人教版八年级数学上册第11讲等腰三角形讲义(无答案)

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人教版八年级上册数学第十一章三角形教材分析课件(43张)

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11.1.2三角形的高、中线与角平分线
例．等腰三角形一腰上的中点与这边所对的顶点的连线把该等腰三角形的周长分为13.5 和10.5两部分，求这个等腰三角形个边的长。(9,9,7)(7,7,10) 易错易混：分类讨论、三边关系检验、方程思想教学建议：
变式训练：已知：在△ABC中，AB=AC，周长为16cm，AC边上的中线BD把△ABC
五、重点、难点及四基：
• 5．基本的数学思想：
• 类比的思想（如多边形的有关概念可类比三角形的有关概念给出）；
• 方程的思想（计算三角形的边、角时常用）；
• 转化的思想（如多边形的内角和转化为三角形的内角和，三角形的内角和转化为平角或同旁内角）；
五、重点、难点及四基：
• 数形结合的思想（以数定形，以形驭数）；
五、重点、难点及四基：
• 1．重点：画任意三角形的高、中线、角平分线，三角形三边关系，三角形的内角和定理及推论，多边形的内角和与外角和公式． • 2．难点：画钝角三角形的高，三角形三边关系的应用，三角形的内角和定理及推论的应用．
五、重点、难点及四基：
• 3．基础知识：与三角形有关的线段，有关的角，多边形的有关概念，多边形的内角和与外角和公式． • 4．基本技能：会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形，会画出任意三角形的高、中线、角平分线．会证明三角形内角和定理及推论，能灵活运用三角形的边与角知识进行线段、角度的计算。
三边关系定理
内角外角
内角和定理
六、教学建议：
3．加强推理能力的培养．
在本章中加强推理能力的培养，一方面可以提高学生已有的水平，另一方面又可以为握好教学要求．
(1)与三角形有关的一些概念在本章中只要求达到了解（认识）的程度就可以了，进一步的要求可通过后续学习达到．如三角形的角平分线交于一点为内心，三条中线交于一点为重心，高线所在直线交于一点为垂心．遇到就直接肯定这个结论，证明留以后．程度好的学生可以让他们动手量一量，寻找它们的特性，以获得感性认识，做到提前渗透。三条重要线段，要达到会画、会用（遇到知道往哪儿想）。

人教版八年级上册第11章三角形讲义(Word版,无答案)

人教版八年级上册第11章三角形讲义（Word版，无答案）第一讲三角形一、知识精讲三角形是最简单、最基本的几何图形，它不仅是研究其他图形的基础，而且在解决实际问题中也有着广泛的应用.本节知识包含：三角形三边关系定理、三角形内角和定理及推论，它们在线段、角度的计算、图形的计数，基本模型的变式等.二、典型例题【例1】已知△ABC中，∠CAB＞∠CBA，CD平分∠ACB，E为直线AB上一点，过E作E D垂直于C D，垂足为D．（1）当E与A重合时，如图 1，求证：∠BED=12(∠CAB－∠CBA)（2）当E在A B延长线上时，如图 2，（1）中的结论是否仍成立，写出证明过程．【练1】如图，∠D=40°，∠C=30°，A E、B E平分∠D A C、∠C B D，求∠A E B的度数.例2：如图已知点P为△ABC内任意一点，证明：PA+PB+PC＞12（AB+BC+AC)【练2】P是△ABC内一点，连接BP，PC延长BP交AC与点D .求证：AB+AC> PB+PC.图形归纳：【例3】如图，P A、P B分别平分△A O B的两个外角，A E⊥P B，求∠P A E.【练3】如图x轴、y轴分别平分∠DBC、∠EAD，求∠AED+∠BCD的值.【例4】如图1，△ABC中AD、AE分别为高、角平分线，F在BC的延长线上，过F作FG⊥AE于G且交AB于H.（1）求证：∠DAE=∠F；（2）求证：2∠DAE=∠ACB－∠B；（3）△ABC中，若∠ACB为钝角，其它条件不变，如图2，请画出图形并直接写出∠DAE、∠ACB、∠B之间的数量关系.【练4】已知在平面直角坐标系中，M、N分别为x轴、y轴上的两个动点，M在原点的左侧，N在原点的上方．(1)如图1，射线MO、NO平分∠BMC、∠DNC，∠BMC 与∠DNC的各边分别交于A、B、C、D，试判断∠BAD、∠C之间有何确定的数量关系？证明你的结论.（2）如图 2，ND平分∠MNO，ND交x轴于E，∠ FEO =13∠ NEF，且∠FMO =1n∠ NMF，∠MFE= 11.25°，求n的值．人教版八年级上册第11章三角形讲义（Word版，无答案）【例5】已知P为第四象限一动点，Q为x轴负半轴上一动点，R在P Q下方且为y轴负半轴上一动点．（1）如图 1，若P（2，－1），Q（－3，0），R（0，－5），求S△P Q R。

人教版八年级数学上册第11章《三角形》全章复习与巩固—知识讲解(提高)含习题答案

要点三、三角形的内角和与外角和
1.三角形内角和定理：三角形的内角和为 180°．推论：1.直角三角形的两个锐角互余 2.有两个角互余的三角形是直角三角形
2.三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
3.三角形的外角和：三角形的外角和等于 360°.
举一反三：
【变式】已知 a、b、c 是三角形三边长，试化简：|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|﹣|a-b+c|．
【答案】解：∵a、b、c 是三角形三边长，
∴b+c-a＞0，b-c-a＜0，c-a-b＜0，a-b+c＞0，
∴|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|-|a-b+c|，
=b+c-a-b+c+a-c+a+b-a+b-c =2b． 2.如图，O 是△ABC 内一点，连接 OB 和 OC．
类型三、与三角形有关的角
4.已知△ABC 中，AE 平分∠BAC （1）如图 1，若 AD⊥BC 于点 D，∠B=72°，∠C=36°，求∠DAE 的度数；（2）如图 2，P 为 AE 上一个动点（P 不与 A、E 重合，PF⊥BC 于点 F，若∠B＞∠C，则
∠EPF=
是否成立，并说明理由．
【思路点拨】（1）利用三角形内角和定理和已知条件直接计算即可；（2）成立，首先求出∠1 的度数，进而得到∠3 的度数，再根据∠EPF=180°﹣∠2﹣∠3 计算即可．【答案与解析】证明：（1）如图 1，∵∠B=72°，∠C=36°，
解：如图(1)，设 AB＝x，AD＝CD＝ 1 x ． 2

人教版八年级数学讲义等腰三角形“三线合一”的性质 (含解析)

第5讲等腰三角形“三线合一”的性质知识定位讲解用时：5分钟A、适用范围：人教版初二，基础较好；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要重点学习等腰三角形“三线合一”的性质。

我们知道等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形所有的性质外，还有许多特殊性，正是由于它的这些特殊性，使得它比一般三角形的应用更广泛。

因此，我们有必要把这部分内容学得更扎实。

知识梳理讲解用时：20分钟等腰三角形1、等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另外一条边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边和腰的夹角叫做底角。

2、等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等；（简写成“等边对等角”）（2）等腰三角形的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.（简写成“三线合一”）3、等腰三角形的判定方法：（1）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；（定义法）（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角对应的边也相等.（简写成“等角对等边”）AB C等边三角形我们知道等边三角形是特殊的等腰三角形，所以接下来要研究等边三角形的性质和判定！1、等边三角形的概念：在等腰三角形中，有一种特殊的等腰三角形——三条边都相等的三角形，我们把这样的三角形叫做等边三角形。

2、等边三角形的性质：（1）等边三角形的三条边都相等；（定义）（2）等边三角形的三个内角都相等，都等于60°；（3）等腰三角形“三线合一”的性质同样适用于等边三角形.3、等边三角形的判定方法：（1）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；（定义）（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.AB C课堂精讲精练【例题1】如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．【答案】BD=CE【解析】要证明线段相等，只要过点A作BC的垂线，利用三线合一得到P为DE及BC的中点，线段相减即可得证．证明：如图，过点A作AP⊥BC于P．∵AB=AC，∴BP=PC；∵AD=AE，∴DP=PE，∴BP﹣DP=PC﹣PE，∴BD=CE．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了等腰三角形的性质；做题时，两次用到三线合一的性质，由等量减去等量得到差相等是解答本题的关键；教学建议：熟练运用等腰三角形“三线合一”的性质.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习1.1】如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，求证：CE=AB．【答案】CE=AB【解析】先根据等腰三角形的性质，得到∠BAE=∠CAE，再根据平行线的性质，得到∠E=∠CAE，最后根据等量代换即可得出结论．证明：∵AB=AC，AD是BC边上的高，∴∠BAE=∠CAE．∵CE∥AB，∴∠E=∠BAE．∴∠E=∠CAE．∴CE=AC．∵AB=AC，∴CE=AB．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，解题时注意：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．教学建议：熟练运用等腰三角形“三线合一”的性质以及平行线的性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题2】如图，在△ABC中，AB=AC，点D，点E分别是BC，AC上一点，且DE⊥AD．若∠BAD=55°，∠B=50°，求∠DEC的度数．【答案】115°【解析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠C=50°，进而得到∠BAC=80°，由∠BAD=55°，得到∠DAE=25°，由DE⊥AD，进而求出结论．解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠B=50°，∴∠C=50°，∴∠BAC=180°﹣50°﹣50°=80°，∵∠BAD=55°，∴∠DAE=25°，∵DE⊥AD，∴∠ADE=90°，∴∠DEC=∠DAE+∠ADE=115°．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，垂直定义，熟练应用等腰三角形的性质是解题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形等腰对等角的性质以及三角形的内角和定理. 难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习2.1】已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成6cm和15cm的两部分，求这个三角形的腰和底边的长度．【答案】10cm，10cm，1cm【解析】根据题意，分两种情况进行分析，从而得到腰和底边的长，注意运用三角形的三边关系对其进行检验．解：①如图，AB+AD=6cm，BC+CD=15cm，∵AD=DC，AB=AC，∴2AD+AD=6cm，∴AD=2cm，∴AB=4cm，BC=13cm，∵AB+AC＜BC，∴不能构成三角形，故舍去；②如图，AB+AD=15cm，BC+CD=6cm，同理得：AB=10cm，BC=1cm，∵AB+AC＞BC，AB﹣AC＜BC，∴能构成三角形，∴腰长为10cm，底边为1cm．故这个等腰三角形各边的长为10cm，10cm，1cm．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这是解题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形的性质以及三角形的三边关系.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题3】如图，在△ACB中，AC=BC，AD为△ACB的高线，CE为△ACB的中线．求证：∠DAB=∠ACE．【答案】∠DAB=∠ACE【解析】根据等腰三角形的性质证明即可．证明：∵AC=BC，CE为△ACB的中线，∴∠CAB=∠B，CE⊥AB，∴∠CAB+∠ACE=90°，∵AD为△ACB的高线，∴∠D=90°．∴∠DAB+∠B=90°，∴∠DAB=∠ACE.讲解用时：3分钟解题思路：此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质解答．教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习3.1】如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AC 边上的一点，且∠CBE=∠CAD．求证：BE⊥AC．【答案】BE⊥AC【解析】根据等腰三角形的性质得出AD⊥BC，再得出∠CBE+∠C=90°．证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠CAD+∠C=90°，又∵∠CBE=∠CAD，∴∠CBE+∠C=90°，∴BE⊥AC．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合是解题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题4】如图所示，已知△ABC中，AB=AC，∠BAD=30°，AD=AE，求∠EDC的度数．【答案】15°【解析】可以设∠EDC=x，∠B=∠C=y，根据∠ADE=∠AED=x+y，∠ADC=∠B+∠BAD即可列出方程，从而求解．解：设∠EDC=x，∠B=∠C=y，∠AED=∠EDC+∠C=x+y，又因为AD=AE，所以∠ADE=∠AED=x+y，则∠ADC=∠ADE+∠EDC=2x+y，又因为∠ADC=∠B+∠BAD，所以2x+y=y+30，解得x=15．所以∠EDC的度数是15°．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了等腰三角形的性质，等边对等角．正确确定相等关系列出方程是解题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形等边对等角的性质.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习4.1】在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∠BAD=40°，AD=AE，求∠CDE的度数．【答案】20°【解析】根据等腰三角形的性质得到∠CAD=∠BAD=40°，由于AD=AE，于是得到∠ADE==70°，根据三角形的内角和即可得到∠CDE=90°﹣70°=20°．解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠CAD=∠BAD=40°，∠ADC=90°，又∵AD=AE，∴∠ADE==70°，∴∠CDE=90°﹣70°=20°．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质以及等边对等角的性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题5】如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，∠B=30°，连接AD．（1）若∠BAD=45°，求证：△ACD为等腰三角形；（2）若△ACD为直角三角形，求∠BAD的度数．【答案】（1）△ACD为等腰三角形；（2）60°或30°【解析】（1）根据等腰三角形的性质求出∠B=∠C=30°，根据三角形内角和定理求出∠BAC=120°，求出∠CAD=∠ADC，根据等腰三角形的判定得出即可；（2）有两种情况：①当∠ADC=90°时，当∠CAD=90°时，求出即可．（1）证明：∵AB=AC，∠B=30°，∴∠B=∠C=30°，∴∠BAC=180°﹣30°﹣30°=120°，∵∠BAD=45°，∴∠CAD=∠BAC﹣∠BAD=120°﹣45°=75°，∠ADC=∠B+∠BAD=75°，∴∠ADC=∠CAD，∴AC=CD，即△ACD为等腰三角形；（2）解：有两种情况：①当∠ADC=90°时，∵∠B=30°，∴∠BAD=∠ADC﹣∠B=90°﹣30°=60°；②当∠CAD=90°时，∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=120°﹣90°=30°；即∠BAD的度数是60°或30°．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定的应用，能根据定理求出各个角的度数是解此题的关键，用了分类讨论思想．教学建议：学会通过等角对等边证明三角形是全等三角形.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习5.1】如图，△ABC中BA=BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC于F交BC于E，求证：△DBE是等腰三角形．【答案】△DBE是等腰三角形【解析】首先根据等腰三角形的两个底角相等得到∠A=∠C，再根据等角的余角相等得∠FEC=∠D，同时结合对顶角相等即可证明△DBE是等腰三角形．证明：在△ABC中，BA=BC，∵BA=BC，∴∠A=∠C，∵DF⊥AC，∴∠C+∠FEC=90°，∠A+∠D=90°，∴∠FEC=∠D，∵∠FEC=∠BED，∴∠BED=∠D，∴BD=BE，即△DBE是等腰三角形．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查等腰三角形的判定和性质，关键是根据等腰三角形的基本性质及综合运用等腰三角形的性质来判定三角形是否为等腰三角形．教学建议：熟练掌握等腰三角形的判定和性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题6】如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点．【答案】M是BE的中点【解析】要证M是BE的中点，根据题意可知，证明△BDE△为等腰三角形，利用等腰三角形的高和中线向重合即可得证．证明：连接BD，∵在等边△ABC，且D是AC的中点，∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°，∠ACB=60°，∵CE=CD，∴∠CDE=∠E，∵∠ACB=∠CDE+∠E，∴∠E=30°，∴∠DBC=∠E=30°，∴BD=ED，△BDE为等腰三角形，又∵DM⊥BC，∴M是BE的中点．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查了等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和高三线合一的性质以及等边三角形每个内角为60°的知识．辅助线的作出是正确解答本题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质以及等边三角形的性质. 难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习6.1】如图，等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE⊥AC交BC 于点F，且DF=EF．（1）求证：CD=BE；（2）若AB=12，试求BF的长．【答案】（1）CD=BE；（2）4【解析】（1）先作DM∥AB，交CF于M，可得△CDM为等边三角形，再判定△DMF ≌△EBF，最后根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质，得出结论；（2）根据ED⊥AC，∠A=60°=∠ABC，可得∠E=∠BFE=∠DFM=∠FDM=30°，由此得出CM=MF=BF=BC，最后根据AB=12即可求得BF的长．解：（1）如图，作DM∥AB，交CF于M，则∠DMF=∠E，∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60°=∠CDM=∠CMD，∴△CDM是等边三角形，∴CD=DM，在△DMF和△EBF中，，∴△DMF≌△EBF（ASA），∴DM=BE，∴CD=BE；（2）∵ED⊥AC，∠A=60°=∠ABC，∴∠E=∠BFE=∠DFM=∠FDM=30°，∴BE=BF，DM=FM，又∵△DMF≌△EBF，∴MF=BF，∴CM=MF=BF，又∵AB=BC=12，∴CM=MF=BF=4．解题思路：本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作平行线，构造等边三角形和全等三角形，根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质进行求解．教学建议：熟练掌握等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题7】如图所示，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，过O作EF∥BC，若AB=12，AC=8，求△AEF的周长．【答案】20【解析】根据角平分线的定义可得∠OBE=∠OBC，∠OCF=∠OCB，再根据两直线平行，内错角相等可得∠OBC=∠BOE，∠OCB=∠COF，然后求出∠OBE=∠BOE，∠OCF=∠COF，再根据等角对等边可得OE=BE，OF=CF，即可得证．解：∵BO平分∠CBA，∴∠EBO=∠OBC，∵CO平分∠ACB，∴∠FCO=∠OCB，∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，∴BE=OE，CF=OF，∴△AEF的周长=AE+OE+OF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC，∵AB=12，AC=8，∴C=12+8=20．△AEF解题思路：本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，主要利用了角平分线的定义，等角对等边的性质，两直线平行，内错角相等的性质，熟记各性质是解题的关键.教学建议：熟练掌握等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质.难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习7.1】在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，若M为DE上的点，且BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，若△ADE的周长为20，BC=8，求△ABC的周长．【答案】28【解析】分别利用角平分线的性质和平行线的性质，说明DB=DM，EM=EC．把求△ABC的周长转化为△ADE的周长+BC边的长．解：∵BM平分∠ABC，∴∠ABM=∠CBM，∵DE∥BC，∴∠CBM=∠DMB，∴∠ABM=∠DMB，∴DB=DM．同理可证EM=CE∴AB+AC=AD+DB+AE+EC=AD+DM+ME+AE=AD+DE+AE∵△ADE的周长为20∴AB+AC=20∴△ABC的周长=AB+AC+BC=20+8=28．答：△ABC的周长为28．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质及等腰三角形的判定．本题的关键是利用平行线和角平分线的性质将△ABC的周长转化为△ADE的周长+BC边的长．教学建议：熟练掌握平行线的性质、角平分线的性质以及等腰三角形的判定. 难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题8】如图，D为等边三角形ABC内一点，将△BDC绕着点C旋转成△AEC，则△CDE是怎样的三角形？请说明理由．【答案】△CDE是等边三角形【解析】因为△ABC为等边三角形，所以△BDC绕着点C旋转60°成△AEC，则∠DCE=60°，DC=EC，故可判定△CDE是等边三角形．解：△CDE是等边三角形．理由：∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB=60°∴将△BDC绕着点C旋转成△AEC，旋转角为60°∴∠DCE=60°∴DC=EC∴△CDE是等边三角形．讲解用时：3分钟解题思路：本题利用了等边三角形的判定和性质，旋转的性质等知识解决问题．考查学生综合运用数学知识的能力．教学建议：熟练掌握等边三角形的判定和性质，了解“手拉手”模型.难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习8.1】已知，如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．请你说明△DEF是正三角形．【答案】△DEF是正三角形【解析】根据等边△ABC中AD=BE=CF，证得△ADE≌△BEF≌△CFD即可得出△DEF是等边三角形．解：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF，∴AE=BF=CD，又∵∠A=∠B=∠C=60°，∴△ADE≌△BEF≌△CFD（SAS），∴DF=ED=EF，∴△DEF是等边三角形．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形判定，根据已知得出△ADE≌△BEF≌△CFD是解答此题的关键．教学建议：熟练掌握等边三角形的判定和性质以及全等三角形的判定.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业1】如图，D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE，在图中找出一条与BE相等的线段，并说明理由．【答案】BE=CD【解析】根据等腰三角形的性质可得到两组角相等，再根据AAS可判定△ABE ≌△ACD，由全等三角形的性质即可证得BE=CD．解：BE=CD．理由如下：∵AB=AC，AD=AE，∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED．在△ABE与△ACD中，，∴△ABE≌△ACD，∴BE=CD．故答案为CD．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业2】如图，已知∠BAC=60°，D是BC边上一点，AD=CD，∠ADB=80°，求∠B的度数．【答案】80°【解析】先根据三角形外角的性质求出∠C的度数，再根据三角形内角和定理即可得出∠B的度数．解：∵∠ADB=80°又∵AD=CD∴∠DAC=∠C=40°，∴∠B=180°﹣∠BAC﹣∠C=180°﹣60°﹣40°=80°．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业3】已知：如图，AB=BC，∠A=∠C．求证：AD=CD．【答案】AD=CD【解析】连接AC，根据等边对等角得到∠BAC=∠BCA，因为∠A=∠C，则可以得到∠CAD=∠ACD，根据等角对等边可得到AD=DC．证明：连接AC，∵AB=BC，∴∠BAC=∠BCA．∵∠BAD=∠BCD，∴∠CAD=∠ACD．∴AD=CD．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业4】如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．判断DE=DB+EC是否成立？为什么？【答案】成立【解析】根据BF和CF分别平分∠ABC和∠ACB，和DE∥BC，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出DB=DF，FE=EC．然后即可得出答案．解：DE=DB+EC成立．理由如下：∵在△ABC中，FB和FC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠FCB，∵DE∥BC，∴∠DFB=∠FBC=∠DBF，∠EFC=∠FCB=∠ECF，∴DB=DF，FE=EC，∵DE=DF+FE，∴DE=BD+EC．讲解用时：3分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业5】如图，等边△ABC中，点D在延长线上，CE平分∠ACD，且CE=BD．说明：△ADE是等边三角形．【答案】△ADE是等边三角形【解析】由条件可以容易证明△ABD≌△ACE，进一步得出AD=AE，∠BAD=∠CAE，加上∠DAE=60°，即可证明△ADE为等边三角形．证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°，AB=AC，即∠ACD=120°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE=60°，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，又∵∠BAC=60°，∴∠DAE=60°，∴△ADE为等边三角形．讲解用时：3分钟难度： 4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018。

人教版数学八年级上册等腰三角形说课稿

•••••••••••••••••人教版数学八年级上册等腰三角形说课稿人教版数学八年级上册等腰三角形说课稿作为一名优秀的教育工作者，往往需要进行说课稿编写工作，写说课稿能有效帮助我们总结和提升讲课技巧。

优秀的说课稿都具备一些什么特点呢？下面是小编为大家收集的人教版数学八年级上册等腰三角形说课稿，仅供参考，欢迎大家阅读。

数学八年级上册等腰三角形说课稿1一、说教材１、教材的地位与作用等腰三角形是在学习了轴对称之后编排的，是轴对称知识的延伸和应用。

等腰三角形的性质及判定是探究线段相等、角相等及两条直线互相垂直的重要工具，在教材中起着承上启下的作用。

２、教学重点和难点本着新课程标准，在吃透教材基础上，我把探索等腰三角形的性质定为本节课的重点，通过创设问题和解决问题来突出重点。

把等腰三角形性质的建立定为本课的难点，通过折纸实验和小组合作探究来突破难点。

二、说教学目标１、学情分析我所教的学生，从认知的特点来看，好奇爱问，求知欲强，想象力丰富；并已初步具有对数学问题进行合作探究的能力。

２、三维目标根据教材结构和内容分析，考虑到学生已有的认知结构、心理特征，我制定如下目标：知识与技能目标：了解等腰三角形的概念，探索并掌握等腰三角形的性质，并会进行有关的论证和计算，以及运用所学的知识去解决实际问题。

过程与方法目标：通过对性质的探究活动和例题的分析，培养学生多角度思考问题的习惯，提高学生分析问题和解决问题的能力；使学生进一步了解发现真理的方法（探究——猜想——归纳——论证）。

情感态度与价值观目标：通过对等腰三角形的观察、试验、归纳，体验数学活动充满着探索性和创造性，数学就在我们身边。

在操作活动中，培养学生的合作精神，在独立思考的同时能够认同他人。

感受合作交流带来的成功感，树立自信心。

三、说教法与学法１、教法根据教材分析和目标分析，我确定本课主要的教法为探究发现法。

采用“问题情境—探索交流—猜想验证——建立模型”的模式安排教学，并在各个环节进行分层施教。

第十一章三角形讲义2021-2022学年人教版八年级数学上册

第十一章三角形讲义题型一、三角形的三边关系例1、下列长度的三条线段，能组成等腰三角形的是（）A．2 cm，2 cm，4 cm B．3 cm，4 cm，3 cmC．4 cm，4 cm，9 cm D．3 cm，4 cm，5 cm例2、若a、b、c是△ABC的三边的长，则化简|a－b－c|－|b－c－a|＋|a＋b－c|的结果是（）A．a＋b＋c B．－a＋3b－c C．a＋b－c D．2b－2c变式1、下列每组数据分别是三根木棒的长度,能用它们摆成三角形的是( )A．2 cm,5 cm,8 cm B．13 cm,12 cm,25 cm C．3 cm,3 cm,6 cm D．13 cm,12 cm,20 cm变式2、已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|a，b，c|，|b，a，c|，__________.变式3、如果将长度为a-2、a+5和a+2的三根线段首尾顺次相接可以得到一个三角形，那么a的取值范围是题型二、三角形的稳定性例1、下列选项中，有稳定性的图形是（）A．B．C．D．变式1、为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是．题型三、三角形中的线段例1、下列叙述正确的是（）①三角形的中线、角平分线都是射线②三角形的三条高线交于一点③三角形的中线就是经过一边中点的线段④三角形的三条角平分线交于一点⑤三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形．A．④⑤B．①②④C．②④D．④例2、如图3，AD 是△ABC 的角平分线，已知△C ＝80°，△B ＝40°，则△ADC 的度数为（）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°例3、如图4，已知CD 是△ABC 的中线，E 为CD 的中点，若△ABC 的面积为1，则△ACE 的面积为（）A．21 B ．31 C ．41 D ．51变式1、如图，在△ABC 中，∠1=∠2，G 为AD 中点，延长BG 交AC 于点Ｅ，Ｆ为AB 上一点，CF AD ⊥于Ｈ．下面判断正确的有（1）AD 是ABC ∆的角平分线（2）BE 是ABD ∆的AD 边上的中线（3）CH 为ACD ∆边AD 上的高线（4）AH 是ACF ∆的角平分线和高线变式2、如图，AD 是△ABE 边BE 上的中线，AE 是△ACD 边CD 上的中线，则图中面积相等的三角形有( )A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对变式3、如图，在△ABC 中，∠ABC =56º△∠ACB =44º△AD 是BC 边上的高，AE 是△ABC 的角平分线，求出∠DAE 的度数。

人教版八年级数学上册同步讲义等腰三角形的性质与判定(共10张PPT)

AB AC B C
轴对称第14课等腰三角形的性质与判定
等腰三角形顶角平分线、底边中线及底边上的高线三线合一：
等腰三角形, AD平分BAC BD CD, AD BC
等腰三角形, AD BC AD平分BAC, BD CD 等腰三角形, BD CD AD平分BAC, AD BC
C ABC AB AC BC C ABC 18 12 30
轴对称第14课等腰三角形的性质与判定
例4.已知等腰三角形一边上的中线将此等腰三角形的周长分为24cm和36cm,求此等腰三角形各边的长度. 解:设AD=x，BC=y，
2 x x 24 (1) x y 36
MOB OBC, NOC BCO
2.如图,在∠MON的两边上顺次取点,使DE=CD=BC=AB=OA,若∠MON=180,则∠NDE= 900
轴对称第14课等腰三角形的性质与判定
课堂同步练习 3.如图,∠BAC=1230,若DF和EG分别垂直平分AB和AC.求∠DAE的度数．
DBC C 900 CAE C 900
CBD CAE CBD 1 BAC 2
轴对称第14课等腰三角形的性质与判定
课堂同步练习 1.如图,已知△AMN的周长为18,∠B,∠C的平分线相交于点O,过O点的直线MN∥BC 交AB、AC于点M、N.则AB+AC= 18
x 8 y 28 三边分别为 16cm， 16cm， 28cm
2 x x 36 (2) x y 24
x 12 y 12
三边分别为24cm， 24cm， 12cm
例5.已知等腰三角形一个内角度数是另一个内角度数的2倍,求此等腰三角形各内角度数.

人教版八年级数学上册等腰三角形专题练习(无答案)

等腰三角形专题练习一、等腰三角形中分类问题.知识点：①无图；②边或角指代不明确；③三角形形状不确定．1．（1）等腰三角形一边长为4cm，周长为14cm，则另两边长为．（2）等腰三角形一边长为4cm，周长为16cm，则另两边长为_ ．2．（1）等腰三角形一角为40°，则另两角的度数为_ .（2）等腰三角形一外角为100°，则三个内角的度数为．3．等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则其顶角度数为．4．等腰三角形一腰上的高与腰边的夹角为40°，则这个三角形的顶角的度数为_．5．等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为50°，则其底角度数为_ _．6．等腰三角形的底边长为10cm，自底边的一个顶点作腰的中线，将这个三角形的周长分成两部分，如果一部分比另一部分长3cm，那么这个等腰三角形的腰长为．7．若两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形第三边所对的角之间的关系是.8.如图，已知直线m⊥直线n于点O，点A到m、n的距离相等，在直线m或n上确定一点P，使 OAP为等腰三角形．试回答：（1）符合条件的点P共有______ 个；（2）若符合条件的点P在直线m上，请直接写出∠OAP的所有可能的度数．二、等腰三角形中角度计算问题1．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝BD＝DA，则∠A＝．2．如图，△ABC中，AD＝AC，BE＝BC，且∠A＋∠B＝50°，则∠ECD＝_．3．如图，△ABC中，AB＝AC＝CE，且AE＝BE，AD⊥BC于D，则∠BAD＝．4．如图，△ABC中，D、E是BC上的点，且分别在AB、AC的垂直平分线上，若∠BAC＝110°，则∠DAE＝．5．如图，等边△ABC中，BD中线，延长BC至E使CE＝CD，则∠E＝．6．如图，等边OABC中，DA＝DB，∠DBE＝∠DBC，且BE＝BA，则∠E＝．三、等腰三角形中周长问题知识点：等覆三角形、垂直平分战等性质的应用，关键是相等边的转换1．△ABC中，AB＝AC，AC＋BC＝13．DE垂直平分AB，则△BCE的周长为_ _．2．BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D作EF∥BC，EF＝8cm，则BE＋CF＝_．3．BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，DE∥BC，DF∥AC，若BC＝10 cm，则△DEF的周长为_ _．4．△ABC中，D、E在BC上，且D、E分别在AB、AC的垂直平分线上，△ADE周长为10cm，则BC=_ ．5．等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，DE⊥BC，若BC＝18cm，则△CDE的周长为__6．如图，将一块长方形的纸片ABCD沿BD翻折后，点C与E重合；若∠ADB＝30°，EH＝4cm，BC = . 7．如图，∠MAN=16°，A1点在AM上，在AN上取一点A2，使A2A1=AA1，再在AM上取一点A3使A3A2=A2A1，如此一直作下去，到不能再作为止．那么作出的最后一点是8．如图，已知∠AOB＝15°，点M在边OB上，且OM＝4，点N和点P分别是OM和OA上的一个动点，则PM+PN的最小值为 .9．点C为∠AOB内一点．（1）在OA上求作点D，OB上求作点E，使△CDE的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若∠AOB＝30°，OC＝10，求△CDE周长的最小值和此时∠DCE的度数．10 .如图，△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°．点D在线段BC上运动(点D不与B、C重合)，连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．(1)当∠BAD=20°时，∠EDC=_____°；(2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE？试说明理由；(3)△ADE能成为等腰三角形吗？若能，请求出此时∠BAD的度数；若不能，请说明理由．。

人教版八年级数学 13.3等腰三角形(学习、上课课件)

等边对等角
感悟新知
知2－练
(3)若BC=3 cm，求BD 的长. 解：∵AB=AC，AD 平分∠ BAC，∴ AD 是BC 边上的
中线.∴ BD= 12BC= 12×3 =1.5(cm)
由角平分线得到中线
感悟新知
2-1. 如图，在△ ABC 中，AB=AC，AD， CE 分别是△ ABC 的中线和角平分线，相交于点O.
知2－讲
感悟新知
知2－讲
3. 对称性：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(或底边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴．拓展延伸：等腰三角形的其他性质 (1)等腰三角形两腰上的中线、高分别相等； (2)等腰三角形两底角的平分线相等； (3)等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等；
Hale Waihona Puke 感悟新知感悟新知感悟新知
知2－讲
2. 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边
上的高相互重合( 简写成“三线合一”).
特别解读 (1)必须是等腰三角形； (2) 必须是底边上的中线、底边上的高和顶角的平分
线才相互重合. 2.作用：是证明线段相等、角相等、线段垂直等关
系的重要方法. 3.知道其中“一线”，就可以说明是其他“两线”.
感悟新知
几何语言：如图13 .3 -3，在△ ABC 中， (1)∵ AB=AC，AD ⊥ BC， ∴ AD 平分∠ BAC(或BD=CD)； (2)∵ AB=AC，BD=DC， ∴ AD ⊥ BC(或AD 平分∠ BAC)； (3)∵ AB=AC，AD 平分∠ BAC， ∴ BD=DC(或AD ⊥ BC)．
知2－练
感悟新知
知2－练
(1)若△ ABC 的面积是20，且BC=4，求AD 的长；解：∵AD 是△ABC 的中线，AB＝AC，∴AD⊥BC. ∵△ABC 的面积是 20，且 BC＝4， ∴12BC·AD＝20，即12×4·AD＝20，解得 AD＝10.

人教版八年级上册13.3.1《等腰三角形》

《等腰三角形》◆教材分析本节课是在前面学习了三角形的有关概念及性质、轴对称变换、全等三角形、垂直平分线和尺规作图的基础上，研究等腰三角形的定义及其重要性质，它既是前面所学知识的延伸，也是后面直角三角形、等边三角形的知识的重要储备，我们常常利用它证明角相等、线段相等、两直线垂直，因此本节课具有承上启下的重要作用。

◆教学目标【知识与能力目标】1、理解并掌握等腰三角形的性质。

2、会运用等腰三角形的概念和性质解决有关问题。

3、观察等腰三角形的对称性、发展形象思维。

4、探索等腰三角形的判定定理【过程与方法目标】1、通过实践、观察、证明等腰三角形的性质，培养学生的推理能力。

2、通过运用等腰三角形的性质解决有关的问题，提高运用知识和技能解决问题的能力，发展应用意识。

3、探索等腰三角形的判定定理,进一步体验轴对称的特征,发展空间观念【情感态度价值观目标】1、引导学生对图形的观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲。

2、在运用数学知识解决问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。

3、感受图形中的动态美、和谐美、对称美，感受合作交流带来的成功感，树立自信心。

4、通过对等腰三角形的判定定理的探索,让学生体会探索学习的乐趣,并通过等腰三角形的判定定理的简单应用,加深对定理的理解.从而培养学生利用已有知识解决实际问题的能力【教学重点】1、等腰三角形的概念和性质及其应用。

2、等腰三角形的判定定理及其应用【教学难点】1、等腰三角形的性质的证明。

2、探索等腰三角形的判定定理◆教学过程一、情景导入：师：日常生活中，我们会经常看到一些美丽的图案，其中一些是平面几何图形，接下来我们观察几幅图片，说一说你们看到了什么图形？（课件向学生展示平常见到的有关等腰三角形的图片）学生观察一组图片，回答问题。

【设计意图】使学生能从实际生活中抽象出等腰三角形，初步感知等腰三角形在实际生活中的广泛应用，用美丽的画面激发学生的求知欲。

培养学生勤观察，肯思考的学习习惯。

人教版八年级数学上册 13.3.1等腰三角形课件(共15张PPT)

设 ∠ A=x,则 ∠BDC=∠ A+∠ABD=2x,
从而 : ∠ABC=∠C=∠BDC=2x. 于是在△ABC 中,有
∠ A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180° 解得: x=36 °
在△ABC 中,∠A= 36 °, ∠ABC=∠C =72°.B
A D C
轴对称图形
两个底角相等，简称“等边对等角”
对应角相等）
12
D
C
你还有其它的方法吗？
第二种 A
第三种 A
┌
B
D
C
作△ABC的高线AD，垂直底边BC于D。

B
D
C
作△ABC的中线AD，交底边BC于D。
A
等腰三角形性质1
等腰三角形的两个底角相等。
简称等边对等角 B
C
1、文字语言
等腰三角形的
两个底角相等。
2、符号语言
∵AB=AC ∴∠B=∠C
(1)∵AD⊥BC,
∴∠ BAD =∠CAD ,
BD = CD ;
(2)∵AD是中线，
∴ AD ⊥BC ，
∠BAD =∠CAD ；
（3）∵AD是角平分线，
∴ AD ⊥ BC ，
B
BD = CD 。
A
D
C
如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上, 且BD=BC=AD.求△ABC各角的度数.
解:∵AB=AC,BD=BC=AD ∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠ A=∠ABD（等边对等角）.
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/8/122021/8/122021/8/122021/8/128/12/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月12日星期四2021/8/122021/8/122021/8/12 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月2021/8/122021/8/122021/8/128/12/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/8/122021/8/12August 12, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/8/122021/8/122021/8/122021/8/12

人教版八年级数学上册《等腰三角形》课件

一二
1.等腰三角形的边、角的计算【例 1】已知一个等腰三角形的两角分别为(2x-2)°,(3x-5)°,求这个等腰三角形各角的度数.
关闭
应考虑 3 种情况,即(2x-2)°作顶角或(3x-5)°作顶角或(2x-2)°和(3x-5)°
均不是顶角.
关闭
(1)若 2x-2=3x-5,得 x=3. 故三角形的三个内角分别为 4°,4°,172°; (2)若 2(2x-2)=180-(3x-5),得 x=27. 故三角形的三个内角分别为 52°,52°,76°; (3)若 2(3x-5)=180-(2x-2),得 x=24. 故三角形的三个内角分别为 46°,67°,67°.
解析答案
1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” 2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月下午4时41分21.11.716:41November 7, 2021 7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观
B.110° D.115°
关闭
C
答案
1
2
3
4
5
6
3.下列性质中,等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是
( ). A.两边之和大于第三边 B.有一个角的平分线垂直于这个角的对边 C.有两个锐角的和等于 90° D.内角和等于 180°
关闭
B
答案

人教版八年级数学上册等腰三角形课件

140°
三、研学教材
知识点二证明等腰三角形的性质1和性质2
例1、如图，△ABC中，AB＝AC, A 求证：∠B＝∠C.
证明：作底边BC的中线AD，
∵AD是BC的中线
∴__B_D_=__C_D_ 中线的定义
（
）B
C
在△AB=AADC与△CAD中
D
B_D_=_C_D_______
_________公__共边
三、研学教材
1、如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC, ∠BAD＝26°.求∠B,∠C的度数.
解：∵在△ABD中，AB=AD， ∠BAD＝26°， ∴ ∠B= ∠ADB＝（180°－26°）÷2
＝77°（等边对等角）又∵在△ACD中，AD=DC, ∠ADB＝ ∠C+ ∠ DAC ＝77° ∴ ∠C= ∠ DAC＝77°÷2
＝38.5°（等边对等角）.
四、归纳小结
1、__有__两__边__相__等__ 的三角形叫做等腰三角形.
2、等腰三角形的两个底角__相__等___ ；等腰三角形_顶__角__平__分__线_____ 、 _底__边__上__的__中__线__ 、__底__边__上__的__高___相互重合；等腰三角形是__轴__对__称___图形，它的对称轴是底__边__上__的__中__线__（__顶__角__平__分__线__、__底__边__上__的__高）
三、研学教材 ∴_△__A_B_D__≌__△__C_A_D____( SSS )
∴∠B＝∠C（全等三角形的对应角相等）
三、研学教材
2、如图，△ABC中，AB＝AC, BD=CD. 求证：AD⊥BC且∠BAD＝∠CAD. 证明：由上题证明得△BAD≌△CAD ∴∠_B_A_D__＝∠_C_A_D__

人教版八年级数学上册 13.3等腰三角形(无答案)

13.3等腰三角形知识点一等腰三角形1.等腰三角形的性质（1）性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．（2）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．（3）等腰三角形的其他性质：①等腰三角形两腰上的中线、高分别相等．②等腰三角形两底角的平分线相等．③等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．④当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°．2.等腰三角形的判定（1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形；（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．（3）注意：①“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”．②“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．典例1 如图，AD⊥BC，D是BC的中点，那么下列结论错误的是A．△ABD≌△ACD B．∠B=∠CC．△ABC是等腰三角形D．△ABC是等边三角形典例2已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60︒，则这个等腰三角形的顶角是A．30︒B．60︒C．150︒D．30︒或150︒典例3 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，E是AB上的一点，EF∥AD交CA的延长线于F．求证：△AEF是等腰三角形．知识点二等边三角形1.等边三角形的概念：三边都相等的三角形是__________三角形．2.等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于__________．注意：（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；（2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质．3.等边三角形的判定（1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形．（2）三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．典例4 下列推理中，错误的是A．∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形B．∵AB=AC，且∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形C．∵∠A=60°，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形D．∵AB=AC，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形典例5 如图，已知OA=5，P是射线ON上的一个动点，∠AON=60°．当OP=__________时，△AOP为等边三角形．知识点三含30°角的直角三角形的性质1.一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．2.注意：（1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没这个性质，更不能应用．（2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系．（3）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题．典例6 在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A=30°，AE=6 cm，那么CE等于A．4 cm B．2 cmC．3 cm D．1 cm课堂练习：1．等腰三角形的一个内角是80︒，则它顶角的度数是A．80︒B．80︒或20︒C．80︒或50︒D．20︒2．一个等边三角形的对称轴共有A．1条B．2条C．3条D．6条3．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A等于A ．30°B ．40°C ．45°D ．36°4．如图，在△ABC 中，∠B =30°，ED 垂直平分BC ，ED =3．则CE 长为A ．6B ．9C ．3D ．85．如图，△ABC 是等边三角形，P 为BC 上一点，在AC 上取一点D ，使AD =AP ，且∠APD =70°，则∠PAB 的度数是A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°6.如图，四边形ABCD 是正方形，△PAD 是等边三角形，则∠BPC 等于A ．20°B ．30°C ．35°D ．40°7.如图，在等腰Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，在BC 上截取BD BA =，作ABC ∠的平分线与AD 相交于点P ，连接PC ，若ABC △的面积为28cm ，则BPC △的面积为A ．24cmB ．25cmC ．26cmD ．27cm 8.如图，AD ，CE 分别是△ABC 的中线和角平分线．若AB =AC ，∠CAD =20°，则∠ACE 的度数是A ．20°B ．35°C ．40°D ．70°9.若实数m 、n 满足|2|0m -=，且m 、n 恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长是A ．12B ．10C ．8D ．610.已知等腰三角形的一个外角为130︒，则它的顶角的度数为__________．11.如图，将Rt ABC △绕直角顶点C 顺时针旋转90°，得到DEC △，连接AD ，若25BAC ∠=︒，则BAD ∠=__________．12.如图，△ABC 中，AB =14，AM 平分∠BAC ，∠BAM =15°，点D 、E 分别为AM 、AB 的动点，则BD +DE 的最小值是__________．13.如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，D 是AB 上的点，过点D 作DE AB ⊥交BC 于点F ，交AC 的延长线于点E ，连接CD ，DCA DAC ∠∠=，则下列结论正确的有__________（将所有正确答案的序号都填在横线上）．①DCB B ∠=∠；②12CD AB =；③ADC △是等边三角形；④若30E ∠=︒，则DE EF CF =+．14.如图，在ABC △中，AB AC D =，为BC 的中点，35BAD ∠=︒，则C ∠=__________．15.等腰三角形的一腰的中线把三角形的周长分成16 cm 和12 cm ，则等腰三角形的底边长为______．16.如图，已知在△ABC 中，AB =AC ，O 是△ABC 内一点，且OB =OC ，试说明：AO ⊥BC ．17.如图，在△ABC 中，AB AC =，AD 是BC 边上的中线，BE AE ⊥于E ，试说明CBE BAD ∠=∠．18.已知在△ABC中，AB=5，BC=2，且AC的长为奇数．（1）求△ABC的周长；（2）判断△ABC的形状．19.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，分别以AB，AC为边作两个等腰三角形ABD和ACE，且AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°．人教版八年级数学上册13.3等腰三角形（无答案）（1）求∠DBC的度数．（2）求证：BD=CE．20.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，DE是AC的垂直平分线．（1）求证：△BCD是等腰三角形；（2）△BCD的周长是a，BC=b，求△ACD的周长（用含a，b的代数式表示）11/ 11。

人教版八年级数学上册 第11讲 等腰三角形 讲义(无答案)

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