2018年人教版数学B必修5 第2章 2.2.1 第2课时 等差数列的性质 学业分层测评9 等差数列的性质

学业分层测评(九) 等差数列的性质
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.下列说法中正确的是()
A.若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列
B.若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列
C.若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列
D.若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列
【解析】不妨设a＝1，b＝2，c＝3.
A选项中，a2＝1，b2＝4，c2＝9，显然a2，b2，c2不成等差数列.
B选项中，log21＝0，log22＝1，log23>1，显然log2a，log2b，log2c也不成等差数列.
C选项中，a＋2＝3，b＋2＝4，c＋2＝5，显然a＋2，b＋2，c＋2成等差数列.
D选项中，2a＝2,2b＝4,2c＝8，显然2a,2b,2c也不构成等差数列.
【答案】 C
2.等差数列{a n}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0()
A.无实根
B.有两个相等实根
C.有两个不等实根
D.不能确定有无实根
【解析】由于a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，而3a5＝9，
∴a5＝3，方程为x2＋6x＋10＝0，无解.
【答案】 A
3.设{a n}，{b n}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝()
【导学号：18082085】
A.0
B.37
C.100
D.－37
【解析】 设c n ＝a n ＋b n ，由于{a n }，{b n }都是等差数列，则{c n }也是等差数列，且c 1＝a 1＋b 1＝25＋75＝100，
c 2＝a 2＋b 2＝100，
∴{c n }的公差d ＝c 2－c 1＝0.
∴c 37＝100.
【答案】 C
4.若{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＋a 7＝45，a 2＋a 5＋a 8＝39，则a 3＋a 6＋a 9＝
( )
A.39
B.20
C.19.5
D.33
【解析】 由等差数列的性质，得
a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝45，
a 2＋a 5＋a 8＝3a 5＝39，
a 3＋a 6＋a 9＝3a 6.
又3a 5×2＝3a 4＋3a 6，
解得3a 6＝33，即a 3＋a 6＋a 9＝33.
【答案】 D
5.已知数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N ＋).若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )
A.0
B.3
C.8
D.11
【解析】 设数列{b n }的首项为b 1，公差为d .
由b 3＝－2，b 10＝12，
得⎩⎨⎧ b 1＋2d ＝－2，b 1＋9d ＝12，解得⎩⎨⎧
b 1＝－6，d ＝2.
所以b n ＝－6＋2(n －1)＝2n －8.
因为b n ＝a n ＋1－a n ，
所以a 8＝(a 8－a 7)＋(a 7－a 6)＋(a 6－a 5)＋(a 5－a 4)＋(a 4－a 3)＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1
＝b 7＋b 6＋b 5＋…＋b 1＋a 1
＝(6＋4＋2＋0－2－4－6)＋3
＝3.
【答案】 B
二、填空题
6.在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________.
【导学号：18082086】
【解析】 设等差数列{a n }的公差为d ，
则a 3＋a 8＝2a 1＋9d ＝10，
所以3a 5＋a 7＝4a 1＋18d ＝2(2a 1＋9d )＝20.
【答案】 20
7.在等差数列{a n }中，已知a 1，a 99是函数f (x )＝x 2－10x ＋16的两个零点，则12a 50＋a 20＋a 80＝________.
【解析】 由题意，知a 1，a 99是方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 1＋a 99
＝10.又因为{a n }是等差数列，所以a 50＝a 1＋a 992＝5，故12a 50＋a 20＋a 80＝52a 50＝52×5
＝252.
【答案】 252
8.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3 L ，下面3节的容积共4 L ，则第5节的容积为________L.
【解析】 法一：设数列{a n }为等差数列，自上而下第一节竹子的容积为a 1，
第二节竹子的容积为a 2……第九节竹子的容积为a 9.
a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，
即4a 5－10d ＝3，①
3a 5＋9d ＝4.②
联立①②，解得a 5＝6766.
法二：设数列{a n }为等差数列，自上而下第1节竹子的容积为a 1，第2节竹子的容积为a 2……第九节竹子的容积为a 9.
因为a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4a 1＋6d ＝3，
a 7＋a 8＋a 9＝3a 1＋21d ＝4，
解得a 1＝1322，d ＝766，
所以a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766.
【答案】 6766
三、解答题
9.已知等差数列{a n }，设b n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12a n ，又已知b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1b 2b 3＝18，求{a n }的通项公式.
【解】 因为b 1＋b 2＋b 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 3＝218，b 1b 2b 3＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12a 1＋a 2＋a 3＝18，
所以a 1＋a 2＋a 3＝3.
由a 1，a 2，a 3成等差数列，可设a 1＝a 2－d ，a 3＝a 2＋d ，于是a 2＝1. 由⎝ ⎛⎭⎪⎫121－d ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫121－d ＝218，
得2d ＋2－d ＝174
， 解得d ＝2或d ＝－2.
当d ＝2时，a 1＝1－d ＝－1，a n ＝－1＋2(n －1)＝2n －3；
当d ＝－2时，a 1＝1－d ＝3，a n ＝3－2(n －1)＝－2n ＋5.
10.四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数.
【导学号：18082087】
【解】 设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )， 依题意，2a ＝2，且(a －3d )(a ＋3d )＝－8，
即a ＝1，a 2－9d 2＝－8，
∴d 2＝1，∴d ＝1或d ＝－1.
又四个数成递增等差数列，所以d >0，
∴d ＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.
[能力提升]
1.已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( )
A.a 1＋a 101>0
B.a 2＋a 101<0
C.a 3＋a 99＝0
D.a 51＝51
【解析】 根据性质得：a 1＋a 101＝a 2＋a 100＝…＝a 50＋a 52＝2a 51，由于a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，所以a 51＝0，又因为a 3＋a 99＝2a 51＝0，故选C.
【答案】 C
2.在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为( )
A.14
B.15
C.16
D.17
【解析】 设公差为d ，∵a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，
∴5a 8＝120，a 8＝24，∴a 9－13a 11＝(a 8＋d )－13(a 8＋3d )＝23a 8＝16.
【答案】 C
3.数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝23，且1a n －1＋1a n ＋1＝2a n
，则a n ＝________. 【解析】 因为1
a n －1＋1a n ＋1＝2a n
， 所以数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 为等差数列， 又1a 1＝1，公差d ＝1a 2－1a 1
＝32－1＝12， 所以通项公式1a n ＝1a 1
＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×12＝n ＋12，所以a n ＝2n ＋1. 【答案】 2n ＋1
4.两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，那么它们共有多少相同的项？
【解】 设已知的两数列的所有相同的项构成的新数列为{c n }，c 1＝11， 又等差数列5,8,11，…的通项公式为a n ＝3n ＋2，
等差数列3,7,11，…的通项公式为b n ＝4n －1.
所以数列{c n }为等差数列，且公差d ＝12，①
所以c n ＝11＋(n －1)×12＝12n －1.
又a 100＝302，b 100＝399，c n ＝12n －1≤302，②
1
得n≤25
4，可见已知两数列共有25个相同的项.。