第七章 不可压缩流体动力学基础
不可压缩流体动力学基础
（c3）
mx my mz vx v y vz dxdydzdt （c） y z x
微元六面体内由于密度随时间的变化而引起的质量的变化为：
mt
A
v x x v x y x 2 y 2
B
v y x v y y vy x 2 y 2
v x v x y vx x x 2 y 2
δx
vx
v x x v x y x 2 y 2
图 7-3 流体微团的平面运动速度分量
（1）平移运动：所有偏倒数为0，如图7-4（a）所示，矩形ABCD各角点 具有相同的速度 v x , v y 。导致矩形ABCD平移△x = v △t, △y = v y △t, x 其ABCD的形状不变。
如果在式（7-10）的第一式右端加入两组等于零的项：
1 v y 1 v y y y 和 2 x 2 x
1 v z 1 v z z z 2 x 2 x
其值不变。经过简单组合，可将该式写成 ：
v x 1 v y v x 1 v x v z 1 v y v x 1 v x v z v Ax v x x ( )y ( )z ( )y ( )z x 2 x y 2 z x 2 x y 2 z x
对于不可压缩流体
vr 1 v v z vr 0 r r z r
式中 r 为极径； 为极角。
球坐标系中的表示式为:
1 ( v ) 1 ( v r r 2 ) 1 ( v sin ) 0 2 r sin t r r r sin
在
（b）
第七章不可压缩流体动力学基础
刚体任意参考点的平移速度
刚体的运动速度
绕参考点的旋转速度
质点上任意参考点的平移速
流体任一质点速度 绕度通过该点的瞬时轴旋转速度
变形速度
流体力学 移动
流体微团的运动 转动
变形运动
流体力学
各点速度关系: M点速度: vx , vy C点速度:
BAMFra bibliotekCvCX
vx
vx x
dx 2
vCY
vy
流体力学
方程组的定解条件
初始条件 定解条件
边界条件
流体力学
1、初始条件
初始条件是指在起始瞬时t＝0所给定的流场中每一点的 流动参数。
也就是说，求得的解在t＝0时所应分别满足的 预先给定的坐标函数。
定常流动不需要给定初始条件。
流体力学
2、边界条件
边界条件是指任一瞬时运动流体所占 空间的边界上必须满足的条件。
根据质量守恒定律：
(ρVx x
)
(ρVy y
)
(ρVz z
)
ρ t
净流入微元体质量流量＝流体质量增长率
ρt
(ρVx x
)
(ρVy y
)
(ρVz z
)
0
将
dρ dt
ρt
Vx
ρx
Vy
ρy
Vz
ρ z
引入
得
ρ t
dρ dt
(Vx
ρx
Vy
ρy
Vz
ρz )
流体力学
代入上式
得
ddρt ρ(
vBx
vCx
vx x
dx
经过dt时间BC边伸长
重庆大学853流体力学考点勾画
重庆大学2022年城市建设与环境学院《流体力学》考研大纲第一章绪论：表面张力不考。
流体的内摩擦阻力计算题要考。
第二章流体静力学：浮体，潜体不考，本章的一些证明不考(如压强公式的证明)第三章*（重点章）一元流体动力学：1、考试重点章节，动量方程为重点。
2、水头线不考，气体部分的总压线和全压线不考。
气体能量方程（供暖，供热，供燃气，通风及空调工程考）。
3、恒定平面势流问题：关于应力和应变率的关系不考，关于微团的流动只需了解，需知道液体微团运动的意义，恒定平面势流中势流的叠加不考，流函数，势函数的关系重点(必考)。
4、不可压缩流体运动微分方程:方程的意义要会写，紊流的基本方程，要知道平均值，切应力如何产生要知道。
第四章流动阻力的能量损失：1、只考普朗特假设，粗糙雷诺数，层流底层厚度，局部阻碍相互干扰要了解比较透彻。
水击不考。
2、切应力计算公式(层流圆管切应力τ)需了解，紊流运动中了解概念，普朗特假设不考。
3、绕流阻力:什么叫绕流阻力，如何产生的？边界层分离的概念要考。
第五章孔口，管嘴，管路闸孔：计算一般不考(非重点，但需了解)1、孔口，管嘴环状管网，闸孔不考，但枝状管网，串，并联要考。
2、管网的水力计算:环状管网的水力计算不考，枝状管网需了解。
3、堰流、闸孔出流不考，水击不考。
4、气孔射流(稳定射流)计算不考，概念要考（如什么叫质量流速）。
第六章射流与扩散：重点掌握射流特征，其余不考。
1、射流计算不考（市政工程，供暖，供热，供燃气，通风及空调工程不用看射流，其他专业要了解它的概念）。
扩散不用看。
第七章不可压缩流体动力基础：1、微团运动不考，但微团的运动分为平动和转动和变形运动要记牢。
应力表示的运动方程不考，应力不考，应变率不考第八章绕流，平面势流*（重点章）：涡流运动的性质不考。
掌握判断势流的叠加，流函数和势函数必考计算题。
差分法不考。
第九章气体动力基础（除供暖，供热，供燃气，通风及空调工程，其他专业不用看）：等温管路不考，绝热管路不考，只考可压缩气体方程。
流体力学基础知识
第一章，绪论1、质量力：质量力是作用在流体的每一个质点上的力。
其单位是牛顿，N。
单位质量力：没在流体中M点附近取质量为d m的微团，其体积为d v，作用于该微团的质量力为dF，则称极限lim(dv→M)dF/dm=f，为作用于M点的单位质量的质量力，简称单位质量力。
其单位是N/kg。
2、表面力：表面力是作用在所考虑的或大或小得流体系统（或称分离体）表面上的力。
3、容重：密度ρ和重力加速度g的乘积ρg称容重，用符号γ表示。
4、动力黏度μ：它表示单位速度梯度作用下的切应力，反映了黏滞性的动力性质。
其单位为N/（㎡·s），以符号Pa·s表示。
运动黏度ν：是单位速度梯度作用下的切应力对单位体积质量作用产生的阻力加速度。
国际单位制单位㎡/s。
动力黏度μ与运动黏度ν的关系：μ=ν·ρ。
5、表面张力：由于分子间的吸引力，在液体的自由表面上能够承受的极其微小的张力称为表面张力。
毛细管现象：由于表面张力的作用，如果把两端开口的玻璃细管竖立在液体中，液体就会在细管中上升或下降h高度的现象称为毛细管现象。
6、流体的三个力学模型：①“连续介质”模型；②无黏性流体模型；③不可压缩流体模型。
（P12，还需看看书，了解什么是以上三种模型！）。
第二章、流体静力学1、流体静压强的两个特性：①其方向必然是沿着作用面的内法线方向；②其大小只与位置有关，与方向无关。
2、a流体静压强的基本方程式：①P=Po+rh，式中P指液体内某点的压强，Pa(N/㎡)；Po指液面气体压强，Pa(N/㎡)；r指液体的容重，N/m³；h指某点在液面下的深度，m；②Z+P/r=C（常数），式中Z指某点位置相对于基准面的高度，称位置水头；P/r指某点在压强作用下沿测压管所能上升的高度，称压强水头。
两水头中的压强P必须采用相对压强表示。
b流体静压强的分布规律的适用条件：只适用于静止、同种、连续液体。
3、静止均质流体的水平面是等压面；静止非均质流体（各种密度不完全相同的流体——非均质流体）的水平面是等压面，等密度和等温面。
不可压缩流体名词解释
不可压缩流体名词解释
不可压缩流体是指在流动过程中，其体积或密度不发生显著变化的流体。
这类流体在平衡状态下，任何微小变化（如温度或压力的变化），都不会影响其深度、形状或体积等物理性质。
在工程和科学领域，不可压缩流体通常用来描述流体动力学中的一类理想化现象。
例如，一般假设在低速流动中，气体可以视为不可压缩的。
然而，当速度接近或超过音速时，气体的压缩效应就变得重要起来。
不可压缩流体的概念非常重要，因为在许多实际问题中，流体的性质足够接近不可压缩的性质，可以忽略其小的压缩性，从而简化对流体动力学进行的研究和计算。
例如，在研究和设计飞机、船舶、管道、水轮机等的流体力学问题时，常常
假设工作介质为不可压缩流体，以便于使用更简单的方程进行分析。
不可压缩流体理论在流体力学中占据重要位置。
流体运动的基本规律——质量守恒定律、动量守恒定律、能量守恒定律在不可压缩流体中的表现形式，成为流体力学的基础方程。
这些基础方程是研究流体运动最重要的工具，也是解决实际流
体力学问题的基础。
在模拟和解析实际问题时，不可压缩流体假设为工程师和科研人员提供了实用的工具。
这些工具不仅帮助他们理解和解决复杂的流体动力学问题，而且帮助他
们设计和优化了许多工程系统，例如管道输送系统、液压系统、制冷系统等等。
然而，需要注意的是，不可压缩流体模型只是一个理想化的模型，它不一定能完全描述所有类型的流体动力学现象。
例如，对于高速流、音速流或者强烈震动和振动的流，压缩效应可能不能忽略，需要使用其他更复杂的模型来描述其物理行为。
因此，使用不可压缩流体模型时，必须清楚它的适用范围和局限性，以避免误导设计和决策。
不可压缩粘性流体动力学基础_OK
uz y
u y z
zx
xz
1 ux 2 z
uz x
（7—3）
14
江汉大学化环学院
流体力学与流体机械
综上所述，可写出表示流体微团运动的基本形式如下：
表示平移的平移速度：u x、u、y u。z
表示线变形的线变形速度（又称线变率）：
x
u x x
y
u y y
z
u z y
表示角变形的角变形速度（又称角变率）：
一、流体微团（Material Elements of Fluid） 流体微团是由大量的流体质点所组成的一个微小质团，它
具有微小的体积，是研究流体运动的一个基本单元。
4
江汉大学化环学院
流体力学与流体机械
流体微团的尺度在微观上足够大，大到能包含大量的 分子，使得在统计平均后能得到其物理量的确定值，质 点的尺度在宏观上又足够小，远小于所研究问题的特征 尺度，使得其平均物理量可看成是均匀的；而且可以把 流体微团看成是几何上的一个点。
dx dy dz
x y z
21
江汉大学化环学院
流体力学与流体机械
在给定瞬时，在漩涡场中任取一个不是涡线的封闭曲线， 通过这条曲线上每一点作一根涡线，这些涡线就构成一个管 状曲面，称为涡管（Vortex Tube）；涡管中充满着作旋涡运 动的流体，称为涡束，或称为元涡（Vortex Filament）。 涡通量（Vortex Flux）或旋涡强度（Intensity of Vorticity），以 J表示。元涡的涡通量为微元涡的断面积和速度涡量（简称涡 量）的乘积，即
y
ux d yd t y
D
C
C
uy
u y y
dy
不可压缩流体动力学基础习题答案
不可压缩流体动力学基础1．已知平面流场的速度分布为xy x u x+=2，y xy u y 522+=。
求在点（1，-1）处流体微团的线变形速度，角变形速度和旋转角速度。
解：（1）线变形速度：y x xu x x +=∂∂=2θ 54+=∂∂=xy y u yy θ 角变形速度：()x y y u x u x y z +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=222121ε 旋转角速度：()x y x u x u x y z -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=222121ω 将点（1，-1）代入可得流体微团的1=x θ，1=y θ；23/z =ε；21/z =ω2．已知有旋流动的速度场为322+=y u x，x z u y 32+=，y x u z 32+=。
试求旋转角速度，角变形速度和涡线方程。
解：旋转角速度：2121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=z u y u y z x ω 2121=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=x u z u z x y ω 2121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=y u x u x yz ω 角变形速度：2521=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=z u y u y z x ε 2521=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=x u z u z x y ε 2521=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=y u x u x y z ε 由z y x dz dy dx ωωω==积分得涡线的方程为：1c x y +=，2c x z +=3．已知有旋流动的速度场为22z y c u x+=，0=y u ，0=z u ，式中c 为常数，试求流场的涡量及涡线方程。
解：流场的涡量为： 0=∂∂-∂∂=zu y u y z x Ω 22z y cz xu z u z x y +=∂∂-∂∂=Ω 22z y cy y u x u x yz +-=∂∂-∂∂=Ω旋转角速度分别为：0=x ω222zy czy +=ω 222z y cyz +-=ω 则涡线的方程为：c dz dy z y +=⎰⎰ωω 即c y dz z dy +-=⎰⎰可得涡线的方程为：c c y =+22 4．求沿封闭曲线2 22b y x =+,0=z 的速度环量。
不可压缩流体方程及其解法
不可压缩流体方程及其解法在物理学和工程学中，流体力学是一个重要的研究领域。
流体力学主要研究液体和气体的运动规律，涉及到许多基本概念和数学工具。
其中，不可压缩流体方程是流体运动的基本方程之一。
本文将从不可压缩流体的物理特性出发，介绍不可压缩流体方程的含义与求解方法。
一、不可压缩流体的特性不可压缩流体是指其密度在运动时保持不变的流体。
简单来说，如果将一个不可压缩流体密封在一个可变形的容器中，并对容器进行变形，流体的密度不会发生任何变化。
这是与可压缩流体的最大区别。
研究不可压缩流体的运动时，需要考虑以下几个基本物理量：1. 流量（Volume flow rate）：在单位时间内，流体通过某一横截面的体积（如L/s）。
2. 速度（Velocity）：流体在单位时间内通过某一截面的体积与该截面的面积之比，即流量与面积的商（如m/s）。
3. 压力（Pressure）：在流体上施加的力所产生的单位面积的效应（如Pa）。
对于不可压缩流体，密度始终保持不变，即$\rho(t)$=常数，所以可将密度从运动方程中省去，即运动方程变为：$\rho \frac{\partial u}{\partial t} + \rho u\cdot \nabla u = -\nabla P +\mu \nabla^2 u$其中，$\rho$为密度常数，$u$为速度向量，$P$为压力，$\mu$为流体的黏度系数。
二、不可压缩流体方程的求解不可压缩流体方程是一组偏微分方程，求解不太容易。
常见的求解方法有以下几种：1.数值模拟法这种方法非常直观、有效，可以通过计算机模拟流体在一定条件下的运动规律。
数值模拟法一般基于有限体积法、有限元法、谱方法等。
它们的基本思想都是把流体空间分成网格，建立离散模型，并通过数值迭代求解流体动力学方程。
不过，数值模拟法的精度受到很多因素的影响，如网格大小、初始条件、粘度等。
此外，一些边界问题也很难在数值模拟中得到很好的处理。
流体力学期末复习
必须的旋转角速度及盖板，器底上最大，最小压强。
r0
p
C
2r 2
2
gz
油
z=r=0 p=油gH
水
P=?
h H
油
z 水
分界面为等压面
将O点p= 油gH代入 得等压面方程
z 2r2
2g
z=H r=r0
H 2r02
2g
O
x
y
抛物体体积计算公式
V
1 2
r02
H
旋转前后油体积不变 r0 ? ?
tg3 h3dh
cos
0
2 tg3 H 4 0.1 16 0.54 0.63
4 cos
103 0.857 2
39.6Nm
1 12 体积为5m3的水，在温度不变的情况下，当压强从98kPa增加
到490k P a时 体积 减少1L， 求 ： 水 的压 缩系 数 及弹 性模 量。
解：
dv
流线：在某一时刻，各点的切线方向与通过该点的流体质点 的流速方向重合的空间曲线称为流线。 流线不能相交，也不能是折线，只能是一条光滑的曲 线或直线。
迹线：同一质点在各不同时刻所占有的空间位置联成的空间 曲线称为迹线。
什么是过流断面和断面平均流速？为何要引入 断面平均流速？
垂直于流束的断面，称为流束 的过流断面。 处处垂直于总流中全部流线的断面，是总流的过流断面。
第三章 一元流体动力学基础
重点内容： 1. 概念：流线；过流断面；均匀流；恒定流；欧拉法；拉
格朗日法； 2. 公式：
渐变流同一断面上压强分布规律 连续性方程 元流能量方程 总流能量方程 气体能量方程 动量方程 3.计算题：作业、课件中例题
《流体力学》第七章不可压缩流体动力学基础分解
通常涡通量是利用速度环量这个概念来计算 的。
在流场中任取一封闭曲线s,则流速沿曲线s 的积分称为曲线s上的速度环量。
F B
F’
B’
B
F
B’ B’’ F’ F’’ C’’
C’’
A
M
A’’
C= A
A’
C’
MC
+ A’
A’’
D’’
C’
yE E’’
D
D’’
(a)
D
E
D’
E’
(b)
D’ E’’ E’
(c)
0
x
图7-2 流体徽团的旋转运动和变形运动
对于三元流动,可得流体微团旋转角速度分量为:
X
1 (uz 2 y
uy ) z
第七章 不可压缩流体动力学基础
许多实际流体的流动差不多都是空间的 流动。
流体的三元流动。
本章的主要内容是有关流体运动的基本 概念和基本原理，以及描述不可压缩流 体流动的基本方程和定解条件。
第一节 流体微团运动的分析
刚体的运动： 平移和旋转
流体的运动： 平移、旋转、变形（线变 A 形和角变形）
uds
s
s uxdx uydy uzdz
规定积分沿s逆时针方向绕行为 s的正方向
斯托克斯定理
沿任意封闭曲线s的速度环量等于通过 以该曲线为边界的曲面A的涡通量。
汤姆逊定理
s J A
在理想流体的涡量场中，如果质量力具有 单值的势函数，那么，沿由流体质点所组 成的封闭曲线的速度环量不随时间而变。
（完整版）流体力学选择题精选题库
（完整版）流体力学选择题精选题库《流体力学》选择题库第一章绪论1．与牛顿内摩擦定律有关的因素是：A、压强、速度和粘度；B、流体的粘度、切应力与角变形率；C、切应力、温度、粘度和速度；D、压强、粘度和角变形。
2．在研究流体运动时，按照是否考虑流体的粘性，可将流体分为：A、牛顿流体及非牛顿流体；B、可压缩流体与不可压缩流体；C、均质流体与非均质流体；D、理想流体与实际流体。
3．下面四种有关流体的质量和重量的说法，正确而严格的说法是。
A、流体的质量和重量不随位置而变化；B、流体的质量和重量随位置而变化；C、流体的质量随位置变化，而重量不变；D、流体的质量不随位置变化，而重量随位置变化。
4．流体是一种物质。
A、不断膨胀直到充满容器的；B、实际上是不可压缩的；C、不能承受剪切力的；D、在任一剪切力的作用下不能保持静止的。
5．流体的切应力。
A、当流体处于静止状态时不会产生；B、当流体处于静止状态时，由于内聚力，可以产生；C、仅仅取决于分子的动量交换；D、仅仅取决于内聚力。
6．A、静止液体的动力粘度为0；B、静止液体的运动粘度为0；C、静止液体受到的切应力为0；D、静止液体受到的压应力为0。
7．理想液体的特征是A、粘度为常数B、无粘性C、不可压缩D、符合RT=。
pρ8．水力学中，单位质量力是指作用在单位_____液体上的质量力。
A、面积B、体积C、质量D、重量9．单位质量力的量纲是A、L*T-2B、M*L2*TC、M*L*T(-2)D、L(-1)*T10.单位体积液体的重量称为液体的______，其单位。
A、容重N/m2B、容重N/M3C、密度kg/m3D、密度N/m311.不同的液体其粘滞性_____，同一种液体的粘滞性具有随温度______而降低的特性。
A、相同降低B、相同升高C、不同降低D、不同升高12.液体黏度随温度的升高而____，气体黏度随温度的升高而_____。
B、增大，减小；C、减小，不变；D、减小，减小13.运动粘滞系数的量纲是：A、L/T2B、L/T3C、L2/TD、L3/T14.动力粘滞系数的单位是：A、N*s/mB、N*s/m2C、m2/sD、m/s15.下列说法正确的是：A、液体不能承受拉力，也不能承受压力。
流体力学知识点及考核要求
流体力学期末复习第一章绪论基本知识点：1．连续介质的概念。
2．流体的主要物理力学性质—实际流体模型:实际流体是由质点组成的连续体，具有易流动性、粘滞性、不可压缩性、不计表面张力的性质。
3．牛顿内摩擦定律。
4．理想流体模型：不考虑粘滞性。
5．物理量的基本量纲，M、L、T6．作用在液体上的力：质量力、表面力。
考核要求：1．理解连续介质和理想流体的概念及其在流体力学研究中的意义。
2．理解流体的主要物理力学性质，重点掌握流体粘滞性、牛顿内摩擦定律及其适用条件。
3．掌握物理量的基本量纲、基本单位及导出量的单位。
4．理解质量力、表面力的定义，掌握其表示方法。
如判断某说法的对错：流体的质量力是作用在所考虑的流体表面上的力。
单位质量力X、Y、Z第二章流体静力学基本知识点：1．静压强及其两个特性，等压面概念。
2．静压强基本公式及其物理意义。
3．相对压强、绝对压强、真空压强的概念。
4．测压管水头的概念。
—位能（位置水头）—压能（压强水头、测压管高度）—总势能（测压管水头）5．点压强的计算。
①找已知点压强、②找等压面、③利用静压强基本方程推求点压强6．相对静压强分布图的绘制。
7．作用于平面上静水总压力的计算。
（1）解析法静水总压力的大小：静水总压力的作用点：（2）（图解法）8．作用在曲面上静水总压力的计算。
水平方向的分力：铅垂方向的分力：总压力：总压力作用线（与水平面的夹角）9．压力体图。
考核要求：1．理解静压强的两个特性和等压面的概念。
如判断某说法的对错：静止的液体和气体接触的自由面，它既是等压面，也是水平面。
2．掌握静压强基本公式，理解该公式表达的物理意义。
3．理解绝对压强和相对压强，以及绝对压强、相对压强、真空压强之间的相互关系，理解位置水头、压强水头、测压管水头的概念。
4．掌握点压强的计算。
5．掌握静压强（相对压强）分布图的绘制。
6．掌握作用在矩形平面上静水总压力的计算，包括图解法和解析法。
7．掌握压力体图的绘制和作用在曲面上的静水总压力的计算方法。
流体力学第七章不可压缩流体动力学基础
第七章不可压缩流体动力学基础在前面得章节中,我们学习了理想流体与粘性流体得流动分析,按照水力学得观点,求得平均量。
但就是,很多问题需要求得更加详细得信息,如流速、压强等流动参数在二个或三个坐标轴方向上得分布情况。
本章得内容介绍流体运动得基本规律、基本方程、定解条件与解决流体问题得基本方法。
第一节流体微团得运动分析运动方式:①移动或单纯得位移(平移)②旋转③线性变形④角变形。
位移与旋转可以完全比拟于刚体运动,至于线性变形与脚变形有时统称为变形运动则就是基于液体得易流动性而特有得运动形式,在刚体就是没有得。
在直角坐标系中取微小立方体进行研究。
、平移:如果图(a)所示得基体各角点得质点速度向量完全相同时,则构成了液体基体得单纯位移,其移动速度为。
基体在运动中可能沿直线也可能沿曲线运动,但其方位与形状都与原来一样（立方基体各边得长度保持不变）。
二、线变形:从图（b）中可以瞧出,由于沿y轴得速度分量,B点与C点都比A点与D 点大了,而就代表时液体基体运动时,在单位时间内沿y 轴方向得伸长率。
、角变形（角变形速度）角变形:四、旋转（旋转角速度）那么,代入欧拉加速度表达式,得:各项含义:（1）平移速度（2）线变形运动所引起得速度增量（3）（4）角变形运动所引起得速度增量（5）（6）微团得旋转运动所产生得速度增量流体微团得运动可分解为平移运动,旋转运动,线变形运动与角变形运动之与。
——亥姆霍兹速度分解定理第二节有旋运动1、无涡流（势流）如在液体运动中,各涡流分量均等于零,即,则称这种运动为无涡流。
当满足无涡流条件时,,满足柯西条件,就有:存在。
即流速势。
满足此条件得流动（无涡流）就叫势流。
（下一章作详细介绍）2、有涡流 :如在液体运动中 ,涡流分量、及中间得任一个或全部不等于零 ,则这样 得液体运动就叫做旋流或有涡流。
自然界中得实际液体几乎都就是这种有涡得流 动。
涡线 :流场中一些假想得线 ,在所讨论得瞬时 ,涡线上各个质点得涡旋向量都 与此线在该点处相切。
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将（1）式代入，两边同除以dt，得
sij
z
d d d 1 v u 2dt 2 dt x y
u 1 ui j 2 x j xi u x y 1 v u x 2 x y z 1 w u 2 x z 1 u v 2 y x v y 1 w v 2 y z 1 u w 2 z x 1 v w 2 z y w z
角变形速度
（2）
1 w v x 2 y z 1 u w y 2 z x 1 v u z 2 x y
§ 7-1 流体微团运动的分析 下面来看转动角速度： ∵
同理可得Y、Z方向的线变形速度， 即三维流动流体微团的线变形速度为：
u x x v y y w z z
v dxdt v x dt d tgd u dx 1 dt x x u dydt u d tgd y dt v y 1 dt dy y
1 u u j aij i 2 x j xi 1 u v 0 2 y x 1 v u aij 0 2 x y w u 1 w v 1 2 x z 2 y z 1 u w 2 z x 1 v w 2 z y 0
x方向： udt y方向： vdt
A
t+dt时刻
§ 7-1 流体微团运动的分析 § 7-1 流体微团运动的分析
v dy y u dy y
v v dy dx x y u u dy dx y x
旋转和角变形
线变形速度 线变形是因A、B、C、D各点的速度不等而产生的。 在X方向，B点的速度比A点大 u dx ，所以在dt时间内，线段 AB必然被拉长了 x u dxdt x 若定义单位时间、单位长度上的线变形称为线变形速度，则X方向的线变形 速度（率）为： 由图可知，因A、B两 点在y方向的速度不 等，经dt时间后，在y 方向，B点比 A点多移 v 动了 dxdt 段距 x 离，使线段AB转动了 d 角，同理，线段 AD转动了 d 角，因 为 d , d 都很 小，由图中的几何关 系可知：
v v dy dx x y u u dy dx u y x v
u dy t y
C
u t y dy
C
将速度在 A点展成泰勒级数， D 略去高阶小量后，可得B、 y C、D各点的速度，如图中 x v A u 标示。经时间dt后， ABCD 变成了 ABC D 。微团发生 t时 了位移、转动和变形， 刻
3 u u x , t u x , t j 1 x j
3 u ui ui i j 1 x j
x j u x, t u
(i 1,2,3)
进一步写成速度分量式：
v v v dx dy y x u u u dx dy x y
下面将证明 sij 的6个分量分别是流体微团的线变形速度和角变形速度， aij 的3个分量是流体微团的转动角速度。 以二元流动为例，在流场中取一矩形流体微团分析如下：
v dy y u u dy y v
Sij只有6个独立分量, 除对角线元素外, 非对角线元素两两对 应相等, 可表示为S ij S ji , 是一个对称张量. 该张量描述流体微团的变形运动.
aij 只有3个独立分量, 对角线元素为零, 非对角线元素两两对 应负数, 可表示为aij a ji , 是一个反对称张量. 该张量描述流体微团的旋转运动.
ui
ui x j x j u x v x w x u y v y w y u z x v y z z w z
u u u u x x y y z z u v v v v x y z v x y z w w w w x y z w x y z u x ui v u 或 x j x w x u y v y w y
2
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§ 7-1 流体微团运动的分析
§ 7-1 流体微团运动的分析
v u v dy y u dy y
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第七章 不可压缩流体动力学基础
第七章 不可压缩流体动力学基 础
Chapter 7 Incompressible Fluid Dynamics
主要内容：
研究三维的流体运动，包括有关流体运动的基本概念和 基本原理，以及描述不可压缩流体流动的基本方程和定 解条件。 第一节 流体微团运动的分析
一、柯西－亥姆霍兹速度分解定理 定理：流场 u x , t 中微团上任意一点的运动可分解为平动、转动和 变形三部分。 此定理可证明如下 ：
u z v 称为速度梯度张量( 二阶张量) z w z
§ 7-1 流体微团运动的分析
§ 7-1 流体微团运动的分析
1 u u j sij i 2 x j xi u x 1 v u sij 2 x y w u 1 2 x z 1 u v 2 y x v y 1 w v 2 y z 1 u w 2 z x 1 v w 2 z y w z
x j ui ui
u u u u u x y z x y z v v v v v x y z z x y w w w x y z w w y z x
1
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也就是任一点相对于参考点的速度增量 u 可表示为：
§ 7-1 流体微团运动的分析
§ 7-1 流体微团运动的分析 它可以进一步分解为一个对称张量和一个反对称张量：
d d d d d 2d d d d
v d dt x d u dt y
§ 7-1 流体微团运动的分析
至此，我们证明了二阶张量 sij 的六个分量分别表示线变形速度和角变形速度， 所以又把 sij称为变形率张量。
（1）
3
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§ 7-1 流体微团运动的分析
§ 7-1 流体微团运动的分析
微团形状由ABCD变成 ABC D 的过程可以看成是由转动和角 变形两部分的合成：即ABCD绕 A点转动了 d 角变成 ABC D 后，又因角度变形了 2d 而最 终变成了ABCD 。由图中的 几何关系有：
§ 7-1 流体微团运动的分析
§ 7-1 流体微团运动的分析
证明：设有流场 u x , t ，任取一微团 V ，微团上参考点 x
处的速 度为 u u x , t ，我们来考察同一时刻微团上任意一点 x x x 处的速度 u x x , t ，由泰勒展开式，有
D
D
d
d
C
C
C
将（1）式代入（2）式中，两边同除以dt得：
D
d
z
d d d 1 v u 2dt 2 dt x y
v d x dt (1) d u dt y d d 2 d ( dt 时间内的角变形）
平移运动
C
y
v dx x u u dx x v
D B
x
v dx t x
B
A
t+dt时 刻
D
C
y
v
D B
x
v dx t x
y
基点从A点移动到A′ 点。
x
u
A
B
t时刻
v v dx x u u dx x
u j ui 1 u i x j 2 x j xi sij aij
1 ui u j 2 x j xi
sij a ij
u 1 ui j x 2 j xi u 1 ui j 2 x j xi
( 2)
z 就是微团在xoy平面上的角变形速度，亦称绕Z轴转动的剪切角速度。推广到
三维流动，可知微团绕 X轴和Y 轴的角变形速度 x , y
B
d d
A
A A
d
B
B
d d d d d 2d ( dt时间内的角变形） d d d
正交直角坐标系下的速度向量可表示为
u (u, v, w)
u u u 2 u x x , t u x , t x1 x2 x3 0 x x1 x2 x3