浅谈“数形结合”的数学思想方法

故 只 需 证 明 主＜ 卫 ： 堇
“
为此构造 函数ｆ （ ｘ ） ＝ 坚 ， ｘ ∈（ ０ ， 竹） ．
Ｘ
的问题 ， 具体方法为 ： 观察 函数的图形变化 ， 得 出函数 的图 像与ｘ 轴 的交点个数 ， 最后得 出所求范围内方程解的个数 。 例５ ． 若ａ ＞３ ， 则方程ｘ ３ － ａ ｘ ２ ＋ ｌ ＝ ０ 在ｆ ０ ， ２ ］ 上有多少个根？
ＡｍＢ ＝ Ｒ ， 弧 Ａｎ Ｂ ＝ ｒ Ｂ ．
现在只要证明Ｒ ＜ｒ Ｂ即可．
．
Ｒ
Ｂ
．
＋ ｎ Ｃ ￣ ＇ ｘ ｒ ， － ， 令ｘ ＝ ｌ ， 即得Ｓ ｎ ＝ ｎ ・ ２ “
４ ． 利用结合思想可以研究方程根的情况 。通过数学模 型建立函数关系，然后用微分思想可以很容易确定方程根
例６ ． 不查表 ， 求ｓ ｉ ｎ ４ ６ 。的值 。 解： 令ｙ ＝ ｓ ｉ ｎ ｘ ， 取Ｘ ｏ ＝ ４ ５ 。， ｘ ＝ ４ ５ 。＋ １ 。， 代入 上 式 即 可得 结论。 ６ ． 利用结合思想是学好理科其他课程 的前 提。微分学 发展初始 ， 就 与 物理 、 化学 、 生物 、 天文、 工 程 以及 地 质 学等 学科 密不 可分 。只要涉 及 到变 化 问题 ， 就 可 以利用 导 数讨 论 该 过程 的变 化情 况 。所 以 ，无 论物 理还 是化 学 问题都 可 以通 过微 积分 的 思想来 解 决 了。 ７ ． 利用结合思想解决立体几何中的问题。 例７ ． 设Ａ ， Ｂ 是球面上的两点 ， 弧Ａ ｍ Ｂ 是过 Ａ 、 Ｂ 两点的大 圆的劣弧 ， 弧Ａ ｎ Ｂ 是过Ａ、 Ｂ 两点的任意小圆的弧 。设小 圆的 半 径 为ｒ ， 圆心为ｏ ’ ； 大 圆 的半径 为Ｒ， 圆 心 为ｏ ， 大 圆面 与 小 圆面 交 于 Ａ 、 Ｂ 。求 证： 弧Ａ ａ ｒ Ｂ ＜弧Ａ ｎ Ｂ 。分析 ： 这道题把 导数 和立体几何 的知识 结合在 了一 起 ，再根 据 球面 距离 的定义 ，最 终 得
关键 词 ： 数形结合 ； 思想方法； 解 题 技 巧
中图分 类 号 ： Ｇ６ ３ ２ ． ０
一
文 献标 志码 ： Ａ
文章 编 号 ： １ ６ ７ ４ — ９ ３ ２ ４ （ ２ ０ １ ４ ） ３ ３ — ０ ０ ７ ８ — ０ ３
引言 我 国著名 数学 家华 罗庚 先 生 曾说过 ： “ 数 与形 本是 相 倚 依， 怎能分作两边飞 ， 数缺形时少直觉 ， 形少数时难入微 ， 数
解： 谢（ Ｘ ） ＝ Ｘ ３ － ａ ｘ ２ ＋ １ ，求导 可得 ： 当ａ ＞０ ，ｘ ∈（ ０ ， ２ ） 时， ｆ （ ｘ ） 在（ ０ ， ２ ） 上单调递减 ， 且ｆ （ Ｏ ） ・ ｆ （ ２ ） ＜０ ， 故ｆ （ ｘ ） 在［ ０ ， ２ ］ 上 有 且 只有 一个 根 。 ５ ． 利用结合思想近似计算 。由导数的定义知 ， 当Ａ ｘ 充
分小时， ｆ （ ｘ ｎ ＋Ａ Ｘ ） ｆ （ ） 【 ０ ） ＋ ｆ ＇ （ 】 【 ０ ） ・ △Ｘ ．
因为ｆ ｔ （ ｘ ） ＜０ ， 即ｆ （ ｘ ） 在（ Ｏ ， 竹） 上 是减 函数 ， 结 论 得证 。 ８ ． 建立 微分 模 型是解 决 实际 问题 的关键 。 “ 学 以致 用 ” ，
２ ０１４年
８ 月
教 育 教 学 论 坛
Ｅ ＤＵ Ｃ ＡＴＩ ＯＮ Ｔ Ｅ ＡＣＨ Ｉ Ｎ Ｇ Ｆ ＯＲ ＵＭ
Ａwk.baidu.com ｇ． ２ ０１ ４
第 ３ ３期
Ｎ Ｏ． ３ ３
浅谈“ 数形 结合” 的数学思想 方法
朱袁 圆
（ 河北省怀安县柴沟堡第一 中学 ， 河北 怀安 ０ ７ ６ １ ５ ０ ）
摘要 ： 在数学 中， “ 数形结合” 是一种重要 思想。在 高中数 学中， “ 数 形结合” 也 占有极其重要 的地位。尤其在数 学例题 教学 中， “ 数形结合 ” 也有重要的意义。本 文从“ 数形 结合” 在 高中数学 中的应 用进行相关试题的解析 ， 体现这种数 学思想
方 法的 巧妙 之 处 。
解： 因（ １ ＋ ｘ ） ｃ ： ＋ ｃ ｘ ＋ ｃ ： ｘ ２ ＋ ． ． ・ ＋ ｃ ｎ ｘ ｎ ， 则该式两边都是关
于ｘ 的函数， 两边都对ｘ 求导得： ｎ （ １ ＋ ｘ ） ＝ ｃ ： ＋ ２ ｃ ： ｘ ＋ ３ ｃ ： ｘ ｚ ＋ …
因 为 Ｒ ＞ ｒ ， 由 题 意 ｓ ｉ ｎ 詈＜ ｓ ｉ ｎ 导， 从 而 詈＜ 导， 又 弧
、
思 想方法 。
形结合百般好 ， 隔离分家万事休。 切莫忘 ， 几何代数统一体 ， 永远联系 ， 切莫分离 ！” 所谓“ 数形结合” 就是根据数与形之 间的对应关系 ，通过数与形的相互转化来解决数学问题的
教 师在 讲 解 练 习时 ， 强化“ 数形 结 合 ” 是 一 种 常用 的有 效 的方 法 ， 美 中不 足 的是 ， 在 教 师提 示 之前 ， 学 生 不能 想 到 “ 数形结合 ” 的解法 ， 如果这样 ， 光靠教师的提示完成 ， 在碰
证。
只有懂得数学如何去应用 ，才是提高学生对数学感兴趣的 关键。 万事万物都在变化 ， 大多数实际问题都可通过建立微 分模型来解决 。 具体 为： 翻译实际问题 ， 建立微分模型 ， 通过 求导运算 ， 得到问题 的解决。新课程实行以来 ， 逐渐加大了 对实际问题的考查力度 ， 比如优化 问题 、 路线问题等 ， 通过 建立微分模型来解决非常方便。 例８ ． 用Ｐ Ｖ Ｃ 材料制作一个立方体 容器 ， 其长 为１ ２ ｍ， 要 求容器 的底面长 、 宽差ｌ ｍ， 当高为多少时 ， 容积最大？并求
到可以用“ 数形结合” 巧解的题 目时， 学生不能想到要用 “ 数 形 结合 ”来 解 。新课 改 的核心 理念 是 为 了每一位 学 生 的发
的、 有时技巧性很高或者计算十分烦琐的数列的和的问题。
例３ ． 求和： ｓ ＝ ｃ ＋ ２ ｃ ３ ｃ … ｎ Ｃ ￣ （ ｎ Ｃ Ｎ ） ．