d213多元函数积分学曲面积与场论(55p)

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多元函数积分知识点总结

多元函数积分知识点总结1. 多元函数的概念多元函数是指至少含有两个自变量的函数，它是自变量的多项式和、积、商或者反函数的复合函数。

多元函数的自变量可以是实数，也可以是复数。

例如，z=f(x,y)表示一个含有两个自变量的函数，其中x和y称为自变量，z称为因变量。

多元函数的图形通常是在三维坐标系中表示的，它描述了自变量之间的关系和对因变量的影响。

2. 多元函数的积分多元函数的积分是对多元函数在给定区域上的积分运算，它可以表示为对函数在该区域上的所有微小部分进行求和。

多元函数的积分具有广泛的应用，例如在物理学、工程学、经济学等领域中都有重要应用。

多元函数的积分包括二重积分和三重积分两种重要形式。

3. 二重积分二重积分是对二元函数在给定区域上的积分运算，它可以表示为对函数在该区域上的面积进行求和。

二重积分的计算通常涉及到对区域进行分割、确定积分范围、选择合适的坐标系等步骤。

二重积分的求解可以利用极坐标、直角坐标等不同坐标系进行计算，根据具体问题的情况选择合适的坐标系可以简化计算过程。

4. 三重积分三重积分是对三元函数在给定区域上的积分运算，它可以表示为对函数在该区域上的体积进行求和。

三重积分的计算通常涉及到对区域进行分割、确定积分范围、选择合适的坐标系等步骤。

三重积分的求解可以利用柱面坐标、球面坐标等不同坐标系进行计算，根据具体问题的情况选择合适的坐标系可以简化计算过程。

5. 多元函数的积分性质多元函数的积分具有一些重要的性质，包括线性性质、可加性、区域可加性等。

其中线性性质指的是积分运算满足线性运算规律，可加性指的是积分在不同区域的和等于对整个区域的积分，区域可加性指的是积分在求和区域上的分割等价性。

这些性质在多元函数积分的计算中起着重要的作用，可以帮助简化计算过程和求得精确解。

6. 多元函数的变限积分多元函数的变限积分是对多元函数在变化区域上的积分运算，它可以表示为对函数在变限区域上的所有微小部分进行求和。

多元微积分

多元微积分多元微积分是数学的一个分支，旨在研究多元空间内的微积分。

在多元微积分中，我们将会学习多元函数的概念及其性质、偏导数和导数矩阵的定义、多元微分学中的极值问题及拉格朗日乘数法、多元积分学及其应用等。

首先，我们来了解一下多元函数的概念。

在单变量微积分中，我们研究的是只有一个自变量的函数，而在多元微积分中，函数可能有多个自变量。

例如，$z=f(x,y)$ 就是一个双变量函数，$f(x,y,z)$ 就是一个三元函数。

在多元函数中，我们可以用等高线图来表示函数在平面上的变化情况。

等高线上的任意一点表示函数在该点的取值相同，等高线间的高度差就代表着函数值的变化。

接下来，我们可以学习偏导数和导数矩阵的概念。

在单变量函数中，导数表示函数在某个点上的瞬时变化率。

在多元函数中，每个自变量都可以影响函数的取值，所以我们需要从每个自变量方向上来研究函数的变化，而这就是偏导数的概念。

偏导数描述了函数在某个点沿某一方向的变化速率。

导数矩阵是由多个偏导数组成的矩阵，表示函数在所有方向上的变化情况。

导数矩阵在多元函数的极值问题中起着重要的作用。

接下来，我们将学习多元微分学中的极值问题以及拉格朗日乘数法。

在单变量函数中，我们用导数来判断函数的极值，而在多元函数中，我们将使用导数矩阵和二次型矩阵来判断函数的极值。

二次型矩阵描述了函数取得极值的形状。

如果二次型矩阵为正定或负定，那么函数的极值就是极小值或极大值；如果二次型矩阵是一个不定矩阵，那么我们无法得出该函数的极值。

当我们需要研究函数的极值时，常常需要引入拉格朗日乘数法。

拉格朗日乘数法通过引入一个限制条件来确定函数的极值，这个限制条件可以是在某个区域内的限制性条件，例如体积、表面积等。

最后，我们将学习多元积分学和它的应用。

多元积分学是研究多元空间内面积、体积、质心等问题的数学学科。

在多元积分学中，我们将学习三种类型的积分：二重积分、三重积分和曲线积分。

二重积分用于计算一个平面区域内的面积；三重积分用于计算三维空间内的体积；曲线积分则用于计算空间内曲线的长度、质心等。

多元函数积分学总结

多元函数积分学总结引言多元函数积分学是微积分的一个重要分支，研究的是多个变量的函数在特定区域上的积分计算和性质。

在实际问题中，我们经常需要求解多元函数的积分，以求得面积、体积、质量等物理量。

本文将对多元函数积分学的基本概念、计算方法和应用进行总结和介绍。

一、多元函数积分的基本概念1. 二重积分二重积分是多元函数积分学中最基本的概念之一。

它表示在二维平面上的一个有界区域上对函数进行积分。

二重积分的计算可以通过投影到坐标轴上的两个一元积分来实现。

根据积分区域的形状和函数性质的不同，二重积分可以分为类型I和类型II两种。

•类型I：积分区域为矩形、正方形或一般的可由直线分割成有限个矩形的区域。

•类型II：积分区域不属于类型I的情况，一般需要进行变量替换或极坐标转化来简化计算。

2. 三重积分三重积分是对三维空间内的函数进行积分。

它可以用于计算体积、质量、重心等与物体形状和密度有关的物理量。

三重积分的计算方法较为复杂，一般需要采用适当的坐标变换或者使用球坐标、柱坐标等不同坐标系下的积分公式来进行计算。

二、多元函数积分的计算方法1. Fubini定理Fubini定理是多元函数积分计算的基础定理之一。

它建立了二重积分和三重积分之间的关系，使得计算复杂多元函数积分时可以拆分为若干个简单的积分。

Fubini定理主要有两种形式：对于矩形区域上的二重积分，可以通过交换积分次序将其转化为两次一元积分。

对于空间区域上的三重积分，也可以利用类似的方法进行计算。

2. 极坐标和球坐标对于具有相关几何特性的问题，使用极坐标和球坐标可以简化多元函数积分的计算过程。

极坐标常用于计算平面上的二重积分，而球坐标常用于计算空间中的三重积分。

通过引入极坐标或球坐标的坐标变换，我们可以将原积分区域变换为一个更简单的形式，从而简化积分计算。

在实际应用中，灵活运用极坐标和球坐标可以大大提高计算效率。

三、多元函数积分的应用多元函数积分在物理学、工程学、经济学等领域有广泛的应用。

多元函数微积分的基本概念与运算

多元函数微积分的基本概念与运算多元函数微积分，亦称为多元微积分，是微积分学的一个分支，它涉及到多个变量的函数的微积分。

多元函数微积分在物理、工程、金融等领域中具有重要应用价值。

本篇文章将介绍多元函数微积分的基本概念与运算。

一、多元函数的概念在多元函数微积分中，我们首先需要了解的是多元函数的概念。

在数学上，多元函数可以定义为具有多个自变量的函数。

例如，二元函数f(x,y)可以表示为：f(x,y) = x^2 + y^2其中x和y为自变量，f(x,y)是因变量。

在这个函数中，我们可以通过给定x和y的值来计算出f(x,y)的值。

二、偏导数在多元函数微积分中，我们可以通过偏微分来计算多元函数的变化情况。

偏导数可以理解为多元函数在某一自变量上的变化率。

例如，对于二元函数f(x,y) = x^2 + y^2 ，我们可以计算出它在x处的偏导数：∂f/∂x = 2x这个结果的意义是，在x这个自变量上，当y不变时，f(x,y)在x处的变化率是2x。

同样地，我们可以计算出f在y处的偏导数：∂f/∂y = 2y三、梯度梯度是多元函数微积分中的另一个重要概念，它是一个向量，由多个偏导数组成。

例如，对于二元函数f(x,y) = x^2 + y^2 ，我们可以计算出它的梯度：∇f = <2x, 2y>这个梯度的意义是，在（x,y）处，f(x,y)在x方向上的变化率是2x，在y方向上的变化率是2y。

梯度的模表示函数变化率的大小，方向表示函数变化率的方向。

四、方向导数方向导数是多元函数在某一方向上的变化率。

我们通常使用单位向量来描述方向。

例如，对于二元函数f(x,y) = x^2 + y^2 ，在点（1,1）处，我们可以计算出它在（1,1）处沿着向量<1,1>的方向导数：Df(1,1)<1,1> = ∇f(1,1)·<1,1> = 2(1)+2(1) = 4这个结果的意义是，在（1,1）处，f(x,y)沿着向量<1,1>的方向变化率是4。

高数(同济第六版)下册多元函数的积分学及其应用知识点

第十章多元函数的积分学及其应用一、二重积分1．二重积分的概念�定义：设(,)f x y 是有界闭区域D 上的有界函数，“分割、近似、求和、取极限”：01(,)lim (,)n i iii D f x y d f λσξησ→==∆∑∫∫其中：D 为积分区域，(,)f x y 称为被积函数，d σ为面积元素。

�几何意义：当(,)0f x y ≥，(,)D f x y d σ∫∫表示以区域D 为底、以曲面(,)z f x y =为顶的曲顶柱体的体积。

�非均匀平面薄片的质量：(,)DM x y d µσ=∫∫。

2．二重积分的性质�性质1（线性性质）.),(),()],(),([∫∫∫∫∫∫±=±DD D d y x g d y x f d y x g y x f σβσασβα�性质2（区域具有可加性）如果闭区域D 可被曲线分为两个没有公共内点的闭子区域1D 和2D ,则.),(),(),(21∫∫∫∫∫∫+=D D Dd y x f d y x f d y x f σσσ�性质3如果在闭区域D 上,σ,1),(=y x f 为D 的面积,则.1σσσ==⋅∫∫∫∫DD d d 几何意义：以D 为底、高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。

�性质4（单调性）如果在闭区域D 上,有),,(),(y x g y x f ≤则.),(),(∫∫∫∫≤DD d y x g d y x f σσ推论1.|),(|),(∫∫∫∫≤DD d y x f d y x f σσ推论2设m M ,分别是),(y x f 在闭区域D 上的最大值和最小值,σ为D 的面积,则.),(σσσM d y x f m D≤≤∫∫这个不等式称为二重积分的估值不等式。

�性质5（积分中值定理）如果函数(,)f x y D 上连续，σ是D 的面积，那么在D 上至少存在一点(,)ξη，使得(,)(,)Df x y d f σξησ=⋅∫∫。

多元微积分学

多元微积分学（最新版）目录1.多元微积分学的概念与背景2.多元微积分学的基本概念3.多元微积分学的应用4.多元微积分学的发展与展望正文一、多元微积分学的概念与背景多元微积分学，作为微积分学的一个重要分支，主要研究多元函数的微分和积分。

在数学、物理、化学、工程等学科中，许多实际问题都涉及到多元函数，因此多元微积分学具有非常广泛的应用。

二、多元微积分学的基本概念1.多元函数多元函数是指含有多个变量的函数，如 f(x, y)。

多元函数的微分和积分较单变量函数复杂，需要引入偏导数、方向导数、梯度等概念。

2.偏导数偏导数是多元函数的导数的一种，用于研究多元函数在某点的变化率。

例如，对于函数 f(x, y)，其偏导数可以表示为 f_x, f_y 等。

3.方向导数与梯度方向导数表示函数在某方向上的变化率，而梯度表示函数在各变量方向上的偏导数的向量。

梯度是方向导数的一种。

4.多元函数的积分多元函数的积分分为二重积分、三重积分等，其中二重积分是最常见的。

通过多元函数的积分，我们可以求解曲面的面积、空间的体积等问题。

三、多元微积分学的应用多元微积分学在许多领域都有广泛应用，例如：1.物理学：在力学、热力学、电磁学等分支中，多元微积分学可以用于求解物体的位移、速度、加速度等。

2.工程学：在机械工程、电子工程、土木工程等领域，多元微积分学可以用于设计和优化各种结构和系统。

3.经济学：在经济学中，多元微积分学可以用于研究成本、收益等函数的变化。

四、多元微积分学的发展与展望多元微积分学随着数学和科学技术的发展而不断完善。

微积分(第三版)课件：多元函数微积分

轴的直准线 C 上.所以的坐
z
标满足曲线 C 的方程 f (x , y)= 0 .
由于方程 f (x , y)= 0 不含 z，所以
y
点 M(x, y, z)也满足方程 f (x, y)= 0 . x
而不在柱面上的点作平行于 z 轴的直线与 xoy 坐
标面的交点必不在曲线 C 上, 也就是说不在柱面上的
其中每个有序数组的坐标，n个实数
称为中的一个点，也称该点就是这个点的坐标的分量.
n维空间中任意两点为
与
间的距离定义
第二节多元函数
一、二元函数二、二元函数的极限与连续三、多元函数
第二节多元函数
导言：多元函数是多元函数微积分学研究的对象，同一元函数类似对于多元函数也有极限、连续等基本概念.这些内容作为一元函数在多元函数中的推广，它与一元函数相关内容类似且密切相关，在这部分内容的学习中应注意与一元函数的对比.在研究方法上把握一般与特殊之间辩证关系.
点的坐标不满足方程 f (x , y)= 0.
（2）以yOz 坐标面上曲线 C : g ( y , z ) = 0 为准线,
母线平行于x 轴的柱面方程为
（3）以zOx 坐标面上曲线 C : h ( x , z ) = 0 为准线,
母线平行于y 轴的柱面方程为
z
z
y
y
x
在空间直角坐标系Oxyz下，含两个变量的方程为柱面方程，并且方程中缺少哪个变量，该柱面的母线就平行于哪一个坐标轴 .
区域：连通的开集称为开区域，简称区域.区域及其它的边界所成的集合称为闭区域.
有界与无界区域：对于平面点集E，如果存在一个以原点为圆心的圆盘D ，使，则称E为有界区域，否则称E为无界区域.

第3章多元函数积分学及其应用小结

第3章多元函数积分学及其应用一、基本要求1．理解多元函数积分（二、三重积分、曲线和曲面积分）的概念. 了解两类曲线积分的关系.2．了解多元函数积分的性质，理解多元函数在几何形体上的积分是定积分的推广.3．掌握二重积分的计算方法（直角坐标﹑极坐标），会计算简单的三重积分（直角坐标、柱面坐标﹑*球面坐标）.4. 掌握平面上的曲线和曲面积分的基本计算方法, 了解空间中第一类曲线积分的计算方法.5．掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件. 6．了解高斯公式，斯托克斯公式，并会用高斯公式计算曲面积分.7. 了解元素法，会用多元函数积分求一些几何量和物理量（弧长﹑质量﹑重心﹑转动惯量﹑引力、功和流量等）.*8．了解向量场的通量﹑散度和旋度的概念并会计算.二、要点提示（一）多元函数积分的概念与性质 1. 定义设()f p 是几何形体G 上的有界函数．将G 任意分成n 个部分，记为i g ∆（1,2,,in =，i g ∆也代表该部分的几何度量）．在每个部分i g ∆上任取一点i p ，作和式1()niii f p g =∆∑，如果当各部分的直径的最大值0λ→时，和式的极限1lim ()ni i i f p g λ->=∆∑存在，则称这个极限为函数()f p 在几何形体G 上的积分．记为⎰Gdg p f )(即1()lim ()niii Gf p dg f p g λ→==∆∑⎰当G 为不同的几何形体时，对应的积分有固定的名称和符号：当G 为平面有界闭区域（常记为D ）时，称为二重积分，记为⎰⎰Dd y x f σ),(；当G 为空间有界闭区域（常记为Ω）时，称为三重积分，记为(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰；当G 为平面有限曲线段（常记为L ）或空间有限曲线段（常记为Γ）时，称为第一类曲线积分（也称为对弧长的曲线积分），记为⎰Lds y x f ),(或⎰Γds z y x f ),,(；当G 为空间有限曲面片（常记为∑）时，称为第一类曲面积分（也称为对面积的曲面积分），记为(,,)f x y z dS ∑⎰⎰．（这里被积函数f随几何形体的不同，分别为二元函数或三元函数．读者应该熟记各种积分的记号）．与定积分类似，当()f p 在G 上连续时，积分()Gf p dg ⎰必定存在．2. 积分()Gf p dg ⎰具有与定积分类似的性质.性质1 （线性性）()()GGkf p dg k f p dg =⎰⎰ （k 为常数）,[()()]()()GGGf p h p dg f p dgh p dg ±=±⎰⎰⎰.性质2（对积分域的可加性）若G 分为两部分12G G G =+，则有12()()()DG G f p dg f p dg f p dg =±⎰⎰⎰⎰.性质3若在G 上()1f p =，则有 Gdg G =⎰的度量（比如面积，体积，弧长等）．例如Dd D σ=⎰⎰的面积.性质4（比较性）如果在G 上()()f p h p ≤，则有()()GGf p dgh p dg≤⎰⎰⎰⎰性质5（估值性）若M ，m 分别是()f p 在G 上的最大值和最小值，则有()Gm f p d M σσσ≤≤⎰⎰ （σ为G 的度量）．性质 6 （二重积分的中值定理）若(,)f x y 在有界闭区域D 上连续，则在D 上至少存在一点(,)ξη，满足等式(,)(,)Df x y d f σξησ=⎰⎰ （σ为D 的面积）．3. 几何形体上积分的物理意义如果一个非均匀物体，其形状如上述几何形体G ，其密度为G 上的函数()p ρ，则在G 的元素dg 上，其质量应是()p dg ρ，于是该物体的总质量为()GM p dg ρ=⎰．4. 二重积分的几何意义设(,)f x y 是平面上有界闭区域D 上的非负连续函数，则二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰的值等于由D 为底面、(,)z f x y =为顶以及曲面(,)z f x y =的投影柱面为侧面的曲顶柱体的体积.（二）二重积分的计算方法将二重积分化为二次积分来计算，其关键问题是根据积分区域的形状定出两个定积分的积分上下限.定限时注意上、下限与表示积分区域的不等式之间的关联. 1. 在直角坐标系下计算二重积分（1）若D 为X -型区域，即D 可表为：12()()y x y y x a x b ≤≤⎧⎨≤≤⎩，则21()()(,)(,)by x ay x Df x y dxdy dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰（先y 后x ）.（2）若D 为Y -型区域，即D 可表为：12()()x y x x y c y d ≤≤⎧⎨≤≤⎩，则21()()(,)(,)dx y cx y Df x y dxdy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰（先x 后y ）.（3）若D 不是X -型或Y -型区域，则可以通过对区域D 做适当的分割，使之成为若干个X -型或Y -型的区域，化为二次积分，再用积分的可加性来计算二重积分.在计算二重积分时，有时需要改变二次积分的积分次序. 2. 在极坐标系下计算二重积分极坐标与直角坐标的关系如下：cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩于是(,)(cos ,sin )DDf x y dxdy f d d ρθρθρρθ=⎰⎰⎰⎰，其中d d ρρθ是在极坐标系中的面积元素.根据积分区域D 的形状，将二重积分化为二次积分. （1）若D 表示为12()()ρθρρθαθβ≤≤⎧⎨≤≤⎩，则21()()(cos ,sin )(cos ,sin ).Df d d d f d βρθαρθρθρθρρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰（2）若极点在D 的边界上，D 表示为 0()ρρθαθβ≤≤⎧⎨≤≤⎩，则()(cos ,sin )(cos ,sin )Df d d d f d βρθαρθρθρρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰.（3）若极点在D 的内部，D 表示为 0()02ρρθθπ≤≤⎧⎨≤≤⎩，则2()(cos ,sin )(cos ,sin )Df d d d f d πρθρθρθρρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰.注意在利用极坐标系计算二重积分时，一定要把被积函数和积分区域都化为极坐标表示.（三）三重积分的计算方法1. 将三重积分化为一个二重积分和一个定积分来计算. 设(,,)f x y z 在空间有界区域Ω上连续，利用直角坐标来计算. （1）“先一后二”法（投影法）若Ω可表示为： 1212(,)(,)()()z x y z z x y y x y y x a x b ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，其中1(,)z z x y =和2(,)z z x y =分别为Ω的下半边界曲面和上半边界曲面，12()()y x y y x a x b ≤≤⎧⎨≤≤⎩为Ω在xoy 面上的投影区域（X -型域），记为xy D ，则21(,)(,)(,,)(,,)xyz x y z x y Df x y z dv f x y z dz dxdy Ω⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰2211()(,)()(,)(,,).b y x z x y a y x z x y dx dy f x y z dz =⎰⎰⎰ 同理，可以得到其它不同积分次序的三次积分.21(,)(,)(,,)(,,)xyz x y z x y Df x y z dv f x y z dz dxdy Ω⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰中的二重积分21(,)(,)(,,)xyz x y z x y Df x y z dz dxdy ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰也可以在极坐标系下计算，这时等效于利用柱面坐标计算三重积分.（2） “先二后一”法（截面法）设Ω在z 轴上的投影区间为[],αβ，过[],αβ上任一点z ，平行于xoy 面的Ω的截面，该截面为一有界闭区域z D ，则(,,)(,,)z D f x y z dv f x y z dxdy dz βαΩ⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 2. 利用柱面坐标计算三重积分柱面坐标与直角坐标的关系是cos sin (0,02,)x y z z z ρθρθρθπ=⎧⎪=≤<+∞≤≤-∞<<+∞⎨⎪=⎩三重积分在柱面坐标系下的形式为(,,)(cos ,sin ,)f x y z dv f z d d dz ρθρθρρθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中dv d d dz ρρθ=为体积元素.假设积分区域Ω在柱面坐标下表示为1212:(,)(,),()(),,z ϕρθϕρθρθρρθαθβΩ≤≤≤≤≤≤则三重积分可化为柱面坐标系下的三次积分2211Ω()(,)()(,)(,,)(cos ,sin ,)βρθφρθαρθφρθf x y z dv d θρd ρf ρθρθz dz =⎰⎰⎰⎰⎰⎰.*3. 利用球面坐标计算三重积分球面坐标与直角坐标的关系是sin cos sin sin (0,0,02)cos x r y r r z z ϕθϕθϕπθπϕ=⎧⎪=≤<+∞≤≤≤≤⎨⎪=⎩.三重积分在球面坐标系下的形式为2(,,)(,,)sin f x y z dv F r rdrd d ϕθϕϕθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中(,,)(sin cos ,sin sin ,cos )F r f r r r ϕθϕθϕθϕ=，2sin dv r drd d ϕϕθ=是体积元素.若空间区域Ω包含原点在其内部，边界曲面为(,)rr φθ=，则有2(,)22000(,,)sin (,,)sin r F r r drd d d d F r r dr ππϕθϕθϕϕθθϕϕθϕΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.（四）曲线积分的计算 1．利用公式化为定积分计算（1）对弧长（第一类）的曲线积分设平面曲线L 的参数方程为(),(),x t y t t ϕψαβ==≤≤，其中(),()t t ϕψ在[],αβ上有连续偏导数，且22()()0t t ϕψ''+≠，又函数(,)f x y 在L 上连续，则有[(,)(),(),Lf x y ds f t t βαϕψαβ=<⎰⎰.如果曲线L 由方程 (),y x a x b ψ=≤≤给出，那么可以把这种情形看作是特殊的参数方程,(),x x y x a x b ψ==≤≤的情形，从而有[(,),(),bLaf x y ds f x x a b ψ=<⎰⎰类似地，如果曲线L 由方程(),x y c y d ϕ=≤≤给出，则有[(,)(),,dLcf x y ds f y y c d ϕ=<⎰⎰.若L 是由极坐标方程(),ρρθαθβ=≤≤给出，则把θ看作参数，且()cos ,()sin x y ρθθρθθ==，有ds θ=，[](,)()cos ,()sin ,Lf x y ds f =<⎰⎰βαρθθρθθθαβ.对空间曲线Γ由参数方程(),(),(),x t y t z t t ϕψωαβ===≤≤给出的情形，有[](,,)(),(),(),f x y z ds f t t t Γ=<⎰⎰βαϕψωαβ.（2）对坐标（第二类）的曲线积分设(,),(,)P x y Q x y 在有向曲线弧L 上有定义且连续,L 的参数方程为(),()x t y t ϕψ==,当参数t 单调地由α变到β时，点(,)M x y 从L 的起点A 沿L 移到终点B ，(),()t t ϕψ在以α﹑β为端点的闭区间上具有一阶连续偏导数，且22()()0t t ϕψ''+≠，则有[][]{}(,)(,)(),()()(),()()LP x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt βαϕψϕϕψψ''+=+⎰⎰.如果L 由方程()y x ψ=给出，且L 的起点A 对应x a =，终点B 对应x b =，则有[][]{}(,)(,),(),()()bLaP x y dx Q x y dy P x x Q x x x dx ψψψ'+=+⎰⎰.如果L 由方程()x y ϕ=给出，且L 的起点A 对应y c =，终点B 对应y d =，则有[][]{}(,)(,)(),()(),dLcP x y dx Q x y dy P y y y Q y y dy ϕϕϕ'+=+⎰⎰.如果Γ是空间曲线，其参数方程为(),(),()x t y t z t ϕψω===，且L 的起点A 对应t α=，终点B 对应t β=，则有(,,)(,,)(,,)P x y z dx Q x y z dy R x y z dz Γ++⎰[][][]{}(),(),()()(),(),()()(),(),()()P t t t t Q t t t t R t t t t dt βαϕψωϕϕψωψϕψωω'''=++⎰.注意（1）在以上公式右端的积分中，下限对应曲线起点，上限对应曲线终点.因此下限不一定比上限小.（2）第二类曲线积分有方向性.记L 的反方向曲线为L -，则有(,)(,)(,)(,)L LP x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy -+=-+⎰⎰.2．利用格林公式计算如果满足格林公式条件，则可利用格林公式，将封闭曲线上的曲线积分化为二重积分来计算.（五）曲面积分的计算1．利用公式化为二重积分计算（1）对面积（第一类）的曲面积分设曲面∑由方程(,)z z x y =给出，∑在xOy 面的投影为xy D ，函数(,)z z x y =在xy D 上具有连续偏导数，被积函数(,,)f x y z 在∑上连续，则有[(,,),,(,)xyD f x y z dS f x y z x y ∑=⎰⎰⎰⎰.如果积分曲面∑由方程(,)x x y z =或(,)y y z x =给出，也可类似地把对面积的曲面积分别化为在yoz 面或xoz 面的投影区域yz D 或xz D 上的二重积分. （2）对坐标（第二类）的曲面积分设曲面∑是由方程(,)z z x y =所给出的曲面上侧（即cos 0γ>），∑在xOy 面上的投影区域为xy D ，函数(,)z z x y =在xy D 上具有一阶连续偏导数，被积函数(,,)R x y z 在∑上连续，则有[](,,),,(,)xyD R x y z dxdy R x y z x y dxdy ∑=⎰⎰⎰⎰.积分曲面取在∑的下侧，这时cos 0γ<，则有[](,,),,(,)xyD R x y z dxdy R x y z x y dxdy ∑=-⎰⎰⎰⎰类似地，如果∑由(,)x x y z =给出，则有[](,,)(,),,yzD P x y z dydz P x y z y z dydz ∑=±⎰⎰⎰⎰积分曲面取在∑的前侧()cos 0α>时为正，取在∑的后侧()cos 0α<时为负.如果∑由(,)y y z x =给出，则有[](,,).(,),zxD Q x y z dzdx Q x y z x z dzdx ∑=±⎰⎰⎰⎰.积分曲面取在∑的右侧()cos 0β>时为正，取在∑的左侧()cos 0β<时为负.2．利用高斯公式计算如果满足高斯公式条件，则可利用高斯公式，将封闭曲面上的曲面积分化为三重积分来计算.（六）两类积分之间的关系 1．曲线积分 (1)()cos cos LLPdx Qdy P Q ds αβ+=+⎰⎰其中cos ,cos αβ是有向曲线弧L 上点(,)x y 的切向量的方向余弦.（注意 c o s s i n βα==.(2)(cos cos cos )Pdx Qdy Rdz P Q R ds αβγΓΓ++=++⎰⎰,其中cos ,cos αβ，cos γ是有向曲线弧Γ上点(,,)x y z 处的切向量的方向余弦.第二类曲线积分可以表示成向量形式：LLA r A t LPdx Qdy d ds +=⋅=⋅⎰⎰⎰或,Pdx Qdy Rdz d ds Γ++=⋅=⋅⎰⎰⎰LLA r A t其中(),P Q =A 或(),,P Q R =A ，()cos ,cos αβ=t 或()cos ,cos ,cos αβγ=t ，(),d ds dx dy ==r t 或(),,d ds dx dy dz ==r t 称为有向曲线元.注意以下关系式在解题时常常用到：cos ,cos ,cos dx ds dy ds dz ds αβγ===或 cos ,cos ,cos dx dy dzds ds dsαβγ===, 其中ds 为Γ的弧微分. 2．曲面积分(cos cos cos )Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dS αβγ∑∑++=++⎰⎰⎰⎰,其中cos ,cos ,cos αβγ是有向曲面∑上点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦. 第二类曲面积分可表示为向量形式：Pdydz Qdzdx Rdxdy d dS ∑∑∑++=⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰A S A n其中 ()(),,,cos ,cos ,cos P Q R αβγ==A n ，(),,d dS dydz dzdx dxdy ==S n 称为有向曲面元.注意以下关系式在解题时常常用到：（1） cos ,cos ,cos dydz dS dzdx dS dxdy dS αβγ===.（2）设∑：(,)z f x y =，则可将三个曲面积分化为一个曲面积分：()()xyPdydz Qdzdx Rdxdy P z Q zR dxdy ∑∑⎡⎤++=-+-+⎣⎦⎰⎰⎰⎰利用上面关系式有时可以简化计算第二类曲面积分.注：关系式 (),x dydz z dxdy =-()y dzdx z dxdy =-的推导：由cos cos cos ,1x y z z αβγ==--得cos cos ,cos cos .x y z z αγβγ=-=- 因此， cos ()cos ()x x dydz dS z dS z dxdy αγ==-=-,cos ()cos ()y y dzdx dS z dS z dxdy βγ==-=-.（七）两个重要公式和等价命题1. 格林公式----平面上曲线积分与二重积分的关系设有界闭区域D 由分段光滑的曲线围成，函数(,),(,)P x y Q x y 在D 上具有一阶连续偏导数，则格林公式成立，即有()DLQ Pdxdy Pdx Qdy x y∂∂-=+∂∂⎰⎰⎰,其中L 是D 的取正向的边界曲线.注意（1）若L 为D 的反向边界曲线，则格林公式为()LDQ PPdx Qdy dxdy x y∂∂+=--∂∂⎰⎰⎰. （2）若D 为复连通区域，则公式中的L 表示取正向的全部内外边界曲线. 2. 单连通域上的四个等价命题.若函数(,),(,)P x y Q x y 及其一阶偏导数在单连通域D 上连续，则由格林公式可推出四个等价命题：（1）Q Px y∂∂=∂∂在D 上恒成立；（2）0LPdx Qdy +=⎰，其中L 是D 内任意光滑闭曲线；（3）曲线积分LPdx Qdy +⎰在D 内与路径无关；（4）表达式Pdx Qdy +是D 上某个二元函数(),u x y 的全微分，即 (,)(,)(,)du x y P x y dx Q x y dy =+. 其中(,)u x y 称为(,)(,)P x y dx Q x y dy +的一个原函数. 3. 高斯公式——曲面积分与三重积分的关系设空间有界闭区域Ω由分片光滑的曲面围成，函数(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 在Ω上有一阶连续偏导数，则高斯公式成立，即有()P Q R dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y zΩ∑∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰,其中∑是Ω的整个边界曲面的外侧.注意（1）若Ω为复连通区域，则公式中的∑表示取区域外侧的全部内外边界曲面. (2) 若∑取内侧，则()P Q R dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z Ω∑∂∂∂++=-++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰.。

数分三知识点总结

数分三知识点总结数分三（Calculus III）是数学中的一个分支，主要研究多元函数的极限、连续性、偏导数、多元积分等问题。

在数学和应用数学的领域中，数分三是极为重要的一门课程，对于理解和应用很多复杂的数学问题都起着至关重要的作用。

本文将从三个方面来总结数分三的知识点，包括多元函数的极限与连续性、偏导数与全微分、多元积分与曲线曲面积分。

一、多元函数的极限与连续性1. 多元函数的极限多元函数的极限是数分三中最基础的概念之一。

多元函数的极限是在多元空间中描述函数在某一点的局部行为的重要工具。

在二元函数中，函数f(x,y)在点(x0,y0)处的极限为L，即lim(f(x,y),(x,y)→(x0,y0))=L，当且仅当对于任意的ε>0，存在δ>0，使得当点(x,y)满足0<√((x−x0)^2+(y−y0)^2)<δ时有|f(x,y)−L|<ε。

在多元函数中，极限的概念也可以类似地推广。

多元函数的极限的存在性与唯一性是数分三中的一个重要定理，它为后续的连续性、偏导数等概念的研究奠定了基础。

2. 多元函数的连续性多元函数的连续性即多元函数在定义域内某一点处的连续性。

若多元函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续，则对于任意ε>0，存在δ>0，使得当点(x,y)满足0<√((x−x0)^2+(y−y0)^2)<δ时有|f(x,y)−f(x0,y0)|<ε。

多元函数的连续性与一元函数的连续性类似，但需要更精细的分析和证明。

多元函数的连续性与多元函数的极限密切相关，通常需要利用极限的性质来证明函数的连续性。

二、偏导数与全微分1. 偏导数偏导数是描述多元函数变化率的重要概念。

对于二元函数f(x,y)，在点(x0,y0)处关于变量x的偏导数定义为fx(x0,y0)=lim(f(x,y)−f(x0,y0))/(x−x0)，x→x0。

类似地，关于y的偏导数定义为fy(x0,y0)=lim(f(x,y)−f(x0,y0))/(y−y0)，y→y0。

《多元函数微分学》PPT课件

0 V .
14
定义1 设D是xOy平面上的点集, 若变量z与D
多元
函
中的变量x, y之间有一个依赖关系, 使得在D内
数的
基
每取定一个点P(x, y)时,按着这个关系有确定的
本概
z值与之对应, 则称z是x, y的二元(点)函数.记为念
z f ( x, y) (或z f (P) )
称x, y为自变量,称z为因变量,点集D称为该函数
P0 称为 E 的内点：如果存在一个正数使得U (P0 ) E P0 称为 E 的外点：如果存在一个正数使得
U (P0 ) E
P0 称为 E 的边界点：如果对任意一个正数使得
U (P0 ) 中即有E中点又有非E中点
P0 即不是E的内点也不是E的外点
闭区域： G G G
12
（3）Rn 中的集合到 Rm的映射
的基本
和方法上都会出现一些实质性的差别, 而多元
概念
函数之间差异不大. 因此研究多元函数时, 将以
二元函数为主.
24
3、多元函数的极限
多
讨论二元函数 z f ( x, y),当x x0 , y y0 ,
元函
即P( x, y) P0 ( x0 , y0 )时的极限.
数的基
怎样描述呢? 回忆: 一元函数的极限
多元函数
的
基
解定义域是 ( x 1)2 y2 1且x2 y2 1
本概
念
y
•
O
1
x
有界半开半闭区域
18
3 求 f ( x, y) arcsin(3 x2 y2的) 定义域． x y2
解
3 x2 y2 1

多元函数积分学

多元函数积分学计算方法总结多元函数积分学计算方法总结 ................................................................................................................................ 1 累次积分 ................................................................................................................................................................... 2 ★A1[积分限是常数的二次积分⎰⎰dcbay y x f x d ),(d ] ................................................................................... 2 ★A2 [积分限含函数的二次积分⎰⎰)()(d ),(d x D x C bay y x f x ] ...............................................................................2 重积分: ...................................................................................................................................................................... 2 ★B1 [积分区域为矩形的二重积分⎰⎰Λy x y x f d d ),(] (2)★B2 [积分区域为平面区域的二重积分(,)d d f x y x y Λ⎰⎰] ........................................................................3 ★B3 [积分区域为无孔洞的立体区域的三重积分⎰⎰⎰Ωz y x z y x f d d d ),,(] .................................................3 ★B4 [收敛的广义重积分] .............................................................................................................................. 4 曲线积分: (4)★C1 [I 型曲线积分⎰Ls z y x f d ),,(] ...............................................................................................................4 ★C2 [II 型曲线积分⎰++Lz R y Q x P d d d ] ............................................................................★C3 [全微分式II 型曲线积分d d d ABP x Q y R z ++⎰] .........................................................★C4 [平面闭曲线的II 型曲线积分d d LP x Q y +⎰] ...........................................................★C5 [平面非闭合曲线的II 型曲线积分d d L P x Q y +⎰] ...................................................曲面积分: ..........................................................................................................................................★D1 [I 型曲面积分(,,)d Sf x y z S ⎰⎰] ...................................................................................★D2 [直角坐标系的II 型曲面积分d d d d d d SP y z Q z x R x y ++⎰⎰]..................................★D3 [向量式的II 型曲面积分d S⎰⎰F S ] ................................................................................★D4 [闭曲面情形的曲面积分] ..............................................................................................★D5 [开曲面情形的曲面积分] ..............................................................................................★D6 [循环常数] ......................................................................................................................约定:a ,b ,c ,d 为已知常数, ,,,αβγδ是已知的弧度, ,,x y z 是原空间直角坐标系分量, ,,u v w 是新变量同时也是变量代换函数记号, ,,ρθφ是球坐标\极坐标\柱坐标系的分量,(),(),(),()A B C D ⋅⋅⋅⋅是积分限函数, (),(),()f g h ⋅⋅⋅表示积分函数, ω表示现有变量的全微分, (),(),()P Q R ⋅⋅⋅是场向量函数F 的分量,均为(,,)x y z 的函数.L 表示空间曲线,Λ表示空间曲面,Ω表示空间区域,∂表示取上述区域的边界或变量的偏微分. Γ是带方向的曲线, S 是带方向的曲面区域, S (黑斜体)是法向量或者说曲面积分元.累次积分二次积分⎰⎰bad cx y y x f d )d ),((也写作⎰⎰d cb ay y x f x d ),(d ;三次积分z z y x f y x pqd c b a d ),,(d d ⎰⎰⎰★A1[积分限是常数的二次积分⎰⎰dcb ay y x f x d ),(d ]求法: ⎰dcy y x f d ),(先求,把x 当作常数,只对y 求原函数并求出积分值g (x )(可能和x 无关).然后将它作为新的被积函数,也就是计算⎰bax x g d )(，即可得到累次积分的积分值.result x x g y y x f x bad cba==⎰⎰⎰d )(d ),(d性质:①分量积分顺序改变,积分值不变;①⎰⎰⎰⎰=b a d c d c b a x y x f y y y x f x d ),(d d ),(d ; ②分离分量因子后分别积分的乘积等于原积分值; ②)d )(()d )((d )()(d ⎰⎰⎰⎰⋅=⋅d c b a d c b a y y g x x f y y g x f x ③被积函数可加性.③⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+dcbadcbadcbay y x g x y y x f x y y x g y x f x d ),(d d ),(d d )),(),((d★A2 [积分限含函数的二次积分⎰⎰)()(d ),(d x D x C b ay y x f x ]求法:先将x 看成常数,求出f 关于y 的原函数g (y )(可能含有x );再将))(())((x C g x D g -作为关于x 的新的被积函数;最后算出定积分的值.⎰⎰⎰=-=bax D x C baresult x x C g x D g y y x f x d )))(())(((d ),(d )()(重积分:二重积分⎰⎰Λy x y x f d d ),(;三重积分⎰⎰⎰Ωz y x z y x f d d d ),,(★B1 [积分区域为矩形的二重积分⎰⎰Λy x y x f d d ),(]求法:把积分区域Λ的矩形化为区间的乘积的形式[a ,b ]×[c ,d ],被积函数不变,区间端点按分量顺序作为二次积分的积分限.积分区域为长方体的三重积分求法类似.],[],[,...d ),(d d d ),(d c b a result y y x f x y x y x f dcb a⨯=Λ===⎰⎰⎰⎰Λ★B2 [积分区域为平面区域的二重积分(,)d d f x y x y Λ⎰⎰]求法:定下分量的积分顺序,如先y 后x ,那么先写出Λ中所有点的x 分量的最小值a ,最大值b ,以取得上述最值的点为端点,将Λ的边界分成下半边界C (x )和上半边界D (x ).那么可以化为被积函数不变,先对积分区间为从C (x )到D (x )的y 分量积分,再对积分区间为[a ,b ]的x 分量积分的二次积分.积分区域为无孔洞的立体区域的三重积分也有类似的方法.)]}(),([],,[|),{(,...d ),(d d d ),()()(x D x C y b a x y x result y y x f x y x y x f x D x C b a ∈∈=Λ===⎰⎰⎰⎰Λ)]},(),,([)],(),([],,[|),{(,d ),,(d d d d d ),,()()(),(),(y x D y x C z x B x A y b a x y x z z y x f y x z y x z y x f x B x A y x D y x C ba∈∈∈=Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω性质:①变量代换后积分值不变; (,)(,)d d ((,),(,))d d ,(,)x y f x y x y f u x y v x y u v u v ΛΛ∂=⋅∂⎰⎰⎰⎰①(,),(,)det (,),(,)u vu v x x u u x y x y y y v v x y u v ''=⎛⎫⎧∂=⎨⎪''=∂⎩⎝⎭变换为,.ΛΛ是由的不等式根据变量代换改写并加上新变量的限制如极坐标变换cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩故有新的限制0,||ρθπ≥≤(,)d d ((,),(,))d d f x y x y f x y x y ρθρρθΛΛ=⋅⎰⎰⎰⎰;球坐标变换cos cos ,sin cos ,sin ,x y z ρθϕρθϕρϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩故有新限制0,,2πρθπϕ≥≤≤,(,,)d d d ((),(),())cos d d d f x y z x y z f ρθϕρϕρθϕΩΩ=⋅⋅⋅⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰.②积分值与积分顺序无关,但对应的累次积分不同;②()d ()()()(,)d d d (,)d d (,)d ,b D x B x a C x c A x f x y x y x f x y y y f x y x Λ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰{(,)|[,],[(),()]}{(,)|[,d],[(),()]}x y x a b y C x D x x y y c x A y B y Λ=∈∈=∈∈ ③零函数或零测度集Λ上的重积分必为零.③三重积分的积分区域若是面、线、点,则积分值为零,二重积分的积分区域是线、点时,积分值为零.★B3 [积分区域为无孔洞的立体区域的三重积分⎰⎰⎰Ωz y x z y x f d d d ),,(]求法:定下分量的积分顺序,如先(y ,z )后x ,那么先解出Ω的不等式(组)关于g (y ,z )的解)](),([x B x A ,即有平面区域Λ.继而有被积函数不变,视x 为常数,关于(y ,z )的二重积分,随后做关于x 分量的第二次积分.类似的积分顺序也可以是先(x , y )后z .}),(],,[|),,{()]},(),([),(|),{(,d )(d d ),,(d d d d ),,(Λ∈∈=Ω∈=Λ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΛΩz y b a x z y x x B x A z y g z y result x x h z y z y x f x z y x z y x f bab a★B4 [收敛的广义重积分]求法:只要广义重积分是收敛的,就可以按照一般重积分的求法求得收敛值.曲线积分:Ⅰ型曲线积分⎰Ls z y x f d ),,(;Ⅱ型曲线积分⎰++Lz R y Q x P d d d★C1 [I 型曲线积分⎰Ls z y x f d ),,(]求法:首要任务是将积分曲线L 的方程参数化,用参数t 表示,并且表示出积分区间.将参数方程代入被积函数,弧微分d s 按公式计算即可得到定积分.(,,)d ((),(),(,{(,,)|(),(),(),[,]}baLf x y z s f x t y t z t t result L x y z x x t y y t z z t t a b ======∈⎰⎰★C2 [II 型曲线积分⎰++Lz R y Q x P d d d ]求法:将积分曲线L 的方程参数化,用参数t 表示,并且表示出积分区间.函数P ,Q ,R 中的变量换为t 后乘上对应分量关于t 的导数作为新的被积函数,做关于t 的积分.但注意这里的曲线是有向的,右手法则下逆时针取正,顺时针取负.()d d d ()()()d ,{(),(),()},:bt t t aLP x Q y R z P t x Q t y R t z t result L x t y t z t t a b '''++=±⋅+⋅+⋅==→⎰⎰★C3 [全微分式II 型曲线积分d d d ABP x Q y R z ++⎰]求法:若P Q y x ∂∂=∂∂(二元), P R z x∂∂=∂∂,且Q R z y ∂∂=∂∂则该空间曲线微分是全微分式(恰当)的.对微分形式凑微分得到原函数F ,再代入积分区间即可得结果.注意这里曲线也是有方向的.d d d d (,,)(,,),d d d d BBA AABP x Q y R z F x y z F x y z result F P x Q y R z ++=±=±==++⎰⎰其中★C4 [平面闭曲线的II 型曲线积分d d LP x Q y +⎰]求法:对场向量的分量函数P ,Q 求全微分,形如d d d P PP x y x y∂∂=+∂∂,并与原对应分量取外微分,作为二重积分的微分形式.二重积分的区域是以L 为边界的曲面.d d (d )d (d )d d d (,)d d ...,L P Q P x Q y P x Q y x y f x y x y result L y x ΛΛΛ⎛⎫∂∂+=∧+∧=-+====∂Λ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ★C5 [平面非闭合曲线的II 型曲线积分d d LP x Q y +⎰]求法:补上一条连接端点的线段AB ,然后以L AB ⋃作为闭曲线化为二重积分,并加上的反方向的AB 的曲线积分.d d ()(d d )(,)d d d d ...,AABBLL ABP x Q y P x Q y f x y x y P x Q y result L AB Λ⋃+=++=++==⋃=∂Λ⎰⎰⎰⎰⎰⎰性质:①被积函数曲面与区域公用对称轴/对称面时,前者在后者两侧(奇),则积分值为零,前者在后者的同侧(偶),则积分值等于积分区域取一半的积分值的两倍.②函数中的分量交换后函数相似的,积分值相等.曲面积分:Ⅰ型曲面积分(,,)d Sf x y z S ⎰⎰;Ⅱ型曲面积分:直角坐标式d d d d d d S P y z Q z x R x y ++⎰⎰;向量式d S⎰⎰F S★D1 [I 型曲面积分(,,)d Sf x y z S ⎰⎰]求法:先针对S 求出参数方程,分别对曲面向量求关于某两个变量的偏导向量函数(可以是原来的变量,也可以代换成其他变量),然后取这两者的外积的模,便可以得到普通的二重积分.(,){(,),(,),(,)},(,){,,},{,,}(,,)d ((,),(,),(,))d d ...u v uv SDS r u v x u v y u v z u v u v Dx y z x y z r r u u u v v vf x y z S f x u v y u v z u v r r u v result≡=∈∂∂∂∂∂∂''==∂∂∂∂∂∂''=⋅⨯==⎰⎰⎰⎰性质:当S 为变量的隐式时,替换成其中两个变量时,法向量模可以用偏导的模来取代. ★D2 [直角坐标系的II 型曲面积分d d d d d d SP y z Q z x R x y ++⎰⎰]求法: 这种方法是将三部分分开计算的.若积分曲面是闭合的,且积分方向是曲面的内侧或外侧,则先将曲面合理分割.再确定曲面积分方向和曲面投影方向的关系,如计算d d SP y z ⎰⎰的时候,若yz D 是S 从x 轴负方向投向yOz 面的投影,且积分方向是向x 轴正方向,则定积分取正号.接下来确定投影区域D ,将S 的关于x (或y 或z )的显式并代入P (或Q 或R )中作为新的被积函数.(II)d d ((,),,)d d ...yzSD P y z P x y z y z y z result =±==⎰⎰⎰⎰★D3 [向量式的II 型曲面积分d S⎰⎰F S ]求法: 先针对S 求出参数方程,分别对曲面向量求关于某两个变量的偏导向量函数(可以是原来的变量,也可以代换成其他变量),然后取这两者的外积(即关于曲面S 上得每一点的法向量函数).将它和场向量{,,}P Q R =F 取内积作为新区域D 下的二重积分的被积函数.d {,,}()d d ...uv SDP Q R r r u v result ''=⋅⨯==⎰⎰⎰⎰F S★D4 [闭曲面情形的曲面积分] 求法:★D5 [开曲面情形的曲面积分] 求法:★D6 [循环常数] 求法:。

多元函数积分学课件

解析
首先将二重积分拆分为两个定积分，然后分别进行计算。
答案
$frac{4}{9}$
答案
$-frac{1}{6}$
解析
同样拆分二重积分，然后进行计算。
例题2
计算$int_{0}^{1}int_{0}^{y}(x y)dxdy$
三重积分习题与解析
例题1
计算 $int_{0}^{1}int_{0}^{1}int_{0}^{x}xydzdxdy $
传导问题。
在几何中的应用
曲面面积和体积计算
积分可以用来计算曲面的面积和三维物体的体积，这在几何学中非常重要。
曲线积分
在几何学中，曲线积分被用来计算曲线长度、面积和线段上的变化量。
参数曲线和曲面
参数曲线和曲面可以用积分表示，这有助于研究几何对象的形状和性质。
在工程中的应用
流体动力学
在航空航天、船舶和车辆设计中，积分被用来计算流体动力学效应，如压力分布、速度场和流线。
多元函数积分学课件
目录
• 多元函数积分学概述 • 多元函数积分的计算方法 • 多元函数积分的几何意义 • 多元函数积分的性质与定理 • 多元函数积分的应用 • 多元函数积分习题与解析
01
多元函数积分学概述
定义与性质
定义
多元函数积分学是研究多元函数的积分及其性质的一门学科，其基础概念包括二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分等。
计算步骤
首先确定积分区域，然后选择合适的积分次序，最后根据定积分的计算公式进行计算。
曲线上的第一类曲线积分计算
定义
第一类曲线积分是计算曲线上的函数值与其对应的参数的乘积的积分，即求曲线上的一个物理量（如质量、热量等）的分布情况。

多元积分的概

（也表示面积） x Pi
【近似】 Pi i ,
i
mi f ( Pi ) i
D
【求和】
n
n
o
y
m mi f (Pi ) i
i 1
i 1
n
【取极限】
m lim 0 i1
f (Pi ) i
maxi的直径
细棒的质量
n
b
m= lim f 0 i1
i xi
f ( x)dx
G
定积分 b dx b a（积分区间的长度） a
对于二重积分来说若在D上f ( x, y) 1，则有
d＝D的面积
D
➢性质4（比较性）
如果在G上f (P) h(P),则有
G f (P) dg G h(P)dg
特别地，由于 f (P) f (P) f (P)，
故有 G f (P) dg G f (P)dg
则 f (P) dg f (P) dg h(P)dg
G
G1
G2
定积分
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f (x)dx
二重积分
D1 D2
f ( x, y)d f ( x, y)d f ( x, y)d
D
D1
D2
➢性质3
dg G 的度量（比如面积，体积，弧长等）
f
i xi
（2）当G为平面有界闭区域(常记为D)时，
f (P) f (x, y)，(x, y) D，称为二重积分
n
ff((Px,)yd)gd G D
lim 0 i1
f (i ,i ) i
D就是积分域，d 称为面积元素.
（3）当G为空间有界闭区域(常记为 )时，

多元函数求面积

多元函数求面积多元函数是数学中一个重要的概念，它在解决实际问题中起着重要的作用。

在计算机科学、物理学、经济学等领域，多元函数的应用非常广泛。

本文将从几何角度出发，探讨如何利用多元函数求解面积的问题。

我们需要明确什么是多元函数。

在数学中，多元函数是指依赖于多个变量的函数。

例如，二元函数是指依赖于两个变量的函数，三元函数是指依赖于三个变量的函数，以此类推。

在几何学中，我们常常使用多元函数来描述平面和空间中的各种几何形状。

求解面积是几何学中的基本问题之一。

对于简单的几何形状，例如矩形、圆形等，我们可以直接使用公式来计算其面积。

但是，对于复杂的几何形状，例如多边形、曲线等，我们就需要借助多元函数来求解其面积了。

以多边形为例，假设我们要求解一个任意多边形的面积。

我们可以将多边形划分为多个三角形，然后分别计算每个三角形的面积，最后将所有三角形的面积相加，即可得到多边形的面积。

在这个过程中，我们可以使用多元函数来表示每个三角形的面积。

具体地说，假设我们有一个多边形，其中的顶点坐标分别为$(x_1, y_1)$，$(x_2, y_2)$，$(x_3, y_3)$，...，$(x_n, y_n)$。

我们可以使用以下的多元函数来表示每个三角形的面积：$$A = \frac{1}{2} \left| (x_1y_2 + x_2y_3 + ... + x_{n-1}y_n + x_ny_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + ... + y_{n-1}x_n + y_nx_1) \right| $$其中，$A$表示三角形的面积，$| \cdot |$表示绝对值运算。

这个多元函数的具体形式是根据向量叉乘的性质推导出来的，其原理涉及到向量和平行四边形的关系，这里就不再详细展开。

通过使用这个多元函数，我们可以方便地计算出多边形的面积。

我们只需要将多边形的顶点坐标代入到这个多元函数中，然后进行计算，最终得到的结果就是多边形的面积。

多元函数积分学

f ( x, y)d
D D
f ( x, y ) d
性质6(估值性）
若M , m分别是f x, y 在D上的最大值和最小值，则 m f ( x, y )d M 为D的面积
D
这个性质可以由m f x, y M 利用性质5和性质4推出。
lim f i xi
0
存在，则称此极限为f x 在a, b 上的定积分，
记为 f x dx,即
a b
i 1
f x f x dx= lim
b a 0 i 1 i
n
i
第一节几何形体积分的概念
将定积分推广到一般几何形体上：定义设函数f P 在G上有界，
对面积的曲面积分），记为

f ( x, y, z )dS
与定积分类似，当
f p 在G上连续时，
积分
G
f ( p ) dg 必定存在。

G

f ( p)dg 具有与定积分类似的性质。
以二重积分为例 •定义：
设 z f x, y 是有界闭区域D上的有界函数，
z f x, y
i
•二重积分的几何意义
曲顶柱体：以曲面 z f x 作为顶、D作为底，该曲面向 xoy 面的投影柱面作为侧面的立体。对D的任一元素 d 都对应着一个小曲顶柱体 v
z f x, y
v f x, y d 以底d , 高f x, y 的小柱体
【分割】将a, b 任意分成n个部分，记为xi i 1,2, 【近似】在每个xi上任取一点i , 作乘积f 【求和】作出和
i xi ,
f x ,

d213多元函数积分学曲面积与场论(55p)

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