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教学课件：第八讲-机器人动力学-牛顿-欧拉方程

教学课件：第八讲-机器人动力学牛顿-欧拉方程
目录
• 引言 • 牛顿-欧拉方程的原理 • 牛顿-欧拉方程的应用 • 机器人动力学仿真 • 牛顿-欧拉方程的扩展与展望
01 引言
主题简介
01
机器人动力学是研究机器人在运动过程中力与运动关系的学科。
02
牛顿-欧拉方程是描述机器人关节运动的数学模型，用于分析机器人的动态行为。
动态特性分析
动态控制策略
根据动力学模型，设计合适的控制算法和策略，实现机器人的稳定、快速和准确的运动控制。
分析机器人在动态环境中的响应特性，包括稳定性、动态精度和跟踪性能等。
机器人的控制策略
轨迹规划
根据任务需求，规划机器人的运动轨迹，包括路径规划、速度规划和加速度规划等。
控制器设计
基于动力学模型和控制算法，设计合适的控制器，实现机器人对给定轨迹的精确跟踪。
05
总结词：功能模块
06
详细描述：列举仿真软件的功能模块，例如建模模块、求解器模块、后处理模块等，并简要介绍每个模块的作用。
仿真模型的建立
总结词：建模步骤总结词：模型精度总结词：模型验证
详细描述：介绍建立机器人动力学仿真的步骤，包括建立机器人模型、设置约束和力矩、定义初始状态等。
详细描述：说明建模过程中需要考虑的因素，如模型的精度、简化程度等，以及如何权衡这些因素。
机器人动力学模型
总结词
描述机器人运动过程中力和运动的数学模型。
详细描述
机器人动力学模型基于牛顿-欧拉方程，通过建立力和运动的数学关系，可以预测机器人的运动轨迹和姿态。该模型对于机器人的控制和优化设计至关重要。
03 牛顿-欧拉方程的应用

《欧拉公式的应用》PPT课件

3
4、求积分
例1： /
4
eit
dt
iei/4 i i
1

i
i
1
i1
1

0
2 2
2 2
例2：
1 dx
x4 1

2iRzec0s
f
z
Re s z c1
f
z

2i
1 4
3i
z 1 z2 2iaz 1
z z1
a2 1
5、倍角和半角的
cot
证：左
e2i e2i i e2i e2i
e2i e2i
sin 2 1 cos 2

1

2i e2i
e2i
2、求方根
例： 4 1 i 4
i
2n i4
2e 4 8 2e 4 n 0,1,2,3
3、初等函数求值
例： Log 1
3i ln 2 i 2 2n ln 2 2n 1 in 0,1,2,
3
设m是大于1的整数，（a,m）=1，则 am 1mod m
《复变函数论》中的欧拉函数：
ei cos i sin (Eulersformula )
《数值分析》中的欧拉函数：
一般的，设已作出该折线的极点,过依方向场的方向再推进到，显然两个极点的坐标有以下关系
yn1 yn xn1 xn
将欧拉公式换为得到欧拉公式成为人们公认的最优美公式被视为数学美的一个象征数学家们评价它是上帝创造的公sincosi上帝创造的公式欧拉公式的两个基本性质由欧拉公式可以看出在复数域内指数函数是周期函数具有基本周期cos1sin1cossincossincossincos2sin21012ki2在欧拉公式中用代替得到由上式容易看出正弦函数是奇函数余弦函数是偶函数

《高一数学欧拉公式》课件

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+ i)(1 - i)} = - frac{1}{2} + frac{1}{2}i$，故答案为$- frac{1}{2} +
frac{1}{2}i$.
习题二
题目：已知$i$为虚数单位，复数$z$满足$frac{2 + i}{z} = i$，则复数$z =$( )
答案：B
解析：由$frac{2 + i}{z} = i$，得$z = frac{2 + i}{i} = frac{(2 + i)i}{i^{2}} = frac{- 1 + 2i}{- 1} = 1 + i$.故选B.
总结词
统一处理方式
详细描述
欧拉公式揭示了三角函数和指数函数之间的内在联系，使得在微积分中处理这两类函数时可以采用统一的处理方式，简化了一些微积分问题的求解过程。
在复数中的应用
总结词
复数表示的桥梁
详细描述
欧拉公式是复数表示的桥梁，它可以将复数表示为三角函数的形式，使得复数的运算更加直观和方便。同时，欧拉公式在复变函数和复分析等领域也有着广泛的应用。
欧拉公式在物理、工程、金融等领域也有广泛应用，例如在解决波动方程、计算复利、评估期权价格等问题中都发挥了关键作用。
欧拉公式的历史背景
欧拉是一位杰出的数学家，他在18世纪发现了欧拉公式。
欧拉公式的发现过程充满了曲折和探索，它是欧拉在解决其他数学问题的过程中偶然发现的。
欧拉公式的发现为数学和物理学的发展做出了巨大贡献，被誉为数学史上的里程碑之一。
总结词独特的优势。
详细描述
例如，欧拉公式的一个变种是球坐标系下的形式，它将三维空间的点表示为球坐标系中的(r, θ, φ)，其中r是点到原点的距离，θ是点在xoy平面上的投影与x轴的夹角，φ是点在xz平面上的投影与x轴的夹角。这种形式在处理球对称问题时非常有用。此外，还有

高一数学欧拉公式(PPT)5-1

欧拉
著名的数学家，瑞士人，大部分时间在俄国和法国度过．他16岁获得硕士学位，早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学，毕业后研究数学，是数学史上最高产的作家．在世发表论文700多篇，去世后还留下100多篇待发表．其论著几乎涉及所有数学分支．他首先使用f(x)表示函数，首先用∑表示连加，首先用i表示虚数单位．在立体几何中多面体研究中，首先发现并证明欧拉公式．
讨论
问题1：（2）数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E 并填表
(5)
图形编号（5）（7）（6）
顶点数V 5 16
7
面数F 5 16
8
(Hale Waihona Puke )棱数E 8 32 12简单多面体 V+F-E=2（欧拉公式）
欧拉公式
他描写成刚正严明、不畏权势的清官的典型。【包谷】〈方〉名玉米。也作苞谷。【包管】动担保（表示说话人的自信）：～退换｜他这种病～不用吃就会好。【包裹】①动包；包扎：用布把伤口～起来。②名包扎成件的包儿：他肩上背着一个小～｜我到邮局寄～去。【包含】动里边含有：这句话～好几层意思。【包涵】?ɑ动客套话，请人；优游优游；原谅：唱得不好，大家多多～！【包伙】①（－∥－）动包饭?。②名包饭?。【包机】ī①动定期租用飞机：开展～业务。②名包乘的飞机：一架旅游～。【包间】名宾馆和餐饮、等场所设的供某位或某些客人专用的房间。【包金】ī动用薄金叶包在金属首饰外面：～项链。【包金】ī名包银。【包举】〈书〉动总括；全部占有：～无遗。【包括】动包含（或列举各部分，或着重指出某一部分）：语文教学应该～听、说、读、写四项，不可偏轻偏重｜我说“大家”，自然～你在内。【包揽】动兜揽过来，全部承担：政府部门不可能把各种事务都～起来。【包罗】动包括（指大范围）：民间艺术～甚广，不是三言两语所能说完的。【包罗万象】内容丰富，应有尽有：这个博览会的展品真可说是～，美不胜收。【包米】〈方〉名玉米。也作苞米。【包赔】动担保赔偿：～损失。【包皮】名①包装的皮儿。②阴茎前部覆盖龟头的外皮。【包票】名保单的旧称。料事有绝对的把握时，说可以打包票：他一定能按时完成任务，我敢打～。也说保票。【包青天】ī名见页〖包公〗。【包容】动①宽容：大度～｜一味～。②容纳：小礼堂能～三百个听众。【包身工】名①旧社会一种变相的贩卖奴隶的形式。被贩卖的是青少年，由包工头骗到工厂、矿山做工，没有人身自由，工钱全归包工头所有，受资本家和包工头的双重剥削。②在包身工形式下做工的人。【包探】名旧时巡捕房中的侦缉人员。【包头】?名① 裹在头上的装束用品（多用于少数民族）：青～。②（～儿）附在鞋头起保护作用的橡胶、皮革等：打～儿。【包围】动①四面围住：亭子被茂密的松林～着。②正面进攻的同时，向敌人的翼侧和后方进攻。【包围圈】名军事上指已形成包围态势的圈子和已被包围的地区：冲出～｜～越缩越小了。【包席】① （－∥－）动订整桌配套的酒席：你们是点菜还是～？｜婚宴包了三桌席。②名饭馆里指整桌供应的酒席。也说包桌。【包厢】名某些剧场里特设的单间席位，一间有几个座位，多在楼上。【包销】动①指商人承揽货物，负责销售。②指商业机构跟生产单位订立合同，把全部产品包下来销售。

欧拉简介PPT课件

对线性代数和矩阵理论做出了重大贡献，包括行列式的性质与算法、线性方程组的解法等。
推动了符号代数的发展，使得代数学从几何学中独立出来。
几何学方面创新观点
提出了“欧拉公式”，揭示了多面体的顶点数、棱数、面数之间的数量关系。
对解析几何和微分几何的发展做出了重要贡献，包括曲线和曲面的表示、性质和应用等。
1 2
组合数学与计算机科学融合
随着计算机科学的发展，组合数学在计算机科学中的应用越来越广泛，如算法设计、数据结构等。
组合数学与其他学科交叉
组合数学正逐渐与其他学科进行交叉融合，形成新的研究领域，如生物信息学、量子计算等。
3
组合数学研究方法的创新
随着数学理论的不断发展，组合数学的研究方法也在不断创新，如代数方法、几何方法、概率方法等。
编程语言选择
根据实际需求选择合适的编程语言，如Python、MATLAB等。
算法设计与实现
针对具体问题设计相应的算法，并编写程序实现自动化计算。
数据处理与可视化
对计算结果进行数据处理和可视化展示，以便更好地分析和理解问题。
程序调试与优化
对程序进行调试和优化，提高计算效率和准确性。
06 欧拉精神传承与当代价值体现
物理学及其他领域成就
力学
研究了刚体运动和弹性力学，提出了欧拉-拉格
朗日方程。
光学
对光的传播和反射进行了深入研究，提出了光
的波动理论。
天文学
研究了行星运动和月球轨道，提出了三体问题
的特殊解。
音乐理论
对音乐理论也有研究，提出了音乐中的“欧拉
数”。
欧拉对后世影响
对数学的影响
欧拉的数学研究为后世数学家提供了重要的思想和工具，对现代数学的发展产生了深远影响。

《高一数学欧拉公式》课件

《高一数学欧拉公式》 PPT课件
数学欧拉公式是高一数学的重要内容之一，介绍了公式的形式和含义，以及它在数学研究和实际应用中的重要性。
导入欧拉公式数学欧拉公 Nhomakorabea是由瑞士数学家欧拉提出的一种重要数学公式，具有广泛的应用价值。
带来的启示
欧拉公式不仅仅是一个公式，更是对数学思维的启示和对实际应用的指导。
欧拉公式对数学学习的推进
通过学习和理解欧拉公式，可以提高数学学习的效果和兴趣。
欧拉公式对数学研究的促进
欧拉公式的研究推动了数学领域的发展，激发了更多的数学研究兴趣。
参考
欧拉公式的相关文献
相关学术论文和研究报告
数学学科发展的相关书籍
维能力，提升数学问题的解决能力。
3
欧拉公式对实际应用的启示
欧拉公式的应用不仅限于数学领域，还可以
欧拉公式在其他领域的应用
4
启发人们在实际问题中进行创新和思考。
除了数学领域，欧拉公式还被广泛应用于物理学、工程学和计算机科学等其他领域。
研究对象
如何使用欧拉公式研究问题
通过欧拉公式的运用，可以解决复杂的数学问题，如数列和级数的求和等。
研究对象
通过欧拉公式，我们可以研究一些复杂的数学问题和实际应用中的现象。
欧拉公式
1 介绍欧拉公式
2 公式的形式
欧拉公式被认为是数学中最美丽的公式之一，它连接了数学中的五个重要常数。
欧拉公式的形式为：e^(πi) + 1 = 0，其中e是自然对数的底，π是圆周率，i是虚数单位。
3 公式的含义
4 公式的证明
欧拉公式表明了数学中不同的数学常数之间的奇妙关系，展示了数学的美妙和深奥。
欧拉公式的证明是数学中的一大经典问题，需要运用其他数学知识和技巧进行推导。

欧拉方程解法课件

一阶线性欧拉方程的解
举例
(y' = 2xy) 的解为 (y = x^2)，通过分离变量法得到。
举例
(y' = frac{1}{x}) 的解为 (y = ln x)，通过变量代换法得到。
二阶常系数线性欧拉方程的解
举例
(y'' + 4xy = 0) 的解为 (y = c_1x^2 + c_2x^2)，通过特征值法得到。
应用示例
对于形如 (frac{partial^2 u}{partial x^2} + frac{partial^2 u}{partial y^2} = f(x,y)) 的偏微分方程，可以使用有限差分法、有限元法等数值解法进行求解。
03
欧拉方程的解的性质
解的存在性和唯一性
存在性
对于给定的初值条件和边界条件，欧拉方程存在一个解。
应用示例
对于形如 (u(x,y) = v(x)w(y)) 的函数，如果满足一定的条件，可以将方程分解为两个独立的常微分方程，分别求解后再组合得到原方程的解。
积分因子法
01
总结词
通过引入一个积分因子，将偏微分方程转化为全微分方程，从而简化求解过程。
02 03
详细描述
积分因子法是一种通过引入一个积分因子来简化偏微分方程的方法。这种方法适用于具有特定对称性的偏微分方程，通过引入积分因子可以将偏微分方程转化为全微分方程，从而简化求解过程。
并行计算
将计算任务分解成多个子任务，利用多核处理器或分布式计算资源并行处理，加快计算速度。
THANKS
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VS
举例
(y'' - 2y' + y = 0) 的解为 (y = c_1e^x + c_2e^{-x})，通过常数变易法得到。

第七章欧拉方程-PPT精选文档

当取惯量主轴为本体坐标系的坐标轴时,全部惯量积便均为0,于是可以使问题的求解大为简化.
章动角
Z轴位置由 θ,φ角决定
自转角
进动角
节线ON
0 0 2 0 2
3.刚体定点转动的运动方程
一般说来，刚体若作定点转动，则其欧拉角是时间的函数。如果确定了三个函数关系式，就确定了刚体的运动，也就是说，如果选欧拉角为坐标，有
t t t

B点的加速度为：
d a a r r B A d t
d d j , 1 1 d t d t
0
V j i R
1
vA Vj
V 1 j k R
rl s i n i l c o s k
第七章欧拉方程
§7.1
§7.2 §7.3
欧拉运动学方程
欧拉动力学方程重刚体定点转动的求解
§7.1 欧拉运动学方程
(一) 欧拉角
1.刚体定点转动的例子
陀螺
常平架
2.欧拉角
刚体绕固定点转动时，自由度是3，因而确定刚体的位置需要三个独立变量。这三个独立变量可以有各种取法，最常用的一种取法是用两个角度确定瞬时转轴的方位，再用另一个角度确定刚体绕这个轴所转过的角度。这三个角通常称为欧拉角。为描述定点转动，选定点为坐标原点，用三个独立变化的角度（欧拉角）确定转轴取向和绕转轴转过的角度.

(7.1—3)
2.瞬时转轴
定点转动的独立变量有三个，其中两个确定转动轴的方向，一个确定其它点绕轴转动的角度。
定点转动时，转动轴的方向随时间变化，转动瞬轴在空间描绘的锥面称空间极面，在刚体内描绘的锥面称本体极面。定点转动时，一个角速度矢量（有三个分量）就足以描述刚体运动。

【高中数学课件】欧拉公式1 ppt课件

思考2：设多面体的F个面分别是n1,n2, ···,nF边形，各个面的内角总和是多
少？
(n1-2)
·1800+
(n2-2)
·1800+···+
(nF-2)
·1800=(n1+n2+···+nF-2F）·1800
思考3： n1+n2+···+nF和多面体的棱数E有什么关系
n1+n2+···+nF =2E
∴（E-F）·3600= (V-2) ·3600
V+F-E=2 欧拉公式
欧拉公式的应用
例1 1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的
三位科学家．C60是有60 个C原子组成的分子，它结构为简单多面体形状．这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出 3条棱，各面的形状分别为五边形或六边形两种．计算C60分子中形状为五边形和六边形的面各有多少？
讨论问题2：如何证明欧拉公式
E1
A1
B
D1 C
11D
E A
C B
压缩成平面图形
D
E
E1 A1
A
D1 C1 C
B1
B
∴所有面的内角和=（E－F）·3600
思考4：设平面图形中最大多边形（即多边形ABCDE）是m边形，则它和它内部的全体多边形的内角总和是多少？
2（m-2) ·1800+(V-m) ·3600=(V-2) ·3600
欧拉公式
V+F-E=2
空间问题平面化
猜想
证明
作业 P68 阅读材料
应用
E1
A1
B
D1 C

2.3欧拉方法及拉格朗日方法(共28张PPT)

4.1.1拉格朗日方法(fāngfǎ)
➢ 在直角坐标(zhí jiǎo zuò biāo)中展开
r r (a,b,c,t)
x x(a,b, c,t)
y
y(a,b, c,t)
z z(a,b, c,t)
第六页，共二十八页。
4.1.1拉格朗日方法(fāngfǎ)
流体质点的速度 V r (a,b, c,t) t
r
V
r
Vz
z )ir
V r
i
Di Dt
( t
Vr
r
V
r
Vz
z
)i
V r
ir
所以: a
DVr Dt
ir
VrV r
i
DV Dt
i
V2 r
ir
DVz Dt
iz
( DVr Dt
V2 r
)ir
( DV Dt
VrV r
)i
DVz Dt
iz
向心加速度 : ar
DVr Dt
V2 r
度的表达式为
DV lim V (M ',t t) V (M ,t)
Dt t0
t
第十六页，共二十八页。
4.1.2随体导数(dǎo shù)
这里用 D 表示这种导数不同于牛顿定律 Dt
对速度的简单导数
速度的变化有两方面的原因:
一方面的原因, 质点由M点运动至M '点时, 时间过去了t,由于场的时间非定常性引起速度的变化
定义流速场V V r,t中的加速度:
如图M点的加速度就是此时过M点的流体质点的加速度.
第十五页，共二十八页。
4.1.2随体导数(dǎo shù)

欧拉公式PPT课件

热力学
在热力学中，欧拉公式被用来描述热量的传递和扩散，以及热力学系统的状态变化。
电磁学
在电磁学中，欧拉公式可以用来描述电磁场的变化和分布，例如电势、电场强度等。
在工程领域的应用
01
02
03
控制系统
在控制系统中，欧拉公式被用来描述系统的稳定性和性能，以及设计控制器。
信号处理
在信号处理中，欧拉公式被用来进行频谱分析和滤波，以及处理图像和音频等信号。
总结欧拉公式的要点与贡献
01
02
03
统一了复数域中的指数函数和三角函数
揭示了复数和实数之间的内在联系
为解决许多数学问题提供了新的思路和方法
展望未来在数学、物理等领域的应用前景
在数学领域的应用前景
在物理领域的应用前景
复分析：欧拉公式是复分析中重要的工具之一，可以用于研究函数的性质和解决某些复杂的积分问题。
CHAPTER 03
欧拉公式的证明
利用泰勒级数展开证明
总结词：直观明了
详细描述：将函数进行泰勒级数展开，得到无限项之和，通过比较级数的各项系数，可以直观地证明欧拉公式。
利用复数证明
总结词：巧妙简洁
详细描述：利用复数形式的欧拉公式，通过证明复数形式的恒等式，得到欧拉公式的正确性。这种方法需要一定的复数基础知识。
导数的基本性质包括
和差、积、商、幂函数的导数公式；常见函数的导数；高阶导数的计算。
积分的基本性质包括
不定积分与定积分的计算；原函数与微分的概念及其应用；反常积分的计算。
欧拉公式的推导过程
基于复数的定义和三角函数的定义，通过引入虚数单位i，利用复数的四则运算和三角函数的性质，推导出欧拉公式e^(ix)=cos(x)+i*sin(x)。

《欧拉方程解法》课件

01
龙格-库塔方法是另一种常用的数值求解常微分方程的方法，其基本思想是利用已知的初值和导数值来逼近微分方程的解。
02
龙格-库塔方法的基本步骤是：首先选择一个初始点和初始导数值，然后利用微分方程、初始条件和初始导数值来计算下一个点和导数值，以此类推，得到一系列的点和导数值，这些点和导数值就构成了微分方程的近似解。
收敛性分析
随着网格密度的增加，数值解应逐渐接近真实解。
全局误差估计
误差传播
在数值求解过程中，误差会随着时间和空间的离散化而传播和累积。全局误差估计需要考虑误差传播的影响。
收敛速度
全局误差估计还涉及数值解的收敛速度。理论上，随着时间和空间的离散化，数值解应逐渐接近真实解。
误差界
全局误差估计的一个重要目标是确定数值解的上界和下界，以便评估其精度和可靠性。
03
欧拉方程的数值解法
欧拉方法
欧拉方法是一种简单的数值求解常微分方程的方法，其基本思想是利用已知的初值来逼近微分方程的解。
欧拉方法的基本步骤是：首先选择一个初始点，然后利用微分方程和初始条件来计算下一个点，以此类推，得到一系列的点，这些点就构成了微分方程的近似解。
欧拉方法的优点是简单易懂，易于实现，但其缺点误差较小，且适用于复杂和非线性的微分方程，但其缺点是计算量较大，需要更多的计算资源和时间。
04
欧拉方程的稳定性分析
线性稳定性分析
01 线性稳定性分析是研究欧拉方程解的稳定性的基础方法。
02 通过线性化欧拉方程，可以得到其线性化方程，进而分析其解的稳定性。
边界问题是指给定微分方程和某些边界条件，求解该微分方程的解。
03 方法
使用积分变换、分离变量

欧拉公式PPT课件

信号处理
物理学
ห้องสมุดไป่ตู้工程学
在物理学中，欧拉公式用于描写波动、振动和波动方程的解。
在电气工程、控制系统等领域，欧拉公式用于分析交流电和交流信号的特性。
03
02
01
03
CHAPTER
欧拉公式的证明
通过解析几何的方法，利用向量和复数的几何意义，推导欧拉公式。
解析几何法
利用三角函数的周期性和对称性，通过三角恒等式推导出欧拉公式。
在量子力学中，波函数是描写粒子状态的重要工具。通过波函数的模平方，可以计算出粒子在某个位置出现的概率。欧拉公式在量子力学中的波函数计算中发挥了重要的作用，它可以将复指数函数转化为三角函数，使得波函数的计算变得更加简单和准确。
总结词：欧拉公式在量子力学中的波函数计算中发挥了关键的作用，使得波函数的计算更加准确和高效。
05
CHAPTER
欧拉公式的应用实例
VS
傅里叶变换是信号处理和通讯领域中的重要工具，它可以将时间域的信号转换为频域的信号，从而更好地分析信号的特性和频率成分。欧拉公式在傅里叶变换中扮演着关键的角色，它提供了将复指数函数转化为三角函数的方法，使得傅里叶变换的计算变得简单和高效。
总结词：欧拉公式在傅里叶变换中的应用使得信号处理和通讯领域的研究更加便利和高效。
三角函数法
利用幂级数的性质和运算规则，通过幂级数展开式推导出欧拉公式。
幂级数法
通过代数运算和恒等变换，利用复数的代数情势和性质，推导欧拉公式。
代数法
利用微积分的基本定理和性质，通过微积分运算推导出欧拉公式。
微积分法
利用矩阵的运算规则和性质，通过矩阵变换推导出欧拉公式。
矩阵法
通过几何图形和空间向量的性质，利用几何图形变换和向量运算，推导欧拉公式。

在中学物理课程中讲欧拉平衡方程--(精选)共63页PPT

▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
63
在中学物理课程中讲欧拉平衡方程--（精选）
11、获得的成功越大，就越令人高兴。野心是使人勤奋的原因，节制使人枯萎。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树，先有根茎，再有枝叶，尔后花实，好好劳动，不要想太多，那样只会使人胆孝懒惰，因为不实践，甚至不接触社会，难道你是野人。(名言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但常看常新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福。我爱自己，我用清洁与节制来珍惜我的身体，我用智慧和知识充实我的头脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。农夫不会播下一粒玉米，如果他不曾希望它长成种籽；单身汉不会娶妻，如果他不曾希望有小孩；商人或手艺人不会工作，如果他不曾希望因此而有收益。-- 马钉路德。

高一数学欧拉公式(PPT)5-2

(5)
图形编号（5）（7）（6）
顶点数V 5 16
7ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
面数F 5 16
8
(8)
棱数E 8 32 12
简单多面体 V+F-E=2（欧拉公式）
欧拉公式
比较?：无可～｜难以～。②名修辞方式，把物拟做人或把人拟做物。【比年】〈书〉①名近年：～以来，缠绵病榻。②副每年；连年：～五谷不登。‖也说比岁。【比配】形相称；相配：这两件摆放在一起很不～。【比拼】ī动拼力比试：双方将在半决赛中～，争夺决赛权。【比丘】名佛教指和尚。【比丘尼】名佛教指尼姑。【比热】名比；美术教育品牌加盟美术教育品牌加盟；热容的简称。【比热容】名单位质量的物质，温度升高（或降低）℃所吸收（或放出）热量，叫做该物质的比热容。简称热。【比如】动举例时的发端语：有些题已经作出决定，～招多少学生，分多少班，等等。【比萨饼】名一种意大利式饼，饼上放番茄、奶酪、肉类等，用烤箱烘烤而成。［比萨，英a］【比赛】①动在体育、生产等活动中，比较本领、技术的高低：～篮球。②名指这种活动：今晚有一场足球～。【比试】?动①彼此较量高低：咱们～一下，看谁做得又快又好。②做出某种动作的姿势：他把大一～，不在乎地说，叫他们来吧。【比岁】①名比年?。②副比年?。【比索】名①西班牙的旧本位货币。②菲律宾和一部分拉丁美洲国家的本位货币。［西］【比特】量信息量单位，二进制数的一位所包含的信息量就是比特。如二进制数包含的信息量为比特。［英］【比武】∥动比赛武艺，也泛指比赛技艺。【比翼】动翅膀挨着翅膀（飞）：～齐飞。【比翼鸟】名传说中的一种鸟，雌雄老在一起飞，古典诗词里用作恩爱夫妻的比喻。【比翼齐飞】比喻夫妻恩爱，
朝夕相伴。也比喻互相帮助，共同前进。【比喻】①名修辞方式，用某些有类似点的事物来比方想要说的某一事物，以便表达得更加生动鲜明。②动比方?：人们常用园丁～教师。【比照】动①按照已有的（格式、标准、方法等）；对比着：～着实物绘图。②比较对照：两种方案一～，就可看出明显的差异。【比值】名两个数相比所得的值，即前项除以后项所得的商，如∶的比值是。也叫比率。【比重】名①物质的重量和它的体积的比值，即物质单位体积的重量。②一种事物在整体中所占的分量：我国工业在整个国民经济中的～逐年增长。【芘】名有机化合物，棱形晶体，浅黄色，不溶于水，溶于乙醇和乙醚。