2018版高中数学立体几何初步1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球学业分层测评新人教B版

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1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球1

课题 1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球（1）课型主备人李冬旭上课教师李冬旭上课时间学习目标圆柱、圆锥、圆台和球定义圆柱、圆锥、圆台和球的性质母线顶点教学重点了解圆柱、圆锥、圆台和球教学难点圆柱、圆锥、圆台和球中的一些计算教师准备教学过程时间分配集备修正1．圆柱及相关概念1．定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。

2．相关概念：（1）圆柱的轴：旋转轴叫做圆柱的轴；（2）圆柱的高：在轴上的这条边（或它的长度）叫做圆柱的高；（3）圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；（4）圆柱的侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；（5）圆柱的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边叫做圆柱的母线。

3．圆柱的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆柱OO1。

圆柱是如何得到的？它有什么性质？1．圆柱是由矩形绕其一边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体，除此之外，还可以是矩形绕其两对边的中线旋转而形成的曲面所围成的几何体；2．在空间，到一条线段的距离等于定长的点的集合是圆柱面；也就是矩形中与旋转轴平行的那一条边绕旋转轴旋转一周形成的曲面；3．圆柱具有以下性质：（1）圆柱的底面是两个半径相等的圆，圆的半径等于矩形的边的长，1’5x5’两圆所在的平面互相平行；（2）通过轴的各个截面是叫做轴截面，轴截面是全等的矩形；（3）母线平行且相等，它们都垂直于底面，它们的长等于圆柱的高.研习点2．圆锥及相关概念1．定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。

2．相关概念：（1）圆锥的轴：旋转轴叫做圆锥的轴；（2）圆锥的高：在轴上的这条边（或它的长度）叫做圆锥的高；（3）圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面；（4）圆锥的侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面；（5）圆锥的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线；3．圆锥的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆锥S O1。

2018版高中数学第一章立体几何初步 1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球学业分层测评新人教b版必修2

1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.下列命题中，真命题的个数是( )①圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个；②圆柱的所有平行于底面的截面都是圆面；③圆台的两个底面可以不平行.A.0B.1C.2D.3【解析】①中当圆锥过顶点的轴截面顶角大于90°时，其面积不是最大的；③圆台的两个底面一定平行，故①③错误.【答案】 B2.以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是( )A.两个圆锥拼接而成的组合体B.一个圆台C.一个圆锥D.一个圆锥挖去一个同底的小圆锥【解析】如图，以AB为轴所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥.【答案】 D3.用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是( )A.圆锥B.圆柱C.球D.棱柱【解析】用一个平面去截圆锥、圆柱、球均可以得到圆面，但截棱柱一定不会产生圆面.【答案】 D4.在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体(如图1140所示)，其结构特征是( )图1140A.一个棱柱中挖去一个棱柱B.一个棱柱中挖去一个圆柱C.一个圆柱中挖去一个棱锥D.一个棱台中挖去一个圆柱【解析】一个六棱柱挖去一个等高的圆柱，选B.【答案】 B5.一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图1141所示，则截面可能的图形是( )图1141A.①③B.②④C.①②③D.②③④【解析】当截面平行于正方体的一个侧面时得③，当截面过正方体的体对角线时得②，当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①，但无论如何都不能截出④.【答案】 C二、填空题6.如图1142是一个几何体的表面展开图形，则这个几何体是________.图1142【解析】一个长方形和两个圆折叠后，能围成的几何体是圆柱.【答案】圆柱7.直角梯形绕其较长底边所在直线旋转一周，所得旋转体的结构特征是________________.【解析】由旋转体的定义知，该几何体为一个圆锥和一个圆柱拼接成的组合体.【答案】一个圆锥和一个圆柱拼接成的组合体8.一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为________cm.【解析】如图是圆锥的轴截面，则SA＝20 cm，∠ASO＝30°，∴AO＝10 cm，SO＝10 3 cm.【答案】10 3三、解答题9.指出如图1143①②所示的图形是由哪些简单几何体构成的.图1143【解】图①是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体.图②是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体.10.一个圆台的母线长为12 cm ，两底面面积分别为4π cm 2和25π cm 2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长.【解】 (1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD (如图所示).由已知可得上底半径O 1A ＝2(cm)，下底半径OB ＝5(cm)，又因为腰长为12 cm ，所以高AM ＝122－－2＝315(cm).(2)如图所示，延长BA ，OO 1，CD ，交于点S ，设截得此圆台的圆锥的母线长为l ，则由△SAO 1∽△SBO 可得l －12l ＝25，解得l ＝20(cm)，即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm. [能力提升]1.下列判断中正确的个数是( )①圆柱的任意两条母线所在的直线是平行的；②球面和球是同一个概念；③经过球面上不同的两点只能作一个球大圆.A.1B.2C.3D.0【解析】 ①正确；球面和球是两个不同的概念，②错误；若球面上不同的两点恰好为球的直径的端点，则过此两点的球大圆有无数个，故③错误.【答案】 A2.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是( )A.4B.3C.2D.0.5【解析】如图所示，∵两个平行截面的面积分别为5π、8π，∴两个截面圆的半径分别为r 1＝5，r 2＝2 2.∵球心到两个截面的距离d 1＝R 2－r 21，d 2＝R 2－r 22，∴d 1－d 2＝R 2－5－R 2－8＝1，∴R 2＝9，∴R ＝3.【答案】 B3.在如图1144所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40 cm ，母线长最短50 cm 、最长80 cm ，则斜截圆柱侧面面积S ＝________cm 2.图1144【解析】将侧面展开可得S ＝12(50＋80)×40π＝2 600π(cm 2). 【答案】 2 600π4.一个圆锥的底面半径为2 cm ，高为6 cm ，在圆锥内部有一个高为x cm 的内接圆柱.(1)用x 表示圆柱的轴截面面积S ；(2)当x 为何值时，S 最大？【解】 (1)如图，设圆柱的底面半径为r cm ，则由r 2＝6－x 6，得r ＝6－x 3，∴S ＝－23x 2＋4x (0<x <6). (2)由S ＝－23x 2＋4x ＝－23(x －3)2＋6， ∴当x ＝3时，S max ＝6 cm 2.。

18版高中数学第一章立体几何初步1.2.3第1课时直线与平面垂直学业分层测评新人教B版必修2

1.2.3 第1课时直线与平面垂直学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.下列条件中，能使直线m⊥平面α的是( )A.m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥αB.m⊥b，b∥αC.m∩b＝A，b⊥αD.m∥b，b⊥α【解析】由线线平行及线面垂直的判定知选项D正确.【答案】 D2.已知空间四边形ABCD的四边相等，则它的两条对角线AC、BD的关系是( )A.垂直且相交B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交D.不垂直也不相交【解析】空间四边形ABCD的四个顶点不共面，∴AC与BD必为异面直线.取BD的中点O，连结OA，OC，由AB＝AD＝BC＝CD得OA⊥BD，OC⊥BD，∴BD⊥平面AOC，∴BD⊥AC，故选C.【答案】 C3.已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面( )【导学号：45722054】A.有且只有一个B.至多一个C.有一个或无数个D.不存在【解析】若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在.【答案】 B4.如图1248所示，三棱锥V-ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA＝VB，AD＝BD，则下列结论中不一定成立的是( )图1248A.AC ＝BCB.VC ⊥VDC.AB ⊥VCD.S △VCD ·AB ＝S △ABC ·VO【解析】因为VA ＝VB ，AD ＝BD ，所以VD ⊥AB .因为VO ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以VO ⊥AB .又VO ∩VD ＝V ，VO ⊂平面VCD ，VD ⊂平面VCD ，所以AB ⊥平面VCD ，又CD ⊂平面VCD ，VC ⊂平面VCD ，所以AB ⊥VC ，AB ⊥CD .又AD ＝BD ，所以AC ＝BC (线段垂直平分线的性质). 因为VO ⊥平面ABC ，所以V V -ABC ＝13S △ABC ·VO .因为AB ⊥平面VCD ，所以V V -ABC ＝V B -VCD ＋V A -VCD ＝13S △VCD ·BD ＋13S △VCD ·AD ＝13S △VCD ·(BD ＋AD ) ＝13S △VCD ·AB ，所以13S △ABC ·VO ＝13S △VCD ·AB ，即S △VCD ·AB ＝S △ABC ·VO .综上知，A ，C ，D 正确. 【答案】 B5.已知ABCD A 1B 1C 1D 1为正方体，下列结论错误的是( ) A.BD ∥平面CB 1D 1 B.AC 1⊥BD C.AC 1⊥平面CB 1D 1D.AC 1⊥BD 1【解析】正方体中由BD ∥B 1D 1，易知A 正确；由BD ⊥AC ，BD ⊥CC 1可得BD ⊥平面ACC 1，从而BD ⊥AC 1，即B 正确；由以上可得AC 1⊥B 1D 1，同理AC 1⊥D 1C ，因此AC 1⊥平面CB 1D 1，即C 正确；由于四边形ABC 1D 1不是菱形，所以AC 1⊥BD 1不正确.故选D.【答案】 D 二、填空题6.如图1249所示，平面α∩β＝CD ，EA ⊥α，垂足为A ，EB ⊥β，垂足为B ，则CD 与AB 的位置关系是________.图1249【解析】 ∵EA ⊥α，CD ⊂α，根据直线和平面垂直的定义，则有CD ⊥EA . 同样，∵EB ⊥β，CD ⊂β，则有EB ⊥CD . 又EA ∩EB ＝E ， ∴CD ⊥平面AEB .又∵AB ⊂平面AEB ，∴CD ⊥AB . 【答案】 CD ⊥AB7.如图1250所示，PA ⊥平面ABC ，在△ABC 中，BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数有________.图1250【解析】⎭⎪⎬⎪⎫PA ⊥平面ABC BC ⊂平面ABC ⇒⎭⎪⎬⎪⎫PA ⊥BCAC ⊥BC PA ∩AC ＝A ⇒BC ⊥平面PAC ⇒BC ⊥PC ， ∴直角三角形有△PAB 、△PAC 、△ABC 、△PBC . 【答案】 48.如图1251所示，六棱锥P -ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，有如下四个结论：图1251①CF⊥平面PAD②DF⊥平面PAF③CF∥平面PAB④CD∥平面PAF其中正确结论的序号是________(把正确结论的序号都填上).【解析】∵六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，∴AF∥CD，由线面平行的判定定理，可得CD∥平面PAF，故④正确；∵DF⊥AF，DF⊥PA，又AF∩PA＝A，∴DF⊥平面PAF，故②正确；由正六边形的性质可知CF∥AB，由线面平行的判定定理，可得CF∥平面PAB，故③正确；∵CF与AD不垂直，∴CF⊥平面PAD不正确，故①错误.【答案】②③④三、解答题9.如图1252所示，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.求证：AE⊥BE.【导学号：45722055】图1252【证明】∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE.又AE⊂平面ABE，∴AE⊥BC.∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴AE⊥BF.又∵BF⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BF∩BC＝B，∴AE⊥平面BCE.又BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE.10.如图1253所示，四边形ABB1A1为圆柱的轴截面(过圆柱轴的截面)，C是圆柱底面圆周上异于A、B的任意一点.求证：AC⊥平面BB1C.图1253【证明】因为四边形ABB1A1为圆柱的轴截面，所以BB1⊥底面ABC.因为AC⊂底面ABC，所以BB1⊥AC.因为AB为底面圆的直径，所以∠ACB＝90°，所以BC⊥AC.又因为BB1∩BC＝B，BB1⊂平面BB1C，BC⊂平面BB1C，所以AC⊥平面BB1C.[能力提升]1.已知三条相交于点P的线段PA，PB，PC两两垂直，P在平面ABC外，PH⊥平面ABC 于H，则垂足H是三角形ABC的( )A.外心B.内心C.垂心D.重心【解析】如图，∵PA、PB、PC两两垂直，∴PA⊥平面PBC，∴PA⊥BC.又BC⊥PH，PA∩PH＝P，∴BC⊥平面PAH，∴BC⊥AH.同理AB⊥CH，AC⊥BH.∴点H为△ABC的垂心.【答案】 C2.如图图1254所示，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M、N分别是AD、BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，则下列说法错误的是( )图1254A.不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥平面DECB.不论D折至何位置都有MN⊥AEC.不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥ABD.在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD【解析】将三角形ADE沿AE折起后几何体如图所示：A.在直角梯形ABCD中，由BC⊥DC，AE⊥DC，知四边形ABCE为矩形.连接AC，∵N为BE中点，∴AC过点N.当D折至某一位置时，如图所示，连结MN，∴MN∥DC，由MN⊄平面DEC，DC⊂平面DEC，得MN∥平面DEC，∴MN∥平面DEC，所以A正确；B.∵AE⊥EC，AE⊥DE，EC∩DE＝E，∴AE⊥平面DEC，又DC⊂平面DEC，∴AE⊥DC，∵MN∥DC，∴MN⊥AE，所以B正确；C.假设MN∥AB，由MN∥DC知，DC∥AB，又CE∥AB，得CE∥CD，与CE∩CD＝C相矛盾，所以C错；D.当EC⊥ED 时，因为CE⊥AE，∴CE⊥平面AED，∴CE⊥AD，所以存在某个位置，使EC⊥AD，所以D正确；故选C.【答案】 C3.已知平面α，β和直线m，给出下列条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α∥β.当满足条件________时，有m⊥β.【解析】若m⊥α，α∥β时，有m⊥β，故填②④.【答案】②④4.如图1255所示，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.(1)求证：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.【导学号：45722056】图1255【证明】(1)∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，∴PA⊥BM.又∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM.又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，∴AN⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB.又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，∴PB⊥平面ANQ.又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ.。

[配套K12]2018版高中数学第一章立体几何初步 1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球学案(含解析)新人教B版必修2

1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义.(重点)2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.(重点)3.能够根据圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征识别和区分几何体.(难点))4.会作旋转体的轴截面，并利用轴截面解决问题.(难点[基础·初探]教材整理1 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征阅读教材P11～P14“例2”以上内容，完成下列问题.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)矩形绕其一边所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是圆柱.( ) (2)以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台.( )(3)用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.( ) (4)用任意平面截球所得截面均为圆.( )【解析】 (1)正确；(2)错误.应以直角梯形的垂直于底边的腰为轴；(3)错误，应是平面与圆锥底面平行时；(4)错误，平面截球所得截面是圆面，而不是圆.【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)× 教材整理2 简单组合体的结构特征阅读教材P 15内容，完成下列问题. 1.简单组合体的概念由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体. 2.简单组合体的构成形式有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的.如图1134所示的组合体的结构特征是( )图1134A.一个棱柱中截去一个棱柱B.一个棱柱中截去一个圆柱C.一个棱柱中截去一个棱锥D.一个棱柱中截去一个棱台【解析】由简单组合体的基本形式可知，该组合体是一个棱柱中截去一个棱锥.【答案】 C[小组合作型]【导学号：45722011】A.直角三角形绕一条边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D.通过圆台侧面上一点，有无数条母线【精彩点拨】根据圆柱、圆锥、圆台的定义及结构特征进行判断.【自主解答】A错误，应为直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥；若绕其斜边所在直线旋转得到的是两个圆锥构成的一个组合体.B错误，没有说明这两个平行截面与底面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况则是错误的.D错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线.故选C.【答案】 C1.圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定边(弦)旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求.2.只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的命题的正误.[再练一题]1.给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上的任意点的连线是圆锥的母线；③在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.其中正确的是( )A.①②B.②③C.①③D.②④【解析】根据圆柱、圆锥、圆台的定义和性质可知，只有②④两个命题是正确的，①③可能是弦，所以选D.【答案】 D如图ABCD绕AD 所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成一个几何体，试描述该几何体的结构特征.图1135【精彩点拨】关键是弄清简单组合体是由哪几部分组成.【自主解答】如图所示，旋转所得的几何体是由一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分而成的组合体.本题是不规则图形的旋转问题.对于不规则平面图形绕轴旋转问题，首先要对原平面图形作适当的分割，一般分割成矩形、梯形、三角形或圆半圆或四分之一圆等基本图形，然后结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析.[再练一题]2.描述下列几何体的结构特征.图1136【解】图①所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图②所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图③所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体.[探究共研型]探究1 【提示】圆面.探究2 圆柱、圆锥、圆台过轴的截面是什么样的图形？【提示】分别为矩形、等腰三角形、等腰梯形.探究3 经过圆台的任意两条母线作截面，截面是什么图形？【提示】因为圆台可以看成是圆锥被平行于底面的平面所截得到的几何体，所以任意两条母线长度均相等，且延长后相交，故经过这两条母线的截面是以这两条母线为腰的等腰梯形.如图1137所示，用一个平行于圆锥SO 底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm ，求圆台O ′O 的母线长.图1137【精彩点拨】过圆锥的轴作截面，利用三角形相似来解决.【自主解答】设圆台的母线长为l ，由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r,4r .过轴SO 作截面，如图所示.则△SO ′A ′∽△SOA ，SA ′＝3 cm. ∴SA ′SA ＝O ′A ′OA ，∴33＋l ＝r 4r ＝14. 解得l ＝9(cm)，即圆台的母线长为9 cm.用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质与底面全等或相似，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面轴截面的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解.[再练一题]3.一个圆锥的高为2 cm ，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积.【导学号：45722012】【解】如图，设圆锥SO 的底面直径为AB ，SO 为高，SA 为母线，则∠ASO ＝30°.在Rt△SOA 中，AO ＝SO ·tan 30°＝233(cm). SA ＝SOcos 30°＝232＝433(cm).∴S △ASB ＝12SO ·2AO ＝433(cm 2).∴圆锥的母线长为433 cm ，圆锥的轴截面的面积为433cm 2.1.正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是( ) A.圆柱 B.圆锥 C.圆台D.两个圆锥【解析】连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线旋转一周形成两个圆锥.【答案】 D2.下列说法不正确的是( ) A.圆柱的平行于轴的截面是矩形 B.圆锥的过轴的截面是等边三角形 C.圆台的平行于底面的截面是圆面 D.球的任意截面都是圆面【解析】圆锥的过轴的截面是等腰三角形，B 错. 【答案】 B3.如图1138所示的几何体是由简单几何体________构成的.图1138【答案】四棱台和球4.如图1139所示，下列几何体中，图①是圆柱，图②是圆锥，图③是圆台，图1139上述说法正确的个数有________个.【解析】图(1)不是圆柱，因为从其轴截面可以看出，该几何体不是由矩形绕其一边所在直线旋转一周得到的；图(2)不是圆锥，因为该几何体不是由直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周得到的；图(3)不是圆台，因为该几何体的上、下底面所在的平面不平行，不是由平行于圆锥底面的平面截得的.【答案】 05.已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q ，求此圆柱的底面半径. 【解】设圆柱底面半径为r ，母线为l ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＝l ，2r ·l ＝Q ，解得r ＝Q2.所以此圆柱的底面半径为Q2.。

高中数学第一章立体几何初步 1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球同步练习(含解析)新人教B版必修2(

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圆柱、圆锥、圆台和球1．下列命题中，错误的是（）．A ．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B ．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个C ．圆台的所有平行于底面的截面都是圆D ．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形2．圆柱的轴截面是边长为5 cm 的正方形ABCD ,则圆柱侧面上从A 到C 的最短距离为（ )．A ．10 cmB ．25π42+cm C ．52cm D ．25π1+cm3．一个圆台的上、下底面面积分别是1 cm 2和49 cm 2,一个平行于底面的截面面积为25 cm 2,则这个截面与上、下底面的距离之比是( ）．A ．2∶1B ．3∶1C ．2∶1D ．3∶14．如图是由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的轴对称平面图形,若将它绕轴l 旋转180°后形成一个组合体，下面说法不正确的是（）．A ．该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体B ．该组合体仍然关于轴l 对称C ．该组合体中的圆锥和球只有一个公共点D ．该组合体中的球和半球只有一个公共点5．一件工艺品是将一个彩色半透明的正四面体镶嵌于一个水晶球体内制作而成的．已知正四面体的顶点都在球面上，球的直径为12 cm ，则正四面体的棱长为______ cm ，球心到正四面体各面的距离为______ cm.6．长方体ABCD－A1B1C1D1的顶点均在同一个球面上,AB＝AA1＝1，2BC ，则A，B两点间的球面距离为______．7．设地球的半径为R，地球上的两点A、B的纬度都是北纬45°，A、B两点的球面距离为πR，已知A在东经20°处，试确定B点的位置．38．如图，正方形ABB1A1的边长为15，其内有两点P、Q，P到AA1、A1B1的距离均为3，Q 到AB、BB1的距离分别为2和4，将正方形卷成一个圆柱，使AB和A1B1相连，求此时P、Q两点之间最短的距离（沿圆柱侧面)．9.棱长为2 cm的正方体容器中盛满水，把半径为1 cm的铜球放入水中,铜球刚好被淹没,现向正方体容器内再放入一个铁球，使它也淹没在水中,要使流出来的水量最多，这个铁球的半径应该是多大？参考答案1. 答案：B解析:当圆锥过顶点的轴截面顶角大于90°时，面积不是最大．设圆锥轴截面顶角为α,母线长为l ，则轴截面面积21sin 2S l α=，显然α≤90°时，轴截面面积最大;α＞90°时，轴截面面积不最大．2. 答案:B 3。

1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球2

课题 1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球（2）课型主备人李冬旭上课教师李冬旭上课时间学习目标圆柱、圆锥、圆台和球定义圆柱、圆锥、圆台和球的性质母线顶点教学重点了解圆柱、圆锥、圆台和球教学难点圆柱、圆锥、圆台和球中的一些计算教师准备教学过程时间分配集备修正3．圆台及相关概念1．定义：以直角梯形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆台。

2．相关概念：（1）圆台的轴：旋转轴叫做圆台的轴；（2）圆台的高：在轴上的这条边（或它的长度）叫做圆台的高；（3）圆台的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆台的底面；（4）圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆台的侧面；（5）圆台的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆台的母线。

3．圆台的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆台OO1。

圆台是如何得到的？它有什么性质？1．圆台是由直角梯形以垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴旋转而成的曲面所围成的几何体。

2．圆台可以看作是由等腰梯形绕其底边的中线旋转得到的，另外圆台也可以看作是用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分。

3．圆台具有以下性质：（1）圆台的底面是两个半径不等的圆，两圆所在的平面互相平行又都和轴垂直；（2）平行于底面的截面是圆；（3）通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是全等的等腰梯形，如梯形AA1B1B。

（4）任意两条母线（它们延长后会相交）确定的平面，截圆台所得的截面是等腰梯形，如梯形AA1C1C。

（5）母线都相等，各母线延长后都相交于一点。

研习点4．球及相关概念：1．定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球。

另外将圆绕直径旋转180°度得到的几何体也是球。

2．相关概念：（1）球面：球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周形成的曲面，也可以看作空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合；（2）球心：形成球的半圆的圆心叫做球心；（3）半径：连接球面上一点和球心的线段叫球的半径；1’5x5’（4）直径：连接球面上的两点且通过球心的线段叫球的直径；3．球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O.4．球的截面性质：（1）球的截面是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆；（2）球心和截面圆心的连线垂直于截面；（3）22r R d=-(其中r为截面圆半径，R为球的半径，d为球心O 到截面圆的距离，即O到截面圆心O1的距离；5．球面距离：在球面上，两点之间的最短距离就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。

1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球

组合体
简单组合体
日常生活中我们常用到的日用品，比如：消毒液、暖瓶、洗洁精等的主要几何结构特征是什么？由柱、锥、台、球组成了一些简单的组合体．认识它们的结构特征要注意整体与部分的关系．
圆柱
圆台
圆柱
简单组合体
走在街上会看到一些物体，它们的主要几何结构特征是什么？
简单组合体
一些螺母、带盖螺母又是有什么主要的几何结构特征呢？
90° 60° 66.5°北极圈
40°
20° 30° 0° 20° 40° 60° 90° 60° 90° 120° 150° 赤道 23.5° 南回归线 23.5° 北回归线
南极圈 66.5°
P地的纬度就是经过 P点的球半径和赤道平面所成的线面角 ∠POA的度数
北极
G
r R
P
O
A
南极
球面离
简单组合体
蒙古大草原上遍布蒙古包，那么蒙古包的主要几何结构特征是什么？
简单组合体
居民的住宅又有什么主要几何结构特征？
简单组合体
下图是著名的中央电视塔和天坛，你能说说它们的主要几何结构特征吗？
你能从旋转体的概念说说它们是由什么图形旋转而成的吗？
旋转体
你能想象这条曲线绕轴旋转而成的几何图形吗？
O S
O
2、表示：如圆锥SO。
圆台
O1 O
用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分是圆台.
思考：圆柱、圆锥和圆台都是旋转体，当底面发生变化时，它们能否互相转化？
上底扩大上底缩小
思考：圆柱、圆锥、圆台过轴的截面分别是什么图形？
例1. 用一个平行圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1：4，截去的圆锥的母线长是3cm,求圆台的母线长。

全国通用高中数学第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球练习新人教B版必修

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1。

1.3 圆柱、圆锥、圆台和球1关于下列几何体,说法正确的是(）A。

图①是圆柱 B.图②和图③是圆锥C。

图④和图⑤是圆台 D.图⑤是圆台解析:因为图①与图④中几何体两个底面不互相平行,所以它们不是圆柱和圆台.因为图②与图③中几何体的过旋转轴的截面（轴截面）不是等腰三角形,所以它们不是圆锥.图⑤是圆台。

答案:D2下列判断正确的是(）A。

平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形B。

平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形C。

过圆锥顶点的截面是等腰三角形D.过圆台上底面中心的截面是等腰梯形解析：根据圆锥与圆台的定义和图形进行判断即可.答案：C3若一条直线被一个半径为13的球截得的线段长为24,则球心到这条直线的距离为（）A。

13 B.12 C.5 D.24解析：如图，d==5。

答案：C4上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台,则其两底面之间的距离为（)A.4B.3C。

2 D.2解析:圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r,R满足关系式l2=h2+（R-r）2，求得h=2，即两底面之间的距离为2.答案：D5已知某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π cm，则该地球仪的半径是()A.4 cmB.6 cmC。

18版高中数学第一章立体几何初步1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球学业分层测评苏教版必修2

1.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．下列说法正确的是________．①平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形；②平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形；③过圆锥顶点与底面圆心的截面是等腰三角形；④过圆台上底面中心的截面是等腰梯形．【解析】由圆柱、圆锥、圆台的性质知③正确．【答案】③2．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是________．【解析】连结正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线旋转一周形成两个圆锥的组合体．【答案】两个圆锥的组合体3．在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是________．图1－1－24【解析】一个六棱柱中挖去一个等高的圆柱．【答案】一个六棱柱中挖去一个圆柱4．线段y＝2x(0≤x≤2)绕x轴旋转一周所得的图形是________．【解析】由线段y＝2x(0≤x≤2)绕x轴旋转一周所得的图形是圆锥的侧面．【答案】圆锥的侧面5．如图1－1－25所示，将梯形ABCD绕底边AB所在直线旋转一周，由此形成的几何体是由简单几何体__________构成的.图1－1－25【解析】旋转体要注意旋转轴，可以想象一下旋转后的几何体，由旋转体的结构特征知它中间是圆柱，两头是圆锥．【答案】圆锥、圆柱6．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面可能的图形是________．①②③④图1－1－26【解析】当截面平行于正方体的一个侧面时得③，当截面过正方体的体对角线时得②，当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①，但无论如何都不能截出④.【答案】①②③7．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径为________．【解析】如图所示，∵两个平行截面的面积分别为5π，8π，∴两个截面圆的半径分别为r1＝5，r2＝2 2.∵球心到两个截面的距离d1＝R2－r21，d2＝R2－r22，∴d1－d2＝R2－5－R2－8＝1，∴R2＝9，∴R＝3.【答案】 38．若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为4S，则它的一个底面面积是__________．【解析】因为圆柱的轴截面的一边是底面直径，另一邻边为圆柱的高，所以应满足4S ＝2r(r为底面圆半径)，∴r＝S，故底面面积为πS.【答案】πS二、解答题9．轴截面为正方形的圆柱叫做等边圆柱．已知某等边圆柱的轴截面面积为16 cm2，求其底面周长和高．【解】如图所示，作出等边圆柱的轴截面ABCD，由题意知，四边形ABCD为正方形，设圆柱的底面半径为r，则AB＝AD＝2r.其面积S＝AB×AD＝2r×2r＝4r2＝16 cm2，解得r＝2 cm.所以其底面周长C＝2πr＝2π×2＝4π(cm)，高h＝2r＝4 cm.10.从一个底面半径和高都是R的圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如图1－1－27所示的几何体，如果用一个与圆柱下底面距离等于l 并且平行于底面的平面去截它，求所得截面的面积．图1－1－27【解】轴截面如图所示，被平行于下底面的平面所截的圆柱的截面圆的半径O 1C ＝R ，设圆锥的截面圆的半径O 1D 为x .因为OA ＝AB ＝R ，所以△OAB 是等腰直角三角形．又CD ∥OA ，则CD ＝BC ，所以x ＝l ，故截面面积S ＝πR 2－πl 2＝π(R 2－l 2)．[能力提升]1．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是________．【解析】如图以AB 为轴所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥．【答案】一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥2．边长为5 cm 的正方形EFGH 是圆柱的轴截面，则从E 点沿圆柱的侧面到点G 的最短距离是________cm.【解析】如图所示，E ′F ＝12×2π×52＝52π(cm)， ∴最短距离E ′G ＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52π2＝52π2＋4(cm)．【答案】 52π2＋4 3．在半径为13的球面上有A ，B ，C 三点，其中AC ＝6，BC ＝8，AB ＝10，则球心到经过这三个点的截面的距离为________．【解析】由线段的长度知△ABC 是以AB 为斜边的直角三角形，所以其外接圆的半径r＝AB 2＝5，所以d ＝R 2－r 2＝12. 【答案】 124．如图1－1－28所示，已知圆锥SO 中，底面半径r ＝1，母线长l ＝4，M 为母线SA 上的一个点，且SM ＝x ，从点M 拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A .求：图1－1－28(1)绳子的最短长度的平方f (x )；(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离；(3)f (x )的最大值．【解】将圆锥的侧面沿SA 展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧AA ′的长度L 就是圆O 的周长，∴L ＝2πr ＝2π.∴∠ASM ＝L 2πl ×360°＝2π2π×4×360°＝90°. (1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM ，其值为AM ＝x 2＋16(0≤x ≤4)． f (x )＝AM 2＝x 2＋16(0≤x ≤4)．(2)绳子最短时，在展开图中作SR ⊥AM ，垂足为R ，则SR 的长度为顶点S 到绳子的最短距离，在△SAM 中，∵S △SAM ＝12SA ·SM ＝12AM ·SR ， ∴SR ＝SA ·SM AM ＝4x x 2＋16(0≤x ≤4)，即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为4x x 2＋16(0≤x ≤4)．(3)∵f (x )＝x 2＋16(0≤x ≤4)是增函数，∴f (x )的最大值为f (4)＝32.。

18版高中数学第一章立体几何初步1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球学案新人教B版必修2

1．1.3 圆柱、圆锥、圆台和球学习目标 1.认识组成我们生活世界的各种各样的旋转体.2.认识和把握圆柱、圆锥、圆台、球体的几何结构特征．知识点一圆柱、圆锥、圆台思考1 圆柱、圆锥、圆台是怎样形成的？梳理圆柱、圆锥、圆台的定义及结构特征 (1)定义⎭⎪⎬⎪⎫圆柱圆锥圆台分别看作以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫所在的直线为旋转轴，将⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫矩形直角三角形直角梯形分别旋转一周而形成的曲面所围成的几何体→这类几何体叫旋转体． (2)相关概念①高：在________的这条边(或它的长度)． ②底面：________的边旋转而成的圆面． ③侧面：________________旋转而成的曲面． ④母线：绕轴旋转的边． (3)图形表示知识点二球思考球可以看作半圆绕它的直径旋转一周而形成的吗？梳理(1)定义：一个球面可以看作________绕着______________所在的直线旋转一周所形成的曲面，________围成的几何体叫做球．(2)相关概念①球心：形成球的半圆的________；球的半径：连接球心和球面上一点的________．②球的直径：连接球面上两点并且通过________的线段．③球的大圆：________________的平面截得的圆．④球的小圆：球面被不经过球心的平面截得的圆．⑤两点的球面距离：在球面上，两点之间的最短距离，就是_______________________的长度，把这个________叫做两点的球面距离．(3)圆形表示特别提醒：球与球面是完全不同的两个概念，球指球面所围成的空间，而球面只指球的表面部分．知识点三旋转体1．定义：由一个________________绕着一条直线旋转产生的曲面所围成的几何体．2．轴：这条直线叫做旋转体的轴．知识点四组合体思考组合体是由简单几何体堆砌(或叠加)而成的吗？梳理由________、________、________、________等基本几何体组合而成的几何体叫做组合体．类型一旋转体的结构特征例1 下列命题正确的是________．(填序号)①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的几何体是圆锥；⑤半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球；⑥用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面．反思与感悟(1)判断简单旋转体结构特征的方法①明确由哪个平面图形旋转而成．②明确旋转轴是哪条直线．(2)简单旋转体的轴截面及其应用①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．跟踪训练1 下列命题：①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；②用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆；③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；④球的半径是球面上任意一点与球心的连线段．其中正确的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3类型二简单组合体的结构特征例2 如图所示，已知AB是直角梯形ABCD与底边垂直的一腰．分别以AB，CD，AD为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征．反思与感悟(1)平面图形以一边所在直线为轴旋转时，要过有关顶点向轴作垂线，然后想象所得旋转体的结构和组成．(2)必要时作模型培养动手能力．跟踪训练2 如图(1)、(2)所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的？类型三旋转体中的有关计算命题角度1 有关圆柱、圆锥、圆台的计算例3 一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求：(1)圆台的高；(2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长．反思与感悟用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解．跟踪训练3 如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的底面半径．命题角度2 球的截面的有关计算例4 在球内有相距9 cm的两个平行截面面积分别为49π cm2和400π cm2，求此球的表面积．引申探究若将把本例的条件改为“球的半径为5，两个平行截面的周长分别为6π和8π”，则两平行截面间的距离是________．反思与感悟设球的截面圆上一点A，球心为O，截面圆心为O1，则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形，解答球的截面问题时，常用该直角三角形求解，并常用过球心和截面圆心的轴截面．跟踪训练4 设地球半径为R，在北纬45°圈上有A、B两地，它们在纬度圈上的弧长等于2 4πR.求A、B两地间的球面距离．1．下列说法正确的是( )A．圆锥的母线长等于底面圆直径B．圆柱的母线与轴垂直C．圆台的母线与轴平行D．球的直径必过球心2．下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到如图1中的几何体的是( )图13．下面几何体的截面一定是圆面的是( )A．圆台B．球C．圆柱D．棱柱4．用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截得圆台的上、下底面半径之比是1∶4，截去的小圆锥的母线长是3 cm，则圆台的母线长为________ cm.5．湖面上浮着一个球，湖水结冰后，将球取出，冰上留下一个直径为24 cm，深为8 cm的空穴，则球的半径为________ cm.1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．2．处理台体问题常采用还台为锥的补体思想．3．处理组合体问题常采用分割思想．4．重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何问题中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想．答案精析问题导学知识点一思考1 圆柱、圆锥、圆台可以分别看作以矩形的一边，直角三角形的一直角边、直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，分别旋转一周而形成的几何体．梳理(1)矩形的一边直角三角形一直角边直角梯形中垂直于底边的腰(2)①轴上②垂直于轴③不垂直于轴的边知识点二思考不可以，这样形成的是球面，球面围成的几何体才是球．梳理(1)半圆它的直径球面(2)①圆心线段②球心③球面被经过球心⑤经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧弧长知识点三1．平面圆形知识点四思考不是，组合体的组合方式有多种，可以堆砌，可以挖空等．梳理柱锥台球题型探究例1 ④⑤⑥解析①以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台；③它们的底面为圆面；④⑤⑥正确．跟踪训练1 C例2 解(1)以AB边为轴旋转所得旋转体是圆台，如图(1)所示．(2)以CD边为轴旋转所得旋转体为一组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥．如图(2)所示．(3)以AD边为轴旋转得到一个组合体，它是一个圆柱上部挖去一个圆锥．如图(3)所示．跟踪训练2 解图(1)、图(2)旋转后的图形如图所示分别是图①、图②.其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；图②是由一个圆锥O5O4，一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O 2O 1组成的．例3 解 (1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD (如图所示)．由已知可得O 1A ＝2 cm ，OB ＝5 cm. 又由题意知，腰长为12 cm ，所以高AM ＝122－－2＝315(cm)．(2)如图所示，延长BA ，OO 1，CD ，交于点S ，设截得此圆台的圆锥的母线长为l ，则由△SAO 1∽△SBO ，可得l －12l ＝25，解得l ＝20 cm. 即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.跟踪训练3 解设圆锥的底面半径为R ，圆柱的底面半径为r ，则由三角形相似，得R －r R ＝342－22，即1－r 2＝12，解得r ＝1.即圆柱的底面半径为1.例4 解方法一 (1)若两截面位于球心的同侧，如图(1)所示的是经过球心O 的大圆截面，C ，C 1分别是两平行截面的圆心，设球的半径为R cm ，截面圆的半径分别为r cm ，r 1 cm.由πr 21＝49π，得r 1＝7(r 1＝－7舍去)，由πr2＝400π，得r＝20(r＝－20舍去)．在Rt△OB1C1中，OC1＝R2－r21＝R2－49，在Rt△OBC中，OC＝R2－r2＝R2－400.由题意可知OC1－OC＝9，即R2－49－R2－400＝9，解此方程，取正值得R＝25.(2)若球心在两截面之间，如图(2)所示，OC1＝R2－49，OC＝R2－400.由题意可知OC1＋OC＝9，即R2－49＋R2－400＝9.整理，得R2－400＝－15，此方程无解，这说明第二种情况不存在．综上所述，此球的半径为25 cm.∴S球＝4πR2＝4π×252＝2 500π(cm2)．方法二(1)若截面位于球心的同侧，同方法一，得OC21＝R2－49，OC2＝R2－400，两式相减，得OC21－OC2＝400－49⇔(OC1＋OC)(OC1－OC)＝351.又OC1－OC＝9，∴OC1＋OC＝39，解得OC1＝24，OC＝15，∴R2＝OC2＋r2＝152＋202＝625，∴R＝25 cm.(以下略)引申探究1或7解析画出球的截面图，如图所示．两平行直线是球的两个平行截面的直径，有两种情形：①两个平行截面在球心的两侧，②两个平行截面在球心的同侧．对于①，m＝52－32＝4，n＝52－42＝3，两平行截面间的距离是m＋n＝7；对于②，两平行截面间的距离是m －n ＝1.跟踪训练4 解如图所示，A 、B 是北纬45°圈上的两点，AO ′为它的半径，∴OO ′⊥AO ′，OO ′⊥BO ′.∵∠OAO ′＝∠OBO ′＝45°， ∴AO ′＝BO ′＝OA ·cos 45°＝22R . 设∠AO ′B 的度数为α，则απ180°·AO ′＝απ180°·22R ＝24πR ， ∴α＝90°. ∴AB ＝AO ′2＋BO ′2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22R 2＝R . 在△AOB 中，AO ＝BO ＝AB ＝R ，则△AOB 为正三角形， ∴∠AOB ＝60°.∴A 、B 两点间的球面距离为60°πR 180°＝π3R . 当堂训练 1．D 2.B 3.B 4．9解析如图，设圆台的母线长为y ，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x,4x .根据相似三角形的性质得33＋y ＝x4x，解此方程得y ＝9. 所以圆台的母线长为9 cm. 5．13解析设球的半径为R cm ，由题意知，截面圆的半径r＝12 cm，球心距d＝(R－8)cm，由R2＝r2＋d2，得R2＝144＋(R－8)2，即208－16R＝0，解得R＝13 cm.11。

2018版高中数学第一章立体几何初步1.1.2圆柱圆锥圆台和球学案苏教版

1.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球1．了解圆柱、圆锥、圆台、球的概念．(重点)2．通过与棱柱、棱锥、棱台的类比进一步认识圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征．(难点、易混点)3．了解复杂几何体的组成情况，学会分析并掌握它们是由哪些简单几何体组合而成．(难点)[基础·初探]教材整理1 圆柱、圆锥和圆台的概念阅读教材P8～P9第6行以上部分，完成下列问题．1．圆柱、圆锥和圆台的概念将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台．2．与圆柱、圆锥、圆台有关的概念绕着旋转的这条直线叫做轴．垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥．(×)(2)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆．(×)(3)用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．(×)2．如图1－1－18将图(1)(2)(3)(4)所示的三角形绕直线l旋转一周，可以得到如图(5)所示的几何体的是哪一个图中的三角形__________．(填序号)图1－1－18【答案】(2)教材整理2 球阅读教材P9第7～10行的内容，完成下列问题．半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球体，如图1－1－19所示．图1－1－19下列说法中正确的是__________．(填序号)①半圆弧以其直径为轴旋转所成的曲面叫球；②空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球面；③球面和球是同一个概念；④经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆．【解析】半圆弧以其直径为轴旋转所成的曲面叫球面，球面围成的几何体，叫球，①不正确；②正确；球面和球是两个不同的概念，③错误；若球面上不同的两点恰好为最大的圆的直径的端点，则过此两点的大圆有无数个，故④错误．【答案】②教材整理3 旋转体阅读教材P9第11行至例1上面部分，完成下列问题．下列各命题：①圆锥的轴截面是等腰三角形，且只有一个；②球的任意截面都是圆面；③圆台所有母线的延长线交于一点．其中正确命题的序号是__________．(写出所有正确命题的序号)【解析】圆锥的轴截面是等腰三角形，但其轴截面有无数个，故①错误；由球的特征性质可知②正确；由圆台的特征性质可知③正确．【答案】②③[小组合作型]旋转体的结构特征下列说法：①以直角梯形的一腰所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆台；②分别以矩形两条相邻边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周，所得到的两个圆柱可能是不同的圆柱；③用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确说法的序号是________．【精彩点拨】要紧扣住圆柱、圆锥、圆台的形成过程进行判断．【自主解答】①错误．若以直角梯形的不垂直于底边的腰为轴旋转一周形成的旋转体不是圆台，是圆锥和圆台的组合体．②正确．若矩形的两邻边长不相等，则其旋转形成的曲面或圆面的半径也不一样，故所得圆柱也不同．③错误．当此平面与圆锥的底面平行时，才能截得一个圆锥和一个圆台，否则不能得到．【答案】②准确掌握圆柱、圆锥、圆台、球的生成过程及其结构特征是解决此类概念问题的关键．要注意定义中的关键字眼，对于似是而非的问题，可以通过动手操作来解决．[再练一题]1．给出以下四个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是__________.【解析】①不正确，因为这两点的连线不一定与圆柱的旋转轴平行；②正确，符合圆锥母线的定义；③不正确，结合圆台母线的定义可知，母线与旋转轴的延长线应交于一点，而从圆台上、下底面圆周上各取一点，其连线未必满足这一条；④正确，符合圆柱母线的性质．【答案】②④球与旋转体(1)下列说法：①球面上四个不同的点一定不在同一平面内；②球的半径是球面上任意一点和球心的连线段；③球面上任意三点可能在一条直线上；④用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面．其中正确的序号是__________．(2)已知AB是直角梯形ABCD与底边垂直的一腰(如图1－1－20)．分别以AB，BC，CD，DA为轴旋转，试说明所得几何体是由哪些简单几何体构成的？图1－1－20【精彩点拨】(1)依据球的形成过程及相关概念判断．―――→为轴【自主解答】(1)作球的一个大圆，在大圆上任取四点，则这四点就在球面上，且共面，故①错误；根据球的半径的定义可知②正确；球面上任意三点一定不共线，故③错误；用一个平面去截球，一定截得一个圆面，故④正确．【答案】②④(2)①以AB边为轴旋转所得旋转体是圆台．如图(1)所示．②以BC边为轴旋转所得旋转体是一组合体：下部为圆柱，上部为圆锥．如图(2)所示．③以CD边为轴旋转所得旋转体为一组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥．如图(3)所示．④以AD边为轴旋转得到一个组合体，它是一个圆柱上部挖去一个圆锥．如图(4)所示．(1) (2) (3) (4)关于平面图形绕固定轴旋转后得到的几何体的组成问题，可采用如下方法解决：[再练一题]2．如图1－1－21所示，画出下列图形绕直线旋转一周后所形成的几何体，并说出这些几何体是由哪些旋转体组合而成的．图1－1－21【解】如图所示，(a)是由圆锥、圆柱组合而成的．(b)是由圆柱中间挖去一个圆锥组合而成的．[探究共研型]旋转体的相关概念和计算探究1 圆柱、圆锥、圆台平行于底面的截面是什么样的图形？圆柱、圆锥、圆台过轴的截面(简称轴截面)分别是什么样的图形？【提示】它们平行于底面的截面都是圆面．它们的轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形．探究2 圆柱、圆锥、圆台都是旋转体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？三者的关系如何？当底面发生变化时，它们能否互相转化？【提示】它们的相同点是：它们都是由平面图形旋转得到的；不同点是：圆柱和圆台有两个底面，圆锥只有一个底面，圆柱的两个底面是半径相等的圆，圆台的两个底面是半径不等的圆；当底面发生变化时，它们能相互转化，即圆台的上底面扩大，使上下底面全等，就是圆柱；圆台的上底面缩为一个点就是圆锥．圆台的上、下底面半径分别为6和12，平行于底面的截面自上而下分母线为2∶1的两部分，求截面的面积．【精彩点拨】画出圆台，将圆台还原成圆锥，利用比例关系求截面的半径即可．【自主解答】如图所示，将圆台还原成圆锥，其中P 为圆锥顶点，CD 、AB 、EF 分别为圆台的上、下底面以及截面圆的半径．显然CD ∥EF ∥AB ，所以PD PB ＝CD AB ＝612＝12，所以PD ＝DB ＝12PB .又DF FB ＝2，所以DF ＝23DB ＝13PB . 所以PF ＝PD ＋DF ＝56PB .所以EF AB ＝PF PB ＝56，所以EF ＝56AB ＝10，所以截面的面积为π·EF 2＝π·102＝100π.圆柱、圆锥、圆台问题要抓住它们的轴截面及其中线段与底面半径、高、母线之间的关系，构造矩形、直角三角形求解．[再练一题]3．圆锥母线长为8，底面半径为2，A 为底面圆周上一点，从A 出发将绳子绕圆锥侧面一周后，再回到A ，则绳长最短为__________.【解析】如图所示，将圆锥沿过A 点的母线展开，设A 点展开后另一点为A ′点，则绳子最短长度为线段AA ′的长度．因为底面半径为2，所以孤长＝2π×2＝4π.因为展开图对应的扇形半径R ＝8，所以圆心角α＝4π8＝π2，即△A ′OA 为直角三角形．所以AA ′＝82＋82＝8 2.【答案】 8 21．下面几何体的截面一定是圆面的是________．①圆台；②球；③圆柱；④棱柱．【解析】截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的几何体只有球．【答案】 ②2．如图1－1－22，下列给出的图形中，绕给出的轴旋转一周，能形成圆柱的是________，能形成圆锥的是________．图1－1－22【解析】结合圆柱、圆锥的定义，结合选项可知，图①形成圆锥，图②形成球，图③形成圆柱，图④形成圆台．【答案】③①3．一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积为________．【解析】由题意可知，该圆柱的轴截面的面积为5×2×2＝20.【答案】204．以下说法：①圆台上底面的面积与下底面的面积之比一定小于1；②矩形绕任意一条直线旋转都可以围成圆柱；③直角三角形绕其一边所在直线旋转一周都可以围成圆锥；④圆台的上、下底面不一定平行，但过圆台侧面上每一点的母线都相等．其中正确的序号为__________.【解析】①正确，圆台是由圆锥截得的，截面是上底面，其面积小于下底面的面积；②错误，矩形绕其对角线所在直线旋转，不能围成圆柱；③错误，绕直角边所在直线旋转可以围成圆锥，但绕斜边所在直线旋转围成的是由两个圆锥组成的组合体；④错误，圆台的上、下底面一定平行．【答案】①5．如图1－1－23所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的？(1) (2)图1－1－23【解】旋转后的图形草图分别如图①②所示．①②其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；图②是由一个圆锥O5O4、一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去一个圆锥O2O1组成的．。

2018版高中数学第一章立体几何初步 1.1.1 棱柱、棱锥和棱台学业分层测评苏教版必修2

1.1.1 棱柱、棱锥和棱台(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．下列说法中正确的个数是________．①棱柱的面中，至少有两个面互相平行；②棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面；③棱柱中一条侧棱的长叫做棱柱的高；④棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形．【解析】棱柱的面中，有两个底面，所以至少有两个面互相平行，故①正确．棱柱中两个互相平行的平面可能是棱柱的侧面，②错误．棱柱中一条侧棱的长不一定是棱柱的高，③错误．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面可能是平行四边形，④错误．【答案】 12．下面图形所表示的几何体中，不是棱锥的为____．(填序号)图1－1－11【解析】结合棱锥的定义可知，①不符合其定义，故填①.【答案】①3．在正方体上任意选择4个顶点，它们可以确定的几何图形或几何体为________．(写出所有正确结论的编号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．【解析】在正方体ABCD－A1B1C1D1上任意选择4个顶点，它们可以确定：①矩形，如四边形ACC1A1；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如A－A1BD；④每个面都是等边三角形的四面体，如A－CB1D1；⑤每个面都是直角三角形的四面体，如A －A1DC，所以填①③④⑤.【答案】①③④⑤4．一个无盖的正方体盒子展开后的平面图形如图1－1－12所示，A，B，C是展开图上的三点，在正方体盒子中三角形ABC的形状为__________．(“等边三角形”“等腰三角形”或“直角三角形”)图1－1－12【解析】由题图知，分别连接A ，B ，C 三点，AB ，BC ，CA 是正方体盒子的面对角线，所以△ABC 为等边三角形．【答案】等边三角形5．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm ，则每条侧棱长为________ cm.【解析】由棱柱有10个顶点知此棱柱有5条侧棱，又棱柱侧棱长相等，故每条侧棱长为12 cm.【答案】 126．一个截面经过棱锥各条侧棱的中点，则截得棱台的上、下底面积之比是________.【导学号：41292004】【解析】如图，由于A 1是SA 的中点，则SA 1SA ＝12＝A 1B 1AB，故S 上底面S 下底面＝⎝ ⎛⎭⎪⎫A 1B 1AB 2＝14. 【答案】 1∶47．某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图1－1－13)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为________．图1－1－13【解析】两个☆不能并列相邻，②④错误；两个※不能并列相邻，③错误，故选①.也可通过实物制作检验来判定．【答案】①8．所有棱长都相等的正四棱锥和正三棱锥的一个面重合后暴露的面的个数为________个．【解析】如图(1)(2)所示分别是所有棱长都相等的正四棱锥和正三棱锥．图(3)是它们拼接而成的一个几何体．故暴露的面数为7个．(1) (2) (3)【答案】7二、解答题9．观察图1－1－14中的几何体，分析它们是由哪些基本几何体组成的．(1) (2) (3)图1－1－14【解】图(1)是由一个四棱柱在它的上、下底面上向内挖去一个三棱柱组成的几何体．图(2)是由一个四棱柱和一个底面与四棱柱上底面重合的四棱锥组成．图(3)是一个三棱台和一个上底面与三棱台的下底面重合的三棱柱组成．10．如图1－1－15，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.图1－1－15问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？(3)每个面的三角形面积为多少？【解】 (1)如图，折起后的几何体是三棱锥．(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF 为等腰三角形，△PEF 为等腰直角三角形，△DPE 和△DPF 均为直角三角形．(3)S △PEF ＝12a 2，S △DPF ＝S △DPE ＝12×2a ×a ＝a 2，S △DEF ＝S 正方形ABCD －S △PEF －S △DPF －S △DPE ＝(2a )2－12a 2－a 2－a 2＝32a 2. [能力提升]1．在正五棱柱中，不在同一侧面且不在同一底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线有________条.【导学号：41292005】【解析】正五棱柱任意不相邻的两条侧棱可确定一个平面，每个平面可得到正五棱柱的两条对角线，5个平面共可得到10条对角线．【答案】 102．用一个平面去截一个几何体，如果截面是三角形，则这个几何体可能是__________．【解析】用平行于底面的平面去截三棱柱，截面是三角形，用同样的方法去截三棱锥、三棱台，所得截面均为三角形．【答案】答案不唯一，如三棱锥、三棱柱、三棱台等3．如图1－1－16，M 是棱长为2 cm 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，沿正方体表面从点A 到点M 的最短路程是________ cm.图1－1－16【解析】由题意，若以BC 为轴展开，则A ，M 两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm,3 cm ，故两点之间的距离是13 cm.若以BB 1为轴展开，则A ，M 两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1 cm,4 cm ，故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从点A 到点M 的最短路程是13 cm.【答案】134．如图1－1－17所示，已知三棱台ABC－A′B′C′.图1－1－17(1)把它分成一个三棱柱和一个多面体，并用字母表示；(2)把它分成三个三棱锥并用字母表示．【解】(1)如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′－AB″C″，多面体是B′C′－BCC″B″.(2)如图②所示，三个三棱锥分别是A′－ABC，B′－A′BC，C′－A′B′C.①②。

2018版高中数学第一章立体几何初步 1.1.4 投影与直观图学业分层测评新人教B版必修2

1.1.4 投影与直观图学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′等于( )A.45°B.135°C.45°或135°D.90°【解析】在画直观图时，∠A′的两边依然分别平行于x′轴、y′轴，而∠x′O′y′＝45°或135°.【答案】 C2.由斜二测画法得到：①相等的线段和角在直观图中仍然相等；②正方形在直观图中是矩形；③等腰三角形在直观图中仍然是等腰三角形；④菱形的直观图仍然是菱形.上述结论正确的个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】只有平行且相等的线段在直观图中才相等，而相等的角在直观图中不一定相等，如角为90°，在直观图中可能是135°或45°，故①错，由直观图的斜二测画法可知②③④皆错.故选A.【答案】 A3.如图1155为一平面图形的直观图的大致图形，则此平面图形可能是( )图1155A B C D【解析】根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形，且在直观图中平行于y′轴的边与底边垂直.【答案】 C4.已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图1156所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC中∠ABC的大小是( )图1156A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】根据斜二测画法可知△ABC中，BC＝2，AO＝3，AO⊥BC，∴AB＝AC＝12＋32＝2，故△ABC是等边三角形，则∠ABC＝60°.【答案】 C5.下列说法：①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；②空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线；③两条相交直线的平行投影是两条相交直线.其中正确的个数为( )A.0B.1C.2D.3【解析】二、填空题6.下列图形：①线段；②直线；③圆；④梯形；⑤长方体.其中投影不可能是线段的是________.【解析】根据投影的定义知②⑤不可能.【答案】②⑤7.如图1157所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，由斜二测画法，画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，则在直观图中梯形的高为________.图1157【解析】按斜二测画法，得梯形的直观图O ′A ′B ′C ′，如图所示，原图形中梯形的高CD ＝2，在直观图中C ′D ′＝1，且∠C ′D ′E ′＝45°，作C ′E ′垂直于x ′轴于E ′，则C ′E ′＝C ′D ′·sin 45°＝22. 【答案】228.如图1158甲所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1，C 1D 1的中点，G是正方形BCC 1B 1的中心，则四边形AGFE 在该正方体的各个面上的正投影可能是乙中的________.甲① ② ③ ④乙图1158【解析】在面ABCD 和面A 1B 1C 1D 1上的正投影是图乙①；在面ADD 1A 1和面BCC 1B 1上的正投影是图乙②；在面ABB 1A 1和面DCC 1D 1上的正投影是图乙③.【答案】 ①②③ 三、解答题9.如图1159，△A ′B ′C ′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形.图1159【解】画法：(1)如图②，画直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；①②(2)在图①中，过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，在图②中，在x轴上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′.(3)连接AB，BC，则△ABC即为△A′B′C′原来的图形，如图②.10.有一个正六棱锥(底面为正六边形，侧面为全等的等腰三角形的棱锥)，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正六棱锥的直观图.【解】(1)先画出边长为3 cm的正六边形的水平放置的直观图，如图①所示；(2)过正六边形的中心O′建立z′轴，在z′轴上截取O′V′＝3 cm，如图②所示；(3)连接V′A′、V′B′、V′C′、V′D′、V′E′、V′F′，如图③所示；(4)擦去辅助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥的直观图，如图④所示.[能力提升]1.如图1160所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是( )图1160A.ABB.ADC.BCD.AC【解析】还原直观图后知，原图形是以AC为斜边的直角三角形ABC，AD是直角边BC的中线，所以AC 最长.【答案】 D2.水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图1161所示，已知B ′C ′＝4，A ′C ′＝3，则△ABC 中AB 边上的中线的长度为( )图1161A.732B.73C.5D.52【解析】由斜二测画法规则知△ABC 是∠ACB 为直角的三角形，其中AC ＝3，BC ＝8，AB ＝73，所以AB 边上的中线长为732. 【答案】 A3.如图1162，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6，O ′C ′＝2，则原图形OABC 的面积为________.图1162【解析】易知原图形OABC 是平行四边形，且OA ＝BC ＝6，平行四边形的高为OE ，则OE ×12×22＝O ′C ′. ∵O ′C ′＝2，∴OE ＝42， ∴S ▱OABC ＝6×42＝24 2. 【答案】 24 24.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD ，如图1163所示，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，求原平面图形的面积.图1163【解】过A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，又∵DC ⊥BC 且AD ∥BC ，∴四边形ADCE 是矩形，∴EC ＝AD ＝1，由∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1知BE ＝22， ∴原平面图形是梯形且上下两底边长分别为1和1＋22，高为2， ∴原平面图形的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋22×2＝2＋22.。

2018版高中数学第一章立体几何初步 1.2.3 第2课时平面与平面垂直学业分层测评新人教b版必修2

1.2.3 第2课时平面与平面垂直学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是( )A.相交B.异面C.平行D.不确定【解析】因为l⊥AB，l⊥AC且AB∩AC＝A，所以l⊥平面ABC.同理可证m⊥平面ABC，所以l∥m，故选C.【答案】 C2.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面.下列命题中正确的是( )A.若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB.若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC.若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD.若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β【解析】A中，m，n可能为平行、垂直、异面直线；B中，m，n可能为异面直线；C 中，m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立.【答案】 D3.已知平面α、β和直线m、l，则下列命题中正确的是( )【导学号：45722059】A.若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥βB.若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥βC.若α⊥β，l⊂α，则l⊥βD.若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β【解析】选项A缺少了条件l⊂α；选项B缺少了条件α⊥β；选项C缺少了条件α∩β＝m，l⊥m；选项D具备了面面垂直的性质定理的全部条件.故选D.【答案】 D4.如图1265所示，PA⊥矩形ABCD，下列结论中不正确的是( )图1265A.PD⊥BDB.PD⊥CDC.PB⊥BCD.PA⊥BD【解析】若PD⊥BD，则BD⊥平面PAD，又BA⊥平面PAD，则过平面外一点有两条直线与平面垂直，不成立，故A不正确；因为PA⊥矩形ABCD，所以PA⊥CD，AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，所以PD⊥CD，同理可证PB⊥BC.因为PA⊥矩形ABCD，所以由直线与平面垂直的性质得PA⊥BD.故选A.【答案】 A5.如图1266所示，三棱锥PABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是( )图1266A.一条线段B.一条直线C.一个圆D.一个圆，但要去掉两个点【解析】∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC⊂平面PAC，∴AC⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC.∴∠ACB＝90°.∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点.【答案】 D二、填空题6.如图1267所示，在三棱锥P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°，F 是AC 的中点，E 是PC 上的点，且EF ⊥BC ，则PEEC＝________.图1267【解析】在三棱锥P ABC 中，因为PA ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°，所以AB ⊥平面APC . 因为EF ⊂平面PAC ，所以EF ⊥AB ，因为EF ⊥BC ，BC ∩AB ＝B ，所以EF ⊥底面ABC ，所以PA ∥EF ，因为F 是AC 的中点，E 是PC 上的点，所以E 是PC 的中点，所以PE EC＝1. 【答案】 17.如图1268所示，平面α⊥平面β，在α与β交线上取线段AB ＝4，AC ，BD 分别在平面α和β内，AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AC ＝3，BD ＝12，则CD ＝________.图1268【解析】连接BC .∵BD ⊥AB ，α⊥β，α∩β＝AB ，∴BD ⊥α.∵BC⊂α，∴BD ⊥BC ，∴△CBD 是直角三角形.在Rt△BAC 中，BC ＝32＋42＝5. 在Rt△CBD 中，CD ＝52＋122＝13. 【答案】 138.如图1269所示，在三棱锥P ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，∠PCA ＝90°，△ABC 是边长为4的正三角形，PC ＝4，M 是AB 边上的一动点，则PM 的最小值为________.【导学号：45722060】图1269【解析】连接CM，则由题意知PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝PC2＋CM2，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时，CM有最小值，此时有CM＝4×32＝23，所以PM的最小值为27.【答案】27三、解答题9.如图1270所示，三棱锥PABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.图1270【证明】∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC.又BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB.又BC⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC.10.如图1271所示，△ABC是边长为2的正三角形.若AE＝1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD＝CD，且BD⊥CD.图1271(1)求证：AE∥平面BCD；(2)求证：平面BDE⊥平面CDE.【证明】(1)取BC的中点M，连接DM，因为BD＝CD，且BD⊥CD，BC＝2.所以DM＝1，DM⊥BC.又因为平面BCD⊥平面ABC，所以DM⊥平面ABC，又AE⊥平面ABC，所以AE∥DM.又因为AE⊄平面BCD，DM⊂平面BCD，所以AE∥平面BCD.(2)由(1)知AE∥DM，又AE＝1，DM＝1，所以四边形DMAE是平行四边形，所以DE∥AM.连接AM，易证AM⊥BC，因为平面BCD⊥平面ABC，所以AM⊥平面BCD，所以DE⊥平面BCD.又CD⊂平面BCD，所以DE⊥CD.因为BD⊥CD，BD∩DE＝D，所以CD⊥平面BDE.因为CD⊂平面CDE，所以平面BDE⊥平面CDE.[能力提升]1.用a，b，c表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a∥b，a∥c，则b∥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.其中真命题的序号是( )A.①②B.②③C.①④D.②④【解析】对于①，正方体从同一顶点引出的三条直线a，b，c，满足a⊥b，b⊥c，但是a⊥c，所以①错误；对于②，若a∥b，a∥c，则b∥c，满足平行线公理，所以②正确；对于③，平行于同一平面的两条直线的位置关系可能是平行、相交或者异面，所以③错误；对于④，由垂直于同一平面的两条直线平行，知④正确.故选D.【答案】 D2.如图1272所示，在三棱锥DABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是( )图1272A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABD⊥平面BCDC.平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED.平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE【解析】因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.【答案】 C3.如图1273所示，边长为2a的正△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED 是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，现给出下列结论，其中正确的结论有________.(填上所有正确结论的序号)图1273①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；②三棱锥A′FED的体积有最大值；③恒有平面A′GF⊥平面BCED；④异面直线A′E与BD不可能互相垂直.【解析】因为DE⊥A′G，DE⊥GF，A′G∩GF＝G，所以DE⊥平面A′GF，又DE⊂平面BCED，所以平面A′GF⊥平面BCED，故③正确.过A′作A′H⊥AF，垂足为H，则A′H⊂平面A′GF，所以A′H⊥DE，又DE∩AF＝G，所以A′H⊥平面ABC，故①正确.三棱锥A′FED的底面△FED的面积是定值，高是点A′到平面FED的距离.易证当A′G⊥平面FED时距离(即高)最大，三棱锥A′FED的体积最大，故②正确.易知BD∥EF，所以∠A′EF是异面直线A′E与BD所成的角.正△ABC的边长为2a，AE ＝a，EF＝a，而A′F的长度的取值范围是(0, 3a)，当A′F＝2a时，A′E2＋EF2＝A′F2，∠A′EF＝90°，此时直线A′E与BD互相垂直，故④错误.【答案】①②③4.如图1274所示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E为AD的中点，F为B1C1的中点.(1)求证：A1F∥平面ECC1；(2)在CD上是否存在一点G，使BG⊥平面ECC1？若存在，请确定点G的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.【导学号：45722061】图1274【解】(1)如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，取BC的中点M，连接AM，FM，所以B1F∥BM且B1F＝BM，所以四边形B1FMB是平行四边形，所以FM∥B1B且FM＝B1B.因为FM∥A1A且FM＝A1A，所以四边形AA1FM是平行四边形，所以A1F∥AM.因为E为AD的中点，所以AE∥MC且AE＝MC.所以四边形AMCE是平行四边形.所以CE∥AM，所以CE∥A1F.因为A1F⊄平面ECC1，EC⊂平面ECC1，所以A1F∥平面ECC1.(2)在CD上存在一点G，使BG⊥平面ECC1.取CD的中点G，连接BG，如图.在正方形ABCD中，DE＝EC，CD＝BC，∠ADC＝∠BCD，所以△CDE≌△BCG，所以∠ECD＝∠GBC.因为∠CGB＋∠GBC＝90°，所以∠CGB＋∠DCE＝90°，所以BG⊥EC.因为CC1⊥平面ABCD，BG⊂平面ABCD，所以CC1⊥BG.又EC∩CC1＝C，所以BG⊥平面ECC1.故当G为CD的中点时，满足BG⊥平面ECC1.。

2018版高中数学第一章立体几何初步 1.1.1 构成空间几何体的基本元素学业分层测评新人教B

1.1.1 构成空间几何体的基本元素学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.下列说法正确的是( )A.水平放置的平面是大小确定的平行四边形B.平面ABCD就是四边形ABCD的四条边围起来的部分C.一条直线和一个平面一定会有公共点D.通常把平行四边形的锐角画成45°，一般根据需要也可画成90°，60°，30°，…【解析】A平面不是平行四边形；B平面是无限延展的；C直线与平面平行时没有公共点，故A、B、C都不对.【答案】 D2.如图118，平面α，β，γ可将空间分成( )图118A.五部分B.六部分C.七部分D.八部分【解析】由平面α，β，γ的位置关系可知，三平面将空间分成六部分，故选B.【答案】 B3.能正确表示点A在直线l上且直线l在平面α内的是( )【解析】选项A只表示点A在直线l上；选项D表示直线l与平面α相交于点A；选项B中的直线l有部分在平行四边形的外面，所以不能表示直线在平面α内，故选C.【答案】 C4.若空间三个平面两两相交，则它们的交线条数是( )A.1或2B.2或3C.1或3D.1或2或3【解析】若三个平面经过同一条直线，则有1条交线；若三个平面不过同一条直线，则有3条交线.【答案】 C5.图119所表示的简单组合体，可由下面某个图形绕虚线旋转而成，这个图形是( )图119【解析】分析题图所表示的几何体可知，该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组合而成的.根据“线动成面”的规律可知形成圆锥可由直角三角形绕一条直角边旋转而成，而圆柱则可由长方形绕其中一边旋转而成，故选C.【答案】 C二、填空题6.给出下列三个命题：①任何一个平面图形都是一个平面；②空间图形中先画的是实线，后画的是虚线；③直线平行移动，不但可以形成平面，也可以形成曲面.其中正确命题的序号是________.【解析】任何一个平面图形都只是平面的一部分，故①错；画图时，看得见的画实线，看不见的画虚线，与先后顺序无关，故②错；③正确.【答案】③7.在如图1110所示的长方体ABCD－A′B′C′D′中，互相平行的平面共有________对，与A′A垂直的平面是________.图1110【解析】面ABCD与面A′B′C′D′平行，面ABB′A′与面CDD′C′平行，面ADD′A′与面BCC′B′平行，共3对.与AA′垂直的平面是面ABCD，面A′B′C′D′.【答案】 3 面ABCD、面A′B′C′D′8.水平放置的正方体的六个面分别用前面、后面、上面、下面、左面、右面表示，图1111是一个正方体的表面展开图，若图中“努”在正方体的后面上，那么这个正方体的前面上的字是________.图1111【解析】如图折叠可知，“努”与“有”是互为对面上的两个字，“力”与“收”是互为对面上的两个字，“定”与“获”是互为对面上的两个字.【答案】有三、解答题9.请给下列各图补上适当的虚线，使它们能比较直观地看出是立体图形.①②③图1112【解】图①可看成平面β被α挡住一部分；图②可看成三棱锥；图③可看成是一个正方体，添加虚线即可.①②③10.试指出下列各几何体的基本元素(如图1113)：①②③④图1113【解】①中几何体有6个顶点，12条棱和8个三角形面；②中几何体有12个顶点，18条棱和8个面；③中几何体有6个顶点，10条棱和6个面；④中几何体有2条曲线，3个面(2个圆面和1个曲面).[能力提升]1.下列四个长方体中，由如图1114中的纸板折成的是( )图1114【解析】根据题图中纸板的折叠情况及特殊面的阴影部分可以判断答案A.【答案】 A2.如图1115，一个正方体去掉一个“角”后减少了一个顶点，这个几何图形是________(填序号).图1115【解析】正方体共有8个顶点，去掉一个“角”后减少了一个顶点即有7个顶点.【答案】③3.下列关于长方体的说法中，正确的是________.①长方体中有3组对面互相平行；②长方体ABCD－A1B1C1D1中，与AB垂直的只有棱AD，BC和AA1；③长方体可看成是由一个矩形平移形成的；④长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD1平行且相等.【解析】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，故①正确；与AB垂直的棱除了AD，BC、AA1外，还有B1C1，A1D1，BB1，CC1和DD1，故②错误；这个长方体可看成由它的一个面ABCD上各点沿竖直方向向上移动相同距离AA1所形成的几何体，故③正确；棱AA1，BB1，CC1，DD1的长度是长方体中面ABCD和面A1B1C1D1的距离，因此它们平行且相等，故答案是①③④.【答案】①③④4.如图1116是边长为1 m的正方体，有一蜘蛛潜伏在A处，B处有一小虫被蜘蛛网粘住，请制作出实物模型，将正方体剪开，描述蜘蛛爬行的最短路线.图1116【解】制作实物模型(略).通过正方体的展开图(如图所示).可以发现，AB间的最短距离为A、B两点间的线段的长，为22＋12＝5.由展开图可以发现，C点为其中一条棱的中点.爬行的最短路线如图(1)～(6)所示.。

2018版高中数学第一章立体几何初步 1.3.2 空间几何体的体积学业分层测评苏教版必修2

1.3.2 空间几何体的体积(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．若正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为1，则此正三棱锥的体积为__________．【解析】设此正三棱锥的高为h ，则h 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×22＝1，所以h 2＝13，h ＝33，故此三棱锥的体积V ＝13×34×(2)2×33＝16.【答案】 162．一个正四棱台形油槽可以装煤油190 L ，假如它的上、下底边长分别等于60 cm 和40 cm ，它的深度是________ cm.【解析】设深度为h ，则V ＝h3(402＋40×60＋602)，即190 000＝h3×7 600，所以h ＝75.【答案】 753．如图1－3－11，已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a ，最小值为b ，那么圆柱被截后剩下部分的体积是________.图1－3－11【解析】将该几何体补上一个同样的几何体，变为一个高为a ＋b 的圆柱，则所求几何体的体积为V ＝V 圆柱2＝12×πr 2·(a ＋b )＝πa ＋b r 22.【答案】πa ＋b r 224．现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为______．【解析】设新的底面半径为r ，由题意得13×π×52×4＋π×22×8＝13×π×r 2×4＋π×r 2×8， ∴r 2＝7，∴r ＝7. 【答案】75．在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为________．【解析】过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π·AB 2·BC －13·π·CE 2·DE ＝π×12×2－13π×12×1＝5π3. 【答案】5π36．将一铜球放入底面半径为16 cm 的圆柱形玻璃容器中，水面升高了9 cm ，则这个铜球的半径为__________cm.【解析】设铜球的半径为R cm ，则有43πR 3＝π×162×9，解得R ＝12.【答案】 127．如图1－3－12，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，如果AB ＝AC ＝13，BB 1＝BC ＝6，E ，F 为侧棱AA 1上的两点，且EF ＝3，那么多面体BB 1C 1CEF 的体积为________．图1－3－12【解析】在△ABC 中，BC 边上的高h ＝132－32＝2，V 柱＝12BC ·h ·BB 1＝12×6×2×6＝36，∴V E －ABC ＋VF －A 1B 1C 1＝16V 柱＝6，故VBB 1C 1CEF ＝36－6＝30.【答案】 308．如图1－3－13所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，剪去△AOB ，将剩余部分沿OC ，OD 折叠，使OA ，OB 重合，则以A (B )，C ，D ，O 为顶点的四面体的体积是__________．图1－3－13【解析】显然，折叠后OA 是该四面体的高，且OA 为22，而△COD 的面积为4，所以四面体的体积为823.【答案】823二、解答题9．如图1－3－14所示，A 为直线y ＝33x 上的一点，AB ⊥x 轴于点B ，半圆的圆心O ′在x 轴的正半轴上，且半圆与AB ，AO 相切，已知△ABO 绕x 轴旋转一周形成的几何体的体积为93π，求阴影部分旋转成的几何体的体积．图1－3－14【解】阴影部分绕x 轴旋转一周所得几何体是圆锥挖去一个内切球．其体积为V ＝V圆锥－V 球．设A 点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x ，13xy 2π＝93π，解得⎩⎨⎧x ＝33，y ＝3.于是∠AOB ＝30°，从而OO ′＝2R ， 3R ＝x ＝33，R ＝ 3.∴V ＝93π－43πR 3＝93π－43π(3)3＝53π.10．如图1－3－15，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置．图1－3－15(1)证明：AC ⊥HD ′；(2)若AB ＝5，AC ＝6，AE ＝54，OD ′＝22，求五棱锥D ′－ABCFE 的体积．【解】 (1)证明：由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD . 又由AE ＝CF 得AE AD ＝CF CD，故AC ∥EF .由此得EF ⊥HD ，故EF ⊥HD ′，所以AC ⊥HD ′.(2)由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝14.由AB ＝5，AC ＝6得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4.所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3. 于是OD ′2＋OH 2＝(22)2＋12＝9＝D ′H 2，故OD ′⊥OH .由(1)知AC ⊥HD ′，又AC ⊥BD ，BD ∩HD ′＝H ，所以AC ⊥平面BHD ′，于是AC ⊥OD ′.又由OD ′⊥OH ，AC ∩OH ＝O ，所以OD ′⊥平面ABC .又由EF AC ＝DH DO 得EF ＝92.五边形ABCFE 的面积S ＝12×6×8－12×92×3＝694.所以五棱锥D ′－ABCFE 的体积V ＝13×694×22＝2322.[能力提升]1．一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．【解析】设正六棱锥的高为h ，侧面的斜高为h ′. 由题意，得13×6×12×2×3×h ＝23，∴h ＝1，∴斜高h ′＝12＋32＝2，∴S 侧＝6×12×2×2＝12.【答案】 122．若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r ，R ，则球的表面积为________．【解析】法一：如图，设球的半径为r 1，则在Rt △CDE 中，DE ＝2r 1，CE ＝R －r ，DC ＝R ＋r .由勾股定理得4r 21＝(R ＋r )2－(R －r )2，解得r 1＝Rr .故球的表面积为S 球＝4πr 21＝4πRr .法二：如图，设球心为O ，球的半径为r 1，连结OA ，OB ，则在Rt △AOB 中，OF 是斜边AB 上的高．由相似三角形的性质得OF 2＝BF ·AF ＝Rr ，即r 21＝Rr ，故r 1＝Rr ，故球的表面积为S 球＝4πRr .【答案】 4πRr3．如图1－3－16，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E 是AB 的中点，D 是AA 1的中点，则三棱锥D －B 1C 1E 的体积与三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积之比是__________.图1－3－16【解析】设C 1到平面A 1B 的距离为h ，由已知得，S △DB 1E ＝38AB ·A 1A ，所以V 三棱锥D －B 1C 1E ＝13S △DB 1Eh ＝13×38·AB ·A 1A ·h ＝18AB ·A 1A ·h ＝14VABC －A 1B 1C 1，即V 三棱锥D －B 1C 1E ∶VABC －A 1B 1C 1＝1∶4.【答案】 1∶44．如图1－3－17，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．图1－3－17(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．【解】 (1)交线围成的正方形EHGF 如图所示．(2)如图，作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8. 因为四边形EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，AH ＝10，HB ＝6. 故S 四边形A 1EHA ＝12×(4＋10)×8＝56，S 四边形EB 1BH ＝12×(12＋6)×8＝72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为97⎝ ⎛⎭⎪⎫79也正确.。

2018版高中数学第一章立体几何初步 1.2.1 平面的基本性质学业分层测评苏教版必修2

1.2.1 平面的基本性质(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．经过空间任意三点可以作________个平面．【解析】若三点不共线，只可以作一个平面；若三点共线，则可以作出无数个平面．【答案】一个或无数2．下面是四个命题的叙述(其中A，B表示点，a表示直线，α表示平面)：①∵A⊂α，B⊂α，∴AB⊂α；②∵A∈α，B∈α，∴AB∈α；③∵A∉α，a⊂α，∴A∉a.其中，命题叙述方式和推理都正确的命题是________．【解析】①错，应写为A∈α，B∈α；②错，应写为AB⊂α；③正确．【答案】③3．空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中________.①必有三点共线；②必有三点不共线；③至少有三点共线；④不可能有三点共线．【解析】如图(1)(2)所示，①③④均不正确，只有②正确，如图(1)中A，B，D不共线．(1) (2)【答案】②4．设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M________l.【解析】因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.【答案】∈5．如图1－2－10所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的是________．图1－2－10①A，M，O三点共线；②A，M，O，A1四点共面；③A，O，C，M四点共面；④B，B1，O，M四点共面．【解析】因为A，M，O三点既在平面AB1D1内，又在平面AA1C内，故A，M，O三点共线，从而易知①②③均正确．【答案】④6．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________．【解析】∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD.∵l∩α＝O，∴O∈α.又∵O∈AB⊂β，∴O∈直线CD，∴O，C，D三点共线．【答案】共线7．如图1－2－11所示的正方体中，P，Q，M，N分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形是________．(把正确图形的序号都填上)图1－2－11【解析】图形①中，连结MN，PQ，则由正方体的性质得MN∥PQ.根据推论3可知两条平行直线可以确定一个平面，故图形①正确．分析可知图形②④中这四点均不共面．③中四点恰是正六边形的四点，故③正确．【答案】①③8．如图1－2－12所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1C与平面BDPQ的交线是__________.图1－2－12【解析】因为N∈平面A1C，且N∈平面BDPQ；同理M∈平面A1C，且M∈平面BDPQ，所以平面A1C与平面BDPQ的交线是MN.【答案】MN二、解答题9.如图1－2－13，点A∉平面BCD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH与FG交于点K，求证：点K在直线BD上．图1－2－13【证明】∵EH∩FG＝K，∴K∈EH，K∈FG.∵E∈AB，H∈AD，∴EH⊂平面ABD，∴K∈平面ABD.同理，K∈平面BCD.又∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴K在直线BD上．10．如图1－2－14，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：D1，E，F，B共面．图1－2－14【证明】因为D1，E，F三点不共线，所以D1，E，F三点确定一个平面α.由题意得，D1E与DA共面于平面A1D且不平行，如图．分别延长D1E与DA相交于G，所以G∈直线D1E，所以G∈平面α.同理设直线D1F与DC 的延长线交于H，则H∈平面α.又点G，B，H均在平面AC内，且点E是AA1的中点，AA1∥DD1，所以AG＝AD＝AB，所以△AGB为等腰三角形，所以∠ABG＝45°.同理∠CBH＝45°.又∠ABC＝90°，所以G，B，H 共线于GH，又GH⊂平面α，所以B∈平面α，所以D1，E，F，B共面．[能力提升]1．如图1－2－15，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是_______．图1－2－15【解析】因D，E两点都在α内，也都在平面ABC内，故DE是△ABC与平面α的交线．又∵P在α内，也在平面ABC内，故P点在△ABC与平面α的交线DE上．【答案】P∈DE2．平面α∩平面β＝l，点M∈α，N∈α，点P∈β且P∉l，又MN∩l＝R，过M，N，R三点所确定的平面记为γ，则β∩γ＝________.【解析】如图，MN⊂γ，R∈MN，∴R∈γ.又R∈l，∴R∈β.又P∈γ，P∈β，∴β∩γ＝PR.【答案】直线PR3．正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么过P，Q，R的截面图形是__________．【解析】如图所示，取C1D1的中点E，连结RE，RE綊PQ，∴P，Q，E，R共面．再取BB 1，DD 1的中点F ，G .∵PF ∥AB 1∥QR 且GE ∥C 1D ∥QR ，∴GE ∥PF ，综上E ，G ，F ，P ，Q ，R 共面， ∴截面图形为正六边形．【答案】正六边形4．在棱长是a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AA 1，D 1C 1的中点，过D ，M ，N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线l .(1)画出交线l ；(2)设l ∩A 1B 1＝P ，求PB 1的长； (3)求点D 1到l 的距离．【解】 (1)如图，延长DM 交D 1A 1的延长线于点Q ，则点Q 是平面DMN 与平面A 1B 1C 1D 1的一个公共点．连结QN ，则直线QN 就是两平面的交线l .(2)∵M 是AA 1的中点，MA 1∥DD 1， ∴A 1是QD 1的中点．又∵A 1P ∥D 1N ，∴A 1P ＝12D 1N .∵N 是D 1C 1的中点，∴A 1P ＝14D 1C 1＝a4，∴PB 1＝A 1B 1－A 1P ＝34a .(3)过点D 1作D 1H ⊥PN 于点H ，则D 1H 的长就是点D 1到l 的距离． ∵QD 1＝2A 1D 1＝2a ，D 1N ＝a2，∴QN ＝QD 21＋D 1N 2＝172a ，∴D 1H ＝D 1Q ·D 1NQN ＝2a ·a2172a ＝21717a ，即点D 1到l 的距离是21717a .。

2018版高中数学立体几何初步1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球学业分层测评新人教B版

1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球1

2018版高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球学业分层测评 新人教b版必修2

18版高中数学第一章立体几何初步1.2.3第1课时直线与平面垂直学业分层测评新人教B版必修2

[配套K12]2018版高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球学案(含解析)新人教B版必修2

高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球同步练习(含解析)新人教B版必修2(