2014浙江省专升本高等数学试卷回忆版

2014浙江省专升本高等数学试卷回忆版

一、选择题4’*5=20’

1．当0x x →时，函数)(x f 极限存在，)(x g 极限不存在，则（ D ）

A ．当0x x →时，)()(x g x f 必定有极限存在

B ．当0x x →时，)()(x g x f 必定极限不存在 (反例：0)(0→*x A )

C ．当0x x →时，若)()(x g x f 极限存在，极限必定为零 (反例：∞*0型)

D ．当0x x →时，)()(x g x f 极限可能存在，也可能不存在 2． 曲线x x y 33-=上切线方程平行于x 轴的点是（ C ） A ． )0,0( B ．)2,1( C ．)2,1(- D ．)3,1( 3．函数x x x x x f ---=32)2()(不可导点个数是（ D ）

A ．3

B ．1

C ．0

D ．2 (讨论1,0,1-=x 处可导性，1-=x 处可导) 4． )1)(sin(sin u x -t )sin()(0

0---==-=

⎰⎰-x du u dx d dt x t dx d x f x

x 令（ A ） A ．x sin - B ．x sin C ．x cos 1+- D ．0 5．微分方程)

1(1

'2

+=+

x x x y y 的通解为（ B ） A ．

C x +1arctan B ． )(arctan 1C x x + C ．C x x +arctan 1

D ．C x x

++arctan 1

二、填空题4’*10=40’

6．设函数⎩⎨⎧≥<+=001)(x x x x x f ，则=)]([x f f ⎪⎩

⎪

⎨⎧≥<≤--<++001112x x x x x x

。

7．设)(x f 在),(+∞-∞上连续，3)2(=f ，则=→)2sin (3sin lim

0x

x

f x x x 9 。

8．曲线)0)(1ln(>+

=x x e x y 的渐近线为e

x y 1

+=。

9. 曲线)0(112

>+=

x x y 的拐点为)4

3

,33(。 10. x

x

y +-=11ln

，则==0

'x y 1-。

11．点)1,0(A 到曲线x x y -=2的最短距离为

2

2

。（A 在法线上，求得切点)23,21(-P ）

12. 已知1)(=⋅⨯c b a

，则c c b b a ⋅+⨯+)]()[(= 1 。

13. 微分方程0)1()1(=-++xdx y ydy x 的通解为c y x y y ++-=-+1ln 1ln 。 14．已知0'"=++by ay y 的通解为x x e c e c 221+，则1'"=++by ay y 满足1)0(',2)0(-==y y 的解为2

12542+-

x x

e e 。 15．将函数x x

f 2sin )(=展开成x 的幂级数为

)!

2(2

)

1()!2()1(212122cos 1)(21

120n x n x x x f n

n n n n n +==∑

∑-=--=-=。 三、计算题4*7’+4*8’=60’

16．2

2222022220222022sin cos sin 2sin lim 2221sin cos sin 2lim 2)ln()ln(sin lim x x x x x e x e x e

x e x e x e x x x e x x e x x x x x

x x x

x x x x --⋅

++=-++-++=-+-+→→→10

10

21211sin cos 2lim sin lim 21)1(2)sin cos 2(sin lim

000=--⋅⋅=--⋅=--=→→→x x x x x x x x x x x x x

17. 求1

11)(--=

x x

e

x f 的间断点，并判别类型

解：当 0=x 时，)(x f 分母为0无定义，)(x f 间断，且

∞=-=-→→1

11lim

)(lim x x x x e

x f ,0=x 为)(x f 的第二类无穷间断点；

当 1=x 时，

1

-x x

分母为0无定义，)(x f 间断，且

011lim

)(lim ,1

lim 1

111

=-=+∞=--→→→+++

x x

x x x e

x f x x

111lim )(lim ,,0lim ,1lim 1

11111=-==-∞=--→→-→→----x x

x x x x

x x e

x f e x x

1=x 为)(x f 的第一类跳跃间断点；

18．设)(x y y =满足参数方程⎩

⎨⎧+=+-=t t y t t x 2)1ln(，求2

2dx y

d ． t t t

t dt dx dt dy dx dy 1

3211112/++=+-+==

3

2222

)12)(1(11112)

()(t

t t t

t dt dx dx dy

dt d dx dy dx d dx y d -+=+-

-=== 19．已知x x x f 22tan 2cos )(sin '+=，求)(x f

解：令u x =2

sin ，则u

u u u u u f -+-=-+

-=11

2121)(' c u u du u

u u f +---=-+

-=⎰1ln )11

2()(2 c x x x f +---=∴1ln )(2

20. 求不定积分

dx x x ⎰

2

sin

1． c x x d x x d x

dx x

x +-===⎰⎰

⎰

cot 2csc

2sin 1

2sin

12

2

2

21．根据α的取值，讨论

∑

∞

=--+0

2

2n n n n α

．

解：令)

22(4

22-++=--+=

n n n n n n u n α

α 当21≤α时，

121≤+α且2

1

22

2

+

≥+⋅≥ααn

n n u n ，而由P 级数的收敛性得知：级数

∑

∞

=+

2

1

1n n

α