2018年苏教版数学选修2-2学业分层测评11 归纳推理

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高中数学苏教版高二选修2-2学业分层测评：第一章_导数及其应用_4

学业分层测评(四)(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．函数y ＝－2e x sin x 的导数y ′＝________.【解析】 y ′＝(－2e x )′sin x ＋(－2e x )·(sin x )′＝－2e x sin x －2e x cos x ＝－2e x (sin x ＋cos x )．【答案】－2e x (sin x ＋cos x )2．函数f (x )＝x e －x 的导数f ′(x )＝________.【解析】 f ′(x )＝x ′·e －x ＋x (e －x )′＝e －x －x e －x ＝(1－x )e －x .【答案】 (1－x )e －x3．函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，则f ′(3π)＝________. 【解析】因为f ′(x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4′ ＝－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，所以f ′(3π)＝－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－π4＝－12sin 5π4＝24. 【答案】 244．曲线C ：f (x )＝e x ＋sin x ＋1在x ＝0处的切线方程是________．【解析】 ∵f ′(x )＝e x ＋cos x ，∴k ＝f ′(0)＝2，切点为(0,2)，切线方程为y ＝2x ＋2.【答案】 y ＝2x ＋25．(2016·东营高二检测)设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝x 2＋2x ·f ′(1)，则f ′(0)＝________.【解析】 f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，令x ＝1，则f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝－2，∴f ′(x )＝2x －4，∴f ′(0)＝－4.【答案】－46．(2016·佛山高二检测)若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝________.【解析】 y ′＝k ＋1x ，则曲线在点(1，k )处的切线的斜率为k ＋1，∴k ＋1＝0，∴k ＝－1.【答案】－17．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________．【解析】设直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )的切点为(x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1，y 0＝ln(x 0＋a )．又y ′＝(x ＋a )′x ＋a ＝1x ＋a 及导数的几何意义， ∴1x 0＋a＝1，即x 0＋a ＝1.因此，y 0＝ln(x 0＋a )＝0，∴x 0＝－1，∴a ＝2.【答案】 28．(2016·广州高二检测)若函数为y ＝sin 4x －cos 4x ，则y ′＝________________.【解析】 ∵y ＝sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )·(sin 2x －cos 2x )＝－cos 2x ，∴y ′＝(－cos 2x )′＝－(－sin 2x )·(2x )′＝2 sin 2x .【答案】 2sin 2x二、解答题9．求下列函数的导数．(1)y ＝1－2x 2；(2)y ＝e sin x ；(3)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(4)y ＝5log 2(2x ＋1)．【解】 (1)设y ＝u ，u ＝1－2x 2，则y ′＝(u )′(1－2x 2)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u －12·(－4x ) ＝12(1－2x 2) (－4x )＝－2x 1－2x2. (2)设y ＝e u ，u ＝sin x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝e u ·cos x ＝e sin x cos x .(3)设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1，则y ′＝y u ′·u x ′＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2.10．求曲线y ＝2sin 2x 在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12处的切线方程．【解】因为y ′＝(2sin 2x )′＝2×2sin x ×(sin x )′＝2×2sin x ×cos x ＝2sin 2x ，所以y ′|x ＝π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＝ 3. 所以过点P 的切线方程为y －12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即3x －y ＋12－3π6＝0.能力提升]1．若f (x )＝sin x sin x ＋cos x，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4等于________．【解析】∵f ′(x )＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2 ＝1(sin x ＋cos x )2＝11＋sin 2x， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝11＋sin π2＝12. 【答案】 122．(2014·江西高考)若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________.【导学号：01580010】【解析】令f (x )＝x ln x ，则f ′(x )＝ln x ＋1，设P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝ln x 0＋1＝2，∴x 0＝e ，此时y 0＝eln e ＝e ，∴点P 的坐标为(e ，e)．【答案】 (e ，e)3．已知函数y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线为y ＝2x －1，则函数g (x )＝x 2＋f (x )在(2，g (2))处的切线方程为________．【解析】由题意知，f (2)＝3，f ′(2)＝2，则g (2)＝4＋f (2)＝7.∵g ′(x )＝2x ＋f ′(x )，∴g ′(2)＝4＋f ′(2)＝6.∴函数g (x )在(2，g (2))处的切线方程为y －7＝6×(x －2)，即6x －y －5＝0.【答案】 6x －y －5＝04．已知函数f (x )＝x －1＋a e x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(2)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求l的直线方程．【解】(1)f′(x)＝1－ae x，因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)＝1－ae＝0，解得a＝e.(2)当a＝1时，f(x)＝x－1＋1e x，f′(x)＝1－1e x.设切点为(x0，y0)，∵f(x0)＝x0－1＋1e x0＝kx0－1，①f′(x0)＝1－1e x0＝k，②①＋②得x0＝kx0－1＋k，即(k－1)(x0＋1)＝0. 若k＝1，则②式无解，∴x0＝－1，k＝1－e.∴l的直线方程为y＝(1－e)x－1.。

(必考题)高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试题(包含答案解析)(3)

一、选择题1．数学归纳法证明*1111(1,)n 1n 2n 2n n N n +++>>∈+++，过程中由n k =到1n k =+时，左边增加的代数式为（）A ．122k +B ．121k + C ．11+2122++k k D ．112k 12k 2++－ 2．正四面体ABCD 的棱AD 与平面α所成角为θ，其中02πθ<<，点D 在平面α内，则当四面体ABCD 转动时（）A ．存在某个位置使得BC α，也存在某个位置使得BC α⊥B ．存在某个位置使得BC α，但不存在某个位置使得BC α⊥ C ．不存在某个位置使得BC α，但存在某个位置使得BC α⊥D ．既不存在某个位置使得BC α，也不存在某个位置使得BC α⊥ 3．用反证法证明某命题时，对其结论“a ，b 都是正实数”的假设应为（） A ．a ，b 都是负实数B ．a ，b 都不是正实数C ．a ，b 中至少有一个不是正实数D ．a ，b 中至多有一个不是正实数4．给出下面四个推理：①由“若a b 、是实数，则+≤+a b a b ”推广到复数中，则有“若12z z 、是复数，则1212z z z z +≤+”；②由“在半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”类比推出“在半径为R 的球内接长方体中，正方体的体积最大”；③以半径R 为自变量，由“圆面积函数的导函数是圆的周长函数”类比推出“球体积函数的导函数是球的表面积函数”；④由“直角坐标系中两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的中点坐标为1212(,)22x x y y ++”类比推出“极坐标系中两点11(,)C ρθ、22(,)D ρθ的中点坐标为1212(,)22ρρθθ++”．其中，推理得到的结论是正确的个数有（）个 A ．1B ．2C ．3D ．45．“杨辉三角形”是古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是三角形数阵，记n a 为图中第n 行各个数之和，则411a a +的值为A ．528B ．1032C ．1040D ．20646．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁7．圆有6条弦，两两相交，这6条弦将圆最多分割成( )个部分 A ．16 B ．21 C ．22 D ．238．数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，甲：我不会证明；乙：丙会证明；丙：丁会证明；丁：我不会证明.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是( ) A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁9．定义*A B ，*B C ，*C D ，*D A 的运算分别对应下面图中的⑴，⑵，⑶，⑷，则图中⑸，⑹对应的运算是( )A ．*B D ，*A D B ．*B D ，*AC C ．*B C ，*AD D ．*C D ，*A D10．由圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦，想到球心与截面圆（不经过球心的小截面圆）圆心的连线垂直于截面，用的是（）A ．类比推理B ．三段论推理C ．归纳推理D ．传递性推理 11．根据给出的数塔猜测12345697⨯+（）19211⨯+=1293111⨯+= 123941111⨯+= 12349511111⨯+= 1234596111111⨯+=…A ．1111111B ．1111110C ．1111112D ．111111312．设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i (i ＝1，2，…，10)个人的水桶需T i 分钟，假设T i 各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少( ) A ．从T i 中最大的开始，按由大到小的顺序排队B ．从T i 中最小的开始，按由小到大的顺序排队C ．从靠近T i 平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队D ．任意顺序排队接水的总时间都不变二、填空题13．观察如图等式，照此规律，第n 个等式为______.11234934567254567891049=++=++++=++++++=14．在圆中：半径为r 的圆的内接矩形中，以正方形的面积最大，最大值为22r .类比到球中：半径为R 的球的内接长方体中，以正方体的体积最大，最大值为__________． 15．某次高三英语听力考试中有5道选择题，每题1分，每道题在三个选项中只有一个是正确的.下表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：1 2 3 4 5 得分甲 4 乙 3 丙2则甲同学答错的题目的题号是__________．16．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第个图案中有白色地面砖块.17．在探究实系数一元二次方程的根与系数的关系时，可按下述方法进行：设实系数一元二次方程22100a x a x a ++=……①在复数集C 内的根为1x ，2x ，则方程①可变形为()()2120a x x x x --=，展开得()222122120a x a x x x a x x -++=.……②比较①②可以得到：11220122a x x a a x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩类比上述方法，设实系数一元n 次方程11100nn n n a x a xa x a --++++=（2n ≥且*N n ∈）在复数集C 内的根为1x ，2x ，…，n x ，则这n 个根的积1ni i x ==∏ __________．18．观察下列等式：（1）24sin sin 033ππ+= （2）2468sin sin sin sin 05555ππππ+++= （3）2468sinsin sin sin 7777ππππ+++1012sin sin 077ππ++= …… …… …… …… …… ……由以上规律推测，第n 个等式为：__________．19．小明在做一道数学题目时发现：若复数111cos i?sin ?,z αα=+222 cos i?sin ,z αα=+，333cos i?sin z αα=+(其中123,,R ααα∈), 则121212cos()i?sin(+)z z αααα⋅=++，232323cos()i?sin(+)z z αααα⋅=++ ，根据上面的结论，可以提出猜想: z 1·z 2·z 3=__________________． 20．观察下列各式：0014C =011334C C +=01225554;C C C ++=0123377774C C C C +++=……照此规律，当n ∈N 时，012121212121n n n n n C C C C -----++++=______________.三、解答题21．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意*n ∈N 都有2132n n S n a =+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记*4()n n b a n N =+∈*1)nn N b ++<∈ 22．已知数列{}n a 满足11a =,1(5)5n n n a a a ++=. （1）计算234,,a a a 的值,猜想数列{}n a 的通项公式; （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想. 23．已知数列1111,,,,,112123123n+++++++，其前n 项和为n S ；（1）计算1234,,,S S S S ；（2）猜想n S 的表达式，并用数学归纳法进行证明.24．（1）当1x >时，求2()1x f x x =-的最小值.（2）用数学归纳法证明：11111222n n n +++≥++*()n N ∈. 25．在数列{}n a 中，111,21nn n a a a a +==+，其中1,2,3,n =.（Ⅰ）计算234,,a a a 的值；（Ⅱ）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明. 26．已知()()()()20121111nnn x a a x a x a x +=+-+-++-（2,*n n N ≥∈），（1）当5n =时，求12345a a a a a ++++的值；（2）设2233,2n n n n a b T b b b -==+++，试用数学归纳法证明：当2n ≥时，()()113n n n n T +-=。

2017-2018学年高中数学(苏教版选修2-2)学业分层测评15直接证明含答案

学业分层测评（十五）（建议用时：45分钟)［学业达标］一、填空题1。

命题“函数f（x)＝x－x ln x在区间（0,1]上是增函数”的证明过程“对函数f(x）＝x－x ln x求导得f′（x)＝－ln x，当x∈（0,1）时，f′（x）＝－ln x>0，故函数f(x）在区间（0,1）上是增函数”应用了________的证明方法。

【答案】综合法2.已知a，b是不相等的正数,x＝错误!，y＝错误!，则x,y的大小关系是x________y。

【解析】要比较x，y的大小.∵x〉0，y>0,只需比较x2,y2的大小，即错误!与a＋b的大小。

∵a，b为不相等的正数，∴2错误!〈a＋b,∴错误!<a＋b,则x2〈y2，∴x〈y.【答案】〈3.已知sin θ＋cos θ＝15且错误!≤θ≤错误!,则cos 2θ＝______________。

【解析】由sin θ＋cos θ＝错误!得1＋2sin θcos θ＝错误!.则2sin θcosθ＝－2425，∵错误!≤θ≤错误!，∴sin θ〉0，cos θ<0。

∴sin θ－cos θ＝错误!＝错误!。

∴sin θ＝错误!，∴cos 2θ＝1－2sin2θ＝1－2×错误!＝－错误!.【答案】－错误!4.已知函数f（x）＝e x－ax在区间（0,1）上有极值，则实数a 的取值范围是________.【解析】函数f(x)＝e x－ax在区间(0，1)上有极值,就是导函数f′（x）＝e x－a在区间（0，1)上有零点。

即方程e x－a＝0在区间(0,1）上有解。

所以a＝e x∈(1，e)。

【答案】(1,e）5。

已知f(x）＝错误!是奇函数，那么实数a的值等于________.【解析】函数的定义域为R，函数为奇函数，当x＝0时f(0）＝0，即错误!＝0,∴a＝1.【答案】16。

已知等差数列｛a n｝的公差d≠0，且a1,a3，a9成等比数列,则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝________. 【解析】 ∵a 1·a 9＝a 错误!，即a 1·(a 1＋8d ）＝（a 1＋2d ）2， ∴4d （a 1－d ）＝0,∵d ≠0，∴a 1＝d ，∴错误!＝错误!＝错误!。

高中数学(苏教版选修2-2)学业分层测评17 数学归纳法 Word版含答案

学业分层测评(十七)(建议用时：分钟)[学业达标]一、填空题.设()＝＋＋＋…＋(∈*)，那么(＋)－()等于.【解析】(＋)－()＝＋＋＋…＋＋＋＋－()＝＋＋.【答案】＋＋.(·无锡高二期末)用数学归纳法证明不等式“＋＋＋…＋＞”，当＝时，不等式左边的项为：.【解析】不等式左边分子是，分母是从＋一直到＋的分数之和，当＝时，＋＝＋＝，左边项为＋＋.【答案】＋＋.用数学归纳法证明：“＞＋对于≥的正整数都成立”时，第一步证明中的起始值应取值.【导学号：】【解析】∵当＝时，＝＋；当＝时，＜＋，当＝时，＜＋；当＝时，＜＋；当≥时，＞＋恒成立.∴＝.【答案】.若()＝＋＋＋…＋()，∈*，则(＋)－()＝.【解析】()＝＋＋＋…＋()，(＋)＝＋＋＋…＋()＋(＋)＋(＋)，则(＋)－()＝(＋)＋(＋).【答案】(＋)＋(＋).已知数列{}的前项和＝(≥)，而＝，通过计算，，，猜想＝.【解析】＝＝，＝，＝，＝，猜想＝.【答案】.用数学归纳法证明≥(，是非负实数，∈*)时，假设＝命题成立之后，证明＝＋时命题也成立的关键是两边同乘以.【解析】要想办法出现＋＋＋，两边同乘以，右边也出现了要证的＋.【答案】.以下是用数学归纳法证明“∈*时，＞”的过程，证明：()当＝时，＞，不等式显然成立.()假设当＝(∈*)时不等式成立，即＞.那么，当＝＋时，＋＝×＝＋＞＋≥＋＋＝(＋).即当＝＋时不等式也成立.根据()和()，可知对任何∈*不等式都成立.其中错误的步骤为(填序号).【解析】在＋＝×＝＋＞＋≥＋＋中用了≥＋，这是一个不确定的结论.如＝时，＜＋.【答案】().用数学归纳法证明＋＋…＋(－)＋＋(－)＋…＋＋＝时，由＝的假设到证明＝＋时，等式左边应添加的式子是.【解析】当＝时，左边＝＋＋…＋(－)＋＋(－)＋…＋＋.当＝＋时，左边＝＋＋…＋＋(＋)＋＋(－)＋…＋＋，所以左边添加的式子为(＋)＋.【答案】(＋)＋二、解答题.用数学归纳法证明：当∈*时，＋＋＋…＋＜(＋).【证明】()当＝时，左边＝，右边＝＜，不等式成立.()假设当＝(∈*)时不等式成立，即＋＋＋…＋＜(＋)，那么，当＝＋时，左边＝＋＋＋…＋＋(＋)＋＜(＋)＋(＋)＋＝(＋)(＋)＜(＋)＋＝[(＋)＋]＋＝右边，即左边＜右边，即当＝＋时不等式也成立.根据()和()，可知不等式对任意∈*都成立..已知数列{}满足＋＝，＝.试猜想{}的通项公式，并用数学归纳法证明.＝，＝，得【解】由＋＝＝，＝＝，＝＝，＝＝，….归纳上述结果，可得猜想＝(＝，…).。

高中数学苏教版高二选修2-2学业分层测评：第二章_推理与证明_17 含解析

高中数学苏教版高二选修2-2学业分层测评：第二章_推理与证明_17 含解析学业分层测评(十七)(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1.设f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n－1(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于________.【解析】f(n＋1)－f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n－1＋13n＋13n＋1＋13n＋2－f(n)＝13n＋13n＋1＋13n＋2.【答案】13n＋13n＋1＋13n＋22.(2016·无锡高二期末)用数学归纳法证明不等式“1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋13n＋1＞2512”，当n＝1时，不等式左边的项为：________.【解析】不等式左边分子是1，分母是从n＋1一直到3n＋1的分数之和，当n＝1时，n＋1＝2,3n＋1＝4，左边项为12＋13＋14.【答案】12＋13＋143.用数学归纳法证明：“2n＞n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取值________.【导学号：01580053】【解析】∵当n＝1时，21＝12＋1；当n＝2时，22＜22＋1，当n＝3时，23＜32＋1；当n＝4时，24＜42＋1；当n≥5时，2n＞n2＋1恒成立.∴n0＝5.【答案】 54.若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，n∈N*，则f(k＋1)－f(k)＝______________.【解析】f(k)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2，f (k ＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2，则f (k ＋1)－f (k )＝(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.【答案】 (2k ＋1)2＋(2k ＋2)25.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n ＝________.【解析】 a 1＝1＝21×2，a 2＝22×3，a 3＝23×4，a 4＝24×5，猜想a n ＝2n (n ＋1). 【答案】 2n (n ＋1)6.用数学归纳法证明a n ＋b n 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2n (a ，b 是非负实数，n ∈N *)时，假设n ＝k 命题成立之后，证明n ＝k ＋1时命题也成立的关键是两边同乘以________.【解析】要想办法出现a k ＋1＋b k ＋1，两边同乘以a ＋b 2，右边也出现了要证的⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2k ＋1. 【答案】 a ＋b 27.以下是用数学归纳法证明“n ∈N *时，2n ＞n 2”的过程，证明：(1)当n ＝1时，21＞12，不等式显然成立.(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时不等式成立，即2k ＞k 2.那么，当n ＝k ＋1时，2k ＋1＝2×2k ＝2k ＋2k ＞k 2＋k 2≥k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2. 即当n ＝k ＋1时不等式也成立.根据(1)和(2)，可知对任何n ∈N *不等式都成立.其中错误的步骤为________(填序号).【解析】在2k ＋1＝2×2k ＝2k ＋2k ＞k 2＋k 2≥k 2＋2k ＋1中用了k 2≥2k ＋1，这是一个不确定的结论.如k ＝2时，k 2＜2k ＋1.【答案】 (2)8.用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n (2n 2＋1)3时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是_____.【解析】当n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12. 当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，所以左边添加的式子为(k ＋1)2＋k 2.【答案】 (k ＋1)2＋k 2二、解答题9.用数学归纳法证明：当n ∈N *时，1＋22＋33＋…＋n n ＜(n ＋1)n .【证明】 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝2,1＜2，不等式成立.(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时不等式成立，即1＋22＋33＋…＋k k ＜(k ＋1)k ，那么，当n ＝k ＋1时，左边＝1＋22＋33＋…＋k k ＋(k ＋1)k ＋1＜(k ＋1)k ＋(k ＋1)k ＋1＝(k ＋1)k (k ＋2)＜(k ＋2)k ＋1＝(k ＋1)＋1]k ＋1＝右边，即左边＜右边，即当n ＝k ＋1时不等式也成立.根据(1)和(2)，可知不等式对任意n ∈N *都成立.10.已知数列{a n }满足a n ＋1＝12－a n ，a 1＝0.试猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明. 【解】由a n ＋1＝12－a n ，a 1＝0，得 a 2＝12－0＝12，a 3＝12－12＝23，a 4＝12－23＝34， a 5＝12－34＝45，….归纳上述结果，可得猜想a n ＝n －1n (n ＝1,2,3，…).下面用数学归纳法证明这个猜想：(1)当n ＝1时，猜想显然成立.(2)假设当n ＝k 时猜想成立，即a k ＝k －1k ，那么，当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝12－a k＝12－k －1k＝k k ＋1＝(k ＋1)－1k ＋1，即当n ＝k ＋1时，猜想也成立.根据(1)和(2)，可知猜想a n ＝n －1n 对所有正整数都成立，即为数列{a n }的通项公式.能力提升]1.用数学归纳法证明“当n 为正偶数时x n －y n 能被x ＋y 整除”第一步应验证n ＝________时，命题成立；第二步归纳假设应写成________.【解析】由于n 为正偶数，第一步应检验n ＝2时，命题成立.第二步，应假设n ＝2k (k ∈N *)时命题成立，即n ＝2k (k ∈N *)时x 2k －y 2k 能被x ＋y 整除.【答案】 2 假设n ＝2k (k ∈N *)时x 2k －y 2k 能被x ＋y 整除2.用数学归纳法证明：凸n 边形对角线的条数f (n )＝12n (n －3)(n ≥4)时，f (k ＋1)与f (k )的关系是_______________________________________________.【解析】假设n＝k(k≥4，k∈N*)时成立，则f(k)＝12k(k－3)，当n＝k＋1时，多出一条边，实际上增加的对角线条数为k＋1－2＝k－1条，所以f(k＋1)＝f(k)＋k－1.【答案】f(k＋1)＝f(k)＋k－13.用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋12n－1＜n(n＞1)”，由n＝k(k＞1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项的项数是________.【解析】当n＝k＋1时，左边是1＋12＋13＋…＋12k－1＋12k＋…＋12k＋1－1增加的是12k＋12k＋1＋…＋12k＋1－1，共有2k＋1－1－2k＋1＝2k项，故左边应增加的项的项数是2k.【答案】2k4.用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为__________.【导学号：01580054】【解析】当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81·34k＋2＋25·52k＋1＝25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k ＋2.【答案】25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋25.设函数y＝f(x)对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy.(1)求f(0)的值；(2)若f(1)＝1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；(3)在(2)的条件下，猜想f(n)(n∈N*)的表达式，并用数学归纳法加以证明.【解】(1)令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋2×0×0⇒f(0)＝0.(2)f(1)＝1，f(2)＝f(1＋1)＝1＋1＋2＝4，f(3)＝f(2＋1)＝4＋1＋2×2×1＝9，f(4)＝f(3＋1)＝9＋1＋2×3×1＝16.(3)猜想f(n)＝n2，下面用数学归纳法证明.当n＝1时，f(1)＝1满足条件.假设当n＝k(k∈N*)时成立，即f(k)＝k2，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋f(1)＋2k＝k2＋1＋2k＝(k＋1)2，从而可得当n＝k＋1时满足条件，所以对任意的正整数n，都有f(n)＝n2.。

2018年苏教版数学选修2-2学业分层测评10 微积分基本定理

学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝________. 【解析】 ∵f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝－13. 【答案】－132.⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝________. 【导学号：01580026】【解析】 ∵(sin x ＋x )′＝cos x ＋1，∴⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝(sin x ＋x ) |π0 ＝(sin π＋π)－(sin 0＋0)＝π.【答案】 π3．将曲边y ＝e x ，x ＝0，x ＝2，y ＝0所围成的图形面积写成定积分的形式________．【答案】 ⎠⎛02e x d x 4．定积分⎠⎛233t d x (t 为大于0的常数)的几何意义是________．【答案】由直线y ＝3t ，x ＝2，x ＝3，y ＝0所围成的矩形的面积．5．由曲线y ＝x 2－4，直线x ＝0，x ＝4和x 轴围成的封闭图形的面积(如图1-5-3)是________．(写成定积分形式)图1-5-3【答案】 ⎠⎛04()x 2－4d x 6．设a ＝⎠⎛01x d x ，b ＝⎠⎛01x 2d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是________．【解析】根据定积分的几何意义，易知⎠⎛01x 3d x <⎠⎛01x 2d x <⎠⎛01x d x ，即a >b >c . 【答案】 a >b >c7．计算定积分⎠⎛－11 4－4x 2d x ＝________. 【解析】由于⎠⎛－114－4x 2d x ＝2⎠⎛－111－x 2d x 表示单位圆的面积π，所以⎠⎛－114－4x 2d x ＝π. 【答案】 π8．如图1-5-4由曲线y ＝2－x 2，直线y ＝x 及x 轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是________．图1-5-4【解析】把阴影部分分成两部分(y 轴左侧部分和右侧部分)求面积．＝22－(2)33＋2－13－12＝423＋76.【答案】 423＋76二、解答题9．计算下列定积分．(1)⎠⎛121x (x ＋1)d x ；【解】 (1)∵⎠⎛121x (x ＋1)d x ＝⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x ＋1d x ＝[ln x －ln (x ＋1)]| 21＝ln 43.10．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，f (1)＝4，f ′(1)＝1，⎠⎛01f (x )d x ＝196，求f (x )．【解】因为f (1)＝4，所以a ＋b ＋c ＝4，① f ′(x )＝2ax ＋b ，因为f ′(1)＝1，所以2a ＋b ＝1，②⎠⎛01f (x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2＋cx | 10 ＝13a ＋12b ＋c ＝196，③由①②③可得a ＝－1，b ＝3，c ＝2.所以f (x )＝－x 2＋3x ＋2.[能力提升]1．设f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈(1，2]，则⎠⎛02f (x )d x ＝________. 【解析】 ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x ＝13x 3 |10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 2 |21＝56. 【答案】 562． f (x )＝sin x ＋cos x ，【解析】＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π2＋sin π2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2 ＝sin π2＋sin π2＝1＋1＝2.【答案】 23．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋⎠⎛0a 3t 2dt ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝__________. 【解析】因为f (1)＝lg 1＝0，且⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3|a 0＝a 3－03＝a 3，所以f (0)＝0＋a 3＝1，所以a ＝1.【答案】 14．计算：⎠⎛－22 (2|x |＋1)d x ＝__________. 【解析】 ⎠⎛－22 (2|x |＋1)d x ＝⎠⎛－20 (－2x ＋1)d x ＋ ⎠⎛02(2x ＋1)d x ＝(－x 2＋x )|0－2＋(x 2＋x )|20＝－(－4－2)＋(4＋2)＝12.【答案】 125．已知f (x )＝⎠⎛－ax (12t ＋4a )d t ，F (a )＝⎠⎛01[f (x )＋3a 2]d x ，求函数F (a )的最小值．【解】因为f (x )＝⎠⎛－ax (12t ＋4a )d t ＝(6t 2＋4at )|x －a ＝6x 2＋4ax －(6a 2－4a 2)＝6x 2＋4ax －2a 2， F (a )＝⎠⎛01[f (x )＋3a 2]d x ＝⎠⎛01(6x 2＋4ax ＋a 2)d x ＝(2x 3＋2ax 2＋a 2x )|10＝2＋2a ＋a 2＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1≥1.所以当a ＝－1时，F (a )的最小值为1.。

2018-2019学年高一数学苏教版选修2-2学案：2.1.3 推理案例赏析 Word版含解析

2.1.3　推理案例赏析1.进一步认识合情推理和演绎推理的作用、特点以及两者之间的紧密联系.利用合情推理和演绎推理进行简单的推理.(重点、难点)2.两种推理形式的具体格式.(易混点)[小组合作型]归纳推理的应用　观察如图2116所示的“三角数阵”：图2116记第n行的第2个数为a n(n≥2，n∈N*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：(1)第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________；(2)依次写出a2、a3、a4、a5；(3)归纳出a n＋1与a n的关系式.【精彩点拨】　(1)观察数阵，总结规律：除首末两数外，每行的数等于它上一行肩膀上的两数之和，得出(1)的结果.(2)由数阵可直接写出答案.(3)写出a 3－a 2，a 4－a 3，a 5－a 4，从而归纳出(3)的结论.【自主解答】　(1)由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数.【答案】　6,16,25,25,16,6(2)a 2＝2，a 3＝4，a 4＝7，a 5＝11(3)∵a 3＝a 2＋2，a 4＝a 3＋3，a 5＝a 4＋4，∴由此归纳：a n ＋1＝a n ＋n.归纳推理的一般步骤归纳推理的思想过程大致是：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论.该过程包括两个步骤：(1)通过观察个别对象发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).[再练一题]1.观察下列各式：＋＝1，＋＋＋＝12，＋＋＋＋＋＝39， (132)37383103113163173193203223233则当n <m 且m ，n ∈N 时，＋＋…＋＋＝________.(最后结果用m ，n 表示)3n ＋133n ＋233m －233m －13【解析】　当n ＝0，m ＝1时，对应第1个式子＋＝1，此时13231＝12－0＝m 2－n 2；当n ＝2，m ＝4时，对应第2个式子＋＋＋＝12，此7383103113时12＝42－22＝m 2－n 2；当n ＝5，m ＝8时，对应第3个式子＋＋…＋＝39，此时39＝82－52＝m 2－n 2.163173233由归纳推理可知＋＋…＋＋＝m 2－n 2.3n ＋133n ＋233m －233m －13【答案】　m 2－n2类比推理的应用　通过计算可得下列等式：23－13＝3×12＋3×1＋1；33－23＝3×22＋3×2＋1；43－33＝3×32＋3×3＋1；…(n ＋1)3－n 3＝3×n 2＋3×n ＋1.将以上各等式两边分别相加，得(n ＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋3＋…＋n )＋n ，即12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1).16类比上述求法，请你求出13＋23＋33＋…＋n 3的值.【导学号：01580039】【精彩点拨】　解答本题要抓住各等式两边数的指数相类比.【自主解答】　∵24－14＝4×13＋6×12＋4×1＋1，34－24＝4×23＋6×22＋4×2＋1，44－34＝4×33＋6×32＋4×3＋1，…　…(n ＋1)4－n 4＝4n 3＋6n 2＋4n ＋1.将以上各式两边分别相加，得(n ＋1)4－14＝4×(13＋23＋…＋n 3)＋6×(12＋22＋…＋n 2)＋4×(1＋2＋…＋n )＋n ，∴13＋23＋…＋n 3＝Error!14Error!＝n 2(n ＋1)2.141.解题方法的类比通过对不同题目条件、结论的类比，从而产生解题方法的迁移，这是数学学习中很高的境界，需要学习者熟练地掌握各种题型及相应的解题方法.2.类比推理的步骤与方法(1)弄清两类对象之间的类比关系及类比关系之间的(细微)差别.(2)把两个系统之间的某一种一致性(相似性)确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚.[再练一题]2.半径为r 的圆的面积S (r )＝π·r 2，周长C (r )＝2π·r ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(π·r 2)′＝2π·r ①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子②：________；②式可用语言叙述为________.【解析】　因为半径为R 的球的体积V (R )＝πR 3，43表面积S (R )＝4πR 2，类比(πr 2)′＝2πr ，得′＝4πR 2.(43πR 3)因此②式应为：′＝4πR 2.(43πR 3)且②式用语言叙述为：球的体积函数的导数等于球的表面积函数.【答案】　′＝4πR 2　球的体积函数的导数等于球的表面积函数(43πR 3)[探究共研型]合情推理与演绎推理的综合应用探究1　我们已经学过了等比数列，你有没有想到是否也有等积数列呢？类比“等比数列”，请你给出“等积数列”的定义.【提示】　如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的乘积是同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，其中，这个常数叫做公积.探究2　若{a n }是等积数列，且首项a 1＝2，公积为6，试写出{a n }的通项公式及前n 项和公式.【提示】　由于{a n }是等积数列，且首项a 1＝2，公积为6，所以a 2＝3，a 3＝2，a 4＝3，a 5＝2，a 6＝3，…，即{a n }的所有奇数项都等于2，所有偶数项都等于3，因此{a n }的通项公式为a n ＝Error!其前n 项和公式S n ＝Error!探究3　甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为A ，B ，C 三个城市中的哪一个？【提示】　由题意可推断：甲没去过B 城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A ，C 城市，而乙“没去过C 城市”，说明乙去过城市A ，由此可知，乙去过的城市为A.　如图2117所示，三棱锥A BCD 的三条侧棱AB ，AC ，AD两两互相垂直，O 为点A 在底面BCD 上的射影.图2117(1)求证：O 为△BCD 的垂心；(2)类比平面几何的勾股定理，猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系，并给出证明.【精彩点拨】　(1)利用线面垂直与线线垂直的转化证明O 为△BCD 的重心.(2)先利用类比推理猜想出一个结论，再用演绎推理给出证明.【自主解答】　(1)证明：∵AB ⊥AD ，AC ⊥AD ，∴AD ⊥平面ABC ，∴AD ⊥BC ，又∵AO ⊥平面BCD ，∴AO ⊥BC ，∵AD ∩AO ＝A ，∴BC ⊥平面AOD ，∴BC ⊥DO ，同理可证CD ⊥BO ，∴O 为△BCD 的垂心.(2)猜想：S ＋S ＋S ＝S .2△ABC2△ACD 2△ABD 2△BCD 证明：连接DO 并延长交BC 于E ，连接AE ，BO ，CO ，由(1)知AD ⊥平面ABC ，AE ⊂平面ABC ，∴AD ⊥AE ，又AO ⊥ED ，∴AE 2＝EO ·ED ，2＝·，(12BC ·AE )(12BC ·EO )(12BC ·ED )即S ＝S △BOC ·S △BCD .2△ABC同理可证：S ＝S △COD ·S △BCD ，S ＝S △BOD ·S △BCD .2△ACD2△ABD ∴S ＋S ＋S △ABD ＝S △BCD ·(S △BOC ＋S △COD ＋S △BOD )＝S △BCD ·S △BCD ＝S 2△ABC 2△ACD .2△BCD合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真.但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法，而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下).[再练一题]3.已知命题：“若数列{a n }是等比数列，且a n >0，则数列b n (n ∈N *)也是等比数列”.类比这一性质，你能得到关于等差数列na 1a 2…an 的一个什么性质？并证明你的结论.【解】　类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{a n }是等差数列，则数列b n ＝也是等差数列.a 1＋a 2＋…＋ann证明如下：设等差数列{a n }的公差为d ，则b n ＝＝＝a 1＋(n －1)，a 1＋a 2＋…＋an nna 1＋n (n －1)d2nd 2所以数列{b n }是以a 1为首项，为公差的等差数列.d21.设k 棱柱有f (k )个对角面，则k ＋1棱柱对角面的个数为f (k ＋1)＝f (k )＋________.【导学号：01580040】【解析】　k 棱柱增加一条侧棱时，则这条侧棱和与之不相邻的k －2条侧棱可构成k －2个对角面，而增加一条侧棱时也使一个侧面变成了对角面.所以f (k ＋1)＝f (k )＋k －2＋1＝f (k )＋k －1.【答案】　k －12.如果一个凸多面体是n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有________条.这些直线中共有f (n )对异面直线，则f (4)＝________；f (n )＝________.(答案用数字或含n 的式子表示)【解析】　所有顶点确定的直线共有：棱数＋底边数＋对角线数，即n ＋n ＋＝.f (4)＝4×2＋×2＝12，n (n －3)2n 2＋n24×12f (n )＝n (n －2)＋×(n －2)＝.n (n －3)2n (n －1)(n －2)2【答案】　　12　n 2＋n2n (n －1)(n －2)23.下面几种推理是合情推理的是________.(填序号)①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n －2)·180°.【解析】　①是类比推理；②是归纳推理；④是归纳推理.所以①、②、④是合情推理.【答案】　①②④图21184.(2016·深圳二模)如图2118所示，我们知道，圆环也可以看作线段AB 绕圆心O 旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S ＝π(R 2－r 2)＝(R －r )×2π×，所以，圆环的面积等于以AB ＝R －r 为宽，以AB 中点绕圆心OR ＋r2旋转一周所形成圆的周长2π×为长的矩形面积.R ＋r2请你将上述想法拓展到空间，并解决以下问题：若将平面区域M ＝{(x ，y )|(x －d )2＋y 2≤r 2}(其中0<r <d )绕y 轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积为________.【解析】　已知图中圆环的面积等于以AB ＝R －r 为宽，以AB 中点绕圆心O 旋转一周所形成圆的周长2π×为长的矩形面积，由此拓展到空间，可知：R ＋r2将平面区域M ＝{(x ，y )|(x －d )2＋y 2≤r 2}(其中0<r <d )绕y 轴旋转一周所形成的旋转体积的体积应等于以圆(x －d )2＋y 2＝r 2围成的圆面为底面，以圆心(d,0)绕y 轴旋转一周所形成的圆的周长2π×d 为高的圆柱的体积.故该旋转体的体积V ＝πr 2·2πd ＝2π2r 2d .【答案】　2π2r 2d5.在△ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，用类比的方法，猜想三棱锥的类似性质，并证明你的猜想.【导学号：01580041】【解】　由平面类比到空间，有如下猜想：“在三棱锥P ABC 中，三个侧面PAB ，PBC ，PCA 两两垂直，且与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1”.证明：设P 在平面ABC 的射影为O ，延长CO 交AB 于M ，记PO ＝h ，由PC ⊥PA ，PC ⊥PB ，得PC ⊥面PAB ，从而PC ⊥PM ，又∠PMC ＝α，cos α＝sin ∠PCO ＝，cos β＝，cos γ＝.hPC hPA hPB ∵V P ABC ＝PA ·PB ·PC 16＝·h ，13(12PA ·PB cos α＋12PB ·PC cos β＋12PC ·PA cos γ)∴h ＝1，即cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.(cos αPC ＋cos βPA ＋cos γPB)我还有这些不足：12(1)_______________________________________________(2)_______________________________________________我的课下提升方案：(1)_______________________________________________(2)_______________________________________________。

高中数学苏教版高二选修2-2学业分层测评：章末综合检测_02

章末综合测评(二)(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中的横线上)1.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，若f(x0)＝0，则x＝x0是函数f(x)的极值点.因为f(x)＝x3在x＝0处的导数值f′(0)＝0，所以x＝0是f(x)＝x3的极值点.以上推理中________错误.【解析】大前提是错误的，若f′(x0)＝0，x＝x0不一定是函数f(x)的极值点.【答案】大前提2.下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为________.图1【解析】由图形可知，着色三角形的个数依次为：1,3,9,27，…，故a n＝3n－1.【答案】3n－13.(2016·日照联考)已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)，计算得f(22)＞2，f(23)＞52，f(24)＞3，f(25)＞72，由此推测，当n≥2时，有________.【解析】因为f(22)＞42，f(23)＞52，f(24)＞62，f(25)＞72，所以推测，当n≥2时，f(2n)＞n＋22.【答案】f(2n)＞n＋2 24.已知圆x2＋y2＝r2(r＞0)的面积为S＝πr2，由此类比椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的面积最有可能是________.【解析】将圆看作椭圆的极端情况，即a＝b情形.∴类比S圆＝πr2，得椭圆面积S＝πab.【答案】πab5.已知a＞0，b＞0，m＝lg a＋b2，n＝lga＋b2，则m与n的大小关系为________.【解析】∵(a＋b)2＝a＋b＋2ab＞a＋b＞0，∴a ＋b ＞a ＋b ＞0，则a ＋b 2＞a ＋b2.∴lga ＋b 2＞lg a ＋b2，则m ＞n .【答案】 m ＞n6.已知数列{a n }为等差数列，数列{b n }是各项均为正数的等比数列，且公比q ＞1，若a 1＝b 1，a 2 013＝b 2 013，则a 1 007与b 1 007的大小关系是________.【解析】由2a 1 007＝a 1＋a 2 013，得a 1 007＝a 1＋a 2 0132.又b 21 007＝b 1·b 2 013，得b 1 007＝b 1·b 2 013， ∵a 1＝b 1＞0，a 2 013＝b 2 013＞0，且a 1≠a 2 013， ∴a 1 007＞b 1 007. 【答案】 a 1 007＞b 1 007 7.利用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n＞12(n ＞1，n ∈N *)的过程中，第一步的代数式为____________________.【解析】第一步：n ＝2时，左边为12＋1＋12＋2，故代数式为12＋1＋12＋2＞12. 【答案】12＋1＋12＋2＞12 8.(2016·江西一模)观察下列等式： (1＋x ＋x 2)1＝1＋x ＋x 2，(1＋x ＋x 2)2＝1＋2x ＋3x 2＋2x 3＋x 4，(1＋x ＋x 2)3＝1＋3x ＋6x 2＋7x 3＋6x 4＋3x 5＋x 6，(1＋x ＋x 2)4＝1＋4x ＋10x 2＋16x 3＋19x 4＋16x 5＋10x 6＋4x 7＋x 8，由以上等式推测：对于n ∈N *，若(1＋x ＋x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，则a 2＝________. 【解析】观察知，a 2为数列1,3,6,10，…中的第n 项，而1＝22＝1×22，3＝62＝2×32，6＝122＝3×42，10＝202＝4×52，…，归纳得a 2＝n (n ＋1)2.【答案】n (n ＋1)29.将全体正整数排成一个三角形数阵：图2根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行从左到右的第三个数是________. 【解析】前n －1行共有正整数1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n 2－n2个， ∴第n 行第3个数是n 2－n 2＋3＝n 2－n ＋62.【答案】 n 2－n ＋6210.(2016·东北三校二模)观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n 个等式为________.【解析】由题知13＝12； 13＋23＝⎝⎛⎭⎪⎫2×322； 13＋23＋33＝⎝⎛⎭⎪⎫3×422； 13＋23＋33＋43＝⎝⎛⎭⎪⎫4×522； …∴13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22. 【答案】 13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)2211.已知点A (x 1,3x 1)，B (x 2,3x 2)是函数y ＝3x 的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的上方，因此有结论3x 1＋3x 22＞3x 1＋x 22成立.运用类比思想方法可知，若点A (x 1，tan x 1)，B (x 2，tan x 2)是函数y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜x ＜0的图象上任意不同两点，则类似地有____________成立.【解析】因为y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜x ＜0图象是上凸的，因此线段AB 的中点的纵坐标tan x 1＋tan x 22总是小于函数y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜x ＜0图象上的点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，tan x 1＋x 22的纵坐标，即有tan x 1＋tan x 22＜tan x 1＋x 22成立.【答案】 tan x 1＋tan x 22＜tan x 1＋x 2212.定义映射f ：A →B ，其中A ＝{(m ，n )|m ，n ∈R }，B ＝R ，已知对所有的有序正整数对(m ，n )满足下述条件：①f (m,1)＝1；②若n ＞m ，则f (m ，n )＝0；③f (m ＋1，n )＝nf (m ，n )＋f (m ，n －1)].则f (2,2)＝________，f (n,2)＝________.【解析】根据定义得f (2,2)＝f (1＋1,2)＝2f (1,2)＋f (1,1)]＝2f (1,1)＝2×1＝2. f (3,2)＝f (2＋1,2)＝2f (2,2)＋f (2,1)]＝2×(2＋1)＝6＝23－2，f (4,2)＝f (3＋1,2)＝2f (3,2)＋f (3,1)]＝2×(6＋1)＝14＝24－2，f (5,2)＝f (4＋1,2)＝2f (4,2)＋f (4,1)]＝2×(14＋1)＝30＝25－2，所以根据归纳推理可知f (n,2)＝2n －2.【答案】 2 2n －213.(2014·陕西高考)观察分析下表中的数据：猜想一般凸多面体中F ，V ，E所满足的等式是_______________________________________________.【解析】观察表中数据，并计算F ＋V 分别为11,12,14，又其对应E 分别为9,10,12，易观察并猜想F ＋V －E ＝2.【答案】 F ＋V －E ＝214.(2016·北京顺义区统考)数列{a n }的前n 项和为S n ，若数列{a n }的各项按如下规则排列： 12；13，23；14，24，34；15，25，35，45；…1n ，2n ，…，n －1n ….则a 15＝______；若存在正整数k ，使S k －1＜10，S k ＞10，则a k ＝________.【解析】从题中可看出分母n ＋1出现n 次，当分母为n ＋1时，分子依次是1,2,3，…n 共n 个，由于1＋2＋3＋4＋5＝15.因此a 15＝56.计算分母为n ＋1的各分数的和，依次为12，1，32，2，52，3，…，而12＋1＋32＋2＋52＋3＝10.5＞10，但12＋1＋32＋2＋52＝7.5＜10，再计算17＋27＋3 7＋47＋57＝217，而712＋217＝9914＜10，故a k＝67.【答案】5667二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)用反证法证明：如果x＞12，那么x2＋2x－1≠0.【导学号：01580057】【证明】假设x2＋2x－1＝0，则x＝－1±2.容易看出－1－2＜12，下面证明－1＋2＜12.要证：－1＋2＜12，只需证：2＜32，只需证：2＜94.上式显然成立，故有－1＋2＜12.综上，x＝－1±2＜12.而这与已知条件x＞12相矛盾，因此假设不成立，也即原命题成立.16.(本小题满分14分)设数列{a n}的前n项和S n＝n(a n＋1)2(n∈N*)，a2＝2.(1)求{a n}的前三项a1，a2，a3；(2)猜想{a n}的通项公式，并证明.【解】(1)由S n＝n(a n＋1)2得a1＝1，又由a2＝2，得a3＝3.(2)猜想：a n＝n.证明如下：①当n＝1时，猜想成立.②假设当n＝k(k≥2)时，猜想成立，即a k＝k，那么当n＝k＋1时，a k＋1＝S k＋1－S k＝(k＋1)(a k＋1＋1)2－k(a k＋1)2.＝(k＋1)(a k＋1＋1)2－k(k＋1)2.所以a k＋1＝k2k－1－1k－1＝k＋1，所以当n＝k＋1时，猜想也成立.根据①②知，对任意n∈N*，都有a n＝n.17.(本小题满分14分)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且其中任意两边长均不相等，若1a，1b，1c成等差数列.(1)比较ba与cb的大小，并证明你的结论；(2)求证：角B不可能是钝角.【解】(1)ba＜cb.证明如下：要证ba＜cb，只需证ba＜cb.∵a，b，c＞0，∴只需证b2＜ac.∵1a，1b，1c成等差数列，∴2b＝1a＋1c≥21ac，∴b2≤ac.又a，b，c均不相等，∴b2＜ac.故所得大小关系正确.(2)法一：假设角B是钝角，则cos B＜0.由余弦定理得，cos B＝a2＋c2－b22ac≥2ac－b22ac＞ac－b22ac＞0，这与cos B＜0矛盾，故假设不成立.所以角B不可能是钝角.法二：假设角B是钝角，则角B的对边b为最大边，即b＞a，b＞c，所以1a＞1b＞0，1c＞1b＞0，则1a＋1c＞1b＋1b＝2b，这与1a＋1c＝2b矛盾，故假设不成立.所以角B不可能是钝角.18.(本小题满分16分)(2016·南通月考)诺贝尔奖的发放方式为：每年一次，把奖金总额平均分成6份，奖励在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出了最有益贡献的人.每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于增加基金总额，以便保证奖金数逐年递增.假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示：2002年诺贝尔奖发奖后基金总额约为19 800万美元.设f(x)表示为第x(x∈N*)年诺贝尔奖发奖后的基金总额(2002年记为f(1)).(1)用f(1)表示f(2)与f(3)，并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式；(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2012年度诺贝尔各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由.(参考数据：1.031 29≈1.32)【解】(1)由题意知：f(2)＝f(1)(1＋6.24%)－12f(1)·6.24%＝f(1)(1＋3.12%)，f(3)＝f(2)(1＋6.24%)－12f(2)·6.24%＝f(1)·(1＋3.12%)2，∴f(x)＝19 800·(1＋3.12%)x－1(x∈N*).(2)2011年诺贝尔奖发奖后基金总额为f(10)＝19 800×(1＋3.12%)9＝26 136万美元，∴2012年度诺贝尔奖各项奖金额为16×12×f(10)×6.24%≈136万美元，与150万美元相比少了约14万美元.所以新闻“2012年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”不真，是假新闻.19.(本小题满分16分)(2016·南通三模)各项均为正数的数列{x n}对一切n∈N*均满足x n＋1x n＋1<2.证明：(1)x n<x n＋1；(2)1－1n<x n<1.【证明】(1)因为x n>0，x n＋1x n＋1<2，所以0<1x n＋1<2－x n，所以x n＋1>12－x n，且2－x n>0.因为12－x n －x n＝x2n－2x n＋12－x n＝(x n－1)22－x n≥0，所以12－x n≥x n，所以x n ≤12－x n <x n ＋1，即x n <x n ＋1. (2)下面先证明x n ≤1.假设存在自然数k ，使得x k >1，则一定存在自然数m ，使得x k >1＋1m . 因为x k ＋1x k ＋1<2，x k ＋1>12－x k >12－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1m ＝mm －1. x k ＋2>12－x k ＋1>12－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1m －1>m －1m －2，…，x k ＋m －1>m －(m －2)m －(m －1)＝2，与题设x k ＋1x k ＋1<2矛盾，所以x k ≤1. 若x k ＝1，则x k ＋1>x k ＝1，根据上述证明可知存在矛盾. 所以x k <1成立.下面用数学归纳法证明：x n >1－1n .①当n ＝1时，由题设x 1>0可知结论成立； ②假设n ＝k 时，x k >1－1k ，当n ＝k ＋1时，由(1)得，x k ＋1>12－x k >12－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ＝k k ＋1＝1－1k ＋1，故x n >1－1n .20.(本小题满分16分)在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *).(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此归纳出{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论； (2)证明：1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋1a 3＋b 3＋…＋1a n ＋b n <512. 【解】 (1)由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1，由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25.猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2. 用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上可得结论成立. ②假设当n ＝k 时，结论成立，即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)，b k ＋1＝a 2k ＋1b k＝(k ＋2)2.所以当n ＝k ＋1时，结论也成立.由①②，可知a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数n 都成立. (2)1a 1＋b 1＝16<512. 当n ≥2时，由(1)知a n ＋b n ＝(n ＋1)(2n ＋1)>2(n ＋1)n . 1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋1a 3＋b 3＋…＋1a n ＋b n <16＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×3＋13×4＋…1n (n ＋1)＝16＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1 ＝16＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋1 <16＋14＝512.综上，原不等式成立.。

高中数学选修2-2推理与证明合情推理

2.1.1合情推理
[学习目标] 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发展中的作用.
知识点一推理的定义与结构形式
1.定义：推理是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的
思维过程.其作用是从已知的知识得到未知的知识，特别是可以得到不可能通过感觉经验掌
握的未知知识.
2.结构形式：从结构上来说，推理一般分为两部分，一部分是已知的事实(或假设)，叫做前提，另一部分是由已知判断推出的新的判断，叫做结论.
思考(1)依据部分对象得到的推理结论可靠吗？
(2)推理一般用哪些关联词？
答案(1)不一定完全可靠.
(2)推理一般可用关联词将“前提”和“结论”联结，常用的关联词有“因为……所
以……”“根据……可知……”“如果……那么……”“若……则……”．
知识点二归纳推理与类比推理
定义特征一般模式思维过程
归纳推理由某类事物的部分对象具
有某些特征，推出该类事物
的全部对象都具有这些特
征的推理，或者由个别事实
概括出一般结论的推理
归纳推理是
由部分到整
体、由个别到
一般的推理
S1具有性质P
S2具有性质P……
S n具有性质P(S1，S2，…，
S n是A类事物对象)
所以A类事物具有性质P
实验观察→
概括推广→
猜测一般性
结论
类比推理由两类对象具有某些类似
特征和其中一类对象的某
类比推理是
由特殊到特
A类事物具有性质a，b，c，
d
观察、比较
――→
联想、类比
1。

高中数学选修2_2全套知识点与练习答案解析

选修2-2 知识点及习题答案解析导数及其应用一.导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。

一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在x x =处的导数，记作0()f x '或|x x y ='，即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。

容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n nn f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即00()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆二.导数的计算基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1()f x x αα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '=6 若()x f x e =,则()x f x e '=7 若()log xaf x =,则1()ln f x x a '= 8 若()ln f x x =,则1()f x x'=导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2.[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''•-•'= 复合函数求导 ()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数(())()y f g x g x '''=•三.导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b(1)如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增；(2)如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.求函数()y f x =的极值的方法是:（1）如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值（2）如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数()y f x =在(,)a b 的极值；（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.推理与证明考点一合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.类比推理的一般步骤:(1) 找出两类事物的相似性或一致性;(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);(3) 一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.(4) 一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠.考点二演绎推理(俗称三段论)由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理. 考点三数学归纳法1. 它是一个递推的数学论证方法.2. 步骤:A.命题在n=1（或0n ）时成立，这是递推的基础；B.假设在n=k 时命题成立； C.证明n=k+1时命题也成立,完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=0n ,且n N ∈)结论都成立。

高中数学(苏教版选修2-2)学业分层测评11 归纳推理 Word版含答案

学业分层测评(十一)(建议用时：分钟)[学业达标]一、填空题．观察下列各式：＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，…，则＋＝.【解析】从给出的式子特点观察可推知等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则＋＝.【答案】．经计算发现下列不等式：＋<，＋<，＋<，…根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数，都成立的条件不等式：.【解析】∵＝，＝，＝，∴不难得出，若＋＝，＋<.【答案】若＋＝，则＋<．观察下列等式：＝－＝－－＋＝－＋－＝－…，照此规律，第个等式可为．【解析】＝，－＝－(＋)，－＋＝＋＋，－＋－＝－(＋＋＋)，…，－＋－＋…＋(－)＋＝(－)＋(＋＋…＋)＝(－)＋.【答案】－＋－＋…＋(－)＋＝(－)＋．观察下列各式：＝＝＝，…，则的末两位数字为.【导学号：】【解析】因为＝＝＝＝＝，＝，…，所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期＝.又＝×＋，所以的末两位数字与的末两位数字相同，为.【答案】．设函数()＝(>)，观察：()＝()＝，()＝((())＝，()＝((())＝，()＝((())＝，…根据以上事实，由归纳推理可得：当∈*且≥时，()＝(－())＝.【解析】函数结果的分母中项系数所组成的数列为，…，可推知该数列的通项公式为＝－.分母中常数项依次为，…，其通项为.又函数中，分子都是.())＝.∴当≥时，()＝(－【答案】．容易计算×＝×＝，×＝，×＝.根据此规律猜想…×…所得结果由左向右的第八位至第十位的三个数字依次为．【解析】由已知可归纳出…×…＝，所得结果由左向右的第八位至第十位的三个数字依次为.【答案】．某种平面分形图如图--所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为，两两夹角为°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为°，…，依此规律得到级分形图．。

2018学年高中数学选修2-2学业分层测评：第二章推理与

学业分层测评(十六)(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1.(2016·西安高二检测)△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内的一点，∠APB>∠APC，求证：∠BAP<∠CAP.用反证法证明时的假设为________.【答案】∠BAP≥∠CAP2.(2016·无锡高二期末)用反证法证明命题“在一个三角形的三个内角中，至少有两个锐角”时，假设命题的结论不成立的正确叙述是“在一个三角形的三个内角中，________个锐角.”【解析】“至少有两个”的否定是“至多有一个”.【答案】至多有一个3.(2014·山东高考改编)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax ＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是________.【解析】因为“方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”等价于“方程x3＋ax＋b＝0的实根的个数大于或等于1”，所以要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”.【答案】方程x3＋ax＋b＝0没有实根4.命题“a，b是实数，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为________.【导学号：01580049】【解析】“a＝b＝1”是“a＝1且b＝1”，又因“p且q”的否定为“綈p或綈q”，所以“a＝b＝1”的否定为“a≠1或b≠1”.【答案】a≠1或b≠15.若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是______________.【解析】若两个方程均无实根，则⎩⎨⎧ Δ1＝(a －1)2－4a 2<0，Δ2＝4a 2＋8a <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a >13或a <－1，－2<a <0.∴－2<a <－1.因此两方程至少有一个有实根时，应有a ≤－2或a ≥－1.【答案】 {a |a ≤－2或a ≥－1}6.用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a ，b 为实数)”，其反设为____________.【解析】 “a ，b 全为0”即是“a ＝0且b ＝0”，因此它的反设为“a ≠0或b ≠0”，即a ，b 不全为0.【答案】 a ，b 不全为07.若a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a >b 与a <b 及a ＝b 中至少有一个成立；③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立.其中正确的是________(填序号).【解析】因为a ，b ，c 不全相等，所以①正确；②显然正确，③中的a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 可以同时成立，所以③错.【答案】 ①②8.完成反证法证题的全过程.题目：设a 1，a 2，…，a 7是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数.证明：假设p 为奇数，则__________均为奇数.①因7个奇数之和为奇数，故有(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)为__________.②而(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋…＋7)＝__________.③②与③矛盾，故p 为偶数.【解析】由假设p 为奇数可知(a 1－1)，(a 2－2)，…，(a 7－7)均为奇数，故(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋…＋7)＝0为奇数，这与0为偶数矛盾.【答案】 ①a 1－1，a 2－2，…，a 7－7 ②奇数 ③0二、解答题9.已知x ，y ，z 均大于零，求证：x ＋4y ，y ＋4z ，z ＋4x 这三个数中至少有一个不小于4.【证明】假设x ＋4y ，y ＋4z ，z ＋4x 都小于4，即x ＋4y <4，y ＋4z <4，z ＋4x <4，于是得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋4z ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋4x <12，而⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋4z ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋4x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋4y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋4z ≥2 x ·4x ＋2 y ·4y ＋2 z ·4z ＝12，这与⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋4z ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋4x <12矛盾，因此假设错误，即x ＋4y ，y ＋4z ，z ＋4x 中至少有一个不小于4.10.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S n n (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列.【解】 (1)设公差为d ，由已知得⎩⎨⎧ a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2).(2)证明：由(1)得b n ＝S n n ＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p 、b q 、b r (p 、q 、r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)，∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0.∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎨⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0， ∴p ＝r ，这与p ≠r 矛盾.所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列.能力提升]1.实数a ，b ，c 不全为0等价于________.【答案】 a ，b ，c 中至少有一个不为0.2.设a ，b ，c 都是正数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 与2的大小关系是________.【解析】假设a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 均小于2，则a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a <6.①又∵a ＋1a ≥2，b ＋1b ≥2，c ＋1c ≥2，∴a ＋1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ≥6，②①与②矛盾，∴假设不成立∴a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 至少有一个不小于2.【答案】 a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 至少有一个不小于23.(2016·九江高二检测)有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是________.【导学号：01580050】【解析】因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说的对，同时甲、乙中只有一人说的对，假设乙说的对，这样丙就说的错，丁就说的对，也就是甲也说的对，与甲说的错矛盾，所以乙说的错，从而知甲、丙说的对，所以丙为获奖歌手.【答案】丙4.(2016·南昌模拟)若f (x )的定义域为a ，b ]，值域为a ，b ](a <b )，则称函数f (x )是a ，b ]上的“四维光军”函数.(1) 设g (x )＝12x 2－x ＋32是1，b ]上的“四维光军”函数，求常数b 的值；(2)是否存在常数a ，b (a >－2)，使函数h (x )＝1x ＋2是区间a ，b ]上的“四维光军”函数？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由.【解】 (1)由已知得g (x )＝12(x －1)2＋1，其图象的对称轴为x ＝1，区间1，b ]在对称轴的右边，所以函数在区间1，b ]上单调递增.由“四维光军”函数的定义可知，g (1)＝1，g (b )＝b ，即12b 2－b ＋32＝b ，解得b ＝1或b ＝3.因为b >1，所以b ＝3.(2)假如函数h (x )＝1x ＋2在区间a ，b ](a >－2)上是“四维光军”函数，因为h (x )＝1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递减，所以有⎩⎨⎧ h (a )＝b ，h (b )＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1a ＋2＝b ，1b ＋2＝a ，解得a ＝b ，这与已知矛盾，故不存在.。

2018年苏教版数学选修2-2学业分层测评20 复数的乘方与除法

学业分层测评(二十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1.设复数z满足i z＝－3＋i(i为虚数单位)，则z的实部为________.【解析】由i z＝－3＋i得，z＝－3＋ii＝1＋3i，则z的实部为1.【答案】 12.复数52i－1的共轭复数是________.【解析】∵52i－1＝5(2i＋1)(2i－1)(2i＋1)＝－1－2i.∴52i－1的共轭复数是－1＋2i.【答案】－1＋2i3.复数1－3i(3＋i)2＝________.【解析】原式＝1－3i2(1＋3i)＝(1－3i)22(1＋3i)(1－3i)＝－14－34i.【答案】－14－34i4.设i是虚数单位，则i3(i＋1)i－1等于________.【解析】(1)∵i＋1i－1＝－(1＋i)2(1－i)(1＋i)＝2i－2＝－i，∴i3(i＋1)i－1＝i3·(－i)＝－i4＝－1.【答案】－15.设复数z满足1＋z1－z＝i，则|z|＝________.【解析】由1＋z1－z＝i，得z＝－1＋i1＋i＝(－1＋i)(1－i)2＝2i2＝i，所以|z|＝|i|＝1.【答案】 16.若(x＋i)i＝－1＋2i，(x∈R)，则x＝________.【解析】由(x＋i)i＝－1＋2i，得x＝－1＋2ii－i＝－i＋2i2i2－i＝2.【答案】 27.设i是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a的值是________.【解析】1＋a i2－i＝(1＋a i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝(2－a)＋(1＋2a)i5，由纯虚数定义，则2－a＝0，∴a＝2.【答案】 28.已知a＋2ii＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝__________.【解析】∵a＋2ii＝b＋i，∴a＋2i＝(b＋i)i＝－1＋b i，∴a＝－1，b＝2，∴a＋b＝1.【答案】 1二、解答题9.计算：(1)3＋2i2－3i＋⎝⎛⎭⎪⎫－32－i26；(2)－23＋i1＋23i＋⎝⎛⎭⎪⎫21＋i2＋(4－8i)2－(－4＋8i)24＋3i.【解】(1)原式＝i(2－3i)2－3i＋i6⎝⎛⎭⎪⎫－12－32i6＝i＋i2＝i－1.(2)原式＝i(23i＋1)1＋23i＋22i＋(4－8i)2－[－(4－8i)]24＋3i＝i＋1i＋(4－8i)2－(4－8i)24＋3i＝i＋(－i)＋0＝0.10.(1)若2＋a i 1＋2i＝－2i ，求实数a 的值. (2)若复数z ＝2i 1－i ，求z ＋3i. 【解】 (1)依题意，得2＋a i ＝－2i(1＋2i)＝2－2i ， ∴a ＝－2，(2)∵z ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝i(1＋i)＝－1＋i ，∴z ＝－1－i ，∴z ＋3i ＝－1＋2i.[能力提升]1.复数z 满足(1＋2i)·z ＝4＋3i ，则z ＝________.【解析】 ∵z ＝4＋3i 1＋2i＝(4＋3i )(1－2i )5＝10－5i 5＝2－i. ∴复数z ＝2－i ，∴z ＝2＋i.【答案】 2＋i2.已知i 是虚数单位，计算1－i (1＋i )2＝__________. 【解析】 1－i (1＋i )2＝1－i 2i ＝(1－i )(2i )·(－i )(－i )＝－1－i 2＝－12－12i. 【答案】－12－12i 3.当z ＝－1－i 2，z 100＋z 50＋1的值等于________. 【解析】 z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－i 22＝－i. ∴z 100＋z 50＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1＝(－i)2＋(－i)＋1＝－i.【答案】－i4.已知z 为复数，z －1i 为实数，z 1－i为纯虚数，求复数z .【解】设z＝a＋b i(a，b∈R)，则z－1i＝a－1＋b ii＝(a－1＋b i)·(－i)＝b－(a－1)i.因为z－1i为实数，所以a－1＝0，即a＝1.又因为z1－i＝(a＋b i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝(a－b)＋(a＋b)i2为纯虚数，所以a－b＝0，且a＋b≠0，所以b＝1. 故复数z＝1＋i.。

苏教版数学选修2-2：学业分层测评10 第1章 1.5.3 微积分基本定理

2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2阶段质量检测(二) 推理与证明

阶段质量检测(二)推理与证明[考试时间：120分钟试卷总分：160分]一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上)1．(新课标全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市．由此可判断乙去过的城市为________．2．周长一定的平面图形中圆的面积最大，将这个结论类比到空间，可以得到的结论是________．3．下列说法正确的是________．(写出全部正确命题的序号)①演绎推理是由一般到特殊的推理②演绎推理得到的结论一定是正确的③演绎推理的一般模式是“三段论”形式④演绎推理得到的结论的正误与大、小前提和推理形式有关4．“因为AC，BD是菱形ABCD的对角线，所以AC，BD互相垂直且平分．”以上推理的大前提是________________________________．5．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．6．(陕西高考)观察分析下表中的数据：．7．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的一个性质为________．8．已知x，y∈R＋，当x2＋y2＝________时，有x1－y2＋y1－x2＝1.9．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：①当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立；②假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1；③则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，则当n ＝k ＋1时等式成立．由此可知，对任何n ∈N *，等式都成立．上述证明步骤中错误的是________．10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)内切于正方形ABCD ，任取圆上一点P ，若OP ＝m OA ＋n OB (m ，n ∈R )，则14是m 2，n 2的等差中项；现有一椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)内切于矩形ABCD ，任取椭圆上一点P ，若OP ＝m OA ＋n OB (m ，n ∈R )，则m 2，n 2的等差中项为________．11．(安徽高考)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2 2.过点 A 作BC 的垂线，垂足为A 1 ；过点 A 1作 AC 的垂线，垂足为 A 2；过点A 2 作A 1C 的垂线，垂足为A 3 ；…，依此类推．设BA ＝a 1 ，AA 1＝a 2 , A 1A 2＝a 3 ，…， A 5A 6＝a 7 ，则 a 7＝________.12．已知x >0，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，可推广为x ＋ax n ≥n ＋1，则a 的值为________．13．如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1,2,3，…)，则第n 个图形中共有________个顶点．14．(湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2，五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ， ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________.二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab ≥8.16．(本小题满分14分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫15n (n ∈N *)，若T n ＝a 1＋a 2·5＋a 3·52＋…＋a n ·5n －1，b n ＝6T n －5n a n ，类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，求数列{b n }的通项公式．17．(本小题满分14分)观察 ①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两式的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．18．(本小题满分16分)已知实数a 、b 、c 满足0<a ，b ，c <2，求证：(2－a )b ，(2－b )c ，(2－c )a 不可能同时大于1.19.(本小题满分16分)数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *)． (1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝13x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，a n ＋1≥f ′(a n＋1)，(1)证明：a n ≥2n －1(n ∈N *)． (2)试比较11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a n与1的大小，并说明理由．答案1．解析：由甲、丙的回答易知甲去过A 城市和C 城市，乙去过A 城市或C 城市，结合乙的回答可得乙去过A 城市．答案：A2．解析：平面图形中的图类比空间几何体中的球，周长类比表面积，面积类比体积．故可以得到的结论是：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大．答案：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大3．解析：如果演绎推理的大前提和小前提都正确，则结论一定正确．大前提和小前提中，只要有一项不正确，则结论一定也不正确．故②错误．答案：①③④4．形对角线互相垂直且平分5．解析：V 1V 2＝13S 1h113S 2h 2＝⎝⎛⎭⎫S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18.答案：1∶86．解析：三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F ＋V －E ＝2.答案：F ＋V －E ＝27．解析：正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心，故可猜想：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心．答案：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心 8．解析：要使x1－y 2＋y1－x 2＝1，只需x 2(1－y 2)＝1＋y 2(1－x 2)－2y 1－x 2，即2y1－x 2＝1－x 2＋y 2. 只需使(1－x 2－y )2＝0，即1－x 2＝y ，∴x 2＋y 2＝1.答案：19．解析：因为③没有用到归纳假设的结果，错误．答案：③10．解析：如图，设P (x ，y )，由x 2a 2＋y 2b2＝1知A (a ，b )，B (－a ，b )，由OP ＝m OA ＋n OB 可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝(m －n )a ，y ＝(m ＋n )b ，代入x 2a 2＋y 2b2＝1可得(m －n )2＋(m ＋n )2＝1，即m 2＋n 2＝12，所以m 2＋n 22＝14，即m 2，n 2的等差中项为14.答案：1411．解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，A 1A 2＝a 3＝1，…，A 5A 6＝a 7＝a 1×⎝⎛⎭⎫226＝14.法二：求通项：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，…，A n －1A n ＝a n ＋1＝sin π4·a n ＝22a n ＝2×⎝⎛⎭⎫22n ，故a 7＝2×⎝⎛⎭⎫226＝14.答案：1412．解析：由x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x ＋22x 2≥3，x ＋27x 3＝x ＋33x 3≥4，…，可推广为x ＋n nx n ≥n＋1，故a ＝n n .答案：n n13．解析：设第n 个图形中有a n 个顶点，则a 1＝3＋3×3，a 2＝4＋4×4，…， a n －2＝n ＋n ·n ，a n ＝(n ＋2)2＋n ＋2＝n 2＋5n ＋6. 答案：n 2＋5n ＋614．解析：N (n ，k )＝a k n 2＋b k n (k ≥3)，其中数列{a k }是以12为首项，12为公差的等差数列；数列{b k }是以12为首项，－12为公差的等差数列；所以N (n,24)＝11n 2－10n ，当n ＝10时，N (10,24)＝11×102－10×10＝1 000.答案：1 00015．证明：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1. ∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，∴1ab ≥4⎝⎛⎭⎫当a ＝12，b ＝12时等号成立，又1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab≥4. ⎝⎛⎭⎫当a ＝12，b ＝12时等号成立∴1a ＋1b ＋1ab≥8. 16．解：因为T n ＝a 1＋a 2·5＋a 3·52＋…＋a n ·5n －1，① 所以5T n ＝a 1·5＋a 2·52＋a 3·53＋…＋a n －1·5n －1＋a n ·5n ，② 由①＋②得：6T n ＝a 1＋(a 1＋a 2)·5＋(a 2＋a 3)·52＋…＋(a n －1＋a n )·5n －1＋a n ·5n ＝1＋15×5＋⎝⎛⎭⎫152×52＋…＋⎝⎛⎭⎫15n －1×5n －1＋a n ·5n ＝n ＋a n ·5n ，所以6T n －5n a n ＝n ，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝n .17.解：观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，由此猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝34.证明：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α(cos 30°cos α－sin 30°sin α) ＝sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋32sin αcos α－12sin 2α ＝12sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋34sin 2α ＝1－cos 2α4＋1＋cos (60°＋2α)2＋34sin 2α＝1－cos 2α4＋12＋14cos 2α－34sin 2α＋34sin 2α ＝34. 18．证明：假设(2－a )b >1，(2－b )c >1，(2－c )a >1，则三式相乘：(2－a )b (2－b )c (2－c )a >1① 而(2－a )a ≤⎝⎛⎭⎪⎫2－a ＋a 22＝1，同理，(2－b )b ≤1，(2－c )c ≤1，即(2－a )b (2－b )c (2－c )a ≤1，显然与①矛盾，所以原结论成立．19．解：(1)由S n ＝2n －a n ，得，a 1＝2－a 1，即a 1＝1.S 2＝a 1＋a 2＝4－a 2，解得a 2＝32.S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝6－a 3，解得a 3＝74.S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝8－a 4，解得a 4＝158.由此猜想a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)．(2)①当n ＝1时，a 1＝1，结论成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝2k －12k －1，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1，则a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k －12k －12＝2k ＋1－12k＝2k ＋1－12(k ＋1)－1，这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立．根据①和②，可知猜想对任何n ∈N *都成立，即a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)．20．解：(1)证明：∵f ′(x )＝x 2－1， ∴a n ＋1≥(a n ＋1)2－1＝a 2n ＋2a n .①当n ＝1时，a 1≥1＝21－1，命题成立； ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时命题成立，即a k ≥2k －1；那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1≥a 2k ＋2a k ＝a k (a k ＋2)≥(2k －1)(2k －1＋2)＝22k －1≥2k ＋1－1.即当n ＝k ＋1时，命题成立，综上所述，命题成立．(2)∵a n ≥2n －1，∴1＋a n ≥2n ，∴11＋a n ≤12n .∴11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a n ≤12＋122＋…＋12n ＝1－12n <1.。

2017-2018学年高中数学(苏教版选修2-2)学业分层测评9定积分含答案

学业分层测评（九)(建议用时：45分钟）[学业达标]一、填空题1．当n →＋∞时，错误!错误!表示成定积分为________．【解析】根据定积分的几何意义,当n →＋∞时，错误!错误!表示曲线y ＝sin x ,x ＝0，x ＝π,y ＝0所围成图形的面积，所以表示成定积分为错误!sin xdx .【答案】 ⎠⎜⎜⎛0πsin xdx 2。

错误!错误!dx ＝________。

【解析】定积分错误!错误!dx 等于直线y ＝错误!与x ＝0,x ＝2，y ＝0围成三角形的面积S ＝错误!×2×1＝1。

【答案】 13．已知错误!xdx ＝2,则错误! xdx ＝________。

【解析】错误!xdx 表示直线y ＝x ，x ＝0，x ＝t ,y ＝0所围成图形的面积，而错误!表示直线y ＝x ，x ＝0，x ＝－t ，y ＝0所围成图形面积的相反数，所以错误!xdx ＝－2。

【答案】－24．若cos xdx＝1，则由x＝0,x＝π，f(x)＝sin x及x轴围成的图形的面积为________．【解析】由正弦函数与余弦函数的图象，知f（x）＝sin x,x∈[0，π］的图象与x轴围成的图形的面积，等于g（x）＝cos x，x∈错误!的图象与x轴围成的图形的面积的2倍，所以答案应为2.【答案】25．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：(1）S＝________(图1.5。

2(1));(2)S＝________(图15。

2（2)）；（3)S＝________(图1.5.2(3)）．(图1) （图2）图(3)图1。

52【答案】6．已知某物体运动的速度为v＝t，t∈[0,10］,若把区间10等分,取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高,则物体运动的路程近似值为__________．【解析】∵把区间[0，10］10等分后,每个小区间右端点处的函数值为n(n＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1.∴物体运动的路程近似值S＝1×（1＋2＋…＋10)＝55.【答案】557．物体运动的速度和时间的函数关系式为v（t）＝2t（t的单位：h，v的单位：km/h),近似计算在区间［2，8］内物体运动的路程时，把区间6等分，则过剩近似值(每个ξi均取值为小区间的右端点）为__________km.【解析】以小区间右端点时的速度作为小区间的平均速度,可得过剩近似值为s＝（2×3＋2×4＋2×5＋2×6＋2×7＋2×8)×1＝66(km）．【答案】668．汽车以v＝(3t＋2)m/s做变速直线运动时,第1 s到第2 s间的1 s内经过的路程是________m。

2022-2021学年高中数学苏教版选修2-2学业分层测评11 归纳推理

学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟) [学业达标] 一、填空题1．观看下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝________.【解析】从给出的式子特点观看可推知等式右端的值，从第三项开头，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a 10＋b 10＝123.【答案】 12322＋18<210， 4.5＋15.5<210，3＋2＋17－2<210，…依据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a ，b 都成立的条件不等式：________.【解析】 ∵2＋182＝10，4.5＋15.52＝10，3＋2＋17－22＝10， ∴不难得出，若a ＋b ＝20，a ＋b <210. 【答案】若a ＋b ＝20，则a ＋b <210 3．观看下列等式： 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 …，照此规律，第n 个等式可为________．【解析】 12＝1， 12－22＝－(1＋2)，12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)， …，12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1(1＋2＋…＋n )＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2.【答案】 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n (n ＋1)24．观看下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 041，…，则72 013的末两位数字为________. 【导学号：01580032】【解析】由于71＝7,72＝49,73＝343,74＝2 401,75＝16 807，76＝117 649，…，所以这些数的末两位数字呈周期性消灭，且周期T ＝4. 又2 013＝4×503＋1，所以72 013的末两位数字与71的末两位数字相同，为07. 【答案】 07 5．设函数f (x )＝xx ＋2(x >0)，观看： f 1(x )＝f (x )＝x x ＋2， f 2(x )＝f ((f 1(x ))＝x3x ＋4， f 3(x )＝f ((f 2(x ))＝x7x ＋8， f 4(x )＝f ((f 3(x ))＝x15x ＋16，…依据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________.【解析】函数结果的分母中x 项系数所组成的数列为1,3,7,15，…，可推知该数列的通项公式为a n ＝2n －1.分母中常数项依次为2,4,8,16，…，其通项为2n .又函数中，分子都是x . ∴当n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝x(2n －1)x ＋2n. 【答案】x(2n －1)x ＋2n6．(2022·青岛高二检测)简洁计算2×5＝10,22×55＝1 210，222×555＝123 210，2 222×5 555＝12 343 210.依据此规律猜想22…229位×55…559位所得结果由左向右的第八位至第十位的三个数字依次为________．【解析】由已知可归纳出22…229位×55…559位＝ 123 456 789 876 543 210，所得结果由左向右的第八位至第十位的三个数字依次为898. 【答案】 8987．(2022·东北三校高二联考)某种平面分形图如图2-1-5所示，一级分形图是由一点动身的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端动身再生成两条长度为原来的13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n 级分形图．图2-1-5则n 级分形图中共有________条线段．【解析】分形图的每条线段的末端动身再生成两条线段，由题图知，一级分形图中有3＝3×2－3条线段，二级分形图中有9＝3×22－3条线段，三级分形图中有21＝3×23－3条线段，按此规律得n 级分形图中的线段条数a n ＝3·2n －3(n ∈N *)．【答案】 3·2n －3(n ∈N *)8．把正整数按肯定的规章排成了如图2-1-6所示的三角形数表，设a ij (i ，j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 行．如a 42＝8，若a ij ＝2 009.则i 和j 的和为________．1 2 4 3 5 7 6 8 10 12 9 11 13 15 17 14 16 18 20 22 24 … … … … … … …【解析】由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2 009＝2×1 005－1，所以2 009为第1 005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1 024，故2 009在第32个奇数行内，所以i ＝63，由于第63行的第一个数为2×962－1＝1 923,2 009＝1 923＋2(m －1)，所以m ＝44，即j ＝44，所以i ＋j ＝107.【答案】 107 二、解答题9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1且S n －1＋1S n＋2＝0(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．【解】当n ＝1时，S 1＝a 1＝1；当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－3，∴S 2＝－13；当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－53，∴S 3＝－35；当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－75，∴S 4＝－57.猜想：S n ＝－2n －32n －1(n ∈N *)10．传奇古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们争辩过如图2-1-6所示的三角形数：图2-1-6将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的挨次组成一个新数列{b n }，可以推想：(1)b 2 014是数列{a n }的第几项？ (2)用k 表示b 2k －1.【解】 (1)a n ＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2， b 1＝4×52＝a 4，b 2＝5×62＝a 5，b 3＝9×(2×5)2＝a 9，b 4＝(2×5)×112＝a 10，b 5＝14×(3×5)2＝a 14，b 6＝(3×5)×162＝a 15，…b 2 014＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142×5⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142×5＋12＝a 5 035.即b 2 014是数列{a n }的第5 035项． (2)由(1)知b 2k －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1＋12×5－1⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1＋12×52＝5k (5k －1)2.[力量提升]1．已知f (x )＝x1＋x ，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N *，则f 2 014(x )的表达式为________．【解析】由f 1(x )＝x 1＋x ⇒f 2(x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x ＝x 1＋x 1＋x 1＋x ＝x 1＋2x ；又可得f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x 1＋2x 1＋x 1＋2x＝x1＋3x ，故可猜想f 2 014(x )＝x1＋2 014x . 【答案】x1＋2 014x2．观看下列等式：31×2×12＝1－122，31×2×12＋42×3×122＝1－13×22，31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，…，由以上等式推想到一个一般的结论：对于n ∈N *，31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n (n ＋1)×12n ＝________.【解析】观看所给等式知，第n 个等式的右边为1－1(n ＋1)×2n.【答案】 1－1(n ＋1)×2n3．已知sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32，sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝32.通过观看上述两等式的规律，请写出一个一般性的命题：___________________.【答案】 sin 2(α－60°)＋sin 2α＋sin 2(α＋60°)＝324．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图2-1-6①②③④所示为她们刺绣的最简洁的四个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形数越多，刺绣越秀丽．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．图2-1-6 (1)求f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并依据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1的值．【解】 (1)f (5)＝41.(2)f (2)－f (1)＝4＝4×1， f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4， ……由上式规律，得f (n ＋1)－f (n )＝4n . ∴f (n ＋1)＝f (n )＋4n ， f (n )＝f (n －1)＋4(n －1) ＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4 ＝2n 2－2n ＋1.(3)当n ≥2时，1f (n )－1＝12n (n －1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ，∴1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1 ＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＝32－12n .。

高中数学苏教版高二选修2-2学业分层测评：第二章_推理与证明_14

学业分层测评(十四)(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．如图2-1-19所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a 所表示的数是________.【导学号：01580042】图2-1-19【解析】由图形中数字，不难得出每行两头数字均为1，其它数字均为其肩上两数字之和，∴a ＝3＋3＝6.【答案】 62．对于大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23＝⎩⎨⎧3，5， 33＝⎩⎨⎧7，9，11，43＝⎩⎨⎧13，15，17，19，….仿此，若m 3的“分裂数”中有一个是2 015，则m ＝________. 【解析】根据分裂特点，设最小数为a 1，则ma 1＋m (m －1)2×2＝m 3，∴a 1＝m 2－m ＋1. ∵a 1为奇数，又452＝2 025， ∴猜想m ＝45.验证453＝91 125＝(1 979＋2 071)×452.【答案】 453．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：________________________.【解析】平面几何中的线与立体几何中的面相类比，可得：夹在两个平行平面间的平行线段相等．【答案】夹在两个平行平面间的平行线段相等4．观察下面不等式：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，猜想第n 个不等式为________．【解析】当n ≥2时，则不等式左端就为1＋122＋132＋…＋1n 2，而右端的分母正好是n ，分子是2n －1，因此可以猜想，n ≥2时，满足的不等式为1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n .故可归纳式子为：1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n (n ≥2)．【答案】 1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n (n ≥2) 5．若a 1，a 2，a 3，a 4∈R ＋，有以下不等式成立：a 1＋a 22≥a 1a 2，a 1＋a 2＋a 33≥3a 1a 2a 3，a 1＋a 2＋a 3＋a 44≥4a 1a 2a 3a 4.由此推测成立的不等式是_______________________________________________．(要注明成立的条件)【答案】 a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n n≥n a 1a 2a 3…a n (a 1，a 2，a 3，…，a n ∈R ＋) 6．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…则52 015的末四位数字为________．【解析】 ∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125， 58末四位数字为0 625,59末四位数字为3 125， 510末四位数字为5 625,511末四位数字为8 125， 512末四位数字为0 625，…，由上可得末四位数字周期为4，呈规律性交替出现， ∴52 015＝54×503＋3末四位数字为8 125. 【答案】 8 1257．(2016·湖北调研)如图2-1-20①②③④所示，它们都是由小圆圈组成的图案．现按同样的排列规则进行排列，记第n 个图形包含的小圆圈个数为f (n )，则图2-1-20(1)f (5)＝________；(2)f (2 015)的个位数字为________．【解析】观察规律可知：f (5)＝4×5＋1＝21，f (2 015)＝2 014×2 015＋1，它的个位数字是1.【答案】 (1)21 (2)18．(2016·江西稳派调研)将2n 按如表所示的规律填在5列的数表中，设22 015排在数表的第n 行，第m 列，则第m －1列中的前n 个数的和S n ＝________.【解析】由于2 015＝4504行第4列，所以n ＝504，m ＝4.所以S n ＝22[1－(24)504]1－24＝22 018－415.【答案】22 018－415 二、解答题9．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ∈N *)，证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .【导学号：01580043】【证明】 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n .故S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)． ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．又∵a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝4＝4a1，∴对任意正整数n，都有S n＋1＝4a n.10．在平面几何中，研究正三角形内任意一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为a的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值32a.类比上述命题，请你写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要的证明．【解】类比所得的真命题是：棱长为a的正四面体内任意一点到四个面的距离之和是定值63a.证明：设M是正四面体P-ABC内任意一点，M到面ABC，面P AB，面P AC，面PBC的距离分别为d1，d2，d3，d4.由于正四面体四个面的面积相等，故有：V P-ABC＝V M-ABC＋V M-P AB＋V M-P AC＋V M-PBC＝13·S△ABC·(d1＋d2＋d3＋d4)，而S△ABC ＝34a2，VP-ABC＝212a3，故d1＋d2＋d3＋d4＝63a(定值)．能力提升]1．(2016·盐城高二期终)已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…类比这些等式，若6＋ab＝6ab(a，b均为正实数)，则a＋b＝______.【解析】类比已知的3个等式，知a＝6，b＝62－1＝35.所以a＋b＝41.【答案】412．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则AGGD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则AOOM等于________．【解析】如图，设正四面体的棱长为1，则易知其高AM＝63，此时点O即为正四面体内切球的球心，设其半径为r ，利用等体积法有4×13×34r ＝13×34×63⇒r ＝612，故AO ＝AM －MO ＝63－612＝64，故AO ∶OM ＝64∶612＝3.【答案】 33．(2016·湖北宜昌高三模拟)观察下列等式： ①sin 2θ＝cos θ·2sin θ； ②sin 4θ＝cos θ(4sin θ－8sin 3θ)；③sin 6θ＝cos θ(6sin θ－32sin 3θ＋32sin 5θ)；④sin 8θ＝cos θ(8sin θ－80sin 3θ＋192sin 5θ－128sin 7θ)；⑤sin 10θ＝cos θ(10sin θ－160sin 3θ＋m sin 5θ－1 024sin 7θ＋n sin 9θ)．则可以推测(1)n ＝________，(2)m ＝________.【解析】由给定等式的规律可知奇数式的最后一项系数为正数．数值为2n ，n 的值与sin θ的次数相同，所以式子⑤中n ＝29＝512.另一特征为括号中所有系数的和奇数式与θ的系数相等，偶数式与θ的系数相反，所以⑤式中10－160＋m －1 024＋512＝10，∴m ＝672.【答案】 512 672【答案】 145．设f (x )＝a x ＋a －x 2，g (x )＝a x －a －x 2(其中a >0，a ≠1)．(1)请你推测g (5)能否用f (2)，f (3)，g (2)，g (3)来表示． (2)如果(1)中获得一个结论，请你推测能否推广并加以证明．【解】 (1)由题意可得f (2)＝a 2＋a －22，f (3)＝a 3＋a －32，g (2)＝a 2－a －22，g (3)＝a 3－a －32. 则f (3)·g (2)＋g (3)·f (2)＝a 5－a ＋a －1－a －5＋a 5＋a －a －1－a －54＝a 5－a －52.又g(5)＝a5－a－52，因此，g(5)＝f(3)·g(2)＋g(3)·f(2)．(2)g(5)＝f(3)·g(2)＋g(3)·f(2)，即g(3＋2)＝f(3)·g(2)＋g(3)·f(2)．于是猜测g(x＋y)＝f(x)·g(y)＋g(x)·f(y)．证明：∵f(x)＝a x＋a－x2，g(x)＝a x－a－x2，∴g(x＋y)＝a(x＋y)－a－(x＋y)2，g(y)＝a y－a－y2，f(y)＝a y＋a－y2，所以f(x)·g(y)＋g(x)·f(y)＝a x＋a－x2·a y－a－y2＋a x－a－x2·a y＋a－y2＝a(x＋y)－a－(x＋y)2＝g(x＋y)．故g(x＋y)＝f(x)·g(y)＋g(x)·f(y).。