四种命题间的相互关系
1.1.3四种命题之间的相互关系
原命题,逆命题,否命题, 原命题,逆命题,否命题,逆否命题
四种命题形式: 四种命题形式: • 原命题: 若 p, 原命题: • 逆命题: 若 q, 逆命题: 若┐p, • 否命题: 否命题: 若┐q, • 逆否命题: 逆否命题: 则 q 则 p 则┐q 则┐p
四个命题之间的关系
原命题 若p则q 则 互 否 命 题 真 假 无 关 命题 p则 q 则 逆命题 若q则p 则
例4证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2. 证明： ， ＋ 证明
证明: 证明 假设 p + q > 2 ,
则 ( p + q)2 > 4 , ∴ p 2 + q 2 + 2 pq > 4 ,
2 2
假设原命题结 论的反面成立 看能否推出原命题 条件的反面成立
∵ p + q ≥ 2 pq , 2 2 2 2 ∴ 2( p + q ) > 4 , ∴ p + q > 2 , 尝试成功 2 2 ∴ p +q ≠ 2. 得证
答：0个、2个、4个。 个 个 个
例题讲解
例2：设原命题是：当c>0时，若a>b, ：设原命题是： 时 写出它的逆命题、否命题、逆否命题。 则ac>bc. 写出它的逆命题、否命题、逆否命题。 并分别判断它们的真假。 并分别判断它们的真假。
四种命题间的相互关系
四种命题间的相互关系
1．了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．
2．会判断四种命题的真假．
1．四种命题的概念：
(1)对于两个命题，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．
(2)一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．
(3)一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．
2．四种命题的命题结构：
用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p，綈q分别表示p和q的否定，四种形式就是：
原命题：若p成立，则q成立．即“若p，则q”．
逆命题：若q成立，则p成立．即“若q，则p”．
否命题：若綈p成立，则綈q成立．即“若綈p，则綈q”．
逆否命题：若綈q成立，则綈p成立．即“若綈q，则綈p”．
3．四种命题的真假性之间的关系：(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
对点讲练
命题的转换及命题的真假
【例1】写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．
(1)实数的平方是非负数；(2)等高的两个三角形是全等三角形；
(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．
解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．
1.1.3 四种命题间的相互关系
反证法的一般步骤：
（1）假设命题的结论不成立 , 即假 反设 设结论的反面成立; （2）从这个假设出发 , 经过推理论证 , 归谬 （3）由矛盾判定假设不正确 , 从而肯定 命题的结论正确. 结论 得出矛盾;
例2：
若a2能被2整除，a是整数，
求证：a也能被2整除. 证明：假设a不能被2整除，则a必为奇数，故可 令a=2m+1(m为整数), 由此得 a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1, （逆否命题为真命题） 此结果表明a2是奇数，
（1）两个命题互为逆否命题，它们有 相同的真假性. （2）两个命题互为逆命题或互为否命 题，它们的真假性没有关系.
由于原命题和它的逆否命题有 相同的真假性，所以在直接证明某 一个命题为真命题有困难时，可以 通过证明它的逆否命题为真命题， 来间接地证明原命题为真命题．
例1：
证明：若p2 ＋ q2 ＝2，则p ＋ q ≤ 2．
解析：由于原命题与逆否命题同真假性， 逆命题与否命题同真假性，所以，原命题是真 命题，则逆否命题也是真命题；否命题是假命 题，则逆命题也是假命题.
2. （2001江西、山西、天津文、理）在 空间中， ①若四点不共面，则这四点中任何 三点都不共线． ②若两条直线没有共点，则这两条 直线是异面直线． 以上两个命题中，逆命题为真命题 的是 ② ．（把符合要求的命题序号 都填上）
高中数学《四种命题 四种命题间的相互关系》课件
(4)若命题 p 的否命题是 q，命题 q 的逆命题是 r，则 p 的逆命题是 r 的 ________(填“逆命题”“否命题”或“逆否命题”)．
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3．四种命题的真假性之间的关系
由于逆命题和否命题也互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关
系如下：
(1)两个命题互为逆否命题，它们有 □12 相同 的真假性． (2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性□13 没有关系 ．
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答案
拓展提升 “正难则反”的处理原则
(1)当原命题的真假不易判断，而逆否命题较容易判断真假时，可通过判 断其逆否命题的真假来判断原命题的真假．
(2)四种命题中，原命题与其逆否命题是等价的，有相同的真假性，否命 题与其逆命题也是互为逆否命题，解题时不要忽视．
探究 1 四种命题的定义 例 1 把下列命题写成“若 p，则 q”的形式，并写出它们的逆命题、否 命题与逆否命题． (1)正数的平方根不等于 0； (2)当 x＝2 时，x2＋x－6＝0； (3)垂直于同一平面的两直线平行； (4)当 mn<0 时，方程 mx2－x＋n＝0 有实数根．
四种命题、四种命题间的相互关系
四种命题
四种命题间的互相关系
1、四种命题的概念，写出某个命题的逆命题、否命题和逆否命题。
2、四种命题之间的关系以及真假性之间的联络。
3、会用命题的等价性解决问题。
【核心扫描】：
1、结合命题真假的断定，考察四种命题的构造。(重点)
2、掌握四种命题之间的互相关系。(重点)
3、等价命题的应用。(难点)
1、四种命题的概念
(1)互逆命题：对于两个命题，假如一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题。其中一个命题叫原命题，另一个叫做原命题的逆命题。假设原命题为“假设p，那么q〞，那么逆命题为“假设q，那么P〞。
(2)互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否认和结论的否认，这样的两个命题叫做互否命题。假如把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题。也就是说，假设原命题为“假设p，那么q〞那么否命题为“假设非p，那么非q〞。
(3)互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否认和条件的否认，这样的两个命题叫做互为逆否命题。假如把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题．也就是说，假设原命题为“假设p，那么q〞，那么逆否命题为假设非q，那么非p。
任何一个命题的构造都包含条件和结论，通过条件和结论的不同变换都可以得到这个命题的逆命题、否命题和逆否命题，因此任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题。
2、四种命题的互相关系
(2)四种命题的真假性之间的关系：
①两个命题互为逆否命题，它们有一样的真假性．
四种命题间的相互关系
真
否命题：若x 1且x 2 则 x2-3x+2 0 真
逆否命题：若x2-3x+2 0，则x 1且x 2. 真
（3）原命题：若x2＋y2＝0，则x=y=0
真
逆命题： 若x=y =0，则 x2＋y2 ＝0
真
否命题： 若x2＋y2≠0，则x ≠0 或y≠0
真
逆否命题： 若x ≠0 或y ≠0，则x2＋y2 ≠0 真
求证：a也能被2整除.
证明：假设a不能被2整除，则a必为奇数， 故可令a=2m+1(m为整数), 由此得a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1, 此结果表明a2是奇数， 这与题中的已知条件（a2能被2整除）相矛盾 ∴a能被2整除.
练习
1. (2008山东文)给出命题：若函数是幂函数，
(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假 性没有关系.
练习1 在横线上填写“互逆”“互否”“互为逆否
(1)命题:“若q则┐p”与命题“若┐q则p”互否 (2)命题:“若┐p则q”与命题“若q则┐p”互逆 (3)命题:“若┐q则p”与命题“若┐p则q互”为逆否
练习2 写出下列命题的逆命题、否命题、逆
例1： 证明：若x2+y2=0，这做则种正x=y解难=0法则. 叫反。
分析：如果直接证明这个命题比较困难，可考虑
四种命题间的相互关系
结 论
4
逆命题和否命题总 是同真同假。
四种命题的关系
原命题 若 p则 q 互 否 命 题 真 假 无 关 否命题 若﹁ p则﹁ q 逆命题 若q则p 互 否 命 题 真 假 无 关 逆否命题 若﹁ q则﹁p
达标检测
分别写出下列命题，并判断真假。
原命题：若x2＋y2＝0，则xy＝0 逆命题： 若xy ＝0，则x2＋y2 ＝0
逆命题： 若四边形两对角线垂直，则四边形是正方形。 否命题： 若四边形不是正方形，则 四边形两对角线不垂直。 逆否命题：若四边形两对角线不垂直，则四边形不是正方形。
知识巩固:
把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出逆命题、否
命题、逆否命题。
1.负数的平方是正数 原命题： 若一个数是负数，则它的平方是正数。 逆命题： 若一个数的平方是正数，则它是负数。 否命题： 若一个数不是负数，则它的平方不是正数。 逆否命题： 若一个数的平方不是正数，则它不是负数。 2.正方形的四条边相等 原命题: 逆命题： 否命题： 逆否命题：
原命题：若a>b，则ac2>bc2 逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b
假 假
假 原命题：若四边形对角线相等，则四边形是平行四边形。 假 逆否命题：若四边形不是平行四边形，则四边形对角线不相等。
结 论 3
原命题和逆否命 题总是同真同假。
四种命题的关系
(完整版)四种命题、四种命题间的相互关系
四种命题
四种命题间的相互关系
1、四种命题的概念，写出某个命题的逆命题、否命题和逆否命题。
2、四种命题之间的关系以及真假性之间的联系。
3、会用命题的等价性解决问题。
【核心扫描】：
1、结合命题真假的判定，考查四种命题的结构。(重点)
2、掌握四种命题之间的相互关系。(重点)
3、等价命题的应用。(难点)
1、四种命题的概念
(1)互逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题。其中一个命题叫原命题，另一个叫做原命题的逆命题。若原命题为“若p，则q”，则逆命题为“若q，则P”。
(2)互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定
和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题。如果把其中的一个命题叫做原命题，那么
另一个叫做原命题的否命题。也就是说，若原命题为“若p，则q”则否命题为“若非p，则非q”。
(3)互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的
否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题。如果把其中的一个命题叫做原命
题，那么另一个叫做原命题的逆否命题．也就是说，若原命题为“若p，则q”，则逆否命题为若非q，则非p。
任何一个命题的结构都包含条件和结论，通过条件和结论的不同变换都可以得到这个
命题的逆命题、否命题和逆否命题，因而任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题。
2、四种命题的相互关系
(1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：
原命题逆命题否命题逆否命题真真真真
真假假真
四种命题 四种命题间的相互关系
归纳升华 1．写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和 结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根 据四种命题的结构写出所求命题． 2．在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添 加一些词语，但不能改变条件和结论．
[变式训练] 判断下列命题的真假，并写出它们的逆 命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．
答案：B
类型 3 等价命题的应用 [典例 3] 判断命题“若 a≥0，则方程 x2＋x－a＝0 有实根”的逆否命题的真假． 解：法一：逆否命题：若方程 x2＋x－a＝0 无实根， 则 a＜0.判断如下： 因为方程 x2＋x－a＝0 无实根， 所以Δ＝1＋4a＜0，解得 a＜－14＜0. 所以命题“若方程 x2＋x－a＝0 无实根，则 a＜0”是 真命题．
[变式训练] 下列命题为真命题的是( )
①“若 x2＋y2≠0，则 x，y 不全为零”的否命题；
②“正三角形都相似”的逆命题；
③“若 m>0，则 x2＋2x－m＝0 有实根”的逆否命题；
④“若 x－ 2是有理数，则 x 是无理数”的逆否命题．
A．①②③④
B．①③④
C．②③④
D．①④
解析：①原命题的否命题为“若 x2＋y2＝0，则 x，y
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≤0，所以是真命题；③否命题“不全等的三角形的面积 不相等”，是假命题；④否命题“若 ab＝0，则 a＝0”是 假命题，故只有①②是真命题．
四种命题的相互关系
的逆否命题是真命题吗 证明你的结论 ？ 。 解法二:
当m 0时, 1 4 (m) 1 4m 1
2
所以， 方程有两不相等实根 。
即原命题是真命题。 因为原命题是真命题，所以它的逆否命题 是真命题。
试比较解法一与解法二
知识拓展
在直接证明某一个命题为真命题有困难 时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来 间接证明原命题为真命题.
2
C、 命题“当x 2时，x 2 3x 2 0”的否命题 D、 命题“相似三角形的对应角相 ”的逆否命题 等
√
1 “若x y 0， 则x, y互为相反数”的逆命题 、 2、 若x 3, 则x x 6 0”的否命题 “
2 2
3、 当x 2时，x 3 x 2 0”的否命题 “
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√
4、 若A B A， 则A B B”的逆否命题 “
A、0
B、1
C、2
D、3
A、真命题的个数一定是奇数
B、真命题的个数一定是偶数
C、真命题的个数可能是奇数，可能是偶数
D、以上判断均不正确
例5、 命题“若m 0, 则x 2 x m 0有实根” 的逆否命题是真命题吗 证明你的结论 ？ 。
(1)若两个角是对顶角，则这两个角相等。
(2)若两个角相等，则这两个角是对顶角。
四种命题间的相互关系
结 论
2
原命题的真假和 否命题的真假没有关 系。
四种命题的关系
3.互为逆否命题的真假关系
判断下列逆否命题的真假，并总结规律。
原命题：若a>b，则a+c>b+c 逆否命题：若a+c≤b+c，则a≤b
真 真
真 原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直。 真 逆否命题：若四边形两对角线不垂直，则四边形不是正方形。
知识回顾:
四种命题的概念
什么叫互逆命题？ 一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的结论和条 件，这两个命题就叫做互逆命题。把其中一个叫做原命题， 则另一个叫做原命题的逆命题。 什么叫互否命题？ 一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的条件的否 定和结论的否定，这两个命题就叫做互否命题。把其中一个 叫做原命题，则另一个叫做原命题的否命题。 注意：区分否命题和命题的否定（非p ）。 什么叫互为逆否命题？ 一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的结论的否 定和条件的否定，这两个命题就叫做互为逆否命题。把其中 一个叫做原命题，则另一个叫做原命题的逆否命题。
考点突破
考点一
四种命题真假的判断
对于命题在判断它的真假性时，如果直接判 断有难度，可以利用原命题与逆否命题、逆 命题与否命题的等价性，先判断等价命题的 真假，由等价命题的真假再确定原来命题的 真假．
四种命题间的相互关系
1.1.3四种命题间的相互关系
学习目标 1.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.2.会利用命题的等价性解决问题．
知识点一四种命题间的关系
思考原命题与其逆命题、否命题、逆否命题之间是什么关系？
答案原命题与其逆命题是互逆关系；原命题与其否命题是互否关系；原命题与其逆否命题是互为逆否关系．
梳理四种命题间的关系
知识点二四种命题间的真假关系
由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
(1)两个互逆命题的真假性相同．(×)
(2)原命题的逆命题与原命题的否命题真假性相同．(√)
(3)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．(×)
类型一 四种命题间的关系及真假判断
例1 判断下列命题的逆命题、否命题与逆否命题的真假． (1)若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0； (2)若a 2＋b 2＝0，则a ，b 都为0. 考点 四种命题的概念 题点 判断四种命题的真假
解 (1)逆命题：若a ≤0或b ≤0，则ab ≤0.它为假命题． 逆否命题：若a ＞0且b ＞0，则ab ＞0.它为真命题．
所以原命题的逆命题与否命题为假命题，逆否命题为真命题．
(2)原命题与其逆命题“若a ，b 都为0，则a 2＋b 2＝0”均为真命题，所以原命题的逆否命题与否命题也均为真命题．
反思与感悟 互为逆否关系的两个命题真假性相同，准确判断两个命题之间的关系是解题的关键．
跟踪训练1 下列命题为假命题的是( ) A ．“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为0”的否命题 B ．“正三角形都相似”的逆命题
四种命题四种命题间相互关系
四种命题四种命题间的相互关系
1.了解四种命题的概念,会写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题.重点
2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系.难点
3.利用命题真假的等价性解决简单问题.难点、易错点
教材整理1 四种命题
阅读教材P
4～P
6
,完成下列问题.
1.四种命题的概念
一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.如果是另一个命题条件的否定和结论的否定,那么把这样的两个命题叫做互否命题.如果是另一个命题结论的否定和条件的否定,那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题.把第一个叫做原命题时,另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题.
2.四种命题的形式
原命题：若p,则q.
逆命题：若q,则p.
否命题：若﹁p,则﹁q.
逆否命题：若﹁q,则﹁p.
判断正确的打“√”,错误的打“×”
1有的命题没有逆命题.
2四种命题中,原命题是固定的.
3“对顶角相等”的否命题为“对顶角不相等”.
解:1只要原命题确定了,它的逆命题就确定了,故1错.
2四种命题中原命题具有相对性,故2错.
3“对顶角相等”的否命题为“若两个角不是对顶角,则这两个角不相等”,故3错.答案:1×2×3×
教材整理2 四种命题间的相互关系
阅读教材P
6～P
8
,完成下列问题.
1.四种命题之间的相互关系
2.四种命题的真假关系
1四种命题的真假性,有且仅有下面四种情况
2四种命题的真假性之间的关系
①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性.
②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.
四种命题间的相互关系
(真 ) 1）原命题：若x=2或x=3, 则x2-5x+6=0。 (真 ) 逆命题：若x2-5x+6=0, 则x=2或x=3。 (真 ) 否命题：若x≠2且x≠3, 则x2-5x+6≠0 。 逆否命题：若x2-5x+6≠0，则x≠2且x≠3。 (真 ) 2）原命题：若a=0, 则ab=0。 (真 ) (假 ) 逆命题：若ab=0, 则a=0。 否命题：若a≠ 0, 则ab≠0。 (假 ) 逆否命题：若ab≠0,则a≠0。 (真 ) 3) 原命题：若a > b, 则 ac2>bc2。 （假） （真） 逆命题：若ac2>bc2, 则a>b。 否命题：若a≤b,则ac2≤bc2。 （真） 逆否命题：若ac2≤bc2,则a≤b。 （假） 4) 原命题：若a > b, 则 a2>b2。 （假） 逆命题：若a2>b2, 则a>b。 （假） 否命题：若a≤b,则a2≤b2。 （假） 逆否命题：若a2≤b2,则a≤b。 （假）
分析：“当c>0时”是大前提，写其它命题时应该保留。
原命题的条件是“a>b”， 结论是“ac>bc”。 解：逆命题：当c>0时，若ac>bc, 则a>b. 否命题：当c>0时，若a≤b, 则ac≤bc. 逆否命题：当c>0时，若ac≤bc, 则a≤b. （真）
（真）
四种命题间的相互关系
1．1.2四种命题
1．1.3四种命题间的相互关系
1.了解命题的原命题、逆命题、否命题与逆否命题．
2.理解四种命题之间的关系，会利用互为逆否命题的等价关系判断命题的真假．
1．四种命题
(1)原命题与逆命题
(2)原命题与否命题
(3)原命题与逆否命题
2．四种命题之间的相互关系
3．四种命题的真假性
(1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题．()
(2)两个互逆命题的真假性相同．()
(3)对于一个命题的四种命题，可以一个真命题也没有．()
答案：(1)√(2)×(3)√
2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
答案：B
3．命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是()
A．若A∪B＝B，则A∩B＝A
B．若A∩B≠A，则A∪B≠B
C．若A∪B≠B，则A∩B≠A
D．若A∪B≠B，则A∩B＝A
答案：C
4．“若tan θ＝3，则θ＝60°”的否命题是________，否命题是________命题(填“真”“假”)．
答案：若tan θ≠3，则θ≠60°真
探究点一四种命题之间的转换
把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的
逆命题、否命题与逆否命题．
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四种命题间的相互关系
【课标要求】
1.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题.
2.能够把一个“若p，则q”形式的命题熟练地写出其逆命题、否命题和逆否命题.
3.掌握四种命题之间的关系及真假性之间的联系，会利用命题的等价性解决问题.
自主学习 基础认识
|新知预习|
1．四种命题的概念
(1)互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 ，这样的两个命题叫做互逆命题，把其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的 ．
结论和条件
逆命题
(2)互否命题：一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题，把其
中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的 ．
(3)互为逆否命题：一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的 ．
否命题 逆否命题
2．四种命题的相互关系
|自我尝试|
1．判断下列各题．(对的打“√”，错的打“×”)
(1)一个命题的否命题和逆命题有相同的真假性()
(2)原命题与逆命题之间的真假性没有关系()
|自我尝试|
1．判断下列各题．(对的打“√”，错的打“×”)
(1)一个命题的否命题和逆命题有相同的真假性()
(2)原命题与逆命题之间的真假性没有关系()
答案：(1)√(2)√
2．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是()
A．原命题、否命题B．原命题、逆命题
C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题
2．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是()
A．原命题、否命题B．原命题、逆命题
C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题
解析：因为原命题是真命题，所以逆否命题也是真命题．答案：C
3．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是()
A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3
B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3
C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3
D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3
3．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是()
A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3
B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3
C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3
D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3
解析：a＋b＋c＝3的否定是a＋b＋c≠3，a2＋b2＋c2≥3的否定是a2＋b2＋c2<3.
答案：A
4．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是()
A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0
B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0
C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0
D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
解析：由原命题和逆否命题的关系可知原命题为“若p，则q”，则其逆否命题为“若⌝q，则⌝p”．
答案：D
5．命题“若a>1，则a>0”的逆命题是________，逆否命题是________．
5．命题“若a>1，则a>0”的逆命题是________，逆否命题是________．
解析：逆命题：变换题设与结论
逆否命题：先求逆命题，再否定．
答案：若a>0，则a>1，若a≤0，则a≤1
课堂探究互动讲练
类型一四种命题的概念
[例1]写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．
(1)垂直于同一平面的两直线平行；
(2)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根．
【解析】(1)逆命题：如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一个平面．
否命题：如果两条直线不垂直于同一平面，那么这两条直线不平行．
逆否命题：如果两条直线不平行，那么这两条直线不垂直于同一平面．
(2)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n<0.
否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根．
逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0.
方法归纳
写出一个命题的其他三种命题的步骤
(1)分析命题的条件和结论；
(2)将命题写成“若p，则q”的形式；
(3)根据逆命题、否命题、逆否命题各自的结构形式写出这三种命题.
跟踪训练1写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．
(1)无理数的平方是有理数；
(2)当x2＋x－6＝0时，x＝2或x＝－3.
解析：(1)改写成“若一个数是无理数，则它的平方是有理数”．
逆命题：若一个数的平方是有理数，则它是无理数．
否命题：若一个数不是无理数，则它的平方不是有理数．
逆否命题：若一个数的平方不是有理数，则它不是无理数．
(2)逆命题：若x＝2或x＝－3，则x2＋x－6＝0.
否命题：若x2＋x－6≠0，则x≠2且x≠－3.
逆否命题：若x≠2且x≠－3，则x2＋x－6≠0.
类型二四种命题真假的判断
[例2]判断下列命题的真假．
(1)“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；
(2)“正三角形都相似”的逆命题；
(3)“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．