数学角平分线(2)

A ∴OF=OE 在Rt△BED和Rt △CFD中 OF=OE F BD=CD C ∴ Rt△ODP ≌Rt △OEP(HL) • ∴ BE=CF
E
B
D
D C
∵ ∠B=30º ∠C=90º , , B ∴ ∠BAC=60º ， ∵AD是Rt△ABC的角平分线. ∴ ∠BAD=∠DAC=30º ，
∵ ∠C=90º
∴ AD=2CD ∵ ∠B=∠BAD=30º ∴ BD=AD=2CD
独立作业
1
习题1.9
1.已知:如图,∠C=900,
∠B=300,AD是 A Rt△ABC的角平分线. E 求证:BD=2CD.
回忆：
1、角平分线的定义？
如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条 射线叫这个角的角平分线
3、角平分线定理？ 在角平分线上的点到角的两边的距离相等． 3、角平分线的判定？ 在一个角的内部,且到角的两边距离相等 的点,在这个角的平分线上.
性质的应用格式
定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等
怎么证三条直线交于一点
命题:三角形三个角的平分线相交于一点.
基本想法是这样的:我们知道,两条直线相交只有 一个交点.要想证明三条直线相交于一点,只要能 证明两条直线的交点在第三条直线上即可.这时可 以考虑前面刚刚学到的逆定理.
怎么证三条直线交于一点
如图,设△ABC的角平分线BM,CN相交于点P 过点P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别是E,F,D. ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上, ∴PD=PE D F (角平分线上的点到这个角的 N P M 两边距离相等). C 同理,PE=PF. ∴PD=PF. B E ∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部,且到角的两 边距离相等的点,在这个角的平分线上). ∴△ABC的三条角平分线相交于一点P.
用符号语言表示为： ∵∠1= ∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB
D
C P O 1 2 E A
∴PD=PE.
B
常用来证明两条线段相等的根据之一.
判定的应用格式
在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点, 在这个角的平分线上. 几何语言： ∵PD=PE, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E ∴点P在∠AOB的平分线上 D A
O E P
经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)
B
3. 如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB 两边的距离相等.
作法：
E
B
1、作线段CD的中垂线EF
2、作角BOA的角平分线 ON，交直线EF于点P
E
N C● O
D
P
D●
点P即为所求
A
老师期望: 养成用数学解释生活的习惯.
F
4.已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且 BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F. 求证:EB=FC. 证明∵ PD⊥OA,PE⊥OB， ∠BAD= ∠CAD
A
C
O D
∵△COP≌△DOP
∴OC=OD，PC=PD
P B
∴点O，P在线段CD的中垂线 ∴OP是CD的垂直平分线.
4、如图有两条公路相交于A处，现计划修建一个油库，要求到两条公路 的距离相等，那么该如何选择油库的位置？如果再增加一条公路，与这 两条公路都相交，（不经过点A点），那么如何选择油库的位置才能保 证油库到三条公路的距离相等。
建立在角平分线AD上
A
P E 建立在∠ ABC的角平 分线BE与∠ BAC的角 平分线AD的交点P处 C
B
D
在 △ABC中，∠C=90°,∠A=30°作AB的中垂线,交 AB于点D,脚AC于点E,连接BE,则BE平分∠ABC 你有几种证明方法. B D A E
C
4.已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且 BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F. 求证:EB=FC. 证明∵ PD⊥OA,PE⊥OB， ∠BAD= ∠CAD
N
B
老师提示:
这是证明三条直线交于一点的根据之一
三条角平分线的交点内心 三条中垂线的交点外心 三条中线的交点重心
例 如图,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=900,AD是 △ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
(1)如果CD=4cm, 求AC的长;
(2)求证:AB=AC+CD. A
E 考察了 C 1、角平分线性质的应用格式 2、等腰直角三角形的特点 3、勾股定理的应用 B
A
定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这 一点到三边的距离相等.
定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这 一点到三边的距离相等.
A D F P QE M
几何的三种语言
在△ABC中, ∵BM，CN，AQ分别是三个内角的平分线 C ∴BM，CN，AQ相交于一点P,且P到三边的距 离 PD=PE=PF
M
B
N
C
∴FM=FN
又∵CF是∠BCE的角平分线， P 且 FN⊥BC， FP⊥AC， ∴FN=FP E ∴ FM=FN=FP ∵FM⊥AD， FP⊥AC
D
F
∴点F在∠DAE的平分线上.
独立作业
3
习题1.9
3.已知:如图,P是∠AOB平分线上的一点, PC⊥OA,PD⊥OB, 垂足分别C,D. 求证:(1)OC=OD; (2)OP是CD的垂直平分线.
A ∴OF=OE 在Rt△BED和Rt △CFD中 OF=OE F BD=CD C ∴ Rt△ODP ≌Rt △OEP(HL
亲历知识的发生和发展
作一个三角形三个内角的平分线，你发现了什 么？（要求尺规作图）
A N B P M C
结论:三角形三个角的平分线相交于一点 . 你能证明这个命题吗?
B C 过点D作DE⊥AB， D ∵ DC⊥AC， AD是Rt△ABC的角平分线
∴DE=DC
在Rt△BED中， ∠B=30º ， ∴ BD=2DE=2DC，
独立作业
2
习题1.9
2.已知:如图,△ABC的外角∠CBDT和∠BCE的 角平分线相交于点F. 求证:点F在∠DAE的平分线上.
A
过点F分别作FM⊥AD， FN⊥BC， FP⊥AC， ∵BF是∠DBCD的角平分线， 且 FM⊥AD， FN⊥BC
A
∵PC⊥OA,PD⊥OB,
C
O D
∴∠OCP=∠ODP=90º
又∵OP是∠AOB的角平分线， ∴∠COP=∠DOP
P B
在△COP与△DOP中,
∴∠OCP=∠ODP=90º，∠COP=∠DOP，OP=OP ∴△COP≌△DOP , ∴OC=OD
独立作业
3
习题1.9
3.已知:如图,P是∠AOB平分线上的一点, PC⊥OA,PD⊥OB, 垂足分别C,D. 求证:(1)OC=OD; (2)OP是CD的垂直平分线.
D
小结 拓展 定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等 的点,在这个角的平分线上. 定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这 一点到三边的距离相等(这个交点叫做三角形的 内心).
独立作业
1
习题1.9
1.已知:如图,∠C=900,
∠B=300,AD是 Rt△ABC的角平分线. A 求证:BD=2CD.