第五章 图形运算
西师大版六年级数学上册第五单元 图形的变换和确定位置
第五单元图形的变换和确定位置单元内容分析本单元教学内容安排本单元图形的变换和确定位置，是小学阶段“图形的运动”、“图形的位置”的最后一段，它既是前面所学相关知识的延伸和扩展，也是确定物体位置等知识的归纳和总结。
本单元的教学内容主要由图形的放大或缩小、比例尺、物体位置的确定、综合运用等4部分组成。
本单元教学内容由“图形放大或缩小”“比例尺与确定物体位置”两部分组成。
综合与实践活动内容是“绘制校园平面图”，让学生通过实际操作，综合应用关于物体位置、方向和比等知识，学会选择测量工具，掌握基本的测量方法。
单元学习目标1．能利用方格纸等形式按一定比例将简单图形放大或缩小。
2．了解比例尺，在具体情境中，会按给定的比例进行图上距离与实际距离的换算。
3．能根据物体参照点的方向和距离确定物体的位置；能绘制并描述简单的路线图。
4．在探索物体的位置关系、图形的变换过程中，进一步发展空间观念；感受数学与日常生活的密切联系，体会数学的应用价值，增强热爱数学的情感。
5．在解决问题的活动中，发展学生合情推理的能力，并学会与他人合作，不断克服和解决数学活动中所遇到的困难和问题，获得成功的体验。
单元重点难点重点：在具体情境中，根据物体相对于参照点的方向和距离，确定物体的位置。
难点：在具体的情境中，描述简单的路线图。
课时安排9课时题目：图形的放大与缩小（第 1 课时）总课时数________主备教师执教教师学习内容 P64例1，课堂活动第（1）（2）和练习十七的1、2题学习目标 1.了解图形放大或缩小的意义，能理解图形的放大或缩小。
2.通过观察、理解，动手操作体验图形放大或缩小的过程；掌握图形放大或缩小的方法。
3.激发学生的学习兴趣和求知欲，使学生积极参与学习活动，在学习过程中感受成功的喜悦。
学习重难点 1.重点：初步理解图形的放大与缩小。
2.难点：能利用方格纸按一定的比将简单图形放大或缩小。
教具准备多媒体课件、方格纸学习方法观察交流、动手操作学习过程备注一、创设情境，引入课题1.课件展示：学校教学楼图片或者学生照片，然后定格在2~3组图片，将几组图片放大和缩小。
图形运算教案设计
图形运算教案设计一、教学目标通过本课的学习，让学生掌握图形运算的基本概念，实现两图像之间的操作，为图像处理奠定基础，让学生具备以下能力：1.掌握图形运算的基本概念和原理，能够较为熟练地应用到实际操作中。
2.能够独立完成两图像之间的加、减、乘、除等操作，掌握不同操作的意义以及对图像的影响。
3.能够通过对图像进行处理，实现图像变形、配准、拼接、合成等功能。
二、教学重点和难点教学重点：图形运算的基本概念和意义，图形变形与配准，图形合并与拼接。
教学难点：图形运算的实际操作，参数的设定和调整。
三、教学内容与方法1.教学内容：（1）图形运算的概念和分类；（2）图形加、减、乘、除等操作；（3）图形变形与配准；（4）图形合并与拼接。
2.教学方法：（1）讲授：传授图形运算的基本概念和分类，让学生掌握不同操作的意义以及对图像的影响。
（2）实践：通过实验室操作，让学生有机会亲自尝试图形运算操作，掌握操作的步骤和方法。
（3）讨论：通过讨论，互相交流经验，分享成功与困难，促进思维的开展，使学生有机会发现自己的潜力和创新。
四、教学过程1.导入环节通过引入图形运算的实际应用背景，激发学生的学习兴趣。
2.知识讲解（1）图形运算的基本概念和分类一种数学方法，用来从两张或多张图像中得到新的图像。
图像运算将单一或多重包含在许多可能性当中，并且通过特定方法对图像进行转换。
分类包括：图像加、减、乘、除运算，灰度操作等（2）图形加、减、乘、除等操作① 图像加法——根据两个源图像相应像素的强度值或颜色值求和，可实现背景扣除和图像增强等功能；② 图像减法——根据两个源图像相应像素的强度值或颜色值相减，可提取变化的目标信息；③ 图像乘法——根据两个源图像相应像素的强度值或颜色值相乘，可实现目标物体的透明化、模糊化等效果；④ 图像除法——根据源图像相应像素的颜色值相除，可去除两个图像之间的差异，实现色彩一致度的调整。
（3）图形变形与配准图形变形：是一种将一个对象转化成角度或大小不同的形式的方法，而不会改变相互之间的几何关系。
小学数学教案图形计算
小学数学教案图形计算
教学内容：图形计算
教学目标：学生能够理解和运用图形计算相关知识，解决简单的图形计算问题。
教学步骤：
1.复习：让学生回顾一下前几节课学过的图形相关知识，包括图形的种类、图形的特点等。
2.引入：通过展示一些图形计算的实际问题，引导学生了解图形计算的重要性，并激发他
们的学习兴趣。
3.讲解：教师向学生介绍图形计算的基本原理，包括计算图形的周长和面积的方法和公式。
4.练习：让学生进行一些简单的图形计算练习，包括计算不规则图形的周长和面积。
5.合作：让学生分组进行合作活动，互相纠正错误，相互学习，促进团队合作精神。
6.总结：教师对本节课的知识进行总结梳理，强化学生对图形计算知识的理解和记忆。
扩展：让学生进行更多的图形计算练习，提高他们的图形计算能力，培养他们的逻辑思维
和解决问题的能力。
教学评价：通过课堂练习和课后作业，检查学生对图形计算知识的掌握情况，并及时纠正
错误，指导学生掌握正确的图形计算方法。
人教版五年级数学下册图形的运动(三)知识点
学习必备精品知识点
第五章图形的运动（三）
一、轴对称
1、轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线对折，如果它能够与另一个图形完全重合，就说这两个图形成轴对称。
这条直线就是对称轴；互相重合的点叫对应点/对称点；互相重合的线段叫对应线段；互相重合的角叫做对应角
2、轴对称的性质：对应点到对称轴的距离相等
轴对称的特征：沿对称轴对折，对应点、对应线段、对应角分别重合
3、画一个图形的轴对称图形的方法
①定：确定已知图形的关键点：顶点、相交点、端点
②数（或量）：数或量出关键点到对称轴的距离
③描：在对称轴的另一侧描出关键点的对应点
④连：连接各对应点
4、成轴对称的两个图形对称轴的画法
先找出两个图形一组对应点，连接对应点成一条线段，过这条线段的中点作它的垂线，这条垂线所在的直线就是对称轴
二、旋转
1、含义：物体绕着某一点或轴运动，这种现象称为旋转
2、旋转三要素：旋转点、旋转方向、旋转角度
3、图形旋转的特征：旋转后，形状、大小都没有发生变化，只是位置变了
4、图形旋转的性质：图形绕某一点旋转一定的度数，图形中的对应点、对应线段都旋转相同的度数，对应点到旋转点的距离相等，对应线段、对应角都分别相等
5、画图形旋转90°的方法：找出关键点所在的线段，根据旋转方向作线段的垂线→从旋转点开始，在所作垂线上量出与原线段相等的长度→连接对应点
三、欣赏设计
1、设计图案的基本方法：平移、旋转、对称
2、运用平移设计的方法：确定平移方向、距离
3、运用旋转设计的方法：确定旋转点、旋转角度
4、运用对称设计的方法：确定对称轴。
图形学教案第五章图形运算
扫描线状态表应能支持以下四个操作:
(1) INSERT(S,L),把线段S插入到扫描 线状态表L中,注意应插入到适当位置 以保持正确的次序关系。
3.1〔取出当前事件点〕P←MIN(E)；
3.2〔当前事件点处理〕考查当前事件点P,分三 种情况:
(1) 若P是边S的左端点,则做：INSERT(S,L);
S1=ABOVE(S,L);
S2=BELOW(S,L); 若S和S1相交,则求出的交点送入集和A中; 若S和S2相交,则求出的交点送入集和A中; (2) 若P是边S的右端点,则做：
• 求平面方程 采用多个顶点位置坐标来计算平面方
程可以减少由于不共面而引起的偏差。
设要求出通过若干顶点的平面方程 Ax+By+Cz+D=0,即要定出系数A,B,C,D,可 采用如下做法
平面方程Ax+By+Cz+D=0的系数A,B,C 与该平面上多边形分别在x=0,y=0,z=0三 个坐标平面上投影的面积成比例
=
yc
- ya
因此,若行列式
xb -xa yb -ya
-(xd -xc ) -(yd -yc)
0
表示两线段AB和CD重合或平行。一般做为它
们不相交来处理。如果 ≠0,则可求出交点对
应的两个参数值:
λμΔ1Δ1xyxyccbb----yxyxaaaa
-(xd -xc) -(yd -yc)
(xc -xa ) (yc -ya )
• 多边形在z=0平面上投影的面积S可如下求出:
人教版数学五年级下册第五单元《图形的运动(三)》知识点梳理
第五单元《图形的运动（三）》知识点梳理知识点归纳知识点一：确定轴对称图形的对称轴条数及位置1．对称轴的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线就是它的对称轴．2．找到对应点的连线，如果连线的中点都在一条直线上，说明是其图形的对称轴．3．掌握一般图形的对称轴数目和位置对于快速判断至关重要．知识点二：将简单图形平移或旋转一定的度数1．平移：平移前后图形的大小、方向、角度不发生变化，位置发生变化．2．旋转：（1）三维旋转：点动成线，线动成面，面动成体．（2）二维旋转：旋转前后图形的大小不发生变化，位置发生变化．知识点三：运用平移、对称和旋转设计图案1．一个长方形（或正方体）沿一条边旋转就会成为一个圆柱．2．一个已知半圆，以直径为轴翻转后的图形与已知半圆能变成一个圆．3．一个直角三角形沿着一条直角边旋转就会变成一个圆锥．考点一：确定轴对称图形的对称轴条数及位置典例分析例1．（2020秋•罗湖区期中）这些图形有几条对称轴？【分析】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的一条对称轴，由此即可确定这个图形的对称轴的条数及位置．解：根据轴对称图形的定义可知：第一个图形有1条对称轴，第二个图形有2条对称轴，第三个图形有5条，第四个图形有1条对称轴，画出它们的对称轴如图所示：故答案为：1条、2条、5条、1条．【点评】此题考查了利用轴对称图形的定义判断轴对称图形的对称轴条数及位置的灵活应用．真题分析1．（2019春•新华区期末）下面图形各有几条对称轴，填在下面的括号里【分析】依据轴对称图形的定义即可作答：一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的一条对称轴．解：据分析可得：故答案为：无数、0、4．【点评】此题主要考查轴对称图形定义及对称轴的条数，熟记常见轴对称图形的对称轴条数即可解答．2．（2018秋•武侯区月考）写出下面各轴对称图形的对称轴的条数．【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可．解：故答案为：1，2，1．【点评】掌握轴对称图形的意义，判断是不是轴对称图形的关键是找出对称轴，看图形沿对称轴对折后两部分能否完全重合．3．（2015秋•连州市期中）你能找到几条对称轴？画一画，并填写在（）里出【分析】根据对称轴的定义可知，如果沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴；由此可以确定上图中对称轴的条数．解：【点评】解答此题的主要依据是：轴对称图形的概念及特征和对称轴的条数．考点二：将简单图形平移或旋转一定的度数典例分析例2．（2015春•兴国县校级月考）悉心连一连．【分析】我们知道点动成线，线动成面，面动成体．由于长方形或正方形的对边相等，长方形或正方形以它的一边为轴旋转一周，它的上、下两个面就是以半径相等的两个圆面，与轴平行的一边形成一个曲面，这个长方形或正方形就成为一个圆柱；一个直角三角形，以它的一条直角边为轴，旋转一周，它的一面就是一个以另一条直角边为半径的一个圆面，直角三角形的斜边形成一个曲斜面，由于直角三角形的另一点在轴上，旋转后还是一点，这个直角三角形就形成一个圆锥；一个半圆，如果以它的直径为旋转轴，旋转一周后会得到一个圆．解：连线如下：【点评】此题主要考查的是学生空间想象能力的应用．真题分析1．（2014春•海原县月考）你知道方格纸上图形的位置关系吗？（1）图形B可以看作图形A绕点顺时针方向旋转90°得到的．（2）图形C可以看作图形B绕点O顺时针方向旋转得到的．（3）图形B绕点O顺时针旋转180°到图形在位置．（4）图形D可以看作图形C绕点O顺时针方向旋转得到的．【分析】根据旋转的特征，一个图形绕某点按一定的方向旋转一定的度数后，某点的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数．图形A绕点O顺时针方向旋转90°可得到图形B；图形B绕点O顺时针方向旋转90°可得到图形C；图形B顺时针方向旋转180°可得到图形D；图形C顺时针方向旋转90°可得到图形D．解：如图，（1）图形B可以看作图形A绕点顺时针方向旋转90°得到的．（2）图形C可以看作图形B绕点O顺时针方向旋转得到的．（3）图形B绕点O顺时针旋转180°到图形所在位置是图形D．（4）图形D可以看作图形C绕点O顺时针方向旋转90°得到的．【点评】旋转作图要注意：①旋转方向；②旋转角度．整个旋转作图，就是把整个图案的每一个特征点绕旋转中心按一定的旋转方向和一定的旋转角度旋转移动．2．（2014•海安县模拟）小红用彩纸和小棒做了一面长方形的彩旗（如图）．旋转小棒，观察并想象彩旗旋转一周所成的形状．你知道旋转后红色和黄色部分的体积分别是多少？【分析】黄色直角三角形围绕直角边旋转后的形状是一个底面半径是4厘米，高是3厘米的圆锥体；红色直角三角形不是围绕直角边旋转的，所以不能形成圆锥体．长方形彩旗旋转后的形状是圆柱体．红色部分的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积．解：黄色部分体积：3.14×42×3×＝3.14×16＝50.24（平方厘米）红色部分体积：3.14×42×3﹣3.14×42×3×＝3.14×42×3×（1﹣）＝3.14×32＝100.48（平方厘米）答：旋转后黄色和红色部分的体积分别50.24立方厘米和100.48立方厘米．【点评】此题主要是考查圆柱、圆锥体积的计算．关键明白，一个直角三角形只有绕一条直角边旋转一周才能得到一个以旋转边为高，另一直角边为底面半径的圆锥，图中只有黄色直角三形才能形成圆锥，而红色三角形则不能，它与黄色三角形组合起来是一个长方形，旋转形成圆柱，只有用圆柱的体积减去圆锥的体积才能求出红色三角形旋转一周形成的几何体的体积．3．（2014春•博野县校级月考）想一想，连一连．【分析】长方形绕长（或宽）旋转一周得到一个圆柱；直角三角绕一直角边旋转一周得到一个圆锥；半圆绕直径旋转一周得到一个球体；直角梯形绕直角腰旋转一周得到一个圆台；结合图形要看由哪些图形组成的．解：【点评】此题主要考查立体图形中旋转体，也就是把一个图形绕一条直线旋转得到的图形，要掌握基本的图形特征，才能正确判定．考点三：运用平移、对称和旋转设计图案典例分析例3．（2013春•青铜峡市期中）你知道下面的花边是怎么得到的吗？自己试着设计一组吧！【分析】观图可知：花边是三角形平移后得到的图形；先在图中画一个小旗，然后根据旋转图形的特征，将图中的小旗绕点O顺（或逆）时针旋转90°，点O的位置不动，其余各边都绕点O旋转90°，再旋转90°，再旋转90°，然后再平移即可得到如图美丽的图案．解：由分析作图如下：【点评】本题是考查用平移或旋转设计图案，用平移或旋转设计图案是根据图形平移或旋转后大小、形状不变、位置变化这一特征设计的．真题分析1．（2013春•西安期中）你能用直尺和圆规画出下面的图形吗？试一试吧．【分析】（1）首先画出正方形，然后分别以正方形的四个顶点为圆心，以边长的一半为半径，画出其余的4段弧即可；（2）首先画出正方形，然后分别以正方形的四个顶点为圆心，以边长为半径，画出其余的4段弧即可；（3）首先画出正方形，然后分别以正方形的四条边中点为圆心，以边长的一半为半径，画出其余的4段弧即可；（4）首先画出正方形，然后分别以正方形的四条边的中点为圆心，以边长的一半为半径，画出其余的4段弧；最后以正方形的中心为圆心，以正方形的对角线长度的一半为半径，画出正方形的外接圆，再去掉正方形的四条边即可．解：根据分析，可得（1）；（2）；（3）；（4）．【点评】此题主要考查了组图能力的应用，解答此题的关键是判断出每个图形分别由哪几部分组成．2．（2013春•城厢区期末）下面图形是由一个图形平移或旋转得到，是平移的在括号里画“﹣”，是旋转的在括号里画“○”．【分析】根据平移的意义“平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作图形的平移运动，简称平移”，和旋转的意义“在平面内，把一个图形绕点O转动一个角度的图形变换叫做旋转．”来解决问题．解：如图，（1）旋转，（2）平移，（3）首先平移，然后逆时针旋转90°．故答案为：o，﹣，﹣o．【点评】熟练掌握平移和旋转的意义是解决此题的关键．3．（2013春•湖北期末）利用旋转画一朵小花．【分析】把原图绕点O顺时针（或逆时针）旋转90°、180°、270°即可成为一朵小花．解：利用旋转画一朵花如下：【点评】根据图形旋转的特征，把原图绕O点旋转时，点O的位置不动，其余各点（线段）均绕点O按相同方向旋转相同的角度，旋转成一朵美丽小花．。
湘教版七年级数学下册第五章《 图形变换的简单应用 第一课时》公开课课件
可以看作是一个花瓣连续4次旋转 所形成的，每次旋转分别等于 72°，144°， 216°，288°.
ห้องสมุดไป่ตู้
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/7/232021/7/232021/7/232021/7/237/23/2021
• 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年7月23日星期五2021/7/232021/7/232021/7/23
心旋转得到的.
图5.3-3
图5.3-4是由基础图形 (即红线圈起的部分)绕中间
端点旋转180°而得到.
图5.3-4
•
9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。2021/7/232021/7/23Friday, July 23, 2021
• 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年7月2021/7/232021/7/232021/7/237/23/2021
• 16、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步。2021/7/232021/7/23July 23, 2021
• 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/7/232021/7/232021/7/232021/7/23
• 2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四 • 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021 • 4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19 • 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
湘教版七年级数学下册第五章《 图形变换的简单应用 第一课时》优质课课件
可以看作是一个花瓣连续4次旋转 所形成的，每次旋转分别等于 72°，144°， 216°，288°.
心旋转得到的.
图5.3-3
图5.3-4是由基础图形 (即红线圈起的部分)绕中间
端点旋转180°而得到.
图5.3-4
•11、即使是普通孩子，只要教育得法，也会成为不平凡的人。 •12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然来。 •14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 •15、生活即教育，社会即学校，教学做合一。 •16、当在学校所学的一切全都忘记之后，还剩下来的才是教育。2021年10月21日星期四2021/10/212021/10/212021/10/21 •17、播种行为，可以收获习惯；播种习惯，可以收获性格；播种性格，可以收获命运。2021年10月 2021/10/212021/10/212021/10/2110/21/2021 •18、我们发现了儿童有创造力，认识了儿童有创造力，就须进一步把儿童的创造力解放出来2021/10/212021/10/21October 21, 2021 •19、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2021/10/212021/10/212021/10/212021/10/21
子目内容 5.3.1
观察
返回
观察
欣赏下列图案，说出它们分别是由哪个基础图 形经过怎样的变换得到的，在图中把基础图形标出 来.
返回
图5.3-1
图5.3-1是由此图中平 移得到的.
图5.3-2是由图中的右半 部(即红线圈起的部分)作
轴反射得到的.
图5.3-2
图5.3-3是由基础图形 (即红线圈起的部分)绕中
数学初中二年级上册第五章解析几何的认识与运算
数学初中二年级上册第五章解析几何的认识与运算解析几何的认识与运算数学是一门抽象而又具体的学科，它不仅仅是一种工具，更是一种思维方式。
在数学的学习过程中，解析几何是一门重要的学科，它既具有几何学的形象性，又有数学的抽象性，是数学与几何学的有机结合。
本文将对初中二年级上册的解析几何进行探讨与研究。
一、解析几何的概念解析几何是利用代数的方法研究几何问题的一门学科。
它是通过建立坐标系，并利用坐标系中的点、向量、直线等元素，来研究几何图形的性质和关系。
解析几何的基本概念包括点、直线、向量、坐标系等。
1.1 点点是解析几何的基本元素，它在坐标系中由一组有序的实数表示。
例如，点A的坐标表示为(Ax, Ay)，其中Ax和Ay分别表示点A在X 轴和Y轴上的坐标值。
点是解析几何中的基本单位，其他几何元素如直线、向量等都是由点组成的。
1.2 直线直线是解析几何中的一个重要概念，它可以通过两个点确定。
在坐标系中，直线可以用一元一次方程的形式表示，即y = kx + b。
其中k为直线的斜率，b为直线的截距。
直线的斜率表示了直线在坐标系中的倾斜程度，截距表示了直线与Y轴的交点。
1.3 向量向量是解析几何中的另一个重要概念，它表示了从一个点到另一个点的方向和大小。
在坐标系中，向量可以用两个点的坐标表示，例如向量AB可以表示为向量→AB = (Bx-Ax, By-Ay)。
向量的大小可以通过求模运算得到，即|→AB| = √((Bx-Ax)^2 + (By-Ay)^2)。
1.4 坐标系坐标系是解析几何的基本工具，它用于确定几何元素在平面上的位置。
常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系。
直角坐标系是利用X轴和Y轴构成的，通过指定点的X轴和Y轴坐标值来表示点的位置。
极坐标系是利用极径和极角来表示点的位置，极径表示点到原点的距离，极角表示点到X轴的连线与X轴正方向的夹角。
二、解析几何的运算解析几何的运算是指对几何图形的代数处理和计算。
主要包括平移、旋转、缩放和镜像等运算。
知识必备05 图形及其变换(公式、定理、结论图表)-2023年中考数学知识梳理+思维导图
知识必备05图形及其变换（公式、定理、结论图表）考点一、平移变换1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．【要点诠释】（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换；（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据；（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．2．平移的基本性质：由平移的概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应角相等．【要点诠释】（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征；（2）“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．典例1:（2022•大连）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（1，2），将线段OA向右平移4个单位长度，得到线段BC，点A的对应点C的坐标是 （5，2） ．【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减求解即可．【解答】解：将线段OA向右平移4个单位长度，得到线段BC，点A的对应点C的坐标是（1+4，2），即（5，2），故答案为：（5，2）．【点评】本题主要考查坐标与图形变化—平移，解题的关键是掌握点的坐标的平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．典例2：（2022•毕节市）如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点A1（1，1）；把点A1向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点A2（﹣1，3）；把点A2向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点A3（﹣4，0）；把点A3向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点A4（0，﹣4），…；按此做法进行下去，则点A10的坐标为 （﹣1，11） ．【分析】根据题目规律，依次求出A5、A6……A10的坐标即可．【解答】解：由图象可知，A5（5，1），将点A5向左平移6个单位、再向上平移6个单位，可得A6（﹣1，7），将点A6向左平移7个单位，再向下平移7个单位，可得A7（﹣8，0），将点A7向右平移8个单位，再向下平移8个单位，可得A8（0，﹣8），将点A8向右平移9个单位，再向上平移9个单位，可得A9（9，1），将点A9向左平移10个单位，再向上平移10个单位，可得A10（﹣1，11），故答案为：（﹣1，11）．【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，规律型问题，解题的关键是学会探究规律，属于中考常考题型．考点二、轴对称变换1．轴对称与轴对称图形 轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也叫做这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的对应点，叫做对称点. 轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.2．轴对称变换的性质 ①关于直线对称的两个图形是全等图形. ②如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线. ③两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上. ④如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称. 3．轴对称作图步骤 ①找出已知图形的关键点，过关键点作对称轴的垂线，并延长至2倍，得到各点的对称点． ②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.４．翻折变换：图形翻折问题是近年来中考的一个热点，其实质是轴对称问题，折叠重合部分必全等，折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴，互相重合的两点（对称点）连线必被折痕垂直平分.【要点诠释】翻折的规律是，折叠部分的图形，折叠前后，关于折痕成轴对称，两图形全等，折叠图形中有相似三角形，常用勾股定理.典例3：（2022•资阳）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是直线BC上一动点．若AB＝4，则AE+OE的最小值是（ ）A．B．C．D．【分析】本题为典型的将军饮马模型问题，需要通过轴对称，作点A关于直线BC的对称点A'，再连接A'O，运用两点之间线段最短得到A'O为所求最小值，再运用勾股定理求线段A'O的长度即可．【解答】解：如图所示，作点A关于直线BC的对称点A'，连接A'O，其与BC的交点即为点E，再作OF⊥AB交AB于点F，∵A与A'关于BC对称，∴AE＝A'E，AE+OE＝A'E+OE，当且仅当A'，O，E在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时AE+OE＝A'E+OE＝A'O，∵正方形ABCD，点O为对角线的交点，∴，∵A与A'关于BC对称，∴AB＝BA'＝4，∴FA'＝FB+BA'＝2+4＝6，在Rt△OFA'中，，故选：D．【点评】本题为典型的将军饮马模型，熟练掌握轴对称的性质，并运用勾股定理求线段长度是解题关键．典例4：（2022•黔西南州）在如图所示的Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点，把纸片沿着CD折叠，点B到点E的位置，连接AE．若AE∥DC，∠B＝α，则∠EAC等于（ ）A．αB．90°﹣αC．αD．90°﹣2α【分析】由直角三角形斜边上的中线性质和折叠的性质得出CD＝BD＝AD＝ED，∠B＝∠DCB＝∠DCE＝∠CED＝α，求出∠EAD＝∠AED＝180°﹣2α，∠CAD＝90°﹣α，即可得出答案．【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点，∴CD＝BD＝AD，由折叠的性质得：BD＝ED，∠B＝∠CED，∴CD＝BD＝AD＝ED，∴∠B＝∠DCB＝∠DCE＝∠CED＝α，∴∠EDC＝180°﹣∠DCE﹣∠CED＝180°﹣α﹣α＝180°﹣2α，∵AE∥DC，∴∠AED＝∠EDC＝180°﹣2α，∵ED＝AD，∴∠EAD＝∠AED＝180°﹣2α，∵∠B＝α，∠ACB＝90°，∴∠CAD＝90°﹣α，∴∠EAC＝∠EAD﹣∠CAD＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α，故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握折叠的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．考点三、旋转变换1．旋转概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.２．旋转变换的性质 图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，旋转过程中，图形的形状、大小都没有发生变化.３．旋转作图步骤 ①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角. ②分析所作图形，找出构成图形的关键点. ③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点. ④按原图形连结方式顺次连结各对应点.【要点诠释】１．图形变换与图案设计的基本步骤①确定图案的设计主题及要求；②分析设计图案所给定的基本图案；③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合；④对图案进行修饰，完成图案.2．平移、旋转和轴对称之间的联系 一个图形沿两条平行直线翻折（轴对称）两次相当于一次平移，沿不平行的两条直线翻折两次相当于一次旋转，其旋转角等于两直线交角的2倍.典例5：（2022•枣庄）如图，将△ABC先向右平移1个单位，再绕点P按顺时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点B的对应点B′的坐标是（ ）A．（4，0）B．（2，﹣2）C．（4，﹣1）D．（2，﹣3）【分析】作出旋转后的图形即可得出结论．【解答】解：作出旋转后的图形如下：∴B'点的坐标为（4，﹣1），故选：C．【点评】本题主要考查图形的平移和旋转，熟练掌握图形的平移和旋转是解题的关键．典例6：（2022•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在直线AC上，连接BD，将DB绕点D逆时针旋转120°，得到线段DE，连接BE，CE．（1）求证：BC＝AB；（2）当点D在线段AC上（点D不与点A，C重合）时，求的值；（3）过点A作AN∥DE交BD于点N，若AD＝2CD，请直接写出的值．【分析】（1）作AH⊥BC于H，可得BH＝AB，BC＝2BH，进而得出结论；（2）证明△ABD∽△CBE，进而得出结果；（3）当点D在线段AC上时，作BF⊥AC，交CA的延长线于F，作AG⊥BD于G，设AB＝AC＝3a，则AD＝2a，解直角三角形BDF，求得BD的长，根据△DAG∽△DBF求得AQ，进而求得AN，进一步得出结果；当点D在AC的延长线上时，设AB＝AC＝2a，则AD＝4a，同样方法求得结果．【解答】（1）证明：如图1，作AH⊥BC于H，∵AB＝AC，∴∠BAH＝∠CAH＝＝60°，BC＝2BH，∴sin60°＝，∴BH＝，∴BC＝2BH＝；（2）解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝＝30°，由（1）得，，同理可得，∠DBE＝30°，，∴∠ABC＝∠DBE，＝，∴∠ABC﹣∠DBC＝∠DBE﹣∠DBC，∴∠ABD＝∠CBE，∴△ABD∽△CBE，∴；（3）解：如图2，当点D在线段AC上时，作BF⊥AC，交CA的延长线于F，作AG⊥BD于G，设AB＝AC＝3a，则AD＝2a，由（1）得，CE＝，在Rt△ABF中，∠BAF＝180°﹣∠BAC＝60°，AB＝3a，∴AF＝3a•cos60°＝，BF＝3a．sin60°＝，在Rt△BDF中，DF＝AD+AF＝2a+a＝，BD＝＝＝a，∵∠AGD＝∠F＝90°，∠ADG＝∠BDF，∴△DAG∽△DBF，∴，∴＝，∴AG＝，∵AN∥DE，∴∠AND＝∠BDE＝120°，∴∠ANG＝60°，∴AN＝＝a＝a，∴＝，如图3，当点D在AC的延长线上时，设AB＝AC＝2a，则AD＝4a，由（1）得，CE＝＝4，作BR⊥CA，交CA的延长线于R，作AQ⊥BD于Q，同理可得，AR＝a，BR＝，∴BD＝＝2a，∴，∴AQ＝，∴AN＝＝a，∴＝＝，综上所述：或．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是正确分类和较强的计算能力．。
图形除法知识点总结
图形除法知识点总结一、基本概念1. 图形除法的概念：图形除法是指将一个几何图形按照一定的规则和方式分成若干个相同形状和大小的部分，这一过程就是图形除法。
在图形除法中，除数是指要分成的部分的个数，被除数是指要被分成的几何图形，商是指每个部分的形状和大小。
2. 图形除法的应用：图形除法在生活中的应用非常广泛，比如在摆设家具、布置场地、计算面积等方面都可以用到图形除法。
通过图形除法，我们可以更加灵活地处理不规则形状的几何图形，更加方便地计算图形的面积和周长等。
二、图形除法的方法1. 矩形图形的除法：矩形是一种常见的几何图形，其特点是四边相等，对角线相等，角度为90度。
当我们要将一个矩形分成若干个相同的部分时，可以采用以下步骤进行操作：（1）确定除数和被除数：首先确定要分成的部分的个数，即除数，然后确定要被分成的矩形图形，即被除数。
（2）画出分割线：根据除数的个数，在被除数的边界上画出相应的分割线。
（3）分割矩形：根据分割线，将被除数分割成若干个相同形状和大小的部分。
（4）计算商：分割后的每个部分就是商，可以根据被除数的面积和除数的个数，计算出每个部分的面积。
2. 不规则图形的除法：对于不规则的几何图形，如三角形、多边形等，图形除法的方法略有不同。
当我们要将一个不规则图形分成若干个相同的部分时，可以采用以下步骤进行操作：（1）将不规则图形转化成规则图形：首先可以将不规则图形转化成若干个规则图形，比如矩形、正方形等。
（2）按照规则图形进行分割：根据规则图形的特性和性质，采用相应的方法进行分割，得到相同形状和大小的部分。
（3）计算面积和周长：根据分割后的每个部分，可以计算出其面积和周长，得出最终的结果。
三、图形除法的应用1. 计算不规则形状的面积：通过图形除法，可以更加灵活地计算不规则形状的面积。
通过将不规则图形分割成若干个规则图形，得到每个部分的面积，再进行求和，就可以得出不规则图形的面积。
2. 安排场地和布置家具：在实际生活中，我们经常需要安排场地和布置家具，通过图形除法，可以更加方便地对场地和家具进行规划和布置，使得布置更加合理和美观。
第五章 图像卷积PPT课件
结合律
f (g h) ( f g) h
§5.2卷积运算的性质
■平滑性质 是指两个函数卷积的结果使得每个函数的精细结构都 会被平滑，一些尖峰和峡谷都趋于圆滑；
■扩散性质 指的是卷积结果的区间扩大性：两个只在有限区间有 定义的函数之卷积，卷积结果的区间线度等于两个函数区 间线度之和。若结果表示光能量分布的话，分布范围的增 加就意味着能量分布的扩散。
f (u, v)g(x u, y v)dudv
§5.1.1.5卷积定理的特例—相关定理
相关用 f (x）○ 表示，定义如下:
f
(x）g○(x)g(x)
f
(a)g(x
a)da
描述的是两个函数图形的相似程度， 当完全相同时，相关函数就会出现 一个相关峰值。
§5.1.1.5卷积定理的特例—相关
相关定理：
§5.3卷积的应用
■ 去卷积
我们可以用一个卷积去除另一个卷积影响的技术叫作去卷 积。即去除不需要的，但已对图像施加了的线性系统的影 响。一个实例即利用卷积恢复由于透镜系统或运动所造成 的模糊，这两种影响都认为是由线性系统带来的。
■ 去除噪声
即去掉线性叠加在图像上的噪声信号。
■ 特征增强 以消弱景物中的其它为代价来增强指定特征
(a)
g(2x1-)
(c)
(d)
f (x)* g(x)
1/ 2
-x1 0
1
x1 2x1 3x14x1 5x1
2
g(3x1-)
(e)
g(4x1-)
(f)
g(5x1-)
(g)
5
可编辑课件PPT
§5.1.1.3卷积的物理意义
线性系统
线性（linearity) 对同时作用的几个激励（输入）的响应（输出）， 恒等于每个激励单独 引起的响应之和，这种现象称为线性。
第5章 二维几何02—布尔运算
5.4.2 新环的组织
r新环组织的示意图
q环A：1-2-3-4-5-1 q环B ：6-7-8-9-5 顶点 交点
2002年10月24日
上海交通大学计算机系 何援军
15
5.4.3 结果的整理
r构成2个环：
q一个外环，以交点10为起点 q一个内环，以交点13为起点
2002年10月24日
上海交通Байду номын сангаас学计算机系 何援军
25
5.7 连续出入点处理— — 分析
r如果进行C=A∪B运算，且从交点①出发，求 并运算所产生的内孔将留有① ②一个尾巴； r如果从交点②出发，那么遍历交点后将只留 下①一个交点(一个交点不能再形成新环)。
2002年10月24日
上海交通大学计算机系 何援军
5.4.1 环与环交点的求取
r 求取两个环之间的所有 交点就是环的各边向量 之间的求交运算。 r 这些向量的交点需包括 几何信息和特征值两方 面的信息：
q这 个 交 点 是 属 于 每 个 环哪一条边向量？ q它 在 此 边 向 量 上 的 几 何位置？ q这 个 交 点 对 另 一 环 来 说 ，是 入 点 还 是 出 点？
2002年10月24日 上海交通大学计算机系 何援军 20
5.6 重交点的处理— — 错误例子
r 一般情况下环的运算就较为简单。但是当两个环的交 点是重交点时，上述两种策略都将失效。 r 如果改变环II的交、顶点排列，排列变成： 1→2→– A1→+B1→3→1 4→5→-B2→+A2→6→4
r 仍从交点– A1出发求取两环的并集得： – A1→+A2→6→4→5→-B2→+B1→3→1→2→– A1 r 合并重点后就成为：A→6→4→5→3→1→2→A。 r 这才是一个正确的答案。
小学数学基础知识：图形计算
小学数学基础知识：图形计算数学是必考科目之一，故从一年级开始我们就要仔细地学习数学，那么，如何才能掌握好数学知识点呢?小编经过准备了这篇小学数学基础知识：图形计算以供大家参照小学数学图形计算公式1正方形 C 周长 S 面积 a 边长周长 =边长 4 C=4a面积 =边长边长 S=aa2正方体 V:体积 a:棱长表面积 = 棱长棱长 6 S 表=aa6体积 =棱长棱长棱长V=aaa3长方形 C 周长 S 面积 a 边长周长 =(长 +宽 )2 C=2(a+b)面积 =长宽 S=ab4长方体 V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高表面积 (长宽 +长高 +宽高 )2 S=2(ab+ah+bh)体积 =长宽高 V=abh5三角形 s 面积 a 底 h 高面积 =底高 2 s=ah2三角形高 =面积 2 底三角形底 =面积 2 高6 平行四边形s 面积 a 底 h 高面积 =底高 s=ah7梯形 s 面积 a 上底 b 下底 h 高面积 =(上底 +下底 )高 2 s=(a+b) h28圆形 S 面积 C 周长 d=直径 r= 半径周长 =直径 =2 半径 C=d=2r面积 =半径半径9圆柱体 v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径 c:底面周长侧面积 = 底面周长高表面积 = 侧面积 +底面积 2体积 =底面积高体积 =侧面积 2 半径教师范读的是阅读教课中不行缺乏的部分，我常采纳范读，让少儿学习、模拟。
如领读，我读一句，让少儿读一句，边读边记；第二通读，我高声读，我高声读，少儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗诵磁带，一边放录音，一边少儿频频聆听，在频频聆听中体验、品尝。
10 圆锥体v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径照本宣科是一种传统的教课方式,在我国有悠长的历史。
但随着素质教育的展开,照本宣科被作为一种僵化的、阻挡学生能力发展的教课方式,逐渐为人们所摒弃;而另一方面 ,老师们又为提升学生的语文修养呕心沥血。
小学数学基础知识：图形计算
小学数学基础知识：图形计算
数学是必考科目之一，故从一年级开始我们就要认真地学习数学，那么，怎样才能掌握好数学知识点呢?小编通过准备了这篇小学数学基础知识：图形计算以供大家参考
小学数学图形计算公式
1 正方形C周长S面积a边长
周长=边长4 C=4a
面积=边长边长S=aa
2 正方体V:体积a:棱长
表面积=棱长棱长6 S表=aa6
体积=棱长棱长棱长V=aaa
3 长方形C周长S面积a边长
周长=(长+宽)2 C=2(a+b)
面积=长宽S=ab
4 长方体V:体积s:面积a:长b: 宽h:高
表面积(长宽+长高+宽高)2 S=2(ab+ah+bh)
体积=长宽高V=abh
5 三角形s面积a底h高
面积=底高2 s=ah2
三角形高=面积2底三角形底=面积2高
6 平行四边形s面积a底h高
面积=底高s=ah
7 梯形s面积a上底b下底h高
面积=(上底+下底)高2 s=(a+b) h2
8 圆形S面积C周长 d=直径r=半径
周长=直径=2半径C=d=2r
面积=半径半径
9 圆柱体v:体积h:高s;底面积r:底面半径c:底面周长侧面积=底面周长高表面积=侧面积+底面积2
体积=底面积高体积=侧面积2半径
10 圆锥体v:体积h:高s;底面积r:底面半径
体积=底面积高3。
【最新】湘教版七年级数学下册第五章《5.3 图形变换的简单应用》公开课课件 (共32张PPT)
知识点 2 平移、旋转作图 【例2】顶点在网格交点的多边形叫做格点多边形,如图,在一 个9×9的正方形网格中有一个格点△ABC,设网格中小正方形的 边长为1个单位长度. (1)在网格中画出△ABC向上平 移4个单位后得到的△A1B1C1. (2)在网格中画出△ABC绕点A 逆时针旋转90°后得到的△AB2C2. (3)在(1)中△ABC向上平移过程中,求边AC所扫过区域的面积.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选D.将一个图形沿某条直线折叠,直线两侧的部分能够
完全重合的是轴对称图形,上面的四个图形都能找到这样的直线,
都是轴对称图形.
3.如图是4×4正方形网格,其中已有3个小方格涂成了黑色,现 在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色,使整个涂 成黑色的图形成为轴对称图形,这样的白色小方格有_____个.
题组一:轴对称作图 1.如图,在3×3方格图中,将其中一个小方格的中心画上半径相 等的圆,使整个图形为轴对称图形,方法有( )
A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
【解析】选C.共有3种.如图,
2.对称现象无处不在,请你观察下面的四个图形,它们体现了中 华民族的传统文化,其中,可以看作轴对称图形的有( )
3.顺次连接_G_H_,__H_I和__IG_,便可得到△DEF关于直线AB的轴对称
图形_△_G__H_I_. 如图所示:
【互动探究】画图的关键是什么? 提示:画图的关键是确定原图形关键点的对应点. 【总结提升】画轴对称图形的三步法 1.找:找出已知图形的特殊点. 2.画:画出特殊点关于对称轴的对称点. 3.连:顺次连接对称点.
5.3 图形变换的简单应用
1.掌握轴对称变换、平移变换、旋转变换的概念、性质及在图 案设计等方面的应用.(重点) 2.会运用图形变换设计、制作图案.(难点)
2021年湘教版七年级数学下册第五章《5.3图形变换的简单应用》公开课课件
练习
2、下图是由三个正三角形拼成的，它可以看作 由其中一个三角形经过怎样的变化而得到的？
把左边的正三角形看做“基本图案”，以三个正三角形的公共顶点为 旋转中心，按顺时针方向旋转600，再把左边的正三角形向右平移与正三角形 边长相等的距离，即可得到该图案。
观察图中的四个图案，它们可以分别看做是由什么“基本图案” 经过怎样的变化形成的？（不考虑颜色）
If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
。2021年2月6日星期六2021/2/62021/2/62021/2/6
• 15、会当凌绝顶，一览众山小。2021年2月2021/2/62021/2/62021/2/62/6/2021
图案欣赏
平移的概念：
在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离， 这样的图形运动称为平移
平移的性质： 1、平移不改变图形的大小和形状。 2、对应点所连的线平行且相等。 3、对应线段平行且相等。 4、对应角相等。
旋转的概念：
在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方 向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。
把中间的正三角形看做“基本图案”，以三个正三角形的公共顶点为 旋转中心，分别按顺时针、逆时针方向旋转600，即可得到该图案。
练习
2、下图是由三个正三角形拼成的，它可以看作 由其中一个三角形经过怎样的变化而得到的？
把中间的正三角形看做“基本图案”，分别以这个三角形与相邻三角形 的公共边所在直线为对称轴作轴对称图形，也可得到该图案。
方法一
•
解：可以先将甲“树”绕图上的A点旋转，使
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S3=ABOVE(S1,L); S4=BELOW(S2,L); 相交，则求出的交点送入集合A中 若S3和S2相交，则求出的交点送入集合 中； 相交，则求出的交点送入集合A中 若S4和S1相交，则求出的交点送入集合 中； 中交换S 的位置； 在L中交换 1和S2的位置； 中交换 3.3 〔处理找到的交点〕若集合 不为空，做下面 处理找到的交点〕若集合A不为空 不为空， 循环，直至A为空 为空： 循环，直至 为空： 取出集合A中一个交点 其横坐标是x； 中一个交点， 取出集合 中一个交点，其横坐标是 ； 则输出此交点， 若MEMBER(x,E)为FALSE,则输出此交点， 并 为 则输出此交点 做 INSERT(x,E);
两线段AB和CD交点的算法 两线段AB和CD交点的算法 AB
1.〔计算行列式〕 1.〔计算行列式〕 ←(xb-xa)(yc-yd)-(xc∆ xd)(yb-ya) =0,则两线段重合或平行 则两线段重合或平行, 若 ∆ =0,则两线段重合或平行,可算做无交 算法结束; 点,算法结束; 2.〔计算交点参数〕 2.〔计算交点参数〕 ←((xc-xa)(yc-yd)λ (xc-xd)(yc-ya))/ <0或 >1,则无交点,算法结束; >1,则无交点 若λ 或 λ 则无交点,算法结束; <0 ←((xb-xa)(yc-ya)-(xc-xa)(yb-ya))/ <0或 >1,则无交点 算法结束; 则无交点, 若 µ<0或 µ >1,则无交点,算法结束;
µ
3.〔计算交点〕 3.〔计算交点〕x←xa+ (xb-xa),y←ya+ (yb),输出交点(x,y)后算法结束 输出交点(x,y)后算法结束; ya),输出交点(x,y)后算法结束;
λ
λ
多条线段求交
寻找这样的算法, 寻找这样的算法,其计算工作量要大 体上与交点个数成正比, 体上与交点个数成正比,即只对有可能相 交的两线段计算交点, 交的两线段计算交点,对不可能相交的线 段不计算交点,使算法有更好的效率。 段不计算交- x a λ = Δ yc - y a 1 x b - xa μ= Δ y -y b a
-(xd - xc ) -(yd -yc ) (xc - xa ) (yc -ya )
≤ 需要注意, 需要注意,只有 0 ≤λ 1 ,0 ≤ µ ≤1 时两线 段才真正相交。否则, 段才真正相交。否则,交点在两线段或其中某 一条线段的延长线上, 一条线段的延长线上,这时仍然认为是两线段 不相交。 不相交。
第五章
第一节
图形运算
线段的交点计算
两条线段求交 设有两线段AB和CD,其端点坐标分别为 设有两线段AB和CD,其端点坐标分别为 AB ),它们所在直线 (xa,ya),(xb,yb)和(xc,yc),(xd,yd),它们所在直线 的参数方程分别为： 的参数方程分别为：
x = x a +λ(x b - x a ) x = x c +μ(x d - x c ) y = y a +λ(y b - y a ) y = y c +μ(y d - y c )
事件点进度表E应能支持以下三 事件点进度表E 个操作: 个操作: MIN(E),取出表 中的最小元素。 取出表E (1) MIN(E),取出表E中的最小元素。 INSERT(x,E),把横坐标为 把横坐标为x (2) INSERT(x,E),把横坐标为x的一个 点插入到表E 插入要使E 点插入到表E中,插入要使E中事件点存 放保持递增次序。 放保持递增次序。 MEMBER(x,E),判定横坐标为 判定横坐标为x (3) MEMBER(x,E),判定横坐标为x的点 是否在事件点进度表E 是否在事件点进度表E中。
若两线段相交,则交点的参数值,应满足: 若两线段相交,则交点的参数值,应满足:
x = x a +λ (x b - x a ) = x c + μ(x d - x c ) y = y a +λ(y b - y a ) = y c + μ (y d - y c )
即
(x b - x a ) λ - (x d - x c ) µ = x c - x a (y b - y a )λ - (y d - y c ) µ = y c - y a
算法: 算法:
1.〔事件点进度表E初始化〕将输入待求交点的 〔事件点进度表 初始化 初始化〕 n条线段的 个端点按 字典式排序后存放 条线段的2n个端点按 条线段的 个端点按x,y字典式排序后存放 于表E中 于表 中; 2.〔准备收集交点〕A← ;{A是一集合 初为 是一集合,初为 〔准备收集交点〕 是一集合 准备存入找到的交点;} 空,准备存入找到的交点 准备存入找到的交点 3.〔平面扫描〕若表 不为空 则进行 不为空,则进行 〔平面扫描〕若表E不为空 则进行(1)~(3)循 循 直到表E为空时算法结束 为空时算法结束。 环。直到表 为空时算法结束。 3.1〔取出当前事件点〕P←MIN(E)； 〔取出当前事件点〕 ； 3.2〔当前事件点处理〕考查当前事件点 分三 〔当前事件点处理〕考查当前事件点P,分三 种情况: 种情况 (1) 若P是边 的左端点 则做：INSERT(S,L); 是边S的左端点 则做： 是边 的左端点,则做
因此, 因此,若行列式
xb - xa -(xd - xc ) ∆= =0 y b - y a -(y d - y c)
表示两线段AB和CD重合或平行。 表示两线段AB和CD重合或平行。一般做为 AB 重合或平行 它们不相交来处理。 0,则可求出交点 它们不相交来处理。如果 ∆ ≠0,则可求出交点 对应的两个参数值: 对应的两个参数值:
第二节 多边形表面的交线计算
设两个要求交线的多边形表面都是凸 多边形表面,分别由它们的顶点坐标逆时针 多边形表面,分别由它们的顶点坐标逆时针 方向的序列确定, 方向的序列确定,即约定按顶点序列前行时 内部在左侧。 内部在左侧。 根据顶点坐标求出两个多边形表面分 别所在平面的方程 平面的方程, 别所在平面的方程,再根据平面方程计算交 最后,还要确定出交线同时在两个多边 线,最后,还要确定出交线同时在两个多边 形表面内部的部分
u
ν
其中， 其中，S2>μS4,S1>νS2,S2>νS4,S1>νS4
规定的次序关系对垂直的线段不适合 两线段相交的必要条件 即若两线段相交, 必要条件, 两线段相交的必要条件,即若两线段相交, 则必然存在某个x,使它们在规定的次序关系 x,使它们在规定的次序 则必然存在某个x,使它们在规定的次序关系 >x下是相邻的 下是相邻的。 >x下是相邻的。 算法从左向右扫描,在扫描过程维持正确 算法从左向右扫描, 的线段间上述次序关系。 的线段间上述次序关系。这种次序关系只能 有三种可能的变化方式: 有三种可能的变化方式: 遇见某条线段S 左端点,此时S 加入次序 1．遇见某条线段S的左端点,此时S应加入次序 关系。 关系。 2．遇见某线段S的右端点,此时S应从次序关系 遇见某线段S 右端点,此时S 删除。 中删除。 遇到某两条线段S 交点, 3．遇到某两条线段S1和S2 的交点,这时在次序 交换位置。 关系中S 关系中S1和S2交换位置。
算法实施需要两个基本的数据结构: 算法实施需要两个基本的数据结构: 扫描线状态表和事件点进度表 扫描线状态表L中存放按所规定次序关系> 扫描线状态表L中存放按所规定次序关系>x 排序的线段的序列 此表初始应为空, 线段的序列。 排序的线段的序列。此表初始应为空,在平面 扫描过程中当关系> 改变时变化。 扫描过程中当关系>x改变时变化。 事件点指扫描进行中可能使所规定次序关 发生变化的点 存放于事件点进度表E 系>x发生变化的点,存放于事件点进度表E中, 该表初始时应是排序的要求交点的各线段端点 的坐标。在平面扫描过程中求出的交点 交点, 的坐标。在平面扫描过程中求出的交点,应及 时地插入到事件点进度表中。 插入到事件点进度表中 时地插入到事件点进度表中。
ϕ
S1=ABOVE(S,L); S2=BELOW(S,L); 则求出的交点送入集和A中 若S和S1相交 则求出的交点送入集和 中; 和 相交,则求出的交点送入集和 则求出的交点送入集和A中 若S和S2相交 则求出的交点送入集和 中; 和 相交,则求出的交点送入集和 (2) 若P是边 的右端点 则做： 是边S的右端点 则做： 是边 的右端点,则做 S1=ABOVE(S,L); S2=BELOW(S,L); 相交于点P的右边,则求出的交点送 若S1和S2相交于点 的右边 则求出的交点送 入集和A中 入集和 中； DELETE(S,L)； ； (3) 若P是边 1和S2的交点 且在 的左边 是边S 的交点,且在 且在P的左边 是边 S1=ABOVE(S2),则做 则做
设有三条线段S 设有三条线段S1，S2，S3,它们的坐标如下 (1,1),(5,3,),(2,3),(4,1),(6,4),(8,2).要计 (1,1),(5,3,),(2,3),(4,1),(6,4),(8,2).要计 算所有交点。 算所有交点。
算法初始形成的事件点进度表E， 算法初始形成的事件点进度表 ， 可有形式 (((1,1),S1左端点 ，((2,3),S2左端点 左端点)， 左端点) 左端点 左端点 右端点)， 右端点) ，((4,1),S2右端点 ，((5,3),S1右端点 右端点 右端点 左端点)， 右端点)) ，((6,4),S3左端点 ，((8,2),S3右端点 左端点 右端点
算法步 骤 3.2(1) 3.2(1)
从表E前面取出的扫描到 从表 前面取出的扫描到 达的事件点P 达的事件点 ((1,1),S1左端点 左端点) 左端点 ((2,3),S2左端点 左端点) 左端点
扫描线状 态表L 态表 (S1) (S1,S2)
工作解释
发生S1,S2求交 求出 求交,求出 发生 求交 交点(3,2)插入 交点 插入 E((4,1),S2右端点 前 右端点)前 右端点