灵敏度分析 影子价格
第3章 灵敏度分析
管
理
运
筹
学
6
• 有两个决策变量：产品A的产量和产品B的产量，它们在电 子表格上的地址分别是$B$14和$C$14，其最优解分别为 100单位和350单位。 • 第四列是递减成本，它的绝对值表示目标函数中决策变量 的系数必须改进多少，才能得到该决策变量的正数解。这 里的“改进”，在最大化问题中是指增加，在最小化问题 中是指减少。两个决策变量均已得到正数解，所以它们的 递减成本均为零。 • 第五列目标式系数是指目标函数中的系数，它是题目中的 已知条件。本例中目标函数中两个决策变量的系数分别为3 和8。 • 第六列和第七列分别是允许的增量和运行的减量，它们表 示目标函数中的系数在允许的增量与减量范围内变化时， 最优解不变。本例中，第一个决策变量（产品A的产量）的 目标系数为3，允许增量为1，允许的减量为3，因此该目标 系数在[3-3,3+1]即[0,4]范围内变化，该问题的最优解不变。 同理第二个决策变量（产品B的产量）的目标系数为8，允 许增量为1E+30，允许的减量为2，因此该目标系数在[82,8+1E+30]即[6,]范围内变化，该问题的最优解不变。 7 管 理 运 筹 学
管 理 运 筹 学
13
使用敏感性报告进行敏感度分析
• （1）若产品A的利润系数从3（元/单位产品） 增至3.5（元/单位产品），那么，已求得的 最优解、最优目标值会变化吗？ • 由图1所示可知敏感性报告上部的表格可知， 产品A的系数在允许的变化范围[3-3，3+1]， 即[0，4]区间变化时，不会影响最优解。现 在产品A的利润系数是3.5，是在允许的变化 范围内，所以最优解不变，仍然是X=100， Y=350。 • 要注意的是，最优目标值将发生变化。原来 是3100，现在是3.5*100+8*350=3150。
【2017年整理】lingo灵敏度分析实例
【2017年整理】lingo灵敏度分析实例一个实例理解Lingo的灵敏性分析
线性规划问题的三个重要概念:
最优解就是反应取得最优值的决策变量所对应的向量。
最优基就是最优单纯形表的基本变量所对应的系数矩阵如果其行列式是非奇异的，则该系数矩阵为最优基。
最优值就是最优的目标函数值。
Lingo的灵敏性分析是研究当目标函数的系数和约束右端项在什么范围(此时假定其它系数不变)时，最优基保持不变。灵敏性分析给出的只是最优基保持不变的充分条件，而不一定是必要条件。下面是一道典型的例题。
一奶制品加工厂用牛奶生产A1,A2两种奶制品，1桶牛奶可以在甲车间用12小时加工成3公斤A1，或者在乙车间用8小时加工成4公斤A2。根据市场需求，生产的A1,A2全部能售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间480小时，并且甲车间每天至多能加工100公斤A1，乙车间的加工能力没有限制。试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下3个附加问题:
1) 若用35元可以买到1桶牛奶，应否作这项投资,若投资，每天最多购买多少桶牛奶, 2) 若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元, 3) 由于市场需求变化，每公斤A1的获利增加到30元，应否改变生产计划, 模型代码:
max=72*x1+64*x2;
x1+x2<=50;
12*x1+8*x2<=480;
3*x1<=100;
运行求解结果:
Objective value: 3360.000
影子价格名词解释
影子价格名词解释
影子价格（Shadow Price）是指在经济学中，用于衡量资源的
生产（或消费）边际效益的价格。它是指在特定条件下，如果增加（或减少）一单位资源的使用量，所带来的效益变化。影子价格的概念在环境经济学、公共经济学等领域都有应用。
影子价格的概念起源于线性规划理论。在线性规划中，通过建立一个数学模型，可以找到一种最优方案来分配资源以满足一定的约束条件。在这种模型中，约束条件往往是资源的有限性和目标的最大化或最小化。影子价格就是通过解决这个线性规划问题而得到的，它体现了资源在各约束条件下的边际效应。
具体来说，在线性规划模型中，每个约束条件都有一个对应的影子价格，用来衡量满足该约束条件所带来的增加或减少单位资源所能带来的效益变化。影子价格的计算方法是通过对线性规划问题进行敏感度分析得到的，通过变化约束条件的系数来观察目标函数值的变化。
影子价格的概念在环境经济学中有广泛的应用。例如，当考虑环境资源的利用时，如水资源、森林资源等，就可以使用影子价格来衡量资源的稀缺性和价值。影子价格可以帮助决策者在资源配置中做出优化的决策，以实现资源的可持续利用和环境的保护。
此外，影子价格还可以应用于公共经济学领域。在公共经济中，政府经常需要制定公共政策，如公共投资、税收政策等，来引导经济发展。通过计算资源的影子价格，政府可以根据资源的
相对稀缺性来制定合理的政策。例如，当一个市场部门的投资需求超过资源供给时，政府可以通过增加该市场的资源影子价格来引导资源的流向。
在实际应用中，影子价格的计算方法因具体情况而异。通常需要根据具体问题建立数学模型，并通过对线性规划问题的求解或敏感度分析得到。影子价格可以帮助决策者更好地理解资源的价值，优化资源配置，实现可持续发展。
LINGO结果窗口内容解读与灵敏度分析
LINGO结果窗⼝内容解读与灵敏度分析
1.结果窗⼝内容解读
1. ⽬标函数值:Global option solution found.表⽰求出了全局最优解;Objective value表⽰最优⽬标值，Total solver iretion表⽰求解
时共⽤了⼏次迭代
2. 决策变量:Value给出最优解中各变量的值
3. 变量的判别数：Reduced Cost表⽰最优单纯形表中判别数所在的⾏的变量的系数，表⽰当变量有微⼩变化时，⽬标函数的变化率。
其中基变量的reduced cost值应为零。对于基变量相应的reduced cost值表⽰这个变量增加⼀个单位时⽬标函数值减少的量(max型问题)
4. 紧约束与松约束：slack or Surplus给出松弛或剩余变量的值,其值为零的对应约束为"紧约束"，表⽰在最优解下该项资源已经⽤完；
其值为⾮零的对应约束为"松约束"，表⽰在最优解下该项资源还有剩余
5. 对偶价格(经济学:影⼦价格)：DUAl PRICE(对偶价格)表⽰当对应约束有微⼩变动时⽬标函数的变化率。输出结果中对应每⼀个"紧约
束"有⼀个对偶价格。若其数值为怕，则表⽰对应约束不等式右端项正好增加⼀个单位，⽬标函数将增加P个单位(max)模型。显然，如果在最优解处约束条件正好取等号(也就是"紧约束"，也称为有效约束或起作⽤约束)，对偶价格值才可能不是0.
6. 变量框(Variables):Total表⽰当前模型的全部变量数，Nonlinear显⽰其中的⾮线性变量数，Integers显⽰其中的整数变量数。⾮线性
运筹(第二章对偶与灵敏度分析)(1)
s.t 2 y1 4 y2 2 2y1 5y3 3 y1, y2, y3 0
2023/2/22
8
原问题
max Z 2x1 3x2
2x1 2x2 12
4
x1
16 5x2 15
x1, x2 0
对偶问题
min W 12 y1 16 y2 15 y3
2023/2/22
29
例 书P59 例3 max Z 2x1 3x2
2x1 2x2 x3
4x1
5x 2
x4 x5
x1,...,x5 0
12 y1 16 y2 15 y3
2
3
0
0
0
CB
XB
b
2
x1
3
0
x4
4
3
x2
5
j
2023/2/22
x1
x2 x3
x4
x5
1 0 1/2 0 -1/5
则对偶问题是
max w 24 y1 15y2 30 y3
4 y1 3y2
7
x1
2 y1 6 y2 5 y3 4
x2
6 y1 4 y2 3x3 3
x3
y1, y2 0, x3无约束
2023/2/22
18
小结：对偶问题与原问题的关系：
灵敏度分析
现在要问：（1）当产品1的价值系数由 2变为 3，产品2的价值系数从3变为2 时， 最优解会如何变化？产品2的价值系数的在怎样的范围内变化时最优解不变？
（1）用新价值系数代换表13中的价值系数，重新计算检验数得到表14。 返回表18
cj
32
CB
XB
b
x1
x2
3
x1
4
1
0
表 14
0
0
0
x3
x4
x5
0
解：先计算B﹣1⊿b。
0 1/4 0
B﹣1⊿b = -2 1/2 1
1/2 -1/8 0 再把结果加到表16的 b 列中。
0
4
0
0 = -8-8
0
00
cj
CB
XB
b
2
3
x1
x2
0
0
x3
x4
2
x1
4 +0
1 00
1/4
0
x5
4 -8
0 0 [-2]
1/2
3
x2
2 +0
0 1 1/2
-1/8
(cj－zj) 或 j
cj
24
3
CB
XB
b
x1
x1′
x2
2
x1
4
运筹学线性规划灵敏度分析教学案例
2020/8/1
灵敏度分析的内容
再看线性规划模型：
Max Z = 300x1+ 500x2
x1
≤4
s.t.
2 x2 ≤12
3x1 + 2x2 ≤18
x1, x2 ≥0
（车间1） （车间2） （车间3） （非负）
已经求得最优解：x*1 = 2, x*2 = 6。此时总利润最大，最优 目标值为：z* = 3600（元）
解：设决策变量为该厂每天生产量：
稿纸 x1 捆，日记本 x2 打，练习本 x3 箱。
2020/8/1
数学模型为
max z x1 2x2 3x3
10 3
x1
40 3
x2
80 3
x3
30000
s.t. x1 x2 x3 3000
x1
0
(i
1,2,3)
总利润最大
每天白坯纸 供应约束
工人数
第 2 行约束中右端项（Right Hand Side，简写为RHS） 原来为 4，当它在 [2，∞]范围变化时，最优基保持不变。第3、 4 行可以类似解释。不过由于此时约束发生变化，最优基即 使不变，最优解、最优值也会发生变化。
2020/8/1
多个费用系数同时变动分析
例如，门的单位利润涨到 450元，窗的利润降到 400元，是 否会导致最优解发生变化呢？
运筹学单纯形法的灵敏度分析
0
0
-1 4 -1
1
2 -1 1
0
-3 -5 -1
• 解到第三段得到最优解： • x1=1（甲产品生产1单位），x2=2（乙产品生产2单位），x3=0（丙产品不生产）， • maxZ=8（最大利润达到8元）
一、目标函数系数Cj的改变对原问题 的影响
• 讨论：上例中甲、乙、丙三种产品单位利润发生变化时对原 问题的影响。
• 再进一步分析，如果C1降到某一程度之后，即利润非常小，从 实际意义上讲，是不应该安排甲产品生产的。另一方面，当甲 产品利润增加到很高一个水平时，就可以考虑只生产甲产品而 不生产其他产品，那么究竟甲产品利润必须变动到什么程度才 可能发生以上变化呢？
（二）基变量目标函数系数的改变
∵x1是基变量，基变量的检验数C1-Z1=0，而C1变化 会影响到非基变量的检验数。
（三）基变量和非基变量的目标函 数系数同时发生变化时
• 思路：参考以上两种情况，在单纯形表最后一段 中，用变化后的新Cj代入计算检验数Cj-Zj，若满 足符号条件，则最优解不变，最优值变动；若不 满足符号条件，则用变化后的Cj代入最后一段， 继续进行迭代计算。
如上例，当Cj变为：C2=4，C3=4
0 x5
Qi
1/3
1/3 1/3 1
1/3 （4/3） 7/3 0
0
3
1 9/4 →
运筹学讲义影子价格-灵敏度分析-运输问题
结果解释
max 72x1+64x2 st 2）x1+x2<50 3）12x1+8x2<480 4）3x1<100
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
3360.000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 20.000000
0.000000
X2 30.000000
如果目前市场上材料的价格低于 1/3，则企业可以购进材料来扩大 生产，反之可以卖掉部分材料。
如果有客户以高于5/3的价格购
买工时，则可以出售一些工时，
反之则反 8
和市场价格的比较
市场价格
影子价格
商品的价值的货币表 资源最优利用时的边际价
现
值
随着市场的供求情况 随着经济结构的变化而变
和有关方针，政策的 化，同一资源在不同的经
X2 30.000000
0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2)
0.000000
48.000000
3)
0.000000
2.000000
4) 40.000000
0.000000
NO. ITERATIONS= 2
max 72x1+64x2 st 2）x1+x2<50 3）12x1+8x2<480 4）3x1<100 end
lingo影子价格
lingo影⼦价格
简介
经常会遇到 lingo 影⼦价格⼀开始不是特别清楚今天把它弄清楚
code
lingo程序
MODEL:
MAX=72*x1+64*x2;
x1+x2<=50;
12*x1+8*x2<=480;
3*x1<=100;
END
结果
Global optimal solution found.
Objective value: 3360.000
Infeasibilities: 0.000000
Total solver iterations: 2
Variable Value Reduced Cost
X1 20.00000 0.000000
X2 30.00000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 3360.000 1.000000
2 0.000000 48.00000
3 0.000000 2.000000
4 40.00000 0.000000
2 0.000000 48.00000
0.000000 表⽰不等式 x1+x2<=50; 是紧约束，就是刚好卡到边界的意思 48 表⽰ x1+x2<=50+1=51; 的时候⽬标值增加了48； 48
这⾥就是影⼦价格
3 0.000000 2.000000
4 40.00000 0.000000
40.00000 表⽰松约束还有 40.00000 的盈余，所以增加它不会对最终结果造成任何影响。对应的影⼦价格就是 0
运筹学第二章灵敏度分析
规划求解得到
2.8 增加一个约束条件
增加一个约束条件，比如增加电力供应限制时， 最优解是否会发生变化？
假设生产一扇门和窗需要消耗电力分别为20kw和 10kw，工厂可供电量最多为90kw，此时应该在原 有的模型中加入新的约束条件：
20x110x290
模型
m ax z 300 x1 500 x2
m ax z 300 x1 500 x2
x1 4
s
.t
.
2 3
x2 x1
1 2
2 x
2
18
x 1 , x 2 0
m ax z 300 x1 500 x2 400 x3
x1 2 x3 4
s.t
.
2 3
x2 x1
x3 2x
12 2 x3
18
x1 , x2 , x3 0
件均不变，把12改成13
m ax z 300 x1 500 x2
x1 4
s
.t
.
2 3
x x
2 1
1 2
2 x2
18
x 1 , x 2 0
m ax z 300 x1 500 x2
x1 4
s
.t
.
2 3
x2 x1
1 2
3 x2
18
x 1 , x 2 0
最优解改变，利润增加
灵敏度分析与实际问题
灵敏度分析与实际问题
我们前面所讨论的线性规划问题都是静态问题。也就是说，该问题中的数字都是不能变化的常数值。然而在现实生活中，技术系数aij ，价值系数cj 和资源系数bi 都是可以改变的。改变的原因可能是外部环境和内部条件的改变，可能是一些必要的调整，也可能只是因为数据的来源决定是数据不可能是一个确定的值，而是一个大概的范围。 那么在这些数据改变之后，原来的最优解还是不是最优？该系数改变多少以内最优解保持不变？数据的改变引起的最优值的改变为多少？ 于是，我们引入了灵敏度问题。 灵敏度问题就是指某一个系数变化，比如资源系数b,价值系数c,技术系数a,或者某一个条件变化，比如增加一个变量，增加一个约束条件，引起的最优解变化问题。或者说，这些变化对最优解和最优基的影响。
灵敏度问题的讨论能够拓宽线性规划问题的应用领域，增加该模型的实际意义。
因为现实生活中，我们要进行抽象的系统，各种条件是随时间，地点等因素变化，甚至会互相影响的复杂系统。显然，灵敏度分析能让线性规划问题更具实用性，以适应现实中的各种变化。
一、资源数量变化分析 1.1影子价格
先看这样一个简单的线性规划问题
例1 某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品, 已知生产单位产品所需的设备 台时及A 、B 两种原材料的消耗, 如表1-1 所示。 I I I
设备 1 2 8台时 原材料A 4 0 16kg 原材料B 0 4 12kg
12121212max 2328416412,0
z x x x x x x x x ==++≤≤≤≥
最优解是（4，2）
多种资源灵敏度分析和影子价格的探讨
运 筹 与 管 理
２０ ０ ２年 第 １ １卷
种 资 源 变 化 的 情 况 下 ， 子 价 格 的应 用 可 以 而 且 应 该 超 越 传 统 的 观 点 ， 统 筹 调 配 各 种 资 源 ， 影 以 追 求 总 的 目标 函数 值 达 到 最 优 。
１ 多 种 资源 数 量 变 化 的灵 敏 度分 析
ｇｒ ｍ ｍ ｉ ｏ ｌｏ ｐｔｍ ｕ ａ ａ ｎｇ ｍ ｄｅ ｆｏ ｉ ｍ ｍｏｕ ｓｏｆａ ｌｒ ｓ ｕｒ ｅ ｓｇｉｅ ｎｔ ｌ ｅ ｏ ｃ ｓｉ ｖ ｎ．Ｉ ｈ ａ ｅｏｆｔ ｈａ ｅ ｆａ ｌｒ — ｎ ｔ ｅ ｃ ｓ ｈｅ ｃ ｎｇ ｓｏ ｌ ｅ
ｏ ｓ ｕｒ ｅ ， ａ ｃｓ ｐｐｌ ａｔｏ ｈａ ｏｗ ｒｃ ｈ ｌ ｏ ｂ ｙ ｎｄ ｔａ ｔｏ ｌｖ ｅ ｓ Ａ ｌ ｅ ｕｒ ｅ ｈｏ ｄ ｅ ｉ ｉ ｎ ｏｆｓ ｄ ｃ ｐ ｉｅ ｓ ｏｕ ｄ ｇ ｅ ｏ ｒ ｄｉｉｎａ ｉ ｗ ． ｌ ｓ ｒ ｏ ｃ ｓ ｓ ｕｌ ｂ
考 虑 线 性 规 划 问题 ： ｍａ ｘ Ｚ＝Ｃ Ｘ
Ｓｎ １ ｒＣ ｅＳ ． ｌ
０ 引 言
在 线 性 规 划 的 灵 敏 度 分 析 中 ， 行 资 源 数 量 的变 化 分 析 时 ， 往 都 只考 虑 一 种 资 源 数 量 的 进 以
变化 ， 由此 得 出最 优 基 不 变 时 该 种 资 源 变 化 的 数 量 范 围 … ， 此 应 用 到 影 子 价 格 的 灵 敏 度 分 将 析 时 ， 以得 到 该 种 资 源 的追 加 数 量 限 制 ｌ儿 超 过 此 范 围 ， 优 基 将 变 化 ， 种 资 源 的 影 子 可 ２ 引， 最 该
运筹学：对偶理论与灵敏度分析习题与答案
一、填空题
1、对偶问题的对偶问题是（）。
正确答案：原问题
2、若X﹡和Y﹡分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CX﹡（）Y﹡b。
正确答案：=
3、若X、Y分别是线性规划的原问题和对偶问题的可行解，则有CX（）Yb。
正确答案：<=
4、若X﹡和Y﹡分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CX﹡（）Y*b。
正确答案：=
5、设线性规划的原问题为maxZ=CX，Ax≤b，X≥0，则其对偶问题为（）。
正确答案：min=Yb YA>=c Y>=0
6、影子价格实际上是与原问题各约束条件相联系的（）的数量表现。
正确答案：对偶变量
7、线性规划的原问题的约束条件系数矩阵为A，则其对偶问题的约束条件系数矩阵为（）。
正确答案：AT
8、在对偶单纯形法迭代中，若某bi<0，且所有的aij≥0(j=1，2，…
n)，则原问题（）。
正确答案：无解
二、选择题
1、线性规划原问题的目标函数为求极小值型，若其某个变量小于等于0，则其对偶问题约束条件为（）形式。
A. “≥”
B. “≤”
C. “>”
D. “=”
正确答案：A
2、如果z*是某标准型线性规划问题的最优目标函数值，则其对偶问题的最优目标函数值w﹡满足（）。
A.W﹡=Z﹡
B.W﹡≠Z﹡
C.W﹡≤Z﹡
D.W﹡≥Z﹡
正确答案：A
3、如果某种资源的影子价格大于其市场价格，则说明（）。
A.该资源过剩
B.该资源稀缺
C.企业应尽快处理该资源
D.企业应充分利用该资源，开辟新的生产途径
正确答案：B
4、线性规划原问题的目标函数为求极小值型，若其某个变量小于等于0，则其对偶问题约束条件为（）形式。
影子价格理论及确定方法(课堂PPT)
5）当采用收益现值法确定土地影子价格时， 应以社会折现率对土地的未来收益及费用折现。
25
使用生产性用地的影子价格
投资项目使用生产性用地即农村土地 的影子价格的计算方法如下：
土地影子价格=土地机会成本+新增资源消耗
13
2．2．1外贸货物影子价格的确定
（1）直接进口的（国外产品）货物。 影子价格=货物到岸价格*影子汇率+国内运
费+贸易费用 （2）间接进口的货物（以前进口过，现在仍大
量进口的国内产品）。 影子价格=货物到岸价格*影子汇率+口岸到
原用户的运费和贸易费用-供应厂到原用户的运 费和贸易费用+供应厂到拟建项目的运费和贸易 费用
43
对比分析
从计算结果可以看出，A方案的各项主要 指标都明显优于B方案，投产以后抗风险 能力A方案强，所以应该选用A方案。
44
3．2．2非线性盈亏平衡点
现实生活中，成本方程和销售收入方程 为非线性函数，此时两条曲线会产生两个 交点，也即有两个盈亏平衡点，在这两个 点之内为盈利的产量范围；在两个平衡点 之外都是亏本的。
14
外贸货物影子价格的确定
（3）减少出口的货物（以前出口过，现在 仍可出口的国内产品）。
影子价格与灵敏度分析在施肥方案调整中的应用
Ａｂ ｔ ａ ｔ：Ｍ ａ ｎ ｅ ｔｌｚ ｔｏ ｃ ｅ Ｓ ａ ｆｅ ｔｖ ｙ ｔ ｍｐｒ ｖ ｈ ｅ ｔｌｚ ｔｏ ｆ ｅ ｔ ｒ ｄｕｃ ｓｒ ｅ ｋｉ ｇ ｆ ｒ ｉｉａ ｉ ｎ ｓ ｈ ｍｅ ｉ ｎ ｅ ｆ ｃ ｉ ｅ ｗａ ｏ ｉ ｏ ｅ ｔ ｅ ｆ ｒｉｉａ ｉ ｎ ｅ ｆ ｃ ， ｅ ｅ
河 南农 业科 学
影 子 价 格 与 灵敏 度 分 析在 施 肥 方 案 调 整 中 的应 用
王文 海 ， 曹殿立
（ 南农 业 大 学 信 息 与 管 理 科 学 学 院 ， 南 郑 州 ４ ０ ０ ） 河 河Baidu Nhomakorabea５ ０ ２
摘 要 ： 学地 制定 施肥 方案 是提 高施 肥 效果 、 科 降低施 肥 成本 、 实现 增产 增收 的 有效 途 径 。影子 价 格 和灵敏 度 分析 可 以为施 肥方 案 的制定及 调 整提供 有 效的 帮助 。 以实例说 明 了化肥 的影 子价 格在 施 肥 方 案调整 中的应 用 ， 析 了化肥 影子 价格 的经 济意 义 ， 限额 系数 、 分 从 价格 系数 、 价值 系数等 方 面研 究 了有 效地 应 用灵敏 度 分析调 整施 肥 方案 的方 法 ， 以 实例 进 行 了详 细 的 实证 分析 ， 并 为科 学种 田 、 节约 成本 、 产增收提 供 了科 学 的决策依 据 。 增
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1
第五节 灵敏度分析
线性规划问题所对应的数据集合Ａ，b，Ｃ常常是通过 预测或估计所得到的统计数据，在实际使用中，不免会有 一定的误差。而且随着市场环境，工艺条件和资源数量的 改变，这些数据完全可能发生变化。
因此有必要来分析一下当这些数据发生波动时，对目前 的最优解或最优值会产生什么影响，这就是所谓的灵敏度 分析(结果分析)。
1. 甲乙两种资源中哪种资源的拥有量是制约利润 进一步提高的因素? 2. 若在市场上能按比正常价格贵0.5(千元)的单价买 到资源甲和乙, 问为了进一步提高净利润是否应该买?
3. 若欲通过提高售价提高产品B的单位利润,问B的 单位利润要提高多少(千元),才能仍在追求最大利润 的目标下考虑产品B的生产?
在此基础上,进一步考虑如下问题:
1. 甲乙两种资源中哪种资源的拥有量是制约利润进一步提 高的因素?
2. 若在市场上能按比正常价格贵0.5(千元)的单价买到资源 甲和乙, 问为了进一步提高净利润是否应该买?
3. 若欲通过提高售价提高产品B的单位利润,问B的单位利 润要提高多少(千元),才能仍在追求最大利润的目标下考虑 产品B的生产?
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解：设该企业生产产品 A, B, C 分别为 x1, x2 , x3 吨， 则得如下数学模型:
max z 3 x1 x2 4 x3
s.t. 6 x1 3 x2 5 x3 45
3 x1 4 x2 5 x3 30
x j 0, j 1, 2, 3
化为标准形: min f 3 x1 x2 4 x3
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例1、某工厂用甲,乙两种资源生产A,B,C三产品。 已知生产单位产品所需要的资源量,所获利润以及 每种资源的最大供给均列于表。试问如何安排生产 计划，即A,B,C三种产品各生产多少吨，可使该厂 所获得利润达到最大。
原料 AB
甲
63
乙
34
利润 3 1
(千元/吨)
拥有总数 C
5
Baidu Nhomakorabea45
5
30
4
10
在此基础上,进一步考虑如下问题:
0 1 1 -1/5 2/5 3
0 2 0 1/5 3/5 27
因此最优解为: x1 5, x2 0, x3 3, x4 0, x5 0
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因此最优解为: x1 5, x2 0, x3 3, x4 0, x5 0
即最优生产计划为:生产A产品5吨, C产品3吨,不生产B产品.
由于标准形的最优值为-27, 故此时对应的最大利润为27千元.
2
灵敏度分析主要讨论如下二类问题： ➢若数据发生变化，最优解会有什么变化? ➢数据集合在什么范围内波动, 最优解保持不变？
详情可以参考如下教材: <<运筹学>> 清华大学出版社
<<运筹学原理和方法>>华中科技大学出版社
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例1、某工厂用甲,乙两种资源生产A,B,C三产品。 已知生产单位产品所需要的资源量,所获利润以及 每种资源的最大供给均列于表。试问如何安排生产 计划，即A,B,C三种产品各生产多少吨，可使该厂 所获得利润达到最大。
的右端数据向量，它代表各种资源的拥有量。
6
记
Y
( y, 1
y2 ,L
,
y ) m
是对偶问题的最优解,
由 Z=CTX* =Y*Tb=y*1b1 y*2b2 L y*mbm
得:
z bi
yi*
Y
(
y 1
,
y2
,L
, y ) m
的经济学意义是,它们代表
各单位资源在最优利用条件下所创造利润的估价，
这种估价不是资源的市场价格，为区别起见，称之
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1. 甲乙两种资源中哪种资源的拥有量是制约利润进一步提 高的因素?
最优解为: x1 5, x2 0, x3 3, x4 0, x5 0
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对偶最优解的经济解释—影子价格
由强对偶定理可知，如果原问题有最优解 X ,
那么对偶问题也有最优解
Y
(
y , 1
y2 ,L
, y ) m
而且他们的目标函数值相等,即有:
Z=CTX* =Y*Tb=y*1b1 y*2b2 L y*mbm
其中 b=(b1 , b2 ,L , bm )T 是线性规划原问题约束条件
, 这表明
这表明第i种资源已经用完，成为稀缺资源。
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资源的影子价格同时也是一种机会成本，在市场 经济的条件下，当某种资源的市场价格低于影子价 格时，企业应买进这种资源用于扩大生产；相反当 某种资源的市场价格高于影子价格时，企业应卖出 这种资源。随着资源的买进卖出，企业资源的影子 价格也将随之发生变化，一直到影子价格与市场价 格保持同等水平时，才处于平衡状态。
上一节内容回顾
对偶理论是线性规划的重要内容之一。对于每个线性 规划问题,都有另一个线性规划问题(对偶)与之对应。
原问题和对偶问题紧密关联，它们不但有相同的数据集合， 相同的最优目标函数值，而且在求得一个线性规划的最优解 的同时，也同步得到对偶线性规划的最优解. 由此衍生出求 解线性规划问题的另一种算法---对偶单纯形法.
为影子价格(shadow price)
7
影子价格的大小客观地反映了各种不同资源在系
统内的稀缺程度。如果第i种资源供大于求，即在达
到最优解时，该种资源没有用完，或松弛变量
由互补松弛定理，在对偶最优解 Y* 中，第i种资源的
影子价格
反之如果第i种资源的影子价格 y*i 0
那么原问题的第i个约束为严格等式, 即
s.t. 6 x1 3 x2 5 x3 x4 45
3 x1 4 x2 5 x3 x5 30
x j 0, j 1, 2, 3, 4, 5
其中 x4 , x5 分别是资源甲和乙引进的松弛变量.
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63 5 1 0
45
34 5 0 1
30
-3 -1 -4 0 0
0
最终表格为:
1 -1/3 0 1/3 -1/3 5
原料 AB
甲
63
乙
34
利润 3 1
(千元/吨)
拥有总数 C
5
45
5
30
4
4
在此基础上,进一步考虑如下问题:
1. 甲乙两种资源中哪种资源的拥有量是制约利润 进一步提高的因素? 2. 若在市场上能按比正常价格贵0.5(千元)的单价买 到资源甲和乙, 问为了进一步提高净利润是否应该买?
3. 若欲通过提高售价提高产品B的单位利润,问B的 单位利润要提高多少(千元),才能仍在追求最大利润 的目标下考虑产品B的生产?