第07章 时变电磁场(1)

7-1 位移电流
静态情况下的电场基本方程在非静态时发生了变化，即
E 0

这不仅是方程形式的变化，而是一个本质的变化，其中包含了重要的 物理事实，即 时变磁场可以激发电场 。
B E t
问题：随时间变化的磁场能产生电场，那么随时间变化的电场是
否会产生磁场？ 在时变情况下，安培环路环路是否要发生变化？有什么变
0) 中，若已知电
解：E 是电磁场的场矢量，应满足麦克斯韦方程组。因此，利用麦克斯韦 方程组可以确定 k 与ω 之间所满足的关系，以及与 E 相应的其它场矢量。
B E (ex ey ez ) ex Ex t x y z Ex e y ey E0 cos(t kz ) ey kE0 sin(t kz ) z z
的，故可忽略铜中的位移电流。
7-2 麦克斯韦方程
麦克斯韦方程组 —— 宏观电磁现象所遵循的基本规律，是电磁场
的基本方程
7.2.1 麦克斯韦方程组的积分形式
D l H dl S ( J t ) dS B E dl dS l S t S B dS 0 D dS dV S V
化？即
H J
（恒定磁场）

H ?
（时变场）
1. 全电流定律
非时变情况下，电荷分布随时间变化，由电流连续性方程有
而由 H J
J 0 t J ( H ) 0
发生矛盾
在时变的情况下不适用
电场将增大；而当电场增大时，使磁场增大，磁场增大反过来又使电场减小。
小结： 麦克斯韦方程适用范围：一切宏观电磁现象
麦克斯韦方程组 时变场
0 t
静态场
0 t
迅变场
B 0 t
缓变场
D 0 t
电磁场 (EM)
准静电场 (EQS)
准静磁场 (MQS)
静电场 (ES)
恒定电场 (SS)
7-9 麦克斯韦方程的复数形式 7-10 位函数的复数形式 7-11 能流密度与能流密度矢量的复数形式
习题7-4、7-8、7-9化的磁场会激发产生电场。 那么随时间变化的电场是否也会激发产生磁场呢？麦克斯韦针对将安 培环路定理直接应用到时变电磁场时出现的矛盾，提出了位移电流假 说，对安培环路定理进行了修正，从而揭示了随时间变化的电场也能 激发产生磁场。 • 电磁感应定律 —— 揭示时变磁场产生电场 • 位移电流 —— 揭示时变电场产生磁场 • 重要结论： 在时变情况下，电场与磁场相互激励，形成统一的电磁场。
D 1 E
0
D 1 d t ey kH m sin(t kz )dt 0 t 0
k e y H m cos(t kz )V/m
0
7 1。设铜中的传导 5.8 10 S/m 、 相对介电常数 r 例 3 铜的电导率 2 电流密度为 J ex J m cos t A/m 。试证明：在无线电频率范围内，铜中的
ez H y k 2 Em ex ex sin(t kz ) z z Hz
以上各个场矢量都应满足麦克斯韦方程，将以上得到的 H 和 D代入式
由
D H t
D Dx ex ex Em sin(t kz ) t t
解决办法： 对安培环路定理进行修正 由 D J ( D) t D 将 H J 修正为： H J t 时变电场会激发磁场
D (J )0 t
矛盾解决

全电流定律：
D l H dl s ( J t ) dS
位移电流振幅与传导电流振幅的比值。
解：设电场随时间作正弦变化，表示为
E ex Em cos t
则位移电流密度为
D Jd ex 0 r Em sin t t
其振幅值为
J dm 0 r Em 4.5 103 Em
传导电流的振幅值为
J cm Em 4Em
式中的S0为极板的面积，而
S0
d
C
为平行板电容器的电容。
(2) 以 r 为半径作闭合曲线C，由于连接导线本身的轴对称性，使得沿 闭合线的磁场相等，故
H dl 2 rH
c
与闭合线铰链的只有导线中的传导电流
ic CU m cos t
，故得
2 rH CU m cos t
对时间 t 积分，得
kEm B ey cos(t kz )

B = H
kEm H ey cos(t kz )
D E
ex H x Hx ey y Hy

D ex Em cos(t kz )
k
2 2
爱因斯坦（1879-1955）在他所著的“物理学演变”一书中关于麦
克斯韦方程的一段评述：“ 这个方程的提出是牛顿时代以来物理学上
的一个重要事件，它是关于场的定量数学描述，方程所包含的意义比
我们指出的要丰富得多。在简单的形式下隐藏着深奥的内容，这些内 容只有仔细的研究才能显示出来，方程是表示场的结构的定律。它不 像牛顿定律那样，把此处发生的事件与彼处的条件联系起来，而是把 此处的现在的场只与最邻近的刚过去的场发生联系。假使我们已知此 处的现在所发生的事件，藉助这些方程便可预测在空间稍为远一些， 在时间上稍为迟一些所发生的事件”。
麦克斯韦第二方程，表明变化的 磁场产生电场，是电磁感应定律
麦克斯韦第三方程表明磁场是无散场， 磁力线总是闭合曲线，是磁通连续性 原理 麦克斯韦第四方程，表明电 荷产生电场，是高斯定律
时变电磁场是有旋有散场，在无源区则是有旋无散场。电场线和磁 场线互相交链，自行闭合，从而在空间形成电磁波。从第一、二两方 程还看出，时变电场和磁场在空间是处处互相垂直的。
J dm r 0 Em
J m Em
J dm r 0 Em 2 f 1 8.854 1012 Em 13 9.58 10 f 7 Jm Em 5.8 10 Em
通常所说的无线电频率是指 f = 300MHz以下的频率范围，即使扩展到极高 频段（f = 30GHz～300GHz），从上面的关系式看出比值Jdm/Jm也是很小
J dm 1.125 10 3 J cm
故
例 2 自由空间的磁场强度为
H ex H m cos(t kz ) A/m
式中的 k 为常数。试求：位移电流密度和电场强度。
D ,得 解 自由空间的传导电流密度为0，故由式 H t D Jd H ( ex ey ez ) ex H x t x y z H x ey e y H m cos(t kz ) z z e y kH m sin(t kz )A/m 2
D H J t
—— 微分形式
—— 积分形式
全电流定律揭示不仅传导电流激发磁场，变化的电场 也可以激发磁场。它与变化的磁场激发电场形成自然界的一
个对偶关系。
2. 位移电流密度
电位移矢量随时间的变化率，能像电
流一样产生磁场，故称“位移电流”。 位移电流只表示电场的变化率，与传
D Jd t
Jd
导电流不同，它不产生热效应。
位移电流的引入是建立麦克斯韦方程组的至关重要的一步， 它揭示了时变电场产生磁场这一重要的物理概念。 注：在绝缘介质中，无传导电流，但有位移电流；
在理想导体中，无位移电流，但有传导电流；
在一般介质中，既有传导电流，又有位移电流。
例 1 已知 海水的电导率为4S/m，相对介电常数为81，求频率为1MHz时，
零，电场和磁场仍然可以相互激发，从而在空间形成电磁振荡并传播， 这就是电磁波。
在无源空间中，两个旋度方程分别为
D H t
B , E t
可以看到两个方程的右边相差一个负号，而正是这个负号使得电场和磁
场构成一个相互激励又相互制约的关系。当磁场减小时，电场的漩涡源为正，
位移电流与传导电流相比是可以忽略的。
解：铜中存在时变电磁场时，位移电流密度为
D E Jd r 0 r 0 (ex Em cos t ) ex r 0 Em sin t t t t
位移电流密度的振幅值为
而传导电流密度的振幅值为
静磁场 (MS)
例 1 正弦交流电压源 u
U m sin t
连接到平行板电容器的两个极
板上，如图所示。(1) 证明电容器两极板间的位移电流与连接导线中的传 导电流相等；(2)求导线附近距离连接导线为r 处的磁场强度。
解：( 1 ) 导线中的传导电流为
du d ic C = C (U m sin t ) dt dt CU m cos t
7.2.3 媒质的本构关系
为完整描述电磁场的特性，还必须要有反映媒质的本构关系的方程和电 荷及电流关系的方程
D E , B H , J E , J t
代入麦克斯韦方程组中，有： 限定形式的麦克斯韦方程
E H E H E t (E ) t H E ( H ) E t t （均匀媒质） H 0 ( H ) 0 (E ) E /
CU m H e H e cos t 2 r
为角 场强度矢量 E ex E0 cos(t kz ) V/m ，式中的E0为振幅、ω 频率、k为相位常数。试确定k与ω 之间所满足的关系，并求出与 E 相