2014年高考语文文二轮专题复习与测试选修4-5不等式选讲练习卷J

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不等式选讲(选修4-5)典型题及答案

不等式选讲选修4-51．已知函数（其中）.（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.2．设函数()241f x x =-+. (1)画出函数()y f x =的图象；(2)若不等式()f x a x ≤的解集非空，求a 的取值范围.3．已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|. (1)求不等式f (x )≤6的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )<|a －1|的解集不是空集，求实数a 的取值范围． 4．已知函数()2123f x x x =++-，（Ⅰ）若关于x 的不等式()13f x a >-恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若关于t 的一次二次方程()20t f m -=有实根，求实数m 的取值范围． 5．选修4—5:不等式选讲已知函数ƒ(x)=|2x -a|+ |x -1|.（Ⅰ）当a=3时,求不等式ƒ(x)≥2的解集；(Ⅱ)若ƒ(x)≥5-x 对V.r6 R 恒成立,求实数a 的取值范围. 6．已知函数()()12f x x x m m R =-++∈ （1）若m=2时，解不等式()3f x ≤;（2）若关于x 的不等式()[]230,1f x x x ≤-∈在上有解，求实数m 的取值范围。

7．已知m ，n ∈R ＋，f (x )＝|x ＋m |＋|2x －n |. (1)当m ＝n ＝1时，求f (x )的最小值； (2)若f (x )的最小值为2，求证122m n +≥.8．选修4-5：不等式选讲已知函数()11f x m x x =---+.（1）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；（2）若二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.9．已知函数()312f x x x =-+-的最小值为m . （1）求m 的值；（2）设实数,a b 满足222a b m +=，证明： 2a b +≤10．设函数()2f x x a a =++.（1）若不等式()1f x ≤的解集为{|24}x x -≤≤，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若不等式()24f x k k ≥--恒成立，求实数k 的取值范围. 11．(导学号：05856266)[选修4－5：不等式选讲] 设函数f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|. (Ⅰ)解不等式f (x )>0；(Ⅱ)若∃x 0∈R，使得f ()0x ＋2m 2<4m ，求实数m 的取值范围． 12．设函数()3f x x =+， ()21g x x =-. （1）解不等式()()f x g x <；（2）若()()24f x g x a x +>+对任意的实数x 恒成立，求a 的取值范围. 13．已知函数()2321f x x x =+-- (1)求不等式()2f x <的解集；(2)若存在x R ∈，使得()32f x a >-成立，求实数a 的取值范围. 14．选修4-5 不等式选讲已知函数f (x )＝|x －1|－2|x ＋1|的最大值为m . (1)求m ；(2)若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，a 2＋2b 2＋c 2＝2m ，求ab ＋bc 的最大值． 15．设函数()2f x x x a =-+-. (Ⅰ)若2a =-，解不等式；(Ⅱ)如果当x R ∈时， ()3f x a ≥-，求a 的取值范围．参考答案1．(1)；(2).【解析】试题分析：（1）方法一：分类讨论去掉绝对值，转化为一般的不等式，即可求解不等式的解集；方法二：去掉绝对值，得到分段函数，画出函数的图象，结合图象即可求解不等式的解集.（2）不等式即关于的不等式恒成立，利用绝对值不等式，得，进而求解实数的取值范围.试题解析：（1）当时，函数，则不等式为，①当时，原不等式为，解得：；②当时，原不等式为，解得：.此时不等式无解；③当时，原不等式为，解得：，原不等式的解集为.方法二：当时，函数，画出函数的图象，如图：结合图象可得原不等式的解集为.（2）不等式即为，即关于的不等式恒成立.而，所以，解得或，解得或.所以的取值范围是.2．（1）见解析（2）()1,2,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】试题分析：（1）先讨论x 的范围，将函数f x （）写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；（II ）根据函数y f x =（）与函数y ax =的图象可知先寻找满足f x a x ≤（）的零界情况，从而求出a 的范围．试题解析： (1)由于()25,2{23,2x x f x x x -+<=-≥，则()y fx =的图象如图所示：(2)由函数()y f x =与函数y ax =的图象可知，当且仅当12a ≥或2a <-时，函数()y f x =与函数y ax =的图象有交点，故不等式()f x a x ≤的解集非空时， a 的取值范围是()1,2,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭.3．（1）{|12}x x -≤≤；（2）()(),35,-∞-⋃+∞ 【解析】试题分析：(1)由题意结合不等式的性质零点分段可得不等式的解集为{}|12x x -≤≤.(2)由绝对值三角不等式的性质可得()4f x ≥，结合集合关系可得关于实数a 的不等式14,a ->求解绝对值不等式可得实数a 的取值范围为()(),35,-∞-⋃+∞.试题解析：(1)原不等式等价于()()3{221236x x x >++-≤或()()13{2221236x x x -≤≤+--≤或()()1{ 221236x x x <--+--≤，解得322x <≤或1322x -≤≤或112x -≤<-.∴原不等式的解集为{}|12x x -≤≤. (2)()()()212321234fx x x x x =++-≥+--=，14,3a a ∴->∴<-或5a >，∴实数a 的取值范围为()(),35,-∞-⋃+∞.点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．4．（Ⅰ）51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；（Ⅱ）35{|}22m m -≤≤．【解析】试题分析：(1)由题意结合绝对值三角不等式可得()f x 的最小值为4，据此可得134a -<，则实数a 的取值范围为51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2)方程的判别式()32421230m m ∆=-++-≥，即21238m m ++-≤，零点分段可得实数m 的取值范围是35{|}22m m -≤≤．试题解析：（Ⅰ）因为()2123f x x x =++-≥()()21234x x +--=，所以134a-<，即513a -<<，所以实数a 的取值范围为51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；（Ⅱ）()32421230m m ∆=-++-≥，即21238m m ++-≤，所以不等式等价于()()3{221238m mm >++-≤或13{2221238m m m -≤≤+-+≤或()()1{221238m m m <--+--≤，所以3522m <≤，或1322m -≤≤，或3122m -≤<-，所以实数m 的取值范围是35{|}22mm -≤≤．5．(Ⅰ){x|x≤32或x≥2}.(Ⅱ)[6，+∞).【解析】试题分析：(Ⅰ) 3a =时，即求解2312x x -+-≥，分33,1,122x x x ≥<<≤三种情况，分别去掉绝对值得不等式的解集即可；(Ⅱ)根据题设条件得251x a x x -≥---恒成立，令()62,151{ 4,1x x g x x x x -≥=---=<，再根据再根据数形结合可求得a 的范围.试题解析：(Ⅰ)当3a =时,即求不等式2312x x -+-≥的解集. 33,1,122x x x ≥<<≤①当32x ≥时， 2312x x -+-≥，解得2x ≥；②当312x <<时， 3212x x -+-≥，解得0x ≤，此时无解；③当1x ≤时, 3212x x -+-≥，解得23x ≤.综上，原不等式的解集为2{ 3x x ≤或}2x ≥.(Ⅱ)由题设得不等式251x a x x -≥---对x R ∀∈恒成立.令()62,151{ 4,1x x g x x x x -≥=---=<，作出函数()g x 和2y x a =-的图象(如图所示),则只需满足32a ≥，即6a ≥.故所求实数a 的取值范围是[)6,+∞.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向． 6．（1）4{|0}3x x -≤≤；（2）32m -≤≤. 【解析】试题分析：（1）当2m =时，不等式为1223x x -++≤，根据分类讨论解不等式即可．（2）由题意可得当[]0,1x ∈时， 22x m x +≤-有解，即[]2230,1x m x x --≤≤-∈在上有解，故只需（()m in m ax 2)23x m x --≤≤-，由此可得结论．试题解析：（1）当2m =时，不等式为1223x x -++≤，若1x ≤-，则原不等式可化为412233x x x -+--≤≥-，解得，所以413x -≤≤-；若11x -<<，则原不等式可化为12230x x x -++≤≤，解得，所以10x -<≤；若1x ≥，则原不等式可化为212233x x x -++≤≤，解得，所以x ∈Φ．综上不等式的解集为4{|0}3x x -≤≤．（2）当[]0,1x ∈时，由()23f x x ≤-，得1232x x m x -++≤- 即22x m x +≤-故222223x x m x x m x -≤+≤---≤≤-，解得，又由题意知（()m in m ax 2)23x m x --≤≤-，所以32m -≤≤．故实数m 的取值范围为[]3,2-． 7．(1)32. (2)见解析.【解析】试题分析：（1）代入m ＝n ＝1，却掉绝对值，得到分段函数，判定分段函数的单调性，确定函数的最小值；（2）由题意得，函数的最小值为2，得22n m += ，利用基本不等式求解最值，即可证明.试题解析：(1)∵f (x )＝∴f (x )在(－∞，)是减函数，在(，＋∞)是增函数，∴当x ＝时，f (x )取最小值.(2)∵f (x )＝，∴f (x )在(－∞，)是减函数，在(，＋∞)是增函数， ∴当x ＝时，f (x )取最小值f ()＝m ＋.∵m ，n ∈R，∴＋＝ (＋)(m ＋) ＝ (2＋＋)≥2点晴:本题主要考查了绝含有绝对值的函数的最小值问题及分段函数的图象与性质、基本不等式的应用，属于中档试题，着重考查了分类讨论思想与转化与化归思想的应用，本题的解答中，根据绝对值的概念合理去掉绝对值号，转化为分段函数，利用分段函数的图象与性质，确定函数的最小值，构造基本不等式的条件，利用基本不等式是解答问题的关键. 【答案】(1) 3322x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭(2) 4m ≥ 【解析】试题分析：（1）当m=5时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）由二次函数y=x 2+2x+3=（x+1）2+2在x=﹣1取得最小值2，f （x ）在x=﹣1处取得最大值m ﹣2，故有m ﹣2≥2，由此求得m 的范围．试题解析：（1）当5m =时， ()()()()521{311 521x x f x x x x +<-=-≤≤->，由()2f x >得不等式的解集为3322x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. （2）由二次函数()222312y x x x =++=++，知函数在1x =-取得最小值2，因为()()()()21{211 21m x x f x m x m x x +<-=--≤≤->，在1x =-处取得最大值2m -，所以要是二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点. 只需22m -≥，即4m ≥. 9．（1）53；（2）见解析【解析】试题分析： ()1写出分段函数，求得()f x 在1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，在1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，即可求出m 的值； ()2计算()22a b +，利用基本不等式即可得出结论。

高考数学二轮复习第2部分专题7第2讲不等式选讲教案文选修4_5

第2讲选修4－5 不等式选讲[做小题——激活思维]1．已知正实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为________． [答案] 132．不等式|3x －1|≤2的解集为________．[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1 3．若关于x 的不等式|x －3|＋|x －4|<a 的解集不是空集，则参数a 的取值范围是________．[答案] (1，＋∞) 4．已知a >b >c ，若1a －b ＋1b －c ＋n c －a≥0恒成立，则n 的取值范围是________． [答案] (－∞，4]5．函数y ＝5x －1＋10－2x 的最大值为________． [答案] 63[扣要点——查缺补漏]1．|x －a |＋|x －b |≥c (c ＞0)和|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的解法 (1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．如T 2. (2)利用“零点分区间法”求解，体现了分类讨论的思想.(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 2．不等式的证明 (1)绝对值三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.如T 3. (2)算术—几何平均不等式如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．如T 1，T 4.(3)证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法和反证法，其中比较法和综合法是基础，综合法证明的关键是找到证明的切入点．含绝对值不等式的解法(5年8考)[高考解读] 绝对值不等式的解法是每年高考的热点内容，主要为含两个绝对值的不等式的求解，难度适中.[一题多解](2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围．切入点：将g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|的解析式化为分段函数的形式．关键点：正确求出f (x )≥g (x )的解集，然后利用集合间的包含关系求解．[解] (1)法一：当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.① 当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1；当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0，从而1＜x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤－1＋172. 法二：g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥1，2，－1≤x ＜1，－2x ，x ＜－1，当a ＝1时，f (x )＝－x 2＋x ＋4，在同一平面直角坐标系中，画出g (x )与f (x )的图象如图，易求得A (－1,2)，B ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋172，－1＋17，所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤－1＋172.(2)法一：当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]等价于当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2. 又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[－1,1]．法二：当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]等价于当x ∈[－1,1]时f (x )≥2，即－x 2＋ax ＋4≥2.当x ＝0时，－x 2＋ax ＋4≥2成立．当x ∈(0,1]时，－x 2＋ax ＋4≥2化为a ≥x －2x.而y ＝x －2x在(0,1]上单调递增，所以最大值为－1，所以a ≥－1.当x ∈[－1,0)时，－x 2＋ax ＋4≥2化为a ≤x －2x.而y ＝x －2x在[－1,0)上单调递增，所以最小值为1，所以a ≤1.综上，a 的取值范围为[－1,1]． [教师备选题]1．(2018·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集； (2)若f (x )≤1，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，x ≤－1，2，－1<x ≤2，－2x ＋6，x >2.可得f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}． (2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立．故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4. 由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)． 2．(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集．[解] (1)由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1＜x ≤32，－x ＋4，x ＞32，故y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的函数表达式及图象可知，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5.故f (x )＞1的解集为{x |1＜x ＜3}，f (x )＜－1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞5. 所以|f (x )|＞1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或1＜x ＜3或x ＞5.|x －a |＋|x －b |≥c 或≤cc ，|x －a |－|x －b |≥c 或≤c c 型不等式的解法可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解.零点分区间法的一般步骤①令每个绝对值符号内的代数式为零，并求出相应的根； ②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集； ④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集.利用绝对值的几何意义解题由于|x －a |＋|x －b |与|x －a |－|x －b |分别表示数轴上与x 对应的点到a ，b 对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x －a |＋|x －b |≤c c 或|x －a |－|x －b |≥c c的不等式，用绝对值的几何意义求解更直观.1．(绝对值不等式的解法、恒成立问题)已知函数f (x )＝|x －1|－|x ＋2|. (1)若不等式f (x )≤|a ＋1|恒成立，求a 的取值范围； (2)求不等式|f (x )－|x ＋2||>3的解集．[解] (1)f (x )＝|x －1|－|x ＋2|≤|(x －1)－(x ＋2)|＝3，由f (x )≤|a ＋1|恒成立得|a ＋1|≥3，即a ＋1≥3或a ＋1≤－3，得a ≥2或a ≤－4. ∴a 的取值范围是(－∞，－4]∪[2，＋∞)．(2)不等式|f (x )－|x ＋2||＝||x －1|－2|x ＋2||>3等价于|x －1|－2|x ＋2|>3或|x －1|－2|x ＋2|<－3，令g (x )＝|x －1|－2|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5，x ≥1，－3x －3，－2≤x <1，x ＋5，x <－2，由x ＋5＝－3得x ＝－8，由－3x －3＝－3得x ＝0，作出g (x )的图象如图所示，由图可得原不等式的解集为{x |x <－8或x >0}．2．(绝对值不等式的解法、有解问题)已知函数f (x )＝|a －3x |，若不等式f (x )＜2的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，0.(1)解不等式f (x )≤|x －2|＋4；(2)若不等式f (x )＋3|2＋x |≤t －4有解，求实数t 的取值范围． [解] (1)f (x )＜2即|a －3x |＜2，解得a －23＜x ＜a ＋23，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －23＝－43，a ＋23＝0，得a ＝－2.∴f (x )≤|x －2|＋4可化为|3x ＋2|－|x －2|≤4， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－23，－x ＋＋x －或⎩⎪⎨⎪⎧－23≤x ≤2，x ＋＋x －或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，x ＋－x －，解得－4≤x ≤1，∴不等式f (x )≤|x －2|＋4的解集为{x |－4≤x ≤1}．(2)不等式f (x )＋3|2＋x |≤t －4等价于|3x ＋2|＋|3x ＋6|≤t －4. ∵|3x ＋2|＋|3x ＋6|≥|(3x ＋2)－(3x ＋6)|＝4， ∴由题意，知t －4≥4，解得t ≥8，故实数t 的取值范围是[8，＋∞)．不等式的证明(5年5考)[高考解读] 不等式的证明也是高考考查的重点，主要考查作差法和基本不等式法的应用，难度适中，考查学生的逻辑推理核心素养.1．(2019·全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1.证明： (1)1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2；(2)(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24. 切入点：abc ＝1.关键点：①“1”的代换；②将(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3改编为3(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )． [证明] (1)因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，又abc ＝1，故有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca＝ab ＋bc ＋caabc＝1a ＋1b ＋1c.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．所以1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2.(2)因为a ，b ，c 为正数且abc ＝1，故有 (a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥33a ＋b3b ＋c3a ＋c3＝3(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c )≥3×(2ab )×(2bc )×(2ac ) ＝24.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．所以(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.2．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )＜2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |＜|1＋ab |. 切入点：M 为不等式f (x )<2的解集．关键点：平方后作差比较．[解] (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12＜x ＜12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )＜2得－2x ＜2，解得x ＞－1；当－12＜x ＜12时，f (x )＜2；当x ≥12时，由f (x )＜2得2x ＜2，解得x ＜1.所以f (x )＜2的解集M ＝{x |－1＜x ＜1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1＜a ＜1，－1＜b ＜1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)＜0.因此|a ＋b |＜|1＋ab |. [教师备选题]1．(2014·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a >0)．(1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围．[解] (1)证明：由a >0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a－x －a ＝1a ＋a ≥2.所以f (x )≥2.(2)f (3)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |.当a >3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)<5，得3<a <5＋212.当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5，得1＋52<a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.2．(2015·全国卷Ⅱ)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明： (1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ；(2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件． [证明] (1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ， (c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd ，得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此a ＋b >c ＋d .(2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd . 由(1)得a ＋b >c ＋d .②若a ＋b >c ＋d ，则(a ＋b )2>(c ＋d )2，即a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |<|c －d |.综上，a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．证明不等式的方法和技巧如果已知条件与待证明的结论之间的联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出，或是否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法.在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明.尤其是对含绝对值不等式的解法和证明，其简化的基本思路是化去绝对值符号，转化为常见的不等式组求解.多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据.1．(利用基本不等式证明)已知函数f (x )＝|x －1|. (1)求不等式f (x )≥3－2|x |的解集；(2)若函数g (x )＝f (x )＋|x ＋3|的最小值为m ，正数a ，b 满足a ＋b ＝m ，求证：a 2b ＋b 2a≥4.[解] (1)当x ≥1时，x －1≥3－2x ，解得x ≥43，∴x ≥43；当0<x <1时，1－x ≥3－2x ，解得x ≥2，无解；当x ≤0时，1－x ≥3＋2x ，解得x ≤－23，∴x ≤－23.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥43或x ≤－23. (2)∵g (x )＝|x －1|＋|x ＋3|≥|(x －1)－(x ＋3)|＝4， ∴m ＝4，即a ＋b ＝4.又a 2b ＋b ≥2a ， b 2a＋a ≥2b ， ∴两式相加得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a ＋a ≥2a ＋2b ， ∴a 2b ＋b 2a≥a ＋b ＝4. 当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．2．(作差法和分析法证明不等式)已知函数f (x )＝|x ＋1|. (1)求不等式f (x )<|2x ＋1|－1的解集M ； (2)设a ，b ∈M ，证明：f (ab )>f (a )－f (－b )．[解] (1)①当x ≤－1时，原不等式可化为－x －1<－2x －2，解得x <－1；②当－1<x <－12时，原不等式可化为x ＋1<－2x －2，解得x <－1，此时原不等式无解；③当x ≥－12时，原不等式可化为x ＋1<2x ，解得x >1.综上，M ＝{x |x <－1或x >1}．(2)证明：因为f (a )－f (－b )＝|a ＋1|－|－b ＋1|≤|a ＋1－(－b ＋1)|＝|a ＋b |. 所以要证f (ab )>f (a )－f (－b )，只需证|ab ＋1|>|a ＋b |，即证|ab＋1|2>|a＋b|2，即证a2b2＋2ab＋1>a2＋2ab＋b2，即证a2b2－a2－b2＋1>0，即证(a2－1)(b2－1)>0.因为a，b∈M，所以a2>1，b2>1.所以(a2－1)(b2－1)>0成立，所以原不等式成立．含绝对值不等式的恒成立问题(5年4考)[高考解读]与绝对值不等式有关的恒成立问题也是每年高考的热点，其实质还是考查绝对值不等式的解法，难度适中.(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|(x－a)．(1)当a＝1时，求不等式f(x)＜0的解集；(2)若x∈(－∞，1)时，f(x)＜0，求a的取值范围．切入点：去绝对值号．关键点：正确确立f(x)的值域．[解](1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1)．当x＜1时，f(x)＝－2(x－1)2＜0；当x≥1时，f(x)≥0，所以，不等式f(x)＜0的解集为(－∞，1)．(2)因为f(a)＝0，所以a≥1.当a≥1，x∈(－∞，1)时，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x－1)＜0.所以，a的取值范围是[1，＋∞)．[教师备选题](2018·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．[解] (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ，x <－12，x ＋2，－12≤x <1，3x ，x ≥1.y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)上成立，因此a ＋b 的最小值为5.解决含绝对值不等式的恒成立问题，用等价转化思想利用三角不等式求出最值进行转化；利用分类讨论思想，转化成求函数值域；数形结合转化.1．(2019·贵阳模拟)已知f (x )＝|x ＋1|－|2x －1|.(1)求不等式f (x )>0的解集；(2)若x ∈R 时，不等式f (x )≤a ＋x 恒成立，求实数a 的取值范围．[解] (1)f (x )＝|x ＋1|－|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －2，x <－1，3x ，－1≤x ≤12，－x ＋2，x >12. 当x <－1时，由x －2>0得x >2，即解集为∅；当－1≤x ≤12时，由3x >0得x >0，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 0<x ≤12；当x >12时，由－x ＋2>0得x <2，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12<x <2. 综上所述，f (x )>0的解集为{x |0<x <2}．(2)不等式f (x )≤a ＋x 恒成立等价于f (x )－x ≤a 恒成立，则a ≥[f (x )－x ]max ，令g (x )＝f (x )－x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x <－1，2x ，－1≤x ≤12，－2x ＋2，x >12，则g (x )max ＝1，所以实数a 的取值范围是[1，＋∞)． 2．[一题多解](2019·福州模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋a |＋3a ，a ∈R . (1)若对于任意x ∈R ，总有f (x )＝f (4－x )成立，求a 的值； (2)若存在x ∈R ，使得f (x )≤－|2x －1|＋a 成立，求a 的取值范围． [解] (1)法一：因为f (x )＝f (4－x )，x ∈R ，所以f (x )的图象关于直线x ＝2对称．又f (x )＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋a 2＋3a 的图象关于直线x ＝－a 2对称，所以－a 2＝2，所以a ＝－4. 法二：因为f (x )＝f (4－x )，x ∈R ，所以|2x ＋a |＋3a ＝|2(4－x )＋a |＋3a ，所以|2x ＋a |＝|8－2x ＋a |，即2x ＋a ＝－(8－2x ＋a )或2x ＋a ＝8－2x ＋a (舍去)，所以a ＝－4.(2)法一：存在x ∈R ，使得f (x )≤－|2x －1|＋a 成立，等价于存在x ∈R ，使得|2x ＋a |＋|2x －1|＋2a ≤0成立，等价于(|2x ＋a |＋|2x －1|＋2a )min ≤0.令g (x )＝|2x ＋a |＋|2x －1|＋2a ，则g (x )min ＝|(2x ＋a )－(2x －1)|＋2a ＝|a ＋1|＋2a . 所以|a ＋1|＋2a ≤0.当a ≥－1时，a ＋1＋2a ≤0，a ≤－13，所以－1≤a ≤－13；当a <－1时，－a －1＋2a ≤0，a ≤1，所以a <－1.综上，a ≤－13. 法二：由f (x )≤－|2x －1|＋a 得，|2x ＋a |＋|2x －1|≤－2a ，而|2x ＋a |＋|2x －1|≥|a ＋1|，由题意知，只需满足|a ＋1|≤－2a ，即2a ≤a ＋1≤－2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ≤a ＋1，a ＋1≤－2a ，所以a ≤－13.。

2014高考数学(文)二轮专题复习与测试练习题：选修4-5不等式选讲(全国卷)含解析

选修4－5不等式选讲1．(2013·江苏卷)已知a≥b〉0,求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.2．（2013·福建卷）设不等式|x－2|<a（a∈N*）的解集为A，且错误!∈A，错误!∉A.（1)求a的值;（2)求函数f(x）＝｜x＋a｜＋｜x－2|的最小值．3．设函数f（x)＝|x－1｜＋|x－2|。

（1)画出函数y＝f(x）的图象；(2）若不等式|a＋b｜＋|a－b｜≥｜a|f（x）(a≠0，a，b∈R)恒成立，求实数x的取值范围．4．(2013·昆明市调研测试）已知函数f(x)＝｜x＋3|＋|x－a|(a>0)．（1)当a＝4时，已知f（x）＝7，求x的取值范围；(2)若f(x）≥6的解集为{x｜x≤－4或x≥2}，求a的值．5．已知a，b为正实数．(1)求证：错误!＋错误!≥a＋b；(2)利用（1)的结论求函数y＝错误!＋错误!（0〈x〈1）的最小值．6．已知函数f(x)＝2错误!＋错误!.（1)求证：f（x）≤5，并说明等号成立的条件；(2)若关于x的不等式f（x)≤｜m－2｜恒成立，求实数m的取值范围．7．（2013·全国卷Ⅰ）已知函数f（x)＝|2x－1｜＋|2x＋a｜，g(x）＝x＋3。

(1)当a＝－2时，求不等式f（x）<g(x)的解集；(2)设a>－1时,且当x∈错误!时，f(x）≤g(x）,求a的取值范围．8．已知函数f(x）和g（x)的图象关于原点对称，且f（x)＝x2＋2x.（1）解关于x的不等式g(x）≥f(x)－|x－1｜；(2)如果对∀x∈R，不等式g(x)＋c≤f(x)－|x－1｜恒成立，求实数c的取值范围．9．(1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋1xy≤错误!＋错误!＋xy;（2）1＜a≤b≤c，证明log a b＋log b c＋log c a≤log b a＋log c b＋log a c。

高中数学选修4-5《不等式选讲》练习题(含详解)

数学选修4-5 不等式选讲[基础训练A 组]一、选择题1．下列各式中，最小值等于2的是（）A ．x y y x +B ．4522++x x C ．1tan tan θθ+ D ．22x x -+2．若,x y R ∈且满足32x y +=,则3271x y ++的最小值是（ )A ．B ．1+C ．6D ．7 3．设0,0,1x y x y A x y +>>=++， 11x y B x y=+++，则,A B 的大小关系是( ）A ．AB = B ．A B <C ．A B ≤D ．A B >4．若,,x y a R +∈,且y x a y x +≤+恒成立，则a 的最小值是（ )A ．2B ．1 D ．125．函数46y x x =-+-的最小值为（ )A ．2B ．4 D ．6 6．不等式3529x ≤-<的解集为（ )A ．[2,1)[4,7)-B ．(2,1](4,7]-C ．(2,1][4,7)--D ．(2,1][4,7)-二、填空题1．若0a b >>，则1()a b a b +-的最小值是_____________。

2．若0,0,0a b m n >>>>,则b a , a b , m a m b ++， nb n a ++按由小到大的顺序排列为 3．已知,0x y >，且221x y +=，则x y +的最大值等于_____________.4．设1010101111112212221A =++++++-,则A 与1的大小关系是_____________。

5．函数212()3(0)f x x x x =+>的最小值为_____________.三、解答题1．已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥2．解不等式7340x x +--+>3．求证:221a b ab a b +≥++-4．证明：1)1...<+<数学选修4—5 不等式选讲[综合训练B 组]一、选择题1．设,a b c n N >>∈，且ca n cb b a -≥-+-11恒成立,则n 的最大值是（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 2．若(,1)x ∈-∞,则函数22222x x y x -+=-有（）A ．最小值1B ．最大值1C ．最大值1-D ．最小值1-3．设P =，Q =R =，则,,P Q R 的大小顺序是（ )A ．P Q R >>B ．P R Q >>C ．Q P R >>D ．Q R P >>4．设不等的两个正数,a b 满足3322a b a b -=-，则a b +的取值范围是（）A ．(1,)+∞B ．4(1,)3C ．4[1,]3D ．(0,1)5．设,,a b c R +∈，且1a b c ++=，若111(1)(1)(1)M a b c=---，则必有( )A ．108M ≤ B ．M N < C ．M N ≥ D ．M N ≤二、填空题1．设0x >，则函数133y x x =--的最大值是__________。

高中数学选修4-5不等式选讲同步测试(有解析)p

不等式选讲A 组1．若,a b 是任意的实数,且a b >,则( )(A)22b a > (B)1<a b (C) lg()0a b -> (D)b a )21()21(< 2．不等式32->x的解集是( ) (A ) )32,(--∞ (B) )32,(--∞),0(+∞ (C) )0,32(-),0(+∞ (D) )0,32(- 3．不等式125x x -++≥的解集为( )(A) (][)+∞-∞-,22, (B) (][)+∞-∞-,21, (C) (][)+∞-∞-,32, (D) (][)+∞-∞-,23,4．若0n >,则232n n +的最小值为 ( ) (A) 2(B) 4 (C) 6 (D) 8 5．若A=(3)(7)x x ++，B=(4)(6)x x ++，则A ，B 的大小关系为__________.6．设a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：1）()()()8a b b c c a abc +++>；2）a b c ++>7.．已知x ，y R ∈，求证222x y +≥2()2x y + 8．如图1，把一块边长是a 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？9．已知a ，b ，0c >，且不全相等，求证222222()()()6a b c b a c c a b abc +++++>.10．已知1a ，2a ，…，+∈R a n ，且121=n a a a ，求证n n a a a 2)1()1)(1(21≥+++ .B 组11.已知x ，0>y ，且2>+y x .试证：y x +1，xy +1中至少有一个小于2.12.求函数x x y 21015-+-=的最大值.14. 已知12=+y x ，求22y x +的最小值.15. 已知10432=++z y x ，求222z y x ++的最小值.16. 已知a ，b ，c 是正数，求证2229a b b c c a a b c ++≥+++++.18. 设,,a b c R +∈,求证：32a b c b c c a a b ++≥+++.。

2014年高考全程复习构想高三4-5不等式选讲4-5-2

8．放缩法的常用技巧：(1)舍去一些正项或负项如 a2＋a 12 3 12 ＋1＝a＋2 ＋4＞a＋2 等；(2)在和或积中换大(或换小)某些 a a＋m 项；(3)扩大(或缩小)分式的分子或分母，如b＜ (a，b，m b＋m 1 1 1 2 ＋ ∈R 且 a＞b)，k2＜，＜等；(4)绝对值不 kk－1 k k＋ k＋1 等式的性质，如|a＋b|≤|a|＋|b|等.
考点自测 1.设 t＝a＋2b， s＝a＋b2＋1， s 与 t 的大小关系是( 则 A．s≥t B．s＞t C．s≤t D．s＜t
)
答案：A
2．若 a，b∈R，则使|a|＋|b|＞1 成立的一个充分不必要条件是( ) 1 1 A．|a＋b|≥1 B．|a|≥2且|b|≥2 C．b＜－1 D．a≥1
5．放缩法 29 (1)证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值○ 30 __________或○__________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． (2)理论依据 a＞b，b＞c⇒a＞c.
答案：①a－b ②a－b＜0 ③a－b＝0 ④变形 ⑤判断符号 ⑥a＞b ⑦a＜b ⑧变形 ⑨判断与 1 的大小关系 ⑩ 已知条件 ⑪定义 ⑫公理 ⑬定理 ⑭性质 ⑮推理 ⑯ 论证 ⑰顺推证法 ⑱由因导果法 ⑲要证的结论 ⑳充分 21 22 23 条件 ○ 已知条件 ○ 一个明显成立的事实 ○ 执果索因 24 25 26 ○要证的命题不成立 ○公理、定义、定理、性质 ○命题的 27 28 29 30 条件 ○原命题成立 ○归谬 ○放大 ○缩小
4．反证法 24 (1)假设○________________，以此为出发点，结合已知条 25 26 件，应用○ ______________等，进行正确的推理，得到和○ __________(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾 27 的结论，以说明假设不正确，从而证明○__________，我们把它称为反证法． 28 (2)证明步骤：反设→○__________→肯定原结论．

选修4-5 不等式选讲 (3)

1．在△ABC中，设其各边长边a，b，c，外接圆半径为R，求证：证明：由柯西不等式知：
2．若x，y，z∈R，a>0，b>0，c>0，求证：证明：
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反序时最小，即
a1bn＋a2bn－1＋„＋anb1 ，等号当
(3)平均不等式定理：若a1，a2，…，an为正数，则，等号
当且仅当a1＝a2＝„＝an时成立．这个不等式通常称为算术—几何平均不等式．思考：在应用算术—几何平均不等式时要注意什么问题？提示：一是要注意定理成立的条件是各项必须全是正数；二是要注意等号成立的条件． 2．利用不等式求最大(小)值 (1)利用平均不等式求最大(小)值．(2)利用柯西不等式求最大(小)值．
【答题模板】
解法一：用均值不等式
解法二：用柯西不等式
即所求的最大值为
【状元笔记】
重要不等式，均值不等式： (a1>0，a2>0，…，an>0)，当
且仅当a1＝a2＝…＝an时等号成立；柯西不等式：(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)≤(a＋a＋… ＋a)(b＋b＋…＋b)(aibi∈R，i＝1,2，…，n)，当且仅当a1＝a2＝…＝an＝0或bi＝kai 时(k为常数，i＝1,2，…，n)等号成立．这两个不等式是证明其他不等式和求多元函数最值的有力工具，使用时要注意等号成立的条件．使用柯西不等式的重要技巧就是通过常数构造使用柯西不等式成立的条件.
变式2：设a1，a2，…，an为正数，求证：证明：不妨设0＜a1≤a2≤…≤an，则由排序不等式知即
利用不等式求最值时，应观察条件能否满足不等式的条件，如要条件满足还要看等
号能否成立，能满足等号成立说明能取得最值，否则没有取得最值．

2014年高考高三理科选修4-5不等式选讲选修4-5-1

点评：①研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后利用数形结合解决，是常用的思想方法． ②f(x)＜a 恒成立⇔f(x)max＜a； f(x)＞a 恒成立⇔f(x)min＞a.
变式探究 3 设函数 f(x)＝|x－a|＋3x，其中 a＞0. (1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)≥3x＋2 的解集； (2)若不等式 f(x)≤0 的解集为{x|x≤－1}，求 a 的值．
2．解绝对值不等式的基本方法有： (1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式； (2)当不等式的两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式； (3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解． 3．解绝对值不等式时要综合考虑，选择最简捷的解法.
)
解析： |2x － 1| ＜ 2 － 3x ⇔ 3x － 2 ＜ 2x － 1 ＜ 2 － 3x ⇔
3x－2＜2x－1 2x－1＜2－3x
x＜1 3 3 ⇔x＜ . ⇔ 5 x＜5
答案：C
4．若不等式|3x－b|＜4 的解集中的整数有且仅有 1,2,3，则 b 的取值范围为__________．
选修4－5－1 绝对值不等式
考纲点击 1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： (1)|a＋b|≤|a|＋|b|； (2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|. 2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋ b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c. 3．会用绝对值不等式、基本不等式证明一些简单问题；能够利用基本不等式求一些特定函数的最值.
方法二：根据绝对值的几何意义，|x－2|＋|x＋3|表示数轴上的点到 2 和－3 的距离之和，而数轴上－4 和 3 对应的点到 2 和－3 对应的点的距离之和为 7(如图)，故{x|x＜－4 或 x＞3}．

选修4-5不等式选讲强化训练Word版含答案

2 . 1＋x
第三节
几个重要数，a＋b＝1，x1，x2∈R＋，M＝(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)，N＝x1x2，则 M 和 N 的关系( ) A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N ＋ 2．已知 a、b∈R ，且 a＋b＝1，则 4a＋1＋ 4b＋1的最大值是( ) A．2 6 B．2 3 C． 6 D．12 3．已知 x，y 为实数，且满足 3x2＋2y2≤6，则 2x＋y 的最大值为( ) A．6 B． 6 C．11 D． 11 4．已知 x＋y＋z＝1，则 μ＝2x2＋3y2＋z2 的最小值为( ) 6 A．1 B．6 C．11 D．11 －1 5．设 a1、a2、„、an 都是正数，b1、b2、„、bn 是 a1、a2、„、an 的任一排列，则 a1b1 ＋－1 －1 a2b2 ＋„＋anbn 的最小值是( ) 2 A．1 B．n C．n D．无法确定 6．设 a、b、c 为正数，且 a＋2b＋3c＝13，则 3a＋ 2b＋ c的最大值为( ) 169 13 13 3 A． 3 B． 3 C． 3 D． 13 二、填空题 7．若 a 1－b2＋b 1－a2＝1，则 a2＋b2＝________. 8．若不等式|a－1|≥x＋2y＋2z，对满足 x2＋y2＋z2＝1 的一切实数 x、y、z 恒成立，则实数 a 的取值范围是__________． 2 a2 a2 a2011 1 2 9．设 a1，a2，„，a2011 都为正数，且 a1＋a2＋„＋a2011＝1，则＋＋„＋ 2＋a1 2＋a2 2＋a2011 的最小值是__________．三、解答题 10．求函数 y＝ 1－x＋ 4＋2x的最大值．
一、选择题 1．ab≥0 是|a－b|＝|a|－|b|的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 1 1 2．若实数 x、y 满足x2＋y2＝1，则 x2＋2y2 有 ( ) A．最大值 3＋2 2 B．最小值 3＋2 2 C．最大值 6 D．最小值 6 3．若 a，b，c∈R，且满足|a－c|＜b，给出下列结论 ①a＋b＞c；②b＋c＞a；③a＋c＞b；④|a|＋|b|＞|c|. 其中错误的个数( ) A．1 B．2 C．3 D．4 a b 4．已知 a＞0， b＞0， m＝＋， n＝ a＋ b， p＝ a＋b，则 m， n， p 的大小顺序是( ) b a A．m≥n＞p B．m＞n≥p C．n＞m＞p D．n≥m＞p 1 1 1 5．设 a、b、c∈R＋，则三个数 a＋b，b＋ c，c＋a( ) A．都大于 2 B．都小于 2 C．至少有一个不大于 2 D．至少有一个不小于 2 1 a＋b ，则( 6．若 a＞b＞1，P＝ lga· lgb，Q＝2(lga＋lgb)，R＝lg ) 2 A．R＜P＜Q B．P＜Q＜R C．Q＜P＜R D．P＜R＜Q 二、填空题 7．设两个不相等的正数 a、b 满足 a3－b3＝a2－b2，则 a＋b 的取值范围是__________． 8．用 max{x，y，z}表示 x，y，z 三个实数中的最大数，对于任意实数 a，b，设 max{|a|， |a＋b＋1|，|a－b＋1|}＝M，则 M 的最小值是__________． 9．设 m＞n，n∈N＋，a＝(lgx)m＋(lgx)－m，b＝(lgx)n＋(lgx)－n，x＞1，则 a 与 b 的大小关系为__________．三、解答题 3 10．已知 a＞b＞c＞0，求证：a＋ ≥6.(并指出等号成立的条件) 3 a－bb－cc 11．已知函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，当 x∈[－1,1]时，恒有|f(x)|≤1. （1）求证：|b|≤1；（2）f(0)＝－1，f(1)＝1，求 f(x)的表达式．

高中选修4-5不等式选讲习题

怀仁大地学校高二年级文科数学配餐编号：39 班级：姓名：李甫主备：日期： 4.28 一、选择题1．若1a<1b<0，则下列不等式正确的有 ( )．①a＋b<ab；②|a|>|b|；③a<b；④ac>bc.A．1个B．2个C．3个D．4个2．已知a，b，c，d为实数，且c＞d，则“a＞b”是“a－c＞b－d”的( )．A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．下列不等式成立的是 ( )．A．log32＜log23＜log25 B．log32＜log25＜log23C．log23＜log32＜log25 D．log23＜log25＜log324．设a，b∈R，若a－|b|＞0，则下列不等式正确的是 ( )．A．b－a＞0 B．a3＋b3＜0C．a2－b2＜0 D．b＋a＞0二、填空题5．已知12＜a＜60,15＜b＜36，则a－b及ab的取值范围分别是________．6．设x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若x＞y，则实数a、b满足的条件是________．7．设x∈R，则x21＋x4与12的大小关系是________．8．已知三个不等式：①ab＞0；②ca ＞db；③bc＞ad.以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成________个正确命题．三、解答题9．已知a，b∈{正实数}且a≠b，比较a2b＋b2a与a＋b的大小．10．已知a，b∈R，求证：a2＋b2≥ab＋a＋b－1.11．已知α，β满足⎩⎨⎧－1≤α＋β≤1①1≤α＋2β≤3 ②试求α＋3β的取值范围．怀仁大地学校高二年级文科数学配餐编号：40班级：姓名：主备：李甫日期： 4.29一、选择题1．若a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝2，则1a ＋1b的最小值为( )．A ．1B ．2 C. 2D ．42．函数y ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5(x ＞1)的最小值为 ( )．A ．－3B ．3C ．4D ．－43．若a ，b ，c ＞0且(a ＋b )(a ＋c )＝4－23，则2a ＋b ＋c 的最小值为 ( )． A.3－1 B.3＋1 C ．23＋2D ．23－2 4．在下列函数中最小值是2的是( )．A ．y ＝x 5＋5x (x ∈R 且x ≠0)B ．y ＝lg x ＋1lg x (1＜x ＜10)C ．y ＝3x＋3－x(x ∈R ) D ．y ＝sin x ＋1sin x ⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ＜π2 二、填空题5．设0＜a ＜1,0＜b ＜1且a ≠b ，则下列数中 ①a 2＋b 2；②2ab ；③2ab ；④a ＋b ；⑤a ＋b 最大的数是________；最小的数是________．6．若x ，y ，z ∈R ＋，则x －2y ＋3z ＝0，y 2xz的最小值是________．7．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 为________吨． 8．对任意锐角θ，都有sin θcos 2θ＋cos θsin 2θ≥λ恒成立，则λ的最大值为________．三、解答题9．已知a ，b ∈(0，＋∞)，求证：(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4.10．已知直线l 过点(3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于A 、B 两点，求当△AOB 的面积最小时，直线l 的方程．11．某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元，其使用规定：不记名，每卡每次只限一人，每天只限一次．某班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次游泳还需包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元．若使每个同学游8次，每人最少应交多少元钱？怀仁大地学校高二年级文科数学配餐编号：41班级：姓名：主备：李甫日期： 4.30一、选择题1．设a ，b ，c ∈(0，＋∞)且a ＋b ＋c ＝1，令x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1，则x 的取值范围为( )．A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，18 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，1 C ．[1,8)D ．[8，＋∞)2．已知x ，y 都为正数，且1x ＋4y＝1，则xy 有( )．A ．最小值16B ．最大值16C ．最小值116D ．最大值1163．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V ，则下列关系式总成立的是 ( )． A ．V ≥π B ．V ≤π C ．V ≥18πD ．V ≤18π4．如果圆柱的轴截面周长l 为定值，那么圆柱的体积最大值是 ( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 63π B.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 33π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 43π D.14⎝ ⎛⎭⎪⎫l 43π 二、填空题5．周长为2＋1的直角三角形面积的最大值为________．6．用长为16 cm 的铁丝围成一个矩形，则可围成的矩形的最大面积是________ cm 2. 7．函数y ＝x2x 4＋9(x ≠0)有最大值______，此时x ＝______.8．制造容积为π2 m 3的无盖圆柱形桶，用来做底面的金属板的价格为30元/m 2，做侧面的金属板价格为20元/m 2，要使用料成本最低，则圆柱形桶的底面半径r ＝________，高h ＝________. 三、解答题9．求函数y ＝2x 2＋3x(x ＞0)的最小值．10．某城建公司承包旧城拆建工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，每提前一天可获2千元奖金，但这要追加投入费用；若延期则每延期一天将被罚款5千元．追加投入的费用按以下关系计算：6x ＋784x ＋3－118(千元)，其中x 表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使此公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用)．11．设a 1，a 2，…，a n 为正数，证明a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n1a 1＋1a 2＋…＋1a n.怀仁大地学校高二年级文科数学配餐编号：42班级：姓名：主备：日期： 5.5一、选择题 1．设P ＝2，Q ＝7－3，R ＝6－2，则P ，Q ，R 的大小顺序是( )． A ．P >Q >R B ．P >R >Q C ．Q >P >RD ．Q >R >P2．若log x y ＝－2，则x ＋y 的最小值是 ( )． A.3322B.2333C.323 D.232 3．若x ，y ∈R 且满足x ＋3y ＝2，则3x ＋27y ＋1的最小值是 ( )．A ．339 B ．1＋2 2 C ．6D ．74．不等式3≤|5－2x |＜9的解集为 ( )． A ．[－2,1)∪[4,7) B ．(－2,1]∪(4,7] C ．(－2，－1]∪[4,7)D ．(－2,1]∪[4,7)5．函数y ＝|x －4|＋|x －6|的最小值为 ( )． A ．2 B. 2 C ．4D ．66．若x ∈(－∞，1)，则函数y ＝x 2－2x ＋22x －2有 ( )．A ．最小值1B ．最大值1C ．最大值－1D ．最小值－17．设a ＞b ＞c ，n ∈N ，且1a －b ＋1b －c ≥n a －c恒成立，则n 的最大值是 ( )． A ．2 B ．3 C ．4D ．68．若a ，b ∈R ＋，且a ≠b ，M ＝a b ＋ba ，N ＝a ＋b ，则M 与N 的大小关系是( )．A ．M >NB ．M <NC ．M ≥ND ．M ≤N 9．设b >a >0，且P ＝21a2＋1b2，Q ＝21a ＋1b，M ＝ab ，N ＝a ＋b 2，R ＝a 2＋b 22，则它们的大小关系是 ( )． A ．P <Q <M <N <R B ．Q <P <M <N <R C ．P <M <N <Q <RD ．P <Q <M <R <N10．若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1的最小值是 ( )．A ．6B ．7C ．8D ．9二、填空题11．不等式|x －2|＜|x ＋1|解集为________．12．设x ＞0，y ＞0，且xy －(x ＋y )＝1，则x ＋y 的取值范围为________． 13．(2010·陕西高考)不等式|x ＋3|－|x －2|≥3的解集为________．14．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________．三、解答题15．(10分)设x 、y 、z ＞0，且x ＋3y ＋4z ＝6，求x 2y 3z 的最大值．16．(10分)解不等式|2x －4|－|3x ＋9|<1.17．(10分)已知a ＞0，b ＞0，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1b ＋1a 2≥9.18．(10分)设函数f(x)＝|2x－1|＋|2x－3|，x∈R.(1)解不等式f(x)≤5；(2)若g(x)＝1f x＋m的定义域为R，求实数m的取值范围．19．(10分)桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块占地1 800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分如图所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2.(1)试用x，y表示S；(2)若要使S最大，则x，y的值各为多少？怀仁大地学校高二年级文科数学配餐编号：43 班级：姓名：主备：日期： 5.5 一、选择题1．若集合A＝{x||2x－1|<3}，B＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|2x＋13－x<0，则A∩B是( )．A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|－1<x<－12，或2<x<3 B．{x|2<x<3}C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|－12<x<2 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|－1<x<－122．若实数a，b满足ab>0，则①|a＋b|>|a| ②|a＋b|<|b|③|a＋b|<|a－b| ④|a＋b|>|a－b|这四个式子中正确的是( )．A．①②B．①③C．①④D．②④3．如果存在实数x，使cos α＝x2＋12x成立，那么实数x的集合是( )．A．{－1,1} B．{x|x<0，或x＝1}C．{x|x>0，或x＝－1} D．{x|x≤－1，或x≥1}4．函数y＝|x＋1|＋|x－2|的最小值及取得最小值时x的值分别是 ( )．A．1，x∈[－1,2] B．3,0C．3，x∈[－1,2] D．2，x∈[1,2]二、填空题5．已知|a＋b|＜－c(a、b、c∈R)，给出下列不等式：①a＜－b－c；②a＞－b＋c；③a＜b－c；④|a|＜|b|－c；⑤|a|＜－|b|－c.其中一定成立的不等式是________(注：把成立的不等式的序号都填上)．6．函数y＝|x＋2|－|x－2|的最大值是________．7．(2011·江西高考)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．8．若|x－4|＋|x＋5|>a对于x∈R均成立，则a的取值范围为__________．)三、解答题9．已知|x＋1|<ε4，|y－2|<ε4，|z＋3|<ε4，求证：|x＋2y＋z|<ε.10．已知|A－a|＜s3，|B－b|＜s3，|C－c|＜s3.求证：|(A＋B＋C)－(a＋b＋c)|＜s. 11．已知f(x)＝ax2＋bx＋c，且当|x|≤1时，|f(x)|≤1，求证：(1)|c|≤1；(2)|b|≤1.怀仁大地学校高二年级文科数学配餐编号：44班级：姓名：主备：日期： 5.6一、选择题1．如果1x<2和|x|>13同时成立，那么x的取值范围是 ( )．A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|－13<x<12B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x>12，或x<－13C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x>12D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x<－13，或x>132．若不等式|ax＋2|<6的解集为(－1,2)，则实数a等于 ( )．A．8 B．2C．－4 D．－83．不等式1<|x＋1|<3的解集为 ( )．A．(0,2) B．(－2,0)∪(2,4)C．(－4,0) D．(－4，－2)∪(0,2)4．若不等式|x－2|＋|x＋3|>a，对于x∈R均成立，那么实数a的取值范围是( )．A．(－∞，5) B．[0,5)C．(－∞，1) D．[0,1]二、填空题5．不等式12(5|x|－1)＋1≤3的解集为________．6．若不等式|x －1|<a 成立的充分条件是0<x <4，则a 的范围为____________． 7．已知a ∈R ，若关于x 的方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，则a 的取值范围是________． 8．不等式|x ＋1||x ＋2|≥1的实数解集为________．三、解答题9．已知关于x 的不等式|ax －1|＋|ax －a |≥1(a ＞0)． (1)当a ＝1时，求此不等式的解集；(2)若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围．10．设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －a |(a ＞0)．(1)作出函数f (x )的图象；(2)若不等式f (x )≥5的解集为(－∞，－2]∪[3，＋∞)，求a 的值．11．(2011·福建高考)已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．怀仁大地学校高二年级文科数学配餐编号：45班级：姓名：主备：日期： 5.7一、选择题1．已知a >2，b >2，则有( )．A ．ab ≥a ＋bB ．ab ≤a ＋bC ．ab >a ＋bD ．ab <a ＋b2．若0<a 1<a 2,0bC ．a ＝bD ．a ≤b4．若0<x <y <1，则 ( )．A ．3y<3xB ．log x 3<log y 3C ．log 4x <log 4yD.⎝ ⎛⎭⎪⎫14x <⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 5．若不等式2x 2＋ax ＋b <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－12<x <13，则a －b 的值是( )．A.13 B.23 C.16D.1126．设关于x 的方程2kx 2－2x －3k －2＝0的两个实根一个大于1，另一个小于1，则实数k 的取值范围是 ( )．A ．k >0B ．k >1C ．k <－4D ．k >0或k <－47．若p <0，－1<q <0，则p 、pq 、pq 2间的大小关系是( )．A ．p >pq >pq 2B ．pq 2>pq >pC ．pq >p >pq 2D ．pq >pq 2>p8．下列命题中，命题M 是命题N 成立的充要条件的一组命题是( )．A ．M ：a >b ，N ：ac 2>bc 2B ．M ：a >b ，c >d ，N ：a －d >b －cC ．M ：a >b >0，c >d >0，N ：ac >bdD ．M ：|a －b |＝|a |＋|b |，N ：ab ≤09．已知0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，则下列不等式中正确的是( )．A ．log 2a ＞0B ．2a －b ＜12C ．log 2a ＋log 2b ＜－2D ．2a b ＋b a ＜1210．若a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，54π，M ＝|sin α|，N ＝|cos α|，P ＝12|sin α＋cos α|，Q ＝ 12sin 2α，则它们之间的大小关系为( )． A ．M >N >P >Q B ．M >P >N >Q C ．M >P >Q >N D ．N >P >Q >M二、填空题11．某工厂第一年年产量为A ，第二年增长率为a ，第三年增长率为b ，则这两年的平均增长率x 与a ＋b2的大小关系是______________．12．用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时的反设是________． 13．不等式|x ＋1|－|x －1|<m 的解集是R 的非空真子集，则实数m 的取值范围是________． 14．请补全用分析法证明不等式“ac ＋bd ≤a 2＋b 2c 2＋d 2”时的推论过程：要证明ac ＋bd ≤a 2＋b 2c 2＋d 2，①____________________________________________________________. 只要证(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)，即要证：a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2≤a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2，即要证：a 2d 2＋b 2c 2≥2abcd .②____________________________________________________________. 三、解答题15．(10分)求证：a 2＋b 2＋3≥ab ＋3(a ＋b )．16．(10分)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，求证：a ＋12＋b ＋12≤2.17．(10分)实数a 、b 、c 、d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd ＞1，求证：a 、b 、c 、d 中至少有一个是负数．18．(10分)已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8；(2)1a ＋2b ＋4c≥18.19．(10分)数列{a n }为等差数列，a n 为正整数，其前n 项和为S n ，数列{b n }为等比数列，且a 1＝3，b 1＝1，数列{b an }是公比为64的等比数列，b 2S 2＝64.(1)求a n ，b n ；(2)求证：1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＜34.。

选修4-5 不等式选讲

(3)分别解去掉绝对值的不等式.
(4)取每个结果的并集,注意在分段时不要遗漏区间的端点值 . 2.用图象法求解不等式用图象法,数形结合可以求解含有绝对值的不等式 ,使得代数问题几何化,既通俗易懂,又简洁直观,是一种较好的方法.
【变式训练】(2014·中山模拟)设函数f(x)=|x-a|+3x,其中 a>0. (1)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集. (2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1},求a的值.
(2)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法:
几何意义求解,体现数形结合思方法一:利用绝对值不等式的_________
想. 零点分段法方法二:利用“___________”求解 ,体现分类讨论思想. 函数的图象求解,体现函数与方方法三:通过构建函数,利用___________ 程思想.
2.拼凑定值方法在基本不等式中的应用利用平均不等式求解最值问题的前提是要求代数式的和或者积为定值,而题目条件往往无法满足,此时可以将平均不等式的取等条件作为出发点,拼凑定和(或积),求积(或和)的最大(或小) 值.
【变式训练】若a>2,b>3,求 a b 【解析】因为a>2, b>3, 所以a-2>0,b-3>0,
热点考向三
与绝对值不等式有关的参数范围
【典题3】(2014·东北四校联考)已知关于x的不等式|2x+1| -|x-1|≤log2a(其中a>0). (1)当a=4时,求不等式的解集. (2)若不等式有解,求实数a的取值范围. 用去绝对值号的方法【信息联想】看到求不等式的解集,想到___________________

《选修4-5--不等式选讲》知识点详解+例题+习题(含详细答案)

选修4－5 不等式选讲最新考纲:1.理解绝对值的几何意义,并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)｜a+b｜≤|a|+｜b|(a，b∈R)．(２)|a-ｂ|≤|a－c|＋|c－b｜（ａ，ｂ∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax+ｂ|≤c,｜ａx+b|≥c,｜x－c|+｜x－b|≥a．3.了解柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义,并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法．1．含有绝对值的不等式的解法（1)|f(x)｜＞a(a＞0)⇔f(x）>a或f（x）<-a；(2）|f(x)|<a(a>0)⇔－a<f(x）<a;(3)对形如｜x-ａ|+|x－b｜≤ｃ，|x-ａ｜＋|x-b|≥ｃ的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质｜a|－|b｜≤|ａ±b｜≤|a|+|b｜.问题探究:不等式｜a|－｜b|≤|a±b|≤|ａ|＋｜ｂ|中，“＝”成立的条件分别是什么？提示：不等式|a｜-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab≥0,左侧“=”成立的条件是ab≤０且｜a｜≥｜ｂ|；不等式|ａ|-|b|≤｜a-b|≤|a|＋|ｂ|,右侧“＝”成立的条件是ab≤０,左侧“=”成立的条件是ab≥0且|a｜≥|ｂ|.3．基本不等式定理１:设ａ,b∈R,则a２+ｂ2≥2ab．当且仅当ａ=b时,等号成立.定理2:如果a、b为正数，则错误!未定义书签。

≥错误!未定义书签。

,当且仅当ａ=b时，等号成立．定理3:如果a、b、ｃ为正数，则错误!未定义书签。

≥３，abc,当且仅当a =b =c 时，等号成立．定理4:(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果a 1、ａ2、…、a ｎ为n 个正数，则a １＋a 2+…＋a n ｎ≥错误!，当且仅当a 1=a 2=…=a ｎ时,等号成立. 4.柯西不等式(１)柯西不等式的代数形式:设ａ,b ,ｃ，ｄ为实数，则(a 2+b 2)·(c 2+ｄ2)≥(ac +bd )2,当且仅当ad =bc 时等号成立．(2)若ａi ，b ｉ(ｉ∈N *)为实数，则(错误!错误!）(错误!未定义书签。

选修4-5不等式选讲

选修4-5 不等式选讲
根据课程标准，本专题介绍一些重要的不等式和它们的证明、数学归纳法和它的简单应用。
本专题的内容是在初中阶段掌握了不等式的基本概念，学会了一元一次不等式、一元一次不等式组的解法，多数学生在学习高中必修课五个模块的基础上展开的．作为一个选修专题，教科书在内容的呈现上保持了相对的完整性．
第二部分讨论了有关绝对值不等式的性质及绝对值不等式的解法．绝对值是与实数有关的一个基本而重要的概念，讨论关于绝对值的不等式具有重要的意义．
• 绝对值三角不等式是一个基本的结论，教科书首先引导学生借助于实数在数轴上的表示和绝对值的几何意义，探究归纳出绝对值三角不等式，接着联系向量形式的三角不等式，得到绝对值三角不等式的几何解释，最后用代数方法给出证明．这样，数形结合，引导学生多角度认识这个不等式，逐步深化对它的理解．利用绝对值三角不等式可以解决一种特殊形式的函数的极值问题，教科书安排了一个这样的实际问题。
• 课程标准对于本专题的几个教学内容都明确的教学要求，如：对于解含有绝对值的不等式，只要求能解几种特殊类型的不等式，不要求学生会解各种类型的含有绝对值的不等式。对于数学归纳法证明不等式的要求也只要求会证明一些简单问题。只要求通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法，会利用所学的不等式证明一些简单不等式，等等。
数学归纳法证明一些简单问题。 7．会用数学归纳法证明贝努利不等式：
(1＋x)n ＞1＋nx（x＞-1,n为正整数）。
了解当n为实数时贝努利不等式也成立。
• 8．会用上述不等式证明一些简单问题。能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值。
• 9．通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。

高考真题：选修4-5不等式选讲

选修4－5不等式选讲一、填空题1.［2015•重庆卷，16］若函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，则实数a＝________.2.［2014•陕西卷，15A］设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则m2＋n2的最小值为________3. ［2013•陕西卷，15（2）］在实数范围内，不等式||x－2|－1|≤1的解集为________．4. ［2013•重庆卷，16］若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|<a无解，则实数a的取值范围是________．5. ［2013•陕西卷，15A］已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．二.解答题1.［2018•全国Ⅰ，23］已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围．2.［2018•全国Ⅱ，23］设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；(2)若f(x)≤1，求a的取值范围．3.［2018•全国Ⅲ，23］设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)当x∈[0，＋∞)，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．4.［2017•全国Ⅰ，23］已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1，1]，求a的取值范围．5.［2017•全国Ⅱ，23］已知a>0，b>0，a3＋b3＝2.证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；(2)a＋b≤2.6.［2017•全国Ⅲ，23］已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集；(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．7.［2017•江苏卷，21D］已知a，b，c，d为实数，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，证明：ac＋bd≤8.8.［2016•全国Ⅰ，23］已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|>1的解集．9.［2016•全国Ⅲ，24］已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．10.［2016•江苏卷，21D］设a＞0，|x－1|＜a3，|y－2|＜a3，求证：|2x＋y－4|＜a.11.［2015•全国Ⅰ，24］已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．12. ［2015•陕西卷，24］已知关于x 的不等式|x ＋a |0，b >0，且1a ＋1b ＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．14. ［2014•全国Ⅱ，24］设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a >0)．(1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围．15. ［2013•福建卷，21（3）］设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12A .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值．16.［2013•全国Ⅰ，24］已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x )<g (x )的解集；(2)设a >－1，且当x ∈[－a 2，12)时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．17. ［2013•辽宁卷，24］已知函数f (x )＝|x －a |，其中a >1.(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值．18.［2013•全国Ⅱ，24］设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ca ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.19.［2016•全国Ⅱ，24］已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.20.［2015•全国Ⅱ，24］设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明： (1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ；(2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．选修4－5 不等式选讲答案1.答案－6或4解析当a ≤－1时， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋2a －1(x ≤a )，x －2a －1(a <x ≤－1)，3x －2a ＋1(x >－1)，∴f (x )min ＝－a －1，∴－a －1＝5，∴a ＝－6. 当a >－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋2a －1(x ≤－1)，－x ＋2a ＋1(－1<x ≤a )，3x －2a ＋1(x >a )，∴f (x )min ＝a ＋1，∴a ＋1＝5，∴a ＝4.综上，a ＝－6或a ＝4.2.解析 A ．运用柯西不等式求解．根据柯西不等式(ma ＋nb )2≤(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)，得25≤5(m 2＋n 2)，m 2＋n 2≥5， m 2＋n 2的最小值为 5.3.答案 [0，4]解析原不等式可转化为－1≤|x －2|－1≤1，故0≤|x －2|≤2，解得0≤x ≤4，故所求不等式的解集为[0，4]．4.答案 (－∞，8]解析由绝对值的几何意义得|x －5|＋|x ＋3|的最小值为8，若|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，应有a ≤8.故a 的取值范围是(－∞，8]．5.答案 2解析 (am ＋bn )(bm ＋an )＝ab (m 2＋n 2)＋mn (a 2＋b 2)≥2mnab ＋mn (a 2＋b 2)＝mn (a ＋b )2＝mn ＝2，当且仅当m ＝n ＝2时等号成立．一、解答题1.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ≤－1，2x ，－1<x <1，2，x ≥1.故不等式f (x )>1的解集为(2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax －1|<1成立．若a ≤0，则当x ∈(0,1)时，|ax －1|≥1；若a >0，|ax －1|<1的解集为0<x <2a ，所以2a≥1，故0<a ≤2.综上，a 的取值范围为(0,2]．2.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，x ≤－1，2，－1<x ≤2，－2x ＋6，x >2.可得f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}．(2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立．故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4.由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2，所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．3.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x <－12，x ＋2，－12≤x <1，3x ，x ≥1.y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在x ∈[0，＋∞)上成立，因此a ＋b 的最小值为5.4.解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于 x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.①当x ＜－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1；当x ＞1时，①式化为x 2＋x －4≤0，从而1＜x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为x －1≤x ≤－1＋172.(2)当x ∈[－1，1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1，1]等价于当x ∈[－1，1]时，f (x )≥2. 又f (x )在[－1，1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[－1，1]．5.证明 (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4. (2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b ) ≤2＋3(a ＋b )24(a ＋b )＝2＋3(a ＋b )34，所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2. 6.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2.当x ＜－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1，解得1≤x ≤2；当x ＞2时，由f (x )≥1，解得x ＞2. 所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x .而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎫|x |－322＋54≤54，且当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54，故m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，54. 7.证明由柯西不等式，得(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)．因为a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16，所以(ac ＋bd )2≤64，因此ac ＋bd ≤8.8.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤32，－x ＋4，x >32，y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的表达式及图象，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5，故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <13或x >5. 所以|f (x )|>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <13或1<x <3或x >5. 9.解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2.解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}． (2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ，当x ＝12时等号成立，所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.①当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解．当a >1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2，＋∞)． 10.证明因为|x －1|＜a 3，|y －2|＜a3，所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)|≤2|x －1|＋|y －2|＜2×a 3＋a3＝a .11.解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A 2a －13，0，B (2a ＋1，0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)． 12.解 (1)由|x ＋a |<b ，得－b －a <x <b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得a ＝－3，b ＝1. (2)－3t ＋12＋t ＝34－t ＋t ≤[(3)2＋12][(4－t )2＋(t )2] ＝24－t ＋t ＝4，当且仅当4－t 3＝t1，即t ＝1时等号成立，故(－3t ＋12＋t )max ＝4. 13.解 (1)由ab ＝1a ＋1b≥2ab，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立．所以a 3＋b 3的最小值为4 2. (2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.14.解 (1)证明：由a >0，得f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a －(x －a )＝1a ＋a ≥2.所以f (x )≥2.(2)f (3)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |. 当a >3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)<5得3<a <5＋212. 当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5得1＋52<a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.15.解 (1)因为32∈A ，且12A ，所以⎪⎪⎪⎪32－2<a ，且⎪⎪⎪⎪12－2≥a ，解得12<a ≤32.又因为a ∈N *，所以a ＝1. (2)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x ≤2时取到等号，所以f (x )的最小值为3. 16.解 (1)当a ＝－2时，不等式f (x )<g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3<0.设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －5x ，x <12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x >1.其图象如图所示．从图象可知，当且仅当x ∈(0，2)时，y <0.所以原不等式的解集是{x |0<x <2}．(2)当x ∈[－a 2，12)时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈[－a 2，12)都成立．故－a 2≥a －2，即a ≤43. 从而a 的取值范围是(－1，43]． 17.解 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋6， x ≤2，2， 2<x <4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；当2<x <4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5；所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}．(2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ， x ≤0，4x －2a ，0<x <a ，2a ， x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12. 又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}．所以⎩⎨⎧ a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.18.解证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13. (2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 19.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )<2得－2x <2，解得x >－1；当－12<x <12时，f (x )<2；当x ≥12时，由f (x )<2得2x <2，解得x <1. 所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a <1，－1cd 得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此a ＋b >c ＋d .(2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .由(1)得a ＋b >c ＋d . ②若a ＋b >c ＋d ，则(a＋b)2>(c＋d)2，即a＋b＋2ab>c＋d＋2cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|<|c－d|.综上，a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件．。

选修4-5不等式选讲水平测试题

选修4-5不等式选讲水平测试题一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)•1.若a,b是任意的实数，且a>b,则() (A )a2 b2(B)ba (C ) lg(a-b)>0 (D)G)a G)b2. 若丄-0,则下列不等式中a b正确的个数是(A )13、不等式3的解集是((1)a ab (2)|a|>|b| (3)a<b (4)-a(B) 2)(C ) 3 (D )4x2)34、在直径为4的圆内接矩形中，最大的面积是() (A )4(A)( (B)((B) 2 (0, (C) (0,) (D)( l，0)10. 函数y=5 x 1 2 5 x的最大值为()(A)、108 (B)、6、3 (C)、10 (D)、2711、若正数a,b满足ab=a+b+3则ab的最值范围为()A. 6,B. 6 9,C. ,9D. 6,12. 已知a,b,c是正实数，且a+b+c=1,则」--的最小值为()a b cA..3B. 6C. 9D. 12二•填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分.13、若不等式mx2 mx 10对一切x R都成立，则m的取值范围是 ____________________________________14、二次不等式ax2 bx 1 0的解集为(C ) 6 (D )85、已知3x+y=10,则x2y 2的最小值为( )1(A) . - (B).1010(C) . 1 (D) . 1006. 不等式|x-1|+|x+2|5的解集为()(A). , 2 2,(B).,1 2,(C). , 2 3,(D). , 3 2,7、下列结论不正确的是()(A) x, y为正数,则-—y x 222(B)2——Px 1(C) lg x log x10 2(D)a为正数,则(11 a)(1 -) 4a1),N log a (a2 8、如果a>0,且a 1,M log a(a315、已知x,y为正数，且x+y=8,则u=lgx+lgy的最大值为_________________16、如果关于x的不等式|x-4|-|x+5| b的解集为空集，则参数b的取值范围为_____________ 1),那么((A) M>N (B) M<N ( C M=N (D)M,N的大小无法确定9、若n>0,则n+电的最小值为(nC. 618,(本题满分12分)设a 1,a 2,...,a n 为正数，軽輕窖3132二•填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分.11 ____________ 12. ___________ 13. ____________________ 14. _____________________ 三•解答题：本大题共6小题，共74分•解答应写出文字说明、证明过程或推证过程.15、(本题满分12分)(1)比较a 2 b 2与2(2a b) 5的大小.a b(2)已知a,b R ，求证：a a b b (ab)~当且仅当a b 时等号成立.16、(本题满分12分) (2)已知 a,b,c (1)证明：5.10 .3R ，且a b c 1，求证:1)(11)(- c1)20.(本题满分14分)已知对于任意正数a 1.a 2.a 3,有不等式：111111 a 1 ?1, 佝 a 2)?() 4, (a 1 a ? a 3)?() 9,… a 〔 a 〔 a 2 a 1 a 2a 3(1) 从上述不等式归纳出一个适合任意正数 a 1,a 2,...,a n 的不等式• (2) 用数学归纳法证明你归纳得到的不等式.17、(本题满分12分) 用放缩法证明：2(、n 1 1)12. n(n N)■. na 1 a ?:号学级班19、(本题满分12分)求实数x 、y 的值，使得 (y — 1) 2+(x + y — 3)2+(2x + y — 6)'达到最小值.不等式选讲测试题(答卷)。

选修4-5 不等式选讲练习题

《选修4-5：不等式选讲》1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷) 文科】在实数范围内，不等式211x --≤的解集为___________.2.【广东省珠海市2014届高三9月摸底考试数学（文）】不等式3+110x x --<的解集是．3.【2012年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科】在实数范围内，不等式|2x -1|+|2x +1|≤6的解集为___________.4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I 卷）文科】已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g(x )=x +3.（Ⅰ）当a =-2时，求不等式f (x )＜g(x )的解集；（Ⅱ）设a ＞－1，且当x ∈[－a 2，12)时，f (x )≤g(x )，求a 的取值范围.5.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）文科】已知函数(), 1.f x x a a =->其中（I ）()=244;a f x x ≥--当时，求不等式的解集（II ）()(){}222|12,x f x a f x x x +-≤≤≤已知关于的不等式的解集为.a 求的值6.已知函数52)(---=x x x f ．（I ）证明：3)(3≤≤-x f ；（II ）求不等式158)(2+-≥x x x f 的解集．7. 设函数f （x ）=|x －a | +2x ，其中a >0．（Ⅰ）当a=2时，求不等式f （x ）≥2x +1的解集；（Ⅱ）若x ∈（-2，+∞）时，恒有f （x ）>0，求a 的取值范围．8.已知函数f (x)=|x+1|+|x ﹣2|﹣m （I ）当5=m 时，求f (x) >0的解集；（II ）若关于x 的不等式f (x) ≥2的解集是R ，求m 的取值范围．9.（1）解关于x 的不等式31≤-+x x ；（2）若关于x 的不等式a x x ≤-+1有解，求实数a 的取值范围．10、已知函数21)(++-=x x x f （1）求函数)(x f 的最小值；（2）解不等式5)(≥x f 。

选修4-5不等式选讲高考真题训练

不等式选讲综合测试海南李传牛一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若||||a c b -<，则下列不等式中正确的是（）．A ．a b c <+B ．a c b >-C ．||||||a b c >-D ．||||||a b c <+1．D ||||||||c b a c b c b -<<+≤+．2．设x A ．2．B 3A3． A 4 A ．4．B 5A ．5．C 或由a d b c +=+得222222a ad d b bc c ++=++，∴2222()()22a d b c bc ad +-+=-，（1）由||||a d b c -<-得222222a ad d b bc c -+<-+，（2）将（1）代入（2）得2222bc ad bc ad -<-+，即44bc ad <，∴ad bc >．6．如果关于x 的不等式250x a -≤的非负整数解是0,1,2,3，那么实数a 的取值范围是（）．A ．4580a ≤6．A 250x a -≤，得≤，而正整数解是1,2,3，则34≤． 7．设,,1a b c >，则log 2log 4log a b c b c a ++的最小值为（）．A ．2B ．4C ．6D ．87．C log ,log ,log 0a b c b c a >，log 2log 4log 6a b c b c a ++≥==． 8A 8．Ｂ9 ）． A 9．B 10．设 A 10．C 由排序不等式222a b c ab bc ac ++≥++，所以3ab bc ca ++≤．11．已知2()3(1)32x x f x k =-+⋅+，当x R ∈时，()f x 恒为正，则k 的取值范围是（）．A ．(,1)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,1)-D ．(1,1)-11．B 23(1)320x x k -+⋅+>，232(1)3x xk +>+⋅，即23213x x k +>+，得2313x xk +≥>+，即1k <． 12．用数学归纳法证明不等式111113123224n n n n +++⋅⋅⋅+>+++(2,)n n N *≥∈的过程中，由n k =逆推到1n k =+时的不等式左边（）． A ．增加了1项)1(21+k B ．增加了“)1(21121+++k k ”，又减少了“11+k ” C ．增加了2项)1(21121+++k k D ．增加了)1(21+k ，减少了11+k 12．B 注意分母是连续正整数．1313141415151616．1717．证明：∵2222222(111)()()a b c a b c ++++≥++，∴2222()39a b c a b c ++++≥，3a b c ++≥．18．（本小题满分10分）无论,x y 取任何非零实数，试证明等式111x y x y+=+总不成立． 18．证明：设存在非零实数11,x y ，使得等式1111111x y x y +=+成立，则11111111()()y x y x x y x y +++=，∴2211110x y x y ++=，即221113()024y x y ++=，1919．证明：由余弦定理得2cos bc2c o s a b C = 2020移项得c +≥∵,,a b c 都是正数，∴c c +=≥=，∴原不等式成立．21．（本小题满分12分）某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧墙砌砖，每米造价45元，顶部每平方米造价20元，试问：（1）仓库面积S 的最大允许值是多少？（2）为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？21．解：如图，设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，则有S xy =，由题意得40245203200x y xy +⨯+=，应用二元均值不等式，得320020xy ≥∴160S +≤，即10)0≤，22(f （1（2（322 得()(4)f x f <，而()f x 是定义在(0,)+∞上的单调递增函数，04x <<，得不等式()2f x <的解集为(0,4)；（3）∵(1)0f =，()f x 在(0,)+∞上的单调递增，∴(0,1)x ∈时，()(1)0f x f <=，(1,)x ∈+∞时，()(1)0f x f >=．又|()||()|f a f b =，()()f a f b =或()()f a f b =-，∵0a b <<，则()(),()()f a f b f a f b ≠<，∴()()f a f b =-，∴()()()0(1)f a f b f ab f +===，∴1ab =，得01a b <<<．∵|()|2|(|2a b f b f +=，且1b >，12a b +>=，()0,()02a b f b f +>>， ∴()2()2a b f b f +=，∴2()()([()]222a b a b a b f b f f f +++=+=，得2()2a b b +=，∴2242b a ab b =++，1A ．1．D 2h ，那么甲A C 2．B | 3234212n -是（）．A ．1项B ．1k -项C ．k 项D ．2k 项3．D 从12121k k +-→-增加的项数是2k ．4．如果|2||5|x x a -++>恒成立，则a 的取值范围是．4．7a < |2||5|7x x-++≥，而|2||5|x x a -++>恒成立，则7a >，即7a <．5．已知函数()log ()m f x m x =-在区间[3,5]上的最大值比最小值大1，则实数m = ．5．3 显然0m x ->，而[3,5]x ∈，则5m >，得[3,5]是函数()log ()m f x m x =-的递减区间，max ()log (3)m f x m =-，min ()log (5)m f x m =-，即log (3)log (5)1m m m m ---=，得2630m m -+=，3m =±1m >，则3m =66．2:332x y +， 7．若0 7b a ab-， 8为R 8⎩∴21c >，即12c >，由题设，当P 为真Q 为假时，有01c <<，且102c <≤， ∴102c <≤；当P 为假Q 为真时，有1c ≥且12c >，∴1c ≥．故c 的取值范围是1(0,][1,)2+∞．作者李传牛工作单位海南省海口市第十四中学邮政编码570311 联系手机QQ交流。