分数阶天棚阻尼理论及应用

0
=0.8 =0.9 =1.0 =1.1 =1.2
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 Sky-hook damper coefficients (Nm/s)
(b)
Xu-Xs (m)
accelerations( m/s 2)
——第一届江苏省力学大会交流论文——
1.黎曼-李奥弗勒(Riemann-Liouville)分数积分定义(1840)
a Dt
f
t a
J
t
f
t
1
t t
a
x 1
f
x dx, t
0,
0
其中是一任意正实数(R+),且
D0 f t J 0 f t If t f t
2. 卡卜托(Caputo)定义(1967)
C
a
Dt
f
(t)
D n Dn
D x1
g
x3 x4
x4
1 mu
fs
fd
ft
g
对于线性悬架,各项力的表达式为
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fs ks x1 x3 fd cs x2 x4
ft kt (xr x3 )
对于非线性悬架,各项力的表达式为
fs k0 k1 x1 x3 k2 x1 x3 2 k3 x1 x3 3
——江苏省第一届力学大会交流论文——
分数阶“天棚”阻尼理论及应 用
陈宁
南京林业大学机电工程学院 2006.5
一.分数微积分理论简介
——第一届江苏省力学大会交流论文——
1.1 分数微积分理论的起源和发展现状
三个世纪前,当Leibnitz引入dny/dtn求导符号时,L’Hopital向 他问了一个问题:当n=1/2时有什么意义?Leibnitz回答也很有预 言性:它将导致一个自相矛盾,将来的一天,会得到一个有用的来 自于此矛盾的结论.
X AX Bu Fw
式中 X=(x1 x2 x3 x4)T 为状态矢量, u=cshDx1 为
控制输入(“天棚”阻尼)矢量, w=( xr(t) g )T 为输入矢 量 ,其中矩阵如下
0 1
0
0
ks
cs
ks
cs
A
ms 0
ms 0
ms 0
ms
1
ks mu
cs mu
kt ks mu
拉普拉斯变换:
L
J
t
f t
s Lf t
s
f s
1.4 分数微积分的应用领域
——第一届江苏省力学大会交流论文——
1.粘弹性材料本构关系
I
J
(t) ai Di (t) E0 (t) E j D j (t)
i 1
j 1
2.波的散射运动
u(x, t) u
2u(x, t) x2
3.化学反应动力学
3
=0.8
=0.9
2.5
=1.0
=1.1
=1.2 2
1.5
1
0.5
0 0
0.19 0.188 0.186 0.184
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 Sky-hook damper coefficients (Nm/s)
(a)
0.44
=1.1
=1.2
0.42
0.4
0.38
0.36
0.34
0.32 0
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 Sky-hook damper coefficient (Nm/s)
(c)
3.3 路面输入仿真分析
——第一届江苏省力学大会交流论文——
0
-1
-2
-3
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
Displacmentof suspension (m)
Xr（t）=0.2sin(10t)
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
0
=0.8 =0.9 =1.0 =1.1 =1.2
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-0.33
-0.325
-0.32
f
(t)
1
(
n)
t f (n) ( )d a (t ) n1
n 1 n
3.Gründwald-Letnikov定义
——第一届江苏省力学大会交流论文——
D
f
(t)
t kh
lim h
h0
k
(1) j
j0
j
f
(kh
jh)
1.3 分数微积分的基本性质
指数定律: J J J J J
0.8
=0.8
0.6
=0.9
=1.0
=1.1
0.4
=1.2
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6 -0.38 -0.37 -0.36 -0.35 -0.34 -0.33 -0.32 -0.31 -0.3 -0.29 displament of suspension (m)
Xr（t）=0.1sin(10t)
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2.4 分数阶微分方程的求解方法 对分数阶系统方程的求解是分数微积分理论主要研
究的课题之一,目前对分数阶系统的研究仍以低阶系统 为研究对象,其求解的方法主要有以下几种:
1)解析法
拉氏变换，富氏级数法, Adomian 分解法,特殊函数法 （Mittag–Leffler函数等）
0.4
0.3
0.2
0.1
=0.8
=0.9
0
=1.0
=1.1
=1.2 -0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-0.45
-0.4
-0.35
-0.3
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
Xr（t）=0.15sin(2t)
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3
=0.8
=0.9
2
=1.0
=1.1
=1.2 1
6.控制理论与应用
例: PID 控制、CRONE控制
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二.悬架模型及“天棚”阻尼控制
2.1悬架动力学模型 悬架的动力学方程
ms xs fs fd ms g mu xu fs fd ft mu g
其中：
fs 悬挂部分的弹性力； fd 悬挂部分的阻尼力； ft 轮胎力
路面输入xr(t)为滤波白噪声,其数学模型为
xr (t) 2 f0xr (t) 2 G0uw(t)
不同阶“天棚”阻尼器的非线性悬架响应幅与阻尼系数的 关系：（a）悬架加速度响应；（b）轮胎力响应；（c） 悬架与非悬挂部分间的行程幅度。
acceleration (m/s 2) Tire force (N)
4.具有分形特性结构动力学
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M S2
1
0m
d dt
m1
P(t)
P(t)
0
0 m1
5.热分布和传导
ut uxx x 0 t 0
u(x, 0) 0 u(0,t) T0 u(x,t) 0 as
x
Heat
flux
k
u u
x0
k
1
0 Dt2T0
kT0
t
2)数值法 差分法,样条函数法,预估校正法等
3)滤波器算法 Oustaloup 算法, FIR 滤波器算法, IIR 滤波器算法, Pade逼近等
——第一届江苏省力学大会交流论文——
三、分数阶“天棚”阻尼在悬架系统控制中的应用
3.1 分数阶“天棚”阻尼在线性悬架系统控制中的应用
线性悬架动力学状态方程
0
0
F 0
kt mu
0 0
1
0
0 0
0 1
0
f
(X
)
k2 ms
( x1
x3 )2
k3 ms
( x1 0
x3 )3
c2 ms
( x2
x4 )2
k2 mu
( x1
x3 )2
k3 mu
( x1
x3
)3
c2 mu
(x2 x4 )2
voecity of suspension (m/s) Voecity of suspension (m/s)
3.2 分数阶“天棚”阻尼在非线性悬架系统控制中的应用
非线性悬架动力学状态方程
X AX f (X ) Bu Fw 式中 X=(x1 x2 x3 x4)T 为状态矢量, f(X)为系统非线性部
分矢量 , u=cshDx1 为控制输入(“天棚”阻尼)矢量, w=( xr(t) k0/ms+ g k0/mu+ g )T 为输入矢量 ,其中A,B矩 阵不变,F矩阵改为:
(a)
5900 5850 5800 5750
=0.8 =0.9 =1.0 =1.1 =1.2
5700
5650
5600
5550 0
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 Sky-hook damper coefficients (Nm/s)
3.12
3.1
3.08
3.06
3.04
3.02
3 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 Sky-hook damper coefficient (Nm/s)
(b)
Xu-Xs (m)
Acceleration (m/s2)
——第一届江苏省力学大会交流论文——
=0.8 =0.9 =1.0 =1.1 =1.2
0.182
0.18
0.178
0.176
0.174
0.172 0
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 Sky-hook damper coefficients (Nm/s)
(c)
——第一届江苏省力学大会交流论文——
2.3 分数阶“天棚阻尼”概念
——第一届江苏省力学大会交流论文——
分数“天棚”阻尼控制下悬架的运动 方程:
ms xs fs fd ms g cshD xs
mu xu fs fd ft mu g
其中 D=d/dt ，其中（0<<2),其状态方程为
x1 x2
x2
1 ms
fs
fd
cs ms
-0.315
-0.31
-0.305
-0.3
Xr（t）=0.05sin(30t)
不同阶“天棚”阻尼器的 非线性悬架响应幅与阻尼 系数的关系 （a）悬架加速度响应 （b）轮胎力响应 （c）悬架与非悬挂部分间 的行程幅度
Tire force (N)
x 104 3.2 3.18 3.16 3.14
=0.8 =0.9 =1.0 =1.1 =1.2
cs mu
0
1
B ms
0
0
0 0
0
1
F 0 0
kt mu
1
Tire force (N)
不同阶“天棚”阻尼器的线性 悬架响应幅与阻尼系数的关系
（a）悬架加速度响应
（b）轮胎力响应
（c）悬架与非悬挂部分间的 行程幅度
-2700 -2750 -2800 -2850 -2900 -2950 -3000 -3050 -3100 -3150
三个世纪来,分数微积分理论的研究完全属于纯理论数学研 究的范畴.
在过去的几十年中,分数微积分理论开始运用到一些物理 系统和材料的动力学行为的描述中,特别是具有记忆或迟滞 特性的系统和材料.
今天,分数微积分理论运用于电化学、波散射、概率、粘 弹性和迟滞力学、控制理论等。
1.2分数微积分的定义
——第一届江苏省力学大会交流论文——
Ms 悬挂部分质量，Mu 非悬挂部分质量
2.2“天棚阻尼”主动控制
——第一届江苏省力学大会交流论文——
“天棚”阻尼控制下悬架的运动方程:
ms xs fs fd ms g csh xs
mu xu fs fd ft mu g
这儿csh称为”天棚（Sky-hook）”阻 尼系数。通常”天棚”阻尼控制主要应 用于线性悬架动力学主动控制模型,由 于”天棚”阻尼控制下的悬架的悬载部 分具有良好的动力特性、平顺性和较好 的鲁棒性,常常被作为各类悬架的主动 或半主动控制方法和策略中的参考模型. 一般”天棚”阻尼系数csh由最优控制 方法得到.
20
=0.8
18
=0.9
=1.0
Hale Waihona Puke Baidu16
=1.1
=1.2 14
12
10
8
6
4
2 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
Sky-hook damper coefficient (Nm/s)
(a)
0.48
=0.8
0.46
=0.9
=1.0
fd c1 x1 x3 c2 x1 x3 2 c1 x2 x4 c2 x2 x4 2
ft kt (xr x3 )
k0=2316.4, k1= 22394 , k2=-73. 696, k3 = 3170.400, c1=1385.4 c2= 524.28, (The SPMD data from the 1992 model Hyundai Elantra front suspension were used.)
4 3.8 3.6 3.4 3.2
3 2.8 2.6 2.4 2.2
2 0
=0.8 =0.9 =1.0 =1.1 =1.2
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 Sky-hook damper coefficients (Nm/s)