数学故事—约瑟夫问题与因式分解

3约瑟夫斯问题

• 例3：有100张的一摞卡片，玲玲拿着它们，从最上面的一张开始按如下的顺序进行操作：把最上面的第一张卡片舍去，把下一张卡片放在这一摞卡片的最下面。再把原来的第三张卡片舍去，把下一张卡片放在最下面. 反复这样做直到手中只剩下一张卡片，那么剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的第几张？
• 练习1：有两副扑克牌，每副牌的排列顺序均按头两张是大王、小王，然后黑桃、红桃、方块、梅花4种花色排列，每种花色的牌又按 2，3，的顺序排列。某人把按上述排列的两副扑克牌上、下叠放在一起，然后把第1张丢掉，把第2张放在最底层，再把第3张丢掉，把第4张放在最底层，，如此进行下去，直到最后只剩下一张牌。试问剩下的这张牌是哪一张？
• 例2：有1000个学生坐成一圈，依次编号为1,2， 3,…，1000. 现在进行1，2，1，2，…这样报数. 1号学生报1后立即离开，2号学生报2并留下；三号学生报1后立即离开，4号学生报2并留下； …；如此进行下去，报1的同学离开，报2的同学留下，直到最后还剩下1个人. 问这个人的编号是多少？
百度文库
• 例4：把1，2，. . . ，999这999个数均匀排成一个大圆圈，从1开始数：隔过1划掉2， 3，隔过4，划掉5，6，. . .，这样每隔一个数划掉两个数，转圈划下去. 问：最后剩下哪个数？为什么？
例5：圆周上放有N枚棋子，如
右图所示. B点的一枚棋子

抽杀问题-约瑟夫问题

[阅读材料]世界名题与小升初之：

抽杀问题（約瑟夫问题）

--马到成功老师在各类竞赛中，各类小升初考试中相关的世界名题出现的概率极高，这是由小升初与数学竞赛的特点决定，这特点便是：知识性，趣味性，思想性相结合。

先给大家介绍这一问题的由来。

据说著名犹太历史学家Josephus有过以下的故事：在罗马人占领乔塔帕特後，39 個犹太人与Josephus及他的朋友躲到一個洞中，39個犹太人決定宁愿死也不要被人抓到，于是決定了一个自杀方式，41個人排成一个圆圈，由第1個人开始报数，每报数到第3人该人就必須自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。

然而Josephus 和他的朋友并不想遵从，Josephus要他的朋友先假装遵从，他將朋友与自己安排在第16個与第31個位置，于是逃过了这场死亡游戏。

解法

約瑟夫问题可用代数分析來求解，将这个问题扩大好了，假设现在您与m个朋友不幸参与了这个游戏，您要如何保护您的朋友？只要画两个圆圈就可以让自己与朋友免于死亡游戏，这两个圆圈是排列顺序，而外圈是自杀顺序，如下图所示：

使用程式来求解的话，只要将阵列当作环状来处理就可以了，在列中由计数1开始，每找到三个无资料区就填入一个计数，直接计数來求解的話，只要將阵列当作环状来处理就可以了，在阵列中由計数1开始，每找到三个无资料区就填入一个計数，直而計数达41为止，然后將阵列由索引1开始列出，就可以得知每个位置的自杀順序，这就是約瑟夫排列，41個人报数3的約瑟夫排列如下所示：

14 36 1 38 15 2 24 30 3 16 34 4 25 17 5 40 31 6 18 26 7 37 19 8 35 27 9 20 32 10 41 21 11 28 39 12 22 33 13 29 23

数学故事—约瑟夫问题与因式分解

数学故事——约瑟夫问题与因式分解有一个古老的传说，有64名战士被敌人俘虏了，敌人命令它们排成一个圈，编上号码1，2，3，……64。敌人把1号杀了，又把3号杀了，他们是隔一个杀一个这样转着圈杀。最后剩下一个人，这个人就是约瑟夫，请问约瑟夫是多少号？

这就是数学上有名的“约瑟夫问题”。给大家一个提示，敌人从l号开始，隔一个杀一个，第一圈把奇数号码的战士全杀死了。剩下的32名战士需要重新编号，而敌人在第二圈杀死的是重新编排的奇数号码。按照这个思路，看看你能不能解决这个问题？

（答案）

由于第一圈剩下的全部是偶数号2，4，6，8，……64。把它们全部用2除，得1，2，3，4，……32．这是第二圈重新编的号码。第二圈杀过之后，又把奇数号码都杀掉了，还剩下16个人。如此下去，可以想到最后剩下的必然是64号。

64＝2×2×2×2×2×2，它可以连续被2整除6次，是从1到64中质因数里2最多的数，因此，最后必然把64号剩下。从64＝2×2×2×2×2×2还可以看到，是转过6圈之后，把约瑟夫斯剩下来的。

约瑟夫斯问题探究

学而思培优陈绍伦问题背景

据说著名犹太历史学家约瑟夫斯有过以下的故事：在罗马人占领乔塔帕特后，39个犹太人与约瑟夫斯及他的朋友躲到一个洞中，他们宁死也不愿被敌人抓到，于是决定了一个自杀方式：41个人排成一个圆圈，由第1个人开始报数，每报数到第3人该人就必须自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止．

可是约瑟夫斯和他的朋友并不想遵从，他们打算选择合适的位置，留到最后避免处决．于是，他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置，逃过了这场死亡游戏．也因此，我们以故事的主人公命名这一系列的“抽杀”问题．

情景一：直线型

让我们先从比较简单的直线型猫吃老鼠着手研究．

【问题1】（隔1吃1）

猫将4只老鼠排成一行，先隔1只，再吃1只，再隔1只，再吃1只，……一轮结束后再次重新开始，直到最后剩下1只老鼠，这只老鼠是原来的第________只．

其实这题更像是一个“脑筋急转弯”：第一只老鼠有可能被吃掉吗？答案显而易见！

结论：排成一行，隔1吃1，留下的总是第1只．

【问题2】（吃1隔1）

（1）猫将4只老鼠排成一行，先吃1只，再隔1只，再吃1只，再隔1只，……一轮结束后再次重新开始，直到最后剩下1只老鼠，这只老鼠是原来的第________只．

（2）猫将10只老鼠排成一行，先吃1只，再隔1只，再吃1只，再隔1只，……一轮结束后再次重新开始，直到最后剩下1只老鼠，这只老鼠是原来的第________只．

对于数字比较简单的情况，实际动手操作是得到答案的好方法！

（1）4只老鼠时：

第一轮猫吃掉1、跳过2、吃掉3、跳过4，留下2、4；

浙教版数学八下课件2.2一元二次方程的解法(一)(20张)

例2 、解下列一元二次方程
（1）(x 5)(3x 2) 10 （2） (3x 4)2 (4x 3)2
பைடு நூலகம்
例2 、解下列一元二次方程
（1）(x 5)(3x 2) 10 （2）(3x 4)2 (4x 3)2
解：（1）化简方程，得
3x2 17x 0
方程左边因式分解，得
边为零；
*将方程的左边分解因式； *根据若A·B=0,则A=0或B=0,将解一元二次方程
转化为解两个一元一次方程。
化归思想
辩一辩:下列解一元二次方程的方法对吗？若不对，请改正
y² =3y
改正:y²=3y
解：两边同时除以y得： y=3
x
解：移项得：
y² -3y=0 y(y-3)=0 y=0或y-3=0 解得 :y1=0,y2=3
2x+3＝0,或2x-3＝0.
解得x1＝- ,x2＝
结论：若A×B=0，则 A=0或B=0。
请利用上面的结论解方程：
例1：解下列方程：
1 x2 3x 0
2 25x2 16
像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
它的基本步骤是：
*若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右
x(3x 17) 0
x 0 ,或3x 17 0
解得
x1

抽杀问题-约瑟夫问题课件(16张PPT)

故事引入
提出问题
推导公式
变式拓展
50 1
49
第一步：去掉1、3、5···33、35
一共18位同学，剩余50-18=32=25位
同学；
……
第二步：把37号同学看作为第一位同学，重新开始报数；
第三步：按照2n位同学做游戏的规律，可以得到最后留下的编号的 2 38
是36。
37 1
36 2
35
34
23 4 5
……
故事引入
提出问题
推导公式
变式拓展
第一步：去掉1、3、5···2（x2n）-1，一共x-2n位同学，剩余2n位 …… 同学；
第二步：把2（x-2n）+1号同学看作为第一位同学，重新开始报数；
第三步：按照2n位同学做游戏的规律，可以得到最后留下的编号 2（x-2n）+1 的是2（x-2n）。
X1
故事引入
提出问题
推导公式
变式拓展
2n位同学留1去2的话，会剩下哪位同学？编号最小的那位同学
故事引入
提出问题
推导公式
变式拓展
第一步：去掉2、4、5···36一共 18位同学，剩余50-18=32=25位同学；
50 1
49
第二步：把37号同学看作为第一位 …… 同学，重新开始报数；
第三步：按照2n位同学做游戏的规

小学趣味数学故事之约瑟夫问题

数学中的一些美丽定理具有这样的特性: 它们极易从

事实中归纳出来, 但证明却隐藏的极深.下面是为大家收集的趣味数学故事之约瑟夫问题，供大家参考。

有一个古老的传说，有64名战士被敌人俘虏了，敌人命令它们排成一个圈，编上号码1，2，3，……64。敌人把1号杀了，又把3号杀了，他们是隔一个杀一个这样转着圈杀。最后剩下一个人，这个人就是约瑟夫，请问约瑟夫是多少号?

这就是数学上有名的“约瑟夫问题”。给大家一个提示，敌人从l号开始，隔一个杀一个，第一圈把奇数号码的战士全杀死了。剩下的32名战士需要重新编号，而敌人在第二圈杀死的是重新编排的奇数号码。按照这个思路，看看你能不能解决这个问题?

答案解析：

由于第一圈剩下的全部是偶数号2，4，6，8，……64。把它们全部用2除，得1，2，3，4，……32.这是第二圈重新编的号码。第二圈杀过之后，又把奇数号码都杀掉了，还剩下16个人。如此下去，可以想到最后剩下的必然是64号。

64=2×2×2×2×2×2，它可以连续被2整除6次，是从1

到64中质因数里2最多的数，因此，最后必然把64号剩下。

从64=2×2×2×2×2×2还可以看到，是转过6圈之后，把约瑟夫斯剩下来的。

约瑟夫问题大全

“约瑟夫”问题及若干变种

林厚从

例1、约瑟夫问题(Josephus)

[问题描述]

M只猴子要选大王，选举办法如下：所有猴子按1…M编号围坐一圈，从第1号开始按顺序1，2，…，N报数，凡报到N的猴子退出到圈外，再从下一个猴子开始继续1~ N报数，如此循环，直到圈内只剩下一只猴子时，这只猴子就是大王。

M和N由键盘输入，1≤N,M≤10000，打印出最后剩下的那只猴子的编号。

例如，输入8 3，输出：7。

[问题分析1]

这个例题是由古罗马著名史学家Josephus提出的问题演变而来的，所以通常称为Josephus(约瑟夫)问题。

在确定程序设计方法之前首先来考虑如何组织数据，由于要记录m只猴子的状态，可利用含m 个元素的数组monkey来实现。利用元素下标代表猴子的编号，元素的值表示猴子的状态，用monkey[k]=1表示第k只猴子仍在圈中，monkey[k]=0则表示第k只猴子已经出圈。

程序采用模拟选举过程的方法，设变量count表示计数器，开始报数前将count置为0，设变量current表示当前报数的猴子编号，初始时也置为0，设变量out记录出圈猴子数，初始时也置为0。每次报数都把monkey[current]的值加到count上，这样做的好处是直接避开了已出圈的猴子（因为它们对应的monkey[current]值为0），当count=n时，就对当前报数的猴子作出圈处理，即：monkey[current]：=0，count：=0，out：=out+1。然后继续往下报数，直到圈中只剩一只猴子为止（即out=m-1）。参考程序如下：

具体数学笔记-约瑟夫问题

据说著名犹太历史学家Josephus有过以下的故事：

在罗马⼈占领乔塔帕特后，39 个犹太⼈与Josephus及他的朋友躲到⼀个洞中，39个犹太⼈决定宁愿死也不要被敌⼈抓到，于是决定了⼀个⾃杀⽅式，41个⼈排成⼀个圆圈，由第1个⼈开始报数，每报数到第3⼈该⼈就必须⾃杀，然后再由下⼀个重新报数，直到所有⼈都⾃杀⾝亡为⽌。

然⽽Josephus和他的朋友并不想遵从。⾸先从⼀个⼈开始，越过k−2个⼈（因为第⼀个⼈已经被越过），并杀掉第k个⼈。

接着，再越过k−1个⼈，并杀掉第k个⼈。这个过程沿着圆圈⼀直进⾏，直到最终只剩下⼀个⼈留下，这个⼈就可以继续活着。问题是，给定了和，⼀开始要站在什么地⽅才能避免被处决？

Josephus要他的朋友先假装遵从，他将朋友与⾃⼰安排在第16个与第31个位置，于是逃过了这场死亡游戏。

现在考虑k=2时的问题，我们设J(n)表⽰当有n个⼈时幸存者的编号。

假设⼀开始有2n个⼈，那么⼀轮后会剩下1,3,5,7...2n−1,并且⼜是从1开始跳。

所以J(2n)=2J(n)−1

奇数的情况差不多,会剩下3,5,7,9....2n+1

所以J(2n+1)=2J(n)+1

⽤这个⽅法可以在log2n的时间内求出J(n)

接下来我们可以打⼀个表

容易发现J(2m+l)=2l+10≤l<2m

⽤数学归纳法很容易证。

⾄此这个问题已经解决，但我们还可以发现⼀些东西。

设n的⼆进制展开为

n=(b m b m−1...b1b0)2b m=1

把2l+1表⽰出来

2l+1=(b m−1...b1b01)2

约瑟夫环问题的两种解法（详解）

题⽬：

Josephus有过的故事：39 个犹太⼈与Josephus及他的朋友躲到⼀个洞中，39个犹太⼈决定宁愿死也不要被敌⼈抓。于是决定了⾃杀⽅式，41个⼈排成⼀个圆圈，由第1个⼈开始报数，每报数到第3⼈该⼈就必须⾃杀。然后下⼀个重新报数，直到所有⼈都⾃杀⾝亡为⽌。然⽽Josephus 和他的朋友并不想遵从，Josephus要他的朋友先假装遵从，他将朋友与⾃⼰安排在第16个与第31个位置，于是逃过了这场死亡游戏。

对于这个题⽬⼤概两种解法：

⼀、使⽤循环链表模拟全过程

⼆、公式法

我们假设这41个⼈编号是从0开始，从1开始报数，第3个⼈⾃杀。

1、最开始我们有这么多⼈：

[ 0 1 2 3 4 5 ... 37 38 39 40 ]

2、第⼀次⾃杀，则是(3-1)%41=2 这个⼈⾃杀，则剩下：

[ 0 1 3 4 5 ... 37 38 39 40 ]

3、然后就是从编号为3%41=3的⼈开始从1报数，那么3号就相当于头，既然是头为什么不把它置为0，这样从它开始就⼜是与第1,2步⼀样的步骤了，只是⼈数少了⼀个，这样不就是递归了就可以得到递归公式。想法有了就开始做：

4、把第2步中剩下的⼈编号减去3映射为：

[ -3 -2 0 1 2 ... 34 35 36 37 ]

5、出现负数了，这样不利于我们计算，既然是环形，37后⾯报数的应该是-3，-2，那么把他们加上⼀个总数（相当于加上360度，得到的还是它）

[ 38 39 0 1 2 3 ... 34 35 36 37 ]

小学趣味数学故事之约瑟夫问题

数学中的一些美丽定理具有这样的特性: 它们极易从事实中归纳出来, 但证明却隐藏的极深.下面是为大家收集的趣味数学故事之约瑟夫问题,供大家参考。

有一个古老的传说,有64名战士被敌人俘虏了,敌人命令它们排成一个圈,编上号码1 ,2 ,3 ,……64。敌人把1号杀了,又把3号杀了,他们是隔一个杀一个这样转着圈杀。最后剩下一个人,这个人就是约瑟夫,请问约瑟夫是多少号?

这就是数学上有名的“约瑟夫问题〞。给大家一个提示,敌人从l号开始,隔一个杀一个,第一圈把奇数号码的战士全杀死了。剩下的32名战士需要重新编号,而敌人在第二圈杀死的是重新编排的奇数号码。按照这个思路,看看你能不能解决这个问题?

答案解析：

由于第一圈剩下的全部是偶数号2 ,4 ,6 ,8 ,……64。把它们全部用2除,得1 ,2 ,3 ,4 ,……32.这是第二圈重新编的号码。第二圈杀过之后,又把奇数号码都杀掉了,还剩下16个人。如此下去,可以想到最后剩下的必然是64号。

64=2×2×2×2×2×2 ,它可以连续被2整除6次,是从1到64中质因数里2最多的数,因此,最后必然把64号剩下。从64=2×2×2×2×2×2还可以看到,是转过6圈之后,把约瑟夫斯剩下来的。

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约瑟夫问题

简介

约瑟夫问题是一个经典的数学问题，由弗拉维奥·约瑟夫斯(Josephus Flavius)所

提出。问题的背景是：在一个固定长度的圆桌周围围坐着n个人，从第一个人开

始报数，报到m的人出圈，然后从下一个人开始重新报数，直到剩下最后一个人。问题是，给定n和m，求最后剩下的人的编号。

解法

暴力破解法

最直观的解法是使用循环和数组来模拟这个过程。首先，我们用一个数组来表

示这些人的编号，例如[1, 2, 3, ..., n]。然后我们在循环中模拟报数的过程，

每次报到m的人就从数组中删除。当数组中只剩下一个元素时，就找到了最后剩

下的人。

def josephus(n, m):

people = list(range(1, n +1))

idx =0

while len(people) >1:

idx = (idx + m -1) % len(people)

people.pop(idx)

return people[0]

这种解法的时间复杂度为O(n*m)，并且在n很大的情况下，性能会变得很差。

数学公式法

约瑟夫问题其实存在一个更巧妙的解法，不需要模拟整个过程，而是通过数学公式来直接计算出最后剩下的人的编号。

如果我们将问题的规模缩小为n-1，即在一个长度为n-1的圆桌上进行同样的操作，求出的结果为f(n-1, m)。然后我们将这个结果映射到原始问题的编号上，即将f(n-1, m)变为f(n, m)。

计算f(n, m)的过程如下： - 首先，我们将f(n, m)映射到f(n-1, m)上。假设f(n, m) = x，那么f(n, m)在映射到f(n-1, m)上的过程中，每次都将整个序列向后移动m 位，即f(n, m)在映射到f(n-1, m)上的过程中，原来的第x个元素变成了第x+m个元素。因此，f(n-1, m) = (x + m) % n。 - 其次，我们将f(n-1, m)映射回f(n, m)上。假设f(n-1, m) = y，那么f(n-1, m)经过映射回到f(n, m)的过程中，每次都将整个序列向前移动m位，即f(n-1, m)在映射回f(n, m)上的过程中，原来的第y个元素变成了第y-m个元素。因此，f(n, m) = (y - m + n) % n。

约瑟夫问题

约瑟夫问题是个有名的问题：N个人围成一圈，从第一个开始报数，第M个将被杀掉，最后剩下一个，其余人都将被杀掉。例如N=6，M=5，被杀掉的人的序号为5，4，6，2，3。最后剩下1号。

假定在圈子里前K个为好人，后K个为坏人，你的任务是确定这样的最少M，使得所有的坏人在第一个好人之前被杀掉。

举个例子：

有64名战士被敌人俘虏了。敌人命令他们拍成一圆圈，编上号码1，2，3…，64。敌人把1号杀了，又把3号杀了，他们隔着一个杀一个这样转着圈杀。最后只剩下一个人，这个人就是约瑟夫斯。请问约瑟夫斯是多少号？（这就是“约瑟夫斯”问题。）

这个问题解答起来比较简单：敌人从1号开始，隔一个杀一个，第一圈把所有的奇数号码的战士圈杀光了。剩下的32名战士需要重新编号，而敌人在第二圈杀死的是重新编号的奇数号码。

由于第一圈剩下的全部是偶数号2，4，6，…，64。把它们全部用2去除，得1，2，3，…，32。这是第二圈编的号码。第二圈杀过以后，又把奇数号码都杀掉了，还剩16个人。如此下去，可以想到最后剩下的必然是64号。

$64=2^6$，它可以连续被2整除6次，是从1到64中能被2整除次数最多的数，因此，最后必然把64 号留下。

如果有65名战士被俘，敌人还是按上述的方法残杀战士，最后还会剩下约瑟夫斯吗？

经过计算，很容易得到结论，不是。因为第一个人被杀后，也就是1号被杀后，第二个被杀的是必然3号。如果把1号排除在外，那么还剩下的仍是64人，新1号就是3号。这样原来的2号就变成了新的64 号，所以剩下的必然是2号。

约瑟夫环问题的三种解法

约瑟夫问题(数学解法及数组模拟)

约瑟夫问题（有时也称为约瑟夫斯置换，是一个出现在计算机科学和数学中的问题。在计算机编程的算法中，类似问题又称为约瑟夫环。又称“丢手绢问题”.）据说著名犹太历史学家 Josephus有过以下的故事：在罗马人占领乔塔帕特后，39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中，39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓到，于是决定了一个自杀方式，41个人排成一个圆圈，由第1个人开始报数，每报数到第3人该人就必须自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。然而Josephus 和他的朋友并不想遵从。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。问题是，给定了和，一开始要站在什么地方才能避免被处决？Josephus要他的朋友先假装遵从，他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置，于是逃过了这场死亡游戏。 ? 以上来自百度百科约瑟夫问题是个很有名的问题：N个人围成一个圈，从第一个人开始报数，第M个人会被杀掉，最后一个人则为幸存者，其余人都将被杀掉。例如N=6，M=5，被杀掉的顺序是：5，4，6，2，3，1。

约瑟夫问题其实并不难，但求解的方法多种多样；题目的变化形式也很多。接下来我们来对约瑟夫问题进行讨论。

1.模拟解法优点 : 思维简单。?缺点：时间复杂度高达O(m*n)

当n和m的值较大时，无法短时间内得到答案。

[教学研究]约瑟夫问题

约瑟夫问题

[编辑本段]约瑟夫问题的来历

这是17世纪的法国数学家加斯帕在《数目的游戏问题》中讲的一个故事：15个教徒和15 个非教徒在深海上遇险，必须将一半的人投入海中，其余的人才能幸免于难，于是想了一个办法：30个人围成一圆圈，从第一个人开始依次报数，每数到第九个人就将他扔入大海，如此循环进行直到仅余15个人为止。问怎样排法，才能使每次投入大海的都是非教徒。

*问题分析与算法设计

约瑟夫问题并不难，但求解的方法很多；题目的变化形式也很多。这里给出一种实现方法。

题目中30个人围成一圈，因而启发我们用一个循环的链来表示。可以使用结构数组来构成一个循环链。结构中有两个成员，其一为指向下一个人的指针，以构成环形的链；其二为该人是否被扔下海的标记，为1表示还在船上。从第一个人开始对还未扔下海的人进行计数，每数到9时，将结构中的标记改为0，表示该人已被扔下海了。这样循环计数直到有15个人被扔下海为止。

[编辑本段]约瑟夫问题的一般形式：

约瑟夫问题是个有名的问题：N个人围成一圈，从第一个开始报数，第M个将被杀掉，最后剩下一个，其余人都将被杀掉。例如N=6，M=5，被杀掉的人的序号为5，4，6，2，3。最后剩下1号。

假定在圈子里前K个为好人，后K个为坏人，你的任务是确定这样的最少M，使得所有的坏人在第一个好人之前被杀掉。

C++代码示例:

#include<iostream>

using namespace std;

void main()

{

int n,m,a[101],k,i,j,num; //计数器是从1开始的,所以100

josephus问题数学解法

Josephus 问题是一个经典的数学问题，描述如下：

有 n 个人围成一圈，从第一个人开始往后报数，报到 m 的人

出圈，后面的人继续从 1 开始报数，直到最后一个人留下来。问最后留下的人的编号是多少？

下面是 Josephus 问题的数学解法：

设最后留下的人的编号为 f(n,m)，则可以得出以下递推式：

f(1,m) = 0

f(n,m) = (f(n-1,m) + m) % n

其中，% 表示取模运算。

以上递推式基于以下思路：

假设有 n 个人，编号分别为 0,1,2,...,n-1。第一轮中，第 m 个

人出圈，剩下的人编号为 0,1,...,m-2,m,...,n-1。由于是围成一圈，所以下一轮中第一个人的编号为 m%n。而在上一轮中，编号

为 m%n 的人出圈了，所以编号为 m%n+1,...,n-1,0,1,...,m%n-1

的人组成了一个新的圈。我们需要求出这个新圈中最后留下的人的编号，即 f(n-1,m)。由于新圈中每个人的编号都比原来的

编号大 m，所以我们需要将 f(n-1,m) 加上 m，以得到在原圈中他的编号。

然而，如果加上 m 后编号超过了 n-1，那么我们需要将编号重新回到 0，这就是将加和结果取模的原因。

最终，当 n=1 时，无论 m 的值为多少，都只剩下编号为 0 的人。

下面是一个 Python 实现的例子：

```

def josephus(n, m):

f = 0

for i in range(2, n+1):

f = (f + m) % i

return f

数学故事—约瑟夫问题与因式分解

3约瑟夫斯问题

抽杀问题-约瑟夫问题

数学故事—约瑟夫问题与因式分解

约瑟夫斯问题探究

浙教版数学八下课件2.2一元二次方程的解法(一)(20张)

抽杀问题-约瑟夫问题课件(16张PPT)

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约瑟夫问题大全

具体数学笔记-约瑟夫问题

约瑟夫环问题的两种解法（详解）

小学趣味数学故事之约瑟夫问题

约瑟夫问题

约瑟夫问题

约 瑟 夫 环 问 题 的 三 种 解 法

[教学研究]约瑟夫问题

josephus问题数学解法

约瑟夫环问题的三种解法