线性代数(赵树嫄)第4章矩阵的特征值资料
第四章 矩阵的特征值
值的特征向量；但对应于不同特征值的特征
向量的和不再是特征向量。
（4）一个特征值对应的特征向量有无穷多
个；但是一个特征向量只能对应一个特
征值，而不能属于不同的特征值。
（5）对应于不同特征值的特征向量线性无关； 但对应于同一特征值的特征向量不一定 线性相关（定理4.3）。 推广：若n阶方阵A有n个不同的特征值，则A 有n个线性无关的特征向量。 （6）A与它的转置矩阵AT有相同的特征值； 但特征向量不一定相同（定理4.1） 。
1 1 0 例2.求矩阵A 4 3 0 的特征值和 1 0 2 特征向量。
6 0 4 练习：求矩阵A 3 5 0 的特征值和 3 6 1 特征向量。
a 例4.求n阶矩阵A 的特征值和特征向量。 a
2)设A,B均为n阶矩阵，证明AB,BA有相同 的特征值。 3)设方阵A满足:2A2-3A-5I=0，证明2A207 1(2)(4) 2 3
定义4.2 设A为n阶矩阵，含有未知量λ的矩阵λIA称为A的特征矩阵，其行列式| λI-A |为λ的n次 多项式，称为A的特征多项式， | λI-A |＝0称为 的特征方程。 说明： 1）如λ是A的一个特征值,则必有| λI-A |＝0成 立，故λ又称为特征 根。当然，可以是单根， 也可以是重根。
命题1 n阶矩阵A是奇异矩阵 A有一个特征值为 0。
命题2： 矩阵A可逆的充要条件是矩阵A的任一 特征值不为零。
（二）特征值与特征向量的性质：
定理4.1 n阶矩阵A与它的转置矩阵AT有相同的 特征值.
定理4.2 设A (aij )是n阶矩阵，如果 （ 1 ） aij 1 （i 1,2,, n)
线性代数讲义(第四章)
得基础解系：p1=(1,4,0)T, p2=(1,0,4)T，故关于2的 全部特征向量为： x=k1(1,4,0)T +k2 (1,0,4)T = (k1+k2,4k1,4k2)T，k1, k2不全为零。
例 4 证明：若是方阵A的特征值，则 (1) n 为方阵An 的特征值 (n为正整数)； (2) 当方阵A可逆时，1为方阵A1 的特征值。 证：(1) 设x为A关于特征值的特征向量，则Ax=x； A2x=A(Ax)= A(x)=Ax=2x 设An1 x =n1x，则 Anx=A(An1 x)=A(n1x)=n1Ax=nx 故n 是矩阵An 的特征值。
关于1的特征向量为：x=(k,0,k)T ， k 0 。 当=2时，
2 1 1 4 1 1 4 1 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 4 4 1 1 0 0 0 1 3
记 a1 c1 j x1 j， a 2 c2 j x2 j
j 1 j 1
m1
m2
则
a1 a 2 0
下说明a1=a2=0，假设存在某个ai 0，不妨设a10, 则a20，由命题1知，ai是i 对应的特征向量， 又由定理4.2知，a1, a2 线性无关。
与 a1 a 2 0 矛盾 , 故a1=a2=0，即
由于A=2I，故对任意xR3, x 0, 都有Ax=2Ix=2x， 由定义4.1知：2是A的特征值，任一3维非零向量都 是A关于特征值2的特征向量。
由定义4.1，若为n阶方阵A的特征值，则存在 n维非零向量a，使得Aa=a，即(IA)a =0，a满 足(IA)x=0，即a为齐次线性方程组(IA)x=0的解 向量，从而齐次线性方程组(IA)x=0有非零解； 反之，若齐次线性方程组(IA)x=0有非零解a，则 Aa=a，故为方阵A的特征值。 故为n阶方阵A的特征值的充要条件是齐次线性方 程组(IA)x=0有非零解。 而(IA)x=0有非零解的充要条件为：r(IA)<n， 即|IA|=0。
赵树源线性代数复习题四(B)题目和答案
1．三阶矩阵A 的特征值为－2，1，3，则下列矩阵中非奇异矩阵是[ ]。
()2A I A - ()2B I A + ()C I A - ()3D A I -【解】应选择答案()A 。
因为：由已知及特征值定义，A 的特征方程0I A λ-=的根为－2，1，3，应有2I A --=I A -=30I A -=，即有32(1)20I A I A +=---=，知2I A +为奇异矩阵；由0I A -=知I A -为奇异矩阵；33(1)30A I I A -=--=，知3A I -为奇异矩阵；而三阶矩阵只能有三个特征值，故2不可能是A 的特征值，从而20I A -≠，即2I A -为非奇异矩阵。
2．设02λ=是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵211()3A -必有一个特征值为[ ]。
()43A ()34B ()34C - ()43D - 【解】应选择答案()B 。
因为：02λ=是矩阵A 的一个特征值，即有2A αα=，于是211()33A A A αα=1(2)3A α=23A α=2(2)3α=，亦即21433A αα=，对上式两端左乘211()3A -，得212211114()()()()3333A A A αα--=，亦即 2141()33I A αα-=，整理得2113()34A αα-=，这说明34是矩阵211()3A -的一个特征值。
3．设1λ，2λ都是n 阶矩阵A 的特征值，12λλ≠，且1α与2α分别是A 的对应于1λ与2λ的特征向量，则[ ]。
()10A c =且20c =时，1122c c ααα=+必是A 的特征向量 ()10B c ≠且20c ≠时，1122c c ααα=+必是A 的特征向量 ()120C c c =时，1122c c ααα=+必是A 的特征向量 ()10D c ≠而20c =时，1122c c ααα=+必是A 的特征向量【解】应选择答案()D 。
因为：()A 当10c =且20c =时，1122c c ααα=+1200o αα=⨯+⨯=为零向量，不可成为任一n 阶矩阵A 的特征向量；()B 反设1122c c αα+是A 的特征向量，对应的特征值为λ，于是有 11221122()()A c c c c ααλαα+=+, 亦即为 111222()()c c o λλαλλα-+-=，由定理4.3，不同特征值对应的特征向量线性无关，由上式应有1122()()0c c λλλλ-=-=，而题设10c ≠且20c ≠，于是只能有120λλλλ-=-=，亦即为 12λλλ==，但这与题设12λλ≠相矛盾，从而10c ≠且20c ≠时，1122c c ααα=+不可能是A 的特征向量；()C 当120c c =时，有可能1c 与2c 同时为0，因为此时1122c c ααα=+为零向量，所以1122c c ααα=+“必”是A 的特征向量的说法是错误的；综上知，()D 正确。
分析04-矩阵的特征值
矩阵的特征值与特征向量的计算
产生迭代向量序列
（由x 的某一分量的相邻二次结果之比 可得出1），而相应的特征向量为 x ( k 1) 。
实际上， 由式（4-1）可得 ：
x ( k 1) Ax( k ) Ak 1 x ( 0) Ak 1 ( i ui )
i 1 k i k 1ui 11 1u1 2k 1u2 n k 1un i 2 n i 1 n n
当n不大时，如n4 解特征方程，可求出全部特征值 （n 3较难）当 n较大（n>5），计算量会增大得惊人， 且不可能求得准确结果，还可能出现不稳定，所以当n稍 大一般不直接求解特征方程，而根据实际问题的需要，介 绍相应的一些行之有效的数值解法
第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算
4-4
W
矩阵的特征值与特征向量的计算概述（续1）
x(k+1)为1对应的特征向量收敛到1u1+…+mum
W Y
两 点 注 释（续2）
( k 1) xi ( xi k )
x
( k 1)
( k 1) 1
x
( 0)
可构造向量序列
所以乘幂法实际上是，对于给定的初始向量 x ( 0) （ 零向量）由迭代法：
x
( k 1)
第四章
W Y
u
i 1
n
i i
1u1 2u 2 nU n
x
( k 1)
Ax
(k )
Ax
(k )
(k 0,1,, )
(4 -1)
5. 若 , 输出 , x, 停机; 否则, 转6
6. 若k<N，置k+1k, ，转3；否则， 输出失败信息，停机。
第四章矩阵的特征值和特征向量
由定理4.1和齐次线性方程组解的性质，可以得到
推论1 如果 是A的属于特征值0的特征向量，则 c (c 0为任意常数)也是A的属于0的特征向量， 即，如果A 0 ( 0)，则（ A c ) 0 (c ) (c 0为任意常数).
推论2
如果1 , 2 都是A的属于特征值0的特征向量，
定义4.2 A (aij )为n阶矩阵，含有未知数的矩阵 E A称为 A的特征矩阵，其行列式
E A
a11 a12 a21 a22
an1 an 2
a1n a2 n
ann
称为A的特征多项式。 det( E A) 0称为A的特征方程。
定理4.1：设A (aij )为n阶矩阵，则0是A的特征值， 是 A的属于0的特征向量的充要条件是，0为特征方程 det( E A) 0的根， 是齐次线性方程组(0 E A) X 0 的非零解。
对于2＝7，解齐次线性方程组(7E-A)X＝0.求解 4 4 x1 0 x 5 5 2 0
解的基础解系 2 1,1 , 于是A的属于2 7的全部
T
特征向量为c2 2 (c2 0, 常数)
例4
求矩阵A的特征值和特征向量.其中 3 2 4 A 2 0 2 4 2 3
1.计算特征多项式 det( E A)；
2.求特征方程det(E-A)=0的所有根，即求得A的全部 特征值 1 , 2
（其中可能有重根）； n
3.对A的每一个特征值i , 求对应的齐次线性方程组 （iE-A）X=0的一个基础解系i1 , i2 , is，则A的属于
i的全部特征向量为 c1i c2i
线性代数第四章矩阵的特征值
注 为向量α与β的内积，记作
②由非零向量α得到单位向量
3 互异特征值对应的特征向量线性无关。
① 若 0，则α与任何向量都正交. 11 对称矩阵的互异特征值对应的特征向量
(四) 实对称矩阵的特征值和特征向量
令 P (p 1p 2 p n ) ,则P 可逆，且
A P ( A p 1 A p 2 A p n ) ( 1 p 1 2 p 2n p n )
(p1 p2
1
pn)
2
P,
n
所以 P1AP, 即Ａ与对角矩阵Λ相似．
定理的证明告诉我们，如果ｎ阶矩阵Ａ与对角矩 阵Λ相似，则Λ的主对角线上的元素就是Ａ的全部
例 如 ： A 5 3 1 1 , B 0 4 0 2 , P 1 1 1 5 则 P11 5 6 6 1 6 61， 且 P1APB
对Ａ进行运算P 1 AP, 称为对Ａ进行相似变换， 可逆矩阵Ｐ称为把Ａ变成Ｂ的相似变换矩阵．
定理4.4 (1)相似矩阵有相同的特征值.
1
3.P
1
1
5
,
且 P1AP 4
2.
一、内积的定义与性质
定义4.5 设ｎ维实向量
a1
a2
,
b1
b2
,
称实数
a
n
b
n
a 1 b 1 a 2 b 2 a n b n 为向量α与β的内积，记作 T
注：内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有
T a1 a2
1
定理4.3 互异特征值对应的特征向量线性无关。 若 v1,v2,v3是 A对应于特征值 的1 线性无关的特征向量. 若v4,v5是A对应于特征值 的1 线性无关的特征向量.
线性代数chapter4方阵的特征值与特征向量
相似对角化条件及步骤
3. 将所有基础解系合并成一个矩阵 $P = [alpha_{11}, alpha_{12}, ldots, alpha_{nk}]$。
4. 计算 $P^{-1}AP = Lambda$，其 中 $Lambda = text{diag}(lambda_1, lambda_2, ldots, lambda_n)$。
特征向量对应于特征值，表示系统在该特征 值对应的特征方向上的运动模态。通过分析 特征向量的性质，可以进一步了解系统的动
态特性。
系统稳定性分析举例
01
举例一
考虑一个简单的二阶线性定常系统，其特征方程为s^2 + 2s + 1 = 0。该方程的特征根为s1,2 = -1，具有负实部，因此 系统是稳定的。
描述函数法
利用描述函数将非线性环节近似为线 性环节，从而采用线性系统稳定性分 析方法进行稳定性判断。
李雅普诺夫法
通过构造李雅普诺夫函数，利用其导 数的正负性来判断非线性系统的稳定 性，适用于高阶系统。
计算机仿真法
利用计算机仿真技术，对非线性系统 进行数值模拟，观察系统响应来判断 稳定性。
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注意：不是所有矩阵都可以相似对角化，只有当矩阵满足相似对角化的条件时才可以进行相似对角化 。
04 特征值与特征向量在矩阵 分解中应用
矩阵分解基本概念及意义
矩阵分解定义
将一个复杂矩阵分解为若干个简单矩阵的乘 积或和，以便进行后续计算和分析。
矩阵分解意义
降低计算复杂度，提高计算效率；揭示矩阵 内在结构和性质；为矩阵求逆、求解线性方 程组等问题提供有效方法。
特征方程
特征多项式f(λ)=0的方程称为A的特征方程。
特征值与特征向量性质
线性代数(第四章)(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】第四章 二次型习题4．1 二次型及其标准形（P.108-P.109）1．用矩阵记号表示下列二次型： （1）2222426;f x xy y xz z yz =+++++（2）22221234121314232424264f x x x x x x x x x x x x x x =+++-+-+- 解：（1）2222426f x xy y xz z yz =+++++()111,,143131x x y z y x ⎛⎫⎛⎫⎪⎪'== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭x Ax（2）22221234121314232424264f x x x x x x x x x x x x x x =+++-+-+-()1212343411211132,,,23101201x x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-- ⎪⎪'== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭x Ax 2．用配方法或矩阵变换法化下列二次型为标准形，并求所用的变换矩阵：（1）222123121323235448f x x x x x x x x x =+++--； 解：222123121323235448f x x x x x x x x x =+++--22212323232()34x x x x x x x =+-++-2221232332()(2)x x x x x x =+-+--令：11231123223223333311122012001y x x x x y y y y x x x y y C y x x y =+-=----⎧⎧⎛⎫⎪⎪ ⎪=-⇒=+=⎨⎨ ⎪⎪⎪ ⎪==⎩⎩⎝⎭10C =≠得2221232f y y y =+-（2）222123122313210282f x x x x x x x x x =+++++； 解： 222123122313210282f x x x x x x x x x =+++++2221232323()96x x x x x x x =+++++ 2212323()(3)x x x x x =++++令112311232232233333211233013001y x x x x y y y y x x x y y C y x x y =++=-+-⎧⎧⎛⎫⎪⎪ ⎪=+⇒=-=-⎨⎨ ⎪⎪⎪ ⎪==⎩⎩⎝⎭， 10C =≠得 2212f y y =+ （3）122334f x x x x x x =++解：令11211212223343343444110110000110011x y y x y x y y x y x y y x y x y y x y =+⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=--⎪ ⎪ ⎪⎪⇒=⎨ ⎪ ⎪⎪=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪=--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩121212343434()()()()()()f y y y y y y y y y y y y =+-+-+++-2222123413142324y y y y y y y y y y y y =-+-++--222213423423243411351()22442y y y y y y y y y y y y =++-+----2222134234341111()()2222y y y y y y y y =++-+++-令1134113422342234333344441111222211112222z y y y y z z z z y y y y z z z z y y z z y y z ⎧⎧=++=--⎪⎪⎪⎪⎪⎪=++=--⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎪⎪==⎩⎩,即1122334411102211012200100001y z y z y z y z ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭ 得 22221234f z z z z =-+-变换矩阵：1110110011112211001111000122001100110010001100110001C ⎛⎫-- ⎪--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--⎪⎪ ⎪--== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭40C =≠（4）222123121323255448f x x x x x x x x x =+++-- 解： 222123123232()334f x x x x x x x =+-++-222123233252()3()33x x x x x x =+-+-+令1123112322322333331322,33x y y y y x x x y x x x y y C y x x y ⎧=-+⎪=+-⎧⎪⎪⎪⎪=-⇒=+=⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎪⎩x y 即，其中11132013001C ⎛⎫- ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 10C =≠ 得2221235233f y y y =++3．若矩阵1A 合同于12,B A 合同于2B ，试证：12⎛⎫⎪⎝⎭A 00A 合同于12⎛⎫ ⎪⎝⎭B 00B 。
赵树源线性代数习题四(B)题目和答案
1．三阶矩阵A 的特征值为－2，1，3，则下列矩阵中非奇异矩阵是[ ]。
()2A I A - ()2B I A + ()C I A- ()3D A I - 【解】应选择答案()A 。
因为：由已知及特征值定义，A 的特征方程0I A λ-=的根为－2，1，3， 应有2I A --=I A -=30I A -=，即有32(1)20I A I A +=---=，知2I A +为奇异矩阵；由0I A -=知I A -为奇异矩阵；33(1)30A I I A -=--=，知3A I -为奇异矩阵；而三阶矩阵只能有三个特征值，故2不可能是A 的特征值，从而20I A -≠，即2I A -为非奇异矩阵。
2．设02λ=是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵211()3A -必有一个特征值为[ ]。
()43A ()34B ()34C -()43D -【解】应选择答案()B 。
因为：02λ=是矩阵A 的一个特征值，即有2A αα=，于是211()33A A A αα=1(2)3A α=23A α=2(2)3α=，亦即21433A αα=，对上式两端左乘211()3A -，得212211114()()()()3333A A A αα--=，亦即 2141()33I A αα-=， 整理得2113()34A αα-=，这说明34是矩阵211()3A -的一个特征值。
3．设1λ，2λ都是n 阶矩阵A 的特征值，12λλ≠，且1α与2α分别是A 的对应于1λ与2λ的特征向量，则[ ]。
()10A c =且20c =时，1122c c ααα=+必是A 的特征向量 ()10B c ≠且20c ≠时，1122c c ααα=+必是A 的特征向量()120C c c =时，1122c c ααα=+必是A 的特征向量()10D c ≠而20c =时，1122c c ααα=+必是A 的特征向量【解】应选择答案()D 。
因为：()A 当10c =且20c =时，1122c c ααα=+1200o αα=⨯+⨯=为零向量，不可成为任一n 阶矩阵A 的特征向量；()B 反设1122c c αα+是A 的特征向量，对应的特征值为λ，于是有 11221122()()A c c c c ααλαα+=+, 亦即为 111222()()c c o λλαλλα-+-=，由定理4.3，不同特征值对应的特征向量线性无关，由上式应有1122()()0c c λλλλ-=-=，而题设10c ≠且20c ≠，于是只能有120λλλλ-=-=，亦即为 12λλλ==，但这与题设12λλ≠相矛盾，从而10c ≠且20c ≠时， 1122c c ααα=+不可能是A 的特征向量；()C 当120c c =时，有可能1c 与2c 同时为0，因为此时1122c c ααα=+为零向量，所以1122c c ααα=+“必”是A 的特征向量的说法是错误的；综上知，()D 正确。
线性代数人大(赵树
例4 证明上三角行列式
a11 0 D 0 a12 a1n a22 a2 n a11a22 ann 0
证： 由定义
和式中,只有当
D ( 1) ( j1 j2 jn ) a1 j1 a2 j2 anjn
ann
jn n, jn1 n 1,, j2 2, j1 1时，
x1 3 x2 5 例1 解二元线性方程组 4 x1 3 x2 5
解: 方程组未知量的系数所构成的二阶行列式
D
1 3 4 3
3 ( 3) 4 15 0
1 5 4 5
方程组有惟一解.又
D1
5 3 5 3
30 , D2
15
分析：
a11 a 21 a 31 a12 a 22 a 32 a13 a 23 a11a 22a 33 a12a 23a 31 a13a 21a 32 a 33 a13a 22a 31 a12a 21a 33 a11a 23a 32
( 1)
( j1 j2 j3 )
于是方程组的解为
D3 15 D1 55 D2 20 x1 11，x2 4, x3 3. D 5 D 线性代数 5 D 5 9
思考与练习（三阶行列式） 1 1 1
1.解方程 1 2 1 x
x 1 6 2 x1 x 2 3 x 3 5 2.解线性方程组 3 x1 x 2 5 x 3 5 4x x x 9 2 3 1
于是方程组的解为
D1 30 D2 15 x1 2，x2 1. D 15 D 15 线性代数
6
(2)三阶行列式
主对角线法
4_1方阵的特征值与特征向量
《线性代数》
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方程 |lE-A|0 的每个根都ห้องสมุดไป่ตู้矩阵A的特征值. 方程(lE-A)xo的每个非零解都是l对应的特征向量.
例1．求矩阵A
31 5 -1
对于特征值l14，解齐
的特征值与特征向量.
次线性方程组(4E-A)xo，
解：矩阵的特征方程为
得其基础解系为
1 1
，
|lE-A|
1 c2 - 5
(c2不为0)
.
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-1 1 0 例2. 求矩阵A -4 3 0
102
的特征值与特征向量.
对于特征值l1 l2 1，
解线性方程组(E-A)xo，
1 得其基础解系 2 ，
解：矩阵的特征方程为
-1
l+1 -1 0 于是，A的对应于l1 l2 1 |lE-A| 4 l- 3 0 的全部特征向量为
整数，则lm是Am的一个特征值，X为对应的特征向量．
证明 由于 AX lX ，两端左乘A ，得
A2 X lAX
把 AX lX 代入上式，得
A2 X l2 X
依次类推，可得 Am X lm X ．因为X O ，所以
lm 是 Am 的一个特征值， X 为对应的特征向量．
《线性代数》
量x1，x2， ，xm线性无关．
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例 6. 设n 阶方阵 A 满足等式A2 A ，证明 A 的特征值为 1 或 0.
证明: 因为A2－A=0, 设A的特征值为λ，
则由定理可知λ 2－ λ =0， 解得： 1＝0， λ2＝1
矩阵特征值ppt课件
二、相似矩阵与相似变换的性质
1. 等价关系 (1)反身性 A与A本身相似. (2)对称性 若A与B相似,则B与A相似. (3)传递性 若A与B相似, B与C相似, 则A与C相似.
2. P 1A1 A2 P P 1 A1P P 1 A2 P .
3. 若A与B相似,则Am与Bm相似m为正整数.
证明 1 Ax x AAx Ax Ax x A2 x 2 x
再继续施行上述步骤 m 2次，就得 Am x m x
故m 是矩阵Am的特征值,且 x是 Am 对应于m的特
征向量.
13
2当A可逆时, 0,
由Ax x可得
所以向量组 p1, p2 ,, pm 线性无关.
16
注意 １. 属于不同特征值的特征向量是线性无关
的． ２. 属于同一特征值的特征向量的非零线性
组合仍是属于这个特征值的特征向量．
３. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值．
f
( A)
Pf () P1
P
f
(1)
PO P1 O.
P
1
f ( n)
30
三、利用相似变换将方阵对角化
对 n 阶方阵 A ,若可找到可逆矩阵P ,使 P 1 AP 为对角阵,这就称为把方阵A对角化 . 定理2 n阶矩阵A与对角矩阵相似(即A能对角化) 的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量. 证明 假设存在可逆阵P,使P 1 AP 为对角阵,
解得 x1 x2 ,所以对应的特征向量可取为
p2
大学线性代数4 特征值与特征向量知识点总结
4 特征值与特征向量1. 一个例子：随机矩阵与其稳态向量q满足Aq=q，此时特征值λ=1，特征向量即稳态向量q。
2. 由Ax=λx，可以推出(A-λI)x=0。
由于特征向量不能为0，该方程必须有非平凡解，因此A-λI不可逆；所以det(A-λI)=0。
据此可解出所有λ，再跟据λ可解出特征向量。
det(A-λI)=0称为特征方程。
3. 根据齐次线性方程组的特点，一个特征值对应的特征向量有无限多个，且对应于λ的所有特征向量加上零向量可以构成向量空间，称为矩阵A对应于特征值λ的特征空间。
4. n阶矩阵的特征方程是λ的n阶方程，如果将特征向量限制在R中，那么特征方程未必有解，即不是所有的矩阵都有R域中的特征值；但每一个矩阵一定存在n个复数域中的特征值（k重根按k个特征值计）。
5. 设λ1,...λr是n阶矩阵的r个相异特征值，v1,...v r是对应的r个特征向量，那么向量集{v1,...v r}线性无关。
6. 若存在可逆矩阵P使得两个n阶矩阵A，B满足A=PBP-1，则称A，B相似。
7. 若n阶矩阵A，B相似，那么这两者有相同的特征多项式，从而有相同的特征值（包括相同的代数重数）。
8. 特征向量的应用举例假设我们现在要分析x k+1=Ax k，x0已知。
如果我们能将x0分解为A的特征向量的线性组合，比如x0=c1v1+c2v2，v1，v2为A的特征向量，那么上述递归方程就能有一个简单的解法解出x k：x1=Ax0=A(c1v1+c2v2)=c1Av1+c2Av2=c1λv1+c2λv2x2=Ax1=A(c1λv1+c2λv2)=c1λAv1+c2λAv2=c1λ2v1+c2λ2v2...x k=c1λk v1+c2λk v29. n阶矩阵可对角化的条件是A有n个线性无关的特征向量。
若A=PDP-1，D为对角阵，那么P的列向量是A的n个线性无关的特征向量，D的主对角线元素是A 的对应于P中特征向量的特征值。
考研基础复习(线代)特征值
A
i
i
i
1
2
一、特征值的基本内容
2、方阵特征值和特征向量的计算
结论： 是 A 的一个特征值， x 是 A 的属 于特征值 的特征向量的充要条件是：
是特征方程 | E
A | 0
齐次方程组 ( E
A)x
的根， x 是 0 的非零解.
一、特征值的基本内容
2、方阵特征值和特征向量的计算
( a 11 a 22 a nn )
，
从而， A 的 n 个特征值有： a a a ， 0；
1 11 22 nn
2
3
n
二、典型题型分析及举例
• 题型I：矩阵的特征值和特征向量 及其逆问题
二、典型题型分析及举例
——题型I：矩阵的特征值和特征向量及其逆问 题
一、特征值的基本内容
1、方阵的特征值和特征向量
（2）特征值的性质： ① 若 x 0 使 ： Ax x ， 则 对 于 常 数 k （ k 0 ）有： A ( kx ) ( kx ) ；
②若 x （k
i
0 ( i 1 , 2 ) 使： Ax
i
x i
A(k 1 x1 k 2 x 2 ) (k 1 x1
（2） n 阶方阵 A 与对角阵相似的充要条件 是： A 有 n 个线性无关的特征向量.
一、特征值的基本内容
4、矩阵相似对角化的充分必要条件
3）若 n 阶方阵 A 有 n 个互不相等的特征值 , , , ，则 A 必与对角阵相似.
1 2 n
一、特征值的基本内容
4、矩阵相似对角化的充分必要条件
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3
3
所以属于特征值1=1的 全部特征向量是 ：
k1 1(k1 0, k1 R)
3
对于2= 3=3时，解方程(3I－A)X=0，由
1 3 2 1 0 1 3I A 1 1 2 0 1 1
1 3 2 0 0 0
1
得基础解系：2 1
1
所以属于特征值2= 3=3
例5 设是方阵A的特征值，证明: (1) 2是A2的特征值，一般地， m是Am的特征值。 (2)对任意数k，k 是kI A的特征值。 (3)若A可逆，则一定不等于零，且 1是A1的特征
值，| A | 是A*的特征值.
证 明 ：(1) 是 方 阵A的 特 征 值 ， 非 零 向 量 , 使 得A ,
所 以 ，1是A1的 特 征 值 。
其次在A 两边同乘A*，A* A A*可得 A* | A |
4 1 1 0 0 0
0 1
得 基 础 解 系 ：2 1 ,3 0
1
4
所以k22 k33(k2 , k3不全为零)是对应于
特征值2 3 2的全部特征向量。
4 6 0
例
设矩阵
A
3
5
0 ,可作为A的特征向量的是
3 6 1
A (2, 2, 0)T B (1, 2,1)T C (2,1, 0)T D (0, 0, 2)T E (3, 0,1)T
二、特征值与特征向量的计算
设 i为方阵A的一个特征值，则由方程 (i I A)x 0
可求得非零解x i , 那么i就是A的对应于 特征值i的特征向量。 （若i为实数，则 i可取为实向量；若i为 复数，则 i为复向量.）
注 : 若i是A的对应于特征值i的特征向量, 则ki (k 0)也是A的特征向量.
1 1 1 1 0 1 I A0 3 0 0 1 0
4 1 4 0 0 0
1
得 基 础 解 系 ：1 0
1
所 以k1(k 0)是 对 应 于 特 征 值1 1
的全部特征向量。
当2 3 2时 ， 解 方程(2I A)X 0. 由
4 1 1 4 1 1 2I A 0 0 0 0 0 0
向量具有关系式
A =
(1)
成立，则数 称为方阵A的特征值， n维非零列
向量 称为A的对应于特征值的特征向量。
(1)式也可以写成: (I A) 0
( 2)
这是n个未知量n个方程的齐次线性方程组，
( a11 )x1 a12 x2 a1n xn 0
即
a21 x1
( a22 )x2
求矩阵A的特征值和特征向量的步骤：
（1）计算矩阵A的特征多项式 | I A |, 并求出特征方程 | I A | 0的所有根。 设A有s个不同的特征值1,2, , s。
（2）对A的每个特征值i (i 1, 2, s),求齐次 线性方程组( i I A)x 0的基础解系。 设它的一个基础解系为：i1,i2, iri ,
即
1 5
51
x1 x2
0 0
x1 x2 0,令x2为自由未知量,并取为1.
则基础解系为
1 1
,
c1
1
1
(c1
0)即为A对应于1
4
的全部特征向量.
2 2对应的齐次线性方程组为 : (2I A)x o
即
5 5
11
x1 x2
0 0
即5x1 x2 0，取x1为自由未知量.取通解c2 15
第四章 矩阵的特征值
§4.1 矩阵的特征值与特征向量 §4.2 矩阵的相似对角化 §4.3 实对称矩阵的对角化
§4.1 矩阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的概念 二、 特征值与特征向量的计算 三、矩阵特征值、特征向量的性质
一、特征值与特征向量的概念
定义4.1 设A是n阶矩阵，如果存在数和n维非零列
1
的全部特征向量是： k2 1(k2 0, k2 R)
1
2 1 1
例
求矩阵A
0
2 0 的特征值和特征向量。
4 1 3
解：A的特征多项式为
2 1 1 | I A | 0 2 0
4 1 3 ( 2)2 ( 1)
A的 特 征 值 为1 1，2 3 2
当1 1时，解方程(I A)X 0. 由
2 3 2
f ( ) I A 1 4 2 ( 1)( 3)2
1 3 1
0
由此可得A的特征值为：1 1, 2 3 3
对于1=1时，解方程 (I－A)x=0，由
1 3 2 1 0 1 I A 1 3 2 0 3 1
1 3 0 0 0 0
3
得基础解系：1 1
而A2 A( A ) A() A 2 2是 矩 阵A2的 特 征 值 。
(2)由A 可得，k A k ，即 (kI A) (k )
所以，k 是kI A的特征值。
(3) 由于|A| 12 n，因此，| A | 0的充要条件 是对任意的i 0。 又由A 可得，A1 1
则c2
1 5
(c2
0)即为A对应于2
2的全部特征向量.
例2 求矩阵 A的特征值和特征向量
1 1 0
A
4
3
0
1 0 2
例3 求矩阵 A的特征值和特征向量
3 2 4
A
2
0
2
4 2 3
例 求矩阵
2 3 2
A 1 4 2
1 3 1
的特征值和特征向量。
解： A的特征多项式为
a2n xn
0
an1 x1 an2 x2 ( ann )xn 0
它有非零解的充要条件为：
|I A| 0
（3）
a11
即 ： a21
an1
a12
a22
an2
a1n
个以 为未知量的一元n次方程，
称为矩阵A的特征方程。
其左端 | I A | 是的n次多项式，记为 f ( ) | I A |, 称为方阵A的特征多项式。
ri
那么 kijij即为矩阵A对应于i的全部特征向量,
j 1
其中 kij 不全为0。
例1 :
求 矩 阵A
3 5
11 的 特 征 值 和 特 征 向 量.
解 :1) I A 3
1
( 4)( 2) 0
5 1
2)所以, A的全部特征根为1 4,2 2 3)1 4对应的齐次线性方程组为 : (4I A)x o