高中数学必修4三角函数练习题

高中数学必修四三角函数检测题
1．下列不等式中，正确的是（ ）
A ．tan
5
13tan
4
13ππ< B ．sin
)7
cos(5
π
π
-
> C ．sin(π－1)<sin1o
D ．cos
)5
2cos(5
7ππ-
<
2. 函数)6
2sin(π
+
-=x y 的单调递减区间是（ ）
A ．)](23
,26
[Z k k k ∈++-ππππ
B ．)](26
5,26
[
Z k k k ∈++ππππ
C ．)](3
,
6
[Z k k k ∈++-
ππ
ππ
D ．)](6
5,
6
[
Z k k k ∈++ππππ
3.函数|tan |x y =的周期和对称轴分别为（ ） A. )(2
,Z k k x ∈=
ππ B.
)
(,2
Z k k x ∈=ππ
C. )(,Z k k x ∈=ππ
D. )(2
,2
Z k k x ∈=
ππ
4.要得到函数x y 2sin =的图象，可由函数)4
2cos(π
-
=x y （ ）
A. 向左平移8
π个长度单位 B. 向右平移
8
π个长度单位 C. 向左平移
4
π个长度单位 D. 向右平移
4
π个长度单位
5．三角形ABC 中角C 为钝角，则有 （ ）
A .sin A >cos
B B. sin A <cos B C. sin A =cos B D. sin A 与cos B 大小不确定 6．设()f x 是定义域为R ，最小正周期为
32π
的函数，若cos (0)()2sin (0)
x x f x x x ππ⎧
-≤<⎪=⎨
⎪≤≤⎩
，则15()4f π
-的值等于（ ） A.1 B .
22
C.0
D.
22
-
7.函数)(x f y =的图象如图所示，则)(x f y =的解析式为（ ）
A.22sin -x y
B.13cos 2-=x y
C.1)5
2sin(--=π
x y D. )5
2sin(1π
-
-=x y
8．已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4
π
=
x 处取得最小值，则函数)
4
3(
x f y -=π是（ ）
A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称
B ．偶函数且它的图象关于点)0,2
3(π对称
C ．奇函数且它的图象关于点)0,2
3(π对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称
9．函数]0,[,cos 3sin )(π-∈-=x x x x f 的单调递增区间是（ ）
A ．]6
5,[ππ-
- B ．]6
,6
5[π
π-
-
C ．]0,3
[π
-
D ．]0,6
[π
-
10. 已知函数sin cos 1212y x x ππ⎛⎫
⎛
⎫
=-
- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭
，则下列判断正确的是（ ） A ．此函数的最小周期为2π，其图像的一个对称中心是,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．此函数的最小周期为π，其图像的一个对称中心是,012π
⎛⎫
⎪⎝⎭ C ．此函数的最小周期为2π，其图像的一个对称中心是,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
10
π
207π
o x
y 2 1
D ．此函数的最小周期为π，其图像的一个对称中心是,06π
⎛⎫ ⎪⎝⎭
11. 若
22)
4
sin(2cos -=-
π
αα，则ααsin cos +的值为（ ）
Ａ．2
7-
Ｂ．2
1- Ｃ．
2
1 Ｄ．
2
7
12. . 函数2
3)cos 3(sin cos +
-=x x x y 在区间],2
[ππ
-
的简图是（ ）
13．若31
cos sin =
βα，则αβcos sin 的取值范围是_______________； 14.．已知sin （700+α）=
1
3
，则cos （2α-40︒
）= .
15. 已知函数)5
2
sin(
)(π
π
+
=x x f ，若对任意R x ∈都有)()()(21x f x f x f ≤≤成立，则||21x x -的最小值是__
16. 2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于 _____.
17.已知函数3
)6
2
sin(
3)(++
=π
x x f
（1）用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；（2）指出)(x f 的周期、振幅、初相、对称轴； （3）说明此函数图象可由][0,2sin π在x y =上的图象经怎样的变换得到.
18．已知函数)
2
sin()
42cos(21)(ππ
+
-+
=
x x x f .
（1）求)(x f 的定义域；（2）若角α在第一象限且5
3cos =α，求)(αf 的值.
19．设函数a x x x x f ++=ωωωcos sin cos 3)(2
(其中ω＞0,R a ∈),且)(x f 的图象在y 轴右侧的第一个高点的横
坐标为
6
π.
（1）求ω的值； （2）如果)(x f 在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡-
65,
3ππ上的最小值为3，求a 的值. 20．（本小题14分）已知函数)2
||,0,0)(sin()(π
ϕωωϕω<>>+=A x A x f 在一个周期内的图象 下图所示。

y
x
1 1- 2π-
3
πO 6π
- π
y
x
π
2
π-
6π
-
1 O
1
- 3
πy
1 1-
2
π-
3
π
-
O
6π
π
y
x
1
1
- 2
π-
3π
-
O
6
π
π
ＡＢＣＤ
第16题
2
-2
-5
5
10
-4 -2 O 2 4
y 2
-2
（1）求函数的解析式；
（2）设π<<x 0，且方程m x f =)(有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围和这两个根的和。

21．已知4
0,0π
βπα≤≤≤≤，且3
2πβα=
+.
求： )4
(
cos 2
tan
2cot
)2cos(12
βπ
α
α
απ-----=
y 的最大值，并求出相应的βα、的值.
22． 设函数)(x f 是定义在区间),(+∞-∞上以2为周期的函数,记(])(12,12Z k k k I k ∈+-=.已知当 I x ∈时，2
)(x x f =,如图.
（1）求函数)(x f 的解析式； （2）对于*
N k ∈，求集合})(|{根上有两个不相等的实数
在使方程k k
I ax x f a M ==.
.
参考答案
一、选择题：（本大题共12个小题；每小题5分，共60分。

）
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案
B
A
D
C
B
B
D
D
D
B
C
A
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分。

） 13、]32,32[-
； 14、7
9
-； 15、2； 16、725
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．解：（1）(2)周期T ＝π4，振幅A ＝3，初相6
πϕ=，
由
2
6
2
π
ππ
+
=+
k x ，得)(3
22Z k k x ∈+
=ππ即为对称轴；
（3）①由x y sin =的图象上各点向左平移6
πϕ=个长度单位，得)6
sin(π
+
=x y 的图象；
②由)6
sin(π
+=x y 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得)62sin(
π
+=x y 的图象；
③由)6
2
sin(π
+=x y 的图象上各点的纵坐标伸长为原来的3倍（横坐标不变），得)6
2
sin(3π
+
=x y 的图象；
④由)6
2
sin(
3π
+
=x y 的图象上各点向上平移3个长度单位，得)6
2
sin(3π
+
=x y ＋3的图象。

18．解：（1）a x x x x f ++=
ωωωcos sin cos 3)(2
＝
a x x ++
+
2
32sin 2
12cos 2
3ωω＝a x ++
+
2
3)3
2sin(π
ω，
∵)(x f 的图象在y 轴右侧的第一个高点的横坐标为
6
π，
O 12
11π x
y 2 1
-2
2
3
6
2π
π
π
ω=
+
⋅
∴，2
1=
∴ω；
（2）由（1）的a x x f ++
+
=23)3
sin()(π
，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈65,3ππx ，⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡∈+∴67,03ππx ， ∴当6
73
ππ
=
+
x 时，)3
sin(π
+
x 取最小值2
1-
，∴)(x f 在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡-
65,3ππ的最小值为a ++
-
2
32
1，
32
32
1=++
-
∴a ，2
13+=
∴a
19．解：（1）由0)2
s i n (
≠+
π
x ，得0c o s ≠x ，)(2
Z k k x ∈+
≠∴π
π;故)(x f 的定义域为},2
|{Z k k x x ∈+
≠π
π
（2）由已知条件得54
)53(1cos 1sin 22
=-=
-=αα；
从而)
2
sin()42cos(21)(παπ
αα+
-+
=
f ＝
α
παπαcos )
4
sin
2sin 4
cos
2(cos 21++
＝α
α
ααα
α
αcos cos sin 2cos 2cos 2sin 2cos 12
+=
++＝)sin (cos 2αα+＝
5
14
.
20． 解：（1）显然A ＝2， 又图象过（0，1）点，1)0(=∴f ， 2
1sin =
∴ϕ，6
,2
||π
ϕπ
ϕ=
∴<
；
由图象结合“五点法”可知，)0,12
11(
π对应函数x y sin =图象的点(0,2π),
ππ
πω26
12
11=+
⋅
∴,得2=ω. 所以所求的函数的解析
式为：
)6
2s i n (2)(π
+
=x x f .
（2）如图所示，在同一坐标系中画出)6
2sin(2π
+
=x y 和
m y =(R m ∈)的图象，
由图可知，当2112<<<<-m m 或时，直线m y =与
曲线有
两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根。

∴m 的取值范围为：2112<<<<-m m 或； 当12<<-m 时，两根和为
6
π；当21<<m 时，两根和为
3
2π.
21.解：)
4
(c
o s 2
t a n
2c
o t )2c o s (
12
βπ
α
ααπ-----=
y ＝
2
)
22cos(
12
cos
2
sin 2
sin
2cos 2cos 1βπααααα-+-
-
+＝
2
2sin 12
cos
2
sin
2
sin 2
cos
cos 22
2
2
β
ααααα+-
-＝
2
2sin 1cos cos sin 2
β
α
αα+-
＝
2
12
2sin 2
2sin --
β
α
O 6
π
12
5π
3
2π
π
x
y
2
1 -2
＝
2
12
)]
()sin[(2
)]
()sin[(-
--+-
-++βαβαβαβα
＝2
1)sin()cos(--+βαβαβπαπβα-=
∴=
+323
2， ，2
1)cos(-=+βα，
2
1)23
2sin(
2
1-
--
=βπy ；4
0π
β≤
≤ ，3
223
26
π
βππ
≤
-≤
∴
，
1)232sin(21≤-≤βπ；当21)232sin(=-βπ时，y 取最大值4
3212121-=-⋅-， 这时⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=-326
232π
βαπβπ
，得4,125πβπα==；即当4,125πβπα=
=时，43max =y . 22． 解：（1）)(x f 是以2为周期的函数， ))(()2(Z k x f k x f ∈=-∴, 当k I x ∈时， I k x ∈-)2(，
2
)2()2()(k x k x f x f -=-=∴
)(x f ∴的解析式为：
k I x k x x f ∈-=∴,)2()(2
. （2）当*N k ∈且k I x ∈时，ax x f =)(方程化为04)4(2
2
=++-k
x a k x ，
令2
2
4)4()(k x a k x
x g ++-=
根上有两个不相等的实数
在使方程k I ax x f =)(，
则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪
⎨⎧≥--=+>+-=-+≤+<->+=∆0
21)12(021)12(122
4120
)8(a ak k g a ak k g k a
k k k a a 即⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨⎧+≤<-<<≤<--<>121012101180k a k a a k a a 或1210+≤<∴k a }1
210|{+≤
<=∴k a a M k
.
2
-2
-5
5
10
-4 -2 O 2 4 x
y 2
-2
O 2k -1 2k +1 x
y。