振动力学》习题集(含答案)
《振动力学》习题集(含答案)【精选】精心总结
令 引起的静变形为 ，则有：
，即
令 + 引起的静变形为 ，同理有：
得：
则系统的自由振动可表示为：
其中系统的固有频率为：
注意到 与 方向相反，得系统的自由振动为：
1.9质量为m、长为l的均质杆和弹簧k及阻尼器c构成振动系统，如图E1.9所示。以杆偏角 为广义坐标，建立系统的动力学方程，给出存在自由振动的条件。若在弹簧原长处立即释手，问杆的最大振幅是多少？发生在何时？最大角速度是多少？发生在何时？是否在过静平衡位置时？
解：
（1）保持水平位置：
（2）微幅转动：
故：
2.10求图T 2-10所示系统的固有频率，刚性杆的质量忽略不计。
图T 2-10答案图T 2-10
解：
m的位置：
， ，
，
，
2.11图T 2-11所示是一个倒置的摆。摆球质量为m，刚杆质量可忽略，每个弹簧的刚度为 。
（1）求倒摆作微幅振动时的固有频率；
（2）摆球质量m为0.9 kg时，测得频率 为1.5 Hz，m为1.8 kg时，测得频率为0.75 Hz，问摆球质量为多少千克时恰使系统处于不稳定平衡状态？
图E1.2
解：
如图，令 为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：
利用 和 可得：
1.3转动惯量为J的圆盘由三段抗扭刚度分别为 ， 和 的轴约束，如图E1.3所示。求系统的固有频率。
图E1.3
解：
系统的动能为：
和 相当于串联，则有：
以上两式联立可得：
系统的势能为：
利用 和 可得：
1.4在图E1.4所示的系统中，已知 ，横杆质量不计。求固有频率。
图E1.4答案图E1.4
解：
对m进行受力分析可得：
振动理论习题答案
《振动力学》——习题第二章 单自由度系统的自由振动2-1 如图2-1 所示，重物1W 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物2W 从高度为h 处自由下落到1W 上且无弹跳。
试求2W 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。
解：222221v gW h W =，gh v 22=动量守恒：122122v gW W v g W +=，gh W W W v 221212+=平衡位置：11kx W =，kW x 11=1221kx W W =+，kW W x 2112+=故：kW x x x 21120=-= ()2121W W kgg W W k n +=+=ω故：tv t x txt x x n nn n nn ωωωωωωsin cos sin cos 12000+-=+-=xx 0x 1x 12平衡位置2-2 一均质等直杆，长为l ，重量为w ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如图2-2所示。
试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。
解：给杆一个微转角2a＝h 2F ＝mg由动量矩定理：ah a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12122-=-≈⋅-====αθαθ其中12cossin ≈≈θααh l ga p ha mg ml n 22222304121==⋅+θθ g h a l ga h l p T n 3π23π2π222===2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为R , 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。
试求其摆动的固有频率。
图2-3 图2-42-4 如图2-4 所示，一质量m连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，试求下列情况系统作垂直振动的固有频率：（1）振动过程中杆被约束保持水平位置；（2）杆可以在铅垂平面内微幅转动；（3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。
图T 2-9 答案图T 2-9解：（1）保持水平位置：m kk n 21+=ω（2）微幅转动：mglllF2112+=mgl1l2xx2xx'mglll2121+=k2k1ml1l2()()()()()()()()()mgk k l l k l k l mgk k l l k l l k l l l k l mg k k l l k l k l l l l k l l mg l mgk l l l k l l l l l l k l l mg l l l l x x k F x x x 2122122212121221221121212221212211211121212122211211121221112111 ++=+-++=+-⋅+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++++=+-+='+=故：()22212121221k l k l k k l l k e++=mk en =ω 2-5 试求图2-5所示系统中均质刚性杆AB 在A 点的等效质量。
振动习题答案
《振动力学》——习题第二章 单自由度系统的自由振动2-1 如图2-1 所示，重物1W 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物2W 从高度为h 处自由下落到1W 上且无弹跳。
试求2W 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。
解：222221v gW h W =，gh v 22=动量守恒：122122v gW W v g W +=，gh W W W v 221212+=平衡位置：11kx W =，kW x 11=1221kx W W =+，kW W x 2112+=故：kW x x x 21120=-= ()2121W W kgg W W k n +=+=ω故：tv t x tx t x x n nn n nn ωωωωωωsin cos sin cos 12000+-=+-=&xx 0x 1x 12平衡位置2-2 一均质等直杆，长为l ，重量为w ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如图2-2所示。
试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。
解：给杆一个微转角θ2aθ＝h α2F ＝mg由动量矩定理：ah a mg a mg Fa M ml I MI 822cos sin 12122-=-≈⋅-====αθαθ&&其中12cossin ≈≈θααh l ga p ha mg ml n 22222304121==⋅+θθ&& g h a l ga h l p T n 3π23π2π222===2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为R , 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。
试求其摆动的固有频率。
图2-3 图2-42-4 如图2-4 所示，一质量m连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，试求下列情况系统作垂直振动的固有频率：（1）振动过程中杆被约束保持水平位置；（2）杆可以在铅垂平面内微幅转动；（3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。
《振动力学》作业资料(含答案解析)
《振动力学》习题集（含答案）1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。
求系统的固有频率。
图E1.1解：系统的动能为：()222121x I l x m T +=其中I 为杆关于铰点的转动惯量：2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭⎫⎝⎛=则有：()221221223616121x l m m x l m x ml T +=+=系统的势能为：()()()2121212414121 cos 12cos 1glx m m glx m mglx x lg m x mgl U +=+=-⋅+-=利用x xn ω= 和U T =可得：()()lm m gm m n 113223++=ω1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。
求系统的固有频率。
图E1.2解：如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==()[]()222212θθa R k a R k U +=+⋅=利用θωθn= 和U T =可得：()mkR a R mR a R k n 343422+=+=ω1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。
求系统的固有频率。
图E1.3解：系统的动能为：221θ J T =2k 和3k 相当于串联，则有：332232 , θθθθθk k =+=以上两式联立可得：θθθθ32233232 , k k k k k k +=+=系统的势能为：()232323212332222121212121θθθθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++=k k k k k k k k k k U利用θωθn= 和U T =可得： ()()3232132k k J k k k k k n +++=ω1.4 在图E1.4所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。
振动力学习题集含答案
解：
利用动量矩定理得：
，
，
，
，
面积为S、质量为m的薄板连接于弹簧下端，在粘性流体中振动，如图所示。作用于薄板的阻尼力为 ，2S为薄板总面积，v为速度。若测得薄板无阻尼自由振动的周期为 ，在粘性流体中自由振动的周期为 。求系数 。
图
解：
平面在液体中上下振动时：
，
，
图所示系统中，已知m，c， ， ， 和 。求系统动力学方程和稳态响应。
（2）
若取下面为平衡位置，求解如下：
，
图T 2-17所示的系统中，四个弹簧均未受力，k1=k2=k3=k4=k，试问：
（1）若将支承缓慢撤去，质量块将下落多少距离？
（2）若将支承突然撤去，质量块又将下落多少距离？
图T 2-17
解：
（1） ，
（2） ，
如图T 2-19所示，质量为m2的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为I，忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率。
因此有：
图所示阶梯杆系统中已知m，ρ，S，E和k。求纵向振动的频率方程。
图
解：
模态函数的一般形式为：
题设边界条件为：
，
边界条件可化作：
，
导出C2= 0及频率方程：
，其中
长为l、密度为ρ、抗扭刚度为GIp的的等直圆轴一端有转动惯量为J的圆盘，另一端连接抗扭刚度为k的弹簧，如图所示。求系统扭振的频率方程。
《振动力学》习题集（含答案）
质量为m的质点由长度为l、质量为m1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图所示。求系统的固有频率。
图
解：
系统的动能为：
其中I为杆关于铰点的转动惯量：
《振动力学》作业资料(含答案解析)
《振动力学》习题集（含答案）1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。
求系统的固有频率。
图E1.1解：系统的动能为：()222121x I l x m T +=其中I 为杆关于铰点的转动惯量：2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭⎫⎝⎛=则有：()221221223616121x l m m x l m x ml T +=+=系统的势能为：()()()2121212414121 cos 12cos 1glx m m glx m mglx x lg m x mgl U +=+=-⋅+-=利用x xn ω= 和U T =可得：()()lm m gm m n 113223++=ω1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。
求系统的固有频率。
图E1.2解：如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==()[]()222212θθa R k a R k U +=+⋅=利用θωθn= 和U T =可得：()mkR a R mR a R k n 343422+=+=ω1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。
求系统的固有频率。
图E1.3解：系统的动能为：221θ J T =2k 和3k 相当于串联，则有：332232 , θθθθθk k =+=以上两式联立可得：θθθθ32233232 , k k k k k k +=+=系统的势能为：()232323212332222121212121θθθθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++=k k k k k k k k k k U利用θωθn= 和U T =可得： ()()3232132k k J k k k k k n +++=ω1.4 在图E1.4所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。
《振动力学》习题集[含答案]
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《振动力学》习题集（含答案）1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。
求系统的固有频率。
图E1.1解：系统的动能为：()222121x I l x m T +=其中I 为杆关于铰点的转动惯量：2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭⎫⎝⎛=则有：()221221223616121x l m m x l m x ml T +=+=系统的势能为：()()()2121212414121 cos 12cos 1glx m m glx m mglx x lg m x mgl U +=+=-⋅+-=利用x xn ω= 和U T =可得：()()lm m gm m n 113223++=ω1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。
求系统的固有频率。
图E1.2解：如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==()[]()222212θθa R k a R k U +=+⋅=利用θωθn= 和U T =可得：()mkR a R mR a R k n 343422+=+=ω1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。
求系统的固有频率。
图E1.3解：系统的动能为：221θ J T =2k 和3k 相当于串联，则有：332232 , θθθθθk k =+=以上两式联立可得：θθθθ32233232 , k k k k k k +=+=系统的势能为：()232323212332222121212121θθθθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++=k k k k k k k k k k U利用θωθn= 和U T =可得： ()()3232132k k J k k k k k n +++=ω1.4 在图E1.4所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。
振动力学习题答案
请打双面习题与综合训练 第一章2-1 一单层房屋结构可简化为题2-1图所示的模型，房顶质量为m ，视为一刚性杆；柱子高h ，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ 。
求该房屋作水平方向振动时的固有频率。
解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。
等效弹簧系数为k则 mg k δ=其中δ为两根杆的静形变量，由材料力学易知δ=324mgh EJ =则 k =324EJ h设静平衡位置水平向右为正方向，则有 "m x kx =-所以固有频率3n 24mh EJ p =2-2 一均质等直杆，长为 l ，重量为W ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题2-2图所示。
试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。
解：给杆一个微转角θ2aθ＝h α2F ＝mg由动量矩定理： ah a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12122-=-≈⋅-====αθαθ其中12c o s s i n ≈≈θααh l ga p ha mg ml n 22222304121==⋅+θθ g h a l ga h l p T n 3π23π2π222=== 2-3 求题2-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是1k 和3k ，悬臂梁的质量忽略不计。
解：悬臂梁可看成刚度分别为k 1和k 3的弹簧，因此，k 1与k 2串联，设总刚度为k 1ˊ。
k 1ˊ与k 3并联，设总刚度为k 2ˊ。
k 2ˊ与k 4串联，设总刚度为k 。
即为21211k k k k k +='，212132k k kkk k++='，4241213231421432421k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++=)(42412132314214324212k k k k k k k k k k m k k k k k k k k k p ++++++=2-4 求题2-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。
振动力学习题集
《振动力学》习题集（含答案）质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图所示。
求系统的固有频率。
图解：系统的动能为：()222121x I l x m T +=其中I 为杆关于铰点的转动惯量：2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭⎫⎝⎛=则有：()221221223616121x l m m x l m x ml T +=+=系统的势能为：()()()2121212414121 cos 12cos 1glx m m glx m mglx x lg m x mgl U +=+=-⋅+-=利用x xn ω= 和U T =可得： ()()lm m gm m n 113223++=ω质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图所示。
求系统的固有频率。
图解：如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==()[]()222212θθa R k a R k U +=+⋅=利用θωθn = 和U T =可得：()mkR a R mR a R k n 343422+=+=ω转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图所示。
求系统的固有频率。
图解：系统的动能为：221θ J T =2k 和3k 相当于串联，则有：332232 , θθθθθk k =+=以上两式联立可得：θθθθ32233232 , k k k k k k +=+=系统的势能为：()232323212332222121212121θθθθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++=k k k k k k k k k k U利用θωθn = 和U T =可得：()()3232132k k J k k k k k n +++=ω在图所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。
振动力学参考答案
0.49t
sin4.875t sin4.875t+0.006
x =0.006 e0.49t (-0.49)
4.875cos4.875
当 x =0 时 ， 振 幅 最 大 ， 此 时 t=0.03s 。 当 t=0.03s 时，x=0.005m）
代入初始条件，得
kb ca 2 ml 4m 2l 4
2
2
4
C1 x0 0, C 2
1 4kmb 2l 2 c 2 a 4 2ml 2 2-10 如题 2-10 图所示，质量为 2000 kg 的重
物以 3 cm/s 的速度匀速运动， 与弹簧及阻尼器相 撞后一起作自由振动。已知 k =48020 N/m， c =1960 Ns/m，问重 物在碰撞后多少时 间达到 最大振 幅 ? 最大振幅是多少? 解：以系统平衡位置为坐标原点，建立系统运动 微分方程为
2nx p x0 x
2 n
0 nx0 x x 0 0.006 pd pd
，得
x C2 e nt sin pd t
物体达到最大振幅时，有
nC2 e nt sin pd t C2 e nt pd cos pd t 0 x
既得 t = 0.30 s 时，物体最大振幅为
2 pn n2
2 pn
k 48020 24.01 x 0 x 0.03 m 2000 ，0 ，0 m/s。
故通解为
x e nt (C1 cos pd t C2 sin pd t )
其中，
pd
2 pn n 2 4.875
。
（代入初始条件，当 t=0 时，x=0, c1 =0 c2 x
振动力学习题答案
请打双面习题与综合训练 第一章2-1 一单层房屋结构可简化为题2-1图所示的模型，房顶质量为m ，视为一刚性杆；柱子高h ，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ 。
求该房屋作水平方向振动时的固有频率。
解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。
等效弹簧系数为k则 mg k δ=其中δ为两根杆的静形变量，由材料力学易知δ=324mgh EJ =则 k =324EJ h设静平衡位置水平向右为正方向，则有 "m x kx =-所以固有频率3n 24mh EJ p =2-2 一均质等直杆，长为 l ，重量为W ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题2-2图所示。
试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。
解：给杆一个微转角θ2aθ＝h α2F ＝mg由动量矩定理： ah a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12122-=-≈⋅-====αθαθ其中12c o s s i n ≈≈θααh l ga p ha mg ml n 22222304121==⋅+θθ g h a l ga h l p T n 3π23π2π222=== 2-3 求题2-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是1k 和3k ，悬臂梁的质量忽略不计。
解：悬臂梁可看成刚度分别为k 1和k 3的弹簧，因此，k 1与k 2串联，设总刚度为k 1ˊ。
k 1ˊ与k 3并联，设总刚度为k 2ˊ。
k 2ˊ与k 4串联，设总刚度为k 。
即为21211k k k k k +='，212132k k kkk k++='，4241213231421432421k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++=)(42412132314214324212k k k k k k k k k k m k k k k k k k k k p ++++++=2-4 求题2-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。
振动力学参考答案
代入初始条件，得
kb ca 2 ml 4m 2l 4
2
2
4
C1 x0 0, C 2
1 4kmb 2l 2 c 2 a 4 2ml 2 2-10 如题 2-10 图所示，质量为 2000 kg 的重
物以 3 cm/s 的速度匀速运动， 与弹簧及阻尼器相 撞后一起作自由振动。已知 k =48020 N/m， c =1960 Ns/m，问重 物在碰撞后多少时 间达到 最大振 幅 ? 最大振幅是多少? 解：以系统平衡位置为坐标原点，建立系统运动 微分方程为
得
c 3ka 2 0 m ml 2 3ka 2 ml 2
1 1 1 k1 2 a 2 k 3 2 b 2 k 2 2 l 2 2 2 2
2 pn
所以，有 2-7
k1 a 2 k 3b 2 k 2 l 2 p I O m1 a 2 m2 l 2
2 n
2-6
如题 2-6
图所示，刚性曲臂 绕支点的转动惯量 为
I0
盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转 动惯量为 I，忽略绳子的弹性、质量及个轴承间 的摩擦力，求此系统的固有频率。 解：此系统是一个保守系统，能量守恒 系统的动能为：
1 1 11 1 x x 2 m2 x 2 m2 r 2 I T m1 x 2 2 22 2 R2 r
总能量
m
O
(F ) 0
，
k1 1a m1 ga k3 3b k 2 2 l 0
2-8
一长度为 l、 质量为 m 的均质刚性杆铰
（A） 由题意可知，系统势能为
V
接于 O 点并以弹簧和粘性阻尼器支承，如题 2-8 图所示。写出运动微分方程，并求临界阻尼系数
《振动力学》习题集(含答案解析)
《振动力学》习题集（含答案）1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。
求系统的固有频率。
图E1.1解：系统的动能为：()222121x I l x m T +=其中I 为杆关于铰点的转动惯量：2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭⎫⎝⎛=则有：()221221223616121x l m m x l m x ml T +=+=系统的势能为：()()()2121212414121 cos 12cos 1glx m m glx m mglx x lg m x mgl U +=+=-⋅+-=利用x xn ω= 和U T =可得： ()()lm m gm m n 113223++=ω1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。
求系统的固有频率。
图E1.2解：如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==()[]()222212θθa R k a R k U +=+⋅=利用θωθn= 和U T =可得： ()mkR a R mR a R k n 343422+=+=ω1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。
求系统的固有频率。
图E1.3解：系统的动能为：221θ J T =2k 和3k 相当于串联，则有：332232 , θθθθθk k =+=以上两式联立可得：θθθθ32233232 , k k k k k k +=+=系统的势能为：()232323212332222*********θθθθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++=k k k k k k k k k k U利用θωθn= 和U T =可得： ()()3232132k k J k k k k k n +++=ω1.4 在图E1.4所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。
振动力学答案
mgh3
= 24EJ
24EJ
则
k = h3
设静平衡位置水平向右为正方向，则有
"
m x kx
pn 所以固有频率
24EJ mh3
F
Fh
mg
2-2 一均质等直杆，长为 l，重量为 W，用
两根长 h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题
2-2 图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作
微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。
YO
接于 O 点并以弹簧和粘性阻尼器支承，如题 2-8
V
1 2
k1[(a
1)2
2 1
]
1 2
k
3
[(b
3
)
2
2 3
]
1 2
k
2
[图(l所示 2。)2写出 22运] 动m微1g分a方程，并求临界阻尼系X数O
O
（B）
和阻尼固有频率的表达式。
将（A）式代入（B）式，可得系统最大势能为，
Vm a x
1 2
2-4 求题 2-4 图所示的阶梯轴一圆盘系统扭 转振动的固有频率。其中 J1 、 J 2 和 J 3 是三个轴 段截面的极惯性矩，I 是圆盘的转动惯量，各个
轴段的转动惯量不 计，材料剪切弹性模 量为 G。 解：
k1 GJ 1 / l1
k2 GJ 2 / l2 k3 GJ 3 / l3 k23 GJ 2 J 3 /(J 2 l3 J 3 l2 )
1 52 ,得： 20n
P2n N 2
计，试写出运动微分方程，并求临界阻尼系数及 固有频率。
解：
Pn
又
g 10 g dst
(
ln 4 20n
《振动力学》习题集(含答案)
《振动力学》习题集（含答案）1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。
求系统的固有频率。
图E1.1解： 系统的动能为：()222121x I l x m T +=其中I 为杆关于铰点的转动惯量：2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭⎫⎝⎛=则有：()221221223616121x l m m x l m x ml T +=+=系统的势能为：()()()2121212414121 cos 12cos 1glx m m glx m mglx x lg m x mgl U +=+=-⋅+-=利用x xn ω= 和U T =可得： ()()lm m gm m n 113223++=ω1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。
求系统的固有频率。
图E1.2解：如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==()[]()222212θθa R k a R k U +=+⋅=利用θωθn= 和U T =可得： ()mkR a R mR a R k n 343422+=+=ω1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。
求系统的固有频率。
图E1.3解： 系统的动能为：221θ J T =2k 和3k 相当于串联，则有：332232 , θθθθθk k =+=以上两式联立可得：θθθθ32233232 , k k k k k k +=+=系统的势能为：()232323212332222*********θθθθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++=k k k k k k k k k k U利用θωθn= 和U T =可得： ()()3232132k k J k k k k k n +++=ω1.4 在图E1.4所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。
振动力学习题集
例：一等截面简支梁质量不计，长度I =3m , El = 58800 N m 2。
有一质量m=90kg的物块从梁的中点上方 h =10mm 处落下，且物块与梁接触后不分开，试计算接触后系统自 由振动的固有频率及振幅。
解:("梁中点受竖直向下单位力作用的挠度即为柔度系数.碣，因此固有(2 )重物落下与梁接触时开始振动，初始条件为动形状，所得结果误差很小。
如果对结构的弹性曲线假设任一适当形状， 可以期望得到接近振动真实周期的近似值，如果选的形状精确，就会得到精确的周期。
插P10匚求考虑梁的质量时，系统的固有频率I 3频率为：•，n48E「\ ml 348 58800= 34.1s 」 90 33女--■"■■si=mgl 348EI390 9.8 3 j38.44 10 m = -8.44 mm48 58800 振幅为V o梁中点的最大位移为 y 。
2" =2h：st2 -'n=*8.442 2 10 8.44 = 15.5mms = A q =15.5 8.44 = 23.9mm瑞利法(Rayleigh 系统形态的某些假设， ):等效质量的计算方法。
应用这种方法时，必须做有关振动过程中 称之为形状函数或振型。
所假设的振型与真实振型存在差异， 相当于对系统附加了某些约束, 增加了系统的刚度，固有频率略高于精确值。
以静变形曲线作为振 例 1.4.1如图示，悬臂梁(棱柱形)自由端处带有重量 mg 设梁的密度为解：无重悬臂梁端有荷载mg时的静力挠曲线方程为：y W^QIx'—x3) (0zxG)6EI由此可得B端挠度y m二曲3EI33 y2 y233=M “如二仏m厂空「I为梁作用在B点的等效质量140 2 2 140对于这种情况，振动的周期与端点处承受下列质量的无质量悬臂梁相同33M = m m = m I14033 -••• B 端总重为：Mg = (m mjg = (m l)g33即使在订不太小的情况下，等效质量空订也可以应用140将结果用于m二0的极端情况(悬臂段的集中质量为零)，mg可有: st33140：：l(上3EI)g所得的振动周期则为: =2■:=2二33订4—g■, 140 3EIg2 二丫3.567： EIy詁⑴勺lx2-x32l3m—y/VI o3X-2dx21解:（"能量法，动能：一旳2如中）2礼)*22 l1取静平衡位置为零势能点："如2｛磴x ）22• )x 21 I 3= ~(k 1 2k2)2h同一情况的精确解为：N *3.515丫 EI（此处参看Timoshenko,工程中的振动问题，P 2 89,式（m ）近似解的误差约为1.5%, 「：：「，故.-.n '，即近似解的周期小于精确解 的周期，固有频率大于精确解的固有频率。
振动力学参考答案
2-6
如题 2-6
图所示，刚性曲臂 绕支点的转动惯量 为
I0
盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转 动惯量为 I，忽略绳子的弹性、质量及个轴承间 的摩擦力，求此系统的固有频率。 解：此系统是一个保守系统，能量守恒 系统的动能为：
1 1 11 1 x x 2 m2 x 2 m2 r 2 I T m1 x 2 2 22 2 R2 r
两根长 h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题 2-2 图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作 微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。
p2
k1 k 2 k 4 k 2 k 3 k 4 k1 k 2 k 4 m(k1 k 3 k 2 k 3 k1k 2 k1k 4 k 2 k 4 )
k1 GJ1 / l1 k 2 GJ 2 / l 2
k 3 GJ 3 / l3 k 23 GJ 2 J 3 /( J 2 l3 J 3 l 2 )
（1） （2） （3） （4）
R1 3 I x m1 2 m2 R 2 k1 R k 2 x 0 2 2
解：由于两根杆都是弹性的， 可以看作是两根相同的弹簧的并联。 等效弹簧系数为 k 则
其中
sin cos 1 2 2 1 mg a 0 ml 2 12 4h 2 3ga 2 pn 2 l h 2π l 2h 2π l h T 2π 2 pn a 3g 3ga
n 0.797 0.223 p n 3.579 0.45 (1 0.838) 2 4 0.223 2 0.838 2 2 0.223 0.838 0.374 1.255 0.298 1 0.838 2 0.45 1.103 0.408
振动力学考题集[]资料讲解
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振动力学考题集[]1、四个振动系统中，自由度为无限大的是（）。
A. 单摆；B. 质量-弹簧；C. 匀质弹性杆；D. 无质量弹性梁；2、两个分别为c1、c2的阻尼原件,并连后其等效阻尼是（）。
A. c1+c2；B. c1c2/(c1+c2)；C. c1-c2；D. c2-c1；3、（）的振动系统存在为0的固有频率。
A. 有未约束自由度；B. 自由度大于0；C. 自由度大于1；D. 自由度无限多；4、多自由度振动系统中，质量矩阵元素的量纲应该是（）。
A. 相同的，且都是质量；B. 相同的，且都是转动惯量；C. 相同的，且都是密度；D. 可以是不同的；5、等幅简谐激励的单自由度弹簧-小阻尼-质量振动系统，激励频率（）固有频率时，稳态位移响应幅值最大。
A. 等于；B. 稍大于；C. 稍小于；D. 为0；6、自由度为n的振动系统，且没有重合的固有频率，其固有频率的数目（A ）。
A. 为n；B. 为1；C. 大于n；D. 小于n；7、无阻尼振动系统两个不同的振型u(r)和u(s)，u(r)T Mu(s)的值一定（）。
A. 大于0；B. 等于0；C. 小于0；D. 不能确定；8、无阻尼振动系统的某振型u(r)，u(r)T Ku(r)的值一定（）。
A. 大于0；B. 等于0；C. 小于0；D. 不能确定；9、如果简谐激励力作用在无约束振动系统的某集中质量上，当激励频率为无限大时，该集中质量的稳态位移响应一定（）。
A. 大于0；B. 等于0；C. 为无穷大；D. 为一常数值；10、相邻固有频率之间的间隔呈近似无限等差数列的振动系统是（）。
A. 杆的纵向振动；B. 弦的横向振动；C. 一般无限多自由度系统；D. 梁的横向振动；11、两个刚度分别为k1、k2串连的弹簧,其等效刚度是（）。
A. k1+k2；B. k1k2/(k1+k2)；C. k1-k2；D. k2-k1；12、无阻尼振动系统两个不同的振型u(r)和u(s)，u(r)T Ku(s)的值一定（）。
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《振动力学》习题集（含答案）质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图所示。
求系统的固有频率。
图解： 系统的动能为：()222121x I l x m T &&+=其中I 为杆关于铰点的转动惯量：2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭⎫⎝⎛=则有：()221221223616121x l m m x l m x ml T &&&+=+=系统的势能为：()()()2121212414121 cos 12cos 1glx m m glx m mglx x lg m x mgl U +=+=-⋅+-=利用x xn ω=&和U T =可得： ()()lm m gm m n 113223++=ω质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图所示。
求系统的固有频率。
图解：如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：22222243212121θθθ&&&mR mR mR I T B =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==()[]()222212θθa R k a R k U +=+⋅=利用θωθn =&和U T =可得： ()mkR a R mR a R k n 343422+=+=ω转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图所示。
求系统的固有频率。
图解： 系统的动能为：221θ&J T =2k 和3k 相当于串联，则有：332232 , θθθθθk k =+=以上两式联立可得：θθθθ32233232 , k k k k k k +=+=系统的势能为：()232323212332222*********θθθθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++=k k k k k k k k k k U利用θωθn =&和U T =可得： ()()3232132k k J k k k k k n +++=ω在图所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。
求固有频率。
图答案图解： 对m 进行受力分析可得：33x k mg =，即33k mgx =如图可得：()()22221111 ,k b a mga k F x k b a mgb k F x +==+==()()mg k k b a k b k a b a x x a x x x x 212221212110++=+-+='+= ()mg k mg k k k b a k b k a x x x 0321222123011=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=+=则等效弹簧刚度为：()()2123223123212k k b a k k b k k a k k k b a k e ++++= 则固有频率为：()()()[]222132212321b k a k k b a k k m b a k k k m k e n ++++==ω质量1m 在倾角为α的光滑斜面上从高h 处滑下无反弹碰撞质量2m ，如图所示。
确定mg ba a F +=2x x 2系统由此产生的自由振动。
图答案图解：对1m 由能量守恒可得（其中1v 的方向为沿斜面向下）：211121v m gh m =，即gh v 21=对整个系统由动量守恒可得：()02111v m m v m +=，即gh m m m v 22110+=令2m 引起的静变形为2x ，则有：22sin kx g m =α，即kg m x αsin 22=令1m +2m 引起的静变形为12x ，同理有：()k g m m x αsin 2112+=得：kg m x x x αsin 12120=-=则系统的自由振动可表示为：t x t x x n nn ωωωsin cos 00&+=其中系统的固有频率为：21m m kn +=ω注意到0v 与x 方向相反，得系统的自由振动为：t v t x x n nn ωωωsin cos 00-=质量为m 、长为l 的均质杆和弹簧k 及阻尼器c 构成振动系统，如图所示。
以杆偏角θ为广义坐标，建立系统的动力学方程，给出存在自由振动的条件。
若在弹簧原长处立即释手，问杆的最大振幅是多少发生在何时最大角速度是多少发生在何时是否在过静平衡位置时图答案图解： 利用动量矩定理得：l l c a a k I ⋅-⋅-=θθθ&&&，231ml I =033222=++θθθka cl ml &&&，223ml ka n =ωnml cl ξω2322=， 32 1123mkl a c m c n <⇒<⋅=ωξa a k lmg ⋅=⋅02θ， 202kamgl=θ面积为S 、质量为m 的薄板连接于弹簧下端，在粘性流体中振动，如图所示。
作用于薄板的阻尼力为Sv F d 2μ=，2S 为薄板总面积，v 为速度。
若测得薄板无阻尼自由振动的周期为0T ，在粘性流体中自由振动的周期为d T 。
求系数μ。
l c图解： 平面在液体中上下振动时：02=++kx x S x m &&&μ2T m k n πω==， dn d T πξωω212=-=n n m S m S ωμξξωμ=⇒= 22， kS 222μξ=kS k 2221μξ-=-2020220222T T T ST mk S k T T d dd -=⇒-=πμμππ图所示系统中，已知m ，c ，1k ，2k ，0F 和ω。
求系统动力学方程和稳态响应。
图答案图(a) 答案图(b)解：等价于分别为1x 和2x 的响应之和。
先考虑1x ，此时右端固结，系统等价为图（a ），受力为图（b ），故：()()x c x k x c c x k k x m &&&&112121+=++++ t A c A k kx x c x m 1111111cos sin ωωω+=++&&&（1）21c c c +=，21k k k +=，mk k n 21+=ω （1）的解可参照释义（），为：()()()()()()()22211111222111121cos 21sin s s t kA c s s t kA k t Y ξθωωξθω+--++--=（2）其中：n s ωω1=，21112ss tg -=-ξθ ()()()212122122122112121k k c c k k k k c s ++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=+ωωξ()()()()()21212212212122112122121222 121k k c c m k kk k c c k k m s s +++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-ωωωωξ故（2）为：()()()()()()()()211212212212121212112122122121111111111sin cos sin θθωωωωωωθωωθω+-++-++=++-+-+-=t c c m k kc k A c c m k k t A c tA k t xx k 2x&2 (11x k - )11x x c &&-1()()m k k c c tg k k m k k c tg s s tg 2121121121212111211112ωωωωξθ-++=+-+=-=--- 11112k c tg ωθ-=考虑到()t x 2的影响，则叠加后的()t x 为：()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-++-++=--=∑i i i i i i i i i i i i i k c tg m k k c c tg t c c m k k c k A t x ωωωωωωω12212112122212221222sin一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动，如图T 2-1所示。
已知，︒=30α，m = 1 kg ，k = 49 N/cm ，开始运动时弹簧无伸长，速度为零，求系统的运动规律。
图 T 2-1答案图 T 2-1解：0sin kx mg =α，1.049218.91sin 0=⨯⨯==kmg x αcm70110492=⨯==-m k n ωrad/st t x x n 70cos 1.0cos 0-==ωcm如图T 2-2所示，重物1W 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物2W 从高度为h 处自由下落到1W 上而无弹跳。
求2W 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。
图 T 2-2答案图 T 2-2解：222221v gW h W =，gh v 22=动量守恒：122122v gW W v g W +=，gh W W W v 221212+=平衡位置：11kx W =，kW x 11=1221kx W W =+，kW W x 2112+=故：kW x x x 21120=-= ()2121W W kgg W W k n +=+=ω故：tv t x tx t x x n nn n nn ωωωωωωsin cos sin cos 12000+-=+-=&在图所示系统中，已知m ，1k ，2k ，0F 和ω，初始时物块静止且两弹簧均为原长。
W 2W 1求物块运动规律。
图答案图解：取坐标轴1x 和2x ，对连接点A 列平衡方程：()0sin 012211=+-+-t F x x k x k ω即：()t F x k x k k ωsin 022121+=+（1）对m 列运动微分方程：()1222x x k x m --=&&即：12222x k x k x m =+&&（2）由（1），（2）消去1x 得：t k k kF x k k k k x m ωsin 2120221212+=++&&（3）故：()21212k k m k k n +=ω由（3）得：()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=t t k k m k F t x n n n ωωωωωωsin sin 2221202在图所示系统中，已知m ，c ，k ，0F 和ω，且t =0时，0x x =，0v x=&，求系统响应。
验证系统响应为对初值的响应和零初值下对激励力响应的叠加。
x k)1x x k - 2x m &&(2k2图解：()()()θωωωξω-++=-t A t D t C e t x d d t cos sin cos 0()()2220211s s kF A ξ+-⋅=，2112sstg-=-ξθ ()θθcos cos 000A x C A C x x -=⇒+==()()()()θωωωωωωωωξωξωξω--+-++-=--t A t D t C et D t C e t x d d d d td d t sin cos sin sin cos 000&()ddd A Cv D A D C v xωθωωξωθωωξωsin sin 00000-+=⇒++-==&求出C ，D 后，代入上面第一个方程即可得。