2019高考数学二轮复习专题八附加题第3讲矩阵与变换坐标系与参数方程学案

第3讲 矩阵与变换、坐标系与参数方程[考情考向分析] 1.考查常见的平面变换与矩阵的乘法运算，二阶矩阵的逆矩阵及其求法，矩阵的特征值与特征向量的求法，属B 级要求.2.考查直线、曲线的极坐标方程、参数方程，参数方程与普通方程的互化，极坐标与直角坐标的互化，属B 级要求．热点一 二阶矩阵与平面变换例1 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2所对应的变换T 把曲线C 变成曲线C 1：x24＋y22＝1，求曲线C 的方程．解 设曲线C 上任一点为(x ，y )， 经过变换T 变成(x 0，y 0)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x0y0，即x 0＝x ，y 0＝2y . 由x204＋y202＝1，得曲线C 的方程为x 2＋4y 2＝4. 思维升华 解决这类问题一般是设变换T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，求出原曲线在T 的变换下得到的曲线，再根据条件求相应的系数值．跟踪演练1 已知曲线C 1：x 2＋y 2＝1，对它先作矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2对应的变换，再作矩阵B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 b 1 0对应的变换，得到曲线C 2：x24＋y 2＝1，求实数b 的值．解 从曲线C 1变到曲线C 2的变换对应的矩阵为BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 10 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2b 1 0.在曲线C 1上任意选一点P (x 0，y 0)，设它在矩阵BA 对应的变换作用下变为 P ′(x ′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2b 1 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x0y0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2by0 x0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′.故⎩⎪⎨⎪⎧2by0＝x′x0＝y′，解得⎩⎪⎨⎪⎧y0＝12b x′，x0＝y′.代入曲线C 1方程得，y ′2＋⎝⎛⎭⎪⎫12b x′2＝1.即曲线C 2方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2x 2＋y 2＝1.与已知的曲线C 2的方程x24＋y 2＝1比较得(2b )2＝4.所以b ＝±1.热点二 二阶矩阵的逆矩阵及其求法例2 已知点P (3,1)在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2b －1变换下得到点P ′(5，－1)．试求矩阵A 和它的逆矩阵A －1.解 依题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2b －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a ＋23b －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2＝5，3b －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －1.因为det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 20 －1＝1×(－1)－0×2＝－1，所以A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －1.思维升华 由二阶矩阵与向量的乘法及向量相等建立方程组，常用于求二阶矩阵，要注意变换的前后顺序．跟踪演练2 二阶矩阵M 对应的变换T M 将曲线x 2＋x －y ＋1＝0变为曲线2y 2－x ＋2＝0，求M －1. 解 设曲线2y 2－x ＋2＝0上一点P (x ，y )在M －1对应变化下变成P (x ′，y ′)， 设M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x′＝ax ＋by ，y′＝cx ＋dy ，代入x 2＋x －y ＋1＝0得，方程(ax ＋by )2＋(ax ＋by )－(cx ＋dy )＋1＝0，即b 2y 2＋(a －c )x ＋(b －d )y ＋2abxy ＋a 2x 2＋1＝0，与方程y 2－x 2＋1＝0比较得，a ＝0，b ＝1，c ＝12，d ＝1或a ＝0，b ＝－1，c ＝12，d ＝－1.所以M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －112 －1或M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 112 1. 热点三 特征值与特征向量例3 已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)． (1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的另一个特征值．解 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b c ＋d ， M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a ＋2b －c ＋2d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝8，c ＋d ＝8，－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，即M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 244.(2)令特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－6 －2 －4 λ－4＝(λ－6)(λ－4)－8＝0， 解得λ1＝8，λ2＝2. 故矩阵M 的另一个特征值为2.思维升华 求矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 就是要求待定的字母，利用条件建立方程组，确立待定的字母的值，从而求出矩阵，待定系数法是求这类问题的通用方法．跟踪演练3 已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2112.(1)求矩阵A ；(2)求矩阵A －1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量． 解 (1)因为矩阵A 是矩阵A －1的逆矩阵， 且|A －1|＝2×2－1×1＝3≠0， 所以A ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 23－13－13 23. (2)矩阵A －1的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1 －1 λ－2＝λ2－4λ＋3＝(λ－1)(λ－3)，令f (λ)＝0，得矩阵A －1的特征值为λ1＝1，λ2＝3， 所以ξ1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1是矩阵A －1的属于特征值λ1＝1的一个特征向量， ξ2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是矩阵A －1的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．热点四 曲线的极坐标方程例4 (2018·江苏冲刺预测)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝t －1(t 为参数)，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝62＋sin2θ.(1)求曲线C 1的极坐标方程和C 2的直角坐标方程；(2)射线OP ：θ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫其中0<α<π2与C 2交于P 点，射线OQ ：θ＝α＋π2与C 2交于Q 点，求1OP2＋1OQ2的值．解 (1)因为曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝t －1(t 为参数)，所以曲线C 1的直角坐标方程为x －2y －2＝0，所以曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ－2ρsin θ－2＝0， 因为ρ＝62＋sin2θ，所以ρ2(2＋sin 2θ)＝6，所以曲线C 2的直角坐标方程为2x 2＋3y 2＝6. (2)依题意得，点P 的极坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝62＋sin2θ，θ＝α，所以OP ＝62＋sin2α，1OP2＝2＋sin2α6，点Q 的极坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝62＋sin2θ，θ＝α＋π2，所以OQ ＝62＋cos2α，1OQ2＝2＋cos2α6，所以1OP2＋1OQ2＝2＋sin2α6＋2＋cos2α6＝56.思维升华 解决这类问题一般有两种思路：一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．要注意题目所给的限制条件及隐含条件．跟踪演练4 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos t ，y ＝1＋asin t(t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ. (1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解 (1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2(a ＞0)，C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆． 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1. 当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上． 所以a ＝1. 热点五 参数方程例5 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求PA ＋PB . 解 方法一 (1)由ρ＝25sin θ，得x 2＋y 2－25y ＝0， 即x 2＋(y －5)2＝5.(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0. 由于Δ＝(－32)2－4×4＝2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以⎩⎨⎧t1＋t2＝32，t1t2＝4.又直线l过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义，得PA ＋PB ＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2. 方法二 (1)同方法一．(2)因为圆C 的圆心为(0，5)，半径r ＝5，直线l 的普通方程为y ＝－x ＋3＋ 5. 由错误! 得x 2－3x ＋2＝0.解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2＋5或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1＋ 5.不妨设A (1,2＋5)，B (2,1＋5)，又点P 的坐标为(3，5)．故PA ＋PB ＝8＋2＝3 2.思维升华 过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x0＋tcos α，y ＝y0＋tsin α(t 为参数)，t 的几何意义是数量，即|t |表示P 0到P 的距离，t 有正负之分．使用该式时直线上任意两点P 1，P 2对应的参数分别为t 1，t 2，则P 1P 2＝|t 1－t 2|，P 1P 2的中点对应的参数为12(t 1＋t 2)．跟踪演练5 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解 将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－22t ， 解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.1．(2018·江苏)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2312.(1)求A 的逆矩阵A －1；(2)若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点P ′(3,1)，求点P 的坐标． 解 (1)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 312，又det(A )＝2×2－1×3＝1≠0， 所以A 可逆，从而A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －3－1 2.(2)设P (x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤231 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－1，因此，点P 的坐标为(3，－1)．2．(2018·江苏)在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝2，曲线C 的方程为ρ＝4cos θ，求直线l 被曲线C 截得的弦长．解 因为曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ， 所以曲线C 是圆心为(2,0)，直径为4的圆． 因为直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－θ＝2，则直线l 过点A (4,0)，且倾斜角为π6，所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ，则∠OAB ＝π6.如图，连结OB .因为OA 为直径，从而∠OBA ＝π2，所以AB ＝4cos π6＝2 3.因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为2 3.3．(2017·江苏)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤110，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002.(1)求AB ；(2)若曲线C 1：x28＋y22＝1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程．解 (1)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤110，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002，AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤011 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 210.(2)设Q (x 0，y 0)为曲线C 1上任意一点，它在矩阵AB 对应的变换作用下变为点P (x ，y )， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 21 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x0y0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 即⎩⎪⎨⎪⎧2y0＝x ，x0＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x0＝y ，y0＝x2.因为点Q (x 0，y 0)在曲线C 1上，所以x208＋y202＝1，从而y28＋x28＝1，即x 2＋y 2＝8.因此曲线C 1在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线C 2：x 2＋y 2＝8.1．(2018·苏锡常镇四市模拟)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 14x 的一个特征值为3，求M －1. 解 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1－4 λ－x ＝0，得(λ－2)(λ－x )－4＝0的一个解为3，代入得x ＝－1，因为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 14 －1，所以M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤16 1623 －13. 2．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12 1 x ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 －1，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ， x ，y 为实数．若A α＝B α，求x ＋y 的值．解 由已知，得A α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2 1x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2＋2y 2＋xy ， B α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋y 4－y .因为A α＝B α，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2＋2y 2＋xy ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋y 4－y .故⎩⎪⎨⎪⎧－2＋2y ＝2＋y ，2＋xy ＝4－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝4.所以x ＋y ＝72.3．(2015·江苏)已知x ，y ∈R ，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x1y0的属于特征值－2的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值． 解 由已知，得A α＝－2α， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x1y 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1 y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－2，y ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，所以矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11 2 0. 从而矩阵A 的特征多项式f (λ)＝(λ＋2)(λ－1)， 所以矩阵A 的另一个特征值为1. 4．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a .解 (1)曲线C 的普通方程为x29＋y 2＝1. 当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x29＋y2＝1，x ＋4y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2125，2425.(2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0， 故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917. 由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8；当a <－4时，d 的最大值为－a ＋117. 由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.5．已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径．解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy . 圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6.6．(2016·江苏)已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤102－2，矩阵B 的逆矩阵B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －120 2，求矩阵AB . 解 B ＝(B －1)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 1220212＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤114012.∴AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －2 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1140 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 540 －1. 7．(2016·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解 直线l 的方程化为普通方程为3x －y －3＝0，椭圆C 的方程化为普通方程为x 2＋y24＝1， 联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －3＝0，x2＋y24＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x1＝1，y1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x2＝－17，y2＝－837，∴取A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17，－837. 故AB ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋172＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋8372＝167. 8．(2018·扬州模拟)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝m ＋22t ，y ＝22t (t 是参数，m 是常数)．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，且PQ ＝2，求实数m 的值．解 (1)因为直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝m ＋22t ，y ＝22t (t 是参数)，所以直线l 的普通方程为x －y －m ＝0.因为曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ，故ρ2＝6ρcos θ，所以x 2＋y 2＝6x ，所以曲线C 的直角坐标方程是(x －3)2＋y 2＝9.(2)曲线C 表示以C (3,0)为圆心，3为半径的圆，设圆心到直线l 的距离为d ， 则d ＝32－12＝22，又d ＝|3－m|2＝22，所以|3－m |＝4，即 m ＝－1或m ＝7.。