广东省汕尾市2019-2020学年高二下学期期末考试数学试卷(解析版) Word版含解析

2019-2020学年广东省汕尾市高二第二学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．已知全集U＝R，集合M＝{x|2x2+x﹣6＜0}与集合N＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z}的关系的Venn 图如图所示，则阴影部分所示的集合中的元素个数为（）A．3个B．2个C．1个D．0个2．设复数z满足z（1﹣2i）＝1+i，则复数z的共轭复数的虚部为（）A．i B．﹣i C．D．﹣3．下列命题中正确的是（）A．命题“∀x∈N，x2＜2x”的否定是“∃x0∈N，x02＞2”B．若x∈R且x≠0，则x+≥2C．已知a∈R，则a＞1是＜1的充分不必要条件D．命题“若p，则q”的否命题是“若p，则￢q”4．函数f（x）的定义域为R，且函数f（x）的图象如图所示，则不等式xf'（x）＜0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣）∪（0，）C．（﹣∞，﹣）∪（0，1）D．（﹣，0）∪（，+∞）5．（2x﹣）7的展开式中x5的系数为（）A．448B．﹣448C．672D．﹣6726．为了提高幼儿园孩子认识数字的能力，老师任意选取两个小朋友，让他们每人从1，2，3，4，5，6这六个数字当中任选一个数字（两人所选的数字可以相同），如果所选出的两个数字相差不超过1，则称这两个小朋友“心有灵犀”．两个小朋友“心有灵犀”的概率为（）A．B．C．D．7．已知函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象与直线y＝A的某两个交点的横坐标分别为x1，x2，若|x1﹣x2|的最小值为π，且将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象关于原点对称，则下列说法不正确的是（）A．ω＝2B．（，0）是函数f（x）图象的一个对称中心C．x＝﹣是函数f（x）图象的一条对称轴D．函数f（x）在区间（0，）上单调递减8．已知曲线C：y＝，P为曲线C上任意一点，设曲线C在点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（）A．（0，]B．[，）C．（，π]D．[π，π）9．已知O为坐标原点，点F是双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F 且倾斜角为120°的直线与双曲线C在第一象限交于点P，若△POF为正三角形，则双曲线C的离心率为（）A．+1B．C．+1D．10．已知函数f（x）＝x2+x+alnx在[1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，+∞）B．[﹣3，+∞）C．[﹣2，0）D．[﹣3，0）二、多选题：本大题共2小题，每小题4分，共8分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

11．设离散型随机变量X的分布列为X1234P0.20.10.2q若离散型随机变量Y满足Y＝2X+1，则下列结果正确的有（）A．q＝0.2B．E（X）＝3，D（X）＝1.4C．E（X）＝2，D（X）＝1.8D．E（Y）＝7，D（Y）＝5.612．已知函数f（x）＝，则下列说法正确的有（）A．函数（x）＝的图象在点（1，0）处的切线方程是x﹣ey﹣1＝0B．函数（x）有两个零点C．f（2）＜f（3）D．函数f（x）有极大值，且极大值点x0∈（1，2）三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13．已知函数f（x）＝x3+x2•f′（1），则f'（﹣1）＝．14．已知抛物线x2＝4y上一点M（x1，y1）到其焦点的距离为3，则点M到原点的距离．15．中国古典数学有完整的理论体系，其代表作有《算数书》《九章算术》《周髀算经》《孙子算经》等，有3名中学生计划去图书馆阅读这四种古典数学著作（这四种著作每种各一本），要求每人至少阅读一种古典数学著作，每种古典数学著作只有一人阅读，则不同的阅读方案的总数有种．（请用数字作答）16．已知△ABC的内角A．B．C的对边分别为a，b，c．若2sin B sin C cos A＝1﹣cos2A，则＝；sin A的最大值为．四、解答题：本大题共6小题，第17～20题每小题14分，第21～22题每小题14分，共86分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知向量＝（2cos x，1），＝（2sin（x+），﹣1），函数f（x）＝•．（1）求曲线y＝f（x）的对称轴方程；（2）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，f（）＝2，a＝7，c＝3，求△ABC的面积．18．已知等比数列{a n}的前n项和是S n，且S1＝2，a2+1是a1与a3的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n＝（S n+2）•log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BCC1B1是菱形，BC1∩B1C＝O，∠B1BC＝120°，△A1BC1是边长为2的正三角形，A1B1＝．（1）证明：平面A1BC1⊥平面BCC1B1；（2）求平面A1B1C与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．20．某市教育部门计划从该市的中学生中选出6人作为该市代表去参加省里的中华古诗词大赛，该市经过初赛选拔最后决定从甲、乙两所中学的学生中进行最后的筛选．甲中学推荐了3名男生，3名女生，乙中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后所有学生的水平相当，该市决定从参加集训的两校男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成该市的代表队．（1）求甲中学至少有1名学生入选该市代表队的概率；（2）在省赛某场比赛前，从该市代表队的6名学生中随机抽取3人参赛，设X表示参赛队员中的女生人数，求X的分布列和数学期望．21．已知离心率为的椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1、F2．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若过点P（0，m）（m≥1）作圆O（O为坐标原点）：x2+y2＝1的切线l、直线l 交椭圆E于M、N两点，求△MNO面积的最大值．22．已知函数f（x）＝ax+e x（a∈R）．（1）若对任意的x≥0，不等式f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围；（2）讨论函数f（x）零点的个数，参考答案一、单选题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U＝R，集合M＝{x|2x2+x﹣6＜0}与集合N＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z}的关系的Venn 图如图所示，则阴影部分所示的集合中的元素个数为（）A．3个B．2个C．1个D．0个【分析】求出集合M，再由集合N＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z}，求出阴影部分所示的集合M∩N，由此能求出阴影部分所示的集合中的元素的个数．解：∵全集U＝R，集合M＝{x|2x2+x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜}，集合N＝{x|x＝2k﹣7，k∈Z}，∴阴影部分所示的集合中的元素的个数为2．故选：B．2．设复数z满足z（1﹣2i）＝1+i，则复数z的共轭复数的虚部为（）A．i B．﹣i C．D．﹣【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z的共轭复数得答案．解：∵z（1﹣2i）＝1+i，∴z＝，∴的虚部为﹣．故选：D．3．下列命题中正确的是（）A．命题“∀x∈N，x2＜2x”的否定是“∃x0∈N，x02＞2”B．若x∈R且x≠0，则x+≥2C．已知a∈R，则a＞1是＜1的充分不必要条件D．命题“若p，则q”的否命题是“若p，则￢q”【分析】利用命题的否定判断A；基本不等式B；充要条件判断C；四种命题的逆否关系判断D；解：命题“∀x∈N，x2＜2x”的否定是“∃x7∈N，x02≥2”，所以A不正确；若x＞0，则x+≥2，恒成立，所以B不正确；命题“若p，则q”的否命题是“若￢p，则￢q”，所以D不正确；故选：C．4．函数f（x）的定义域为R，且函数f（x）的图象如图所示，则不等式xf'（x）＜0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣）∪（0，）C．（﹣∞，﹣）∪（0，1）D．（﹣，0）∪（，+∞）【分析】由图可知函数f（x）的单调区间，从而得f'（x）＞0和f'（x）＜0对应的x的取值范围，而不等式xf'（x）＜0可等价于或，故而得解．解：由图可知，f（x）在（﹣∞，﹣）和（，1）上单调递增，在（﹣，）上单调递减，∴当x∈（﹣∞，﹣）∪（，1）时，f'（x）＞0；当x∈（﹣，）时，f'（x）＜0．∴当x＞0时，有x∈（﹣，），即x∈（5，）；当x＜0时，有x∈（﹣∞，﹣）∪（，1），即x∈（﹣∞，﹣），故选：B．5．（2x﹣）7的展开式中x5的系数为（）A．448B．﹣448C．672D．﹣672【分析】求出展开式的通项公式，利用x的次数为5进行求解即可．解：展开式的通项公式T k+1＝（2x）7﹣k（﹣）k＝（﹣1）k27﹣k x7﹣4k，由7﹣2k＝5得k＝1，故选：B．6．为了提高幼儿园孩子认识数字的能力，老师任意选取两个小朋友，让他们每人从1，2，3，4，5，6这六个数字当中任选一个数字（两人所选的数字可以相同），如果所选出的两个数字相差不超过1，则称这两个小朋友“心有灵犀”．两个小朋友“心有灵犀”的概率为（）A．B．C．D．【分析】基本事件总数n＝6×6＝36，利用列举法求出这两个小朋友“心有灵犀”包含的基本事件有16个，由此能求出两个小朋友“心有灵犀”的概率．解：老师任意选取两个小朋友，让他们每人从1，2，3，4，4，6这六个数字当中任选一个数字（两人所选的数字可以相同），所选出的两个数字相差不超过1，则称这两个小朋友“心有灵犀”．（1，1），（1，2），（2，5），（2，2），（2，3），（3，4），（3，3），（3，4），∴两个小朋友“心有灵犀”的概率为p＝＝．故选：D．7．已知函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象与直线y＝A的某两个交点的横坐标分别为x1，x2，若|x1﹣x2|的最小值为π，且将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象关于原点对称，则下列说法不正确的是（）A．ω＝2B．（，0）是函数f（x）图象的一个对称中心C．x＝﹣是函数f（x）图象的一条对称轴D．函数f（x）在区间（0，）上单调递减【分析】由：|x1﹣x2|的最小值为π，可得周期T＝π，进而求得ω值，判断选项A；由函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象关于原点对称，计算求得φ值，可得f（x）＝A cos（2x+），令2x+＝kπ+，可求得函数的对称中心，判断选项B；令2x+＝kπ，求得函数的对称轴，判断选项C；由x∈（0，）可得2x+∈（，），根据余弦函数的图象与性质可判断选项D．解：|x1﹣x2|的最小值为π，则T＝π，即＝π，得ω＝2，故A正确；函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象关于原点对称，∵0＜φ＜π，∴φ＝，∴对称中心为（+，0）（k∈Z）．令2x+＝kπ，得x＝﹣，当k＝0时，x＝﹣，故C正确；故选：D．8．已知曲线C：y＝，P为曲线C上任意一点，设曲线C在点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（）A．（0，]B．[，）C．（，π]D．[π，π）【分析】本题先对y＝求导，然后设曲线C上任意一点P坐标为（x0，y0），则曲线C在点P（x0，y0）处的切线斜率为k＝f′（x0）＝tanα，代入x＝x0，计算出f′（x0）的取值范围，即可得到tanα的取值范围，从而可得倾斜角α的取值范围，得到正确选项．解：由题意，可知y′＝﹣8•，曲线C在点P（x3，y0）处的切线斜率为k＝f′（x0）＝tanα，当且仅当＝，即＝2，即x0＝ln2时，等号成立，∴﹣≤f′（x0）＜0，即﹣≤tanα＜0，∴α∈[，π）．故选：D．9．已知O为坐标原点，点F是双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F 且倾斜角为120°的直线与双曲线C在第一象限交于点P，若△POF为正三角形，则双曲线C的离心率为（）A．+1B．C．+1D．【分析】如图所示，过点F且倾斜角为120°的直线与双曲线C交于第一象限一点P，△POF为正三角形，可得P的坐标，利用双曲线的定义求出2a，然后求解离心率即可．解：如图所示：过点F且倾斜角为120°的直线与椭圆C交于第一象限一点P，∴P（，）．PF1＝，PF＝c，2a＝PF3﹣PF＝（）c，故选：C．10．已知函数f（x）＝x2+x+alnx在[1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，+∞）B．[﹣3，+∞）C．[﹣2，0）D．[﹣3，0）【分析】原问题可等价于f'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，参变分离后有a≥﹣2x2﹣x，于是构造新函数g（x）＝﹣2x2﹣x（x≥1），只需满足a≥g（x）max即可，然后结合配方法和二次函数的单调性可知g（x）max＝g（1），从而得解．解：∵f（x）＝x2+x+alnx在[1，+∞）上单调递增，∴f'（x）＝8x+1+≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≥﹣2x2﹣x．∴g（x）在[1，+∞）上单调递减，∴a≥﹣3．故选：B．二、多选题：本大题共2小题，每小题4分，共8分。