2014届高考理科理数学第一轮知识点总复习测试题6

第节空间几何体的表面积和体积

【选题明细表】

一、选择题

1.(2013重庆青木关中学高三月考)如图所示,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形,且直角三角形的直角边长为1,那么这个几何体的体积为( A)

(A)(B)(C)(D)1

解析:根据三视图,可知该几何体是三棱锥,如图为该三棱锥的直观图,

三棱锥的底面是一个腰长是1的等腰直角三角形,

∴底面的面积是×1×1=.

垂直于底面的侧棱长是1,即高为1,

∴三棱锥的体积是××1=.

故选A.

2.一个斜三棱柱(侧棱与底面不垂直),底面是边长为5的正三角形,侧棱长为4,侧棱与底面三角形两边所成的角都是60°,则这个斜三棱柱的侧面积是( B)

(A)40 (B)20(1+)

(C)30(1+)(D)30

解析:如图所示,若∠A1AC=∠A1AB=60°,则可证明▱BB1C1C为矩形,因此,S 侧=2+=2×4×5×sin 60°+4×5=20(1+).故选B.

3. (2013宜宾高三综合考试)如图所示,在三棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P,Q满足A1P=BQ,过P、Q、C三点的截面把棱柱分成两部分,则其体积之比为( B)

(A)3∶1 (B)2∶1

(C)4∶1 (D)∶1

解析:考查点P、Q特殊位置时的情况:当P与A点重合,点Q与B1点重合,设底面ABC的面积为S,三棱柱高为h,则=Sh=,∴截面所分成两部分体积比为2∶1.故选B.

4.(2013成都高三检测)P为矩形ABCD所在平面外一点,且PA⊥平面ABCD,PB=2,PC=,PD=,则四棱锥P ABCD的体积等于( B) (A)2 (B)4 (C)6 (D)12

解析:在Rt△PBC中,BC=3,

在Rt△PCD中,CD=2,

在Rt△ABC中,AC=,

在Rt△PAC中,PA=2,

∴V=×3×2×2=4.

故选B.

5.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积(单位:cm3)为( A)

(A)π+(B)2π+

(C)2π+(D)π+

解析:由三视图想象其直观图如图,该组合体上部是一个三棱锥,下部

是一圆柱.由图中数据知V圆柱=π×12×1=π.

三棱锥垂直于底面的侧面是边长为2的等边三角形,故其高即为三棱锥的高,高为,故棱锥高为.

由于棱锥底面为一等腰直角三角形,且斜边长为2,故两直角边长度都是,底面三角形的面积是××=1.

故V 棱锥=×1×=,故该几何体的体积是π+.故选A.

6. (2012北京市朝阳区高三上学期期末)已知正方形ABCD的边长为2,

将△ABC沿对角线AC折起,使平面ABC⊥平面ACD,得到如图所示的三棱锥B ACD.若O为AC边的中点,M,N分别为线段DC,BO上的动点(不包括端点),且BN=CM.设BN=x,则三棱锥N AMC的体积y=f(x)的函数图象大致是( B)

解析:等腰△ABC中,O为AC的中点,∴OB⊥AC.

又因OB⊂平面BAC,且平面ABC⊥平面ACD,

∴OB⊥平面ACD,∴三棱锥N AMC的高为NO,

Rt△ABC中,AB=BC=2,∴OB=2,∴NO=2-x,

S △AMC=x·2=x,

∴=(2-x)·x=(-x2+2x),

即f(x)=(-x2+2x)(0

二、填空题

7.(2012湖州模拟)如图所示,已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成,则该多面体的体积是.

解析:易知该几何体是正四棱锥.

设正四棱锥P ABCD,连接BD,

由PD=PB=1,BD=,则PD⊥PB.

设底面中心O,则四棱锥高PO=,

则其体积是V=Sh=×12×=.

答案:

8.(2012韶关调研)如图所示,BD是边长为3的正方形ABCD的对角线,将△BCD绕直线AB旋转一周后形成的几何体的体积等于.

解析:旋转后形成的几何体是一个圆柱体挖去一个倒置的圆锥,其中圆柱、圆锥的底面半径、高均为3,所以V=V柱体-V锥体=π×32×3-×π×32×3=18π.

答案:18π

9.(2013成都外国语学校高三月考)已知三棱柱ABC A1B1C1的侧棱与底面边长都相等且为1,A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心O,则三棱柱ABC A1B1C1体积等于.

解析:∵△ABC为正三角形,

且边长为1,

∴AO=×=,

∴A1O=

=

=,

∴=×12×=.

答案:

10.已知一个空间几何体的三视图如图所示,且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上,则这个球的表面积是.

解析:由三视图可知,这个空间几何体是一个各棱长都为2的正三棱柱,如图所示,其中O1、O2是上、下底面的中心,O是上下底面中心的连

线的中点,则OA就是其外接球的半径,故OO2=1,O2A=,所以OA2=1+=,

故其外接球的表面积是4π×=.

答案:

三、解答题

11.某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图(1)所示.墩的上半部分是正四棱锥P EFGH(底面为正方形,从顶点向底面作垂线,垂足是底面中心),下半部分是长方体ABCD EFGH.图(2)、图(3)分别是该标识墩的正视图和俯视图.

(1)请画出该安全标识墩的侧视图;

(2)求该安全标识墩的体积.

解:(1)侧视图如图所示.

(2)该安全标识墩的体积

V=+