2011中考数学_相似三角形专题(含答案)

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中考数学相似三角形分类专练证明相似三角形中的对应线段成比例重难点专练(解析版)

同上，AB可以与DE对应，也可以与DF对应，∴ 或，B不一定成立；
同上，AB可以与DE对应，也可以与DF对应，∴相似比可能是，也可能是，C不一定成立；
∵∠A=∠D，即∠A与∠D是对应角，∴它们的对边一定是对应比，即BC与EF是对应比，
∴相似比为，∴D一定成立，
故选D．
【考点知悉】
本题考查相似三角形的性质，注意相似三角形的性质是针对对应角和对应边而言的．
17．如图，点D、E分别在的边AB、AC上，且，若DE=3，BC=6，AC=8，则 _______．
18．如图，点D、E、F分别位于△ABC的三边上，满足DE∥BC，EF∥AB，如果AD：DB=3：2，那么BF：FC=_____．
19．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，D为AB边上一点，且△ABC∽△ACD，则AD＝__．
∴这个三角形的边长扩大到原来的4倍,
故选B.
【考点知悉】
本题考查了相似三角形的相似比和周长比之间的关系,属于简单题,熟练掌握相似三角形的性质是解题关键.
10．D
【思路点拨】
根据①直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项,进行判断即可.
30．如图，，，，，则 ________．
31．如图，△ABC中，DE∥BC, ,△ADE的面积为8，则△ABC的面积为______
三、解答题
32．已知：如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点P、Q分别在线段OC、CD上，且DQ＝OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E、与弦CD相交于点F(点F与点C、D不重合)，AB＝20，cos∠AOC＝ .设OP＝x，△CPF的面积为y.
∴ ，

2011年浙江省宁波市中考数学试卷(含参考答案)

2011年宁波市中考数学试卷试题卷 Ⅰ一、选择题（每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．下列各数中是正整数的是（）A.1-B. 2C.0.5D.2 2．下列计算正确的是（） A.632)(a a =B. 422a a a =+C.a a a 6)2()3(=⋅D.33=-a a3．不等式1x >在数轴上表示正确的是（） A.B.C.D.4．据宁波市统计局公布的第六次人口普查数据，本市常住人口760.57万人，其中760.57万人用科学记数法表示为（） A.5106057.7⨯人 B.6106057.7⨯人C. 7106057.7⨯人D. 71076057.0⨯人5．平面直角坐标系中，与点)3,2(-关于原点中心对称的点是（） A.)2,3(- B.)2,3(- C.)3,2(- D.)3,2( 6．如图所示的物体的俯视图是（）7．一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（） A.4 B. 5 C. 6 D. 78．如图所示，AB ∥CD ，∠E ＝37°，∠C ＝20°，则∠EAB 的度数为（） A. 57° B. 60° C. 63° D.123°（第6题） A. B. C.D.主视方向9．如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h ，滑梯的坡角为α，那么滑梯长l 为（）A.sin h αB.tan h αC.cos hαD.αsin ⋅h10．如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，22==BC AC ,若把Rt △ABC 绕边AB 所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为（）A.4πB.42πC.8πD.82π11．（2011宁波）如图，⊙O 1 的半径为１，正方形ABCD 的边长为6，点O 2为正方形ABCD 的中心，O 1O 2垂直AB 于P 点，O 1O 2 =8．若将⊙O 1绕点P 按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O 1与正方形ABCD 的边只有一个公共点的情况一共出现（）A.3次B.5次C.6次D.7次12．（2011宁波）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片(如图①)不重叠地放在一个底面为长方形(长为m cm ，宽为n cm)的盒子底部(如图②)，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分周长和是（）A.4m cmB.4n cmC. 2(m +n ) cmD.4(m -n ) cm试题卷 Ⅱ二、填空题（每小题3分，共18分） 13．实数27的立方根是． 14．因式分解：y xy -= ．15．甲、乙、丙三位选手各10次射击成绩的平均数和方差，统计如下表：选手甲乙丙平均数 9.3 9.3 9.3 方差 0.026 0.015 0.032则射击成绩最稳定的选手是． (填“甲”、“乙”、“丙”中的一个)16．将抛物线2x y ＝的图象向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式为．17．（2011宁波）如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 、E 是△ABC 内两点，AD 平分∠BAC ，∠EBC =∠E =60°，若BE =6cm ，DE =2cm ，则BC = cm ．18．（2011宁波）如图，正方形1112A B PP 的顶点1P 、2P 在反比例函数2(0)y x x=>的图象上，顶点1A 、1B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形2232B A P P ，顶点3P 在反比例函数2(0)y x x=>的图象上，顶点2A 在x 轴的正半轴上，则点3P 的坐标为．三、解答题（本大题有8小题，共66分）19．（本题6分）先化简，再求值：)1()2)(2(a a a a -+-+，其中5=a .20．（本题6分）在一个不透明的袋子中装有3个除颜色外完全相同的小球，其中白球1个，黄球1个，红球1个，摸出一个球记下颜色后放回．．，再摸出一个球，请用列表法或画树状图法求两次都摸到红球的概率．21．（本题6分）请在下列三个2×2的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形是图中三角形经过轴对称变换后得到的图形，且所画三角形顶点与方格中的小正方形顶点重合，并将所画三角形涂上阴影．（注：所画的三个图不能重复）(第21题)图① 图② 图③22．（本题8分）图①表示的是某综合商场今年1～5月的商品各月销售总额的情况，图②表示的是商场服装部．．．各月销售额占商场当月销售总额的百分比情况，观察图①、图②，解答下列问（1）来自商场财务部的数据报告表明，商场1～5月的商品销售总额一共是410万元，请你根据这一信息将图①中的统计图补充完整．（2）商场服装部．．．5月份的销售额是多少万元？（3）小刚观察图②后认为，5月份商场服装部．．．的销售额比4月份减少了．你同意他的看法吗？请说明理由．23．（本题8分）如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，过A 点作AG ∥BD 交CB 的延长线于点G ．（1）求证：DE ∥BF ；（2）若∠G =90°，求证：四边形DEBF 是菱形．ABCDG E F(第23题)22% 17% 14% 12%16%5% 10% 15% 20%25% 123 45月份商场服装部．．．各月销售额占商场当月销售总额的百分比统计图百分比 10090658020 40 60 80100 商场各月销售总额统计图12345销售总额（万元）月份(第22题)图②图①24．（本题10分）我市某林场计划购买甲、乙两种树苗共800株，甲种树苗每株24元，乙种树苗每株30元．相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为85%，90%．（1）若购买这两种树苗共用去21000元，则甲、乙两种树苗各购买多少株？（2）若要使这批树苗的总成活率不低于88%，则甲种树苗至多购买多少株？（3）在（2）的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗的费用最低，并求出最低费用．25．（2011宁波）（本题10分）阅读下面的情景对话，然后解答问题：（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b a，若Rt△ABC是奇异三角形，求::a b c；（3）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点(不与点A、B重合)，D是半圆的中点， C、D在直径AB两侧，若在⊙O内存在点E，使得AE=AD，CB=CE．①求证：△ACE是奇异三角形；②当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．26．（2011宁波）（本题12分）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为,点B的坐标为(6,6)，抛物线经过A、O、B三点，连结OA、OB、AB，(2,2)线段AB交y轴于点E．（1）求点E的坐标；（2）求抛物线的函数解析式；（3）点F为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线EF与抛物线交于M、N两点（点N在y轴右侧），连结ON、BN，当点F在线段OB上运动时，求△BON面积的最大值，并求出此时点N的坐标；（4）连结AN，当△BON面积最大时，在坐标平面内求使得△BOP与△OAN相似（点B、O、P分别与点O、A、N对应）的点P的坐标．2011年宁波市中考数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、（2011浙江宁波，1，3）下列各数中是正整数的是（）A 、－1B 、2C 、0.5D 、2【考点】实数。

2011年上海市中考数学试题及答案完整版(word)

2011年上海市初中毕业统一学业考试数学卷满分150分考试时间100分钟一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分） 1．下列分数中，能化为有限小数的是（）． (A)13； (B) 15； (C) 17； (D) 19． 2．如果a ＞b ，c ＜0，那么下列不等式成立的是（）． (A) a ＋c ＞b ＋c ； (B) c －a ＞c －b ； (C) ac ＞bc ； (D) a bc c> ． 3．下列二次根式中，最简二次根式是（）．(A)(B) (C) (D) ．4．抛物线y ＝－(x ＋2)2－3的顶点坐标是（）． (A) （2，－3）； (B) （－2，3）； (C) （2，3）； (D) （－2，－3）． 5．下列命题中，真命题是（）．(A)周长相等的锐角三角形都全等； (B) 周长相等的直角三角形都全等； (C)周长相等的钝角三角形都全等； (D) 周长相等的等腰直角三角形都全等．6．矩形ABCD 中，AB ＝8，BC =P 在边AB 上，且BP ＝3AP ，如果圆P 是以点P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是（）．(A) 点B 、C 均在圆P 外； (B) 点B 在圆P 外、点C 在圆P 内； (C) 点B 在圆P 内、点C 在圆P 外； (D) 点B 、C 均在圆P 内．二、填空题（本大题共12题，每题4分，共48分） 7．计算：23a a ⋅=__________．8．因式分解：229x y -=_______________．9．如果关于x 的方程220x x m -+=（m 为常数）有两个相等实数根，那么m ＝______．10．函数y =_____________． 11．如果反比例函数ky x=（k 是常数，k ≠0）的图像经过点(－1，2)，那么这个函数的解析式是__________． 12．一次函数y ＝3x －2的函数值y 随自变量x 值的增大而_____________（填“增大”或“减小”）．13．有8只型号相同的杯子，其中一等品5只，二等品2只和三等品1只，从中随机抽取1只杯子，恰好是一等品的概率是__________．14．某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是_________．15．如图1，AM 是△ABC 的中线，设向量AB a =，BC b =，那么向量AM =____________（结果用a 、b 表示）．16．如图2，点B 、C 、D 在同一条直线上，CE //AB ，∠ACB ＝90°，如果∠ECD ＝36°，那么∠A ＝_________．17．如图3，AB 、AC 都是圆O 的弦，OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，垂足分别为M 、N ，如果MN ＝3，那么BC ＝_________．18．Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，∠B ＝50°，点D 在边BC 上，BD ＝2CD （图4）．把△ABC 绕着点D 逆时针旋转m （0＜m ＜180）度后，如果点B 恰好落在初始Rt △ABC 的边上，那么m ＝_________．图1 图2 图3 图4三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：0(3)1-．20．（本题满分10分）解方程组：222,230.x y x xy y -=⎧⎨--=⎩21．（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）如图5，点C 、D 分别在扇形AOB 的半径OA 、OB 的延长线上，且OA ＝3，AC ＝2，CD 平行于AB ，并与弧AB 相交于点M 、N ．（1）求线段OD 的长；（2）若1tan 2C ∠=，求弦MN 的长．图522．（本题满分10分，第（1）、（2）小题满分各2分，第（3）、（4）小题满分各3分）据报载，在“百万家庭低碳行，垃圾分类要先行”活动中，某地区对随机抽取的1000名公民的年龄段分布情况和对垃圾分类所持态度进行调查，并将调查结果分别绘成条形图（图6）、扇形图（图7）．（1）图7中所缺少的百分数是____________；（2）这次随机调查中，如果公民年龄的中位数是正整数，那么这个中位数所在年龄段是________________（填写年龄段）；（3）这次随机调查中，年龄段是“25岁以下”的公民中“不赞成”的有5名，它占“25岁以下”人数的百分数是_____________；（4）如果把所持态度中的“很赞同”和“赞同”统称为“支持”，那么这次被调查公民中“支持”的人有_______________名．10%20%35%25%10%百分数年龄段（岁）25岁以下25~3536~4546~6060岁以上图6 图7赞同31%很赞同39%不赞同18%一般23．（本题满分12分，每小题满分各6分）如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ＝DC ，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，并延长DE 至F ，使EF ＝DE ．联结BF 、CD 、AC ．（1）求证：四边形ABFC 是平行四边形；（2）如果DE 2＝BE ·CE ，求证四边形ABFC 是矩形．24．（本题满分12分，每小题满分各4分）已知平面直角坐标系xOy （如图1），一次函数334y x =+的图像与y 轴交于点A ，点M 在正比例函数32y x =的图像上，且MO ＝MA ．二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像经过点A 、M ．（1）求线段AM 的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B 在y 轴上，且位于点A 下方，点C 在上述二次函数的图像上，点D 在一次函数334y x =+的图像上，且四边形ABCD 是菱形，求点C 的坐标．图125．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝30，AB ＝50．点P 是AB 边上任意一点，直线PE ⊥AB ，与边AC 或BC 相交于E ．点M 在线段AP 上，点N 在线段BP 上，EM ＝EN ，12sin 13EMP ∠=．（1）如图1，当点E 与点C 重合时，求CM 的长；（2）如图2，当点E 在边AC 上时，点E 不与点A 、C 重合，设AP ＝x ，BN ＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）若△AME ∽△ENB （△AME 的顶点A 、M 、E 分别与△ENB 的顶点E 、N 、B 对应），求AP 的长．图1 图2 备用图2011年上海市初中毕业统一学业数学卷答案及评分参考(满分150分，考试时间100分钟)一、选择题 (本大题共6题，每题4分，满分24分)题号1 2 3 4 5 6答案B ACD D C 二、填空题 (本大题共12题，每题4分，满分48分)题号 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案a 5(x +3y )(x -3y )1x ≤3y = -x2 增大85 20%a +21b 54680或120三、解答题 (本题共30分，每小题5分) 19. (本题满分10分) [解] (-3)0-27+|1-2|+231+=1-33+2-1+3-2= -23。

中考数学复习·图形的相似+相似三角形专题(位似、相似、相似三角形证明及应用)名校名师全解全练精品课件

A．12.36 cm C．32.36 cm
5－1 【解析】∵黄金比为 ≈0.618 ， ∴ 它的宽约为 2 0.618×20≈12.36 cm.
【答案】A
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考
点
训
a
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2 ． (2010 中考变式题 )已知＝＝，且 a ＋ b＋ c≠0 ，则 2 5 7 2a＋3b－2c 的值为( a＋b＋c 5 A. 14 )
的周长与五边形 A′B′C′D′E′的周长的比值为
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中考典例精析
(2011·河北)如图所示，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1.点O和△ABC的顶点均为小正方形
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的顶点．
(1)以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和 △ABC位似，且位似比为1∶2. (2)连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C的周长．(结果保留根号) 【点拨】位似图形一定是相似图形，可以利用相似图形的性质计算或证明．【解答】 (1) 如图所示． (2)AA′ ＝CC′ ＝ 2. 在
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第六章图形的相似与解直角三角形第23讲图形的相似与位似
考点知识精讲
中考典例精析
举一反三
考点训练
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考点知识精讲
考点一成比例线段与比例的定义及性质
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1．对于四条线段 a、b、c、d，如果做成比例线段，简称比例线段．
那么这四条线段叫
2．表示两个比相等的式子叫做比例式，简称比例． 3．连比：连在一起的三个数的比，叫做连比． a c 4．比例的基本性质：如果＝，那么 ad＝bc ，反之也成立．其中 b d a b a 与 d 叫做比例外项，b 与 c 叫做比例内项．特殊地＝ ⇔b2＝ac. b c

中考数学专题复习练习三等角型相似三角形题型压轴题完整版

中考数学专题复习练习三等角型相似三角形题型压轴题HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】三等角型相似三角形三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。

此规律需通过认真做题，细细体会。

典型例题【例1】如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60° （1）求证：△BDE ∽△CFD（2）当BD =1，FC =3时，求BE【思路分析】本题属于典型的三等角型相似，由题意可得∠B =∠C =∠EDF =60° 再用外角可证∠BED =∠CDF ，可证△BDE 与△CFD 相似排出相似比便可求得线段BE 的长度解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∠EDF =60°∴∠B =∠C =∠EDF =60°∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED ∴∠BED =∠FDC ∴△BDE ∽△CFD （2）∵△BDE ∽△CFD∴BECD BD FC = ∵BD =1，FC =3，CD =5∴BE =35点评：三等角型的相似三角形中的对应边中已知三边可以求第四边。

【例2】如图，等腰△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 中点，∠EDF =∠B ，求证：△BDE ∽△DFE【思路分析】比较例1来说区别仅是点D 成为了BC 的中点，所以△BDE △CFD 相似的结论依然成立，用相似后的对应边成比例，以及BD =CD 可证得△BDE 和△DFE 相似解： ∵AB =AC ，∠EDF =∠B∴∠B =∠C =∠EDF∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED ∴∠BED =∠FDC ∴△BDE ∽△CFD ∴DF DECD BE =又∵BD =CD ∴DF DE BD BE =即DFBD DE BE = ∵∠EDF =∠BCA DB E F∴△BDE ∽△DFE点评：三等角型相似中若点D 是等腰三角形底边上任意一点则仅有一对相似三角形，若点D 是底边中点则有三对相似三角形，△BDE 与△CFD 相似后若得DFDECF BD =加上BD =CD 可证得△CFD 与△DFE 相似【例3】如图，在△ABC 中，AB =AC =5cm ，BC =8，点P 为BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点P 作射线PM 交AC 于点M ，使∠APM =∠B ；（1）求证：△ABP ∽△PCM ；（2）设BP =x ，CM =y ．求 y 与x（3）当△APM 为等腰三角形时，求PB 的长．【思路分析】第（1）（2）小题都是用常规的三等角型相似的方法。

山东省17市2011年中考数学试题分类解析汇编专题9 三角形

山东17市2011年中考数学试题分类解析汇编专题9：三角形一、选择题1. （日照4分）在Rt△ABC 中，∠C＝90°，把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ＝b a．则下列关系式中不成立的是A 、tanA·cotA＝1B 、sinA ＝tanA·cosAC 、cosA ＝cotA·sinAD 、tan 2A ＋cot 2A ＝1【答案】D 。

【考点】三角函数的定义，代数式变换。

【分析】根据三角函数的定义和已知cotA ＝b a ，逐一计算进行判断；A 、tanA·cotA＝a bb a⋅＝1，关系式成立；B 、∵左边＝sinA ＝a c ，右边＝tanA·cosA＝a b b c ⋅＝ac，∴左边＝右边，关系式成立；C 、∵左边＝cosA ＝b c ，右边＝cotA·sinA＝b a a c⋅＝b c ，∴左边＝右边，关系式成立； D 、tan 2A ＋cot 2A ＝22a b b a ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≠1，关系式不成立。

故选D 。

2.（滨州3分）在△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝72°，AB ＝10，则边AC 的长约为（精确到0.1）A 、9.1B 、9.5C 、3.1D 、3.5【答案】C 。

【考点】解直角三角形。

【分析】在Rt△ABC 中，根据三角函数的定义有cosA ＝ACAB，∴ AC＝AB•cosA＝10·cos72°≈3.1。

故选C 。

3.（烟台4分）如果△ABC 中，，则下列最确切的结论是 A. △ABC 是直角三角形 B. △ABC 是等腰三角形 C. △ABC 是等腰直角三角形 D. △ABC 是锐角三角形【答案】C【考点】特殊角的三角函数值，三角形分类。

【分析】∵，∴∠A=∠B=45°，∴△ABC 是等腰直角三角形。

故选C 。

初三中考数学专题复习：二次函数综合题(相似三角形问题)含答案

中考数学专题复习：二次函数综合题（相似三角形问题）1．如图①，二次函数y ＝﹣x 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ，连接BC ，点P 是抛物线上一动点．(1)求二次函数的表达式．(2)当点P 不与点A 、B 重合时，作直线AP ，交直线BC 于点Q ，若①ABQ 的面积是①BPQ 面积的4倍，求点P 的横坐标．(3)如图①，当点P 在第一象限时，连接AP ，交线段BC 于点M ，以AM 为斜边向①ABM 外作等腰直角三角形AMN ，连接BN ，①ABN 的面积是否变化？如果不变，请求出①ABN 的面积；如果变化，请说明理由．2．如图，二次函数2314y x bx =++的图像经过点()8,3A ，交x 轴于点B ，C （点B 在点C 的左侧），与y 轴交于点D ．(1)填空：b = ______；(2)点P 是第一象限内抛物线上一点，直线PO 交直线CD 于点Q ，过点P 作x 轴的垂线交直线CD 于点T ，若PQ QT =，求点P 的坐标；(3)在x 轴的正半轴上找一点E ，过点E 作AE 的垂线EF 交y 轴于F ，若AEF 与EFO △相似，求OE 的长．3．如图，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于点()1,0A -，()3,0B ，与y 轴的交点()0,6C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点(),P m n 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设PBC 的面积为S ，求S 关于m 的函数表达式(指出自变量m 的取值范围)和S 的最大值；(3)点M 在抛物线上运动，点N 在y 轴上运动，是否存在点M 、点N 使得①CMN ＝90°，且∆CMN 与OBC ∆相似，如果存在，请求出点M 和点N 的坐标．4．如图，抛物线L 1：y ＝ax 2﹣2x ＋c （a ≠0）与x 轴交于A 、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣3），抛物线的顶点为D ．抛物线L 2与L 1关于x 轴对称．(1)求抛物线L 1与L 2的函数表达式；(2)已知点E 是抛物线L 2的顶点，点M 是抛物线L 2上的动点，且位于其对称轴的右侧，过M 向其对称轴作垂线交对称轴于P ，是否存在这样的点M ，使得以P 、M 、E 为顶点的三角形与△BCD 相似，若存在请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，已知直线4y x =+与x 轴、y 轴分别相交于点A 和点C ，抛物线21y x kx k =++-的图象经过点A 和点C ，与x 轴的另一个交点是点B ．(1)求出此抛物线的解析式； (2)求出点B 的坐标；(3)若在y 轴的负半轴上存在点D ．能使得以A ，C ，D 为顶点的三角形与①ABC 相似，请求出点D 的坐标．6．如图1，已知抛物线23y ax bx =++经过点()1,5D ，且交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，已知点()1,0A -，(),P m n 是抛物线在第一象限内的一个动点，PQ BC ⊥于点Q ．(1)求抛物线的解析式；(2)当PQ =m 的值；(3)是否存在点P ，使BPQ 与BOC 相似？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c的对称轴是x＝－32且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式；(2)点P为线段AB上的动点，求AP＋2PC的最小值；(3)抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A，M，N为顶点的三角形与①ABC 相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于A(−1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，顶点为点D，抛物线的对称轴与BC相交于点E，与x轴相交于点F．(1)求抛物线的函数关系式；(2)连结DA，求sin A的值；(3)若点H线段BC上，BOC与BFH△相似，请直接写出点H的坐标．9．如图，抛物线y＝1-2x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是第一象限内抛物线上的动点，连接PB ，PC ，当S △PBC ＝720S △ABC 时，求点P 的坐标； (3)点N 是对称轴l 右侧抛物线上的动点，在射线ED 上是否存在点M ，使得以点M ，N ，E 为顶点的三角形与①OBC 相似？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于1,0A 、()3,0B -两点，与y 轴交于点C ，设抛物线的顶点为D ．(1)求该抛物线的表达式与顶点D 的坐标； (2)试判断BCD △的形状，并说明理由；(3)探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与BCD △相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a （a ≠0）与x 轴交于点A ，B ．与y 轴交于点C ．连接AC ，BC ．已知ABC 的面积为2．(1)求抛物线的解析式；(2)平行于x 轴的直线与抛物线从左到右依次交于P ，Q 两点．过P ，Q 向x 轴作垂线，垂足分别为G ，H ．若四边形PGHQ 为正方形，求正方形的边长；(3)抛物线上是否存在一点N ，使得①BCN ＝①CAB ﹣①CBA ，若存在，请求出满足条件N 点的横坐标，若不存在请说明理由．12．如图，二次函数2y x bx c =-++的图像与x 轴交于点A （－1，0），B （2，0），与y 轴相交于点C ．(1)求这个二次函数的解析式；(2)若点M 在此抛物线上，且在y 轴的右侧．①M 与y 轴相切，过点M 作MD ①y 轴，垂足为点D ．以C ，D ，M 为顶点的三角形与①AOC 相似，求点M 的坐标及①M 的半径长．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2()0y ax bx c ac =++≠与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．若线段OA OB OC 、、的长满足2OC OA OB =⋅，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线．如图，抛物线22(0)y ax bx a =++≠为“黄金”抛物线，其与x 轴交点为A ，B （其中B 在A 的右侧），与y 轴交于点C ．且4OA OB =(1)求抛物线的解析式；(2)若P 为AC 上方抛物线上的动点，过点P 作PD AC ⊥，垂足为D ． ①求PD 的最大值；①连接PC ，当PCD 与ACO △相似时，求点P 的坐标．14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A 、B 两点，其中1,0A ，与y 轴交于点()0,3C ．(1)求抛物线解析式；(2)如图1，过点B 作x 轴垂线，在该垂线上取点P ，使得①PBC 与①ABC 相似，请求出点P 坐标；(3)如图2，在线段OB 上取一点M ，连接CM ，请求出12CM BM +最小值．15．如图，抛物线y ＝ax 2+k （a ＞0，k ＜0）与x 轴交于A ，B 两点（点B 在点A 的右侧），其顶点为C ，点P 为线段OC 上一点，且PC ＝14OC ．过点P 作DE ①AB ，分别交抛物线于D ，E 两点（点E 在点D 的右侧），连接OD ，DC ．(1)直接写出A ，B ，C 三点的坐标；（用含a ，k 的式子表示） (2)猜想线段DE 与AB 之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)若①ODC ＝90°，k ＝﹣4，求a 的值．16．如图，抛物线223y x bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，连接AC ，已知B (﹣1，0)，且抛物线经过点D (2，﹣2)．(1)求抛物线的表达式；(2)若点E 是抛物线上第四象限内的一点，且2ABES=，求点E 的坐标；(3)若点P 是y 轴上一点，以P ，A ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P 点的坐标．17．如图，在直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2（a ≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）和B （4，0），与y 轴交于点C ，点P 是抛物线上的动点（不与点A ，B ，C 重合）．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 在第一象限时，设①ACP 的面积为S 1，①ABP 的面积为S 2，当S 1＝S 2时，求点P 的坐标； (3)过点O 作直线l ①BC ，点Q 是直线l 上的动点，当BQ ①PQ ，且①BPQ ＝①CAB 时，请直接写出点P 的坐标．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x＋3与两坐标轴交于A、B两点，抛物线y＝x2＋bx＋c 过点A和点B，并与x轴交于另一点C，顶点为D．点E在对称轴右侧的抛物线上．(1)求抛物线的函数表达式和顶点D的坐标；(2)若点F在抛物线的对称轴上，且EF①x轴，若以点D，E，F为顶点的三角形与①ABD相似，求出此时点E的坐标；(3)若点P为坐标平面内一动点，满足tan①APB＝3，请直接写出①P AB面积最大时点P的坐标及该三角形面积的最大值．19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且OC＝2OB＝6OA＝6，点P是第一象限内抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)连接BC与OP，交于点D，当S△PCD：S△ODC的值最大时，求点P的坐标；(3)点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N．使①CMN＝90°，且①CMN与①BOC 相似，若存在，请求出点M、点N的坐标．20．如图，抛物线y＝x2＋bx＋12（b＜0）与x轴交于A，B两点（A点在B点左侧），且OB＝3OA．(1)请直接写出b＝，A点的坐标是，B点的坐标是；(2)如图（1），D点从原点出发，向y轴正方向运动，速度为2个单位长度/秒，直线BD交抛物线于点E，若BE＝5DE，求D点运动时间；(3)如图（2），F点是抛物线顶点，过点F作x轴平行线MN，点C是对称轴右侧的抛物线上的一定点，P 点在直线MN上运动．若恰好存在3个P点使得①P AC为直角三角形，请求出C点坐标，并直接写出P点的坐标．答案1．(1)y ＝﹣x 2+2x +3．(2)P 352或 (3)①ABN 的面积不变，为4．2．(1)2-(2)5⎛ ⎝⎭或5⎛ ⎝⎭(3)4或493．(1)2246y x x =-++(2)S 关于m 的函数表达式为239(03)S m m m =-+<<，S 的最大值是274 (3)存在，M （1，8），N （0，172）或M （74，558），N （0，838）或M （94，398），N （0，38）或M （3，0），N （0，﹣32）4．(1)抛物线L 1：223y x x =--，抛物线L 2：2y x 2x 3=-++；(2)435(,)39M 或(4,5)M -．5．(1)254y x x =++(2)点B 的坐标为（－1，0）(3)点D 的坐标是（0，－203） 6．(1)215322y x x =-++ (2)1或5(3)存在；P （53，529）7．(1)抛物线表达式为：213222y x x =--+；(2)AP +2PC 的最小值是4；(3)存在M(0,2)或(-3,2)或(2,-3)或(5,-18)，使得以点A 、M 、N 为顶点的三角形与ABC 相似．8．(1)y =-x 2+2x +3(3)点H 的坐标为(1，2)或(2，1)9．(1)21382y x x =++ (2)P 1（1，10.5），P 2（7，4.5）(3)存在，（3，8）或(3,5或（3，11）30．(1)y ＝﹣x 2﹣2x +3，（﹣1，4）；(2)直角三角形，理由见解析；(3)存在，（0，0）或（0，﹣13）或（－9，0）11．(1)y ＝﹣13x 2+23x +1(2)﹣6﹣(3)存在，5或11712．(1)22y x x =-++； (2)M 的坐标为（12，94），（32， 54 ），（3，-4），①M 的半径长为12或32或313．(1)213222y x x =--+(2)①PD ①P 坐标为(3,2)-或325()28，-14．(1)243y x x =-+(2)P 点坐标为()3,9或()3,215．(1)点A 、B 、C 的坐标分别为(、、(0，k ) (2)DE ＝12AB(3)a ＝1316．(1)224233y x x =--(2)E ，-1)(3)P 点的坐标(0，2)或(02)或(0，﹣2或(0，54)17．(1)213222y x x =-++ (2)点P 的坐标为（103，139）(3)点P 的坐标为（32，﹣2）或（32，﹣2）或（173，﹣509）18．(1)y ＝x 2﹣4x +3，（2，﹣1）(2)（5，8）或（73，89-）(3)①P AB ，此时P ）19．(1)y ＝﹣2x 2+4x +6 (2)点P 的坐标为（32，152） (3)存在，M 、N 的坐标分别为（3，0）、（0，﹣32）或（94，398）、（0，38）或（1，8）、（0，172）或（74，558）、（0，838）20．(1)﹣8，（2，0），（6，0）(2)3秒或212秒 (3)C 点坐标为（143，﹣329），P 点的坐标为（103，﹣4）或（﹣103，﹣4）或（11027，﹣4）。

2011中考数学真题解析91 相似三角形的判定和性质(含答案)

答：y关于x的函数关系式为y=81：x（0＜x＜）(2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编相似三角形判定和性质一、选择题1.（2011湖北荆州，7，3分）如图，P为线段AB上一点，AD与BC交干E，∠CPD=∠A=∠B，BC交PD于E，AD交PC于G，则图中相似三角形有（）A、1对B、2对C、3对D、4对考点：相似三角形的判定．专题：证明题．分析：根据题目提供的相等的角和图形中隐含的相等的角，利用两对应角对应相等的两三角形相似找到相似三角形即可．解答：解：∵∠CPD=∠A=∠B，∴△PCF∽△BCP△APG∽△BFP△APD∽△GPD故选B．点评：本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角．2.（2011江苏无锡，7，3分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA：OC=0B：OD，则下列结论中一定正确的是（）答：y 关于x 的函数关系式为y=81：x （0＜x ＜）A ．①与②相似B ．①与③相似C ．①与④相似D ．②与③相似考点：相似三角形的判定。

分析：由OA ：OC ﹣=0B ：OD ，利用对顶角相等相等，两三角形相似，①与③相似，问题可求．解答：证明：∵OA ：OC=0B ：OD ， ∠AOB=∠COD （对顶角相等）， ∴①与③相似．故选B ．点评：本题解答的关键是熟练记住所学的三角形相似的判定定理，此题难度不大，属于基础题．3. （2011山西，11，2分）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，点G 、F 在BC 边上，四边形DEFG 是正方形．若DE ＝2㎝，则AC 的长为（） A ．33cm B ． 4cm C ． 23cm D ． 25cm考点：三角形中位线，相似三角形的相似比专题：相似三角形分析：由题意知DE 是等腰△ABC 的中位线，所以DE ∥BC ，DE ＝12BC ，因为DE ＝2第11题ABEF D G答：y关于x的函数关系式为y=81：x（0＜x＜）㎝，所以BC＝4㎝．又DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，且相似比为12．过点A作AM⊥BC于点M．则MC＝2㎝，由点E是边AC的中点，EF∥AM，所以FC＝1㎝．在△EFC中，因为正方形DEFG的边长是2㎝，所以根据勾股定理得EC5AC＝)25cm，故选D．解答：D点评：此题是三角形中位线，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的相似比等的综合应用．过点A作AM⊥BC于点M，构造等腰三角形的高学生不易想到．4.（2011陕西，9，3分）如图，在□ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，他们相交于点G，延长BE交CD的延长线于点H，则图中的相似三角形共有（）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对考点：相似三角形的判定；平行四边形的性质。

中考数学总复习《相似三角形综合压轴题》专项提升练习(附答案)

中考数学总复习《相似三角形综合压轴题》专项提升练习(附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题．【证明体验】如图1，在四边形ABCD 中点P 为AB 上一点90DPC A B ∠=∠=∠=︒，求证：AD BC AP BP ⋅=⋅．【思考探究】（2）如图2，在四边形ABCD 中点P 为AB 上一点，当DPC A B β∠=∠=∠=时，上述结论是否依然成立？说明理由．【拓展延伸】（3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在ABC 中22AB =45B ∠=︒以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △，点D 在BC 上，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且45EFD ∠=︒，若5CE =CD 的长．2．综合实践问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在ABC 中90,4B AB BC ∠=︒==分别取AB ，AC 的中点D ，E ，作ADE ．如图2所示，将ADE 绕点A 逆时针旋转，连接BD ，CE ．(1)探究发现旋转过程中线段BD 和CE 的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (2)性质应用如图3，当DE 所在直线首次经过点B 时，求CE 的长． (3)延伸思考如图4，在Rt ABC △中90,8,6ABC AB BC ∠=︒==，分别取AB ，BC 的中点D ，E ．作BDE ，将BDE 绕点B 逆时针旋转，连接AD ，CE ．当边AB 平分线段DE 时，求tan ECB ∠的值．3．如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，DME A B α∠=∠=∠=且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．(1)写出图中两对相似三角形；(2)连接FG ，如果45α=︒，42AB =3AF =，求FG 的长．4．如图，在ABC 中6cm AB =，12cm BC =和90B ．点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，设移动时间为()s t ．(1)当2t =时，求PBQ 的面积； (2)当t 为多少时，PBQ 的面积是28cm ？ (3)当t 为多少时，PBQ 与ABC 是相似三角形？5．下面是小新同学在“矩形折叠中的相似三角形”主题下设计的问题，请你解答．如图，已知在矩形ABCD 中点E 为边AB 上一点（不与点A 、点B 重合），先将矩形ABCD 沿CE 折叠，使点B 落在点F 处，CF 交AD 于点H ．(1)观察发现：写出图1中一个与AEG △相似的三角形：______．（写出一个即可）(2)迁移探究：如图2，若4AB =，6BC =当CF 与AD 的交点H 恰好是AD 的中点时，求阴影部分的面积． (3)如图③，当点F 落在边AD 上时，延长EF ，与FCD ∠的角平分线交于点M ，CM 交AD 于点N ，当FN AF ND =+时，请直接写出ABBC的值．6．【阅读】如图1，若ABD ACE ∽，且点B 、D 、C 在同一直线上，则我们把ABD △与ACE △称为旋转相似三角形．(1)【理解】如图2，ABC 和ADE 是等边三角形，点D 在边BC 上，连接CE ．求证：ABD △与ACE △是旋转相似三角形．(2)【应用】如图3，ABD △与ACE △是旋转相似三角形AD CE ，求证：③ABC ADE △△∽；③AC DE =；(3)【拓展】如图4，AC 是四边形ABCD 的对角线90,D B ACD ∠=︒∠=∠，25,20BC AC ==和16AD =，试在边BC 上确定一点E ，使得四边形AECD 是矩形，并说明理由．7．综合与实践如图1，已知纸片Rt ABC △中90BAC ∠=︒，AD 为斜边BC 上的高（AD BC ⊥于点D ）．观察发现（1）请直接写出图中的一组相似三角形．（写出一组即可）实践操作第一步：如图2，将图1中的三角形纸片沿BE 折叠（点E 为AC 上一点），使点A 落在BC 边上的点F 处；第二步：BE 与AD 交于点G 连接GF ，然后将纸片展平．猜想探究（2）猜想四边形AEFG 是哪种特殊的四边形，并证明猜想．（3）探究线段GF ，BE ，GE 之间的数量关系，并说明理由．8．如图1，已知AD 是ABC 的角平分线，可证AB BDAC CD=．证明思路是如图2，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明AB BDAC CD=．(1)利用图2证明AB BDAC CD=； (2)如图3，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，D 是边BC 上一点．连接AD ，将ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处．若1AC =，AB=2，求DE 的长．9．【教材原题】如图③，在ABC 中DE BC ∥，且3AD =，2DB =图中的相似三角形是__________，它们的相似比为__________ ；【改编】将图③中的ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到如图③所示的位置，连接BD 、CE ．求证：ABD ACE ∽△△；【应用】如图③，在ABC 和ADE 中90BAC DAE ∠=∠=︒，30ABC ADE ∠=∠=︒点D 在边BC 上，连接CE ，则ACE △与ABD △的面积比为__________．10．问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD 是ABC 的角平分线，可证AB BDAC CD=小慧的证明思路是：如图2，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明．(1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明AB BDAC CD=； (2)基础训练：如图3，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，D 是边BC 上一点．连接AD ，将ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处．若1AC =，2AB =求DE 的长；(3)拓展升华：如图4，ABC 中6AB = ，AC=4，AD 为BAC ∠的角平分线，AD 的中垂线EF 交BC 延长线于F ，当3BD =时，求AF 的长．11．定义：两个相似三角形，如果它们的一组对应角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“阳似三角形”、如图1，在ABC 与AED △中ABC AED ∽△△．所以称ABC 与AED △为“阳似三角形”，连接EB DC ，，则DCEB为“阳似比”．(1)如图1，已知R ABC 与Rt AED △为“阳似三角形”，其中90CBA DEA ∠=∠=︒，当30BAC ∠=︒时，“阳似比”DCEB=______； (2)如图2，二次函数234y x x =-++交x 轴于点A 和B 两点，交y 轴于点C ．点M 为直线12y x =在第一象限上的一个动点，且OMB △与CNB 为“阳似三角形”，连接CM ③当点N 落在二次函数图象上时，求出线段OM 的长度； ③若32CN =34BM MC +的最小值．12．已知在Rt ABC △中90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ．(1)在图1中写出其中的两对相似三角形．(2)已知1BD =，DC=2，将CBD △绕着点D 按顺时针方向进行旋转得到C BD '，连接AC '，BC ． ③如图2，判断AC '与BC 之间的位置及数量关系，并证明； ③在旋转过程中当点A ，B ，C '在同一直线上时，求BC 的长．13．定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“和谐四边形”，这条对角线叫“和谐线”．(1)如图1，在44⨯的正方形网格中有一个网格Rt ABC △和两个网格四边形ABCD 与四边形ABCE ，其中是被AC 分割成的“和谐四边形”的是______．(2)如图2，BD 平分ABC ∠，43BD =10BC =，四边形ABCD 是被BD 分割成的“和谐四边形”，求AB 长； (3)如图3，A 为抛物线24y x =-+的顶点，抛物线与x 轴交于点B ，C ．在线段AB 上有一个点P ，在射线BC 上有一个点Q ．P 、Q 5/秒，5个单位/秒的速度同时从B 出发分别沿BA ，BC 方向运动，设运动时间为t ，当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．在第一象限的抛物线上是否存在点M ，使得四边形BQMP 是以PQ 为和谐线分割的“和谐四边形”，若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．14．【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题：ABC 中D 是BC 的中点，E 是AB 上一点，延长DE 、CA 交于点F ，DE=EF ，AB=5，求AE 的长．小白的想法是：过点E 作EH BC ∥交AC 于H ，再通过相似三角形的性质得到AE 、BE 的比，从而得出AE 的长．请你按照小白的思路完成解答．【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题：ABC 中AD 平分BAC ∠交BC 于D ，E 为AB 边上一点，AE=AD ，H 、Q 为BC 上两点，CQ DH =和DQ mDH =，G 为AC 上一点，连接EQ 交HG 、AD 于F 、P ，180EFG EAD ∠+∠=︒猜想并验证EP 与GH的数量关系．15．【温故知新】（1）九（1）班数学兴趣小组认真探究了课本P 91第13题：如图1，在正方形ABCD 中E 是AD 的中点，F 是CD 上一点，且3CF DF =，图中有哪几对相似三角形?把它们表示出来，并说明理由．③小华很快找出ABE DEF △△∽，他的思路为：设正方形的边长4AB a =，则2,AE DE a DF a ===，利用“两边分别成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可证明，请你结合小华的思路写出证明过程； ③小丽发现图中的相似三角形共有三对，而且可以借助于ABE 与DEF 中的比例线段来证明EBF △与它们都相似．请你根据小丽的发现证明其中的另一对三角形相似；【拓展创新】（2）如图2，在矩形ABCD 中E 为AD 的中点，EF EC ⊥交AB 于F ，连结FC ．()AB AE > ③求证：AEF ECF ∽△△；③设2,BC AB a ==，是否存在a 值，使得AEF △与BFC △相似．若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．参考答案：1．（3）52．(1)2BD CE =(2)6CE =(3)1tan 2ECB ∠=3．(1)DMG ③DBM △，EMF ③EAM △ (2)53FG =4．(1)8(2)2秒或4秒(3)当t 为3或1.2秒钟，使PBQ 与ABC 相似．5．(1)FHG △或DHC （写出一个即可）(2)阴影部分的面积是23 (3)AB BC 的值为357．（1）ABC DBA ∽ ABC CAD ∽ DBA DAC ∽（其中一个即可，答案不唯一）；（2）四边形AEFG是菱形，（3）212GF GE BE =⋅ 8． 5 9．【教材原题】ADE ABC △△∽，35【应用】13 10．5(3)611．23105337 12．(1)BCD ACD ∽ BCD BAC ∽△△ CAD BAC △∽△（任写两对即可）(2)③2AC BC '= AC BC '⊥ ③BC 2595+2595-+13．(1)四边形ABCE ；(2)10AB =或245； (3)1118t = 2881t = 1825t = 180169t =．14．阅读理解 54AE =；解决问题，猜想：12EP m GH m +=+． 15．③存在 3。

《相似三角形》中考试题选编(含答案)

求证：△ABC∽△FDE．
4、（2008年杭州市）（本小题满分10分）
如图：在等腰△ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP交BC于点E,连接BP交AC于点F.
(1)证明：∠CAE=∠CBF;
(2)证明：AE=BF;
(3)以线段AE，BF和AB为边构成一个新的三角形ABG（点E与点F重合于点G），记△ABC和△ABG的面积分别为S△ABC和S△ABG,如果存在点P,能使得S△ABC=S△ABG,求∠C的取之范围。
°°°°
2、（2008湘潭市）如图，已知D、E分别是的AB、AC边上的点，且那么等于（）
A．1:9B．1:3
C．1:8D．1:2
3、(2008 台湾)如图G是ABC的重心，直线L过A点与BC平行。若直线CG分别与AB、L交于D、E两点，直线BG与AC交于F点，则AED的面积：四边形ADGF的面积=？( )
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
18、(2008 江苏常州)如图,在△ABC中,若DE∥BC, = ,DE=4cm,则BC的长为（）
A.8cmB.12cmC.11cmD.10cm
19、（2008 江西南昌）下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（）
20、(2008 重庆)若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2︰3，则S△ABC︰S△DEF为（）
相似三角形中考真题试题汇编
二、填空题
6、（2008年江苏省南通市）已知∠A＝40°，则∠A的余角等于＝________度.
8、（2008年荆州）两个相似三角形周长的比为2:3，则其对应的面积比为___________.
9、（2008年庆阳市）两个相似三角形的面积比S1:S2与它们对应高之比h1:h2之间的关系为．

2011年中考数学试题(含答案)

第4题图灯三角尺投影湖北省荆门市二○一一年初中毕业生学业考试数学试题注意事项：1.本卷满分为120分，考试时间为120分钟．2.本卷是试题卷，不能答题，答题必须写在答题卡上．解题中的辅助线和标注角的字母、符号等务必添在答题卡的图形上.3.在答题卡上答题，选择题必须用２Ｂ铅笔填涂，非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔或黑色墨水钢笔作答．★ 祝考试顺利 ★一、选择题（本大题共12小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共36分） 1.有理数21-的倒数是（ ▲ ） A .2- B .2 C .21 D .21-2.下列四个图案中，轴对称图形的个数是（ ▲ ）A .1B .2C .3D .43.将代数式142-+x x 化成q p x ++2)(的形式为（ ▲ ）A .3)2(2+-x B .4)2(2-+x C .5)2(2-+x D .4)4(2++x4.如图，位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2∶5，且三角尺的一边长为8cm ，则投影三角形的对应边长为（ ▲ ）A .8cmB .20cmC .3.2cmD .10cm5.有13位同学参加学校组织的才艺表演比赛，已知他们所得的分数互不相同，共设7个获奖名额.某同学知道自己的比赛分数后，要判断自己能否获奖，在下列13名同学成绩的统计量中只需知道一个量，它是（ ▲ ）A .众数B .方差C .中位数D .平均数 6.对于非零的两个实数a 、b ，规定11a b b a⊗=-.若1(1)1x ?=，则x 的值为（ ▲ ）第2题图A .23 B .31 C .21 D .21- 7. 如图，P 为线段AB 上一点，AD 与BC 交于E ，∠CPD ＝∠A ＝∠B ，BC 交PD 于F ，AD 交PC 于G ，则图中相似三角形有（ ▲ ）A .1对B .2对C .3对D .4对 8.若等式1)23(0=-x成立，则x 的取值范围是（ ▲ ） A .12x ≠ B .0x ≥且12x ≠ C .0x ≥ D .>0x 且12x ≠ 9.如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm .若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ▲ ）A .13cmB .12cmC .10cmD .8cm 10.在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝4，AC ＝2，则sin B 的值是（ ▲ ）A .51714B .35C .217D .211411.关于x 的方程0)1(2)13(2=+++-a x a ax 有两个不相等的实根1x 、2x ，且有a x x x x -=+-12211，则a 的值是（ ▲ ）A .1B .1-C . 1或1-D .212.图①是一瓷砖的图案，用这种瓷砖铺设地面，图②铺成了一个2×2的近似正方形，其中完整菱形共有5个；若铺成3×3的近似正方形图案 ③，其中完整的菱形有13个；铺成4×4的近似正方形图案④，其中完整的菱形有25个；如此下去，可铺成一个n n ⨯的近似正方形图案.当得到完整的菱形共181个时，n 的值为（ ▲ ）A .7B .8C .9D .10二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）13.计算1112()2232----= ▲ .14.已知A ＝2x ，B 是多项式，在计算B +A 时，小马虎同学把B +A 看成了B ÷A ，结果得212x x +，则B +A ＝ ▲ .15.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，CD 是直径，∠B ＝40°，则∠ACD 的度数是 ▲ .16.请将含60°顶角的菱形分割成至少含一个等腰梯形且面积相等的六部分，用实线画出分PC ADBEFG第7题图2cm5cmQ第9题图第12题图OCD第15题图第16题图第17题图B'yxOCBA割后的图形. 17.如图，双曲线xy 2=(x ＞0）经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折后得△AB C ¢，B '点落在OA上，则四边形OABC 的面积是 ▲ .三、解答题（本大题共7个小题，共69分）18.（本题满分8分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来.331 213(1)8. x x x x ì-+?ïíï---î； ①＜②19.（本题满分9分）如图，P 是矩形ABCD 下方一点，将△PCD 绕P 点顺时针旋转60°后恰好D 点与A 点重合，得到△PEA ，连接EB ，问△ABE 是什么特殊三角形？请说明理由.DCB APE第19题图20.（本题满分10分）2011年国家对“酒后驾车”加大了处罚力度，出台了不准酒后驾车的禁令.某记者在一停车场对开车的司机进行了相关的调查，本次调查结果有四种情况：①偶尔喝点酒后开车；②已戒酒或从来不喝酒；③喝酒后不开车或请专业司机代驾；④平时喝酒，但开车当天不喝酒.将这次调查情况整理并绘制了如下尚不完整的统计图，请根据相关信息，解答下列问题.（1）该记者本次一共调查了▲ 名司机；（2）求图甲中④所在扇形的圆心角，并补全图乙；（3）在本次调查中，记者随机采访其中的一名司机，求他属第②种情况的概率；（4）请估计开车的10万名司机中，不违反“酒驾”禁令的人数.21.（本题满分10分）某河道上有一个半圆形的拱桥，河两岸筑有拦水堤坝，其半圆形桥洞的横截面如图所示.已知上、下桥的坡面线ME 、NF 与半圆相切，上、下桥斜面的坡度i ＝1∶3.7，桥下水深OP ＝5米，水面宽度CD ＝24米.设半圆的圆心为O ，直径AB 在坡角顶点M 、N 的连线上，求从M 点上坡、过桥、下坡到N 点的最短路径长.（参考数据：π≈3，3≈1.7，tan15°＝321 ）第21题图图乙27021201008060402029%③④③①4②①1%人数第20题图图甲22.（本题满分10分）如图，等腰梯形ABCD 的底边AD 在x 轴上，顶点C 在y 轴正半轴上，B (4,2)，一次函数1y kx =-的图象平分它的面积，关于x 的函数()232y mx m k x m k =-+++的图象与坐标轴只有两个交点，求m 的值.23.（本题满分10分）2011年长江中下游地区发生了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定了农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所投资的金额型号金额Ⅰ型设备Ⅱ型设备投资金额x （万元） x5x2 4 补贴金额y （万元）)0(1≠=k kx y2)0(22≠+=a bxax y2.43.2（1）分别求1和2的函数解析式；（2）有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额.第22题图y =kx 1yxODC BA24.（本题满分12分）如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC 与CDEF 的边OC 、OA 所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系（O 、C 、F 三点在x 轴正半轴上）.若⊙P 过A 、B 、E 三点(圆心在x 轴上)，抛物线214y x bx c =++经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为G ，M 是FG 的中点，正方形CDEF 的面积为1. （1）求B 点坐标；（2）求证：ME 是⊙P 的切线；（3）设直线AC 与抛物线对称轴交于N ，Q 点是此对称轴上不与N 点重合的一动点，①求△ACQ 周长的最小值；②若FQ ＝t ，S △ACQ ＝s ，直接写出．．．．s 与t 之间的函数关系式.图甲yxP OM GF E DCBA图乙（备用图）ABCDE FGO xy湖北省荆门市二○一一年初中毕业生学业考试数学试题参考答案及评分标准一、选择题（每选对一题得3分，共36分）1.A2.C3.C4.B5.C6.D7.C8.B9.A 10.D 11.B 12.D二、填空题（每填对一题得3分，共15分）13.0 14.x x x 2223++ 15.50° 16.方法很多，参照给分 17.2三、解答题（按步骤给分，其它解法参照此评分标准给分）18.解：由①得：x ≤1 ………………………………………………………………………2分由②得：x ＞2- …………………………………………………………………………4分综合得：-2＜x ≤1 …………………………………………………………………………6分在数轴上表示这个解集…………………………8分【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【专题】计算题；数形结合．【分析】先解每一个不等式，再求解集的公共部分即可．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解集的数轴表示法．关键是先解每一个不等式，再求解集的公共部分．19.解：△ABE 是等边三角形.理由如下：………………………………………………… 2分由旋转得△P AE ≌△PDC∴CD =AE ，PD =P A ，∠1=∠2……………………4分 ∵∠DP A =60°，∴△PDA 是等边三角形…………5分 ∴∠3＝∠P AD ＝60°.由矩形ABCD 知，CD ＝AB ，∠CDA ＝∠DAB ＝90°． ∴∠1＝∠4＝∠2＝30° ………………………7分 ∴AE ＝CD ＝AB ，∠EAB ＝∠2+∠4＝60°，∴△ABE 为等边三角形.…………………………9分【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定；矩形的性质．【专题】几何图形问题．第16题图【分析】根据旋转的性质，图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变，根据图形求出旋转的角度，即可得出三角形的形状．【点评】本题主要考查了图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变，难度适中．20.解：（1）2÷1%=200 …………………………………………………………………… 2分（2）360°×70200＝126°，∴④所在扇形的圆心角为126° ………………………… 4分 200×9%=18（人）200－18－2－70=110（人）第②种情况110人，第③种情况18人．注：补图②110人，③18人………………………………………………………………6分（3）P （第②种情况）＝1101120020=∴他是第②种情况的概率为1120…………………………………………………………8分（4）10×（1-1%）＝9.9（万人）即：10万名开车的司机中，不违反“酒驾”禁令的人数为9.9万人 ………………10分【考点】扇形统计图；用样本估计总体；条形统计图；概率公式．【专题】图表型．【分析】（1）从扇形图可看出①种情况占1%，从条形图知道有2人，所以可求出总人数．（2）求出④所占的百分比然后乘以360°就可得到圆心角度数，然后求出其他情况的人，补全条形图．（3）②种情况的概率为②中调查的人数除以调查的总人数．（4）2万人数减去第①种情况的人数就是不违反“酒驾”禁令的人数．【点评】本题考查对扇形图和条形图的认知能力，知道扇形图表现的是部分占整体的百分比，条形图告诉我们每组里面的具体数据，从而可求答案．21.解：连接OD 、OE 、OF ，由垂径定理知：PD ＝12CD ＝12（m ） ………… 1分在Rt △OPD 中，OD ＝2222125+=+OP PD ＝13（m ）∴OE ＝OD ＝13m …………………………………………………………………………2分 ∵tan ∠EMO =i = 1∶3.7 ，tan15°＝321+=32-≈1：3.7∴∠EMO ＝15°……………………………………………………………………………4分由切线性质知∠OEM ＝90°∴∠EOM =75°同理得∠NOF ＝75°∴∠EOF ＝180°-75°×2＝30° ………………………………6分在Rt △OEM 中，tan15°＝321+=32-≈1∶3.7∴EM ＝3.7×13＝48.1（m ） …………………………………………………………7分又∵EF⌒ 的弧长＝1801330⋅π＝6.5（m ） ………………………………………9分 ∴48.1×2+6.5＝102.7（m ），即从M 点上坡、过桥、再下坡到N 点的最短路径长为102.7米. ……………… 10分（注：答案在102.5m —103m 间只要过程正确，不扣分）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】几何图形问题．【分析】首先明确从M 点上坡、过桥、下坡到N 点的最短路径长应为如图ME +EF ⌒ +FN ，连接如图，把实际问题转化为直角三角形问题，由已知求出OD 即半径，再由坡度i =1∶3.7和tan15°＝321+=32-≈1∶3.7，得出∠M =∠N =15°，因此能求出ME 和FN ，所以求出∠EOM =∠FON =90°-15°=75°，则得出EF ⌒ 所对的圆心角∠EOF ，相继求出EF ⌒ 的长，从而求出从M 点上坡、过桥、下坡到N 点的最短路径长．【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用，解题的关键是由已知先求出半圆的半径和∠M 和∠N ，再由直角三角形求出MF 和FN ，求出EF⌒ 的长．22.解：过B 作BE ⊥AD 于E ，连接OB 、CE 交于点P ， ∵P 为矩形OCBE 的对称中心，则过P 点的直线平分矩形OCBE 的面积. ∵P 为OB 的中点，而B （4，2） ∴P 点坐标为（2，1）………………2分在Rt △ODC 与Rt △EAB 中， OC ＝BE ，AB ＝CD∴Rt △ODC ≌Rt △EAB （HL ）， ∴S △ODC ＝S △EBA∴过点（0，-1）与P （2，1）的直线平分等腰梯形面积，这条直线为1y kx =-∴211k -=， ∴1k = ………………………………………………………………4分 ∵()232y mx m k x m k =-+++的图象与坐标轴只有两个交点，①当m ＝0时，1y x =-+，其图象与坐标轴有两个交点（0，1），（1，0） ………6分 ②当m ≠0时，函数()232y mx m k x m k =-+++的图象为抛物线，且与y 轴总有一个交点（0，2m +1）若抛物线过原点时，2m +1=0，即m =12-， EPy =kx 1yxODCBA此时2(31)4(21)m m m D=+-+=2(1)m +＞0∴抛物线与x 轴有两个交点且过原点，符合题意． ……………………………8分若抛物线不过原点，且与x 轴只有一个交点，也合题意，此时2(31)4(21)m m m ¢D=+-+=0，∴121m m ==-综上所述，m 的值为m =0或21-或-1 …………………………………………10分【考点】梯形的性质，函数与图象与坐标轴的交点．【专题】图形与坐标．【分析】过B 作BE ⊥AD 于E ，连接OB 、CE 交于点P ，根据矩形OCBE 的性质求出B 、P 坐标，然后再根据相似三角形的性质求出k 的值，将解析式()232y mx m k x m k =-+++中的k 化为具体数字，再分m =0和m ≠0两种情况讨论，得出m 的值．【点评】此题考查了抛物线与坐标轴的交点，同时结合了梯形的性质和一次函数的性质，要注意数形结合，同时要进行分类讨论，得到不同的m 值．23.解：（1）由题意得：①5k =2，k =52， ∴ x y 521=……………………………………2分②42 2.4,164 3.2,a b a b +=⎧⎨+=⎩∴15a =-， 85b =. ∴x x y 585122+-=………………………4分（2）设购Ⅱ型设备投资t 万元，购Ⅰ型设备投资（10-t ）万元，共获补贴Q 万元．∴t t y 524)10(521-=-=，t t y 585122+-= ∴529)3(5145651585152422221+--=++-=+--=+=t t t t t t y y Q …………7分∵51-＜0，∴Q 有最大值，即当3t =时，Q 最大＝529∴107t -= (万元) ………………………………………………………………………9分即投资7万元购Ⅰ型设备，投资3万元购Ⅱ型设备，共获最大补贴5.8万元………10分【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据图表得出函数上点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可；（2）根据12y y y =+得出关于x 的二次函数，求出二次函数最值即可．【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式以及二次函数的最值问题，利用函数解决实际问题是中考的热点问题．24.解：（1）如图甲，连接PE 、PB ，设PC ＝n ，∵正方形CDEF 面积为1，∴CD ＝CF ＝1．根据圆和正方形的对称性知OP ＝PC ＝n ， ∴BC ＝2PC ＝2n ． ………1分而PB ＝PE ，22222254n n n PC BC PB =+=+=，1)1(2222++=+=n EF PF PE ，x yxPOM GFE DC BA∴2251)1(n n =++，解得1n = (21-=n 舍去) ． …………… 2分 ∴BC ＝OC ＝2，∴B 点坐标为(2,2)． ………3分（2）如图甲，由（1）知A (0,2)，C (2,0)，∵A ，C 在抛物线上，∴2412++=bx x y ，∴23-=b ∴抛物线的解析式为223412+-=x x y即41)3(412--=x y …………………………………………………………… 4分∴抛物线的对称轴为3x =即EF 所在直线∵C 与G 关于直线3x =对称， ∴CF ＝FG ＝1，∴FM ＝12FG ＝12在Rt △PEF 与Rt △EMF 中，EF PF ＝2，221:1==FM EF ， ∴EF PF =FMEF，∴△PEF ∽△EMF …………5分 ∴∠EPF ＝∠FEM ，∴∠PEM ＝∠PEF +∠FEM ＝∠PEF +∠EPF ＝90°∴ME 与⊙P 相切． ……………………………………………………………………6分（注：其他方法，参照给分）（3）①如图乙，延长AB 交抛物线于A '，连接A C '交对称轴x =3于Q ，连接AQ ，则有AQ ＝A 'Q ，△ACQ 周长的最小值为（AC +A 'C ）的长．……7分 ∵A 与A '关于直线3x =对称， ∴A (0,2)，A '(6,2)，∴A 'C ＝522)26(22=+-，而AC =222222=+ …………………8分∴△ACQ 周长的最小值为2225+……9分 ②当Q 点在F 点上方时，1S t =+ ……10分当Q 点在线段FN 上时，1S t =- ……11分当Q 点在N 点下方时，1S t =- ……12分【考点】二次函数综合题．【分析】（1）如图甲，连接PE 、PB ，设PC =n ，由正方形CDEF 的面积为1，可得CD =CF =1，根据圆和正方形的对称性知：OP =PC =n ，由PB =PE ，根据勾股定理即可求得n 的值，继而求得B 的坐标；（2）由（1）知A （0，2），C （2，0），即可求得抛物线的解析式，然后求得FM 的长，则可得△PEF ∽△EMF ，则可证得∠PEM =90°，即ME 是⊙P 的切线；（3）①如图乙，延长AB 交抛物线于A ′，连CA ′交对称轴3x =于Q ，连接AQ ，则有AQ =A ′Q ，△ACQ 周长的最小值为AC +A ′C 的长，利用勾股定理即可求得△ACQ 周长的最小值； ②分别当Q 点在F 点上方时，当Q 点在线段FN 上时，当Q 点在N 点下方时去分析即可求得答案．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，圆的性质，相似三角形的判定与性质QN A'x =3ABCDE F GOxy图乙以及勾股定理等知识．此题综合性很强，题目难度较大，解题的关键是方程思想、分类讨论与数形结合思想的应用．。

2011届中考数学相似试题

2009年中考试题专题之26-相似试题及答案一、选择题1．（2009年滨州）如图所示，给出下列条件： ①B ACD ∠=∠；②ADC ACB ∠=∠；③AC AB CD BC=；④2AC AD AB = ．其中单独能够判定ABC ACD △∽△的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【关键词】三角形相似的判定. 【答案】C2.（2009年上海市)如图，已知AB CD EF ∥∥，那么下列结论正确的是（） A ．AD BCDF CE= B ．BC DFCE AD= C ．CD BCEF BE= D ．CD ADEF AF=【关键词】平行线分线段成比例【答案】A3.(2009成都)已知△ABC∽△DEF，且AB ：DE=1：2，则△ABC 的面积与△DEF 的面积之比为 (A)1：2 (B)1：4 (C)2：1 (D)4：1 【关键词】【答案】B4. (2009年安顺)如图，已知等边三角形ABC 的边长为2，DE 是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1，（2）△CDE ∽△CAB ，（3）△CDE 的面积与△CAB 的面积之比为1：4.其中正确的有： A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【关键词】等边三角形，三角形中位线，相似三角形【答案】D5.（2009重庆綦江）若△ABC ∽△DEF, △ABC 与△DEF 的相似比为１∶2，则△ABC 与△DEF 的周长比为（）A ．1∶4B ．1∶2C ．2∶1D【关键词】【答案】B6.（2009年杭州市）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x ，那么x 的值（）A ．只有1个B ．可以有2个C ．有2个以上但有限D ．有无数个【关键词】相似三角形有关的计算和证明【答案】B7.2009年宁波市）如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（） A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形B ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形C ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形 D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形【关键词】位似【答案】C8.（2009年江苏省）如图，在55 方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图② 中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平移方法中，正确的是（）A ．先向下平移3格，再向右平移1格B ．先向下平移2格，再向右平移1格C ．先向下平移2格，再向右平移2格D ．先向下平移3格，再向右平移2格【关键词】平移【答案】D9.(2009年义乌)在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。

【精编版】中考数学专题训练——相似三角形的判定和性质

中考专题训练——相似三角形的判定和性质1．如图，E是菱形ABCD对角线AC上一点，四边形BGFE是矩形．点F，G分别在DC，BC上．（1）求证：∠CFG＝∠ABE．（2）若BE＝4，，求FM的长．2．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在BC的延长线上，且CF＝BE，连接AC，DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若∠ACD＝90°，AE＝4，CF＝2，求．3．如图，已知正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b（b＜a），点E在CD 边上，点G在BC延长线上，点H为BC上的点，连接DF，DH．（1）当DH⊥DF时，求证：△DEF∽△HCD．（2）若点H为BC的中点，在（1）的条件下，求出a与b满足的关系式．4．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在边AB、AD上，DE与CF 相交于点G．CD2＝CG•CF，∠AED＝∠CFD．（1）求证：AB＝CD；（2）延长AD至点M，联结CM，当CF＝CM时，求证：EA•AB＝AD•MD．5．北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，该图被誉为“中国数学界的图腾”，它是由四个直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如图为“弦图”的一部分，在正方形ABCD中，DE⊥AF，BF⊥AF．（1）求证：EF＝DE﹣BF；（2）连接BE，若BF2＝EF•DE，求证：∠1＝∠2．6．如图，已知：△ABC和△ADE都是等边三角形，其中点D在边BC上，点F是AB边上一点，且BF＝CD．（1）求证：DE∥CF；（2）联结DF，设AD、CF的交点为M，如果DF2＝FM•FC，求证：DF∥AC．7．如图，△ABC中，AB＝AC．（1）尺规作图：作AB的垂直平分线DE，分别交AB、AC于点E和点D．（保留作图痕迹，不写作法）；（2）连接BD，若BD＝BC＝2，求AC的长．（3）在（2）的条件下，cos C＝．8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝10．直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P 与A，D不重合），一直角边经过点C，另一直角边与AB交于点E．（1）求证：Rt△AEP∽Rt△DPC；（2）当∠CPD＝30°时，求AE的长．9．如图，在矩形ABCD中，点E是边CD上任意一点（点E与点C、D不重合），过点A 作AF⊥AE，交边CB的延长线于点F，联结EF交边AB于点G，连接AC．（1）求证：△AEF∽△DAC；（2）如果FE平分∠AFB，联结CG，求证：四边形AGCE为菱形．10．已知：如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，E为对角线BD的中点，点F 在边AD上，CF交BD于点G，CF∥AE，CF＝BD．（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）如果∠DCG＝∠DEC，求证：AE2＝AD•DC．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，BE平分∠ABC交AD于点E．连接CE，点F是BE上一动点，过点F作FG∥CE交BC于点G．将△BFG绕点B旋转得到△BF'G'．（1）连接CG'，EF'，求证：△BEF'∽△BCG'；（2）当点G'恰好落在直线AE上时，若BF＝3，求EG'的值．12．如图，正方形ABCD，E、F分别是边AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N．（1）求证：AF＝DE，AF⊥DE．（2）求AM：MN：NF的值．13．问题背景如图1，在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，2∠EDB+∠BDC＝180°，∠DEB＝90°，求证：AE＝BE．变式迁移如图2，在四边形DEBC中，2∠EDB+∠BDC＝180°，∠DEB＝90°，DF∥EB，DF分别交CE，BC于点G，F，求证：DG＝FG．拓展应用如图3，在四边形DECB中，2∠DBE+∠EBC＝180°，∠EDB＝∠DCB，，且n ＞1，直接写出的值．14．问题提出（1）如图①正三角形ABC，边长为4，D、E是边AB、AC的中点，P在BC边上，则△PDE的面积为；问题解决（2）如图②，某小区有一块五边形空地ABCDE，CD⊥DE，AE∥CD，CB＝CD＝40m，AE＝10米，∠ABC＝∠BCD＝120°，物业想在这块空地中划出一块△MNP区域来种植草皮，其他区域种植花卉．已知种植花卉每平方米200元，种植草皮每平方米100元．要求M，N，P分别位于AB，ED，CD边上，且MN∥CD，要使种植费用的造价最低，种植草皮的△MNP的面积应该满足什么条件？并求出费用的最小值．15．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，在BC延长线上作EF＝AE，连接AF交CD于点G，设CE：EB＝λ（λ＞0）．（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长．（2）连接EG，若G点为CD的中点，①求证：EG⊥AF．②求λ的值．16．如图，已知△ABC，点D，E分别在BC，CA上，且满足AD＝AB，EB＝EC．（1）用直尺和圆规确定点D，E；（保留作图痕迹，不写作法）（2）连接AD，EB，AD与EB交于点F．①求证：△BDF∽△CBA；②若∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，则DF的长为．17．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE⊥DF，∠DEF＝45°，DF的延长线与BC的延长线相交于点G．（1）求证：△BDE∽△CEF；（2）若AD＝1，AF＝2，求EC的长；（3）若，求的值．18．如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上的一点（不与A、D重合），点F在边DC 延长线上，CF＝AE，连接BE、BF、EF，EF交BC于点M，交对角线BD于N．（1）求证：∠BEF＝45°；（2）若BE平分∠ABD，求证：BE2＝AB•BM；（3）若DE：EA＝3：2，则EN：NM：MF＝（直接写答案）．19．如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，过点A作AE∥DC交BC边于点E，过点E作EF∥AB交CD边于点F，连接AF，过点C作CH∥AF交AE于点H，连接BH．（1）求证：△ABH≌△EAF；（2）如图2，若BH的延长线经过AF的中点M，求的值．20．如图1，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝8，点E在边CD上，tan∠BAE＝2，点F是线改AE上一点，连接CF．（1）连接BF，请用尺规作图法作FG⊥AB，垂足为G点（保留作图痕迹，不要求写出作法）．若tan∠ABF＝，求线段AF的长．（2）如图2，若CF＝BC，AE的延长线与BC的延长线交于点H，求△CEF的面积．参考答案与试题解析1．如图，E是菱形ABCD对角线AC上一点，四边形BGFE是矩形．点F，G分别在DC，BC上．（1）求证：∠CFG＝∠ABE．（2）若BE＝4，，求FM的长．【分析】（1）根据菱形的性质可得AB∥CD，从而可得∠CAB＝∠DCA，根据矩形的性质可得BE∥FG，从而可得∠BEM＝∠FME，然后利用三角形的外角可得∠BEM＝∠BAE+∠ABE，∠FME＝∠ACD+∠CFG，即可解答；（2）根据矩形的性质可得EB＝FG＝4，∠EFG＝∠FGB＝90°，EF∥BG，再利用（1）的结论在Rt△FGC中，利用锐角三角函数的定义和勾股定理求出CG，CF的长，根据菱形的性质可得AD∥BC，AD＝DC，从而可得AD∥EF，∠DAC＝∠DCA，进而可得∠FEC＝∠DCA，然后利用等角对等边可得FE＝FC＝5，最后证明8字模型相似三角形△EFM∽△CGM，利用相似三角形的性质进行计算即可解答．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠CAB＝∠DCA，∵四边形BGFE是矩形，∴BE∥FG，∴∠BEM＝∠FME，∵∠BEM＝∠BAE+∠ABE，∠FME＝∠ACD+∠CFG，∴∠CFG＝∠ABE；（2）解：∵四边形BGFE是矩形，∴EB＝FG＝4，∠EFG＝∠FGB＝90°，EF∥BG，∴∠FGC＝180°﹣∠FGB＝90°，∵，∠CFG＝∠ABE，∴tan∠CFG＝，∴CG＝FG•tan∠CFG＝4×＝3，∴FC＝＝＝5，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝DC，∴AD∥EF，∴∠DAC＝∠FEC，∵AD＝DC，∴∠DAC＝∠DCA，∴∠FEC＝∠DCA，∴FE＝FC＝5，∵∠EFG＝∠FGC＝90°，∠EMF＝∠CMG，∴△EFM∽△CGM，∴＝，∴＝，∴FM＝，∴FM的长为．2．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在BC的延长线上，且CF＝BE，连接AC，DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若∠ACD＝90°，AE＝4，CF＝2，求．【分析】（1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF＝90°即可；（2）根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】（1）证明：∵CF＝BE，∴CF+EC＝BE+EC．即EF＝BC．在▱ABCD中，AD∥BC且AD＝BC，∴AD∥EF且AD＝EF．∴四边形AEFD是平行四边形．∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°．∴四边形AEFD是矩形；（2）解：∵四边形AEFD是矩形，∴∠AEC＝∠DFC＝90°，AE＝DF＝4，∴∠EAC+∠ECA＝90°，∵∠ACD＝90°，∴∠ECA+∠DCF＝90°，∴∠EAC＝∠DCF，∴△AEC∽△CFD，∴＝＝，∴EC＝2AE＝8，解法一：∴＝＝＝4．解法二：∴＝（）2＝（）2＝4．3．如图，已知正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b（b＜a），点E在CD 边上，点G在BC延长线上，点H为BC上的点，连接DF，DH．（1）当DH⊥DF时，求证：△DEF∽△HCD．（2）若点H为BC的中点，在（1）的条件下，求出a与b满足的关系式．【分析】（1）证明∠EDF＝∠DHC，再结合90°角可以证明△DEF∽△HCD；（2）根据（1）中的相似得到对应边成比例，可以得到关于a和b的等式即可得解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD，CEFG都是正方形，∴∠HCD＝90°，∠CEF＝∠DEF＝90°，∴∠DEF＝∠HCD＝90°，∴∠HDC+∠DHC＝90°，又∵DH⊥DF，∴∠HDF＝90°，∴∠HDC+∠EDF＝90°，∴∠EDF＝∠DHC，∴△DEF∽△HCD．（2）解：∵点H为BC的中点，∴HC＝，∵CD＝a，CE＝EF＝b，∴DE＝a﹣b，由（1）可知△DEF∽△HCD，∴，∴，∴，即a与b满足的关系式为a＝．4．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在边AB、AD上，DE与CF 相交于点G．CD2＝CG•CF，∠AED＝∠CFD．（1）求证：AB＝CD；（2）延长AD至点M，联结CM，当CF＝CM时，求证：EA•AB＝AD•MD．【分析】（1）根据已知可得＝，从而可得△CDG∽△CFD，然后利用相似三角形的性质可得∠CDG＝∠CFD，从而可得∠CDG＝∠AED，进而可得AB∥CD，最后证明四边形ABCD是平行四边形，从而利用平行四边形的性质即可解答；（2）根据等腰三角形的性质可得∠CFD＝∠M，从而可得∠AED＝∠M，然后利用平行线的性质可得∠A＝∠CDM，从而可证△AED∽△DMC，进而利用相似三角形的性质即可解答．【解答】证明：（1）∵CD2＝CG•CF，∴＝，∵∠DCG＝∠DCF，∴△CDG∽△CFD，∴∠CDG＝∠CFD，∵∠AED＝∠CFD，∴∠CDG＝∠AED，∴AB∥CD，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD；（2）如图：∵CF＝CM，∴∠CFD＝∠M，∵∠AED＝∠CFD，∴∠AED＝∠M，∵AB∥CD，∴∠A＝∠CDM，∴△AED∽△DMC，∴＝，∴AE•DC＝AD•DM，∵AB＝DC，∴EA•AB＝AD•MD．5．北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，该图被誉为“中国数学界的图腾”，它是由四个直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如图为“弦图”的一部分，在正方形ABCD中，DE⊥AF，BF⊥AF．（1）求证：EF＝DE﹣BF；（2）连接BE，若BF2＝EF•DE，求证：∠1＝∠2．【分析】（1）利用正方形的性质可得AB＝AD，∠BAD＝90°，从而可得∠BAF+∠DAE ＝90°，根据垂直定义可得∠AED＝∠F＝90°，从而可得∠BAF+∠ABF＝90°，然后利用同角的余角相等可得∠DAE＝∠ABF，从而可证△ABF≌△DAE，D进而可得DE＝AF，AE＝BF，即可解答；（2）利用（1）的结论可得DE＝AF，∠BAF＝∠ADE＝∠2，从而可得＝，进而可得△FBE∽△F AB，然后利用相似三角形的性质可得∠1＝∠BAF，即可解答．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠BAF+∠DAE＝90°，∵DE⊥AF，BF⊥AF，∴∠AED＝∠F＝90°，∴∠BAF+∠ABF＝90°，∴∠DAE＝∠ABF，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴DE＝AF，AE＝BF，∵EF＝AF﹣AE，∴EF＝DE﹣BF；（2）∵△ABF≌△DAE，∴DE＝AF，∠BAF＝∠ADE＝∠2，∵BF2＝EF•DE，∴＝，∴＝，∵∠F＝∠F，∴△FBE∽△F AB，∴∠1＝∠BAF，∴∠1＝∠2．6．如图，已知：△ABC和△ADE都是等边三角形，其中点D在边BC上，点F是AB边上一点，且BF＝CD．（1）求证：DE∥CF；（2）联结DF，设AD、CF的交点为M，如果DF2＝FM•FC，求证：DF∥AC．【分析】（1）由等边三角形的性质证明△ACD≌△CBF，得出∠CAD＝∠BCF，由等边三角形的性质及三角形外角的性质得出∠BDE＝∠CAD，进而得出∠BDE＝∠BCF，即可证明DE∥CF；（2）先证明△DFM∽△CFD，得出∠FDM＝∠FCD，由∠CAD＝∠BCF，得出∠FDM ＝∠CAD，即可证明DF∥AC．【解答】证明：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°，在△ACD和△CBF中，，∴△ACD≌△CBF（SAS），∴∠CAD＝∠BCF，∵△ADE是等边三角形，∴∠ADE＝∠ACB＝60°，∵∠ADE+∠BDE＝∠ACB+∠CAD，∴∠BDE＝∠CAD，∴∠BDE＝∠BCF，∴DE∥CF；（2）如图2，∵DF2＝FM•FC，∴，∵∠DFM＝∠CFD，∴△DFM∽△CFD，∴∠FDM＝∠FCD，∵∠CAD＝∠BCF，∴∠FDM＝∠CAD，∴DF∥AC．7．如图，△ABC中，AB＝AC．（1）尺规作图：作AB的垂直平分线DE，分别交AB、AC于点E和点D．（保留作图痕迹，不写作法）；（2）连接BD，若BD＝BC＝2，求AC的长．（3）在（2）的条件下，cos C＝．【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）求出证明∠A＝36°，再利用相似三角形的性质证明即可；（3）过点B作BH⊥CD于点H．求出CH，可得结论．【解答】解：（1）如图，直线DE即为所求；（2）如图，∵点D在AB的垂直平分线上，∴DA＝DB，∴∠A＝∠DBA，∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠C，∵∠BDC＝∠A+∠DBA＝2∠A，∴∠C＝2∠A，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝2∠A，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴5∠A＝180°，∴∠A＝36°，∴∠CBD＝∠ABD＝∠A＝36°，∵∠C＝∠C，∴△CBD∽△CAB，∴CB2＝CD•CA，∴22＝CD•（CD+2），∴CD＝﹣1（负值已经舍去），∴AC＝CD+AD＝+1；（3）过点B作BH⊥CD于点H．∵BC＝BD，BH⊥CD，∴CH＝DH＝，∴cocC＝＝．故答案为：．8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝10．直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P 与A，D不重合），一直角边经过点C，另一直角边与AB交于点E．（1）求证：Rt△AEP∽Rt△DPC；（2）当∠CPD＝30°时，求AE的长．【分析】（1）利用“一线三直角”模型，即可证明Rt△AEP∽Rt△DPC；（2）由矩形的性质结合已知条件得出CD＝AB＝4，利用含30度角的直角三角形的性质得出PC＝8，利用勾股定理求出PD的长度，进而求出AP的长度，再利用相似三角形的性质即可求出AE的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠A＝90°，∴∠PCD+∠DPC＝90°，∵∠CPE＝90°，∴∠EP A+∠DPC＝90°，∴∠PCD＝∠EP A，∴Rt△AEP∽Rt△DPC；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，∴CD＝AB＝4，在Rt△PCD中，∠CPD＝30°，CD＝4，∴PC＝8，∴，∴，∵Rt△AEP∽Rt△DPC，∴，即，∴．9．如图，在矩形ABCD中，点E是边CD上任意一点（点E与点C、D不重合），过点A 作AF⊥AE，交边CB的延长线于点F，联结EF交边AB于点G，连接AC．（1）求证：△AEF∽△DAC；（2）如果FE平分∠AFB，联结CG，求证：四边形AGCE为菱形．【分析】（1）根据矩形的性质可得AB∥CD，AB＝DC，∠BCD＝∠DAB＝∠ABC＝∠D ＝90°，根据垂直定义可得∠F AE＝90°，从而可得∠BAF＝∠DAE，进而可得△ABF ∽△ADE，然后利用相似三角形的性质可得＝，再利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明，即可解答；（2）根据角平分线的定义可得∠AFE＝∠CFE，从而证明△AFE≌△CFE，进而可得AF ＝CF，AE＝EC，然后再证△AFG≌△CFG，从而可得∠F AG＝∠FCG，再结合（1）的结论可得∠DAE＝∠FCG，最后利用等角的余角相等可得∠DCG＝∠AED，从而可得AE∥CG，进而利用菱形的判定方法即可解答．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝DC，∠BCD＝∠DAB＝∠ABC＝∠D＝90°，∴∠ABF＝180°﹣∠ABC＝90°，∵AE⊥AF，∴∠F AE＝90°，∴∠F AE﹣∠BAE＝∠DAB﹣∠BAE，∴∠BAF＝∠DAE，∵∠D＝∠ABF＝90°，∴△ABF∽△ADE，∴＝，∴＝，∵∠D＝∠F AE＝90°，∴△AEF∽△DAC；（2）如图：∵FE平分∠AFB，∴∠AFE＝∠CFE，∵∠F AE＝∠BCD＝90°，EF＝EF，∴△AFE≌△CFE（AAS），∴AF＝CF，AE＝EC，∵FG＝FG，∴△AFG≌△CFG（SAS），∴∠F AG＝∠FCG，∵∠BAF＝∠DAE，∴∠DAE＝∠FCG，∵∠DAE+∠AED＝90°，∠BCG+∠DCG＝90°，∴∠DCG＝∠AED，∴AE∥CG，∵AB∥CD，∴四边形AGCE是平行四边形，∵AE＝EC，∴四边形AGCE为菱形．10．已知：如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，E为对角线BD的中点，点F 在边AD上，CF交BD于点G，CF∥AE，CF＝BD．（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）如果∠DCG＝∠DEC，求证：AE2＝AD•DC．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线可得AE＝DE＝BD，CE＝BD，再结合已知CF＝BD，从而可得AE＝CF，进而可得四边形AECF是平行四边形，然后再根据AE＝CE，即可解答；（2）利用（1）的结论可得AE＝CF＝DE，AD∥CE，从而可得∠ADE＝∠DEC，进而可得∠ADE＝∠DCG，再利用平行线的性质可得∠EAD＝∠CFD，然后证明△ADE∽△FCD，利用相似三角形的性质即可解答．【解答】证明：（1）∵∠BAD＝90°，E为BD的中点，∴AE＝DE＝BD，∵CF＝BD，∴AE＝CF＝DE，∵CF∥AE，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠BCD＝90°，E为BD的中点，∴CE＝BD，∴AE＝CE，∴四边形AECF为菱形；（2）∵四边形AECF为菱形，∴AD∥CE，∴∠ADE＝∠DEC，∵∠DCG＝∠DEC，∴∠ADE＝∠DCG，∵AE∥CF，∴∠EAD＝∠CFD，∴△ADE∽△FCD，∴＝，∴CF•DE＝AD•CD，∵AE＝CF＝DE，∴AE2＝AD•DC．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，BE平分∠ABC交AD于点E．连接CE，点F是BE上一动点，过点F作FG∥CE交BC于点G．将△BFG绕点B旋转得到△BF'G'．（1）连接CG'，EF'，求证：△BEF'∽△BCG'；（2）当点G'恰好落在直线AE上时，若BF＝3，求EG'的值．【分析】（1）可证得∠F′BE＝∠CBG′，＝，从而证明了结论；（2）先求得BG的长，进而求得BG′，然后解直角三角形ABG′求得结果．【解答】（1）证明：∵FG∥CE，∴△BFG∽△BEC，∴＝，∴＝，∵∠F′BG′＝∠EBC，∴∠FBG′+∠EBG′＝∠EBC+∠EBG′，即∠F′BE＝∠CBG，∴△BEF′∽△BCG′；（2）如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠A＝∠ABC＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠ABC＝45°，∴∠AEB＝90°﹣∠ABE＝45°，∴∠AEB＝∠ABE，∴AE＝AB＝3，∴BE＝3，由（1）知：＝，∴＝，∴BG＝，∴BG′＝BG＝，在Rt△ABG′中，由勾股定理得，AG′＝＝＝，∴EG′＝AE﹣AG′＝3﹣＝，EG″＝，综上所述：EG′＝．12．如图，正方形ABCD，E、F分别是边AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N．（1）求证：AF＝DE，AF⊥DE．（2）求AM：MN：NF的值．【分析】（1）根据SAS证明△ADE≌△BAF，即可得AF＝DE，∠ADE＝∠BAF，故∠ADE+∠AED＝∠BAF+∠AED＝90°，AF⊥DE；（2）设正方形ABCD的边长为2x，则AE＝BF＝x，由勾股定理和面积法可得AM＝＝x，证明△NAD∽△NFB，可得NF＝AF＝x，即可得到答案．【解答】（1）证明：∵正方形ABCD，∴AB＝DA，∠ABC＝∠BAD＝90°，∵E、F为边AB、BC的中点，∴BF＝AE，在△ADE与△BAF中，，∴△ADE≌△BAF（SAS），∴AF＝DE，∠ADE＝∠BAF，∴∠ADE+∠AED＝∠BAF+∠AED＝90°，∴∠AME＝90°，∴AF⊥DE；（2）解：设正方形ABCD的边长为2x，则AE＝BF＝x，在Rt△ADE中，DE＝＝x，由（1）知DE＝AF，∴AF＝x，∵2S△ADE＝AE•AD＝DE•AM，∴AM＝＝x，∵AD∥BC，∴∠ADN＝∠NBF，∠NAD＝∠NFB，∴△NAD∽△NFB，∴＝＝2，∴AN＝2FN，∴NF＝AF＝x，∴MN＝AF﹣AM﹣NF＝，∴AM：MN：NF＝x：x：x＝6：4：5．13．问题背景如图1，在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，2∠EDB+∠BDC＝180°，∠DEB＝90°，求证：AE＝BE．变式迁移如图2，在四边形DEBC中，2∠EDB+∠BDC＝180°，∠DEB＝90°，DF∥EB，DF分别交CE，BC于点G，F，求证：DG＝FG．拓展应用如图3，在四边形DECB中，2∠DBE+∠EBC＝180°，∠EDB＝∠DCB，，且n ＞1，直接写出的值．【分析】问题背景：由2∠EDB+∠BDC＝180°，∠ADB+∠BDC＝180°，得出∠ADE ＝∠EDB，由∠DEB＝90°，得出∠DEA＝∠DEB＝90°，即可得出△DEA≌△DEB，进而证明AE＝BE；变式迁移：延长CD，BE交于点M，则ME＝BE，由DF∥BE，得出△CDG∽△CME，△CFG∽△CBE，进而得出，即可证明DG＝FG；拓展应用：在CB的延长线上截取BP＝BE，连接DP，由“问题背景”可知：∠DBP＝∠DBE，进而得出△DBE≌△DBP，得出∠EDB＝∠PDB，由∠EDB＝∠DCB，得出∠PDB＝∠DCB，继而证明△DPB∽△CPD，得出＝＝＝，设BP＝1，则PD ＝n，得出PC＝n2，求出BC＝n2﹣1，继而得出＝n2﹣1．【解答】问题背景：证明：如图1，∵2∠EDB+∠BDC＝180°，∠ADB+∠BDC＝180°，∴∠ADB＝2∠EDB，∴∠ADE+∠EDB＝2∠EDB，∴∠ADE＝∠EDB，∵∠DEB＝90°，∴∠DEA＝∠DEB＝90°，在△DEA和△DEB中，，∴△DEA≌△DEB（ASA），∴AE＝BE；变式迁移：证明：如图2，延长CD，BE交于点M，则ME＝BE，∵DF∥BE，∴∠CDG＝∠M，∠CGD＝∠CEM，∠CGF＝∠CEB，∠CFG＝∠CBE，∴△CDG∽△CME，△CFG∽△CBE，∴，，∴，∵ME＝BE，∴DG＝FG；拓展应用：解：如图3，在CB的延长线上截取BP＝BE，连接DP，由“问题背景”可知：∠DBP＝∠DBE，在△DBE和△DBP中，，∴△DBE≌△DBP（SAS），∴∠EDB＝∠PDB，∵∠EDB＝∠DCB，∴∠PDB＝∠DCB，∵∠P＝∠P，∴△DPB∽△CPD，∴＝＝，∵，∴＝＝＝，设BP＝1，则PD＝n，∴，∴PC＝n2，∴BC＝PC﹣BP＝n2﹣1，∴＝＝＝n2﹣1．14．问题提出（1）如图①正三角形ABC，边长为4，D、E是边AB、AC的中点，P在BC边上，则△PDE的面积为2；问题解决（2）如图②，某小区有一块五边形空地ABCDE，CD⊥DE，AE∥CD，CB＝CD＝40m，AE＝10米，∠ABC＝∠BCD＝120°，物业想在这块空地中划出一块△MNP区域来种植草皮，其他区域种植花卉．已知种植花卉每平方米200元，种植草皮每平方米100元．要求M，N，P分别位于AB，ED，CD边上，且MN∥CD，要使种植费用的造价最低，种植草皮的△MNP的面积应该满足什么条件？并求出费用的最小值．【分析】（1）过点A作AH⊥BC于H，根据三角函数求出AH，由中位线定理得出DE的长度，再根据三角形面积公式求出面积即可；（2）延长AB交DC延长线于点G，要使种植费用最低，则种植草皮的面积最大，即△MNP面积最大，作MF⊥DC于点F，设QH＝m，用m的代数式表示出△MNP的面积，利用二次函数的性质求最值即可．【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC于H，∵△ABC是等边三角形，D、E是边AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC＝2，∵AH＝tan∠ABC•AB＝4，∴△PDE的高为AH＝2，∴△PDE的面积为×2×2＝2，故答案为：2；（2））延长AB交DC延长线于点G，要使种植费用最低，则种植草皮的面积最大，即△MNP面积最大，作MF⊥DC于点F，∵∠ABC＝∠BCD＝120°，∴∠GBC＝∠BCG＝60°，∴△GBC为等边三角形，即GC＝BC＝40m，GD＝GC+CD＝80m，作MF⊥CD于F，设GF＝x，则MF＝GF•tan60°＝x，∵MN∥CD，MF⊥CD，ND⊥CD，∴四边形MNDF是矩形，∴MN＝FD＝GD﹣GF＝80﹣m，∴S△MNP＝（80﹣m）×m＝﹣（m﹣40）2+800，∵﹣＜0，∴当m＝40时，△MNP的面积最大为800，作AQ⊥MN于Q，则MQ＝MN﹣NQ＝MN﹣AE＝80﹣40﹣10＝30，∴AQ＝MQ•tan60°＝30，此时花卉种植面积为S梯形AEDG﹣S△BCG﹣S△MNP＝（10+80）×（30+40）﹣×40×20﹣800＝1950，∴总费用为800×100+1950×200＝470000（元），即要使种植费用的造价最低，种植草皮的△MNP的面积最大，费用的最小值为470000元．15．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，在BC延长线上作EF＝AE，连接AF交CD于点G，设CE：EB＝λ（λ＞0）．（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长．（2）连接EG，若G点为CD的中点，①求证：EG⊥AF．②求λ的值．【分析】（1）根据AB＝2，λ＝1，可以得到BE、CE的长，然后根据正方形的性质，可以得到AE的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到EF的长，从而可以得到线段CF的长；（2）①要证明点G为CD边的中点，只要证明△ADG≌△FGC即可，然后根据题目中的条件，可以得到△ADG≌△FGC的条件，从而可以证明结论成立；②根据题意和三角形相似，可以得到CE和EB的比值，从而可以得到λ的值．【解答】解：（1）∵在正方形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAG＝∠F，又∵AG平分∠DAE，∴∠DAG＝∠EAG，∴∠EAG＝∠F，∴EA＝EF，∵AB＝2，∠B＝90°，点E为BC的中点，∴BE＝EC＝1，∴AE＝＝，∴EF＝，∴CF＝EF﹣EC＝﹣1；（2）①证明：∵EA＝EF，点G为CD的中点，∴DG＝CG，在△ADG和△FCG中，∴△ADG≌△FCG（AAS），∴AG＝FG，∵AE＝EF，∴EG⊥AF；②设CD＝2a，则CG＝a，由①知，CF＝DA＝2a，∵EG⊥AF，∠GCF＝90°，∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°，∴∠EGC＝∠F，∴△EGC∽△GFC，∴＝，∵GC＝a，FC＝2a，∴＝，∴＝，∴EC＝a，BE＝BC﹣EC＝2a﹣a＝a，∴λ＝＝＝．16．如图，已知△ABC，点D，E分别在BC，CA上，且满足AD＝AB，EB＝EC．（1）用直尺和圆规确定点D，E；（保留作图痕迹，不写作法）（2）连接AD，EB，AD与EB交于点F．①求证：△BDF∽△CBA；②若∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，则DF的长为．【分析】（1）以A点为圆心AB长为半径画弧交BC于点D，作BC的垂直平分线交AC 于E即可；（2）①根据等腰三角形的性质得出两组对应角相等即可证明三角形相似；②过点A作AH⊥BD于点H，根据勾股定理求出BC的长度，刘勇三角函数求出BH，根据等腰三角形的性质得出BD，再根据相似三角形对应边成比例求出DF即可．【解答】解：（1）作图如下：（2）①如下图：∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵EB＝EC，∴∠EBD＝∠C，∴△BDF∽△CBA；②过点A作AH⊥BD于点H，∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝＝＝5，∵cos∠ABH＝，∴＝，∴BH＝，∵AB＝AD，∴BD＝2BH＝，由①知△BDF∽△CBA，∴，即，解得DF＝，故答案为：．17．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE⊥DF，∠DEF＝45°，DF的延长线与BC的延长线相交于点G．（1）求证：△BDE∽△CEF；（2）若AD＝1，AF＝2，求EC的长；（3）若，求的值．【分析】（1）根据已知可得∠B＝∠C＝45°，再根据∠DEF＝45°，然后利用一线三等角模型证明，即可解答；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，根据已知可得DE＝DF，然后证明一线三等角模型全等△ADF≌△HED，从而可得AD＝EH＝1，AF＝DH＝2，进而可求出BH，BE，AB，BC的长，进行计算即可解答；（3）过点C作MC⊥AC，交DG于点M，可得AB∥CM，根据已知在Rt△DHE中，设EH＝m，则DH＝2m，利用（2）的结论可得EH＝AD＝BH＝m，DH＝AF＝2m，BE＝BH＝m，从而求出BE，BC，CF的长，进而可得AF＝CF，然后证明△ADF≌△CMF，利用全等三角形的性质可得AD＝CM＝m，最后证明△BDG∽△CMG，利用相似三角形的性质进行计算可求出CG的长，从而求出EG的长，即可解答．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∠A＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∴∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B＝135°，∵∠DEF＝45°，∴∠BED+∠FEG＝180°﹣∠DEF＝135°，∴∠BDE＝∠FEG，∴△BDE∽△CEF；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，∵DE⊥DF，∴∠EDF＝90°，∵∠DEF＝45°，∴DE＝DF，∵∠ADF+∠EDB＝90°，∠ADF+∠AFD＝90°，∴∠AFD＝∠EDB，∵∠A＝∠EHD＝90°，∴△ADF≌△HED（AAS），∴AD＝EH＝1，AF＝DH＝2，∵∠BHE＝90°，∠B＝45°，∴BH＝HE＝1，∴BE＝BH＝，AB＝AD+DH+BH＝4，∵BC＝AB＝4，∴EC＝BC﹣BE＝3；（3）过点C作MC⊥AC，交DG于点M，∴∠A＝∠MCA＝90°，∴CM∥AB，在Rt△DHE中，，∴＝，设EH＝m，则DH＝2m，由（2）得：EH＝AD＝BH＝m，DH＝AF＝2m，BE＝BH＝m，∴AC＝AB＝AD+DH+BH＝4m，∴BC＝AB＝4m，CF＝AC﹣AF＝4m﹣2m＝2m，∴AF＝CF，∵∠A＝∠MCF＝90°，∠AFD＝∠MFC，∴△ADF≌△CMF（ASA），∴AD＝CM＝m，∵CM∥AB，∴∠B＝∠MCG，∠BDG＝∠CMG，∴△BDG∽△CMG，∴＝，∴＝，∴CG＝2m，∴EG＝BC+CG﹣BE＝5m，∴＝＝5，∴的值为5．18．如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上的一点（不与A、D重合），点F在边DC 延长线上，CF＝AE，连接BE、BF、EF，EF交BC于点M，交对角线BD于N．（1）求证：∠BEF＝45°；（2）若BE平分∠ABD，求证：BE2＝AB•BM；（3）若DE：EA＝3：2，则EN：NM：MF＝21：29：20（直接写答案）．【分析】（1）先证明△ABD≌△BCF，进而便可得∠BEF的度数；（2）证明BD＝AB，再证明△EBD∽△MBF，得BE•BF＝BD•MB，进而便可得出结论；（3）设正方形ABCD的边长为a，用a表示AE、CF、DE，证明△FMC∽△MED，用a 表示CM，进而用a表示BM，再证明△EDN∽△MBN，便可求得EN：MN，进而便可求得结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°＝∠BCF，∵AE＝CF，∴△ABD≌△BCF（SAS），∴BE＝BF，∠ABE＝∠CBF，∴∠ABF＝∠EBC+CBF＝∠EBC+∠ABE＝∠ABC＝90°，∴∠BEF＝∠BFE＝45°；（2）证明：由（1）知，∠BFE＝∠BEF＝45°，BE＝BF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠EDB＝∠ABD＝45°，∠ABC＝90°，∴BD＝AB，∵BE平分∠ABD，∴∠ABE＝∠EBD，∴∠CBF＝90°﹣∠EBC＝∠ABE＝∠EBD，∵∠EDB＝∠NFB＝45°，∴△EBD∽△MBF，∴，∴BE•BF＝BD•MB，∵BE＝BF，BD＝AB，∴；（3）解：设正方形ABCD的边长为a，∵DE：EA＝3：2，∴AE＝AD＝，DE＝a，∴CF＝AE＝＝，∵CD＝AD＝a，∴CF：DF＝2：7，∵CM∥DE，∴△FMC∽△FED，∴＝，∴CM＝DE＝，∴BM＝BC﹣CM＝a﹣＝a，∵DE∥BM，∴△EDN∽△MBN，∴，设EN＝21k，则MN＝29k，∵，∴MF＝，∴MF＝20k，∴EN：NM：MF＝21k：29k：20k＝21：29：20．故答案为：21：29：20．19．如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，过点A作AE∥DC交BC边于点E，过点E作EF∥AB交CD边于点F，连接AF，过点C作CH∥AF交AE于点H，连接BH．（1）求证：△ABH≌△EAF；（2）如图2，若BH的延长线经过AF的中点M，求的值．【分析】（1）由∠ABC＝∠BCD和AE∥DC可得AB＝AE，由EF∥AB可得∠BAH＝∠AEF，由AE∥DC，CH∥AF可得四边形AHCF为平行四边形，从而可得AH＝CF，再由EF∥AB可得∠ABC＝∠CEF，从而可得EF＝CF，即可得出EF＝AH，即可证明；（2）延长BM，EF交于点G，由EF∥AB可得∠ABE＝∠FEC，由AE∥CF可得∠AEB ＝∠FCE，从而可得△ABE∽△FEC，设EF＝CF＝a，AB＝AE＝ax，由点M为AF中点可得AM＝FM，由EF∥AB可得∠ABM＝∠FGM，可证△ABM≌△FGM（AAS），则FG ＝AB＝ax，则EG＝EF+FG＝a+ax，由（1）可知四边形AHCF为平行四边形，可得AH ＝CF＝a，则EH＝AE﹣AH＝ax﹣a，由AB∥EG可得△ABH∽△EGH，从而可得＝，即＝，解得x＝1±，由x＞0可得x＝1+，即＝x＝1+．【解答】（1）证明：∵AE∥DC，∵∠AEB＝∠BCD，∵∠ABC＝∠BCD，∴∠AEB＝∠ABC，∴AB＝AE，∵EF∥AB，∴∠BAH＝∠AEF，∵AE∥DC，CH∥AF，∴四边形AHCF为平行四边形，∴AH＝CF，∵EF∥AB，∴∠ABC＝∠CEF，∵AE∥CF，∴∠ECF＝∠AEB＝∠ABC，∴∠ECF＝∠CEF，∴EF＝CF，∴EF＝AH，∴△ABH≌△EAF（SAS）；（2）如图，延长BM，EF交于点G，∵EF∥AB，∴∠ABE＝∠FEC，∵AE∥CF，∴∠AEB＝∠FCE，∴△ABE∽△FEC，设EF＝CF＝a，AB＝AE＝ax，∵点M为AF中点∴AM＝FM，∵EF∥AB∴∠ABM＝∠FGM，∴△ABM≌△FGM（AAS），FG＝AB＝ax，∴EG＝EF+FG＝a+ax，由（1）可知四边形AHCF为平行四边形，∴AH＝CF＝a，∴EH＝AE﹣AH＝ax﹣a，∵AB∥EG∴△ABH∽△EGH，∴＝，即＝，解得x＝1±，∵x＞0，∴x＝1+，即＝x＝1+．20．如图1，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝8，点E在边CD上，tan∠BAE＝2，点F是线改AE上一点，连接CF．（1）连接BF，请用尺规作图法作FG⊥AB，垂足为G点（保留作图痕迹，不要求写出作法）．若tan∠ABF＝，求线段AF的长．（2）如图2，若CF＝BC，AE的延长线与BC的延长线交于点H，求△CEF的面积．【分析】（1）根据垂线的画法画图即可；设AG＝x，则BG＝5﹣x，在Rt△AFG中，tan ∠BAE＝＝2，可得FG＝2x，在Rt△BFG中，tan∠ABF＝，求得x＝2，由勾股定理可得AF＝，即可得出答案．（2）过点C作CM⊥AH于点M，在Rt△ABH中，tan∠BAE＝＝2，可得BH＝10，CH＝BH﹣BC＝2，根据AB∥CD，可得∠CEH＝∠BAE，则tan∠CEH＝＝2，可得CE＝1，在Rt△CEM中，tan∠CEM＝＝2，设EM＝a，则CM＝2a，由勾股定理可得CE2＝EM2+CM2，即可求得a＝，则CM＝，在Rt△CFM中，CF＝BC＝2，由勾股定理可得FM＝＝，进而可得EF＝FM﹣EM＝，则根据EF•CM可得出答案．【解答】解：（1）如图，FG即为所求．设AG＝x，则BG＝5﹣x，在Rt△AFG中，tan∠BAE＝＝2，∴FG＝2x，在Rt△BFG中，tan∠ABF＝，解得x＝2，∴AG＝2，FG＝4，AF＝＝2．（2）过点C作CM⊥AH于点M，在Rt△ABH中，tan∠BAE＝＝2，∴BH＝10，则CH＝BH﹣BC＝2，∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠CEH＝∠BAE，则tan∠CEH＝＝2，∴CE＝1，在Rt△CEM中，tan∠CEM＝＝2，设EM＝a，则CM＝2a，由勾股定理可得CE2＝EM2+CM2，即a2+（2a）2＝12，解得a＝，∴CM＝，在Rt△CFM中，CF＝BC＝2，由勾股定理可得FM＝＝，∴EF＝FM﹣EM＝．∴EF•CM＝．。

中考数学点对点-相似三角形问题(解析版)

∴△FEC∽△EDC，
∴ ，
∵EC＝＝＝3 ，
∴ ，
∴FE＝2
【对点练习】2019黑龙江省龙东地区）一张直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D为BC边上的任一点，沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当△BDE是直角三角形时，则CD的长为________．
2．黄金分割：用一点P将一条线段AB分割成大小两条线段，若小段与大段的长度之比等于大段与全长之比，则可得出这一比值等于0·618…。这种分割称为黄金分割，分割点P叫做线段AB的黄金分割点，较长线段叫做较短线段与全线段的比例中项。
3．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
3．三角形相似的判定方法
（1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，构成的三角形与原三角形相似。
（3）两个三角形相似的判定定理
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。
（3）相似三角形周长的比等于相似比
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
例题解析与对点练习
【例题1】（2020•河北）在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是（）
A．四边形NPMQB．四边形NPMRC．四边形NHMQD．四边形NHMR
【答案】A
【分析】由以点O为位似中心，确定出点C对应点M，设网格中每个小方格的边长为1，则OC ，OM＝2 ，OD ，OB ，OA ，OR ，OQ＝2 ，OP＝2 ，OH＝3 ，ON＝2 ，由 2，得点D对应点Q，点B对应点P，点A对应点N，即可得出结果．

中考数学复习考点知识专题讲解11---相似三角形及锐角三角函数问题

【变式 7-2】（2019•南京一模）如图是小莉在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在 A 处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成 37° 角，线段 AA1 表示小红身高 1.5 米．当她从点 A 跑动 4 米到达点 B 处时，风筝线与水平线构成 60° 角，此时风筝到达点 E 处，风筝的水平移动距离 CF 为 8 米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度 C1D ．（参考数据： sin 37° ≈ 0.6 ， cos 37° ≈ 0.8 ， tan 37° ≈ 0.75 ． )
【变式 7-1】（2019•高淳区二模）高淳固城湖大桥采用 H 型塔型斜拉桥结构（如甲图），图乙是从图甲抽象出的平面图．测得拉索 AB 与水平桥面的夹角是 45° ，拉索 CD 与水平桥面的夹角
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是 65° ，两拉索顶端的距离 AC 为 2 米，两拉索底端距离 BD 为 10 米，请求出立柱 AH 的长（结果精确到 0.1 米）．（参考数据： sin 65° ≈ 0.91 ， cos 65° ≈ 0.42 ， tan 65° ≈ 2.14)
11．（2019•宿迁）如图，∠MAN＝60°，若△ABC 的顶点 B 在射线 AM 上，且 AB＝2，点 C 在射线 AN 上运动，当△ABC 是锐角三角形时，BC 的取值范围是．
12．（2019•盐城）如图，在△ABC 中，BC 为．
，∠C＝45°，AB AC，则 AC 的长
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13．（2019•宿迁）如图①，在钝角△ABC 中，∠ABC＝30°，AC＝4，点 D 为边 AB 中点，点 E 为边 BC 中点，将△BDE 绕点 B 逆时针方向旋转 α 度（0≤α≤180）．（1）如图②，当 0＜α＜180 时，连接 AD、CE．求证：△BDA∽△BEC；（2）如图③，直线 CE、AD 交于点 G．在旋转过程中，∠AGC 的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；（3）将△BDE 从图①位置绕点 B 逆时针方向旋转 180°，求点 G 的运动路程．

中考数学专题复习《二次函数与相似三角形综合压轴题》测试卷(附答案)

中考数学专题复习《二次函数与相似三角形综合压轴题》测试卷(附答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2+bx经过点A（2，0）和点B(−1,m)，顶点为点D．(1)求直线AB的表达式；(2)求tan∠ABD的值；(3)设线段BD与x轴交于点P如果点C在x轴上且△ABC与△ABP相似求点C的坐标．2．如图在平面直角坐标系中点A(1,2)B(5,0)抛物线y=ax2−2ax(a>0)交x轴正半轴于点C连结AO AB．(1)求点C的坐标和直线AB的表达式(2)设抛物线y=ax2−2ax(a>0)分别交边BA BA延长线于点D E．①若△CDB与△BOA相似求抛物线表达式②若△OAE是等腰三角形则a的值为______（请直接写出答案即可）．3．如图拋物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,−2)三点．(1)求出抛物线的解析式(2)若在直线AC上方的抛物线上有一点D使得△DCA的面积最大求出点D的坐标(3)若P是抛物线上一动点过P作PM⊥x轴垂足为M使得以A,P,M为顶点的三角形与△OCA相似请直接写出符合条件的点P的坐标．x2+bx+c与x轴交于A B(4,0)两点与y轴交于点C(0,2)连4．如图抛物线y=−12接BC交抛物线的对称轴于点D连接AC．(1)求抛物线的表达式(2)若点E在对称轴上①当AE+CE的值最小时求点E的坐标②以C D E为顶点的三角形与△ABC相似时求点E的坐标．5．如图已知A(−2,0)B(4,0)抛物线y=ax2+bx+c经过A B两点交y轴于点C(0,4)．点P是第一象限内抛物线上的一点连接AC BC．M为OB上的动点过点M作PM⊥x轴交抛物线于点P交BC于点Q．(1)求抛物线的函数表达式(2)过点P作PN⊥BC垂足为点N设点M的坐标为(m,0)请用含m的代数式表示线段PN的长并求出当m为何值时PN有最大值最大值是多少？(3)试探究M在运动过程中是否存在这样的点Q使得以O M Q为顶点的三角形与△AOC相似．若存在请求出此时点Q的坐标若不存在请说明理由．6．在平面直角坐标系xOy中已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图像经过点B(4,0) D(5,3)设它与x轴的另一个交点为A（点A在点B的左侧）且△ABD的面积是3．（1）求该抛物线的表达式和顶点坐标（2）求∠DAB的度数（3）若抛物线与y轴相交于点C直线CD交x轴于点E点P在线段AD上当△APE与△ABD相似时求AP的长．7．如图抛物线y=−12x2+32x+2与x轴交于A B两点（点A在点B的左边）与y轴交于点C连接BC．(1)求点A B C的坐标(2)设x轴上的一个动点P的横坐标为t过点P作直线PN⊥x轴交抛物线于点N交直线BC于点M．①当点P在线段AB上时设MN的长度为s求s与t的函数关系式②当点P在线段OB上时是否存在点P使得以O P N三点为顶点的三角形与△COB相似？若存在请求出点P的坐标若不存在请说明理由．8．如图在同一直角坐标系中抛物线L1：y=ax2+bx+8与x轴交于A(−8,0)和点C 且经过点B(−2,12)若抛物线L1与抛物线L2关于y轴对称点A的对应点为A′点B的对应点为B′．（1）求抛物线L2的表达式（2）现将抛物线L2向下平移后得到抛物线L3抛物线L3的顶点为M 抛物线L3的对称轴与x轴交于点N 试问：在x轴的下方是否存在一点M 使△MNA′与△ACB′相似？若存在请求出抛物线的L3表达式若不存在说明理由．9．抛物线y=−x2+bx+3与x轴交于A(−3,0),B(1,0)两点与y轴交于点C点D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标S△ACD求点P的坐标（2）在直线AC上方的抛物线上找一点P使S△ACP=12（3）在坐标轴上找一点M使以点B C M为顶点的三角形与△ACD相似直接写出点M 的坐标．(x+2)(ax+b)的图象过点A(−4，3)，B(4，4)．10．如图已知二次函数y=148(1)求二次函数的解析式(2)请你判断△ACB是什么三角形并说明理由．(3)若点P在第二象限且是抛物线上的一动点过点P作PH垂直x轴于点H试探究是否存在以P H D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在求出P点的坐标．若不存在请说明理由．11．如图直线y=−x+4与x轴交于点A与y轴交于B抛物线y=−x2+bx+c经过A B两点与x轴负半轴交于点C连接BC抛物线对称轴与x轴交于点F P为y轴右侧抛物线上的动点直线BP交对称轴于点D．(1)求抛物线的解析式(2)当BD=3PD时求点P的坐标(3)作PQ⊥AB垂足为Q当△BPQ与△BCO相似时直接写出点Q的坐标．12．在平面直角坐标系中二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（－3 0）B （1 0）两点与y轴交于点C．(1)求这个二次函数的解析式(2)点Q是线段AC上方的抛物线上一动点过点Q作QE垂直于x轴垂足为E．是否存在点Q使以点B Q E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在求出点Q的坐标若不存在说明理由(3)点M为抛物线上一动点在x轴上是否存在点Q使以A C M Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在直接写出点Q的坐标若不存在说明理由．13．如图① 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(−4,0)点B(2,0)和点C(0,−4)它的对称轴为直线l顶点为D．（1）求该抛物线的表达式（2）如图② 点P是直线AC下方该抛物线上的一个动点连接AP CP AC当△APC的面积取得最大值时求点P的坐标（3）如图③ 点E是直线AD下方该抛物线上的一个动点过E点作EF⊥直线l于F连接DE当以D E F为顶点的三角形与△BOC相似时求点E的坐标．14．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣3 0）B（1 0）两点与y轴交于点C（0 ﹣3m）（m＞0）顶点为D．(1)如图1 当m＝1时①求该二次函数的解析式②点P为第三象限内的抛物线上的一个动点连接AC OP相交于点Q求PQ的最大值OQ(2)如图2 当m取何值时以A D C为顶点的三角形与∠BOC相似．15．如图1 在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+c经过A(−2,0)B(8,0)C(0,4)三点．(1)求抛物线y=ax2+bx+c的表达式(2)如图2 设点P是抛物线上在第一象限内的动点（不与B C重合）过点P作PD⊥BC 垂足为点D点P在运动的过程中以P D C为顶点的三角形与△AOC相似时求点P 的坐标(3)在y轴负半轴上是否存在点N使点A绕点N顺时针旋转后恰好落在第四象限抛物线上的点M处且使∠ANM+∠ACM=180°若存在请求N点坐标若不存在请说明理由．（请在备用图中自己画图）16．抛物线y=−x2+2mx−m2+2m(m>0)交x轴于A B两点（A在B的左边）C是抛物线的顶点．(1)当m=2时直接写出A B两点的坐标：(2)点D是对称轴右侧抛物线上一点∠COB=∠OCD①如图（1）求线段CD长度②如图（2）当m>2T(t,0)(t>0)P为线段OC上一点．若△PCD与△POT相似并且符合条件的点P有2个求t和m之间的数量关系．17．如图1 抛物线y=−x2+bx+c经过A(0,3)和B(72,−94)两点直线AB与x轴相交于点C P是直线AB上方的抛物线上的一个动点PD⊥x轴交AB于点D抛物线与x轴的交点为F G．(1)求该抛物线的表达式．(2)当点P的坐标为(2，3)时求四边形APGO的面积．(3)如图2 若PE∥x轴交AB于点E且点P在直线AB上方求PD+PE的最大值．(4)若以A P D为顶点的三角形与△AOC相似请直接写出所有满足条件的点P的坐标．18．如图1 抛物线y=ax2+23x+c(a≠0)与x轴交于A(−2，0)B两点与y轴交于点C(0，4)．(1)求抛物线的解析式(2)若点D是第一象限内抛物线上的一点AD与BC交于点E且AE=5DE求点D的坐标(3)如图2 已知点M(0，1)抛物线上是否存在点P使锐角∠MBP满足tan∠MBP=1若2存在求出点P的坐标若不存在说明理由．19．如图1 平面直角坐标系xOy中抛物线y=ax2+bx+c过点A(−1,0)B(2,0)和C(0,2)连接BC点P(m,n)(m>0)为抛物线上一动点过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M交x 轴于点N．(1)直接写出抛物线和直线BC的解析式(2)如图2 连接OM当△OCM为等腰三角形时求m的值(3)当P点在运动过程中在y轴上是否存在点Q使得以O P Q为顶点的三角形与以B C N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应）若存在直接写出点P和点Q的坐标若不存在请说明理由．20．如图（1）在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx−4(a≠0)与x轴交于A B两点(点A在点B的左侧)与y轴交于点C点A的坐标为(−1,0)且OC=OB点D和点C关于抛物线的对称轴对称．(1)分别求出a b的值和直线AD的解析式(2)直线AD下方的抛物线上有一点P过点P作PH⊥AD于点H作PM平行于y轴交直线AD 于点M交x轴于点E求△PHM的周长的最大值(3)在（2）的条件下如图2 在直线EP 的右侧 x 轴下方的抛物线上是否存在点N 过点N 作NG ⊥x 轴交x 轴于点G 使得以点E N G 为顶点的三角形与△AOC 相似？如果存在请直接写出点G 的坐标如果不存在请说明理由．参考答案1．（1）解：∠抛物线y =x 2+bx 经过点A （2 0） ∠22+2b =0 解得：b =−2 ∠抛物线解析式为y =x 2−2x 当x =−1 时 y =3 ∠点B 的坐标为B (−1,3)设直线AB 的解析式为y =kx +m (k ≠0) 把A （2 0） B (−1,3) 代入得： {2k +m =0−k +m =3 解得：{k =−1m =2 ∠直线AB 的解析式为y =−x +2 （2）如图连接BD AD∠y =x 2−2x =(x −1)2−1 ∠点D 的坐标为D (1,−1) ∠A （2 0） B (−1,3)∠AB 2=(−1−2)2+32=18,AD 2=(2−1)2+(−1)2=2,BD 2=(−1−1)2+(−1−3)2=20∠AB 2+AD 2=BD 2 ∠∠ABD 为直角三角形 ∠tan∠ABD =ADAB =√2√18=13（3）设直线BD 的解析式为y =k 1x +b 1(k 1≠0) 把点D (1,−1) B (−1,3)代入得：{k 1+b 1=−1−k 1+b 1=3 解得：{k 1=−2b 1=1∠直线BD 的解析式为y =−2x +1当y =0 时 x =12 ∠点P 的坐标为P (12,0) 当∠ABP ∠∠ABC 时 ∠ABC =∠APB如图过点B 作BQ ∠x 轴于点Q 则BQ =3 OQ =1∠∠ABP ∠∠ABC∠∠ABD =∠BCQ由（2）知tan∠ABD =13∠tan∠BCQ =13 ∠BQ CQ =13∠CQ =9∠OC =OQ +CQ =10∠点C 的坐标为C (−10,0)当∠ABP ∠∠ABC 时 ∠APB =∠ACB 此时点C 与点P 重合∠点C 的坐标为C (12,0)综上所述点C 的坐标为C (−10,0)或(12,0)．2．（1）解：∠x =−b 2a =1∠O C 两点关于直线x =1对称∠C (2,0)设直线AB ：y =kx +b (k ≠0)把A (1,2) B (5,0) 代入得{k +b=25k +b=0解得{k =−12b =52则y =−12x +52 （2）①设D 的坐标为(p,q ) 则BD AB =q 2 若△CDB 与△BOA 相似则BD AB =BC BO∠q 2=BC BO =35∠q =65 ∠D (p,q )在直线AB 上∠D (135,65) 代入抛物线解析式可得a =1013∠抛物线解析式为y =1013x 2−2013x ．②∠A (1,2) B (5,0) O (0,0)∠OA =√5 OB =5 AB =2√5∠OA 2+AB 2=OB 2∠∠OAB=90°∠∠OAE=90° 设E 的坐标为(m,n )∠△OAE 是等腰三角形∠AE =AO =√5∠BE =3√5∠S △BEO =12BE ⋅OA =12BO ⋅n ∠12×3√5×√5=12×5n∠n =3∠E (m,n )在直线AB 上∠3=−12m +52 ∠m =−1又∠E (−1,3)在抛物线上∠3=a +2a故答案为：1．3．解：（1）设抛物线的解析式为y =a (x −4)(x −1)∵点C (0,−2)在抛物线上∴−4×(−1)a =−2∴a =−12∴抛物线的解析式为y =−12(x −4)(x −1)=−12x 2+52x −2（2）如图当点D 在抛物线上且使△DCA 的面积最大必有平行于直线AC 的直线DE且和抛物线只有一个交点设直线AC 解析式为y =kx +m∵A (4,0) C (0,−2)∠{4k +m =0m =−2解得{k =12m =−2∴直线AC 解析式为y =12x −2设直线DE 解析式为y =12x +b ①∵抛物线的解析式为y =−12x 2+52x −2②联立①②化简得 x 2−4x +4+2b =0∴ Δ=16−4(4+2b )=0∴b =0∴x 2−4x +4=0∴x =2∴D (2,1)过点P 作PM ⊥OAA (4,0) C (0,−2)∴OA =4 OC =2∴ OA OC =2设点P (p,ℎ)∴AM =|4−p|．PM =|ℎ| ℎ=−12p 2+52p −2③∵∠APM =∠AOB =90°∵以A P M 为顶点的三角形与△OAC 相似∴ PM AM=OA OC =2 ① ∴ |ℎ||4−p|=2④联立③④解得{p =4ℎ=0 （舍)或{p =5ℎ=−2或{p =−3ℎ=−14 ∴P (−3,−14)或(5,−2)②PM AM=OC OA =12 ∴ |ℎ||4−p|=12⑤联立③⑤解得 {p =2ℎ=1 或{p =4ℎ=0 （舍)或{p =0ℎ=−2∴P (2,1)或(0,−2)综上得到点P (−3,−14)或(5,−2)或(2,1)或(0,−2)．4．（1）解：将点B C 的坐标代入抛物线表达式得：{c =2−12×16+4b +c =0解得：{b =32c =2故抛物线的表达式为：y =−12x 2+32x +2（2）解：①∵B 是点A 关于抛物线对称轴的对称点连接BC 交抛物线对称轴于点E 则点E 为所求点则点D E 重合设BC 的解析式为y =kx +b将B(4,0) C(0,2)代入解析式可得{0=4k +b b =2解得{k =−12b =2∴直线CB 的表达式为：y =−12x +2 由y =−12x 2+32x +2知点D 的横坐标为−b 2a =32把x =32代入y =−12x +2 可得y =54∴E (32,54)②令y =−12x 2+32x +2=0 解得：x =−1或4 则点A(−1,0)由点A B C 的坐标得 AB =5 AC =√5 BC =√20∵AB 2=AC 2+BC 2∴△ABC 为直角三角形且∠ACD =90°∵以C D E 为顶点的三角形与△ABC 相似则△CDE 为直角三角形当∠CE ′D 为直角时如图则点E ′的坐标为E ′(32,2)当∠ECD 为直角时如图∵∠ACB 为直角∴A,C,E 三点共线设AC 的解析式为y =k 1x +b 1把A (−1,0),C (0,2)代入可得{2=b 0=−x +b 解得{k =2b =2∴直线AC 的表达式为：y =2x +2当x =32时 y =2x +2=5即点E(32,5)综上点E的坐标为：(32,2)或(32,5)．5．（1）解：∵A(−2,0)B(4,0)抛物线y=ax2+bx+c经过A B两点交y轴于点C(0,4)∴c=4{4a−2b+4=016a+4b+4=0解得{a=−12 b=1∴抛物线解析式为y=−12x2+x+4（2）解：设直线BC的解析式为y=kx+b1∵点C的坐标为(0,4)B点坐标为(4,0)∴{4k1+b=0b=4∴{k1=−1b=4∴直线BC的解析式为y=−x+4∴点P的坐标为(m,−12m2+m+4)点Q的坐标为(m,−m+4)∴PQ=−12m2+m+4−(−m+4)=−12m2+2m=−12(m−2)2+2∵OC=OB=4∴∠B=45°∠BQM=∠PQN=45°∴PN=√22PQ=−√22m2+√2m=−√22(m−2)2+√2∴当m=2时PN有最大值√2（3）解：存在Q(43,83)或Q(83,43)理由：如图所示OC=4OA=2Q的坐标为(m,−m+4)∠COA=∠OMQ=90°当△OAC∽△MOQ时MQOM =OCOA=2即−m+4m=2解得m=43此时Q的坐标为(43,83)当△OAC∽△MQO时MQOM =OAOC=12即−m+4m=12解得m=83此时Q的坐标为(83,43)综上Q点坐标为(43,83)或(83,43)．6．解：（1）设A(m,0)∵B(4,0),D(5,3)∴AB=4−m AB边上的高为3则由ΔABD的面积是3可得：12(4−m)×3=3解得m=2∴A(2,0)设抛物线解析式为y=a(x−2)(x−4)将D(5,3)代入得：3a=3解得a=1∴y=(x−2)(x−4)=x2−6x+8∵y=x2−6x+8=(x−3)2−1∴顶点坐标为(3,−1)故该抛物线的表达式为y=x2−6x+8顶点坐标为(3,−1)（2）如图过点D作DF⊥x轴于点F∵A(2,0),B(4,0),D(5,3)∴DF =3,AF =5−2=3,AB =4−2=2∴DF =AF∴∠DAB =∠DAF =45°（3）如图∵抛物线的表达式为y =x 2−6x +8令x =0 则y =8∴ C(0,8)设直线CD 解析式为y =kx +b将C(0,8),D(5,3)代入得{b =85k +b =3解得{k =−1b =8直线CD 解析式为：y =-x +8当y =0时 −x +8=0 解得x =8∴E(8,0)∵A(2,0),B(4,0),D(5,3)∴AB =4−2=2 AD =√(5−2)2+32=3√2,BD =√(5−4)2+32=√10 ①若ΔADB ∽ΔAPE 则AP AE =AD AB∴AP =AE⋅AD AB =3√2×62=9√2>AD∵点P 在线段AD 上∴此种情形不存在不合题意②若ΔADB ∽ΔAEP 则AP AB =AE AD∴AP =AE ⋅AB AD =3√2=2√2 综上所述 AP 的长为2√2．7．（1）解：当x =0时 y =2当y =0时即−12x 2+32x +2=0 解得：x 1=−1 x 2=4∠A(−1，0) B(4，0) C(0，2)（2）解：①设直线BC 的解析式为y =kx +b (k ≠0)把B(4，0) C(0，2)代入得{4k +b =0b =2解得：{k =−12b =2∠直线BC 的解析式为y =−12x +2 ∠点P 的横坐标为t∠M (t,−12t +2) N (t,−12t 2+32t +2) 当点P 在y 轴的左侧即−1≤t <0时由题意得：s =−12t +2−(−12t 2+32t +2)=−12t +2+12t 2−32t −2=12t 2−2t 当点P 在y 轴的右侧（包含原点）即0≤t ≤4时由题意得：s =−12t 2+32t +2−(−12t +2)=−12t 2+32t +2+12t −2=−12t 2+2t 综上 s ={12t 2−2t (−1≤t <0)−12t 2+2t (0≤t ≤4)②如图当△OP 1N 1∽△COB 时可得OP 1CO =N 1P 1BO 即t 2=−12t 2+32t+24∠−t 2+3t +4=4t整理得：t 2+t −4=0 解得：t 1=−1+√172 t 2=−1−√172（不合题意舍去）当△OP2N2∽△BOC时可得OP2BO =N2P2CO即t4=−12t2+32t+22∠−2t2+6t+8=2t整理得：t2−2t−4=0解得：t3=1+√5t4=1−√5（不合题意舍去）综上点P的坐标为(−1+√172,0)和(1+√5,0)．8．解：（1）将A(−8,0)B(−2,12)分别代入y=ax2+bx+8中得{a×(−8)2−8b+8=0a×(−2)2−2b+8=12解得{a=−12 b=−3∴抛物线L1的解析式为y=−12x2−3x+8=−12(x+3)2+252则：顶点为(−3,252)∵抛物线L1与抛物线L2关于y轴对称顶点也关于y轴对称开口方向及大小均相同即二次项系数相同∴抛物线L2的顶点为(3,252)∴抛物线L2的解析式为y=−12(x−3)2+252=−12x2+3x+8．故抛物线L2的解析式为y=−12x2+3x+8．（2）如图存在点M 使△MNA′与△ACB′相似．由题意得：A′(8,0) B′(2,12) C (2,0) N (3,0) ∴ AC =10 B′C =12 A′N =5 ∵ ∠A′NM =∠ACB′=90°∴ △A′MN 与△AB′C 相似可以分两种情况： ①当△AB′C ∽△A′MN 时则MNNA′=B′C AC=1210=65∴ MN =6 即点M (3,−6)此时抛物线L 3的表达式为y =−12(x −3)2−6=−12x 2+3x −212．②当△AB′C ∽△MA′N 时同理可得：点M (3,−256)此时抛物线L 3的表达式为y =−12(x −3)2−256=−12x 2+3x −263故：函数L 3的解析式为：y =−12x 2+3x −212或y =−12x 2+3x −263．9．解：（1）将A(−3,0),B(1,0)代入抛物线解析式中得：{9a −3b +3=0a +b +3=0解得：{b =−2c =3∠抛物线解析式为y =−x 2−2x +3=−(x 2+2x)+3 =−(x 2+2x +1−1)+3=−(x +1)2+4 当x =−1时 y =4 ∠顶点D(−1,4)（2）当x =0时 ∠点C 的坐标为(0,3)∠AC =√32+32=3√2,CD =√12+12=√2,AD =√22+42=2√5 ∠AC 2+CD 2=AD 2∠△ACD 为直角三角形 ∠ACD =90°．设直线AC 的解析式为y =kx +b 根据题意得：{−3k +b =0b =3解得：{k =1b =3∠直线AC 的解析式为y =x +3 ∠A(−3,0) D(−1,4)∠线段AD 的中点N 的坐标为(−2,2) 过点N 作NP//AC 交抛物线于点P 设直线NP 的解析式为y =x +c 则−2+c =2 解得：c =4 ∠直线NP 的解析式为y =x +4由y =x +4,y =−x 2−2x +3联立得：−x 2−2x +3=x +4 解得：x 1=−3−√52,x 2=−3+√52∠P (−3−√52,5−√52)或(−3+√52,5+√52)（3）分三种情况： ①△CMB ∽△ACD∴CM CB =ACAD ∴CM √10=3√22√5∴CM =3此时M 恰好为原点 M(0,0) ②△MCB ∽△ACD∴MC AC =CBCD∴3√2=√10√2 ∴CM =3√10设M(x,0)∵OM 2+OC 2=CM 2 ∴x 2+32=(3√10)2∴x 2=81∴x =−9或x =9（舍去）此时M(−9,0) ③△CBM ∽△ACD∴CB AC =CM AD∴√103√2=CM2√5 ∴CM =103设M(x,0)∴|CM −OC |=103−3=13∴x =−13或x =13（舍去）此时M 在y 轴负半轴上 M (0,−13)综上所述点M 的坐标为(0,0)或(−9,0)或(0,−13)．10．（1）解：由题意得函数图象经过点A （﹣4 3） B （4 4）故可得：{3=148（−4+2）（−4a +b ）4=148（4+2）（4a +b ）解得：{a =13b =−20故二次函数关系式为： y =148(x +2)(13x −20)=1348x 2+18x −56．故答案为：y =1348x 2+18x −56．（2）解：△ACB 是直角三角形理由如下：由（1）所求函数关系式y =1348x 2+18x −56当y =0时 0=1348x 2+18x −56解得x 1=−2 x 2=2013∠点C 坐标为（﹣2 0）点D 坐标为（2013 0）又∠点A （﹣4 3） B （4 4） ∠AB =√(4+4)2+（4−3）2=√65 AC =√(−2+4)2+（0−3）2=√13BC =√(4+2)2+（4−0）2=2√13∠满足AB 2=AC 2+BC 2 ∠△ACB 是直角三角形．（3）解：存在点P 的坐标为（−50133513）或（−1221328413）．设点P 坐标为（x 148（x +2）（13x ﹣20））则PH ＝148（x +2）（13x ﹣20） HD ＝﹣x +2013 若∠DHP ∠∠BCA 则PH AC＝DH BC即148(x+2)(13x−20)√13＝−x+20132√13解得：x =−5013或x =2013（因为点P 在第二象限故舍去）代入可得PH =3513即P 1坐标为（−50133513）若∠PHD ∠∠BCA 则PH BC＝HD AC即148(x+2)(13x−20)2√13＝−x+2013√13解得：x =−12213或 x =2013（因为点P 在第二象限故舍去）．代入可得PH =28413即P 2坐标为：（−1221328413）．综上所述满足条件的点P 有两个即P 1（−50133513）或P 2（−1221328413）．11．（1）解：∠直线y =−x +4与x 轴交于点A 与y 轴交于B ∴当x =0时 y =4 当y =0时 ∴A (4,0) B (0,4)又抛物线y =−x 2+bx +c 经过A B 两点把A (4,0) B (0,4)代入得：{−16+4b +c =0c =4解得：{b =3c =4∠抛物线的解析式是y =−x 2+3x +4 （2）解：作PE ⊥AC 垂足为E 如图所示∠∠DFA =∠PEA =∠BOA =90° ∠DF ∥PE ∥BO由（1）得：抛物线的解析式是y =−x 2+3x +4 抛物线对称轴是x =−b2a =−32×(−1)=32 ∠BD =3PD①当P 在对称轴右侧时 OF ∶OE =BD ∶BP =3∶4 点P 的横坐标是2 y =−4+6+4=6 ∠点P 的坐标是(2,6)②当P 在对称轴左侧时 OF ∶OE =BD ∶BP =3∶2 点P 的横坐标是1 y =−1+3+4=6 ∠点P 的坐标是(1,6)∠点P 的坐标是(2,6)或(1,6)（3）解：∠抛物线对称轴与x轴交于点F对称轴是x=−b2a =−32×(−1)=32∠F(32,0)∠点A C关于对称轴对称∠CF=AF=4−32=52∠C(−1,0)∠A(4,0)B(0,4)∠OC=1OA=OB=4∠△ABO是等腰直角三角形∠∠BAO=∠ABO=45°设P(t,−t2+3t+4)过点P作PM∥y轴交直线AB于点M过点M作MN⊥y轴于点N 当点P在AB上方点Q在点B的右侧时如图所示则M(t,−t+4)MN=t∠PM=−t2+3t+4−(−t+4)=−t2+4t∠△BMN是等腰直角三角形∠BM=√2MN=√2t∠∠PMQ=∠ABO=45°∠PQM=90°∠△PMQ是等腰直角三角形∠PQ=MQ=√22PM=√22(−t2+4t)∠BQ=BM−MQ=√2t−√22(−t2+4t)=√22t2−√2t若△BPQ∼△BCO则PQOB =BQOC∠√22(−t 2+4t )4=√22t 2−√2t 1解得：t 1=0（舍） t 2=125当t 2=125时 −t 2+3t+4=−(125)2+3×125+4=13625∠P (125,13625) M (125,85) ∠PM =13625−85=9625过点Q 作QK ⊥PM 轴于点K 则QK =12PM =12×9625=4825∠点Q 的横坐标为125−4825=1225 纵坐标为−1225+4=8825 ∠Q (1225,8825)若△BPQ ∼△CBO 则PQ OC =BQOB ∠√22(−t 2+4t )1=√22t 2−√2t 4解得：t 1=0（舍） t 2=185当t 2=185时 −t 2+3t+4=−(185)2+3×185+4=4625∠P (185,4625) M (185,25) ∠PM =4625−25=3625 同理可得：Q (7225,2825)当点P 在AB 上方点Q 在点B 的左侧时如图所示则M (t,−t+4) MN =t∠PM =−t 2+3t+4−(−t+4)=−t 2+4t同理可得：PQ =MQ =√22PM =√22(−t 2+4t ) BM =√2MN =√2t∠BQ =BM −MQ =−√22t 2+√2t 若△BPQ ∼△CBO 则PQOB =BQOC ∠√22(−t 2+4t )4=−√22t 2+√2t 1解得：t 1=0（舍） t 2=43当t 2=43时 −t 2+3t+4=−(45)2+3×43+4=569∠P (43,569)同理可得：Q (−49,329) 若△BPQ ∼△BCO 则PQ OC=BQ OB∠√22(−t 2+4t )1=−√22t 2+√2t 4解得：t 1=0（舍） t 2=143（舍去）当点P 在AB 下方对称轴左侧的抛物线上时则t <0 如图所示∠PM =−t+4−(−t 2+3t+4)=t 2−4t ME =−t ∠PQ =MQ =√22PM =√22t 2−2√2t BM =√2ME =−√2t∠BQ =MQ −BM =√22t 2−√2t若△BPQ ∼△CBO 则PQOB =BQOC ∠√22t 2−2√2t 4=√22t 2−√2t 1解得：t 1=0（舍） t 2=43（舍）若△BPQ ∼△BCO 则PQOC =BQOB∠√22t 2−2√2t 1=√22t 2−√2t 4解得：t 1=0（舍） t 2=143（舍）当点P 在AB 下方对称轴右侧的抛物线上时则t>4 如图所示∠PM =t 2−4t ME =t ∠PQ =MQ =√22PM =√22t 2−2√2t BM =√2ME =√2t∠BQ =BM+MQ =√22t 2−2√2t+√2t =√22t 2−√2t若△BPQ ∼△CBO 则PQOB=BQ OC∠√22t 2−2√2t 4=√22t 2−√2t 1解得：t 1=0（舍） t 2=43（舍）若△BPQ ∼△BCO 则PQ OC=BQ OB∠√22t 2−2√2t 1=√22t 2−√2t 4解得：t 1=0（舍） t 2=143（舍）当t 2=143时 −t 2+3t+4=−(143)2+3×143+4=−349∠P (143,−349)同理可得：Q (569,−209)综上所述：点Q 的坐标为Q 1(7225,2825),Q 2(1225,8825),Q 3(569,−209),Q 4(−49,409) 12．解：（1）∠抛物线y =ax 2+bx +2过点A （－3 0） B （1 0）∠{9a −3b +2=0a +b +2=0 解得：{a =−23b =−43∠二次函数的关系解析式为y =−23x 2−43x +2．（2）存在点Q （-2 2）或(−34,218)使以点B Q E 为顶点的三角形与△AOC 相似．理由如下：如图①设点E 的横坐标为c 则点Q 的坐标为（c −23c 2−43c +2）∠BE =1-c QE =−23c 2−43c +2①OA 和BE 是对应边时 ∠∠BEQ ∠∠AOC ∠OA BE=OC QE即31−c =2−23c 2−43c+2整理得 c 2+c -2=0 解得c 1=-2 c 2=1（舍去）此时 −23×(−2)2−43×(−2)+2=2点Q （-2 2）②OA 和QE 是对应边时 ∠∠QEB ∠∠AOC ∠OA QE=OC BE 即3−23c 2−43c+2=21−c整理得 4c 2-c -3=0解得c 1=−34 c 2=1（舍去）此时−23×(−34)2−43×(−34)+2=218点Q(−34,21 8)综上所述存在点Q（-2 2）或(−34,218)使以点B Q E为顶点的三角形与∠AOC相似．（3）①如图2当MC//AQ且MC=AQ时M与C关于对称轴x=-1对称∠AQ=MC=2∠Q1（-1 0）Q2（-5 0）②如图3当AC//MQ且AC=MQ时因为平行四边形是中心对称图形并且中心对称点在x轴上所以点M到x轴的距离为2．设M（m23m2−43m+3）∠2 3m2−43m+3=-2∠m2+2m-6=0∠m=-1±√7∠QG=3∠Q 3（2+√7 0） Q 4（2−√7 0）．综上所述满足条件的点Q 的坐标为：Q 1（-5 0） Q 2（-1 0） Q 3（2+√7 0） Q 4（2−√7 0）．13．解：（1）将点A (−4,0) 点B (2,0) 点C (0,−4)代入y =ax 2+bx +c得{c =−416a −4b +c =04a +2b +c =0∠{a =12b =1c =−4∠y =12x 2+x −4（2）如图过P 点作x 轴垂线交AC 于点Q设直线AC 的解析式为y =kx +b∠{−4k +b =0b =−4∠{k =−1b =−4∠y =−x −4设P (t,12t 2+t −4) 则Q (t,−t −4) ∠PQ =−t −4−12t 2−t +4=−12t 2−2t∠S △ACP =12×4×(−12t 2−2t)=−t 2−4t =−(t +2)2+4∠当t =−2时 S △ACP 有最大值∠P (−2,−4)（3）抛物线的对称轴为x =−1 顶点D (−1,−92)设E (m,12m 2+m −4) 则F (−1,12m 2+m −4)∠EF =−1−m DF =12m 2+m −4+92=12m 2+m +12∠点E 是直线AD 下方该抛物线上的一个动点∠−4<m <−1∠B (2,0) C (0,−4)∠OB =2 OC =4∠tan∠OCB =12当∠EDF =∠OCB 时 △EDF ∼△BCO∠EF FD =12∠2(−1−m)=12m 2+m +12解得m =−1（舍）或m =−5（舍）当∠FED =∠OCB 时 △EDF ∼△DBO∠EF FD =2∠2(12m 2+m +12)=−1−m解得m =−1（舍）或m =−2∠E (−2,−4)综上所述：当以D E F 为顶点的三角形与△BOC 相似时 E 点坐标(−2,−4)．14．（1）解：①由m ＝1可知点C （0 ﹣3）∵抛物线与x 轴交点为A(−3,0) B(1,0)∴抛物线解析式为：y =a(x +3)(x −1)将点C(0,−3)代入上式得a ×3×(−1)=−3∴a =1∴抛物线的解析式为：y =(x +3)(x −1)=x 2+2x −3②由①可知抛物线解析式为y =x 2+2x −3 则设P(x,x 2+2x −3) 设直线AC 的解析式为y =kx +b由题意可得{−3k +b =0b =−3解得{k =−1b =−3∴直线AC 的解析式为y =−x −3如图1 过点P 作PN ⊥x 轴交AC 于N 则PN//OC∴点N(x,−x −3)∴PN =(−x −3)−(x 2+2x −3)=−x 2−3x∵PN//OC∴△PQN ∽△OQC∴ PQ OQ =PN OC∴ PQ OQ =−x 2−3x 3=−(x+32)2+943 ∴当x =−32时 PQ OQ 的最大值为34 （2）解：∵y =mx 2+2mx −3m =m(x +1)2−4m∴顶点D 坐标为(−1,−4m)如图2 过点D 作DE ⊥x 轴于点E 则DE =4m OE =1 AE =OA −OE =2 过点D 作DF ⊥y 轴于点F 则DF =1 CF =OF −OC =4m −3m =m由勾股定理得：AC2=OC2+OA2=9m2+9CD2=CF2+DF2=m2+1AD2=DE2+AE2=16m2+4∵ΔACD与ΔBOC相似且ΔBOC为直角三角形∴ΔACD必为直角三角形i)若点A为直角顶点则AC2+AD2=CD2即：(9m2+9)+(16m2+4)=m2+1整理得：m2=−12∴此种情形不存在ii)若点D为直角顶点则AD2+CD2=AC2即：(16m2+4)+(m2+1)=9m2+9整理得：m2=12∵m>0∴m=√2 2此时可求得ΔACD的三边长为：AD=2√3CD=√62AC=3√62ΔBOC的三边长为：OB=1OC=3√22BC=√222两个三角形对应边不成比例不可能相似∴此种情形不存在iii)若点C为直角顶点则AC2+CD2=AD2即：(9m2+9)+(m2+1)=16m2+4整理得：m2=1∵m>0∴m=1此时可求得ΔACD的三边长为：AD=2√5CD=√2AC=3√2ΔBOC的三边长为：OB=1OC=3BC=√10∵ADBC =ACOC=CDOB=√2∴满足两个三角形相似的条件∴m=1．综上所述当m=1时以A D C为顶点的三角形与ΔBOC相似．15．（1）解：将A(−2,0),B(8,0),C(0,4)三点坐标代入y=ax2+bx+c中得{4a−2b+c=0c=464a+8b+c=0解得{a=−14b=32c=4所以抛物线表达式为：y=−14x2+32x+4．（2）解：根据题意得：∵A(−2,0),B(8,0),C(0,4)∠OA=2,OB=8,OC=4∴AOOC=COBO=12又∠AOC=∠COB=90°∴△AOC∽△COB∴∠ACO=∠CBO∴∠ACB=∠ACO+∠BCO=∠CBO+∠BCO=90°当△AOC∽△PDC时∴∠ACO=∠PCD∵∠ACO+∠OCB=90°∴∠PCD+∠OCB=90°∴PC⊥OC∴点P的纵坐标为4当y=4时有−14x2+32x+4=4解得x=6或x=0（舍）∴点P的坐标为(6,4)当△AOC∽△CDP时∠P′CD′=∠CAO作P′G⊥y轴于点G过点P′作P′H∥y轴交BC于点H如图∴∠P′HC=∠BCO∵AOOC=COBO=12,∠AOC=∠BOC=90°∴△AOC∽△COB∴∠OCB=∠OAC∴∠P′CH=∠P′HC∴P′C=P′H设直线BC的解析式为y=k′x+b′把点B(8,0),C(0,4)代入得：{8k ′+b′=0b′=4解得：{k′=−12b′=4∠直线BC的解析式为y=−12x+4设P′(m,−14m2+32m+4)则H(m,−12m+4)∴P′C=P′H=−14m2+32m+4−(−12m+4)=−14m2+2m在Rt△P′GC中由勾股定理得P′C2=P′G2+GC2即(−14m2+2m)2=m2+(−14m2+32m)2解得m=3∴P′(3,254)综上点P的坐标为：(6,4)或(3,254)．（3）解：过N作NF⊥MC交MC于点F过N点作NG⊥AC交CA的延长线于点G则∠G=∠CFN=90°∴∠ACM+∠GNF=180°设CM与x轴交于K由旋转得：AN=MN∵∠ANM+∠ACM=180°∴∠ANM=∠GNF∴∠ANG=∠MNF∵∠G=∠MFN=90°∴△NGA≌△NFM∴NG=NF∴NC平分∠ACM∵CO⊥AB ∴OK=OA=2∴K(2,0)∴CK的解析式为：y=−2x+4∴−2x+4=−14x2+32x+4解得：x1=0,x2=14∴M(14，−24)设N(0,n)∵AN=MN∴(−2)2+n2=142+(−24−n)2解得：n=−16所以点N坐标为(0,−16)．16．解：（1）∠抛物线y=−x2+2mx−m2+2m(m>0)交x轴于A B两点∠当m=2∠y=−x2+4x∠x1=0x2=4∠A(0,0)B(4,0)．（2）①∠y=−x2+2mx−m2+2m∠对称轴x=−b2a=m∠顶点坐标C(m,2m)延长CD交x轴于点E设点E(a,0)a>m∠∠COB=∠OCD∠|OE|=|CE|∠a2=(a−m)2+(2m)2解得：a=52m∠点E的坐标为：(52m,0)设直线CE的解析式为：y=k1x+b1(k≠0)∠{2m=km+b 0=52mk+b解得：{k=−43b=103m∠y=−43x+103m∠−43x+103m=−x2+2mx−m2+2m解得：x1=m（舍）x2=m+43∠点D(m+43,2m−169)∠CD=209．②设直线OC的解析式为：y=k1x(k≠0)∠y=2x∠设点P(b,2b)∠OP=√b+24b2=√5b CP=√(m−b)2+(2m−2b)2=√5(m−b)当△OPT∼△CDP∠OP CD =OTCP∠√5b×920=√5(m−b)整理得：9b2−9mb+4t=0∠Δ>0∠81m2−4×9×4t>0∠9m2−16t>0当△OTP∼△CDP∠OT CD =OPCP∠t×920=√5b√5(m−b)整理得：b =9tm 20+9t∠仅存在一个点P∠不符合题意∠综上 t 和m 之间的数量关系为：9m 2−16t >0．17．（1）解：∵抛物线y =−x 2+bx +c 经过A (0,3)和B (72,−94)两点∴将A (0,3)和B (72,−94)代入y =−x 2+bx +c 得{c =3−(72)2+72b +c =−94 解得{b =2c =3 ∴抛物线的解析式为y =−x 2+2x +3（2）解：在 y =−x 2+2x +3中当y =0时 −x 2+2x +3=0 解得x =3或x =−1 ∠G(3，0)∠OG =3∠A(0，3)，P(2，3)∠OA =3，AP =2，AP ∥x 轴∠S 四边形APGO =AP+OG 2⋅OA =2+32×3=7.5（3）解：设直线AB 的解析式为y =kx +n 把A (0,3)和B (72,−94)代入得{n =372k +n =−94解得{k =−32n =3∴直线AB 的解析式为y =−32x +3 在y =−32x +3 当y =0时 −32x +3=0 解得x =2 ∴C (2,0)联立{y =−x 2+2x +3y =−32x +3 解得x 1=0 x 2=72 ∵PD ⊥x 轴 PE ∥x 轴∴∠ACO =∠DEP∴Rt △DPE ∽Rt △AOC∴ PD PE =OA OC =32 即PE =23PD∴PD +PE =53PD设点P (a,−a 2+2a +3) 0<a <72 则D (a,−32a +3)∴PD =(−a 2+2a +3)−(−32a +3)=−(a −74)2+4916 ∴PD +PE =−53(a −74)2+24548∵−53<0 抛物线开口向下 PD +PE 有最大值 0<a <72 ∴当a =74时 PD +PE 有最大值为24548（4）解：∵PD ⊥x 轴∴PD ∥y 轴即∠OAC =∠PDA根据题意分两种情况：①当△AOC ∽△DPA 时∴∠DPA =∠AOC =90°∵PD ⊥x 轴 ∠DPA =90° A (0,3)∴点P 纵坐标是3 横坐标x >0 即−x 2+2x +3=3 解得x =2∴点D 的坐标为(2,0)∵PD ⊥x 轴∴点P 的横坐标为2∴点P (2,3)②当△AOC ∽△DAP 时∴ ∠APD =∠ACO过点A 作AG ⊥PD 于点G 如图所示：∴△APG ∽△ACO∴ PG AG =OC AO设点P (n,−n 2+2n +3) 则D (n,−32n +3) 则−n 2+2n+3−3n =23 解得n =43 ∠P (43,359)综上所述 P (2,3)或P (43,359)．18．（1）解：把点A(−2，0) C(0，4)代入y =ax 2+23x +c (a ≠0)得：{4a −43+c =0c =4 解得：{a =−23c =4 ∠抛物线的解析式为y =−23x 2+23x +4 （2）解：过点D 作DF∥AB 交BC 于点F当y =0时有−23x 2+23x +4=0 解得x 1=−2,x 2=3∠B (3,0)设直线BC 的解析式为：y =kx +b代入B (3,0) C(0，4)得：{3k +b =0b =4解得{k =−43b =4∠直线BC 的解析式为：y =−43x +4 设点D 的横坐标为t 则D (t ，−23t 2+23t +4) ∠F (12t 2−12t,−23t 2+23t +4) ∠DF =t −(12t 2−12t)=−12t 2+32t∠A(−2，0) B(3，0)∠AB =5∠DF∥AB∠△DEF∽△AEB∠DF AB =DE AE∠−12t 2+32t 5=DE 5DE =15 ∠−12t 2+32t =1解得：t 1=1 t 2=2∠点D 的坐标为(1，4)或(2,83)（3）解：存在点P 使tan∠MBP =12 ①当PB 在MB 上方时过点M 作IM ⊥PB 交PB 于I 过I 作IJ ⊥y 轴于J则tan∠MBI =MI MB =12∠∠JMI +∠JIM =90° ∠JMI +∠OMB =90°∠∠JIM =∠OMB又∠∠IJM =∠MOB =90°∠△MIJ∽△BMO∠IJ MO=JM OB =IM MB ∠IJ 1=JM 3=12 ∠IJ =12 JM =32∠OJ =JM +OM =52∠I (12,52)设直线BI 的解析式为：y =mx +n代入B(3，0) I (12,52)得：{3m +n =012m +n =52 解得：{m =−1n =3∠直线BI 的解析式为：y =−x +3联立{y =−23x 2+23x +4y =−x +3解得：{x =−12y =72或{x =3y =0 （不合题意舍去）∠此时点P 的坐标为(−12,72)②当PB 在MB 下方时过点M 作KM ⊥P ′B 交P ′B 于K 过K 作KL ⊥y 轴于L 同理可得点P 的坐标为(−3114,−7398)综上所述点P 的坐标为(−12,72)或(−3114,−7398)．19．（1）解：∠抛物线y =ax 2+bx +c 过点A (−1,0) B (2,0)∠抛物线的表达式为y =a (x +1)(x −2)将点C (0,2)代入y =a (x +1)(x −2) 得：2=−2a解得：a =−1∠抛物线的表达式为y =−(x +1)(x −2) 即y =−x 2+x +2设直线BC 的表达式为y =kx +t 过点B (2,0) C (0,2)∠{2k +t =0t =2解得：{k =−1t =2∠直线BC 的表达式为y =−x +2（2）∠点M 在直线BC 上且P (m,n )(m >0) PN ⊥x 轴 C (0,2)∠M (m,−m +2) OC =2∠CM 2=(m −0)2+(−m +2−2)2=2m 2 OM 2=m 2+(−m +2)2=2m 2−4m +4 当△OCM 为等腰三角形时①若CM =OM 则CM 2=OM 2即2m 2=2m 2−4m +4解得：m =1②若CM =OC 则CM 2=OC 2即2m2=4解得：m=√2或m=−√2（舍去）③若OM=OC则OM2=OC2即2m2−4m+4=4解得：m=2或m=0（舍去）综上所述m=1或m=√2或m=2（3）∠B(2,0)C(0,2)∠COB=90°∠OC=OB=2∠∠OCB=∠OBC=45°CB=√OC2+OB2=√22+22=2√2∠点P与点C相对应P(m,n)(m>0)∠△POQ∽△CBN或△POQ∽△CNB①若点P在点B的左侧则∠CBN=45°BN=2−m CB=2√2∠CNB=∠CON+∠OCN=90°+∠OCN>90°如图当△POQ∽△CBN即∠POQ=45°时∠P(m,m)此时直线OP的表达式为y=x∠直线OP：y=x与抛物线y=−x2+x+2交于点P(m,m)(m>0)∠−m2+m+2=m解得：m=√2或m=−√2（负值舍去）∠OP=√(√2)2+(√2)2=2∠OP BC =OQBN即2√2=2−√2解得：OQ=√2−1∠P(√2,√2)Q(0,√2−1)如图当△POQ∽△CNB即∠PQO=45°时过点P作PK⊥y轴于K点∠PK=KQ=m KO=PN=−m2+m+2∠PQ=KPsin∠PQO =msin45°=√2m OQ=KQ−KO=m−(−m2+m+2)=m2−2∠PQ CB =OQNB即√2m2√2=m2−22−m解得：m=1+√133或m=1−√133（负值舍去）∠P(1+√133,7+√139)Q(0,4−2√139)②若点P在点B的右侧则∠CBN=135°BN=m−2如图当△POQ∽△CBN即∠POQ=135°时过点P作PK⊥y轴于K点∠P(m,−m)此时直线OP的表达式为y=−x PK=KQ=m KO=−(−m2+m+2)=m2−m−2∠m2−m−2=m解得：m=1+√3或m=1−√3（负值舍去）∠OP=PKsin∠POK =msin45°=√2m=√2(1+√3)=√2+√6∠OP BC =OQBN即√2+√62√2=1+√3−2解得：OQ=1∠P(1+√3,−1−√3)Q(0,1)如图当△POQ∽△CNB即∠PQO=135°时过点P作PK⊥y轴于K点∠PK=KQ=m KO=PN=−(−m2+m+2)=m2−m−2∠PQ=KPsin∠PQK =msin45°=√2m OQ=KO−KQ=m2−m−2−m=m2−2m−2∠PQ CB =OQNB即√2m2√2=m2−2m−2m−2解得：m=1+√5或m=1−√5（负值舍去）∠P(1+√5,−3−√5)Q(0,−2)综上所述P(√2,√2)Q(0，√2−1)或P(1+√133,7+√139)Q(0,4−2√139)或P(1+√3,−1−√3)Q(0,1)或P(1+√5,−3−√5)Q(0,−2)．20．解：（1）∵点A的坐标为(−1,0)∴OA=1．令x=0则y=−4∴C(0,−4)OC=4∵OC=OB∴OB=4∴B(4,0)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x−4)∵将x=0y=−4代入得：−4a=−4解得a=1∴抛物线的解析式为y=x2−3x−4∴a=1b=−3∵抛物线的对称轴为x=−−32×1=32C(0,−4)∵点D和点C关于抛物线的对称轴对称∴D(3,−4)设直线AD的解析式为y=kx+b．∵将A(−1,0)D(3,−4)代入得：{−k+b=03k+b=−4解得k=−1b=−1∴直线AD的解析式y=−x−1（2）∵直线AD的解析式y=−x−1∴直线AD的一次项系数k=−1∴∠BAD=45°．∵PM平行于y轴∴∠AEP=90°∴∠PMH=∠AME=45°．∴△MPH的周长=PM+MH+PH=PM+√22MP+√22PM=(1+√2)PM．设P(a,a2−3a−4)则M(a,−a−1)则PM=−a−1−(a2−3a−4)=−a2+2a+3=−(a−1)2+4．∴当a=1时PM有最大值最大值为4．∴△MPH的周长的最大值=4×(1+√2)=4+4√2（3）在直线EP的右侧x轴下方的抛物线上存在点N过点N作NG⊥x轴交x轴于点G使得以点E N G为顶点的三角形与△AOC相似理由如下：设点G的坐标为(a,0)则N(a,a2−3a−4)①如图2.1若OAOC =EGGN时△AOC∠△EGN．则a−1−a2+3a+4=14整理得：a2+a−8=0．得：a=−1+√332(负值舍去)∴点G为(−1+√332,0)②如图2.2若OAOC =GNEN时△AOC∠△NGE则a−1−a2+3a+4=4整理得：4a2−11a−17=0得：a=11+√3938(负值舍去)∴点G为(11+√3938,0)综上所述点G的坐标为(−1+√332,0)或(11+√3938,0)．。

中考数学几何模型专题专题九—相似三角形

专题九相似三角形模型47 “A”字模型模型展示基础模型正“A字”型怎么用？1、找模型在三角形中遇到“平行”，则考虑正“A字”模型2、用模型“A字”模型用相似三角形结题结论分析结论:△ADE~△ABC证明:△DE△BC，△△ADE=△ABC，△AED=△ACB.△△ADE~△ABC，△ADAB =AEAC=DEBC模型拓展斜“A字”型（共角）满分技法在△ABC中，点D、E分别是AB、AC 上的点，若△ADE与△ABC相似，则分两种情况:△△ADE=△ABC，此时为正“A字”型;△△ADE=△ACB，此时为斜“A字”型，然后再结合已知条件求解.巧学巧记相似三角形的对应线段(高、中线、角平分线)的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.典例小试例1 如图，在上体育课时，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，且头部影子重合于点A，(点拔：影子平行，则DE△BC)已知甲、乙同学相距1米，甲身高1.8米，乙身高1.5米，(点拔：CD=1米，BC=1.8米，DE=1.5米)则甲的影长是( )A.4米B.5米C.6米D.7米考什么？相似三角形的判定与性质思路点拨根据题意得到DE与BC的位置关系，再直接使用结论即可求解.例2 如图，在△ABC中，△BAC=△CBD，（点拔：在三角形中，遇一组角相等，再找一组等角，利用相似解题）CD=2，AC=6，则BC的长为( )A.√3B.2√3C.3√3D.4√3考什么？相似三角形的判定与性质例3 如图，在ABCD(点拨：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD)中，点E 在边AD上，且AE=ED，连接BE并延长交CD的延长线于点F，则△FED与ABCD 的面积之比为( )A.1:2B.1:3C.1:4D.1:5考什么？平行四边形的性质，全等三角形的判定，相似三角形的判定思路点拨根据平行四边形的性质及AE=ED,可得到△AEB与△DEF的关系，再剥离出模型即可解题,自己快动手试一试吧!思路点拔根据平行四边形的性质及AE=ED，可得到△AEB与△DEF的关系，再剥离出模型即可解题，自己快动手试一试吧!实战实演1.如图，在△ABC中，△B=45°，过点A作AD△AB交BC于点D，过点D作DE△AD 交AC于点E，若AB=4，DE=2，则CD的长为（）A B . C . D . 2. 在△ABC 中，点D ,E 分别是AB ,AC 上的点，若△ADE 与△ABC 相似，AD =2，BD =4，AE =3，则CE 的长为（）A .1B .2或6C .6D .1或63. 如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线，若AC =2，AB =32CD ，则⊙O 的半径为（）A . 54B . 32C . 2D . 2 4. 如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，连接CD ,AD =9，BD =7，AC =12，△ABC 的角平分线AE 交CD 于点F .（1）求证：2=AC AB AD ；（2）若AF =8，求AE 的长。

中考数学专题训练：相似三角形(附参考答案)

中考数学专题训练：相似三角形（附参考答案）1.若a3＝b2，则a+bb的值为( )A．32B．53C．52D．232.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为( )A．3 B．4C．5 D．63.如图，AD∥BE∥FC，直线l1，l2分别与三条平行线交于点A，B，C和点D，E，F.若AB＝3，BC＝5，DF＝12，则EF的长为( )A．4.5 B．6C．7.5 D．84.如图，小雅同学在利用标杆BE测量建筑物的高度时，测得标杆BE高1.2 m，又知AB∶BC＝1∶8，则建筑物CD的高是( )A．9.6 m B．10.8 mC．12 m D．14 m5.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(1，2)，B(2，1)，C(3，2).现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的相似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是( )A．(2，4) B．(4，2)C．(6，4) D．(5，4)6.如图(单位：mm)，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5 m时，标准视力表中最大的“E”字高度为72.7 mm，当测试距离为3 m时，最大的“E”字高度为( )A．121.17 mm B．43.62 mmC．29.08 mm D．4.36 mm7.如图，AC是□ABCD的对角线，点E在CD的延长线上，连接BE分别交AC，AD 于点F，G，则下列式子一定正确的是( )A．AFCF ＝AGDGB．ABCE＝CFAFC．BFFG ＝EFBFD．ADDG＝ABDE8.如图，在△ABC中，D，E分别为边AB，AC上的点，试添加一个条件：________________________，使得△ADE与△ABC相似．(任意写出一个满足的条件即可)9.如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，S△ABDS△BCD ＝12，则S△BOCS△BCD＝______．10.如图，在矩形ABCD中，若AB＝3，AC＝5，AFFC ＝14，则AE的长为_____.11.如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5 m 的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿上AD长为1 m时，它离地面的高度DE为0.6 m，则坝高CF为________m.12.已知在平面直12角坐标系中，△AOB的顶点分别为A(2，1)，B(2，0)，O(0，0)．若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为__________________________．13.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点．若S△ADE＝2，则S△ABC＝_____．14.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是____________.15.如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD.(1)求证：△ABC∽△DEC；(2)若S△ABC∶S△DEC＝4∶9，BC＝6，求EC的长．16.如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D，E分别在BC，AC上，CD＝2BD，CE ＝2AE，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是______．17.小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布前形成倒立的实像CD(点A，B的对应点分别是C，D)．若物体AB的高为6 cm，小孔O到物体和实像的水平距离BE，CE分别为8 cm，6 cm，则实像CD的高度为________cm.18.如图，在正方形ABCD中，点E是边CD上一点，连接BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连接AF，有以下五个结论：①∠ABF＝∠DBE；②△ABF∽△DBE；③AF⊥BD；④2BG2＝BH·BD；⑤若CE∶DE＝1∶3，则BH∶DH＝17∶16.你认为其中正确的是____________．(填写序号)19.已知，如图1，若AD是△ABC中∠BAC的内角平分线，通过证明可得ABAC ＝BDCD，同理，若AE是△ABC中∠BAC的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在△ABC中，BD＝2，CD＝3，AD是△ABC的内角平分线，则△ABC的BC边上的中线长l的取值范围是_____________．20.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB 上，且CF＝BE，AE2＝AQ·AB.求证：(1)∠CAE＝∠BAF；(2)CF·FQ＝AF·BQ.21.在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D是边BC上一点(不与点B，C重合)，连接AD.(1)如图1，若∠C＝60°，点D关于直线AB的对称点为点E，连接AE，DE，则∠BDE＝________．(2)若∠C＝60°，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，连接BE.①在图2中补全图形；②探究CD与BE的数量关系，并证明．(3)如图3，若ABBC ＝ADDE＝k，且∠ADE＝∠C，试探究BE，BD，AC之间满足的数量关系，并证明．参考答案1．C 2．B 3．C 4．B 5．C 6．B 7．C8．ADAB ＝AEAC(答案不唯一) 9．2310．1 11．2.712．(4，2)或(－4，－2)13．8 14．(4，2) 15．(1)证明略(2)EC＝916．43 17．4.5 18．①②③④ 19．12<l<25220．(1)证明略(2)证明略21．(1)30°(2)①图略②CD与BE的数量关系为CD＝BE，证明略(3)AC＝k(BD＋BE)，证明略。

中考数学《相似形》专题练习含答案

相似形一.选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分。

请选出每小题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选均不给分）1. 下列说法中，错误的是（）A.所有的等边三角形都相似B.和同一图形相似的两图形也相似C.所有的等腰直角三角形都相似D.所有的矩形都相似2. 下列图形中，是位似图形的是（）A B C D3. 如图1，小强设计两个直角三角形来测量河宽BC ，他量得AB=2米，BD=3米，CE=9米，则河宽BC 为（）Ａ５米Ｂ.４米Ｃ.６米Ｄ.８米图１图２图３４.如图２，已知ＡＢ∥ＥＦ∥ＣＤ，则图中相似的三角形有（）Ａ.１对Ｂ.２对Ｃ.３对Ｄ.４对５.如图３，铁道口的栏杆短臂长１米，长臂长１６米，当短臂端点下降０.５米时，长臂端点升高（）Ａ.11.25米Ｂ.６.６米Ｃ.８米Ｄ.10.5米6.如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC 相似的是（）A B C D７.已知，如图４，在ABC 中，Ｐ为ＡＢ上的一点，在下列四个条件下：①ACP ∠=B ∠；②APC ACB ∠=∠；③2AC AP AB =⋅；④AB CP AP CB ⋅=⋅。

能满足APC 与ACB 相似的条件是（）Ａ.①②④ Ｂ.①③④ Ｃ.②③④ Ｄ.①②③图4 图5 ８.如图５所示，ＡＢ是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚Ｂ距墙１.６米，梯子上点Ｄ距离墙１.４米，ＢＤ长０.５５米，则梯子的长为（）Ａ.３.８５米Ｂ.４.００米Ｃ.４.４０米Ｄ４.５０米９.如图６，在矩形ＡＢＣＤ中，AE BD ⊥于Ｅ，矩形ＡＢＣＤ的面积为４０平方厘米，:1:5ABE DBA S S =，则ＡＥ的长为（）Ａ４厘米Ｂ.５厘米Ｃ.６厘米Ｄ.７厘米图6 图7 １０.如图７，点Ｅ是正方形ＡＢＣＤ中边ＣＤ的中点，Ｐ是ＢＣ边上的一点，下列条件中，不能推出ABP 与ECP 相似的是（）A.APB EPC ∠=∠B.90APE ∠=C. P 是BC 的中点D. :2:3BP BC =二.填空题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，将正确答案填在题中的横线上）11.已知线段1,a b c d ====，则这四条线段______比例线段(填“成”或“不成”).12.学校平面图的比例尺是1:500,平面图上校园面积为21300cm ,则学校的实际面积为_______2m .13.如果ABC A B C '''，相似比为3 ：2。

初三数学相似三角形典型例题(含答案)

2初三数学相似三角形（一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是：1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。

2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。

3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。

4.能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。

本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。

相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在 10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。

（二）重要知识点介绍： 1.比例线段的有关概念：在比例式 abc (a ： b c ：d )中， a 、 d 叫外项， db 、c 叫内项， a 、c 叫前项， b 、d 叫后项， d 叫第四比例项，如果 b=c ，那么 b 叫做 a 、 d 的比例中项。

把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ，使 AC=AB BC ，叫做把线段 AB 黄金分割， C 叫做线段 AB 的黄金分割点。

2. 比例性质：①基本性质：a cb d②合比性质：acb dad bca b c d b d③等比性质：a c ⋯bdm(b d ⋯ nn ≠ 0) a c ⋯ m ab d ⋯ n b3.平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥ l 2∥ l 3 。

AB 则BCDE ，ABEF ACDE ， BC DF ACEF ，⋯DF②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。