2019届高三数学第一学期综合试卷2.doc

2019届高三数学第一学期综合试卷2试卷命题人、责任人：盛兆兵 分值：160分 考试时间：120分钟 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．复数()(34)z a i i =+-∈R ，则实数a 的值是 ．2．已知集合{}2{|3},|log 1M x x N x x =<=>，则M ∩N ．3．如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积．．．为 ． 4．已知函数()f x 是定义在[,0)(0,]e e -⋃上的奇函数，当[,0)x e ∈-时，()ln()f x ax x =+-，则当(0,]x e ∈时，()f x = ．5．在平面直角坐标系中, 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0x －y ＋4≥0x ≤a (a 为常数)表示的平面区域面积是9，那么实数a 的值为 ．6．在公差不为零的等差数列{}n a 中，有23711220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则68b b = ．7．以复数－24+m i （m ∈R ）的实部为首项，虚部为公差的等差数列，当且仅当n=10时，其前n 项和最小，则m 的取值范围是 ．8．已知△ABC 满足2···AB AB AC BA BC CA CB =++uuu u r uu u r uuu r uu r uu u r uu r uu r ，则∠C ＝ ． 9．若βα、为锐角，且)sin()cos(β-α=β+α，则αtan 的值是 ． 10．将函数y =f (x )sin x 的图象向右平移4π个单位，再作关于x 轴的对称曲线，得到函数y =1－2sin 2x 的图象，则f (x )是 ．11．银行计划将某储户的资金给项目M 和N 投资一年，其中40%的资金给项目M ，60%的资金给项目N ，项目M 能获得10%的年利润，项目N 能获得35%的年利润，年终银行必须回笼资金，同时按一定的回报率支付给储户．为了使银行年利润不小于给M 、N 总投资的10%而不大于总投资的15%，则给储户的回报率最大值为 ． 12．下列结论：①已知命题p ：,tan 1x x ∃∈=R ；命题q ：2,10x R x x ∀∈-+>．则命题“q p ⌝∧”是假命题；②函数1||2+=x x y 的最小值为21且它的图像关于y 轴对称；③函数62ln )(-+=x x x f 在定义域上有且只有一个零点．其中正确命题的序号为 ．（把你认为正确的命题序号都填上） 13、若函数()log (4)a af x x x=+-（a >0且a ≠1）的值域为R ，则实数a 的取值范围 14．已知函数()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦ (1n x n <<+，n ∈N *)，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－2.1]=－3，[－3]=－3，[2.5]=2．定义n a 是函数()f x 的值域中的元素个数，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则1110ni i mS =<∑对n ∈N *均成立的最小正整数m 的值为 ．第3题高三数学试卷一、填空题：1． 8． 2． 9． 3． 10. 4． 11.. 5. 12 . 6． 13. 7． 14二、解答题（本大题共6小题，每小题15分，满分90分）15．（本题满分14分） 已知函数()f x 和()g x 的图象关于1y =对称，且2()2f x x x =+． （1）求函数()g x 的解析式；（2）解不等式()()|1|g x f x x ≥--．16．（本题满分14分）已知函数.cos 2)62sin()62sin()(2x x x x f +-++=ππ （1）求)(x f 的最大值及最小正周期； （2）求使)(x f ≥2的x 的取值范围．17．（本题满分15分）如图，已知△ABC 是正三角形，EA 、CD 都垂直于平面ABC ，且EA ＝AB ＝2a ，DC ＝a ，F 是BE 的中点．（1）FD ∥平面ABC ；（2）AF ⊥平面EDB ．18．（本题满分15分） 已知数列{n a }的前n 项和为S n ，若2352n n n n S a +++=，问是否存在)(n f ， 使得对于一切*n ∈N ,()n a n f n =-都有成立，请说明理由．19．（本题满分16分）甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f (x ),g (x )，当甲公司投入x 万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f (x )万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x 万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g (x )万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险。

（1）试解释20)0(,10)0(==g f 的实际意义； （2）设20)(,1041)(+=+=x x g x x f ，甲、乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司应投入多少宣传费？20．（本题满分16分）已知二次函数()c bx ax x f ++=2．（1）若c b a >>且(1)0f =，证明：()x f 的图象与x 轴有两个相异交点；（2）证明：若对x 1， x 2，且x 1<x 2，()()21x f x f ≠，则方程()()()221x f x f x f +=必有一实根在区间 (x 1，x 2) 内；（3）若()a m f -=成立，证明：()3+m f 为正数．](1,415．（本题满分14分）已知函数()f x 和()g x 的图象关于1y =对称，且2()2f x x x =+．（1）求函数()g x 的解析式；（2）解不等式()()|1|g x f x x ≥--．解：（1）∵22()2(1)1f x x x x =+=+-，又函数()f x 和()g x 的图象关于1y =对称， ∴g (x )的开口向下，大小不变，顶点坐标为（－1，3）． …………………………5分 ∴2()(1)3g x x =-++． ……………………………………7分 （2）∵()()|1|g x f x x ≥--， ∴22(1)3(1)1|1|x x x -+++---≥，即2|1|2(1)4x x -+-≥． ……………………………10分当1x <时，21242x x x -+-≥，即22530x x +-≤，解得132x -≤≤．………12分 当1x ≥时，2|1|2(1)4x x -+-≥解集为空集．……………13分∴不等式的解集是1{|3}2x x -≤≤． ………………………………14分 16．（本题满分14分）已知函数.cos 2)62sin()62sin()(2x x x x f +-++=ππ. （1）求)(x f 的最大值及最小正周期； （2）求使)(x f ≥2的x 的取值范围． 解：（1）x x x x f 2cos 2)62sin()62sin()(+-++=ππ12cos 26sin2cos 6cos2sin 6sin2cos 6cos2sin ++-++=x x x x x ππππ……2分12cos 2sin 3++=x x 1)62sin(2++=πx ． …5分312)(max =+=∴x f ． …………6分ππωπ===22||2T ． …………………7分（2）2)(≥∴x f ，2sin(2)126x π∴++≥．21)62sin(≥+∴πx ． …………………9分πππππ6526262+≤+≤+∴k x k ． …………………………………12分)(3Z k k x k ∈+≤≤∴πππ．…………………………………13分2)(≥∴x f 的x 的取值范围是},3|{Z k k x k x ∈+≤≤πππ． …………14分17．（本题满分14分）如图，已知△ABC 是正三角形，EA 、CD 都垂直于平面ABC ，且EA ＝AB ＝2a ，DC ＝a ，F 是BE 的中点．（1）FD ∥平面ABC ；（2）AF ⊥平面EDB ． 证明（1）取AB 的中点M ，连FM ，MC ， ∵ F 、M 分别是BE 、BA 的中点，∴ FM ∥EA ，FM=12EA ． ∵ EA 、CD 都垂直于平面ABC ，∴ CD ∥EA ，∴ CD ∥FM ． ………………3分 又 DC=a ，∴FM=DC ．∴四边形FMCD 是平行四边形，∴ FD ∥MC ．即FD ∥平面ABC ．……………7分 （2）∵M 是AB 的中点，△ABC 是正三角形， ∴CM ⊥AB ，又CM ⊥AE ，∴CM ⊥面EAB ，CM ⊥AF ，FD ⊥AF ， ………………………………11分 又F 是BE 的中点，EA=AB ，∴AF ⊥EB ． 即由AF ⊥FD ，AF ⊥EB ，FD ∩EB ＝F ，可得AF ⊥平面EDB ． ……………………………………………………14分 18．（本题满分16分）已知数列{n a }的前n 项和为S n ，若2352n n n n S a +++=，问是否存在)(n f ，使得对于一切*n ∈N ,()n a n f n =-都有成立，请说明理由．解：2532++=+n n a S n n ①25)1(3)1(211++++=+∴++n n a S n n ， ②②－①得221+=-+n a a n n ． ③ ……………………………4分若存在)()(n f n a n f n -=满足成立，则有2)()1(2)1(2+=+-+-+n n f n n f n ，整理得)(21)1(n f n f =+． ………………………9分 又由①式，得45)1(491-=∴=f a ． ……………………11分15151{()},;()()4242n f n f n -∴-=-构成首项为公比为的等比数列．因而存在125)(+-=n n f 满足题意． …………14分19．（本题满分16分）甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f (x ),g (x )，当甲公司投入x 万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f (x )万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x 万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g (x )万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险。

（1）试解释20)0(,10)0(==g f 的实际意义；（2）设20)(,1041)(+=+=x x g x x f ，甲、乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司应投入多少宣传费？ 解：（1）f （0）=10表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败风险，至少要投入10万元宣传费；g （0）=20表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入20万元宣传费． 4分 （2）设甲公司投入宣传费x 万元，乙公司投入宣传费y 万元，依题意，当且仅当1()10,4()20,y f x x x g y ⎧≥=+⎪⎨⎪≥+⎩成立．双方均无失败的风险．…………8分由（1）（2）得060410)20(41≥--⇒++≥y y y y ． 0)154)(4(≥+-∴y y ． ……………11分2420420,1640154=+≥+≥≥⇒≥∴>+y x y y y ．min min 24,16x y ==． ……………15分答：要使双方均无失败风险，甲公司至少要投入24万元，乙公司至少要投入16万元．………16分20．（本题满分16分）已知二次函数()c bx ax x f ++=2．若c b a >>且(1)0f =．（1）证明：()x f 的图象与x 轴有两个相异交点；（2）证明：若对x 1， x 2，且x 1<x 2，()()21x f x f ≠，则方程()()()221x f x f x f +=必有一实根在区间 (x 1，x 2) 内；（3）若()a m f -=成立，求证：()3+m f 为正数． 解：（1）由题意，f(1)＝a ＋b ＋c ＝0，即b ＝－（a ＋c ），又Δ＝b 2－4ac ＝(a ＋c)2－4ac ＝(a －c)2>0．∴方程20ax bx c ++= 有两个不等的实数根．即()x f 的图象与x 轴有两个相异交点． …………4分． （2）设()()()()122f x f xg x f x +=-．()()21212121212()()()()[()][()](()())022f x f x f x f xg x g x f x f x f x f x ++⋅=--=--<．…………8分（3）假设存在符合条件的R m ∈,则由已知得02=+++c a bm am 且()042≥+-=∆c a a b ．由(1)知()c a b +-=，故有()()()()0342≥-+=+-+a c c a c a a c a ．a b c >>，()00,03≥⇒≤+=-<-∴b c a b a c ．…………11分令()2h m am bm a c =+++，可推得()h m 的对称轴⎥⎦⎤ ⎝⎛-∈-0,212a b ． 故()h m 在⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,21上有零点．………………14分 即方程02=+++c a bm am 必有一根⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-∈,210m ．进而推得当0m m =时，()()0330>+=+m f m f ． ………16分。