弹塑性有限元分析

1） 是分析塑性力学问题、进行数值模拟的依据和基础。
2） 一般以增量形式描述，因为塑性力学一般都需要考虑变形 的历程，而增量形式恰恰可以做到这点，反映塑性变形的 本质。
3） 应力和应变的增量关系与屈服条件有关。因而，研究塑性 本构关系，必须紧紧结合屈服条件。 用增量形式表示塑性本构关系的理论称为塑性增量（流 动）理论。相对应地，还有塑性全量（形变）理论。
d Sij d
p ij
相似
eij Sij
2G
线弹性的应力偏量与应 变偏量间的关系
上式中的 d 是一个瞬时的非负比例因子，称为流动参数，具有模量倒数 的量纲，在塑性变形过程中是变化的，与线弹性的应力偏量与应变偏量 关系的材料参数相似。
3 d ip d 2 i
i


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塑性本构关系（4/6）
Prandtl-Reuss增量理论
在Levy-Mises理论基础上，1924年和1930年Prandtl和Reuss分别建 立了另一增量理论。认为：本构方程中应当计入弹性应变部分。对于理 想弹塑性材料
对于理想弹塑性材料：
deij de de
e ij p ij
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等效塑性应变增量
d ip 2 p 2 p 2 p 2 p 2 p 2 p 2 de de de 2 de de de 11 22 33 23 31 12 3


3 2 2 2 2 2 2 S11 S22 S33 2 S12 S23 S31 2
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屈服条件、屈服面与屈服函数
屈服条件：
材料进入塑性后，又称材料发生了屈服。屈服条件，又称屈服准则， 是判断材料处于弹性阶段还是处于塑性阶段的依据。在复杂应力状态下， 各应力分量可组成不同的屈服条件。 屈服面： 对于单向应力状态，其屈服条件可以写成
s
可以看出，描述一维问题的屈服条件需要应力－应变曲线上的一个临界点（屈 服点），描写多维问题的屈服条件就需要应力或应变空间的一个临界曲面，该曲面 称为屈服面。

Байду номын сангаас

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3）塑性变形时体积不变，即塑性应变增量的偏量部分就等于塑 性应变增量，即 p p
deij d ij
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塑性本构关系（3/6）
Levy-Mises增量（流动）理论（续）
4）应力主轴与应变增量主轴重合； 5）应力偏量与对应的应变增量成正比，如引入比例因子 d ，则
对增量理论积分
0 ij c ij 0 S cS ij ij
就是各应力分量按同一比例 增加：1）应力主轴和应变主 轴的方向在整个加载过程中 保持不变；2）应变增量的主 轴和应力主轴重合。
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塑性变形过程的单调函 数 ，对理想弹塑性材料， 为常数。
初始状态的应力和应变
f 1, 2 , 3 C
考虑到塑性变形与静 水压力无关的特点
F J 2 , J3 C
至今已出现许多屈服理论。我校俞茂宏教授在这方面做出了重要贡献。 屈服函数： 是描写屈服条件的函数。不同屈服条件，其屈服函数不尽相同。
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塑性本构关系（1/6）
本构关系：简单地说，就是材料的应力－应变关系
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单轴试验下材料的弹塑性性态 （1/3）
对塑性变形基本规律的认识来自于实验：
1) 从实验中找出在应力超出弹性极限后材料的特性;
2) 将这些特性进行归纳并提出合理的假设和简化模型， 确定应力超过弹性极限后材料的本构关系; 3) 建立塑性力学的基本方程;
4) 求解这些方程，得到不同塑性状态下物体内的应力和 应变。
i
1 2 2 2 2 2 2 12 23 31 11 22 22 33 33 11 6 2 3 2 2 2 2 2 2 S11 S22 S33 2 S12 S23 S31 2
第二章 弹塑性有限元分析
目的：以弹塑性问题为例，介绍材料（物理）非线性问 题）的有限元方法。 特点：与线性有限元方法比较，本构关系不再符合线弹 性的Hooke定律 内容：
引言 单轴试验下材料的弹塑性性态 屈服条件、屈服面与屈服函数 塑性本构关系 弹塑性问题的有限元解法
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强度限 b 弹性限 s
A
1) 线弹性阶段：加载开始直至比例极 限，材料表现为线弹性行为。 2) 非线性弹性阶段：继续加载直至弹 性限，材料表现出非线性弹性行为。 在此之前完全卸载，材料将沿原加 载曲线返回而无残余应变。（注： 比例限与弹性限非常接近，一般不 做区分） 3) 塑性阶段：继续加载，材料可承受 更大应力，称为材料强化，并伴随 出现塑性应变。至A点以前卸载， 路径接近直线，即处于弹性卸载状 态，其斜率等于加载斜率E。 4) 破坏点：继续加载至可承受的最大 极限应力，试件出现颈缩而破坏， 称为强度极限。
引言(1/5)
材料的非线性行为异常丰富 非线性弹性行为：当材料由于应力达到某种临界值而出现 应力与应变间的非线性变化关系； 弹塑性行为：有不可恢复的应变产生，即当载荷全部撤除 后，会有永久的残余（剩余）变形； 粘弹性行为（包括松弛与蠕变）：在高温等条件下，应力 不但与应变有关，还与时间、应变率等明显相关； 等等，以及多种非线性行为的耦合。 塑性是指物体内由于载荷超过某个临界值（弹性极限）而 产生的永久变形。塑性力学是固体力学的一个分支，主要研究 这种永久变形和作用力之间的关系，以及物体内部应力和应变 的分布规律。
ij
（非关联流动）
ij
非负比例因子，与 塑性势的量纲有关
垂直于等势面。称为 塑性流动法则。
若屈服函数 f 是连续可微的，则可取 f 做为势函数。
（关联流动）
d ijp f d ij
i
1 2 2 2 2 2 2 12 23 31 11 22 22 33 33 11 6 2 3 2 2 2 2 2 2 S11 S22 S33 2 S12 S23 S31 2


取Mises屈服函数做为势函数
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Levy-Mises、Prandtl-Reuss流动理论。
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塑性本构关系（6/6）
全量（形变）理论塑性本构方程
增量理论本构关系理论上合理，但应用上比较麻烦，特别是当计 算机还不十分发达的时候。 全量理论又称形变理论，稍后于增量理论建立。认为材料进入塑性 阶段以后，各应变分量与应力分量之间存在一定的关系。其特点是直接 建立起了最终应力与应变之间的方程，因而它比增量理论简单。但形变 理论对加载方式要求比较严格，只有在简单加载条件下才更准确。
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弹塑性问题的有限元解法（1/11）
与弹性问题比较，弹塑性材料在本构关系上是典型的物理（材料） 非线性，通常结合流动理论、用增量法予以求解。 如Levy-Mises、Prandtl-Reuss、 塑性势理论，… 。
d d e d p
总应变
假定 t 时刻的各量已知，欲 求 t t 时刻的各量。
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引言(2/5)
与相近学科门类的区别 塑性力学（Plasticity）和弹性力学（Elasticity）：塑性力学 考虑物体内产生的永久变形；而弹性力学则不考虑；
可恢复的弹性变形
e p
不可恢复的塑性变形
塑性力学和流变学（Rheology）：两种门类都考虑永久变 形。但是，塑性力学中的永久变形只与应力和应变的 历史有关，不随时间变化；而流变学中的永久变形与 时间有关。 p p , d r r t
比例限 p
F
O
E B
E
材料单向受载情形下的性态
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单轴试验下材料的弹塑性性态 （3/3）
强度限 b 弹性限 s
塑性问题的特点：
A
比例限 p
F
材料进入塑性后，即使卸去应力， 塑性应变将永久存在， 与应力间的关 系不仅取决于应力水平，还取决于加 载历程。
O
E B
E
材料单向受载情形下的性态
塑性变形力学
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流变学
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引言(3/5)
塑性力学发展历史
1773年：库仑（Coulomb）提出土的屈服条件。 1864年：屈雷斯加（Tresca）对金属材料提出了最 大剪应力屈服条件。 1870年：圣维南（Saint-Venant）提出在平面情况 下理想刚塑性的应力-应变关系。假设最大剪应力 方向和最大剪应变率方向一致，求解了柱体中发生 部分塑性变形的扭转和弯曲问题、以及厚壁筒受内 压问题。 1871年：莱维（Levy）将塑性应力-应变关系推广 到三维情况。
1924年：提出塑性全量理论，伊柳辛（Ilyushin） 等苏联学者用来解决大量实际问题。 1930年：罗伊斯（Reuss）在普朗特（Prandtle） 的启示下，提出包括弹性应变部分的三维塑性应力 -应变关系。至此，塑性增量理论初步建立。
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引言(5/5)
塑性力学发展历史（续）
本构研究中的基本假定：材料是各向同性和连续的；材料的 弹性性质不受影响；材料是稳定的；与时间因素无关等。
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塑性本构关系（2/6）
Levy-Mises增量（流动）理论
除了以上最基本的假定外，Levy-Mises增量理论还假定： 1）材料是刚塑性的，弹性应变增量为零； 2）对理想刚塑性体，符合Mises屈服准则，即屈服时等效应力满足 i s