2012届高考数学第一轮章节复习考试题67

合集下载

2012届高考数学第一轮复习精品试题：集合-学生版

2012届高考数学第一轮复习精品试题：集合§1.1 集合的含义及其表示经典例题：若x ∈R ，则｛3，x ，x2－2x ｝中的元素x 应满足什么条件? 当堂练习1．下面给出的四类对象中，构成集合的是（）A ．某班个子较高的同学B ．长寿的人CD ．倒数等于它本身的数2下面四个命题正确的是（）A ．10以内的质数集合是{0，3，5，7}B ．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}C ．方程2210x x -+=的解集是{1，1} D ．0与{0}表示同一个集合3．下面四个命题：（1）集合N 中最小的数是1；（2）若 -a ∉Z ，则a ∈Z ；（3）所有的正实数组成集合R+；（4）由很小的数可组成集合A ；其中正确的命题有（）个A ．1B ．2C ．3D ．44．下面四个命题：（1）零属于空集；（2）方程x2-3x+5=0的解集是空集；（3）方程x2-6x+9=0的解集是单元集；（4）不等式 2 x-6>0的解集是无限集；其中正确的命题有（）个A ．1B ．2C ．3D ．4 5．平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合是( ) A ． {x,y 且0,0x y <>} B ． {(x,y)0,0x y <>}C. {(x,y)0,0x y <>} D. {x,y 且0,0x y <>}6．用符号∈或∉填空：0__________{0}， a__________{a}， π__________Q ， 21__________Z ，－1__________R ，0__________N ， 0 Φ． 7．由所有偶数组成的集合可表示为{x x =}．8．用列举法表示集合D={2(,)8,,x y y x x N y N=-+∈∈}为．9．当a 满足时, 集合A ＝{30,x x a x N +-<∈}表示单元集．10．对于集合A ＝{2，4，6}，若a ∈A ，则6－a ∈A ，那么a 的值是__________． 11．数集{0，1，x2－x}中的x 不能取哪些数值？12．已知集合A ＝{x ∈N|126x －∈N }，试用列举法表示集合A ．13.已知集合A={2210,,x ax x a R x R++=∈∈}.(1)若A 中只有一个元素,求a 的值; (2)若A 中至多有一个元素,求a 的取值范围.14.由实数构成的集合A 满足条件:若a ∈A, a ≠1,则11Aa∈-,证明：（1）若2∈A ，则集合A 必还有另外两个元素，并求出这两个元素；（2）非空集合A 中至少有三个不同的元素。

2012届高考数学第一轮专题复习测试卷第九讲指数与指数函数学生

指数与指数函数一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．下列结论中正确的个数是( )①当a <0时，(a 2)32＝a 3；②n a n ＝|a |；③函数y ＝(x －2)12－(3x －7)0的定义域是(2，＋∞)；④若100a ＝5,10b ＝2，则2a ＋b ＝1.A ．0B ．1C ．2D ．3 2．(36a 9)4·(63a 9)4(a ≥0)的化简结果是( ) A ．a 16 B ．a 8C ．a 4D ．a 23．若函数y ＝(a 2－5a ＋5)·a x 是指数函数，则有( )A ．a ＝1或a ＝4B ．a ＝1C ．a ＝4D ．a >0，且a ≠14．在平面直角坐标系中，函数f (x )＝2x ＋1与g (x )＝21－x 图象关于( )A ．原点对称B ．x 轴对称C ．y 轴对称D ．直线y ＝x 对称5．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]6．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2x ，实数a 、b 、c 满足f (a )f (b )f (c )<0(0<a <b <c )，若实数x 0是方程f (x )＝0的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是( )A ．x 0<aB ．x 0>bC ．x 0<cD ．x 0>c二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7．已知不论a 为何正实数，y ＝a x ＋1－2的图象恒过定点，则这个定点的坐标是________．8．函数y ＝(13)x －3x 在区间[－1,1]上的最大值为________． 9．定义：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________．10．设f (x )＝e x ＋e －x 2，g (x )＝e x －e －x2，计算f (1)g (3)＋g (1)f (3)－g (4)＝________，f (3)g (2)＋g (3)f (2)－g (5)＝________，并由此概括出关于函数f (x )和g (x )的一个等式，使上面的两个等式是你写出的等式的特例，这个等式是________．三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．已知函数f (x )＝b ·a x(其中a ，b 为常量且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)试确定f (x )；(2)若不等式⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x －m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围．12．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值．(3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的取值范围．13．已知函数f (x )＝2x －12|x |(1)若f (x )＝2，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．。

2012届高考数学一轮复习测试题及答案(一)

第一章集合与简易逻辑课时训练1集合的概念与运算【说明】本试卷满分100分，考试时间90分钟.一、选择题（每小题6分，共42分）1.(2010四川成都模拟，1)已知集合A={x||x2-4|≤1,x∈Z},则集合A的真子集个数为（）A.2个B.1个C.4个D.3个答案：D解析：A={x|3≤x2≤5,x∈Z}={2,-2},故A的真子集个数为22-1=3. 2.(2010江苏苏州一模，1)设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，集合B={2，3，4}，则A∩B等于（）A.{1}B.{0，1}C.{0，1，2，3}D.{0，1，2，3，4}答案：A解析：B={0，1}，A∩（B）={1}.3.(2010河南新乡一模，1)已知M={y|y=x2},N={y|x2+y2=2},则M∩N 等于（）A.{（1，1），（-1，1）}B.{1}C.［0，1］D.［0，2］答案：D解析：∵M=［0，+∞］，N=［-2，2］，∴M∩N=［0，2］.4.给定集合A、B，定义一种新运算：A*B={x|x∈A或x∈B,但x∉A ∩B},又已知A={0，1，2}，B={1，2，3}，则A*B等于（）A.{0}B.{3}C.{0，3}D.{0，1，2，3}答案：C解析：依题意x∈A∪B,但x∉A∩B,而A∪B={0，1，2，3}，A∩B={1，2}故A*B={0，3}.5.设M={0，1}，N={11-a,lga,2a,a},若M∩N={1}，则a值（）A.存在，且有两个值B.存在，但只有一个值C.不存在D.无法确定答案：C解析：若11-a=1,则a=10,lga=1,与集合元素互异性矛盾，同理知lga≠1;若2a=1,则a=0,此时lga无意义；若a=1,则lga=0,此时M∩N={0，1}.故不存在这样的a值.6.设集合M={x|x-m<0},N={y|y=a x-1,a>0且a≠1,x∈R},若M∩N=∅，则m的范围是（）A.m≥-1B.m>-1C.m≤-1D.m<-1答案：C解析：M={x|x<m},N={y|y>-1}，又M∩N=∅，则m≤-1.7.已知向量的集合M={a|a=λ1(1,0)+(1+λ12)(0,1)，λ1∈R},N={a|a=(1,6)+λ2(2,4)，λ2∈R},则M∩N等于（）A.{（-1，2）}B.{（-1，2），（3，10）}C.∅D.{(1,2),(-1,2)}答案：B解析：M={a |a =(λ1,λ12+1),λ1∈R }，N={a |a =(1+2λ2,6+4λ2),λ2∈R },设a ∈M ∩N,则⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧+=++=.1,11,3,461,21212122121λλλλλλλλ或即故a =（3，10）或（-1，2）.二、填空题（每小题5分，共15分）8.下列各式：①2006⊆{x|x ≤2007};②2007∈{x|x ≤2007};③{2007}{x|x ≤2007};④∅∈{x|x<2007},其中正确的是____________. 答案：②③解析：①应为2006∈{x|x ≤2007};④应为∅{x|x<2007}.9.设全集U={x|0<x<6,x ∈N },A={x|x 2-5x+q=0},B={x|x 2+px+12=0},(A)∪B={1,3,4,5},则集合A=_____________B=_______________. 答案：{2，3}{3，4}解析：U={1，2，3，4，5}，由2∉{1,3,4,5}知2∈A ，∴22-5×2+q=0即q=6.∴A={2,3},A={1,4,5},故3∈B ，∴p=-7,B={3,4}.10.已知集合A={-1，2}，B={x|mx+1=0},若A ∩B=B ，则所有实数m 的值组成的集合是_______.答案：{0，1，-21}解析：A ∩B=B ⇒B ⊆A,故B 为∅或{-1}或{2}.当B=∅时，m=0;当B={-1}时，m=1;当B={2}时，m=-21.三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）11.(2010浙江杭州二中模拟，15)已知集合A={x|x 2-3x+2=0},集合B={x|x 2-ax+a-1=0},若A ∪B=A ，求实数a 的值.解析：A={x|x 2-3x+2=0}={1,2}，A ∪B=A ⇒B ⊆A ；B={x|x 2-ax+a-1=0}={x|(x-1)(x-a+1)=0}；则有a-1=2⇒a=3或a-1=1⇒a=2.故实数a 的值为2或3.12.设函数f(x)=log 2(2x-3)的定义域为集合M ，函数g(x)=)1)(3(--x x 的定义域为集合N.（1）求集合M 、N ；（2）求集合M ∩N ，M ∪N ，（N ）∩M.解析：(1)由2x-3>0得x>23,故M={x|x>23},由（x-3）(x-1)>0得x<1或x>3,故N={x|x<1或x>3}.(2)M ∩N={x|x>3}，M ∪N={x|x<1或x>23}. ∵N={x|1≤x ≤3},∴(N)∩M={x|23<x ≤3}.13.已知集合A={x|x 2-6x+8<0},B={x|(x-a)(x-3a)<0}.(1)若A B,求a 的取值范围；（2）若A ∩B=∅,求a 的取值范围；(3)若A ∩B={x|3<x<4},求a 的取值范围.解析：A={x|2<x<4},当a>0时，B={x|a<x<3a};当a=0时，B=∅;当a<0时，B={x|3a<x<a}.(1)若A B ，则a>0且⎩⎨⎧≥≤,43,2a a 即34≤a ≤2.(2)若A ∩B=∅，则a ≤0满足;当a>0时，则3a ≤2或a ≥4.∴a 的取值范围为a ≤32或a ≥4.(3)若A ∩B={x|3<x<4}，当a>0时,则a>3；当a ≤0时不满足.∴a 的取值范围是a>3.14.已知集合A 的元素全为实数，且满足：若a ∈A ，则a a -+11∈A. (1)若a=2,求出A 中其他所有元素.（2）0是不是集合A 中的元素？请你设计一个实数a ∈A,再求出A 中的所有元素.（3）根据（1）（2），你能得出什么结论？请证明你的猜想（给出一条即可）.解析：（1）由2∈A,得2121-+=-3∈A. 又由-3∈A ，得21)3(1)3(1-=---+∈A. 再由-21∈A ，得31)21(1)21(1=---+∈A.而31∈A 时，311311-+=2∈A. 故A 中元素为2，-3，-21，31. （2）0不是A 的元素.若0∈A ，则0101-+=1∈A ，而当1∈A 时，aa -+11不存在，故0不是A 的元素.取a=3,可得A={3,-2,-21,31}. (3)猜想：①A 中没有元素-1，0，1；②A 中有4个元素，且每两个互为负倒数.证明：①由上题，0、1∉A ，若0∈A ，则由a a -+11=0,得a=-1. 而当aa -+11=-1时，a 不存在，故-1∉A,A 中不可能有元素-1，0，1. ②设a 1∈A,则a 1∈A ⇒a 2=1111a a -+∈A ⇒a 3=2211a a -+=-11a ∈A ⇒a 4=3311a a -+=1111+-a a ∈A ⇒a 5=4411a a -+=a 1∈A. 又由集合元素的互异性知，A 中最多只有4个元素：a 1,a 2,a 3,a 4,且a 1a 3=-1,a 2a 4=-1,显然a 1≠a 3,a 2≠a 4.若a 1=a 2,即a 1=1111a a -+，得a 12+1=0, 此方程无解；同理，若a 1=a 4,即a 1=1111a a +-,此方程也无实数解. 故a 1≠a 2,a 1≠a 4.∴A 中有4个元素.。

2012届高考理科数学一轮复习(新人教A版)单元质量评估2

单元质量评估二(第二章)时间：120分钟分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分) 1．已知函数f (x )＝11－x 2的定义域为M ，g (x )＝log 2(1－x )(x ≤－1)的值域为N ，则∁R M ∩N 等于( )A ．{x |x >1}B ．ØC ．{y |y ≥1或y ≤－1}D ．{x |x ≥1}解析：可求得集合M ＝{x |－1<x <1}，集合N ＝{g (x )|g (x )≥1}，则∁R M ＝{x |x ≤－1或x ≥1}，[来源:学|科|网Z|X|X|K] ∴∁R M ∩N ＝{x |x ≥1}，故选D. 答案：D2．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|－2，|x |≤111＋x 2，|x |>1，则f (f (12))等于( )A.12 B.413 C ．－95D.2541解析：∵f (12)＝|12－1|－2＝－32，∴f (f (12))＝f (－32)＝11＋(－32)2＝413. 答案：B3．(2011·福建龙岩模拟)已知函数y ＝f (x )与y ＝e x 互为反函数，函数y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称，若g (a )＝1，则实数a 的值为( )A ．－eB ．－1eC.1eD ．e解析：由y ＝f (x )与y ＝e x 互为反函数，得f (x )＝ln x (x >0)，因为y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称，故有g (x )＝－ln x (x >0)，g (a )＝1⇒ln a ＝－1， ∴a ＝1e .答案：C4．若函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象如下图，其中a ，b 为常数．则函数g (x )＝a x ＋b 的大致图象是( )解析：由f (x )＝log a (x ＋b )为减函数可得0<a <1，y ＝log a (x ＋b )是由y ＝log a x 向左平移b 个单位得到的，且0<b <1，所以g (x )＝a x ＋b 的图象为减函数且是由y ＝a x 向上平移了b 个单位，故选D.答案：D5．已知函数f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)，若实数a ，b 满足f (a )＋f (b －1)＝0，则a ＋b 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．不确定解析：观察得f (x )在定义域内是增函数，而f (－x )＝ln(－x ＋x 2＋1)＝ln 1x ＋x 2＋1＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，则f (a )＝－f (b －1)＝f (1－b )，∴a ＝1－b ，即a ＋b ＝1.[来源:学&科&网][来源:学§科§网Z §X §X §K] 答案：C6．函数f (x )＝－(cos x )|lg|x ||的部分图象是( )解析：特殊值法，通过分离函数得 f 1(x )＝－cos x ，f 2(x )＝|lg|x ||，由于f 2(x )＝|lg|x ||≥0，观察函数f 1(x )＝－cos x 的符号即可，由于x ∈(－π2，0)∪(0，π2)时，f 1(x )＝－cos x <0，[来源:] 可以得到正确结果．答案：C7．(2011·皖南八校联考)已知二次函数f (x )的图象如下图所示，则其导函数f ′(x )的图象的大致形状是( )解析：由函数f (x )的图象知：当x ∈(－∞，1]时，f (x )为减函数，∴f ′(x )≤0；当x ∈[1，＋∞)时，f (x )为增函数，∴f ′(x )≥0.结合选项知选C.答案：C8．已知函数f (x )＝x e x ，则f ′(2)等于( ) A ．e 2 B ．2e 2 C ．3e 2D ．2ln2解析：∵f (x )＝x e x ，∴f ′(x )＝e x ＋x e x . ∴f ′(2)＝e 2＋2e 2＝3e 2.故选C. 答案：C9．函数f (x )＝ax 3－x 在(－∞，＋∞)内是减函数，则( ) A ．a <1 B ．a <13C ．a <0D ．a ≤0 解析：f ′(x )＝3ax 2－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a ≤13x 2在(－∞，＋∞)上恒成立，而13x 2>0，∴a ≤0.故选D. 答案：D10．将函数y ＝f ′(x )sin x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝1－2sin 2x 的图象，则f (x )是( )A ．2sin xB ．cos x[来源:学科网]C ．sin xD ．2cos x解析：y ＝1－2sin 2x ＝cos2x ，向右平移π4个单位得cos2(x －π4)＝cos(2x －π2)＝sin2x ＝2cos x ·sin x ，故f ′(x )＝2cos x ，∴f (x )＝2sin x ，故选A.答案：A11．(2010·湖北调研)已知f (x )、g (x )都是定义在R 上的函数，且满足以下条件： ①f (x )＝a x g (x )(a >0，a ≠1)； ②g (x )≠0；③f (x )g ′(x )>f ′(x )g (x )．若f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，则a 等于( ) A.54 B.12 C ．2D ．2或12解析：记h (x )＝f (x )g (x )＝a x ，则有h ′(x )＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )<0，即a x ln a <0，故ln a <0,0<a <1. 由已知得h (1)＋h (－1)＝52，即a ＋a －1＝52，a 2－52a ＋1＝0，故a ＝12或a ＝2，又0<a <1，因此a ＝12，选B.答案：B12．若函数f (x )＝log a (x 3－ax )(a >0，a ≠1)在区间(－12，0)上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[14，1)B ．[34，1)C ．(94，＋∞)D ．(1，94)[来源:学#科#网Z#X#X#K]解析：设u (x )＝x 3－ax ，由复合函数的单调性，可分0<a <1和a >1两种情况讨论： ①当0<a <1时，u (x )＝x 3－ax 在(－12，0)上单调递减，即u ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－12，0)上恒成立，∴a ≥34，∴34≤a <1；②当a >1时，u (x )＝x 3－ax 在(－12，0)上单调递增，即u ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－12，0)上恒成立，∴a ≤0，∴a 无解，综上，可知34≤a <1，故选B.[来源:学科网ZXXK]答案：B二、填空题(每小题5分，共20分)13．若函数f (x )＝ax 2＋x ＋1的值域为R ，则函数g (x )＝x 2＋ax ＋1的值域为________．解析：要使f (x )的值域为R ，必有a ＝0，于是g (x )＝x 2＋1，值域为[1，＋∞)．答案：[1，＋∞)14．若f (x )是幂函数，且满足f (4)f (2)＝3，则f (12)＝________.解析：设f (x )＝x α，则有4α2α＝3，解得2α＝3，α＝log 23，∴f (12)＝(12)log 23＝2－log 23＝13.答案：1315．(2011·济南模拟)已知a ＝⎠⎛0π(sin t ＋cos t )d t ，则(x －1ax )6的展开式中的常数项为________．解析：a ＝⎠⎛0π(sin t ＋cos t )d t ＝(sin t －cos t )| π＝(sin π－cos π)－(sin0－cos0)＝2，所以(x －1ax )6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6x 6－r (－12x )r ＝(－1)r 2－r C r 6x 6－2r ，令6－2r ＝0，得r ＝3，故常数项为(－1)32－3C 36＝－52. 答案：－5216．设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，－2≤x <0g (x )－log 5(x ＋5＋x 2)，0<x ≤2，若f (x )为奇函数，则当0<x ≤2时，g (x )的最大值是________．解析：由于f (x )为奇函数，当－2≤x <0时，f (x )＝2x 有最小值为f (－2)＝2－2＝14，故当0<x ≤2时，f (x )＝g (x )－log 5(x ＋5＋x 2)有最大值为f (2)＝－14，而当0<x ≤2时，y ＝log 5(x ＋5＋x 2)为增函数，考虑到g (x )＝f (x )＋log 5(x ＋5＋x 2)，结合当0<x ≤2时，f (x )与y ＝log 5(x ＋5＋x 2)在x ＝2时同时取到最大值，故[g (x )]max ＝f (2)＋log 5(2＋5＋22)＝－14＋1＝34.答案：34三、解答题(本大题共6个小题，共计70分，写出必要的文字说明、计算步骤，只写最后结果不得分)17．(10分)如下图所示，图1是定义在R 上的二次函数f (x )的部分图象，图2是函数g (x )＝log a (x ＋b )的部分图象．(1)分别求出函数f (x )和g (x )的解析式；(2)如果函数y ＝g (f (x ))在区间[1，m )上单调递减，求m 的取值范围．解：(1)由题图1得，二次函数f (x )的顶点坐标为(1,2)，故可设函数f (x )＝a (x －1)2＋2，又函数f (x )的图象过点(0,0)，故a ＝－2，整理得f (x )＝－2x 2＋4x .由题图2得，函数g (x )＝log a (x ＋b )的图象过点(0,0)和(1,1)，故有⎩⎪⎨⎪⎧ log a b ＝0，log a (1＋b )＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，∴g (x )＝log 2(x ＋1)(x >－1)．(2)由(1)得y ＝g (f (x ))＝log 2(－2x 2＋4x ＋1)是由y ＝log 2t 和t ＝－2x 2＋4x ＋1复合而成的函数，而y ＝log 2t 在定义域上单调递增，要使函数y ＝g (f (x ))在区间[1，m )上单调递减，必须t ＝－2x 2＋4x ＋1在区间[1，m )上单调递减，且有t >0恒成立．由t ＝0得x ＝2±62，又t 的图象的对称轴为x ＝1.所以满足条件的m 的取值范围为1<m <2＋62.18．(12分)已知关于x 的方程9x ＋m ·3x ＋6＝0(其中m ∈R )． (1)若m ＝－5，求方程的解；(2)若方程没有实数根，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝－5时，方程即为9x －5·3x ＋6＝0，令3x ＝t (t >0)，方程可转化为t 2－5t ＋6＝0，解得t ＝2或t ＝3，由3x ＝2得x ＝log 32，由3x ＝3得x ＝1，故原方程的解为1，log 32. (2)令3x ＝t (t >0)．方程可转化为t 2＋mt ＋6＝0①要使原方程没有实数根，应使方程①没有实数根，或者没有正实数根．当方程①没有实数根时，需Δ＝m 2－24<0，解得－26<m <26；当方程①没有正实数根时，方程有两个相等或不相等的负实数根，这时应有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－24≥0，－m <0，解得m ≥2 6.综上，实数m 的取值范围为m >－2 6.19．(12分)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )，且x >0时，f (x )<0，f (1)＝－2.(1)求证f (x )是奇函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值． (1)证明：∵f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )，令a ＝－b ，得f (0)＝f (a )＋f (－a )；令a ＝b ＝0，得f (0)＝2f (0)，[来源:Z&xx&] ∴f (0)＝0.∴f (a )＋f (－a )＝0(a ∈R )． ∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数． (2)解：设x 1<x 2，x 1、x 2∈Rf (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2－x 1)<0， ∴f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 2)<f (x 1)． ∴函数f (x )在R 上是单调递减的．∴f (x )在[－3,3]上的最大值是f (－3)，最小值是f (3)． ∵f (1)＝－2，∴f (2)＝f (1)＋f (1)＝－4， f (3)＝f (2)＋f (1)＝－6，f (－3)＝－f (3)＝6. ∴f (x )在[－3,3]上的最大值为6，最小值为－6.20．(12分)(2010·济南模拟)已知函数f (x )＝ln (1＋x )x .(1)确定y ＝f (x )在(0，＋∞)上的单调性；(2)设h (x )＝x ·f (x )－x －ax 3在(0,2)上有极值，求a 的取值范围．解：(1)由题知f ′(x )＝xx ＋1－ln (1＋x )x 2，设g (x )＝xx ＋1－ln(1＋x )(x >0)，则g ′(x )＝1(x ＋1)2－1x ＋1＝－x (x ＋1)2<0在(0，＋∞)上恒成立，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递减， ∴g (x )<g (0)＝0，∴f ′(x )<0. 因此f (x )在(0，＋∞)上单调递减． (2)由h (x )＝x ·f (x )－x －ax 3可得，h ′(x )＝1x ＋1－1－3ax 2＝－x (3ax 2＋3ax ＋1)x ＋1，若a ≥0，对任意x ∈(0,2)，h ′(x )<0，∴h (x )在(0,2)上单调递减，则f (x )在(0,2)上无极值．若a <0，h (x )＝x ·f (x )－x －ax 3在(0,2)上有极值的充要条件是φ(x )＝3ax 2＋3ax ＋1在(0,2)上有零点，又φ(x )在(－12，＋∞)上单调，∴φ(0)·φ(2)<0，解得a <－118.综上，a 的取值范围是(－∞，－118)．21．(12分)(2011·东北三校二模)已知f (x )＝x 2ln(ax )(a >0)． (1)若曲线y ＝f (x )在x ＝ea 处的切线斜率为3e ，求a 的值；(2)求f (x )在[1e，e]上的最小值．解：(1)∵f ′(x )＝2x ln(ax )＋x 2·aax ＝x [2ln(ax )＋1]，∴3e ＝f ′(e a )＝e a [2ln(a ·ea )＋1]，∴a ＝1.(2)由题知x >0，f ′(x )＝x [2ln(ax )＋1]，令f ′(x )＝0，则2ln(ax )＋1＝0，得x ＝1a e，①当a ≥1时，1a e ≤1e .当x ∈[1e，e]时，f ′(x )≥0， ∴f (x )在[1e，e]上是增函数， ∴[f (x )]min ＝f (1e )＝1e ln a e ＝1e(ln a －12)；[来源:学科网]②当1e <a <1时，1e <1a e < e.当x ∈[1e ，1a e)时，f ′(x )<0；当x ∈[1a e ，e]时，f ′(x )>0，∴f (x )在[1e ，1a e ]上是减函数，在[1a e，e]上为增函数， ∴[f (x )]min ＝f (1a e )＝1a 2e ln 1e ＝－12a 2e ；③当0<a ≤1e 时，1a e ≥ e.当x ∈[1e，e]时，f ′(x )<0， ∴f (x )在[1e，e]上是减函数， ∴[f (x )]min ＝f (e)＝eln a e ＝e(ln a ＋12)．22．(12分)已知函数f (x )＝x 3－3ax 2－9a 2x ＋a 3. (1)设a ＝1，求函数f (x )的极值；(2)若a >14，且当x ∈[1,4a ]时，|f ′(x )|≤12a 恒成立，试确定a 的取值范围．[来源:学&科&网Z&X&X&K]解：(1)当a ＝1时，对函数f (x )求导数，得f ′(x )＝3x 2－6x －9.令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3.列表讨论f (x )，f ′(x )的变化情况：(2)f ′(x )＝3x 2－6ax －9a 2的图象是一条开口向上的抛物线，关于x ＝a 对称．若14<a ≤1，则f ′(x )在[1,4a ]上是增函数，从而f ′(x )在[1,4a ]上的最小值是f ′(1)＝3－6a －9a 2，最大值是f ′(4a )＝15a 2.由|f ′(x )|≤12a ，得－12a ≤3x 2－6ax －9a 2≤12a ，于是有f ′(1)＝3－6a －9a 2≥－12a ，且f ′(4a )＝15a 2≤12a .由f ′(1)≥－12a ，得－13≤a ≤1，由f ′(4a )≤12a ，得0≤a ≤45.所以a ∈(14，1]∩[－13，1]∩[0，45]，即a ∈(14，45]．若a >1，则|f ′(a )|＝12a 2>12a .故当x ∈[1,4a ]时|f ′(x )|≤12a 不恒成立．所以使|f ′(x )|≤12a (x ∈[1,4a ])恒成立的a 的取值范围是(14，45]．。

2012届高考数学一轮复习测试题及答案(九)

第三章数列课时训练16数列的概念【说明】本试卷满分100分，考试时间90分钟. 一、选择题（每小题6分，共42分）1.数列3，7，13，21，31，…的一个通项公式为（） A.4n-1B.n 3-n 2+n+2 C.n 2+n+1D.n(n-1)(n+2) 【答案】C【解析】令n=3,排除A 、B 、D.2.数列{a n }中，a 1=2,a 2=5,a n+1=a n+2+a n ,则a 6等于（） A.-3B.-4C.-5D.2 【答案】A【解析】a 3=a 2-a 1=3,a 4=a 3-a 2=-2,a 5=a 4-a 3=-5,a 6=a 5-a 4=-3. 3.数列24,17,810,35b a b a -+,…中，有序数对（a,b ）可以是（） A.（21，-5）B.（16，-1） C.（-211,241）D.（211,241-）【答案】C【解析】通项公式为)2(1)1(2+++n n n ,故⎩⎨⎧=-=+.26,15b a b a∴a=241,b=-211.4.数列{a n }中，a 1=1，对所有的n ≥2且n ∈N *,都有a 1a 2…a n =n 2,则a 3+a 5等于（） A.925B.1625C.1661D.1531 【答案】C【解析】当n ≥2时，a n =221212)1(-=-n n a a a n n ，故a 3+a 5=166145232222=+.5.数列{a n }的前n 项和为S n =4n 2-n+2,则该数列的通项公式为() A.a n =8n+5(n ∈N *)B.a n =⎩⎨⎧∈≥-=),2(58)1(5*N n n n nC.a n =8n+5(n ≥2)D.a n =8n+5(n ≥1) 【答案】B【解析】a 1=S 1=4×12-1+2=5,排除A 、C 、D.6.若数列{a n }前8项的值各异且a n+8=a n 对任意n ∈N *都成立，则下列数列中可取遍{a n }前8项值的数列为() A.{a 2k+1}B.{a 3k+1}C.{a 4k+1}D.{a 6k+1} 【答案】B【解析】∵2k+1,4k+1,6k+1只能取奇数，又周期为8，故排除A 、C 、D.选B.7.(2010全国大联考,12)一个机器猫每秒钟前进或后退1步，程序设计人员让机器猫以每前进3步后再后退2步的规律移动；如果将此机器猫放在数轴的原点上，面向正的方向，以1步的距离为1个单位长，令P （n ）表示第n 秒时机器猫所在的位置的坐标，且P(0)=0，那么下列结论中错误的是()A.P （3）=3B.P （5）=1C.P （101）=21D.P （103）＜P(104) 【答案】D【解析】易知A 、B 正确，又机器猫每5秒钟实际向前进一步，故P （101）=P （5×20+1）=21,P （103）=P （20×5+3）=23,P(104)=P(20×5+3+1)=23-1=22,故选D.二、填空题（每小题5分，共15分） 8.已知a 1=1,a n =1+11-n a (n ≥2,n ∈N *),则a 5=________________.【答案】58【解析】a 2=1+11=2,a 3=23,a 4=35,a 5=58.9.(2010北京西城区模拟，14)定义运算符号：“Ⅱ”，这个符号表示若干个数相乘.例如：可将1×2×3×…×n 记作∏=ni i 1(n ∈N *).记T n =∏=ni i a 1,其中a i 为数列{a n }(n ∈N *)中的第i 项. (1)若a n =2n-1，则T 4=__________________；（2）若T n =n 3(n ∈N *),则a n =______________. 【答案】(1)105(2)n=1时，a 1=1;n ≥2时，a n =（1-n n）2 【解析】(1)a n =2n-1⇒a 1=1,a 2=3,a 3=5,a 4=7. ∴T 4=1×3×5×7=105.(2)T n =n 2,当n ≥2时，2221)1()1(-=-=-n n n n T T n n =a n .当n=1时，a 1=T 1=1.∴当n=1时，a 1=1;当n ≥2时，a n =（1-n n）2. 10.将正偶数按下表排成5列那么2006应在_________行,第____________列. 【答案】262【解析】因2006=2×1003=2×4×25+2×3. 故2006应第26行，由于是偶数行，故应在第2列.三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分） 11.已知数列{a n }的通项公式为a n =41n 2-6131217+n ,问21是否为数列{a n }中的项？【解析】依题意，实际上要判断关于n 的方程21=41n 2-6131217+n 是否有正整数解.解方程得：n=4或n=35(舍)， ∴21是数列{a n }中的第四项.12.已知下面各数列{a n }的前n 项和S n 的公式，求{a n }的通项公式. (1)S n =2n 2-3n ；(2)S n =3n -2.【解析】(1)当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2n 2-3n-［2(n-1)2-3(n-1)］=4n-5. 当n=1时，a 1=S 1=-1满足上式，∴a n =4n-5.(2)当n ≥2时，a n =S n -S n-1=(3n -2)-(3n-1-2)=2×3n-1, 当n=1时，a 1=S 1=3-2=1,∴a n =⎩⎨⎧≥⨯=-).2(32),1(.11n n n 13.写出满足下列条件的数列的前5项，并归纳出通项公式. (1)a 1=0,a n+1=a n +(2n-1)(n ∈N *); (2)a 1=1,a n+1=nna a +22(n ∈N *). 【解析】(1)a 1=0,a 2=1,a 3=4,a 4=9,a 5=16,a n =(n-1)2. (2)a 1=1,a 2=32,a 3=21,a 4=52,a 5=31,a n =12+n . 14.设f(x)=log 2x-log x 4(0＜x ＜1),数列{a n }的通项满足f(na 2)=2n(n ∈N *),问：{a n }有没有最小的项？若有求出，若没有请说明理由. 【解析】∵f(na 2)=log 2na 2-log na 24=2n,∴a n -na 2=2n, 即a n 2-2na n -2=0, 解得：a n =n ±22+n . 又∵0＜x ＜1,∴0＜na 2＜1,∴a n ＜0，故a n =n-22+n .∴2)1()1(2212)1()1(122)1()1(2222221++++++=++++++=+-++-+=+n n n n n n n n n n n n a a n n ＜1.而a n＜0，∴a n+1＞a n,故数列{a n}是递增数列，其最小的项是a1=1-3.。

2012届高考数学一轮复习测试题及答案(八)

课时训练19数列的通项与求和【说明】本试卷满分100分，考试时间90分钟.一、选择题（每小题6分，共42分）1.数列{a n }的前n 项和S n =2n 2-3n+1,则a 4+a 5+a 6+…+a 10等于（）A.171B.21C.10D.161【答案】D【解析】原式=S 10-S 3=2×102-3×10-(2×32-3×3)=161.2.数列{a n }的通项公式是a n =11++n n ，若前n 项和为10，则项数n为（）A.11B.99C.120D.121【答案】C【解析】因a n =n n n n -+=++111，故S n =(2-1)+(3-2)+…+(n n -+1)=1+n -1,由S n =10,故n=120.3.数列{a n }的通项公式为a n =4n-1,令b n =na a a n +++ 21,则数列{b n }的前n 项和为（）A.n 2B.n(n+2)C.n(n+1)D.n(2n+1)【答案】B【解析】∵a n =4n-1,∴数列{a n }是等差数列，且a 1=4-1=3,∴b n =n n n n a a a n 2)143(21-+=+++ =2n+1.显然数列{b n }是等差数列，且b 1=2+1=3，它的前n 项和S n =b 1+b 2+…+b n =2)123(++n n =n(n+2). 4.数列1，（1+2），（1+2+22），…，（1+2+22+…+2n-1）,…的前n 项和等于（）A.2nB.2n -nC.2n+1-n-2D.n ·2n【答案】C【解析】令n=1,排除A 、D ，又令n=2，排除B.选C.5.数列1，223，324，425，…，n n 21+的前n 项和等于() A.S n =3-n n 21+-121-n B.S n =3-n n 21+-1-221-n C.S n =3-n n 21+-221-n D.S n =3-n2n -221-n 【答案】A【解析】令S n =1+223+324+…+n n 21+,① 则21S n =21+432423++…+121++n n .② ①-②得 ∴21S n =1+322121++…+12121++-n n n =1+11221211)211(21+-+---n n n =1212123++--n n n . ∴S n =3-n n 21+-121-n ,故选A. 或者用特殊法.6.S n =1+3211211+++++…+n++++ 3211等于() A.1+n n B.12+n n C.12+n n D.122+n n【答案】B【解析】a n =)111(2)1(23211+-=+=++++n n n n n , ∴S n =2［(1-21)+(21-31)+…+(111+-n n )］ =2(1-11+n ) =12+n n . 7.(2010全国大联考，10)已知数列{a n }满足a n =⎪⎩⎪⎨⎧∈+∈*),,(,)2(2*),,(,N n n n n N n n n 为奇数为偶数则{a n }的前 2k-1项的和为() A.k 2-k+1-121+k B.k 2+k+1-121+k C.2111232+-+-++k k k k D.2111232+-+-+-k k k k 【答案】A【解析】取k=1，S 1=32，排除B 、C ；取k=2,S 3=514,排除D 。

2012届高考数学第一轮章节复习考试题(含答案和解释)

2012届高考数学第一轮章节复习考试题(含答案和解释)第2章第10节一、选择题 1．(教材改编题)等边三角形的边长为x，面积为y，则y与x之间的函数关系式为( ) A．y＝x2 B．y＝12x2 C．y＝32x2 D．y＝34x2 [答案] D [解析] y＝12•x•x•sin60°＝34x2. 2．(2011长春模拟)某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物，大门的地面宽度为8m，两侧距地面3m高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6m，如图所示，则厂门的高为(水泥建筑物厚度忽略不计，精确到0.1m)( ) A．6.9m B．7.0m C．7.1m D．6.8m [答案] A [解析] 建立如图所示的坐标系，于是由题设条件知抛物线的方程为y＝ax2(a<0)．设点A点的坐标为(4，－h)，则 C(3,3－h)．将这两点的坐标代入y＝ax2，可得－h＝a•42，3－h＝a•32，解得a＝－37，h＝487≈6.9. 所以厂门的高约为6.9m. 3．某文具用品店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价20元，羽毛球每只定价5元，该店制定了两种优惠方法：①买一副球拍赠送一只羽毛球；②按总价的92%付款．某人计划购买4副球拍，羽毛球30只，两种优惠方法中，更省钱的一种是( ) A．不能确定 B．①②同样省钱C．②省钱 D．①省钱 [答案] D [解析] ①种方法需20×4＋5×(30－4)＝210元，②种方法需(20×4＋5×30)×92%＝211.6元．故①种方法省钱． 4．某种细胞在培养过程中正常情况下，时刻t(单位：分)与细胞数n(单位：个)的部分数据如下： t 0 20 60 140 n 1 2 8 128 根据表中数据，推测繁殖到1000个细胞时的时刻t最接近于( ) A．200 B．220 C．240 D．260 [答案] A [解析] 由表格中所给数据可以得出n与t的函数关系为n＝2t20，令n＝1000，得2t20＝1000，又210＝1024，所以时刻t最接近200分． 5．(2011•商丘一模)某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( ) A．45.606 B．45.6 C．45.56 D．45.51 [答案] B [解析] 依题意可设甲销售x辆，则乙销售(15－x)辆，∴总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x) ＝－0.15x2＋3.06x＋30(x≥0)．∴当x＝10时，Smax＝45.6(万元)． 6．某市2008年新建住房100万平方米，其中有25万平方米经济适用房，有关部门计划以后每年新建住面积比上一年增加5%，其经济适用房每年增加10万平方米．按照此计划，当年建造的经济适用房面积首次超过该年新建住房面积一半的年份是(参考数据：1.052＝1.10,1.053＝1.16,1.054＝1.22,1.055＝1.28)( ) A．2010年 B．2011年 C．2012年 D．2013 [答案] C [解析] 设第n年新建住房面积为an＝100(1＋5%)n，经济适用房面积为bn＝25＋10n，由2bn>an得：2(25＋10n)>100(1＋5%)n利用已知条件解得n>3，所以在2012年时满足题意． 7．某学校制定奖励条例，对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励，其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的．奖励公式为f(n)＝k(n)(n－10)，n>10(其中n是任课教师所在班级学生参加高考该任课教师所任学科的平均成绩与该科省平均分之差，f(n)的单位为元)，而k(n)＝0，n≤10，100，10<n≤15，200，15<n≤20，300，20<n≤25，400，n>25. 现有甲、乙两位数学任课教师，甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分18分，而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分21分．则乙所得奖励比甲所得奖励多( ) A．600元 B．900元 C．1600元 D．1700 [答案] D [解析] ∵k(18)＝200(元)，∴f(18)＝200×(18－10)＝1600(元)．又∵k(21)＝300(元)，∴f(21)＝300×(21－10)＝3300(元)，∴f(21)－f(18)＝3300－1600＝1700(元)． 8．(2011•长沙质检)某医院经调查发现：当还未开始挂号时，有N个人已经在排队等候挂号；开始挂号后，排队的人平均每分钟增加M个．假定挂号的速度是每个窗口每分钟K个人．当开放1个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象．当同时开放2个窗口时，15分钟后恰好不会出现排队现象．根据以上信息，若要求8分钟不出现排队现象，则需要同时开放的窗口至少有( ) A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 [答案] A [解析] 当开放一个窗口时，N＋40M＝40K；① 当开放两个窗口时，N＋15M＝30K.② 由①、②得N＝60M，K＝52M. 设8分钟后不出现排队现象需同时开放x个窗口，则N＋8M≤8x•K，∴60M＋80M≤8x•52M，即68M≤20Mx. ∴x≥3.8，又∵x∈N*，∴至少需同时开放4个窗口．二、填空题 9．如图，书的一页的面积为600cm2，设计要求书面上方空出2cm的边，下、左、右方都空出1cm的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为________． [答案] 30cm,20cm [解析] 设书的长为a，宽为b，则ab＝600，则中间文字部分的面积S＝(a－2－1)(b －2)＝606－(2a＋3b)≤606－26×600＝486，当且仅当2a＝3b，即a ＝30，b＝20时，Smax＝486. 10．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低13，则现在价格为8100元的计算机经过15年的价格应降为________元． [答案] 2400 [解析] 设经过3个5年，产品价格为y，则y＝8100×1－133＝8100×827＝2400(元)． 11．(2011•南京模拟)某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元，又知总收入k是单位产品数Q的函数，k(Q)＝40Q－120Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元． [答案] 2500 [解析] 总利润L(Q)＝40Q－120Q2－10Q－2 000 ＝－120(Q－300)2＋2500. 故当Q＝300时，总利润最大，为2500万元．三、解答题 12．据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图像如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)． (1)当t＝4时，求s的值； (2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来； (3)若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由． [分析] 认真审题，准确理解题意，建立函数关系． [解析] (1)由图像可知，当t＝4时，v＝3×4＝12，∴s ＝12×4×12＝24. (2)当0≤t≤10时，s＝12•t•3t＝32t2，当10<t≤20时，s＝12×10×30＋30(t－10)＝30t－150；当20<t≤35时，s＝12×10×30＋10×30＋(t－20)×30－12×(t－20)×2(t－20)＝－t2＋70t－550. 综上可知s＝32t2，t∈[0，10]，30t －150，，20]，－t2＋70t－550，，35].(3)∵t∈[0,10]时，smax＝32×102＝150<650. t∈(10,20]时，smax ＝30×20－150＝450<650. ∴当t∈(20,35]时，令－t2＋70t－550＝650. 解得t1＝30，t2＝40，∵20<t≤35，∴t＝30，所以沙尘暴发生30h后将侵袭到N城． 13．某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价每个定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值． [解析] 设每个提价为x元(x≥0)，利润为y元，每天销售总额为(10＋x)(100－10x)元，进货总额为8(100－10x)元，显然100－10x>0，即x<10，则y＝(10＋x)(100－10x)－8(100－10x) ＝(2＋x)(100－10x) ＝－10(x－4)2＋360(0≤x<10)．当x＝4时，y取得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元． 14．某厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产100台，需要增加可变成本(即另增加投入)0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售收入函数为R(x)＝5x－x22(万元)(0≤x≤5)，其中x是产品售出的数量(单位：百台)． (1)把利润表示为年产量的函数； (2)年产量是多少时，工厂所得利润最大？ (3)年产量是多少时，工厂才不亏本？ [解析] (1)当x≤5时，产品能售出x台；当x>5时，只能售出5百台，故利润函数为L(x)＝R(x)－C(x) ＝5x－x22－＋－522－＋即L(x)＝4.75x －x22－0.5 －0.25x 当0≤x≤5时，L(x)＝4.75x－x22－0.5，当x＝4.75时，L(x)max＝10.78125万元．当x>5时，L(x)<10.75. ∴生产475台时利润最大． (3)由0≤x≤54.75x－x22－0.5≥0 或x>512－0.25x≥0得，0.1≤x≤5或5<x≤48，∴产品年产量在10台到4800台时，工厂不亏本． 15．某加工厂需定期购买原材料，已知每公斤原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元．每公斤原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需消耗原材料400公斤，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400公斤不需要保管)． (1)设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1(元)关于x的函数关系式； (2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y(元)最少，并求出这个最小值． [解析] (1)每次购买原材料后，当天用掉的400公斤原材料不需要保管，第二天用掉的400公斤原材料需保管1天，第三天用掉的400公斤原材料需保管2天，第四天用掉的400公斤原材料需保管3天，…，第x天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400公斤原材料需保管x－1天．∴每次购买的原材料在x天内的保管费用为 y1＝400×0.03[1＋2＋3＋…＋(x－1)]＝6x2－6x. (2)由(1)可知，购买一次原材料的总的费用为6x2－6x＋600＋1.5×400x＝6x2＋594x＋600(元)，∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为 y＝600x＋6x＋594＝2600x•6x＋594＝714. 当且仅当600x＝6x，即x＝10时，取得等号．∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用最少，最少费用为714元．教师备课平台 (一)数学思想与方法一、待定系数法在求解函数解析式中的应用要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)＝g(x)的充要条件：对于一个任意的a值，都有f(a)＝g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等．待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决．要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解．例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解． [例1] 已知二次函数f(x)满足：对任意实数x都有f(x)≥x，且当x∈(1,3)时，有f(x)≤18(x＋2)2成立． (1)求证：f(2)＝2；(2)若f(－2)＝0，求f(x)的表达式； (3)设g(x)＝f(x)－m2x，x∈[0，＋∞)，若g(x)图像上的点都位于直线y＝14的上方，求实数m的取值范围． [分析] 本题的突破在于设出二次函数的一般式，根据已知条件列出关于参数a，b，c的方程或其他关系式来求解． [解析] (1)证明：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0，b，c∈R)，由条件知f(2)＝4a＋2b＋c≥2恒成立．当取x＝2时，f(2)＝4a＋2b＋c≤18(2＋2)2＝2恒成立，∴f(2)＝2. (2)∵4a＋2b＋c＝2，4a－2b＋c＝0，∴4a＋c＝2b＝1，∴b＝12，c＝1－4a，又f(x)≥x恒成立，即ax2＋(b－1)x＋c≥0恒成立，∴a>0，Δ＝12－12－4a(1－4a)≤0，即4a－122≤0，∴a＝18，∴c＝1－4a＝12. ∴f(x)＝18x2＋12x＋12.(3)由分析条件知道，只要f(x)图像(在y轴右侧)总在直线y＝m2x＋14上方即可，也就是直线的斜率m2小于直线与抛物线相切时的斜率位置．于是y＝18x2＋12x＋12，y＝m2x＋14. 利用相切时Δ＝0，解得m＝1＋22，∴m∈－∞，1＋22. 另解：g(x)＝18x2＋12－m2x ＋12>14在x∈[0，＋∞)上恒成立，即x2＋4(1－m)x＋2>0在x∈[0，＋∞)上恒成立，①Δ<0，即[4(1－m)]2－8<0，解得1－22<m<1＋22；②Δ≥0，－－，，解得m≤1－22. 总之，m∈－∞，1＋22. 二、数形结合思想在解决函数问题中的应用一般地，方程的解、不等式的解集、函数的性质等进行讨论时，可以借助于函数的图像直观解决，简单明了． [例2] 若方程lg(－x2＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围． [分析] 将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再利用二次函数的图像进行解决． [解析] 原方程变形为3－x>0，－x2＋3x－m＝3－x，即x<3，－＝1－m. 设曲线y1＝(x－2)2，x∈(0,3)和直线y2＝1－m，图像如图所示．由图可知：①当1－m＝0时，有唯一解，m＝1；②当1≤1－m<4时，有唯一解，即－3<m≤0，∴m＝1或－3<m≤0，此题也可设曲线y1＝－(x－2)2＋1，x∈(0,3)和直线y2＝m后画出图像求解．三、函数与方程的思想方法函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式或方程与不等式的混合组)，然后通过解方程(组)或不等式(组 )来使问题获解．有时，还通过函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的． [例3] 设不等式 2x－1>m(x2－1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立．求x的取值范围． [分析] 此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式讨论．然而，若变换一个角度以m为变量，即关于m的一次不等式(x2－1)m－(2x－1)<0在[－2,2]上恒成立的问题．即不等式问题变成函数在闭区间上的值域问题．设f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)，则问题转化为求一次函数(或常数函数)f(m)的值在[－2,2]内恒为负值时参数x应该满足的条件，－[解析] 问题可变成关于m的一次不等式：(x2－1)m－(2x－1)<0在[－2,2]上恒成立，设f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)，则＝－－－，－＝－－－－，解得x∈7－12，3＋12. 四、分类整合思想分类讨论思想在本板块中有突出的体现，指数函数、对数函数中对底数a的讨论尤其是重点，而在幂函数中对幂指数的正负的讨论也常有应用． [例4] 是否存在实数a，使函数f(x)＝loga(ax2－x)在区间 [2,4]上是增函数，若存在，说明a可取哪些值；若不存在，说明理由． [解析] 设g(x)＝ax2－x， (1)当a>1时，要使函数f(x)在[2,4]上是增函数，则g(x)在[2,4]上也是增函数则有12a≤2且g(2)＝4a－2>0，解得a>12，∴a>1. (2)当0<a<1时，g(x)在[2,4]上必为减函数，则有12a≥4且g(4)＝16a－4>0，无解．故a>1时，函数f(x)＝loga(ax2－x)在区间[2,4]上是增函数．五、转化与化归思想转化与化归思想是中学重要的数学思想，如把对数式与指数式进行必需的转化，把指数或对数问题通过换元转化为二次函数或二次方程的问题等，其作用就是能将复杂的问题进行分解、化归为简单易求的问题． [例5] 当x∈[－1,1]时，若22x－1<ax＋1(a>0)恒成立，试求实数a的取值范围． [分析] 如果直接求解，则需要讨论a与2的大小关系，而这里x又是区间[－1,1]上的变量，因此，讨论将变得复杂；如若能借助指数式与对数式之间的关系，则会将问题转化为一次函数，问题便迎刃而解． [解析] 22x－1<ax＋1⇒(2x－1)lg2<(x＋1)lga⇒x•lg4a－lg(2a)<0. 设f(x)＝xlg4a－lg(2a)，由x∈[－1,1]时，f(x)<0恒成立，得，－，即lg4a－，－lg4a－，解得a>2. 故实数a的取值范围是(2，＋∞)．六、抽象函数问题若题目中给出了抽象函数满足的关系式，在处理这类抽象函数的问题时，一般地，应将所给的关系式看作给定的运算法则，对某些变量进行适当的赋值，并且变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联．对某些变量进行适当的赋值是一般向特殊转化的必要手段． [例6] 函数f(x)对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，并且x>0时，f(x)>1. (1)求证：f(x)在R上是增函数； (2)若不等式f(a2＋a－5)<2的解集为{a|－3<a<2}，求f(2012)的值． [分析] 对于抽象函数问题，特殊值的代入是问题的突破口，利用题目中所给关系式是问题的着手点． [解析] (1)证明：设x1<x2，x1、x2∈R，∴x2－x1>0，∴f(x2－x1)>1. ∵f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1] ＝f(x1)＋f(x2－x1)－1>f(x1)．∴函数f(x)在R上是增函数．(2)∵f(a2＋a－5)<2，设f(m)＝2，∴f(a2＋a－5)<f(m)，∵f(x)在R上是增函数，∴a2＋a－5－m<0，又其解集为－3<a<2，∴－3×2＝－5－m，∴m＝1，即f(1)＝2. 令x＝n(n∈N*)，y＝1. ∴f(n＋1)＝f(n)＋f(1)－1＝f(n)＋1. ∴数列{f(n)}是以f(1)＝2为首项，公差d＝1的等差数列．∴f(2012)＝f(1)＋(2012－1)×1＝2013. (二)对抽象函数周期问题的综合探究抽象函数已逐渐成为近年高考热点，确定函数的周期是一大难点，须充分运用题目条件，寻找问题的切入点，本专题谈谈确定抽象函数周期的几种类型．重点谈以下几类问题：对于函数f(x)，如果对于定义域中的任意x，(1)函数值之和等于零型；(2)函数图像有x＝a，x＝b两条对称轴型；(3)函数值互为倒数或负倒数型；(4)分式递推型．一、函数值之和等于零型即函数f(x)满足f(x＋a)＋f(x＋b)＝0(a≠b)．对于定义域中任意x满足f(x＋a)＋f(x＋b)＝0(a≠b)，即f(x＋a)＝－f(x＋b)，则f(x＋2a)＝f((x＋a)＋a)＝－f((x＋a)＋b)＝－f((x＋b)＋a)＝f((x＋b)＋b)，即f(x＋2a)＝f(x＋2b)＝f((x＋2a)＋2b－2a)，等价于f(x＋2b－2a)＝f(x)，故函数f(x)的周期T＝2(b－a)． [例1] 设函数f(x)是R 上的奇函数，且y＝f(x)的图像关于直线x＝12对称，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)等于________． [解析] y＝f(x)的图像关于直线x＝12对称，则f12＋x＝f12－x(*) 函数f(x)是R上的奇函数，则f12－x＝－f－12＋x. (*)式即f12＋x＋f－12＋x＝0， b ＝12，a＝－12，f(x)的周期T＝2(b－a)＝2. 在(*)式中令x＝12可得f(1)＝f(0)＝0，利用函数的周期为2，则f(0)＝f(2)＝f(4)＝0＝f(1)＝f(3)＝f(5)，因此，f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0. [答案] 0 二、函数图像有x＝a，x＝b(a≠b)两条对称轴型函数图像有x＝a，x＝b两条对称轴，即f(x＋a)＝f(a－x)，f(x＋b)＝f(b－x)，改写为f(x＋a)＝f(a－x)＝f(b－(x－a＋b))＝f(b＋(x －a＋b))＝f(x＋2b－a)，即f(x＋a)＝f((x＋a)＋2b－2a)，等价于f(x＋2b－2a)＝f(x)，周期T＝2(b－a)． [例2] 函数f(x)在(－∞，＋∞)上满足关系式f(2＋x)＝f(2－x)，f(7＋x)＝f(7－x)，且在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0. (1)判断函数y＝f(x)的奇偶性； (2)求方程f(x)＝0在闭区间[－2005,2005]上根的个数，并证明你的结论． [解析] (1)函数f(x)满足＋＝－＋＝－则f(x)的图像有x＝2，x＝7两条对称轴，f(x)在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0，而f(0)≠0，f(7)≠0，故函数f(x)不是奇函数；由对称性知由f(1)＝f(3)＝0得 f(11)＝f(13)＝0，且f(－7)＝f(－9)＝0，由f(－7)＝0而f(7)≠0可得函数f(x)不是偶函数；因此函数y＝f(x)是非奇非偶函数． (2)由(*)式还可以表示为f(x)＝f(4－x)， f(x)＝f(14－x)，由f(4－x)＝f(14－x)可知函数f(x)的周期T＝10(或直接利用上面的结论a＝2，b＝7，T＝2(b－a)＝10)．f(x)在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0， f(11)＝f(13)＝0，f(－7)＝f(－9)＝0，且周期T＝10，故方程f(x)＝0在闭区间[0,10]和[－10,0]上都有两个解(分别为1,3和－7，－9)，从而方程f(x)＝0在闭区间[0,2005]上有402个解，在闭区间[－2005,0]上有400个解．所以在闭区间[－2005,2005]上根的个数为802个．三、两个函数值之积等于±1，即函数值互为倒数或负倒数型若f(x＋a)•f(x＋b)＝1(a≠b)，显然f(x＋a)≠0，f(x＋b)≠0，则f(x＋a)＝＋，即f((x＋a)＋a)＝＋＋＝＋＋，而f((x＋b)＋a)＝＋＋，因此f((x＋a)＋a)＝＋＋＝f((x＋b)＋b)＝f((x＋2a)＋2b－2a)，即f(x＋2a)＝f((x＋2a)＋2b －2a)，函数f(x)的周期T＝2(b－a)；同理可证，若函数f(x)满足f(x＋a)•f(x＋b)＝－1(a≠b)，则周期T＝2(b－a)． [例3] 已知函数f(x)是R上的偶函数，且f(x＋2)•f(x)＝1，f(x)>0恒成立，则f(119)的值等于________． [解析] 由f(x＋2)•f(x)＝1可知f(x＋4)＝＋＝f(x)，函数f(x)的周期为4，f(119)＝f(4×30－1)＝f(－1)，函数f(x)是R上的偶函数且f(x)>0，则f(－1)＝f(1)，在f(x＋2)•f(x)＝1中，令x＝－1得f(－1)•f(1)＝f 2(－1)＝1，f(119)＝1. [答案] 1 四、分式递推型，即函数f(x)满足f(x＋a)＝1＋＋－＋由f(x＋a)＝1＋＋－＋，则f(x＋a＋a)＝1＋＋a ＋－＋a＋，f(x＋a＋b)＝f((x＋b)＋a)＝1＋＋＋－＋＋，代入(*)式得f(x＋2a)＝－＋，即f(x＋2a)•f(x＋2b)＝－1，由上面的类型三，求出周期T ＝4(b－a)． [例4] 已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上满足关系式f(x＋2)＝1＋－若f(0)＝2＋3，则f(2012)等于________． [解析] 由题意f(x＋2＋2)＝1＋＋－＋将f(x＋2)＝1＋－代入(*)式整理得f(x＋4)＝1－，所以f(x＋8)＝1－＋＝f(x)，函数f(x)的周期为8. f(2012)＝f(251×8＋4)＝f(4)． f(4)＝1－＝－12＋3＝3－2，∴f(2012)＝3－2. [答案] 3－2。

2012届高考数学第一轮复习精品试题：函数-学生版

2012届高考数学第一轮复习精品试题：函数§2.1.1 函数的概念和图象经典例题：设函数f （x ）的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域：（1）H （x ）=f （x2+1）；（2）G （x ）=f （x+m ）+f （x －m ）（m ＞0）.当堂练习：1．下列四组函数中,表示同一函数的是（） A．(),()f x x g x ==B．2(),()f x x g x ==C ．21(),()11x f x g x x x -==+- D．()()f x g x ==2函数()y f x =的图象与直线x a =交点的个数为（）A ．必有一个B ．1个或2个C ．至多一个D ．可能2个以上3．已知函数1()1f x x =+，则函数[()]f f x 的定义域是（）A ．{}1x x ≠ B ．{}2x x ≠- C ．{}1,2xx ≠-- D ．{}1,2x x ≠-4．函数1()1(1)f x x x =--的值域是（）A ．5[,)4+∞B ．5(,]4-∞C ． 4[,)3+∞D ．4(,3-∞ 5．对某种产品市场产销量情况如图所示，其中：1l 表示产品各年年产量的变化规律；2l 表示产品各年的销售情况．下列叙述：（）（1）产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去；（2）产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌；（3）产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量；（4）产品的产、销情况均以一定的年增长率递增．你认为较合理的是( ) A ．（1），（2），（3） B ．（1），（3），（4） C ．（2），（4） D ．（2），（3）6．在对应法则,,,x y y x b x R y R→=+∈∈中,若25→,则2-→ ， →6．7．函数()f x 对任何x R +∈恒有1212()()()f x x f x f x ⋅=+，已知(8)3f =，则f = ．8．规定记号“∆”表示一种运算，即a b a b a b R+∆++∈，、. 若13k ∆=，则函数()fx k x=∆的值域是___________．9．已知二次函数f(x)同时满足条件： (1) 对称轴是x=1； (2) f(x)的最大值为15；(3) f(x)的两根立方和等于17．则f(x)的解析式是．10．函数2522y x x =-+的值域是．11．求下列函数的定义域： (1)()121x f x x =-- (2)(1)()x f x x x+=-12．求函数y x =13．已知f(x)=x2+4x+3，求f(x)在区间[t,t+1]上的最小值g(t)和最大值h(t)．14．在边长为2的正方形ABCD 的边上有动点M ，从点B 开始，沿折线BCDA 向A 点运动，设M 点运动的距离为x ，△ABM 的面积为S ．（1）求函数S=的解析式、定义域和值域；（2）求f[f(3)]的值．§2.1.2 函数的简单性质经典例题：定义在区间（－∞，＋∞）上的奇函数f （x ）为增函数，偶函数g （x ）在［0，＋∞ )上图象与f （x ）的图象重合.设a ＞b ＞0，给出下列不等式，其中成立的是 f （b ）－f （－a ）＞g （a ）－g （－b ） ②f （b ）－f （－a ）＜g （a ）－g （－b ）③f （a ）－f （－b ）＞g （b ）－g （－a ） ④f （a ）－f （－b ）＜g （b ）－g （－a ） A ．①④ B ．②③ C ．①③ D ．②④ 当堂练习：1．已知函数f(x)=2x2-mx+3，当()2,x ∈-+∞时是增函数，当(),2x ∈-∞-时是减函数，则f(1)等于（）A ．-3B ．13C ．7D ．含有m 的变量2．函数1()x f x -=是（）A ．非奇非偶函数B ．既不是奇函数,又不是偶函数奇函数C ．偶函数D ．奇函数3．已知函数(1)()11f x x x =++-,(2)()f x =2()33f x x x =+(4)0()()1()R x Q f x x C Q ∈=∈⎧⎨⎩,其中是偶函数的有（）个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．奇函数y=f （x ）（x ≠0），当x ∈（0，+∞）时，f （x ）=x －1，则函数f （x －1）的图象为（）5．已知映射f:A →B,其中集合A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的象,且对任意的A a ∈,在B 中和它对应的元素是a,则集合B 中元素的个数是（）A ．4B ．5C ．6D ．76．函数2()24f x x tx t =-++在区间[0, 1]上的最大值g(t)是．7．已知函数f(x)在区间(0,)+∞上是减函数,则2(1)f x x ++与()34f 的大小关系是．8．已知f(x)是定义域为R 的偶函数,当x<0时, f(x)是增函数,若x1<0,x2>0,且12x x <,则1()f x 和2()f x 的大小关系是．9．如果函数y=f(x+1)是偶函数，那么函数y=f(x)的图象关于_________对称．10．点(x,y)在映射f作用下的对应点是(,)22y x +-,若点A 在f 作用下的对应点是B(2,0),则点A 坐标是．13. 已知函数2122()x x f x x++=,其中[1,)x ∈+∞，(1)试判断它的单调性；(2)试求它的最小值．14．已知函数2211()a f x aa x+=-，常数0>a 。

2012届高考理科数学一轮复习(新人教A版)单元质量评估10

单元质量评估十(第十章) 时间：120分钟分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．在(x 2－13x )8的二项展开式中，常数项等于( )A.32 B ．－7 C ．7D ．－32解析：(x 2－13x)8的二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C 8r (x 2)8－r·(－x －13)r ＝(－1)r C 8r28－r·x 8－43r ，令8－43r ＝0得r ＝6，所以r ＝6时，得二项展开式的常数项为T 7＝(－1)6C 8628－6＝7. 答案：C2．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( )A ．6个B ．9个C ．18个D ．36个解析：由题意知，1,2,3中必有某一个数字重复使用2次．第一步确定谁被使用2次，有3种方法；第二步把这2个相同的数放在四位数不相邻的两个位置上，也有3种方法；第三步将余下的2个数放在四位数余下的2个位置上，有2种方法．故共可组成3×3×2＝18个不同的四位数．答案：C3．从5位志愿者中选派4位在星期五、星期六、星期日参加海地地震募捐公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有( )A ．40种B ．60种C ．100种D ．120种解析：按分步计数原理可分三步：第一步：从5位同学中选派4位有C 54种选法；第二步：从4位同学中选派2人在星期五参加活动有C 42种选法；第三步：剩下2人在星期六、日参加活动有A 22种．∴不同选派方法共有C 54C 42A 22＝60(种)．答案：B4．(x －13x )10的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是( )A ．0B ．2C ．4D ．6解析：∵T r ＋1＝C 10r (x )10－r (－13x)r＝C 10r x 10－r2·(－13)r ·x －r ＝C 10r(－13)r x 5－32r ，由5－32r ∈N *，知r ＝0或r ＝2，∴展开式中第1、3项的x 的指数为正整数．故选B. 答案：B5．在一底面半径和高都是2 m 的圆柱形容器中盛满小麦种子，但有一粒带麦锈病的种子混入了其中．现从中随机取出2 m 3的种子，则取出带麦锈病的种子的概率是( )A.14B.18πC.14πD ．1－14π解析：可用体积作为几何度量，易知取出带有麦锈病的种子的概率为P ＝2π·22·2＝14π.答案：C6．集合A ＝{(x ，y )|y ≥|x －1|，x ∈N *}，集合B ＝{(x ，y )|y ≤－x ＋5，x ∈N *}．先后掷两颗骰子，设掷第一颗骰子得点数记作a ，掷第二颗骰子得点数记作b ，则(a ，b )∈A ∩B 的概率等于( )A.14 B.29[来源:Z&xx&] C.736D.536解析：由于y ≥|x －1|⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0x ＋y －1≥0，根据二元一次不等式表示平面的区域，可知A ∩B对应如下图所示的阴影部分的区域中的整数点．其中整数点有(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4)，(0,5)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，共14个．现先后抛掷2颗骰子，所得点数分别有6种，共会出现36种结果，其中落入阴影区域内的有8种，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)．所以满足(a ，b )∈A ∩B 的概率为836＝29，故选B.答案：B7．已知随机变量X 和Y ，其中Y ＝12X ＋7，且E (Y )＝34，若X 的概率分布如下表，则m 的值为( )X 1 2 3 4 P14 mn112A.13B.14C.16D.18解析：由Y ＝12X ＋7⇒EY ＝12EX ＋7 ⇒34＝12EX ＋7⇒EX ＝94⇒94＝1×14＋2×m ＋3×n ＋4×112，又14＋m ＋n ＋112＝1，联立求解可得m ＝13，故选A. 答案：A8．甲、乙两人相约10天之内在某地会面，约定先到的人等候另一个人，经过3天以后方可离开，若他们在限期内到达目的地的时间是随机的，则甲、乙两人能会面的概率为( )[来源:学。

2012届高考数学(理科)一轮复习课件(人教版)第11单元第67讲二项式定理

(2)当f(x)=x时，g(x)= +…+ C n · ·xn.
n
n n n n
n+ C 1· 1 x· · · (1-x) (1-x)n-1 Cn n n n
0
0
因为 C nk · =
C n 1
k 1
,
C n 1 ·xn-1］
n 1
1 所以g(x)= C n0 1 x· n-1+ C n 1 x2· n-2+…+ C nn11·xn (1-x) (1-x) 1 =x［C n0 1 (1-x)n-1+ C n 1x(1-x)n-2+…+
=x· ［(1-x)+x］n-1=x.
20
题型三展开式系数和问题及求法
例3
则 a1 2
1 若 1
a2 2
2
2x
2 011
a 0 a1 x a 2 x a 2 0 1 1 x
2
2 011
，

a 2011 2
2011
的值为
( )
A． 2 C． 1
1
5-
5r 2
.
Z ，则 r 0 , 2 , 4 , 6 , 8,10 .
因此可知展开式中的有理项共有 6 项，故填 6.
评析
涉及二项式展开式的系数、次数、项的性质
( 常数项、有理项等 )，则应用通项公式．
14
素材1 设 a＞ 0，若 (1 a x
3
项的系数，又 T3 C 3 2
3 2
x 2 ，
2

2012届高考数学第一轮章节复习考试题7

第2章第3节一、选择题1．(2010·重庆理)函数f(x)＝4x ＋12x的图像( ) A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称[答案] D[解析] ∵f(－x)＝2－x ＋12－x ＝2x ＋12x＝f(x) ∴f(x)是偶函数，其图像关于y 轴对称．2．已知定义在R 上的奇函数f(x)的图像关于直线x ＝1对称，并且当x ∈(0,1]时，f(x)＝x2＋1，则f(462)的值为( )A ．2B ．0C ．1D ．－1[答案] B[解析] ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∵f(x)图像关于直线x ＝1对称，∴f(2－x)＝f(x)，∴f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝f(2＋(2＋x))＝－f(2＋x)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数，∴f(462)＝f(115×4＋2)＝f(2)，∵f(2＋x)＝f(－x)成立，∴f(2)＝f(0)，又f(x)是R 上奇函数，∴f(0)＝0，∴f(462)＝0.故选B.3．已知y ＝f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，如果x1<0，x2>0，且|x1|<|x2|，则有( )A ．f(－x1)＋f(－x2)>0B ．f(x1)＋f(x2)<0C ．f(－x1)－f(－x2)>0D ．f(x1)－f(x2)<0[答案] D[解析] ∵x1<0，x2>0，|x1|<|x2|，∴0<－x1<x2又f(x)是(0，＋∞)上的增函数，∴f(－x1)<f(x2)又f(x)为定义在R 上的偶函数，∴f(x1)<f(x2)．∴f(x1)－f(x2)<0.选D.4．(2009·辽宁理)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)单调递增，则满足f(2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 [答案] A[解析] 考查偶函数的性质及含绝对值号不等式的解法．由题意得|2x －1|<13⇒－13<2x －1<13⇒23<2x<43⇒13<x<23，∴选A. 5．(2010·山东理)设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x ＋2x ＋b(b 为常数)，则f(－1)＝( )A ．3B ．1C ．－1D ．－3[答案] D[解析] ∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，即0＝20＋b ，∴b ＝－1，故f(1)＝2＋2－1＝3，∴f(－1)＝－f(1)＝－3.6．设函数f(x)是定义在R 上周期为3的奇函数，若f(1)<1，f(2)＝2a －1a ＋1，则( ) A ．a<12且a≠－1 B ．－1<a<0C ．a<－1或a>0D ．－1<a<2[答案] C[解析] 由题意分析知f(－1)>－1.又函数f(x)的周期为3，所以f(2)＝f(－1)，∴2a －1a ＋1>－1，∴a<－1或a>0.7．已知定义在R 上的奇函数f(x)是一个减函数，且x1＋x2＜0，x2＋x3＜0，x3＋x1＜0，则f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．以上都有可能[答案] A[解析] 由x1＋x2＜0，得x1＜－x2.又f(x)为减函数，∴f(x1)＞f(－x2)，又f(x)为R 上的奇函数，∴f(x1)＞－f(x2)．∴f(x1)＋f(x2)＞0.同理f(x2)＋f(x3)＞0，f(x1)＋f(x3)＞0，∴f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＞0.8．若函数f(x)、g(x)分别为R 上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex ，则有( )A ．f(2)<f(3)<g(0)B ．g(0)<f(3)<f(2)C ．f(2)<g(0)<f(3)D ．g(0)<f(2)<f(3)[答案] D[解析] 由题意得f(x)－g(x)＝ex ，f(－x)－g(－x)＝e －x ，即－f(x)－g(x)＝e －x ，由此解得f(x)＝ex －e －x 2，g(x)＝－ex ＋e －x 2，g(0)＝－1，函数f(x)＝ex －e －x 2在R 上是增函数，且f(3)>f(2)＝e2－e －22>0，因此g(0)<f(2)<f(3)，选D.二、填空题9．若函数f(x)＝k －2x 1＋k·2x在定义域上为奇函数，则实数k ＝________. [答案] k ＝±1[解析] 解法1 若定义域中包含0，则f(0)＝0，解得k ＝1；若定义域中不包含0，则k ＝－1，验证得此时f(x)也是奇函数．解法2 由f(－x)＋f(x)＝0恒成立，解得k ＝±1.[点评] 解此题时，容易受习惯影响漏掉k ＝－1.熟悉的地方也有盲点，知识不全面、平时练习偷懒、保量不保质、解题后不注意反思，是面对“意外”题型无法应对的真正原因．10．已知函数y ＝f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝x ＋4x，且当x ∈[－3，－1]时，n≤f(x)≤m 恒成立，则m －n 的最小值是________．[分析] 该题综合考查了函数的性质(单调性和奇偶性)，要求考生有一定的分析能力．[答案] 1[解析] 因为函数f(x)＝x ＋4x在(0,2)上为减函数，在[2，＋∞)上为增函数，则当x ∈[1,3]时，4≤f(x)≤5.又函数y ＝f(x)为偶函数，故当x ∈[－3，－1]时，4≤f(x)≤5，则m －n 的最小值是1.11．(2010·重庆理)已知函数f(x)满足：f(1)＝14，4f(x)f(y)＝f(x ＋y)＋f(x －y)(x ，y ∈R)，则f(2010)＝________.[答案] 12[解析] 令y ＝1得4f(x)·f(1)＝f(x ＋1)＋f(x －1)即f(x)＝f(x ＋1)＋f(x －1) ①令x 取x ＋1则f(x ＋1)＝f(x ＋2)＋f(x) ②由①②得f(x)＝f(x ＋2)＋f(x)＋f(x －1)即f(x －1)＝－f(x ＋2)∴f(x)＝－f(x ＋3)，∴f(x ＋3)＝－f(x ＋6)∴f(x)＝f(x ＋6)．即f(x)周期为6，∴f(2010)＝f(6×335＋0)＝f(0)对4f(x)f(y)＝f(x ＋y)＋f(x －y)，令x ＝1，y ＝0，得4f(1)f(0)＝2f(1)，∴f(0)＝12，即f(2010)＝12. 三、解答题12．已知函数f(x)＝ax2＋1bx ＋c(a ，b ，c ∈Z)是奇函数，又f(1)＝2，f(2)<3，求a ，b ，c 的值． [解析] 由f(－x)＝－f(x)，得－bx ＋c ＝－(bx ＋c)，∴c ＝0.又f(1)＝2，得a ＋1＝2b ，而f(2)<3，得4a ＋1a ＋1<3，解得－1<a<2，又a ∈Z ，∴a ＝0或a ＝1.若a ＝0，则b ＝12∉Z ，应舍去；若a ＝1，则b ＝1∈Z ，∴a ＝1，b ＝1，c ＝0.13．已知函数f(x)，当x 、y ∈R 时，恒有f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)求证：f(x)是奇函数；(2)如果x>0时，f(x)<0，并且f(1)＝－12，试求f(x)在区间[－2,6]上的最值．[解析] (1)证明：∵函数定义域为R ，∴在f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)中令y ＝－x 得，∴f(0)＝f(x)＋f(－x)．令x ＝0，∴f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(2)解：设x1<x2，且x1、x2∈R.则f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)．∵x2－x1>0，∴f(x2－x1)<0.∴f(x2)－f(x1)<0.即f(x)在R 上单调递减．从而f(x)在[－2,6]上为减函数．∴f(－2)为最大值，f(6)为最小值．∵f(1)＝－12，∴f(2)＝f(1)＋f(1)＝－1，∴f(－2)＝－f(2)＝1，f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3.∴所以f(x)在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.14．(2011·广东联考)已知函数f(x)＝x2＋a x (x≠0，常数a ∈R)．(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f(x)在x ∈[2，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．[解析] (1)当a ＝0时，f(x)＝x2，对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，∴f(x)为偶函数．当a≠0时，f(x)＝x2＋a x (a≠0，x≠0)．取x ＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0. ∴f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)．∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)方法一：要使函数f(x)在x ∈[2，＋∞)上为增函数．等价于f′(x)＝2x －ax2≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立，即a≤2x3在x ∈[2，＋∞)上恒成立，∴a≤(2x3)min＝16.∴a 的取值范围是(－∞，16]．方法二：设2≤x1<x2，f(x1)－f(x2)＝x12＋a x1－x22－ax2＝x1－x2x1x2[x1x2(x1＋x2)－a]．要使函数f(x)在x ∈[2，＋∞)上为增函数，必有f(x1)－f(x2)<0恒成立．∵x1－x2<0，即a<x1x2(x1＋x2)恒成立，又∵x1＋x2>4，x1x2>4，∴x1x2(x1＋x2)>16.∴a 的取值范围是(－∞，16]．15．设函数f(x)是定义在[－1,0)∪(0,1]上的奇函数，当x ∈[－1,0)时，f(x)＝2ax ＋1x2(a ∈R)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若a>－1，试判断f(x)在(0,1]上的单调性；(3)是否存在实数a ，使得当x ∈(0,1]时，f(x)有最大值－6.[解析] (1)设x ∈(0,1]，则－x ∈[－1,0)，∴f(－x)＝－2ax ＋1x2∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)∴当x ∈(0,1]时，f(x)＝2ax －1x2，∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2ax －1x2 x ∈0，1]2ax ＋1x2 x ∈[－1，0.(2)当x ∈(0,1]时，∵f′(x)＝2a ＋2x3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1x3，∵a>－1，x ∈(0,1]，∴a ＋1x3>0.即f′(x)>0.∴f(x)在(0,1]上是单调递增函数．(3)当a>－1时，f(x)在(0,1]上单调递增．f(x)max ＝f(1)＝2a －1＝－6，∴a ＝－52(不合题意，舍去)，当a≤－1时，由f′(x)＝0得，x ＝－31a .如下表可知fmax(x)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1a＝－6，解得a ＝－2 2. x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，3－1a 3－1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1a ，＋∞f′(x) ＋ 0 －f(x) 极大值此时x ＝2∈(0,1)∴存在a ＝－22，使f(x)在(0,1]上有最大值－6.。

2012年高考数学一轮复习单元测试卷一(文科)

2012年高考数学一轮复习单元测试卷一（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =,{1,3,5,7}A =,{3,5}B =，则下列式子一定成立的是（） A ．U U C B C A⊆ B ．()()U U C A C B U⋃= C ．U A C B =∅D ．U B C A =∅2．已知函数()sin()12f x x ππ=--，则下列命题正确的是( )A ．)(x f 是周期为1的奇函数B ．)(x f 是周期为2的偶函数C ．)(x f 是周期为1的非奇非偶数D ．)(x f 是周期为2的非奇非偶函数3．已知函数()(0,1)a f x log x a a =>≠的图象如右图示，函数()y g x =的图象与()y f x =的图象关于直线y x =对称，则函数()y g x =的解析式为（）A.()2x g x =B. 1()()2xg x = C. 12()log g x x =D.2()log g x x =4．当a ≠0时，函数y ax b =+和y b ax=的图象只可能是（）5．下列关系式中，成立的是（）A ．10log 514log 3103>⎪⎭⎫⎝⎛>B ．4log 5110log 3031>⎪⎭⎫⎝⎛>C ．03135110log 4log ⎪⎭⎫⎝⎛>>D ．0331514log 10log ⎪⎭⎫⎝⎛>>6．函数sin y x =的一个单调增区间是（） A ．ππ44⎛⎫- ⎪⎝⎭， B ．3ππ44⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．3ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．32ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭， 7．函数x xx f 2log 2cos3)(-=π的零点的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．58．设函数()()f x x ∈R 为奇函数，1(1),2f =(2)()(2),(5)f x f x f f +=+则=（） A ．0B ．1C ．52D ．59．把函数sin(4)6y x π=+上的点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再把所得到的图象向左平移6π个单位，所得函数图象的解析式为（） A ．sin(2)3y x π=+B ．5sin(2)12y x π=+C ．cos 2y x =-D ．cos 2y x = 10．已知)(x f 是定义在（-3，3）上的奇函数，当30<<x 时，)(x f如图所示，那么不等式0)(<x xf 的解集是（） A ．(3,1)(0,1)(1,3)-- B ．(1,0)(0,1)- C ．(3,1)(0,1)--D ．(0,1)(1,3)二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11．函数)2(log 221x y -=的定义域是，值域是；12．函数)(x f 在R 上为奇函数，且0,1)(>+=x x x f ，则当0<x ，=)(x f ；13．若1sin()sin()23x x ππ+++=，则sin 2x 的值为； 14．函数)(x f 同时满足下列条件：①是奇函数；②在［0，1］上是增函数；③在［0，1］上最小值为0，则)(x f = （写出一个你认为正确的即可）； 15. 设函数c bx x x x f ++=)(，给出四个命题： ①0=c 时，有)()(x f x f -=-成立；②0,0>=c b 时，方程0)(=x f ，只有一个实数根；③)(x f y =的图象关于点（0,c ）对称； ④方程0)(=x f ，至多有两个实数根。

2012届高考数学第一轮立体几何单元练习题(含答案)

2012届高考数学第一轮立体几何单元练习题(含答案)高三数学单元练习题：立体几何（Ⅱ）第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）. 1．一条直线与一个平面所成的角等于，另一直线与这个平面所成的角是 . 则这两条直线的位置关系（） A．必定相交 B．平行 C．必定异面 D．不可能平行 2．在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为1∶3，则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为（） A．1∶ B．1∶9 C．1∶ D．1∶ 3．正方体中，、、分别是、、的中点．那么，正方体的过、、的截面图形是（） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 4．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（）A．75° B．60° C．45° D．30° 5．对于直线m、n和平面，下面命题中的真命题是（） A．如果、n是异面直线，那么 B．如果、n是异面直线，那么相交 C．如果、n共面，那么 D．如果、n共面，那么 6．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，长为定值的线段EF在棱AB上移动（EF<a），若P是A1D1上的定点，Q是C1D1上的动点，则四面体PQEF的体积是（） A．有最小值的一个变量B．有最大值的一个变量 C．没有最值的一个变量 D．是一个常量 7．已知平面所成的二面角为80°，P为、外一定点，过点P的一条直线与、所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有（） A．1条B．2条 C．3条 D．4条 8．如图所示，在水平横梁上A、B两点处各挂长为50cm的细线AM、 BN、AB的长度为60cm，在MN处挂长为60cm的木条MN平行于横梁，木条中点为O，若木条绕O的铅垂线旋转60°，则木条比原来升高了（） A．10cm B．5cm C．10 cm D．5 cm 9．如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是（） A．258 B．234 C．222 D．210 10．在半径为的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是（） A． B． C． D． 11．底面边长为a，高为h的正三棱锥内接一个正四棱柱（此时正四棱柱上底面有两个顶点在同一个侧面内），此棱柱体积的最大值（） A． B． C． D． 12．将半径都为１的４个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（） A． B．2+ C．4+ D．第Ⅱ卷二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）. 13．某地球仪上北纬纬线的长度为，该地球仪的半径是__________cm，表面积是______________cm2. 14．如图，矩形ABCD中，DC= ，AD=1，在DC上截取DE=1，将△ADE沿AE翻折到D1点，点D1在平面ABC上的射影落在AC上时，二面角D1¬―AE―B 的平面角的余弦值是 . 15．多面体上位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：①3；②4；③5；④6；⑤7 以上结论正确的为______________. （写出所有正确结论的编号） 16．如图，在透明材料制成的长方体容器ABCD―A1B1C1D1内灌注一些水，固定容器底面一边BC于桌面上，再将容器倾斜根据倾斜度的不同，有下列命题：（1）水的部分始终呈棱柱形；（2）水面四边形EFGH的面积不会改变；（3）棱A1D1始终与水面EFGH平行；（4）当容器倾斜如图所示时，BE•BF是定值。

2012届高考理科数学一轮复习(新人教A版)单元质量评估7

∴∠PFO＝60°.又PF＝a，∴OP＝a.
∴sin∠PDO＝＝＝.
20．(12分)
三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如右图所示，截面为A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，A1A＝，AB＝，AC＝2，A1C1＝1，＝.
(1)证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1；[来源:]
单元质量评估七
时间：120分钟分值：150分
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．给出以下四个命题：
①线段AB在平面α内，直线AB不在平面α内；
②两平面有一个公共点，则两平面一定有无数个公共点；
③三条平行直线一定共面；
④有三个公共点的两平面重合．
其中正确命题的个数为()
A．1B．2
C．3D．4
解析：①中直线AB上有两点在平面α内，则AB在α内，命题不成立；
答案：B
3．如果底面直径和高相等的圆柱的体积是V，则圆柱的侧面积是()
A.B.
C．πD.
解析：设圆柱的高为h，则底面半径为，
∴π()2·h＝V，∴h＝，
∴侧面积S＝2π··h ＝πh2＝
答案：D
4．(2011·江南十校联考)已知a、b、l表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：
所以MH为△EDC的中位线，所以MH綊DC.
因为四边形ABCD为平行四边形，所以DC綊AB.
故MH綊AB.
因为N为AB的中点，所以MH綊AN.
所以四边形ANMH为平行四边形，所以MN∥AH.
因为MN⊄平面ADE，AH⊂平面ADE，所以MN∥平面ADE.
解法二：取EB的中点F，连接MF、NF.
因为BM⊥平面ACE，EC⊂平面ACE，所以BM⊥EC.因为BE＝BC，所以M为CE的中点，所以MF∥BC.

2012届高考数学第一轮章节复习考试题10

第2章第6节一、选择题 1．若a>1，b>0，且ab ＋a －b ＝22，则ab －a －b 的值等于( )A. 6 B ．2或－2C ．－2D ．2[答案] D[解析] ∵a>1，b>0，∴ab>a －b.又∵ab ＋a －b ＝22，∴(ab ＋a －b)2＝a2b ＋a －2b ＋2＝8，∴(ab －a －b)2＝a2b ＋a －2b －2＝4，∴ab －a －b ＝2.2．若函数y ＝ax ＋b －1 (a>0，且a≠1)的图像经过第二、三、四象限，则一定有( )A ．0<a<1，且b>0B ．a>1，且b>0C ．0<a<1，且b<0D ．a>1，且b<0[答案] C[解析] 如图所示，图像与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，即a0＋b －1<0，∴b<0，又图像经过第二、三、四象限，∴0<a<1.故选C.3．设f(x)＝|3x －1|，c<b<a 且f(c)>f(a)>f(b)，则下列关系式中一定成立的是( )A ．3c>3bB ．3b>3aC ．3c ＋3a>2D ．3c ＋3a<2[答案] D[解析] 作f(x)＝|3x －1|的图像如图所示，由图可知，要使c<b<a 且f(c)>f(a)>f(b)成立，则有c<0且a>0，∴3c<1<3a ，∴f(c)＝1－3c ，f(a)＝3a －1.又f(c)>f(a)，∴1－3c>3a －1，即3a ＋3c<2，故选D.4．函数的y ＝3x 图像与函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2的图像关于( ) A ．点(－1,0)对称B ．直线x ＝1对称C ．点(1,0)对称D ．直线x ＝－1对称[答案] B [解析] y ＝3x ――→y 轴对称y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ――→右移2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2，在同一坐标系中作出y ＝3x ，y ＝3x －2图像，结合选项知选B.5．函数y ＝ax 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为( ) A.12 B ．2 C ．4 D.14[答案] B[解析] 当a>0，a≠1时，y ＝ax 是定义域上的单调函数，因此其最值在x ∈[0,1]的两个端点得到，于是必有1＋a ＝3，∴a ＝2.6．若函数y ＝4x －3·2x＋3的定义域为集合A ，值域为[1,7]，集合B ＝(－∞，0]∪[1,2]，则集合A 与集合B 的关系为( )A ．A BB ．A ＝BC ．B AD ．A ⊆B[答案] A[解析] ∵y ＝⎝⎛⎭⎪⎫2x －322＋34的值域为[1,7]， ∴2x ∈[2,4]．∴x ∈[1,2]，即A ＝[1,2]．∴A B.7．(2010·陕西文)下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f(x ＋y)＝f(x)f(y)”的是( )A ．幂函数B ．对数函数C ．指数函数D ．余弦函数[答案] C[解析] 本题考查幂函数，指数函数、对数函数、余弦函数的性质．对任意的x>0，y>0，只有指数函数f(x)满足f(x ＋y)＝f(x)·f(y)． 8．(2011·济宁模拟)已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ；当x<4时，f(x)＝f(x ＋1)，则f(2＋log23)＝( )A.124B.112C.18D.38[答案] A[解析] ∵2<3<4＝22，∴1<log23<2，∴3<2＋log23<4，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝f(log224)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log224＝2－log224＝2log2124＝124. 二、填空题9．(2011·海南五校联考)若x>0，则(2x 14＋332)(2x 14－332)－4x －12(x －x 12)＝________. [答案] －23[解析] 原式＝(2x 14)2－(332)2－4x1－12＋4x －12＋12＝4x 12－33－4x 12＋4＝－23.10．若直线y ＝2a 与函数y ＝|ax －1|(a>0且a≠1)的图像有两个公共点，则a 的取值范围是________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12[解析] 数形结合．由图可知0<2a<1，作出0<a<1和a>1两种图像易知只有0<a<1有可能符合．∴0<a<12.11．已知2x2＋x≤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －2，则函数y ＝2x －2－x 的值域是________． [答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－25516，32[解析] ∵2x2＋x≤2－2(x －2)，∴x2＋x≤－2(x －2)，解得－4≤x≤1.又∵y ＝2x －2－x 在[－4,1]上是增函数，∴2－4－24≤y≤2－2－1，故－25516≤y≤32.三、解答题12．设a>0，f(x)＝ex a ＋aex 是R 上的偶函数．(1)求a 的值；(2)证明f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(3)解方程f(x)＝2.[解析] (1)∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)恒成立，即e －xa ＋ae －x ＝exa ＋aex 恒成立．整理，得(a2－1)(e2x －1)＝0对任意实数x 恒成立，故a2－1＝0.又∵a>0，∴a ＝1.(2)证明：设0<x1<x2，f(x1)－f(x2)＝ex1－ex2＋1ex1－1ex2＝(ex2－ex1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1ex1＋x2－1＝ex1(ex2－x1－1)·1－ex2＋x1ex2＋x1，由x1>0，x2>0，x2－x1>0，得x1＋x2>0，ex2－x1－1>0,1－ex2＋x1<0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(3)由f(x)＝2，得ex ＋1ex ＝2，即e2x －2ex ＋1＝0.∴ex ＝1＝e0.∴x ＝0.故方程f(x)＝2的根为x ＝0. 13．函数f(x)＝2－x x －1的定义域为集合A ，关于x 的不等式22ax<2a ＋x(a ∈R)的解集为B ，求使A∩B＝A 的实数a 的取值范围．[解析] 由2－xx －1≥0，得1<x≤2，即A ＝{x|1<x≤2}． ∵y ＝2x 是R 上的增函数，∴由22ax<2a ＋x 得2ax<a ＋x ，∴B ＝{x|(2a －1)x<a}．(1)当2a －1>0，即a>12时，x<a2a －1.又∵A ⊆B ，∴a 2a －1<2，解得12<a<23.(2)当2a －1＝0，即a ＝12时，x ∈R ，满足A∩B＝A.(3)当2a －1<0，即a<12时，x>a2a －1.∵A ⊆B ，∴a2a －1≤1，解得a≤12或a≥1，∴a<12.综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23.14．(2011·衡阳模拟)已知定义域为R 的函数f(x)＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k 的取值范围.[解析] (1)∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，即－1＋b2＋a ＝0，解得b ＝1，从而有f(x)＝－2x ＋12x ＋1＋a .又由f(1)＝－f(－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.经检验a ＝2适合题意，∴所求a ，b 的值为2,1.(2)由(1)知f(x)＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0，等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．因f(x)是减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.即对一切t ∈R 有3t2－2t －k>0.从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－13. 15．已知定义在R 上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f(x)＝2x 4x ＋1. (1)求f(x)在[－1,1]上的解析式；(2)求证：f(x)在(0,1)上是减函数．[分析] 求f(x)在[－1,1]上的解析式，可以先求f(x)在(－1,0)上的解析式，再去关注x ＝±1,0时的函数值；函数的单调性可利用单调性定义来证明．[解析] (1)当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)．∵f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－2－x 4－x ＋1＝－2x 4x ＋1，由f(0)＝－f(0)，且f(1)＝f(－2＋1)＝f(－1)＝－f(1)，得f(0)＝f(1)＝f(－1)＝0，∴在区间[－1,1]上，有f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 4x ＋1，x ∈0，1，－2x 4x ＋1，x ∈－1，0，0，x ∈{－1，0，1}.(2)证明：当x ∈(0,1)时，f(x)＝2x 4x ＋1. 设0<x1<x2<1，则f(x1)－f(x2)＝2x14x1＋1－2x24x2＋1＝2x2－2x12x1＋x2－14x1＋14x2＋1.∵0<x1<x2<1，∴2x2－2x1>0,2x1＋x2－1>0.∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(0,1)上是减函数．。

2012届高考数学第一轮章节复习考试题2

第1章第1节一、选择题1．(2010·广东文)若集合A ＝{0,1,2,3}，B ＝{1,2,4}，则集合A ∪B ＝( ) A ．{0,1,2,3,4} B ．{1,2,3,4} C ．{1,2} D ．{0} [答案] A[解析] 由集合的元素的互异性及集合的关系可知A 正确．2．(2010·湖北理)设集合A ＝{(x ，y)|x24＋y216＝1}，B ＝{(x ，y)|y ＝3x}，则A∩B 的子集的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1[答案] A[解析] 结合椭圆x24＋y216＝1的图像及y ＝3x 的图像可知，共有两个交点，故A∩B 子集的个数为4. 3．(文)已知全集U ＝R ，且A ＝{x||x －1|>2}，B ＝{x|x2－6x ＋8<0}，则(∁UA)∩B 等于( ) A ．[－1,4) B ．(2,3) C ．(2,3] D ．(－1,4) [答案] C[解析] 解法1：A ＝{x|x>3或x<－1}，B ＝{x|2<x<4}，∁UA ＝{x|－1≤x≤3}，∴(∁UA)∩B ＝(2,3]，故选C.解法2：验证排除法，取x ＝0，x ∉B ，故排除A 、D.取x ＝3,3∉A,3∈B.∴3∈(∁UA)∩B.排除B.(理)已知函数f(x)＝11－x的定义域为M ，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N ，则M∩N 等于( )A ．{x|x>－1}B ．{x|－1<x<1}C ．{x|x<1}D ．∅ [答案] B[解析] M ＝{x|x<1}，N ＝{x|x>－1}， ∴M∩N＝{x|－1<x<1}．4．已知M ＝{y|y ＝x2}，N ＝{y|x2＋y2＝2}，则M∩N＝( ) A ．{(1,1)，(－1,1)} B ．{1} C ．[0,1]D ．[0，2][答案] D[解析] ∵M ＝[0，＋∞)，N ＝[－2，2]，∴M∩N＝[0，2]，故选D. [点评] 本题特别易错的地方是将数集误认为点集．5．(文)(2010·湖北文)设集合M ＝{1,2,4,8}，N ＝{x|x 是2的倍数}，则M∩N＝( ) A ．{2,4} B ．{1,2,4}C ．{2,4,8}D ．{1,2,4,8} [答案] C[解析] 本题主要考查集合知识．由题易知N ＝{x|x ＝2k ，k ∈Z}，又M ＝{1,2,4,8} ∴M∩N＝{2,4,8}．(理)(2010·安徽理)若集合A ＝，则∁RA ＝( )A ．(－∞，0]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞ C ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞ [答案] A[解析] log 12x≥12，∴0<x≤22，∁RA ＝(－∞，0]∪(22，＋∞)，故选A. 6．P ＝{α|α＝(－1,1)＋m(1,2)，m ∈R}，Q ＝{β|β＝(1，－2)＋n(2,3)，n ∈R}是两个向量集合，则P∩Q＝( )A ．{1，－2}B ．{(－13，－23)}C ．{(1，－2)}D ．{(－23，－13)} [答案] B[解析] α＝(m －1,2m ＋1)，β＝(2n ＋1,3n －2)，令α＝β得，⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝2n ＋12m ＋1＝3n －2∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12n ＝－7∴P∩Q＝{(－13，－23)}．7．若A 、B 、C 为三个集合，A ∪B ＝B∩C，则一定有( ) A ．A ⊆C B ．C ⊆A C ．A≠C D ．A ＝∅ [答案] A[解析] 考查集合的基本概念及运算． ∵B∩C ⊆B ⊆A ∪B ，A ∪B ＝B∩C ⊆B ，∴A ∪B ＝B ，B∩C＝B ，∴A ⊆B ，B ⊆C ，∴A ⊆C ，选A.8．(2011·济南高三期中)设集合S ＝{x||x －2|>3}，T ＝{x|a<x<a ＋8}，S ∪T ＝R ，则a 的取值范围是( )A ．－3<a<－1B ．－3≤a≤－1C ．a≤－3或a≥－1D ．a<－3或a>－1 [答案] A[解析] S ＝{x|x>5或x<－1}，∵S ∪T ＝R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a<－1a ＋8>5，∴－3<a<－1，故选A.二、填空题9．A ＝{(x ，y)|x2＝y2}，B ＝{(x ，y)|x ＝y2}，则A∩B＝______. [答案] {(0,0)，(1,1)，(1，－1)}．[解析] A∩B＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x2＝y2x ＝y2＝{(0,0)，(1,1)，(1，－1)}． 10．已知集合A ＝{x||x －a|≤1}，B ＝{x2－5x ＋4≥0}，若A∩B＝∅，则实数a 的取值范围是________． [答案] (2,3)[解析] B 中，x2－5x ＋4≥0，∴x≥4或x≤1. 又∵A 中|x －a|≤1，∴a －1≤x≤1＋a. ∵A∩B＝∅，∴a ＋1<4且a －1>1，∴2<a<3.11．已知A ＝{1,2,3}，B ＝{1,2}．定义集合A 、B 之间的运算“*”：A*B ＝{x|x ＝x1＋x2，x1∈A ，x2∈B}，则集合A*B 中最大的元素是________；集合A*B 的所有子集的个数为________． [答案] 5,16[解析] 本题考查考生的综合应用能力．由定义知：A*B ＝{2,3,4,5}，则其中最大元素为5，所有子集个数为24＝16.三、解答题12．(2011·梅州模拟)设A ＝{－4,2a －1，a2}，B ＝{9，a －5,1－a}，已知A∩B＝{9}，求实数a 的值．[解析] ∵A∩B＝{9}，∴9∈A.(1)若2a －1＝9，则a ＝5，此时A ＝{－4,9,25}，B ＝{9,0，－4}，A∩B＝{9，－4}，与已知矛盾，舍去．(2)若a2＝9，则a ＝±3.当a ＝3时，A ＝{－4,5,9}，B ＝{－2,2,9}，B 中有两个元素均为－2，与集合元素的互异性相矛盾，应舍去；当a ＝－3时，A ＝{－4，－7,9}，B ＝{9，－8,4}，符合题意．综上所述，a ＝－3.13．已知集合A ＝{x|x2＋2(a ＋1)x ＋a2－1＝0}，B ＝{x|x2＋4x ＝0}，若A ∪B ＝B ，求实数a 的取值范围．[分析] 由A ∪B ＝B 或A∩B＝A ，可以得出A ⊆B ，而A ⊆B 中含有特例，A ＝∅，应注意．[解析] 由x2＋4x ＝0得：B ＝{0，－4}，由于A ∪B ＝B ， (1)若A ＝∅，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a2－1)＜0，得a ＜－1. (2)若A≠∅，则0∈A 或－4∈A当0∈A 时，得a ＝±1；当－4∈A ，得a ＝1或a ＝7；但当a ＝7时A ＝{－4，－12}，此时不合题意．故由(1)(2)得实数a 的取值范围是：a≤－1或a ＝1.14．(2011·广东联考)设集合A ＝{x|x2<4}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<4x ＋3. (1)求集合A∩B；(2)若不等式2x2＋ax ＋b<0的解集是B ，求a ，b 的值． [解析] A ＝{x|x2<4}＝{x|－2<x<2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<4x ＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋3<0＝{x|－3<x<1}， (1)A∩B＝{x|－2<x<1}．(2)∵2x2＋ax ＋b<0的解集为B ＝{x|－3<x<1}， ∴－3和1为方程2x2＋ax ＋b ＝0的两根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－a2＝－3＋1，b 2＝－3×1，∴a ＝4，b ＝－6.15．集合A ＝{x|x2＋px ＋q ＝0}，B ＝{x|qx2＋px ＋1＝0}，同时满足：①A∩B≠∅；②－2∈A(p ，q≠0)．求p ，q 的值．[分析] 两个集合有公共元素，可联立方程求解，注意到系数关系，问题可有多种解法． [解析] 解法1：∵A∩B≠∅∴方程组⎩⎪⎨⎪⎧x2＋px ＋q ＝0qx2＋px ＋1＝0有解．两式相减得：(q －1)x2＝q －1.当q ＝1时，方程有解． ∵－2∈A ，∴根据韦达定理知方程另一根为－12.∴－p ＝－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－52，p ＝52. 这时A ＝B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－12，符合题意．∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝52q ＝1当q≠1时，x2＝1，x ＝±1又∵－2∈A ，∴A ＝{1，－2}或{－1，－2}，根据韦达定理：⎩⎪⎨⎪⎧1＋－2＝－p 1×－2＝q或⎩⎪⎨⎪⎧－1＋－2＝－p －1×－2＝q∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1q ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝3q ＝2.综上：p ，q 的值为⎩⎪⎨⎪⎧p ＝52q ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1q ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝3q ＝2解法2：设x0∈A ，则有x02＋px0＋q ＝0，两端同除以x02，得1＋p 1x0＋q 1x02＝0，则知1x0∈B.∴集合A ，B 中元素互为倒数．由A∩B≠∅，一定有x0∈A ，使得1x0∈B 且x0＝1x0，x0＝±1.又∵－2∈A ，∴A ＝{1，－2}或{－1，－2}，由此得B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，－12或⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－12.根据韦达定理：⎩⎪⎨⎪⎧1＋－2＝－p1×－2＝q 或⎩⎪⎨⎪⎧－1＋－2＝－p－1×－2＝q，∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1q ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝3q ＝2.另－2∈A ，A∩B≠∅，可能出现－2∈B ，则－12∈A.此时－2，－12为A 的两个元素，易知⎩⎪⎨⎪⎧p ＝52，q ＝1此时A ＝B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－12，故⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1q ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝3q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝52q ＝1.。

2012届高考数学第一轮章节复习考试题13

第2章第9节一、选择题1．(2010·天津文)函数f(x)＝ex ＋x －2的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)[答案] C[解析] 解法一：本题考查了函数的零点定理和导数．∵f′(x)＝ex ＋1>0，∴函数f(x)＝ex ＋x －2在R 上单调递增，又∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e －1>0，即f(0)f(1)<0，∴由零点定理知，该函数零点在区间(0,1)内．解法二：∵f(0)＝e0－2＝－1<0，f(1)＝e1＋1－2＝e1－1>0，∴f(0)·f(1)<0，故f(x)＝ex ＋x －2的零点所在的一个区间是(0,1)．故选C.2．若方程2ax2－x －1＝0在(0,1)内恰有一解，则a 的取值范围为( )A ．a<－1B ．a>1C ．－1<a<1D ．0≤a<1[答案] B[解析] f(x)＝2ax2－x －1∵f(0)＝－1<0 f(1)＝2a －2∴由f(1)>0得a>1，又当f(1)＝0，即a ＝1时，2x2－x －1＝0的两根为x1＝1，x2＝－12不适合题意．故选B. 3．(2011·山东临沂)已知函数f(x)＝(x2－3x ＋2)g(x)＋3x －4，其中g(x)是定义域为R 的函数，则方程f(x)＝0在下面哪个范围内必有实数根( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(2,4)[答案] B[解析] ∵f(1)＝0×g(x)－1<0，f(2)＝0×g(x)＋2>0，故在(1,2)上必有实根．4．关于方程3x ＋x2＋2x －1＝0，下列说法正确的是( )A ．方程有两不相等的负实根B ．方程有两个不相等的正实根C ．方程有一正实根，一零根D ．方程有一负实根，一零根[答案] D[解析] 令y1＝3xy2＝－x2－2x ＋1＝2－(x ＋1)2则方程的根即为两函数图像交点横坐标由图像知方程有一负根，一零根．5．已知f(x)＝1－(x －a)(x －b)(a<b)，m ，n 是f(x)的零点，且m<n ，则实数a ，b ，m ，n 的大小关系是( )A ．m<a<b<nB ．a<m<n<bC ．a<m<b<nD ．m<a<n<b[答案] A[解析] 本题考查函数性质，主要是函数的零点、单调性．如图，f(a)＝f(b)＝1，f(m)＝f(n)＝0，结合图形知，选A.6．若函数f(x)＝x3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．[－2,2]C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)[答案] A[解析] 本题考查了函数零点的判断方法及一元二次方程根与系数的关系．由于函数f(x)是连续的，故只需两个极值异号即可．f′(x)＝3x2－3，令3x2－3＝0，则x ＝±1，只需f(－1)f(1)<0，即(a ＋2)(a －2)<0，故a ∈(－2,2)．7．(2010·浙江理)设函数f(x)＝4sin(2x ＋1)－x ，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是( )A ．[－4，－2]B ．[－2,0]C ．[0,2]D ．[2,4][答案] A[解析] 本题判断f(x)＝0在区间内是否成立，即4sin(2x ＋1)＝x 是否有解．如图：显然在[2,4]内曲线y ＝4sin(2x ＋1)，当x ＝54π－12时，y ＝4，而曲线y ＝x ，当x ＝54π－12<4，有交点，故选A.8．(2011·山东济南)若方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝x 13的解为x0，则x0属于以下区间( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(1,2)[答案] B [解析] 构造函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －x 13，易知该函数是R 上的减函数．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213－⎝ ⎛⎭⎪⎫1313>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212－⎝ ⎛⎭⎪⎫1213<0. ∴x0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 二、填空题9．已知方程f(x)＝0在(1,2)内有唯一解，用二分法求方程的近似解时，若要使精确度为0.1，则使用二分法的最多次数为________．[答案] 4[解析] 每一次使用二分法，区间长度为原区间长度的12，设n 次后达到精确度，则只需12n<0.1，即n≥4.10．若函数f(x)＝x2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)>0的解集是________．[答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－32<x<1 [解析] 由于函数f(x)＝x2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，即方程x2＋ax ＋b ＝0的两个根是－2和3.因此⎩⎪⎨⎪⎧ －2＋3＝－a ，－2·3＝b ，解得a ＝－1，b ＝－6，故f(x)＝x2－x －6.所以不等式af(－2x)>0，即－(4x2＋2x －6)>0，解得－32<x<1. 11．若函数f(x)＝3ax －2a ＋1在区间[－1,1]上无实根，则函数g(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －15(x3－3x ＋4)的单调递减区间是________．[答案] (－∞，－1)，(1，＋∞)[解析] f(x)在[－1,1]上的图像是线段，若方程f(x)＝0在[－1,1]上无实根，则f(－1)f(1)>0，即(－5a ＋1)(a ＋1)>0，解得－1<a<15，a －15<0. 由g′(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －15(3x2－3)<0，得x<－1或x>1. 三、解答题12．关于x 的二次方程x2＋(m －1)x ＋1＝0在区间 [0,2]上有解，求实数m 的取值范围．[解析] 设f(x)＝x2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]，①若f(x)＝0在区间[0,2]上有一解，∵f(0)＝1>0，则应有f(2)≤0，又∵f(2)＝22＋(m －1)×2＋1，∴m≤－32. ②若f(x)＝0在区间[0,2]上有两解，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥00≤－m －12≤2f 2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －12－4≥0－3≤m≤14＋m －1×2＋1≥0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m≥3或m≤－1－3≤m≤1m≥－32，∴－32≤m≤－1，由①②可知m≤－1.13．对于函数f(x)，若存在x0∈R ，使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点．已知函数f(x)＝ax2＋(b ＋1)x ＋(b －1)(a≠0)．(1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f(x)的不动点；(2)若对任意实数b ，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围．[解析] (1)f(x)＝x2－x －3，因为x0为不动点，因此有f(x0)＝x02－x0－3＝x0，所以x0＝－1或x0＝3.所以3和－1为f(x)的不动点．(2)因为f(x)恒有两个不动点，f(x)＝ax2＋(b ＋1)x ＋(b －1)＝x ，ax2＋bx ＋(b －1)＝0，由题设知b2－4a(b －1)>0恒成立，即对于任意b ∈R ，b2－4ab ＋4a>0恒成立，所以有(－4a)2－4(4a)<0⇒a2－a<0.所以0<a<1.14．(2011·广州模拟)已知函数f(x)＝4x ＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．[解析] ∵f(x)＝4x ＋m·2x＋1有且仅有一个零点，即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．设2x ＝t(t>0)，则t2＋mt ＋1＝0.当Δ＝0时，即m2－4＝0，∴m ＝－2时，t ＝1；m ＝2时，t ＝－1不合题意，舍去，∴2x ＝1，x ＝0符合题意．当Δ>0，即m>2或m<－2时，t2＋mt ＋1＝0有两正根或两负根，f(x)有两个零点或无零点不合题意．∴这种情况不可能．综上可知：m ＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x ＝0.15．定义域为R 的偶函数f(x)，当x>0时，f(x)＝lnx －ax(a ∈R)，方程f(x)＝0在R 上恰有5个不同的实数解．(1)求x<0时，函数f(x)的解析式；(2)求实数a 的取值范围．[解析] (1)设x<0，则－x>0，∵f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(－x)＝ln(－x)＋ax(x<0)．(2)∵f(x)是偶函数，∴f(x)＝0的根关于x ＝0对称，又f(x)＝0恰有5个实数根，则5个根有两正根，两负根，一零根，且两正根与两负根互为相反数，∴原命题可转化为：当x>0时，f(x)的图像与x 轴恰有两个不同的交点．下面就x>0时的情况讨论． ∵f′(x)＝1x －a ， ∴当a≤0，f′(x)>0，f(x)＝lnx －ax 在(0，＋∞)上为增函数，故f(x)＝0在(0，＋∞)上不可能有两个实根．a>0时，令f′(x)＝0，x ＝1a. 当0<x<1a时，f′(x)>0，f(x)递增，当x>1a时，f′(x)<0，f(x)递减， ∴f(x)在x ＝1a处取得极大值－lna －1，则要使f(x)在(0，＋∞)有两个相异零点，如图．∴只要：－lna －1>0，即lna<－1，得：a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e .。