椭圆习题课
习题课：椭圆第二定义的应用(精)
人教版高二数学上册§8.2 椭圆第二定义的应用(习题课班级姓名自我学习评价 :优良还需努力【学习目标】1. 进一步加深对椭圆第二定义及其性质的认识，会熟练运用椭圆的几何性质和第二定义解决有关问题；2. 通过对椭圆的第二定义的应用，体会和感悟“方程思想”和“数形结合”，“分类讨论”的数学思想方法。
【学习重点】灵活运用椭圆的第二定义及性质解决有关问题。
【学习过程】一、学习准备（知识准备）请独立完成下列填空：1．椭圆的第一定义为：；其中的两点为椭圆的；常数等于椭圆的；2．椭圆第二定义：若平面内的动点M（x，y）到定点F（c，0）的距离和它到定直线的距离的比是常数，则点M 的轨迹为；定直线叫做，准线与长轴所在直线____，椭圆的准线有条.常数，（）是的离心率。
e1时，椭圆趋于；e0时，椭圆趋向于。
3．由椭圆第二定义我们得到了焦半径公式。
设为椭圆上任意一点，对于标准方程的焦半径；；对于标准方程的焦半径；.椭圆第二定义及其性质在解题中有何价值和作用？你知道吗？通过本节课的学习你就会知道了！●基础练习：试一试，你能根据已知很快独立完成下列问题吗？有困难的题可与小组同学讨论。
1、椭圆的准线方程是（）A.； B.； C.； D.2 椭圆的一个焦点到相应准线的距离为，离心率为，则短轴长为（）A BC. D.3 设点P为椭圆上一点，P到左准线的距离为10，则P到右准线的距离为（）A . 6 ；B .8 ； C.10 ； D.154 已知点A（2，y）是椭圆上的点，F是其右焦点，则∣AF∣=；5．椭圆与椭圆〉0）的形状怎样？它们的离心率有何关系？你能否快速求出与椭圆有相同的离心率且经过点（，）的椭圆的方程？其方程为你是用什么方法求解的？。
二、典型例析【探究一】利用椭圆第二定义解题例1：已知椭圆内有一点，为椭圆的右焦点，在椭圆上找一点,使得取得最小值，求最小值和点的坐标。
（提示：。
）可给于一定的提示！●想一想：解决此类问题的关键是。
人教版 高中数学【选修 2-1】2.2.1椭圆及其标准方程课后习题
人教版高中数学精品资料2.2.1 椭圆及其标准方程课时演练·促提升A组1.若F1,F2是两个定点,且|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=8,则点M的轨迹是()A.椭圆B.直线C.圆D.线段解析:由椭圆定义知,点M的轨迹是椭圆.答案:A2.“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:方程可化为=1,表示焦点在y轴上的椭圆时,应满足>0,即m>n>0.所以是充要条件.答案:C3.设P是椭圆=1上一点,P到两焦点F1,F2的距离之差为2,则△PF1F2是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形解析:由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=8.又|PF1|-|PF2|=2,∴|PF1|=5,|PF2|=3.又|F1F2|=2c=2=4,∴|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,∴△PF1F2为直角三角形.答案:B4.已知椭圆的焦点坐标为(0,-1),(0,1),且过点,则椭圆方程为()A.=1B.=1C.+y2=1D.+x2=1解析:由已知椭圆焦点在y轴上,设方程为=1(a>b>0).则2a==4,故a=2.又c=1,则b2=a2-c2=3,故椭圆方程为=1.答案:B5.已知椭圆的焦点是F1,F2,P是椭圆上的一动点,如果延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点Q的轨迹是()A.圆B.椭圆C.直线D.抛物线解析:由题意,得|PF1|+|PF2|=2a(a>0是常数).∵|PQ|=|PF2|,∴|PF1|+|PQ|=2a,即|QF1|=2a,∴动点Q的轨迹是以F1为圆心,2a为半径的圆,故选A.答案:A6.若方程=1表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取值范围是.解析:将方程化为=1,依题意,得8>2-m>0,解得-6<m<2.答案:-6<m<27.若椭圆=1的焦距为6,则k的值为.解析:由已知,得2c=6,∴c=3,∴c2=9,∴20-k=9或k-20=9,∴k=11或k=29.答案:11或298.若椭圆的焦点在y轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为8,焦距为2,则此椭圆的标准方程为.解析:由已知,得2a=8,2c=2,∴a=4,c=,∴b2=a2-c2=16-15=1,故椭圆的标准方程为+x2=1.答案:+x2=19.已知椭圆=1(a>b>0)的焦点分别是F1(0,-1),F2(0,1),且3a2=4b2.(1)求椭圆的方程;(2)设点P在这个椭圆上,且|PF1|-|PF2|=1,求∠F1PF2的余弦值.解:(1)依题意知c=1,又c2=a2-b2,且3a2=4b2,所以a2-a2=1,即a2=1.所以a2=4.因此b2=3.从而椭圆方程为=1.(2)因为点P在椭圆上,所以|PF1|+|PF2|=2a=2×2=4.又|PF1|-|PF2|=1,所以|PF1|=,|PF2|=.又|F1F2|=2c=2,所以由余弦定理,得cos ∠F1PF2==.即∠F1PF2的余弦值等于.10.已知圆A:x2+(y+6)2=400,圆A内有一定点B(0,6),动圆C过点B且与圆A内切,求动圆圆心C的轨迹方程.解:设动圆C的半径为r,则|CB|=r.因为圆C与圆A内切,所以|CA|=20-r,所以|CA|+|CB|=20>12,所以点C的轨迹是以A,B两点为焦点的椭圆.因为2a=20,2c=|AB|=12,所以a=10,c=6,b2=64.因为点A,B在y轴上,所以点C的轨迹方程为=1.B组1.已知F1,F2是椭圆=1的两个焦点,P是椭圆上一点,且|PF1|∶|PF2|=4∶3,则三角形PF1F2的面积等于()A.24B.26C.22D.24解析:因为a2=49,所以|PF1|+|PF2|=2a=14.又|PF1|∶|PF2|=4∶3,所以|PF1|=8,|PF2|=6.又因为|F1F2|=2c=2=10,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以PF1⊥PF2.故△PF1F2的面积S=|PF1|·|PF2|=×8×6=24.答案:A2.设F1,F2是椭圆C:=1的焦点,在曲线C上满足=0的点P的个数为()A.0B.2C.3D.4解析:∵=0,∴PF1⊥PF2.∴点P为以线段F1F2为直径的圆与椭圆的交点,且此圆的半径为c==2.∵b=2,∴点P为该椭圆y轴的两个端点.答案:B3.F1,F2分别为椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2是面积为的正三角形,则b2的值是.解析:∵|OF2|=c,∴由已知得,∴c2=4,c=2.设点P的坐标为(x0,y0),由△POF2为正三角形,∴|x0|=1,|y0|=,代入椭圆方程得=1.∵a2=b2+4,∴b2+3(b2+4)=b2(b2+4),即b4=12,∴b2=2.答案:24.已知圆C:(x+1)2+y2=25及点A(1,0),Q为圆上一点,AQ的垂直平分线交CQ于点M,求点M的轨迹方程.解:如图,M是AQ的垂直平分线与CQ的交点,连接MA,则|MQ|=|MA|,∴|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,且|AC|=2,∴动点M的轨迹是椭圆,且其焦点为C,A.易知2a=5,2c=2,∴a=,c=1,∴b2=a2-c2=-1=,故动点M的轨迹方程为=1.5.已知椭圆的焦点在x轴上,且焦距为4,P为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项.(1)求椭圆的方程;(2)若△PF1F2的面积为2,求点P坐标.解:(1)由题意知,2c=4,c=2,|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=8,即2a=8,∴a=4.∴b2=a2-c2=16-4=12.∵椭圆的焦点在x轴上,∴椭圆的方程为=1.(2)设点P坐标为(x0,y0),依题意知,|F1F2||y0|=2,∴|y0|=,y0=±.代入椭圆方程=1,得x0=±2,∴点P坐标为(2)或(2,-)或(-2)或(-2,-).6.已知P是椭圆+y2=1上的一点,F1,F2是椭圆上的两个焦点.(1)当∠F1PF2=60°时,求△F1PF2的面积;(2)当∠F1PF2为钝角时,求点P横坐标的取值范围.解:(1)由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=4且F1(-,0),F2(,0).①在△F1PF2中,由余弦定理,得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°.②由①②得|PF1|·|PF2|=.所以|PF1||PF2|·sin ∠F1PF2=.(2)设点P(x,y),由已知∠F1PF2为钝角,得<0,即(x+,y)·(x-,y)<0.又y2=1-,所以x2<2,解得-<x<.所以点P横坐标的范围是。
高中数学 同步学案 直线与椭圆的位置关系(习题课)
第二课时 直线与椭圆的位置关系(习题课)[新知初探]1．点与椭圆的位置关系点P(x 0,y 0)与椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系：点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b 2<1；点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 2b 2>1.2．直线与椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的位置关系,判断方法：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y2b2＝1，消y 得一元二次方程．当Δ>0时,方程有两解,直线与椭圆相交； 当Δ＝0时,方程有一解,直线与椭圆相切； 当Δ<0时,方程无解,直线与椭圆相离． 3．直线与椭圆相交的弦长公式(1)定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． (2)求弦长的方法①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立,求出两交点的坐标,然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法：如果直线的斜率为k,被椭圆截得弦AB 两端点坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则弦长公式为： |AB|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋1k2·y 1＋y 22－4y 1y 2.[小试身手]1．已知点(2,3)在椭圆x 2m 2＋y2n 2＝1上,则下列说法正确的是( )A ．点(－2,3)在椭圆外B ．点(3,2)在椭圆上C ．点(－2,－3)在椭圆内D ．点(2,－3)在椭圆上 答案：D2．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y22＝1所截得的弦的中点坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，53B.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，73C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－132，172 答案：C3．设F 1,F 2分别是椭圆x 225＋y216＝1的左、右焦点,P 为椭圆上一点,M 是F 1P 的中点,|OM|＝3,则P 点到椭圆左焦点的距离为________．答案：4直线与椭圆的位置关系[典例] 对不同的实数值m,讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1的位置关系．[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y,得x 24＋(x ＋m)2＝1, 整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0.Δ＝(8m)2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)． 当－5<m<5时,Δ>0,直线与椭圆相交； 当m ＝－5或m ＝5时,Δ＝0,直线与椭圆相切； 当m<－5或m>5时,Δ<0,直线与椭圆相离．判断直线与椭圆的位置关系,通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组,消去方程组中的一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则Δ>0⇔直线与椭圆相交； Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ<0⇔直线与椭圆相离． [活学活用]若直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 25＋y2m ＝1总有公共点,求m 的取值范围．解：∵直线y ＝kx ＋1过定点A(0,1)． 由题意知,点A 在椭圆x 25＋y2m ＝1内或椭圆上,∴025＋12m ≤1,∴m≥1. 又椭圆焦点在x 轴上∴m<5, 故m 的取值范围为[1,5).弦长及中点弦问题[典例] 已知点P(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y29＝1所截得的线段的中点．(1)求直线l 的方程；(2)求直线l 被椭圆截得的弦长． [解] (1)[法一 根与系数关系法] 由题意可设直线l 的方程为y －2＝k(x －4), 而椭圆的方程可以化为x 2＋4y 2－36＝0. 将直线方程代入椭圆方程有(4k 2＋1)x 2－8k(4k －2)x ＋4(4k －2)2－36＝0. 所以x 1＋x 2＝8k4k －24k 2＋1＝8,解得k ＝－12. 所以直线l 的方程为y －2＝－12(x －4),即x ＋2y －8＝0. [法二 点差法]设直线l 与椭圆的交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋4y 21－36＝0，x 22＋4y 22－36＝0.两式相减,有(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝0. 又x 1＋x 2＝8,y 1＋y 2＝4,所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12, 即k ＝－12.所以直线l 的方程为x ＋2y －8＝0.(2)由题意可知直线l 的方程为x ＋2y －8＝0,联立椭圆方程得x 2－8x ＋14＝0.法一：解方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝4＋2，y 1＝2－22， ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4－2，y 2＝2＋22，所以直线l 被椭圆截得的弦长为[4＋2－4－2]2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2－22－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋222 ＝10.法二：因为x 1＋x 2＝8,x 1x 2＝14. 所以直线l 被椭圆截得的弦长为1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12282－4×14＝10.解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；(2)点差法：利用交点在曲线上,坐标满足方程,将交点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系,具体如下：已知A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)是椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)上的两个不同的点,M(x 0,y 0)是线段AB 的中点,则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1， ②由①－②,得1a 2(x 21－x 22)＋1b 2(y 21－y 22)＝0,变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0,即k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22,点(2,2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A,B,线段AB 的中点为M.证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．解：(1)由题意有a 2－b 2a ＝22,4a 2＋2b 2＝1,解得a 2＝8,b 2＝4.所以C 的方程为x 28＋y24＝1.(2)证明：法一：设直线l ：y ＝kx ＋b(k≠0,b≠0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x M ,y M )．将y ＝kx ＋b 代入x28＋y 24＝1,得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0. 故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1,y M ＝k·x M ＋b ＝b 2k 2＋1.于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k ,即k OM ·k＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值． 法二：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x M ,y M ),则⎩⎪⎨⎪⎧x 218＋y 214＝1， ①x 228＋y 224＝1， ②①－②得x 1＋x 2x 1－x 28＋y 1＋y 2y 1－y 24＝0,∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－4x 1＋x 28y 1＋y 2＝－12·x My M.又k O M ＝y M x M ,∴k AB ·k OM ＝－12.∴直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．与椭圆有关的综合问题[典例] 在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率e ＝22,且点P(2,1)在椭圆C上．(1)求椭圆C 的方程；(2)斜率为－1的直线与椭圆C 相交于A,B 两点,求△AOB 面积的最大值．[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝22，4a 2＋1b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，∴⎩⎨⎧a ＝6，b ＝3，∴椭圆C 的方程为x 26＋y23＝1.(2)设直线AB 的方程为y ＝－x ＋m, 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋m ，x 26＋y23＝1，得3x 2－4mx ＋2m 2－6＝0,∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 1＋x 2＝4m 3，x 1x 2＝2m 2－63，∴|AB|＝1＋－12|x 1－x 2|＝439－m 2,原点到直线的距离d ＝|m|2.∴S △OAB ＝12×43 9－m 2·|m|2＝239－m2m 2≤23·9－m 2＋m 22＝322.当且仅当m ＝±322时,等号成立,∴△AOB 面积的最大值为322.求与椭圆有关的最值、范围问题的方法(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理．(2)数形结合法：利用数与形的结合,挖掘几何特征,进而求解．(3)函数法：探求函数模型,转化为函数的最值问题,借助函数的单调性、基本不等式等求解,注意椭圆的范围．已知椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0),左、右焦点分别是F 1,F 2,若椭圆C 上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32到F 1,F 2的距离和等于4.(1)写出椭圆C 的方程和焦点坐标；(2)直线l 过定点M(0,2),且与椭圆C 交于不同的两点A,B,若∠AOB 为锐角(O 为坐标原点),求直线l 的斜率k 的取值范围．解：(1)由题意得2a ＝4,得a ＝2, 又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上,∴14＋34b 2＝1,解得b 2＝1. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1,焦点F 1(－3,0),F 2(3,0)．(2)由题意得直线l 的斜率存在且不为0,设l ：y ＝kx ＋2,代入x 24＋y 2＝1,整理得(1＋4k 2)x 2＋16kx ＋12＝0,Δ＝(16k)2－4(1＋4k 2)·12＝16(4k 2－3)>0,得k 2>34.①设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),∴x 1＋x 2＝－16k 1＋4k 2,x 1x 2＝121＋4k 2.∵∠AOB 为锐角,∴cos ∠AOB>0, 则OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2>0, 又y 1y 2＝(kx 1＋2)·(kx 2＋2) ＝k 2x 1x 2＋2k(x 1＋x 2)＋4,∴x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k(x 1＋x 2)＋4 ＝(1＋k 2)·121＋4k 2＋2k·⎝ ⎛⎭⎪⎫－16k 1＋4k 2＋4 ＝44－k21＋4k 2>0, ∴k 2<4.② 由①②得34<k 2<4.解得－2<k<－32或32<k<2, ∴k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2.层级一 学业水平达标1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y24＝1的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定解析：选B 直线y ＝kx －k ＋1可变形为y －1＝k(x －1),故直线恒过定点(1,1),而该点在椭圆x 29＋y24＝1内部,所以直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y24＝1相交,故选B.2．过椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的焦点F(c,0)的弦中最短弦长是( )A.2b 2a B.2a 2bC.2c 2aD.2c 2b解析：选A 最短弦是过焦点F(c,0)且与焦点所在直线垂直的弦．将点(c,y)的坐标代入椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1,得y ＝±b 2a ,故最短弦长是2b2a.3．若直线kx －y ＋3＝0与椭圆x 216＋y24＝1有两个公共点,则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，54 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫54，－54 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－54∪⎝ ⎛⎭⎪⎫54，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－54∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，54 解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，x 216＋y24＝1得(4k 2＋1)x 2＋24kx ＋20＝0,当Δ＝16(16k 2－5)>0,即k>54或k<－54时,直线与椭圆有两个公共点．故选C. 4．已知椭圆C ：y 29＋x 2＝1,过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12的直线与椭圆C 相交于A,B 两点,且弦AB 被点P 平分,则直线AB 的方程为( )A ．9x －y －4＝0B ．9x ＋y －5＝0C ．4x ＋2y －3＝0D ．4x －2y －1＝0解析：选B 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)． ∵点A,B 在椭圆上,∴y 219＋x 21＝1,① y 229＋x 22＝1.② ①－②,得y 1＋y 2y 1－y 29＋(x 1＋x 2)·(x 1－x 2)＝0.③∵P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12是线段AB 的中点, ∴x 1＋x 2＝1,y 1＋y 2＝1,代入③得y 1－y 2x 1－x 2＝－9,即直线AB 的斜率为－9.故直线AB 的方程为y －12＝－9⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12, 整理得9x ＋y －5＝0.5．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F,直线l ：x ＝2,点A ∈l,线段AF 交椭圆C 于点B,若FA ―→＝3FB ―→,则|AF ―→|＝( )A. 2 B ．2 C. 3D ．3解析：选A 设点A(2,n),B(x 0,y 0)． 由椭圆C ：x 22＋y 2＝1知a 2＝2,b 2＝1,∴c 2＝1,即c ＝1.∴右焦点F(1,0)． 由FA ―→＝3FB ―→得(1,n)＝3(x 0－1,y 0)． ∴1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0. ∴x 0＝43,y 0＝13n.将x 0,y 0代入x 22＋y 2＝1,得12×⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 2＝1. 解得n 2＝1, ∴|AF ―→|＝2－12＋n 2＝1＋1＝ 2.6．已知斜率为2的直线l 经过椭圆x 25＋y24＝1的右焦点F 1,与椭圆交于A,B 两点,则|AB|＝________.解析：因为直线l 经过椭圆的右焦点F 1(1,0),且斜率为2,则直线l 的方程为y ＝2(x －1),即2x －y －2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x 25＋y24＝1得3x 2－5x ＝0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1＋x 2＝53,x 1x 2＝0,所以|AB|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋22⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫532－4×0＝553. 答案：5537．已知F 1,F 2是椭圆的两个焦点,满足MF 1―→·MF 2―→＝0的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是________．解析：∵MF 1―→⊥MF 2―→,∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上,又点M 在椭圆内部,∴c<b,∴c 2<b 2＝a 2－c 2,即2c 2<a 2,∴c 2a 2<12,即c a <22.又e>0,∴0<e<22. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 8．已知动点P(x,y)在椭圆x 225＋y 216＝1上,若A 点坐标为(3,0),|AM ―→|＝1,且PM ―→·AM ―→＝0,则|PM ―→|的最小值是________．解析：易知点A(3,0)是椭圆的右焦点．∵PM ―→·AM ―→＝0, ∴AM ―→⊥PM ―→.∴|PM ―→|2＝|AP ―→|2－|AM ―→|2＝|AP ―→|2－1,∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小,故|AP ―→|min ＝2,∴|PM ―→|min ＝ 3. 答案： 39．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)过点(0,4),离心率为35.(1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．解：(1)将(0,4)代入C 的方程得16b 2＝1,∴b ＝4.又e ＝c a ＝35,得a 2－b 2a 2＝925,即1－16a 2＝925,∴a ＝5,∴C 的方程为x 225＋y216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)．设直线与C 的交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程,得x 225＋x －3225＝1,即x 2－3x －8＝0,解得x 1＋x 2＝3,∴AB 的中点坐标 x 0＝x 1＋x 22＝32,y 0＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65,即中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－65.10.如图,已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0),F 1,F 2分别为椭圆的左、右焦点,A 为椭圆的上顶点,直线AF 2交椭圆于另一点B.(1)若∠F 1AB ＝90°,求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2,且AF 2―→＝2F 2B ―→,求椭圆的方程．解：(1)若∠F 1AB ＝90°,则△AOF 2为等腰直角三角形．所以有|OA|＝|OF 2|,即b ＝c. 所以a ＝2c,e ＝c a ＝22.(2)由题知A(0,b),F 2(1,0),设B(x,y),由AF 2―→＝2F 2B ―→,解得x ＝32,y ＝－b 2.代入x 2a 2＋y 2b 2＝1,得94a 2＋b24b 2＝1,即94a 2＋14＝1,解得a 2＝3,b 2＝2,所以椭圆方程为x 23＋y22＝1.层级二 应试能力达标1．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆x 29＋y24＝1的交点个数为( )A ．2B ．1C ．0D ．0或1解析：选A 由题意,得4m 2＋n 2 >2,所以m 2＋n 2<4,则－2<m<2,－2<n<2,所以点P(m,n)在椭圆x 29＋y24＝1内,则过点P(m,n)的直线与椭圆x 29＋y24＝1有2个交点．故选A.2．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M,N 两点,过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22,则mn的值是( )A.22B.233C.922D.2327解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧mx 2＋ny 2＝1，y ＝1－x消去y 得,(m ＋n)x 2－2nx ＋n －1＝0.设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),MN 中点为(x 0,y 0), 则x 1＋x 2＝2n m ＋n ,∴x 0＝n m ＋n, 代入y ＝1－x 得y 0＝mm ＋n. 由题意y 0x 0＝22,∴m n ＝22,选A.3．若点(x,y)在椭圆4x 2＋y 2＝4上,则y x －2的最小值为( )A ．1B ．－1C ．－233D ．以上都不对解析：选C 设yx －2＝k,则y ＝k(x －2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝4，y ＝k x －2消去y,整理得(k 2＋4)x 2－4k 2x 2＋4(k 2－1)＝0, Δ＝16k 4－4×4(k 2－1)(k 2＋4)＝0, 解得k ＝±233,∴k min ＝－233.选C.4．已知椭圆E ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F 的直线交E 于A,B 两点．若AB 的中点坐标为(1,－1),则E 的方程为( )A.x 245＋y236＝1 B.x 236＋y227＝1 C.x 227＋y218＝1D.x 218＋y29＝1 解析：选D 因为直线AB 过点F(3,0)和点(1,－1), 所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3),代入椭圆方程x 2a 2＋y2b 2＝1消去y,得⎝ ⎛⎭⎪⎫a24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0,所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2＝1,即a 2＝2b 2,又a 2＝b 2＋c 2,所以b ＝c ＝3. 所以E 的方程为x 218＋y29＝1.5．过点M(1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)相交于A,B 两点,若M 是线段AB 的中点,则椭圆C 的离心率等于________．解析：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),分别代入椭圆方程相减得x 1－x 2x 1＋x 2a2＋y 1－y 2y 1＋y 2b2＝0,根据题意有x 1＋x 2＝2×1＝2,y 1＋y 2＝2×1＝2,且y 1－y 2x 1－x 2＝－12,所以2a 2＋2b 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0,得a 2＝2b 2,所以a 2＝2(a 2－c 2),整理得a 2＝2c 2,所以c a ＝22,即e ＝22.答案：226．在离心率为32的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)上任取一点M,过M 作MN 垂直y 轴于点N,若MP ―→＝12MN ―→,点P 的轨迹图形的面积为π,则a 的值为________．解析：设P(x,y),M(x 0,y 0),则N(0,y 0), 由条件MP ―→＝12MN ―→可知点P 是线段MN 的中点,故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x 0，y ＝y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝y ，由离心率为c a ＝32,可得4c 2＝3a 2,即4a 2－4b 2＝3a 2,故a ＝2b. 故椭圆方程为x 24b 2＋y2b 2＝1,把点M(x 0,y 0)代入可得2x24b2＋y2b2＝1, 即x 2＋y 2＝b 2,表示半径为b 的圆,面积为πb 2＝π. 故b ＝1,a ＝2b ＝2.答案：27．在平面直角坐标系xOy 中,点P 到两点(0,－3),(0,3)的距离之和等于4,设点P 的轨迹为C. (1)求C 的方程；(2)设直线y ＝kx ＋1与C 交于A,B 两点,k 为何值时OA ―→⊥OB ―→？此时|AB|的值是多少．解：(1)设P(x,y),由椭圆的定义知,点P 的轨迹C 是以(0,－3),(0,3)为焦点,长半轴长为2的椭圆,它的短半轴长b ＝22－32＝1.故曲线C 的方程为y 24＋x 2＝1.(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＋4x 2＝4.消去y,并整理,得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0. 由根与系数的关系得 x 1＋x 2＝－2k k 2＋4,x 1x 2＝－3k 2＋4. 若OA ―→⊥OB ―→,则x 1x 2＋y 1y 2＝0. 因为y 1y 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1) ＝k 2x 1x 2＋k(x 1＋x 2)＋1,所以x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k2k 2＋4＋1＝－4k 2－1k 2＋4＝0,所以k ＝±12.当k ＝±12时,x 1＋x 2＝∓417,x 1x 2＝－1217.所以|AB|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝54×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫±4172＋4×1217＝46517.8．在直角坐标平面内,已知点A(2,0),B(－2,0),P 是平面内一动点,直线PA,PB 斜率之积为－34.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0作直线l 与轨迹C 交于E,F 两点,线段EF 的中点为M,求直线MA 的斜率k 的取值范围． 解：(1)设P 点的坐标为(x,y), 依题意,有y x －2·y x ＋2＝－34(x≠±2),化简并整理,得x 24＋y23＝1(x≠±2)．∴动点P 的轨迹C 的方程是x 24＋y23＝1(x≠±2)．(2)依题意,直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0且斜率不为零,故可设其方程为x ＝my ＋12,联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋12，x 24＋y23＝1消去x,并整理得4(3m 2＋4)y 2＋12my －45＝0,∴Δ>0恒成立． 设E(x 1,y 1),F(x 2,y 2),M(x 0,y 0), 则y 1＋y 2＝－3m 3m 2＋4,∴y 0＝y 1＋y 22＝－3m23m 2＋4, ∴x 0＝my 0＋12＝23m 2＋4,∴k ＝y 0x 0－2＝m4m 2＋4.①当m ＝0时,k ＝0； ②当m≠0时,k ＝14m ＋4m.∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪4m ＋4m ＝4|m|＋4|m|≥8,∴0<1⎪⎪⎪⎪⎪⎪4m ＋4m ≤18,∴0<|k|≤18,∴－18≤k≤18且k≠0. 综合①②可知直线MA 的斜率k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，18.。
2.2.2椭圆的简单几何性质习题课
θ
θ
2
2
cos
θ
2 cos
θ
2
2 = b 2 tan θ 2
x y 3、已知点 P 是椭圆 + = 1上的一点， 9 7 焦点分别是 F 1、 F 2，且 ∠ PF 1 F 2 = 45 ο , 则 ∆ PF 1 F 2的面积为 _____ 。
2
2
法一： 设PF1 = x, 则PF2 = 6 − x. 在∆PF1 F2中，由余弦定理可以 7 1 求出x = ，然后用 S = ab sin C 2 2 求出三角形的面积。
推广： 推广：
设 PF 1 = x , PF 2 = y , x 2 + y 2 − 2 xy cos θ = 4 c 2 ; 则 x + y = 2a; ∴ ( x + y ) 2 − 2 xy − 2 xy cos θ = 4 c 2 2b 2 ∴ xy = cos θ + 1 1 b 2 sin θ ∴ S = xy sin θ = 2 cos θ + 1 = b 2 sin
三、求椭圆的离心率
如图所示， 和上顶点， F1 为椭圆的左焦点， P 为椭圆上的点， ) 时， A 、 B 分别为椭圆的右顶点 当 PF 1 ⊥ F1 A ， PO // AB ( O 为椭圆中心 求椭圆的离心率。
解： ∵ A ( a , 0 ), B ( o , b ) b ∴ k AB = − a b 2 ∵ P (− c, )∴ k a 又 ∵ k AB = k OP b b ∴ − = − a ac ∴ b = c c ∴ e = = a
设出椭圆上 P 点的坐标， 写出两个向量的坐标， 运算数量积，运用二次 函数 的有关知识求最值。
椭圆定义及标准方程习题课第二节
A
B
o
C
x
例2.已知椭圆两焦点坐标分别是(0,-2)， (0,2)，并且经过点（-3/2，5/2），求椭 圆的标准方程。
y
o
x x
【合作探究】
求经过两点P1（1/3，1/3），P2（0，-1/2） 的椭圆的标准方程。
卫星运动轨迹
复习： 1.椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离和为常数（大于|F1F2 |）的点 的轨迹叫做椭圆。 | PF | | PF | 2a (2a | F F |)
1 2 1 2
2.椭圆的标准方程是：
3.椭圆中a,b,c的关系是:
2=b2+c2 a
当堂检测：
x2 y2 (1)已知椭圆的方程为： 1，则 25 16 5 4 a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标 3 为：____________焦距等于______;若CD为过 6 (3,0)、(-3,0) 左焦点F1的弦，则△F2CD的周长为________ 20y源自CF1 D0
x
F2
椭圆定义及标准方程
——习题课
例1.已知B，C是两个定点，|BC|=10， 且三角形ABC的周长等于22.求顶点A 满足的一个轨迹方程。
y
解：如图以BC所在的直线为x轴， 以BC的中垂线为y轴，建立直角坐 标系。 由题意知|AB|+|AC|+|BC|=18， |BC|=8，得 |AB|+|AC|=10 由定义知点A的轨迹是一个椭圆， 且 2c=8, 2a=10 即 c=4， a=5 所以
2-1椭圆习题及详解
1．过椭圆x 24＋y 23＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为( B )A ．8,6B ．4,3C ．2，3D ．4,2 32.椭圆x 216＋y 27＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( B )A ．32B ．16C ．8D ．43. (11·岳阳月考)椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( C )A ．－21B ．21C ．－1925或21 D.1925或214．(12·新课标，4)设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( ) A.12 B.23 C.34 D.45[答案] C [解析] 设直线x ＝3a2与x 轴交于点M ，则由条件知，∠F 2F 1P ＝∠F 2PF 1＝30°，∴∠PF 2M ＝60°， 在Rt △PF 2M 中，PF 2＝F 1F 2＝2c ，F 2M ＝3a 2－c ，故cos60°＝F 2M PF 2＝32a －c2c ＝12，解得c a ＝34，故离心率e ＝34.5.(11·石家庄一模)已知椭圆x 216＋y 225＝1的焦点分别是F 1，F 2，P 是椭圆上一点，若连接F 1，F 2，P 三点恰好能构成直角三角形，则点P 到y 轴的距离是( ) A.165 B ．3 C.163 D.253[答案] A [解析] F 1(0，－3)，F 2(0,3)，∵3<4，∴∠F 1F 2P ＝90°或∠F 2F 1P ＝90°.设P (x,3)， 代入椭圆方程得x ＝±165.即点P 到y 轴的距离是165.6.(11·长沙模拟)已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，且它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 23＝1B.x 216＋y 212＝1C.x 24＋y 2＝1D.x 216＋y 24＝1 [析] 由x 2＋y 2－2x －15＝0得r ＝4，∴2a ＝4，∴a ＝2，∵e ＝c a ＝12，∴c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3.故选A.7．已知m 、n 、m ＋n 成等差数列，m 、n 、mn 成等比数列，则椭圆x 2m ＋y 2n＝1的离心率为( )A.12B.33C.22D.32[解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 2n ＝m ＋m ＋n ，n 2＝m 2n .解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝4.∴e ＝n －m n ＝22，故选C. 8．在△ABC 中，BC ＝24，AB ＋AC ＝26，则△ABC 面积的最大值为( )A ．24B ．65C ．60D ．30[解析] ∵AB ＋AC >BC ，∴A 点在以B 、C 为焦点的椭圆上，因此当A 为短轴端点时，△ABC 面积取最大值S max ＝12BC ×5＝60，∴选C.9．如图F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以|OF 1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则椭圆的离心率为( )A.32 B.12 C.22D.3－1 [答案] D [解析] 连接AF 1，由圆的性质知，∠F 1AF 2＝90°，又∵△F 2AB 是等边三角形， ∴∠AF 2F 1＝30°，∴AF 1＝c ，AF 2＝3c ，∴e ＝c a ＝2c 2a ＝2c c ＋3c＝3－1.故选D.10．将椭圆C 1∶2x 2＋y 2＝4上的每一点的纵坐标变为原来的一半，而横坐标不变，得一新椭圆C 2，则C 2与C 1有( ) A ．相等的短轴长 B ．相等的焦距 C ．相等的离心率 D ．相等的长轴长 [解析] 把C 1的方程化为标准方程，即C 1：x 22＋y 24＝1，从而得C 2：x 22＋y 2＝1.因此C 1的长轴在y 轴上，C 2的长轴在x 轴上．e 1＝22＝e 2，故离心率相等，选C. 11．椭圆ax 2＋by 2＋ab ＝0(a <b <0)的焦点坐标是( )A ．(±a －b ，0)B ．(±b －a ，0)C ．(0，±a －b )D ．(0，±b －a )[答案] D [解析] ax 2＋by 2＋ab ＝0可化为x 2－b ＋y 2－a＝1，∵a <b <0，∴－a >－b >0，∴焦点在y 轴上，c ＝－a ＋b＝b －a ，∴焦点坐标为(0，±b －a )．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (0，－2)和C (0,2)，顶点B 在椭圆y 212＋x 28＝1上，则sin A ＋sin C sin B 的值是( ) A. 3 B ．2 C ．2 3 D ．4[答案] A [解析] 由椭圆定义得|BA |＋|BC |＝43，又∵sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|BA ||AC |＝434＝3，故选A.13.(11·唐山二模)P 为椭圆x 24＋y 23＝1上一点，F 1、F 2为该椭圆的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则PF 1→·PF 2→等于( )A ．3 B. 3 C ．2 3 D ．2[答案] D [解析] 由题意可得|F 1F 2|＝2，|PF 1|＋|PF 2|＝4，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos60°＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1||PF 2|，所以4＝42－3|PF 1||PF 2|，|PF 1||PF 2|＝4，PF 1→·PF 2→＝|PF 1→||PF 2→|·cos60°＝4×12＝2，14．若直线mx ＋ny ＝4和圆x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2个C ．1个D ．0个 [答案] B [解析] ∵直线与圆无交点，∴4m 2＋n2>2，∴m 2＋n 2<4，∴点(m ，n )在圆内，又圆在椭圆内，∴点(m ，n )在椭圆内，故过点(m ，n )的直线与椭圆有两个交点．15．(12·沈阳二模)已知F 1、F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，则△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程为( )A.x 236＋y 227＝1(y ≠0)B.4x 29＋y 2＝1(y ≠0)C.9x 24＋3y 2＝1(y ≠0) D ．x 2＋4y 23＝1(y ≠0) [答案] C [解析] 椭圆C ：x 24＋y 23＝1中，a 2＝4，b 2＝3，∴c 2＝a 2－b 2＝1，∴焦点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设G (x ，y )，P (x 1，y 1)，则⎩⎨⎧x ＝－1＋1＋x 13y ＝y13，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3x y 1＝3y ，∵P 在椭圆C 上，∴(3x )24＋(3y )23＝1，∴9x 24＋3y 2＝1.当y ＝0时，点G 在x 轴上，三点P 、F 1、F 2构不成三角形，∴y ≠0，∴点G 的轨迹方程为9x 24＋3y 2＝1.(y ≠0)．16．(12·商丘二模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，M ，N 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上任意一点，且直线PM 、PN 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)，若|k 1|＋|k 2|的最小值为1，则椭圆的离心率为( )A.12B.22C.32D.33[答案] C [解析] M (－a,0)，N (a,0)，设P (x 0，y 0)，则k 1＝y 0x 0＋a ，k 2＝y 0x 0－a ，∴k 1k 2＝y 20x 20－a2，由P 在椭圆上知，x 20a 2＋y 20b 2＝1，∴a 2y 20b 2＝a 2－x 20，∴k 1k 2＝－b 2a 2，|k 1k 2|＝b 2a 2为定值，∴|k 1|＋|k 2|≥2|k 1k 2|＝2b a ，∴2b a＝1，∴a ＝2b ， ∴a 2＝4b 2＝4(a 2－c 2)，∴e 2＝34，∴e ＝32.18．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0，12]C ．(0，22)D ．[22，1)[解析] 依题意得，c <b ，即c 2<b 2，∴c 2<a 2－c 2,2c 2<a 2，故离心率e ＝c a <22，又0<e <1，∴0<e <22，故选C.19．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8[答案] C [解析] 由题意可知O (0,0)，F (－1,0)，设点P 为(x ，y )，则OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )，∴OP →·FP →＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3－34x 2＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2.∵x ∈[－2,2]，∴当x ＝2时，OP →·FP→取最大值．(OP →·FP →)max ＝14(2＋2)2＋2＝6，故选C.20．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2上B ．必在圆x 2＋y 2＝2外C ．必在圆x 2＋y 2＝2内D ．以上三种情形都有可能[解析] e ＝12⇒c a ＝12⇒c ＝a 2，a 2－b 2a 2＝14⇒b 2a 2＝34⇒b a ＝32⇒b ＝32a .∴ax 2＋bx －c ＝0⇒ax 2＋32ax －a 2＝0⇒x 2＋32x－12＝0，x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－12，∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝34＋1＝74<2.∴在圆x 2＋y 2＝2内，故选C. 21．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在点P 使a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1成立，则该椭圆的离心率的取值范围为________．[答案] (2－1,1)[解析] 由正弦定理及a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1，得c a ＝sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|.在△PF 1F 2中，设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝2a －x . 则上式为c a ＝2a －x x ，即cx ＋ax ＝2a 2，x ＝2a 2a ＋c.又a －c <x <a ＋c ，所以a －c <2a 2a ＋c <a ＋c .由a －c <2a 2a ＋c ，得a 2>－c 2，显然恒成立．由2a 2a ＋c <a ＋c ，得a 2<2ac ＋c 2，c 2＋2ac －a 2>0，即e 2＋2e －1>0，解得e >－1＋2或e <－1－2(舍)．又0<e <1，所以e 的取值范围为(2－1,1)． 22．F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2＝______.[解析] 由题意S △POF 2＝34c 2＝3，∴c ＝2，∴a 2＝b 2＋4.∴点P 坐标为(1，3)，把x ＝1，y ＝3代入椭圆方程x 2b 2＋4＋y 2b 2＝1中得，1b 2＋4＋3b 2＝1，解得b 2＝2 3.23．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e ≤32.则长轴长的取值范围为________． [答案] (2,4][解析] ∵b ＝1，∴c 2＝a 2－1，又c 2a 2＝a 2－1a 2＝1－1a 2≤34，∴1a 2≥14，∴a 2≤4，又∵a 2－1>0，∴a 2>1，∴1<a ≤2，故长轴长2<2a ≤4.24．如图，把椭圆x 225＋y 216＝1的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1、P 2、…、P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 7F |＝________. [答案] 35[解析] 设椭圆右焦点为F ′，由椭圆的对称性知，|P 1F |＝|P 7F ′|， |P 2F |＝|P 6F ′|，|P 3F |＝|P 5F ′|，∴原式＝(|P 7F |＋|P 7F ′|)＋(|P 6F |＋|P 6F ′|)＋ (|P 5F |＋|P 5F ′|)＋12(|P 4F |＋|P 4F ′|)＝7a ＝35.25.已知1m ＋2n ＝1(m >0，n >0)，则当mn 取得最小值时，椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1的离心率是________．[解析] ∵m >0，n >0∴1＝1m ＋2n≥22mn ，∴mn ≥8，当且仅当1m ＝2n，即n ＝2m 时等号成立， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2m ，mn ＝8，解得m ＝2，n ＝4.即当m ＝2，n ＝4时，mn 取得最小值8，∴离心率e ＝n 2－m 2n ＝32.26．(11·长沙一中)直线l ：x －y ＝0与椭圆x 22＋y 2＝1相交A 、B 两点，点C 是椭圆上的动点，则△ABC 面积的最大值为________．[解析] 设与l 平行的直线方程为x －y ＋a ＝0，当此直线与椭圆的切点为C 时，△ABC 的面积最大，将y ＝x ＋a 代入x 22＋y 2＝1中整理得，3x 2＋4ax ＋2(a 2－1)＝0，由Δ＝16a 2－24(a 2－1)＝0得，a ＝±3，两平行直线x －y ＝0与x －y ＋3＝0的距离d ＝62，将y ＝x 代入x 22＋y 2＝1中得，x 1＝－63，x 2＝63，∴|AB |＝1＋1|63－(－63)|＝433，∴S △ABC ＝12|AB |·d ＝12×433×62＝ 2. 27．已知实数k 使函数y ＝cos kx 的周期不小于2，则方程x 23＋y 2k＝1表示椭圆的概率为________．[答案] 12[解析] 由条件2π|k |≥2，∴－π≤k ≤π，当0<k ≤π且k ≠3时，方程x 23＋y 2k ＝1表示椭圆，∴概率P ＝12.28．(11·江西理，14)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点(1，12)作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．[解析] 点⎝⎛⎭⎫1，12在圆外，过点(1，12)与圆相切的一条直线方程为x ＝1，一个切点为(1,0)，设另一条切线的方程为y ＝m (x －1)＋12，由|－m ＋12|1＋m 2＝1得m ＝－34，故另一条切线的方程为y ＝－34x ＋54代入圆的方程联立解得切点为⎝⎛⎭⎫35，45，则直线AB 的方程为y ＝－2x ＋2，故椭圆的上顶点坐标为(0,2)．因此c ＝1，b ＝2，a ＝5，所求椭圆方程为x 25＋y 24＝1.29．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点作圆x 2＋y 2＝b 2的两条切线，切点分别为A ，B ，若∠AOB ＝90°(O为坐标原点)，则椭圆C 的离心率为________．[答案] 22[解析] 因为∠AOB ＝90°，所以∠AOF ＝45°，所以b a ＝22，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝12，即e ＝22.30．已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴端点为(0,2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且AP →＝2PB →. (1)求椭圆方程；(2)求m 的取值范围． [解析] (1)由题意知椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，由题意知a ＝2，b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2，所以椭圆方程为y 24＋x 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立即⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋2x 2＝4y ＝kx ＋m ，消去y 得，(2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0，Δ＝(2mk )2－4(2＋k 2)(m 2－4)>0由韦达定理知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2mk 2＋k 2，x 1·x 2＝m 2－42＋k2.又AP →＝2PB →，即有(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )，∴－x 1＝2x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 22，∴m 2－42＋k 2＝－2⎝⎛⎭⎫2mk 2＋k 22，整理得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2，又9m 2－4＝0时不成立，所以k 2＝8－2m 29m 2－4>0，得49<m 2<4，此时Δ>0，所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－23∪⎝⎛⎭⎫23，2. 31．已知椭圆的中心在原点，它在x 轴上的一个焦点F 与短轴的两个端点B 1，B 2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A 的距离为10－5，求这个椭圆的方程．[解析] 由于椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，可设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆的对称性知，|B 1F |＝|B 2F |，又B 1F ⊥B 2F ，因此△B 1FB 2为等腰直角三角形，于是|OB 2|＝|OF |，即b ＝c .又|F A |＝10－5即a －c ＝10－5，且a 2＋b 2＝c 2.将以上三式联立，得方程组，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c a －c ＝10－5a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝10b ＝5.所求椭圆方程是x 210＋y 25＝1.32.椭圆E 经过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12.(1)求椭圆E 的方程；(2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线的方程．解析 (1)由题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵e ＝12，即c a ＝12，∴a ＝2c ，又b 2＝a 2－c 2＝3c 2，∴椭圆方程为x 24c 2＋y 23c 2＝1.又∵椭圆过点A (2,3)，∴44c 2＋93c 2＝1，解得c 2＝4，∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1. (2)法一：由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴直线AF 1的方程y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0，直线AF 2的方程为x ＝2.设P (x ，y )为角平分线上任意一点，则点P 到两直线的距离相等．即|3x －4y ＋6|5＝|x －2|，∴3x －4y ＋6＝5(x －2)或3x －4y ＋6＝5(2－x )，即x ＋2y －8＝0或2x －y －1＝0.由图形知，角平分线的斜率为正数，故所求∠F 1AF 2的平分线所在直线方程为2x －y －1＝0.法二：设AM 平分∠F 1AF 2，则直线AF 1与直线AF 2关于直线AM 对称．由题意知直线AM 的斜率存在且不为0，设为k . 则直线AM 方程y －3＝k (x －2)．由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴直线AF 1方程为y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0.设点F 2(2,0)关于直线AM 的对称点F 2′(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0x 0－2＝－1k ，y2－3＝k (x 0＋22－2)，解之得F 2′(－6k ＋2k 2＋21＋k 2，61＋k 2)．∵直线AF 1与直线AF 2关于直线AM 对称，∴点F 2′在直线AF 1上．即3×－6k ＋2k 2＋21＋k 2－4×61＋k 2＋6＝0.解得k ＝－12或k ＝2.由图形知，角平分线所在直线方程斜率为正，∴k ＝－12(舍去)．故∠F 1AF 2的角平分线所在直线方程为2x －y －1＝0.法三：∵A (2,3)，F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴AF 1→＝(－4，－3)，AF 2→＝(0，－3)，∴AF 1→|AF 1→|＋AF 2→|AF 2→|＝15(－4，－3)＋13(0，－3)＝－45(1,2)，∴k l ＝2，∴l ：y －3＝2(x －2)，即2x －y －1＝0.33．(12·新疆模拟)已知椭圆G 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，它与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴正半轴交于C 点，点D (0,4)，若AC →·BC →＝－3，|BD →|＝2 5.(1)求椭圆G 的方程； (2)过点D 的直线l 交椭圆G 于M ，N 两点，若∠NMO ＝90°，求|MN |的长． [解析] (1)∵A (－a,0)、B (a,0)、D (0,4)、C (0，b )，AC →·BC →＝－3，|BD →|＝25，∴⎩⎨⎧(a ，b )·(－a ，b )＝－3a 2＋42＝25，∴a 2＝4，b 2＝1，∴椭圆G 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋4y 21＝4，y 1－4x 1·y 1x 1＝－1.⇒x 1＝±253，y 1＝23，∴直线l 的斜率k ＝±5则直线l 的方程为y ＝±5x ＋4，由⎩⎨⎧y ＝±5x ＋4x 2＋4y 2＝4⇒21x 2±325x ＋60＝0，∴x 1＋x 2＝±32521，x 1x 2＝6021. ∴|MN |＝1＋k2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝43021. 34．(2013·安徽理，18)设椭圆E ：x 2a 2＋y 21－a 2＝1的焦点在x 轴上．(1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；(2)设F 1、F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q ，证明：当a 变化时，点P 在某条定直线上．[解析] (1)因为焦距为1，所以2a 2－1＝14，解得a 2＝58.故椭圆E 的方程为8x 25＋8y 23＝1.(2)设P (x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝2a 2－1.由题设知x 0≠c ，则直线F 1P 的斜率k F 1P ＝y 0x 0＋c.直线F 2P 的斜率k F 2P ＝y 0x 0－c .故直线F 2P 的方程为y ＝y 0x 0－c (x －c )．当x ＝0时，y ＝cy 0c －x 0，即点Q 坐标为(0，cy 0c －x 0)． 因此，直线F 1Q 的斜率为k F 1Q ＝y 0c －x 0.由于F 1P ⊥F 1Q ，所以k F 1P ·k F 1Q ＝y 0x 0＋c ·y 0c －x 0＝－1.化简得y 20＝x 20(2a 2－1)．① 将①代入椭圆E 的方程，由于点P (x 0，y 0)在第一象限，解得x 0＝a 2，y 0＝1－a 2，即点P 在定直线x ＋y ＝1上. 35．中心在原点O ，焦点在坐标轴上的椭圆与直线x ＋y ＝1交于A 、B 两点，M 为AB 的中点，直线OM 的斜率为22，且OA ⊥OB ，求椭圆的方程． [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2), M (x 1＋x 22，y 1＋y 22)．椭圆方程为ax 2＋by 2＝1(a >0、b >0，a ≠b )由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，ax 2＋by 2＝1.消去y 得，∴(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.∴x 1＋x 22＝b a ＋b ，y 1＋y 22＝1－x 1＋x 22＝a a ＋b .∴M (b a ＋b ，a a ＋b )，∵k OM ＝22，∴b ＝2a .①∵OA ⊥OB ，∴y 1x 1·y 2x 2＝－1，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.∵x 1x 2＝b －1a ＋b ，y 1y 2＝(1－x 1)(1－x 2)＝1－(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝1－2b a ＋b ＋b －1a ＋b ＝a －1a ＋b .∴b －1a ＋b ＋a －1a ＋b＝0，∴a ＋b ＝2.②由①②得a ＝2(2－1)，b ＝2(2－2)．∴所求方程为2(2－1)x 2＋2(2－2)y 2＝1.36．设F 1、F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，设过定点M (0,2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k 的取值范围．[解析] 显然直线x ＝0不满足题设条件，可设直线l y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 24＋y 2＝1.消去y 整理得，(k 2＋14)x 2＋4kx ＋3＝0.∴x 1＋x 2＝－4k k 2＋14，x 1x 2＝3k 2＋14. 由Δ＝(4k )2－4(k 2＋14)×3＝4k 2－3>0，得k >32或k <－32.① 又0°<∠AOB <90°⇔cos ∠AOB >0⇔OA →·OB →>0.∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2>0. 又y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝3k 2k 2＋14＋－8k2k 2＋14＋4＝－k 2＋1k 2＋14，∴3k 2＋14＋－k 2＋1k 2＋14>0，即k 2<4，∴－2<k <2.② 故由①②得－2<k <－32或32<k <2.。
椭圆习题课
y
P M
x y 4 2 2 2 所以 x 4 y 4 即 x y 2 1 4
因为 这就是点M的轨迹方程，它表示一个椭圆。
'2
'2
o D
x
相关点分析法:即利用中间变量求曲线方程.
例 4:如图,设点 A、 B 的坐标分别为(5, 0), (5, 0) , 直线 AM，BM 相交于点 M，且它们的斜率之积是 4 ，求点 M 的轨迹方程. 9 分析:把题目条件直接用 x 、 y 表示出来 , x 、 y 之间的 关系式就显示出来了.
这种求轨迹的方法──直译法
x2 y 2 例5：已知 F1、F2 是椭圆 1 的两个焦点， 100 64 P是椭圆上任一点。 （1）若 F1 PF2 , 求 F1 PF2 的面积。
（2）求 | PF1 | | PF2 |的最大值。
3Hale Waihona Puke ∵ AB AC BC 16 , ∴ BA CA 10 .
x2 y2 ∴由椭圆定义及标准方程知识可知 1 25 16 又∵A、B、C 三点不共线，∴ y 0 .
x2 y2 ∴所求的点的轨迹方程为 1( y 0) 25 16
思维挑战题: 已知圆 B: ( x 1)2 y 2 16 及点 A(1, 0) ,C 为 圆 B 上任一点,求 AC 的垂直平分线与线段 BC 的交 2 2 点 P 的轨迹方程. x y
例 1⑵求经过点 ( 2, 3) 且与椭圆 9 x 2 4 y 2 36 有共 同的焦点的椭圆的标准方程.
解: ⑵∵椭圆 9x2+4y2=36 的焦点为（0，± 5 ） ， x2 y2 则可设所求椭圆方程为： =1(m＞0) m m5 4 9 1 将 x=2, y=3 代入上式得： m m5 解得：m=10 或 m=-2（舍去） x2 y2 ∴所求椭圆的方程为： =1. 10 15
人教A版高中同步学考数学选修2精品课件 第二章 习题课——椭圆的综合问题及应用
由椭圆的对称性,知直线AB的斜率存在,
设直线AB的方程为y-1=k(x-2).将其代入椭圆方程并整理,
得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两根,
2
8(2 -)
于是 x1+x2=
义得出轨迹为椭圆,进而求出轨迹方程.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
解由条件,两圆半径分别是 3 和 13,
设 P(x,y),动圆半径为 r,
|1 | = 3 + ,
则有
|2 | = 13-,
消去 r,得|PC1|+|PC2|=16,
即点 P 到两定点 C1,C2 的距离之和为定值 16.
习题课——椭圆的综合问题及应用
-1-
课标阐释
思维脉络
1.掌握利用椭圆定义及其他知
识解决椭圆中焦点三角形问题
的基本方法.
椭圆的综合问题及应用
2.掌握与椭圆有关的简单的动
焦点三角形问题
点轨迹问题的求解方法.
轨迹问题
3.理解直线与椭圆的位置关系,
并会用方程的思想研究它们之
直线与椭圆位置关系
间的位置关系.
即|PF2|2=|PF1|2+4.
又由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2×2=4,
所以|PF2|=4-|PF1|.
从而有(4-|PF1|)2=|PF1|2+4.
3
解得|PF1|=2.
1
2
1
2
3
2
3
高二年级数学 椭圆定义的应用(习题课)教学设计
椭圆定义的应用（习题课）教学设计学习目标：（1）深化对椭圆定义的理解，能在具体的情境中，识别椭圆，对给定的椭圆，会在焦点 PF1F2 中，应用“ PF1 PF2 2a ”（不变量）这一隐含条件解题；（2）理解解析几何两种语言（代数与几何）的联系与转化．复习：（1）椭圆定义： P 是焦点为 F1, F2 的椭圆上的任意一点，则 PF1 PF2 ；（2）两圆 F1, F2 （ F1, F2 为圆心）的半径分别为 r1, r2 ，两圆 F1, F2 外切 ；两圆 F1, F2 内切 ；（3） P 是线段 MN 垂直平分线上的一点，则 PM PN ．一、应用定义求椭圆方程学习指导：探寻 PF1 与 PF2 的联系1．已知 PF1F2 的周长是16 ， F1(3, 0) ， F2 (3, 0) , 则动点 P 的轨迹方程是A． x 2 y 2 1 B． x 2 y 2 1( y 0) C． x 2 y 2 1 D． x 2 y 2 1( y 0)25 1625 1616 2516 252．（课本习题）已知 F1(3, 0) ， F2 (3, 0) ，动点 P(x, y) 满足(x 3)2 y2 (x 3)2 y2 10 则动点 P 的轨迹是3．（课本 P49 习题 7 改编）已知 F1(3, 0) ， M 是圆y MF2 : (x 3)2 y2 100 ( F2 为圆心)上一动点， 线段 MF1 的垂直平分线交 MF2 于 P ， 求动点 P 的轨迹方程．PF1 O F2x4．求过点 F1(3, 0) ，且与圆 F2 : (x 3)2 y2 100 内切的动圆圆心 P 的轨迹方程．yPF2F1 Ox5．（课本 P54 习题 2 改编）已知两圆 F1 : (x 3)2 y2 1 ，yF2 : (x 3)2 y2 81 ，动圆 P 在圆 F2 的内部且和圆PF2 相内切，和圆 F1 相外切，求动圆圆心 P 的轨迹方程．F1 O F2x二、利用椭圆的定义研究椭圆的有关性质学习指导：挖掘焦点 PF1F2 中的隐含条件6．(09北京高考改编)椭圆x2 25y2 16 1 的焦点为F1 ,F2，y PF1 OF2x点 P 在椭圆上，若| PF1 | 4 ，则| PF2 | ____ ； cos F1PF2 的小大为______ ．7．已知 ABC的两顶点 A,C 是椭圆 x2 y2 1 的二个焦点，顶点 B 在椭圆上， 25 16则 sin B sin A sin C8．椭圆x2 25y2 16 1 的焦点F1 ,F2，P为椭圆上的一点，已知 F1PF2 60 ，则 F1PF2 的面积为________y PF1 OF2x9．设 F1, F2 为椭圆x2 a2y2 b2 1(ab0) 的两个焦点，以 F1 为圆心且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点是 P ，若 F2 P 与圆 F1 相切，则椭圆的离心率为y P[课堂探究]F1O F2x10．（数学联赛）若P是以F1 ,F2为焦点的椭圆x2 25y2 161上的动点， A(1,3) 椭圆内的定点， PA PF2 的最小值与最大值分别是[归纳总结]y PAF1 OF2x[随堂检测](见投影) [落实与提升] 1．如图 ABCD 是边长为 2 的正方形，则以 A, B 为焦点，且过C, D 的椭圆的离心率为yDCAO Bx2．已知定圆 A : (x 3)2 y 2 16, 圆心为 A ，动圆 M 过点B( 3,0) ，且和圆 A 相切，动圆的圆心 M 的轨迹记为 C ，则曲线 C 的方程为．3．如图，椭圆 C :x2 25y2 9 1 上的动点为 M，左焦点为 F1 ， N为 MF1 的中点，试探究 Ny点的轨迹是否是椭圆？ 若是，求它的离心率；若不是，说明理由．M4．如图，把椭圆 x2 y2 1 的长轴 AB 分成 8 等份，过 25 16N F1 OF2x每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于 P1, P2 , P3,P4 , P5 , P6 , P7 七个点， F 是椭圆的一个焦点，则P1F P2F P3F P4F P5F P6F P7F 5．（上海高考）设F1,F2分别是椭圆x2 a2y2 b2 1(ab0) 的两个焦点， P 是椭圆上的一点，且 PF1 PF2 0 ，若 PF1F2 得面积为 9 ，则 b [勇攀高峰]学习指导：先找“不变量”，再进行转化1．（希望杯）F1、F2是椭圆x2 25y2 16 1 的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则 |PF1||PF2|的最大值是．2．（数学联赛）设 P 为 x2 y 2 1 上的动点， M , N 分别25 16是圆 F1 : (x 3)2 y2 1 和圆 F2 : (x 3)2 y2 4 上的动点，则 PM PN 的最小值为y PM NF1 OF2x3. （数学联赛预选）已知正方形 ABCD的坐标分别是 (1, 0) , (0,1) , (1, 0) ， (0, 1) ，动点M满足： kMB kMD1 2，则MAMC．4.（数学联赛题）点 P 是椭圆 x2 y2 25 16 1 上一点，F1 ,F2 是椭圆的两个焦点，且 PF1F2 的内切圆半径为1，当 P 在第一象限时， P 点的纵坐标为．5．（俄罗斯考题）在 ABC 中， BC 6 ， AB AC 10 ，则 ABC 面积的最大值为6．（湖北考题）已知F1, F2是椭圆x2 2y2 1的两个焦点，点P(x0 ,y0 ) 满足0x02 2y02 1，则PF1PF2的取值范围为[科学探索] 一圆形纸片的圆心为点 O ,点 F 是圆内异于 O 点的一定点，点 M 是圆周上一点.把纸片折叠使点 M 与 F 重合，然后展平纸片，折痕与 OM 交于 P 点，将折痕用笔画上颜色，继续上述过程，当点 M 绕圆心一周，经观察，点 P 的轨迹是椭圆．早期数学家试图证明这个结论，都无果而终，你能用所学知识给出证明吗？M OFPM OF。
人教A版高中同步学案数学选择性必修第一册精品习题课件 第三章 椭圆 椭圆的简单几何性质(1)
又 − < 成立,则有 < + ,∴ − < < .
2
5.已知椭圆: 2
2
+ 2
= 1( > > 0)的两焦点与短轴的一个顶点恰好是一个正三角形
的三个顶点,且椭圆上的点到椭圆的焦点的最短距离为 3,则椭圆的方程为
2
3
2
2
2
A.( ,1)B.( ,1)C.( ,1)D.(0, )
[解析]设(, )( < < ),又(, ),(, ),且 ⋅ = ,
则 + − = ,与椭圆方程联立得 − + = ,
即(
则 <
−
= 1( > > 0)满足 = 2,则该椭圆的离心率 =() B
[解析]因为 = ,所以 =
故选B.
=
−
=
− =
.
2
4.设1 ,2 为椭圆 2
+
2
2
= 1( > > 0)的左、右焦点,椭圆上存在点,∠1 2 = ,
∠2 1 = ,使得离心率 =
∴ = + ≥ = ，
当且仅当 = = 时,等号成立.
∴ ≥ ，∴ ≥ ，即椭圆长轴长的最小值为4.
2
9.已知椭圆1 与椭圆2 :
30
2
+
5
= 1具有共同的焦点1 ,2 ,点在椭圆1 上,1 ⊥ 2 ,__
高二数学选修课件：2-2-3椭圆习题课
x2 1 2 2 b)．由 4 ＋b ＝1，解得 x12＝± 1－b ，所以 S＝2b· 1－ 2 |x x2|＝2b· 1－b2≤b2＋1－b2＝1. 2 当且仅当 b＝ 时，S 取到最大值 1. 2
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第二章
圆锥曲线与方程
y＝kx＋b 2 1 2 2 (2)解：由x 得(k ＋4)x ＋2kbx＋b2－1＝0 2 4 ＋y ＝1 ∵Δ＝4k2－b2＋1① 4k2－b2＋1 ∴|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k2· 1 ＝2② ＋k2 4 2S 设 O 到 AB 的距离为 d，则 d＝|AB|＝1.
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第二章
圆锥曲线与方程
设经过 n 年，点 A 恰好在冰川边界线上，则利用等 比数列求和公式可得 0.2(2n－1)上．
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第二章
圆锥曲线与方程
已知圆B：(x＋1)2＋y2＝16及点A(1,0)，C为圆B上任意 一点，求AC的垂直平分线l与线段CB的交点P的轨迹方程．
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程．
第二章
圆锥曲线与方程
[分析]
要求离心率e，可由kAB＝kOM寻找a、b、c之间
的关系，要求∠F1QF2的取值范围，可考虑在△F1QF2中， 用余弦定理求解，要求椭圆的方程要利用△F1PQ的面积为 20的条件，由QF2⊥AB，可求出直线PQ的斜率，进而求出 |PQ|，利用点到直线的距离公式求出△F1PQ的高，问题就
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第二章
圆锥曲线与方程
[解析] 如图所示，连结AP，
∵l垂直平分AC， ∴|AP|＝|CP|， ∴|PB|＋|PA|＝|BP|＋|PC|＝4， ∴P点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆．
人教版高中数学选择性必修第一册-3.1 椭圆 习题课测试卷(含解析)
3.1椭圆测试卷（原卷版）1．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是()A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝12．若椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab的值为()A.32B.233C.932D.23273．(2018·课标全国Ⅱ，文)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为()A ．1－32B ．2－3C.3－12D.3－14.如图，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为()A.33B.12C.22D.325．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A ．(0，1)，12D.22，6．【多选题】设椭圆的方程为x 22＋y 24＝1，斜率为k 的直线l 不经过原点O ，且与椭圆相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则下列结论正确的是()A ．k AB ·k OM ＝－1B ．若点M 坐标为(1，1)，则直线l 的方程为2x ＋y －3＝0C ．若直线l 的方程为y ＝x ＋1，则点M 的坐标为(13，43)D ．若直线l 的方程为y ＝x ＋2，则|AB |＝4237．与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点，且过点(－3，2)的椭圆方程为________．8．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________．9．椭圆C ：x 28＋y 24＝1的弦AB 的中点为点Q (2，1)，则弦AB 所在直线的方程为________，若点P 为椭圆上的任意一点，F 为左焦点，O 为原点，则OP →·FP →的取值范围为________．10．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)．(1)求椭圆G 的方程；(2)求△PAB 的面积．11．过点M (－2，0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为()A ．2B ．－2C.12D ．－1212．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左顶点为A ，下顶点为B ，离心率为32，且△BF 1F 2的面积为3.则椭圆C 的标准方程为________，若点P 在椭圆C 上，且以AP 为直径的圆过B 点，则直线AP 的斜率为________．13．已知中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上的椭圆M 的焦距为4，且椭圆M 过点(1，3)．(1)求椭圆M 的方程；(2)若过点C (0，1)的直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且AC →＝2CB →，求直线l 的方程．1．设a >0，则椭圆x 2＋2y 2＝2a 的离心率是()A.12B.22C.13D ．与a 的取值有关2．已知点P 是椭圆x 216＋y 24＝1上一点，其左、右焦点分别为F 1，F 2，若△F 1PF 2外接圆的半径为4，则△F 1PF 2的面积是()A.433B ．43C ．4D.433或433．已知A ，B 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)长轴的两个端点，M ，N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)．若椭圆的离心率为32，则|k 1|＋|k 2|的最小值为()A ．1 B.2C.32D.34．已知直线x 4＋y 3＝1与椭圆x 216＋y 29＝1相交于A ，B 两点，若椭圆上存在点P 使△ABP 的面积等于12，则这样的点P 共有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上的最短距离为3，则这个椭圆的方程为________．6．2013年我国载人航天飞船神舟十号飞行获得圆满成功．已知神舟十号飞船变轨前的运行轨道是一个以地心为焦点的椭圆，飞船近地点、远地点离地面的距离分别为200km ，350km.设地球半径为R km ，则此时飞船轨道的离心率为________(结果用含R 的式子表示)．7．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (c ，0)关于直线l ：y ＝bc x 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．8．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)4，F 1，F 2是椭圆的两个焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)⊙O (O 为坐标原点)是以F 1F 2为直径的圆，直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O 相切，并与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，若OA →·OB →＝－32，求k 的值．10.如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为(3，0)1M 是x 轴上的一点，过M 点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 在x 轴的上方)．(1)求椭圆C的方程；(2)若AM→＝2MB→，且直线l与圆O(O为坐标原点)：x2＋y2＝47相切于点N，求MN的长．11．已知椭圆C过点(－1，0)，(1，0)．(1)求椭圆C的方程；(2)E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．3.1椭圆测试卷（解析版）1．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是()A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1答案D2．若椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab的值为()A.32B.233C.932D.2327答案A 3．(2018·课标全国Ⅱ，文)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为()A ．1－32B ．2－3C.3－12 D.3－1答案D解析在Rt △PF 1F 2中，∠PF 2F 1＝60°，不妨设椭圆焦点在x 轴上，且焦距|F 1F 2|＝2，则|PF 2|＝1，|PF 1|＝3，由椭圆的定义可知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以2a ＝1＋3，2c ＝2，得a ＝1＋32，c ＝1.所以离心率e ＝ca ＝21＋3＝3－1.故选D.4.如图，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为()A.33B.12C.22D.32答案B解析设圆柱的底面半径为1，则椭圆的短半轴长为1，长轴长为2sin 60°＝433，即长半轴长为233，所以半焦距为33，故离心率为12.5．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A ．(0，1)，12D.22，答案C解析依题意，以F 1，F 2为直径且过点M 的圆在椭圆内，得c <b ，即c 2<b 2，c 2<a 2－c 2，2c 2<a 2.故－22＜e ＝c a <22，又0<e <1，所以0<e <22.6．【多选题】设椭圆的方程为x 22＋y 24＝1，斜率为k 的直线l 不经过原点O ，且与椭圆相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则下列结论正确的是()A ．k AB ·k OM ＝－1B ．若点M 坐标为(1，1)，则直线l 的方程为2x ＋y －3＝0C ．若直线l 的方程为y ＝x ＋1，则点M 的坐标为(13，43)D ．若直线l 的方程为y ＝x ＋2，则|AB |＝423答案BD解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)＋y 124＝1，＋y 224＝1，两式相减，得x 12－x 222＋y 12－y 224＝0，即y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－2，即k AB ·k OM ＝－2，所以A 不正确；对于B ，由k AB ·k OM ＝－2，M (1，1)，得k AB ＝－2，所以直线l 的方程为y －1＝－2(x －1),即2x ＋y －3＝0，所以B 正确；对于C ，若直线l 的方程为y ＝x ＋1，k AB ·k OM ＝1×4＝4≠－2，所以C 不正确；对于D ，由x ＋2，＋y 24＝1，得3x 2＋4x ＝0，解得x ＝0或x ＝－43，所以|AB |＝1＋12|－43－0|＝423，所以D 正确．故选BD.7．与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点，且过点(－3，2)的椭圆方程为________．答案x 215＋y 210＝18．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________．答案35解析2＋4y 2＝16，＝12x ＋1，消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0，Δ＞0.设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－212所以弦长|MN |x 1－x 2|＝54[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝54×（4＋24）＝35.9．椭圆C ：x 28＋y 24＝1的弦AB 的中点为点Q (2，1)，则弦AB 所在直线的方程为________，若点P 为椭圆上的任意一点，F 为左焦点，O 为原点，则OP →·FP →的取值范围为________．答案x ＋y －3＝0[2，8＋42]解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)＋y 124＝1，＋y 224＝1，即x 12－x 22＋2(y 12－y 22)＝0，变形为y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2.又AB 的中点为点Q (2，1)，则有x 1＋x 22＝2，y 1＋y 22＝1，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－1，即直线AB 的斜率为－1，所以弦AB 所在直线的方程为y ＝－(x －2)＋1，即x ＋y －3＝0.设P (x 0，y 0)，又F (－2，0)，所以OP →＝(x 0，y 0)，FP →＝(x 0＋2，y 0)，所以OP →·FP →＝2x 0＋x 02＋y 02＝2x 0＋x 02＋4－x 022＝12(x 0＋2)2＋2.又－22≤x 0≤22，所以当x 0＝－2时，OP →·FP →有最小值2；当x 0＝22时，OP →·FP →有最大值8＋42，所以OP →·FP →∈[2，8＋42]．10．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)．(1)求椭圆G 的方程；(2)求△PAB 的面积．解析(1)由已知得c ＝22，c a ＝63，解得a ＝2 3.则b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，x ＋m ，＋y 24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.①由Δ＝(6m )2－4×4×(3m 2－12)＞0，得m 2＜16.设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1<x2)，AB的中点为E(x0，y0)，则x1＋x2＝－3m2，则x0＝x1＋x22＝－3m4，y0＝x0＋m＝m4.因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.所以PE的斜率k＝2－m4－3＋3m4＝－1，解得m＝2，满足Δ＞0.此时方程①为4x2＋12x＝0，解得x1＝－3，x2＝0.所以y1＝－1，y2＝2.所以|AB|＝32.此时，点P(－3，2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝|－3－2＋2|2＝322.所以△PAB的面积S＝12|AB|·d＝92.11．过点M(－2，0)的直线m与椭圆x22＋y2＝1交于P1，P2，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为()A．2B．－2C.12D．－12答案D解析设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x，y)y12＝1，①y22＝1.①－②，得（x1＋x2）（x1－x2）2＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0.即2x·（x1－x2）2＋2y(y1－y2)＝0.∴k1＝y1－y2x1－x2＝－x2y.又k2＝yx，∴k1·k2＝－12.12．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，下顶点为B，离心率为32，且△BF1F2的面积为3.则椭圆C的标准方程为________，若点P在椭圆C上，且以AP为直径的圆过B点，则直线AP的斜率为________．答案x24＋y2＝1310解析由题意可知ca＝32，S△BF1F2＝bc＝3.又a2－b2＝c2，所以b＝1，c＝3，a＝2，所以椭圆C的标准方程为x24＋y2＝1.以AP为直径的圆过B点，即AB⊥BP.因为k AB＝－ba＝－12，所以k BP＝2.所以直线BP的方程为y＝2x－1.2x－1，y2＝1，＝0，＝－1＝1617，＝1517，所以点PAP的斜率k AP＝1517－01617＋2＝310.13．已知中心为坐标原点O，焦点在y轴上的椭圆M的焦距为4，且椭圆M过点(1，3)．(1)求椭圆M的方程；(2)若过点C(0，1)的直线l与椭圆M交于A，B两点，且AC→＝2CB→，求直线l的方程．解析(1)设椭圆M的方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)．∵2c＝4，∴c＝2，∴a2－b2＝c2＝4.又椭圆M过点(1，3)，∴3a2＋1b2＝1.b2＝4，＋1b2＝1，解得a2＝6，b2＝2.∴椭圆M的方程为y26＋x22＝1.(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0.设此时点A，B的坐标为(0，－6)和(0，6)，不满足AC→＝2CB→，∴直线l的斜率一定存在．设直线l的方程为y＝kx＋1，kx＋1，＋x22＝1，消去y并整理，得(3＋k2)x2＋2kx－5＝0.则Δ＝4k2＋20(3＋k2)＝24k2＋60>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2k3＋k2，x1x2＝－53＋k2.又∵AC→＝2CB→，∴(－x 1，1－y 1)＝2(x 2，y 2－1)，∴x 1＝－2x 2，∴x 1＋x 2＝－x 2＝－2k3＋k 2，x 1x 2＝－2x 22＝－53＋k 2，∴8k 2（3＋k 2）2＝53＋k 2，即8k 23＋k 2＝5，解得k 2＝5，∴k ＝± 5.故直线l 的方程为y ＝±5x ＋1.1．设a >0，则椭圆x 2＋2y 2＝2a 的离心率是()A.12B.22C.13D ．与a 的取值有关答案B2．已知点P 是椭圆x 216＋y 24＝1上一点，其左、右焦点分别为F 1，F 2，若△F 1PF 2外接圆的半径为4，则△F 1PF 2的面积是()A.433B ．43C ．4 D.433或43答案D解析由正弦定理得|F 1F 2|sin ∠F 1PF 2＝2×4＝8，∴sin ∠F 1PF 2＝32.∴cos ∠F 1PF 2＝±12，符合题意．由余弦定理得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2＝|F 1F 2|2.又|PF 1|＋|PF 2|＝8，∴|PF 1||PF 2|＝16或163.∴S △F 1PF 2＝12PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2＝433或4 3.3．已知A ，B 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)长轴的两个端点，M ，N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)．若椭圆的离心率为32，则|k 1|＋|k 2|的最小值为()A ．1 B.2C.32D.3答案A 解析不妨令A (－a ，0)，B (a ，0)．设M (x ，y )，N (x ，－y )(－a <x <a )，则k 1＝y x ＋a ，k 2＝y a －x.又椭圆的离心率为32，所以b a ＝1－e 2＝12，所以|k 1|＋|k 2|＝|y |x ＋a ＋|y |a －x≥2y 2a 2－x 2＝2b a ＝1(当且仅当|y |x ＋a ＝|y |a －x，即x ＝0时等号成立)．故选A.4．已知直线x 4＋y 3＝1与椭圆x 216＋y 29＝1相交于A ，B 两点，若椭圆上存在点P 使△ABP 的面积等于12，则这样的点P 共有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案B解析可求出|AB |＝5，设P (4cos θ，3sin θ)，θ∈[0，2π)，则P 点到AB 的距离为d ＝|12（cos θ＋sin θ）－12|5＝245.∴θ＝π或3π2，∴这样的点P 有2个．5．若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上的最短距离为3，则这个椭圆的方程为________．答案x 212＋y 29＝1或y 212＋x 29＝1解析依题意可得a ＝2c ，a －c ＝3，∴c ＝ 3.∴a ＝23，b 2＝9.故椭圆的方程为x 212＋y 29＝1或y 212＋x 29＝1.6．2013年我国载人航天飞船神舟十号飞行获得圆满成功．已知神舟十号飞船变轨前的运行轨道是一个以地心为焦点的椭圆，飞船近地点、远地点离地面的距离分别为200km ，350km.设地球半径为R km ，则此时飞船轨道的离心率为________(结果用含R 的式子表示)．答案75275＋R解析由题意得a －c ＝200＋R ，a ＋c ＝350＋R ，求得a ＝275＋R ，c ＝75.所以离心率e ＝c a ＝75275＋R.7．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (c ，0)关于直线l ：y ＝b cx 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．答案22解析设椭圆的左焦点为F 1，O 为坐标原点，连接OQ ，QF 1，QF ，由F 关于直线l ：y ＝b c x 的对称点Q 在椭圆上，得|OQ |＝|OF |.又|OF 1|＝|OF |，所以F 1Q ⊥QF .所以F 1Q ∥l .不妨设|QF 1|＝ck (k ＞0)，则|QF |＝bk ，|F 1F |＝ak ，因此2c ＝ak .又2a ＝ck ＋bk ，由以上二式可得2c a ＝k ＝2a b ＋c，即c a ＝a b ＋c ，即a 2＝c 2＋bc ，所以b ＝c ，e ＝22.8．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．答案33解析利用直线与直线、直线与椭圆的位置关系求交点坐标，再利用两直线垂直时斜率的关系列式以确定离心率．直线AB ：x ＝c ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a.不妨令∴kBF 1＝－b 2a －0c －（－c ）＝－b 2a 2c＝－b 22ac .∴直线BF 1：y －0＝－b 22ac(x ＋c )．令x ＝0，则y ＝－b 22a.∴k AD ＝b 2a ＋b 22a c＝3b 22ac .∵AD ⊥BF 1，∴－b 22ac ·3b 22ac＝－1.∴3b 4＝4a 2c 2，∴3b 2＝2ac ，即3(a 2－c 2)＝2ac .∴3e 2＋2e －3＝0.∴e ＝－2±4－4×3×（－3）23＝－2±423.∵e >0，∴e ＝－2＋423＝33.9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)4，F 1，F 2是椭圆的两个焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)⊙O (O 为坐标原点)是以F 1F 2为直径的圆，直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O 相切，并与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，若OA →·OB →＝－32，求k 的值．解析(1)∵2a ＝4，∴a ＝2.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2b2＝1.∵椭圆C，∴14＋94b2＝1.∴b 2＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设O 到l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，则d ＝r ＝1.即|m |1＋k2＝1，∴m 2＝1＋k 2.①＋y 23＝1，kx ＋m ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.则Δ＝(8km )2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝192k 2－48m 2＋144＝144k 2＋96＞0.设A ，B 坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1·x 2＝4m 2－123＋4k2.∴y 1·y 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝3m 2－12k 23＋4k 2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝7m 2－12k 2－123＋4k 2.②将①代入②，得x 1x 2＋y 1y 2＝－5－5k 23＋4k 2.∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－32，∴－5－5k 23＋4k 2＝－32，∴k ＝±22.10.如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为(3，0)1M 是x 轴上的一点，过M 点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 在x 轴的上方)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若AM →＝2MB →，且直线l 与圆O (O 为坐标原点)：x 2＋y 2＝47相切于点N ，求MN 的长．解析(1)2＝3，1，解得a 2＝4，b 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (m ，0)，直线l ：x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝47相切，∴原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋t 2＝47，即t 2＝74m 2－1.由AM →＝2MB →，得y 1＝－2y 2.y 2＝1，ty ＋m ，得(t 2＋4)y 2＋2tmy ＋m 2－4＝0，则Δ＝16(t 2－m 2＋4)＝12m 2＋48＞0.∴y 1＋y 2＝－2tm t 2＋4，y 1y 2＝m 2－4t 2＋4.∵y 1y 2＝－2y 22，y 1＋y 2＝－2y 2＋y 2＝－y 2，∴y 1y 2＝－2[－(y 1＋y 2)]2＝－2(y 1＋y 2)2，即m 2－4t 2＋4＝－，化简得(m 2－4)(t 2＋4)＝－8t 2m 2.m 2－4）（t 2＋4）＝－8t 2m 2，＝74m 2－1，消去t 2，得21m 4－16m 2－16＝0，即(3m 2－4)(7m 2＋4)＝0，解得m 2＝43，此时t 2＝43，∴±233，连接ON ，在Rt △OMN 中，|MN |＝43－47＝42121，∴MN 的长为42121.11．已知椭圆C 过点(－1，0)，(1，0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)E ，F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．解析(1)由题意，得c ＝1，可设椭圆方程为x 21＋b 2＋y 2b 2＝1(b ＞0)．因为点A 在椭圆上，所以11＋b 2＋94b 2＝1，解得b 2＝3或b 2＝－34(舍去)．所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线AE 的方程为y ＝k (x －1)＋32，代入x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋4k (3－2k )x ＋－12＝0.由Δ＝36(2k ＋1)2＞0，得k ≠－12.设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )．因为点A所以x E y E ＝kx E ＋32－k .又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以－k 代替k ，可得k ≠12，且x F y F ＝－kx F ＋32＋k .所以直线EF 的斜率k EF ＝y F －y E x F －x E ＝－k （x F ＋x E ）＋2k x F －x E＝12.即直线EF 的斜率为定值，其值为12.。
椭圆与双曲线习题课教学设计与反思
2016年第12期中学数学月刊椭圆与双曲线习题课教学设计与反思张祖寅（江苏省无锡市第一中学 214031) 戴顺芳（江苏省无锡市江南中学214001)作者简介：张祖寅，江苏宜兴人，教授级中学高级教 师.曾三次获市三优课评比一等奖、三次获市教师基本功 竞赛一等奖、市教师多媒体课件现场大赛一等奖.在省级 以上刊物发表文章二百余篇，五篇文章被中国人民大学书 报资料中心全文刊载.课堂教学大胆创新，积极探索、不断 总结与反思，努力实践轻负担高质量，形成了 “超前尝试、 启发诱导、突出思想、饱含激情、风趣幽默，注重培养学生 思维能力”的教学风格.1 基本情况1.1 授课对象学生来自四星级重点高中普通班，基础较好，有一定的尝试探索能力、推理能力及运算能力.1. 2教材分析所用教材为苏教版高中数学选修2-1第2 章，椭圆与双曲线是本章的重点和难点.教学中要 引导学生体会椭圆与双曲线的内在联系，在构建 对偶命题过程中体验条件、式子的结构形式变换， 领悟发现、归纳、猜想等思想方法，发展学生的推 理能力和创新能力.教学目标 波利亚指出：“如果没有相似推理，那么无论是在初等数学还是在高等数学中，甚 至在其他任何领域中，本来可以发现的东西，也无 从发现.”本节课运用“尝试探索”教学模式，探索 “椭圆与双曲线的对偶性质，挖掘学生内在的研究 问题的巨大潜能，使学生在做中学，在学中思，亲身体会创造过程，充分展示思维差异，培养学生的 自主探究能力、创造性思维能力、逻辑推理能力， 提高学生的思维层次，掌握获取知识的方法和途 径，真正体现学生学习知识过程中的主体地位.挖 掘数学美学因素，陶治学生美的情操，营造民主和 谐的氛围，增强学生的学习自信心，促使学生智能 与情感和谐提高，激发学生的求知欲望和学习 兴趣.教学重点引导学生通过尝试探索和合作 讨论，发现椭圆与双曲线的对偶性质.教学难点创设情境引导学生发现椭圆与双曲线的对偶性质的思路.2教学过程2.1 引导•发现师:前面我们已经学习了椭圆与双曲线的定义及有关性质，现在从椭圆与双曲线的定义入手， 看椭圆与双曲线的相关性质(表1).表1椭圆与双曲线的性质名称椭圆双曲线定义P F 1 + P F 2 = 2a (2aF i F 2)| —F i — —F 2 1 = 2a (2a 〈 F i F 2)P F 犮—~T = — = ^〈 1 犱 a—F ——r = — = ^〉1犱 a标准方程狓2 狔2 狔2 狓22 十 72 二 1，~2 十72 二 1(犪〉犫〉0) a 2 b 2 a 2 b 2狓2 狔2 狔2 狓2~ — 72 二 1，~2 — 72 二 1(a 〉0，犫〉0) a 2 b 2 a 2 b 2a ，b ,—=a 2 -b 2—2 = a 2 +b 2几何画板演示椭圆、双曲线形成过程，揭示 2.2 归纳•猜想其内在关系，完成上面表格.引导学生根据表1归纳猜想：椭圆（双曲线)中学数学月刊2016年第12期存在命题A，则对于双曲线（椭圆）就有对偶命题B存在.其对偶形式是：+<外长轴短轴—>内实轴虚轴据此，我们就可以根据已知命题探索构建其对偶命题(正确与否需要证明）.2.3 探索•证明X2V2例1如图1，P为椭圆1J二1上一点，犪2犫2P G平分A P F i R在点P处的外角，丄PG于点G，求点G的轨迹.略证 延长R G交的延长线于点H，连结OG，则O G为A F1F2H的中位线，所以OG=1犉1犎=1(犘犉1十犘犎）=2(犘犉1十犘犉2)=犪.故点G的轨迹是以O为圆心、为半径的圆（除去圆与x轴的两个交点）.学生小组1尝试写出对偶命题，将“椭圆”改22X V“双曲线”V=1，P G平分A P R犉在点犘犪2犫2处的“外角”改为“内角”，于是得出：如图2犘为双22曲线犪犫二1上一点，P G平分△犘犉1犉2在点犘处的内角，犉G丄P G于点G，求点G的轨迹.教师引导学生猜想点G的轨迹.学生尝试、合作交流得出：由于椭圆的长轴与双曲线的实轴对应，因此点G的轨迹可能是以O为圆心、为半径的圆（除去圆与x轴的两个交点）.师：为什么是“可能”？生：因为这仅是猜想，正确与错误还要证明(证明方法只要将上式中的加改减）.例2 如图3，椭圆x2+9v2=9的两个顶点为A“一3, 0)，A(3, 0).与v轴平行的直线交椭圆于点£和犉，求A E和A1F交点犘的轨迹方程.略解 设 E(3cos 0，sin 0)，犉（3cos 沒，一sin0)，于是A^，A E的方程分别为Vx十3图3 图4(X #3)②.由①X②得X2—9v2 =9③.又当x=士3时，点犘与点A或A1重合，此时满足③式，即方程X2 —9v2 =9为所求的方程.学生小组2尝试写出对偶命题，将“椭圆”改 成“双曲线”如图4,双曲线x2 —9v2 =9的两个顶点为A1(—3, 0)，A(3, 0).与v轴平行的直线交双曲线于点E和犉，求A E和A1犉交点犘的轨迹方程学生猜想:A E和A1F交点犘的轨迹方程为x2 +9v2 =9.(解略）X2V2例3 如图5，点犘为椭圆]+yy=1上的一-犪犫点，之犉1犘犉2=0，求厶犘犉1犉2的面积.略解cos0 =(P F1 +P F2)2 —犉1犉2P F1+P F2—犉1犉22P F1•P F22P F1 •P F2—12犫2P F1•P F2 1.于2犫2是P F1•P F2=^T C0故S APFlF2=T P F1P F2sin0 ■犫21+cos0sin0=犫2tan0 .学生小组3尝试写出对偶命题：如图6,点P99X2V2为双曲线1—V y=1上的一点，Z F1P F2=0，求犪2犫2A P F1F2的面积.生H-P F1犉2P F2sin 0，因此犛a pff2 =犫ta n y.师:请问有没有不同意见？生 2:虽然 S a p ff2 =1P F1 •PFy sin0，但这-sin03(1 +cos 0)(x ^一3)①，V-sin0x—33(1 —cos 0)里的 |P F1•PF2犫21—co0，所以犛APF，F2016年第12期中学数学月刊•3 •学生为之而鼓掌，证略）例4 如图7,求证：以焦半径P R为直径的 圆必与以实轴为直径的圆相外切.学生小组4由双曲线联想到椭圆，而实轴与 长轴对偶；外切与内切对偶，于是可得对偶命题: 如图8,以焦半径P R为直径的圆必与以长轴为 直径的圆相内切.则A O为A P F i R的中位线.于是A O=1p R=1(2a士2AFi)，即AO=a士A F i，故圆 A 与以 〇为圆心、为半径的圆相外切（或内切）.2.4 小结•作业构建对偶命题的思维方法，不仅有利于我们 解题，而且使我们的思维从“再造型”逐步进化到 “创造型”，从而使我们从“学会”达到“会学”()设F i，&为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上一点，圆M分别与A P F F2的边F i P，F1F2及P F2相切，求圆M与直线F1F2相切的切 点的位置.对偶命题:设F i，F2为双曲线的左、右焦点，点P为双曲线上一点，圆M为A P F i F2的内切 圆，求圆M与直线F i F2相切的切点的位置.对偶命题略解:设A P F i F2的内切圆分别切 三边 P F i，P F2,F F2 于点 A，B，了，则 T Fi —TF2=A F i—BF2=P F i—PF2=2a，于是点了在 双曲线上，故点T为双曲线的顶点.狓2狔2(2)已知椭圆7+^2=i的左、右焦点分别为a犫2F i，F2,直线A B过点F2交椭圆分别于点A，B，求A A F i B面积的最大值并指出此时弦A B的位置．99狓2狔2对偶命题：已知双曲线7j=i的左、右焦a犫2点分别为F i，F2,直线A B是过点F2交双曲线右支分别于点A，B，求A A F i B面积的最小值并指 出此时直线A B的位置.3 回顾与反思3.1 教学设计的立意国务院大力推进大众创业、万众创新，它们是 发展的动力之源，也是富民之道、公平之计、强国 之策.大众创业与万众创新是相互支撑和相互促 动的关系.一方面，只有大众勇敢的创业才能激 发、带动和促动万众关注创新、思考创新和实践创 新，也只有大众创业的市场主体才能创造更多的 创新需求、创新投入和创新探索；另一方面，只有 在万众创新的基础上的才可能有大众愿意创业、能够创业、创得成业.从某种意义上讲，只有包含 创新的教学才算真正的教学，或者说这种创新能 力才有潜力和希望.培养学生的能力是教学的大思路、大方向，因此遵循由旧到新的发展原则，简要类比前面所学 的内容，重点突出“椭圆与双曲线已有的性质”，为学生类比探究椭圆与双曲线的另一些性质提供方 法.然后在研究性质对偶的引领下，组织学生自主 探索、合作讨论，充分发挥学生学习的主动性.让 学生在探究活动中，体会方法的作用，领悟数学变 换的魅力，发展推理能力和运算能力.让学生尝试 创造新的题目，使不同的学生在数学上得到不同 的发展，提高教学的针对性和有效性是本节课的立意.3.2 教学反思()要重视知识生成过程的教学学生学习椭圆与双曲线的难点是：把两个内 容独立分开来学.或许学生不难做出题目，但面对 具体问题却不知如何灵活应变.究其原因是教学 中压缩椭圆与双曲线之间的内在联系，急功近利 地进行大题量训练造成的，本节课强化了椭圆与双 曲线间的内在联系，强化了教学过程中的学生活动．在以往的教学中曾经尝试将椭圆与双曲线分 别由题组引入探究.实践中感到，这种教学缺乏对 学生创新能力和探索精神的培养.基于以上考虑，笔者期望在教学中能尝试使用“尝试一探究一合作”式教学模式进行教学.使学生的“知识的获 得过程”不再是简单的“师传生受”，而是让学生 依据自己已有的知识和经验主动地加以建构.在这 个建构过程中，学生应是教师主导下的主体，是知(下转第24页）•24•中学数学月刊2016年第12期图5治、历史组的教师也明白了这个概念.华罗庚先生曾对数形结合思想做了精妙的总结：数无形时少直觉，形无数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”设计意图 面积是学生熟悉的概念，从面积角度分析数量积，学生比较容易接受.困难的一点 在于面积正负的定义，有悖于生活常识.但有了正 负角的定义作铺塾，负面积也是可以接受的.在课(上接第3页）识的主动建构者.所设计的问题以及引导学生进行探究过程的发问，都力求做到“把问题定位在学生认知的最近发展区”在创设椭圆与双曲线性质必要性情景的引领下，引导学生在自主探索或合作交流中展开思维的翅膀，紧扣新旧知识的联系和掌握的数学思想方法去探究.教师巡视各组活动时给予必要的点拨、引领，极大地激发了学生主动学习的热情，使学生在学习过程中了解知识之间的联系，派生解题的思路，体会由已知走向未知的进程，体会椭圆与双曲线的关系，在知识生成过程中逐步地学会思考、学会学习.(2)要发挥学生的主体作用“满堂灌”的教学方式已被越来越多的教师所摒弃，“满堂问”的教学方式形似启发式教学，实则为“教师牵着学生，按教师事先设计的讲授程序”所进行的接受性学习.在本课中，笔者改变传统的模式，在对偶命题探究和课堂训练等主要环节上充分发挥学生的主体作用.我们意识到，教师课堂上所做的一切，最终都得由学生自己去实施.不管课堂上讲了多少，讲得多巧，如果学生不能面对具体问题，教学是无效的.教学中，我们摒弃“包办代替”，将数学教学设计成学科活动，引导学生积极参与，培养主人翁意识，合作学习的团队精神，变被动接受为主动探究，养成主动学习的习惯.学生堂上借此穿插点数学史，可以培养学生的数学素养和对数学的兴趣，这也是新课程标准所要求的.4 教后反思对于微课入课堂的尝试，笔者认为并不是所 有的课都适合微课.对一些有数学发展史背景或 者需要用到动画背景的知识，微课有一定的优势，可以引起学生的兴趣，提高课堂效率.但微课只是 课堂的补充，不能代替课堂教学.用矩形的有向面积来表示数量积是笔者的初 步尝试，对增进学生的理解能起到一定的作用，至 于是否合理还希望各位同行批评指正.参考文献[1]郑毓信.多元表征理论与概念教学[J].中学数学教学参考（上旬），2011(5):2.在参与构建对偶命题的活动中，切实理解结构特 征与内在联系，体会椭圆与双曲线的转化，从而有 助于学生从宏观上把握问题的本质，切实提高教 学的有效性.(3)要尊重学生学习的个性差异由于各种原因，班级几十个学生在学习方面 总是客观地存在差异.只有承认差异，因人而异，夯实基础，才能共同进步.课堂训练时，我们要求 学生根据自己的学习情况，有选择地做自己能做 的题目，有效提高了训练的针对性，减少了无用 功.对于学困生，只有做会简单容易的题目，学会 变换，循序渐进，才能逐步提高学业水平，操之过 急反而适得其反；对于学优生，既熟悉基础题，又在思维能力和运算能力上得到提升，才会给自己 增添不断求索的动力.从而避免学困生受不了，学 优生吃不饱，促进学困生努力赶上学优生，在授课 班级形成“超前尝试，同伴成长”的局面，促进班级 整体水平的有效提高.参考文献[1]臧立本.高中数学教育艺术[M].北京：中国工人出版社，2001.[]张祖寅，戴顺芳.高中数学“超前尝试探究学习”研 究报告[].数学通报，2009(2).。
(完整版)椭圆及其标准方程简单练习题及答案
一、课前练习：1.判断下列各椭圆的焦点位置，并说出焦点坐标、焦距。
（1）14322=+y x （2）1422=+y x （3）1422=+y x 2.求适合下列条件的椭圆标准方程：两个焦点的坐标分别为)0,4(),0,4(-，椭圆上一点P 到两焦点距离的和等于10。
3.方程221||12x y m +=-表示焦点在y 轴的椭圆时，实数m 的取值范围是____________ 二、典例：例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，()2,0，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求它的标准方程．变式练习1：与椭圆x 2+4y 2=16有相同焦点,且过点()6,5-的椭圆方程是 . 例2 如图，在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？例3如图，设A ，B 的坐标分别为()5,0-，()5,0．直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为49-，求点M 的轨迹方程．变式练习2：已知定圆x 2+y 2-6x -55=0，动圆M 和已知圆内切且过点P (-3，0)，求圆心M 的轨迹及其方程．三、巩固练习：1.平面内有两定点A 、B 及动点P ，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P 的轨迹是以A ．B 为焦点的椭圆”，那么（ B ） A ．甲是乙成立的充分不必要条件B ．甲是乙成立的必要不充分条件C ．甲是乙成立的充要条件D ．甲是乙成立的非充分非必要条件2.椭圆2255x ky -=的一个焦点是(0,2)，那么k 等于（ A ）A. 1-B. 1C. 5D. 53.椭圆191622=+y x 的焦距是 ，焦点坐标为 ；若CD 为过左焦点1F 的弦，则CD F 2∆的周长为4.若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为（ D ）A ．（0，+∞）B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）。
高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：2-2-3椭圆习题课
2.2.3椭圆习题课一、选择题1．已知椭圆的焦点是F 1，F 2是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线[答案] A[解析] ∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PQ |＝|PF 2|，∴|PF 1|＋|PF 2|＝|PF 1|＋|PQ |＝2a ，即|F 1Q |＝2a ，∴动点Q 到定点F 1的距离等于定长2a ，故动点Q 的轨迹是圆．故选A.2．如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(0,2)D ．(0,1][答案] A[解析] 椭圆方程化为x 22＋y 22k＝1. 焦点在y 轴上，则2k>2，即k <1.又k >0，∴0<k <1. 3．P 是椭圆x 2100＋y 264＝1上的一点，F 1、F 2是焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则△PF 1F 2的面积是( ) A.6433 B ．64(2＋3) C ．64(2－3) D ．64[答案] A[解析] 在△PF 1F 2中，设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则由椭圆定义知r 1＋r 2＝20 ①由余弦定理知cos60°＝r 21＋r 22－|F 1F 2|22r 1·r 2＝r 21＋r 22－1222r 2·r 2＝12，即r 21＋r 22－r 1r 2＝144 ② ①2－②得r 1r 2＝2563.∴S △PF 1F 2＝12r 1·r 2sin60°＝6433. 4．已知F 是椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a >b >0)的一个焦点，PQ 是过其中心的一条弦，且c ＝a 2－b 2，则△PQF 面积的最大值是( )A.12ab B ．ab C ．acD ．bc [答案] D[解析] 设它的另一个焦点为F ′，则|F ′O |＝|FO |，|PO |＝|QO |，FPF ′Q 为平行四边形．S △PQF ＝12S PF ′QF ＝S △PFF ′，则当P 为椭圆短轴端点时，P 到FF ′距离最大，此时S △PFF ′最大为bc .即(S △PQF )max ＝bc .5．椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上．如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的( )A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍 [答案] A[解析] 不妨设F 1(－3,0)，F 2(3,0)，由条件知P (3，±32)，即|PF 2|＝32，由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝43，|PF 1|＝732，|PF 2|＝32，即|PF 1|＝7|PF 2|. 6．设0≤α<2π，若方程x 2sin α－y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，34π∪⎝⎛⎭⎫7π4，2π B.⎣⎡π2，3π4 C.⎝⎛π2，3π4D.⎝⎛3π4，3π2[答案] C[解析] 将方程变形为：x 21sin α＋y 2－1cos α＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1sin α>01－cos α>01sin α<1－cos α，∴sin α>－cos α>0.∴α在第二象限且|sin α|>|cos α|.7．已知椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为( )A.95B ．3 C.977D.94[答案] D[解析] a 2＝16，b 2＝9⇒c 2＝7⇒c ＝7.∵△PF 1F 2为直角三角形．∴P 是横坐标为±7的椭圆上的点．(点P 不可能为直角顶点)设P (±7，|y |)，把x ＝±7 代入椭圆方程，知716＋y 29＝1⇒y 2＝8116⇒|y |＝94. 8．(2009·江西)过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.22B.33C.12D.13[答案] B [解析] 考查椭圆的性质及三角形中的边角关系运算．把x ＝－c 代入椭圆方程可得y c ＝±b 2a， ∴|PF 1|＝b 2a∴|PF 2|＝2b 2a， 故|PF 1|＋|PF 2|＝3b 2a＝2a ，即3b 2＝2a 2 又∵a 2＝b 2＋c 2，∴3(a 2－c 2)＝2a 2，∴(c a )2＝13，即e ＝33. 9．(2009·山东威海)椭圆x 24＋y 33＝1上有n 个不同的点P 1、P 2、…、P n ，椭圆的右焦点为F ，数列{|P n F |}是公差大于11 000的等差数列，则n 的最大值是( ) A ．2 000B ．2 006C ．2 007D ．2 008[答案] A[解析] ∵椭圆x 24＋y 23＝1上距离右焦点F (1,0)最近的点为右端点(2,0)，距离右焦点F (1,0)最远的点为左端点(－2,0)，数列{|P n F |}的公差d 大于11 000，不妨|P 1F |＝1，|P n F |＝3,3＝1＋(n －1)·d ，∴d ＝2n －1>11 000，n －1<2 000， 即n <2 001.∴故选A.10．已知点(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是( ) A ．x －2y ＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．2x ＋3y －4＝0D ．x ＋2y －8＝0[答案] D[解析] 设截得的线段为AB ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2), 中点坐标为(x 0，y 0)，利用“差分法”得y 21－y 22x 21－x 22＝－936，即y 1－y 2x 1－x 2·y 0x 0＝－936， ∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12，∴直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0. 二、填空题11．已知椭圆的焦点是F 1(0，－1)、F 2(0,1)，P 是椭圆上一点，并且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则椭圆的方程是________________．[答案] y 24＋x 23＝1 [解析] 由题意设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)． ∵|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，∴2a ＝4.∴a ＝2，又c ＝1，∴b 2＝3，∴方程为y 24＋x 23＝1.12．设F 1、F 2是椭圆x 23＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且|PF 1|－|PF 2|＝1，则cos ∠F 1PF 2＝____________.[答案] 35[解析] ∵|PF 1|＋|PF 2|＝4，又|PF 1|－|PF 2|＝1，∴|PF 1|＝52|PF 2|＝32|F 1F 2|＝2， ∴cos ∠F 1PF 2＝⎝⎛522＋⎝⎛⎭⎫322－222×52×32＝35. 13．已知椭圆的短半轴长为1，离心率e 满足0<e ≤32，则长轴的取值范围为________． [答案] (2,4][解析] 由e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－1a 2 得0<1－1a 2≤34. 从而－1<－1a 2≤－14， ∴14≤1a2<1，故1<a 2≤4， ∴1<a ≤2，即2<2a ≤4.14．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左右两个焦点，若椭圆C 上的点A (1，32)到F 1，F 2两点的距离之和为4，则椭圆C 的方程是________，焦点坐标是________． [答案] x 24＋y 23＝1 (±1,0) [解析] 由|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝4得a ＝2.∴原方程化为：x 24＋y 2b 2＝1，将A (1，32)代入方程得b 2＝3. ∴椭圆方程为：x 24＋y 23＝1，焦点坐标为(±1,0)． 三、解答题15．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1、F 2，斜率为k 的直线l 过左焦点F 1且与椭圆的交点为A 、B ，与y 轴交点为C ，又B 为线段CF 1的中点，若|k |≤142求椭圆离心率e 的取值范围．[解析] 设l ：y ＝k (x ＋c )则C (0，kc )，B (－c 2，kc 2)． ∵B 在椭圆上，∴c 24a 2＋k 2c 24b 2＝1. 即c 24a 2＋k 2c 24(a 2－c 2)＝1⇒e 2＋ke 21－e 2＝4. ∴k 2＝(4－e 2)(1－e 2)e 2≤72⇒2e 4－17e 2－8≤0⇒ 12≤e 2<1⇒22≤e <1. 16．已知椭圆E ：x 28＋y 24＝1. (1)直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆E 有两个公共点，求实数m 的取值范围．(2)以椭圆E 的焦点F 1、F 2为焦点，经过直线l ′：x ＋y ＝9上一点P 作椭圆C ，当C 的长轴最短时，求C 的方程．[解析] (1)直线l 与椭圆E 有两个公共点的条件是：方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 28＋y 24＝1y ＝x ＋m 有两组不同解，消去y ，得3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0.∴Δ＝16m 2－12(2m 2－8)>0，－23<m <2 3.∴实数m 的取值范围是(－23，23)．(2)依题意，F 1(－2,0)、F 2(2,0)．作点F 1(－2,0)关于l ′的对称点F 1′(9,11)．设P 是l ′与椭圆的公共点，则2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝|PF ′1|＋|PF 2|≥|F ′1F 2|＝72＋112＝170.∴(2a )min ＝170，此时，a 2＝1704＝852b 2＝a 2－c 2＝772. ∴长轴最短的椭圆方程是x 2852＋y 2772＝1. 17．如图所示，某隧道设计为双向四车通，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．I若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？ [解析] 如图所示，建立直角坐标系，则点P (11，4.5)，椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1. 将b ＝h ＝6与点P 坐标代入椭圆方程，得a ＝4477，此时l ＝2a ＝8877≈33.3 因此隧道的拱宽约为33.3米．18．椭圆中心是坐标原点O ，焦点在x 轴上，e ＝32，过椭圆左焦点F 的直线交椭圆于P ，Q 两点，|PQ |＝209，且OP ⊥OQ ，求此椭圆的方程． [解析] 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， 当PQ ⊥x 轴时，F (－c,0)，|FP |＝b 2a. 又∵|FQ |＝|FP |，且OP ⊥OQ ，∴|OF |＝|FP |，即c ＝b 2a， ∴ac ＝a 2－c 2，e 2＋e －1＝0.∴e ＝5－12.与题设e ＝32不符，所以PQ 不垂直于x 轴，设PQ 所在直线方程为y ＝k (x ＋c )，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，∵e ＝32，∴a 2＝43c 2，b 2＝13c 2. ∴椭圆方程可化为3x 2＋12y 2－4c 2＝0.将PQ 所在直线方程代入，得(3＋12k 2)x 2＋24k 2cx ＋12k 2c 2－4c 2＝0.由韦达定理，得x 1＋x 2＝－24k 2c 3＋12k 2，x 1x 2＝12k 2c 2－4c 23＋12k 2. 由|PQ |＝209，得1＋k 2.(－24k 2c 3＋12k 2)2－4(12k 2c 2－4c 2)3＋12k 2＝209.① ∵OP ⊥OQ ，∴y 1x 1·y 2x 2＝－1， 即x 1x 2＋y 1y 2＝0， ∴(1＋k 2)x 1x 2＋k 2c (x 1＋x 2)＋c 2k 2＝0，②联立①②解得c 2＝3，k 2＝411. ∴a 2＝4，b 2＝1.故椭圆方程为x 24＋y 2＝1.。
习题-椭圆及其性质
9.2 椭圆及其性质基础篇 固本夯基考点一 椭圆的定义及标准方程1.(2022届黑龙江大庆月考,4)与双曲线y 22-x 2=1共焦点,且离心率为√32的椭圆的标准方程为 ( )A.y 22+x 2=1 B.x 22+y 2=1 C.y 24+x 2=1 D.x 24+y 2=1 答案 C2.(2021新高考Ⅰ,5,5分)已知F 1,F 2是椭圆C:x 29+y 24=1的两个焦点,点M 在C 上,则|MF 1|·|MF 2|的最大值为( )A.13B.12C.9D.6 答案 C3.(2021合肥一模,5)已知F 是椭圆E:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左焦点,椭圆E 上一点P(2,1)关于原点的对称点为Q,若△PQF 的周长为4√2+2√5,则a-b=( ) A.√2 B.√22 C.√3 D.√32答案 A4.(2022届云南师大附中月考,8)已知椭圆x 24+y 23=1,F 是椭圆的左焦点,P 是椭圆上一点,若椭圆内一点A(1,1),则|PA|+|PF|的最小值为 ( )A.3B.√10C.√5+12 D.√5+1答案 A5.(2022届贵阳一中月考,15)已知m,n ∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},则方程C 9m x 2+C 9ny 2=1表示不同的椭圆的个数为 . 答案 206.(2022届四川树德中学开学考,15)已知椭圆C:x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1、F 2,M 为椭圆C 上任意一点,N 为圆E:(x-3)2+(y-2)2=1上任意一点,则|MN|-|MF 1|的最小值为 .答案 2√2-57.(2019课标Ⅲ,15,5分)设F 1,F 2为椭圆C:x 236+y 220=1的两个焦点,M 为C 上一点且在第一象限.若△MF 1F 2为等腰三角形,则M 的坐标为 . 答案 (3,√15)8.(2020哈尔滨三中二模,14)已知圆C:(x+1)2+y 2=36与定点M(1,0),动圆N 过点M 且与圆C 相切,则动圆圆心N 的轨迹方程为 . 答案x 29+y 28=1 9.(2019浙江,15,4分)已知椭圆x 29+y 25=1的左焦点为F,点P 在椭圆上且在x 轴的上方.若线段PF 的中点在以原点O 为圆心,|OF|为半径的圆上,则直线PF 的斜率是 . 答案 √1510.(2021河南名校4月冲刺考试,15)已知点F 1,F 2分别为椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左,右焦点,点A 为C 的左顶点,C 上的点到点F 2的最小距离为2.过原点O 的直线l 交C 于P,Q 两点,直线QF 1交AP 于点B,且|AB|=|BP|,则椭圆C 的标准方程为 . 答案x 29+y 28=1 考点二 椭圆的几何性质1.(2019北京,4,5分)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为12,则( ) A.a 2=2b 2B.3a 2=4b 2C.a=2bD.3a=4b答案 B2.(2017课标Ⅲ,10,5分)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A 1、A 2,且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C 的离心率为( ) A.√63B.√33C.√23D.13答案 A3.(2021河南、河北名校联盟联考,11)点P 在椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)上,F 1,F 2是椭圆的两个焦点,∠F 1PF 2=90°,且△F 1PF 2的三条边长成等差数列,则此椭圆的离心率为( ) A.57B.56C.45D.35答案 A4.(2022届安徽蚌埠开学考,10)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的右顶点为A,坐标原点为O,若椭圆上存在一点P 使得△OAP 是等腰直角三角形,则该椭圆的离心率为( ) A.√33B.√22C.√63D.√32答案 C5.(2022届山西长治月考,11)古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线,用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥,得到的截面是圆;把平面渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用周长为72的矩形ABCD 截某圆锥得到椭圆τ,且τ与矩形ABCD 的四边相切,椭圆τ的离心率为0.6,若点M,N 为椭圆τ长轴的两个端点,P 为椭圆上除去长轴端点外的任意一点,则△PMN 面积的取值范围是( ) A.(0,80) B.(0,80] C.(0,160) D.(0,160] 答案 B6.(2021全国甲,15,5分)已知F 1,F 2为椭圆C:x 216+y 24=1的两个焦点,P,Q 为C 上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F 1F 2|,则四边形PF 1QF 2的面积为 . 答案 87.(2021皖北协作体4月联考,14)“天问一号”推开了我国行星探测的大门,通过一次发射,将实现火星环绕、着陆、巡视,是世界首创,也是我国真正意义上的首次深空探测.2021年2月10日,天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道(将火星近似看成一个球体,球心为椭圆的一个焦点).2月15日17时,天问一号探测器成功实施捕获轨道“远火点(椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点)平面机动”,同时将近火点高度调整至约265公里.若此时远火点距离约为11 945公里,火星半径约为3 400公里,则调整后“天问一号”的运行轨迹(环火轨道曲线)的离心率约为 .(精确到0.1) 答案 0.68.(2022届云南玉溪质量检测一,15)已知A,B 为椭圆E:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左,右顶点,点P 在E 上,在△APB 中,tan ∠PAB=12,tan ∠PBA=29,则椭圆E 的离心率为 . 答案2√239. (2022届广西柳铁一中“韬智杯”大联考,16)椭圆C:x 218+y 2b 2=1的上、下顶点分别为A 、C,如图,点B 在椭圆上,平面四边形ABCD 满足∠BAD=∠BCD=90°,且S △ABC =2S △ADC ,则该椭圆的短轴长为 .答案 6考点三 直线与椭圆的位置关系1.(2022届江西景德镇模拟,11)已知椭圆C:x 29+y 24=1上有一动点E(异于顶点),点F,G 分别在x,y 轴上,使得E 为FG 的中点,若x 轴上一点H,满足FG ⊥EH,则|GH|的最小值为( ) A.3 B.43√5 C.45√5 D.5答案 B2.(2021名校联盟4月押题卷(一),12)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左焦点为F(-1,0),过点F 的直线交椭圆C 于A,B 两点,若A(1,y 1),则点B 横坐标的取值范围为( ) A.(-3,0) B.(-3,-1) C.(-2,0) D.(-2,-1) 答案 B3.(2021南昌重点中学联考,14)已知椭圆E:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F 的直线交E 于A,B 两点.若弦AB 的中点坐标为(1,-1),则E 的标准方程为 . 答案x 218+y 29=1 4.(2018课标Ⅰ,19,12分)设椭圆C:x 22+y 2=1的右焦点为F,过F 的直线l 与C 交于A,B 两点,点M 的坐标为(2,0).(1)当l 与x 轴垂直时,求直线AM 的方程; (2)设O 为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB. 解析 (1)由已知得F(1,0),l 的方程为x=1, 由已知可得,点A 的坐标为(1,√22)或(1,−√22).所以AM 的方程为y=-√22x+√2或y=√22x-√2.(2)当l 与x 轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°,当l 与x 轴垂直时,直线OM 为AB 的垂直平分线,所以∠OMA=∠OMB.当l 与x 轴不重合也不垂直时,设l 的方程为y=k(x-1)(k ≠0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1<√2,x 2<√2,直线MA,MB 的斜率之和为k MA +k MB =y 1x 1-2+y 2x 2-2,由y 1=kx 1-k,y 2=kx 2-k 得k MA +k MB =2kx 1x 2-3k(x 1+x 2)+4k (x 1-2)(x 2-2).将y=k(x-1)代入x 22+y 2=1得(2k 2+1)x 2-4k 2x+2k 2-2=0,所以,x 1+x 2=4k 22k 2+1,x 1x 2=2k 2-22k 2+1.则2kx 1x 2-3k(x 1+x 2)+4k=4k 3-4k -12k 3+8k 3+4k2k 2+1=0,从而k MA +k MB =0,故MA,MB 的倾斜角互补,所以∠OMA=∠OMB.综上,∠OMA=∠OMB.5.(2022届云南师大附中月考,17)椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率是√32,且点A(2,1)在椭圆C 上,O 是坐标原点.(1)求椭圆C 的方程;(2)直线l 过原点,且l ⊥OA,若l 与椭圆C 交于B,D 两点,求弦BD 的长度. 解析 (1)由e=√32,得c=√32a,b=12a,又点A(2,1)在椭圆上,所以4a 2+1a24=1,解得a=2√2,b=√2,所以椭圆C 的方程是x 28+y 22=1.(2)由题意得直线OA 的方程是y=12x,因为l ⊥OA,且l 过原点O,所以直线l 的方程是y=-2x,与椭圆联立,得17x 2=8,即x=±√2√17,不妨令B (√2√17√2√17),D (-2√217√2√17),则|BD|=√(√2√17√2√17)2+(√2√17√2√17)2=4√17017.6.(2022届甘肃嘉峪关一中开学考,20)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,且|F 1F 2|=2,点M (√3,√32)在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)已知点P(1,t)为椭圆C 上一点,过点F 2的直线l 与椭圆C 交于异于点P 的A,B 两点,若△PAB 的面积是9√27,求直线l 的方程.解析 (1)设椭圆的半焦距为c,由题意可得{2c =2,3a 2+34b2=1,a 2=b 2+c 2,解得a 2=4,b 2=3,故椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.(2)因为P(1,t)在椭圆C 上,所以14+t 23=1,解得|t|=32.当直线l 的斜率为0时,|AB|=2a=4,S △PAB =12|AB||t|=12×4×32=3.因为△PAB 的面积是9√27,所以直线l 的斜率为0不符合题意,故可设直线l 的方程为x=my+1,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),联立{x =my +1,x 24+y 23=1,整理得(3m 2+4)y 2+6my-9=0,则y 1+y 2=-6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4.故|AB|=√m 2+1|y 1-y 2|=√m 2+1·√(-6m 3m 2+4)2-4(-93m 2+4)=12(m 2+1)3m 2+4.因为点P 到直线l 的距离d=32|m|√=3|m|√,所以S △PAB =12|AB|d=12·12(m 2+1)3m 2+4·3|m|√=9|m|√m 2+13m 2+4,因为△PAB 的面积是9√27,所以9|m|√m 2+13m 2+4=9√27,整理得31m 4+m 2-32=0,解得m 2=1,即m=±1.故直线l 的方程为x=±y+1,即x±y -1=0,7.(2020天津,18,15分)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,-3),右焦点为F,且|OA|=|OF|,其中O 为原点.(1)求椭圆的方程;(2)已知点C 满足3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点),直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P,且P 为线段AB 的中点.求直线AB 的方程.解析 (1)由已知可得b=3.记半焦距为c,由|OF|=|OA|可得c=b=3.又由a 2=b 2+c 2,可得a 2=18.所以,椭圆的方程为x 218+y 29=1. (2)因为直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P,所以AB ⊥CP.依题意,直线AB 和直线CP 的斜率均存在.设直线AB 的方程为y=kx-3.由方程组{y =kx -3,x 218+y 29=1,消去y,可得(2k 2+1)·x 2-12kx=0,解得x=0,或x=12k 2k 2+1.依题意,可得点B 的坐标为(12k2k 2+1,6k 2-32k 2+1).因为P 为线段AB 的中点,点A 的坐标为(0,-3),所以点P 的坐标为(6k 2k 2+1,-32k 2+1).由3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得点C 的坐标为(1,0),故直线CP 的斜率为-32k 2+1-06k 2k 2+1-1,即32k 2-6k+1.又因为AB ⊥CP,所以k ·32k 2-6k+1=-1,整理得2k 2-3k+1=0,解得k=12或k=1.所以直线AB 的方程为y=12x-3或y=x-3.8.(2021北京,20)已知椭圆E:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)过点A(0,-2),以四个顶点围成的四边形面积为4√5. (1)求椭圆E 的标准方程;(2)过点P(0,-3)的直线l 的斜率为k,交椭圆E 于不同的两点B,C,直线AB 交y=-3于点M,直线AC 交y=-3于点N,若|PM|+|PN|≤15,求k 的取值范围.解析 (1)将A(0,-2)代入椭圆方程得b=2,由椭圆四个顶点围成的四边形面积为2ab=4√5,解得a=√5, 所以椭圆E 的标准方程为x 25+y 24=1.(2)由题意得直线l 的方程为y+3=k(x-0),即y=kx-3,将y=kx-3代入椭圆方程并化简得(4+5k 2)x 2-30kx+25=0,由Δ=(-30k)2-4×25(4+5k 2)>0,解得k<-1或k>1,设B(x 1,y 1),C(x 2,y 2),不妨设点B 位于第一象限,点C 位于第四象限,如图所示.则x 1+x 2=30k 4+5k2,x 1x 2=254+5k2,直线AB 的方程为y+2y 1+2=x -0x 1-0,令y=-3,解得x=-x 1y 1+2,得M (-x 1y 1+2,-3),同理可得N (-x 2y 2+2,-3),∴|PM|+|PN|=x 1y 1+2+x2y 2+2=x 1(y 2+2)+x 2(y 1+2)(y 1+2)(y 2+2)=x 1(kx 2-1)+x 2(kx 1-1)[(kx 1-3)+2][(kx 2-3)+2]=2kx 1x 2-(x 1+x 2)(kx 1-1)(kx 2-1)=2kx 1x 2-(x 1+x 2)k 2x 1x 2-k(x 1+x 2)+1=2k ·254+5k 2-30k 4+5k2k 2·254+5k2-k ·30k 4+5k2+1=50k -30k25k 2-30k 2+4+5k2=5k ≤15,解得k ≤3,又k>1,所以1<k ≤3.由椭圆的对称性知,当点B 位于第二象限,点C 位于第三象限时,-3≤k<-1. 综上,k 的取值范围为[-3,-1)∪(1,3].9.(2022届四川石室中学开学考,21)已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为√22,椭圆C 1的长轴是圆C 2:x 2+y 2=2的直径. (1)求椭圆C 1的标准方程;(2)过椭圆C 1的右焦点F 作两条相互垂直的直线l 1,l 2,其中l 1交椭圆C 1于P,Q 两点,l 2交圆C 2于M,N 两点,求四边形PMQN 面积的取值范围. 解析 由题意得,c a =√22,2a=2√2,解得a=√2,c=1,又a 2=b 2+c 2,所以b=1,故椭圆C 1的标准方程为x 22+y 2=1. (2)由(1)知椭圆C 1的右焦点F(1,0), 当直线l 1的斜率不存在时,|PQ|=2b 2a =√2,|MN|=2√2,故四边形PMQN 的面积S=12×√2×2√2=2, 当直线l 1的斜率为0时,|PQ|=2a=2√2,|MN|=2, 故四边形PMQN 的面积S=12×2√2×2=2√2,当直线l 1的斜率存在且不为0时,设直线l 1的方程为x=my+1,P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),由{x =my +1,x 22+y 2=1,得(2+m 2)y 2+2my-1=0,所以y 1+y 2=-2m 2+m 2,y 1·y 2=-12+m 2,所以|PQ|=√1+m 2√(y 1+y 2)2-4y 1·y 2=2√2(1+m 2)2+m 2,此时l 2的方程为mx+y-m=0,坐标原点到l 2的距离为d=|m|√,所以|MN|=2√2−(|m|√)2=2√2+m 21+m2,故四边形PMQN 的面积S=12×2√2(1+m 2)2+m 2×2√2+m 21+m 2=2√2√1+m 22+m 2=2√2√1−12+m 2∈(2,2√2),综上,四边形PMQN 面积的取值范围是[2,2√2].综合篇 知能转换考法一 求椭圆的标准方程1.(2022届陕西西北工业大学附属中学月考,5)如果点M(x,y)在运动过程中,总满足关系式√x 2+(y +3)2+√x 2+(y -3)2=4√3,则点M 的轨迹是( ) A.不存在 B.椭圆 C.线段 D.双曲线 答案 B2.(2021豫北名校5月联考,10)已知F 1(-1,0)为椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左焦点,过F 1的直线与椭圆C 交于A,B 两点,与y 轴交于D 点.若AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,|AD|=|F 1B|,则椭圆C 的标准方程为( ) A.x 22+y 2=1 B.x 23+y 22=1 C.x 24+y 23=1 D.x 25+y 24=1 答案 D3.(2021四川绵阳二模,15)已知F(1,0)为椭圆E:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的右焦点,过E 的下顶点B 和F 的直线与E 的另一个交点为A,若4BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =5FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则a= . 答案 34.(2022届贵州部分重点中学月考,16)已知圆C:x 2+(y+1)2=16,P 是圆C 上的动点,若A(0,1),线段PA 的垂直平分线与直线PC 相交于点Q,则点Q 的轨迹方程是 ;若M(2,1),则|MQ|+|QC|的最大值为 . 答案x 23+y 24=1;6 5.(2020课标Ⅲ,20,12分)已知椭圆C:x 225+y 2m 2=1(0<m<5)的离心率为√154,A,B 分别为C 的左、右顶点. (1)求C 的方程;(2)若点P 在C 上,点Q 在直线x=6上,且|BP|=|BQ|,BP ⊥BQ,求△APQ 的面积. 解析 (1)由题设可得√25−m 25=√154,得m 2=2516,所以C 的方程为x 225+y 22516=1. (2)设P(x P ,y P ),Q(6,y Q ),根据对称性可设y Q >0,由题意知y P >0.由已知可得B(5,0),直线BP 的方程为y=-1y Q(x-5),所以|BP|=y P √1+y Q 2,|BQ|=√1+y Q 2.因为|BP|=|BQ|,所以y P =1,将y P =1代入C 的方程,解得x P =3或-3.由直线BP 的方程得y Q =2或8.所以点P,Q 的坐标分别为P 1(3,1),Q 1(6,2);P 2(-3,1),Q 2(6,8).|P 1Q 1|=√10,直线P 1Q 1的方程为y=13x,点A(-5,0)到直线P 1Q 1的距离为√102,故△AP 1Q 1的面积为12×√102×√10=52.|P 2Q 2|=√130,直线P 2Q 2的方程为y=79x+103,点A 到直线P 2Q 2的距离为√13026,故△AP 2Q 2的面积为12×√13026×√130=52.综上,△APQ 的面积为52.6.(2022届四川乐山月考,20)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0),过点P (-1,√22),离心率e=√22.(1)求椭圆C 的方程;(2)过椭圆C 的左焦点F 1的直线l 交椭圆C 于A,B 两点,若在直线x=-2上存在点P,使得△ABP 为正三角形,求点P 的坐标.解析 (1)由题意得{ 1a 2+12b 2=1,c a =√22,a 2=b 2+c 2,则a 2=2,b 2=1,c 2=1,所以椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.(2)由题知,F 1(-1,0),当直线l 的斜率不存在或斜率为0时,易知,不存在符合条件的点P.当直线l 的斜率存在且不为0时,设直线l 的方程为y=k(x+1)(k ≠0),线段AB 的中点为M,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),将y=k(x+1)代入x 22+y 2=1,整理得(1+2k 2)x 2+4k 2x+2k 2-2=0,所以x 1+x 2=-4k 21+2k 2,x 1x 2=2k 2-21+2k 2,则x M =-2k 21+2k 2,y M =k(x M +1)=k 1+2k2,故|AB|=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=√(1+k 2)[16k4(1+2k 2)2-8k 2-81+2k2]=2√2×1+k21+2k2.因为△ABP为正三角形,所以PM ⊥AB,则k PM ·k AB =-1,即k PM =-1k ,故直线PM 的方程为y-k 1+2k 2=-1k (x +2k 21+2k2),将x=-2代入直线PM 的方程可得y=2k +3k 1+2k 2,故P (-2,2k +3k 1+2k2),所以点P 到直线l 的距离为|k+2k +3k2|√1+k ,又|PM|=√32|AB|,所以|k+2k +3k 2|√1+k =√32×2√2×1+k21+2k2,解得k 2=2,即k=±√2,故P 的坐标为(-2,±4√25). 7.(2022届四省八校期中联考,19)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1和F 2,若A 为椭圆上一动点,直线AF 2与椭圆交于另一点B,若三角形ABF 1的周长为8,且点(1,−32)在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程;(2)设直线F 1A 、F 1B 与直线x=4分别交于点M 、N,记直线MF 2和直线NF 2的斜率分别为k 1和k 2,若k 1k 2=54,试求直线AB 的斜率.解析 (1)由题意可得,4a=8,所以a=2,又点(1,−32)在椭圆上,易得b=√3,所以椭圆的标准方程为x 24+y 23=1. (2)由题意得直线AB 的斜率不为0,故可设直线AB 的方程为x=my+1,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),联立方程组{x =my +1,x 24+y 23=1,整理得(3m 2+4)y 2+6my-9=0,故y 1+y 2=-6m 3m 2+4,y 1·y 2=-93m 2+4,故k AF 1=y 1x 1+1,k BF 1=y 2x 2+1,所以直线F 1A 的方程为y=y 1x 1+1(x+1),故可得M (4,5y 1x 1+1),同理可得N (4,5y 2x 2+1),故k 1=5y 13(x 1+1),k 2=5y 23(x 2+1),所以k 1k 2=25y 1y 29(x 1+1)(x 2+1)=259×y 1y 2(my 1+2)(my 2+2)=259×y 1y 2m 2y 1y 2+2m(y 1+y 2)+4=259×-93m 2+4-9m 23m 2+4-12m23m 2+4+4=-2516−9m 2.故-2516−9m 2=54,解得m=±2.所以直线AB 的斜率k=±12. 8.(2018天津,19,14分)设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为√53,点A 的坐标为(b,0),且|FB|·|AB|=6√2. (1)求椭圆的方程;(2)设直线l:y=kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l 与直线AB 交于点Q.若|AQ||PQ|=5√24sin ∠AOQ(O 为原点),求k 的值.解析 (1)设椭圆的焦距为2c,由已知有c 2a 2=59, 又由a 2=b 2+c 2,可得2a=3b.由已知可得,|FB|=a,|AB|=√2b,由|FB|·|AB|=6√2,可得ab=6,从而a=3,b=2. 所以,椭圆的方程为x 29+y 24=1.(2)设点P 的坐标为(x 1,y 1),点Q 的坐标为(x 2,y 2). 由已知有y 1>y 2>0,故|PQ|sin ∠AOQ=y 1-y 2. 又因为|AQ|=y 2sin ∠OAB ,而∠OAB=π4,故|AQ|=√2y 2.由|AQ||PQ|=5√24sin ∠AOQ,可得5y 1=9y 2. 由方程组{y =kx,x 29+y 24=1消去x,可得y 1=√9k +4. 易知直线AB 的方程为x+y-2=0,由方程组{y =kx,x +y -2=0消去x,可得y 2=2kk+1.由5y 1=9y 2,可得5(k+1)=3√9k 2+4,两边平方,整理得56k 2-50k+11=0,解得k=12或k=1128. 所以,k 的值为12或1128. 考法二 求椭圆的离心率(或其范围)1.(2020长沙一模,8)设椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,点E(0,t)(0<t<b).已知动点P 在椭圆上,且P,E,F 2三点不共线,若△PEF 2的周长的最小值为3b,则椭圆C 的离心率为( ) A.√32B.√22C.12D.√53答案 D2.(2022届甘肃靖远开学考,10)已知F 1、F 2分别是椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,点P,Q 是C 上位于x 轴上方的任意两点,且PF 1∥QF 2,若|PF 1|+|QF 2|≥b,则C 的离心率的取值范围是( ) A.(0,12] B.[12,1) C.(0,√32] D.[√32,1)答案 C3.(2022届河南部分名校联考,11)已知点F 1,F 2,分别为椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左,右焦点,点M 在直线l:x=-a 上运动,若∠F 1MF 2的最大值为60°,则椭圆C 的离心率是( ) A.13 B.12C.√32D.√33答案 C4.(2018课标Ⅱ,12,5分)已知F 1,F 2是椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,A 是C 的左顶点,点P 在过A 且斜率为√36的直线上,△PF 1F 2为等腰三角形,∠F 1F 2P=120°,则C 的离心率为( )A.23B.12C.13D.14答案 D5.(2021全国乙理,11,5分)设B 是椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的上顶点,若C 上的任意一点P 都满足|PB|≤2b,则C 的离心率的取值范围是( ) A.[√22,1) B.[12,1) C.(0,√22] D.(0,12]答案 C6.(2021九师联盟4月联考,11)设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)上有一个点A,它关于原点的对称点为B,点F 为椭圆的右焦点,且满足AF ⊥BF,设∠ABF=θ,且θ∈(π12,π3),则椭圆的离心率的取值范围为( ) A.(√33,√62] B.[√22,√63) C.(√33,√62) D.(√22,√63)答案 B7.(2021东北三省四市联考,12)第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会,北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市.同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”(先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会)国家.根据规划,国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示,内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆,若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC,BD(如图2),且两切线斜率之积等于-916,则椭圆的离心率为( )图1 图2A.34B.√74C.916 D.√32答案 B8. (2022届重庆第十一中学月考,15)美学四大构件是:史诗、音乐、造型(绘画、建筑等)和数学.素描是学习绘画的必要一步,它包括了明暗素描和结构素描,而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某同学在画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱,底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体)的过程中,发现“切面”是一个椭圆,若“切面”所在平面与底面成30°角,则该椭圆的离心率为 .答案 129.(2020课标Ⅱ,19,12分)已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合,C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A,B 两点,交C 2于C,D 两点,且|CD|=43|AB|. (1)求C 1的离心率;(2)设M 是C 1与C 2的公共点.若|MF|=5,求C 1与C 2的标准方程.解析 (1)由已知可设C 2的方程为y 2=4cx,其中c=√a 2-b 2.不妨设A,C 在第一象限,由题设得A,B 的纵坐标分别为b 2a ,-b 2a ;C,D 的纵坐标分别为2c,-2c,故|AB|=2b 2a ,|CD|=4c.由|CD|=43|AB|得4c=8b 23a ,即3×c a =2-2(c a)2.解得c a =-2(舍去)或c a =12.所以C 1的离心率为12. (2)由(1)知a=2c,b=√3c,故C 1:x 24c 2+y 23c 2=1. 设M(x 0,y 0),则x 024c 2+y 023c 2=1,y 02=4cx 0,故x 024c 2+4x 03c=1.① 由于C 2的准线为x=-c,所以|MF|=x 0+c,而|MF|=5,故x 0=5-c,代入①得(5-c)24c2+4(5−c)3c =1,即c 2-2c-3=0,解得c=-1(舍去)或c=3.所以C 1的标准方程为x 236+y 227=1,C 2的标准方程为y 2=12x. 考法三 直线与椭圆位置关系问题1.(2021兰州诊断,11)已知P(2,-2)是离心率为12的椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)外一点,经过点P 的光线被y 轴反射后,所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切,则此条切线的斜率是 ( ) A.-18 B.-12 C.1 D.18答案 D2.(2022届安徽怀宁中学月考,20)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)过点-12,-√154,(√303,√66).(1)求椭圆C 的方程;(2)已知直线l:y=kx-2与椭圆C 交于M,N 两点. (i)若k=1,求线段MN 的中点坐标;(ii)当△OMN 的面积取到最大值时,求k 的值.解析 (1)由题意得{14a 2+1516b 2=1,103a 2+16b2=1,解得{a 2=4,b 2=1,故椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),MN 的中点P 的坐标为(x 0,y 0),联立{y =kx -2,x 24+y 2=1,整理得(4k 2+1)x 2-16kx+12=0,∴Δ=(-16k)2-48(4k 2+1)>0,即k 2>34,x 1+x 2=16k4k 2+1,x 1x 2=124k 2+1.(i)∵k=1,∴x 1+x 2=165,∴x 0=85,y 0=x 0-2=-25,∴线段MN 的中点坐标为(85,-25). (ii)|MN|=√1+k 2|x 1-x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=4√(k 2+1)(4k 2-3)4k 2+1,又点O 到直线l 的距离d=√1+k ,∴S △OMN =12d ·|MN|=12·√1+k·4√(k 2+1)(4k 2-3)4k 2+1=4√4k 2-34k 2+1,令√4k 2-3=t,则t>0,∴S △OMN =4t t 2+4=4t+4t ≤44=1,当且仅当t=2时等号成立,此时k=±√72,且满足Δ>0,∴△OMN 面积的最大值是1,此时k 的值为±√72.3.(2022届陕西西北工业大学附属中学月考,21)过点A(0,1)作圆x 2+y 2=12的切线,两切线分别与x 轴交于点F 1(x 1,0),F 2(x 2,0)(x 1<x 2),以F 1,F 2为焦点的椭圆C 经过点A.(1)求椭圆C 的方程;(2)直线AF 2与椭圆C 的另一个交点为B,求直线BF 1被椭圆C 截得的线段长.解析 (1)过点A(0,1)作圆x 2+y 2=12的切线,显然切线斜率存在,故可设切线方程为y=kx+1,即kx-y+1=0,则圆心(0,0)到该切线的距离d=|0-0+1|k 2+(−1)2=1k 2+1,又圆x 2+y 2=12的半径r=√22,∴1k 2+1=√22,解得k=±1,故切线方程为y=x+1或y=-x+1.令y=0,解得x 1=-1,x 2=1,故F 1(-1,0),F 2(1,0).依题意可设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),又椭圆过点A(0,1),∴b=1,又c=1,∴a 2=b 2+c 2=2,故椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.(2)由题知A(0,1),F 2(1,0),故直线AF 2的方程为x 1+y 1=1,即x+y-1=0.设直线AF 2与椭圆C 的另一个交点为B(x 3,y 3),联立{x +y -1=0,x 22+y 2=1,整理得3y 2-2y-1=0,∴y 3+1=23,解得y 3=-13,故x 3=1-(-13)=43,∴B 43,-13,则k BF 1=-13-043-(-1)=-17,故直线BF 1的方程为y=-17(x+1).设直线BF 1与椭圆C 的另一个交点为M(x 4,y 4),联立{y =−17(x +1),x22+y 2=1,整理得51y 2+14y-1=0,∴y 4-13=-1451,解得y 4=117,故x 4=-2417,∴M (-2417,117),∴|BM|=√(-2417-43)2+(117+13)2=√1402512+202512=100√251,所以直线BF 1被椭圆C 截得的线段长为100√251. 4.(2022届昆明一中双基检测二)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,且F 与椭圆C 上点的距离的取值范围为[2-√3,2+√3]. (1)求a,b;(2)若点P 在圆M:x 2+y 2=5上,PA,PB 是C 的两条切线,A,B 是切点,求△PAB 面积的最小值. 解析 (1)由题意得{a -c =2−√3,a +c =2+√3,解得{a =2,c =√3,则b=√a 2-c 2=1.(2)由(1)得,椭圆C 的方程为x 24+y 2=1,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),P(x 0,y 0),由x 124+y 12=1,得A 在直线l 1:x 1x4+y 1y=1上,将直线l 1与椭圆C 联立得,y 12x 24+y 12y 2=y 12x 24+(1−x 1x 4)2=y 12,即(x 12+4y 12)x 2-8x 1x+16-16y 12=0,则Δ=64x 12-4(x 12+4y 12)(16-16y 12)=64y 12(x 12+4y 12-4)=0,故直线l 1与C 相切,故C 在A 处的切线方程为l 1:x 1x 4+y 1y=1,同理C 在B 处的切线方程为l 2:x 2x4+y 2y=1.∵直线l 1与直线l 2相交于点P(x 0,y 0),故有x 1x 04+y 1y 0=1且x 2x 04+y 2y 0=1,∴直线AB 的方程为l:x 0x4+y 0y=1,将直线l 与椭圆C 联立得(x 02+4y 02)x 2-8x 0x+16-16y 02=0,则x 1+x 2=8x 0x 02+4y 02,x 1·x 2=16−16y 02x 02+4y 02,,故当y 0≠0时, |AB|=√1+x 0216y 02·√(x 1+x 2)2-4x 1·x 2 =√x 02+16y 024|y 0|·√(8x 0x 02+4y 02)2-4·16−16y 02x 02+4y 02 =2√x 02+16y 02·√x 02-(1-y 02)(x 02+4y 02)|y 0|(x 02+4y 02)=2√x 02+16y 02·√x 02+4y 02-4x 02+4y 02,故|AB|=2√x 02+16y 02·√x 02+4y 02-4x 02+4y 02.易验证当y 0=0时,该式也成立.∵点P 到直线l 的距离d=|x 024+y 02-1|√x 0216+y 02=0202√020,∴△PAB 的面积S=12|AB|·d=(x 02+4y 02-4)√x 02+4y 02-4x 02+4y 02,令t=√x 02+4y 02-4=√5−y 02+4y 02-4=√1+3y 02∈[1,4],则S=t 3t 2+4=11t +4t 3,易知S=11t +4t 3在t ∈[1,4]上单调递增,∴当t=1,即y 0=0,x 0=±√5时,△PAB 面积取得最小值15.5.(2021合肥二模,20)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为12,右顶点M 到左焦点的距离为3,直线l 与椭圆C 交于点A,B. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)设直线MA,MB 的斜率为k 1,k 2.若4k 1k 2+9=0,求|AB|的最小值.解析 (1)设椭圆的半焦距为c,由题意得{ca =12,a +c =3,解得{a =2,c =1.∴b=√3,∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.(2)由题意知,直线l 的斜率不为0,设其方程为x=my+n,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 由{x =my +n,x 24+y 23=1得(3m 2+4)y 2+6mny+3n 2-12=0, ∴y 1+y 2=-6mn 3m 2+4,y 1y 2=3n 2-123m 2+4,Δ=(6mn)2-4(3m 2+4)·(3n 2-12)=48(3m 2-n 2+4)>0. 由(1)知M(2,0),则直线MA,MB 的斜率分别为k 1=y 1x 1-2,k 2=y 2x 2-2,∴k 1k 2=y 1y 2(x 1-2)(x 2-2)=y 1y 2(my 1+n -2)(my 2+n -2)=y 1y 2m 2y 1y 2+m(n -2)(y 1+y 2)+(n -2)2=3n 2-123m 2+4m 2·3n 2-123m 2+4+m(n -2)(-6mn 3m 2+4)+(n -2)2=3n 2-124(n -2)2=3(n+2)4(n -2)=-94,解得n=1. ∴直线l 的方程为x=my+1,直线l 过定点(1,0),此时,y 1+y 2=-6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4, ∴|AB|=√1+m 2|y 1-y 2|=√1+m 2·√(y 1+y 2)2-4y 1y 2=√1+m 2√(-6m 3m 2+4)2+363m 2+4=√1+m 2·√144(m 2+1)(3m 2+4)2=12(m 2+1)3m 2+4=4·3m 2+33m 2+4=4(1−13m 2+4)≥3(当且仅当m=0时取等号),∴|AB|的最小值为3.6.(2021天一大联考顶尖计划第三次联考,20)已知椭圆Γ:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(c,0)(c>0),离心率为√32,经过F 且垂直于x 轴的直线交Γ于第一象限的点M,O 为坐标原点,且|OM|=√132.(1)求椭圆Γ的方程;(2)设不经过原点O 且斜率为12的直线交椭圆Γ于A,B 两点,A,B 关于原点O 对称的点分别是C,D,试判断四边形ABCD 的面积有没有最大值.若有,请求出最大值;若没有,请说明理由. 解析 (1)由题意知c a =√32,即a 2=43c 2,① 又由a 2=b 2+c 2,可得b 2=c 23.②联立{x =c,x 2a 2+y 2b 2=1,解得{x =c,y =±b 2a,则点M (c,b2a ).则|OM|=√c 2+(b2a )2=√132.③联立①②③,解得c=√3,a=2,b=1. 故椭圆Γ的方程为x 24+y 2=1.(2)设直线AB 的方程为y=12x+m,联立{y =12x +m,x 24+y 2=1,消去y 得2x 2+4mx+4(m 2-1)=0, 由题意得Δ=(4m)2-4×2×4(m 2-1)=16(2-m 2)>0,解得-√2<m<√2. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=-2m,x 1x 2=2(m 2-1).则|AB|=√1+(12)2|x 1-x 2|=√52√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√52√(-2m)2-4×2(m 2-1)=√52√8−4m 2.原点O 到直线AB 的距离d=√(12)+(−1)2=2√55·|m|,则直线CD 到直线AB 的距离d'=2d=4√55|m|, 显然四边形ABCD 是平行四边形, 所以S 四边形ABCD =|AB|d'=√52√8−4m 2·4√55|m| =2√m 2(8-4m 2)=2√14·4m 2(8-4m 2)≤2√14·(4m 2+8−4m 22)2=4,当且仅当4m 2=8-4m 2,即m=±1时,等号成立,故四边形ABCD 的面积存在最大值,且最大值为4.7.(2021宁夏名校二模,20)已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为12,过点E(√7,0)的椭圆C 1的两条切线相互垂直.(1)求椭圆C 1的方程;(2)在椭圆C 1上是否存在这样的点P,过点P 引抛物线C 2:x 2=4y 的两条切线l 1、l 2,切点分别为B 、C,且直线BC 过点A(1,1)?若存在,指出这样的点P 有几个(不必求出点的坐标);若不存在,请说明理由.解析 (1)由椭圆的对称性,不妨设在x 轴上方的切点为M,x 轴下方的切点为N,则k NE =1,NE 的直线方程为y=x-√7,因为椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为12,所以c a =12,则a=2c,由a 2=b 2+c 2得b 2=3c 2,所以椭圆C 1:x 24c 2+y 23c 2=1,联立直线NE 与椭圆的方程得{y =x -√7,x 24c 2+y 23c 2=1,消去y 得7x 2-8√7x+28-12c 2=0,则有Δ=0,即(-8√7)2-4×7×(28-12c 2)=0,解得c 2=1,所以椭圆C 1的方程为x 24+y 23=1.(2)设点B(x 1,y 1),C(x 2,y 2),P(x 0,y 0),由x 2=4y,即y=14x 2,得y'=12x,∴抛物线C 2在点B 处的切线l 1的方程为y-y 1=x 12(x-x 1).即y=x12x+y 1-12x 12,∵y 1=14x 12,∴y=x 12x-y 1.∵点P(x 0,y 0)在切线l 1上,∴y 0=x 12x 0-y 1.① 同理,y 0=x 22x 0-y 2.②由①、②得,点B(x 1,y 1),C(x 2,y 2)的坐标都满足方程y 0=x 2x 0-y.∵经过B(x 1,y 1),C(x 2,y 2)两点的直线是唯一的,∴直线BC 的方程为y 0=x 2x 0-y, ∵点A(1,1)在直线BC 上,∴y 0=12x 0-1, ∴点P 的轨迹方程为y=12x-1.又∵点P 在椭圆C 1上,在直线y=12·x-1上,直线y=12x-1经过椭圆C 1内一点(0,-1),∴直线y=12x-1与椭圆C 1交于两点,∴满足条件的点P 有两个.。
椭圆的定义习题
第二章 2.2.2 第一课时一、选择题1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( )A ．(±13,0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69)解析：选D 由题意知椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A ．x 23＋y 22＝1 B ．x 23＋y 2＝1 C ．x 212＋y 28＝1D ．x 212＋y 24＝1]解析：选A 由椭圆的性质知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，又∵△AF 1B 的周长＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝43，∴a ＝3． 又∵e ＝33，∴c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝2， ∴椭圆的方程为x 23＋y 22＝1．3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的短轴长与椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长相等，则( )A ．a 2＝25，b 2＝16B ．a 2＝9，b 2＝25C ．a 2＝25，b 2＝9或a 2＝9，b 2＝25D ．a 2＝25，b 2＝9（解析：选D 因为椭圆x 225＋y 216＝1的长轴长为10，焦点在x 轴上，椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长为6，所以a 2＝25，b 2＝9．4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP ―→＝2PB ―→，则椭圆的离心率是( )A ．32B ．22C ．13D ．12解析：选D ∵AP ―→＝2PB ―→，∴|AP ―→|＝2|PB ―→|． 又∵PO ∥BF ，∴|PA ||AB |＝|AO ||AF |＝23， 即a a ＋c＝23，∴e ＝c a ＝12． 5．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A ．22B ．33C ．12D ．13*解析：选B 法一：将x ＝－c 代入椭圆方程可解得点P ⎝⎛⎭⎫－c ，±b 2a ，故|PF 1|＝b 2a ．在Rt △F 1PF 2中∠F 1PF 2＝60°，所以|PF 2|＝2b 2a .根据椭圆定义得3b 2a ＝2a ， 从而可得e ＝c a ＝33．法二：设|F 1F 2|＝2c ，则在Rt △F 1PF 2中， |PF 1|＝233c ，|PF 2|＝433c ．所以|PF 1|＋|PF 2|＝23c ＝2a ，离心率e ＝c a ＝33． 二、填空题6．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是__________________________．解析：椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，因此可设待求椭圆为x 2m ＋y 2m ＋5＝1．*又因为b ＝25，故m ＝20，得x 220＋y 225＝1．答案：x 220＋y 225＝17．椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12，则m ＝________． 解析：当焦点在x 轴上时，4－m 2＝12⇒m ＝3；当焦点在y 轴上时，m －4m＝12⇒m ＝163． 综上，m ＝3或m ＝163． 答案：3或1638．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55， 且过点P (－5,4)，则椭圆的方程为__________．解析：∵e ＝c a ＝55， ∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15，#∴5a 2－5b 2＝a 2，即4a 2＝5b 2．设椭圆的标准方程为x 2a 2＋5y 24a 2＝1(a ＞0)． ∵椭圆过点P (－5,4)，∴25a 2＋5×164a 2＝1， 解得a 2＝45.∴椭圆的方程为x 245＋y 236＝1．答案：x 245＋y 236＝1 三、解答题9．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22，过点F 1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，求椭圆C 的标准方程．解：设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 由e ＝22知c a ＝22，故c 2a 2＝12， 从而a 2－b 2a 2＝12，b 2a 2＝12．[由△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16，得a ＝4，所以b 2＝8.故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 28＝1．10．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点是A (a,0)，其上存在一点P ，使∠APO ＝90°，求椭圆离心率的取值范围．解：设P (x ，y )，由∠APO ＝90°知，点P 在以OA 为直径的圆上，圆的方程是：⎝⎛⎭⎫x －a 22＋y 2＝⎝⎛⎭⎫a 22， ∴y 2＝ax －x 2.①又∵P 点在椭圆上，∴x 2a 2＋y 2b 2＝1.②把①代入②化简，得(a 2－b 2)x 2－a 3x ＋a 2b 2＝0， 即(x －a )[(a 2－b 2)x －ab 2]＝0.∵x ≠a ，x ≠0， ∴x ＝ab 2a 2－b 2，又0＜x ＜a ，∴0＜ab 2a 2－b 2＜a ，即2b 2＜a 2．由b 2＝a 2－c 2，得a 2＜2c 2，∴e ＞22． 又∵0＜e ＜1，∴22＜e ＜1， 即椭圆离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫22，1． …。
椭圆课后习题
3.1椭圆
3.1.1椭圆及其标准方程
例1已知椭圆的两个焦点坐标分别是 ， ，并且经过点 ，求它的标准方程．
解：由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为 ．
由椭圆的定义知 ，
，
所以 ，
所以 ．
所以，所求椭圆的标准方程为
．
例2如图3.1-5，在圆 上任取一点P，过点P作x轴的垂线段 ，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段 的中点M的轨迹是什么？为什么？
3.1.2椭圆的简单几何性质
例4求椭圆 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．
解：把原方程化成标准方程，得
，
于是 ， ， ．
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是 和 ，离心率 ，两个焦点坐标分别是 和 ，四个顶点坐标分别是 ， ， 和 ．
练习
5.你能用圆规作出图中椭圆焦点的位置吗？你的依据是什么？
则椭圆的标准方程为： =1；
（2）c=3，e= ，即 ，解得，a=5，b2=a2﹣c2=25﹣9=16．
则椭圆的标准方程为： =1．
考点：椭圆方程及性质
8.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过 ， 两点；
（2）长轴长等于20，离心率等于 ．
【答案】（1） （2） 或 .
【解析】
【分析】（1）设出椭圆方程,根据椭圆经过点 , ,得出 ,代入方程即可.
4.已知A，B两点的坐标分别是 ， ，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2，点M的轨迹是什么？为什么？
【答案】点M的轨迹是直线 ，并去掉点
【解析】
【分析】设出点M的坐标，求出直线 斜率，由 可求出.
【详解】设点M的坐标为 ，则 ， ，
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x1＋ x2 2－ 4x1x2 .
5
探究展示
x2 y2 问题：若点 O和F点 分 别 为 椭 圆 1的 中 心 和 4 3 左焦点，点 P为 椭 圆 上 的 任 意 一 点 求 ，OP FP的 最 大值。
焦点在 x a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
轴对称，中心对称 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a,) B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长 离心率
长轴长 A 1A 2＝ 2a , 短轴长 B1B 2＝ 2b
2.2.9 椭圆习题课
【学习目标】 1．掌握椭圆的定义及标准方程； 2．掌握椭圆的简单几何性质，并能简单运用； 3．掌握直线与椭圆的位置关系，并能处理相关的问题。
复习回顾
焦点位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
M
图形
M
定义式 标准 方程 焦点 焦距 a,b,c 关系
|MF1|＋|MF2|＝2a (2a>|F1F2|)
y
P
F
o
x
精讲点拨
例 1. 如图所示，F1、F2 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上 点 M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴 2 长的 ，求椭圆的离心率． 3
x2 y2 变式练习．已知 P 是以 F1，F2 为焦点的椭圆 2＋ 2＝ 1(a>b>0)上 a b 1 一点 ,且 PF1⊥PF2， tan∠ PF1F2＝ ，则该椭圆的离心率为( 2 1 A. 2 2 B. 3 1 C. 3 5 D. 3
c e＝ a
(0<e<1)
4
1．直线与椭圆的三种位置关系是： ____________________. 相交、相切、相离 y＝ kx＋ b， 2．联立直线与椭圆方程得到方程组 f x，y ＝0， 消元得:
Ax2＋ Bx＋ C＝ 0,由其判别式可判断直线与椭圆的位置关系：
相交 (1)当Δ>0 时，直线与椭圆 ________ ． 相切 (2)当Δ＝ 0 时直线与椭圆 ________ ． 相离 (3)当Δ<0 时，直线与椭圆 ________ ．
D
)
解析：由题意，得|PF1|＝2|PF2|，又|PF1|＋|PF2|＝2a，解得 4 2 20 2 2 2 2 |PF1|＝3a，|PF2|＝3a，又|PF1| ＋|PF2| ＝4c ，所以 9 a ＝4c2， 5 则 e＝ 3 .
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例 2.椭圆 ax2＋by2＝ 1 与直线 x＋y －1＝0 相交于 A,B 两点，C 是 2 AB 的中点，若|AB|＝2 2，OC 的斜率为 ，求椭圆的方程． 2
x 2 y2 ＋ ＝1 (a>b>0) a2 b2
y2 x2 ＋ 2＝1 (a>b>0) 2 a b
F1(-c,0), F2(c,0) 2c
F1(0，-c), F2(0,c)
a2＝ b2＋c2
2
第二定义的定义式为:
y
M
d
a2 l x= c
|MF| =e (0<e<1) d
o
F(c,0) x
3
焦点位置
的直
线与椭圆交于 P、Q 两点，求 F2 PQ 的面积 . 3.已知椭圆中心在原点，一焦点为 (0，－ 3)，且离心率为 (1)求椭圆 C 的方程； (2)设直线 y＝kx＋ 1 与曲线 C 交于 A、 B 两点，是否存在常数 k 使
OA OB ？若存在，求 k 的值 .
12
3 2 .
1.设椭圆 C:
x2 y 2 3 ＋ ＝ 1 ( a > b >0) 过点 (0,4) ，离心率为 . a2 b2 5
(1)求 C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为4的直线被 C 所截线段的中点坐标．
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2.已知 F1 , F2 分别是椭圆
x2 y 2 1 的左右焦点，过 F1 作倾斜角为 4 2
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达标检测
分别求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)与椭圆 4x2＋9y2＝ 36 共焦点，且过点 (3，－ 2)的椭圆． (2)在 x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直， 且焦距为 6 的椭圆.
归纳延伸
1．通过椭圆方程可讨论椭圆的简单几何性质；反之，由椭圆的性质 也可以通过待定系数法求椭圆的方程 ; 2 ．椭圆的离心率反映了椭圆的扁平程度，离心率从关于 a 、b 、c 的一个方程即可求得 ; 3.直线与椭圆的位置关系，可考虑由直线方程和椭圆方程得到一元 二次方程，利用“Δ ”进行判定，求弦长时可考虑“设而不求”利 用韦达定理整体代入思想． 4.利用“点差法”可以求解“中点弦”的问题。