线性代数(赵树嫄)第4章矩阵的特征值资料
第4章 矩阵的特征值
得 a 5, b 4. 又,一方面 tr ( A) 1 a b 1 5 4 0 另一方面 tr ( A) 1 2 3 2 4 3 , 故
3 2.
23
1 2 1 2 例2. 已知 A 5 a 3 的一个有特征向量为 x 1 , 1 1 b 2
A 0
特征方程的根λ 对应的x 4
注：（1） A的特征值就是A的特征方程 |λI-A|=0 的根。
a11 I A
a21
a12
an1
a22
an2
a1n a2n =0 ann
命题1 任一 n 阶方阵都有 n 个特征值。
则称 λ为 A 的一个特征值，
x
例1：
1 1 1 A x 1 3 1
例2
I n 1
2
2.求法
整理（1）式,得
( A) x o
(2)
展开,得含有 n 个未知量,n 个方程的齐次线性方程组
( a11 ) x1 a12 x2 a1n xn 0 a x ( a ) x a x 0 21 1 22 2 2n n an1 x1 an 2 x2 ( ann ) xn 0
5
线性代数(赵树嫄)第4章矩阵的特征值
1 得基础解系： 1 0 1 所以k 1 ( k 0)是对应于特征值1 1 的全部特征向量。
当2 3 2时，解方程(2I A) X 0. 由
4 1 1 4 1 1 2I A 0 0 0 0 0 0 4 1 1 0 0 0
0 1 得基础解系： 2 1 , 3 0 1 4 所以k2 2 k3 3 (k2 , k3不全为零)是对应于
特征值2 3 2的全部特征向量。
4 6 0 例 设矩阵 A 3 5 0 ,可作为A的特征向量的是 3 6 1 A ( 2, 2, 0) T B ( 1, 2, 1)T C ( 2, 1, 0)T D (0, 0, 2)T E ( 3, 0, 1)T
1
( 2)2 ( 1)
A的特征值为1 1，2 3 2
当1 1时，解方程( I A) X 0. 由
1 1 1 1 0 1 I A 0 3 0 0 1 0 4 1 4 0 0 0
求矩阵A 的特征值和特征向量的步骤：
（1）计算矩阵A的特征多项式 | I A |, 并求出特征方程 | I A | 0的所有根。 设A有s个不同的特征值1 , 2 ,, s。 （2）对A的每个特征值i (i 1, 2, s ), 求齐次 线性方程组( i I A) x 0的基础解系。 设它的一个基础解系为：i1 , i 2 ,ir ,
线性代数 第四章 矩阵的特征值4.2
相似矩阵的其它性质 (1)相似矩阵有相同的秩 (2)相似矩阵的行列式相等 (3)相似矩阵或都可逆或都不可逆 当它们可逆时 它们的 逆矩阵也相似 >>>
二、n 阶矩阵与对角矩阵相似的条件
相似的矩阵具有许多共同的性质 因此 对于n阶矩阵A 我们希望在与A相似的矩阵中寻求一个较简单的矩阵 在研究 A的性质时 只需先研究这一较简单矩阵的同类性质 一般 我们考虑n阶矩阵是否与一个对角矩阵相似的问题
1 5 1 4 2 1 24 0 4 0 1 1 4 10 0 12 0 2 6 6
二、n 阶矩阵与对角矩阵相似的条件
定理45 n阶矩阵A与n阶对角矩阵diag(1 2 n)相似的充分 必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量
4 0 1 1 如果取 P ( x1 , x 2 ) 0 2 1 5 则
1 5 1 3 1 1 1 P 1 A P 1 1 5 1 1 5 6
相似矩阵的其它性质 (1)相似矩阵有相同的秩 (2)相似矩阵的行列式相等
这是因为 P1APB |P1AP||B| |P1||A||P||B||A||B|
一、相似矩阵及其性质
定义43(相似矩阵) 设A B为n阶矩阵 如果有n阶非奇异矩阵P存在 使得 P1APB 成立 则称矩阵A与B相似 记为A~B 定理44(相似矩阵的特征值) 如果n阶矩阵A B相似 则它们有相同的特征值
赵树源线性代数复习题四(B)题目和答案
1．三阶矩阵A 的特征值为－2，1，3，则下列矩阵中非奇异矩阵是[ ]。
()2A I A - ()2B I A + ()C I A - ()3D A I -
【解】应选择答案()A 。因为：
由已知及特征值定义，A 的特征方程
0I A λ-=的根为－2，1，3，
应有2I A --=I A -=30I A -=，
即有32(1)20I A I A +=---=，知2I A +为奇异矩阵；
由0I A -=知I A -为奇异矩阵；
33(1)30A I I A -=--=，知3A I -为奇异矩阵；
而三阶矩阵只能有三个特征值，故2不可能是A 的特征值，从而20I A -≠，即
2I A -为非奇异矩阵。
2．设02λ=是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵21
1()3
A -必有一个特征值为[ ]。
()43A ()34B ()34C - ()43
D - 【解】应选择答案()B 。因为：
02λ=是矩阵A 的一个特征值，即有2A αα=，
于是211()33
A A A αα=1(2)3A α=23A α=2
(2)3α=，
亦即214
33
A αα=，
对上式两端左乘211()3A -，得212211114
()()()()3333A A A αα--=，
亦即 21
41()33I A αα-=，
整理得2113
()34A αα-=，
这说明34是矩阵21
1()3
A -的一个特征值。
3．设1λ，2λ都是n 阶矩阵A 的特征值，12λλ≠，且1α与2α分别是A 的对应于1λ与2λ的
特征向量，则[ ]。
()10A c =且20c =时，1122c c ααα=+必是A 的特征向量 ()10B c ≠且20c ≠时，1122c c ααα=+必是A 的特征向量 ()120C c c =时，1122c c ααα=+必是A 的特征向量 ()10D c ≠而20c =时，1122c c ααα=+必是A 的特征向量
矩阵的特征值
0
x2
0
1 的一个基础解系为 3 1
3 6 3 x3 0
1
因此，A对应于3 2的全部特征向量为c 3 ( c 0 ) 12
山财大数学与数量经济学院杨素香
例4.求三阶方阵
a
A
a
a
的特征值及特征向量.
解 (1)先求特征根
a
A
a
( a)3 0
2)当 2 3 3 时,齐次线性方程组 (3 A)x o ,即
2
3
2
2 2 2
2 x1 0
1
x2
0
2 x3 0
的一个基础解系为
2
1
2
,
1
则对应于 2 3 3 的全部特征向量为c22 (c2 0).
8
山财大数学与数量经济学院杨素香
4 6 0 例3求 三 阶 方 阵A 3 5 0的 特 征 值 及 特 征 向 量 。
第四章 矩阵的特征值
矩阵的特征值是代数学的重要内容之一，在经济理论研究 及其他学科中都有广泛的应用。
特征值
方阵 相似于
对角形 元素
转化矩阵
对角形(或 约当形)
特征向量
本章要点：1.特征值与特征向量及其求法
2.矩阵的相似
3.实对称矩阵的相似
1
山财大数学与数量经济学院杨素香
矩阵特征值的求法
矩阵特征值的求法
矩阵的特征值是在线性代数中一个非常重要的概念，它在许多领域都有广泛的应用。特征值的求法有多种方法，其中最常用的是特征多项式的求解方法、特征向量迭代方法和QR分解方法。下面将详细介绍这三种方法的原理和步骤。
1.特征多项式的求解方法：
特征多项式是指一个与矩阵A有关的多项式，它的根就是矩阵A的特征值。求解特征多项式的步骤如下：
（1）设A是n阶方阵，特征多项式为f(λ)=，A-λI，其中λ是待求的特征值，I是单位矩阵。
（2）计算行列式，A-λI，展开成代数余子式的和：
A-λI， = (a11-λ)(a22-λ)...(ann-λ) - a12...an1(a21-
λ)(a33-λ)...(ann-λ) + ..
（3）将上式化简为f(λ)=0的形式，得到特征多项式。
（4）求解特征多项式f(λ)=0，得到矩阵A的所有特征值。
2.特征向量迭代方法：
特征向量迭代方法的基本思想是利用矩阵A的特征向量的性质来逐步逼近特征值的求解。具体步骤如下：
（1）选取一个n维向量x0作为初始向量。
（2）通过迭代计算x1 = Ax0，x2 = Ax1，...，xn = Axn-1，直到向量序列xn趋于稳定。
（3）计算极限lim┬(n→∞)((xn)^T Axn)/(，xn，^2)，得到特
征值的估计值。
（4）将估计值代入特征方程f(λ)=，A-λI，=0中，求解特征方程，得到矩阵A的特征值。
3.QR分解方法：
QR分解方法是将矩阵A分解为QR的形式，其中Q为正交矩阵，R为
上三角矩阵。特征值的求解步骤如下：
线性代数 第四章 矩阵的特征值与特征向量
写成矩阵形式
x1 y1
来自百度文库
3 2
1 x0
2
y0
或
1 A0
其中
1
x1 y1
，0
x0 y0
，
A
3 2
1
2
.
如果当前的水平为
0
1 1
则
1
x1 y1
3 2
1 2
1 1
4 4
4
1 1
4
0
即 A0 40 .由此可以预测 n 个周期后的污染水平 和工业发展水平： n 4 n1 42 n2 4n0
(2)若 Aα1 α1, Aα2 α2 ，则
A(α1 α2 ) Aα1 Aα2 α1 α2 (α1 α2 )
即1 2 也是矩阵 A 的属于特征值 的特征向量.
一般地，如果向量1,2,L,s 都是矩阵 A 的属 于特征值 的特征向量， k1, k2,L, ks 是一组数，且 k11 k22 L kss 0 ，则 k11 k22 L kss 也是矩 阵 A 的属于特征值 的特征向量.
反之，如果可以求出方程 AE 0 的根 ， 则齐次线性方程组 ( A E ) x 0 的任一为零解 ， 都是 A 的属于特征值 的特征向量.
根据上述分析，给出下面定义和定理.
定义 2 设 A 是一个 n 阶方阵， 是一个未知量， 矩阵 AE 称为矩阵 A 的特征矩阵，其行列式 A E 称为矩阵 A 的特征多项式；而 A E 0 称 为矩阵 A 的特征方程.
矩阵特征值的详细求法
矩阵特征值的详细求法
特征值的和等于迹。矩阵的特征多项式xe-a，把行列式展开，是一个n次多项式，由根系关系可得；特征值的和就等于多项式得根得和，是第n-1次项的系数，是
a11+a22+`````+ann。总之，把那个行列式展开，比较系数即可。
设a是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式ax=λx成立，那么这样的
数λ称为矩阵a特征值，非零向量x称为a的对应于特征值λ的特征向量。式ax=λx
也可写成( a-λe)x=0。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分
必要条件是系数行列式| a-λe|=0。
所以就是等同于的关系。
矩阵的迹性质：
(1)建有n阶矩阵a，那么矩阵a的迹（用tr(a)则表示）就等同于a的特征值的总和，也即为矩阵a的主对角线元素的总和。
1、迹是所有对角元素的和
2、迹是所有特征值的和
3、某些时候也利用tr(ab)=tr(ba)来求迹
4、tr（ma+nb）=m tr（a）+n tr（b）
(2)奇异值分解（singular value decomposition ）
奇特值水解非常有价值，对于矩阵a(p*q)，存有u(p*p)，v(q*q)，b(p*q)（由对角
阵与生员行及或列于共同组成），满足用户a = u*b*v
u和v中分别是a的奇异向量，而b是a的奇异值。aa'的特征向量组成u，特征值组
成b'b，a'a的特征向量组成v，特征值（与aa'相同）组成bb'。因此，奇异值分解和特
征值问题紧密联系。如果a是复矩阵，b中的奇异值仍然是实数。
线性代数第四章矩阵的特征值
1. 求出n阶矩阵A的所有特征值 2. 求出矩阵A对应于所有特征值的特征向量 3.写出对角矩阵和相似变换矩阵。
A
3 5
1
1
1 .I A 0 1 4 ,2 2
2.1IA x0的一个基础解系为 v1 1 1T
2IAx0的一个基础解系为v2 1 -5T
9 设Q为n阶矩阵，则Q为正交矩阵的充要条件为Q的行(列)向量组是单位正交向量组。 二、特征值和特征向量的性质
注 为向量α与β的内积，记作
②由非零向量α得到单位向量
3 互异特征值对应的特征向量线性无关。
① 若 0，则α与任何向量都正交. 11 对称矩阵的互异特征值对应的特征向量
(四) 实对称矩阵的特征值和特征向量
令 P (p 1p 2 p n ) ,则P 可逆，且
A P ( A p 1 A p 2 A p n ) ( 1 p 1 2 p 2n p n )
(p1 p2
1
pn)
2
P,
n
所以 P1AP, 即Ａ与对角矩阵Λ相似．
定理的证明告诉我们，如果ｎ阶矩阵Ａ与对角矩 阵Λ相似，则Λ的主对角线上的元素就是Ａ的全部
的一个标准正交基3r?解解1230xxx???设非零向量正交1?23??10tx??即满足方程或12100111??????????????????????????其基础解系为2132100111??????????????????????????????令111?????1???????1正交化令11???1222111?????????????????11?????1????????2101?????????????????????????????????????????132333121122???????????????????????????????2标准化1111?????31???????令233222?????????????11221????211021?????????????3112
线性代数 第四章 矩阵的特征值和特征向量
例6. 设1, 2, …, m为方阵A的m个不同的特征值, p1, p2, …, pm为依次对应于这些特征值的特 征向量, 证明p1, p2, …, pm线性无关. 证明: 若k1p1 +k2p2 +…+kmpm = 0, 则
1 kmpm) 1 1
(k1p1, k2p2, …,
第四章 矩阵的特征值和特征向量
§4.2 特征值与特征向量
例2. 求
解: |E–A| = (–2)(–1)2. 所以A的特征值为1=2, 2= 3= 1. 对于1=2, 求得(2E–A)x = 0 的基础解系: p1=(0,0,1)T. 对应于1=2的特征向量为kp1 (0kR). 对于2=3=1, 求得(E–A)x = 0 的基础解系: p2=(–1, –2,1)T. 对应于2=3 =1的特征向量为kp2 (0kR).
第四章 矩阵的特征值和特征向量
§4.1 相似矩阵
三. 相似矩阵的性质 性质1. 设A~B, f是一个多项式, 则f(A)~ f(B).
证明: 设P 1AP =B, f(x) = anxn+…+a1x+a0, 则
P 1f(A)P = P 1(anAn+…+a1A+a0E)P = anP 1AnP+…+a1P 1AP+a0 P 1EP
四 矩阵特征值与特征向量的计算
求Ax = λx 来源: (1)求矩阵的谱半径2范数和条件数等 , ;
(2)方程 ∂2u 2 = Lu x ∈Ω ∂t u( x, t ) = 0 x ∈∂Ω u( x,0) = u t =0 0
有形如 ( x)eiνt的解 u
令λ =ν 2
Lu = λu x ∈Ω ( 则 λ, u)是特征值问题 的解 u = 0 x ∈∂Ω
7.若 < N, 置 + 1 ⇒ k, λ ⇒ λ0 , 转4; k k , . 否则输出失败信息停机
2 −1 0 A 例: 用反幂法求矩阵 = 0 2 − 1 0 −1 2 (1)求按模最小的特征值及 , 特征向量 取x(0) = (0,0,1)T ; (2)接近 .93的特征值及其相应的特 2 . 征向量
(α1 −α0 ) 4.计算 = α0 − λ , α2 − 2α1 +α0
2
5.若λ − λ0 < ε , 输出 , y停机, 否则转 , 6 λ
6.若k < N, 置α1 ⇒α0 , α2 = α1, λ ⇒ λ0 , k + 1 ⇒ k, 转3,
, , . 否则 输出失败信息停机
反幂法
， 基本思想： Ax = λx⇒ x = A (λx) 则A x = 基本思想：
λ =
( 2)
赵树源线性代数习题四(B)题目和答案
1．三阶矩阵A 的特征值为－2，1，3，则下列矩阵中非奇异矩阵是[ ]。 ()2A I A - ()2B I A + ()C I A
- ()3D A I - 【解】应选择答案()A 。因为：
由已知及特征值定义，A 的特征方程0I A λ-=的根为－2，1，3， 应有2I A --=I A -=30I A -=，
即有32(1)20I A I A +=---=，知2I A +为奇异矩阵；
由0I A -=知I A -为奇异矩阵；
3
3(1)30A I I A -=--=，知3A I -为奇异矩阵；
而三阶矩阵只能有三个特征值，故2不可能是A 的特征值，从而20I A -≠，即
2I A -为非奇异矩阵。
2．设02λ=是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵2
1
1
()3A -必有一个特征值为[ ]。
()
43
A ()
34
B ()34
C -
()43
D -
【解】应选择答案()B 。因为：
02λ=是矩阵A 的一个特征值，即有2A αα=，
于是2
11()3
3A A A αα=1(2)3
A α=
23
A α=
2(2)3
α=
，
亦即
2
143
3
A αα=
，
对上式两端左乘2
1
1
()3
A -，得21
2
21
1
1
1
4
()()()()3333
A A A αα--=，
亦即 21
41()33I A αα-=
， 整理得2113
()34A αα-=，
这说明34是矩阵21
1()3
A -的一个特征值。
3．设1λ，2λ都是n 阶矩阵A 的特征值，12λλ≠，且1α与2α分别是A 的对应于1λ与2λ的
特征向量，则[ ]。
()10A c =且20c =时，1122c c ααα=+必是A 的特征向量 ()10B c ≠且20c ≠时，1122c c ααα=+必是A 的特征向量
矩阵特征值的求法
矩阵特征值的求法
矩阵特征值是矩阵在特定方向上的伸缩比率，或者说是矩阵在某
些方向上的重要程度，因此它在数学中有很多的应用。在这篇文章中，我们将介绍矩阵特征值的求法。
一、定义
矩阵特征值是矩阵 A 的特征多项式P(λ) 的根，即
P(λ)=det(A-λI)=0，其中 I 是单位矩阵，det 表示行列式。该多项
式的阶数等于矩阵 A 的阶数。
二、求法
1. 直接计算
对于小阶的矩阵，可以直接求解特征多项式的根，得到特征值。
2. 特征值分解
对于大阶的矩阵，可以通过特征值分解的方式求得矩阵的特征值。特征值分解是一种将矩阵分解为特征向量和特征值的方法，即矩阵
A=QΛQ^-1，其中 Q 是正交矩阵，Λ 是对角矩阵，其对角线上的元素
就是特征值。
3. 幂迭代法
幂迭代法是一种通过连续迭代计算矩阵 A 的最大特征值和对应
特征向量的方法。该方法的基本思想是利用矩阵特征值的性质，通过
不断迭代对特征向量进行单调放缩，最终得到矩阵的最大特征值和对
应特征向量。
4. QR 分解法
QR 分解法是一种通过 QR 分解求解矩阵特征值和特征向量的方法。该方法的基本思想是将矩阵 A 分解为一个正交矩阵 Q 和一个上
三角矩阵 R，即 A=QR，然后对 R 迭代求解特征值和特征向量。
三、总结
矩阵特征值的求法有多种方法，其中直接计算适用于小阶矩阵，
而特征值分解、幂迭代法和 QR 分解法则适用于大阶矩阵。在实际应
用中，需要根据具体情况选择合适的方法，以便快速、准确地求解矩阵的特征值和特征向量。
矩阵特征值的求法举例
矩阵特征值的求法举例
矩阵特征值是线性代数中非常重要的概念，它在矩阵的求解和分析中扮演着至关重要的角色。特征值是矩阵运算中的一个重要参数，它能够帮助我们理解矩阵的性质和特点，对于矩阵的求解和分析起着至关重要的作用。在本文中，我们将深入探讨矩阵特征值的求法，并通过举例来详细说明矩阵特征值的计算过程和应用场景。
让我们来了解一下什么是矩阵特征值。矩阵特征值是一个数学概念，它是一个方阵在向量空间上的线性变换中的一个特征。对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x和一个数λ，使得Ax=λx，那么这个数λ就是矩阵A的特征值，而对应的非零向量x就是特征向量。特征值和特征向量是矩阵A的两个重要属性，它们能够帮助我们理解矩阵的性质和特点，对于矩阵的求解和分析起着至关重要的作用。
接下来，我们将通过一个具体的例子来详细说明矩阵特征值的求法。假设我们有一个2阶矩阵A：
A = [3 1]
[1 3]
现在我们要求矩阵A的特征值和特征向量。我们需要解矩阵A的特征方程。矩阵A的特征方程可以表示为：
|A-λE| = 0
E是单位矩阵，λ是矩阵A的特征值。我们将矩阵A和λE相减，并将结果化简为行列式，并令行列式等于0，即可求得特征值λ。
对于矩阵A，我们可以列出特征方程：
|3-λ 1|
|1 3-λ| = 0
计算行列式，得到特征方程为：
(3-λ)(3-λ) - 1*1 = 0
λ^2 - 6λ + 8 = 0
λ1 = 2
λ2 = 4
现在我们已经求得矩阵A的特征值，接下来我们需要求特征向量。对于每一个特征值λ，我们需要求解方程(A-λE)x=0，即求解矩阵A-λE的齐次线性方程组。对于特征值λ1=2，我们需要求解方程组：
矩阵特征值
1 . 1
当 2 4时,由
3 4 1 x1 0,即 1 1 x1 0, 1 3 4 x2 0 1 1 x2 0
解得 x1 x2 ,所以对应的特征向量可取为
p2
1 1
.
例２
求矩阵A
1 4
1 3
00 的特征值和特征向量.
1 0 2
解 A的特征多项式为
三、特征值与特征向量的求法
例5 设A是 n 阶方阵，其特征多项式为
fA E A n an1n1 a1 a0
求 AT的特征多项式.
故m 是矩阵Am的特征值,且 x是 Am 对应于m的特
征向量.
wk.baidu.com 2当A可逆时, 0,
由Ax x可得
A1Ax A1x A1x
A1 x 1 x 故 1是矩阵A 1的特征值, 且x是A 1对应于 1
的特征向量.
二、特征值和特征向量的性质
定理1 设1 ,2 , ,m是方阵A的m个特征值, p1 , p2 ,
, pm依次是与之对应的特征向量.如果1 ,2 , ,m
各不相等,则 p1 , 证明 设有常数
p2 x1
, , pm , x2 , ,
线性无关. xm 使
x1 p1 x2 p2 xm pm 0.
则 Ax1 p1 x2 p2 xm pm 0, 即
1 x1 p1 2 x2 p2 m xm pm 0,
矩阵的特征值
1 1 0 例2.求矩阵A 4 3 0 的特征值和 1 0 2 特征向量。
6 0 4 练习：求矩阵A 3 5 0 的特征值和 3 6 1 特征向量。
a 例4.求n阶矩阵A 的特Biblioteka Baidu值和特征向量。 a
定义4.2 设A为n阶矩阵，含有未知量λ的矩阵λIA称为A的特征矩阵，其行列式| λI-A |为λ的n次 多项式，称为A的特征多项式， | λI-A |＝0称为 的特征方程。 说明： 1）如λ是A的一个特征值,则必有| λI-A |＝0成 立，故λ又称为特征 根。当然，可以是单根， 也可以是重根。
命题1 n阶矩阵A是奇异矩阵 A有一个特征值为 。 0
命题2： 矩阵A可逆的充要条件是矩阵A的任一 特征值不为零。
（二）特征值与特征向量的性质：
定理4.1 n阶矩阵A与它的转置矩阵AT有相同的 特征值.
定理4.2 设A (aij )是n阶矩阵，如果 （ ） aij 1 （i 1,2, , n) 1
j 1 n
或（2） aij 1 （j 1,2, , n)
i 1
n
有一个成立，则矩阵 的所有特征值 k的 A 模 k 小于1 ，即
k 1, i 1,2,, n)。 （
定理4.3 n阶矩阵A互不相同的特征值
1 ,, m，对应的特征向量 1 ,, xm x
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那么 kijij即为矩阵A对应于i的全部特征向量,
j 1
其中 kij 不全为0。
例1 :
求 矩 阵A
Fra Baidu bibliotek
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11 的 特 征 值 和 特 征 向 量.
解 :1) I A 3
1
( 4)( 2) 0
5 1
2)所以, A的全部特征根为1 4,2 2 3)1 4对应的齐次线性方程组为 : (4I A)x o
向量具有关系式
A =
(1)
成立，则数 称为方阵A的特征值， n维非零列
向量 称为A的对应于特征值的特征向量。
(1)式也可以写成: (I A) 0
( 2)
这是n个未知量n个方程的齐次线性方程组，
( a11 )x1 a12 x2 a1n xn 0
即
a21 x1
( a22 )x2
所 以 ，1是A1的 特 征 值 。
其次在A 两边同乘A*，A* A A*可得 A* | A |
则c2
1 5
(c2
0)即为A对应于2
2的全部特征向量.
例2 求矩阵 A的特征值和特征向量
1 1 0
A
4
3
0
1 0 2
例3 求矩阵 A的特征值和特征向量
3 2 4
A
2
0
2
4 2 3
例 求矩阵
2 3 2
A 1 4 2
1 3 1
的特征值和特征向量。
解： A的特征多项式为
1 1 1 1 0 1 I A0 3 0 0 1 0
4 1 4 0 0 0
1
得 基 础 解 系 ：1 0
1
所 以k1(k 0)是 对 应 于 特 征 值1 1
的全部特征向量。
当2 3 2时 ， 解 方程(2I A)X 0. 由
4 1 1 4 1 1 2I A 0 0 0 0 0 0
例5 设是方阵A的特征值，证明: (1) 2是A2的特征值，一般地， m是Am的特征值。 (2)对任意数k，k 是kI A的特征值。 (3)若A可逆，则一定不等于零，且 1是A1的特征
值，| A | 是A*的特征值.
证 明 ：(1) 是 方 阵A的 特 征 值 ， 非 零 向 量 , 使 得A ,
2 3 2
f ( ) I A 1 4 2 ( 1)( 3)2
1 3 1
0
由此可得A的特征值为：1 1, 2 3 3
对于1=1时，解方程 (I－A)x=0，由
1 3 2 1 0 1 I A 1 3 2 0 3 1
1 3 0 0 0 0
3
得基础解系：1 1
即
1 5
51
x1 x2
0 0
x1 x2 0,令x2为自由未知量,并取为1.
则基础解系为
1 1
,
c1
1
1
(c1
0)即为A对应于1
4
的全部特征向量.
2 2对应的齐次线性方程组为 : (2I A)x o
即
5 5
11
x1 x2
0 0
即5x1 x2 0，取x1为自由未知量.取通解c2 15
而A2 A( A ) A() A 2 2是 矩 阵A2的 特 征 值 。
(2)由A 可得，k A k ，即 (kI A) (k )
所以，k 是kI A的特征值。
(3) 由于|A| 12 n，因此，| A | 0的充要条件 是对任意的i 0。 又由A 可得，A1 1
3
3
所以属于特征值1=1的 全部特征向量是 ：
k1 1(k1 0, k1 R)
3
对于2= 3=3时，解方程(3I－A)X=0，由
1 3 2 1 0 1 3I A 1 1 2 0 1 1
1 3 2 0 0 0
1
得基础解系：2 1
1
所以属于特征值2= 3=3
二、特征值与特征向量的计算
设 i为方阵A的一个特征值，则由方程 (i I A)x 0
可求得非零解x i , 那么i就是A的对应于 特征值i的特征向量。 （若i为实数，则 i可取为实向量；若i为 复数，则 i为复向量.）
注 : 若i是A的对应于特征值i的特征向量, 则ki (k 0)也是A的特征向量.
求矩阵A的特征值和特征向量的步骤：
（1）计算矩阵A的特征多项式 | I A |, 并求出特征方程 | I A | 0的所有根。 设A有s个不同的特征值1,2, , s。
（2）对A的每个特征值i (i 1, 2, s),求齐次 线性方程组( i I A)x 0的基础解系。 设它的一个基础解系为：i1,i2, iri ,
1
的全部特征向量是： k2 1(k2 0, k2 R)
1
2 1 1
例
求矩阵A
0
2 0 的特征值和特征向量。
4 1 3
解：A的特征多项式为
2 1 1 | I A | 0 2 0
4 1 3 ( 2)2 ( 1)
A的 特 征 值 为1 1，2 3 2
当1 1时，解方程(I A)X 0. 由
4 1 1 0 0 0
0 1
得 基 础 解 系 ：2 1 ,3 0
1
4
所以k22 k33(k2 , k3不全为零)是对应于
特征值2 3 2的全部特征向量。
4 6 0
例
设矩阵
A
3
5
0 ,可作为A的特征向量的是
3 6 1
A (2, 2, 0)T B (1, 2,1)T C (2,1, 0)T D (0, 0, 2)T E (3, 0,1)T
第四章 矩阵的特征值
§4.1 矩阵的特征值与特征向量 §4.2 矩阵的相似对角化 §4.3 实对称矩阵的对角化
§4.1 矩阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的概念 二、 特征值与特征向量的计算 三、矩阵特征值、特征向量的性质
一、特征值与特征向量的概念
定义4.1 设A是n阶矩阵，如果存在数和n维非零列
a2n xn
0
an1 x1 an2 x2 ( ann )xn 0
它有非零解的充要条件为：
|I A| 0
（3）
a11
即 ： a21
an1
a12
a22
an2
a1n
a2n
0
ann
上式是个以 为未知量的一元n次方程，
称为矩阵A的特征方程。
其左端 | I A | 是的n次多项式，记为 f ( ) | I A |, 称为方阵A的特征多项式。