr3；四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3，则猜想其四维测度W=．16．已知f（x）=x3+x，x∈R，若至少存在一个实数x使得f（a﹣x）+f（ax2﹣1）＜0成立，a的范围为．三、解答题（本大题共5小题，70分）17．已知：全集U=R，函数的定义域为集合A，集合B={x|x2﹣a＜0}（1）求∁U A；（2）若A∪B=A，求实数a的范围．18．已知函数f（x）=（a、b为常数），且f（1）=，f（0）=0．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）判断函数f（x）在定义域上的奇偶性，并证明；（Ⅲ）对于任意的x∈[0，2]，f（x）（2x+1）＜m•4x恒成立，求实数m的取值范围．19．甲、乙两位小学生各有2008年奥运吉祥物“福娃”5个（其中“贝贝”、“晶晶”、“欢欢”、“迎迎”和“妮妮各一个”），现以投掷一个骰子的方式进行游戏，规则如下：当出现向上的点数是奇数时，甲赢得乙一个福娃；否则乙赢得甲一个福娃，规定掷骰子的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有福娃时游戏终止．记游戏终止时投掷骰子的次数为ξ（1）求掷骰子的次数为7的概率；（2）求ξ的分布列及数学期望Eξ．20．一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为1万元，每生产1万件需要再投入2万元，设该公司一个月内生产该小型产品x万件并全部销售完，每万件的销售收入为4﹣x万元，且每万件国家给予补助2e﹣﹣万元．（e为自然对数的底数，e是一个常数）（Ⅰ）写出月利润f（x）（万元）关于月产量x（万件）的函数解析式（Ⅱ）当月产量在[1，2e]万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值（万元）及此时的月生成量值（万件）．（注：月利润=月销售收入+月国家补助﹣月总成本）21．已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：若a＜5，则对任意，有．四、选考题（本题满分10分）（请在以下甲、乙、丙三个选考题中任选一个作答，多答则以第一个计分）[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的参数方程是（α为参数），直线l的参数方程为（t为参数），（1）求曲线C与直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线C相交于P，Q两点，且|PQ|=，求实数m的值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥3（2）如果∀x∈R，f（x）≥2，求a的取值范围．2015-2016学年湖北省黄冈市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．）1．已知A={y|y=log2x，x＞1}，B={y|y=（）x，x＞1}，则A∩B=（）A． B．（0，1）C． D．∅【考点】交集及其运算．【分析】由题设条件知A={y|y＞0}，B={y|0＜y＜}，由此能够得到A∩B的值．【解答】解：∵，∴=．故选A．2．如表是某厂1﹣4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是=﹣0.7x+，则=（）．．．．【考点】线性回归方程．【分析】计算样本中心，代入回归方程得出．【解答】解：=，=3.5．∴3.5=﹣0.7×2.5+，解得=5.25．故选C．3．若（3x2﹣）n的展开式中含有常数项，则正整数n 取得最小值时常数项为（）A．B．﹣135 C． D．135【考点】二项式定理的应用．【分析】通过二项展开式的通项公式，令x的次数为0即可求得正整数n取得最小值时常数项．【解答】解：∵=，∴2n﹣5r=0，又n∈N*，r≥0，∴n=5，r=2时满足题意，此时常数项为：；故选C．4．若f′（x0）=2，则等于（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．【考点】极限及其运算．【分析】首先应该紧扣函数在一点导数的概念，由概念的应用直接列出等式，与式子对比求解．【解答】解析：因为f′（x0）=2，由导数的定义即=2⇒=﹣1所以答案选择A．5．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），其正态分布密度曲线为函数f（x）的图象，且f（x）dx=，则P（x＞4）=（）A．B．C．D．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】随机变量X服从正态分布N（2，σ2），所以μ=2，即函数f（x）的图象关于直线x=2对称，因为f（x）dx=，所以P（0＜X≤2）=，利用图象的对称性，即可得出结论．【解答】解：因为随机变量X服从正态分布N（2，σ2），所以μ=2，即函数f（x）的图象关于直线x=2对称，因为f（x）dx=，所以P（0＜X≤2）=，所以P（2＜X≤4）=，所以P（X＞4）==，故选：A．6．设点P是曲线y=e x﹣x+上的任意一点，P点处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A．[） B．[0，）∪（） C．[0，）∪[，π）D．[，）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义结合三角函数的图象和性质进行求解即可．【解答】解：函数的导数f′（x）=e x﹣＞﹣，即切线的斜率满足k=tanα＞﹣，则α∈[0，）∪（），故选：B7．已知f（n）=++…+，则f（k+1）﹣f（k）等于（）A．B．C． ++﹣D．﹣【考点】函数的值．【分析】先分别求出f（k+1），f（k），由此能求出f（k+1）﹣f（k）．【解答】解：∵f（n）=++…+，∴f（k+1）=+…+++++f（k）=∴f（k+1）﹣f（k）=+．故选：C．8．若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1，2，3，4，5，6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有（）A．120个B．80个C．40个D．20个【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，因十位上的数最大，则其只能为3、4、5、6，进而分四种情形处理，即当十位数字分别为3、4、5、6时，计算每种情况下百位、个位的数字的情况数目，由分类计数原理，计算可得答案．【解答】解：根据题意，十位上的数最大，只能为3、4、5、6，分四种情形处理，当十位数字为3时，百位、个位的数字为1、2，有A22种选法，当十位数字为4时，百位、个位的数字为1、2、3，有A32种选法，当十位数字为5时，百位、个位的数字为1、2、3、4，有A42种选法，当十位数字为6时，百位、个位的数字为1、2、3、4、5，有A52种选法，则伞数的个数为A22+A32+A42+A52=40；故选C．9．下列判断错误的是（）A．若随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）=0.79，则P（ξ≤﹣2）=0.21B．若n组数据（x1，y1）…（x n，y n）的散点都在y=﹣2x+1上，则相关系数r=﹣1C．若随机变量ξ服从二项分布：ξ～B（5，），则Eξ=1D．“am2＜bm2”是“a＜b”的必要不充分条件【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；命题的真假判断与应用．【分析】根据正态分布的对称性，可判断A；根据相关系数的定义，可判断B；根据服从二项分布的变量的期望值公式，可判断C；根据不等式的基本性质，可判断D；【解答】解：∵P（ξ≤4）=0.79，∴P（ξ≥4）=1﹣0.79=0.21，又∵随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），∴P（ξ≤﹣2）=（ξ≥4）=0.21，故A正确；若n组数据（x1，y1）…（x n，y n）的散点都在y=﹣2x+1上，则x，y成负相关，且相关关系最强，此时相关系数r=﹣1，故B正确；若随机变量ξ服从二项分布：ξ～B（5，），则Eξ=5×=1“am2＜bm2”时，m2＞0，故“a＜b”，“a＜b，m=0”时，“am2＜bm2”不成立，故“am2＜bm2”是“a＜b”的充分不必要条件，故D错误；故选：D10．春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的附：参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过l%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”B．在犯错误的概率不超过l%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”C．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”D．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”【考点】独立性检验．【分析】通过图表读取数据，代入观测值公式计算，然后参照临界值表即可得到正确结论．【解答】解：由2×2列联表得到a=45，b=10，c=30，d=15．则a+b=55，c+d=45，a+c=75，b+d=25，ad=675，bc=300，n=100．代入，得k2的观测值k=．因为2.706＜3.030＜3.841．所以有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”．故选C．11．给出下列四个命题：①f（x）=x3﹣3x2是增函数，无极值．②f（x）=x3﹣3x2在（﹣∞，2）上没有最大值③由曲线y=x，y=x2所围成图形的面积是④函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（﹣∞，2）其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①求导数f′（x），利用导数判定f（x）的增减性和极值；②结合①，利用导数判定f（x）的增减性、求极（最）值；③利用定积分求出曲线y=x，y=x2所围成图形的面积S；④利用导数求出f（x）的切线的斜率为2时a的取值范围，去掉重和的切线．【解答】解：对于①，∵f′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2），当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，当0＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；∴x=0时f（x）有极大值，x=2时f（x）有极小值，∴①错误．对于②，由①知，当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，当0＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；∴x=0时f（x）有极大值f（0），也是最大值，∴②错误．对于③，∵，解得，或；∴由曲线y=x ，y=x 2所围成图形的面积S=（x ﹣x 2）dx=（x 2﹣x 3）=﹣=，∴③正确．对于④，∵f ′（x ）=+a=2（x ＞0），∴a=2﹣＜0； ∴a 的取值范围是（﹣∞，2），又当a=2﹣时，f （x ）的一条切线方程为2x ﹣y=0，∴④错误． 综上，以上正确的命题为③． 故选：A ．12．定义在区间[0，a ]上的函数f （x ）的图象如图所示，记以A （0，f （0）），B （a ，f （a ）），C （x ，f （x ））为顶点的三角形的面积为S （x ），则函数S （x ）的导函数S ′（x ）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】先分析出函数S （x ）的表达式为|AB |•h ，其中h 为点C 到直线AB 的距离且|AB |为定值，再利用h 在区间[0，a ]上的变化情况，得出函数S （x ）的增减变化，即可得到其导函数S ′（x ）的图象．【解答】解：连接AB ，BC ，CA ，以AB 为底，C 到AB 的距离为高h ．让C 从A 运动到B ，明显h 是一个平滑的变化，这样S （x ）也是平滑的变化．因为函数S （x ）=|AB |•h ，其中h 为点C 到直线AB 的距离．|AB |为定值．当点C 在（0，x 1]时，h 越来越大，s 也越来越大，即原函数递增，故导函数为正；当点C 在[x 1，x 2）时，h 越来越小，s 也越来越小，即原函数递减，故导函数为负；变化率的绝对值由小边大；当点C 在（x 2，x 3]时，h 越来越大，s 也越来越大，即原函数递增，故导函数为正；变化率由大变小；当点C 在[x 3，a ）时，h 越来越小，s 也越来越小，即原函数递减，故导函数为负．故选D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．下面是关于复数z=的四个命题：p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．其中的真命题为p2，p4．【考点】复数代数形式的乘除运算；命题的真假判断与应用．【分析】根据复数的除法运算法则先化简复数为a+bi，a、b∈R形式，再根据共轭复数、复数的虚部、复数模的计算公式求解．【解答】解：解：∵复数z====﹣1﹣i．|Z|=，∴p1：不正确；∵Z2=（﹣1）2+i2+2i=2i，∴p2：z2=2i，正确；∵=﹣1+i，∴p3：z的共轭复数为1+i，不正确；∵Z=﹣1﹣i，∴虚部为﹣1．∴p4：z的虚部为﹣1正确．故答案为：p2，p414．某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C3门课由于上课时间相同，至多选1门，若学校规定每位学生选修4门，则不同选修方案共有75种．【考点】计数原理的应用．【分析】由题意分两类，可以从A、B、C三门选一门，再从其它6门选3门，也可以从其他六门中选4门，根据分类计数加法得到结果．【解答】解：由题意知本题需要分类来解，第一类，若从A、B、C三门选一门，再从其它6门选3门，有C31•C63=60，第二类，若从其他六门中选4门有C64=15，∴根据分类计数加法得到共有60+15=75种不同的方法．故答案为：75．15．二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2；三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=πr3；四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3，则猜想其四维测度W=2πr4．【考点】类比推理．【分析】根据所给的示例及类比推理的规则得出高维的测度的导数是底一维的测度，从而得到W′=V，从而求出所求．【解答】解：∵二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2，观察发现S′=l三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=πr3，观察发现V′=S∴四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3，猜想其四维测度W，则W′=V=8πr3；∴W=2πr4；故答案为：2πr416．已知f（x）=x3+x，x∈R，若至少存在一个实数x使得f（a﹣x）+f（ax2﹣1）＜0成立，a的范围为（﹣∞，）．【考点】特称命题．【分析】根据f（x）=x3+x，x∈R为奇函数，且在R上单调递增，由题意可得ax2﹣x+a ﹣1＜0有解．分类讨论，求得a的范围．【解答】解：∵f（x）=x3+x，x∈R为奇函数，且在R上单调递增，至少存在一个实数x使得f（a﹣x）+f（ax2﹣1）＜0成立，即不等式f（a﹣x）＜﹣f（ax2﹣1）=f（1﹣ax2）有解，∴a﹣x＜1﹣ax2有解，即ax2﹣x+a﹣1＜0有解．显然，a=0满足条件．当a＞0时，由△=1﹣4a（a﹣1）＞0，即4a2﹣4a﹣1＜0，求得＜a＜，∴0＜a＜．当a＜0时，不等式ax2﹣x+a﹣1＜0一定有解．故答案为：（﹣∞，）．三、解答题（本大题共5小题，70分）17．已知：全集U=R，函数的定义域为集合A，集合B={x|x2﹣a＜0}（1）求∁U A；（2）若A∪B=A，求实数a的范围．【考点】并集及其运算；补集及其运算．【分析】（1）求出f（x）的定义域，确定出A，由全集U=R，求出A的补集即可；（2）根据A与B的并集为A得到B为A的子集，分a小于等于0与a大于0两种情况考虑，即可确定出a的范围．【解答】解：（1）∵，∴﹣2＜x＜3，即A=（﹣2，3），∵全集U=R，∴C U A=（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）；（2）当a≤0时，B=∅，满足A∪B=A；当a＞0时，B=（﹣，），∵A∪B=A，∴B⊆A，∴，∴0＜a≤4，综上所述：实数a的范围是a≤4．18．已知函数f（x）=（a、b为常数），且f（1）=，f（0）=0．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）判断函数f（x）在定义域上的奇偶性，并证明；（Ⅲ）对于任意的x∈[0，2]，f（x）（2x+1）＜m•4x恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）运用代入法，得到a，b的方程，解得a，b，可得f（x）的解析式；（Ⅱ）函数f（x）为奇函数．运用奇函数的定义，即可得证；（Ⅲ）f（x）（2x+1）＜m•4x恒成立，即为2x﹣1＜m•4x，运用参数分离和换元法，结合指数函数和二次函数的值域，可得右边的最大值，即可得到m的范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得，，解得a=1，b=﹣1，所以；（Ⅱ）函数f（x）为奇函数．证明如下：f（x）的定义域为R，∵，∴函数f（x）为奇函数；（Ⅲ）∵，∴，∴2x﹣1＜m•4x∴=g（x），故对于任意的x∈[0，2]，f（x）（2x+1）＜m•4x恒成立等价于m＞g（x）max令，则y=t﹣t2，则当时，故，即m的取值范围为．19．甲、乙两位小学生各有2008年奥运吉祥物“福娃”5个（其中“贝贝”、“晶晶”、“欢欢”、“迎迎”和“妮妮各一个”），现以投掷一个骰子的方式进行游戏，规则如下：当出现向上的点数是奇数时，甲赢得乙一个福娃；否则乙赢得甲一个福娃，规定掷骰子的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有福娃时游戏终止．记游戏终止时投掷骰子的次数为ξ（1）求掷骰子的次数为7的概率；（2）求ξ的分布列及数学期望Eξ．【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】对于（1）求掷骰子的次数为7的概率．首先可以分析得到甲赢或乙赢的概率均为，若第7次甲赢意味着“第七次甲赢，前6次赢5次，但根据规则，前5次中必输1次”．若乙赢同样．故可根据二项分布列出式子求解即可．对于（2）求ξ的分布列及数学期望Eξ．故可以设奇数出现的次数为m，偶数出现的次数为n．然后根据题意列出关系式，求出可能的m n的值又ξ=m+n，求出ξ的可能取值，然后分别求出概率即可得到ξ的分布列，再根据期望公式求得Eξ即可．【解答】解：（1）当ξ=7时，若甲赢意味着“第七次甲赢，前6次赢5次，但根据规则，前5次中必输1次”，由规则，每次甲赢或乙赢的概率均为，因此P（ξ=7）=（2）设游戏终止时骰子向上的点数是奇数出现的次数为m，向上的点数是偶数出现的次数为n，则由，可得：当m=5，n=0或m=0，n=5时，ξ=5；当m=6n=1或m=1，n=6时，ξ=7当m=7，n=2或m=2，n=7时，ξ=9．因此ξ的可能取值是5、7、9每次投掷甲赢得乙一个福娃与乙赢得甲一个福娃的可能性相同，其概率都是所以ξ的分布列是：故．20．一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为1万元，每生产1万件需要再投入2万元，设该公司一个月内生产该小型产品x 万件并全部销售完，每万件的销售收入为4﹣x万元，且每万件国家给予补助2e ﹣﹣万元．（e 为自然对数的底数，e 是一个常数）（Ⅰ）写出月利润f （x ）（万元）关于月产量x （万件）的函数解析式（Ⅱ）当月产量在[1，2e ]万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值（万元）及此时的月生成量值（万件）．（注：月利润=月销售收入+月国家补助﹣月总成本）【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用． 【分析】（Ⅰ）由月利润=月销售收入+月国家补助﹣月总成本，即可列出函数关系式； （2）利用导数判断函数的单调性，进而求出函数的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）由于：月利润=月销售收入+月国家补助﹣月总成本，可得（Ⅱ）f （x ）=﹣x 2+2（e +1）x ﹣2elnx ﹣2的定义域为[1，2e ]，且由上表得：（）﹣+（+）﹣﹣在定义域[1，2e ]上的最大值为f （e ）． 且f （e ）=e 2﹣2．即：月生产量在[1，2e ]万件时，该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值为f （e ）=e 2﹣2，此时的月生产量值为e （万件）．21．已知函数．（Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）证明：若a ＜5，则对任意，有．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）由，得当a﹣1＞1时，即a ＞2时，f （x ）的单调增区间为（0，1），（a ﹣1，+∞）；单调减区间为（1，a ﹣1）．当a ﹣1=1时，即a=2时，f （x ）的单调增区间为（0，+∞）（Ⅱ）要证：对任意，有．即证f（x1）+x1＞f（x2）+x2设，x＞0，即证g（x）在（0，+∞）单调递增．由，由g（x）在（0，+∞）单调递增，从而原题得证．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），，∵a﹣1≥1当a﹣1＞1时，即a＞2时，f（x）的单调增区间为（0，1），（a﹣1，+∞）；单调减区间为（1，a﹣1）．当a﹣1=1时，即a=2时，f（x）的单调增区间为（0，+∞）（Ⅱ）要证：对任意，有．不防设x1＞x2，即证f（x1）﹣f（x2）＞﹣（x1﹣x2）即证f（x1）+x1＞f（x2）+x2设，x＞0即证当x1＞x2时，g（x1）＞g（x2）．即证g（x）在（0，+∞）单调递增．∵而△=（a﹣1）2﹣4（a﹣1）=（a﹣1）（a﹣5）又∵2≤a＜5，∴△＜0，∴x2﹣（a﹣1）x+（a﹣1）＞0恒成立，∴对x∈（0，+∞）恒成立，∴g（x）在（0，+∞）单调递增．∴原题得证．四、选考题（本题满分10分）（请在以下甲、乙、丙三个选考题中任选一个作答，多答则以第一个计分）[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．【考点】圆的切线的判定定理的证明．【分析】（Ⅰ）连接AE和OE，由三角形和圆的知识易得∠OED=90°，可得DE是⊙O的切线；（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由射影定理可得关于x的方程x2=，解方程可得x值，可得所求角度．【解答】解：（Ⅰ）连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB，在RT△ABC中，由已知可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，连接OE，则∠OBE=∠OEB，又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线；（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由已知得AB=2，BE=，由射影定理可得AE2=CE•BE，∴x2=，即x4+x2﹣12=0，解方程可得x=∴∠ACB=60°[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的参数方程是（α为参数），直线l的参数方程为（t为参数），（1）求曲线C与直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线C相交于P，Q两点，且|PQ|=，求实数m的值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）由sin2α+cos2α=1，能求出曲线C的普通方程，消去直线l中的参数，能求出直线l的普通方程．．（2）求出圆心C（0，m）到直线l：2x﹣y+2=0的距离d，再由勾股定理结合弦长能求出m．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程是（α为参数），∴曲线C的普通方程：x2+（y﹣m）2=1，∵直线l的参数方程为（t为参数），∴消去参数，得直线l的普通方程为：2x﹣y+2=0．（2）∵曲线C：x2+（y﹣m）2=1是以C（0，m）为圆心，以1为半径的圆，圆心C（0，m）到直线l：2x﹣y+2=0的距离：d==|m﹣2|，又直线l与曲线C相交于P，Q两点，且|PQ|=，∴2=解得m=1或m=3．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥3（2）如果∀x∈R，f（x）≥2，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）若a=﹣1，由绝对值的意义求得不等式f（x）≥3的解集．（2）由条件利用绝对值的意义求得函数f（x）的最小值为|a﹣1|，可得|a﹣1|=2，由此求得a的值．【解答】解：（1）若a=﹣1，函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|=|x﹣1|+|x+1|，表示数轴上的x 对应点到1、﹣1对应点的距离之和，而﹣1.2和1.5 对应点到1、﹣1对应点的距离之和正好等于3，故不等式f（x）≥3的解集为{x|≤﹣1.5，或x≥1.5}．（2）由于∀x∈R，f（x）≥2，故函数f（x）的最小值为2．函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|表示数轴上的x对应点到1、a对应点的距离之和，它的最小值为|a﹣1|，即|a﹣1|=2，求得a=3 或a=﹣1．2016年8月3日。
人教A版选修2-2高二期末调研考试理科数学试题.docx
高中数学学习材料唐玲出品湖北省黄冈市2015-2016学年秋高二期末调研考试理科数学试题2015年秋季高二期末考试数学参考答案（理科）一、选择题 DADBB DCBAC AD二、 13．16 14．13a -≤≤. 15．3 16．① ④ 17．（1）检测数据的频率分布直方图如图：...........................................5分（2）检测数据中醉酒驾驶的频率是210.1520+=...............................6分 估计检测数据中酒精含量的众数是35与55．...............................8分 估计检测数据中酒精含量的平均数是0.01510250.020⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.01010650.01510750.01010850.005109555+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.....................10分18．（1）由22430x ax a -+<，得(3)()0x a x a --<，又0a >，所以3a x a <<． ...............................2分 当1a =时，13x <<，即p 为真时实数x 的取值范围是13x <<．...............................3分由2260280x x x x ⎧--≤⎨+->⎩得2324x x x -≤≤⎧⎨><-⎩或得23x <≤， 即q 为真时实数x 的取值范围是23x <≤． ...............................4分 若p q ∧为真，则p 真且q 真，.. .............................5分 所以实数x 的取值范围是23x <<． ...............................6分 （2）p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即p q ⌝⇒⌝，且q ⌝推不出p ⌝． 即q是p的充分不必要条件，2,3]⊂即（（a,3a) ...............................8分则332a a >⎧⎨≤⎩，解得12a <≤，所以实数a 的取值范围是12a <≤．.............................12分 19．（Ⅰ）前三次射击成绩依次记为123x x x 、、，后三次成绩依次记为123y y y 、、，从这6次射击成绩中随机抽取两个，基本事件是：121323{,},{,},{,},x x x x x x 121323{,},{,},{,},y y y y y y 111213{,},{,},{,},x y x y x y212223{,},{,},{,},x y x y x y 313233{,},{,},{,}x y x y x y ，共15个，...............................3分其中可使||1a b ->发生的是后9个基本事件.故93(||1)155P a b ->==.……………6分 （Ⅱ）因为着弹点若与A B C 、、的距离都超过1cm ，则着弹点就不能落在分别以A B C、、为中心,半径为1cm 的三个扇形区域内，只能落在扇形外的部分................................7分因为43cos sin 55C C =∴=则1=56sin 9,2ABC S C ∆⨯⨯⨯=...............................9分 满足题意部分的面积为211922ABC S S ππ∆'=-⨯⨯=-，...............................11分故所求概率为118ABCS p S π∆'==-. ……………12分20（1）∵ ()0,2F ，4p =， ∴ 抛物线方程为y x 82=，...............................1分与直线22y x =+联立消去y 得： 016162=--x x ，设),(),,(2211y x B y x A ..........2分 则16,162121-==+x x x x ， ...............................3分 ∴ =++=++=)42)(42()2)(2(||||2121x x y y BF AF 80； ...............................5分（2）假设存在，由抛物线py x 22=与直线22y x =+联立消去y 得：0442=--p px x设),(),,(2211y x B y x A ，0,∆>则p x x p x x 4,42121-==+，...............................7分)24,2(+p p P ),2,2(p p Q ...................................................8分方法一,22+=∴p PQ ...................................................9分 p p p p AB +⋅=+⋅=225416)4(5 又...............................10分∴=AB PQ 21且01342=-+p p )(141舍或-==p p ...............................11分故存在14p =0.∆>且满足 ......................12分方法二：由0=⋅QB QA 得：0)2)(2()2)(2(2121=--+--p y p y p x p x ................9分 即1212(2)(2)(222)(222)0x p x p x p x p --++-+-=，...............................10分 ∴ 0488))(64(522121=+-++-+p p x x p x x ， ...............................11分 代入得01342=-+p p ，)(141舍或-==p p ．故存在0.∆>且满足 14p =.........12分 21.试题分析：（1）证明：在图中，由题意可知，,BA PD ABCD ⊥为正方形，所以在图中，,2SA AB SA ⊥=，四边形ABCD 是边长为2的正方形， ........................................2分 因为SB BC ⊥，AB ⊥BC ，所以BC ⊥平面SAB ， . .............................4分又SA ⊂平面SAB ，所以BC ⊥SA ，又SA ⊥AB ，所以SA ⊥平面ABCD ， ........6分（2）方法一：建立空间直角坐标系，以AB x AD y AS 为轴，为轴，为Z 轴，.....7分(000),(220),(020),(002)A C D S ，，，，，，，，124,(0)333SE SD E =∴，，................8分24(220),(0),(002)(,,)33AC AE AS AEC n x y z ====则，，，，，，设平面的法向量为0,0(2,2,1)n AC n AE n ⋅=⋅==-得.....................10分 ,ACD AS θ又平面的法向量为设二面角为，则1cos ,tan 2 2.3n AS n ASθθ⋅==∴=⋅即二面角E —AC —D 的正切值为22..............12分 方法二：在AD 上取一点O ，使13AO AD =，连接EO 因为13SE SD =，所以EO//SA 所以EO ⊥平面ABCD ，过O 作OH ⊥AC 交AC 于H ，连接EH ， ...7分则AC ⊥平面EOH ，所以AC ⊥EH 。
湖北省襄阳市2014-2015学年高二下学期期末考试数学(理)试卷(扫描版)
2015年7月襄阳市普通高中调研统一测试高二数学(理工类)参考答案及评分标准说明1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。
2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅。
当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数的一半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。
3．解答题中右端所标注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数。
一．选择题：AABDB DCDCC BA二．填空题：13．49 14．75 15．1[1)2， 16．②③④ 三．解答题：17．解：若p ：方程2210x mx ++=有两个不相等的正根为真，则21244020m x x m ⎧=->⎨+=->⎩ 2分 解得1m <-3分 若q ：方程22(2)3100x m x m +--+=无实根为真5分 则24(2)12400m m =-+-<解得23m -<<6分 ∵p ∨q 为真，∴命题p 与命题q 至少有一个为真7分 ∵p ∧q 为假，∴命题p 与命题q 至少有一个为假8分 因此，命题p 与命题q 必一真一假9分 若p 真q 假，则2m -≤10分若p 假q 真，则13-<≤11分综上，实数m 的取值范围为{|2m m -≤或13}m -<≤12分18．(Ⅰ)解：2()(2)1(1)(1)f x x a x a x x a '=+-+-=++-当a = 0时，2()(1)0f x x '=+≥恒成立当且仅当1x =-时取“=”号，f (x )在R 上单调递增2分 当a > 0时，由()0f x '=，得1211x x a =-=-，且x 1 < x 23分 当x 变化时，()()f x f x '、的变化如下表：f (x )在(1]-∞-，单调递增，在[11]a --，单调增减，在[1)a -+∞，单调递增． 6分(Ⅱ)解：由(Ⅰ)可知 当a = 0时，f (x )在[0，1]上单调递增 7分当a > 0时，∵f (x )在[0，1]上单调递增，∴[01][1)a ⊆-+∞，， 9分因此，1a -≤0，a ≤1 11分 综上，a 的取值范围是[0，1]．12分19．方法一5分 AE(Ⅰ)解：如图：在△ABC 中，由E 、F 分别是AC 、BC 中点，得EF ∥AB 2分 又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF∴AB ∥平面DEF ． 4分(Ⅱ)解：∵AP ⊥CP ，AP ⊥BP ，CP 、AP 在平面PBC 内∴AP ⊥平面PBC取PC 的中点M ，连结EM ，则EM ∥P A∴EM ⊥平面PBC ，故EM ⊥PF过M 作MN ⊥PF 于点N ，连结EN则PF ⊥平面EMN ，∴则EN ⊥PF因此∠MNE 是二面角E －DF －C 的平面角在Rt △EMN 中，EM = 1，MN =，∴EN =故cos MNE ∠= 即二面角E －DF －C8分 (Ⅲ)解：在线段BC 上存在点Q ，使AQ ⊥PE证明如下：在线段BC 上取点Q ．使13BQ BC =，过Q 作QR ⊥PC 于点R 则QR ⊥平面P AC∵13PR PC ==Rt △P AR 中，∠P AR = 30°，∴AR ⊥PE ∴PE ⊥平面AQR ，因此AQ ⊥PE12分方法二(Ⅰ)同方法一(Ⅱ)解：以直线PB PC PA 、、分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则A (0，0，2)，B (2，0，0)，C (0，，0)∴E (01)，F (1，3，0) 4分平面PCF 的法向量(002)DA =，，设平面PEF 的法向量为n = (x ，y ，z )则0000PF x z PE ⎧⋅=+=⎧⎪⇒⎨+=⋅=⎪⎩n n取n = (3，3)6分cos ||||DA DA DA ⋅<⋅>==⋅n n n 二面角E －PF －C． 8分(Ⅲ)解：设Q (x ，y ，0)，则(20)(20)BQ x y BC=-=-，，，，由B 、Q 、C 共线得：2)2x y x -=⇒=--(2)AQ x =--，，10分由AQ ⊥PE得：0()2)(01)0AQ PE x x ⋅=⇒--⋅=， 解得：43x =，∴在线段BC 上存在点Q ，使AQ ⊥PE ．12分20．(Ⅰ)解：由已知A (0，b )，设F 1(c -，0)，F 2(c ，0) 由1222F F F Q +=0得：Q (3c -，0)1分 ∴2(3)()AQ c b AF c b =--=-，，，2分 由AQ ⊥AF 2得：22230AQ AF c b ⋅=-+=，∴222302c a c a c-+-=⇒=3分 过A 、Q 、F 2三点的圆的圆心为斜边QF的中点(c -，0)，半径r = 2c 4分∵过A 、Q 、F 2三点的圆恰好与直线30x -=相切 ∴圆心到直线30x -=的距离 = r ，即|3|212c c c --=⇒=5分 ∴a = 2c = 2，b =故所求的椭圆的方程为22143x y +=6分 (Ⅱ)解：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由题意y 1、y 2异号 12121211||||||2F MN S F F y y y y =⨯-=-由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为x = my + 1 由221431x y x my ⎧⎪+=⎨⎪=+⎩ 得：22(34)690m y my ++-=8分 ∴121222693434m y y y y m m --+==++，故22221212122222636144(1)()()4()3434(34)m my y y y y y m m m -+-=+-=+=+++ ∴121||F MN S y y =-=10分令t =，则211212(1)1313F MN tS t t t t==++≥当t = 1时，△F 1MN 有最大值3．此时，m = 0故△F 1MN 的面积的最大值为3，此时直线l 的方程为x = 1． 12分21．(Ⅰ)解：22221(1)()10x f x x x x -'=--=-<∴f (x )在(0，+∞)上单调递减．2分 (Ⅱ) 解：原不等式可化为1ln(1)x +<=4分令1)t t => 原不等式等价于12ln t t t <- 令1()2ln g t t t t =-+，由(Ⅰ)知，函数g (t )在(0，+∞)上单调递减6分 ∴()(1)0g t g <= 故12ln t t t <-，故原不等式成立．8分 (Ⅲ)证：由(Ⅱ)1ln(1)ln(1)ln n n n >+=+-9分(n n ++++(ln 2ln1)(ln 3ln 2)[ln(1)ln ]ln(1)n n n >-+-+++-=+ 10分令()ln(1)(0)1xh x x x x =+->+则2211()01(1)(1)xh x x x x '=-=>+++∴h (x )在(0，+∞)是增函数，故h (x ) > h (0) = 0 11分因此ln(1)0ln(1)11xx x x x x +->⇒+>++ ln(1)(1nn n n n +>+>++12分22．(Ⅰ) 解：设A (x 1，y 1)，B (x 2， y 2)，则126y y += 2分 又21122288y x y x ⎧=⎨=⎩， 两式相减得：2212128()y y x x -=-∴121212843AB y y k x x y y -===-+4分 故AB 的方程为43(2)3y x -=-，即4310x y -+=5分 (Ⅱ)解：设AB 方程为y x b =+由28y x y x b ⎧=⎨=+⎩得：2880y y b -+=6分 ∵64320b ∆=->，∴2b <，1242y y +=7分弦AB 的中点(44)b -，，故线段垂直平分线方程为4(4)y x b -=--+8分 令0y =，得8x b =-+∵2b <，∴6x >即线段AB 的垂直平分线在x 轴上的截距范围(6，+∞)． 10分。
湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年高二数学下学期期末考试试题 理
湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年度下学期高二期末考试数 学 试 卷(理科）全卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数211ii i-+- 等于（ ） A. i B. 0 C.-i D.1+i2．设x x x x f ln 42)(2--=，则函数()f x 单调递增区间为（A ） ),0(+∞ （B ）)0,1(-和),2(+∞ （C ）),2(+∞ (D))0,1(- 3．函数()y f x =的图象如图所示，若()f x dx m π=⎰，则20()f x dx π⎰等于（ ） A．mB ．2mC ．m -D ．04．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. y x =B. y =C.y x =D.32y x =±5．曲线12x y e=在点2(4,)e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 （ ）A ．2e B ．22e C ．24e D ．292e 6．下列命题错误的是 （ ）A 、命题“若0m >，则方程02=-+m x x 有实数根”的逆否命题为“若方程02=-+m x x 无实数根，则0m ≤”B 、“1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件C 、对于命题:p x R ∃∈,使得012<++x x ，则R x p ∈∀⌝:，均有012≥++x xD 、若q p ∧为假命题，则,p q 均为假命题7.棱长均为3三棱锥ABC S -，若空间一点P 满足SC z SB y SA x SP ++=)1(=++z y x 为( )A 、6B 、36 C 、63 D 、1 8．已知函数)()1(x f x y '-=的图象如图所示，其中)(x f '为函数)(x f 的导函数，则)(x f y =的大致图象是( )9．如图，过双曲线上左支一点A 作两条相互垂直的直线分别过两焦点，其中一条与双曲线交于点B ，若三角形ABF 2是等腰直角三角形，则双曲线的离心率为 （ ）ABCD10．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E F ，分别是1AB ，1BC 的中点，则以下结论中不成立．．．的是（ ） A ．EF 与1BB 垂直 B ．EF 与BD 垂直 C ．EF 与CD 异面D ．EF 与11AC 异面11．已知函数()y f x =对任意的x ∈R 满足2'()2()x x f x f x ->（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（ ） A ．2(2)(1)f f -<- B ．2(1)(2)f f > C ．4(2)(0)f f -> D ．2(0)(1)f f >ABC1A 1C 1D 1B DEF12．定义方程()'()f x f x =的实数根0x叫做函数()f x 的“新驻点”，若函数()1),()1g x x x ϕ==-3,()ln(1),()1x h x x x x ϕ=+=-的“新驻点”分别为,,αβγ，则,,αβγ的大小关系为（ ）A ．αβγ>>B ．βαγ>>C ．γαβ>>D ．βγα>>第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．复数4312ii++的虚部为 . 14．用数学归纳法证明某命题时，左式为nn 111.4131211--++-+-（n 为正偶数），从“n=2k ”到“n=2k+2”左边需增加的代数式为________.15．设21 , F F 为双曲线12222=-by a x 的左右焦点，点P 在双曲线的左支上，且||||122PF PF 的最小值为a 8，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 16．已知()0,x ∈+∞，不等式12x x +≥，243x x +≥，3274x x +≥，…，可推广为1n ax n x+≥+，则a 等于 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）已知命题p ：[]0,2,12≥-∈∀a x x ，命题q ：022,0200=-++∈∃a ax x R x ，若“p 且q ”为真命题，求实数a 的取值范围．18．（本题满分12分） 已知函数2()ln f x x a x =+． （1）当2a e =-时,求函数()f x 的单调区间和极值； （2）若函数2()()g x f x x=+在[1,4]上是减函数,求实数a 的取值范围．19.（本题满分12分） 如图，在三棱锥S ABC -中，侧面SAB与侧面SAC 均为等边三角形，90BAC ∠=°，O 为BC 中点． （Ⅰ）证明：SO ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求二面角A SC B --的余弦值．OSBC20. (本小题满分12分)已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为离心率为2,其右焦点为F ,过点(0,)B b 作直线交椭圆于另一点A ．（1）若6AB BF ⋅=-,求ABF ∆外接圆的方程;（2）若过点(2,0)M 的直线与椭圆:N 222213x y a b +=相交于两点G 、H ，设P 为N 上一点，且满足OG OH tOP += （O 为坐标原点），当PG PH -< 时，求实数t 的取值范围．21.(本小题满分12分) 已知函数2()ln ()1f x a x a R x =+∈+． （1）当1a =时，求()f x 在[1,)x ∈+∞最小值； （2）若()f x 存在单调递减区间，求a 的取值范围； （3）求证：1111ln(1)35721n n +>+++++ （n ∈*N ）．请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。
黄冈市2015年秋高二期末调研考试理科数学参考答案
...............................3
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ， 0, 则 x1 x2 4 p, x1 x2 4 p ，...............................7 分
P(2 p,4 p 2)
所求的直线方程为y
7 x －2. 2
答案第 3 页，总 5 页
1．D. 2．A.试题分析：①中甲的中位数是 81，乙的中位数是 87．5，因此乙的中位数较大；②甲的平均分为
69 78 87 88 92 96 72 76 80 82 86 90 85 ，所以乙的平均分高； 81 ，乙的平均分为 6 6
又 SA 平面 SAB，所以 BC SA，又 SA AB，所以 SA 平面 ABCD， ........6 分 （2）方法一：建立空间直角坐标系，以 AB为x轴，AD为y轴，AS为Z轴， .....7 分
答案第 2 页，总 5 页
A(0， 0， 0), C(2， 2， 0), D(0， 2， 0), S (0， 0， 2)
...7 分
1 SD ，所以 EO//SA 所以 EO 平面 ABCD，过 O 作 OH AC 交 AC 于 H，连接 EH， 3
则 AC 平面 EOH，所以 AC EH。所以 EHO 为二面角 E—AC—D 的平面角，
..........9 分
EO
2 4 2 2 2 „11 分 SA 在 Rt AHO 中， HAO 45 , HO AO sin 45 3 3 3 2 3
2 1 0.15 ...............................6 分 20
黄冈市2014年秋季高二年级期末考试
黄冈市2014年秋季高二年级期末考试物理试题黄冈市教育科学研究院命制2015年2月6 日上午10∶30~12∶00 考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题.2.本试卷满分100分，考试时间90分钟.3．请将各题答案填到答题卷相应位置，考试结束，考生只交答题卷.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、本题包括10小题．每小题4分，共40分。
每小题给出的四个选项中，第1~7题只有一项符合题目要求，第8~10题有多项符合题目要求。
全部选对的得4分，选对但不全的得2 分，有选错的得0 分．1.发现了电磁感应现象的科学家是A．法拉第B．奥斯特C．库仑D．安培2. 下列关于磁场与磁感线的说法中，正确的是A．磁场是客观存在的一种物质，是由磁感线组成的B．磁感线是由细铁屑组成的C．磁场对放入其中的磁极有力的作用D．磁感线上每一点的切线方向即是放在此处电流元的受力方向3．如图甲所示，矩形金属线框绕与磁感线垂直的转轴在匀强磁场中匀速转动，输出交变电流的电动势图象如图乙所示，则A．t＝0.01 s时刻穿过线框回路的磁通量为零B．线框的转速为50 r/sC．t＝0.005 s时刻穿过线框回路的磁通量变化率为零D．该输出交流电能使额定电压为的灯泡正常发光4．理论研究表明，无限长通电直导线磁场中某点的磁感应强度可用公式IB kr表示，公式中的k是常数、I是导线中电流强度、r是该点到直导线的距离。
若两根相距为L的无限长通电直导线垂直x轴平行放置，电流强度均为I，如图所示。
能正确反映两导线间的磁感应强度B与x关系的是图中的（规定B的正方向垂直纸面向里）5．如图是街头变压器通过降压给用户供电的示意图。
假设变压器的输入电压保持不变，变压器与用户之间的两条输电线的总电阻用R 0表示，变阻器R 代表用户用电器的总电阻，当用电器增加时，相当于R 的值减小。
忽略变压器上的能量损失，不计电压表、电流表的内阻对电路的影响。
湖北省黄冈中学2014届下学期高三年级5月模拟考试数学试卷(理科)
湖北省黄冈中学2014届下学期高三年级5月模拟考试数学试卷（理科）本试题卷共6页，共22题，其中第15、16题为选考题．满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B 铅笔涂黑．考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选．答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,4}，N ＝{2,3}，则集合{5,6}等于( )A ．M ∪NB ．M ∩NC ．(∁U M )∪(∁U N )D ．(∁U M )∩(∁U N )2．已知命题p ：,x R $?使1sin 2x x <成立． 则p Ø为（ ）A ．,x R $?使1sin 2x x =成立 B ．,x R "?1sin 2x x <均成立 C ．,x R $?使1sin 2x x ³成立 D ．,x R "?1sin 2x x ³均成立 3．由曲线23,y x y x ==围成的封闭图形的面积为（ ）A ．112B ．14C ．13D ．7124．向圆内随机投掷一点，此点落在该圆的内接正n 边形*(3,)n n N ≥∈内的概率为n P 下列论断正确的是（ ）A ．随着n 的增大，n P 增大B ．随着n 的增大，n P 减小C ．随着n 的增大，n P 先增大后减小D ．随着n 的增大，n P 先减小后增大 5．为得到函数sin()3y x π=+的图象，可将函数sin y x =的图象向左平移m 个单位长度，或向右平移n 个单位长度（m ，n 均为正数），则||m n -的最小值是（ ） A ．43π B ．23π C ．3πD ．2π 6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*,(,n m n mS S m n N m n==∈且)m n ≠，则下列各值中可以为n m S +的值的是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．已知变量,x y 满足不等式组21022020x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，则22x yz =+的最小值为( )A ．52B ．2C．D．8．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 0C ”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）： ① 甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ② 乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③ 丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8． 则肯定进入夏季的地区有 ( ) A ． 0个B ． 1个C ． 2个D ． 3个9．在等腰梯形ABCD 中，,E F 分别是底边,AB CD 的中点，把四边形AEFD 沿直线EF 折起后所在的平面记为α，P α∈，设,PB PC 与α所成的角分别为1212,(,θθθθ均不为0)．若12θθ=，则点P 的轨迹为（ ） A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线10．已知关于x 的方程cos xk x=在(0,)+∞有且仅有两根，记为,()αβαβ<，则下列的四个命题正确的是（ ）A ．2sin 22cos ααα=B ．2cos 22sin ααα= C ．2sin 22sin βββ=- D ．2cos 22sin βββ=-二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一）必考题（11—14题）11．已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如图所示. 若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为__________．12．设(1,1,2),(,,)a b x y z =-=，若22216x y z ++=， 则a b ⋅的最大值为 ．13．过抛物线2:2C x y =的焦点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，若抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，则线段AF = ． 14．已知数列A ：123,,,,n a a a a *(3)n n N ≥∈，中，令{}*|,1,,A i j T x x a a i j n i j N==+≤<≤∈，()Acard T 表示集合AT中元素的个数．（1）若:1,3,5,7,9A ，则()A card T = ；（2）若1i i a a c +-=（c 为常数，且0c ≠，11i n ≤≤-）则()A card T = ． （二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分.） 15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，PC 切圆O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD AB ⊥于点E ，已知圆O 的半径为3，2PA =，则CE =______．16．（选修4-4：坐标系与参数方程）已知在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为3cos ,(13sin x y θθθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数），以ox 为极轴建立极 坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()0.6πρθ+=则圆C 截直线l 所得的弦长为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知ABC ∆中，21,,3AC ABC BAC x π=∠=∠=，记()f x AB BC =⋅． （1）求()f x 解析式并标出其定义域；（2）设()6()1g x mf x =+，若()g x 的值域为3(1,]2，求实数m 的值．18．（本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，把它们编号，利用随机数表法抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(5,15],(15,25],(25,35]，(35,45],由此得到样本的重量频率分布直方图，如图所示．（1）求a 的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；AN11（3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在(5,15]内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和期望．19．（本小题满分12分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示（转下页），其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，（1）求证：BN 11C B N ⊥平面；（2）设θ为直线1C N 与平面1CNB 所成的角，求sin θ的值； （3）设M 为AB 中点，在BC 边上求一点P ，使MP //平面CNB 1 ，求BPPC的值． 20．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的各项均为正数，观察程序框图，当2k =时， 23S =；当3k =时，34S =．4正视图 侧视图俯视图（1）试求数列{}n a 的通项；（2）设若[]x 表示不大于x 的最大整数（如[2.10]2,[0.9]0==），求22222[log 1][log 2][log 3][log (21)][log (2)]n n a a T =+++-+关于n 的表达式．21． (本小题满分13分)已知,A B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左,右顶点，B (2,0)，过椭圆C 的右焦点F的直线交椭圆于点M , N , 交直线4x =于点P ，且直线PA ，PF ，PB 的斜率成等差数列．（1）求椭圆C 的方程；（2）若记,AMB ANB ∆∆的面积分别为12,S S 求12S S 的取值范围．22．（本小题满分14分）设()xg x e =，()[(1)]()f x g x a g x =λ+-λ-λ，其中,a λ是常数，且01λ<<．（1）求函数()f x 的最值；（2）证明：对任意正数a ，存在正数x ，使不等式()11g x a x--<成立； （3）设120,0λλ>>，且121λλ+=，证明：对任意正数21,a a 都有：12121122a a a a λλ≤λ+λ．2014年届湖北省黄冈中学五月模拟试题 1．【答案】D 2． 【答案】D【解析】原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即:p ⌝,sin 2x x x ∀∈≥R ． 3．【答案】A 【解析】12334100111()()()|3412S x x d x x x =-=-=⎰ 4．【答案】A【解析】22122sin sin22n nr n n n P r ππππ==,设()2sin f x x x π=,可知 ()222'sincos f x x x x πππ=-,可[3,4]x ∈时()222'sin cos 0f x x x xπππ=->,当(4,)x ∈+∞时, ()222'costan 0f x xx x πππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭,故n P 在*3()n n N ≥∈时单调递增.5．【答案】B【解析】由条件可得121252,2(,)33m k n k k k N ππππ=+=+∈，则 124|||2()|3m n k k ππ-=--，易知121k k -=时min 2||3m n π-=6．【答案】D【解析】由已知，设2n S An Bn =+，则22()1()1n m n S An Bn An B m m mAm B n S Am Bm n ⎧=+=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=+=⎪⎩两式相减得，()0B m n -=，故10,B A mn==。
湖北省黄冈中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学(文)试题 Word版含答案
黄冈中学2015年春季期中考试文科数 学 试 题命 题：蔡 盛 校 对：杨 园一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．）1．命题“∀x ∈R ，20x ≥”的否定．．是( ) A ．∀x ∈R ，20x < B ．∀x ∈R ，20x ≤ C ．∃x 0∈R ，200x < D ．∃x 0∈R ，200x ≥ 【答案】C【解析】这是一个全称命题，它的否定是特称命题，选C ． 2．抛物线2x ay =的准线方程是2y =-，则a =（ ）A. 16a =B. 8a =C. 4a =D. 2a = 【答案】B【解析】4,28p a p ===，选B ．3．已知直线y m =是曲线x y xe =的一条切线，则实数m 的值为（ ） A. 1e - B. e - C. 1eD. e 【答案】A【解析】()011x y e x x '==+⇒=-，故切点的坐标为()11,e ---，由切点在切线上有：1m e -=-，选A ．4．若不等式42kx -≤的解集为{}13x x ≤≤，则实数k =（ ） A. 6 B. 3 C. 2 D. 12【答案】：C【解析】：由42kx -≤可得26kx ≤≤，所以132kx ≤≤，所以12=k ，故2=k .5．双曲线22143x y -=的焦点到一条渐近线的距离是（ ）A.1B.C. 2D.【答案】B【解析】右焦点坐标是)，一条渐近线是20y y =⇒-==，即选B ．6． “12λ-<<”是“方程22112x y λλ+=+-表示椭圆”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】方程22112x y λλ+=+-表示椭圆102012λλλλ+>⎧⎪⎪⇒->⎨⎪+≠-⎪⎩，得：12λ-<<且12λ≠，故选B. 7．若不等式1x a -<成立的充分条件是04x <<，则实数a 的取值范围是（ ）A.[]1,3B.()1,+∞C. ()3,+∞D.[)3,+∞ 【答案】D【解析】∵1x a -<，∴11a x a -<<+，又∵不等式1x a -<成立的充分条件是04x <<，∴1014a a -⎧⎪⎨+⎪⎩≤≥，解得：3a ≥，故选D ． 8．已知函数()ln f x kx x =-在()1,+∞上为增函数，则k 的取值范围是（ ） A. [)1,+∞ B. [)2,+∞ C. (],1-∞- D. (],2-∞- 【答案】A【解析】1()f x k x '=-，由已知得：1()0f x k x '=-≥在()1,+∞上恒成立，故1k x≥在()1,+∞上恒成立，即1k ≥，故选A9．已知圆M ：()22116x y ++=及定点()1,0N ，点P 是圆M 上的动点，线段PN 的中垂线与线段PM 相交于点G ，则点G 的轨迹是（ ）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线 【答案】B【解析】连接GN ，由已知得：GP GN =，所以4GM GN GM GP MP MN +=+==>，故点G 的轨迹是椭圆，故选B10．函数()323f x x x a =--有3个零点，则a 的取值范围是（ ）A.40a -<<B.51a -<<-C.31a -<<D.51a -<< 【答案】A【解析】()236f x x x '=-，令()0f x '=，则120,2x x ==，由单调性可得：极大值为()0f a =-，极小值为()24f a =--，则040a a ->⎧⎪⎨--<⎪⎩，故40a -<<，故选A ．11．已知a 为正常数．．．，动点(,)(0)M x y y ≠分别与两定点12(,0),(,0)F a F a -的连线的斜率之积为定值λ，若点Mλ的值为（ ） A ．2B ．-2C ．3D【答案】A【解析】轨迹方程为y yx a x aλ⋅=+-，整理得2222221(0),(1)x y c a a a λλλ-=>=+，所以2213,2c aλλ+===，故选A.12．已知函数()21ln 22f x x ax x =+-有两个极值点，则a 的取值范围是（ ）A.(),1-∞B.()0,2C.()0,1D.()0,3 【答案】C【解析】定义域为：()0,+∞，()21212ax x f x ax x x-+'=+-=，由已知得：2210ax x -+=在()0,+∞上有两解，不防设为12,x x ，故121204402010a a x x a x x a ≠⎧⎪⎪=->⎪⎪⎨+=>⎪⎪⎪=>⎪⎩，解得：0 1.a <<故选C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置上．)13．已知()f x '是()f x 的导函数，若()()cos 0xf x x f e '=-，则()0f '= .【答案】：0【解析】：()()sin 0x f x x f e ''=--，故()(0)sin00f f ''=--，(0)0f '=14．已知对x ∀∈R 都有1m x x <-+成立，则m 的取值范围是 . 【答案】：1m <【解析】：()111x x x x -+-+=≥，故 1.m <15．已知一个球状物的原有半径为1，从现在开始半径r （单位：米）随着时间t （单位：秒）在变化，且31r t =+，则该球的表面积在时刻2t =时的变化率是 2米∕秒. 【答案】：168π【解析】：()224431S r t ππ==+，()224321168t S ππ='=⨯+=16．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，且过点()1,1M 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，若M 是线段AB 的中点，则直线AB 的斜率k = .【答案】：12-【解析】：设1122(,),(,)A x y B x y ，则由2222112222221,1,x y x y a b a b +=+=两式相减变形得：1212121222()()()()0,x x x x y y y y a b-+-++=由e =得222a b =，故22220k a b +=， 221.2b k a =-=-三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分12分）已知命题p ：01,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，01ax <；命题q ：函数()f x =R ．若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求实数a 的取值范围．【解析】由p q ∧为假命题，p q ∨为真命题知：,p q 中一真一假， 1分若p 为真，则01,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，01ax <，故01,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，01a x <，所以0max1a x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以2a <5分若q 为真，2210ax x ++≥在R 上恒成立，故044a a >⎧⎪⎨-⎪⎩≤0，所以1a ≥， 10分故结合,p q 中一真一假有：1a <，或 2.a ≥ 12分 18．（本小题满分12分）已知抛物线()220y px p =>，过焦点且斜率为1的直线与抛物线交于,A B ，且8AB =． （1）求p ；（2）若点C 在抛物线上，且C 在AB 之间，求ABC ∆面积的最大值．【解析】（1）焦点坐标是,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，故直线方程是2p y x =-．由222p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得2220y py p --=，设()()1122,,,A x y B x y ，则122122y y p y y p+=⎧⎪⎨=-⎪⎩∴48AB p ==，∴2p =，故方程为24y x =；5分（2）有两类方法：1.找切线；2.设点，表示面积，求最值．设点020,4y C y ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，直线AB 方程为10x y --=，故点C 到直线AB的距离是d =由点C 在,A B 之间，故点C 在直线AB 的左边，结合线性规划的知识得：200104y y --<，∴022y -<+，所以2200281124ABCy y S d AB y D --+=?-++， 故当02y =时，ABCS ∆的最大值是 12分 19．（本小题满分12分）某学校拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为80元/平方米，底面的建造成本为120元/平方米，该蓄水池的总建造成本为9000π元（π为圆周率）． （1）将V 表示成r 的函数()V r ，并求该函数的定义域；（2）讨论函数()V r 的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．答案：（1）由已知得：22801209000rh r πππ⋅+⋅=，解得：222534r h r-=故()()()222225375443r V r r r rr ππ--==， 4分由22253040r h r r ⎧-=>⎪⎨⎪>⎩得：0r << 故()()27543r r V r π-=，0r << 6分（2）()()22549V r r π-='，令()0V r '=，得15r =-（舍），25r = 7分 当()0,5r ∈时，()0V r'>，当(r ∈时，()0V r '<，故()V r 在()0,5上为增函数，在(上为减函数，故当5r =，152h =时，()V r 最大，且()3max375.2V r m π=故当5,r =152h =时，蓄水池的体积最大． 12分 20．（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x长轴和短轴为对角线的四边形的面积为6． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0Q 作直线l （l 不与x 轴垂直）与该椭圆交于,M N 两点，与y 轴交于点R ，若RM MQ λ=，RN NQ μ=，求λμ+的值．【解析】：（1）设椭圆的标准方程是()222210x y a b a b +=>>，则22212262c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪⋅⋅=⎨⎪⎪=+⎪⎩ 3分解得：31a b ==,，故椭圆的方程是2219x y +=． 5分 （2）设直线l 的方程为()1y k x =-，由()22119y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得：()22229118990k x k x k +-+-=设()()1122,,,M x y N x y ，则2122212218919991k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，而()0R k -, 7分 由RM MQ λ=有：()()1111,1,x y k x y λ+=--，故111x x λ=-， 由RN NQ μ=有：()()2222,1,x y k x y μ+=--，故221x x μ=- 9分 ∴()()()22121222222121222299182189919118991911899419191k k x x x x k k k k x x x x k k k k k λμ--+-+++====---+++-+--+++ 故9.4λμ+=- 12分21．（本小题满分12分）已知函数()ln f x x a x =-，()()ln ag x x a x=+∈R ．（1）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；（2）若在[1,]e 上存在一点0x ，使得0()f x ＜0()g x 成立，求a 的取值范围． 【解析】：（1）()()1ln ah x x a x x=-+-，()0,x ∈+∞， ()()()()22221111x a x a x a x a a h x x x x x -++--+'=-+==， 1分 ①当0a ≤时，由()0h x ¢>得：1x >，所以()h x 的单调递增区间为()1,+∞； 由()0h x ¢<得：01x <<，所以()h x 的单调递减区间为()0,1； ②当01a <<时，由()0h x ¢>得：()()0,1,x a ∈+∞，所以()h x 的单调递增区间为()()0,,1,a +∞；由()0h x ¢<得：(),1x a ∈，所以的单调递减区间为(),1a ；③当1a =时，()0h x ¢≥，故()h x 的单调递增区间为()0,+∞； ④当1a >时，由()0h x ¢>得()()0,1,x a ∈+∞，此时()h x 的单调递增区间为()()0,1,,a +∞．由()0h x ¢<得1x a <<，此时()h x 的单调递减区间为()1,a ． 5分（2）在[1,]e 上存在一点0x ，使得()()00f x g x <成立，即在[1,]e 上存在一点0x ，使得()00h x <，即函数()()1ln ah x x a x x=-+-在[1,]e 上的最小值小于0．由（1）知：6分① 当1a ≤时，()h x 在()1,+∞上单调递增，所以()()min 110h x h a ==-<，∴1a >（舍去） ②当1a >时，()h x 的单调递增区间(),a +∞，单调递减区间()1,a 当1a e <<时，()h x 的单调递增区间(),a e ，单调递减区间()1,a故()()min 1ln 10h h a a a a ==-+-<，记()()()1ln 1,1,x x x x x e j=-+- 则()111ln ln x x x x x xj +¢=--=--，而()()01,x e 在j ¢<上恒成立，所以()()1,x e 在j 上单调递减，故()()10x jj <=，所以()min0hh a =<恒成立，故1a e <<；当a e ≥时，()h x 在[1,e]上单调递减，故()()min 110h h e e e ==-+-<，恒成立，故a e ≥， 综合得： 1.a > 12分四、选做题（请考生在第22、23两题中任选一题做答．注意：只能做选定的题目．如果多做，则按照所做的第一个题目计分．） 22． (本小题满分10分)已知函数()f x x a x =++．（1）当2a =-时，解不等式()4f x ≥； （2）若不等式()2f x <有解，求a 的取值范围．【解析】：（1）当2a =-时，()2f x x x =-+，故24x x -+≥． 当0x <时，24x x --≥，得x ≤-1；当2x 0≤≤时，24x x -+≥，显然无解； 当2x >时，24x x -+≥，得3x ≥ 综合得：不等式的解集是(][),13,.-∞-+∞ 5分（2）由()f x x a x x a x a =+++-=≥，所以()min f x a =，要不等式()2f x <有解，则2a <，解得：2 2.a -<<所以a 的取值范围是()2,2.-10分23．(本小题满分10分)已知0,0a b >>，且20ab a b --=． （1）求ab 的最小值； （2）求4a b +的最小值．【解析】：（1）由20ab a b --=得：2ab a b =+≥1，1ab ≥，当且仅当200ab a b a b --=⎧⎨=>⎩，即1a b ==时取“=”号，所以当1a b ==时，ab 的最小值为1；5分（2）由20ab a b --=得：112a b+=， 故()(114194455221122a b a b a b b b a a ⎛⎫+=++++= ⎪⎝⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎭≥ 当且仅当12041,a a b a b b b a +=>⎧=⎪⎪⎨>⎪⎪⎪⎪⎩，即3234a b ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩时取等号，故当3234a b ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩时，()min 94.2a b += 10分。
2014-2015学年湖北省孝感高中高二(下)期末数学试卷(理科)
2014-2015学年湖北省孝感高中高二（下）期末数学试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.复数i2015（i为虚数单位）的共轭复数是（）A.1B.-1C.iD.-i【答案】C【解析】解：i2015=i503×4+3=i3=-i，∴它的共轭复数为i，故选：C根据复数的性质进行求解．本题主要考查复数的基本运算，比较基础．2.已知全集U=R，集合A={x|y=log2（x2+3x-10）}，B={x|-2≤x≤5}，则（∁U A）∩B 等于（）A.{x|-5＜x≤2}B.{x|-2＜x≤5}C.{x|-2≤x≤2}D.{x|-5≤x≤5}【答案】C【解析】解：由A中y=log2（x2+3x-10），得到x2+3x-10＞0，即（x-2）（x+5）＞0，解得：x＜-5或x＞2，即A={x|x＜-5或x＞2}，∵全集U=R，∴∁U A={x|-5≤x≤2}，∵B={x|-2≤x≤5}，∴（∁U A）∩B={x|-2≤x≤2}，故选：C．求出A中x的范围确定出A，找出A补集与B的交集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．3.下列命题中错误的是（）A.∀x∈R，（x+3）（x+7）≤（x+4）（x+6）B.∃x∈R，|x-2|+|x+3|=5C.∀x∈R，若a≥b，则ax2≥bx2D.∃x∈R，=2【答案】D【解析】解：∵（x+3）（x+7）=x2+10x+21，（x+4）（x+6）=x2+10x+24，∴A正确；∵|x-2|+|x+3|=，＜，，＞，∴B正确；∵a≥b，x2≥0，∴ax2≥bx2，故C正确；∵==+≥2=2，当且仅当=即=1时取等号，又∵≥，∴不存在x∈R，使得=2，故D不正确；故选：D．通过展开、结合不等式的性质易知A正确；通过去绝对值符号可得分段函数的解析式，进而可知B正确；利用不等式的两边同时乘以一个正数不等号方向不变可知C正确；通过变形、利用基本不等式可知当=1时=2，进而可知D不正确．本题考查命题的真假判断与应用，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．4.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是如图所示的四棱锥P-ABCD，且底面为直角梯形ABCD，高为2；∴该四棱锥的体积为V四棱锥=××（2+4）×2×2=4．故选：D．根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为直角梯形，高为2的四棱锥，求出它的体积即可．本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．5.已知x＞0，y＞0，且x+=3，则+y的最小值是（）A.1B.C.2D.3【答案】B【解析】解：由于已知x，y＞0，且x+=3，∴+=1，可得+y=（+）（+y）=++≥+=，当且仅当=时，取等号，故+y的最小值是，故选：B．由题意可得+=1，故可得+y=（+）（+y），利用基本不等式求得它的最小值即可．本题主要考查基本不等式的应用，式子的变形是解题的关键，属于中档题．6.已知随机变量ξ～N（0，σ2），若P（ξ＞3）=0.023，则P（-3≤ξ≤3）=（）A.0.477B.0.628C.0.954D.0.977【答案】C【解析】解：由随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2）可知正态密度曲线关于y轴对称，而P（ξ＞3）=0.023，则P（ξ＜-3）=0.023，故P（-3≤ξ≤3）=1-P（ξ＞3）-p（ξ＜-3）=0.954，故选：C．画出正态分布N（0，σ2）的密度函数的图象，由图象的对称性可得结果．本题主要考查正态分布的概率求法，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．7.函数的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：函数的定义域为（0，1）∪（1，+∞）当0＜x＜1时，lnx＜0，y＜0；当x＞1时，lnx＞0，y＞0．故排除B、C．=当1＜x＜e时，0＜lnx＜1，＞，y＜0，函数递减；当x＞e时，lnx＞1，＜＜，y＞0，函数递增．结合图形，可知D选项中图正确．故选D．由解析式知0＜x＜1时，y＜0，排除B、C，然后用导数研究x＞1时的单调性，得正确图形．本题主要考查了函数图象的有关性质以及与导数的关系．8.（1-x）10的展开式中x3的系数为（）A.-120B.120C.-45D.45【答案】A【解析】解：（1-x）10的展开式的通项公式为T r+1=•（-x）r，令r=3，可得展开式中x3的系数为-=-120，故选：A．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得展开式中x3的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．9.在第29届北京奥运会上，中国健儿取得了51金、21银、28铜的好成绩，稳居金牌榜榜首，由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列，也有许多人持反对意见，有网友为此进行了调查，在参加调查的2548名男性中有1560名持反对意见，2452名女性中有1200名持反对意见，在运用这些数据说明性别对判断“中国进入了世界体育强国之列”是否有关系时，用什么方法最有说服力（）A.平均数与方差B.回归直线方程C.独立性检验D.概率【答案】C【解析】解：在参加调查的2548名男性中有1560名持反对意见，2452名女性中有1200名持反对意见，可得：K2==83.88＞10.828故有理由认为性别对判断“中国进入了世界体育强国之列”是否有关系故利用独立性检验的方法最有说服力．故选C这是一个独立性检验应用题，处理本题时要注意根据在参加调查的2548名男性中有1560名持反对意见，2452名女性中有1200名持反对意见，计算出K2的值，并代入临界值表中进行比较，不难得到答案．本题考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，属于基础题．10.正四棱锥S-ABCD底面边长为2，高为1，E是边BC的中点，动点P在四棱锥表面上运动，并且总保持，则动点P的轨迹的周长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由题意知：点P的轨迹为如图所示的三角形EFG，其中G、F为中点，∴EF==，∵SB==∴GE=GF==∴轨迹的周长为故选B．根据题意可知点P的轨迹为三角形EFG，其中G、F为中点，根据中位线定理求出EF、GE、GF，从而求出轨迹的周长．本题主要考查了轨迹问题，以及点到面的距离等有关知识，同时考查了空间想象能力，计算推理能力，属于中档题．11.双曲线：＞，＞与抛物线y2=2px（p＞0）相交于A，B两点，公共弦AB恰好过它们的公共焦点F，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：∵双曲线：＞，＞与抛物线y2=2px（p＞0）相交于A，B两点，公共弦AB恰好过它们的公共焦点F，∴A（，）在双曲线：＞，＞上，=c∴（c，2c）在双曲线：＞，＞上，∴∴c4-6a2c2+a4=0∴e4-6e2+1=0∴∵e＞1∴e=故选B．利用条件可得A（，）在双曲线：＞，＞上，=c，从而可得（c，2c）在双曲线：＞，＞上，代入化简，即可得到结论．本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．12.已知函数f（x）=-x3+x2+（m2-1）x，（x∈R，m＞0），若f（x）有三个互不相同的零点0，x1，x2，且x1＜x2，若对任意x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）成立，则实数m的取值范围是（）A.，B.，C.，D.，【答案】A【解析】解：由题设，f（x）=x（-x2+x+m2-1）=-x（x-x1）（x-x2），∴方程-x2+x+m2-1=0有两个相异的实根x1，x2，故x1+x2=3，且△=1+（m2-1）＞0，∵m＞0解得m＞，∵x1＜x2，所以2x2＞x1+x2=3，故x2＞＞1．（10分）①当x1≤1＜x2时，f（1）=-（1-x1）（1-x2）≥0，而f（x1）=0，不符合题意，②当1＜x1＜x2时，对任意的x∈[x1，x2]，都有x＞0，x-x1≥0，x-x2≤0，则f（x）=-x（x-x1）（x-x2）≥0，又f（x1）=0，所以f（x）在[x1，x2]上的最小值为0，于是对任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立的充要条件是f（1）=m2-＜0，解得-＜m＜，综上，m的取值范围是（，），故选：A．通过讨论x1，x2的范围，结合题意属于区间[x1，x2]的点的函数值均大于f（1），由此计算m的范围．本题较为复杂，主要考查了函数的单调性及二次函数的性质问题，注意掌握知识点间的关系．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是线段C1D1，A1B1上的点且C1E=A1F=A1B1，则直线BE与DF所成角的余弦值是______ ．【答案】【解析】解：如图，以D1A1，D1C1，D1D三直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体边长为1，则：B（1，1，1），E（，，），D（0，0，1），F（1，，0）；∴，，，，，；∴cos＜，＞=；∴直线BE与DF所成角的余弦值是．故答案为：．分别以边D1A1，D1C1，D1D所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，可设正方体的边长为1，根据条件可确定B，E，D，F四点的坐标，从而得到向量，的坐标，根据向量夹角余弦的坐标公式即可求出＜，＞，从而得出异面直线BE，DF 所成角的余弦值．考查通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线所成角的问题的方法，能求空间点的坐标，以及由点的坐标求向量坐标，向量夹角余弦的坐标公式，弄清两异面直线所成角和这两直线的方向向量的夹角的关系．14.某年孝感高中校园歌手大赛后，甲、乙、丙、丁四名同学猜测他们之中谁能获奖．甲说：“如果我能获奖，那么乙也能获奖．”乙说：“如果我能获奖，那么丙也能获奖．”丙说：“如果丁没获奖，那么我也不能获奖．”实际上，他们之中只有一个人没有获奖，并且甲、乙、丙说的话都是真的．那么没能获奖的同学是______ ．【答案】甲【解析】解：根据题意，甲、乙、丙说的话都是真的；首先根据丙说的话可以推知，丁必能获奖，否则，假设丁没有获奖，那么丙也没有获奖，这与“他们之中只有一个人没有获奖”矛盾；其次考虑甲是否获奖，假设甲能获奖，那么根据甲说的话可以推知，乙也可获奖；再根据乙说的话又可以推知丙也能获奖，这样得出4个人全都能获奖，不可能；因此，只有甲没有获奖；故答案为：甲．根据题意，首先根据丙说的话进行分析可得丁获奖，进而分析甲的情况，假设甲获奖，进行推导可得矛盾，即可得答案．本题考查逻辑推理的运用，解题的关键是先通过题意进行分析，进而找出突破口，并以此进行推理，继而得出问题答案．15.如图所示，直线y=kx分抛物线y=x2-x与x轴所围成图形为面积相等的两部分，则实数k的值为______ ．【答案】【解析】解：由题意由得到交点为（0，0），（k+1，k（k+1）），所以=2整理得（）|=2（）|所以（k+1）3=，解得k=；故答案为：由题意得到=2整理得到关于k的等式解之．本题考查了运用定积分求曲边梯形的面积；关键是利用定积分表示出面积的关系．16.如果对任意一个三角形，只要它的三边a，b，c都在函数f（x）的定义域内，就有f （a），f（b），f（c）也是某个三角形的三边长，则称f（x）为“和美型函数”．现有下列函数：①f（x）=；②g（x）=sinx，x∈（0，π）；③φ（x）=2x；④h （x）=lnx，x∈[2，+∞）．其中是“和美型函数”的函数序号为______ ．（写出所有正确的序号）【答案】①④【解析】解：对于①，设0＜a≤b≤c，且a+b＞c，欲证明+＞，只需证明a+b+2＞c，即2＞0成立；∴①是“和美型函数”；对于②，取a=，b=，c=，而sinb+sinc=sina，∴②不是“和美型函数”；对于③，取a=2，b=2，c=3，则22+22=23，∴以22、22、23为三边不能构成三角形，③不是“和美型函数”；对于④，设2≤a≤b＜c，此时只需证lna+lnb＞lnc，即证lnab＞lnc，即证ab＞c，由①知a+b＞c，而ab-（a+b）=ab-a-b+1-1=（a-1）（b-1）-1≥0，即ab≥a+b＞c，∴lna+lnb＞lnc成立，即h（x）=lnx，x∈[2，+∞）是“和美型函数”．综上，是“和美型函数”的函数序号为①④．故答案为：①④．①由0＜a≤b≤c，且a+b＞c，判断+＞成立即可；②举例说明y=sinx不是“和美型函数”；③举例说明y=2x不是“和美型函数”；④由2≤a≤b＜c，说明lna+lnb＞lnc成立即可．本题考查了新定义的函数的性质与应用问题，也考查了综合分析问题与解决问题的能力，是综合性题目．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.已知p：x2+mx+1=0有两个不相等的负实数根，q：方程4x2+（4m-2）x+1=0无实数根．（Ⅰ）若p为真，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）∵p：x2+mx+1=0有两个不相等的负实数根，若p为真，则＞＜，∴m＞2（Ⅱ）若q为真，△=（4m-2）2-16＜0，∴＜＜，∵p或q为真，p且q为假，∴p，q必为一真一假①当p为真q为假时，＞或，∴m＞2②当p为假q为真时，＜＜，∴＜＜综上可知：，，∞【解析】（I）根据二次方程根的个数与系数的关系，构造关于m的不等式组，解得实数m的取值范围；（Ⅱ）若p或q为真，p且q为假，p，q必为一真一假，分类讨论后，进而可得实数m的取值范围．本题主要考查了p或q复合命题的真假的应用，解题的关键是利用二次方程根的个数与△的关系，准确求出命题p，q为真时m的范围．18.三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC=90°，A1A⊥平面ABC，，，AC=2，A1C1=1，．（Ⅰ）证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1；（Ⅱ）求二面角A-CC1-B的大小．【答案】证明：（Ⅰ）∵A1A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴A1A⊥BC．在R t△ABC中，，，∴，∵BD：DC=1：2，∴，又，∴△DBA∽△ABC，∴∠ADB=∠BAC=90°，即AD⊥BC．又A1A∩AD=A，∴BC⊥平面A1AD，∵BC⊂平面BCC1B1，∴平面A1AD⊥平面BCC1B1．（Ⅱ）如图，作AE⊥C1C交C1C于E点，连接BE，由已知得AB⊥平面ACC1A1．∴AE是BE在面ACC1A1内的射影．由三垂线定理知BE⊥CC1，∴∠AEB为二面角A-CC1-B的平面角．过C1作C1F⊥AC交AC于F点，则CF=AC-AF=1，，∴∠C1CF=60°．在R t△AEC中，°．在R t△BAE中，．∴∠，即二面角A-CC1-B为．【解析】（Ⅰ）欲证平面A1AD⊥平面BCC1B1，根据面面垂直的判定定理可知在平面BCC1B1内一直线与平面A1AD垂直，根据线面垂直的性质可知A1A⊥BC，AD⊥BC，又A1A∩AD=A，根据线面垂直的判定定理可知BC⊥平面A1AD，而BC⊂平面BCC1B1，满足定理所需条件；（Ⅱ）作AE⊥C1C交C1C于E点，连接BE，由三垂线定理知BE⊥CC1，从而∠AEB为二面角A-CC1-B的平面角，过C1作C1F⊥AC交AC于F点，在R t△BAE中，求出二面角A-CC1-B的平面角即可．本题主要考查平面与平面垂直的判定，以及二面角的平面角的度量，同时考查了空间想象能力，计算能力和推理能力，以及转化与划归的思想，属于中档题．19.某地区因干旱缺水，政府向市民宣传节约用水，并进行广泛动员，三个月后，统计部门在一个小区随机抽取了100户家庭，分别调查了他们在政府动员前后三个月的平均用水量（单位：吨），将所得数据分组，画出频率分布直方图（如图所示）（1）已知该小区共有居民10000户，在政府进行节水动员前平均每月用水量是8.96×104吨，请估计该小区在政府动员后比动员前平均每月节约用水多少吨；（2）为了解动员前后市民的节水情况．媒体计划在上述家庭中，从政府动员前月均用水量在[12，16）范围内的家庭中选出5户作为采访对象，其中在[14，16）内的抽到X 户，求X的分布列和期望．【答案】解：（1）根据直方图估计该小区在政府动员后平均每户居民的月均用水量为1×0.015+3×0.03+5×0.105+7×0.2+9×0.12+11×0.03）×2=6.88（吨）于是可估计该小区在政府动员后比动员前平均每月可节约用水8.98×104-6.88×104=2.08×104（2）由动员前的直方图计算得月平均用水量在[12，14）范围内的家庭有6户，在[14，16）内的有3户，因此X可能取值有0，1，2，3，P（X=0）===；P（X=1）===；P（X=2）===；P（X=3）===∴X的分布列为∴EX=1×+2×+3×=【解析】（1）将直方图中的每个组中值乘以每个矩形的面积相加即可求出所求；（2）由动员前的直方图计算得月平均用水量在[12，14）范围内的家庭有6户，在[14，16）内的有3户，因此X可能取值有0，1，2，3，分别求出相应的概率，最后根据数学期望的公式解之即可．本题主要考查了频率分布直方图，以及离散型随机变量的期望，同时考查了计算能力，属于基础题．20.已知椭圆：＞＞的长轴长是短轴长的两倍，且过点C（2，1），点C关于原点O的对称点为点D．（I）求椭圆E的方程；（Ⅱ）点P在椭圆E上，直线CP和DP的斜率都存在且不为0，试问直线CP和DP的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由：（Ⅲ）平行于CD的直线l交椭圆E于M，N两点，求△CMN面积的最大值，并求此时直线l的方程．【答案】解：（Ⅰ）∵2a=2•2b，∴a=2b．设椭圆方程为．椭圆E过点C（2，1），代入椭圆方程得，解得，则，所以所求椭圆E的方程为；（Ⅱ）依题意得D（-2，-1）在椭圆E上．CP和DP的斜率K CP和K DP均存在．设P（x，y），则，，①又∵点P在椭圆E上，∴，∴x2=8-4y2，代入①得，．所以CP和DP的斜率K CP和K DP之积为定值（Ⅲ）CD的斜率为，∵CD平行于直线l，∴设直线l的方程为．由，消去y，整理得x2+2tx+（2t2-4）=0．设M（x1，y1），N（x2，y2）．由＞，得|MN|==＜＜．．所以，当且仅当t2=4-t2时取等号，即t2=2时取等号所以△MNC面积的最大值为2．此时直线l的方程【解析】（Ⅰ）由椭圆长轴长是短轴长的两倍设出椭圆的方程，把点C的坐标代入椭圆方程可求解b，则椭圆的方程可求；（Ⅱ）设出P点的坐标，写出直线CP和DP的斜率，由点P在椭圆上得到P点横纵坐标的关系式，代入斜率乘积的表达式整理可得直线CP和DP的斜率之积为定值；（Ⅲ）由直线l平行于CD，设出直线l的斜截式方程，和椭圆方程联立后求出弦MN的长度，由点到直线的距离公式求出C到MN的距离，代入面积公式后利用基本不等式求最大值，并求出使面积最大时的直线l的方程．本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了利用弦长公式求弦长，考查了利用基本不等式求最值，是有一定难度题目．21.已知函数f（x）=ax++c（a＞0），g（x）=lnx，其中函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）≥g（x）在[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）证明：1+＞（n≥1）．【答案】（Ⅰ）解：求导数，则有，解得，∴f（x）=x-1；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，令，x∈[1，+∞），则，，（i）当＜＜时，＞．若＜＜，则φ （x）＜0，φ（x）是减函数，所以φ（x）＜φ（1）=0，即f（x）＜g（x）．故f（x）≥g（x）在[1，+∞）上不恒成立．（ii）当时，．若x＞1，则φ'（x）＞0，φ（x）是增函数，所以φ（x）＞φ（1）=0，即f（x）＞g（x），故当x≥1时，f（x）≥g（x）．综上所述，所求a的取值范围为，∞．（Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）知当时，有f（x）≥g（x）（x≥1）．令，有≥lnx且当x＞1时，＞lnx．令，有＜∴＜，，，，，，将上述n个不等式依次相加，得＜，整理得＞解法二：用数学归纳法证明．①当n=1时，左边=1，右边=＜，不等式成立．②假设当n=k时，不等式成立，就是＞那么＞=由（Ⅱ）知，当时，有f（x）≥lnx（x≥1）．令，有．令，得．∴．∴＞．这就是说，当n=k+1时，不等式也成立根据①和②，可知不等式对任何n∈N+都成立．【解析】（Ⅰ）求导数，利用函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1，求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）≥g（x）在[1，+∞）上恒成立，构造新函数，分类讨论，确定函数的单调性，即可求实数a的取值范围；（Ⅲ）证明一：令，有≥lnx且当x＞1时，＞lnx．令，再利用累加法，即可证明；证明二，用数学归纳法证明．本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，有难度．22.如图所示，已知半圆的直径AB=6cm，CD是半圆上长为2cm的弦，问：当弦CD在半圆上滑动时，AC和BD延长线的夹角是定值吗？若是，试求出这个定角的正弦值；若不是，请说明理由．【答案】解：当弦CD在半圆上滑动时，AC和BD延长线的夹角是定值．理由如下，如图所示，连接BC．∵CD为定长，虽CD滑动，但的度数不变，∴∠PBC为定值，∴∠P=∠ACB-∠PBC=90°-∠PBC，为定值．∵∠PCD=∠PBA，∴△PCD∽△PBA，∴===．在R t△PBC中，cos∠P==，∴sin∠P=．【解析】连接BC，利用圆周角定理可知∠PBC为定值，则可知∠P为定值，又可证明△PCD∽△PBA，可求得PC和PB的比值，在R t△PCB中，可求得∠P的正弦值．本题主要考查相似三角形的判定和性质及圆周角定理和三角函数的定义，掌握相似三角形的对应边成比例，找到PC和BC的关系是解题关键．23.在直角坐标系x O y中，直线C的参数方程为为参数），曲线P在以该直角坐标系的原点O的为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为ρ2-4ρcosθ+3=0．（1）求直线C的普通方程和曲线P的直角坐标方程；（2）设直线C和曲线P的交点为A、B，求|AB|．【答案】解：（1）由曲线C的参数方程为为参数），消去参数t得到曲线C的普通方程为x-y-1=0；∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，曲线P在极坐标系下的方程为ρ2-4ρcosθ+3=0，∴曲线P的直角坐标方程为x2+y2-4x+3=0．（2）曲线P可化为（x-2）2+y2=1，表示圆心在（2，0），半径r=1的圆，则圆心到直线C的距离为，故|AB|==．【解析】（1）参数t得到曲线C的普通方程为x-y-1=0，利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可得出P的直角坐标方程；（2）利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d和弦长l=即可得出．本题考查直角坐标系与极坐标之间的互化，熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、点到直线的距离公式、弦长l=是解题的关键．24.设函数f（x）=|x+1|+|x-5|．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）≥10；（Ⅱ）若f（x）≥+2对任意的实数x恒成立，求实数t的取值范围．【答案】解：（I）对于不等式|x+1|+|x-5|≥10，①当x≤-1时，-2x+4≥10，∴x≤-3，∴x≤-3；②当-1＜x≤5时，6≥10，不成立．③当x＞5时，2x-4≥10，∴x≥7，∴x≥7．综上可知：不等式的解集为（-∞，-3]∪[7，+∞）．（II）∵f（x）=|x+1|+|x-5|≥|x+1-x+5|=6，f（x）≥+2对任意的实数x恒成立，∴，∴，∴t∈（-∞，0）∪[1，+∞）．【解析】（I）对于不等式|x+1|+|x-5|≥10，分类讨论求得它的解集．（Ⅱ）利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值为6，可得6≥+2，由此求得t的范围．本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于基础题．。
黄冈市2014年秋季高二年级期末考试数学(理科)试题含答案
2014年秋季黄冈市高二期末考试数学（理）试题一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.某学校高二年级有840名学生, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按001, 002,… , 840随机编号, 则抽取一人编号落在区间[481, 720]的概率为A ．120B ．112C ．27D ．672.下列说法正确的是A ．事件A ，B 中至少有一个发生的概率一定比A ，B 中恰有一个发生的概率大 B ．事件A ，B 同时发生的概率一定比A ，B 中恰有一个发生的概率小C ．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件。
D ．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件3.已知相关变量x 与y 的散点图分布为左下角到右上角的带型区域，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是A ．ˆ0.4 2.3yx =+ B ．ˆ2 2.4y x =- C ．ˆ29.5y x =-+ D ．ˆ0.3 4.4y x =-+ 5设~(100.7)X B ，，则+1D X （3）等于（ ）Ａ．2.1B ．3C ．6.3D ．18.96名选手依次演讲,其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲,则不同的演讲次序共有A ．240种B ．360种C ．480种D ．720种 7.从标号为1，2,3，4，5的五张卡片中不放回的依次取出两张卡片。
事件A 为“第一次取出的是奇数”，事件B 为“第二次取出的是奇数”，则)|(A B P =8.随机变量ξ服从正态分布2(,)(,0)N μσμσξ>>，且函数()σμξ+++=x x x f 22没有零点的概率为0.3,则ξ位于(],μσμ-的概率为A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.6 9. 已知函数2()3h x axx =+在x = 12-处取得最小值，如图所示的程序框图运行后，输出的结果20142015S =，那么判断框中可以填入的关于k 的判断条件是.A 2014k ≤ .B 2014k < .C 2015k ≤ .D 2015k <10.已知函数2()43f x x x =-+集合{}(,)()()0M x y fx f y =+≤，集合{}(,)()()0N x y f x f y =-≥,则若在集合M 所表示的区域内撒100颗黄豆，落在集合M N ⋂所表示的区域的黄豆约有多少（ ）A.12B.25C. 50D. 75二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．如图是某次文艺比赛中，12名专业人士和12名观众代表各组成一个评判小组，给参赛选手打分的茎叶图，由图形我们可以判断小组 更像是由专业人士组成 12. 54(12)(13)x x -+展开式中按x 的升幂排列的第3项为 。
湖北省黄冈中学2014-2015学年高一下学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
湖北省黄冈中学2015年春季高一期中考试数学（理科）试题命题人：张淑春 审稿人：张 智 校对人：肖海东一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．） 1.已知135sin =α，α是第一象限角，则cos(π)α-的值为（ ） A.513-B.513C.1213-D.12132.在等差数列{}n a 中，已知112n a n =-，则使前n 项和n S 最大的n 值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.73.在ABC ∆中，内角C B A 、、所对的边为c b a 、、， 60B =，4a =，其面积S =，则c =（ ）A.15B.16C.20D.4.在ABC ∆中，内角C B A 、、所对的边为c b a 、、， 4,30a b A ===， 则B =（ ）A.60°B.60°或120°C.30°D.30°或150° 5.下列命题中，正确的是（ ） A.若b a >，d c >，则bd ac >B.若bc ac >，则b a >C.若22c bc a <，则b a < D.若b a >，d c >，则d b c a ->- 6.等比数列{}n a 的前m 项和为4，前2m 项和为12，则它的前3m 项和是（ ）A.28B.48C.36D.52 7.已知等差数列}{n a 的前15项之和为154π，则789tan()a a a ++=（ ） A.33B. 3C. 1-D. 18.在△ABC 中，内角C B A 、、所对的边为c b a 、、，若222c a b ab ≤+-，则C 的取值范围为（ ） A.(0,]3πB.[,)6ππC.[,)3ππD.(0,]6π9.如图，为测一树的高度，在地面上选取A 、B 两点，从A 、B 两 点分别测得望树尖的仰角为30°、45°，且A 、B 两点之间的距离为60 m ，则树的高度为（ ）A.30＋30 3 mB.30＋15 3 mC.15＋30 3 mD.15＋3 3 m10.已知数列{n a }满足：1a =21，n n a a =+1+()()112n n ++()*N n ∈，则数列{na}的通项公式为（ ） A.11+=n a n B.21212++-+=n n n a nC.12n n a n +=+D.1n n a n =+. 11.已知,,a b c 为互不相等的正数，且222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是（ ） A.a b c >> B.b c a >> C.b a c >> D.a c b >>12.已知等差数列{}n a 满足公差(1,0)d ∈-，当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则该数列首项1a 的取值范围为（ ）A.43(,)32ππ B.43,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.74(,)63ππD.74,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置上．) 13.已知直线AB10y ++=，则直线AB 的倾斜角为________．14.若3sin 5x =，则cos 2x =__________． 15.已知不等式220ax bx ++<的解集是(1,2)，则b a +的值为___________．16.某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是由一级分形图的每一条线段末端出发再生成两条长度均为原来13的线段，且这两条线段与原来线段两两夹角为120°；依此规律得到n 级分形图． 则（1）四级分形图中共有 条线段．（2）n 级分形图中所有线段长度之和为__________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17. (本小题满分10分)已知等差数列{}n a 满足：3710,26a a ==．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）请问88是数列{}n a 中的项吗？若是，请指出它是哪一项；若不是，请说明理由．18. (本小题满分12分) 已知向量(cos ,1)2x m =-u r ，2,cos )22x x n =r ，设函数1()2f x m n =⋅+u r r ．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的单调区间．19. (本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23122n S n n =+，递增的等比数列{}n b 满足：142318,32b b b b +=⋅=． （1）求数列{}{}n n a b 、的通项公式；（2）若*,N n n n c a b n =⋅∈，求数列{}n c 的前n 项和n T ．20.(本小题满分12分)在ABC ∆中，内角C B A 、、所对的边为c b a 、、，且满足()2cos cos a c B b C -=．（1）求B 的值； （2）若3=b ，求c a 21-的取值范围．21.(本小题满分12分)已知某中学食堂每天供应3000名学生用餐，为了改善学生伙食，学校每星期一有A 、B 两种菜可供大家免费选择（每人都会选而且只能选一种菜）．调查资料表明，凡是在这星期一选A 种菜的，下星期一会有20%改选B 种菜；而选B 种菜的，下星期一会有40%改选A 种菜．用n a ，n b 分别表示在第n 个星期一选A 的人数和选B 的人数，如果1a =2000．（1）请用n a 、n b 表示1n a +与1n b +； （2）证明：数列{}2000n a -是常数列．22.(本小题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对一切*N n ∈，点,n S n n ⎛⎫⎪⎝⎭都在函数()2na f x x x=+的图象上． （1）求123,,a a a ,归纳数列{}n a 的通项公式（不必证明）；（2）将数列{}n a 依次按1项、2项、3项、4项循环地分为()1a ，()23,a a ，()456,,a a a ， ()78910,,,a a a a ；()11a ，()1312,a a ，()141516,,a a a ，()17181920,,,a a a a ；()21a ，…..， 分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{}n b ， 求5100b b +的值； （3）设n A 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n n a a 1的前n 项积，若不等式a a a f a A n nn 23)(1+-<+对一切N *n ∈都成立，其中0>a ，求a 的取值范围．参考答案1. C2. B3. C4.B5. C6.A7.C8. A9.A 10.D11. C 12. A 13.23π 14.72515.2-16.解析：（1）45；（2）2913n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，依题意，（1）记n 级分形图中共有n a 条线段，则有13a =，1132n n n a a ---=⋅，由累加法得121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-=L 13(122)n -+++=L 1233(21)12nn -⋅=-- 所以445a =（2）n 级分形图中所有线段的长度和等于111131323233n n --⎛⎫⨯+⨯⨯++⨯⨯=⎪⎝⎭L 231323912313nn ⎛⎫⨯-⨯ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦- 17.解析：（1）依题意知73416,4d a a d =-=∴=---------------------------- 3分()3342n a a n d n ∴=+-=------------------------------------------------------ 5分（2）令*454588,4288,,N .22n a n n =-==∉Q 即所以 所以88不是数列{}n a 中的项.----------------------------- -----------------------10分 18.解析：（1）依题意得()sin()6f x x π=-，---------------------------------------------------- 4分()2f x T π∴=最小正周期为------------------------------------------------------------------ 6分(2)由22262k x k πππππ-≤-≤+解得22233k x k ππππ-≤≤+，从而可得函数()f x 的单调递增区间是：2[2,2],33k k k Z ππππ-+∈--------------- 9分由322262k x k πππππ+≤-≤+解得252233k x k ππππ+≤≤+，从而可得函数()f x 的单调递减区间是：25[2,2],33k k k Z ππππ++∈--------------- 12分 19.解析 ：（1）当2n ≥时，()()221313111312222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=-⎢⎥⎣⎦111,2n a S ===Q 又时符合，所以31n a n =------------------------------------------- 3分2314b b b b =Q ，14,b b ∴方程218320x x -+=的两根，41b b >Q 又，所以解得142,16b b ==34182bq q b ∴==∴=112n n n b b q -∴=⋅=------------------------------------------------------------------------- 6分（2）31,2n n n a n b =-=Q ，则n (31)2n C n =-⋅1234225282112(31)2n n T n ∴=⋅+⋅+⋅+⋅++-⋅L234512225282112(31)2n n T n +=⋅+⋅+⋅+⋅++-⋅L将两式相减得：12341=22+32+2+2+2)(31)2-------------------------------------------8n n n T n +⋅--⋅L -（分2112(12)43(31)212n n n -+⎡⎤-=+--⋅⎢⎥-⎣⎦1(34)28n n +=-+⋅--------------------------------------------------------------------------------- 10分所以1=(34)28n n T n +-⋅+.------------------------------------------------------------------------- 12分 20.解析：（1）由已知()2cos cos a c B b C -=得()2sin sin cos sin cos A C B B C -= --------------------------------------------- 3分 化简得1cos 2B =--------------------------------------------------------------------------- 5分 故3B π=．------------------------------------------------------------------------------------ 6分（2）由正弦定理2sin sin sin a c bA C B====，得2sin ,2sin a A c C ==，故122sin sin 2sin sin 233sin 226a c A C A A A A A ππ⎛⎫-=-=-- ⎪⎝⎭⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ -------------------------------------- 9分因为203A π<<，所以662A πππ-<-< -------------------------------------------- 10分所以1(26a c A π⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭--------------------------------------------------12分21.解析：（1）由题意知114213,5555n n n n n n a a b b a b ++=+=+----------------------------------------------------- 6分 （2）证明：142,300055n n n n n a a b a b +=++=Q 且()142300055n n n a a a +∴=+-，即1212005n n a a +=+------------------------------ 8分()12200020005n n a a +∴-=------------------------------------------------------------- 10分又120000a -=Q ，{}2000n a ∴-是常数列--------------------------------- 12分 22.解析 ：解：（1）因为点(,)n S n n 在函数()2n af x x x=+的图象上， 故2n n S a n n n =+，所以212n n S n a =+．令1n =，得11112a a =+，所以12a =；---------------------------------------------------- 1分令2n =，得122142a a a +=+，所以24a =；-------------------------------------------- 2分令3n =，得1233192a a a a ++=+，所以36a =．-------------------------------------- 3分由此猜想：2n a n=--------------------------------------------------------------------------------- 4分（2）因为2n a n =（*N n ∈），所以数列{}n a 依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…. 每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号， 故 100b 是第25组中第4个括号内各数之和．而第25组中第4个括号内各数分别是{a n }第247,248,249,250项所以1004944964985001988b =+++=，又5b =22，所以5100b b +=2010------------------------------------------------------------------------------------------- 8分（3）因为111n n na a a -=-，故12111111n n A a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅-⋅⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，所以12111111n A a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅-⋅⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L又333()2222n n n a a a f a a a a a a a++-=+-=-，故3()2n a A f a a +-对一切*N n ∈都成立，就是1211131112n a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅-⋅⋅-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 对一切*N n ∈都成立．----------- 9分 设()12111111n g n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅-⋅⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L max 3[()]2g n a a <-即可．由于1(1)121(1)()22n g n n g n a n +++=-=+1=<，所以(1)()g n g n +<，故()g n 是单调递减，---------------------------------------------- 10分于是max [()](1)g n g ==32a a<-， 即0>，又0a >Q ，∴a >综上所述，实数a的取值范围是a >------------------------------------------------------ 12分。
湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年高二下学期期末考试理数试题Word版含解析
全卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1.复数211ii i-+- 等于（ ） A. i B. 0 C.-i D.1+i 【答案】B 【解析】 试题分析：212(1)(1)()1101(1)(1)()i i i i i i i i i i i i -+--+=+=+--=--+-； 故选B.考点：复数的运算.2.设x x x x f ln 42)(2--=，则函数()f x 单调递增区间为（A ） ),0(+∞ （B ）)0,1(-和),2(+∞ （C ）),2(+∞ (D))0,1(- 【答案】C 【解析】 试题分析：242242(1)(2)()22x x x x f x x x x x--+-'=--==，由2(1)(2)()0x x f x x+-'=>解得：10,2x x -<<>或；所以函数()f x 单调递增区间为)0,1(-和),2(+∞； 故选B考点：函数的导数与函数单调性的关系. 3.函数()y f x =的图象如图所示，若()f x dx m π=⎰，则20()f x dx π⎰等于（ ）A ．mB ．2mC ．m -D ．0【答案】D考点：定积分.4.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. y =B. y =C.y x =D.32y x =±【答案】B 【解析】试题分析：由于抛物线216y x =的焦点为(4,0)F ，又因为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同，所以双曲线的半焦距4c =；从而422,c a b a a==⇒===，所以双曲线的渐近线方程为by x a=±=；故选B.考点：双曲线与抛物线的简单几何性质． 5. 曲线12x y e=在点2(4,)e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 （ ）A ．2e B ．22e C ．24e D ．292e （第3题图）【答案】A 【解析】试题分析： 由于11122211()22x x x y e ee ''===，所以曲线12x y e =在点2(4,)e 处的切线的斜率2412x k y e ='==，从而切线方程为：221(4)2y e e x -=-，即2212y e x e =-； 令0x =得2y e =-；令0y =得2x =；从而切线与坐标轴所围三角形的面积为22122S e e =⨯⨯-=；故选A.考点：导数的几何意义. 6.下列命题错误的是 （ ）A 、命题“若0m >，则方程02=-+m x x 有实数根”的逆否命题为“若方程02=-+m x x 无实数根，则0m ≤”B 、“1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件C 、对于命题:p x R ∃∈,使得012<++x x ，则R x p ∈∀⌝:，均有012≥++x xD 、若q p ∧为假命题，则,p q 均为假命题 【答案】D 【解析】试题分析：对于A ：命题“若0m >，则方程02=-+m x x 有实数根”的逆否命题为“若方程02=-+m x x 无实数根，则0m ≤”是真命题；对于B ：当1=x 时有0232=+-x x 成立，但当0232=+-x x 时，有1=x 或2x =；知B 是真命题；对于C ：对于命题:p x R ∃∈,使得012<++x x ，则R x p ∈∀⌝:，均有012≥++x x 也是真命题；对于D ：若q p ∧为假命题，则只要,p q 中至少有一个是假命题即可，所以它是假命题； 故选D.考点：简单命题真假判断．7.棱长均为3的三棱锥ABC S -，若空间一点P 满足SC z SB y SA x SP ++=)1(=++z y x则( )A 、6B 、36C 、63 D 、1 【答案】A 【解析】试题分析：∵空间一点P 满足SC z SB y SA x SP ++=)1(=++z y x ， ∴点P 在平面ABC 内．因此当SP ⊥平面ABC ，P∵三棱锥S-ABC 的棱长均为3，∴点P 为底面ABC 的中心．如图：∴2,33AP AD AD AP ===∴=在Rt △APS中，SP ===故选A.考点：1. 向量在几何中的应用；2. 平面向量的基本定理及其意义.8.已知函数)()1(x f x y '-=的图象如图所示，其中)(x f '为函数)(x f 的导函数，则)(x f y =的大致图象是( )【答案】B 【解析】试题分析：先结合函数)()1(x f x y '-=的图象得到当x ＞1时，()0f x '>，根据函数的单调性与导数的关系可知单调性，从而得到()y f x =在(1,)+∞上单调递增，从而得到正确选项．结合图象可知当x ＞1时，(1)()0y x f x '=->即f'（x ）＞0，∴()y f x =在(1,)+∞上单调递增. 故选B ．考点：函数的单调性与导数的关系.9.如图，过双曲线上左支一点A 作两条相互垂直的直线分别过两焦点，其中一条与双曲线交于点B ，若三角形ABF 2是等腰直角三角形，则双曲线的离心率为 （ ）A B D 【答案】B 【解析】试题分析：设12,AF x AF m ==，由已知有2AF AB =，则122,BF m x a BF =-==212BF BF a ∴-=22,4a a a m -=⇒=又2m x a -=，解得,x =在12AF F ∆中，由勾股定理知：2c m ==，所以双曲线的离心率4mc e a ===； 故选B ．考点：双曲线的简单性质.10.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E F ，分别是1AB ， 1BC 的中点，则以下结论中不成立．．．的是（ ） A ．EF 与1BB 垂直B ．EF 与BD 垂直C ．EF 与CD 异面D ．EF 与11A C 异面 【答案】D 【解析】试题分析：连接1B C ，则1B C 交1BC 于点F ，且F 为1BC 的中点，三角形1B AC ∆中1//2EF AC =，所以//EF 平面ABCD ，而1BB ⊥平面ABCD ，所以EF 与1BB 垂直；又AC BD ⊥，所以EF 与BD 垂直，EF 与CD 异面；由1//2EF AC =，11//AC A C 得11//EF A C ；故选D.考点：空间直线位置关系的判定.11. 已知函数()y f x =对任意的x ∈R 满足2'()2()ln 20x xf x f x ->（其中'()f x 是函数ABC1A 1C 1D 1B DE F()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（ ） A ．2(2)(1)f f -<- B ．2(1)(2)f f > C ．4(2)(0)f f -> D ．2(0)(1)f f > 【答案】A 【解析】试题分析：构造函数()()2xf xg x =，则22()2()ln 2()(2)x x x f x f x g x '-'=， 由于对任意的x ∈R 满足2'()2()ln 20x x f x f x ->，所以()0g x '>， 即函数()()2x f x g x =在R 上是单调递增函数，从而 (2)(1),g g -<-.(1)(2),g g <(2)(0),g g -<(0)(1),g g <即21(2)(1),22f f ----<2(1)(2),22f f <20(2)(0),22f f --<0(0)(1),22f f < 所以有2(2)(1)f f -<-，2(1)(2)f f <，4(2)(0)f f -<，2(0)(1)f f < 故选：A.考点：利用导数研究函数的单调性. 12.定义方程()'()f x f x =的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，若函数()1),()1g x x x ϕ==-3,()l n (1),()1x h x x x x ϕ=+=-的“新驻点”分别为,,αβγ，则,,αβγ的大小关系为（ ） A ．αβγ>>B ．βαγ>>C ．γαβ>>D ．βγα>>【答案】C 【解析】 试题分析：21()1,(),()31g x h x x x x φ'''===+， 由题意得：3211,ln(1),13,1αβγγβ=+=-=+ 由1ln(1),1ββ+=+得1(1),e ββ++=当1β≥时，12,β+≥121ββ∴+≤⇒<这与1β≥矛盾；所以1β<；再由3213,γγ-=知0γ=时等式不成立， 所以3231301,1γγγγ-=>⇒>∴> 综上知γαβ>> 故选：C.考点：1.导数的运算；2.新定义.第Ⅱ卷（共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案涂在答题卡上） 13.复数4312ii++的虚部为 . 【答案】-1 【解析】 试题分析：因为43(43)(12)105212(12)(12)5i i i ii i i i ++--===-++-，所以其虚部为-1. 故答案为：-1.考点：复数的除法及有关概念.14.用数学归纳法证明某命题时，左式为nn 111.4131211--++-+-（n 为正偶数），从“n=2k ”到“n=2k+2”左边需增加的代数式为________. 【答案】112122k k -++（写21-11++n n 也给分）考点：数学归纳法.15.设21 , F F 为双曲线12222=-b y a x 的左右焦点，点P 在双曲线的左支上，且||||122PF PF 的最小值为a 8，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 【答案】]3 ,1( 【解析】试题分析：由题意可得：221||8||PF a PF =，并且212PF PF a -=所以214,2PF a PF a ==．因为P 是为双曲线12222=-b y ax 左支上的一点，所以211262PF PF a F F c +=≥=，即3ce a=≤， 所以双曲线的离心率的取值范围是（1，3]． 故答案为：]3 ,1(. 考点：双曲线的简单性质. 16.已知()0,x ∈+∞，不等式12x x +≥，243x x +≥，3274x x +≥，…，可推广为1n ax n x+≥+，则a 等于 . 【答案】nn 【解析】试题分析：由()0,x ∈+∞时，有不等式：12x x +≥， 243x x +≥，3274x x+≥…，归纳得：不等式左边第二项的分子为nn ，即n a n =. 故答案为：nn 考点：归纳推理.三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17.（本小题满分12分）已知命题p ：[]0,2,12≥-∈∀a x x ，命题q ：022,0200=-++∈∃a ax x R x ，若“p 且q ”为真命题，求实数a 的取值范围． 【答案】1=a 或2-≤a . 【解析】试题分析：先求出命题p ，q 为真命题时，a 的范围，据复合函数的真假得到p ，q 全部为真，可求出a 的范围．试题解析：由“p 且q ”为真命题，则p ，q 都是真命题．p ：a x ≥2在[]2,1上恒成立，只需()1min2=≤x a ，所以命题p ：1≤a ；q ：设()a ax x x f -++=222，存在R x ∈0使()00=x f ，只需()02442≥--=∆a a ，即022≥-+a a 21-≤≥⇒a a 或，所以命题q ：21-≤≥a a 或.由⎩⎨⎧-≤≥≤211a a a 或得1=a 或2-≤a 故实数a 的取值范围是1=a 或2-≤a 考点：复合命题的真假、真值表.18.（本题满分12分） 已知函数2()ln f x x a x =+． （1）当2a e =-时,求函数()f x 的单调区间和极值；（2）若函数2()()g x f x x=+在上是减函数,求实数a 的取值范围． 【答案】（I）减，∞+)增，()0f x f ==极小；（II ）632a ≤-. 【解析】试题分析：（1）当2a e =-时，'()f x =利用x 变化时，f'（x ），f （x ）的变化情况可求函数f （x ）的单调区间和极值； （2）由22()ln g x x a x x=++，得'22)2a x x x x =+-g(，由g'（x ）≤0在上恒成立，可得22a x x ≤-2,在上恒成立．构造函数22)x x x=h(-2，利用导数法求其最小值即可．试题解析：（1）'2((),x x f x x∞=定义域(0,+),………2分减，∞+)增， ………4分()0f x f ==极小 ………6分（2）'22)2a x x x x=+-g(………8分 []'x ≤g()0在1,4上恒成立，22a x x≤-2,………10分[]22)x x x=h(-2在1,4为减函数，63))2a x ∴≤==-min h (h(4………12分考点：1. 函数在某点取得极值的条件；2. 函数的单调性与导数的关系.19.（本题满分12分） 如图，在三棱锥S ABC -中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，90BAC ∠=°，O 为BC 中点．（Ⅰ）证明：SO ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角A SC B --的余弦值．OSBC【答案】（I ）证明祥见解析；（II ）3. 【解析】试题分析：（I ）欲证SO ⊥平面ABC ，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证SO 与平面ABC 内两相交直线垂直，而SO ⊥BC ，SO ⊥AO ，又AO∩BO=O，满足定理条件；（II ）以O 为坐标原点，射线OB ，OA 分别为x 轴、y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz ，求出两半平面的法向量，求出两法向量的夹角即可．试题解析：（Ⅰ）由题设AB AC SB SC ====SA ，连结OA ，ABC △为等腰直角三角形，所以2OA OB OC SA ===，且AO BC ⊥，又SBC △为等腰三角形，SO BC ⊥，且2SO SA =，从而222OA SO SA +=． 所以SOA △为直角三角形，SO AO ⊥． 又AOBO O =． 所以SO ⊥平面ABC ．…………………6分（Ⅱ）解法一：取SC 中点M ，连结AM OM ，，由（Ⅰ）知SO OC SA AC ==，， 得OM SC AM SC ⊥⊥，．OMA ∠∴为二面角A SC B --的平面角．由AO BC AO SOSO BC O ⊥⊥=，，得AO ⊥平面SBC ．所以AO OM ⊥，又AM =，故sin AO AMO AM ∠===．所以二面角A SC B --的余弦值为3………………12分 解法二：以O 为坐标原点，射线OB OA ，分别为x 轴、y 轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系O xyz -．设(100)B ，，，则(100)(010)(001)C A S -，，，，，，，，．SC 的中点11022M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，111101(101)2222MO MA SC ⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，． 00MO SC MA SC ⋅=⋅=∴，．故,MO SC MA SC MO MA ⊥⊥>，，<等于二面角A SC B --的平面角．……10分3cos MO MA MO MA MO MA⋅<>==⋅，所以二面角A SC B --的余弦值为3．………12分 考点：1. 直线与平面垂直的判定；2. 二面角.20.(本小题满分12分)已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的焦距为离心率为2,其右焦点为F ,过点(0,)B b 作直线交椭圆于另一点A ． （1）若6AB BF ⋅=-,求ABF ∆外接圆的方程;（2）若过点(2,0)M 的直线与椭圆:N 222213x y a b +=相交于两点G 、H ，设P 为N 上一点，且满足OG OH tOP +=（O 为坐标原点），当253PG PH -<时，求实数t 的取值范围．【答案】（I ）223x y +=或225((333x y -+-=；（II ）23t -<<-，或2t <<. 【解析】试题分析：（1）利用椭圆的简单性质求得它的标准方程，设00(,)A x y ，由6AB BF ⋅=-求得A 的坐标，由此求得三角形外接圆的半径，即可求得外接圆的方程．（2）由题意可知直线GH 的斜率存在，把GH 的方程代入椭圆，由判别式大于零求得212k <（*），再结合253PG PH -<求得214k >，结合（*）得21142k <<，根据OG OH tOP +=，即1212(,)(,)x x y y t x y ++=，结合点P 在椭圆上可得22216(12)k t k =+，从而求得实数t 的取值范围.试题解析：（1）由题意知：c =2c e a ==，又222a b c -=，解得：a b =椭圆C 的方程为：22163x y +=2分可得：B ，F ,设00(,)A x y ，则00()AB x y =-，(3,BF =，6AB BF ⋅=-，00)6y=-，即00y x =由220000163x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩000x y =⎧⎪⇒⎨=⎪⎩，或0033x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即(0,A，或(,33A 4分①当A 的坐标为(0,时，OA OB OF ===，∴ABF ∆外接圆是以O 为半径的圆，即223x y += 5分 ②当A 的坐标为()33时，1AF k =，1BF k =-，所以ABF∆为直角三角形，其外接圆是以线段AB 为直径的圆，圆心坐标为()33，半径为123AB =，ABF ∴∆外接圆的方程为225((333x y -+-= 综上可知：ABF ∆外接圆方程是223x y +=，或225(()333x y -+-= 6分（2）由题意可知直线GH 的斜率存在．设:(2)GH y k x =-，11(,)G x y ，22(,)H x y ，(,)P x y由22(2)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：2222(12)8820k x k x k +-+-= 由422644(21)(82)0k k k ∆=-+->得：212k <（*） 8分 22121222882,1212k k x x x x k k-+==++ 253PG PH -<，253HG ∴<123x -< 214k ∴>，结合（*）得： 10分 OG OH tOP +=，1212(,)(,)x x y y t x y ∴++=从而21228(12)x x k x t t k +==+，1212214[()4](12)y y k y k x x k t t t k +-==+-=+ 点P 在椭圆上，2222284[]2[]2(12)(12)k k t k t k -∴+=++，整理得：22216(12)k t k =+ 即228812tk =-+，23t∴-<<-，或23t << 12分考点：1. 圆的标准方程；2. 平面向量数量积的运算；3. 直线与圆锥曲线的关系． 21.(本小题满分12分) 已知函数2()ln ()1f x a x a R x =+∈+． （1）当1a =时，求()f x 在[1,)x ∈+∞最小值； （2）若()f x 存在单调递减区间，求a 的取值范围； （3）求证：1111ln(1)35721n n +>+++++（n ∈*N ）． 【答案】（1）min ()(1)1f x f ==；（2）12a <；（3）祥见解析.【解析】试题分析：（1）可先求f′（x ），从而判断f （x ）在x ∈[1，+∞）上的单调性，利用其单调性求f （x ）在x ∈[1，+∞）最小值；（2）求h′（x ），可得2'2222(1)()(1)(1)a ax a x af x x x x x +-+=-=++，若f （x ）存在单调递减区间，需h′（x ）＜0有正数解．从而转化为：22(1)0ax a x a +-+<有x ＞0的解．通过对a 分a=0，a ＜0与当a ＞0三种情况讨论解得a 的取值范围；（3）可用数学归纳法予以证明．当n=1时，ln （n+1）=ln2，3ln2=ln8＞1⇒1ln 23>，即1n =时命题成立；设当n=k 时，命题成立，即111ln(1)3521k k +>++++成立，再去证明n=k+1时，1111ln(2)352123k k k +>++++++成立即可（需用好归纳假设）． 试题解析：（1）2()ln 1f x x x =++，定义域为(0,)+∞．222121'()0(1)(1)x f x x x x x +=-=>++ ()f x ∴在(0,)+∞上是增函数．min ()(1)1f x f ==.（2）因为2'2222(1)()(1)(1)a ax a x af x x x x x +-+=-=++ 因为若()f x 存在单调递减区间，所以'()0h x <有正数解. 即22(1)0ax a x a +-+<有0x >的解 当0a =时，明显成立 .②当0a <时，22(1)y ax a x a =+-+开口向下的抛物线，22(1)0ax a x a +-+<总有0x >的解；③当0a >时，22(1)y ax a x a =+-+开口向上的抛物线， 即方程22(1)0ax a x a +-+=有正根. 因为1210x x =>，所以方程22(1)0ax a x a +-+=有两正根. 当1x ≥时，()(1)1f x f ≥=；1200x x ∆>⎧⎨+>⎩，解得102a <<． 综合①②③知：12a <． 或：22(1)0ax a x a +-+<有0x >的解即2(21)a x x x ++< 有0x >的解， 即 2(21)xa x x <++有0x >的解，2(21)x a x x <++的最大值(0)x >，12a ∴< （3）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当1x >时，2ln 11x x +>+，即1ln 1x x x ->+． 令1k x k +=，则有11ln 21k k k +>+， 1111ln 21nn k k k k k ==+∴>+∑∑． 11ln(1)lnnk k n k=++=∑， 111ln(1)3521n n ∴+>++++． (法二)当1n =时，ln(1)ln 2n +=．3ln 2ln81=>，1ln 23∴>，即1n =时命题成立．设当n k =时，命题成立，即 111ln(1)3521k k +>++++．1n k ∴=+时，2ln(1)ln(2)ln(1)ln 1k n k k k ++=+=+++1112ln35211k k k +>++++++． 根据（Ⅰ）的结论，当1x >时，2ln 11x x +>+，即1ln 1x x x ->+． 令21k x k +=+，则有21ln 123k k k +>++， 则有1111ln(2)352123k k k +>++++++，即1n k =+时命题也成立． 因此，由数学归纳法可知不等式成立．考点：1. 利用导数求闭区间上函数的最值；2. 利用导数研究函数的单调性；3. 数学归纳法. 请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。
湖北省黄冈中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学理试题 Word版含答案
湖北省黄冈中学2014年秋季高二数学期中考试试题（理科）（考试时间120分钟 满分150分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的． 1．下列说法中正确的是（ ）A ．频率是概率的近似值，随着试验次数增加，频率会越来越接近概率.B ．要从1002名学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2名学生，这样对被剔除者不公平. C ．用秦九韶算法计算多项式356()1235953f x x x x x =++++在当1x =-时的值时要用到6次加法和15次乘法.D ．数据2，3，4，5的方差是数据4，6，8，10的方差的一半. 【答案】A【解析】B 选项是错的，每个个体被抽到的概率相等C 选项是错的，用秦九韶算法计算多项式356()1235953f x x x x x =++++在当1x =-时的值时要用到6次加法和6次乘法D 选项是错的，数据2，3，4，5的方差是数据4，6，8，10的方差的142．2014年索契冬季奥运会的花样滑冰项目上，8个评委为某选手打出的分数如茎叶图所示，则这些数据的中位数是（ ）A ． 84B ． 85C ． 86D ． 87．5【答案】C【解析】这些数据分别从小到大依次为79、79、84、85、87、88、88、92共8个数，故这些数据的中位数为8587862+=． 3．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为( )A ．7B ．15C ．25D ．35【答案】B【解析】由题意知，青年职工人数∶中年职工人数∶老年职工人数＝350∶250∶150＝7∶5∶3.由样本中青年职工为7人得样本容量为15.4．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( ) A ．至少有一个红球与都是红球 B ．至少有一个红球与都是白球 C ．至少有一个红球与至少有一个白球 D ．恰有一个红球与恰有二个红球【答案】D【解析】对于A 中的两个事件不互斥，对于B 中两个事件互斥且对立，对于C 中两个事件不互斥，对于D 中的两个互斥而不对立．5．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如表：根据表可得回归方程ˆˆˆy bx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A ．63．6万元B ．65．5万元C ．67．7万元D ．72．0万元【答案】B【解析】样本中心点是(3.5,42)， ˆˆy bxa -=＝42－9.4×3.5＝9.1，以回归方程是ˆ9.49.1y x =+，把x ＝6代入得ˆy ＝65.5．6．圆221:20O x y x +-=和圆222:40O x y y +-=的公共弦长为( )A B C ．3D 【答案】B【解析】圆1O 的圆心为(10),，半径11r =，圆2O 的圆心为(02),，半径22r =，故两圆的221:20O x y x +-=和圆222:40O x y y +-=两式相减得到相交弦所在直线方程20x y -=，(10),到直线20x y -=距离为5由垂径定理可得公共弦7．设22012(1)nn n x x a a x a x ++=+++，则242n a a a +++的值为（ ）A ．3nB ．32n-C ．312n -D ．312n +【答案】C【解析】令0=x 得 10=a ；（1），令1-=x 得 123210=++-+-n a a a a a ； （2） 令1=x 得 nn a a a a a 323210=+++++ ； （3）（2）＋（3）得 13)(22420+=++++n n a a a a ，故 2132420+=++++n na a a a ，再由（1）得 213242-=+++n na a a 。
湖北省黄冈市2015-2016学年高二下学期期末考试数学(理)试题 扫描版含答案
2016年高二春季期末考试数学试题参考答案（理科）一、ADCAA BCCDC BD 二、13. 2 14.75 15．16.17．试题解析：(1)∵⎩⎨⎧>->+0302x x ∴-2<x <3∴A=(-2,3)，∴(][)∞+⋃-∞-=，，32A C u ………………6分 （2）当0≤a 时，φ=B 满足A B A =⋃………………7分当0>a 时，)(a a B ，-=．∵A B A =⋃，∴A B ⊆，∴⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-32a a∴40≤<a ．综上所述：实数a 的范围是4≤a ………………12分考点：集合的补集、子集、函数的定义域. 18．（Ⅰ）由已知可得，， 解得a=1，b=﹣1，所以；………………4分（Ⅱ） 函数f （x ）为奇函数．证明如下： f （x ）的定义域为R ， ∵∴函数f （x ）为奇函数；……8分（Ⅲ）∵， ∴2x ﹣1＜m ⋅4x∴=g （x ），故对于任意的x ∈[0，2]，f （x ）（2x+1）＜m ⋅4x恒成立等价于m ＞g （x ）max 令，则y=t ﹣t2， 则当时，，故，即m 的取值范围为．………………12分考点：1. 函数的解析式、奇偶性；2. 函数恒成立问题19：（1）当ξ=7时，甲赢意味着“第七次甲赢，前6次赢5次，但根据规则，前5次中必输1次”，由规则，每次甲赢或乙赢的概率均为21，因此)7(=ξP=6452121)21()21(2415=⋅⋅⋅C………………5分（2）设游戏终止时骰子向上的点数是奇数出现的次数为m，向上的点数是偶数出现的次数为，则由⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=+=-915||ξξnmnm，或，可得：当655,0,5======mnmnm；当时，或ξ，1=n或1=m，6=n时，7=ξ．因此ξ的可能取值是5、7、9．每次投掷甲赢得乙一个福娃与乙赢得甲一个福娃的可能性相同，其概率都是.2163=64556451611)9(,645)7(,161)21(2)5(5=--=====⨯==ξξξPPP所以ξ的分布列是：322756455964571615=⨯+⨯+⨯=ξE………………12分考点：次独立重复试验发生次的概率，随机变量的分布列，数学期望．20．解：（Ⅰ）由于：月利润=月销售收入+月国家补助-月总成本，可得………………5分（Ⅱ）的定义域为，且+-增极大值减由上表得：在定义域上的最大值为 .且.即：月生产量在万件时，该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值为万元，此时的月生产量值为（万件）. …12分考点：1、用函数的思想优化生活中的实际问题；2、导数在研究函数性质中的应用.21．试题解析：解：（Ⅰ）的定义域为。
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湖北省黄冈中学2015年春季高二年级期末考试数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间120分钟．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1、若复数（1＋bi）（2＋i）是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b＝（）A．－2 B．C． D．22、如果命题“p且q”是假命题，“非p”是真命题，那么（）A．命题p一定是真命题B．命题q一定是真命题C．命题q可以是真命题也可以是假命题D．命题q一定是假命题3、若则a的值是（）A．2 B．3C．4 D．64、曲线y＝－5e x＋3在点（0，－2）处的切线方程为（）A．5x＋y＋2＝0 B．y＝5x－2C．y＝5x＋2 D．5x－y＋2＝05、函数y＝（3－x2）e x的单调递增区间是（）A．（－∞，0）B．（0，＋∞）C．（－∞，－3）和（1，＋∞） D．（－3，1）6、已知点A（4，1，3），B（2，－5，1），C为线段AB上一点且，则点C的坐标为（）A．B．C．D．7、若在（1，＋∞）上是减函数，则b的取值范围是（）A． D．（－∞，－1）8、已知方程ax2＋by2＝ab和ax＋by＋c＝0（其中ab≠0，a≠b，c＞0），它们所表示的曲线可能是（）9、设斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C． D．10、点P是双曲线左支上的一点，其右焦点为F（c，0），若M为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A． B．C．（1，＋∞） D．11、直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A，B两点，若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线的距离等于（）A．2 B．4C． D．12、给出下列命题：①若函数f（x）的导函数为f′（x），则f（x）在定义域内为增函数的充要条件是对于x∈D，f′（x）＞0恒成立；②对于空间向量，，且//，则；③对于空间向量，，且与夹角的余弦值为，则；④若命题“使得”为假命题，则实数m的取值范围是．其中真命题的序号是（）A．①②④ B．②③C．③④ D．②④第Ⅱ卷非选择题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、设F（1，0），M点在x轴上，P点在y轴上，且，当点P在y轴上运动时，点N的轨迹方程为__________．14、观察下列等式：……则当m＜n且m，n∈N时，（最后结果用m，n表示）．15、（甲）【平面几何选讲】如图，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，，∠OAP＝30°，则CP的长为__________．（乙）【极坐标与参数方程】已知直线的参数方程为：，圆C的极坐标方程为，那么，直线l与圆C的位置关系是__________．（丙）【不等式选讲】若，则P，Q的大小关系为__________．16、（甲）【平面几何选讲】如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O 交于另一点G．给出下列三个结论：①AD＋AE＝AB＋BC＋CA；②AF·AG＝AD·AE；③△AFB∽△ADG．其中正确结论的序号是__________．（乙）【极坐标与参数方程】⊙O1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，⊙O2的参数方程为，则⊙O1与⊙O2公共弦的长度为__________．（丙）【不等式选讲】已知函数，则不等式f（x）≥x2的解集为__________．三、解答题（本大题共6小题，70分）17、（本小题满分12分）已知y＝f（x）是二次函数，方程f（x）＝0有两相等实根，且f′（x）＝2x＋2．（1）求f（x）的解析式．（2）求函数y＝f（x）与函数y＝－x2－4x＋1所围成的图形的面积．18、（本小题满分12分）设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a＝1，且p q为真，求实数x的取值范围；（2）p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19、（本小题满分12分）已知函数f（x）＝lnx－a2x2＋ax（x∈R）．（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间（1，＋∞）上是减函数，求实数a的取值范围．20、（本小题满分12分）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝60°，N是BC 的中点，将梯形ABCD绕AB旋转90°，得到梯形ABC′D′（如图）．（1）求证：AC⊥平面ABC′；（2）求证：C′N∥平面ADD′；（3）求二面角A－C′N－C的余弦值．21、（本小题满分12分）如图，已知圆G：经过椭圆的右焦点F及上顶点B，过圆外一点（m，0）（m＞a）倾斜角为的直线l交椭圆于C，D两点，（1）求椭圆的方程；（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的外部，求m的取值范围．四、选考题（本小题满分10分）22、【平面几何选讲】如图所示，在四边形ABCP中，线段AP与BC的延长线交于点D，已知AB＝AC且A，B，C，P四点共圆．（1）求证：；（2）若AC＝4，求AP·AD的值．23、【极坐标与参数方程】在极坐标系下，已知圆O：和直线l：，（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；（2）当时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．24、【不等式选讲】已知函数f（x）＝|x＋1|＋|x－3|．（1）解不等式f（x）≤3x＋4；（2）若不等式f（x）≥m的解集为R，设求实数m的取值范围.答案解析：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间120分钟．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1、若复数（1＋bi）（2＋i）是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b＝（）A．－2 B．C． D．21、D解析：为纯虚数，则．2、如果命题“p且q”是假命题，“非p”是真命题，那么（）A．命题p一定是真命题B．命题q一定是真命题C．命题q可以是真命题也可以是假命题D．命题q一定是假命题2、C解析：“非p”是真命题，则p为假命题，命题q可以是真命题也可以是假命题．3、若则a的值是（）A．2 B．3C．4 D．63、A，4、曲线y＝－5e x＋3在点（0，－2）处的切线方程为（）A．5x＋y＋2＝0 B．y＝5x－2C．y＝5x＋2 D．5x－y＋2＝04、A解析：曲线y＝－5e x＋3在点（0，－2）处的切线斜率为－5，所以切线方程为y＝－5x－2．5、函数y＝（3－x2）e x的单调递增区间是（）A．（－∞，0）B．（0，＋∞）C．（－∞，－3）和（1，＋∞） D．（－3，1）5、D解析：y′＝－2xe x＋（3－x2）e x＝（－2x＋3－x2）e x＞0，∴2x－3＋x2＜0，∴x∈（－3，1）．6、已知点A（4，1，3），B（2，－5，1），C为线段AB上一点且，则点C的坐标为（）A．B．C．D．6、A解析：，设C点坐标为（x，y，z），则，．7、若在（1，＋∞）上是减函数，则b的取值范围是（）A． D．（－∞，－1）7、C解析：在．其中真命题的序号是（）A．①②④ B．②③C．③④ D．②④12、D解析：①f′（x）在少数点可以为0；②对于空间向量，，且平行于，则；③对于空间向量，，且与夹角的余弦值为，则；④若命题“使得”为假命题，则．第Ⅱ卷非选择题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、设F（1，0），M点在x轴上，P点在y轴上，且，当点P在y轴上运动时，点N的轨迹方程为__________．13、y2＝4x解析：设，则，，．14、观察下列等式：……则当m＜n且m，n∈N时，（最后结果用m，n表示）．14、n2－m2解析：第一行m＝0，n＝1，右边的值为1；第二行m＝2，n＝4，右边的值为12＝42－22；第三行m＝5，n＝8，右边的值为39＝82－52；所以猜想．15、（甲）【平面几何选讲】如图，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，，∠OAP＝30°，则CP的长为__________．（乙）【极坐标与参数方程】已知直线的参数方程为：，圆C的极坐标方程为，那么，直线l与圆C的位置关系是__________．（丙）【不等式选讲】若，则P，Q的大小关系为__________．15、（甲）【平面几何选讲】解析：因为圆O的半径为a，，，而．（乙）【极坐标与参数方程】相交解析：直线l的直角坐标方程为，圆C的直角坐标方程为，圆心到直线的距离，直线l与圆C的位置关系是相交．（丙）【不等式选讲】P<Q解析：，．16、（甲）【平面几何选讲】如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O 交于另一点G．给出下列三个结论：①AD＋AE＝AB＋BC＋CA；②AF·AG＝AD·AE；③△AFB∽△ADG．其中正确结论的序号是__________．（乙）【极坐标与参数方程】⊙O1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，⊙O2的参数方程为，则⊙O1与⊙O2公共弦的长度为__________．（丙）【不等式选讲】已知函数，则不等式f（x）≥x2的解集为__________．16、（甲）【平面几何选讲】①②解析：①②（乙）【极坐标与参数方程】解析：⊙O1极坐标方程为ρ＝4cosθ，直角坐标方程为（x－2）2＋y2＝4；⊙O2参数方程为，直角坐标方程为x2＋（y＋2）2＝4，两式相减，得到x＋y＝0，O1到此直线的距离为，公共弦长为．（丙）【不等式选讲】解析：或，所以不等式f（x）≥x2的解集为x∈．三、解答题（本大题共6小题，70分）17、（本小题满分12分）已知y＝f（x）是二次函数，方程f（x）＝0有两相等实根，且f′（x）＝2x＋2．（1）求f（x）的解析式．（2）求函数y＝f（x）与函数y＝－x2－4x＋1所围成的图形的面积．解析：（1）设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）．由题意得∴a＝1，b＝2，c＝1．（3分）∴f（x）＝x2＋2x＋1．（4分）（2）由题．（6分）．（12分）18、（本小题满分12分）设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a＝1，且p q为真，求实数x的取值范围；（2）p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解析：（1）由x2－4ax＋3a2＜0，得（x－3a）（x－a）＜0．又a＞0，所以a＜x＜3a，当a＝1时，1＜x＜3，即p为真命题时，1＜x＜3．（2分）由，解得，即2＜x≤3．所以q为真时，2＜x≤3．（4分）若为真，则，所以实数x的取值范围是（2，3）．（5分）（2）设，因为是的充分不必要条件，所以．（7分）所以0＜a≤2且3a＞3，即1＜a≤2．所以实数a的取值范围是（1，2]．（12分）19、（本小题满分12分）已知函数f（x）＝lnx－a2x2＋ax（x∈R）．（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间（1，＋∞）上是减函数，求实数a的取值范围．解析：（1）当a＝1时，f（x）＝lnx－x2＋x，其定义域是（0，＋∞），，（2分）令f（x）＝0，即，解得或x＝1．∵x＞0，∴x＝1．当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0．∴函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，＋∞）上单调递减．（4分）（2）显然函数f（x）＝lnx－a2x2＋ax的定义域为（0，＋∞），．（5分）①当a＝0时，，∴f（x）在区间（1，＋∞）上为增函数，不合题意．（6分）②当a＞0时，f′（x）≤0（x＞0）等价于（2ax＋1）·（ax－1）≥0（x＞0），即，此时f（x）的单调递减区间为．由．（7分）③当a＜0时，f′（x）≤0（x＞0）等价于（2ax＋1）·（ax－1）≥0（x＞0），即，此时f（x）的单调递减区间为．由．（8分）综上，实数a的取值范围是．（12分）20、（本小题满分12分）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝60°，N是BC 的中点，将梯形ABCD绕AB旋转90°，得到梯形ABC′D′（如图）．（1）求证：AC⊥平面ABC′；（2）求证：C′N∥平面ADD′；（3）求二面角A－C′N－C的余弦值．解析：（1）证明：，N是BC的中点，∴AD＝NC，又AD∥BC，∴四边形ANCD是平行四边形，∴AN＝DC，又∠ABC＝60°，∴AB＝BN＝AD，∴四边形ANCD是菱形，，∴∠BAC＝90°，即AC⊥AB，又平面C′BA⊥平面ABC，平面C′BA∩平面ABC＝AB，∴AC⊥平面ABC′．（3分）（2）证明：∵AD∥BC，AD′∥BC′，AD∩AD′＝A，BC∩BC′＝B，∴平面ADD′∥平面BCC′，又C′N平面BCC′，∴C′N∥平面ADD′．（6分）（3）解：∵AC⊥平面ABC′，AC′⊥平面ABC．如图建立空间直角坐标系，设，设平面C′NC的法向量为n＝（x，y，z）取z＝1，则．∵AC′⊥平面ABC，∴平面C′AN⊥平面ABC，又BD⊥AN，平面C′AN∩平面ABC＝AN，∴BD⊥平面C′AN，BD与AN交于点O，O则为AN的中点，，∴平面C′AN的法向量．，由图形可知二面角A—C′N—C为钝角，所以二面角A—C′N—C的余弦值为．（12分）21、（本小题满分12分）如图，已知圆G：经过椭圆的右焦点F及上顶点B，过圆外一点（m，0）（m＞a）倾斜角为的直线l交椭圆于C，D两点，（1）求椭圆的方程；（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的外部，求m的取值范围．解析：（Ⅰ）∵圆G：经过点F、B．，．故椭圆的方程为．（4分）（Ⅱ）设直线l的方程为．由消去y得．（6分）设，则，．．∵点F在圆E的外部，，（10分）即，解得m＜0或m＞3．由，解得．又．（12分）四、选考题（本小题满分10分）22、【平面几何选讲】如图所示，在四边形ABCP中，线段AP与BC的延长线交于点D，已知AB＝AC且A，B，C，P四点共圆．（1）求证：；（2）若AC＝4，求AP·AD的值．解：（1）证明：因为点A，B，C，P四点共圆，所以∠ABC＋∠APC＝180°，又因为∠DPC＋∠APC＝180°，所以∠DPC＝∠ABC，又因为∠D＝∠D，所以△DPC∽△DBA，所以，又因为AB＝AC，所以．（5分）（2）因为AB＝AC，所以∠ACB＝∠ABC，又∠ACD＋∠ACB＝180°，所以∠ACD＋∠ABC＝180°．由于∠ABC＋∠APC＝180°，所以∠ACD＝∠APC，又∠CAP＝∠DAC，所以△APC∽△ACD，所以，所以AP·AD＝AC2＝16．（10分）23、【极坐标与参数方程】在极坐标系下，已知圆O：和直线l：，（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；（2）当时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．解：（1）圆O：，即圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0．（2分）直线l：，即则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0．（5分）（Ⅱ）由．（8分）故直线l与圆O公共点的一个极坐标为．（10分）24、【不等式选讲】已知函数f（x）＝|x＋1|＋|x－3|．（1）解不等式f（x）≤3x＋4；（2）若不等式f（x）≥m的解集为R，设求实数m的取值范围.解：（1），原不等式等价于：，∴不等式的解集为．。