北师大版数学八上 1.1探索勾股定理 知识点总结解读
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理第1课探索勾股定理课件
1. 一个直角三角形,两直角边的长分别为3和4,下列说法中正确的是（ C ）
A. 斜边长为25
B. 三角形的周长为25
C. 斜边长为5
第一章 勾Байду номын сангаас定理
1 探索勾股定理 第1课时
1. 直角三角形三边存在的关系：在直角三角形中，任意两条边确定了，另 外一条边也就随之 确定 ，三边之间存在着一种特定的 数量 关系.
2. 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为 勾 ，较长的直角边称为 股 ， 斜边称为 弦 .
3. 勾股定理：直角三角形两直角边的 平方和 等于斜边的 平方 .如果用a， b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2+b2=c2 .
2. 如图，正方形ABCD的面积为25 cm2，△ABP为直角三角形， ∠APB=90°，且PB=3 cm，那么AP的长为( C )
A. 5 cm
B. 3 cm
C. 4 cm
D. 不能确定
3. 在Rt△ABC中，斜边BC=4，则BC2＋AB2＋AC2= 32 ． 4. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面积之和 为 49 cm2．
1.1+探索勾股定理+勾股定理的证明及简单应用+课件+2023-2024学年北师大版数学八年级上册
5．意大利著名画家达·芬奇用下图所示的方法证明了勾股定来自百度文库．左
图中空白部分由边长分别为a，b的两个正方形和斜边为c的两个直角
三角形组成，若设左图中空白部分的面积为S1，右图中空白部分的面 积为S2，则下列表示S1，S2的等式成立的是( B ) A．S1＝a2＋b2＋2ab B．S1＝a2＋b2＋ab C．S2＝c2＋2ab D．S2＝c2＋12 ab
7．某仓库的大门如图所示，其中四边形ABCD是长方形，上部是以 AD为直径的半圆，其中AB＝2.3 m，BC＝2 m，现有一辆装满货物的 卡车，高为2.5 m，宽为1.6 m，则这辆卡车__能__通过仓库的大门(横线 内填入“能”或“不能”)．
(教材P5)如图，小王在距离东西向公路800 m的A处测算某汽车 的速度，某一时刻汽车在他正北方向，20 s后汽车与他相距1 000 m， 求汽车的速度． 解：由题意，得△ABC为直角三角形． 由勾股定理，得BC2＝AB2－AC2＝360 000， 所以BC＝600 m. 所以600÷20＝30 (m/s)． 答：汽车的速度是30 m/s.
7．(教材P7)如图，某储藏室入口的截面是一个半径为1.2 m的半圆 形，一个长、宽、高分别为1.2 m，1 m，0.8 m的箱子能放进储藏室 吗？请说明理由．
解：能放进储藏室．理由如下： 如图，四边形ABCD是半圆内长方形，O为圆心， 所以AB∥CD，AB＝CD＝1.2 m，OA＝1.2 m. 作OE⊥AB交AB于点E，则OE平分AB． 连接OA．所以AE＝0.6.所以OE2＝OA2－AE2＝1.22－0.62＝1.08. 因为0.82＝0.64，1.08＞0.64， 所以长、宽、高分别是1.2 m，1 m，0.8 m的箱子能放进储藏室．
北师大版八年级数学上册：1.1.1《探索勾股定理》
规律方法探究
命题点1
命题点2
命题点3
命题点4
(2)解:∵△ADC≌△BDF,∴DF=CD= 2. 在 Rt△CDF 中,CF= ������������ 2 + ������������ 2 =2, ∵BE⊥AC,AE=EC, ∴AF=FC=2. ∴AD=AF+DF=2+ 2.
规律方法探究
命题点1
关闭
A
答案
轻松尝试应用 1 2 3 4
3.斜边长为17 cm,一条直角边长为8 cm的直角三角形的面积是
.
关闭
因为 172-82=152,所以另一条直角边长为 15 cm. 所以该直角三角形的面积为 ×15×8=60(cm2).
60 cm2
1 2
关闭
解析
答案
轻松尝试应用 1 2 3 4
4.求下列图中阴影部分的面积:
基础自主导学
考点梳理
自主测试
考点二 等边三角形的性质与判定 1.等边三角形的性质 (1)等边三角形的三个内角相等,且都等于60°;(2)等边三角形的 三条边都相等,等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴. 2.等边三角形的判定 (1)三条边相等的三角形是等边三角形;(2)三个角相等的三角形 是等边三角形;(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形. 考点三 线段的垂直平分线 1.概念:经过线段中点,并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线 段的垂直平分线,也叫做中垂线. 2.性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 3.判定:到一条线段的两个端点距离相等的点在线段的 垂直平分线上,线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离 相等的点的集合.
北师大版八年级上册数学第1讲《勾股定理》知识点梳理
北师大版八年级上册数学第 1 讲《勾股定理》知识点梳理
【学习目标】
1.掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想；
2.能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；
3.通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题．
【要点梳理】
要点一、勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为a，b ，斜边长为c ，那么a2+b2=c2．
要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．
（3）理解勾股定理的一些变式：
a2=c2-b2，b2=c2-a2，c2=(a+b)2-
2ab．要点二、勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．
图（1）中，所以．
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．
图（2）中，所以．
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．
，所以．
要点三、勾股定理的作用
已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
用于解决带有平方关系的证明问题；
3.与勾股定理有关的面积计算；
4.勾股定理在实际生活中的应用．
【典型例题】
类型一、勾股定理的直接应用
1、在△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．
（1）若a ＝5，b ＝12，求c ；
（2）若c ＝26，b ＝24，求a ．
北师大版八年级数学上册课件《探索勾股定理第1课时》
正方形A中含有 9 个小方格, 即A的面积是9 个单位面积.
同理:正方形B的面积是 9 个
单位面积.
（图中每个小方格代表一个单位面积）
探究新知
思考2 怎样求出C的面积?
C A
B
图1
分割成若干个直角边为整数的三角形
S正方形C = 4×12×3×3 Βιβλιοθήκη Baidu18（单位面积）
（图中每个小方格代表一个单位面积）
探究新知
做一做 如果直角三角形的两直 角边分别为1.6个单位长度和 2.4个单位长度，上面猜想的数 量关系还成立吗？说明你的理 由.
? 2.4
1.6
问题4 你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
a2 + b2 = c2
探究新知
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么
a2 + b2 =
探究新知
练一练 通过对图1的学习，
求出图2正方形A,B,C中面积
各是多少?
解：正方形A的面积是4个 单位面积，正方形B的面积 是4个单位面积，正方形C
的面积是8个单位面积.
C A
B C
图1 A B
图2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
探究新知
做一做 （1）观察图3、图4：
C A
B
图3
北师大版八年级数学上册第1章勾股定理本章归纳总结
3.曲面两点间的距离问题 在解决曲面中两点间的距离时,往往是要将曲面问题转 化为同一平面内两点之间的距离,这是解决问题的关键.
典例精析,复习新知
例1：如图所示,在平面直角会标系中,点P的坐标为(-2,3),以点 O为圆心,以OP的长为半径画弧,交x轴的负半轴于点A,则点A的 横坐标介于( )
A.-4Байду номын сангаас-3之间 B.3和4之间 C.-5和-4之间 D.4和5之间
例4 有一个立方体礼盒如图所示,在底部A处有一只壁虎,C′处 有一只蚊子,壁虎急于捕捉到蚊子充饥. （1）试确定壁虎所走的最短路线； （2）若立方体礼盒的棱长为20cm,则壁虎如果想在半分钟内 捕捉到蚊子,每分钟至少要爬行多少厘米？（保留整数）
分析：求几何表面的最短距离时, 通常可以将几何体表面展开,把立 体图形转化为平面图形.
作等腰直角三角形ABD,使∠ABD=90°,连接CD,则线段
CD的长为
。5或 13
例3 一张直角三角形纸片,两直角边 AC=6cm,BC=8cm,将△ABC折叠,使点B与点A重合, 折痕是DE（如图所示）,求CD的长.
分析：设CD为 x,∵AD=BD,∴AD=8-x. ∴在△ACD中,根据勾股定理列出 关于x的方程即可求解.
分析：∵点P的坐标为(- 2.3), O P （- 2）2 32 13. ∵点A ，P均在以点O 为圆心，O P为半径的圆上， O A O P 13. ∵9＜13＜16，3＜ 13小于4. 又∵点A 在x轴负半轴上， 点A 的横坐标介于- 4和- 3之间，故选A .
北师大版八年级上册数学第一章勾股定理全章知识点及习题(经典)
c
b
a
D C
A
B
第一章 勾股定理
知识点一：勾股定理定义
画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，量AB 的长；一个直角边为5和12的直角△ABC ，量AB 的长 发现32
+42
与52
的关系，52
+122
和132
的关系，对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。（即：a 2
+b 2
＝c 2
） 1．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）
⑴两锐角之间的关系： ； ⑵若D 为斜边中点，则斜边中线 ；
⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ；（给出证明） ⑷三边之间的关系： 。 知识点二：验证勾股定理
知识点三：勾股定理证明（等面积法）
例1。已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。 求证：a 2
＋b 2
=c 2
。 证明：
例2。已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。 求证：a 2
＋b 2
=c 2
。 证明：
知识点四：勾股定理简单应用 在Rt △ABC 中，∠C=90°
(1) 已知：a=6, b=8，求c b
b
b
b
c
c
c
c
a
a
a
a
b
b
b b
a a
c
c
a
a
A
C
B
D
A
B
如果三角形的三边长为c b a ,,，满足2
22c b a =+，那么，这个三角形是直角三角形． 利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤： ①先找出最大边（如c ）
②计算2c 与22
a b +，并验证是否相等。 若2c =22
a b +，则△ABC 是直角三角形。
北师大版八年级上册第一章探索勾股定理精讲
勾股定理
第一节 探索勾股定理
●应知 基础知识
1、勾股定理
（1）勾股定理的内容：在直角三角形中，两直角边的 等于 的平方．
（2）勾股定理的表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为,a b ，斜边为c ，那么有 。 2、理解
（1）勾股定理存在和运用的前提条件是在直角三角形中，如果不是直角三角形，那么三边之间不存在这种关系。
（2）勾股定理把“图形”与“数量”有机地结合起来，即把直角三角形的“形”与三边关系的“数”结合起来，是数形结合思想的典型代表之一。
（3）利用勾股定理，可以在直角三角形中已知两边长的情况下，求出未知的第三边长。 一般情况下，用,a b 表示直角边，c 表示斜边，则有：
222222222
a b c b c a a c b +==-=- 在运用勾股定理求第三边时，首先应确定是求直角边还是求斜边，在选择利用勾股定理的原形公式还是变形公式。
【例1】在ABC ∆中，90C ︒∠=， （1）若3,4,a b ==则c = ； （2）若6,10a c ==，则b = ；
（3）若:3:4,15a b c ==，则a = ，b = 。
【例2】已知直角三角形的两边长分别是3和4，如果这个三角形是直角三角形，求以第三边为边长的正方形的面积。
3、勾股定理的验证
至少掌握勾股定理的三种验证方法，并从中体会到这种验证方法所体现的数学思想。
【例3】2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾 股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所 示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短直角边为a ，较长 直角边为b ，那么2
北师大版八年级数学上册《1.1.1勾股定理》教学课件(共19张PPT)
归纳总结
等腰直角三角形的三边关系： 两直角边的平方和等于斜边的平方.
一般的直角三角形是否也具有“两直角边的平方和 等于斜边的平方”这一性质呢？
C A
B
图①
A＇
C＇
B＇
图②
（图中每个小方格代表一个单位面积）
观察：
C A
B
图①
正方形A中含有__4__个小正方形，即A的 面积是___4__. 正方形B中含有__9__个小正方形，即B的 面积是___9__. 正方形C中含有____个小正方形，即C的 面积是_____.
4
9
13
图②
16
9
25
A、B、C面 积关系
SA+SB=SC
归纳总结
勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果 用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边， 那么a2+b2=c2.
趣味历史：勾股定理名字的来源
我国古代把直角三角形中较 短的直角边称为勾，较长的 直角边称为股，斜边称为弦， 勾股定理因此而得名.
例1 高为2.5 m的木梯，架在高为2.4 m的墙上(如图)，
这时梯脚与墙的距离是多少?
A
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：
BC2=AB2-AC2=2.52-2.42=0.49，
所以BC=0.7.
即梯脚与墙的距离是0.7 m.
北师大版八年级数学上册第一章全部课件
知1－讲
1. 常用方法：通过拼图法利用求面积来验证．这种 方法是以数形转换为指导思想，图形拼补为手段， 以各部分面积之间的关系为依据而达到目的的．
知1－讲
2．用拼图法验证勾股定理的思路： (1)图形经过割补、拼接后，只要没有重叠，没有空
隙，面积不会改变； (2)根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式； (3)利用等式性质验证结论成立，即拼出图形→写出
（来自《典中点》）
北师大版八年级数学上册
知识点 2 勾股定理与图形的面积
知2－讲
例2 〈新疆〉如图，分别以直角三角形的三边为直径
作半圆，其中两个半圆的面积S1＝
9
25 8
π，
S2
＝
2π，则S3＝____8__π__．
知2－讲
导引：如图，由圆的面积公式得
S1
1 2
π
c 2
2
25 8
π,
S2
1 2
弦 勾
股 图1
北师大版八年级数学上册
C A
B C
图2-1
A
B
图2-2
(图中每个小方格代表一个单位面积)
知1－导
(1)观察图2-1 正方形A中含有 9 个 小方格，即A的面积 是 9 个单位面积. 正方形B的面积是 9 个单位面积.
正方形C的面积是 18 个单位面积.
八年级北师大版数学上册探索勾股定理知识点
八年级北师大版数学上册探索勾股定理知识点勾股定理是一个基本的几何定理，在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，探索勾股定理知识点如下，希望对大家学习本课内容有帮助。
1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。
2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足
a2+b2=c2。，那么这个三角形是直角三角形。
3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。(例：勾股定理与勾股定理逆定理)
4.直角三角形的性质
(1)、直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：∠C=90° ∠A+∠B=90°
(2)、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。∠A=30°
可表示如下：BC= AB ∠C=90°
(3)、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
∠ACB=90°
可表示为： CD= AB=BD=AD
D为AB的中点
5、摄影定理
在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项
∠ACB=90°
CD⊥AB
6、常用关系式
由三角形面积公式可得：AB CD=AC BC
7、直角三角形的判定
1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形。
课后练习
北师大版数学八年级上册 认识勾股定理
所以 BC = 0.7.
答：梯脚与墙的距离是 0.7 米.
C
B
6. 求斜边长 17 cm、一条直角边长 15 cm 的直角三
角形的面积.
解：设另一条直角边长是 x cm. 由勾股定理得 152 + x2 = 172， x2 = 172-152 = 289-225 = 64， 所以另一直角边长为 8 cm.
例4 如图，以 Rt△ABC 的三边长为斜边分别向外作等腰
直角三角形. 若斜边 AB＝3，求△ABE及阴影部分的面积.
解：∵ AE＝BE， ∴ 又∵S△AABEE2＝＋12BAEE2＝·BAEB＝2，12 AE2.
∴ 2AE2＝AB2.
∴ 同 又理 ∵S△可AABC得E2＝＋S14△BAACHB2C＝2＋＝AS94B△2.B，CF＝14
2. 求下列图中未知数 x、y 的值：
解：由勾股定理可得 81 + 144 = x2， x = 15.
解：由勾股定理可得 y2 + 144 = 169， y = 5.
3. 在△ABC 中，∠C = 90°.
（1）若 a = 6，b = 8，则 c = 10 ； （2）若 c = 13，b = 12，则 a = 5 .
AR P CQB
（3）正方形 R 的面积是 2 cm2.
上面三个正方形的面积之间有什么关系？（图中每一格
北师大版八年级上册数学《探索勾股定理》勾股定理教学说课复习课件
方法点拨：以直角三角形三边为基础向外作正方形，等腰三角形
或半圆，都能形成简单的勾股图，对于勾股图都有相同的结论，
即S1=S2+S3（S1是以斜边为基础向外作的图形的面积，S2和S3分
别是以直角边基础向外所作图形的面积.
探究新知
2.求非直角三角形的面积
例3 如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求△ABC的面积．
分别测量它们的三条边长，并填入下表.看看三边长
的平方之间有怎样的关系？与同伴进行交流.
a
b
c
a2,b2,c2之间关系
探究新知
问题1 你能发现下图中三个正方形面积之间有怎样的关系?
C
A
B
图1
（图中每个小方格代表一个单位面积）
探究新知
思考1 用什么办法能求出图1中A, B的面积?
数格子
C
A
正方形A中含有 9 个小方格,即
C的面积
图3
4
9
？
图4
16
9
？
探究新知
（3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流.
C
A
C
A
B
B
图3
图4
探究新知
补成大正方形，
用大正方形的面
积减去四个直角
三角形的面积
“拼”
“割”
北师大版初中数学八年级上册知识点总结
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第一章 勾股定理
1. 探索勾股定理
2. 一定是直角三角形吗
3. 勾股定理的应用
※直角三角形两直角边的平和等于斜边的平方。即：2
22c b a =+。
如果三角形的三边长a ，b ，c 满足，那么这个三角形是直角三角形。满足条件的三个正整数，称为勾股数。常见的勾股数组有：（3，4，5）；（681（5，12，13）；（8，15，17）；（7，24，25）；（20，21，29）；（9，40，41）；……（这些勾股数组的倍数仍是勾股数）第二章 实数
1. 认识无理数
2. 平方根
3. 立方根
4. 估算
5. 用计算器开方
6. 实数
7.二次根式
222c b a =+2
22c b a =+
※算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么正数x 叫做a 的算术平方
根，记作a 。0的算术平方根为0；从定义可知，只有当a ≥0时,a 才有算
术平方根。
※平方根：一般地，如果一个数x 的平方根等于a ，即x 2=a ，那么数x 就叫做a 的平方根。※正数有两个平方根（一正一负）；0只有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根.※正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。
())0,0(0,0>≥=≥≥=⨯b a b a b
a b a ab b a 第三章 位置与坐标
1. 确定位置
2. 平面直角坐标系
3. 轴对称与坐标变化
※平面直角坐标系概念：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，水平的数轴叫x 轴或横轴；铅垂的数轴叫y 轴或纵轴，两数轴的交点O 称为原点。
北师大版八年级数学上册 (探索勾股定理)勾股定理教育教学课件
x
152 = 225 1600
解：由勾股定理可得： 82+ x2=172
解:由勾股定理可得： 162 = 256 412 =
172 = 289 1681
52+ 122= x2
182 = 324
即:x2=172-82 x=15
即：x2=52+122 x=13
192 = 361 202 = 400
2.求非直角三角形的面积 例2 如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求△ABC的面 积．
来自百度文库
a2 b2 c2
三、得出结论：勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么
a2 b2 c2
B
几何语言：
c
a
∵在Rt △ABC,∠C=90°
C
b
A
∴a2+b2=c2
说明：勾股定理的应用条件是在直角三角形中；勾股定理是刻画 直角三角形三边平方的关系.
（2）△ABC的a=6,b=8,则c=10.
( )
2.在△ABC中, ∠C=90°,AC=3,CB=4,则△ABC面积为__6___,斜边
为上的高为__2__. __. 4
A
方法总结 ：由直角三角形的面积求法可知直
D
角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的 3
1.1 探索勾股定理(课件)2024-2025学年北师大版数学八年级上册
感悟新知
知1－练
2-1.已知一直角三角形的木板三边的平方和为 1 800， 则斜边长为( C )
A．10
B．20
C．30
D．40
感悟新知
知1－练
2-2.已知直角三角形的面积为 6，两直角边的和为 7， 则它的斜边长的平方为( A )
A．25
B．36
C．26
D．27
感悟新知
知识点 2 勾股定理的说明
图
②
中空白部分的面积
S2=c
2+2×
1 2
ab=c
2+ab.
感悟新知
(2)请利用达·芬奇的方法证明勾股定理． 解：由 S1=S2，得 a2+b2+ab=c2+ab， 所以 a 2+b 2=c 2．
知3－练
感悟新知
3-1.我国是最早了解勾股定理的国家之一，下面四幅知3－练 图中，不能证明勾股定理的是( D )
感悟新知
解题秘方：通过“作垂线”构造直角三角形是利 用勾股定理解决实际问题常用的添加 辅助线的方法．
知3－练
感悟新知
解：如图 1-1-3，过点 D 作 DE ⊥ AB 于点 E. 由题意知，AB=10 m， CD=4 m， AD=10 m， 易知 BE=CD=4 m，所以 AE=10 － 4=6(m) . 在 Rt △ AED 中，由勾股定理得 DE 2=AD 2 － AE 2=10 2 － 6 2=8 2， 所以 DE =8 m. 所以易得 BC=DE=8 m. 所以两树相隔的距离为 8 m．
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《探索勾股定理》知识点解读
知识点1：勾股定理（重点）
★勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a ，b ，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么222a b c +=。该定理反映了直角三角形的三边关系。（古代把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”）
■温馨提示①勾股定理应用的前提是这个三角形必须是直角三角形，解题时，只能是在同一个直角三角形中时，才能利用它求第三边边长。
例：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12，求AB
解：在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得
AB 2=AC 2+BC 2=52+122=169，所以AB=13. ②在式子222a b c +=中，a 代表直角三角形的两条直角边，c 代表斜边，它们之间的关系不能弄错。应用勾股定理时，要注意确定哪条边是直角三角形的最长边，也就是斜边。在Rt △ABC 中，斜边未必一定是c ，当∠A=90°时，222=+a b c ；当∠C=90°时，222=+b a c .
例：在Rt △ABC 中，AC=3，BC=4，求AB 2的值。
解：当∠C=90°时，AB 2=AC 2+BC 2=32+42=25；
当∠A=90°时，AB 2=BC 2-AC 2=42-32=7
③遇到直角三角形中的线段求值问题，要首先想到勾股定理。勾股定理把“数”与“形”有机地结合起来，把直角三角形这一“形”与三边关系这一“数”结合起来，是数形结合思想方法的典型。
④勾股定理的变式：
在Rt △ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，则
222222222=()(),
()(),
c a b a c b c b c b b c a c a c a c a b +=-=+-=-=+-===，
例：如图，已知等腰△ABC 的腰AB=AC=10 cm ，底边BC=12 cm ，AD
的平分线，则AD 的长是 cm.
解析 ∵AB=AC ，AD 是∠BAC 的平分线，
∴AD ⊥BC ，BD=CD=12
BC=6（cm ） 在Rt △ABD 中，由勾股定理知 8()cm ==
答案 8
知识点2：勾股定理的验证（难点）
★勾股定理的验证方法很多，可以用测量计算，可以用代数式的变形，可以用几何证明，也可以用面积（拼图）证明，其中拼图证明是最常见的一种方法。 说明：（1）探索勾股定理时找面积相等是关键。
（2）由面积之间的等量关系，并结合图形进行代数变形可推导出勾股定理。
（3）拼图法是探索勾股定理的有效方法，一般应遵循以下步骤：
拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导出勾股定理。
例：如图是美国第20任总统加菲尔德于1876年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它验证勾股定理吗？
分析：通过构造一个图形，利用两种方法计算该图形的面积，
从而得到一个关于三边长a ，b ，c 之间的关系式，这种方法
习惯称为“算两次”。
解：
222222222222221111()(),2222
1111()(),2222
111(2)2,222
111,222
111,222
.
S a b a b S ab ab c a b a b ab ab c a ab b ab c a ab b ab c a b c a b c =++=++∴++=++++=⋅+++=++=∴+=梯形梯形
解题关键：两个全等的直角三角形按上图摆放可得到一个大的直角梯形，而中间得到一个等腰直角三角形（由全等易证出）。
知识点2：勾股定理的应用（重点）
★已知直角三角形任意两边的长度，利用勾股定理可以求出第三边的长度。
应用勾股定理应注意的三个问题：
（1）勾股定理是直角三角形所特有的重要定理之一，即应用勾股定理的前提条件是“在直击三角形中”；
（2）应用勾股定理时，必须分清斜边和直角边；
（3）不能直接用勾股定理解决问题时，可以通过添加辅助线的办法构造出直角三角形，再利用勾股定理解答。
例：如图，有两棵树，一棵高10 m，另一棵高4 m，两树相距8 m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少要飞行多少米？
解：由题意可画出如图所示的图形，作DE⊥AB，垂足为E，则∠BED=90°，AE=CD，DE=AC，其中AB=10 m，AC=8 m，CD=4 m，
所以BE=AB-AE=AB-CD=10-4=6（m）.
在Rt△BDE中，由勾股定理，得BD2=BE2+DE2=62+82=100.
所以BD=10 m.
答：小鸟至少要飞行10 m.
解题关键：对于实际问题，要仔细分析题意，从所给信息中抽象出直角三角形，再用勾股定理计算出所求线段的长.