四种命题间的相互关系
命题及其关系、充分条件与必要条件
命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题2．四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题．在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.3．充要条件p ⇒q 且q ppq 且q ⇒p p ⇔qpq 且qp1．下列命题是真命题的为( ) A ．若1x ＝1y ，则x ＝y B ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x <y ，则x 2<y 2解析：选A 由1x ＝1y 易得x ＝y ；由x 2＝1，得x ＝±1；若x ＝y <0，则x 与y 均无意义； 若x ＝－2，y ＝1，虽然x <y ，但x 2>y 2. 所以真命题为A.2．已知集合A ＝{1，m 2＋1}，B ＝{2,4}，则“m ＝3”是“A ∩B ＝{4}”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A A ∩B ＝{4}⇒m 2＋1＝4⇒m ＝±3，故“m ＝3”是“A ∩B ＝{4}”的充分不必要条件．3．已知命题：若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实数根．则其逆否命题为________________________________________________________________________．答案：若方程x 2＋x －m ＝0无实根，则m ≤01．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．易忽视A 是B 的充分不必要条件(A ⇒B 且B ⇒/A )与A 的充分不必要条件是B (B ⇒A 且A ⇒/B )两者的不同．[小题纠偏]1．设x ∈R ，则“x >1”是“x 3>1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C ∵x >1，∴x 3>1，又x 3－1>0，即(x －1)(x 2＋x ＋1)>0，解得x >1，∴“x >1”是“x 3>1”的充要条件．2．“在△ABC 中，若∠C ＝90°，则∠A ，∠B 都是锐角”的否命题为：________________.解析：原命题的条件：在△ABC 中，∠C ＝90°， 结论：∠A ，∠B 都是锐角．否命题是否定条件和结论． 即“在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A ，∠B 不都是锐角”． 答案：在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A ，∠B 不都是锐角考点一 命题及其相互关系(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．命题“若a2>b2，则a>b”的否命题是()A．若a2>b2，则a≤b B．若a2≤b2，则a≤bC．若a≤b，则a2>b2D．若a≤b，则a2≤b2解析：选B根据命题的四种形式可知，命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”．该题中，p为a2>b2，q为a>b，故綈p为a2≤b2，綈q为a≤b.所以原命题的否命题为：若a2≤b2，则a≤b.2．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝－4”的逆否命题及其真假性为()A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题解析：选C根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝4或－1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．3．(易错题)给出以下四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题；④若ab是正整数，则a，b都是正整数．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)解析：①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab是正整数，但a，b不一定都是正整数，例如a＝－1，b＝－3，故④为假命题．答案：①③[谨记通法]1．写一个命题的其他三种命题时的2个注意点(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．如“题组练透”第3题②易忽视．2．命题真假的2种判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．(2)利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断．考点二充分必要条件的判定(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．设a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．而当a∥b时，〈a，b〉还可能是π，此时a·b＝－|a||b|，故“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件．2．设x∈R，则“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A|x－2|<1⇔1<x<3，x2＋x－2>0⇔x>1或x<－2.由于{x|1<x<3}是{x|x>1或x<－2}的真子集，所以“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的充分而不必要条件．3．已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1，或y≠－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1，且y＝－1，因为綈q⇒綈p但綈p⇒/綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．[由题悟法]充要条件的3种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某种条件．[即时应用]1．若p：|x|＝x，q：x2＋x≥0.则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A设p：{x||x|＝x}＝{x|x≥0}＝A，q：{x|x2＋x≥0}＝{x|x≥0或x≤－1}＝B，∵A B，∴p是q的充分不必要条件．2．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A当四边形ABCD为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC⊥BD；当四边形ABCD中AC⊥BD时，四边形ABCD不一定是菱形，还需要AC与BD互相平分．综上知，“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．考点三充分必要条件的应用………………………(题点多变型考点——纵引横联) [典型母题]已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S 的必要条件，求m的取值范围．[解]由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}，由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.则{1－m≤1＋m，1－m≥－2，1＋m≤10，∴0≤m≤3.所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3].[类题通法]根据充要条件求参数的值或取值范围的关键：先合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围．[越变越明][变式1] 母题条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件． 解：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．[变式2] 母题条件不变，若綈P 是綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解：由母题知P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵綈P 是綈S 的必要不充分条件， ∴P ⇒S 且S ⇒/P .∴[－2,10][1－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＜－2，1＋m ≥10.∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．本题运用等价法求解，也可先求綈P ，綈S ，再利用集合法列出不等式，求出m 的范围．的必要不充分条件，求m 的取值范围．解：记P ＝{x |(x －m )2>3(x －m )}＝{x |(x －m )(x －m －3)>0}＝{x |x <m 或x >m ＋3}，S ＝{x |x 2＋3x －4<0}＝{x |(x ＋4)(x －1)<0}＝{x |－4<x <1}，p 是s 成立的必要不充分条件，即等价于SP .所以m ＋3≤－4或m ≥1，解得m ≤－7或m ≥1. 即m 的取值范围为(－∞，－7]∪[1，＋∞)．一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[破译玄机]解析：选B 若(2x －1)x ＝0，则x ＝12或x ＝0，即不一定是x ＝0；若x ＝0，则一定能推出(2x －1)x ＝0.故“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件．2．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4解析：选C 命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．3．原命题p ：“设a ，b ，c ∈R ，若a >b ，则ac 2>bc 2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C 当c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以原命题是错误的；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是错误的；逆命题为“设a ，b ，c ∈R ，若ac 2>bc 2，则a >b ”，它是正确的；由于否命题与逆命题的真假一致，所以逆命题与否命题都为真命题．综上所述，真命题有2个．4．已知p ：|x |<2；q ：x 2－x －2<0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由x 2－x －2<0，得(x －2)(x ＋1)<0，解得－1<x <2；由|x |<2得－2<x <2.注意到由－2<x <2不能得知－1<x <2，即由p 不能得知q ；反过来，由－1<x <2可知－2<x <2，即由q 可得知p .因此，p 是q 的必要不充分条件．5．已知集合A ，B ，全集U ，给出下列四个命题： ①若A ⊆B ，则A ∪B ＝B ； ②若A ∪B ＝B ，则A ∩B ＝B ； ③若a ∈(A ∩∁U B )，则a ∈A ； ④若a ∈∁U (A ∩B )，则a ∈(A ∪B ) 其中真命题的个数为( ) A ．1B ．2C．3D．4解析：选B①正确；②不正确，由A∪B＝B可得A⊆B，所以A∩B＝A；③正确；④不正确．二保高考，全练题型做到高考达标1．已知复数z＝a＋3ii(a∈R，i为虚数单位)，则“a>0”是“z在复平面内对应的点位于第四象限”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C z＝a＋3ii＝－(a＋3i)i＝3－a i，若z位于第四象限，则a>0，反之也成立，所以“a>0”是“z在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件．2．命题“a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0”的逆否命题是()A．a，b∈R，若a≠b≠0，则a2＋b2＝0B．a，b∈R，若a＝b≠0，则a2＋b2≠0C．a，b∈R，若a≠0且b≠0，则a2＋b2≠0D．a，b∈R，若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0解析：选D a＝b＝0的否定为a≠0或b≠0；a2＋b2＝0的否定为a2＋b2≠0.3．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选C设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cos x≠cos y}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cos x＝cos y}，显然C D，所以B A.于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．4．下列说法正确的是()A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题是“若x2＝1，则x≠1”B．“x＝－1”是“x2－x－2＝0”的必要不充分条件C．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题是真命题D．“tan x＝1”是“x＝π4”的充分不必要条件解析：选C由原命题与否命题的关系知，原命题的否命题是“若x2≠1，则x≠1”，即A不正确；因为x2－x－2＝0，所以x＝－1或x＝2，所以由“x＝－1”能推出“x2－x－2＝0”，反之，由“x 2－x －2＝0”推不出“x ＝－1”，所以“x ＝－1”是“x 2－x －2＝0”的充分不必要条件，即B 不正确；因为由x ＝y 能推得sin x ＝sin y ，即原命题是真命题，所以它的逆否命题是真命题，故C 正确；由x ＝π4能推得tan x ＝1，但由tan x ＝1推不出x＝π4，所以“tan x ＝1”是“x ＝π4”的必要不充分条件，即D 不正确． 5．若条件p ：|x |≤2，条件q ：x ≤a ，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A ．a ≥2B ．a ≤2C ．a ≥－2D ．a ≤－2解析：选A 因为|x |≤2，则p ：－2≤x ≤2，q ：x ≤a ，由于p 是q 的充分不必要条件，则p 对应的集合是q 对应的集合的真子集，所以a ≥2.6．在命题“若m ＞－n ，则m 2＞n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析：若m ＝2，n ＝3，则2>－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m ＝－3，n ＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.答案：37．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，则“|q |＝1”是“S 4＝2S 2”的________条件．解析：∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，又S 4＝2S 2， ∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2(a 1＋a 2)，∴a 3＋a 4＝a 1＋a 2，∴q 2＝1⇔|q |＝1，∴“|q |＝1”是“S 4＝2S 2”的充要条件． 答案：充要8．已知p (x )：x 2＋2x －m ＞0，若p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3；又p (2)是真命题，所以4＋4－m ＞0，解得m ＜8.故实数m 的取值范围是[3,8)．答案：[3,8)9．已知α：x ≥a ，β：|x －1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为________． 解析：α：x ≥a ，可看作集合A ＝{x |x ≥a }， ∵β：|x －1|<1，∴0<x <2， ∴β可看作集合B ＝{x |0<x <2}． 又∵α是β的必要不充分条件， ∴B A ，∴a ≤0. 答案：(－∞，0]10．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，∴716≤y ≤2， ∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2， ∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件， ∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716， 解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”B ．“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”解析：选C C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”. 若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0，所以不是真命题．2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－2x＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( ) A ．a <0 B ．0<a <12C.12<a <1 D ．a ≤0或a >1解析：选A 因为函数f (x )过点(1,0)，所以函数f (x )有且只有一个零点⇔函数y ＝－2x＋a (x ≤0)没有零点⇔函数y ＝2x (x ≤0)与直线y ＝a 无交点．数形结合可得，a ≤0或a >1，即函数f (x )有且只有一个零点的充要条件是a ≤0或a >1，应排除D ；当0<a <12时，函数y ＝－2x ＋a (x ≤0)有一个零点，即函数f (x )有两个零点，应排除B ；同理，排除C.3．已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x <0}，若命题“A ∩B ＝∅”是假命题，求实数m 的取值范围．解：因为“A ∩B ＝∅”是假命题，所以A ∩B ≠∅.设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}，则U ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m | m ≤－1或m ≥32. 假设方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均非负，则有⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ，x 1＋x 2≥0，x 1x 2≥0即⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ，4m ≥0，2m ＋6≥0解得m ≥32.又集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫m | m ≥32关于全集U 的补集是{m |m ≤－1}，所以实数m 的取值范围是(－∞，－1]．。
四种命题间的相互关系
此处是命题的否定，要区别于否命题.
反证法的一般步骤： 反设 归谬 结论
（1）假设命题的结论不成立 , 即假设结论的反面成立; （2）从这个假设出发 , 经过推理论证 , 得出矛盾; （3）由矛盾判定假设不正确 , 从而肯定命题的结论正确
例2： 若a2能被2整除，a是整数，
练习2 证明：若p2 ＋ q2 ＝2，则p ＋ q ≤ 2．
证明：若p＋q ＞2，则
p2＋q2＝ 1 ［（p －q）2＋（p ＋q）2］ 2
≥ 1（p ＋q）2＞ 1×２２＝２ 1
2
2
2
所以p2 ＋ q2≠2． 这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而 原命题为真命题.
在数学的证明中，我们会常常用到一种方法 ——反证法.
6. 求证：若一个三角形的两条边不相等， 则这两条边所对的角也不相等.
证明：如果一个三角形的两边所对的角相等， 则这个三角形是等腰三角形， 且这两条边是等腰三角形的两条腰， 也就是说两条边相等. 这就证明了原命题的逆否命题是真命题 所以原命题也是真命题.
课堂小结
1. 四种命题的相互关系：
2. 四种命题的真假性：
求证：a也能被2整除.
证明：假设a不能被2整除，则a必为奇数， 故可令a=2m+1(m为整数), 由此得a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1, 此结果表明a2是奇数， 这与题中的已知条件（a2能被2整除）相矛盾 ∴a能被2整除.
练习
1. (2008山东文)给出命题：若函数是幂函数，
观察与分析
（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；真 （2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；假 （3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；假 （4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数. 真
1.1.3四种命题间的相互关系
原命题：假命题 否命题：真命题
逆命题：真命题 逆否命题：假命题
从三个探究，我们可以发现 什么规律？你能总结出来吗？
结论一：四种命题的相互关系
原命题
互逆
逆命题
（若p，则q） 互
互
为
（若q，则p） 互
否 否命题
互逆 逆否 否 逆否命题
（若┐ p，则┐ q）
（若┐ q，则┐ p）
结论二：四种命题的真假性
2. （2001江西、山西、天津文、理）在 空间中，
①若四点不共面，则这四点中任何三 点都不共线．
②若两条直线没有共点，则这两条直 线是异面直线．
以上两个命题中，逆命题为真命题的 是 ② ．（把符合要求的命题序号都填上）
解析：由于逆命题与否命题的真假性 相同，那么②的否命题“若两条直线有公共 点，则这两条直线不是异面直线”是真命题， 所以它的逆命题也是真命题.
继续解答
证明：若p＋q ＞2，则
p2＋q2
＝ ≥
11 2（［p（＋pq－）q2＞）2＋1×（２p ＋２＝q）２2］
所以p2 2＋ q2≠2．
2
这表明，原命题的逆否命题
为真命题，从而原命题为真命题.
在数学的证明中，我们会常常用到一种 方法——反证法.
反证法就是通过否定命题的结论而导出 矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论 证的一种数学证明方法.
22
2
自1-c2相+a ³矛(1-c盾)a >，12,得所以1-假a2+b设+ 1-不b2+c成+ 1-立c2+a，> 32 原即命题32 >成，32立属.于
（3）求证：若一个三角形的两条边不相等， 则这两条边所对的角也不相等.
四种命题间的相互关系
从而得到： 交换原命题的条件和结论，所得的命题就是它的 同时否定原命题的条件和结论，所得的命题就是它的
交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题就是它的 注意：原命题与逆命题、原命题与否命题、原命题与逆否命题是相对的。
二Hale Waihona Puke 新课探究：观察下面四个命题： （1）若 f(x)是正弦函数，则 f(x)是周期函数。 （2）若 f(x)是周期函数，则 f(x)是正弦函数。 （3）若 f(x)不是正弦函数，则 f(x)不是周期函数。 （4）若 f(x)不是周期函数，则 f(x)不是正弦函数。 你能说出每两个命题之间的关系吗？ 例如： （1） （2）互为逆命题。„„
[友情提示]当直接证明一个命题有难度时，可以证明和他有相同真假性的逆否命题 为真即可 证明：
四、跟踪练习：
证明：若 x y 0 ，则 x y 0
2 2
五、课堂小结：
六、当堂作业：
1、判断下列说法是否正确。 （1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真； （ （2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。 （ （3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。 （ （4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。 （ ） ） ） ）
复习 2：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的 条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做 做 ，另一个命题叫做原命题的 复习 3：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的 结论的否定和条件的否定， 那么我们把这样的两个命题叫做 一个命题叫做 ，另一个命题叫做原命题的 。 ： ； 。 。 其中 ．其中一个命题叫
）
3、若 m≤0 或 n≤0，则 m+n≤0。写出其逆命题、否命题、逆否命题，并分别指出其 假。 逆命题： 否命题： 逆否命题： 4、证明；若 a b 2a 4b 3 0 ，则 a b 1
命题及其关系、充分条件与必要条件
命题及其关系、充分条件与必要条件1.命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题，其中判断为真的语句叫作真命题，判断为假的语句叫作假命题.2.四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.3.充分条件、必要条件与充要条件的概念概念方法微思考若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系.提示若A B，则p是q的充分不必要条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A B，则p是q的必要不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件；若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分又不必要条件.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“对顶角相等”是命题.(√)(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”.(×)(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.(√)(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.(√)题组二教材改编2.下列命题是真命题的是()A.矩形的对角线相等B.若a>b，c>d，则ac>bdC.若整数a是素数，则a是奇数D.命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题答案 A3.命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是____________________________.答案两直线不平行，同位角不相等4.“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的____________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充分不必要题组三易错自纠5.设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件答案 C解析x>y⇏x>|y|(如x＝1，y＝－2)，但当x>|y|时，能有x>y.∴“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件.6.已知p：x>a是q：2<x<3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________.答案(－∞，2]解析由已知，可得{x|2<x<3}{x|x>a}，∴a≤2.题型一命题及其关系1.已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18； ②若两组数据的平均数相等，则它们的方差也相等；③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切. 其中真命题的序号是________.答案 ①③2.某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是( )A.不拥有的人们会幸福B.幸福的人们不都拥有C.拥有的人们不幸福D.不拥有的人们不幸福答案 D3.有下列四个命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否命题；④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题.其中真命题为________.(填写所有真命题的序号)答案 ①②③解析 ①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题是“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”，显然是真命题，故①正确；②“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”，显然是真命题，故②正确；③若x 2－2x ＋m ＝0有实数解，则Δ＝4－4m ≥0，解得m ≤1，所以“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题，故③正确；④若A ∩B ＝B ，则B ⊆A ，故原命题错误，所以其逆否命题错误，故④错误.4.设m ∈R ，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是________________. 答案 若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p ，则q ”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可.(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假.题型二 充分、必要条件的判定 例1 (1)已知α，β均为第一象限角，那么“α>β”是“sin α>sin β”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案 D 解析 取α＝7π3，β＝π3，α>β成立，而sin α＝sin β，sin α>sin β不成立. ∴充分性不成立；取α＝π3，β＝13π6，sin α>sin β，但α<β，必要性不成立. 故“α>β”是“sin α>sin β”的既不充分也不必要条件.(2)已知条件p ：x >1或x <－3，条件q ：5x －6>x 2，则綈p 是綈q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案 A解析 由5x －6>x 2，得2<x <3，即q ：2<x <3.所以q ⇒p ，p ⇏q ，所以綈p ⇒綈q ，綈q ⇏綈p ，所以綈p 是綈q 的充分不必要条件，故选A.思维升华 充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题.(2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题.跟踪训练1 (1)王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的( )A.充要条件B.既不充分又不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件 答案 D解析 非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件.(2)设p ：⎝⎛⎭⎫12x <1，q ：log 2x <0，则p 是q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 答案 B解析 由⎝⎛⎭⎫12x <1知x >0，所以p 对应的集合为(0，＋∞)，由log 2x <0知0<x <1，所以q 对应的集合为(0,1)，显然(0,1)(0，＋∞)，所以p 是q 的必要不充分条件.题型三 充分、必要条件的应用例2 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }.若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围.解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}.由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P .则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2， ∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3].引申探究若本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件.解 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，方程组无解， 即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件.思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.跟踪训练2 (1)设p ：|2x ＋1|<m (m >0)；q ：x －12x －1>0.若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为__________.答案 (0,2]解析 由|2x ＋1|<m (m >0)，得－m <2x ＋1<m ，∴－m ＋12<x <m －12. 由x －12x －1>0，得x <12或x >1. ∵p 是q 的充分不必要条件，又m >0，∴m －12≤12，∴0<m ≤2.(2)设n ∈N ＋，则一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________. 答案 3或4解析 由Δ＝16－4n ≥0，得n ≤4，又n ∈N ＋，则n ＝1,2,3,4.当n ＝1,2时，方程没有整数根；当n ＝3时，方程有整数根1,3，当n ＝4时，方程有整数根2.综上可知，n ＝3或4.利用充要条件求参数范围逻辑推理是从事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养.逻辑推理的主要形式是演绎推理，它是得到数学结论、证明数学命题的主要方式，也是数学交流、表达的基本思维品质. 例 已知条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________.答案 ⎣⎡⎦⎤0，12 解析 方法一 命题p 为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤1， 命题q 为{x |a ≤x ≤a ＋1}.綈p 对应的集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1或x <12， 綈q 对应的集合B ＝{x |x >a ＋1或x <a }.∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1>1，a ≤12或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1≥1，a <12， ∴0≤a ≤12. 方法二 命题p 为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤1， 命题q 为B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}.∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴p 是q 的充分不必要条件，即A B .∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1≥1，a <12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>1，a ≤12，∴0≤a ≤12. 素养提升 例题中得到实数a 的范围的过程就是利用已知条件进行推理论证的过程，数学表达严谨清晰.1.已知命题p ：若a <1，则a 2<1，则下列说法正确的是( )A.命题p 是真命题B.命题p 的逆命题是真命题C.命题p 的否命题是“若a <1，则a 2≥1”D.命题p 的逆否命题是“若a 2≥1，则a <1”答案 B解析 若a ＝－2，则(－2)2>1，∴命题p 为假命题，∴A 不正确；命题p 的逆命题是“若a 2<1，则a <1”，为真命题，∴B 正确；命题p 的否命题是“若a ≥1，则a 2≥1”，∴C 不正确；命题p 的逆否命题是“若a 2≥1，则a ≥1”，∴D 不正确.故选B.2.已知命题p ：“正数a 的平方不等于0”，命题q ：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则q 是p 的( )A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.否定答案 B解析 命题p ：“正数a 的平方不等于0”可写成“若a 是正数，则它的平方不等于0”，从而q 是p 的否命题.3.(2018·天津)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 答案 A解析 由⎪⎪⎪⎪x －12<12，得0<x <1，则0<x 3<1，即“⎪⎪⎪⎪x －12<12”⇒“x 3<1”； 由x 3<1，得x <1，当x ≤0时，⎪⎪⎪⎪x －12≥12，即“x 3<1”⇏“⎪⎪⎪⎪x －12<12”. 所以“⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的充分不必要条件. 故选A.4.(2018·西安模拟)设a ，b ∈R ，则“(a －b )a 2<0”是“a <b ”的( )A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件 答案 A解析 由(a －b )a 2<0可知a 2≠0，则一定有a －b <0，即a <b ；但a <b 即a －b <0时，有可能a ＝0，所以(a －b )a 2<0不一定成立，故“(a －b )a 2<0”是“a <b ”的充分不必要条件，故选A.5.有下列命题：①“若x ＋y >0，则x >0且y >0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m >1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集是R ”的逆命题；④“若a ＋7是无理数，则a 是无理数”的逆否命题.其中正确的是( )A.①②③B.②③④C.①③④D.①④ 答案 C解析 ①的逆命题“若x >0且y >0，则x ＋y >0”为真，故否命题为真；②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题；③的逆命题为“若mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ，则m >1”.因为当m ＝0时，解集不是R ，所以应有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ<0，即m >1.所以③是真命题； ④原命题为真，逆否命题也为真.6.若实数a ，b 满足a >0，b >0，则“a >b ”是“a ＋ln a >b ＋ln b ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案 C解析设f(x)＝x＋ln x，显然f(x)在(0，＋∞)上是增加的，∵a>b，∴f(a)>f(b)，∴a＋ln a>b＋ln b，故充分性成立；∵a＋ln a>b＋ln b，∴f(a)>f(b)，∴a>b，故必要性成立，故“a>b”是“a＋ln a>b＋ln b”的充要条件，故选C.7.已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d>0”是“S4＋S6>2S5”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件答案 C解析方法一∵数列{a n}是公差为d的等差数列，∴S4＝4a1＋6d，S5＝5a1＋10d，S6＝6a1＋15d，∴S4＋S6＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d.若d>0，则21d>20d,10a1＋21d>10a1＋20d，即S4＋S6>2S5.若S4＋S6>2S5，则10a1＋21d>10a1＋20d，即21d>20d，∴d>0.∴“d>0”是“S4＋S6>2S5”的充分必要条件.故选C.方法二∵S4＋S6>2S5⇔S4＋S4＋a5＋a6>2(S4＋a5)⇔a6>a5⇔a5＋d>a5⇔d>0.∴“d>0”是“S4＋S6>2S5”的充分必要条件.故选C.8.已知p：x≥k，q：(x＋1)(2－x)<0，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是()A.[2，＋∞)B.(2，＋∞)C.[1，＋∞)D.(－∞，－1]答案 B解析由q：(x＋1)(2－x)<0，得x<－1或x>2，又p是q的充分不必要条件，所以k>2，即实数k的取值范围是(2，＋∞)，故选B.9.有下列几个命题：①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题.其中真命题的序号是________.答案②③解析 ①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”，错误；②原命题的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，正确；③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”，正确.10.已知f (x )是R 上的奇函数，则“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的__________条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案 充分不必要解析 ∵函数f (x )是奇函数，∴若x 1＋x 2＝0，则x 1＝－x 2，则f (x 1)＝f (－x 2)＝－f (x 2)，即f (x 1)＋f (x 2)＝0成立，即充分性成立；若f (x )＝0，满足f (x )是奇函数，当x 1＝x 2＝2时，满足f (x 1)＝f (x 2)＝0，此时满足f (x 1)＋f (x 2)＝0，但x 1＋x 2＝4≠0，即必要性不成立.故“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的充分不必要条件.11.在△ABC 中，角A ，B 均为锐角，则“cos A >sin B ”是“△ABC 为钝角三角形”的____________条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 充要解析 因为cos A >sin B ，所以cos A >cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ，因为角A ，B 均为锐角，所以π2－B 为锐角， 又因为余弦函数y ＝cos x 在(0，π)上是减少的，所以A <π2－B ，所以A ＋B <π2， 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以C >π2， 所以△ABC 为钝角三角形；若△ABC 为钝角三角形，角A ，B 均为锐角，则C >π2，所以A ＋B <π2， 所以A <π2－B ，所以cos A >cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ， 即cos A >sin B .故“cos A >sin B ”是“△ABC 为钝角三角形”的充要条件.12.已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，m ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是____________.答案 (2，＋∞)解析 因为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}，x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，所以A B ，所以m ＋1>3，即m >2.13.已知α，β∈(0，π)，则“sin α＋sin β<13”是“sin(α＋β)<13”的______________条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案 充分不必要解析 因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β<sin α＋sin β，所以若sin α＋sin β<13，则有sin(α＋β)<13，故充分性成立；当α＝β＝π2时，有sin(α＋β)＝sin π＝0<13，而sin α＋sin β＝1＋1＝2，不满足sin α＋sin β<13，故必要性不成立.所以“sin α＋sin β<13”是“sin(α＋β)<13”的充分不必要条件.14.已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则m 的取值范围是____________. 答案 ⎣⎡⎦⎤－12，43 解析 解不等式|x －m |<1，得m －1<x <m ＋1.由题意可得⎝⎛⎭⎫13，12(m －1，m ＋1)，故⎩⎨⎧ m －1≤13，m ＋1≥12且等号不同时成立，解得－12≤m ≤43.15.已知p ：实数m 满足3a <m <4a (a >0)，q ：方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，若p 是q 的充分条件，则a 的取值范围是________________.答案 ⎣⎡⎦⎤13，38解析 由2－m >m －1>0，解得1<m <32， 即q ：1<m <32. 因为p 是q 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥1，4a ≤32， 解得13≤a ≤38，所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，38.16.已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，0≤x ≤2，B ＝{x |x ＋m 2≥2}，p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是________________.答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，－54∪⎣⎡⎭⎫54，＋∞ 解析 由y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716，0≤x ≤2， 得716≤y ≤2，∴A ＝⎣⎡⎦⎤716，2. 又由题意知A ⊆B ，∴2－m 2≤716，∴m 2≥2516. ∴m ≥54或m ≤－54.。
四种命题间的相互关系课件PPT
2.与命题“已知点A，直线l0，l，A∈l0,若l0∥l，则l0唯一”为 互否命题的是( ) (A)已知点A，直线l0，l,A∈l0,若l0唯一，则l0∥l (B)已知点A，直线l0，l,A∈l0,若l0不唯一，则l0∥l (C)已知点A，直线l0，l,A∈l0,若l0不平行于l，则l0不唯一 (D)已知点A，直线l0，l,A∈l0,若l0∥l，则l0不唯一
【想一想】解题2用的什么方法？此种方法的思路是什么？ 提示：用的方法是排除法，这种方法的思路是：首先将选择支 进行合理分类，再选择比较简单的一类作出判断，依此判断进 行排除.
互为逆否的命题同真同假的应用 【技法点拨】
命题真假判断的一种策略 当判断一个命题的真假比较困难，或者在判断真假时涉及到分 类讨论时，通常转化为判断它的逆否命题的真假，因为互为逆 否命题的真假是等价的，也就是我们讲的“正难则反”的一种 策略.
互 否
逆否命题 若﹁ q,则﹁p
2.四种命题的真假性 (1)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性的关系是: _没__有__关__系__. (2)①原命题与它的逆否命题真假性的关系是:有_相__同__的__真假 性; ②逆命题与否命题真假性的关系是:有_相__同__的__真假性. 综上，互为逆否命题具有相同的_真__假__性__.
1.在四种命题中，只有命题“若p，则q”和“若 p，则 q” 是互否命题吗？ 提示：不是，如命题“若q，则p”和“若q，则 p”也是互 否命题.
2.互逆命题的真假性一定不等价吗？ 提示:不一定，如命题“若一条直线垂直于一个平面内的任意一 条直线，则这条直线就垂直于这个平面”就和它的逆命题同真.
1.1.3 四种命题间的相互关系
1.认识四种命题间的相互关系及真假关系. 2.会利用命题真假的等价性解决简单问题.
四种命题之间的相互关系
原命题：若p 则q 逆命题：若q 则p 否命题：若? p 则? q 逆否命题：若? q 则? p
？ 观察与思考
1）若f (x)是正弦函数，则 f (x)是周期函数。 2）若f (x)是周期函数，则 f (x)是正弦函数。 3）若f (x)不是正弦函数，则 f (x)不是周期函数。 4）若f (x)不是周期函数，则 f (x)不是正弦函数。
例：证明：若p 2 +q2 =2,则p+q ? 2
巩固练习；P 9练习
小结：
1、本节内容： （1）四种命题的关系 （2）四种命题的真假关系
(3) 一种思想
作业：P 10 A组 3（2）、4
2.四种命题真假的个数可能为（ 答：0个、2个、4个。
）个。
如：原命题：若A∪B=A, 则A∩B=φ。 逆命题：若A∩B=φ，则A∪B=A。 否命题：若A∪B≠A，则A∩B≠φ。 逆否命题：若A∩B≠φ，则A∪B≠A。
（假） （假） （假） （假）
例题讲解
例1：设原命题是：当c>0时，若a>b, 则ac>bc. 写出它的逆命题、否命题、逆否命题。 并分别判断它们的真假。
分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且” “或”的 否定为“或” “且”。
解：逆命题：若m+n≤0 ，则m≤0或n≤0。 否命题：若m>0且n>0, 则m+n>0.
（真） （真）
逆否命题：若m+n>0, 则m>0且n>0.
（假）
小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的 真假。因为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原命 题真假等价。
四种命题之间的关系
命题 原命题 若p 则q 互 否 否命题 若┐p则┐q 则 命题 互逆命题 互否命题 互 逆否
互 互逆
逆命题 若q 则p 互 否 逆否命题 若┐q则┐p 则
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
互逆
证明： 例3 证明：若x2+y2=0，则x=y=0 ， 练习： 练习： 、 、 1. 四种命题真假的个数可能为 0、2、4 个。 四种命题真假的个数可能为_________个 2. 判断下列说法是否正确。 判断下列说法是否正确。 （对） (1)一个命题的逆命题为真 它的逆否命题不一定为真 一个命题的逆命题为真,它的逆否命题不一定为真 一个命题的逆命题为真 它的逆否命题不一定为真. (2)一个命题的否命题为真 它的逆命题一定为真 （对） 一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真 一个命题的否命题为真 它的逆命题一定为真. (3)一个命题的原命题为假 它的逆命题一定为假. (3)一个命题的原命题为假,它的逆命题一定为假.（错） 一个命题的原命题为假,它的逆命题一定为假 (4)一个命题的逆否命题为假 它的否命题为假 （错） 一个命题的逆否命题为假,它的否命题为假 一个命题的逆否命题为假 它的否命题为假. 3.判断“二次函数 判断“ 判断 二次函数y=ax2+bx+c中,若b=a+c,则该二次函数 中若 则该二次函数 不存在有零点” 判断其逆否命题的真假. 不存在有零点”. 判断其逆否命题的真假
△ 解: ∵ = b2 −4ac = (a +c)2 −4ac = (a −c)2 ≥ 0, ∴其 否 题 为 . 逆 命 也 真 ∴ 原命题为真 ,
4. 课本 课本P8. 练
五、提高: 已知命题 P:lg(x 2 −2 x − 2) ≥ 0 的解集是 A;命 提高 命 的解集不 题 Q： x (4 − x ) ≤ 0 的解集不是 B.若 P 是真命题 Q 是假 若 是真命题, 命题,求 ∩ 命题 求 A∩B.
四种命题 四种命题间的相互关系
否命题：若 m·n≥0，则方程 mx2－x＋n＝0 没有实数 根，假命题．
逆否命题：若方程 mx2－x＋n＝0 没有实数根，则 m·n ≥0，真命题．
(2)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的 弧，则这条直线是弦的垂直平分线，真命题．
否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直 线不过圆心或不平分弦所对的弧，真命题．
3．四种命题真假性之间的关系 (1)两个命题互为逆否命题时，它们有相同的真假性； (2)两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假 性没有关系．
温馨提示 在四种命题中，真命题的个数可能为 0，2，4 个，不 会出现奇数个．
1．下列判断中不正确的是( ) A．命题“若 A∩B＝B，则 A∪B＝A”的逆否命题 为真命题 B．“矩形的两条对角线相等”的否命题为假命题 C．“已知 a，b，m∈R，若 am2<bm2，则 a<b”的逆 命题是真命题 D．“若 x∈N*，则(x－1)2>0”是假命题
解析：A 中，逆否命题“若 A∪B≠A，则 A∩B≠B” 是真命题，正确；B 中，否命题“不是矩形的四边形的两 条对角线不相等”是假命题，正确；C 中，逆命题“已知 a，b，m∈R，若 a<b，则 am2<bm2”是假命题．所以 C 错误，符合题意．D 中，因为 x＝1 时，(1－1)2＝0，所以 是假命题，正确．
答案：C
2．命题“若 a＞b，则 2a＞2b－1”的否命题为 ___________________________________________． 解析：否命题为“若¬ p，则¬ q”，则否命题为“若 a≤b，则 2a≤2b－1”． 答案：“若 a≤b，则 2a≤2b－1”
3．下列命题： ①“等边三角形三内角都为 60°”的逆命题； ②“若 k>0，则 x2＋2x－k＝0 有实根”的逆否命题； ③“全等三角形的面积相等”的否命题； ④“若 ab≠0，则 a≠0”的否命题； 其中真命题的序号为________． 解析：①逆命题“三内角都为 60°的三角形为等边 三角形”，真命题；②逆否命题“若 x2＋2x－k＝0 没有实 根，则 k≤0”，因为Δ＝4＋4k<0，所以 k<－1，满足 k
1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系
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四种命题1．1.3
四种命题间的相互关系
答：命题(1)的条件是命题(2)的结论，且命题(1)的结论是命题(2) 的条件． 对于命题(1)和(3)．其中一个命题的条件和结论分别是另一个命
题的条件的否定和结论的否定；
对于命题(1)和(4)．其中一个命题的条件和结论分别是另一个命 题的结论的否定和条件的否定．
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四种命题1．1.3
四种命题间的相互关系
2．四种命题的真假性的判断 原命题为真，它的逆命题 不一定为真 不一定为真 ；它的否命题也 ．原命题为真，它的逆否命题 一定为真 ．
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四种命题间的相互关系
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1．1.2 四种命题1．1.3
四种命题间的相互关系
再见
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2．认识四种命题之间的相互关系以及真假性之间的联系． 3．会利用逆否命题的等价性解决问题．
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下列四ห้องสมุดไป่ตู้命题：
四种命题1．1.3
四种命题间的相互关系
(1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； (2)若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数； (3)若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数； (4)若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数． 观察命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？
四种命题及充要条件
四种命题及充要条件第一部分考点精要1．四种命题及相互之间的关系：一个命题与它的逆否命题是等价的．2．充分、必要条件的判定：(1)若p⇒q且q⇒/p，则p是q的充分不必要条件；(2)若p⇒/q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；(3)若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；(4)若p⇒/q且q⇒/p，则p是q的既不充分也不必要条件．第二部分学法指导1．正确写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题的关键在于：(1)将命题改写成“若p则q”的形式；(2)依据概念要求写出其他三种命题．2．判断命题的真假性，若能用“互为逆否的两个命题等价”的性质进行转化，通常能事半功倍．3．注意“命题的否定”与“否命题”是两个不同的概念．“否命题”同时否定条件与结论．4．判断××条件要注意以下两点：(1)在判断的时候，一定要从p能否推出q，q能否推出p两方面去判断(即正推与反推)．对于p⇒q，要能够证明，而对于p⇒/q，只需举一例即可．因此有时判断命题p⇒q困难，应转化为举反例判断其逆否命题⌝q⇒/⌝p是否成立．(2)“p是q的××条件”与“q的××条件是p”表述不同，但意思相同．在解题时，务必将后者转化为前者，以免出错．5．反证法与常见否定．(1)用反证法证明命题的一般步骤为：①假设命题的结论不成立，即假设命题结论的反面成立。
②从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾．③由矛盾判断假设不正确，从而肯定命题的结论正确．(2)反证法的第一步是否定结论，在解决实际问题中，需掌握以下词语的否定.题型一：四种命题例1、设原命题是“已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：逆命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d.假命题．否命题：已知a，b，c，d是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d.假命题．逆否命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b或c≠d.真命题．评析：对于命题，要注意大前提以及命题的条件和结论，在写命题的其他形式时，大前提一般不动，只是对条件和结论作相应的处理．可以利用等价关系来判断命题的真假题型二：条件的判定与关系例2：若函数f(x)是R上的增函数，则“a＋b>0”是“f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)”成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件B． C．充要条件 D．既不充分也不必要条件12答案：C解析：由a ＋b >0，有a >－b ，b >－a ，∵f (x )是R 上的增函数，∴f (a )>f (－b )，f (b )>f (－a )，∴f (a )＋f (b )>f (－a )＋f (－b )，正推成立．要判断逆推是否成立比较困难，可转化为判断其逆否命题：“a ＋b ≤0⇒f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )”，可依上推知该命题成立，∴逆推成立．选C.评析：判断充要条件问题时，要考虑p ⇒q 与q ⇒p 两个方面是否都成立；另外对于原命题不好判断时，可以考虑它的逆否命题，利用互为逆否的命题为等价命题来解决．题型三：充要条件的综合运用例4、证明一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 分析：此题应从判别式和根与系数的关系入手解题．证明：充分性：若ac <0，则b 2－4ac >0，且ca<0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程有一正根和一负根．必要性：若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．则Δ＝b 2－4ac >0，且x 1x 2＝ca<0，∴ac <0.评析：该例的叙述格式是“B 成立的充要条件是A ”，因此由A ⇒B 是充分性，由B ⇒A 是必要性，这种问题还有另一种叙述格式：p 是q 成立的充要条件，这时由p ⇒q 是充分性，由q ⇒p 是必要性，在解决这类问题时，要弄清属于哪种叙述格式，避免在论证中将充分性与必要性搞混．同类演练：“x 2＋2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立”的充要条件是( ) A ．“(x 2＋2x )min ≥(ax )max 在x ∈[1,2]上恒成立” B ．“(x 2＋2x )max ≥(ax )min 在x ∈[1,2]上恒成立” C ．“[x 2＋(2－a )x ]max ≥0在x ∈[1,2]上恒成立” D ．“[x 2＋(2－a )x ]min ≥0在x ∈[1,2]上恒成立”答案：D解析：不等式两边的x 取值具有同时性，不能分开求解，应选D. 例1、不等式x 2－2x －3≤0成立的充分不必要条件是( ) A ．－1≤x ≤3 B ．0≤x ≤4 C ．－1<x ≤3 D ．x ＝5 答案：C解：不等式等价于－1≤x ≤3，∵由－1<x ≤3可推得－1≤x ≤3，而逆推不成立，∴－1<x ≤3是不等式x 2－2x －3≤0成立的充分不必要条件． 即不等式x 2－2x －3≤0成立的充分不必要条件是－1<x ≤3.应选C.第四部分 随 堂 检 测1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( ) A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 答案：B解析：原命题：条件——一个数是负数．结论——这个数的平方是正数． 逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．2、(2017·高考山东卷)已知命题p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋1≥0；命题q ：若a 2<b 2，则a <b .下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∧¬q C ．¬p ∧q D.¬p ∧¬q答案：B解析：因为方程x 2－x ＋1＝0的根的判别式Δ＝(－1)2－4＝－3<0，又对于二次函数y ＝x 2－x ＋1，其图象开口向上，所以x 2－x ＋1>0恒成立，所以p 为真命题．对于命题q ，取a ＝2，b ＝－3，22<(－3)2，而2>－3，所以q 为假命题，¬q 为真命题．因此p ∧¬q 为真命题．选B.33．若集合P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{x |0<x <5，x ∈R }，则( ) A ．“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分条件但不是必要条件 B ．“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件但不是充分条件 C ．“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充要条件D ．“x ∈P ”既不是“x ∈Q ”的充分条件也不是“x ∈Q ”的必要条件 答案：A解析：P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{x |0<x <5，x ∈R }，∴P ⊆Q ，但Q P∴x ∈P ⇒x ∈Q 但x ∈Q /⇒x ∈P ，∴“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件． 4、下列命题：①“若x ＝2，则x 2＝4”的否命题；②“若x 2＋y 2＝0，则实数x ，y 全为零”的逆否命题； ③“若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0”的逆命题． 其中真命题的个数有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 答案：C解析：x ≠2但x ＝－2，也有x 2＝4，①是假命题； ∵x ，y ∈R ，由x 2＋y 2＝0必有x ＝y ＝0，∴其逆否命题也为真，②是真命题；由a ＝0或b ＝0，必有ab ＝0，∴③是真命题，选C.5、“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0”有实数解的( )A ．充分非必要条件B ．充分必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分必要条件 答案：A解析：由方程有实数解，有Δ＝1－4m ≥0∴m ≤14.由“m <14”可推出“m ≤14”，但反之不成立，所以“m <14”是“m ≤14”的充分不必要条件．选A.6．(2018·湖北新联考调研)若“x >2m 2－3”是“－1<x <4”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( )A ．[－3，3]B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D.[－1，1] 答案：D解析：“x >2m 2－3”是“－1<x <4”的必要不充分条件，所以(－1，4)⊆(2m 2－3，＋∞)，所以2m 2－3≤－1，解得－1≤m ≤1，故选D.7．设A ，B ，C 是三个集合，则“A ∩B ＝A ∩C ”是“B ＝C ”的__________条件． 答案：必要不充分8．命题“若a >b ，则2a>2b－1”的否命题为__________． 答案：若a ≤b ，则2a≤2b －1 9.以下判断：①⎩⎪⎨⎪⎧ a >0b >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b >0ab >0 ②⎩⎪⎨⎪⎧ a <0b <0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b <0ab >0③⎩⎪⎨⎪⎧a >1b >1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b >2ab >1 ④⎩⎪⎨⎪⎧a >1b >1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b >2a －1b －1>0其中正确的判断序号是________． 答案：①②④解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧a >1b >1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a －1>0b －1>0，又∵两数同为正数，它们的和与积必为正数，反之也成立． ∴①、④正确；②中正推成立，逆推也成立，∴②也正确．③中正推成立，但a ＝5，b ＝13时逆推不成立，∴③错．410、已知p 、q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件．那么：(1)s 是q 的什么条件？(2)r 是q 的什么条件？(3)p 是q 的什么条件？ 解：已知r 、p 、q 、s 的关系如下图由图知：(1)∵q ⇒s ⇒r ⇒q ，∴s 是q 的充要条件． (2)∵r ⇒q ⇒s ⇒r ，∴r 是q 的充要条件． (3)∵q ⇒s ⇒r ⇒p ，∴p 是q 的必要条件．评析：“⇒”可直观显示各条件之间的关系，在解决较多个条件的问题时经常用到，要细心体会．11．(2017∙山东模拟)已知p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ＜0；q ：实数x 满足x 2－x －6≤0．若﹁p 是﹁q 的必要条件，求实数a 的取值范围． 解：由x 2－4ax ＋3a 2＜0且a ＜0得3a ＜x ＜a ，所以p ：3a ＜x ＜a ，即集合A ＝{x |3a ＜x ＜a }．由x 2－x －6≤0得－2≤x ≤3，所以q ：－2≤x ≤3， 即集合B ＝{x |－2≤x ≤3}．因为﹁q ⇒﹁p ，所以p ⇒q ． 所以A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2，a ≤3，a ＜0⇒－23≤a ＜0，所以a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－23，0． 12、已知函数f (x )＝4sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －23cos 2x －1.给定p ：x <π4或x >π2，x ∈R .q ：－2<f (x )－m <2.若¬p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．解：由q 可得⎩⎪⎨⎪⎧m >f （x ）－2m <f （x ）＋2.因为¬p 是q 的充分条件，所以在π4≤x ≤π2的条件下，⎩⎪⎨⎪⎧m >f （x ）－2m <f （x ）＋2恒成立．又f (x )＝2⎣⎡⎦⎤1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －23cos 2x －1＝2sin 2x －23cos 2x ＋1＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1， 由π4≤x ≤π2，知π6≤2x －π3≤2π3，所以当x ＝5π12时，f (x )max ＝5， 当x ＝π4时，f (x )min ＝3.所以⎩⎪⎨⎪⎧m >5－2m <3＋2，即3<m <5.所以m 的取值范围是(3，5)．。
四种命题间的相互关系
互逆 互 否 否 互
互逆
常用逻辑用语-命题及其关系 黄云川
二、四种命题真假的判断
常用逻辑用语-命题及其关系 黄云川
例1、写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判 断真假.
1 a 2 + b 2 = 0, 则a, b全为0.
例3、证明： x2 + y2 = 0,则 x = y = 0 若 如果直接证明一个命题不好证， 如果直接证明一个命题不好证，那么可以转 为证明这个命题的逆否命题. 为证明这个命题的逆否命题. 证明：若x,y中至少有一个不为0,不妨设x≠0,则有 x2＞0,所以x2 +y2 ＞0,也就是说x2 +y2 ≠0, 因此证明了原命题的逆否命题为真命题,从而原命 题也为真命题.
常用逻辑用语-命题及其关系 黄云川
练习：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题， 并判断真假. 1、若两直线平行，则两直线没交点； 2、对角线相等的四边形是矩形； 3、对顶角相等； 4、内接余圆的四边形的对角互补.
关键：找出条件P和结论Q，即写成 “若P，则Q ”的形式.
常用逻辑用语-命题及其关系 黄云川
常用逻辑用语-命题及其关系 黄云川
（1）互为逆否命题的两个命题同真假； （2）互逆命题或者互否命题，它们真假性没 有关系.
常用逻辑用语-命题及其关系 黄云川
互逆 互 否 否 互
互逆
常用逻辑用语-命题及其关系 黄云川
• 原命题 原命题和它的逆否命题同真假； • 原命题的逆命题 逆命题与原命题的否命题同真假. 逆命题
四种命题间的相互关系
一、四种命题之间的关系
常用逻辑用语-命题及其关系 黄云川
原命题: 若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数. 若P， 则Q. 逆命题: 若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数. 若Q ， 则P. 否命题: 若f(x)不是 不是正弦函数，则f(x)不是 不是周期函数. 不是 不是 若﹁ P， 则﹁ Q. 逆否命题: 若f(x)不是 不是周期函数，则f(x)不是 不是正弦函数. 不是 不是 若﹁ Q ， 则﹁ P.
四种命题间的相互关系
1.1.3四种命题间的相互关系学习目标 1.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.2.会利用命题的等价性解决问题．知识点一四种命题间的关系思考原命题与其逆命题、否命题、逆否命题之间是什么关系？答案原命题与其逆命题是互逆关系；原命题与其否命题是互否关系；原命题与其逆否命题是互为逆否关系．梳理四种命题间的关系知识点二四种命题间的真假关系由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．(1)两个互逆命题的真假性相同．(×)(2)原命题的逆命题与原命题的否命题真假性相同．(√)(3)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．(×)类型一 四种命题间的关系及真假判断例1 判断下列命题的逆命题、否命题与逆否命题的真假． (1)若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0； (2)若a 2＋b 2＝0，则a ，b 都为0. 考点 四种命题的概念 题点 判断四种命题的真假解 (1)逆命题：若a ≤0或b ≤0，则ab ≤0.它为假命题． 逆否命题：若a ＞0且b ＞0，则ab ＞0.它为真命题．所以原命题的逆命题与否命题为假命题，逆否命题为真命题．(2)原命题与其逆命题“若a ，b 都为0，则a 2＋b 2＝0”均为真命题，所以原命题的逆否命题与否命题也均为真命题．反思与感悟 互为逆否关系的两个命题真假性相同，准确判断两个命题之间的关系是解题的关键．跟踪训练1 下列命题为假命题的是( ) A ．“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为0”的否命题 B ．“正三角形都相似”的逆命题C ．“若m ＞0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题D ．“若x －2是有理数，则x 是无理数”的逆否命题 考点 四种命题的概念 题点 判断四种命题的真假 答案 B解析 A 中，原命题的否命题为“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为0”，是真命题．B 中，原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”，是假命题．C 中，原命题的逆否命题为“若x 2＋x －m ＝0无实根，则m ≤0”，∵方程无实根，∴Δ＝1＋4m ＜0，∴m ＜－14，∴原命题的逆否命题是真命题．D 中，原命题的逆否命题为“若x 不是无理数，则x －2不是有理数”，∵x不是无理数，∴x是有理数，又2是无理数，∴x－2是无理数，不是有理数，∴原命题的逆否命题是真命题．类型二 等价命题的应用例2 设m ，n ∈R ，证明：若m 2＋n 2＝2，则m ＋n ≤2. 考点 反证法逆否证法 题点 逆否证法证明 将“若m 2＋n 2＝2，则m ＋n ≤2”视为原命题， 则它的逆否命题为“若m ＋n ＞2，则m 2＋n 2≠2”． 因为m ＋n ＞2，所以m 2＋n 2≥12(m ＋n )2＞12×22＝2.所以m 2＋n 2≠2，所以原命题得证．反思与感悟 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，因此我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．跟踪训练2 证明：若a 2－4b 2－2a ＋1≠0，则a ≠2b ＋1. 考点 反证法和逆否证法 题点 逆否证法证明 命题“若a 2－4b 2－2a ＋1≠0，则a ≠2b ＋1”的逆否命题为“若 a ＝2b ＋1，则a 2－4b 2－2a ＋1＝0”．由a ＝2b ＋1，得a 2－4b 2－2a ＋1＝(2b ＋1)2－4b 2－2×(2b ＋1)＋1＝4b 2＋4b ＋1－4b 2－4b －2＋1＝0，显然原命题的逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题．故原命题得证.1．命题“若(綈p )，则q ”的逆否命题为( ) A ．若p ，则(綈q ) B ．若(綈q )，则(綈p ) C ．若(綈q )，则pD ．若q ，则p考点 四种命题的概念 题点 按要求写命题 答案 C2．下列命题为真命题的是( ) A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题 B ．命题“若x ＝1，则x 2>1”的否命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若x 2>1，则x >1”的逆否命题 考点 四种命题间的相互关系题点 写出四种命题利用四种命题的关系判断真假 答案 A解析 对A ，即判断：若x >|y |，则x >y 的真假，显然是真命题．3．命题“若x >1，则x >0”的逆命题是________________，逆否命题是__________________． 考点 四种命题的概念 题点 按要求写命题答案 若x >0，则x >1 若x ≤0，则x ≤1 4．有下列命题：①“若k ＞0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0有实根”的否命题； ②“若1a ＞1b ，则a ＜b ”的逆命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题． 其中是假命题的是________． 考点 四种命题间的相互关系题点 利用四种命题的关系判断真假命题的个数 答案 ①②解析 对于①，其否命题为：若k ≤0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0无实根，显然为假命题；对于②，若a ＜b ，则1a ＞1b ，为假命题；③则为真命题，故假命题为①②.5．已知命题p ：“若ac ≥0，则二次不等式ax 2＋bx ＋c >0无解”． (1)写出命题p 的否命题； (2)判断命题p 的否命题的真假． 考点 四种命题间的相互关系题点 写出四种命题利用四种命题的关系判断真假解 (1)命题p 的否命题为：“若ac <0，则二次不等式ax 2＋bx ＋c >0有解”． (2)命题p 的否命题是真命题．判断如下： 因为ac <0，所以－ac>0，Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根⇒ax2＋bx＋c>0有解，所以该命题是真命题．写一个命题的否命题时，要对命题的条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件，而只否定结论的错误．若由p经逻辑推理得出q，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明即可．一、选择题1．以下说法错误的是()A．如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题也必为真命题B．如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定为真命题C．原命题、否命题、逆命题、逆否命题中，真命题的个数一定为偶数D．一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假答案 B2．一个命题和它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数不可能为()A．0 B．1C．2 D．4考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假命题的个数答案 B解析互为逆否关系的两个命题的真假性相同．3．“若x2－3x＋2＝0，则x＝2”为原命题，则它的逆命题、否命题与逆否命题中真命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假命题的个数答案 C解析只有其逆命题、否命题为真命题．4．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是()A．互逆命题B．互否命题C．互为逆否命题D．以上都不正确考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假答案 A解析设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”．故q与r为互逆命题．5．命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是()A．若x<y，则x2<y2B．若x≤y，则x2≤y2C．若x>y，则x2>y2D．若x≥y，则x2≥y2考点四种命题的概念题点按要求写命题答案 B解析根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．6．给出下列四个命题：①如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④如果两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中为真命题的是()A．①②B．②③C．③④D．②④考点反证法和逆否证法题点逆否证法答案 D解析根据面面垂直的判定定理可知②是真命题；根据面面垂直的性质定理“若两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们的交线的直线必垂直于另一个平面”，可知④是真命题．7．原命题为“若a n＋a n＋12<a n，n∈N*，则{an}为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( ) A ．真、真、真 B ．假、假、真 C ．真、真、假D ．假、假、假考点 四种命题间的相互关系 题点 利用四种命题的关系判断真假 答案 A解析 从原命题、逆命题的真假入手，a n ＋a n ＋12<a n ⇔a n ＋1<a n ⇔{a n }为递减数列，即原命题、逆命题都为真命题，则其逆否命题、否命题也为真命题． 8．有下列四个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤1，则x 2＋2x ＋q ＝0有实根”的逆否命题； ④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题． 其中真命题为( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④ 考点 四种命题间的关系题点 利用四种命题的关系判断真假 答案 C解析 ①逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，真命题；②否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，假命题；③当q ≤1时，Δ＝4－4q ≥0，所以原命题是真命题，其逆否命题也是真命题；④逆命题为“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，假命题．故选C. 二、填空题9．命题“若a ＞b ，则ac 2＞bc 2(a ，b ∈R )”的否命题的真假性为________．(填“真”或“假”) 考点 四种命题的概念 题点 判断四种命题的真假 答案 真解析 其否命题为：若a ≤b ，则ac 2≤bc 2，它为真命题．10．已知命题p ：若a ＞b ＞0，则12log a ＜12log b ＋1，则命题p 及其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为________． 考点 四种命题间的相互关系题点 利用四种命题的关系判断真假命题的个数答案 2解析 ∵a ＞b ＞0，∴12log a ＜12log b ，∴命题p 为真命题，其逆命题为“若12log a ＜12log b ＋1，则a ＞b ＞0”，∵当a ＝2，b ＝2时，12log a ＜12log b ＋1成立，而a ＝b ，∴逆命题为假命题．∵原命题与其逆否命题的真假相同，逆命题与否命题互为逆否命题， ∴命题p 及其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为2.11．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是________．(只填序号) 考点 四种命题间的相互关系 题点 利用四种命题的关系判断真假 答案 ②解析 ①的逆命题是：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面．我们用正方体AC 1为模型来观察：上底面A 1B 1C 1D 1中任何三个顶点都不共线，但A 1，B 1，C 1，D 1四点共面，所以①的逆命题是假命题．②的逆命题是：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点．易知其是真命题． 三、解答题12．判断下列命题的真假．(1)对角线不相等的四边形不是等腰梯形； (2)若x ∉A ∩B ，则x ∉A 且x ∉B ； (3)若x 2＋y 2≠0，则xy ≠0. 考点 四种命题间的相互关系 题点 利用四种命题的关系判断真假解 (1)该命题的逆否命题是“若一个四边形是等腰梯形，则它的对角线相等”，它为真命题，故原命题为真．(2)该命题的逆否命题是“若x ∈A 或x ∈B ，则x ∈A ∩B ”，它为假命题，故原命题为假． (3)该命题的逆否命题是“若xy ＝0，则x 2＋y 2＝0”，它为假命题，故原命题为假． 13．判断命题：“若b ≤－1，则关于x 的方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实根”的逆否命题的真假．考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假解方法一(利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可．方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为b≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．方法二(利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b>－1”．方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真．四、探究与拓展14．已知命题“非空集合M 中的元素都是集合P 中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为( )①M 中的元素都不是P 的元素；②M 中有不属于P 的元素；③M 中有属于P 的元素；④M 中的元素不都是P 的元素．A ．1B ．2C ．3D ．4考点 四种命题间的相互关系题点 利用四种命题的关系判断真假命题的个数答案 B解析 由于“M ⊆P ”为假命题，故M 中至少有一个元素不属于P ，∴②④正确．M 中可能有属于P 的元素，也可能都不是P 的元素，故①③错误．故选B.15．已知条件p ：|5x －1|＞a ＞0，其中a 为实数，条件q ：12x 2－3x ＋1＞0，请选取一个适当的a 值，利用所给出的两个条件p ，q 分别作为集合A ，B ，构造命题“若A ，则B ”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，这样的一个原命题可以是什么？ 考点 四种命题间的相互关系题点 利用四种命题的关系判断真假解 由|5x －1|＞a ＞0，得5x －1＜－a 或5x －1＞a ，即x ＜1－a 5或x ＞1＋a 5. 由12x 2－3x ＋1＞0，得2x 2－3x ＋1＞0， 解得x ＜12或x ＞1. 为使“若A ，则B ”为真命题，而其逆命题为假命题，则需A B .令a ＝4，得p ：x ＜－35或x ＞1， 满足题意，故可以选取a ＝4，此时原命题是“若|5x －1|＞4，则12x 2－3x ＋1＞0”．。
(完整版)四种命题、四种命题间的相互关系
四种命题四种命题间的相互关系1、四种命题的概念，写出某个命题的逆命题、否命题和逆否命题。
2、四种命题之间的关系以及真假性之间的联系。
3、会用命题的等价性解决问题。
【核心扫描】：1、结合命题真假的判定，考查四种命题的结构。
(重点)2、掌握四种命题之间的相互关系。
(重点)3、等价命题的应用。
(难点)1、四种命题的概念(1) 互逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题。
其中一个命题叫原命题，另一个叫做原命题的逆命题。
若原命题为“若p,则q”则逆命题为“若q，则P”(2) 互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题。
如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题。
也就是说，若原命题为若p，则q”则否命题为若非p，则非q。
(3) 互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题。
如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题•也就是说，若原命题为若p,则q”，则逆否命题为若非q，则非p。
任何一个命题的结构都包含条件和结论，通过条件和结论的不同变换都可以得到这个命题的逆命题、否命题和逆否命题，因而任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题。
2、四种命题的相互关系3、四种命题的真假性(1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况:⑵四种命题的真假性之间的关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性.②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.在四种命题中，真命题的个数可能会有几种情况？因为原命题与逆否命题，逆命题和否命题互为逆否命题，它们同真同假，所以真命题的个数可能为0, 2, 4.一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用非p和非q分别表示p与q的否定,则四种命题的形式可表示为：原命题：若P,则q；逆命题：若q,则p；否命题：若非P,则非q;逆否命题：若非q，则非p.(1) 关于四种命题也可叙述为：①交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的逆命题；②同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的否命题；③交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题.(2) 已知原命题，写出它的其他三种命题：首先，将原命题写成若p，则q”的形式，然后找出条件和结论，再根据定义写出其他命题。
命题之间的关系及命题真假的判断
试填表：
原命题 逆命题 真 真 假 假 真 假 假 真 假 否命题 逆否命题 真
1.反证法的定义
• 从命题的结论的反面出发，进行推理，引 出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证 明方法叫反证法。
2.反证法证题的步骤：
（1）否定— 假设命题的结论不成立，而假设命题 的反面成立 ，即否定结论 .（若结论的反面有多 种情况时，必须一一加以否定。） （2）推理— 从这个假设和原条件出发，进行推理。 — （3）矛盾— 通过推理，导致矛盾。即得出与已知 条件、定义、公理或明显的事实相矛盾。 （4）肯定— 有矛盾判定假设不成立 ，从而肯定原 命题成立 。
例2：写出下列命题的逆、否、逆否 命题，并判断其真假。
（1） 当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc； 解：原命题真； 逆命题：当c ＞0时，若ac ＞ bc ，则a ＞ b ； 为真； 否命题：当c ＞0时，若a ≤ b ，则ac ≤ bc ； 为真； 逆否命题:当c ＞0时,若ac ≤ bc ，则a ≤ b ； 为真。
（2）若a2+b2=0 ,则a、b全为0；
解：原命题为真； 逆命题：若a、b全为0 ，则a2+b2=0；为真； 否命题：若a2+b2≠0,则 a、b不全为0；为真； 逆否命题：若a、b不全为0 ，则a2+b2≠0；为真。 (3) 若a ＞0，则x2+x－a=0有实根。 解：原命题为真； 逆命题：若x2+x－a=0有实根，则a ＞0；为假； 否命题：若a ≤0，则 x2+x－a=0没有实根；为假； 逆否命题：若x2+x－a=0没有实根，则a ≤0 ；为真。
结论：
• 两个互为逆否的命题的真假是相同的。即 两个互为逆否的命题的真假是相同的。 两个互为逆否的命题是等价命题。 两个互为逆否的命题是等价命题。 • 解题技巧:(1)若判断一个命题的真假较困 若判断一个命题的真假较困 难时，可转化为判断其逆否命题的真假。 难时，可转化为判断其逆否命题的真假。 • (2)在判断四种命题的真假时，只需判定其 中两个就行了。
四种命题间的相互关系
反证法： 反证法：
要证明某一结论A是正确的， 要证明某一结论 是正确的，但不直接证 是正确的 而是先去证明A的反面 的反面（ 明 ， 而是先去证明 的反面 （ 非 A） 是错 ） 误的，从而断定A是正确的 是正确的。 误的，从而断定 是正确的。 即反证法就是通过否定命题的结论而导出 即反证法就是通过否定命题的结论而导出 矛盾来达到肯定命题的结论 来达到肯定命题的结论， 矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的 论证的一种数学证明方法。 论证的一种数学证明方法。
2 2
∴x + y > 0 所 x + y ≠ 0 ， 以 2 2 (2)x ≠ 0且＝， x > 0 y ＝ y 0 则 ， 0
2 2 2 2
∴x + y > 0 所 x + y ≠ 0 ， 以 2 2 (3)x 0 y ≠ 0 则 ＝， > 0 ＝且 ， x 0 y
2 2 2 2
∴x + y > 0 所 x + y ≠ 0 ， 以
新课讲授
若p则q 则 原命题 若q则p 则 逆命题
否命题 若¬ p则¬ q 则
逆否命题 若¬ q则¬ p 则
新课讲授
若p则q 则 原命题 互逆 若q则p 则 逆命题
否命题 若¬ p则¬ q 则
逆否命题 若¬ q则¬ p 则
新课讲授
若p则q 则 原命题 互 否 互逆 若q则p 则 逆命题
否命题 若¬ p则¬ q 则
否命题与逆命题之间的真假关系
四种命题及其相互关系
四种命题及其相互关系学习目标1．了解四种命题的概念，会写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题．2．认识四种命题之间的相互关系以及真假性之间的联系．3．会利用逆否命题的等价性解决问题．归纳：上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：（1）；(2) .要点一 四种命题的概念例1 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：(1)实数的平方是非负数； (2)若x 、y 都是奇数，则x ＋y 是偶数。
（3）若220x y +=，则0x y ==； （4）圆的内接四边形的对角互补。
要点二四种命题的关系例2 下列命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题．其中是真命题的是________．变式2 有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；③“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；④“同位角相等”的逆命题．其中真命题的个数是________．要点三等价命题的应用例3 判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则a≥1”的逆否命题的真假．变式3 判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．堂堂清：1．命题“若a∉A，则b∈B”的否命题是( )A．若a∉A，则b∉B B．若a∈A，则b∉B C．若b∈B，则a∉A D．若b∉B，则a∉A 2．命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是( )A．若A∪B＝B，则A∩B＝A B．若A∩B≠A，则A∪B≠BC．若A∪B≠B，则A∩B≠A D．若A∪B≠B，则A∩B＝A3．命题“若平面向量a，b共线，则a，b方向相同”的逆否命题是________________________，它是________命题(填“真”或“假”)．4．给出以下命题：①“若x2＋y2≠0，则x、y不全为零”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．其中为真命题的是________．同步训练一、基础达标1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”2．若“x>y，则x2>y2”的逆否命题是( )A．若x≤y，则x2≤y2B．若x>y，则x2<y2C．若x2≤y2，则x≤y D．若x<y，则x2<y23．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．44．设原命题：若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是()A．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题5．有下列四个命题，其中真命题有：①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．其中真命题的序号为( ) A．①②B．②③ C．①③D．③④6．(1)命题“末位是2的整数一定是偶数”的逆命题是“______________”．(2)命题“整数是有理数”的否命题是“________________”．(3)命题“到一个角的两边的距离不相等的点不在该角的平分线上”的逆否命题是“________________”．7．命题“若x＝3，y＝5，则x＋y＝8”的逆命题是____________________；否命题是__________________，逆否命题是____________________．8．命题“若a>1，则a>0”的逆否命题是______命题(填“真”或“假”)．9．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②正方形的四条边相等；③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________(填序号)．10．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断其真假．(1)如果两圆外切，那么两圆心距等于两圆半径之和；(2)奇数不能被2整除．（3）已知a、b是实数，若a＋b是无理数，则a、b都是无理数（4）已知a，b∈R，若a2>b2，则a>b11．（1）判断命题“已知a，x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．（2）判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假．。
四种命题间的相互关系 课件
它们之间的关系为:
互逆命题
互否命题
互为逆否命题
原命题与逆命题 原命题与否命题 原命题与逆否命题 否命题与逆否命题 逆命题与逆否命题 逆命题与否命题
2.对四种命题真假关系的两点说明 (1)由于一个命题与其逆否命题具有相同的真假性,四种命题中 有两对互为逆否命题,所以四种命题中真命题的个数必须是偶 数,即真命题可能有4个、2个或0个. (2)由于原命题与其逆否命题的真假性相同,所以原命题与其逆 否命题是等价命题,因此,当直接证明原命题困难时,可以转化为 证明与其等价的逆否命题,这种证法是间接证明命题的方法,也 是反证法的一种变通形式.
【拓展提升】原命题与逆否命题等价关系的应用 (1)若一个命题的条件或结论含有否定词时,直接判断命题的真 假较为困难,这时可以转化为判断它的逆否命题的真假. (2)当证明某一个命题有困难时,可以证明它的逆否命题为真 (假)命题,来间接地证明原命题为真(假)命题.
【互动探究】若题2(2)的命题变为: 若a>1,则方程x2+2ax+a2+a-1=0无实数根,如何判断此命题的 真假? 【解析】命题“若a>1,则方程x2+2ax+a2+a-1=0无实数根” 的逆否命题为“若方程x2+2ax+a2+a-1=0有实数根,则 a≤1”,由于Δ=(2a)2-4(a2+a-1)=4(1-a)≥0,得a≤1,故原命 题是真命题.
提示:(1)错误.两个互逆命题的真假性没有关系,可能一个真命 题也没有. (2)正确.原命题的逆命题与原命题的否命题互为逆否命题,真 假性相同,为等价命题. (3)正确.一个命题的四种命题中,可能都是假命题,如若0<x<1, 则x>1,此命题的四种命题均为假命题. 答案:(1)× (2)√ (3)√
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四种命题间的相互关系【课标要求】1.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题.2.能够把一个“若p，则q”形式的命题熟练地写出其逆命题、否命题和逆否命题.3.掌握四种命题之间的关系及真假性之间的联系，会利用命题的等价性解决问题.自主学习 基础认识|新知预习|1．四种命题的概念(1)互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 ，这样的两个命题叫做互逆命题，把其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的 ．结论和条件逆命题(2)互否命题：一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的 ．(3)互为逆否命题：一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的 ．否命题 逆否命题2．四种命题的相互关系|自我尝试|1．判断下列各题．(对的打“√”，错的打“×”)(1)一个命题的否命题和逆命题有相同的真假性()(2)原命题与逆命题之间的真假性没有关系()|自我尝试|1．判断下列各题．(对的打“√”，错的打“×”)(1)一个命题的否命题和逆命题有相同的真假性()(2)原命题与逆命题之间的真假性没有关系()答案：(1)√(2)√2．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是()A．原命题、否命题B．原命题、逆命题C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题2．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是()A．原命题、否命题B．原命题、逆命题C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题解析：因为原命题是真命题，所以逆否命题也是真命题．答案：C3．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是()A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝33．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是()A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3解析：a＋b＋c＝3的否定是a＋b＋c≠3，a2＋b2＋c2≥3的否定是a2＋b2＋c2<3.答案：A4．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是()A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0解析：由原命题和逆否命题的关系可知原命题为“若p，则q”，则其逆否命题为“若⌝q，则⌝p”．答案：D5．命题“若a>1，则a>0”的逆命题是________，逆否命题是________．5．命题“若a>1，则a>0”的逆命题是________，逆否命题是________．解析：逆命题：变换题设与结论逆否命题：先求逆命题，再否定．答案：若a>0，则a>1，若a≤0，则a≤1课堂探究互动讲练类型一四种命题的概念[例1]写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)垂直于同一平面的两直线平行；(2)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根．【解析】(1)逆命题：如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一个平面．否命题：如果两条直线不垂直于同一平面，那么这两条直线不平行．逆否命题：如果两条直线不平行，那么这两条直线不垂直于同一平面．(2)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n<0.否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根．逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0.方法归纳写出一个命题的其他三种命题的步骤(1)分析命题的条件和结论；(2)将命题写成“若p，则q”的形式；(3)根据逆命题、否命题、逆否命题各自的结构形式写出这三种命题.跟踪训练1写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)无理数的平方是有理数；(2)当x2＋x－6＝0时，x＝2或x＝－3.解析：(1)改写成“若一个数是无理数，则它的平方是有理数”．逆命题：若一个数的平方是有理数，则它是无理数．否命题：若一个数不是无理数，则它的平方不是有理数．逆否命题：若一个数的平方不是有理数，则它不是无理数．(2)逆命题：若x＝2或x＝－3，则x2＋x－6＝0.否命题：若x2＋x－6≠0，则x≠2且x≠－3.逆否命题：若x≠2且x≠－3，则x2＋x－6≠0.类型二四种命题真假的判断[例2]判断下列命题的真假．(1)“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；(2)“正三角形都相似”的逆命题；(3)“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．【解析】(1)原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”．真命题．(2)原命题的逆命题为“若三角形相似，则这些三角形是正三角形”．假命题．(3)原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”．因为方程x2＋x－m＝0无实根，所以判别式Δ＝1＋4m<0，解得m<－1 4，故m≤0，为真命题.方法归纳(1)由原命题写出其他三种命题，依次直接判断这四种命题的真假．(2)也可根据命题间的等价关系来判断命题的真假，注意：(3)四种命题中，真命题的个数只可能为0个，2个，4个.跟踪训练2设m，n是向量，命题“若m＝n，则|m|＝|n|”与它的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中，真命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．4解析：原命题为真命题．逆命题：“若|m|＝|n|，则m＝n”为假命题，否命题：“若m≠n，则|m|≠|n|”为假命题．逆否命题：“若|m|≠|n|，则m≠n”为真命题．故四个命题中，真命题的个数是2.故选C.答案：C类型三等价命题的应用[例3]已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．”写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论．【解析】逆命题：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.为真命题．由于逆命题与否命题具有相同的真假性，因此可转化为证明其否命题为真，即证明“若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)”为真命题．因为a＋b<0，则a<－b，b<－a.因为f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，则f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，所以f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．因此否命题为真命题，即逆命题为真命题.方法归纳由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题.跟踪训练3证明：若m2＋n2＝2，则m＋n≤2.跟踪训练3证明：若m2＋n2＝2，则m＋n≤2.证明：将“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”视为原命题，则它的逆否命题为“若m＋n>2，则m2＋n2≠2”．由于m＋n>2，则m2＋n2≥12(m＋n)2>12×22＝2，所以m2＋n2≠2.故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．|素养提升|1．四种命题的三个关注点(1)写原命题的逆命题时，不要交换命题的前提条件．(2)写一个命题的否命题时，要对命题的条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件，而只否定结论的错误．(3)任何一个命题都包含条件和结论两部分，通过条件和结论的不同变换都可以得到这个命题的逆命题、否命题和逆否命题．因此任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题．易错警示：对条件或结论进行否定时易出现错误．如“大于”的否定应是“不大于，即≤”；“都是”的否定为“不都是”等．2．对四种命题相互关系的三点认识(1)四种命题中原命题具有相对性，任意确定一个为原命题，其逆命题、否命题、逆否命题就确定了，所以“互逆”“互否”“互为逆否”具有对称性．(2)在原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题中，有两对互逆命题，两对互否命题，两对互为逆否命题．它们分别为：①两对互逆命题：原命题与逆命题，否命题与逆否命题．②两对互否命题：原命题与否命题，逆命题与逆否命题．③两对互逆否命题：原命题与逆否命题，逆命题与否命题．(3)由于原命题与其逆否命题的真假性相同，所以原命题与其逆否命题是等价命题，因此当直接证明或判断原命题困难时，可以转化成证明其逆否命题．特别提醒：(1)利用四种命题间的关系，判断四种命题的真假时，只需判断两个命题的真假即可．(2)若命题的叙述是否定性的语言或含有“至多”“至少”等词语时，往往转化为判断其逆否命题的真假更方便．|巩固提升|1．下列说法中，不正确的是()A．“若p，则q”与“若q，则p”是互逆命题B．“若⌝p，则⌝q”与“若q，则p”是互否命题C．“若⌝p，则⌝q”与“若p，则q”是互否命题D．“若⌝p，则⌝q”与“若q，则p”互为逆否命题解析：原命题与逆命题、否命题与逆否命题是互逆命题，原命题与否命题、逆命题与逆否命题是互否命题，原命题与逆否命题、逆命题与否命题互为逆否命题．根据四种命题的形式可知，A，C，D正确，B不正确．答案：B2．命题“若α＝π4，则tanα＝1”的逆否命题是()A．若α≠π4，则tanα≠1B．若α＝π4，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠π4D．若tanα≠1，则α＝π4解析：否定原命题的结论作条件，否定原命题的条件作结论所得的命题为逆否命题，可知C正确．答案：C3．命题“若x≠1，则x2－1≠0”的真假性为________．3．命题“若x≠1，则x2－1≠0”的真假性为________．解析：可转化为判断命题的逆否命题的真假，由于原命题的逆否命题是：“若x2－1＝0，则x＝1”，因为x2－1＝0，x＝±1，所以该命题是假命题，因此原命题是假命题．答案：假命题。