集合与命题专题-历年上海高考真题
沪教版(上海) 高一第一学期 新高考辅导与训练 第1章 集合和命题 1.5 命题的形式及等价关系(1
沪教版(上海) 高一第一学期新高考辅导与训练第1章集合和命题 1.5 命题的形式及等价关系（1）一、解答题(★) 1. 下列语句是否为命题？如果是，判断它的真假．（1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）；（4）；（5）91不是素数；（6）上海的空气质量越来越好．(★★) 2. 判断下列命题是真命题还是假命题，并说明理由．（1）任何一个集合必有两个子集；（2），，都是自然数，如果是的倍数，那么，中至少有一个是的倍数；（3）如果，BÜ C，那么．(★) 3. 在下列各题中，用符号“ ”把，连起来．（1）实数满足，或；（2），且；（3），；（4）是偶数，是偶数（其中，都是整数）．(★★) 4. 已知与均为正有理数，且与均为无理数．证明：也是无理数．(★) 5. 判断下列命题的真假并说明理由．（1）某个整数不是偶数，则这个数不能被4整除；（2）若，且，则，且；（3）合数一定是偶数；（4）若，则；（5）两个三角形两边一对角对应相等，则这两个三角形全等；（6）若实系数一元二次方程满足，那么这个方程有两个不相等的实根；（7）若集合，，满足，则；（8）已知集合，，，如果，那么．(★) 6. 已知下列几个命题的推出关系为：，，，，．现有下列命题：① ；② 且；③ 且；④ 且．试判断哪些命题是正确的．(★) 7. 设是方程的根，求证：不是实数．二、单选题(★) 8. 下列语句中不是命题的是（）A．B．是无限循环小数C．D．12是4的倍数(★) 9. 已知下列语句：①对角互补的四边形外接于一个圆；②今天会下雨吗；③你会讲日语吗；④ 是有理数，则，都是有理数；⑤ 或．其中不是命题的是（）A．①②B．②③C．②④D．③⑤(★★★) 10. 下面命题中，真命题的个数是（）① ，若，则；② ，若，则，都为0；③两个有理数的和是有理数；④ 或，则．A．1B．2C．3D．4(★) 11. 命题与命题，它们的推出关系是（）A．B．C．D．以上都不正确(★★) 12. 下列命题是真命题的为（）A．若,则B．若,则C．若,则D．若,则三、填空题(★★) 13. 用符号“ ”“ ”“ ”表示下列事件的推出关系：（1），，________ ；（2），，________ ；（3）设抛物线方程为，抛物线的图象与轴有两个交点，，________ ；（4），，________ ．(★) 14. 下列命题中，真命题是________．①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②对角线相等的四边形是矩形；③对角线互相平分且垂直的四边形是菱形；④对角线互相垂直且相等的四边形是正方形。
(完整版)集合有关近年高考题50道及答案解析
【经典例题】【例1】(2009年广东卷文)已知全集U R =，则正确表示集合{1,0,1}M =-和{}2|0N x x x =+=关系的韦恩（Venn ）图是 ( )【答案】B【解析】 由{}2|0N x x x =+=，得{1,0}N =-，则N M ⊂,选B.【例2】(2011广东)已知集合{(,)|,A x y x y =为实数，且}221,x y +={(,)|,B x y x y =为实数，且},AB y x =则的元素个数为 （ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 【答案】C【解析】A 为圆心在原点的单位圆，B 为过原点的直线，故有2个交点，故选C.【例3】（2010天津理）设集合A={}{}|||1,,|||2,.x x a x R B x x b x R -<∈=->∈若A ⊆B ，则实数a,b 必满足( ) A 、||3a b +≤ B 、||3a b +≥ C 、||3a b -≤ D 、||3a b -≥【答案】D【解析】A=｛x|a-1<x<a+1｝,B={x|x<b-2或x>b+2}，因为A ⊆B,所以a+1≤b-2或a-1≥b+2，即a-b ≤-3或a-b ≥3，即|a-b|≥3【例4】（2009广东卷理）已知全集U R =，集合{212}M x x =-≤-≤和{21,1,2,}N x x k k ==-=的关系的韦恩（Venn ）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 ( )A. 3个B. 2个C. 1个D. 无穷多个 【答案】 B【解析】 由{212}M x x =-≤-≤得31≤≤-x ，则{}3,1=⋂N M ，有2个，选B. 【例5】（2010天津文）设集合{}{}A x||x-a|<1,x R ,|15,.A B B x x x R =∈=<<∈⋂=∅若，则实数a 的取值范围是 ( ) A 、{}a |0a 6≤≤ B 、{}|2,a a ≤≥或a 4C 、{}|0,6a a ≤≥或aD 、{}|24a a ≤≤ 【答案】 C【解析】由|x-a|<1得-1<x-a<1,即a-1<x<a+1.如图由图可知a+1≦1或a-1≧5，所以a ≦0或a ≧6.【例6】（2012大纲全国）已知集合{}{}1,3,,1,,A m B m A B A ==⋃=，则m = （ ）A 、0或3B 、0或3C 、1或3D 、1或3 【答案】B 【解析】A B A ⋃= B A ∴⊂，{}{}1,3,,1,A m B m ==m A ∴∈，故m m =或3m =，解得0m =或3m =或1m =，又根据集合元素的互异性1m ≠，所以0m =或3m =。
2013-2018年上海高考试题汇编-集合、命题、不等式
集合、命题和不等式考试大纲高考分析（1）单纯的集合交并补运算一般在填空题的前两个位置，但是集合是后面叙述函数，数列、解析几何、立体几何和排列组合的语言，所以要深刻理解集合的元素的性质，（2）逆否命题涉及到反证法，正难则反的逆向思维方法，在后面章节，尤其是计数原理、概率计算部分应用很（3）充分条件与必要条件一般在不等式、复数、数列等知识背景下的考察，需能区分充分条件与必要条件，能转化为推出关系，一般都在选择题中考一个，（4）在与数列，解析几何、立体几何等其他问题结合时要注意不等式有解，恒成立问题的识别，比如2017春18考了不等式恒成立问题，2014年理23题就是数列与不等式恒成立近五年上海高考真题汇编一、填空题（2018春1）不等式1x >的解集为__________． 答案：(,1)(1,)-∞-+∞（2018春3）设集合{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，则A B =__________．答案：(0,1)（2017秋1）已知集合}4,3,2,1{=A ，集合}5,4,3{=B ，则___=B A 答案：{}3,4（2017秋3）不等式11>-xx 的解集为_______ 答案：(),0-∞（2017秋12）如图，用35个单位正方形拼成个矩形，点4321,,,P P P P 以及四个标记为“∆”的点在正方形的顶点处，设集合{}4321,,,P P P P =Ω，点Ω∈P ，过P 作直线P l ，使得不在P l 上的“∆”的点分布在P l 的两侧；用)(1P l D 和)(2P l D 分别表示P l 一侧和另一侧的“∆”的点到P l 的距离之和；若过P 的直线P l 中有且只有一条满足)()(21P P l D l D =，则Ω中所有这样的P 为_____答案：134,,p p p 解析：K 到直线与L 到直线的距离之差等于C 到直线的距离的2倍K 到直线l 的距离等于C 到直线l 的距离的2倍 证：过2P 的任意一条直线l 都满足条件四边形ABCD 为平行四边形，2P 是,AC BD 的交点，过2P 的任意一条直线l ，由5528,P P 到直线l 的距离之和等于D 到直线l 的距离的两倍；同理1241,P P 到直线l 的距离之和等于B 到直线l 的距离的两倍；而由于2P 为BD 的中点，故B D 、到直线l 的距离相等（2017春1）设集合{}1,2,3A =，集合{}3,4B =，则A B =________ 答案：{}1,2,3,4（2017春2）不等式13x -<的解集为_____ 答案：()2,4-（2016理文1）设x R ∈，则不等式31x -<的解集为_______答案：()2,4（2015理1文2）设全集U R =，若集合{}{}1,2,3,4,|23A B x x ==≤<，则U AB =ð____ 答案：{}1,3,4(2013理12)设a为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x=++，若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为________ 解析：由()y f x =是定义在R 上的奇函数知(0)0f =，01a ≥+，1a ≤-（1-1）当0x >时，()()()229797a a f x f x x x x x ⎡⎤=--=--++=+-⎢⎥-⎣⎦，2971a x a x +-≥+，2239a a x x -⨯≥+，82371,7a a a -⨯-≥+≤-（1-2） 结合（1-1）和（1-2），得88,,77a a ⎛⎤≤-∈-∞-⎥⎝⎦二、选择题（2018秋14）已知a ∈R ，则“1a >”是“11a<”的（ ）． （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 【解析】（A ）（2018春15）记n S 为数列{}n a 的前n 项和．“{}n a 是递增数列”是“n S 为递增数列”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件答案：D（2017秋15）已知数列*2,N n c bn an x n ∈++=，使得k k k x x x +++300200100,,成等差数列的必要条件是 （ ）A. 0≥aB. 0≤bC. 0=cD. 02=+-c b a 答案：A（2017秋16）已知点P 在椭圆1436:221=+y x C ，点Q 在椭圆19:222=+x y C 上，O 为坐标原点，记OQ OP ⋅=ω，集合(){},|P Q OP OQ ω=⋅，当ω取得最大值时，集合中符合条件的元素有几个 （ ）A. 2个B. 4个C. 8个D. 无数个 答案：D（2017春14）设a R ∈，“0a >”是“10a>”的（ ）条件 A 、充分非必要 B 、必要非充分 C 、充要 D 、既非充分有非必要 答案：C（2016理15）设a R ∈，则“1a >”是“21a >”的（ ）． A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件C 、充要条件D 、即非充分又非必要条件 答案：A（2015理15）设12,z z C ∈，则“12z z 、中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ）． A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件C 、充要条件D 、即非充分又非必要条件 答案：B（2014理15）设,a b ∈R ，则“4a b +>”是“2a >且2b >”的（ ） (A) 充分条件. (B) 必要条件.(C) 充分必要条件.(D) 既非充分又非必要条件.答案：B（2013理15文16）设常数a R ∈，集合{|A x =(1)(x x -)a -0}≥，{|1}B x x a =≥-．若A B R =，则的取值范围为（ ）答案：B（2013文15理15）设常数a R ∈，集合()(){}{}10,1A x x x a B x x a =--≥=≥-，若a .A (,2)-∞.B (,2]-∞.C (2,)+∞.D [2,)+∞A B R =，则a 的取值范围为（ ）． A ．(),2-∞ B ．(],2-∞ C ．()2,+∞ D ．[)2,+∞答案：B（2013理16）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ）．.A 充分条件 .B 必要条件.C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件答案：B 三、解答题（2017秋21）已知函数)(x f 满足：（1）R x ∈；（2）当21x x <时，)()(21x f x f ≤； （1）若1)(3+=ax x f ，求a 的范围；（2）若)(x f 是周期函数，求证：)(x f 是常值函数；（3）若)(x g 是R x ∈上的周期函数，且0)(>x g ，且)(x g 最大值为M ,)()()(x f x g x h ⋅=，求证：)(x h 是周期函数的充要条件是)(x f 是常值函数； 证：（3）必要性若()h x 是周期函数，记其一个周期为h T ，(){}A x g x M ==①若存在0x ，使得()00f x =，进而()00h x =，由()h x 的周期性，知()00,h h x kT k Z +=∈，而()g x 恒大于0，故()00h f x k T+=，所以对任意()00,1h h x x kT x k T ∈+++⎡⎤⎣⎦，再利用()f x 的单调增性可知，()0f x =恒成立②若存在1212,,x x x x >，使得()()120,0f x f x ><，则由题可知，12x x >，那么必然存在正整数1N 使得21k x N Tx +>，∴()()211k f x N T f x +>，因为()()212k h x N T h x +=，但是 ()()()2121210k k k h x N T f x N T g x N T +=++>，()()()2220h x f x g x =<，矛盾综上，()0f x =恒成立或()0f x >恒成立或()0f x <恒成立③若()0f x >恒成立，第一步：任取0x A ∈，则必存在2N N ∈，使得020k g x N T x T -≤-，即[]00020,,g h x T x x N T x ⎡⎤-⊆-⎣⎦，()()()()()()000020202h h h h x g x f x h x N T g x N T f x N T ==-=--，∵()()002h g x M g x N T =≥- ，故()()002h f x f x N T ≤-， 再由单调性可知()()()0020h g f x f x N T f x T =-=-，第二步：用0g x T -代替第一步中的0x ，同理可得()()002g g f x T f x T -=-， 再用0g x T +代替第一步中的0x ，同理可得()()00+g f x T f x =，依次下去，可得()()()()()()000000322g g g g g f x T f x T f x T f x f x T f x T =-=-=-==+=+=利用单调性，可得()f x 为常数；④若()0f x <恒成立第一步：任取0x A ∈，则必存在3N N ∈，使得003g k x T x N T +≤+，即[]00002,g h x x T x x N T ⎡⎤+⊆+⎣⎦，，()()()()()()000030303h h h h x g x f x h x N T g x N T f x N T ==+=++，∵()()003h g x M g x N T =≥+ ，故()()003h f x f x N T ≥+， 再由单调性可知()()()0030h g f x f x N T f x T =+=+，第二步：用0g x T -代替第一步中的0x ，同理可得()()002g g f x T f x T +=+， 再用0g x T +代替第一步中的0x ，同理可得()()00g f x T f x -=，依次下去，可得()()()()()()000000322g g g g g f x T f x T f x T f x f x T f x T =-=-=-==+=+=利用单调性，可得()f x 为常数；（2016理23）若无穷数列{}n a 满足：只要*(,)p q a a p q N =∈，必有11p q a a ++=，则称{}n a 具有性质P .（1）若{}n a 具有性质P ，且12451,2,3,2a a a a ====，67821a a a ++=，求3a ； （2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ==，5181b c ==，n n n a b c =+判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；（3）设{}n b 是无穷数列，已知*1sin ()n n n a b a n N +=+∈.求证：“对任意1,{}n a a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”.答案：（1）316a =；（2）由于15a a =，但26a a ≠，故{}n a 不具有性质P ；（3）证明： 必要性：若对于任意1a ，{}n a 都具有性质P ，则211sin a b a =+，设函数()()1,sin ,f x x b g x x =-= 由()(),f x g x 图像可得，对于任意的1b ，二者图像必有一个交点，所以一定能找到1a ，使得111sin a b a -=，所以2111sin a b a a =+=，所以1n n a a +=，故1211sin sin n n n n n n b a a a a b ++++=-=-=，故{}n b 是常数列（2017春18）设a R ∈，函数()221x x a f x +=+，（1）求a 的值，使得()f x 是奇函数； （2）若()22a f x +<对任意x R ∈成立，求a 的取值范围. 参考答案：（1）由()f x 的定义域为R ，且()f x 是奇函数，可得()00f =，即102a+=，解得1a =-， 此时()2121x x f x -=+，()()21122112x xx xf x f x -----===-++，即1a =-时，()f x 是奇函数；（2）()22a f x +<对任意x R ∈成立，即为22221x x a a ++<+对任意x R ∈成立， 等价于1221x a a-<+对任意x R ∈成立，（2014年理23）已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤，*n ∈N ，11a =.(1)若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围； (2)设{}n a 是公比为q 的等比数列，12n n S a a a =+++. 若1133n n n S S S +≤≤，*n ∈N ，求q 的取值范围； (3)若12,,,k a a a 成等差数列，且121000k a a a +++=，求正整数k 的最大值，以及k 取最大值时相应数列12,,,k a a a 的公差.答案：（1）由条件得263x ≤≤且933xx ≤≤，解得36x ≤≤．所以x 的取值范围是[3,6]x ∈．（2）由133n n a a ≤，且110n n a a q -=≠，得0n a >，所以113n n S S +≤．又1133n n n a a a +≤≤，所以133q ≤≤．当1q =时，nS n =，11n Sn +=+，由13n n +≤得13n n S S +≤成立．当1q ≠时，13n n S S +≤．即111311n nq q q q+--≤⋅--． ① 若13q <≤，则(3)2n q q -≥．由nq q ≥，n N *∈，得(3)2q q -≥，所以12q <≤． ② 若113q ≤<，则(3)2n q q -≤．由n q q ≤，n N *∈，得(3)2q q -≤，所以113q ≤<．综上，q 的取值范围为1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （3）设12,,k a a a 的公差为d ．由1133n n n a a a +≤≤，且11a =，得1[1(1)]13[1(1)]3n d nd n d +-≤+≤+-，1,2,,1n k =-．即(21)(23)2,n d n d +≥-⎧⎨-≥-⎩ 1,2,,1n k =-． 当1n =时，223d -≤≤； 当2,,1n k =-时，由222123n n -->+-，得221d n -≥+，所以22213d k -≥≥--． 所以()()111210002221k k k k ka d k k ---=+≥+⋅-，即2200010000k k -+≤，得1999k ≤． 所以k 的最大值为1999，1999k =时，12,,k a a a 的公差为11999-．。
上海高考数学真题赏析-集合.doc
上海高考数学真题赏析-集合上海高考数学试题分类汇编——集合(2000-2012) (2000,理)15.若集合S y | y 3x. x R . T y | y x2 1, x R .则s T 是：(A) S. (B) T. (C) (D)冇限集・(2001春招)17.(木题满分12分)己知R 为全集，A {x|logl(3 x) 2},B (x|5x 2 1),求 A B217.解由已矢lllogl(3 x) logld 因为y logx 4 由3x4lx为减函数，所3解得1x3所以A (x| 1 x 3} 3 x 0由 5 1,解得 2 x x 2B (x| 2 x 3} 丁•是 A {x|x 1 或x 3}故AB {x | 2 x 1 或x3}(2002,理)13.如图，与复平面屮的阴影部分(含边界)对应的复数集合是()(A) {z||z|=l,6, z$C} (B) {z| |z| Wl,6, zee}(C) {z| | z|=l, Imz^l, z^C) 2 (D) {z||z|Wl, Imz^l2, zee} (2003,文理)6・设集合A={x| |x|<4},B={x|x2-4x+3>0},则集合{x|xGA Ax A B}二.(2004,文理)3、设集合 A {5, log2(a 3)},集合 B {a, b}.若 A B {2},则A B (2004,文理)19、(本题满分14分)第1小题满分6分，第2小题满分8分记函数f(x) A, g(x) lg[(x a 1) (2a x)] (a 1)的定义域为 B.(1)求A；(2)若B A,求实数Q的取值范围.19、【解】(1)2 x 3x 1 0,得x 1x 1 0, x 1 或x 1即A=( ——1) U [1, + 8)(2)由(x a 1) (2a x) 0,得(x a 1) (x 2a) 0.Va 1, A a 1 2a, .*.B (2a, a1). A D [1,3] {1,2,5} VB A, /.2a 1 或 a 1 1,即Q .・.1或 a 2,而 a 1, 211 a 1或a 2,故当B A时，实数a的取值范围是(一^, —2] U [, 1) 22 (2005,文理)14.已知集合M xx 1 2,x R, Pl,x Z ,则M P等于(C) X 1 X 0, X Z (D) x 1 x 0, x Z （2006,文）1.已知集合A(A)xO x 3, x Z (B)xO x 3, x ZB,,m ,集合B 3, 4・若B A,则实数m •142(2006,理)1.已知集合A={-1, 3, 2m-l},集合B={3, m}.若 B A,则实数m■m 1(2006,理)15.若关于x的不等式(1 k)xWk+4的解集是M,则对任意实常数k,总有()(A) 2EM, OEM； (B) 2 M, 0 M： (C) 2EM, 0 M； (D) 2 M, OeM.A11(2006,春招)若集合 A yy x3, 1 x 1 , B yy 2 ,0 x 1 ,则AC1B 等于()（2006,理）若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平谢上”的（）（A）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（C）充要条件；（D）非充分非必要条件.(2008,文理)2.若集合 A x|xW2, B x|x^a 满足 A B2.（2009,文理）2.已知集合A x|x 1 的取值范围是—. B x|x a ,且A B R,则实数a(A) ( , 1]. (B) 1, 1 . (C) (D) {1}.{2},则实数a.(,11(2010,文)1.已知集合 A 1, 3, m , B 3,4 , AB 1,2,3,4 则m o2(2010,文理)1.不等式2 x0的解集是。
历年(2019-2023)高考数学真题分类(集合、常用逻辑用语与不等式)练习(附答案)
[答案解析]因为
1 ，所以
|
2
C. |3
16
|0
16 ；因为
4 ，所以
}.所以 ∩
|
A.
1 ,2
|0
B. 1 ,2
1|
1 ，得 1
2 ，所以 ∩
9. [2022 北京，4 分]已知全集
1 ，则∁
A.
2,1
16
|3
| |
1|
(B)
[答案解析]由|
历年（2019-2023）高考数学真题分类（集合、常用逻辑用语与不等式）练习
考点： 集合
一、选择题
2 , 1 ,0,1,2 ，
1. [2023 新高考卷Ⅰ，5 分]已知集合
6
A.
0 ，则 ∩
(C)
2 , 1 ,0,1
B. 0 ,1,2
2
C.
|
[答案解析]解法一因为
∩
|
6
0
1 ,3 ,
1 ,2,4 ，则
C. 1 ,2,4
D. 1 ,2,4,5
1 ,2,4 ，所以∁
3 ,5 ,又
1 ,3 ，
1 ,3,5 .故选A .
4. [2023 全国卷甲，5 分]设全集
∪
0 .当
(A)
A. 1 ,3,5
|
2
1 ,0,1 ，满足 ⊆ .所以
3. [2023 天津，5 分]已知集合
2 ，故选A .
2 ,4,6 ，则 ∪
B. 1 ,2
C. 2 ,4,6
[答案解析]由集合并集的定义，得 ∪
7. [2022 新高考卷Ⅰ，5 分]若集合
上海高考数学真题专题-集合、命题与不等式
第一部 集合、命题与不等式【考点1】集合关系如果两个集合所含的元素完全相等，那么这两个集合相等对于两个集合A 和B ，如果集合A 中任何一个元素都属于集合B ，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作A B 或B A ，读作“A 包含于B ”或“B 包含A ”常见等价关系：“A B ” “A B A ” “A B B ” “U U B A ” “U A B ” “U B A U ”（注意考虑A 的情况） 1.（2015春24）设集合21{|10}P x x ax ，22{|20}P x x ax ，21{|0}Q x x x b ，22{|20}Q x x x b ，其中,a b R ，下列说法正确的是（ ）A.对任意a ，1P 是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集B. 对任意a ，1P 是2P 的子集；存在b ，使得1Q是2Q 的子集 C. 存在a ，使得1P 不是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集 D. 存在a ，使得1P 不是2P的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集【考点2】集合运算三种运算：交集、并集、补集2.（2019年1）已知集合(,3)A ，(2,)B ，则A B3.（2019春1）已知集合{1,2,3,4,5}A ，{3,5,6}B ，则A B4.（2018春3）设集合{|02}A x x ，{|11}B x x ，则A B5.（2017年1）已知集合{1,2,3,4}A ，集合{3,4,5}B ，则A B6.（2012文2）若集合{|210}A x x ，{|||1}B x x ，则A B7.（2012理2）若集合{|210}A x x ，{||1|2}B x x ，则A B8.（2011春2）若集合{|1}A x x ，2{|4}B x x ，则A B9.（2017春1）设集合{1,2,3}A ，集合{3,4}B ，则A B 10.（2015春1）设全集为{1,2,3}U ，{1,2}A ，若集合则U A 11.（2011文1）若全集U R ，集合{|1}A x x ，则U A12.（2011理2）若全集U R ，集合{|1}{|0}A x x x x ，则U A 13.（2015理1）设全集U R ，若集合{1,2,3,4}A ，{|23}B x x ，则U A B14.（2012春1）已知集合{1,2,}A k ，{2,5}B ，若{1,2,3,5}A B ，则k 15.（2013理15）设常数a R ，集合{|(1)()0}A x x x a ，{|1}B x x a ， 若A B R ，则a 的取值范围为（ ）A. (,2)B. (,2]C. (2,)D. [2,) 16.（2013春22）设全集U R ，下列集合运算结果为R 的是（ ）A. U Z NB. U N NC. ()U UD. {0}U【考点3】命题真命题、假命题的判断，以及四种命题：原命题、否命题、逆命题、逆否命题 原命题与逆否命题是等价命题.一般地，用 、 分别表示两个命题，如果命题 成立，可以推出 也成立，即 ，那么 叫做 的充分条件， 叫做 的必要条件. 一般判断依据：范围小的推出范围大的18.（2019春14）已知a 、b R ，则“22a b ”是“||||a b ”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 19.（2018年14）已知a R ，则“1a ”是“11a”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 20.（2017春14）设a R ，“0a ”是“10a”的（ ）条件 A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 21.（2016年15）设a R ，则“1a ”是“21a ”的（ ）条件 A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件22.（2015春附1）对于集合A 、B ，“A B ”是“A B A B ”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件23.（2014年15）设,a b R ，则“4a b ”是“2a 且2b ”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件24.（2013理16）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货” 的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件25.（2013春23）已知a 、b 、c R ，“240b ac ”是“函数2()f x ax bx c 的 图像恒在x 轴上方”的（ ）条件A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件性质1 如果a b ，b c ，那么a c . 性质2 如果a b ，那么a c b c .性质3 如果a b ，0c ，那么ac bc .如果a b ，0c ，那么ac bc . 性质4 如果a b ，c d ，那么a c b d . 性质5 如果0a b ，0c d ，那么ac bd .性质6 如果0a b ，那么110a b. 性质7 如果0a b ，那么n n a b ()n *N .性质8 如果0a b (n *N ，1)n . 26.（2015春13）若0a b ，则下列不等式恒成立的是（ ） A.11a bB. a bC. 22a bD. 33a b 27.（2014春20）若a b ，c R ，则下列不等式中恒成立的是（ ） A.11a b B. 22a b C. ||||a c b c D. 2211a b c c 28.（2013春17）如果0a b ，那么下列不等式成立的是（ ） A. 11a b B. 2ab b C. 2ab a D. 11a b【考点6】解不等式（1）一元二次不等式：大于写两边，小于写中间，注意 是否小于零 （2）高次不等式：穿针引线，数轴标根（3）分式不等式：转化为整式不等式，注意分母不为零（4）含绝对值不等式：去绝对值，直接去、分类讨论、平方、或者数形结合 （5）无理不等式：平方或者换元（6）指数对数不等式：化同底，去底数，或者换元29.（2017年3）不等式11x x 的解集为 30.（2013文1）不等式021xx 的解为31.（2011理4）不等式13x x 的解为 32.（2011文6）不等式11x的解为33.（2019春3）不等式|1|5x 的解集为 34.（2018春1）不等式||1x 的解集为 35.（2017春2）不等式|1|3x 的解集为36.（2016年1）设x R ，则不等式|3|1x 的解集为37.（2015春15）不等式2301xx 的解集为（ ） A. 3(,4 B. 2(,)3 C. 2(,)(1,)3 D. 2(,1)338.（2015文16）下列不等式中，与不等式28223x x x 解集相同的是（ ）A. 2(8)(23)2x x xB. 282(23)x x xC. 212238x x xD. 223182x x x【考点7】基本不等式基本不等式1 对任意实数a 和b ，有222a b ab ，当且仅当a b 时等号成立. 基本不等式2 对任意正数a 和b，有2a b，当且仅当a b 时等号成立. 推论1 若a 、b 、c R ，则3333a b c abc ，当且仅当a b c 时等号成立.推论2 若a 、b 、c R，则3a b c ，当且仅当a b c 时等号成立. 推论312n a a a nn *N ，i a R ，1i n .均值不等式2112a b a b，a 、b R .柯西不等式 22222()()()a b c d ac bd . 注意：一正二定三相等. 和定积最大，积定和最小. 39.（2019年7）若,x y R ，且123y x ，则yx的最大值为 40.（2014春9）已知a 、b R ，若1a b ，则ab 的最大值是 41.（2014理5）若实数x 、y 满足1xy ，则222x y 的最小值为 42.（2016春22）下列关于实数a 、b 的不等式中，不恒成立的是（ ） A. 222a b ab B. 222a b ab C. 2()2a b ab D. 2()2a b ab43.（2015春22）已知0a ，0b ，若4a b ，则（ ）A. 22a b 有最小值 B. C.11a b有最大值 D.44.（2011理15）若,a b R ，且0ab ，则下列不等式中，恒成立的是（ ）A. 222a b abB. a bC. 11a b D. 2b a a b【考点8】不等式恒成立问题不等式恒成立问题一般均可转化为最值问题，即“大于最大值，小于最小值”. 注意区别于“能成立问题”，也是最值问题，“大于最小值，小于最大值”.45.（2015春附2）对于任意实数a 、b ，2()a b kab 均成立，则实数k 的取值范围是 （ ）A. {4,0}B. [4,0]C. (,0]D. (,4][0,)46.（2013文13）设常数0a ，若291a x a x对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为47.（2012春12）若不等式210x kx k 对(1,2)x 恒成立，则实数k 的取值范围是。
历年(2019-2023)全国高考数学真题分项(集合与常用逻辑用语)汇编(附答案)
历年（2019-2023）全国高考数学真题分项（集合与常用逻辑用语）汇编考点一 元素与集合关系的判断1．（2023•上海）已知{1P =，2}，{2Q =，3}，若{|M x x P =∈，}x Q ∉，则(M = ) A ．{1}B ．{2}C ．{3}D ．{1，2，3}考点二 集合的包含关系判断及应用2．（2023•新高考Ⅱ）设集合{0A =，}a -，{1B =，2a -，22}a -，若A B ⊆，则(a = ) A ．2B ．1C ．23D ．1-3．（2021•上海）已知集合{|1A x x =>-，}x R ∈，2{|20B x x x =--…，}x R ∈，则下列关系中，正确的是( ) A ．A B ⊆B ．R RA B ⊆痧C ．A B =∅D ．A B R=考点三 并集及其运算4．（2022•浙江）设集合{1A =，2}，{2B =，4，6}，则(A B = ) A ．{2}B ．{1，2}C ．{2，4，6}D ．{1，2，4，6}5．（2020•山东）设集合{|13}A x x =剟，{|24}B x x =<<，则(A B = ) A ．{|23}x x <…B ．{|23}x x 剟C ．{|14}x x <…D ．{|14}x x <<考点四 交集及其运算6．（2023•新高考Ⅰ）已知集合{2M =-，1-，0，1，2}，2{|60}N x x x =--…，则(M N = ) A ．{2-，1-，0，1} B ．{0，1，2}C ．{2}-D ．{2}7．（2022•上海）若集合[1A =-，2)，B Z =，则(A B = ) A ．{2-，1-，0，1} B ．{1-，0，1}C ．{1-，0}D ．{1}-8．（2022•新高考Ⅰ）若集合{4}M x =<，{|31}N x x =…，则(M N = ) A ．{|02}x x <…B ．1{|2}3x x <…C ．{|316}x x <…D ．1{|16}3x x <…9．（2022•新高考Ⅱ）已知集合{1A =-，1，2，4}，{||1|1}B x x =-…，则(A B = ) A ．{1-，2}B ．{1，2}C ．{1，4}D ．{1-，4}10．（2021•新高考Ⅰ）设集合{|24}A x x =-<<，{2B =，3，4，5}，则(A B = ) A ．{2，3，4}B ．{3，4}C ．{2，3}D ．{2}11．（2021•浙江）设集合{|1}A x x =…，{|12}B x x =-<<，则(A B = ) A ．{|1}x x >-B ．{|1}x x …C ．{|11}x x -<<D ．{|12}x x <…12．（2020•浙江）已知集合{|14}P x x =<<，{|23}Q x x =<<，则(P Q = ) A ．{|12}x x <…B ．{|23}x x <<C ．{|34}x x <…D ．{|14}x x <<13．（2021•上海）已知{|21}A x x =…，{1B =-，0，1}，则A B = ．14．（2020•上海）已知集合{1A =，2，4}，集合{2B =，4，5}，则A B = ． 15．（2019•上海）已知集合(,3)A =-∞，(2,)B =+∞，则A B = ．考点五 交、并、补集的混合运算16．（2021•新高考Ⅱ）若全集{1U =，2，3，4，5，6}，集合{1A =，3，6}，{2B =，3，4}，则 (U A B = ð )A ．{3}B ．{1，6}C ．{5，6}D ．{1，3}17．（2019•浙江）已知全集{1U =-，0，1，2，3}，集合{0A =，1，2}，{1B =-，0，1}，则()(U A B = ð )A ．{1}-B ．{0，1}C ．{1-，2，3}D ．{1-，0，1，3}考点六 命题的真假判断与应用18．（2020•浙江）设集合S ，T ，*S N ⊆，*T N ⊆，S ，T 中至少有2个元素，且S ，T 满足： ①对于任意的x ，y S ∈，若x y ≠，则xy T ∈； ②对于任意的x ，y T ∈，若x y <，则yS x∈．下列命题正确的是( ) A ．若S 有4个元素，则S T 有7个元素 B ．若S 有4个元素，则S T 有6个元素 C ．若S 有3个元素，则S T 有5个元素D ．若S 有3个元素，则S T 有4个元素考点七 充分条件与必要条件19．（2020•上海）命题p ：存在a R ∈且0a ≠，对于任意的x R ∈，使得()()f x a f x f +<+（a ）； 命题1:()q f x 单调递减且()0f x >恒成立；命题2:()q f x 单调递增，存在00x <使得0()0f x =， 则下列说法正确的是( ) A ．只有1q 是p 的充分条件 B ．只有2q 是p 的充分条件C ．1q ，2q 都是p 的充分条件D ．1q ，2q 都不是p 的充分条件20．（2020•浙江）已知空间中不过同一点的三条直线l ，m ，n ．则“l ，m ，n 共面”是“l ，m ，n 两两相交”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件21．（2019•浙江）若0a >，0b >，则“4a b +…”是“4ab …”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件22．（2019•上海）已知a 、b R ∈，则“22a b >”是“||||a b >”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件参考答案考点一 元素与集合关系的判断1．（2023•上海）已知{1P =，2}，{2Q =，3}，若{|M x x P =∈，}x Q ∉，则(M = ) A ．{1}B ．{2}C ．{3}D ．{1，2，3}【详细解析】{1P = ，2}，{2Q =，3}，{|M x x P =∈，}x Q ∉， {1}M ∴=． 故选：A ．考点二 集合的包含关系判断及应用2．（2023•新高考Ⅱ）设集合{0A =，}a -，{1B =，2a -，22}a -，若A B ⊆，则(a = ) A ．2B ．1C ．23D ．1-【详细解析】依题意，20a -=或220a -=，当20a -=时，解得2a =，此时{0A =，2}-，{1B =，0，2}，不符合题意； 当220a -=时，解得1a =，此时{0A =，1}-，{1B =，1-，0}，符合题意． 故选：B ．3．（2021•上海）已知集合{|1A x x =>-，}x R ∈，2{|20B x x x =--…，}x R ∈，则下列关系中，正确的是( ) A ．A B ⊆B ．R RA B ⊆痧C ．A B =∅D ．A B R =【详细解析】已知集合{|1A x x =>-，}x R ∈，2{|20B x x x =--…，}x R ∈， 解得{|2B x x =…或1x -…，}x R ∈，{|1R A x x =-…ð，}x R ∈，{|12}R B x x =-<<ð；则A B R = ，{|2}A B x x = …， 故选：D ．考点三 并集及其运算4．（2022•浙江）设集合{1A =，2}，{2B =，4，6}，则(A B = ) A ．{2}B ．{1，2}C ．{2，4，6}D ．{1，2，4，6}【详细解析】{1A = ，2}，{2B =，4，6}， {1A B ∴= ，2，4，6}，故选：D ．5．（2020•山东）设集合{|13}A x x =剟，{|24}B x x =<<，则(A B = ) A ．{|23}x x <…B ．{|23}x x 剟C ．{|14}x x <…D ．{|14}x x <<【详细解析】 集合{|13}A x x =剟，{|24}B x x =<<， {|14}A B x x ∴=< …．故选：C ．考点四 交集及其运算6．（2023•新高考Ⅰ）已知集合{2M =-，1-，0，1，2}，2{|60}N x x x =--…，则(M N = ) A ．{2-，1-，0，1} B ．{0，1，2}C ．{2}-D ．{2}【详细解析】260x x -- …，(3)(2)0x x ∴-+…，3x ∴…或2x -…， (N =-∞，2][3- ，)+∞，则{2}M N =- ． 故选：C ．7．（2022•上海）若集合[1A =-，2)，B Z =，则(A B = ) A ．{2-，1-，0，1} B ．{1-，0，1} C ．{1-，0} D ．{1}-【详细解析】[1A =- ，2)，B Z =， {1A B ∴=- ，0，1}，故选：B ．8．（2022•新高考Ⅰ）若集合{4}M x =<，{|31}N x x =…，则(M N = ) A ．{|02}x x <…B ．1{|2}3x x <…C ．{|316}x x <…D ．1{|16}3x x <…4<，得016x <…，{4}{|016}M x x x ∴=<=<…， 由31x …，得13x …，1{|31}{|}3N x x x x ∴==厖，11{|016}{|}{|16}33M N x x x xx x ∴=<=< 剠?． 故选：D ．9．（2022•新高考Ⅱ）已知集合{1A =-，1，2，4}，{||1|1}B x x =-…，则(A B = ) A ．{1-，2}B ．{1，2}C ．{1，4}D ．{1-，4}【详细解析】|1|1x -…，解得：02x 剟， ∴集合{|02}B x x =剟{1A B ∴= ，2}．故选：B ．10．（2021•新高考Ⅰ）设集合{|24}A x x =-<<，{2B =，3，4，5}，则(A B = ) A ．{2，3，4}B ．{3，4}C ．{2，3}D ．{2}【详细解析】 集合{|24}A x x =-<<，{2B =，3，4，5}， {2A B ∴= ，3}．故选：C ．11．（2021•浙江）设集合{|1}A x x =…，{|12}B x x =-<<，则(A B = ) A ．{|1}x x >-B ．{|1}x x …C ．{|11}x x -<<D ．{|12}x x <…【详细解析】因为集合{|1}A x x =…，{|12}B x x =-<<，所以{|12}A B x x =< …． 故选：D ．12．（2020•浙江）已知集合{|14}P x x =<<，{|23}Q x x =<<，则(P Q = ) A ．{|12}x x <…B ．{|23}x x <<C ．{|34}x x <…D ．{|14}x x <<【详细解析】集合{|14}P x x =<<，{|23}Q x x =<<， 则{|23}P Q x x =<< ． 故选：B ．13．（2021•上海）已知{|21}A x x =…，{1B =-，0，1}，则A B = ． 【详细解析】因为1{|21}{|}2A x x x x ==剟，{1B =-，0，1}， 所以{1A B =- ，0}． 故答案为：{1-，0}．14．（2020•上海）已知集合{1A =，2，4}，集合{2B =，4，5}，则A B = ． 【详细解析】因为{1A =，2，4}，{2B =，4，5}， 则{2A B = ，4}． 故答案为：{2，4}．15．（2019•上海）已知集合(,3)A =-∞，(2,)B =+∞，则A B = ． 【详细解析】根据交集的概念可得(2,3)A B = ． 故答案为：(2,3)．考点五 交、并、补集的混合运算16．（2021•新高考Ⅱ）若全集{1U =，2，3，4，5，6}，集合{1A =，3，6}，{2B =，3，4}，则(U A B = ð ) A ．{3}B ．{1，6}C ．{5，6}D ．{1，3}【详细解析】因为全集{1U =，2，3，4，5，6}，集合{1A =，3，6}，{2B =，3，4}， 所以{1U B =ð，5，6}， 故{1U A B = ð，6}． 故选：B ．17．（2019•浙江）已知全集{1U =-，0，1，2，3}，集合{0A =，1，2}，{1B =-，0，1}，则()(U A B = ð)A ．{1}-B ．{0，1}C ．{1-，2，3}D ．{1-，0，1，3}【详细解析】{1U A =- ð，3}，()U A B ∴ ð{1=-，3}{1-⋂，0，1}{1}=- 故选：A ．考点六 命题的真假判断与应用18．（2020•浙江）设集合S ，T ，*S N ⊆，*T N ⊆，S ，T 中至少有2个元素，且S ，T 满足： ①对于任意的x ，y S ∈，若x y ≠，则xy T ∈； ②对于任意的x ，y T ∈，若x y <，则yS x∈．下列命题正确的是( ) A ．若S 有4个元素，则S T 有7个元素 B ．若S 有4个元素，则S T 有6个元素 C ．若S 有3个元素，则S T 有5个元素D ．若S 有3个元素，则S T 有4个元素【详细解析】取：{1S =，2，4}，则{2T =，4，8}，{1S T = ，2，4，8}，4个元素，排除C ． {2S =，4，8}，则{8T =，16，32}，{2S T = ，4，8，16，32}，5个元素，排除D ；{2S =，4，8，16}则{8T =，16，32，64，128}，{2S T = ，4，8，16，32，64，128}，7个元素，排除B ； 故选：A ．考点七 充分条件与必要条件19．（2020•上海）命题p ：存在a R ∈且0a ≠，对于任意的x R ∈，使得()()f x a f x f +<+（a ）； 命题1:()q f x 单调递减且()0f x >恒成立；命题2:()q f x 单调递增，存在00x <使得0()0f x =， 则下列说法正确的是( ) A ．只有1q 是p 的充分条件 B ．只有2q 是p 的充分条件C ．1q ，2q 都是p 的充分条件D ．1q ，2q 都不是p 的充分条件【详细解析】对于命题1q ：当()f x 单调递减且()0f x >恒成立时， 当0a >时，此时x a x +>， 又因为()f x 单调递减，所以()()f x a f x +< 又因为()0f x >恒成立时， 所以()()f x f x f <+（a ）， 所以()()f x a f x f +<+（a ）， 所以命题1q ⇒命题p ，对于命题2q ：当()f x 单调递增，存在00x <使得0()0f x =， 当00a x =<时，此时x a x +<，f （a ）0()0f x ==， 又因为()f x 单调递增， 所以()()f x a f x +<， 所以()()f x a f x f +<+（a ）， 所以命题2p ⇒命题p ， 所以1q ，2q 都是p 的充分条件， 故选：C ．20．（2020•浙江）已知空间中不过同一点的三条直线l ，m ，n ．则“l ，m ，n 共面”是“l ，m ，n 两两相交”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【详细解析】空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，若m ，n ，l 在同一平面，则m ，n ，l 相交或m ，n ，l 有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行．而若“m ，n ，l 两两相交”，则“m ，n ，l 在同一平面”成立． 故m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的必要不充分条件， 故选：B ．21．（2019•浙江）若0a >，0b >，则“4a b +…”是“4ab …”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【详细解析】0a > ，0b >，4a b ∴+厖，2∴4ab ∴…，即44a b ab +⇒剟，若4a =，14b =，则14ab =…， 但1444a b +=+>， 即4ab …推不出4a b +…，4a b ∴+…是4ab …的充分不必要条件故选：A ．22．（2019•上海）已知a 、b R ∈，则“22a b >”是“||||a b >”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 【详细解析】22a b > 等价，22||||a b >，得“||||a b >”， ∴ “22a b >”是“||||a b >”的充要条件，故选：C ．。
2013-2018年上海高考试题汇编-集合、命题、不等式(带参考答案)
集合、命题和不等式考试大纲高考分析（1）单纯的集合交并补运算一般在填空题的前两个位置，但是集合是后面叙述函数，数列、解析几何、立体几何和排列组合的语言，所以要深刻理解集合的元素的性质，（2）逆否命题涉及到反证法，正难则反的逆向思维方法，在后面章节，尤其是计数原理、概率计算部分应用很（3）充分条件与必要条件一般在不等式、复数、数列等知识背景下的考察，需能区分充分条件与必要条件，能转化为推出关系，一般都在选择题中考一个，（4）在与数列，解析几何、立体几何等其他问题结合时要注意不等式有解，恒成立问题的识别，比如2017春18考了不等式恒成立问题，2014年理23题就是数列与不等式恒成立近五年上海高考真题汇编一、填空题（2018春1）不等式1x >的解集为__________． 答案：(,1)(1,)-∞-+∞（2018春3）设集合{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，则A B =__________．答案：(0,1)（2017秋1）已知集合}4,3,2,1{=A ，集合}5,4,3{=B ，则___=B A 答案：{}3,4（2017秋3）不等式11>-xx 的解集为_______ 答案：(),0-∞（2017秋12）如图，用35个单位正方形拼成个矩形，点4321,,,P P P P 以及四个标记为“∆”的点在正方形的顶点处，设集合{}4321,,,P P P P =Ω，点Ω∈P ，过P 作直线P l ，使得不在P l 上的“∆”的点分布在P l 的两侧；用)(1P l D 和)(2P l D 分别表示P l 一侧和另一侧的“∆”的点到P l 的距离之和；若过P 的直线P l 中有且只有一条满足)()(21P P l D l D =，则Ω中所有这样的P 为_____答案：134,,p p p 解析：证：过2P 的任意一条直线l 都满足条件四边形ABCD 为平行四边形，2P 是,AC BD 的交点，过2P 的任意一条直线l ，由5528,P P 到直线l 的距离之和等于D 到直线l 的距离的两倍；同理1241,P P 到直线l 的距离之和等于B 到直线l 的距离的两倍；而由于2P 为BD 的中点，故B D 、到直线l 的距离相等K 到直线l 的距离等于C到直线l 的距离的2倍K 到直线与L 到直线的距离之差等于C 到直线的距离的2倍（2017春1）设集合{}1,2,3A =，集合{}3,4B =，则A B =________ 答案：{}1,2,3,4（2017春2）不等式13x -<的解集为_____ 答案：()2,4-（2016理文1）设x R ∈，则不等式31x -<的解集为_______答案：()2,4（2015理1文2）设全集U R =，若集合{}{}1,2,3,4,|23A B x x ==≤<，则UAB =____ 答案：{}1,3,4(2013理12)设a为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x=++，若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为________解析：由()y f x =是定义在R 上的奇函数知(0)0f =，01a ≥+，1a ≤-（1-1）当0x >时，()()()229797a a f x f x x x x x ⎡⎤=--=--++=+-⎢⎥-⎣⎦，2971a x a x +-≥+，2239a a x x -⨯≥+，82371,7a a a -⨯-≥+≤-（1-2） 结合（1-1）和（1-2），得88,,77a a ⎛⎤≤-∈-∞-⎥⎝⎦二、选择题（2018秋14）已知a ∈R ，则“1a >”是“11a<”的（ ）． （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 【解析】（A ）（2018春15）记n S 为数列{}n a 的前n 项和．“{}n a 是递增数列”是“n S 为递增数列”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件答案：D（2017秋15）已知数列*2,N n c bn an x n ∈++=，使得k k k x x x +++300200100,,成等差数列的必要条件是 （ ）A. 0≥aB. 0≤bC. 0=cD. 02=+-c b a 答案：A（2017秋16）已知点P 在椭圆1436:221=+y x C ，点Q 在椭圆19:222=+x y C 上，O 为坐标原点，记OQ OP ⋅=ω，集合(){},|P Q OP OQ ω=⋅，当ω取得最大值时，集合中符合条件的元素有几个 （ ）A. 2个B. 4个C. 8个D. 无数个 答案：D（2017春14）设a R ∈，“0a >”是“10a>”的（ ）条件 A 、充分非必要 B 、必要非充分 C 、充要 D 、既非充分有非必要 答案：C（2016理15）设a R ∈，则“1a >”是“21a >”的（ ）． A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件C 、充要条件D 、即非充分又非必要条件 答案：A（2015理15）设12,z z C ∈，则“12z z 、中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ）． A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件C 、充要条件D 、即非充分又非必要条件 答案：B（2014理15）设,a b ∈R ，则“4a b +>”是“2a >且2b >”的（ ） (A) 充分条件. (B) 必要条件.(C) 充分必要条件.(D) 既非充分又非必要条件.答案：B（2013理15文16）设常数a R ∈，集合{|A x =(1)(x x -)a -0}≥，{|1}B x x a =≥-．若A B R =，则的取值范围为（ ）答案：B（2013文15理15）设常数a R ∈，集合()(){}{}10,1A x x x a B x x a =--≥=≥-，若a .A (,2)-∞.B (,2]-∞.C (2,)+∞.D [2,)+∞A B R =，则a 的取值范围为（ ）． A ．(),2-∞ B ．(],2-∞ C ．()2,+∞ D ．[)2,+∞答案：B（2013理16）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ）．.A 充分条件 .B 必要条件.C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件答案：B 三、解答题（2017秋21）已知函数)(x f 满足：（1）R x ∈；（2）当21x x <时，)()(21x f x f ≤； （1）若1)(3+=ax x f ，求a 的范围；（2）若)(x f 是周期函数，求证：)(x f 是常值函数；（3）若)(x g 是R x ∈上的周期函数，且0)(>x g ，且)(x g 最大值为M ,)()()(x f x g x h ⋅=，求证：)(x h 是周期函数的充要条件是)(x f 是常值函数； 证：（3）必要性若()h x 是周期函数，记其一个周期为h T ，(){}A x g x M ==①若存在0x ，使得()00f x =，进而()00h x =，由()h x 的周期性，知()00,h h x kT k Z +=∈，而()g x 恒大于0，故()00h f x kT +=，所以对任意()00,1h h x x kT x k T ∈+++⎡⎤⎣⎦，再利用()f x 的单调增性可知，()0f x =恒成立②若存在1212,,x x x x >，使得()()120,0f x f x ><，则由题可知，12x x >，那么必然存在正整数1N 使得211k x N T x +>，∴()()211k f x N T f x +>，因为()()212k h x N T h x +=，但是()()()2121210k k k h x N T f x N T g x N T +=++>，()()()2220h x f x g x =<，矛盾综上，()0f x =恒成立或()0f x >恒成立或()0f x <恒成立③若()0f x >恒成立，第一步：任取0x A ∈，则必存在2N N ∈，使得020k g x N T x T -≤-，即[]00020,,g h x T x x N T x ⎡⎤-⊆-⎣⎦，()()()()()()000020202h h h h x g x f x h x N T g x N T f x N T ==-=--，∵()()002h g x M g x N T =≥- ，故()()002h f x f x N T ≤-， 再由单调性可知()()()0020h g f x f x N T f x T =-=-，第二步：用0g x T -代替第一步中的0x ，同理可得()()002g g f x T f x T -=-， 再用0g x T +代替第一步中的0x ，同理可得()()00+g f x T f x =，依次下去，可得()()()()()()000000322g g g g g f x T f x T f x T f x f x T f x T =-=-=-==+=+=利用单调性，可得()f x 为常数；④若()0f x <恒成立第一步：任取0x A ∈，则必存在3N N ∈，使得003g k x T x N T +≤+，即[]00002,g h x x T x x N T ⎡⎤+⊆+⎣⎦，，()()()()()()000030303h h h h x g x f x h x N T g x N T f x N T ==+=++，∵()()003h g x M g x N T =≥+ ，故()()003h f x f x N T ≥+， 再由单调性可知()()()0030h g f x f x N T f x T =+=+，第二步：用0g x T -代替第一步中的0x ，同理可得()()002g g f x T f x T +=+， 再用0g x T +代替第一步中的0x ，同理可得()()00g f x T f x -=，依次下去，可得()()()()()()000000322g g g g g f x T f x T f x T f x f x T f x T =-=-=-==+=+=利用单调性，可得()f x 为常数；（2016理23）若无穷数列{}n a 满足：只要*(,)p q a a p q N =∈，必有11p q a a ++=，则称{}n a 具有性质P .（1）若{}n a 具有性质P ，且12451,2,3,2a a a a ====，67821a a a ++=，求3a ； （2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ==，5181b c ==，n n n a b c =+判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；（3）设{}n b 是无穷数列，已知*1sin ()n n n a b a n N +=+∈.求证：“对任意1,{}n a a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”.答案：（1）316a =；（2）由于15a a =，但26a a ≠，故{}n a 不具有性质P ；（3）证明： 必要性：若对于任意1a ，{}n a 都具有性质P ，则211sin a b a =+，设函数()()1,sin ,f x x b g x x =-= 由()(),f x g x 图像可得，对于任意的1b ，二者图像必有一个交点，所以一定能找到1a ，使得111sin a b a -=，所以2111sin a b a a =+=，所以1n n a a +=，故1211sin sin n n n n n n b a a a a b ++++=-=-=，故{}n b 是常数列（2017春18）设a R ∈，函数()221x x a f x +=+，（1）求a 的值，使得()f x 是奇函数； （2）若()22a f x +<对任意x R ∈成立，求a 的取值范围. 参考答案：（1）由()f x 的定义域为R ，且()f x 是奇函数，可得()00f =，即102a+=，解得1a =-， 此时()2121x x f x -=+，()()21122112x xx xf x f x -----===-++，即1a =-时，()f x 是奇函数；（2）()22a f x +<对任意x R ∈成立，即为22221x x a a ++<+对任意x R ∈成立， 等价于1221x a a-<+对任意x R ∈成立，（2014年理23）已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤，*n ∈N ，11a =.(1)若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围； (2)设{}n a 是公比为q 的等比数列，12n n S a a a =+++. 若1133n n n S S S +≤≤，*n ∈N ，求q 的取值范围； (3)若12,,,k a a a 成等差数列，且121000k a a a +++=，求正整数k 的最大值，以及k 取最大值时相应数列12,,,k a a a 的公差.答案：（1）由条件得263x ≤≤且933xx ≤≤，解得36x ≤≤．所以x 的取值范围是[3,6]x ∈．（2）由133n n a a ≤，且110n n a a q -=≠，得0n a >，所以113n n S S +≤．又1133n n n a a a +≤≤，所以133q ≤≤．当1q =时，nS n =，11n Sn +=+，由13n n +≤得13n n S S +≤成立．当1q ≠时，13n n S S +≤．即111311n nq q q q+--≤⋅--． ① 若13q <≤，则(3)2n q q -≥．由nq q ≥，n N *∈，得(3)2q q -≥，所以12q <≤．① 若113q ≤<，则(3)2n q q -≤．由n q q ≤，n N *∈，得(3)2q q -≤，所以113q ≤<．综上，q 的取值范围为1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （3）设12,,k a a a 的公差为d ．由1133n n n a a a +≤≤，且11a =，国产考试小能手 得1[1(1)]13[1(1)]3n d nd n d +-≤+≤+-，1,2,,1n k =-．即(21)2,(23)2,n d n d +≥-⎧⎨-≥-⎩ 1,2,,1n k =-． 当1n =时，223d -≤≤； 当2,,1n k =-时，由222123n n -->+-，得221d n -≥+，所以22213d k -≥≥--． 所以()()111210002221k k k k ka d k k ---=+≥+⋅-，即2200010000k k -+≤，得1999k ≤． 所以k 的最大值为1999，1999k =时，12,,k a a a 的公差为11999-．。
专题01 集合-五年(2017-2021)高考数学真题分项详解(新高考地区专用)(原卷版)
专题01 集合【2021年】一、【2021·浙江高考】设集合{}1A x x =≥，{}12B x x =-<<，则AB =（ ） A. {}1x x >- B. {}1x x ≥ C. {}11x x -<< D. {}12x x ≤<二、【2021·江苏高考】设集合A ={x|−2<x <4}，B ={2,3，4，5}，则A ∩B =( ) A. {2}B. {2,3}C. {3,4}D. {2,3，4}【2020年】一、【2020·北京高考】已知集合A ={−1,0，1，2}，B ={x|0<x <3}，则A ∩B =( )A. {−1,0，1}B. {0,1}C. {−1,1，2}D. {1,2}二、【2020·浙江高考】已知集合P ={x|1<x <4}，Q ={x|2<x <3}，则P ∩Q =( )A. {x|1<x ≤2}B. {x|2<x <3}C. {x|3≤x <4}D. {x|1<x <4}三、【2020·天津高考】设全集U ={−3,−2,−1,0，1，2，3}，集合A ={−1,0，1，2}，B ={−3,0，2，3}，则A ∩(∁U B)=( )A. {−3,3}B. {0,2}C. {−1,1}D. {−3,−2,−1,1，3 }四、【2020·上海高考】已知集合A ={1,2，4}，集合B ={2,4，5}，则A ∩B = ．【2019年】一、【2019·北京高考（文）】已知集合A ={x|−1<x <2},B ={x|x >1}，则A ∪B =( )A. {x|−1<x <1}B. {x|1<x <2}C. {x|x >−1}D. {x|x >1}二、【2019·浙江高考】已知全集U={−1,0，1，2，3}，集合A={0,1，2}，B={−1,0，1}，则(∁U A)∩B=()A. {−1}B. {0,1}C. {−1,2，3}D. {−1,0，1，3}三、【2019·天津高考】设集合A={−1,1，2，3，5}，B={2,3，4}，C={x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B=()A. {2}B. {2,3}C. {−1,2，3}D. {1,2，3，4}四、【2019·上海高考】已知集合A={1,2，3，4，5}，B={3,5，6}，则A∩B=______．【2018年】一、【2018·北京高考】已知集合A={x||x|<2}，B={−2,0，1，2}，则A∩B=()A. {0,1}B. {−1,0，1}C. {−2,0，1，2}D. {−1,0，1，2}二、【2018·浙江高考】已知全集U={1,2，3，4，5}，A={1,3}，则∁U A=()A. ⌀B. {1,3}C. {2,4，5}D. {1,2，3，4，5}三、【2018·天津高考（理）】设全集为R，集合A={x|0<x<2}，B={x|x≥1}，则A∩(∁R B)=()A. {x|0<x≤1}B. {x|0<x<1}C. {x|1≤x<2}D. {x|0<x<2}【2018·天津高考（文）】设集合A={1,2，3，4}，B={−1,0，2，3}，C={x∈R|−1≤x<2}，则(A∪B)∩C=()A. {−1,1}B. {0,1}C. {−1,0，1}D. {2,3，4}四、【2018·上海高考】已知α∈{−2,−1,−12,12,1，2，3}，若幂函数f(x)=xα为奇函数，且在(0,+∞)上递减，则α=______．【2017年】一、【2017·北京高考（理）】若集合A={x|−2<x<1}，B={x|x<−1或x>3}，则A∩B=()A. {x|−2<x<−1}B. {x|−2<x<3}C. {x|−1<x<1}D. {x|1<x<3}【2017·北京高考（文）】已知全集U=R，集合A={x|x<−2或x>2}，则∁U A=()A. (−2,2)B. (−∞,−2)∪(2,+∞)C. [−2,2]D. (−∞,−2]∪[2,+∞)二、【2017·浙江高考】已知集合P={x|−1<x<1}，Q={x|0<x<2}，那么P∪Q=()A. {x|−1<x<2}B. {x|0<x<1}C. {x|−1<x<0}D. {x|1<x<2}三、【2017·天津高考】设集合A={1,2，6}，B={2,4}，C={x∈R|−1≤x≤5}，则(A∪B)∩C=()A. {2}B. {1,2，4}C. {1,2，4，5}D. {x∈R|−1≤x≤5}四、【2017·上海高考】已知集合A={1,2，3，4}，集合B={3,4，5}，则A∩B=______ ．。
高考数学专题复习-集合真题练习(附答案)
专题一集合与常用逻辑用语1.1集合考点一集合及其关系1.(2013山东理,2,5分)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是()A.1B.3C.5D.9答案C因为x∈A,y∈A,所以=0,=0或=0,=1或=0,=2或=1,=0或=1,=1或=1,=2或=2,=0或=2,=1或=2,=2,所以B={0,-1,-2,1,2},所以集合B中有5个元素,故选C.2.(2013江西文,2,5分)若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则a=()A.4B.2C.0D.0或4答案A若a=0,则A=Ø⌀,不符合要求;若a≠0,则Δ=a2-4a=0,得a=4,故选A.3.(2012课标理,1,5分)已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为()A.3B.6C.8D.10答案D解法一:由x-y∈A及A={1,2,3,4,5}得x>y,当y=1时,x可取2,3,4,5,有4个;当y=2时,x可取3,4,5,有3个;当y=3时,x可取4,5,有2个;当y=4时,x可取5,有1个.故共有1+2+3+4=10(个),选D.解法二:因为A中元素均为正整数,所以从A中任取两个元素作为x,y,满足x>y的(x,y)即为集合B中的元素,故共有C52=10个,选D.4.(2011福建理,1,5分)i是虚数单位,若集合S={-1,0,1},则()A.i∈SB.i2∈SC.i3∈SD.2i∈S答案B i2=-1,-1∈S,故选B.5.(2015重庆理,1,5分)已知集合A={1,2,3},B={2,3},则()A.A=BB.A∩B=Ø⌀C.A⫋BD.B⫋A答案D∵A={1,2,3},B={2,3},∴A≠B,A∩B={2,3}≠Ø;又1∈A且1∉B,∴A不是B的子集,故选D.6.(2013课标Ⅰ理,1,5分)已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|-5<x<5},则()A.A∩B=ØB.A∪B=RC.B⊆AD.A⊆B答案B化简A={x|x>2或x<0},而B={x|-5<x<5},所以A∩B={x|-5<x<0或2<x<5},A项错误;A∪B=R,B项正确;A与B没有包含关系,C项与D项均错误.故选B.7.(2012课标文,1,5分)已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-1<x<1},则()A.A⫋BB.B⫋AC.A=BD.A∩B=Ø答案B A={x|-1<x<2},B={x|-1<x<1},则B⫋A,故选B.8.(2012大纲全国文,1,5分)已知集合A={x|x是平行四边形},B={x|x是矩形},C={x|x是正方形},D={x|x 是菱形},则()A.A⊆BB.C⊆BC.D⊆CD.A⊆D答案B由已知x是正方形,则x必是矩形,所以C⊆B,故选B.9.(2012湖北文,1,5分)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C 的个数为()A.1B.2C.3D.4答案D A={1,2},B={1,2,3,4},所以满足条件的集合C的个数为24-2=22=4,即C={1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}.故选D.评析本题考查集合之间的关系.10.(2016四川,1,5分)设集合A={x|-2≤x≤2},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是()A.3B.4C.5D.6答案C A中包含的整数元素有-2,-1,0,1,2,共5个,所以A∩Z中的元素个数为5.11.(2012天津文,9,5分)集合A={x∈R||x-2|≤5}中的最小整数为.答案-3解析由|x-2|≤5,得-5≤x-2≤5,即-3≤x≤7,所以集合A中的最小整数为-3.12.(2013江苏,4,5分)集合{-1,0,1}共有个子集.答案8解析集合{-1,0,1}的子集有Ø,{-1},{0},{1},{-1,0},{-1,1},{0,1},{-1,0,1},共8个.评析本题考查子集的概念,忽视Ø是学生出错的主要原因.考点二集合的基本运算1.(2021北京,1,4分)已知集合A={x|-1<x<1},B={x|0≤x≤2},则A∪B=()A.{x|0≤x<1}B.{x|-1<x≤2}C.{x|1<x≤2}D.{x|0<x<1}答案B因为集合A={x|-1<x<1},B={x|0≤x≤2},所以用数轴表示两集合中元素如图,可知A∪B={x|-1<x≤2},故选B.2.(2021浙江,1,4分)设集合A={x|x≥1},B={x|-1<x<2},则A∩B=()A.{x|x>-1}B.{x|x≥1}C.{x|-1<x<1}D.{x|1≤x<2}答案D利用数轴可得A∩B={x|1≤x<2}.3.(2022浙江,1,4分)设集合A={1,2},B={2,4,6},则A∪B=()A.{2}B.{1,2}C.{2,4,6}D.{1,2,4,6}答案D由题意得A∪B={1,2,4,6}.故选D.4.(2022全国乙文,1,5分)集合M={2,4,6,8,10},N={x|-1<x<6},则M∩N=()A.{2,4}B.{2,4,6}C.{2,4,6,8}D.{2,4,6,8,10}答案A由题意知M∩N={2,4},故选A.5.(2022全国甲文,1,5分)设集合A={-2,-1,0,1,2},B=U0≤<A∩B=()A.{0,1,2}B.{-2,-1,0}C.{0,1}D.{1,2}答案A集合A中的元素只有0,1,2属于集合B,所以A∩B={0,1,2}.故选A.6.(2022全国乙理,1,5分)设全集U={1,2,3,4,5},集合M满足∁U M={1,3},则()A.2∈MB.3∈MC.4∉MD.5∉M答案A由题意知M={2,4,5},故选A.7.(2022新高考Ⅱ,1,5分)已知集合A={-1,1,2,4},B={x||x-1|≤1},则A∩B=()A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}答案B由|x-1|≤1得0≤x≤2,则B={x|0≤x≤2},∴A∩B={1,2},故选B.8.(2022北京,1,4分)已知全集U={x|-3<x<3},集合A={x|-2<x≤1},则∁U A=()A.(-2,1]B.(-3,-2)∪[1,3)C.[-2,1)D.(-3,-2]∪(1,3)答案D在数轴上作出全集U及集合A,如图所示,可知∁U A=(-3,-2]∪(1,3).故选D.易错警示:集合A中含有元素1,不含元素-2,故∁U A中含有元素-2,不含元素1,注意区间的开闭.9.(2022天津,1,5分)设全集U={-2,-1,0,1,2},集合A={0,1,2},B={-1,2},则A∩(∁U B)=()A.{0,1}B.{0,1,2}C.{-1,1,2}D.{0,-1,1,2}答案A∵U={-2,-1,0,1,2},B={-1,2},∴∁U B={-2,0,1},又A={0,1,2},∴A∩(∁U B)={0,1}.故选A.10.(2022新高考Ⅰ,1,5分)若集合M={x|<4},N={x|3x≥1},则M∩N=()A.{x|0≤x<2}B.U13≤<2C.{x|3≤x<16}D.U13≤<16答案D由题意知M={x|0≤x<16},N=U≥M∩N=U13≤<16,故选D.11.(2022全国甲理,3,5分)设全集U={-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,2},B={x|x2-4x+3=0},则∁U(A∪B)=() A.{1,3} B.{0,3} C.{-2,1} D.{-2,0}答案D因为B={x|x2-4x+3=0}={1,3},所以A∪B={-1,1,2,3},所以∁U(A∪B)={-2,0},故选D. 12.(2021全国甲理,1,5分)设集合M={x|0<x<4},N=U13≤≤5,则M∩N=()A.U0<≤B.U13≤<4C.{x|4≤x<5}D.{x|0<x≤5}答案B<<4,≤5,得13≤x<4,故选B.13.(2021全国甲文,1,5分)设集合M={1,3,5,7,9},N={x|2x>7},则M∩N=()A.{7,9}B.{5,7,9}C.{3,5,7,9}D.{1,3,5,7,9}答案B解题指导:对可化简的集合,先化成最简形式;注意仔细审题,利用“∩”的含义,进行基本运算.解析N={x|2x>7}=U M∩N={5,7,9},故选B.易错警示:区分“∩”与“∪”.14.(2021新高考Ⅰ,1,5分)设集合A={x|-2<x<4},B={2,3,4,5},则A∩B=()A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}答案B在数轴上表示出集合A,如图,由图知A∩B={2,3}.15.(2021全国乙理,2,5分)已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z},T={t|t=4n+1,n∈Z},则S∩T=()A.ØB.SC.TD.Z答案C解题指导:首先结合集合S、T的元素特征得到T⫋S,然后依据集合的交集运算得出结果.解析依题知T⫋S,则S∩T=T,故选C.16.(2021全国乙文,1,5分)已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则∁U(M∪N)=()A.{5}B.{1,2}C.{3,4}D.{1,2,3,4}答案A解题指导:先求M∪N,再求∁U(M∪N),即可得出结果.解析由题意得M∪N={1,2,3,4},则∁U(M∪N)={5},故选A.易错警示学生易因混淆交集和并集的运算而出错.17.(2020新高考Ⅰ,1,5分)设集合A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},则A∪B=()A.{x|2<x≤3}B.{x|2≤x≤3}C.{x|1≤x<4}D.{x|1<x<4}答案C已知A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},在数轴上表示出两个集合,由图易知A∪B={x|1≤x<4}.故选C.18.(2020新高考Ⅰ,5,5分)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是() A.62% B.56% C.46% D.42%答案C用Venn图表示学生参加体育锻炼的情况,A+B表示喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例,B+C表示喜欢足球的学生数占该校学生总数的比例,A+B+C表示喜欢足球或游泳的学生数占该校学生总数的比例,即A+B=82%,B+C=60%,A+B+C=96%,B表示既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例,故B=82%+60%-96%=46%.故选C.19.(2020北京,1,4分)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|0<x<3},则A∩B=()A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1,2}D.{1,2}答案D集合A与集合B的公共元素为1,2,由交集的定义知A∩B={1,2},故选D.20.(2019课标Ⅱ理,1,5分)设集合A={x|x2-5x+6>0},B={x|x-1<0},则A∩B=()A.(-∞,1)B.(-2,1)C.(-3,-1)D.(3,+∞)答案A本题考查了集合的运算;以集合的交集为载体,考查运算求解能力,旨在考查数学运算的素养要求.由题意得A={x|x<2或x>3},B={x|x<1},∴A∩B={x|x<1}.21.(2019课标Ⅱ文,1,5分)已知集合A={x|x>-1},B={x|x<2},则A∩B=()A.(-1,+∞)B.(-∞,2)C.(-1,2)D.Ø答案C本题主要考查集合的交集运算;考查数学运算的核心素养.∵A={x|x>-1},B={x|x<2},∴A∩B={x|-1<x<2},即A∩B=(-1,2).故选C.22.(2019课标Ⅲ理,1,5分)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2≤1},则A∩B=()A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2}答案A本题考查集合的运算,通过集合的不同表示方法考查学生对知识的掌握程度,考查了数学运算的核心素养.由题意可知B={x|-1≤x≤1},又∵A={-1,0,1,2},∴A∩B={-1,0,1},故选A.23.(2019北京文,1,5分)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|x>1},则A∪B=()A.(-1,1)B.(1,2)C.(-1,+∞)D.(1,+∞)答案C本题主要考查集合的并集运算,考查学生运算求解的能力,考查的核心素养是数学运算.∵A={x|-1<x<2},B={x|x>1},∴A∪B={x|x>-1},故选C.A)∩B=()24.(2019浙江,1,4分)已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={-1,0,1},则(∁UA.{-1}B.{0,1}C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3}答案A本题考查补集、交集的运算;旨在考查学生的运算求解的能力;以列举法表示集合为背景体现数学运算的核心素养.∵∁U A={-1,3},∴(∁U A)∩B={-1},故选A.25.(2018课标Ⅰ文,1,5分)已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B=()A.{0,2}B.{1,2}C.{0}D.{-2,-1,0,1,2}答案A本题主要考查集合的基本运算.∵A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},∴A∩B={0,2},故选A.26.(2018课标Ⅱ文,2,5分)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B=()A.{3}B.{5}C.{3,5}D.{1,2,3,4,5,7}答案C本题主要考查集合的运算.由题意得A∩B={3,5},故选C.27.(2018课标Ⅲ理,1,5分)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=()A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}答案C本题考查集合的运算.∵A={x|x≥1},B={0,1,2},∴A∩B={1,2},故选C.28.(2018北京理,1,5分)已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},则A∩B=()A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-2,0,1,2}D.{-1,0,1,2}答案A本题主要考查集合的运算.化简A={x|-2<x<2},∴A∩B={0,1},故选A.29.(2018天津文,1,5分)设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},则(A∪B)∩C=()A.{-1,1}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{2,3,4}答案C本题主要考查集合的运算.由题意得A∪B={1,2,3,4,-1,0},∴(A∪B)∩C={1,2,3,4,-1,0}∩{x∈R|-1≤x<2}={-1,0,1}.故选C.A=()30.(2018浙江,1,4分)已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则∁UA.Ø⌀B.{1,3}C.{2,4,5}D.{1,2,3,4,5}答案C本题考查集合的运算.∵U={1,2,3,4,5},A={1,3},∴∁U A={2,4,5}.31.(2017课标Ⅱ理,2,5分)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B=()A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}答案C本题主要考查集合的运算.∵A∩B={1},∴1∈B,∴1-4+m=0,∴m=3.由x2-4x+3=0,解得x=1或x=3.∴B={1,3}.经检验符合题意.故选C.32.(2017课标Ⅰ文,1,5分)已知集合A={x|x<2},B={x|3-2x>0},则()A.A∩B=<B.A∩B=ØC.A∪B=<D.A∪B=R答案A本题考查集合的运算.由3-2x>0得x<32,则B=<所以A∩B=<故选A.33.(2017课标Ⅱ文,1,5分)设集合A={1,2,3},B={2,3,4},则A∪B=()A.{1,2,3,4}B.{1,2,3}C.{2,3,4}D.{1,3,4}答案A本题考查集合的并集.A∪B={1,2,3}∪{2,3,4}={1,2,3,4}.故选A.34.(2017课标Ⅲ文,1,5分)已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A∩B中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4答案B因为集合A和集合B有共同元素2,4,所以A∩B={2,4},所以A∩B中元素的个数为2.35.(2017天津理,1,5分)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|-1≤x≤5},则(A∪B)∩C=()A.{2}B.{1,2,4}C.{1,2,4,6}D.{x∈R|-1≤x≤5}答案B本题主要考查集合的表示和集合的运算.因为A={1,2,6},B={2,4},所以A∪B={1,2,4,6},又C={x∈R|-1≤x≤5},所以(A∪B)∩C={1,2,4}.故选B.36.(2017北京理,1,5分)若集合A={x|-2<x<1},B={x|x<-1或x>3},则A∩B=()A.{x|-2<x<-1}B.{x|-2<x<3}C.{x|-1<x<1}D.{x|1<x<3}答案A本题考查集合的交集运算,考查运算求解能力.由集合的交集运算可得A∩B={x|-2<x<-1},故选A.37.(2017北京文,1,5分)已知全集U=R,集合A={x|x<-2或x>2},则∁A=()UA.(-2,2)B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.[-2,2]D.(-∞,-2]∪[2,+∞)答案C本题考查集合的补集运算.根据补集的定义可知,∁U A={x|-2≤x≤2}=[-2,2].故选C.38.(2016课标Ⅰ理,1,5分)设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B=()A.−3,−B.C.1,3答案D因为A={x|x2-4x+3<0}={x|1<x<3},B=>所以A∩B={x|1<x<3}∩>=< x<3.故选D.思路分析通过不等式的求解分别得出集合A和集合B,然后根据交集的定义求得A∩B的结果,从而得出正确选项.方法总结集合的运算问题通常是先化简后运算,可借助数轴或韦恩图解决.39.(2016课标Ⅱ理,2,5分)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},则A∪B=()A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}答案C由(x+1)(x-2)<0⇒-1<x<2,又x∈Z,∴B={0,1},∴A∪B={0,1,2,3}.故选C.40.(2016课标Ⅲ理,1,5分)设集合S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>0},则S∩T=()A.[2,3]B.(-∞,2]∪[3,+∞)C.[3,+∞)D.(0,2]∪[3,+∞)答案D S={x|(x-2)(x-3)≥0}={x|x≤2或x≥3},在数轴上表示出集合S,T,如图所示:由图可知S∩T=(0,2]∪[3,+∞),故选D.评析本题主要考查了集合的运算,数轴是解决集合运算问题的“利器”.41.(2016课标Ⅰ文,1,5分)设集合A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},则A∩B=()A.{1,3}B.{3,5}C.{5,7}D.{1,7}答案B∵A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},∴A∩B={3,5},故选B.42.(2016课标Ⅱ文,1,5分)已知集合A={1,2,3},B={x|x2<9},则A∩B=()A.{-2,-1,0,1,2,3}B.{-2,-1,0,1,2}C.{1,2,3}D.{1,2}答案D由已知得B={x|-3<x<3},∵A={1,2,3},∴A∩B={1,2},故选D.B=()43.(2016课标Ⅲ文,1,5分)设集合A={0,2,4,6,8,10},B={4,8},则∁AA.{4,8}B.{0,2,6}C.{0,2,6,10}D.{0,2,4,6,8,10}答案C由补集定义知∁A B={0,2,6,10},故选C.44.(2016天津理,1,5分)已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x∈A},则A∩B=()A.{1}B.{4}C.{1,3}D.{1,4}答案D由题易知B={1,4,7,10},所以A∩B={1,4},故选D.45.(2016山东理,2,5分)设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<0},则A∪B=()A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,+∞)D.(0,+∞)答案C∵A=(0,+∞),B=(-1,1),∴A∪B=(-1,+∞).故选C.Q)=()46.(2016浙江,1,5分)已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(∁RA.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.(-∞,-2]∪[1,+∞)答案B∵Q=(-∞,-2]∪[2,+∞),∴∁R Q=(-2,2),∴P∪(∁R Q)=(-2,3],故选B.47.(2015课标Ⅱ,1,5分)已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则A∩B=()A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{0,1,2}答案A因为B={x|(x-1)(x+2)<0}={x|-2<x<1},A={-2,-1,0,1,2},故A∩B={-1,0}.选A.48.(2015课标Ⅰ文,1,5分)已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为()A.5B.4C.3D.2答案D由已知得A={2,5,8,11,14,17,…},又B={6,8,10,12,14},所以A∩B={8,14}.故选D.49.(2015课标Ⅱ文,1,5分)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|0<x<3},则A∪B=()A.(-1,3)B.(-1,0)C.(0,2)D.(2,3)答案A因为A=(-1,2),B=(0,3),所以A∪B=(-1,3),故选A.50.(2015陕西文,1,5分)设集合M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},则M∪N=()A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(-∞,1]答案A由题意知M={0,1},N={x|0<x≤1},所以M∪N=[0,1].故选A.51.(2014课标Ⅰ理,1,5分)已知集合A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则A∩B=()A.[-2,-1]B.[-1,2)C.[-1,1]D.[1,2)答案A由不等式x2-2x-3≥0解得x≥3或x≤-1,因此集合A={x|x≤-1或x≥3},又集合B={x|-2≤x<2},所以A∩B={x|-2≤x≤-1},故选A.52.(2014课标Ⅱ理,1,5分)设集合M={0,1,2},N={x|x2-3x+2≤0},则M∩N=()A.{1}B.{2}C.{0,1}D.{1,2}答案D由已知得N={x|1≤x≤2},∵M={0,1,2},∴M∩N={1,2},故选D.53.(2014课标Ⅱ文,1,5分)已知集合A={-2,0,2},B={x|x2-x-2=0},则A∩B=()A.⌀B.{2}C.{0}D.{-2}答案B∵集合A={-2,0,2},B={x|x2-x-2=0}={2,-1},∴A∩B={2},故选B.54.(2013课标Ⅱ理,1,5分)已知集合M={x|(x-1)2<4,x∈R},N={-1,0,1,2,3},则M∩N=()A.{0,1,2}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,2,3}D.{0,1,2,3}答案A化简得M={x|-1<x<3},所以M∩N={0,1,2},故选A.55.(2013课标Ⅰ文,1,5分)已知集合A={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A},则A∩B=()A.{1,4}B.{2,3}C.{9,16}D.{1,2}答案A∵B={x|x=n2,n∈A}={1,4,9,16},∴A∩B={1,4},故选A.56.(2013课标Ⅱ文,1,5分)已知集合M={x|-3<x<1},N={-3,-2,-1,0,1},则M∩N=()A.{-2,-1,0,1}B.{-3,-2,-1,0}C.{-2,-1,0}D.{-3,-2,-1}答案C由题意得M∩N={-2,-1,0}.选C.57.(2013上海理,15,5分)设常数a∈R,集合A={x|(x-1)(x-a)≥0},B={x|x≥a-1},若A∪B=R,则a的取值范围为()A.(-∞,2)B.(-∞,2]C.(2,+∞)D.[2,+∞)答案B当a=1时,集合A=R,满足A∪B=R.当a>1时,A=(-∞,1]∪[a,+∞),由A∪B=R,得a-1≤1,所以1<a≤2;当a<1时,A=(-∞,a]∪[1,+∞),由A∪B=R,得a-1≤a,所以a<1.综上所述,a≤2.58.(2012大纲全国理,2,5分)已知集合A={1,3,},B={1,m},A∪B=A,则m=()A.0或3B.0或3C.1或3D.1或3答案B由A∪B=A得B⊆A,则m∈A,所以有m=或m=3,所以m=3或m=1或m=0,又由集合中元素的互异性知m≠1,故选B.59.(2011课标文,1,5分)已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则P的子集共有()A.2个B.4个C.6个D.8个答案B由题意得P=M∩N={1,3},∴P的子集为⌀,{1},{3},{1,3},共4个,故选B.M=⌀,则M∪N=() 60.(2011辽宁理,2,5分)已知M,N为集合I的非空真子集,且M,N不相等,若N∩∁IA.MB.NC.ID.⌀答案A∵N∩∁I M=⌀,∴N⊆M.又M≠N,∴N⫋M,∴M∪N=M.故选A.61.(2020江苏,1,5分)已知集合A={-1,0,1,2},B={0,2,3},则A∩B=.答案{0,2}解析∵A={-1,0,1,2},B={0,2,3},∴A∩B={0,2}.62.(2018江苏,1,5分)已知集合A={0,1,2,8},B={-1,1,6,8},那么A∩B=.答案{1,8}解析本题考查集合的运算.∵A={0,1,2,8},B={-1,1,6,8},∴A∩B={1,8}.。
集合—(2018-2022)高考真题汇编
集合—（2018-2022）高考真题汇编一、单选题(共41题；共205分)1．（5分）（2022·浙江）设集合A={1，2}，B={2，4，6}，则A∪B=（）A．{2}B．{1，2}C．{2，4，6}D．{1，2，4，6}【答案】D【解析】【解答】由并集运算，得A∪B={1，2，4，6}.故答案为：D【分析】利用并集运算求解即可．2．（5分）（2022·新高考Ⅱ卷）已知集合A={−1，1，2，4}，B={x||x−1|≤1}，则A∩B=（）A．{−1，2}B．{1，2}C．{1，4}D．{−1，4}【答案】B【解析】【解答】B={x|0≤x≤2}，故A∩B={1，2}.故答案为：B【分析】先求出集合B，再根据交集的概念求A∩B即可.3．（5分）（2022·全国乙卷）集合M={2，4，6，8，10}，N={x|−1<x<6}，则M∩N=（）A．{2，4}B．{2，4，6}C．{2，4，6，8}D．{2，4，6，8，10}【答案】A【解析】【解答】因为M={2，4，6，8，10}，N={x|−1<x<6}，所以M∩N={2，4}. 故选：A【分析】根据集合的交集运算即可求解.4．（5分）（2022·全国甲卷）设全集U={−2，−1，0，1，2，3}，集合A={−1，2}，B={x∣A．{1，3}B．{0，3}C．{−2，1}D．{−2，0}【答案】D【解析】【解答】解：由题意得，B={x∣x2−4x+3=0}={1，3}，所以A∪B={-1，1，2，3} ，所以∁U(A∪B)={−2，0}.故选：D【分析】先求解方程求出集合B，再由集合的并集、补集运算即可得解.5．（5分）（2022·全国甲卷）设集合A={−2，−1，0，1，2}，B={x∣0⩽x<52}，则A∩B=（）A．{0，1，2}B．{−2，−1，0}C．{0，1}D．{1，2}【答案】A【解析】【解答】解：∵A={−2，−1，0，1，2}，B={x∣0⩽x<52}，∴A∩B={0，1，2}.故选：A【分析】根据集合的交集运算即可解出．6．（5分）（2022·全国乙卷）设全集U={1，2，3，4，5}，集合M满足∁U M={1，3}，则（）A．2∈M B．3∈M C．4∉M D．5∉M【答案】A【解析】【解答】易知M={2，4，5}，对比选项即可判断，A正确.故选：A【分析】先写出集合M，即可判断.7．（5分）（2022·北京）已知全集U={x|−3<x<3}，集合A={x|−2<x≤1}，则C U A=（）A．(−2，1]B．(−3，−2)∪[1，3)C．[−2，1)D．(−3，−2]∪(1，3)【解析】【解答】根据题意可得：C U A=(−3，−2]∪(1，3)故答案为：D【分析】直接根据补集的概念计算即可.8．（5分）（2022·新高考Ⅱ卷）若集合M={x∣√x<4}，N={x∣3x⩾1}，则M∩N=（）A．{x∣0≤x<2}B．{x∣13≤x<2}C．{x∣3≤x<16}D．{x∣13≤x<16}【答案】D【解析】【解答】解：由题意得，M={x|0≤x<16}，N={x|x≥13}，则M∩N= {x∣13≤x<16}，故选：D【分析】先由不等式的解法求得集合M，N，再根据交集的运算求得答案.9．（5分）（2021·北京）已知集合A={x|−1<x<1}，B={x|0≤x≤2}，则A∪B=（）A．(−1,2)B．(−1,2]C．[0,1)D．[0,1]【答案】B【解析】【解答】解：根据并集的定义易得A∪B={x|−1<x≤2}，故答案为：B【分析】根据并集的定义直接求解即可.10．（5分）（2021·浙江）设集合A={x|x≥1}，B={x|−1<x<2}，则A∩B=（）A．{x|x>−1}B．{x|x≥1}C．{x|−1<x<1}D．{x|1≤x<2}【答案】D【解析】【解答】因为A={x|x≥1}，B={x|−1<x<2},所以A∩B={x|1≤x<2}.故答案为：D.【分析】利用数轴，求不等式表示的集合的交集。
上海(沪教版)2020届高考考典——第1章-集合和命题(教师版)
第1章 集合和命题考点解读1.理解集合的有关概念（1）集合中元素的特征：确定性、无序性、互异性.在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性. （2）集合与元素的关系用符号∈和∉表示.（3）常用数集的表示符号：自然数集 N ；正整数集Z + 、N *；整数集Z ；有理数集Q 、实数集R . （4）常用数的表示： 若n 为偶数，则=n 2,k k Z ∈ ；若n 为奇数，则=n 21,k k Z -∈；若n 被3整除，则=n 3,k k Z ∈；若n 被3除余1，则=n 3-2,k k Z ∈.（5）集合的表示法：列举法 ， 描述法 ，图示法.(6)空集是指不含任何元素的集合.（}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 2.集合间的关系及其运算（1）子集的定义：若集合A 的任何元素都是集合B 的元素，则称集合A 是集合B 的子集，用符号表示为A B ⊆或B A ⊇.（2）真子集的定义：若集合A 是集合B 的子集，并且B 中至少一个元素不属于A ，则称集合A 是集合B 的真子集.集合A 是集合B 的真子集，用符号表示为A B ≠⊂.（3）A B ⋂={x | x A ∈且x B ∈}；A B ⋃={x | x A ∈或x B ∈}；U C A ={x | ,x A x U ∉∈}. 对于任意集合,A B ,则：①A B ⋃=B A ⋃；A B ⋂=B A ⋂；A B ⋂⊆A B ⋃； ② A B ⋂=A ⇔A B ⊆; A B ⋃=A ⇔B A ⊆； ③U U U C A C B C ⋂=(A B ⋃);U C B =()U C A B ⋂ .3．对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2，12-n 21n -22n -.两个有限集并集的元素个数公式：()Card A B ⋃=()()()Card A Card B Card A B +-⋂． 4．数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题. 5．四种命题及其相互关系 若原命题是“若p 则q ”，则逆命题为“若q 则p ”；否命题为“若p 不成立 则q 不成立” ；逆否命题为“若q 不成立 则p 不成立” .6． 反证法：当证明“若p 则q ”感到困难时，改证它的等价命题即其逆否命题.7．充要条件（1）关键是分清条件和结论（划主谓宾）；（2）如果αβ⇒，那么α是β的充分条件，β是α的必要条件； （3）如果αβ⇔，那么α是β的充分必要条件；（4）注意“β的充分条件是α”与“α是β的充分条件”在题目中的区别.【矛盾来源】①与原命题的条件矛盾；②导出与假设相矛盾的命题； ③导出一个恒假命题.【步骤】①假设结论反面成立；②从这个假设出发，推理论证，得出矛盾； ③由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确.【思考】哪些命题宜用反证法？适用于待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时.8.子集与推出关系：从集合角度解释， 若B A ⊆，则A 是B 的充分条件； 若B A ⊆，则A 是B 的必要条件； 若A B =，则A 是B 的充要条件.1.1集合及其表示法例题精讲【例1】用适当的方法表示下列集合．（1） 方程2222(1)()(2)(1)03x x x x +--+=的有理根的集合A ； （2） 坐标平面内，不在第一、第三象限的点的集合； （3） 方程组23037x y x y -=⎧⎨-=⎩的解集；（4） 到两坐标轴距离相等的点． 【参考答案】（1）这题容易错在把两个无理根2±21,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭．（2）这题易错在表达不全，可以用描述法，正确答案：{}(,)0,,x y xy x R y R ≤∈∈． （3）两种表示方法，可以是{}230(,)37x y x y x y -=⎧⎨-=⎩，也可以是{（3,2）}，学生易错成{3，2}，这里要强调点集和数集的区别． （4）{}(,)x ,,x y y x y R =∈．【例2】已知集合{}13,23A x x a =≤= ） A a A ⊆ B a A ∈ C a A ∉ D {}a A ∈【参考答案】一个元素属于一个集合，用符号∈表示，有些学生会把两个符号,∈⊆用混淆，正确答案B1.2 集合之间的关系例题精讲【例1】确定整数x,y ,使{}{}4,7,2=+y x x【参考答案】根据集合相等的概念可以列出方程组，272447x x x y x y ==⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩或解得722152x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩（舍）， 【例2】已知集合2{25,1},{47,},A s s t t B y y x x x R ==+≥-==-+∈试判断A 与B 之间的关系，并说明理由．【参考答案】1,253,3t t s s s ≥-∴+≥≥∴≥Q 即3,A={},2247(2)33,3y x x x y =-+=-+≥≥∴≥Q 又即y 3,B={y }所以A=B【例3】已知集合{}|2A x x a =-≤≤,{}|23,B y y x x A ==+∈,{}2|,C z z x x A ==∈, 且C B ⊆,求a 的取值范围【参考答案】{}|123B x x a =-≤≤+，当20a -≤≤时，{}2|4C x a x =≤≤， 而C B ⊆ 则1234,,20,2a a a +≥≥-≤≤即而 这是矛盾的； 当02a <≤时，{}|04C x x =≤≤，而C B ⊆， 则11234,,222a a a +≥≥≤≤即即； 当2a >时，{}2|0C x x a=≤≤，而C B ⊆，则223,3a a a +≥<≤即 2； ∴132a ≤≤ 1.3 集合的运算例题精讲【例1】已知集},2|{},,|{2R x y y Q R x x y y P x∈==∈==，求Q P I .【参考答案】集合P 、Q 分别表示函数2x y =与xy 2=在定义域R 上的值域，所以),0[+∞=P ，),0(+∞=Q ，),0(+∞=Q P I .【例2】若}2|{},|{2>=<=x x B a x x A 且∅=B A I ，求a 的取值范围.【参考答案】集合A 有可能是空集.当0≤a 时，∅=A ，此时∅=B A I 成立；当0>a 时，),(a a A -=，若∅=B A I ，则2≤a ，有40≤<a .综上知，4≤a .【例3】已知2A {0}x x ax b =|2-+=，2B {(2)50}x x a x b =|6++++=，且1A B {}2=I ，求A B U ． 【参考答案】 由已知得：11022a b -+=①；11522a b +=-② 7,4a b ∴=-=-则1{4,}2A =-，11{,}32B =，11{4,,}32A B =-U【例4】已知集合2{(,)410,}{(,)35},A B,A x y y x B x y y x ==-+==-I 求并说明它的意义【参考答案】本题考查以有序实数对为为元素集合之间的运算，并关注这种类型的集合作为交集的集合意义．求方程组2y 41035x y x =-+⎧⎨=-⎩的解，注意：已知两集合为以有序数对为元素的集合，所以交集的元素还是有序数对．510{(3,22),(,)},33A B =-I 他可以看作是函数410y x =-+与函数235y x =-的图像的交点的集合．1.4 命题的形式及等价关系例题精讲【例1】判读命题：“若a 与b 的积不是有理数，则a ，b 至少有一个不是有理数”的真假，并说明理由． 【参考答案】本题主要考察命题的证明（间接证明的方法），原命题与其逆否命题的等价关系． 假设,,a b Q ∈可设,(,,,,0,0)m t a b m n s t Z m s n s ==∈≠≠，则ab =ntmsQ ∈，与条件矛盾， 所以,a b 至少有一个不是有理数“至少有一个不是”的否定是“都是”，本题不用直接证明而是证明逆 否命题，其原因是：“不是有理数”不如“是有理数”容易用数学语言表达，“是有理数”即“可写成分数形式”1.5 充分条件、必要条件例题精讲【例1】设有集合}2|),{(},2|),{(22>-=>+=x y y x N y x y x M ，则点M P ∈的＿＿＿＿＿＿＿条件是点N P ∈；点M P ∈是点N P ∈的＿＿＿＿＿＿＿条件. 【参考答案】集合M 是圆222=+y x 外的所有点的集合，N 是直线2+=x y 上方的点的集合.显然有M N ⊆.（充分不必要、必要不充分）【例2】求证：二次方程02=++c bx ax 有一根为1的充要条件是0=++c b a 【参考答案】证明：（1）充分性 若0=++c b a 将1=x 代入方程得2110a b c a b c ⋅+⋅+=++= 所以012=++=c bx ax x 是二次方程的一个根．（2）必要性 已知0=++c b a ，则2110a b c a b c ⋅+⋅+=++=，显然1是方程02=++c bx ax 的一个根．1.6 子集与推出关系例题精讲【例1】(1)已知集合2{|440}M x x x =-+>,集合N=2269{|0}2)x x x x -+>-（,则x M ∈是x N ∈的 ________________条件(2)已知条件p :12x +>,条件q :256x x ->,则q 是p 的______________________条件． 【参考答案】本题从子集的角度去判定充分条件与必要条件．对集合M,N 进行化简，因为2{|440}M x x x =-+>=-,-2)(2,)∞⋃+∞（, N=2269{|0}2)x x x x -+>-（= -,-2)(2,3)(3,)∞⋃⋃+∞（，所以，N M于是“x M ∈”是“x N ∈”的必要非充分条件．过关演练一、集合1、（上海市封浜中学2019届高三上学期期中）设集合},1|2|{R ∈<-=x x x A ，集合Z =B ，则=B A I _____________．2、（静安区市西中学2019届高三上学期期中）已知集合{|1}A x x =≤，集合{|}B t t a =≥，且A B =R U ，则a 的取值范围为3、（七宝中学2019届高三上学期期中）集合A ＝｛0，1，2018｝的真子集有________个4、（松江区2018高三上期末）已知集合{|03}A x x =<<，2{|4}B x x =≥，则A B =I ▲ ．5、（2019届崇明区高三二模）已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,3,4}A =，{1,3,5}B =，则()U A B =I ð6、（2019届闵行松江区高三二模）已知集合{||1|1}A x x =-<，{|1}B x x =>，则A B =I7、（2019届浦东新区高三二模）若集合{|5}A x x =>，集合{|7}B x x =≤，则A B =I8、（2019届青浦区高三二模）已知{|}A y y x ==，2{|log }B y y x ==，则A B =I （ ）A. (0,)+∞B. [0,)+∞C. {2}D. {(4,2)}9、（2019届宝山区高三二模）已知i 为虚数单位，则集合{}Z n i x x A n ∈==;中元素的个数为_____________ 10、（2019届嘉定长宁区高三二模）已知集合{}1,2,3,4A =，{}25,B x x x R =<<∈，则A B =I 11、（2019届普陀区高三二模）已知集合A ＝{x ||x ﹣1|＞3}，U ＝R ，则∁U A ＝ ．12、（2019届徐汇区高三二模）设全集U =R ，若集合{1,2,3,4}A =，{|23}B x x =≤≤，则U A B =I ð 13、（奉贤区2019届高三一模）已知{|31}x A x =<，{|lg(1)}B x y x ==+，则A B =U 14、（虹口区2019届高三一模）设全集U =R ，若{2,1,0,1,2}A =--，3{|log (1)}B x y x ==-，则()U A B =I ð15、（松江区2019届高三一模）设集合{|1}A x x =>，{|0}3xB x x =<-，则A B =I 16、（闵行区2019届高三一模）已知全集U =R ，集合2{|30}A x x x =-≥，则U A =ð 17、（静安区2018高三二模）已知集合{1,3,5,7,9}A =，{0,1,2,3,4,5}B =，则图中阴影部 分集合用列举法表示的结果是18、（静安区2018高三二模）已知集合2{(,)|()20}A x y x y x y =+++-≤，222{(,)|(2)(1)}2aB x y x a y a a =-+--≤-，若A B ≠∅I ，则实数a 取值范围为19、（普陀区2018高三二模）设集合1|,2xM y y x R ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，()()()1|1112,121N y y x m x x m ⎧⎫⎛⎫==+-+--≤≤⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭，若N M ⊆，则实数m 的取值范围是 .参考答案： 一、集合1、}2{2、1a ≤3、74、[)2,3 5、{2,4,5} 6、(1,2) 7、(5,7] 8、B 9、4 10、{}3,4 11、[﹣2，4] 12、{1,4} 13、R 14、{1,2} 15、(1,3)16、(0,3) 17、{0,2,4} 18、19109[,0]+- 19、(1,0)-二、常用逻辑用语1、（上海市封浜中学2019届高三上学期期中）若集合}4,3,2,1{=P ，},50{R x x x Q ∈<<=，则“P x ∈”是“Q x ∈”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 2、（静安区市西中学2019届高三上学期期中）若0a >，0b >，则x y a b xy ab +>+⎧⎨>⎩是x ay b>⎧⎨>⎩成立的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件 3、（七宝中学2019届高三上学期期中）“函数存在反函数”是“函数在上为增函数”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4、（华东师范大学第二附属中学2019届高三10月考试）设集合A=，B=，则“AB=R”是“a =1”的______条件（填写：充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件之一）5、（2019届崇明区高三二模）对于实数x ，“||1x <”是“1x <”的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 6、（2019届黄浦区高三二模）设x ∈R ，“0x >”是“(1)0x x +>”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件 7、（2019届青浦区高三二模）已知△ABC 是斜三角形，则“A B >”是“|tan ||tan |A B >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件8、（2019届杨浦区高三二模）已知命题α：“双曲线的方程为222x y a -=（0a >）”和命题β：“双曲线的两条渐近线夹角为2π”，则α是β的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件9、（2019届宝山区高三二模）设121212(,),(,),(,)A a a B b b C c c 点均非原点，则“OC u u u r 能表示成OA u u u r 和OB uuu r的线性组合”是“方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩有唯一解”的（ ）A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 10、（2019届嘉定长宁区高三二模）已知x R ∈，则“11x>”是“1x <”的（ ） A)充分非必要条件(B)必要非充分条件 (C)充要条件(D)既非充分又非必要条件11、（2019届徐汇区高三二模）设*n ∈N ，则“数列{}n a 为等比数列”是“数列{}n a 满足312n n n n a a a a +++⋅=⋅”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件 12、（宝山区2019届高三一模）“,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦”是“sin(arcsin )x x =”的（ ）条件． （A ）充分非必要． （B ）必要非充分． （C ）充要． （D ）既非充分又非必要．13、（奉贤区2019届高三一模）若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件14、（金山区2019届高三一模）给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件高考考典第1章—集合和命题教师版 11 15、（青浦区2019届高三一模）“4n =”是“1()n x x +的二项展开式存在常数项”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件16、（徐汇区2019届高三一模）设R θ∈，则“=6πθ”是“1sin =2θ”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件17、（黄浦区2018高三二模）在空间中，“直线m ⊥平面α”是“直线m 与平面α内无穷多条直线都垂直 ”的 答( )．(A )充分非必要条件 (B )必要非充分条件(C )充要条件 (D )非充分非必要条件18、（普陀区2018高三二模）设n S 是无穷等差数列{}n a 的前n 项和（*N n ∈），则“lim n n S →∞存在”是“该数列公差0d =”的 ……………………………………………………………………………（ ）)A (充分非必要条件 ()B 必要非充分条件()C 充要条件 ()D 既非充分也非必要条件19、（青浦区2018高三二模）设,αβ是两个不同的平面，b 是直线且b β⊂≠．则“b α⊥”是“αβ⊥”的（ ）．（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件20、（青浦区2018高三上期末）“a b >” 是“22a b ab +⎛⎫> ⎪⎝⎭”成立的……………………（ ）． （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件参考答案：二、常用逻辑用语1、A2、B3、B4、必要不充分条件5、A6、A7、C8、A 9、B 10、A 11、A12、B 13、A14、B 15、A 16、A 17、A 18、A19、A 20、A。
2025年上海市数学高考一轮复习重难点 专题1集合与逻辑(考点练+模拟练)含详解
专题01集合与逻辑（考点练+模拟练）一、填空题1．（23-24高三上·上海·期中）已如全集U =R ，集合10,x A x x x ⎧⎫-=≥∈⎨⎬⎩⎭R ，则A =．2．（23-24高三上·上海黄浦·开学考试）“0x ≠或0y ≠”是“220x y +≠”的条件.3．（2023·上海普陀·模拟预测）已知命题p ：任意正数x ，恒有()1e 1xx +>，则命题p 的否定为．4．（23-24高三上·上海·期中）已知集合()2,1A =-，()()4,11,2B =-- ，则A B =．5．（22-23高一上·上海复旦附中分校·阶段练习）已知全集U =R ，集合{|1},{|2}A x x B x x =≤=≥，则A B ＝．6．（23-24高三上·上海奉贤·阶段练习）已知集合{}ln M x y x ==，集合11N y y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，则M N ⋂=．7．（23-24高三上·上海松江·期中）已知2:280,:123p x x q a x a --<-<<-，且p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是.8．（23-24高三上·上海静安·开学考试）集合{}1,2,A a =，{}21,2B a =-，若集合A B ⋃中有三个元素，则实数=a .9．（23-24高一上·河北邯郸·阶段练习）若集合{}N |12A x x =∈-<≤，{},,B x x ab a b A ==∈，则集合B 的非空真子集的个数为.10．（20-21高三上·上海崇明·阶段练习）已知:31x m α<-或x m >-，:2x β<或4x ≥，若α是β的必要条件，则实数m 的取值范围是.11．（20-21高一上·上海闵行·期中）已知集合M ＝25|0ax x x a -⎧⎫<⎨⎬-⎩⎭，若3,5M M ∈∉，则实数a 的取值范围是．12．（23-24高三上·上海浦东新·期中）M 是正整数集的子集，满足：1,2022,2023M M M ∈∈∉，并有如下性质：若a 、b M ∈，则222a b M ⎤+∈⎥⎥⎦，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则M 的非空子集个数为．二、单选题13．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）已知集合π,2m A x x m ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，集合π,4n B x x n ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，则A B = （）A ．∅B ．AC ．BD ．{}π,x x k k =∈Z 14．（16-17高一上·上海浦东新·期中）已知集合A ，B ，若A 不是B 的子集，则下列命题中正确的是（）A ．对任意的a A ∈，都有aB ∉B ．对任意的a B ∈，都有a A ∈C ．存在0a ，满足0a A ∈，且0a B∉D ．存在0a ，满足0a A ∈，且0a B∈15．（21-22高三上·上海浦东新·阶段练习）集合,A B 各有8个元素,A B ⋂有6个元素,若集合C 满足:()()A B C A B ⊆⊆ ,则满足条件的集合C 共有（）A ．32个B ．16个C ．8个D ．4个16．（20-21高三上·浙江·开学考试）设集合,S T 中至少两个元素，且,S T 满足：①对任意,x y S ∈，若x y ≠，则x y T +∈，②对任意,x y T ∈，若x y ≠，则x y S -∈，下列说法正确的是（）A ．若S 有2个元素，则S T 有3个元素B ．若S 有2个元素，则S T 有4个元素C ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有5个元素D ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有4个元素三、解答题17．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）设全集()(){}4230,0A x ax x a a =+-+>>，B x y ⎧⎪==⎨⎪⎩.(1)若2a =，求A B ⋂，A B ；(2)若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.18．（22-23高三上·上海青浦·期中）已知集合{}(2)(3)0A x x x =--≤，{}3B x a x a =<<，且0a >．(1)若x A ∈是x B ∈的充分条件，求实数a 的取值范围；(2)若命题“A B ⋂=∅”为假命题，求实数a 的取值范围．19．（22-23高三上·上海崇明·阶段练习）已知R 为全集，集合R 21|1,1x A x x x -⎧⎫=≤∈⎨⎬+⎩⎭，集合{}1,R B x x a x =-≤∈．(1)求集合A ；(2)若B A B ⋂=，求实数a 的取值范围．20．（22-23高三上·上海浦东新·阶段练习）设全集U 为R ，集合{}11A x x =-<，{}2320B x x x =--≥.(1)求A B ；(2)若{}22430C x x ax a A B =-+≥⊇⋃，求a 的取值范围.21．（23-24高一上·上海·期中）集合{}12,,,n A a a a =⋅⋅⋅是由()3n n >个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素()1,2,,i a i n =⋅⋅⋅之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”．(1)判断集合{}1,2,3,4、{}1,3,5,7,9,11,13是否为“可分集合”（不用说明理由）；(2)求证：五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；(3)若集合{}12,,,n A a a a = 是“可分集合”，证明n 是奇数．一、填空题1．（2022·上海·模拟预测）已知集合{}2=|40,A x x x x N *-<∈，则用列举法表示集合A =2．（2022·上海浦东新·模拟预测）已知集合()0,2A =，()1,3B =，则A B ⋃=.3．（2024·上海·三模）已知集合{}0,1,2A =，{}331B x x x =-≤，则A B =4．（2024·上海·三模）已知集合{}1,3,4A =，{},1B a a =+，若A B B = ，则=a ．5．（2024·上海·三模）已知集合{}11A x x =-<，11B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B =．6．（2023·上海静安·二模）若集合{}22,log A a =，{},B a b =，且{}0A B ⋂=，则A B ⋃=.7．（2023·上海青浦·二模）已知集合(){}{}|ln 3,|A x y x B x x a ==-=>，若A B ⋂=∅，则实数a 的取值范围为.8．（2024·上海宝山·二模）已知集合{}2,1,3A a a =++，且1A ∈，则实数a 的值为.9．（2017·上海奉贤·一模）已知互异实数0mn ≠，集合{}{}22,,m n m n =，则m n +=．10．（2023·上海金山·一模）若集合()(){}2,20A x y x y x y =+++-≤，()()(){}222,211B x y x a y a a =-+--≤-，且A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围是.11．（2022·上海青浦·二模）已知集合1,[,1]6A s s t t ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，其中1A ∉且16s t +<，函数()1xf x x =-，且对任意a A ∈，都有()f a A ∈，则t 的值是．12．（2022·上海普陀·一模）设非空集合Q M ⊆，当Q 中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称Q 是M 的偶子集，若集合{}1,2,3,4,5,6,7=M ，则其偶子集Q 的个数为.二、单选题13．（2022·上海·模拟预测）已知集合(){},2A x y x y =+=，(){},24B x y x y =-=-，则A B = （）A ．{}0,2B ．()0,2C ．∅D ．(){}0,214．（2023·上海普陀·二模）设,a b 为实数，则“0a b >>”的一个充分非必要条件是（）A>B ．22a b >C ．11b a>D ．a b b a->-15．（2023·上海普陀·一模）设1A 、2A 、3A 、L 、7A 是均含有2个元素的集合，且17A A ⋂=∅，()11,2,3,,6i i A A i +⋂=∅= ，记1237B A A A A =⋃⋃⋃⋃ ，则B 中元素个数的最小值是（）A ．5B ．6C ．7D ．816．（2021·上海青浦·一模）设函数,()1,x x P f x x Mx-∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩，其中,P M 是实数集R 的两个非空子集，又规定()(){},A P y y f x x P ==∈，()(){},A M y y f x x M ==∈，则下列说法：（1）一定有()()A P A M ⋂=∅；（2）若P M R ⋃≠，则()()A P A M R ⋃≠；（3）一定有P M ⋂=∅；（4）若P M R ⋃=，则()()A P A M R ⋃=.其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4三、解答题17．（2017·上海浦东新·三模）数列{}n a 的前n 项12,,,n a a a ⋅⋅⋅()*N n ∈组成集合{}12,,,n n A a a a =⋅⋅⋅，从集合n A 中任取(1,2,3,,)k k n =⋅⋅⋅个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为k T （若只取一个数，规定乘积为此数本身），例如：对于数列{21}n -，当1n =时，1{1},A =11;T =2n =时，2{1,3},A =113,T =+213T =⋅；(1)若集合{1,3,5,,21}n A n =⋅⋅⋅-，求当3n =时，1,T 2,T 3T 的值；(2)若集合{}1,3,7,,21nn A =⋅⋅⋅-，证明：n k =时集合k A 的m T 与1n k =+时集合1k A +的m T （为了以示区别，用m T '表示）有关系式()1121k m m m T T T +-'=-+，其中*,N ,m k ∈2m k ≤≤；(3)对于（2）中集合n A ．定义12=+++…n n S T T T ，求n S （用n 表示）．专题01集合与逻辑（考点练+模拟练）一、填空题1．（23-24高三上·上海·期中）已如全集U =R ，集合10,x A x x x ⎧⎫-=≥∈⎨⎬⎩⎭R ，则A =．【答案】{}01x x ≤<【分析】解出集合A ，利用补集的定义可求得集合A .【解析】由10x x -≥可得()100x x x ⎧-≥⎨≠⎩，解得0x <或1x ≥，则{0A x x =<或}1x ≥，又因为全集U =R ，则{}01A x x =≤<.故答案为：{}01x x ≤<.2．（23-24高三上·上海黄浦·开学考试）“0x ≠或0y ≠”是“220x y +≠”的条件.【答案】充要【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【解析】命题“若0x ≠或0y ≠，则220x y +≠”是真命题，命题“若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠”是真命题，所以“0x ≠或0y ≠”是“220x y +≠”的充要条件.故答案为：充要3．（2023·上海普陀·模拟预测）已知命题p ：任意正数x ，恒有()1e 1xx +>，则命题p 的否定为．【答案】存在正数0x ，使()001e 1xx +≤【分析】含有全称量词的否定，改成特称量词即可.【解析】由全称命题的否定为特称命题知：存在正数0x ，使()001e 1xx +≤.故答案为：存在正数0x ，使()001e 1xx +≤4．（23-24高三上·上海·期中）已知集合()2,1A =-，()()4,11,2B =-- ，则A B = ．【答案】()2,1--【分析】直接由交集的概念、区间的表示即可得解.【解析】因为()2,1A =-，()()4,11,2B =-- ，所以()2,1A B ⋂=--.故答案为：()2,1--.5．（22-23高一上·上海复旦附中分校·阶段练习）已知全集U =R ，集合{|1},{|2}A x x B x x =≤=≥，则A B ＝．6．（23-24高三上·上海奉贤·阶段练习）已知集合{}ln M x y x ==，集合11N y y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，则M N ⋂=．【答案】()0,∞+【分析】根据函数的定义域及值域结合交集的运算求值即可.【解析】由题意可知()()()0,,,00,M N ∞∞∞=+=-⋃+，所以()0,M N ∞⋂=+.故答案为：()0,∞+7．（23-24高三上·上海松江·期中）已知2:280,:123p x x q a x a --<-<<-，且p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是.8．（23-24高三上·上海静安·开学考试）集合{}1,2,A a =，{}21,2B a =-，若集合A B ⋃中有三个元素，则实数=a .【答案】2-或1-【分析】集合A B ⋃中有三个元素，则222a -=或22a a -=，解方程并检验即可.【解析】集合{}1,2,A a =，{}21,2B a =-，若集合A B ⋃中有三个元素，则222a -=或22a a -=，若222a -=，解得2a =±，其中2a =与元素互异性矛盾舍去，2a =-满足题意；若22a a -=，解得2a =或1a =-，2a =舍去，1a =-满足题意，所以2a =-或1a =-.故答案为：2-或1-9．（23-24高一上·河北邯郸·阶段练习）若集合{}N |12A x x =∈-<≤，{},,B x x ab a b A ==∈，则集合B 的非空真子集的个数为.10．（20-21高三上·上海崇明·阶段练习）已知:31x m α<-或x m >-，:2x β<或4x ≥，若α是β的必要条件，则实数m 的取值范围是.11．（20-21高一上·上海闵行·期中）已知集合M ＝2|0x x a -⎧⎫<⎨⎬-⎩⎭，若3,5M M ∈∉，则实数a 的取值范围是．12．（23-24高三上·上海浦东新·期中）M 是正整数集的子集，满足：1,2022,2023M M M ∈∈∉，并有如下性质：若a 、b M ∈，则M ∈，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则M 的非空子集个数为．二、单选题13．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）已知集合π,2m A x x m ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，集合π,4n B x x n ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，则A B = （）A ．∅B ．AC ．BD ．{}π,x x k k =∈Z14．（16-17高一上·上海浦东新·期中）已知集合A ，B ，若A 不是B 的子集，则下列命题中正确的是（）A ．对任意的a A ∈，都有aB ∉B ．对任意的a B ∈，都有a A ∈C ．存在0a ，满足0a A ∈，且0a B∉D ．存在0a ，满足0a A ∈，且0a B∈【答案】C【分析】根据子集关系结合元素与集合的关系逐项分析判断.【解析】对于选项A 、B ：例如{}{}1,2,2,3A B ==，满足A 不是B 的子集，但2,2A B ∈∈，故A 错误；3,3A B ∉∈，故B 错误；对于选项C ：对任意的a A ∈，都有a B ∈，则A B ⊆，若A 不是B 的子集，则存在0a ，满足0a A ∈，且0a B ∉，故C 正确；对于选项D ：例如{}{}1,2A B ==，满足A 不是B 的子集，但不存在0a ，满足0a A ∈，且0a B ∈，故D 错误；故选：C.15．（21-22高三上·上海浦东新·阶段练习）集合,A B 各有8个元素,A B ⋂有6个元素,若集合C 满足:()()A B C A B ⊆⊆ ,则满足条件的集合C 共有（）A ．32个B ．16个C ．8个D ．4个【答案】B【分析】根据题意设出集合,A B ,根据()()A B C A B ⊆⊆ 判断集合C 中元素的构成情况,根据子集和集合中元素的个数关系即可得出结果.【解析】解:由题知,A B 各有8个元素,且A B ⋂有6个元素,设{}123456,,,,,c c c c A c c B = ,且{}12123456,,,,,,,,a a c c c c c c A ={}12123456,,,,,,,b bc c c c c B c =,则画Venn 图如下:因为()()A B C A B ⊆⊆ ,所以{}{}1234561212123456,,,,,,,,,,,,,,,c c c c c c C a a b b c c c c c c ⊆⊆所以集合C 中至少有123456,,,,,c c c c c c ,6个元素,最多有1212123456,,,,,,,,,a a b b c c c c c c ,10个元素,只需求出{}1212,,,a a b b 的子集,在每个子集中加入123456,,,,,c c c c c c 6个元素,即可得集合C ,所以集合C 的个数,即是{}1212,,,a a b b 的子集的个数4216=个.故选:B16．（20-21高三上·浙江·开学考试）设集合,S T 中至少两个元素，且,S T 满足：①对任意,x y S ∈，若x y ≠，则x y T +∈，②对任意,x y T ∈，若x y ≠，则x y S -∈，下列说法正确的是（）A ．若S 有2个元素，则S T 有3个元素B ．若S 有2个元素，则S T 有4个元素C ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有5个元素D ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有4个元素【答案】A【解析】不妨设{,}S a b =，由②知集合S 中的两个元素必为相反数，设{,}S a a =-，由①得0T ∈，由于集合T 中至少两个元素，得到至少还有另外一个元素m T ∈，分集合T 有2个元素和多于2个元素分类讨论，即可求解.【解析】若S 有2个元素，不妨设{,}S a b =，以为T 中至少有两个元素，不妨设{},x y T ⊆，由②知,x y S y x S -∈-∈，因此集合S 中的两个元素必为相反数，故可设{,}S a a =-，由①得0T ∈，由于集合T 中至少两个元素，故至少还有另外一个元素m T ∈，当集合T 有2个元素时，由②得：m S -∈，则,{0,}m a T a =±=-或{0,}T a =.当集合T 有多于2个元素时，不妨设{0,,}T m n =，其中,,,,,m n m n m n n m S ----∈，由于,0,0m n m n ≠≠≠，所以,m m n n ≠-≠-，若m n =-，则n m =-，但此时2,2m n m m m n n n -=≠-=-≠，即集合S 中至少有,,m n m n -这三个元素，若m n ≠-，则集合S 中至少有,,m n m n -这三个元素，这都与集合S 中只有2个运算矛盾，综上，{0,,}S T a a =- ，故A 正确；当集合S 有3个元素，不妨设{,,}S a b c =，其中a b c <<，则{,,}a b b c c a T +++⊆，所以,,,,,c a c b b a a c b c a b S ------∈，集合S 中至少两个不同正数，两个不同负数，即集合S 中至少4个元素，与{,,}S a b c =矛盾，排除C ，D.故选：A.【点睛】解题技巧：解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试卷中发现可以使用的集合的性质的一些因素.三、解答题17．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）设全集()(){}4230,0A x ax x a a =+-+>>，B x y ⎧⎪==⎨⎪⎩.(1)若2a =，求A B ⋂，A B ；(2)若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.18．（22-23高三上·上海青浦·期中）已知集合{}(2)(3)0A x x x =--≤，{}3B x a x a =<<，且0a >．(1)若x A ∈是x B ∈的充分条件，求实数a 的取值范围；(2)若命题“A B ⋂=∅”为假命题，求实数a 的取值范围．19．（22-23高三上·上海崇明·阶段练习）已知R 为全集，集合R |1,1A x x x -⎧⎫=≤∈⎨⎬+⎩⎭，集合{}1,R B x x a x =-≤∈．(1)求集合A ；(2)若B A B ⋂=，求实数a 的取值范围．20．（22-23高三上·上海浦东新·阶段练习）设全集U 为R ，集合11A x x =-<，{}2320B x x x =--≥.(1)求A B ；(2)若{}22430C x x ax a A B =-+≥⊇⋃，求a 的取值范围.21．（23-24高一上·上海·期中）集合{}12,,,n A a a a =⋅⋅⋅是由()3n n >个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素()1,2,,i a i n =⋅⋅⋅之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”．(1)判断集合{}1,2,3,4、{}1,3,5,7,9,11,13是否为“可分集合”（不用说明理由）；(2)求证：五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；(3)若集合{}12,,,n A a a a = 是“可分集合”，证明n 是奇数．【答案】(1){}1,2,3,4不是“可分集合”，{}1,3,5,7,9,11,13为“可分集合”(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）由“可分集合”的定义判断；（2）不妨设12345a a a a a <<<<，讨论当在集合{}12345,,,,a a a a a 中去掉元素1a 、2a 后，将剩余元素构成的集合，结合“可分集合”的定义进行分拆，得出等式，推出矛盾，即可证得结论成立；（3）根据集合中元素总和与单个元素的奇偶性讨论后证明.【解析】（1）解：对于{}1,2,3,4，去掉3后，{}1,2,4不满足题中条件，故{}1,2,3,4不是“可分集合”，对于{}1,3,5,7,9,11,13，集合{}1,3,5,7,9,11,13所有元素之和为49.当去掉元素1时，剩下的元素之和为48，剩下元素可以组合{}3,5,7,9、{}11,13这两个集合，显然符合题意；当去掉元素3时，剩下的元素之和为46，剩下元素可以组合{}1,9,13、{}5,7,11这两个集合，显然符合题意；当去掉元素5时，剩下的元素之和为44，剩下元素可以组合{}1,3,7,11、{}9,13这两个集合，显然符合题意；当去掉元素7时，剩下的元素之和为42，剩下元素可以组合{}1,9,11、{}3,5,13这两个集合，显然符合题意；当去掉元素9时，剩下的元素之和为40，剩下元素可以组合{}1,3,5,11、{}7,13这两个集合，显然符合题意；当去掉元素11时，剩下的元素之和为38，剩下元素可以组合{}3,7,9、{}1,5,13这两个集合，显然符合题意；当去掉元素13时，剩下的元素之和为36，剩下元素可以组合{}1,3,5,9、{}7,11这两个集合，显然符合题意.综上所述，集合{}1,3,5,7,9,11,13是“可分集合”.（2）证明：不妨设123450a a a a a <<<<<，一、填空题1．（2022·上海·模拟预测）已知集合{}2=|40,A x x x x N *-<∈，则用列举法表示集合A =【答案】{}1,2,3【分析】根据不等式的解法，求得04x <<，进而利用列举法，即可求解.【解析】由不等式240x x -<，可得()40x x -<，解得04x <<，即集合{|04A x x =<<且}{1,2,3}x N *∈=.故答案为：{}1,2,3.2．（2022·上海浦东新·模拟预测）已知集合()0,2A =，()1,3B =，则A B ⋃=.【答案】()0,3【分析】直接根据并集定义求解即可.【解析】因为()0,2A =，()1,3B =，所以()0,3A B ⋃=，故答案为：()0,33．（2024·上海·三模）已知集合{}0,1,2A =，{}331B x x x =-≤，则A B =【答案】{}0,1【分析】把集合中的元素代入不等式331x x -≤检验可求得{0,1}A B = .【解析】当0x =时，303001-⨯=≤，所以0B ∈，当1x =时，313121-⨯=-≤，所以1B ∈，当2x =时，323221-⨯=>，所以2∉B ，所以{0,1}A B = .故答案为：{0,1}.4．（2024·上海·三模）已知集合{}1,3,4A =，{},1B a a =+，若A B B = ，则=a ．【答案】3【分析】根据给定条件，利用交集的结果直接列式计算即得.【解析】集合{}1,3,4A =，{},1B a a =+，由A B B = ，得B A ⊆，又11a a +-=，因此143a a +=⎧⎨=⎩，所以3a =.故答案为：35．（2024·上海·三模）已知集合{}11A x x =-<，11B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B =．6．（2023·上海静安·二模）若集合{}22,log A a =，{},B a b =，且{}0A B ⋂=，则A B ⋃=.【答案】{}0,1,2【分析】依题意可得0A ∈且0B ∈，即可求出a 、b 的值，从而求出集合A 、B ，再根据并集的定义计算可得.【解析】因为{}22,log A a =，{},B a b =，且{}0A B ⋂=，所以0A ∈且0B ∈，显然0a >，所以2log 0a =且0b =，所以1a =，所以{}2,0A =，{}1,0B =，所以{}0,1,2A B = .故答案为：{}0,1,27．（2023·上海青浦·二模）已知集合(){}{}|ln 3,|A x y x B x x a ==-=>，若A B ⋂=∅，则实数a 的取值范围为.【答案】[)3,+∞【分析】求函数的定义域求得集合A ，根据A B ⋂=∅求得a 的取值范围.【解析】由30x ->解得3x <，所以(),3A =-∞，由于A B ⋂=∅，所以3a ≥，所以a 的取值范围是[)3,+∞.故答案为：[)3,+∞8．（2024·上海宝山·二模）已知集合{}2,1,3A a a =++，且1A ∈，则实数a 的值为.9．（2017·上海奉贤·一模）已知互异实数0mn ≠，集合{}{}22,,m n m n =，则m n +=．【答案】-1【分析】分情况讨论2m m =,2n n =,或2n m =,2m n =再计算即可.【解析】互异实数m n ≠,集合{}{}22,,m n m n =,∴2m m =,2n n =,或2n m =,2m n =,0mn ≠,m n ≠．由2m m =,2n n =,0mn ≠,m n ≠,无解．由2n m =,2m n =,0mn ≠,m n ≠．可得22n m m n -=-,解得1m n +=-．故答案为：1-．【点睛】本题主要考查了根据集合的互异性与集合相等求参数的问题,属于基础题型.10．（2023·上海金山·一模）若集合()(){}2,20A x y x y x y =+++-≤，()()(){}222,211B x y x a y a a =-+--≤-，且A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围是.B 其中()()2221x a y a -+--当1a =±时，B 表示点(1,3)当1a ≠±时，B 表示以(M 其圆心在直线21y x =+上，依题意A B ⋂≠∅，即表示圆当1a =-时，显然满足题意，当当1a <-时，因为A B ⋂≠所以d r ≤，即222a a +++所以()()17110a a ++≤，所以1117a -≤<-；当1a >时，因为A B ⋂≠∅11．（2022·上海青浦·二模）已知集合,[,1]6A s s t t ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦ ，其中1A ∉且6s t +<，函数()1xf x x =-，且对任意a A ∈，都有()f a A ∈，则t 的值是．12．（2022·上海普陀·一模）设非空集合Q M ⊆，当Q 中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称Q 是M 的偶子集，若集合{}1,2,3,4,5,6,7=M ，则其偶子集Q 的个数为.【答案】63【分析】对集合Q 中奇数和偶数的个数进行分类讨论，确定每种情况下集合Q 的个数，综合可得结果.【解析】集合Q 中只有2个奇数时，则集合Q 的可能情况为：{}1,3、{}1,5、{}1,7、{}3,5、{}3,7、{}5,7，共6种，若集合Q 中只有4个奇数时，则集合{}1,3,5,7Q =，只有一种情况，若集合Q 中只含1个偶数，共3种情况；若集合Q 中只含2个偶数，则集合Q 可能的情况为{}2,4、{}2,6、{}4,6，共3种情况；若集合Q 中只含3个偶数，则集合{}2,4,6Q =，只有1种情况.因为Q 是M 的偶子集，分以下几种情况讨论：若集合Q 中的元素全为偶数，则满足条件的集合Q 的个数为7；若集合Q 中的元素全为奇数，则奇数的个数为偶数，共7种；若集合Q 中的元素是2个奇数1个偶数，共6318⨯=种；若集合Q 中的元素为2个奇数2个偶数，共6318⨯=种；若集合Q 中的元素为2个奇数3个偶数，共616⨯=种；若集合Q 中的元素为4个奇数1个偶数，共133⨯=种；若集合Q 中的元素为4个奇数2个偶数，共133⨯=种；若集合Q 中的元素为4个奇数3个偶数，共1种.综上所述，满足条件的集合Q 的个数为771818633163+++++++=.故答案为：63.二、单选题13．（2022·上海·模拟预测）已知集合(){},2A x y x y =+=，(){},24B x y x y =-=-，则A B = （）A ．{}0,2B ．()0,2C ．∅D ．(){}0,214．（2023·上海普陀·二模）设,a b 为实数，则“0a b >>”的一个充分非必要条件是（）A >B ．22a b >C ．11b a >D ．a b b a->-15．（2023·上海普陀·一模）设1A 、2A 、3A 、L 、7A 是均含有2个元素的集合，且17A A ⋂=∅，()11,2,3,,6i i A A i +⋂=∅= ，记1237B A A A A =⋃⋃⋃⋃ ，则B 中元素个数的最小值是（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】A 【分析】设1x 、2x 、L 、()4n x n ≥是集合B 互不相同的元素，分析可知4n ≥，然后对n 的取值由小到大进行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解.【解析】解：设1x 、2x 、L 、()4n x n ≥是集合B 互不相同的元素，若3n =，则12A A ⋂≠∅，不合乎题意.①假设集合B 中含有4个元素，可设{}112,A x x =，则{}24634,A A A x x ===，{}35712,A A A x x ===，这与17A A ⋂=∅矛盾；②假设集合B 中含有5个元素，可设{}1612,A A x x ==，{}2734,A A x x ==，{}351,A x x =，{}423,A x x =，{}545,A x x =，满足题意.综上所述，集合B 中元素个数最少为5.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查集合元素个数的最值的求解，解题的关键在于对集合元素的个数由小到大进行分类，对集合中的元素进行分析，验证题中条件是否成立即可.16．（2021·上海青浦·一模）设函数,()1,x x P f x x M x -∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩，其中,P M 是实数集R 的两个非空子集，又规定()(){},A P y y f x x P ==∈，()(){},A M y y f x x M ==∈，则下列说法：（1）一定有()()A P A M ⋂=∅；（2）若P M R ⋃≠，则()()A P A M R ⋃≠；（3）一定有P M ⋂=∅；（4）若P M R ⋃=，则()()A P A M R ⋃=.其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】根据分段函数的定义、一次函数和反比例函数的性质，结合集合交集、并集的运算定义进行判断即可.【解析】函数()f x 是分段函数，故P M ⋂=∅一定成立，因此说法（3）正确；对于（1）：当{}{}1,1P M =-=时，根据已知的规定，有{}{}()1,()1A P A M ==，显然()(){}1A P A M ⋂=≠∅，因此说法（1）不正确；对于（4）：当(,1),[1,)P M =-∞=+∞时，显然满足P M R ⋃=成立，根据已知的规定，有()(1,),()(0,1]A P A M =-+∞=，显然()()(1,)(0,1]A P A M R ⋃=-+∞⋃≠，因此说法（4）不正确；对于（2）来说，当P M R ⋃=时，()()A P A M R ⋃=不一定成立，故当P M R ⋃≠时，显然()()A P A M R ⋃≠一定成立，因此说法（2）正确，所以只有（2）（3）说法正确.故选：B三、解答题17．（2017·上海浦东新·三模）数列{}n a 的前n 项12,,,n a a a ⋅⋅⋅()*N n ∈组成集合{}12,,,n n A a a a =⋅⋅⋅，从集合n A 中任取(1,2,3,,)k k n =⋅⋅⋅个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为k T （若只取一个数，规定乘积为此数本身），例如：对于数列{21}n -，当1n =时，1{1},A =11;T =2n =时，2{1,3},A =113,T =+213T =⋅；(1)若集合{1,3,5,,21}n A n =⋅⋅⋅-，求当3n =时，1,T 2,T 3T 的值；(2)若集合{}1,3,7,,21n n A =⋅⋅⋅-，证明：n k =时集合k A 的m T 与1n k =+时集合1k A +的m T （为了以示区别，用m T '表示）有关系式()1121k m m m T T T +-'=-+，其中*,N ,m k ∈2m k ≤≤；(3)对于（2）中集合n A ．定义12=+++…n n S T T T ，求n S （用n 表示）．。
(完整版)集合有关近年高考题50道及答案解析
【经典例题】【例1】(2009年广东卷文)已知全集U R =，则正确表示集合{1,0,1}M =-和{}2|0N x x x =+=关系的韦恩（Venn ）图是 ( )【答案】B【解析】 由{}2|0N x x x =+=，得{1,0}N =-，则N M ⊂,选B.【例2】(2011广东)已知集合{(,)|,A x y x y =为实数，且}221,x y +={(,)|,B x y x y =为实数，且},AB y x =则的元素个数为 （ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 【答案】C【解析】A 为圆心在原点的单位圆，B 为过原点的直线，故有2个交点，故选C.【例3】（2010天津理）设集合A={}{}|||1,,|||2,.x x a x R B x x b x R -<∈=->∈若A ⊆B ，则实数a,b 必满足( ) A 、||3a b +≤ B 、||3a b +≥ C 、||3a b -≤ D 、||3a b -≥【答案】D【解析】A=｛x|a-1<x<a+1｝,B={x|x<b-2或x>b+2}，因为A ⊆B,所以a+1≤b-2或a-1≥b+2，即a-b ≤-3或a-b ≥3，即|a-b|≥3【例4】（2009广东卷理）已知全集U R =，集合{212}M x x =-≤-≤和{21,1,2,}N x x k k ==-=的关系的韦恩（Venn ）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 ( )A. 3个B. 2个C. 1个D. 无穷多个 【答案】 B【解析】 由{212}M x x =-≤-≤得31≤≤-x ，则{}3,1=⋂N M ，有2个，选B. 【例5】（2010天津文）设集合{}{}A x||x-a|<1,x R ,|15,.A B B x x x R =∈=<<∈⋂=∅若，则实数a 的取值范围是 ( ) A 、{}a |0a 6≤≤ B 、{}|2,a a ≤≥或a 4C 、{}|0,6a a ≤≥或aD 、{}|24a a ≤≤ 【答案】 C【解析】由|x-a|<1得-1<x-a<1,即a-1<x<a+1.如图由图可知a+1≦1或a-1≧5，所以a ≦0或a ≧6.【例6】（2012大纲全国）已知集合{}{}1,3,,1,,A m B m A B A ==⋃=，则m = （ ）A 、0或3B 、0或3C 、1或3D 、1或3 【答案】B 【解析】A B A ⋃= B A ∴⊂，{}{}1,3,,1,A m B m ==m A ∴∈，故m m =或3m =，解得0m =或3m =或1m =，又根据集合元素的互异性1m ≠，所以0m =或3m =。
2024年上海卷高考数学真题(含部分解析)
2024年普通高等学校招生全国统一考试 上海卷数学试卷1.设全集，集合，则_________.2.已知，_________.3.已知，的解集为_________.4.已知，若是奇函数，，_________.5.已知，，，，则k 的值为_________.6.在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为_________.7.已知抛物线上有一点P 到准线的距离为9，那么P 到x 轴的距离为_________.8.某校举办科学竞技比赛，有A 、B 、C 3种题库，A 题库有5000道题，B 题库有4000道题，C 题库有3000道题.小申已完成所有题，他A 题库的正确率是0.92，B 题库的正确率是0.86，C 题库的正确率是0.72，现他从所有的题中随机选一题，正确率是_________.9.已知虚数z ，其实部为1，且，则实数m 为_________.10.设集合A 中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值_________.11.已知A 在O 正东方向，B 在O 的正北方向，O 到A 、B 距离相等，，，则_________.（精确到0.1度）12.等比数列首项，，记，若对任意正整数n ，是闭区间，则q 的范围是_________.13.已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是(){1,2,3,4,5}U ={2,4}A =A=0()1,0x f x x >=≤⎪⎩(3)f =x ∈R 2230x x --<3()f x x a =+()f x x ∈R a =k ∈R (2,5)a =(6,)b k = //a b (1)n x +2x 24y x =2()z m m z+=∈R 16.5BTO ∠=︒37ATO ∠=︒BOT ∠={}n a 10a >1q >[][]{}121ln ,,,n n x y x y a a a a +=-∈ ∣lnA.气候温度高，海水表层温度就高B.气候温度高，海水表层温度就低C.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势D.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势14.下列函数的最小正周期是的是( )A. B. C. D.15.定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，，，使得.已知，则的充分条件是( )A. B. C. D.16.定义集合，在使得的所有中，下列成立的是( )A.是偶函数 B.在处取最大值C.严格增D.在处取到极小值17.如图为正四棱锥，O 为底面ABCD 的中心.（1）若，绕PO 旋转一周形成的几何体的体积；（2）若，E 为PB 的中点，求直线BD 与平面AEC 所成角的大小.18.若（，）.（1）过，求的解集；（2）存在x 使得、、成等差数列，求a 的取值范围.19.为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580()f x 2πsin cos x x+sin cos x x22sin cos x x+22sin cos x x-Ω123,,P P P ∈Ω1λ2λ3λ1122330OP OP OP λλλ++= (1,0,0)∈Ω(0,0,1)∉Ω(0,0,0)(1,0,0)-(0,1,0)(0,0,1)-()(){}0000,,,()M x x x x f x f x =∈∈-∞<R ∣[1,1]M =-()f x ()f x ()f x 2x =()f x ()f x 1x =-P ABCD -5AP =AD =POA △AP AD =()log a f x x =0a >1a ≠()y f x =(4,2)(22)()f x f x -<(1)f x +()f ax (2)f x +人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：优秀5444231不优秀1341471374027（1）该地区29000名学生中体育锻炼时长大于1小时人数约为多少？（2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）（3）是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？附：，.20.双曲线，，，为左右顶点，过点的直线l 交双曲线于两点P 、Q ，且点P 在第一象限.（1）若时，求b .（2）若为等腰三角形时，求点P 的坐标.（3）过点Q 作OQ 延长线交于点R ，若，求b 取值范围.21.对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称P 是M 在的“最近点”.（1）对于，，求证，对于点，存在点P ，使得P 是M 在的“最近点”；（2）对于，，，请判断是否存在一个点P ，它是M 在最近点，且直线MP 与在点P 处的切线垂直；（3）设存在导函数，且在定义域R 上恒正，设点，.若对任意的，都存在点P ，满足P 是的最近点，也是的最近点，试求的单调性.[0,0.5)[0.5,1)[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5)95%22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++()2 3.8410.05P χ≥≈222:1y x bΓ-=(0)b >1A 2A (2,0)M -Γe 2=b =2MA P △Γ121A R A P ⋅=()f x (,)M a b 22()()(())s x x a f x b =-+-()()00,P x f x ()s x ()f x 1()f x x=(0,)D =+∞(1,0)M ()f x ()e x f x =D =R (1,0)M ()f x ()f x ()f x ()g x 1(1,()())M t f t g t --2(1,()())M t f t g t ++t ∈R 1M 2M ()f x参考答案3．答案：4．答案：0解析：由题可知，，则.5．答案：15解析：由题可知，，则.6．答案：10解析：由题可知，展开式中各项系数的和是，所以，该二项式的通项公式是，令，，得.7．答案：解析：设P 坐标为，P 到准线的距离为9，即，，代入抛物线方程，可得，则P 到x 轴的距离为解析：由题可知，A 题库占比为，B 题库占比为，C 题库占比为，.9．答案：2解析：设，所以，因为，所以，解得，所以.10．答案：329解析：由题可知，集合A 中每个元素都互异的，且元素中最多有一个奇数，剩余全是偶数，先研究集合中(0)0F =256k =⨯(1)32nx +=515C 1rr r r T x -+=⋅⋅3r =2201b b b -=+2211121m b =+=+=+(1,3)-0a =15k =5n =52r -=35C 10=()00,x y 019x +=08x =0y =±5121314511170.920.860.72123420P =⨯+⨯+⨯=1i(0)z b b =+≠222222(1i)221i 1i 1i 1i 111b b z b b b z b b b b ⋅-⎛⎫+=++=++=++- ⎪++++⎝⎭m ∈R 1b =±无重复数字的三位偶数：（1）若个位为0，这样的偶数有种；（2）若个位不为0，这样的偶数有种；所以集合元素个数最大值为种.11．答案：解析：不妨设，，，则所以在中，①在中，②在中，③①②③联立.12．答案：解析：由题不妨设，若x ，y 均在，则有，若x ，y 均在，则有，若x ，y 分別在两个区间，则，又因为，总有ln 是闭区间，则恒成立即可，化简得，所以有恒成立.13．答案：C解析：成对数据相关分析中，若相关系数为正数，当x 的值由小变大，y 的值具有由小变大的变化趋垫，故A ，B ，D 选项错误，答案选C.14．答案：A解析：对于A ，，则，满足条件，故A 正确；对于B ，，则，不满足条件，故B 错误；对于C ，，为常值函数，则不存在最小正周期，不满足条件，故C 错误；对于D ，，则，不满足条件，故D 错误；故答案选A.15．答案：C111488C C C 256⋅⋅=7.8︒BT b =AB =222)2cos53.5b c bc =+-︒sin16.5sin a bBOT=︒∠()sin 37sin 90a bBOT =︒︒-∠1(2)0nq q q --+≥2πT=2ππ2T==22sin cos cos 2x x x -=-2972P =256721329++=OA OB a ==AT c =ABT △OBT △OAT △7.8BOT ∠≈︒[2,)+∞x y >[]12,a a []210,x y a a -∈-[]1,n n a a +[]10,n n x y a a +-∈-[]211,n n x y a a a a +-∈--1q >21n n n a a a a +-≤-2q ≥πsin cos 4x x x x x ⎫⎛⎫+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭1sin cos sin 22x x x =22sin cos 1x x +=2ππ2T ==解析：因为，，不全为0，，所以三个向量无法构成三维空间坐标系的一组基，又因为，所以对于A ，三者可以构成一组基，故不能推出，故A 错误；对于B ，若，均属于，且，共线，所以可以属于，此时三者不共面，故B 错误；对于C ，显然，三者可以构成一组基，与条件不符合，故可以推出，故C 正确；对于D ，三者无法构成一组基，故不能推出，故D 错误.故答案选C.16．答案：D解析：时，，又因为，所以，当且时，恒成立，说明在上，函数单调递增，故A 错误；对于B ，且在上，函数单调递增，故函数在上最大值为，若函数在时，，则M 的集合不会是，所以在1处取到极大值，在2处不一定取最大值，故B 错误；对于C ，在时，若函数严格增，则集合M 的取值不会是，而是全体定义域，故C 错误.对于D ，因为当时，，所以左侧不是单调递减，若左侧单调递增，或者在某一段单调递增，则M 的集合不会是，所以在左侧相邻一段是常函数，又因为在上，函数单调递增，故D 正确.17．答案：（1）（2）解析：（1）因为是正四棱锥，所以底面ABCD 是正方形，且底面ABCD ，因为，因为，所以，所以绕OP 旋转一周形成的几何体是以3为底面半径，4为高的圆锥，所以.1λ(1,0,0)-(1,0,0)(0,0,1)(0,0,1)∈Ω0x x <[1,1]M =-0[1,1]x ∈-()0()f x f x <()(1)f x f <-()(1)f x f <-[1,1]-[1,1]-π4OP ⊥3AO OD OB OC ====4PO ==211π3412π33V Sh ==⨯⨯=圆锥2λ3λ1122330OP OP OP λλλ++=(1,0,0)∈Ω(0,0,1)∈Ω(1,0,0)Ω(1,0,0)-Ω(0,0,1)Ω∉()0()f x f x <()(1)f x f <-[1,1)x ∈-[1,1]-[1,1]-(,1]-∞(1)f ()f x 1x >()(1)f x f >[1,1]-1x <-()f x [1,1]-1x <-1-1-12πP ABCD -AD =5AP =POA △（2）如图建立空间直角坐标系，因为，由题知是正四棱锥，所以该四棱锥各棱长相等，设，则，，则可得，，，，，，，故，，设为平面AEC 的法向量，则，令，则，，所以，则，设直线BD 与面AEC 所成角为，因为，，所以.18．答案：（1）（2）解析：（1）由过可得，则，又，故，AP AD =P ABCD-AB =AO OD OB OC a ====PO a ==(0,0,0)O (0,0,)P a (0,,0)A a -(,0,0)B a (0,,0)C a (,0,0)D a -,0,22aa E ⎛⎫⎪⎝⎭(2,0,0)BD a =- (0,2,0)AC a = ,,22a a AE a ⎛⎫⎪⎝⎭ ()111,,n x y z =11112000022a y n AC a ax a y z n AE ⎧⋅=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅+⋅+⋅=⋅=⎪⎪⎩⎩11x =10y =11z =-(1,01)n =-cos ,||||n BD n BD n BD ⋅〈〉===⋅θsin |cos ,|n BD θ=〈〉= π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π4θ=(1,2)1a >()y f x =(4,2)log 42a =242a a =⇒=±0a >2a =因为在上是严格增函数，，所以解集为.（2）因为、、成等差数列，所以，即有解，化简可得，得且，则在上有解，又，故在上，，即或，又，所以.19．答案：（1）12500人（2）（3）学业成绩与锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关解析：（1）580人中体育锻炼时长不小于1小时人数占比该地区29000名初中学生中体育锻炼时长不小于1小时的人数约为人；（2）该地区初中学生锻炼平均时长约为：；（3）[1,2)其他总数优秀455095不优秀177308485①提出原假设：成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时无关.log (1)log (2)2log ()a a a x x ax +++=2(1)(2)()x x ax ++=22(1)(2)x x a x ++=222(1)(2)231311248x x x x x x ++⎛⎫=++=+- ⎪⎝⎭22(1)(2)3120148x x x ++⎛⎫>+-= ⎪⎝⎭1a >1a >423113740272558058P +++++==10.50.511 1.5 1.522 2.5(5134)(44147)(42137)(340)(127)58022222++++⎡⎤⨯++⨯++⨯++⨯++⨯+⎢⎥⎣⎦2()log f x x =(0,)+∞(22)()02212f x f x x x x -<⇒<-<⇒<<(1,2)(1)f x +()f ax (2)f x +(1)(2)2()f x f x f ax +++=()2log (1)(2)log a a x x ax ++=1020000,1x x x ax a a +>⎧⎪+>⎪⇒>⎨>⎪⎪>≠⎩(0,)+∞(0,)+∞211a a >⇒<-0a >0.9h25290001250058⨯=270.9h 29=≈0H②确定显著性水平，③④否定原假设，即学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关.20．答案：（1）（2）（3）解析：（1）因为，即，所以.因为，所以.因为，所以，所以.（2）因为为等腰三角形，①若为底，则点P 在直线时，与P 在第一象限矛盾，故舍去.②若为底，则，与矛盾，故舍去.③若MP 为底，则，设，，.，即，又因为，得，很，得，.（3）由，设，，则，设直线0.05α=22580(4530817750) 3.976 3.841(4550)(177308)(45177)(50308)χ⨯⨯-⨯=≈>+⨯+⨯+⨯+(2,P 2e =224c a =24c =23b =2MA P △12x =-2MP MA =22MA PA =00x >3=()2 3.8410.05P χ≥≈b =b ∈2ca=21a =222a b c +=b =2MA 2A P 2MP MA >()00,P x y 00y >()220019x y -+=2200183y x -=()()220081193x x -+-⨯=200116320x x --=02x =0y =(2,P 1(1,0)A -()11,P x y ()22,Q x y ()22,R x y --1:2l x my m b ⎛⎫=->⎪⎝⎭联立得，则，，，又由，得即，即化简后可得到再由韦达定理得，化简：所以得，又，得.21．答案：（1）见解析（2）存在点使直线MP 于在点P 处的切线垂直（3）略解析：（1）证明：，当且仅当即时取到最小值，所以对于点存在点使得P 是M 在的最近点.（2），0负0正严格减极小值严格增所以当时，取到最小值，此时点，，，222121x my m b y x b ⎧⎛⎫=-> ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪-=⎪⎩()222221430b m y b my b --+=21222212224131b m y y b m b y y b m ⎧+=⎪⎪-⎨⎪⋅=⎪-⎩()1221,A R x y =-+- ()2111,A P x y =- 121A R A P ⋅=()()2112111x x y y -+--=()()2112111x x y y --+=-()()2112331my my y y --+=-()()2121213100m y y m y y +-++=()()22222231121010b m m b b m +-+-=2223100b m b +-=22221031b m b b-=>23b <0b >b ∈(0,1)P ()f x 222211()(0)02s x x x x x ⎛⎫=-+-=+≥= ⎪⎝⎭221x x=1x =(0,0)M (1,1)P ()f x ()2222()(1)e 0(1)e xx s x x x =-+-=-+2()2(1)2e xs x x '=-+(,0)-∞(0,)+∞()s x '()s x 0x =()s x (0,1)P ()e xf x '=0e 1k ==在点P 处的切线为，，此时，所以存在点使直线MP 于在点P 处的切线垂直.()f x 1y x =+01110MP k -==--1MP k k ⋅=-(0,1)P ()f x。
2014-2018-上海高考数学-集合
2014年-2018年5年上海高考-集合模块【2014年上海卷（理11）】已知互异的复数,a b 满足0ab ≠，集合{}{}22,,a b a b =，则a b += .【答案】-1【解析】：第一种情况：22,a a b b ==，∵0ab ≠，∴1a b ==，与已知条件矛盾，不符；第二种情况：22,a b b a ==，∴431a a a =⇒=，∴210a a ++=，即1a b +=-；【2014年上海卷（理11）】已知互异的复数,a b 满足0ab ≠，集合{}{}22,,a b a b =，则a b += .【答案】-1【解析】：第一种情况：22,a a b b ==，∵0ab ≠，∴1a b ==，与已知条件矛盾，不符；第二种情况：22,a b b a ==，∴431a a a =⇒=，∴210a a ++=，即1a b +=-；（1）【2015年上海，理1】设全集U R =，若集合{}{}1,2,3,4,|23A B x x ==≤≤，则U A B =ð ．【答案】{}1,4【解析】根据题意，可得{}|32U B x x x =><或ð，故{}1,4U A B =ð．【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算，熟练掌握集合的交并补的运算规则是解本题的关键．本题考查了推理判断的能力．1.（2015年） 设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为________________【答案】(2,4)【解析】131x -<-<，即24x <<，故解集为(2,4)1（2017）.已知集合A ={1，2，3，4}，集合B ={3，4，5}，则A ∩B = .【答案】A ∩B ={3，4}【解析】集合A 、B 中有相同元素3、4.21（2018）.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意*n ∈N ，都有1n n b a -≤，则称{}n b 与{}n a “接近”。
第1章-集合和命题(精练案)原卷板——2020届上海(沪教版)高考三轮复习(知识梳理+精讲+精练)2
第1章 集合和命题过关演练2020年一模集合、命题 一、填空题1.【徐汇1】 已知集合{|2}M x x =>，集合{|1}N x x =≤，则M N =U2.【长宁，嘉定，金山1】已知集合{1,2,3,4,5}A =，{1,3,5,7}B =，则A B =I3.【黄浦1】设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则A B =U4.【崇明1】已知集合0123{}A =，，，，02{|}B x x =<≤，则A B =I ．5.【浦东1】若集合{|03}A x x =<<，集合{|2}B x x =<，则A B =I ____________．6.【闵行1】已知集合{3,1,0,1,2}A =--，{|||1}B x x =>，则A B =I7. 【徐汇7】已知x ∈R ，条件2:p x x <，条件1:q a x≥（0a >），若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是二、选择题1.【浦东13】若命题甲：10x -=，命题乙：2lg lg 0x x -=.则命题甲是命题乙的（ ）【A 】充分非必要条件 【B 】必要非充分条件 【C 】充要条件 【D 】非充分非必要条件2.【静安13】“三个实数,,a b c 成等差数列”是“2b a c =+”的 （ ） 【A 】充分不必要条件 【B 】必要不充分条件 【C 】充要条件 【D 】既不充分也不必要条件3.【虹口13】设x ∈R ，则“|1|1x -<”是“24x <”的（ ）【A 】 充分不必要条件 【B 】必要不充分条件 【C 】 充要条件 【D 】 既不充分也不必要条件【A 】充分非必要条件 【B 】必要非充分条件 【C 】充要条件 【D 】既非充分又非必要条件5.【普陀14】设集合{}1A x x a =-=，{}1,3,B b =-，若A B ⊆则对应的实数对(,)a b （ ） 【A 】1对 【B 】2对 【C 】3对 【D 】4对6.【松江14】设,x y R ∈，则2x y +>“”是“,x y 中至少有一个数大于1”的（ ） 【A 】充分非必要条件 【B 】必要非充分条件【C 】充分条件 【D 】既非充要也非必要条件7.【闵行14】命题“若x a >，则10x x->”是真命题，实数a 的取值范围是（ ） A. (0,)+∞ B. (,1]-∞ C. [1,)+∞ D. (,0]-∞8.【黄浦15】若函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 是偶函数”是“(||)()f x f x =对一切x ∈R 恒成立”的（ ）【A 】充分不必要条件 【B 】必要不充分条件 【C 】充分必要条件 【D 】既不充分也不必要条件最近两年模拟题 一、集合1、（上海市封浜中学2019届高三上学期期中）设集合},1|2|{R ∈<-=x x x A ，集合Z =B ，则=B A I _____________．2、（静安区市西中学2019届高三上学期期中）已知集合{|1}A x x =≤，集合{|}B t t a =≥，且A B =R U ，则的取值范围为3、（七宝中学2019届高三上学期期中）集合A ＝｛0，1，2018｝的真子集有________个4、（松江区2018高三上期末）已知集合{|03}A x x =<<，2{|4}B x x =≥，则A B =I ． 5、（2019届崇明区高三二模）已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,3,4}A =，{1,3,5}B =， 则()U A B =I ð6、（2019届闵行松江区高三二模）已知集合{||1|1}A x x =-<，{|1}B x x =>，则A B =I7、（2019届浦东新区高三二模）若集合{|5}A x x =>，集合{|7}B x x =≤，则A B =I8、（2019届青浦区高三二模）已知{|}A y y x ==，2{|log }B y y x ==，则A B =I （ ）A. (0,)+∞B. [0,)+∞C. {2}D. {(4,2)}9、（2019届宝山区高三二模）已知i 为虚数单位，则集合{}Z n i x x A n ∈==;中元素的个数为_____________10、（2019届嘉定长宁区高三二模）已知集合{}1,2,3,4A =，{}25,B x x x R =<<∈， 则A B =I _____________11、（2019届普陀区高三二模）已知集合A ＝{x ||x ﹣1|＞3}，U ＝R ，则∁U A ＝ ．12、（2019届徐汇区高三二模）设全集U =R ，若集合{1,2,3,4}A =，{|23}B x x =≤≤， 则U A B =I ð13、（奉贤区2019届高三一模）已知{|31}x A x =<，{|lg(1)}B x y x ==+，则A B =U 14、（虹口区2019届高三一模）设全集U =R ，若{2,1,0,1,2}A =--，3{|log (1)}B x y x ==-，则()U A B =I ð15、（松江区2019届高三一模）设集合{|1}A x x =>，{|0}3xB x x =<-，则A B =I 16、（闵行区2019届高三一模）已知全集U =R ，集合2{|30}A x x x =-≥，则U A =ð 17、（静安区2018高三二模）已知集合{1,3,5,7,9}A =，{0,1,2,3,4,5}B =，则图中阴影部分集合用列举法表示的结果是18、（静安区2018高三二模）已知集合2{(,)|()20}A x y x y x y =+++-≤，222{(,)|(2)(1)}2aB x y x a y a a =-+--≤-，若A B ≠∅I ，则实数a 取值范围为19、（普陀区2018高三二模）设集合1|,2xM y y x R ⎧⎪⎛⎫==∈⎨ ⎪⎝⎭⎪⎩，()()()1|1112,121N y y x m x x m ⎧⎫⎛⎫==+-+--≤≤⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭，若N M ⊆，则实数m 的取值范围是 .二、常用逻辑用语1、（上海市封浜中学2019届高三上学期期中）若集合，，则“”是“”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2、（静安区市西中学2019届高三上学期期中）若0a >，0b >，则x y a b xy ab +>+⎧⎨>⎩是x ay b >⎧⎨>⎩成立的（） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件3、（七宝中学2019届高三上学期期中）“函数存在反函数”是“函数在上为增函数”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4、（华东师范大学第二附属中学2019届高三10月考试）设集合A=，B=，则“AB=R ”是“a =1”的______条件（填写：充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要}4,3,2,1{=P },50{R x x x Q ∈<<=P x ∈Q x ∈条件之一。
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2015年普通高等学校招生全国统一考试 上海 数学试卷（理工农医类）
1．设全集U R =．若集合{}1,2,3,4A =，{}23x x B =≤≤，则U A B = ．
15．设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
2014年普通高等学校招生全国统一考试 上海 数学试卷（理工农医类）
11.已知互异的复数a,b 满足ab ≠0，集合{a,b}={2a ,2
b },则a+b= 。
15.设R b a ∈,,则“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的（ ）
（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件
（C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件
2013年普通高等学校招生全国统一考试 上海 数学试卷（理工农医类）
16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）
(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件
2012年全国普通高等学校招生统一考试
上海数学试卷（理）
2．若集合}012|{>+=x x A ，}2|1||{<-=x x B ，则=B A 。
2011年全国普通高等学校招生统一考试
上海数学试卷（理）
2. 若全集U R =，集合{1}{|0}A x x x x =≥≤，则U C A = .
2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学（理科）
14.以集合U={}a b c d ，，，的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：
（1）a 、b 都要选出;（2）对选出的任意两个子集A 和B ，必有A B B A ⊆⊆或，那么共有 种不同的选法。
15．“()24x k k Z π
π=+∈”是“tan 1x =”成立的 [答]（ ）
（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件.
（C ）充分条件. （D ）既不充分也不必要条件.
2009年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学（理科）
1． 已知集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，且A B R ⋃=，
则实数a 的取值范围是______________________ .
15.”
“22≤≤-a 是“实系数一元二次方程012
=++ax x 有虚根”的 （A ）必要不充分条件 （B ）充分不必要条件
（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件
2008年全国普通高等学校招生统一考试
上海 数学试卷（理工农医类）
2.若集合A ={x ｜x ≤2}、B ={x ｜x ≥a}满足{2}A B =，则实数a = .
13.给定空间中的直线l 及平面α.条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的 [答]（ ）
（A ）充要条件. （B ）充分大必要条件.
（C ）必要非充分条件. （D ）既非充分又非必要条件.
2007年全国普通高等学校招生统一考试
上海 数学试卷（理工农医类）
10．在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种． 已知αβ，是两个 相交平面，空间两条直线12l l ，在α上的射影是直线12s s ，，12l l ，在β上的射影是
直线12t t ，．用1s 与2s ，1t 与2t 的位置关系，写出一个总能确定1l 与2l 是异 面直线的充分条件： ．
15．设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推
出(1)f k +≥2)1(+k 成立”．那么，下列命题总成立的是（ ）
Ａ．若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立
Ｂ．若(5)25f ≥成立，则当5k ≤时，均有2()f k k ≥成立
Ｃ．若49)7(<f 成立，则当8k ≥时，均有2)(k k f <成立
Ｄ．若25)4(=f 成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立
2006年全国普通高等学校招生统一考试
上海 数学试卷（理工农医类）
1．已知集合=⊆=--m A B m B m A 则实数若集合,},3{},12,3,1{2 .
14．若空间中有四个点,则“这四个点中有三点在同一条直线上”是“这四个点在同一个平
面上的”[答]（）A．充分非必要条件. B．必要非充分条件.
C．充分必要条件. D．既非充分又非必要条件.。