北师大高中数学选修定积分定积分复习小结
高中数学 第四章 定积分章末小结知识整合与阶段检测课件 北师大版选修2-2.pptx
识 核心要点
整
归纳
合
与测
测
1
2
一、定积分 1．定积分的概念：
b
af(x)dx 叫函数 f(x)在区间[a，b]上的定积分． 2．定积分的几何意义：
b
当 f(x)≥0 时，af(x)dx 表示的是 y＝f(x)与直线 x＝a，x＝b 和 x 轴所围成的曲边梯形的面积．
3
3．定积分的性质：
5
三、定积分的简单应用 定积分的应用在于求平面图形的面积及简单旋转几何体的 体积，解题步骤为： ①画出图形．②确定图形范围，通过解方程组求出交点的横 坐标，定出积分上、下限．③确定被积函数．④写出平面图形面 积或旋转体体积的定积分表达式．⑤运用微积分基本定理计算定 积分，求出平面图形的面积或旋转几何体的体积．
4
二、微积分基本定理 1．如果连续函数 f(x)是函数 F(x)的导函数，即 f(x)＝F′(x)，
b
则af(x)dx＝F(x)| ab＝F(b)－F(a)． 2．利用微积分基本定理求定积分，其关键是找出被积函数
的一个原函数．求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆 运算，因此，应熟练掌握一些常见函数的导数公式．
6
(1)∫ba1dx＝b－a.
b
b
(2)akf(x)dx＝kaf(x)dx.
b
b
b
(3)a[f(x)±g(x)]dx＝af(x)dx±ag(x)dx.
b
c
b
(4)af(x)dx＝af(x)dx＋cf(x)dx.
定积分的几何意义和性质相结合求定积分是常见类型，多用于
被积函数的原函数不易求，且被积函数是熟知的图形．
高三定积分知识点总结
高三定积分知识点总结高三阶段，定积分是数学学科中重要的一部分，掌握定积分的知识点对学生来说至关重要。
在这篇文章中，我将对高三阶段定积分的知识点进行总结和归纳，以便帮助同学们更好地复习和掌握这一部分内容。
一、定积分的概念定积分是微积分的重要概念之一，它可以理解为曲线与坐标轴之间的有界区域的面积。
定积分的基本概念包括定积分的上下限、积分区间的分割以及极限等。
二、定积分的计算方法1. 函数的原函数在计算定积分的过程中，首先需要找到被积函数的原函数，也就是导函数。
通过求导反过来求解原函数，即可得到被积函数的原函数。
2. 定积分的基本计算方法定积分的基本计算方法包括积分的线性性质、定积分的区间可加性、换元积分法等。
这些方法能够简化定积分的计算过程，使得计算更加方便快捷。
3. 特殊函数的定积分计算对于一些特殊函数，如指数函数、对数函数、三角函数等，需要掌握相应的定积分计算公式和技巧，以便能够快速准确地计算出定积分的结果。
三、定积分的应用1. 几何应用定积分在几何中有着广泛的应用。
通过定积分，可以计算曲线和坐标轴之间的面积、曲线的弧长以及曲线的旋转体体积等几何问题。
2. 物理应用定积分在物理学中也有着重要的应用。
例如，通过定积分可以计算物体的质量、质心位置、重心位置以及力学和流体力学中的有关问题。
3. 经济和金融应用定积分在经济学和金融学中也有广泛的应用。
例如，通过定积分可以计算收益曲线下的总收益、消费曲线下的总消费等经济和金融问题。
四、定积分的性质1. 积分的性质定积分具有线性性质、区间可加性、保号性等性质。
这些性质在定积分的计算过程中起到了重要的作用，可以帮助我们更好地理解和运用定积分。
2. 无穷定积分无穷定积分是定积分的一种特殊形式，其中上下限存在无穷大的情况。
掌握无穷定积分的计算方法和性质，可以更好地解决一些复杂的数学问题。
五、定积分的应用举例在高三阶段，定积分的应用举例如下：1. 计算曲线下的面积，如椭圆的面积、抛物线的面积等；2. 计算曲线的弧长，如圆的弧长、正弦曲线的弧长等；3. 计算平面图形的重心位置和质心位置，如矩形的质心位置、三角形的重心位置等；4. 计算物体的质量和质量分布情况，如线密度、面密度和体密度的计算等。
北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的概念
2
练习：用定积分表示抛物线 y=x2-2x+3 与直线 y=x+3所 围成的图形面积
x + 3 dx - x
3 3 0 0
2
- x + 3 dx
-x
3 0
2
+ 3x dx
14
（四）、小结
１．定积分的实质：特殊和式的逼近值． ２．定积分的思想和方法：
分割 求和 取逼近 化整为零
S S 1 S 2 f ( x )dx g ( x )dx
a a b b
S1 y f ( x ) d x g( )
a
b
S2
b
g ( x ) dx
a
O
a a
b x
10
性质1.
（三）、定积分的基本性质
b b
a
kf ( x )dx k f ( x )dx
北师大版高中数学选修2-2第 四章《定积分》
1
一、教学目标：1.通过求曲边梯形的面积和汽 车行驶的路程，了解定积分的背景；2.借助于 几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概 念，能用定积分定义求简单的定积分；3.理解 掌握定积分的几何意义． 二、教学重点：定积分的概念、用定义求简单 的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意 义． 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
b
(x )d x f f (x x f c f )d x x(x 。 a f(xf )d x (x )da)dx(x)dfx(x(xa)df。 )d x c a
a a c
b
c
c
b
b b
北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的概念
y f (x)
a
b
x
5
积分上限
a f ( x )dx I
积分下限
b
lim f (i )xi
n i 1
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
6
说明：
(1) 定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的记法无关，即
a f(x)dx a
(3)
b
b
b
f (t)dt a
a
b
f(u)du。
（2）定义中区间的分法和 i 的取法是任意的.
a f(x)dx - b f (x)dx
7
(二)、定积分的几何意义：
当 f(x)0 时，积分a f ( x)dx 在几何上表示由 y=f (x)、 xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
北师大版高中数学选修2-2第 四章《定积分》
1
一、教学目标：1.通过求曲边梯形的面积和汽 车行驶的路程，了解定积分的背景；2.借助于 几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概 念，能用定积分定义求简单的定积分；3.理解 掌握定积分的几何意义． 二、教学重点：定积分的概念、用定义求简单 的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意 义． 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
ba Sn f (i )x f (i ) n i 1 i 1 如果 x 无限接近于 0（亦即 n ） 上述和式 S n 时， 无限趋近于常数 S ，那么称该常数 S 为函数 f ( x) 在区
n n
间 [ a, b] 上的定积分。记为： S
b
a
f ( x )dx
高中数学第四章 定积分 章末小结课件北师大版选修2
b a b a
1 dx = b - a k f（x）dx =
k∫
b a
f（x）dx （定积分的线性性质）
（其中 k是不为0的常数）
性质 3
b
a b
a b a
［f（x）± g（x）］dx f（x）dx ±
∫
b a c a
g（x）dx （定积分的线性性质） f（x）dx +
性质 4
f（x）dx =
∫
∫
b
位移为 s = s（t），速度为 υ=υ（t）， 加速度为 α=α（t） ′ t）= υ（t）， υ（ ′ t）=α（t）= 2√t + 1 则有 s（ 3 又 s（0）= 0 ，υ（0）= 1 t 4 2 t υ（t）- υ（0）= α（t）dt = 0 （ 2√t + 1 ）dt= 3 t + t 0 3 ∴ υ（t）= 4 t2 + t + 1 3 3 t t 4 2 s（t）- s（0）= （ t + t + 1 ）dt υ（t）dt = 0 3 0 5 5 1 2 8 2 1 2 8 2 = t + t + t 也即 s（t）= 15 t + 2 t + t 15 2 t∈［0，+∞）
2. 定积分的几何意义
从几何上看，如果在区间 [a ，b]上函数 f（x）≥ 0 ，那么定 b 积分 ∫ a f（x）dx 表示由直线 x = a ，x = b（a ≠ b），y = o 和 曲线 y = f（x）所围成的曲边梯形的面积.
主要性质和定理
3. 定积分的简单性质 性质 1 性质 2
∫ ∫ ∫ =∫ ∫
∫
1
点击考点
2. 定积分在几何中的应用
高二数学 第四章定积分章末归纳总结课件 北师大版选修22
第四章 章末归纳总结
1 知识梳理 2 知识结构
3 专题研究 4 即时训练
知识梳理
• 1．曲边梯形的面积 • 设曲边梯形是由连续曲线y＝f(x)，x轴与直线x＝a，x＝
b(a<b)所围成的，如图所示． • 计算时可分为四步： • ①分割；②近似代替；③求和；④取极限．
2．定积分概念的注意事项
由于v是下降的，所以路程s的过剩估计值为：
s1＝[v(0)＋v(
1 10
)＋v(
2 10
)＋v(
3 10
)＋v(
4 10
)＋v(
5 10
)＋v(
6 10
)＋
v(170)＋v(180)＋v(190)]×110＝1.715(m)．
分别用v(
i－1 n
t0，
i n
t0]上任取一时刻ξi(i＝1,2，…，n)，
用时刻ξi的速度v(ξi)近似代替第i个小区间上的速度．由匀速 直线运动的路程公式，每个小区间上物体运动所经过的距离
可以近似地表示为
Δsi≈v(ξi)Δt(i＝1,2，…，n)．
(3)求和：
因为每个小区间上物体运动的距离可以用这一区间上做
匀速直线运动的路程近似代替，所以在时间[0，t0]范围内物 体运动的距离s，就可以用这一物体分别在n个小区间上做n
个匀速直线运动的路程和近似代替．
n
n
即s＝ ∑ Δsi≈ ∑ v(ξi)Δt.
①
i＝1
i＝1
(4)取极限：
当所分时间区间越短，即Δt＝
t0 n
越小时，和式①的值就
越接近s.因此，当n→＋∞，即Δt＝
• 在区间[a，b]内插入n－1个分点，使a＝ x0<x1<x2<…<xn－1<xn＝1，把曲线y＝f(x)，a≤x≤b分 割成n个垂直于x轴的“小长条”，如图所示．设第i个 “小长条”的宽是Δxi＝xi－xi－1，i＝1,2，…，n.这个 “小长条”绕x轴旋转一周就得到一个厚度是Δxi的小圆片， 如图所示．当Δxi很小时，第i个小圆片近似于底面半径为 yi＝f(xi)的小圆柱，因此，第i个小圆台的体积Vi近似为Vi ＝πf2(xi)Δxi.
高中数学北师大版选修2-2第4章 知识归纳：定积分的基本性质盘点
定积分的基本性质盘点一、定积分基本性质假设下面所涉及的定积分都是存在的，则有性质1 函数代数和（差）的定积分等于它们的定积分的代数和（差）．即[()()]()()bb baaaf xg x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰．这个性质可推广到有限多个函数代数和的情形．性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号前，即()()bbaakf x dx k f x dx=⎰⎰（k 为常数）．性质3 不论a b c ，，三点的相互位置如何，恒有()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰．这性质表明定积分对于积分区间具有可加性．性质4 若在区间[]a b ，上，()0f x ≥，则()0ba f x dx ⎰≥．推论1 若在区间[]a b ，上，()()f x g x ≤，则()()b baaf x dxg x dx ⎰⎰≤．推论2()()bbaaf x dx f x dx ⎰⎰≤．性质5 （估值定理）设函数()f x 在区间[]a b ，上的最小值与最大值分别为m 与M ，则()bbbaaamdx f x dx Mdx ⎰⎰⎰≤≤．证明：因为()m f x M ≤≤，由推论1得()bb baaamdx f x dx Mdx ⎰⎰⎰≤≤．即()bbbaaam dx f x dx M dx ⎰⎰⎰≤≤．故()()()bam b a f x dx M b a --⎰≤≤．利用这个性质，由被积函数在积分区间上的最小值及最大值，可以估计出积分值的大致范围．二、定积分性质的应用例1.比较定积分120x dx ⎰和130x dx ⎰的大小．分析：由都在区间[0，1]，无需求出积分值，只需比较被积函数大小即可． 解：由在区间[0，1]上，有x 2≥x 3．根据性质4的推论1，知120x dx ⎰≥130x dx ⎰．评注：利用性质，可减少计算量． 例2.计算：0|sin cos |x x dx π-⎰．分析：首先去绝对值，分0＜x ＜4π和4π＜x ＜π两个区间，分开运算． 解：0|sin cos |x x dx π-⎰＝4(cos sin )x x dx π-⎰＋4(sin cos )x x dx ππ-⎰＝(sinx ＋cosx)40|π＋(－cosx －sinx)4|ππ＝＋1)＋－1)＝．评注：这里用到了定积分对于积分区间具有可加性．例3.求函数f(x)＝3,[0,1][1,2]2,[2,3]x x x x x ⎧∈∈∈⎪⎩在区间[0，3]上的积分．分析：先分段，再运用性质． 解：由积分性质，知3()f x dx ⎰＝10()f x dx ⎰＋21()f x dx ⎰＋32()f x dx ⎰＝13x dx ⎰＋1⎰＋322x dx ⎰＝44x 10|＋3223x 21|＋2ln 2x 32|＝5412ln 2-．评注：⑴分段函数在区间[a ，b]上积分可分成几段积分的和的形式； ⑵分段的标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原函数分段即可，无需分得过细．例4.估计定积分π30212sin dx x+⎰的值．分析：不用求出积分的值，可用估值定理解决． 解：∵当[0π]x ∈，时，0sin 1x ≤≤，∴320sin 1x ≤≤，由此有3222sin 3x +≤≤，32111322sin x+≤≤， 于是由估值定理得π302π1π322sin dx x+⎰≤≤．评注：运用的估值定理为大学涉及内容，不作要求，可以了解．。
高中数学 第四章 定积分章末归纳总结课件 北师大版选
i－1 n
t0，
i n
t0]上任取一时刻ξi(i＝1,2，…，n)，
用时刻ξi的速度v(ξi)近似代替第i个小区间上的速度．由匀速 直线运动的路程公式，每个小区间上物体运动所经过的距离
可以近似地表示为
Δsi≈v(ξi)Δt(i＝1,2，…，n)．
(3)求和：
因为每个小区间上物体运动的距离可以用这一区间上做
t(单位：s)之间具有如下函数关系：v(t)＝－t2＋2.试估计汽车
在0≤t≤1这段时间内行驶的路程s，并写出估计值的误差．
[分析] 路程问题和曲边梯形面积问题解决的过程都是通过 分割自变量的区间得到过剩估计值和不足估计值，分割得 越细，就越接近估计值．
[解析] 首先，将行驶时间1 s平均分成10份． 分别用v(0)，v(110)，v(120)，v(130)，v(140)，v(150)，v(160)， v(170)，v(180)，v(190)近似替代汽车在0～110s，110～120s，120～ 130s，130～140s，140s～150s，150s～160s，160s～170s，170～180s， 180～190，190～1s内的平均速度．
该几何体的体积V等于所有小圆柱的体积和
V≈π[f2(x1)Δx1＋f2(x2)Δx2＋…＋f2(xi)Δxi＋…＋f2(xn)Δxn]． 这个问题是积分问题，则有
V＝bπf2(x)dx＝πb f2(x)dx.
a
a
知识结构
专题研究
定积分的概念
已知某运动物体做变速直线运动，它的速度v 是时间t的函数v(t)，求物体在t＝0到t＝t0这段时间内所经过 的路程s.
匀速直线运动的路程近似代替，所以在时间[0，t0]范围内物 体运动的距离s，就可以用这一物体分别在n个小区间上做n
北师大版高中数学选修定积分教案
定积分复习小结一、教学目标：1、理解定积分的定义及几何意义，理解定积分的性质，了解微积分的基本定理，并且熟练计算一些函数的积分；2、体会运用分割、近似代替、求和、取极限的思想过程；3、掌握定积分的计算方法；4、利用定积分的几何意义会解决问题。
二、学法指导：1、重点理解定积分的定义及几何意义，理解定积分的性质，了解微积分的基本定理，并且熟练计算一些函数的积分；2、定积分的概念是运用分割、近似代替、求和、取极限的思想；3、重点掌握定积分的计算方法。
三、重点与难点：重点：理解并且掌握定积分算法；难点：利用定积分的几何意义解决问题。
四、教学方法：探究归纳，讲练结合 五、教学过程 （一）、知识闪烁1、 解决面积、路程、做功问题3个问题一般通过对 自变量的区间得到过剩估计值和不足估计值，分割的 ，估计值就也接近精确值；当分割成的小区间的长度趋于 时，过剩估计值和不足估计值都趋于 ；误差趋于 。
2、定积分的定义思想：（1） (2) (3) (4) ; 3 、()1limniin i f x ξ→∞=∆∑= ；其中⎰叫做a 叫做b 叫做 ()f x 叫 ;4、()baf x dx ⎰的几何意义 ；在x 轴上方的面积取 ，在x 轴下方的面积取()baf x dx ⎰的几何意义 ；()baf x dx ⎰的几何意义 ；()baf x dx ⎰，()baf x dx ⎰，()baf x dx ⎰的关系 ；计算()baf x d x ⎰时，若在],a b ⎡⎣上()0f x ≥则()baf x dx ⎰= 若在],a b ⎡⎣上()0f x <()baf x dx ⎰= 若在],a c ⎡⎣上()0f x ≥，],c b ⎡⎣上()0f x <()baf x dx ⎰=5、定积分的性质：1b adx ⎰= ()bakf x dx ⎰= ()()ba f x g x dx ±⎡⎤⎣⎦⎰=（定积分对积分区间的可加性）()baf x dx ⎰=6、如果连续函数()f x 是函数()F x 的导函数，即()f x = ，则有()baf x dx ⎰=它叫做微积分基本定理，也称牛顿—莱布尼茨公式，()F x 是()f x 的 7、计算定积分()baf x dx ⎰= =()()F b F a -8、若()f x 在[],a a -上连续，且是偶函数，则有()aaf x dx -=⎰若()f x 在[],a a -上连续，且是奇函数，()aaf x dx -=⎰（二）、方法点拨：1、求由两条曲线围城的平面图形的面积的解题步骤：（1）、画出图形；（2）确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标，为定积分的上下界；（3）确定被积函数函数，特别分清被积函数的上、下位置；（4）写出平面图形面积的定积分表达式；（5）运用微积分公式求出定积分。
2012-2013高二北师大数学选修2-2第五课时第四章定积分小结与复习课件
2 故 S x 2ax dx t 0
1 2 1 t t t 2 2at t 2 a t 2 2
1 1 x3 ax 2 t0 t 3 t 2 at a t 2 3
b b a
a
说明：①推广：
蝌[f1 (x )北f2 (x ) L ? fm (x )]dx
a b b a
f1 (x ) dx 北蝌 f2 (x ) dx L ?
a
fm (x )
b ck
②推广: 蝌f (x )dx =
a
b
c1 a
f (x )dx +
f (x )dx + L + 蝌 c
1
c2
f (x )dx
S =
òa f (x )dx ；变速运动路程
òa
b
b
òt
t2
1
v( t) dt ；变力做功W =
F (r) dr
2）．定积分的几何意义
b ]上函数 f (x )连续 从几何上看， 如果在区间 [a,
且恒有 f (x )³ 0 ，那么定积分 òa f (x )dx 表示由直线 x = a,x = b ( a ? b ),y 0 和曲线 y = f (x )所围成的 曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积， 这就是定积 分 òa f (x )dx 的几何意义。
f (x ) dx = 性质 4 蝌 a
b c a
f1 (x ) dx ?
?a f (x )dx （定积分的线性
b
2
f (x ) dx +
2017_2018学年高中数学第四章定积分章末小结知识整合与时期检测教学案北师大版选修2_2
取g′(t)＝0，解得t＝ .
当t∈ 时，g′(t)<0，g(t)是减函数；
当t∈ 时，g′(t)>0，g(t)是增函数．
因此g(t)的最小值为g ＝e＋1－2e ＝( －1)2，
故阴影部份的面积的最小值为( －1)2.
18．(本小题总分值14分)已知函数f(x)＝ x3＋ ax2＋bx，f′(x)是函数f(x)的导数．在区间[－1,1]内任取实数a，b，求方程f′(x)＝0有实数根的概率．
第四章 定积分
[对应学生用书P44]
一、定积分
1．定积分的概念：
f(x)dx叫函数f(x)在区间[a，b]上的定积分．
2．定积分的几何意义：
当f(x)≥0时， f(x)dx表示的是y＝f(x)与直线x＝a，x＝b和x轴所围成的曲边梯形的面积．
3．定积分的性质：
(1) 1dx＝b－a.
(2) kf(x)dx＝k f(x)dx.
(3) [f(x)±g(x)]dx＝ f(x)dx± g(x)dx.
(4) f(x)dx＝ f(x)dx＋ f(x)dx.
定积分的几何意义和性质相结合求定积分是常见类型，多用于被积函数的原函数不易求，且被积函数是熟知的图形．
二、微积分大体定理
1．若是持续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)＝F′(x)，那么 f(x)dx＝F(x) ＝F(b)－F(a)．
解：f′(x)＝x2＋ax＋b.
假设方程f′(x)＝0，即x2＋ax＋b＝0有实数根，那么Δ≥0，即a2≥4b，
因此方程f′(x)＝0有实数根的条件是
知足此不等式组的点P(a，b)形成的图形为图中阴影部份，其面积为
S1＝ da＝ da＝ ＋2＝ .
高中数学定积分知识点总结
高中数学定积分知识点总结篇一：高中数学定积分知识点数学选修2-2知识点总结一、导数1．函数的平均变化率为f?ff?f?y?f???x?xx2?x1?x注1：其中?x是自变量的改变量，可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念:函数y?f在x?x0处的瞬时变化率是limf?f?y则?lim?x?0?x?x?0?x称函数y?f在点x0处可导，并把这个极限叫做y?f在x0处的导数，记作f'或y'|x?x0，即f'=limf?f?y. ?lim?x?0?x?x?0?x3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；6、常见的导数和定积分运算公式:若f?x?，g?x?均可导（可积），则有：用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f的导数f'②令f'>0,解不等式，得x的范围就是递增区间. ③令f'篇二：高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结数学选修2-2导数及其应用（定积分）知识点必记1．函数的平均变化率是什么？答：平均变化率为f?ff?f?y?f???x?xx2?x1?x注1：其中?x是自变量的改变量，可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念是什么？答：函数y?f在x?x0处的瞬时变化率是limf?f?y则称?lim?x?0?x?x?0?x函数y?f在点x0处可导，并把这个极限叫做y?f在x0处的导数，记作f'或y'|x?x0，即f'=limf?f?y. ?lim?x?0?x?x?0?x3.平均变化率和导数的几何意义是什么？答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景是什么？答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。
高中数学第四章 定积分 章末小结名师课件北师大版选修2
∫ （4）用定积分求旋转体的体积 V = b [ f（x）]2 dx a
点击考点
1. 微积分基本定理的应用
∫ 例1 （1） 2 （ 3x2 + 4x3 ） dx = ___2_4____； 0
∫ （2） 2 （ex + 1 ）dx = _e_2_–_e__+__1_. 1
江西省吉安市第一中学 刘冬发
知识框图
曲边梯形的面积
定积分的概念
汽车行驶的路程
定积分的概念
定
积
微积分的基本定理
分
定积分的简单应用
主要性质和定理
y
1. 定积分的概念
y = f (x)
∫ b f（x）dx
a
o
a
f（x）称为被积函数， x 叫做积分变量，
bx
[a ，b] 为积分区间，b 为积分上限，a 为积分下限.
c
（定积分对积分区间的可加性）
主要性质和定理
4. 微积分的基本定理
如果连续函数 f（x）是函数 F（x）的导函数，
即 f（x）= F（′ x），则有
∫b f（x）dx a
=
F（x）ba =
F（b）-
F（a）
5. 定积分的应用
（1）用定积分求平面图形的面积
∫ （2）用定积分求变速运动的路程 S = t2 v（t）dt t1
则有 s（′ t）= υ（t）， υ（′ t）=α（t）= 2√t + 1
又 s（0）= 0 ，υ（0）= 1
3
∫ ∫ υ（t）- υ（0）=
t
α（t）dt
=
03
t
（ 2√t + 1 ）dt=
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学生练习，教师准对问题讲评。
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例2、求由曲线 y x2 2与 y 3x ，x 0
，x 2 所围成的平面图形的面积。 y
解 :由题意知阴影部分的面积是:
S= 10(x2 2 3x)dx 12(3x x2 2)dx
(1 3
x3
2
x
3 2
x2
)
|10
(
3 2
x2
1 3
x3
t0 =5 (s)
所以 S A =5t02 5 =130
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(m)
（四）、课堂练习：课本P95页复习题四A组 1、2 （五）、作业布置：课本P95页复习题四A 组4（1）、（8），5、10、11
五、教后反思：
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感谢您的观赏！
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解：（Ⅰ）由
y
y
x2 , x2
得点 2ax,
O0,0, A a, a2 ．又由已知得 B t,t2 2at , D t,t2
故 S t x2 2ax dx 1 t t2 1 t2 2at t2 a t
0
2
2
1 3
x3
ax2
t 0
。
6、如果连续函数 f x 是函数 F x 的导函数，
即f x =
，则有 b a
f
xdx
=
。
它叫做微积分基本定理，也称牛顿—莱布尼茨
公式，F x是 f x 的
。
7、计算定积分ab f xdx F b F a
=
=
。
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8、若 f x 在a,a上连续，且是偶函数，则有
a f xdx a
若 f x 在a,a 上连续，且是
a
奇函数，
f xdx
a
。
（二）、方法点拨：
1、求由两条曲线围城的平面图形的面积的解题
步骤：（1）、画出图形；（2）确定图形的范
围，通过解方程组求出交点的横坐标，为定积
分的上下界；（3）确定被积函数函数，特别分
清被积函数的上、下位置；（4）写出平面图形
（2）2 1dx F(2) F(1) , 则F(x)=lnx； 1x
（3）应用微积分基本定理，有
2
0 sin xdx 4 ;
（4）f(x)的原函数为F(x)，且F(x)是以T为周期的函数，
则
a
a T
0 f (x)dx T f (x)dx
其中正确命题的个数为 （ ） 答案：B
A．1
B．2
C．3 D．4
i xi =
a。 叫做
b叫做
叫
;
；其中 叫做
。 f x
4、 b f xdx 的几何意义
的面积a取
，在x轴下方的面积取
；在x轴上方 。第2页/共12页bafxdx
的几何意义
；
b
a
f
xdx 的几何意义
；
b
a
f
xdx
b
a
f
xdx
b
f x dx 的关系
a
；
计算 b a
f
xdx
时，若在 a, b 上
1 2
t3
t2 at
a t
1 t3 3
at 2
1 ．t3 2
t3
2at 2
a2t
1 6
t3
at 2
a2t
S f t 1 t3 at2 a2t 0 t 1
6
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例4、物体A以速度 v 3t2 1
在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同
时，物体B在物体A的正前方5m处以 v 10t
f
x 0 则
b
a
f
xdx
=
。若在 a,b 上 f x 0
b
a
f
xdx =
。若在a, c 上 f x 0，
c,b 上 f x 0
b
a
f xdx =
。
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5、定积分的性质：
b
1dx
=
a
。
b
a
kf
x dx
=
。b a
f
x
g
x dx
=
。
（定积分对积分区间的可加性）ab f xdx =
的速度与A同向运动，问两物体何时相遇？相 遇时物体A的走过的t0 路程是多少？（时间单位 为：s，速度单位为：m/s）
解：设A追上B时,所用的时间为 依题意有
SA SB 5 即
t0 (3t 2 1)dx t0 10tdx 5
0
0
t03 t0 5t02 5 t0 (t02 1) 5(t02 1)
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（一）、知识闪烁
1、 解决面积、路程、做功问题3个问题一般通过对
自变量的区间得到过剩估计值和不足估计值，分割的
，估计值就也接近精确值；当分割成的小区间的长度
趋于 时，过剩估计值和不足估计值都趋于
；
误差趋于
。2、定积分的定义思想：（1）
(2)
(3)
(4)
;
3 、
n
lim f
n i 1
面积的定积分表达式；（5）运用微积分公式求
出定积分。
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2、求简单旋转体体积的解题步骤：（1）画出旋转前的
平面图形（将它转化为函数）；（2）确定轴截面的图
形的范围；（3）确定被积函数；（4）v= b f 2 xdx
b
a
例1、给出以下命题：（1）若 a f (x)dx 0，则f(x)>0；
2x)
|12
1
0
x
12
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例3、如图所示，已知曲线 C1 : y x2 与曲线
C2 : y x2 2axa 1 交于点O、A ，直线
x t
D 、B
0t
，连结
1
OD,
D与A曲, A线BC。1、写C出2分曲别边相四交边于形点
t ABOD （阴影部分）的面积 S 与 的函数关
系式S f t 。