惠州市2021届第三次调研考试数学试题

惠州市2021届高三第三次调研考试
数学试题
全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上．
2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效．
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，作图题可先用铅笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．设集合{}=1,0,1,2A −，集合{128}x B x =≤≤，则A
B =（ ）．
A ．{}1,1−
B ．{}0,1,2
C ．{}1,2,3
D ．{}1,2
2．已知复数
z =
（其中i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）． A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为BC 的中点，则AE BD ⋅＝（ ）．
A ．2−
B ．0
C ．
1
2
D ．2 4．2020年4月30日，我国的5G 信号首次覆盖了海拔超过8000米的珠穆朗玛峰峰顶和北坡登山路线。

为了保证中国登山队测量珠峰高程的顺利直播，现从甲、乙、丙、丁这4名技术人员中随机安排3人分别去往北坡登山路线中标记为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的3个崎岖路段进行信号检测，若甲没有安排去往标记为Ⅰ的崎岖路段，则不同的安排方法共有（ ）． A ．12种
B ．18种
C ．24种
D ．6种
5．若双曲线22
22:1(0,0)x y E a b a b
−=>>的一条渐近线被圆22(2)4x y −+=所截得的弦
长为23，则双曲线E 的离心率是（ ）． A ．2或
23
3
B ．3
C ．
63
D ．
23
3
6．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．右图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形ABCD 内部为 “赵爽弦图”，正方形ABCD 外部四个阴影部分的三角形称为“风叶”．现从该“数学风车”的8个顶点中任取2个顶点，则2个顶点取自同一片“风叶”的概率为（ ）． A ．
3
7
B ．
47
C ．
314
D ．
1114
7．若函数()sin(2)f x A x ϕ=+(0A >，02
π
ϕ<<)的部分图象如下图所示，则下列叙
述正确的是（ ）．
A ．函数()f x 的图象可由sin 2y A x =的图象向左平移6
π
个单位得到 B ．函数()f x 的图象关于直线3
x π
=对称
C ．,012π⎛⎫
−
⎪⎝⎭
是函数()f x 图象的一个对称中心 D ．函数()f x 在区间,33ππ⎡⎤
−
⎢⎥⎣⎦
上单调递增 8．已知 2.12a =，22.1b =，4ln 2.1c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）．
A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．b a c >>
D ．c b a >>
x
y
O 2
二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 1＞0，d ＜0，则下列结论正确的有（ ）．
A ．数列{}n a 单调递减
B ．数列{}n a 有最大值
C ．数列{}n S 单调递减
D ．数列{}n S 有最大值
10．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，过点F 的直线与抛物
线交于,P Q 两点，O 为坐标原点，则下列结论中成立的有（ ）． A ．抛物线C 的准线方程为1y =− B ．线段PQ 长度的最小值为4 C ．2OPQ S ∆≥
D ．3OP OQ ⋅=−
11．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D −，若AB BC =，E 、
F 分别是1AB 、1BC 的中点，则下列结论中成立的有（ ）． A ．EF ⊥1BB
B ．EF ⊥平面11BDD B
C ．EF 与1C
D 所成的角为45︒
D ．//EF 平面1111D C B A
12．函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()1x
f x e
x −=−，下列结论正确
的有（ ）．
A ．当0x <时，()()1x
f x e x =+
B ．函数()f x 有且仅有3个零点
C ．若2m e −≤，则方程()f x m =在0x >上有解
D ．12,x x R ∀∈，()()212f x f x −<恒成立
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一空2分，第二空3分。

13．已知cos(
)6
3
π
α+=
，则5cos()6πα−=______． 14．设随机变量ξ服从正态分布2
(1,)N σ，若(2)0.8P ξ<=，则(02)P ξ<<=____．
15．写出一个包含有x
e 的偶函数()
f x = ．
16．在空间中，定义“点到几何图形的距离”为：这个点到几何图形上各点距离中的最
小值．现有边长为2的正方形ABCD ，则到定点A 距离为1的点围成的几何体的体积为________；该正方形ABCD 区域（包括边界以及内部的点）记为Ω，则到Ω距离等于1的点所围成的几何体的体积为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足22n n S a =−． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设n n b n a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
18．（本小题满分12分）
在ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知7
=
2
c ，ABC ∆的面积为
，且)tan tan tan tan 1A B A B +⋅−． （1）求角C 的大小； （2）求a b +的值．
华为手机作为全球手机销量第二位，一直深受消费者喜欢．惠州某学校学习小组为了研究手机用户购买新手机时选择华为品牌是否与年龄有关系，于是随机调查100个2020年购买新手机的人，得到如下不完整的列联表．定义用户年龄30岁以下为“年轻用户”，30岁以上为“非年轻用户”．
（1）请将列联表填充完整，并判断是否至少有90%的把握认为购买手机时选择华为与年龄有关？
（2）若从购买华为手机用户中采取分层抽样的方法抽出9人，再从中随机抽取3人，其中年轻用户的人数记为X，求X的分布列和数学期望．
附：
()
()()()()
2
2
n ad bc
K
a b c d a c b d
−
=
++++
.
已知边长为3的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1（如图），现用一个平面α截该正方体，平面α与棱AA 1、AB 、BC 分别交于点E 、F 、G ．若A 1E =2EA ，AF =2FB ，CG =2GB ．
（1）求面α与面ABCD 所成锐二面角的余弦值； （2）请在答题卷的第2个图中作出截面α与
正方体各面的交线，用字母标识出交线 与棱的交点．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为3
2
，左右顶点分别为A 、B ，右
焦点为2F ，P 为椭圆上异于A 、B 的动点，且2APF ∆面积的最大值为3
12
+． （1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线AP 与y 轴交于M 点，过点A 作BP 的
平行线交y 轴与点N ，试探究是否存在定点Q ， 使得以MN 为直径的圆恒过定点Q ．
22．（本小题满分12分）
已知函数()ln sin f x x x x a =−++．
（1）求()f x 的导函数()f x '在()0,π上的零点个数； （2）求证：当[]1,3a ∈时，()f x 有且仅有2个不同的零点．
A
B
y
M
N
P F 2
O
x
A
B
1
A 1
B C
1
C D
1
D E F
G。