chap3-刚体力学

例如 T' T T'
x x dx
在定轴转动中， • 在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算
T
∑Mi =TR −T' R
∑Mi =TR −T' r
2. 刚体对定轴的转动定律
实验证明 为零时， 当 M 为零时，则刚体保持静止或匀速转动 成正比，而与J 当存在 M 时，β 与 M 成正比，而与 成反比
M ∝ Jβ
(1) n1 = 1200r ⋅ min
−1
n 2 = 3000r ⋅ min
−1
2π × 3000 ω2 = = 100π (rad ⋅ s −1 ) 60 2π ×1200 ω1 = = 40π (rad ⋅ s −1 ) 60
β=
ω2 − ω1
t
(100 − 40)π = = 5π = 15.7(rad ⋅ s −1 ) 12
2
求球体对通过球心轴的转动惯量 球的半径为R体 转动惯量， 例 求球体对通过球心轴的转动惯量，球的半径为 体 密度为ρ。 解：将球分为一系列的圆盘 任一圆盘的质量： 任一圆盘的质量： z
= ρπ( R2 − z2 )dz dm= ρπr dz
2
1 2 1 R dJ 2 r dm2 ρπ( R2 − z2 )2 dz = = 2 2 2 R 1 2 2 2 2 J = ∫ dJ = ρπ∫ ( R − z ) dz = m 2 R V −R 2 5 对与球体相切的轴转动惯量又为多少 转动惯量又为多少？ 对与球体相切的轴转动惯量又为多少？ 2
r
o
2 7 2 2 ′ = m +m = m 2 J R R R 5 5
例 右图所示刚体对经过棒端 且与棒垂直的轴的转动惯量 如何计算？ 棒长为L 如何计算？(棒长为 , 球半 径为R） 径为 ）
mL
1 2 JL = mLL 3
J = JL + Jo
2 JoC = m R2 o 5
2
m O
Jo = JoC + mod = JoC + mo ( L+ R)
R dr r O m
例如 圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
ds = 2 rdr π m 2mr π dm =σds = 2 2 rdr = 2 dr πR R
J = ∫ r dm = ∫
0 m 2 R 0
2m 3 m 2 r dr = R 2 R 2
(3) J 与转轴的位置有关 z M O dx
L 2 0
J = ∫ x λdx = ∫
0
L 2
L 2
0
M 1 2 x dx = M L L 3
M O dx
L x
J铁 > J木
(2) J 与质量分布有关 例如 圆环绕中心轴旋转的转动惯量
dl m R O
J = ∫ R dm = ∫
2 0
L
2π R
0
R2λdl
3
= R λ∫
2
2π R
0
m dl = 2 R π = mR2 2 R π
dt
dω d2θ β= = 2 = f "(t) dt dt
P
II
M
当 β =c
ω =ω0 + β t 1 2 (θ −θ0 ) =ω t + β t 2 2 2 −ω0 = 2β(θ −θ0 ) ω
z ω,β
与质点的匀加速直线运动公式相象
(2)定轴转动刚体上各点的速度和加速度 定轴转动刚体上各点的速度和加速度
1 2 2 2 2 = mLL + m R + m ( L+ R) o o 3 5
2
转动定律的应用举例
例 一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以 的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 的拉力， 的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kg·m2，飞轮与转轴间的摩擦 不计， 见图 见图) 不计， (见图 求 (1) 飞轮的角加速度 (2) 如以重量 =98 N的物体挂在绳 如以重量P 的物体挂在绳 端，试计算飞轮的角加速 解 (1) Fr = Jβ (2) mg −T = ma
L :两轴间垂直距离
平行轴定理表明： 平行轴定理表明：
在所有的平行轴中，以绕通过质心轴的转动惯量为最小！ 在所有的平行轴中，以绕通过质心轴的转动惯量为最小！
例 均匀细棒的转动惯量
z′
M
z
L
L 1 ′ = JZ + M ⋅ = M 2 JZ L 2 3
Jz =1/ 12M 2 L
M = Jβ
•
转动定律可由牛顿定律推得
ω
O
r r r 取一质量元 F + fi = mai i i
切线方向
r ri
r fi
mi•
2
v Fi
Fτ + fiτ = maiτ i i
对固定轴的力矩 Fτ r + fiτ r = maiτ r i i i i i 对所有质元
= mr β i i
2
∑Fiτ ri + ∑fiτ ri = (∑miri )β
刚体的 转动定律
M = kJβ
Mz = Jβ
在国际单位中 k = 1
作用在刚体上 所有的外力对 定轴 z 轴的力矩的代数和
刚体对 z 轴 的转动惯量
讨论 (1) M 正比于 β ，力矩越大，刚体的 β 越大 (2) 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同 力矩相同，若转动惯量不同， 矢量式: 矢量式:
rO
T
Fr 98×0.2 β= = = 39.2 rad/s2 J 0.5
mgr β= J + mr2
两者区 别
F
mg
Tr = Jβ a = rβ
98×0.2 = = 21.8 rad/s2 0.5+10×0.22
的均匀细直棒， 例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 面内转动， 面内转动，初始时它在水平位置 m l x O 求 它由此下摆 θ 角时的 ω • 解 取一质元
z M L O
L/ 2 2
L x
dx
x
J =∫
1 2 x λdx = M L 3
1 J = ∫ x λdx = M 2 L −L / 2 12
4. 平行轴定理及垂直轴定理 平行轴定理及垂直轴定理
平行轴定理
Jz' = Jz + M 2 L
z' L
z M C
Jz' :刚体绕任意轴的转动惯量 Jz :刚体绕通过质心的轴
如图) 质量 如图 例 已知棒长 L ,质量 M ，在摩擦系数为 µ 的桌面转动 (如图 摩擦力对y轴的力矩 求 摩擦力对 轴的力矩 解
y
ω
M L
M df = µdm⋅ g dm = dx L O 根据力矩 dM′ = −µ M ⋅ gxdx L L M 1 M′ = ∫ − µ ⋅ gxdx = − µM gL 0 L 2
§2 刚体定轴转动的转动定律
1. 力矩
• •
力
改变质点的运动状态 改变刚体的转动状态
质点获得加速度 刚体获得角加速度
力 F 对z 轴的力矩
z
r r
r F //
r F
r F τ r F n
Mz (F) = F r = F h τ ⊥
h
•
力矩取决于力的大小、 力矩取决于力的大小、方 向和作用点
θA
r F ⊥
第三章 刚体力学
§1 刚体运动的描述
1. 刚体
特殊的质点系， 特殊的质点系， 形状和体积不变化 —— 理想化模型
2. 自由度
确定物体的位置所需要 的独立坐标数 —— 物体的自由度数 z s O O x i=1 i=2 i=3 (x,y,z) y x y i = 3+2+1= 6 z
O
当刚体受到某些限制 ——自由度减少 自由度减少
力矩是矢量
z
M F
r P
θ
M = F ⋅ d = Fr sinθ M = r ×F
o d
(1) 此时力矩只有两个方向，规定了正方向后，可用正 此时力矩只有两个方Байду номын сангаас，规定了正方向后， 负号表示力矩的方向; 负号表示力矩的方向 (2) 若有 个质点作用在刚体上，且都在与转轴相垂直 若有n个质点作用在刚体上 个质点作用在刚体上， 的平面内，则合力矩为所有力对刚体力矩的代数和; 的平面内，则合力矩为所有力对刚体力矩的代数和
0
ω
3gcosθ dθ 0 2l
θ
ω=
dω =ωdω = dt dθ 3gsinθ
l
在桌面上转动, 例 圆盘以 ω0 在桌面上转动,受摩擦力而静止 求 到圆盘静止所需时间 解 取一质元 dm =σds =σ ⋅ 2π rdr
ω
R
dM = rdf = r ⋅ µgdm
摩擦力矩
R
µ
2 M = ∫ dM = µmgR 0 3 2 1 2 dω 由转动定律 M = −J dω µmgR = − mR 3 2 dt dt
合内力矩 = 0 刚体的转动惯量 J
合外力矩 M
3. 转动惯量
定义式
J = ∑∆mr i i
2
质量不连续分布 质量连续分布
J = ∫r2dm
•
计算转动惯量的三个要素:(1)总质量 (2)质量分布 (3)转轴 总质量 质量分布 转轴 计算转动惯量的三个要素 的位置
(1) J 与刚体的总质量有关 例如两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量 z
任意点都绕同一轴作圆周运动, 任意点都绕同一轴作圆周运动 且 ω，β 都相同 O
刚体